Ο μετασχηματισμός Fourier

Transcript

1 Μαρία Ντεκουμέ Ο μετασχηματισμός Fourier Πτυχιακή εργασία Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης

2

3 Επιτροπή κρίσης: Μιχάλης Κολουντζάκης Θεμιστοκλής Μήτσης Μιχάλης Παπαδημητράκης, επιβλέπων.

4

5 Περιεχόμενα Ο μετασχηματισμός Fourier στον L. Ορισμός του μετασχηματισμού Fourier Το Θεώρημα iemann-lebesgue Αντιστροφή του μετασχηματισμού Fourier Αντιστροφή του μετασχηματισμού Fourier με χρήση (C, αθροισιμότητας. 9.5 Συνέλιξη Κάποιες σημαντικές ειδικές συναρτήσεις Αναλυτικές Συναρτήσεις Μετασχηματισμών Fourier Κλειστότητα των μεταφορών στον L Αλγεβρική αναδιατύπωση Ο μετασχηματισμός Fourier στον L Ο μετασχηματισμός Fourier στον L L Το Θεώρημα του Plancherel Γενικεύσεις του Θεωρήματος Wiener Σύνολα σημείων Οι ρίζες του μετασχηματισμού Fourier Τα κύρια αποτελέσματα Το θεώρημα του Bochner Συναρτήσεις θετικού τύπου Απόδειξη του Θεωρήματος Απόδειξη του Θεωρήματος i

6 ii

7 Κεφάλαιο Ο μετασχηματισμός Fourier στον L. Ορισμός του μετασχηματισμού Fourier. Για κάθε f L, το ολοκλήρωμα eixt f(tdt υπάρχει για κάθε x, αφού e ixt f(tdt e ixt f(t dt f(t dt < +, διότι f L. Ορίζουμε το μετασχηματισμό Fourier ˆf της f L : ˆf(x e ixt f(tdt, x. Καθώς ˆf(x eixt f(tdt eixt f(t dt f(t dt f, βλέπουμε ότι η ˆf είναι φραγμένη στο και Επιπλέον, η ˆf είναι συνεχής στο, γιατί: Για κάθε x, h, ˆf(x + h ˆf(x Οπότε, Όμως ˆf(x + h ˆf(x e i(x+ht f(tdt sup ˆf(x f. x e ixt f(tdt e ixt f(t e iht dt e iht f(t ( e iht + f(t 2 f(t και h eiht f(t. Άρα, από το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης, h e iht f(t dt h e ixt f(t(e iht dt. f(t e iht dt ( e iht f(t dt dt.

8 Άρα συνεπώς δηλαδή η ˆf είναι συνεχής στο x. ˆf(x + h ˆf(x h h ˆf(x + h ˆf(x, ΘΕΩΡΗΜΑ. Αν f, f 2,... L και f n f όταν n +, τότε n + Απόδειξη. Όπως δείξαμε παραπάνω, ˆf n (x ˆf(x ομοιόμορφα, για κάθε x. sup ˆf n (x ˆf(x f n f, για κάθε n N. x Άρα Οπότε n + sup ˆf n (x ˆf(x όταν n +. x ˆf n (x ˆf(x ομοιόμορφα, για κάθε x. ΘΕΩΡΗΜΑ 2. Έστω f L και a, b. Τότε ο μετασχηματισμός Fourier της f(t + a είναι ˆf(xe iax. Επίσης, ο μετασχηματισμός Fourier της e ibt f(t είναι ˆf(x + b. Δηλαδή, κάθε μεταφορά του μετασχηματισμού Fourier μιας συνάρτησης του L είναι πάλι μετασχηματισμός Fourier. Απόδειξη. Ο μετασχηματισμός Fourier της f(t + a είναι e ixt f(t + adt e ix(t a f(tdt e ixa e ixt f(tdt e iax ˆf(x για κάθε x. Ο μετασχηματισμός Fourier της e ibt f(t είναι e ixt e ibt f(tdt e it(x+b f(tdt ˆf(x + b για κάθε x..2 Το Θεώρημα iemann-lebesgue. ΘΕΩΡΗΜΑ 3. (iemann-lebesgue Αν f L, τότε x ± ˆf(x x ± 2 e ixt f(tdt.

9 Απόδειξη. Σύμφωνα με τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier, Οπότε, Άρα ˆf(x ˆf(x e ixt f(tdt e ix(t+ π x f(tdt Αφαιρώντας κατά μέλη τις (., (.2 έχουμε: 2 ˆf(x 2 ˆf(x e ixt f(tdt. (. e iπ e ixt f(tdt e ixt( f(t f(t π x dt. e ixt( f(t f(t π x dt e ixt f(t π x dt. (.2 e ixt f(t f(t π x dt f(t f(t π x dt. Όμως, αφού f L +, γνωρίζουμε ότι x ± f(t f(t π dt. x Άρα ˆf(x x ± δηλαδή ˆf(x. x ± ΠΟΡΙΣΜΑ. Αν f L, τότε x ± f(t sin xtdt x ± f(t cos xtdt. Απόδειξη. Από το Θεώρημα 3 (iemann-lebesgue, x ± eixt f(tdt. Συνεπώς: f(t sin xtdt f(t eixt e ixt dt 2i ( f(te ixt dt 2i f(te ixt dt 2i( ˆf(x ˆf( x όταν x ±. Επίσης, f(t cos xtdt f(t eixt + e ixt dt 2 ( f(te ixt dt + 2 f(te ixt dt 2( ˆf(x + ˆf( x όταν x ±. 3

10 Έχουμε αποδείξει λοιπόν ότι, για κάθε f L, η συνάρτηση ˆf είναι συνεχής στο και x ± ˆf(x. Είναι φυσικό τώρα να αναρωτηθούμε εάν κάθε συνάρτηση με αυτές τις ιδιότητες, δηλαδή κάθε συνάρτηση που είναι συνεχής στο και μηδενίζεται στο ±, είναι ο μετασχηματισμός Fourier κάποιας συνάρτησης του L. Η απάντηση είναι όχι. Για παράδειγμα: Θεωρούμε τη συνάρτηση, αν x > e log x g(x x e, αν x e g( x, αν x < Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο : Στα διαστήματα (, e και (e, + είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Στο x e έχουμε g(x g(x g(e, + x e άρα η g είναι συνεχής στο e. Στο x έχουμε x x x e x x g(x g( x g(x g(x g(, + + άρα η g είναι συνεχής στο. Και αφού η g είναι συνεχής στο (, +, η g( x είναι συνεχής στο (,, άρα η g είναι συνεχής στο. Η g μηδενίζεται στο ±, γιατί και g(x x + x + log x g(x g( x g(x. x x x + Ωστόσο, θα δείξουμε ότι η g δεν είναι μετασχηματισμός Fourier. Μπορούμε να δούμε ότι N N + e g(x x dx N + N e x log x dx (log log N log log e +. N + Τώρα ας υποθέσουμε ότι υπάρχει f L τέτοια ώστε g ˆf. Τότε g(x και καθώς g(x g( x, έχουμε επίσης g(x Προσθέτοντας κατά μέλη τις (.3, (.4 παίρνουμε 2g(x e ixt f(tdt για κάθε x (.3 e ixt f(tdt για κάθε x. (.4 f(t ( e ixt e ixt dt 4 f(t2i sin xtdt.

11 Τότε g(x i i i f(t sin xtdt i f(t sin xtdt i f(t sin xtdt + i f( t sin xtdt f(t sin xtdt ( + f(t f( t sin xtdt F (t sin xtdt, για κάθε x, όπου F (t i ( f(t f( t με F (t dt 2 Για κάθε N 3, 4, 5,... έχουμε N g(x N e x dx ( N F (t sin xtdt dx e x e N F (t sin xt + dxdt F (t e x Nt sin x F (t x dxdt. Η αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης είναι δυνατή γιατί N e F (t sin xt x et dtdx N e e dx N e F (t dt f(t dt < +. F (t sin xt dtdx x sin xt x dxdt e (N e F (t dt < +. Για κάθε a, b το b sin t dt a t είναι φραγμένο. Nt sin x Άρα για κάθε t υπάρχει το N + dx l. et x Συνεπώς, από το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης, N + Nt sin x + F (t et x dxdt N + ( F (t F (tldt l Άρα N g(x dx < +. Καταλήξαμε λοιπόν σε άτοπο. e x Συνεπώς, η g δεν είναι μετασχηματισμός Fourier. Nt et sin x x dx dt.3 Αντιστροφή του μετασχηματισμού Fourier. F (t dt < +. Ορίσαμε την ˆf για f L. Τώρα το ερώτημα είναι: Αν ξέρουμε ότι μια συνάρτηση ˆf είναι ο μετασχηματισμός Fourier κάποιας f L, μπορούμε να προσδιορίσουμε ποια είναι αυτή η f από τις τιμές ˆf(x της ˆf; Η απάντηση είναι ναι, υπό κατάλληλες προϋποθέσεις. Αν ˆf(x eixt f(tdt, τότε f(t + 2π e itx ˆf(xdx. Ωστόσο, υπάρχουν μετασχηματισμοί Fourier ˆf για τους οποίους το e itx ˆf(xdx δεν 5

12 υπάρχει σαν ολοκλήρωμα Lebesgue. Δηλαδή, ˆf / L. Για παράδειγμα, αν { e t, αν t f(t, αν t <, τότε ˆf(x ix. Προκειμένου να υπάρχει το ζητούμενο ολοκλήρωμα για ένα δοσμένο t, πρέπει να τεθούν κατάλληλες συνθήκες στην f κοντά στο t και πρέπει να δοθεί κατάλληλη ερμηνεία στο ολοκλήρωμα αυτό. ΛΗΜΜΑ. Έστω a συνάρτηση φραγμένης κύμανσης στο [, δ] για κάποιο δ >. Τότε + π δ a(t sin t dt t 2 a(+. Απόδειξη. Γνωρίζουμε ότι κάθε συνάρτηση φραγμένης κύμανσης μπορεί να γραφεί σαν διαφορά δύο φραγμένων αυξουσών συναρτήσεων. Οπότε αρκεί να αποδείξουμε το Λήμμα για συνάρτηση αύξουσα και φραγμένη στο [, δ]. Τότε, a f f 2, όπου f, f 2 αύξουσες και φραγμένες στο [, δ], άρα και άρα + π δ f (t sin t dt t 2 f (+ δ sin t f 2 (t dt + π t 2 f 2(+, δ a(t + π sin t dt t δ + π ( f (t f 2 (t sin t dt t 2 f (+ + 2 f 2(+ 2 a(+. Περίπτωση : a(+ Έστω ϵ >. Τότε υπάρχει η τέτοιο ώστε < η < δ και a(t ϵ για κάθε t (, η. Από γνωστό Θεώρημα, υπάρχει ξ [, η] τέτοιο ώστε η a(t sin t t Επιλέγουμε A τέτοιο ώστε Συνεπώς, δ dt a(η β α η a(t a(η a(η sin t t a(t sin t t η ξ η ξ η ξ sin t dt + a(+ t sin t dt + t sin t dt. t ξ dt A για κάθε α, β. Οπότε, sin t t dt a(η A ϵa. dt ϵa + 6 δ η a(t sin t t dt. sin t dt t

