Cuprins. 12. Metode energetice 1

Transcript

1

2 Prefaţă Voumu conţine partea a doua a cursuui de Rezistenţa materiaeor care se predă studenţior anuui IIA a facutăţii de Inginerie Mecanică, a Universitatea Poitehnica Bucureşti. În ediţia de faţă, s-au introdus capitoe noi şi a fost sporit număru apicaţiior. Partea teoretică depăşeşte materia predată efectiv a curs datorită reducerii recente a număruui de ore în panu de învăţământ. Tradiţiona, în prima parte a cursuui se studiază bare şi sisteme de bare. Baree sunt soicitate a întindere (compresiune), forfecare, încovoiere şi răsucire, fie separat, fie în diferite combinaţii. În primu voum s-au definit eforturie secţionae în bare, tensiunie şi deformaţiie specifice, deformaţiie şi depasărie puncteor corpurior eastice. S-a cacuat distribuţia tensiunior normae şi tangenţiae în secţiunea transversaă, şi s-au determinat punctee în care apar tensiunie maxime şi vaorie acestora care se compară separat, sau combinate întro tensiune normaă echivaentă, cu rezistenţee admisibie. În partea a doua a cursuui se prezintă metodee energetice pentru cacuu depasărior şi a sistemeor static nedeterminate prin metoda eforturior, fambaju bareor drepte, soicitărie dinamice ae bareor şi cacuu a soicitări în domeniu easto-pastic. Studiu genera a bareor cu pereţi subţiri face obiectu unor cursuri diferite. Se studiază stărie de tensiuni în tuburi axia-simetrice cu pereţi groşi, discuri de grosime constantă în mişcare de rotaţie şi păci pane subţiri. O atenţie aparte se acordă oboseii şi fuajuui metaeor şi aiajeor metaice, considerate cauze principae ae pierderii integrităţii structurae. Modificarea în timp a structurii cursuui a fost determinată de utiizarea cacuatoareor, dezvotarea mecanicii ruperii, a cacuuui a oboseaă şi a fuaj. Ca urmare, s-a introdus o descriere mai detaiată a caracteristicior mecanice ae metaeor a soicitări cicice, cacuu a oboseaă a durată de viaţă imitată bazat pe metoda "deformaţie specifică - durabiitate" şi ce bazat pe mecanica ruperii, precum şi o descriere sumară a mecanismeor şi încercărior a fuaj. Cursu a fost anaizat şi aprobat de o comisie a Consiiuui profesora a facutăţii de Inginerie Mecanică în anu 00. martie 007 Autoru

3 Cuprins. Metode energetice. Energia potenţiaă de deformaţie. Teorema reciprocităţii ucruui mecanic. Teorema reciprocităţii depasărior 4.4 Principiu ucruui mecanic virtua 5.5 Principiu minimuui energiei potenţiae totae 8.6 Metoda Rayeigh-Ritz 0.7 Prima teoremă a ui Castigiano.8 Teorema Crotti-Engesser 4.9 A doua teoremă a ui Castigiano 5.0 Metoda Mohr-Maxwe 0.0. Regua ui Vereşceaghin.0. Formua ui Simpson 9.0. Deformaţii în sisteme de bare articuate. Sisteme static nedeterminate 5.. Metoda eforturior 5.. Teorema ui Menabrea 6.. Ecuaţiie canonice ae metodei eforturior 8..4 Sisteme static nedeterminate soicitate de forţe axiae 55. Fambaju bareor drepte 6. Instabiitatea eastică 6. Cacuu sarcinii critice prin metoda energetică 66. Cacuu sarcinii critice prin metoda diferenţiaă 68.. Metoda ui Euer 68.. Ecuaţia de ordinu patru 7

4 CUPRINS iii.4 Diagrama tensiunii critice de fambaj 74.5 Cacuu a fambaj 76.6 Lungimea critică de fambaj 8.7 Compresiunea excentrică a bareor zvete 8.8 Încovoierea bareor comprimate axia Ciindri cu pereţi groşi şi discuri în rotaţie Tuburi cu presiune interioară şi exterioară Tub cu presiune interioară Tub cu presiune exterioară Ciindri fretaţi Tensiuni termice în ciindri cu pereţi groşi Distribuţia temperaturii Tensiuni termice în ciindri circuari ungi Discuri de grosime constantă, în rotaţie Tensiuni în discuri subţiri, în rotaţie Disc fretat pe arbore 4.5 Tensiuni termice în discuri subţiri 4 5. Încovoierea păcior subţiri 7 5. Ipotezee teoriei încovoierii păcior subţiri 7 5. Încovoierea pură 8 5. Încovoierea ciindrică 5.4 Încovoierea axia-simetrică a păcior circuare Reaţii între momente şi încinarea normaei Ecuaţiie de echiibru Ecuaţia încinării normaei Cacuu săgeţior Păci încărcate cu sarcină uniform distribuită Păci încărcate cu o forţă concentrată în centru 5

5 iv REZISTENŢA MATERIALELOR 6. Soicitări easto-pastice 9 6. Schematizarea curbei caracteristice a materiaeor 9 6. Încovoierea easto-pastică a bareor Încovoierea pură Articuaţia pastică Tensiuni remanente Răsucirea easto-pastică a bareor Reaţia între momentu de răsucire şi tensiuni Tensiuni remanente a răsucire Cacuu sistemeor static nedeterminate prin metoda stării imită Soicitări easto-pastice în tuburi cu pereţi groşi Tensiuni radiae şi circumferenţiae Autofretaju Soicitări easto-pastice în discuri în rotaţie Soicitări dinamice 6 7. Coeficientu dinamic 6 7. Soicitări prin forţe de inerţie constante Cabu în transaţie ongitudinaă Bară în rotaţie Tensiuni în paete Soicitări prin forţe armonice Sistem în vibraţii ibere Sistem în vibraţii forţate amortizate Soicitări prin şoc Răspunsu a o forţă variabiă în timp Forţă constantă apicată brusc Impus triunghiuar descrescător Impus dreptunghiuar Cacuu aproximativ a soicitări prin şoc Soicitarea a răsucire prin şoc 87

6 CUPRINS v 8. Oboseaa metaeor Deteriorarea prin oboseaă Metodoogii de cacu a oboseaă 9 8. Cacuu a oboseaă prin anaiza tensiunior Cicuri de soicitări variabie staţionare Limita de oboseaă. Curba ui Wöher Diagramee cicurior imită Diagrame de durabiitate constantă Factori care infuenţează rezistenţa a oboseaă Coeficientu de siguranţă a durabiitate neimitată Estimarea duratei de viaţă Caracteristici mecanice a încărcări cicice Efectu Bauschinger Buca de histerezis Ecruisarea şi înmuierea cicică Diagrama caracteristică σ ε cicică Ipoteza ui Massing Reaţia tensiuni-deformaţii specifice pastice Ecuaţia bucei de histerezis Cacuu a oboseaă prin anaiza deformaţiior specifice Diagrama deformaţie specifică durabiitate Determinarea prin cacu a proprietăţior de oboseaă 8.5. Infuenţa tensiunii medii Infuenţa concentrării tensiunior Acumuarea deteriorărior prin oboseaă Echivaarea cicurior cu buce de histerezis Estimarea durabiităţii a oboseaă Cacuu a oboseaă prin anaiza propagării fisurior Mecanica ruperii a încărcări monotone Mecanica ruperii a încărcări cicice Limita de oboseaă 57

7 vi REZISTENŢA MATERIALELOR Propagarea fisurior de oboseaă Cacuu duratei de viaţă Metoda toerării defecteor 6 9. Fuaju metaeor Deformaţia izotermă sub sarcină constantă Curba de fuaj Fuaju primar Fuaju terţiar Fuaju secundar Limite de fuaj Ruperea prin fuaj Reaxarea tensiunior Mecanismee fuajuui Fuaju prin difuzie Fuaju prin disocaţii Fuaju Harper-Dorn Fuaju prin aunecarea grăunţior Diagramee mecanismeor de deformare Materiae cu rezistenţă mare a fuaj Încercări acceerate a fuaj Durata de rupere a fuaj Metoda Larson-Mier Metoda Sherby-Dorn Fuaju tranzitoriu Mecanica ruperii a fuaj 94 Anexe 97 Anexa 7 Proprietăţi monotone ae aiajeor metaice 97 Anexa 8 Proprietăţi cicice ae aiajeor metaice 98 Anexa 9 Fotoeasticitatea 99 Bibiografie Index