13 Η a είναι φραγμένη στο [, δ], δηλαδή υπάρχει M > τέτοιο ώστε a(t M για κάθε t [, δ]. Άρα a(t a(t M για κάθε t [η, δ] t η η συνεπώς δ η a(t dt M (δ η. t η Η συνάρτηση a(t είναι ολοκληρώσιμη στο [η, δ], οπότε από το Πόρισμα, t Άρα, δ + η sup + Αυτό ισχύει για κάθε ϵ >, άρα + π δ δ a(t a(t a(t sin t dt. t sin t t dt ϵa. sin t dt t 2 a(+. Περίπτωση 2: a(+ Θεωρούμε b(t a(t a(+. Τότε b(+, άρα από την περίπτωση θα έχουμε Επίσης, Οπότε: Δηλαδή, δ a(t π δ + δ + b(t sin t dt t sin t dt δ t π π δ a(+ 2 sin t dt. t δ + sin t dt π t 2. ( sin t b(t + a(+ dt t b(t sin t dt + a(+ t π όταν +. δ sin t a(t dt + π t 2 a(+. δ sin t dt t ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Αν f L και η f είναι φραγμένης κύμανσης σε κάποια γειτονιά ενός σημείου u, τότε e iux ( ˆf(xdx f(u+ + f(u. + 2π 2 7

14 Απόδειξη. Για κάθε > : Επειδή f L, S (u 2π e iux e ixt f(t dtdx e iux ˆf(xdx 2π e iux e ixt f(tdtdx. f(t dtdx 2 άρα μπορούμε να κάνουμε αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης και έχουμε: όπου S (u 2π e iux e ixt f(tdxdt 2π f(t sin (u t f(t2 dt sin t f(u t dt 2π u t π t ( sin t + sin t f(u t dt + f(u t dt π t t ( sin ( t + sin t f(u + t dt + f(u t dt π t t ( sin t f(u + t + f(u t dt I + I 2, π t I π I 2 π δ δ ( sin t f(u + t + f(u t dt, t ( sin t f(u + t + f(u t dt, t για δ > τέτοιο ώστε η f να είναι φραγμένης κύμανσης στο [u δ, u + δ]. Από το Λήμμα, I + + π δ f(t dt < +, e ix(u t dxdt ( sin t f(u + t + f(u t dt f(u+ + f(u. t 2( Επίσης, η f(u+t+f(u t είναι ολοκληρώσιμη στο [δ, + ], γιατί t f(u + t + f(u t dt ( f(u + t dt + t δ δ Άρα, από το Πόρισμα, έχουμε < δ δ f(t dt < +. δ f(u t dt Οπότε, I π S (u δ I + + ( f(u + t + f(u t sin tdt. t I 2 ( f(u+ + f(u

15 Είναι προφανές ότι αν f L και η f είναι φραγμένης κύμανσης σε μια γειτονιά ενός σημείου u και η f είναι συνεχής στο u, τότε f(u 2π e iux ˆf(xdx. + Βρήκαμε, λοιπόν, κάποιες συνθήκες ώστε να ισχύει ότι f(t 2π e itx ˆf(xdx..4 Αντιστροφή του μετασχηματισμού Fourier με χρήση (C, αθροισιμότητας. ΟΡΙΣΜΟΣ. Έστω συνάρτηση a ολοκληρώσιμη στο [, ] για κάθε >. Το a(xdx λέμε ότι είναι (C, αθροίσιμο στην τιμή A αν ( + x a(xdx A. ΘΕΩΡΗΜΑ 5. Αν a L και a(xdx A, τότε το a(xdx είναι (C, αθροίσιμο στο A. Απόδειξη. Για κάθε > θεωρούμε ( x a(x, αν x a (x, αν x > Τότε a (x a(x για κάθε x και + a (x a(x για κάθε x. Αφού a L, χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης έχουμε ότι: ( + x a(xdx + Οπότε το a(xdx είναι (C, αθροίσιμο στο A. a (xdx a (xdx + + a (xdx a(xdx A. Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο Lebesgue της f είναι το σύνολο των σημείων x για τα οποία h f(x + t f(x dt. h h Αν η f είναι συνεχής στο x, τότε το x προφανώς ανήκει στο σύνολο Lebesgue της f. ΘΕΩΡΗΜΑ 6. Αν f L και το u ανήκει στο σύνολο Lebesgue της f, τότε + ( 2π x 9 e iux ˆf(xdx f(u.

16 Απόδειξη. Για κάθε >, για κάθε u : S (u 2π 2π ( x e iux ˆf(xdx ( x e iux e ixt f(tdtdx. Επειδή x e iux e ixt f(t dtdx 2 f(t dtdx f(t dt < +, μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά ολοκλήρωσης, οπότε: Για t u: Άρα, Όμως, S (u 2π 2π ( x ( x ( 2 x 2 2 S (u π e ix(u t dx ( x ( f(t e iux e ixt f(tdxdt x cos x(u tdx i cos x(u tdx + ( e ix(u t dxdt. x sin x(u tdx sin x(u t 2 ( dx cos (u t u t (u t 2 cos (u t (u t 2. π π π f(t f(u t cos (u t dt (u t 2 π cos t dt + t 2 π f(u t f(u t cos t f(u + t dt + t 2 π ( cos t f(u + t + f(u t dt. t 2 f(u t cos t dt t 2 cos t dt t 2 cos t dt t 2 cos t + cos t + sin 2 t dt dt dt π t 2 t 2 t 2 2.

17 Οπότε, S (u f(u ( ( cos t f(u + t + f(u t dt π π t 2 2 2f(u ( ( cos t + cos t f(u + t + f(u t dt 2f(u dt π t 2 t 2 ( cos t f(u + t + f(u t 2f(u dt I π t 2 + I 2, όπου και I π δ ( cos t f(u + t + f(u t 2f(u dt t 2 I 2 ( cos t f(u + t + f(u t 2f(u dt π δ t 2 με δ > που θα προσδιορίσουμε σε λίγο. Θεωρούμε ϕ(t f(u + t + f(u t 2f(u Για < δ: όπου πi δ δ δ Φ(t t ϕ(ydy. ( cos t f(u + t + f(u t 2f(u t 2 f(u + t + f(u t 2f(u cos t dt t 2 cos t ϕ(t dt I t 2 + I, I I δ ϕ(t ϕ(t cos t dt t 2 cos t dt. t 2 Το u είναι στο σύνολο Lebesgue της f, άρα h h Άρα h h h f(u t f(u dt h h Φ(t t t t t t dt (.5 h f(u+t f(u dt. Συνεπώς: h f(u + t f(u dt. f(u + y + f(u y 2f(u dy. Έστω ϵ >. Τότε υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε t [, δ] να ισχύει ότι Φ(t ϵt. Αυτό είναι λοιπόν το δ που θα επιλέξουμε. Επειδή cos θ θ2 για κάθε θ, έχουμε ότι: 2 I cos t ϕ(t dt t 2 2 ϕ(tdt 2 Φ( ϵ 2. (.6

18 Επίσης, επειδή cos θ 2 για κάθε θ και επειδή από το Θεώρημα Lebesgue η Φ είναι παραγωγίσιμη σχεδόν παντού με Φ (t ϕ(t, έχουμε ότι: I δ cos t ϕ(t dt t 2 2Φ(δ 2Φ( + 4 δ 2 2Φ(δ δ ϵ δ + 4ϵ δ ( δ Από τις (.5, (.6, (.7, βλέπουμε ότι δ δ ϕ(t 2 t 2 dt 2 Φ(t t 3 dt δ δ Φ (t t 2 dt Φ(t 2ϵ dt t3 δ + 4 ϵ t dt 2 2ϵ δ 4ϵ 2ϵ + 4ϵ + 4ϵ 6ϵ. δ δ (.7 Επίσης, και επειδή δ I 2 π π π δ δ δ ϕ(t t 2 dt πi I + I ϵ 2 + 6ϵ 3 ϵ 2. ( cos t f(u + t + f(u t 2f(u dt t 2 f(u + t + f(u t 2f(u cos t dt t 2 cos t ϕ(t dt ϕ(t 2 t 2 π t dt 2 2 π δ f(u + t + f(u t 2f(u t 2 dt δ 2 4 έχουμε ότι + I 2. Συνεπώς S (u f(u I + I 2 I + I 2 άρα που σημαίνει ότι Άρα sup + sup + S (u f(u sup + δ I + sup I 2 3ϵ + 2π S (u f(u δηλαδή S (u f(u. + + ( 2π x e iux ˆf(xdx f(u. δ ϕ(t t dt 2 f(t dt < +, ΠΟΡΙΣΜΑ 2. Αν f, ˆf L και η f είναι συνεχής στο u, τότε f(u 2π 2 e iux ˆf(xdx.

19 Απόδειξη. Από το Θεώρημα 6, η + 2π e iux ˆf(xdx είναι (C, αθροίσιμη στο f(u. Όμως, αφού ˆf L, έχουμε ότι + e iux ˆf(x dx ˆf(x dx < +, δηλαδή e iux ˆf(x L. Συνεπώς, από το Θεώρημα 5, f(u 2π ΠΟΡΙΣΜΑ 3. Αν f L και αν ˆf(x για κάθε x, τότε f(t για σχεδόν κάθε t. e iux ˆf(xdx. Απόδειξη. Αφού f L, σχεδόν κάθε t ανήκει στο σύνολο Lebesgue της f. Άρα, από το Θεώρημα 6, για σχεδόν κάθε t f(t + 2π ( x e itx ˆf(xdx. ΠΟΡΙΣΜΑ 4. Αν f, g L και αν ˆf(x ĝ(x για κάθε x, τότε f(t g(t για σχεδόν κάθε t. Απόδειξη. Ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης f g είναι ˆf ĝ, που είναι ταυτοτικά. Άρα, από το Πόρισμα 3, f(t g(t για σχεδόν κάθε t. ΘΕΩΡΗΜΑ 7. Αν η f είναι ολοκληρώσιμη στο [, ] για κάθε > και αν +, τότε + π cos (u t f(t dt f(u για σχεδόν κάθε u. (u t 2 Πιο ειδικά, αυτό ισχύει αν η f L ή αν η f είναι φραγμένη στο. Απόδειξη. Περίπτωση : Υποθέτουμε ότι f(t dt < +, δηλαδή ότι f L. Από το Θεώρημα 6, όπου S (u 2π Θεωρήματος 6, άρα f(u + π f(u S (u για σχεδόν κάθε u, + ( x S (u π f(t +t 2 dt < e iux ˆf(xdx. Όμως, όπως δείξαμε στην απόδειξη του Περίπτωση 2: Υποθέτουμε μόνο ότι Για κάθε s > θεωρούμε f(t cos (u t dt, (u t 2 cos (u t f(t dt για σχεδόν κάθε u. (u t 2 f s (t { f(t, f(t +t 2 dt < +. αν t s, αν t > s 3