8 . METODE ENERGETICE În mecanica soideor se cacuează depasărie puncteor unui corp deformabi, în echiibru static sub acţiunea forţeor exterioare şi a reacţiunior. Ecuaţiie de echiibru pentru un voum detaşat din corp se exprimă în funcţie de tensiuni. Dar tensiunie sunt egate de deformaţii specifice (ecuaţiie constitutive) care a rându or sunt egate de depasări (condiţiie de compatibiitate). Aceasta impune rezovarea unor ecuaţii cu derivate parţiae de ordinu doi care oferă aşa-numita souţie exactă. Astfe de souţii exacte se pot cacua însă numai pentru corpuri cu geometrii simpe şi pentru încărcări şi condiţii a imită reativ simpe. La corpuri cu configuraţii geometrice compexe şi condiţii a imită şi de încărcare generae, obţinerea unor astfe de souţii este imposibiă. Se recurge a souţii aproximative, bazate pe ucru mecanic şi energia potenţiaă, şi a metode variaţionae care impun condiţii mai puţin stricte asupra funcţiior care aproximează câmpu de depasări. În fina, în ocu rezovării unor ecuaţii diferenţiae cu condiţii a imită compicate, se rezovă integrae ae unor funcţii poinomiae reativ simpe. Cacuu depasărior se face prin metode bazate pe principiu ucruui mecanic virtua şi principiu minimuui energiei potenţiae totae. În acest capito se mai prezintă metoda Rayeigh-Ritz, metoda Mohr-Maxwe, metoda ui Castigiano, precum şi apicarea acestora a rezovarea sistemeor static nedeterminate prin metoda eforturior.. Energia potenţiaă de deformaţie În cazu genera de soicitare, când în secţiunea transversaă acţionează eforturie N, T, Mi şi Mt, energia de deformaţie acumuată de o bară dreaptă, în echiibru static, este U x i x N d T d M dx E A GAf EI y t M dx. (.) GI t

9 REZISTENŢA MATERIALELOR unde s-au utiizat expresiie (5.5), (6.9) şi (8.6). A doiea termen din membru drept a reaţiei (.) reprezintă energia de deformaţie acumuată datorită forţeor tăietoare, în care aria de forfecare Af k f A, iar k f este factoru de forfecare (8.45). Uneori este utiă exprimarea energiei de deformaţie în funcţie de depasări. Pentru o bară soicitată a întindere, utiizând reaţiie (5.5,a), (.) şi (.8), se obţine U V u σ x ε x dv E x dadx E A dx ε. (.) x A Pentru un arbore soicitat a răsucire, utiizând reaţiie (6.), (6.5) şi (6.9, a), se obţine U V ϕ ϕ τ xy γ xy dv G r dadx G I p dx x.(.) x A Pentru o bară soicitată a încovoiere simetrică pură, utiizând reaţiie (8.), (8.6) şi (8.50), rezută U A dϕ d w E x dadx E I y dx E I y dx dx dx ε. (.4) Pentru o bară soicitată a încovoiere simpă, însumând energia de încovoiere şi de forfecare (v. par. 8.4.), se obţine U E I y dϕ dx dx + dw G A f + ϕ dx dx. (.5). Teorema reciprocităţii ucruui mecanic (Teorema ui Betti) Se consideră un corp eastic, în echiibru static, asupra căruia se apică două stări succesive de soicitare, produse de două grupe succesive de sarcini şi reacţiuni, Fi şi F i ( i,,...,n). Forţee F i se apică în aceeaşi puncte şi pe aceeaşi direcţii ca şi forţee F i, putând fi considerate drept ate vaori ae acestora. Apicând forţee F corpu se deformează. Se notează cu u proiecţia depasării punctuui de apicaţie a forţei i F i pe direcţia acesteia. i

10 . METODE ENERGETICE Lucru mecanic a forţeor exterioare are expresia (stabiită de B. P. E. Capeyron în 85) n F i u i. (.6) L i Corespunzător, ucru mecanic a forţeor F i pe depasărie u i are expresia L n i F i u i. (.7) La trecerea de a prima stare de soicitare a a doua, forţee exterioare efectuează ucru mecanic i L L i n F u i i i i n i F i u i. (.8) Dacă asupra corpuui se apică întâi primu grup de sarcini, care produce ucru mecanic L, apoi se apică forţee adiţionae ( Fi F i ), astfe încât ucru mecanic tota devine L, se poate considera că diferenţa ( L L) este produsă de forţee eastice ( Fi F i ) pe depasărie ( ui u i ) şi de forţee F i, care se afau apicate pe corp şi care se depasează pe ( ui u i ), rămânând constante. Deci se poate scrie n n L L ( Fi Fi ) ( ui ui ) + Fi ( ui ui ) i i (.9) n n n n Fi ui + Fi ui Fi ui Fi ui. Egaând expresiie (.8) şi (.9), deci apicând principiu suprapunerii efecteor, rezută n i F u i i n i i i i F u. (.0) Această egaitate exprimă teorema reciprocităţii ucruui mecanic (enunţată de E. Betti în 87): Dacă asupra unui sistem eastic se apică succesiv două încărcări diferite, atunci ucru mecanic efectuat de forţee din prima încărcare pe depasărie produse de a doua încărcare este ega cu ucru mecanic efectuat de forţee din a doua încărcare pe depasărie produse de prima încărcare. În definiţia de mai sus s-au considerat forţe şi depasări generaizate. Astfe, în cazu soicitării prin momente (cupuri) concentrate, depasărie corespunzătoare sunt rotiri. F i

11 4 REZISTENŢA MATERIALELOR. Teorema reciprocităţii depasărior (Teorema ui Maxwe) Se consideră o bară simpu rezemată, a care prima încărcare este forţa F apicată în secţiunea i (fig.., a) iar a doua încărcare este tot o forţă F apicată în secţiunea j. În genera, pentru forţee apicate în secţiunie i şi j, reaţia (.0) devine F u + F u F u + F u. (.) i i j j i i j j rezută Pentru sistemu particuar de forţe aes şi cu notaţiie din figura., F i F, u i wij, F j 0, F i 0, u j wji, F j F, care, înocuite în reaţia (.), conduc a F w F w, sau ji ij w ji w ij. (.) Această egaitate exprimă teorema reciprocităţii depasărior (enunţată de J. C. Maxwe în 864): Depasarea produsă în secţiunea i când o forţă este apicată în secţiunea j este egaă cu depasarea produsă în secţiunea j când aceeaşi forţă este apicată în secţiunea i, cu condiţia ca direcţiie forţeor şi depasărior să fie aceeaşi în cee două cazuri. Fig.. Fig.. Ca şi în cazu teoremei ui Betti, în teorema ui Maxwe se pot considera depasări şi forţe generaizate, deci rotiri şi momente concentrate.

12 . METODE ENERGETICE 5 Dacă F, atunci se notează wij δij, iar ij δ se numeşte coeficient de infuenţă (sau fexibiitate). Acesta reprezintă depasarea în i produsă de o forţă egaă cu unitatea apicată în j. Egaitatea (.) devine δ ij δ ji, (.) reaţie care atestă simetria matricei de fexibiitate a sistemeor eastice..4 Principiu ucruui mecanic virtua Principiu ucruui mecanic virtua reprezintă o formuare aternativă a condiţiior de echiibru static. În continuare se va utiiza forma cunoscută ca principiu depasărior virtuae. Conform principiuui ucruui mecanic virtua: condiţia necesară şi suficientă ca un soid deformabi să fie în echiibru static este ca ucru mecanic virtua a forţeor exterioare să fie ega cu ucru mecanic virtua a forţeor interioare, pentru orice câmp de depasări virtuae cinematic admisibie În reaţia (.4) pe depasărie virtuae egăturie δu j n j δl E δ L δ. (.4) E L I este ucru mecanic virtua a forţeor exterioare F j independente de starea de soicitare şi compatibie cu n j n ( F j u j ) δ δ L F δu δ F u, (.5) E j j iar δl I este ucru mecanic virtua a forţeor interioare care acţionează asupra eementeor corpuui deformabi. Simbou " δ ", introdus de J. L. Lagrange (759), accentuează caracteru virtua a variaţiior, spre deosebire de simbou "d" care denotă diferenţiae ae depasărior. E nu trebuie confundat cu notaţia pentru coeficienţi de infuenţă. În formuarea generaă, L E n j F j u j j j j, expresie în care ipseşte factoru care apare în expresia ucruui mecanic a forţeor eastice, deoarece forţee exterioare rămân constante în timpu acţiunii pe depasărie virtuae. Aparent, formuarea de mai sus contrazice principiu ucruui mecanic virtua stabiit de Johan Bernoui (77) pentru corpuri nedeformabie. Extins a sisteme de puncte materiae, interconectate cu eemente eastice, acesta se enunţă astfe: condiţia necesară şi suficientă ca un sistem de puncte materiae să fie în