20 Τότε Συνεπώς, δηλαδή f s L. Οπότε, από την περίπτωση, Άρα + π f s (t + s2 f(t για κάθε t. + t2 f s (t dt ( + s 2 f(t + t < +, 2 cos (u t f s (t dt f (u t 2 s (u για σχεδόν κάθε u. s cos (u t f(t dt f(u για σχεδόν κάθε u [ s, s]. + π s (u t 2 Για u < s: και t s f(t cos (u t (u t 2 t s dt 2 f(t dt < + (u t 2 t s γιατί υπάρχει c > τέτοιο ώστε c. (u t 2 +t 2 Άρα, για u < s cos (u t f(t dt. + t s (u t 2 Οπότε, + π f(t (u t 2 dt cos (u t f(t dt f(u+ f(u για σχεδόν κάθε u < s. (u t 2 Αυτό ισχύει για κάθε s >, άρα + π cos (u t f(t dt f(u για σχεδόν κάθε u. (u t 2.5 Συνέλιξη. ΛΗΜΜΑ 2. Αν f, g L, τότε το ολοκλήρωμα f(x tg(tdt υπάρχει για σχεδόν κάθε x και είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση του x. 4

21 Απόδειξη. Για κάθε t : οπότε f(x t dx f(x tg(t dxdt f(x dx < +, g(t g(t g(t dt f(x t dxdt f(x dxdt f(x dx < +. Συνεπώς, το διπλό ολοκλήρωμα f(x tg(tdxdt συγκλίνει απόλυτα, άρα από το Θεώρημα Fubini το ολοκλήρωμα f(x tg(tdt υπάρχει για σχεδόν κάθε x και είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση του x. ΟΡΙΣΜΟΣ. Αν f, g L και αν h(x f(x tg(tdt όπου ορίζεται το ολοκλήρωμα, λέμε ότι η h είναι η συνέλιξη των f, g. Συμβολίζουμε h f g. ΘΕΩΡΗΜΑ 8. (iγια κάθε f, g L, f g g f. (iiγια κάθε f, g, k L, (f g k f (g k. Απόδειξη. (i (ii (f g(x f(x tg(tdt ( + (f g k (x (f g(x tk(tdt f(sg(x sds g(x sf(sds (g f(x για κάθε x. f(x s f(x t sg(sdsk(tdt f(x sg(s tdsk(tdt f(x sg(s tk(tdtds g(s tk(tdtds f(x s(g k(sds ( f (g k (x για κάθε x. 5

22 ΘΕΩΡΗΜΑ 9. Αν f, g L, τότε f g f g. Απόδειξη. h(x h h(x dx g(t dt f(x tg(tdt (f g(x f(x t g(t dtdx f(x t dx f(x tg(tdtdx g(t dt f g. f(x t g(t dxdt f(x dx ΘΕΩΡΗΜΑ. Έστω f, g L και h f g. Τότε f g ĥ ˆfĝ. Απόδειξη. Για κάθε x : ĥ(x e ixt h(tdt g(u e ixt f(t ug(ududt e ixt f(t ug(udtdu e ix(t+u f(tdtdu g(u ĝ(x ˆf(x. e ixt f(t udtdu g(ue ixu e ixt f(tdtdu.6 Κάποιες σημαντικές ειδικές συναρτήσεις. Δεν υπάρχει d L τέτοια ώστε d f f για κάθε f L. Και αυτό γιατί: Αν υπήρχε, τότε θα ίσχυε d d d. Όμως τότε ( ˆd(x 2 ˆd(x. Άρα, για κάθε x θα ισχύει είτε ˆd(x είτε ˆd(x. Επειδή η ˆd είναι συνεχής, αναγκαστικά θα έχουμε είτε ˆd είτε ˆd. Αφού x ± ˆd(x, αναγκαστικά ˆd(x για κάθε x. Συνεπώς, από το Πόρισμα 3, d(t για σχεδόν κάθε t. Τότε δε γίνεται να ισχύει d f για κάθε f L, αφού για κάθε f που δεν είναι σχεδόν παντού μηδέν δεν γίνεται να ισχύει. Ωστόσο, μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ακολουθία δ, δ 2,... στον L τέτοια ώστε N + δ N f f για κάθε f L. ΟΡΙΣΜΟΣ. (t δ(t π { t, αν t, αν t > cos t t 2, για κάθε t. 6

23 Άρα, δ L. ˆ (x (t dt δ(t dt π π ( t dt 2 2 e ixt (tdt 2 cos t dt t 2 π tdt < +. (sin t 2 dt 2 < +. t 2 (t cos xtdt 2 2(sin t ( t 2 dt 2 sin xt x 2 dt 2cos + 2 2( cos x x x 2 x2 x 2 2πδ(x. ( t cos xtdt Αφού δ, L και η είναι συνεχής στο, από το Πόρισμα 2 έχουμε ότι (u 2π Επειδή (u ( u για κάθε u, έχουμε ότι άρα ˆδ. Για κάθε > : Οπότε αν θεωρήσουμε έχουμε ˆδ. Για x παίρνουμε (u ( x + ( ΘΕΩΡΗΜΑ. Για κάθε > : Τότε δ και ˆδ. e iux ˆ (xdx e iux δ(xdx. e iux δ(xdx, e ix t δ(tdt e ixt δ(tdt. (x ( x, δ (x δ(t, δ(tdt δ (tdt δ. δ (t cos t, για κάθε t π t 2 { x (x, αν x, αν x >. 7

24 ΘΕΩΡΗΜΑ 2. Έστω f L και δ N (t cos Nt για κάθε N N. Τότε π Nt 2 Απόδειξη. Για κάθε N N: (δ N f(u Επειδή f L, από το Θεώρημα 7, N + π δ N f f. N + δ N (u tf(tdt π f(t cos N(u t dt. N(u t 2 cos N(u t f(t dt f(u για σχεδόν κάθε u, N(u t 2 δηλαδή N + (δ N f(u f(u σχεδόν παντού. Από το Λήμμα Fatou, άρα f(x dx inf N f inf N + δ n f. (δ N f(x dx, Από το Θεώρημα, δ N. Από το Θεώρημα 9, δ N f δ N f f. Άρα, sup N + δ N f f. Οπότε, N + δ N f f. Αφού, λοιπόν, N + (δ N f(u f(u σχεδόν παντού και sup N + δ N f f, έχουμε ότι N + δ N f f. Σχόλιο. Από το Θεώρημα, ο μετασχηματισμός Fourier της δ N f είναι ˆδ N ˆf N ˆf, το οποίο μηδενίζεται έξω από το διάστημα [ N, N]. Άρα το Θεώρημα 2 μας δείχνει ότι: Κάθε f L μπορεί να πλησιαστεί όσο θέλουμε κοντά στην L νόρμα από μια συνάρτηση της οποίας ο μετασχηματισμός Fourier μηδενίζεται έξω από κάποιο φραγμένο διάστημα. Όπως δείξαμε πριν, δεν υπάρχει συνάρτηση στον L της οποίας ο μετασχηματισμός Fourier να είναι ταυτοτικά ίσος με τη μονάδα στο. Θα δείξουμε όμως τώρα ότι για κάθε φραγμένο διάστημα [a, b] υπάρχει συνάρτηση στον L της οποίας ο μετασχηματισμός Fourier είναι ταυτοτικά στο [a, b] και ταυτοτικά έξω από ένα λίγο μεγαλύτερο διάστημα. ΘΕΩΡΗΜΑ 3. Δεδομένων πραγματικών αριθμών a < b, h >, υπάρχει ω L τέτοια ώστε {, αν a x b ˆω(x, αν x a h ή x b + h και ˆω γραμμική στα [a h, a] και [b, b + h]. 8

25 Απόδειξη. Παίρνουμε c b a. Από το Θεώρημα, για κάθε > η 2 είναι μετασχηματισμός Fourier. Άρα η συνάρτηση, αν c x c (, αν x c h ή x c + h (c + h c+h c c (x h c + h + x, αν c h < x < c c + h x, αν c < x < c + h είναι ο μετασχηματισμός Fourier κάποιας συνάρτησης ω L. Δηλαδή, ˆω (x h( (c + h c+h (x c c (x {, αν c x c, αν x c h ή x c + h και ˆω γραμμική στα [ c h, c] και [c, c + h]. Τώρα παίρνουμε τη συνάρτηση ω(t e 2 ( (a+bit ω (t. Από το Θεώρημα 2, ˆω(x ˆω x a+b 2. Άρα: ˆω(x, για a x b, ˆω(x, για x a h ή x b + h, και ˆω γραμμική για a h x a και b x b + h. Μια χρήσιμη εφαρμογή αυτού του Θεωρήματος είναι το ακόλουθο αποτέλεσμα. ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Αν f L, ˆf( και ϵ >, τότε υπάρχει h L με τις εξής ιδιότητες: (i h < ϵ (ii ĥ(x ˆf(x για κάθε x σε μια γειτονιά του (iii ĥ(x για κάθε x τέτοιο ώστε ˆf(x. Απόδειξη. Από το Θεώρημα 3, παίρνοντας a, b, μπορούμε να βρούμε ω L τέτοια ώστε ˆω(x για x. Για κάθε > : ω (t ω(t. Τότε ˆω (x ˆω ( x για x. Επειδή ˆf(, f(tdt ˆf(. Συνεπώς ω f (ω f(x ω (x tf(tdt ω (x tf(tdt ω (x ( ω (x t ω (x f(tdt. (ω f(x dx f(t f(t ω (x tf(tdt ω (x t ω (x f(t dxdt f(tdt ω(x t ω(x dxdt ω(x t ω(x dxdt. 9 ω (x t ω (x f(t dtdx

26 Η αλλαγή σειράς ολοκλήρωσης που κάναμε είναι δυνατή, γιατί ω (x t ω (x f(t dtdx < +. Επίσης, για κάθε t : Επιπλέον, Έχουμε λοιπόν με και ( ω (x t f(t dt + ( ω f (xdx + f(t dt ω(x t ω(x dx f(t 2 ω (x f(t dt dx ( ω(x t + ω(x dx ω (x dx + ω(x t dx + ω(x dx ω(x dx 2 ω. ω(x t ω(x dx. ω(x t ω(x dx 2 f(t ω 2 f(t ω dt 2 ω f(t dt < + f(t ω(x t ω(x dx. Άρα, από το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης, f(t. ω(x t ω(x dxdt f(t ω(x t ω(x dxdt Συνεπώς, για το ϵ που έχουμε, υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για < δ να ισχύει f(t ω(x t ω(x dxdt < ϵ. Επιλέγοντας < < δ, έχουμε ω f < ϵ. Για αυτό το λοιπόν παίρνουμε h ω f. Τότε h < ϵ. Από το Θεώρημα, ĥ ˆω ˆf, οπότε για x : ĥ(x ˆf(x και αν ˆf(x, τότε ĥ(x. 2