13 6 REZISTENŢA MATERIALELOR echiibru static este ca ucru mecanic virtua tota a forţeor exterioare şi interioare să fie nu pentru orice depasare virtuaă cinematic admisibiă δ L δl E + δl 0. (.6) I În reaţia (.6) δl I este ucru mecanic virtua a forţeor interioare care acţionează asupra puncteor materiae, forţe care, conform principiuui acţiunii şi reacţiunii, sunt egae şi de sens contrar ceor care acţionează asupra eementeor corpuui deformabi, deci δ L I δl I. (.7) La corpuri deformabie, ucru mecanic efectuat împotriva interacţiunior între eementee infinitezimae care compun corpu este ega cu variaţia energiei de deformaţie δu. Pentru a obţine ucru mecanic efectuat de forţee interioare semnu trebuie schimbat. Deci ucru mecanic efectuat de forţee interioare (care acţionează în punctee de apicaţie ae forţeor exterioare) în timpu unor depasări virtuae este ega cu variaţia energiei de deformaţie cu semn schimbat δl I δu. (.8) Pentru un corp soid în echiibru, creşterea virtuaă a energiei de deformaţie este egaă cu ucru mecanic virtua a forţeor exterioare pe orice creştere virtuaă cinematic admisibiă a câmpuui de depasări (G. Kirchhoff) δ U δl E. (.9) De notat că ucru mecanic virtua a reacţiunior din reazemee rigide este nu. Fiind o condiţie de echiibru, principiu depasărior virtuae este independent de comportarea materiaeor, fiind vaabi atât pentru materiae eastice cât şi pentru materiae neeastice. E este vaabi doar pentru forţe conservative, deci care nu îşi modifică direcţia în timpu acţiunii pe depasărie virtuae. Exempu. La sistemu din figura., compus din trei bare concurente articuate a capete, se cer forţee din bare şi depasarea punctuui de apicaţie a forţei F. Rezovare În metoda bazată pe principiu depasărior virtuae, se consideră trei stări ae sistemuui anaizat:. Starea iniţiaă, în care nu există forţe exterioare şi baree nu sunt pretensionate (fig.., a).. Starea finaă de echiibru static, în care forţa exterioară F, de componente F F sinα şi F F cosα, produce depasarea articuaţiei 4, de componente şi u (fig.., b). u

14 . METODE ENERGETICE 7 Asupra articuaţiei 4 acţionează forţee exterioare, F şi forţee F interioare T, T, T (fig.., c). În bare acţionează forţe interioare egae şi de sens contrar, care produc aungirie Δ, Δ, Δ (fig.., d).. O stare imaginară, în care se dă articuaţiei 4 o depasare virtuaă de componente δu şi δu (fig.., e), căreia îi corespund aungiri virtuae ae bareor δδ, δδ, δδ (fig.., f), forţee apicate rămânând constante. Fig.. Depasărie virtuae δu şi δu şi aungirie virtuae δδ, δδ, δδ satisfac ecuaţiie de compatibiitate (5.7) δδ δu δδ δu δδ δu sinθ + δu, sinθ + δu cosθ, (.0) cosθ.