27 ΘΕΩΡΗΜΑ 5. Υπάρχει g L τέτοια ώστε Απόδειξη. Θεωρούμε τις συναρτήσεις Άρα G L. ĝ(x > για x > ĝ(x για x. g(t, για κάθε t 2π ( + it 2 { xe x, αν x > G(x, αν x G(x dx Ĝ( x ( + ix 2 xe x dx e ixt G(tdt e t(+ix tdt Άρα Ĝ(x 2πg( x. Όπως δείξαμε, G L. Επίσης, Ĝ L, γιατί e t tdt Ĝ(x dx dx ( + ix 2 Η G είναι συνεχής στο. Άρα, από το Πόρισμα 2, G(t 2π e ixt Ĝ(xdx e x dx < +. e ixt te t dt e t t ( + ix 2 dt ( + ix 2 2πg(x. e ixt g( xdx dx π < +. ( + ix 2 e ixt g(xdx ĝ(t. ΠΟΡΙΣΜΑ 5. Για κάθε διάστημα της μορφής (, a] ή [a, + υπάρχει ένας μετασχηματισμός Fourier ο οποίος μηδενίζεται στο διάστημα αυτό, αλλά δεν μηδενίζεται έξω από το διάστημα. Απόδειξη. Από το Θεώρημα 2, η ĝ(x a είναι ο μετασχηματισμός Fourier κάποιας h L. Αυτό μηδενίζεται στο (, a], αλλά όχι έξω από αυτό. Ο μετασχηματισμός Fourier της h( t είναι ĥ( x ĝ(a x, το οποίο μηδενίζεται στο [a, +, αλλά όχι έξω από αυτό. 2

28 .7 Αναλυτικές Συναρτήσεις Μετασχηματισμών Fourier. Στο σημείο αυτό αναρωτιόμαστε: Για ποιες συναρτήσεις ϕ αληθεύει ότι αν ˆf είναι ένας μετασχηματισμός Fourier, τότε και η ϕ( ˆf είναι μετασχηματισμός Fourier; Δηλαδή, για ποιες ϕ ισχύει ότι για κάθε f L υπάρχει g L τέτοια ώστε ϕ ( ˆf(x ĝ(x; Η συνάρτηση ϕ(z z 2 έχει αυτή την ιδιότητα, γιατί ϕ( ˆf ˆf 2 f f. Όμοια, ˆf 3 f f f. Για κάθε n N, η ˆf n είναι μετασχηματισμός Fourier. Οπότε, αν P (z a z + a 2 z a n z n, a i C για i, 2,..., n τότε η P πηγαίνει μετασχηματισμούς Fourier σε μετασχηματισμούς Fourier. ΘΕΩΡΗΜΑ 6. Αν η ϕ(z είναι αναλυτική για z < ϵ, όπου ϵ >, αν ϕ( και αν η h L είναι τέτοια ώστε h < ϵ, τότε η ϕ(ĥ είναι μετασχηματισμός Fourier. Δηλαδή, υπάρχει g L τέτοια ώστε ϕ ( ĥ(x ĝ(x για κάθε x. Απόδειξη. Λόγω υπόθεσης, μπορούμε να γράψουμε τη ϕ ως ϕ(z + k a k z k. Η σειρά συγκλίνει απόλυτα για z < ϵ. Επίσης, ĥ(x h < ϵ για κάθε x. Άρα ϕ ( ĥ(x + k a k (ĥ(x k για κάθε x. Παίρνουμε h h και h k h k h για k 2, 3,... (Δηλαδή, h k h h... h, για k N. Από το Θεώρημα 9, h k h k. Από το Θεώρημα, ĥk(x ( ĥ(x k, για κάθε x. Τώρα, για n m, έχουμε: n a k h k km n a k h k km n a k h k km Αφού h < ϵ, η σειρά + k a k h k συγκλίνει. Συνεπώς, Άρα n a k h k. km n a k h k όταν m, n +. km n m n a k h k a k h k a k h k k k km όταν m, n +, 22

29 δηλαδή η ακολουθία ( n k a kh k είναι Cauchy. Συνεπώς, λόγω της πληρότητας του n N L, υπάρχει g L τέτοια ώστε Οπότε, από το Θεώρημα, n + n a k h k g. n + k n a k ĥ k (x ĝ(x για κάθε x. k Άρα: ĝ(x Δηλαδή ϕ(ĥ ĝ. + k a k ĥ k (x + k a k (ĥ(x k ϕ (ĥ(x για κάθε x. ΠΟΡΙΣΜΑ 6. Αν ϕ( και αν η ϕ είναι αναλυτική σε όλο το μιγαδικό επίπεδο, τότε η ϕ απεικονίζει μετασχηματισμούς Fourier σε μετασχηματισμούς Fourier. Τώρα θα δούμε ένα σημαντικό αποτέλεσμα που οφείλεται στους Helson και Kahane. ΘΕΩΡΗΜΑ 7. Υποθέτουμε ότι ψ( και ότι η ψ ορίζεται στο [, ]. Αν ψ( ˆf είναι μετασχηματισμός Fourier όποτε η ˆf είναι μετασχηματισμός Fourier του οποίου το εύρος περιέχεται στο [, ], τότε η ψ συμπίπτει στο [, ] με μια συνάρτηση αναλυτική σε κάθε σημείο μιας περιοχής που περιέχεται στο [, ]. Η απόδειξη αυτού του Θεωρήματος είναι πέρα από τους σκοπούς μας. Για λόγους απλότητας, μεταχειριστήκαμε την ερώτηση ποιες συναρτήσεις απεικονίζουν μετασχηματισμούς Fourier σε μετασχηματισμούς Fourier με στοιχειώδη θεωρία μιγαδικών συναρτήσεων. Θα μπορούσαμε να θέσουμε και άλλες συνθήκες, που θα ήταν πιο κοντά στο ικανό και αναγκαίο, δεν θα ήταν όμως χρήσιμο στη συνέχεια. Στο Θεώρημα 6 και στο Πόρισμα 6, η υπόθεση ϕ( είναι ουσιώδης. Αν Q(z a + P (z a + a z + a 2 z a n z n με a, τότε για καμία f L δεν είναι η Q( ˆf μετασχηματισμός Fourier. Όπως δείξαμε στην αρχή της ενότητας, η P ( ˆf είναι μετασχηματισμός Fourier, άρα από το Θεώρημα 3 Συνεπώς, P ( ˆf(x. x ± Q( ˆf(x a + P ( ˆf(x a. x ± x ± Η Q( ˆf δεν μηδενίζεται στο ±, άρα δεν μπορει να είναι μετασχηματισμός Fourier. Ωστόσο, στο Θεώρημα 3 δείξαμε ότι για δεδομένο διάστημα [a, b] πεπερασμένου μήκους, υπάρχει ω L τέτοια ώστε ˆω(x για κάθε x [a, b]. Οπότε, αν η Q είναι της 23

30 μορφής που είπαμε παραπάνω, τότε για κάθε f L η Q( ˆf συμπίπτει στο [a, b] με κάποιο μετασχηματισμό Fourier. Πράγματι, Q ( ˆf(x aˆω(x + P ( ˆf(x για κάθε x [a, b] δηλαδή στο [a, b] η Q( ˆf συμπίπτει με το μετασχηματισμό Fourier a ˆω + P ( ˆf. Μπορούμε επίσης να ρωτήσουμε το εξής: Έστω [a, b] διάστημα πεπερασμένου μήκους. Ποιες συναρτήσεις ϕ έχουν την ιδιότητα η ϕ( ˆf να συμπίπτει στο [a, b] με έναν μετασχηματισμό Fourier όποτε η ˆf είναι μετασχηματισμός Fourier; Όπως δείξαμε, κάθε πολυωνυμική συνάρτηση έχει αυτή την ιδιότητα. ΘΕΩΡΗΜΑ 8. Έστω ϕ(z αναλυτική σε κάθε σημείο ενός ανοικτού συνεκτικού συνόλου D του μιγαδικού επιπέδου. Έστω [a, b] κλειστό φραγμένο διάστημα. Τότε, αν f L και ˆf(x D για κάθε x [a, b], τότε υπάρχει g L τέτοια ώστε ϕ ( ˆf(x ĝ(x για κάθε x [a, b]. Δηλαδή, στο [a, b] η ϕ( ˆf συμπίπτει με ένα μετασχηματισμό Fourier. Για να αποδείξουμε το Θεώρημα αυτό θα αναφέρουμε ένα τοπικό αποτέλεσμα, θα δειξουμε ότι για να το αποδείξουμε αρκεί να αποδείξουμε μια ειδική περίπτωση, θα αποδείξουμε την ειδική περίπτωση και τέλος με ένα επιχείρημα συμπάγειας θα οδηγηθούμε από το τοπικό αποτέλεσμα στο Θεώρημα που θέλουμε να αποδείξουμε. ΘΕΩΡΗΜΑ 9. Αν f L, ˆf(a b και ϕ(z αναλυτική στο b, τότε υπάρχει g L τέτοια ώστε ϕ ( ˆf(x ĝ(x για κάθε x σε κάποια γειτονιά του a. Σχόλιο. Αρκεί να αποδείξουμε το Θεώρημα 9 για την περίπτωση a. Ας υποθέσουμε ότι η περίπτωση αυτή έχει αποδειχθεί και ότι a. Από το Θεώρημα 2, αν f (t e iat f(t, τότε ˆf (x ˆf(x + a. Ειδικότερα, ˆf ( ˆf(a b. Η περίπτωση a συνεπάγεται την ύπαρξη κάποιας g L τέτοιας ώστε ϕ ( ˆf (x ĝ (x για κάθε x σε κάποια γειτονιά N του. Θέτοντας g(t e iat g (t, έχουμε ĝ(x ĝ (x a ϕ ( ˆf (x a ϕ ( ˆf(x για κάθε x σε κάποια γειτονιά N a του a. Άρα το Θεώρημα 9 ισχύει και αν a. Άρα θα ασχοληθούμε μόνο με την απόδειξη της περίπτωσης a. Σχόλιο. Αρκεί να αποδείξουμε το Θεώρημα 9 για την περίπτωση b. Ας υποθέσουμε ότι η περίπτωση αυτή έχει αποδειχθεί και ότι b. Έστω ˆf (x ˆf(x bˆω(x, όπου η ω είναι συνάρτηση τέτοια ώστε ˆω(x για x. (Την ύπαρξη τέτοιας συνάρτησης την αποδείξαμε στο Θεώρημα 3. Επίσης έστω ψ(z ϕ(z + b. Αφού ˆf ( ˆf( bˆω( b b και η ψ(z είναι αναλυτική στο, η περίπτωση b συνεπάγεται την ύπαρξη κάποιας g L τέτοιας ώστε ψ ( ˆf (x ĝ(x για κάθε x σε κάποια γειτονιά N του. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι N [, ]. Τότε, για x N έχουμε ϕ ( ˆf(x ψ ( ˆf(x b ψ ( ˆf(x bˆω(x ψ ( ˆf (x ĝ(x. Άρα το Θεώρημα 9 ισχύει και αν b. Άρα θα ασχοληθούμε μόνο με την απόδειξη της περίπτωσης b. 24

31 Σχόλιο. Αρκεί να αποδείξουμε το Θεώρημα 9 για την περίπτωση ϕ(. Ας υποθέσουμε ότι η περίπτωση αυτή έχει αποδειχθεί και ότι ϕ(. Έστω ψ(z ϕ(z ϕ(. Αφού ψ(, η περίπτωση ϕ( συνεπάγεται την ύπαρξη κάποιας g L τέτοιας ώστε ψ ( ˆf(x ĝ (x για κάθε x σε κάποια γειτονιά N του. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι το N είναι φραγμένο. Οπότε, από το Θεώρημα 3, υπάρχει ω L τέτοια ώστε ˆω(x για κάθε x N. Θέτοντας ĝ ĝ + ϕ(ˆω, έχουμε για κάθε x N : ϕ ( ˆf(x ψ ( ˆf(x + ϕ( ψ ( ˆf(x + ϕ(ˆω(x ĝ (x + ϕ(ˆω(x ĝ(x. Έτσι, το Θεώρημα 9 ισχύει και αν ϕ(. Άρα θα ασχοληθούμε μόνο με την απόδειξη της περίπτωσης ϕ(. Συνεπώς, η απόδειξη του Θεωρήματος 9 ανάγεται στην απόδειξη του ακόλουθου Θεωρήματος. ΘΕΩΡΗΜΑ 2. Αν f L, ˆf(, ϕ( και η ϕ(z είναι αναλυτική στο, τότε υπάρχει g L τέτοια ώστε ϕ ( ˆf(x ĝ(x για κάθε x σε κάποια γειτονιά του. Απόδειξη. Από την υπόθεση, υπάρχει ϵ > τέτοιο ώστε η ϕ να είναι αναλυτική για z < ϵ. Από το Θεώρημα 4, μπορούμε να βρούμε h L τέτοια ώστε h < ϵ και ˆf(x ĥ(x για κάθε x σε κάποια γειτονιά N του. Καθώς h < ϵ, το Θεώρημα 6 συνεπάγεται την ύπαρξη κάποιας g L τέτοιας ώστε ϕ ( ĥ(x ĝ(x για κάθε x. Έτσι, για x N έχουμε: ϕ ( ˆf(x ϕ (ĥ(x ĝ(x. Τώρα μπορούμε να αποδείξουμε το Θεώρημα 8. Απόδειξη. (Θεώρημα 8 Από το Θεώρημα 9, κάθε x [a, b] περιέχεται σε ένα ανοιχτό διάστημα όπου η ϕ( ˆf συμπίπτει με κάποιο μετασχηματισμό Fourier. Σύμφωνα με το θεώρημα Heine-Borel, ένας πεπερασμένος αριθμός από αυτά τα διαστήματα καλύπτει το [a, b]. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι κανένα από αυτά τα διαστήματα δεν περιέχει κάποιο άλλο. Τώρα έστω (a, b, (a 2, b 2 δύο από αυτά τα διαστήματα τα οποία έχουν κοινό σημείο. Υποθέτουμε ότι a < a 2 < b < b 2. Επιλέγουμε g, g 2 L τέτοιες ώστε ϕ ( ĥ(x ĝ (x αν a < x < b ϕ ( ĥ(x ĝ 2 (x αν a 2 < x < b 2. Αυτό συνεπάγεται ότι ĝ (x ĝ 2 (x για x (a 2, b και ως εκ τούτου για x [a 2, b ]. Από το Θεώρημα 3, μπορούμε να βρούμε ω, ω 2 L τέτοιες ώστε ˆω (x αν a x a 2 ˆω (x αν b x b 2 25

32 ˆω 2 (x αν b x b 2 ˆω 2 (x αν a x a 2 και ˆω, ˆω 2 γραμμικές στο [a 2, b ]. Έστω τώρα ˆθ ˆω ĝ + ˆω 2 ĝ 2. Τότε Αν x (a, a 2, έχουμε ˆθ(x ˆω (xĝ (x + ˆω 2 (xĝ 2 (x ˆω (xĝ (x + ĝ (x ϕ ( ˆf(x. Αν x (a 2, b, έχουμε ˆθ(x ˆω (xĝ (x + ˆω 2 (xĝ 2 (x (ˆω (x + ˆω 2 (x ĝ (x ĝ (x ϕ ( ˆf(x. Αν x (b, b 2, έχουμε ˆθ(x ˆω (xĝ (x + ˆω 2 (xĝ 2 (x ˆω 2 (xĝ 2 (x + ĝ 2 (x ϕ ( ˆf(x. Άρα, ϕ ( ˆf(x ˆθ(x για a < x < b 2. Δηλαδή, η ϕ( ˆf συμπίπτει με ένα μετασχηματισμό Fourier στο (a, b 2. Επαναλαμβάνοντας αυτό το επιχείρημα ένα πεπερασμένο πλήθος φορών (τόσο ώστε να φτάσουμε στην ένωση όλων των διαστημάτων που επιλέξαμε που καλύπτουν το [a, b] ολοκληρώνεται η απόδειξη. Σχόλιο. Η μόνη ιδιότητα του [a, b] που χρησιμοποιήθηκε στην απόδειξη του Θεωρήματος 8 ήταν το γεγονός ότι από κάθε κάλυψη του [a, b] από ανοικτά διαστήματα μπορούμε να εξάγουμε ένα πεπερασμένο αριθμό διαστημάτων που ακόμα αποτελούν κάλυψη. Έτσι, το Θεώρημα 8 συνεχίζει να ισχύει αν αντικαταστήσουμε το [a, b] από οποιοδήποτε σύνολο πραγματικών αριθμών με αυτή την ιδιότητα, δηλαδή οποιοδήποτε συμπαγές σύνολο. Αν εφαρμόσουμε το Θεώρημα 8 για κάποιο συμπαγές σύνολο και για ϕ(z z, παίρνουμε το ακόλουθο Πόρισμα που θα χρησιμοποιήσουμε πολλές φορές στη συνέχεια. ΠΟΡΙΣΜΑ 7. Έστω K συμπαγές σύνολο πραγματικών αριθμών. Αν f L και ˆf(x για κάθε x K, τότε υπάρχει g L τέτοια ώστε ˆf(x ĝ(x για κάθε x K..8 Κλειστότητα των μεταφορών στον L. Πρώτος ο Wiener έδειξε μια σχέση ανάμεσα στο σύνολο των γραμμικών συνδυασμών των μεταφορών μιας συνάρτησης f L και του μετασχηματισμού Fourier της f. Το αρχικό του αποτέλεσμα είχε πολλά ενδιαφέροντα αποτελέσματα, κάποια από τα οποία θα αναλύσουμε στο Κεφάλαιο 3. Σε αυτή την ενότητα θα δώσουμε μια απόδειξη του Θεωρήματος του Wiener. ΟΡΙΣΜΟΣ. Αν E L, τότε με Ē θα συμβολίζουμε την κλειστότητα του E στον L. Δηλαδή, αν f L, τότε f Ē αν, για δεδομένο ϵ >, υπάρχει g E τέτοια ώστε f g ϵ. Αν E Ē λέμε ότι το E είναι κλειστό. 26

33 Έτσι, f Ē αν και μόνο αν υπάρχουν f, f 2,... E τέτοιες ώστε n + f f n. Προφανώς, E Ē και Ē Ē. ΟΡΙΣΜΟΣ. Αν f L, τότε με T f θα συμβολίζουμε το σύνολο όλων των h L τέτοιων ώστε η h να είναι πεπερασμένος γραμμικός συνδυασμός μεταφορών της f. Δηλαδή, h T f αν h(x n a k f(x + c k k για κάθε x για κάποιο n N, c k για κάθε k, 2,..., n, a k C για κάθε k, 2,..., n. Έτσι, αν f L, το υποσύνολο T f του L ορίζεται από τους δύο παραπάνω ορισμούς. Η ερώτηση που θα μας απασχολήσει είναι: Για ποιες f L ο T f αποτελεί όλο τον L ; Θα χρησιμοποιήσουμε τα ακόλουθα: (i Αν g, g 2 T f, τότε (a g + a 2 g 2 T f γα κάθε a, a 2 C. (ii Αν g T f και αν, για κάποιο c, g (x g(x + c για κάθε x, τότε g T f. (iii Αν g T f, τότε T g T f. ΘΕΩΡΗΜΑ 2. (Wiener Αν f L και ˆf(x για κάθε x, τότε T f L. Θα δώσουμε μια απόδειξη του Θεωρήματος Wiener στο τέλος της ενότητας. Σημείωση. Μπορούμε να δούμε ότι υπάρχει συνάρτηση f L της οποίας ο μετασχηματισμός Fourier δεν μηδενίζεται. Πράγματι, αν f(t e t2 για κάθε t, τότε ˆf(x για κάθε x, που δεν είναι ποτέ. e ixt e t2 dt e x2 4 e t2 dt e x2 4 π Πριν ξεκινήσουμε να αποδείξουμε το Θεώρημα Wiener, θα αποδείξουμε ένα θεώρημα από το οποίο εύκολα προκύπτει το αντίστροφο του Θεωρήματος Wiener. ΘΕΩΡΗΜΑ 22. Αν f L και ˆf(λ, τότε ĝ(λ για κάθε g T f. Απόδειξη. Υποθέτουμε αρχικά ότι h T f, δηλαδή ότι h(t n k a kf(t + c k για κάθε t, για κάποιο n N. Τότε, από το Θεώρημα 2, ο μετασχηματισμός Fourier της h είναι n ĥ(x a k e ic kx ˆf(x. Οπότε, αν h T f, έχουμε ĥ(λ. Τώρα, αν g T f, τότε υπάρχει ακολουθία g, g 2,... στον T f τέτοια ώστε k g g n. n + Από το Θεώρημα, ĝ(λ n + ĝ n (λ. Όμως, αφού g n T f για κάθε n N, έχουμε ότι ĝ n (λ για κάθε n N. Άρα, ĝ(λ. 27