15 8 REZISTENŢA MATERIALELOR Pentru cee trei bare, reaţiie forţă-deformaţie (5.8) se scriu T Δ, E A T cosθ Δ, E A Δ T E A. (.) Conform ecuaţiei (.7), se egaează ucru mecanic virtua a forţeor exterioare cu ucru mecanic virtua a forţeor care acţionează asupra bareor δu F δu T δδ + T δδ T δδ F + +, (.) egaitate care, ţinând cont de reaţiie (.0), se mai scrie ( T sinθ T sinθ F ) + δu ( T cosθ + T + T cosθ F ) 0 δ u. Întrucât depasărie virtuae sunt arbitrare, parantezee trebuie să fie nue, de unde rezută ecuaţiie de echiibru (5.6) ae forţeor apicate articuaţiei 4 T sinθ T sinθ F, T cosθ + T + T cosθ F. (.) Se confirmă faptu că principiu ucruui mecanic virtua reprezintă o formuare aternativă a condiţiior de echiibru static. Înocuind reaţiie (.) în (5.7), se obţin reaţiie între eforturi şi depasări care, înocuite în (.), permit cacuu componenteor depasării punctuui 4 din reaţiie (5.0)..5 Principiu minimuui energiei potenţiae totae Energia potenţiaă totaă Π a unui corp eastic este definită ca suma energiei de deformaţie U şi a potenţiauui forţeor exterioare U exterioare Potenţiau forţeor exterioare L E Π U + U p. (.4) U p este ega cu ucru mecanic a forţeor (cacuat considerând forţee constante) cu semn schimbat U. (.5) p L E Semnu minus apare deoarece forţee exterioare îşi pierd din capacitatea de a efectua ucru mecanic atunci când se depasează în direcţia în care acţionează. O forţă exterioară F j are energia potenţiaă ( F j u j ) în oc de F j u j, p

16 . METODE ENERGETICE 9 deoarece acest potenţia apare din mărimea forţei şi din capacitatea ei de a se depasa, fiind independent de proprietăţie eastice ae corpuui asupra căruia acţionează. Energia potenţiaă totaă are deci expresia Pe baza reaţiei (.9) rezută că Π U L E. (.6) δ Π δu δl 0, (.7) E deci, a echiibru static, energia potenţiaă totaă are o vaoare staţionară. Pentru un corp în echiibru stabi, extremu energiei potenţiae totae este un minim absout, δ Π > 0. Principiu minimuui energiei potenţiae totae se enunţă astfe: Dacă un soid deformabi este în echiibru sub acţiunea forţeor exterioare şi a reacţiunior, atunci energia potenţiaă totaă are o vaoare minimă. Reciproc, dacă sub acţiunea forţeor exterioare şi a reacţiunior energia potenţiaă totaă a unui soid deformabi are o vaoare minimă, atunci acesta este în echiibru stabi. Astfe, se poate considera că reaţia (.7) este mai degrabă o condiţie care stabieşte sau defineşte echiibru, decât un rezutat a echiibruui. Ată formuare echivaentă este următoarea: Pentru o configuraţie de echiibru stabi, depasărie cinematic admisibie care satisfac condiţiie de echiibru sunt cee care minimizează energia potenţiaă totaă. Reciproc, orice câmp de depasări cinematic admisibi şi care minimizează energia potenţiaă totaă reprezintă o configuraţie de echiibru stabi. La sistemu din figura., compus din trei bare concurente articuate a capete, energia de deformaţie pentru o bară este iar energia potenţiaă exterioară este U i p E Ai Ti Δ i Δ i, (.8) i i i i U F u. (.9) Exprimând aungirie în funcţie de depasări conform condiţiior de compatibiitate (5.7), energia potenţiaă totaă (.6) se scrie sub forma

17 0 REZISTENŢA MATERIALELOR EA Π EA + ( u sinθ + u cosθ ) EA + u cosθ ( u sinθ + u cosθ ) F u F u. + (.0) Anuând derivatee ui Π în raport cu fiecare variabiă independentă se obţin ecuaţiie de echiibru (.). Π Π 0, 0, (.) u u Deoarece δ L I δu, ucru mecanic virtua a forţeor interioare se poate cacua pe baza reaţiei (5.5, a) şi egii ui Hooke (.) δli δε σ dv (.) V unde δ ε sunt deformaţii specifice virtuae, compatibie cu depasărie virtuae ae forţeor exterioare. La baree soicitate a întindere, înocuind σ E ε şi δl I V ε u, se obţine x δu u δε σ dv δε Eε Adx EA dx. (.) x x La baree soicitate a încovoiere, înocuind δl I z ε δw w δw E z da dx EI y x x A x w, rezută x w dx. (.4) x Aceste expresii sunt utiizate în egaitatea (.7), a rezovarea probemeor prin metode bazate pe principiu depasărior virtuae..6 Metoda Rayeigh-Ritz În metoda Rayeigh-Ritz, apicată unei grinzi soicitate a încovoiere, săgeata w x este aproximată printr-o dezvotare într-o serie finită ( ) w n ( x) a j ( x) j ϕ (.5) j