34 ΘΕΩΡΗΜΑ 23. (Αντίστροφο του Θεωρήματος Wiener Αν f L και αν T f L, τότε ˆf(x για κάθε x. Απόδειξη. Έστω ότι υπάρχει λ τέτοιο ώστε ˆf(λ. Από το Θεώρημα 3, υπάρχει ω L τέτοια ώστε ˆω(λ. Όμως τότε, από το Θεώρημα 22, δεν γίνεται να ισχύει ότι ω T f. Αυτό είναι άτοπο, καθώς T f L. Άρα ˆf(x για κάθε x. Πριν αποδείξουμε το Θεώρημα Wiener χρειαζόμαστε κάποια προκαταρκτικά αποτελέσματα. ΘΕΩΡΗΜΑ 24. Έστω f L. Αν g T f και h L, τότε g h T f. Απόδειξη. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ούτε η g ούτε η h είναι η μηδενική συνάρτηση. Έστω H g h, έτσι ώστε H(x g(x th(tdt για σχεδόν κάθε x. Δεδομένου ϵ >, επιλέγουμε N τέτοιο ώστε h(t dt ϵ 2 g και παίρνουμε Τότε οπότε H H N H N (x N N H(x H N (x t N t N t N g(x th(tdt για σχεδόν κάθε x. t N g(x th(tdt H(x H N (x dx t N g(x t h(t dtdx για σχεδόν κάθε x g(x th(tdtdx t N t N h(t g(x t dxdt h(t t N h(t g dt g h(t dt ϵ 2. Άρα H H N ϵ. 2 Επίσης, ξέρουμε ότι υπάρχει δ > τέτοιο ώστε αν y δ τότε Επιλέγουμε διαμέριση του [ N, N] t N g(x y g(x dx g(x t h(t dxdt ϵ 2 h. g(x dxdt N t < t <... < t n N τέτοια ώστε t k t k δ για κάθε k, 2,..., n. 28

35 Τότε έχουμε H N (x N N g(x th(tdt n k tk t k g(x th(tdt. Παίρνουμε h N (x Τότε προφανώς h N T g. Επιπλέον, n k tk g(x t k h(tdt. t k H N (x h N (x n k tk t k ( g(x t g(x tk h(tdt. Οπότε H N h N n tk k tk n k tk n k tk n k t k tk n ( g(x t g(x tk h(tdtdx t k t k g(x t g(x tk h(t dtdx t k g(x t g(x tk h(t dtdx t k h(t k g(x t g(x t k h(t dxdt g(x t g(x tk dxdt. Αν t k t t k, τότε t t k δ, άρα Άρα g(x t g(x tk dx g(x t + tk g(x dx H N h N n k tk ϵ 2 h Δηλαδή H N h N ϵ 2. Οπότε ϵ h(t dt ϵ t k 2 h 2 h N N h(t dt ϵ 2 h n k tk H h N H H N + H N h N ϵ. Καθώς το ϵ ήταν τυχαίο και h N T g, έχουμε ότι H T g. Όμως, από υπόθεση, g T f, άρα T g T f. Άρα H T f. t k h(t dt h(t dt ϵ 2. ϵ 2 h. 29

36 Τώρα μπορούμε να δείξουμε ότι, αν f L, τότε η T f θα περιέχει όλο τον L εάν η T f περιέχει την ακολουθία δ N όπως ορίστηκε στην ενότητα.6. ΘΕΩΡΗΜΑ 25. Αν f L και αν δ N T f για κάθε N, 2,..., τότε T f L. Απόδειξη. Για κάθε h L, λόγω του Θεωρήματος 24, Όμως, από το Θεώρημα 2, Άρα h T f T f. Οπότε L T f, άρα L T f. δ N h T f για κάθε N N. δ N h h. N + ΘΕΩΡΗΜΑ 26. Αν f L και αν ˆf(x για κάθε x, τότε δ N N N. T f για κάθε Απόδειξη. Έστω N N. Λόγω της υπόθεσης, η ˆf δεν μηδενίζεται στο [ N, N]. Από το Πόρισμα 7, υπάρχει g L τέτοια ώστε ˆf(x ĝ(x για κάθε x [ N, N]. Επίσης, από το Θεώρημα ξέρουμε ότι N ˆδ N για κάθε N N. Οπότε N (x ˆf(x N (xĝ(x για κάθε x. Άρα N (x ˆf(x N (xĝ(x για κάθε x. Από το Θεώρημα, η ˆf N ĝ είναι ο μετασχηματισμός Fourier της f δ N g. Λόγω της μοναδικότητας του μετασχηματισμού Fourier, δ N f δ N g. Η f T f και δ N g L, άρα από το Θεώρημα 24 δ N T f. Τώρα είναι αρκετά εύκολο να αποδείξουμε το Θεώρημα Wiener. Απόδειξη. (του Θεωρήματος 2 Αν ˆf(x για κάθε x, τότε από το Θεώρημα 26 ξέρουμε ότι δ N T f για κάθε N N. Άρα, από το Θεώρημα 25, T f L. 3

37 .9 Αλγεβρική αναδιατύπωση Η έννοια μιας μεταθετικής άλγβρας Banach είναι θεμελιώδης για μεγάλο κομμάτι της σύγχρονης αρμονικής ανάλυσης. Σε αυτή την ενότητα θα αναδιατυπώσουμε κάποια από τα προηγούμενα αποτελέσματα με όρους ιδεωδών σε μια μεταθετική άλγεβρα Banach. ΟΡΙΣΜΟΣ. Αν στη μεταθετική άλγεβρα A υπάρχει ορισμένη νόρμα. τέτοια ώστε (i, όπου το μηδενικό στοιχείο της A, (ii a >, αν a A, a, (iii λa λ a, αν a A, λ C, (iv a b a + b, αν a, b A, η πρόσθεση στην A, (v a b a b, αν a, b A, ο πολλαπλασιασμός στην A, τότε η A ονομάζεται μεταθετική άλγεβρα με νόρμα. Αν επιπλέον η A είναι πλήρης ως προς τη νόρμα, δηλαδή αν για κάθε ακολουθία a, a 2,... στην A με m,n + a m a n υπάρχει a A τέτοιο ώστε n + a n a, τότε η A ονομάζεται μεταθετική άλγεβρα Banach. Θεωρούμε τώρα το χώρο L. Τότε, με πρόσθεση τη γνωστή μας πρόσθεση συναρτήσεων και πολλαπλασιασμό τη συνέλιξη συναρτήσεων, ο L είναι μεταθετική άλγεβρα. Επιπλέον, βασιζόμενοι σε όσα έχουμε ήδη δει, μπορούμε να αποδείξουμε το παρακάτω θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ 27. Ο L (με νόρμα την. και πολλαπλασιασμό τη συνέλιξη είναι μεταθετική άλγεβρα Banach. ΟΡΙΣΜΟΣ. Αν η A είναι μεταθετική άλγεβρα και I A, λέμε ότι το I είναι ιδεώδες του A αν (iτο I είναι άλγεβρα ως προς τις πράξεις του A, και (iig h I γαι κάθε g I, h A. Τα A, είναι ιδεώδη του A. Κάθε άλλο ιδεώδες του A, εκτός των A,, λέγεται γνήσιο. Ένα γνήσιο ιδεώδες M του A λέγεται μεγιστικό αν το M δεν περιέχεται σε κανένα γνήσιο ιδεώδες του A εκτός από το ίδιο το M. ΘΕΩΡΗΜΑ 28. Αν I ιδεώδες του L, τότε η κλειστότητα του I (Ī είναι επίσης ιδεώδες του L. Απόδειξη. Αρχικά, πρέπει να δείξουμε ότι η Ī είναι μεταθετική άλγεβρα. Έστω f, g Ī και λ, µ C. Τότε υπάρχει ακολουθία f, f 2,... στο I τέτοια ώστε n + f n f και ακολουθία g, g 2,... στο I τέτοια ώστε n + g n g. Αφού το I είναι ιδεώδες, έχουμε ότι λf n + µg n I για κάθε n N. Επίσης, (λf n + µg n (λf + µg λ f n f + µ g n g για κάθε n N, άρα n + (λf n + µg n (λf + µg. Συνεπώς, λf + µg Ī. Οι υπόλοιπες ιδιότητες μιας μεταθετικής άλγεβρας ισχύουν διότι Ī L. Άρα η Ī είναι μεταθετική άλγεβρα. Έστω τώρα g Ī, h L. Τότε υπάρχει ακολουθία g, g 2,... στην I τέτοια ώστε n + g n g. Οπότε, g n h g h (g n g h g n g h. Αφού h < +, καθώς h L, και n + g n g, όπως είδαμε προηγουμένως, συμπεραίνουμε ότι n + g n h g h. Επίσης, για κάθε n N, έχουμε 3

38 ότι g n I, h L, άρα g n h I, γιατί το I είναι ιδεώδες. Συνεπώς, g h Ī. Άρα το Ī είναι ιδεώδες του L. ΘΕΩΡΗΜΑ 29. Αν το M είναι μεγιστικό ιδεώδες του L, τότε είτε το M είναι κλειστό είτε M L. Απόδειξη. Από το Θεώρημα 28, αφού το M είναι ιδεώδες, και το M είναι ιδεώδες. Επίσης M M. Αν M M, τότε το M είναι κλειστό. Αν M M, το γεγονός ότι το M είναι μεγιστικό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το M δεν είναι γνήσιο ιδώδες, δηλαδή M L. Οπότε, το M είναι κλειστό ή M L. Τώρα θα δείξουμε ότι τα υποσύνολα T f στα οποία αναφερθήκαμε στην προηγούμενη ενότητα είναι ιδεώδη στην άλγεβρα L. ΘΕΩΡΗΜΑ 3. Αν f L, τότε το T f είναι κλειστό ιδεώδες στον L. Απόδειξη. Καθώς T f T f, προφανώς το T f είναι κλειστό. Αν g T f, h L, τότε, από το Θεώρημα 24, έχουμε ότι g h T f. Όλες οι υπόλοιπες ιδιότητες ενός ιδεώδους είναι αποδεδειγμέν ήδη ότι ισχύουν για το T f, άρα είναι ένα κλειστό ιδεώδες στον L. Δείξαμε, λοιπόν, ότι κάθε σύνολο T f είναι κλειστό ιδεώδες στον L. Αυτό που δεν έχουμε δείξει ακόμα είναι αν κάθε κλειστό ιδεώδες στον L είναι της μορφής T f για κάπια f L. Έχοντας δείξει ότι το T f είναι κλειστό ιδεώδες που περιέχει την f, τώρα θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι είναι το μικρότερο με αυτή την ιδιότητα. ΘΕΩΡΗΜΑ 3. Αν f L και I οποιοδήποτε κλειστό ιδεώδες του L που περιέχει την f, τότε T f I. Απόδειξη. Έστω g(x f(x + a για κάποιο a, για κάθε x. Πρώτα θα δείξουμε ότι g I. Για κάθε N N παίρνουμε δ a N (x δ N(x + a, όπου δ N όπως ορίστηκε στο Θεώρημα. Τότε, για κάθε x : (δ a N f(x (δ N g(x δ a N(x tf(tdt δ N (x tf(t + adt δ N (x + a tf(tdt δ N (x tg(tdt άρα δn a f δ N g. Αφού f I, δn a L και το I είναι ιδεώδες, δn a f I, άρα και δ N g I. Όπως είχαμε αποδείξει στο Θεώρημα 2, δ N g g όταν N +, άρα g Ī. Το γεγονός ότι το I είναι κλειστό μας δείχνει ότι τελικά g I. Έτσι συμπεραίνουμε ότι κάθε μεταφορά της f είναι στο I, άρα T f I. Λόγω του ότι το I είναι κλειστό, έχουμε ότι T f I. Τώρα μπορούμε να ορίσουμε τον ακόλουθο ενδιαφέροντα χαρακτηρισμό για τα κλειστά ιδεώδη στον L. 32