18 . METODE ENERGETICE unde a j sunt coeficienţi nedeterminaţi, numiţi coordonate generaizate, iar ϕ j ( x) sunt funcţii admisibie date, care îndepinesc condiţiie a imită geometrice (cinematice) şi sunt continue în intervau de definiţie (W. Ritz, 908). Înocuind depasărie (.5) în expresia energiei potenţiae totae Π, aceasta devine funcţie de coeficienţii, ae căror vaori se determină din condiţiie de staţionaritate Π 0 a j a j, ( j,...,n), (.6) care conduc a un sistem agebric iniar în coeficienţii a j. Souţiie se înocuiesc în expresia (.5) care reprezintă o deformată aproximativă a sistemuui, cu atât mai exactă cu cât se aeg mai muţi termeni în seria respectivă. Exempu. La grinda din figura.4 se cere depasarea verticaă a punctuui de apicaţie a forţei F. Se dau: q 00 N m. E 0 MPa, I 600 mm, y 4 m, F 00 N şi Rezovare Fig..4 Utiizând expresia (.4) a energiei de deformaţie pentru o bară soicitată a încovoiere, negijând efectu forţei tăietoare, energia potenţiaă totaă (.6) este Π d w E I y dx q w( x) dx F w. (.7) dx 0 Condiţiie a imită geometrice sunt w ( 0 ) 0, ( 0 ) 0 w, 0 w, ( ) 0 w. (.8)

19 REZISTENŢA MATERIALELOR În continuare, pentru simpificare săgeţie se aproximează sub forma unei serii de numai doi termeni unde funcţiie ( x) a ϕ ( x) + a ( x) w ϕ x ( ) ( x )( x ) ϕ x, ( x) satisfac toate condiţiie geometrice (.8) 4 (.9) ( x )( x ) x ϕ, (.40) 5 Înocuind funcţia (.9) în expresia (.7) se obţine funcţionaa Π E I F y ( a ϕ + a ϕ ) dx q ( a ϕ + a ϕ ) dx. (.4) [ a ϕ ( ) + a ϕ ( ) ]. 0 Condiţiie de staţionaritate în raport cu şi a se scriu a Π a Π a E I E I ( a ϕ + a ϕ ) ϕ x q ϕ dx F ϕ ( ) 0 y d, 0 ( a ϕ + a ϕ ) ϕ x q ϕ dx F ϕ ( ) 0 y d. 0 F q Înocuind funcţiie (.40) şi, pentru datee numerice ae probemei, 6, se obţine sistemu agebric 56 5 E I y a E I y + 0 a q, 40 E I y 7 E I y 69 0 a + a q De exempu, coeficientu ui a din prima ecuaţie este 56 y ( ϕ ) dx E I y ( 6 x 0 x + 4 ) dx. 8 E I y 0 Souţiie sunt 0 5 E I

20 . METODE ENERGETICE q a 0, 0007, E I 4 y q a 0, E I 4 y În punctu de apicaţie a forţei F, săgeata este w ( ) a ϕ ( ) + a ϕ ( ) 6 a + a 4, q E I 4 y, 48 mm. În principiu, funcţia momenteor încovoietoare poate fi obţinută înocuind expresia anaitică a săgeţior în ecuaţia diferenţiaă a fibrei medii deformate (8.50). Funcţia forţeor tăietoare se obţine apoi prin încă o derivare. Reacţiunie se obţin evauând aceste funcţii pentru abscisee corespunzătoare reazemeor. Datorită derivărior succesive, vaorie eforturior au erori mai mari decât vaorie depasărior..7 Prima teoremă a ui Castigiano Din reaţiie (.5) şi (.9) rezută Utiizând dezvotarea în serie reaţia (.4) devine n δ U F j δu j, (.4) j n U δ U δu j, u j j n j F j n U δ u j δu j, u j j de unde se deduce F j U. (.4) u j Reaţia (.4) exprimă anaitic prima teoremă a ui A. Castigiano (875): O forţă oarecare este egaă cu derivata parţiaă a energiei potenţiae de deformaţie în raport cu proiecţia depasării punctuui de apicaţie a forţei pe direcţia acesteia.