39 ΟΡΙΣΜΟΣ. Το J L λέγεται γραμμικός υπόχωρος του L αν για κάθε f, g L, af + bg J για κάθε a, b C. ΘΕΩΡΗΜΑ 32. Έστω I L. Τα επόμενα είναι ισοδύναμα: (Το I είναι κλειστό ιδεώδες του L. (2Το I είναι κλειστός γραμμικός υπόχωρος του L με την ιδιότητα ότι αν f I, τότε κάθε μεταφορά της F είναι επίσης στο I. Απόδειξη. ( (2: Το συμπέρασμα αυτό συνάγεται άμεσα από το Θεώρημα 3. (2 (: Υποθέτουμε ότι το (2 αληθεύει και παίρνουμε g I, h L. Τότε, T g I. Καθώς το I είναι κλειστό, T g I. Από το Θεώρημα 3, το T g είναι ιδεώδες, άρα g h T g. Συνεπώς g h I. Άρα το I είναι ιδεώδες του L. Τώρα θα ξεκινήσουμε να προσδιορίσουμε τι είναι τα κλειστά μεγιστικά ιδεώδη στον L. ΟΡΙΣΜΟΣ. Για κάθε λ, συμβολίζουμε με M λ το σύνολο όλων των f L για τις οποίες ˆf(λ. ΘΕΩΡΗΜΑ 33. Κάθε M λ είναι κλειστό μεγιστικό ιδεώδες του L. Απόδειξη. Αρχικά θα δείξουμε ότι το M λ είναι κλειστό. Έστω f M λ. Τότε υπάρχει ακολουθία f, f 2,... στον M λ τέτοια ώστε n + f n f. Τότε, όπως δείξαμε στο Θεώρημα, n + ˆfn (λ ˆf(λ. Αφού f n M λ, έχουμε ότι ˆf n (λ, άρα ˆf(λ. Οπότε f M λ. Ως εκ τούτου, Mλ M λ, άρα το M λ είναι κλειστό. Τώρα θα δείξουμε ότι το M λ είναι ιδεώδες του L. Έστω g M λ, h L. Τότε (g h(λ ĝ(λĥ(λ ĥ(λ άρα g h M λ. Το ότι το M λ είναι άλγεβρα ως προς τις πράξεις του L αποδεικνύεται εύκολα. Συνεπώς το M λ είναι ιδεώδες στον L. Τέλος, θα δείξουμε ότι το M λ είναι μεγιστικό ιδεώδες. Έστω M ιδεώδες του L τέτοιο ώστε M M λ, M M λ. Θα αποδείξουμε ότι M L. Καθώς M M λ, υπάρχει g M τέτοια ώστε ĝ(λ. Για κάθε h L, μπορούμε να γράψουμε ĥ(x ĥ(λ ĝ(x + ĥ(x ĝ(λ με ĥ(λ ĥ(λ ĥ(λ ĝ(λĝ(λ. Άρα h M λ, οπότε και h M. Αφού g M, συμπεραίνουμε ότι h M. Συνεπώς, L M. Οπότε το M λ είναι μεγιστικό ιδεώδες. 33

40 Αυτό που δείξαμε, λοιπόν, είναι ότι σε κάθε λ αντιστοιχεί ένα κλειστό μεγιστικό ιδεώδες M λ. Θα δούμε τώρα ότι αν λ λ 2, τότε M λ M λ2. Αν έχουμε λ λ 2, μπορούμε να βρούμε συνάρτηση ω L με ω M λ και ω / M λ2. Ας θεωρήσουμε ότι λ < λ 2. Τότε, από το Θεώρημα 3, υπάρχει ω L τέτοια ώστε και Άρα: Άρα M λ M λ2. ˆω(x αν x < λ + λ 2 2 ˆω(x αν λ 2 x λ 2 +. ˆω(λ, συνεπώς ω M λ ˆω(λ 2, συνεπώς ω / M λ2. Τα επόμενα δύο Θεωρήματα μας δείχνουν ότι τα M λ είναι όλα τα κλειστά μεγιστικά ιδεώδη του L. ΘΕΩΡΗΜΑ 34. Αν το I είναι ένα γνήσιο κλειστό ιδεώδες του L, τότε I M λ για κάποιο λ. Απόδειξη. Ας υποθέσουμε ότι το I δεν περιέχεται σε κανένα M λ. Θα δείξουμε ότι τότε I L, δηλαδή δεν είναι γνήσιο ιδεώδες, το οποίο θα είναι άτοπο. Έστω N N. Αφού το I δεν περιέχεται σε κανένα M λ, για κάθε λ [ N, N] υπάρχει f λ I τέτοια ώστε ˆf λ (λ. Αν g λ (t f λ ( t, τότε ĝ λ (x e ixt g λ (tdt e ixt f λ (tdt ˆf λ (x e ixt f λ ( tdt άρα ĝ λ ˆf λ. Παίρνω h λ g λ f λ. Τότε, αφού f λ I και I ιδεώδες, h λ I. Επίσης ĥ λ ĝ λ ˆfλ ˆf λ ˆfλ ˆf λ 2. Άρα ĥλ(x για κάθε x και ĥλ(λ ˆf λ (λ 2 >. Οπότε ĥλ(x > για κάθε x σε μια γειτονιά N λ του λ, αφού η ĥλ είναι συνεχής. Το σύνολο αυτών των N λ για όλα τα λ [ N, N] αποτελεί κάλυψη του [ N, N]. Επειδή, όμως το [ N, N] είναι συμπαγές, μπορει να καλυφθεί από πεπερασμένου πλήθους τέτοιες γειτονιές N λ, N λ2,..., N λn. Θεωρούμε τώρα h h λ + h λ h λn. Τότε h I και ĥ(x > για κάθε x [ N, N]. Από το Πόρισμα 7, υπάρχει k L τέτοια ώστε ĥ(x ˆk(x για κάθε x [ N, N]. 34

41 Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με την N ˆδ N όπως ορίστηκε στο Θεώρημα, έχουμε N (x N (xˆk(x για κάθε x. ĥ(x Άρα, N ĥˆk N, δηλαδή δ N h k δ N. Αφού h I, h k δ N I, δηλαδή δ N I. Έτσι βλέπυμε ότι δ N I για κάθε N N. Έστω τώρα f L. Από το Θεώρημα 2, N + δ N f f. Επίσης, δ N f I για κάθε N N. Επειδή το I είναι κλειστό, f I. Άρα L I. Συνεπώς I L, που είναι άτοπο. ΘΕΩΡΗΜΑ 35. Έστω M κλειστό μεγιστικό ιδεώδες του L. Τότε M M λ για κάποιο λ. Δηλαδή, τα M λ περιλαμβάνουν όλα τα κλειστά μεγιστικά ιδεώδη του L. Απόδειξη. Από το Θεώρημα 34, M M λ για κάποιο λ. Άρα, αφού το M ειναι μεγιστικό, M M λ. Έχουμε, λοιπόν, μια - αντιστοιχία μεταξύ των πραγματικών αριθμών και του συνόλου όλων των μεγιστικών ιδεωδών του L. Σχόλιο. Το γεγονός ότι κάθε γνήσιο κλειστό ιδεώδες του L περιέχεται σε ένα μεγιστικό ιδεώδες, όπως δείξαμε στο Θεώρημα 34, μπορεί να θεωρηθεί ως μια αναδιατύπωση του Θεωρήματος του Wiener. Αν f L, τότε το T f, που από το Θεώρημα 3 είναι κλειστό ιδεώδες, είναι όλος ο L αν η ˆf δεν μηδενίζεται ποτέ, δηλαδή αν το T f δεν περιέχεται σε κανένα μεγιστικό ιδεώδες. Τώρα υποθέτουμε ότι, για κάποια f L, το T f είναι γνήσιο ιδεώδες. Τότε περιέχεται σε ένα ή περισσότερα από τα μεγιστικά ιδεώδη M λ. Αν πάρουμε την τομή των μεγιστικών ιδεωδών M λ που περιέχουν το T f, παίρνουμε ένα ιδεώδες που περιέχει το T f. Τώρα η ερώτηση είναι: Ποιες f L έχουν την ιδιότητα το T f να είναι ακριβώς η τομή των μεγιστικών ιδεωδών που το περιέχουν; Να σημειώσουμε ότι έχει ανακαλυφθεί πως υπάρχει f L που δεν έχει αυτή την ιδιότητα. Για να θέσουμε το ερώτημα αυτό σε λίγο διαφορετική γλώσσα, θα διατυπώσουμε μια σειρά ισοδύναμων προτάσεων, καταλήγοντας στη μορφή του προβλήματος που θα διερευνήσουμε αργότερα. Τα επόμενα είναι ισοδύναμα: ( Το T f είναι η τομή όλων των μεγιστικών ιδεωδών M λ για τα οποία ισχύει ότι T f M λ. (2 Αν g M λ για κάθε M λ για το οποίο ισχύει ότι T f M λ, τότε g T f. (3 Αν ĝ(λ για κάθε λ για το οποίο ισχύει ότι T f M λ, τότε g T f. (4 Αν ĝ(λ για κάθε λ για το οποίο ισχύει ότι f M λ, τότε g T f. (5 Αν ĝ(λ για κάθε λ για το οποίο ισχύει ότι ˆf(λ, τότε g T f. 35

42 Κεφάλαιο 2 Ο μετασχηματισμός Fourier στον L 2 2. Ο μετασχηματισμός Fourier στον L L 2. Στο προηγούμενο κεφάλαιο, ορίσαμε το μετασχηματισμό Fourier ˆf για f L. Σε αυτό το κεφάλαιο θα ορίσουμε το μετασχηματισμό Fourier για f L 2 και θα προσδιορίσουμε κάποιες ιδιότητές του. Προκύπτει ότι αν f L 2 ο μετασχηματισμός Fourier ˆf της f είναι επίσης στον L 2 και ˆf 2 (2π 2 f 2. ΛΗΜΜΑ 3. Για κάθε πραγματικούς αριθμούς ϵ >, a έχουμε Απόδειξη. Ξεκινάμε από το γνωστό τύπο e iat e ϵt2 dt ( π 2 e a2 4ϵ. ϵ e x2 dx π 2. Για κάθε b, για κάθε >, ολοκληρώνουμε την αναλυτική συνάρτηση e z2 ορθογώνιο παραλληλόγραμμο D με κορυφές ±, ± + ib. Τότε D e z2 dx. Ισοδύναμα: στο b e (+it2 idt Παίρνοντας όριο για + : e ( t+ib2 dt i b e ( x+ib2 dx Γνωρίζουμε ότι e x2 dx π 2, άρα: e ( +ib it2 dt + e x2 dx. e x2 e 2xbi e b2 dx π 2. e t2 dt. Συνεπώς e x2 e 2xbi dx π 2 e b 2. 36

43 Για b a 2ϵ 2 : οπότε με αλλαγή μεταβλητής έχουμε ότι Τελικά καταλήγουμε ότι e x2 e iaϵ 2 x dx π 2 e a2 4ϵ e iat e ϵt2 ϵ 2 dt π 2 e a2 4ϵ. e iat e ϵt2 dt ( π 2 e a2 4ϵ. ϵ ΘΕΩΡΗΜΑ 36. Έστω f L L 2. Τότε ˆf L 2 και δηλαδή Απόδειξη. Παρατηρούμε ότι ˆf(x 2 ˆf(x ˆf(x ˆf(x 2 dx 2π ˆf 2 (2π 2 f 2. e ixt f(tdt f(t 2 dt e ixu f(udu. Πολλαπλασιάζοντας με e x2 n,για n N, και ολοκληρώνοντας ως προς x, έχουμε ότι ( e x2 n ˆf(x 2 dx e x2 n e ixt f(tdt e ixu f(udu dx. Αφού f L, το ολοκλήρωμα συγκλίνει απόλυτα. Επομένως μπορώ να αλλάξω σειρά ολοκλήρωσης: ( e x2 n ˆf(x 2 dx f(u f(t ( e ix(t u e x2 n dx dt du. Εφαρμόζοντας το Λήμμα 3 για a t u, ϵ n > έχουμε: Άρα e x2 n ˆf(x 2 dx (πn 2 e ix(t u e x2 n dx (πn 2 e n(t u2 4. (πn 2 (πn 2 (πn 2 ( f(u ( f(u e nt2 4 ( e nt2 4 F (tdt e n(t u2 4 f(tdt du e nt2 4 f(t + udt du f(uf(t + udu dt 37

44 όπου F (t f(uf(t + udu. Άρα e x2 n ˆf(x 2 dx 2π 2 Θα δείξουμε ότι η F (t είναι συνεχής στο t. F (t F ( Από την ανισότητα Schwarz έχουμε ( F (t F ( 2 e t2 F (2n 2 tdt. ( f(t + uf(u ( f(uf(u du f(t + u f(u f(u du. 2 f(t + u f(u f(u du f(t + u f(u 2 du Γνωρίζουμε ότι t f(t + u f(u 2 du. Άρα F (t F (. t f(u 2 du. Τώρα, για κάθε t έχουμε, πάλι από την ανισότητα Schwarz, ότι F (t 2 f(uf(t + udu 2 ( 2 f(t + u f(u du f(t + u 2 du f 2 2 f 2 2 f 4 2. f(u 2 du Άρα e t 2 F (2n 2 t e t 2 M για κάποια σταθερά M >. Λόγω αυτού, της συνέχειας της F στο και του Θεωρήματος κυριαρχημένης σύγκλισης, έχουμε ότι Όμως Συνεπώς n + n + F ( e t2 F (2n 2 tdt e t2 F (dt f(uf(udu F ( e x2 n ˆf(x 2 dx 2π 2 n + 2π 2 π 2 F ( 2π f e t2 dt π 2 F (. f(u 2 du f 2 2. e t2 F (2n 2 tdt

45 Από το Λήμμα Fatou, ˆf(x 2 dx n + 2π f x n + e n ˆf(x 2 dx Άρα ˆf L 2. Επίσης, από το Θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης, e x2 n ˆf(x 2 dx ˆf(x 2 dx 2π f 2 2 άρα ˆf 2 (2π 2 f Το Θεώρημα του Plancherel. Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε το μετασχηματισμό Fourier στον L 2 και θα αποδείξουμε τις πιο σημαντικές του ιδιότητες. Κάποια από αυτά τα αποτελέσματα θα συνοψιστούν στο τέλος της ενότητας σε ένα θεώρημα που φέρει το όνομα αυτού που το ανακάλυψε, του Plancherel. Το μετασχηματισμό Fourier ˆf της f L 2 θα τον ορίσουμε ως το όριο μιας ακολουθίας μετασχηματισμών Fourier ˆf N, όπου f N μια συγκεκριμένη ακολουθία συναρτήεων στον L L 2 που συγκλίνει στον L 2 στην f. Το ότι η ακολουθία αυτή ˆf N συγκλίνει θα το αποδείξουμε στο επόμενο Θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ 37. Έστω f L 2. Για κάθε N N θεωρούμε { f(t, αν t N f N (t, αν t > N Τότε f N L L 2 και ˆf N L 2. Επιπλέον, καθώς N +, η ˆf N συγκλίνει στον L 2 σε μια συνάρτηση στον L 2. Απόδειξη. Από την ανισότητα Schwarz έχουμε ότι f N (t dt N N ( N N f(t dt N f(t 2 2 dt dt N f 2 (2N 2 < + άρα f N L. Επιπλέον, αφού f N (t f(t, προφανώς f N L 2. Άρα f N L L 2. Από το Θεώρημα 36, ˆf N L 2. Τώρα πρέπει να δείξουμε ότι η ακολουθία των ˆf N συγκλίνει στον L 2. Αρκεί να δείξουμε ότι είναι ακολουθία Cauchy, διότι ο L 2 είναι πλήρης. Δηλαδή, αρκεί να δείξουμε ότι 39

46 M,N + ˆf M ˆf N 2. Ο ˆf M ˆf N είναι ο μετασχηματισμός Fourier της f M f N, η οποία ανήκει στον L L 2. Άρα, από το Θεώρημα 36, ˆf M ˆf N 2 2 2π f M f N 2 2 2π f M (t f N (t 2 dt ( M 2π f(t 2 dt + N N M f(t 2 dt όταν M, N +. Άρα ˆf M ˆf N 2 όταν M, N +. Τώρα μπορούμε να ορίσουμε το μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης του L 2. ΟΡΙΣΜΟΣ. Για f L 2 ορίζουμε τον μετασχηματισμό Fourier της f, ˆf, ως εξής: ˆf(x N N + N το όριο στον L 2. Να σημειώσουμε ότι η (2. ισοδυναμεί με N + ˆf ˆf N 2. e ixt f(tdt (2. Σχόλιο. Παραπάνω ορίσαμε την ˆf για f L 2. Βέβαια, καθώς η ˆf ορίστηκε ως στοιχείο του L 2, η ˆf(x ορίζεται μόνο σχεδόν παντού. Όμως, αν f L, από τον γνωστό μας από το πρώτο Κεφάλαιο ορισμό της ˆf έχουμε ότι που μπορεί να γραφεί ως ˆf(x ˆf(x N + e ixt f(tdt για κάθε x (2.2 ˆf N (x για κάθε x. Οπότε, αν f L L 2, έχουμε τώρα δύο ορισμούς του ˆf, τους (2. και (2.2. Ωστόσο, η ˆf που ορίζεται σπό το (2.2, η οποία είχαμε δείξει ότι είναι συνεχής συνάρτηση, ορίζει το ίδιο στοιχείο του L 2 με την ˆf που ορίζεται στο (2.. Άρα οι δύο ορισμοί μας είναι συνεπείς. Στο Θεώρημα 36 είδαμε ότι αν f L L 2, τότε η 2-νόρμα της ˆf είναι 2π φορές η 2-νόρμα της f. Δηλαδή, εκτός από ένα σταθερό παράγοντα, η απεικόνιση f ˆf διατηρεί τη 2-νόρμα. Τώρα θα αποδείξουμε ότι αυτό ισχύει για κάθε f L 2. ΘΕΩΡΗΜΑ 38. (Σχέση Parseval Έστω f L 2. Τότε ˆf 2 (2π 2 f 2. Απόδειξη. Ορίζουμε τις f N όπως στο Θεώρημα 37. Τότε N + ˆf N ˆf 2. ˆfN 2 ˆf 2 ˆfN ˆf 2 άρα N + ˆfN 2 ˆf 2 ή ισοδύναμα ˆf N 2 ˆf 2. N + 4

47 Εξ ορισμού της f N, N + f N 2 f 2. Καθώς f N L L 2, από το Θεώρημα 36, ˆf N 2 (2π 2 fn 2. Συνεπώς ˆf 2 ˆf N 2 (2π 2 fn 2 (2π 2 f 2. N + N + Μια εύκολη αλλά σημαντική συνέπεια του Θεωρήματος 38 είναι το ακόλουθο αποτέλεσμα. ΘΕΩΡΗΜΑ 39. Αν f, g L 2, τότε ˆf(xĝ(xdx 2π f(xg(xdx. Απόδειξη. Από το Θεώρημα 38, ˆf + ĝ 2 2 2π f + g 2 2. Δηλαδή άρα ˆf(x + ĝ(x 2 dx 2π f(x + g(x 2 dx ( ( + ( ( ˆf(x + ĝ(x ˆf(x + ĝ(x dx 2π f(x + g(x f(x + g(x dx. Συνεπώς ˆf(x 2 dx + ( 2π f(x 2 dx + Τότε, από το Θεώρημα 38, ĝ(x 2 dx + g(x 2 dx + ˆf(x 2 dx 2π ˆf(xĝ(xdx + f(xg(xdx + f(x 2 dx ˆf(xĝ(xdx f(xg(xdx. άρα ĝ(x 2 dx 2π g(x 2 dx ˆf(xĝ(xdx + ˆf(xĝ(xdx ( 2π f(xg(xdx + f(xg(xdx. (2.3 4

48 Αφού το g είναι τυχαίο στοιχείο του L 2, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τα ĝ, g με τα iĝ, ig, αντίστοιχα, και έχουμε: άρα ˆf(x ( iĝ(x dx + ˆf(x ( iĝ(x dx ( 2π f(x ( ig(x dx + f(x ( ig(x dx i ˆf(xĝ(xdx + i ( 2π i το οποίο μας δίνει, αν διαιρέσουμε με i, ˆf(xĝ(xdx f(xg(xdx + i f(xg(xdx ˆf(xĝ(xdx ˆf(xĝ(xdx ( 2π f(xg(xdx Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (2.3, (2.4 παίρνουμε f(xg(xdx. (2.4 το οποίο μας δίνει 2 ˆf(xĝ(xdx 4π f(xg(xdx ˆf(xĝ(xdx 2π f(xg(xdx. Σημείωση. Αν στο Θεώρημα 39 βάλουμε g f, παίρνουμε το Θεώρημα 38. Στις ενότητες.3,.4 ασχοληθήκαμε με την αντιστροφή του μετασχηματισμού Fourier στον L. Στα επόμενα θεωρήματα θα δούμε ότι η αντιστροφή στην οποία αναφερθήκαμε στην ενότητα.3 μπορεί να μεταφραστεί και στον L 2. Επιπλέον, αντίθετα με την περίπτωση του L, η αντιστροφή στον L 2 δε χρειάζεται επιπρόσθετες υποθέσεις. ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Αν f, g L 2, τότε f(xĝ(xdx ˆf(xg(xdx. Απόδειξη. Θεωρούμε f N, g N όπως ορίστηκαν στο Θεώρημα 37. Για κάθε M, N N έχουμε: ˆf M (x ĝ N (x 42 e ixt f M (tdt e ixt g N (tdt.