21 4 REZISTENŢA MATERIALELOR.8 Teorema Crotti-Engesser La materiae neeastice sau a structuri cu neiniarităţi geometrice, caracteristica forţă-deformaţie este neiniară (Fig..5). Fig..5 Aria suprafeţei haşurate din figura.5 defineşte energia potenţiaă compementară, mărime în genera fără semnificaţie fizică (F. Engesser, 859). Aria suprafeţei nehaşurate de sub curbă defineşte ucru mecanic a forţei, ega cu energia potenţiaă acumuată de corp. F k În cazu acţiunii mai mutor forţe, energia potenţiaă compementară totaă se poate exprima sub forma U u F U n k j j C, (.44) Se cacuează derivata parţiaă în raport cu o forţă j F. F u u U F F F u F u u U F F u F u F F U F F u F u F F U n k n k j k k k j k k n k j k k j k k j k k j n k j k k j k k j C + + +, Deoarece, conform reaţiei (.4), expresia din paranteză este nuă, rezută n k j k j k j C u u F F F U,

22 . METODE ENERGETICE 5 deci u j C U. (.45) F j Reaţia (.45) exprimă teorema Crotti-Engesser, care se mai numeşte şi teorema ui Castigiano generaizată : Derivata parţiaă a energiei potenţiae compementare a unui sistem deformabi în raport cu o forţă este egaă cu proiecţia depasării punctuui de apicaţie a forţei pe direcţia acesteia..9 A doua teoremă a ui Castigiano În cazu sistemeor iniare, între sarcinie apicate şi depasărie puncteor de apicaţie ae acestora există reaţii iniare. Astfe, curba din figura.5 devine o inie dreaptă. Rezută că a corpuri eastice iniare, energia compementară este egaă cu energia de deformaţie C U U. (.46) Înocuind energia compementară conform egaităţii (.46) în reaţia (.45), se obţine u j U. (.47) F j Reaţia (.47) exprimă anaitic a doua teoremă a ui Castigiano (875): Derivata parţiaă a energiei de deformaţie, acumuate de un sistem eastic iniar, în raport cu o forţă exterioară este egaă cu proiecţia depasării punctuui de apicaţie a forţei pe direcţia acesteia. În cazu unui moment exterior concentrat, derivata parţiaă a energiei de deformaţie în raport cu un cupu este egaă cu rotirea în punctu de apicaţie a acestuia..9. Deformaţii a încovoiere (8.6) Pentru o bară soicitată a încovoiere, energia de deformaţie are expresia U M dx. EI y

23 6 REZISTENŢA MATERIALELOR Conform teoremei ui Castigiano (.47), a o bară cu secţiunea constantă, depasarea pe direcţia unei forţe exterioare este F j U M dx M δ j M dx, (.48) F F EI EI F j j y y j iar unghiu de rotire în punctu de apicaţie a unui cupu M j este U M ϕ j M dx. (.49) M EI M j Pentru a cacua depasarea într-un punct în care (pe direcţia dorită) nu acţionează o forţă exterioară, se introduce o forţă fictivă, se cacuează expresia anaitică a momentuui încovoietor M funcţie de forţee exterioare şi de sarcina fictivă, se cacuează derivata momentuui încovoietor în raport cu forţa fictivă, apoi se anuează forţa fictivă în expresia ui M care se introduce în reaţia (.48). Dacă asupra sistemuui acţionează mai mute forţe cu notaţii simiare, atunci cea în dreptu căreia se cacuează deformaţia se notează cu un simbo diferit de a ceorate. După efectuarea derivatei se revine a simbou iniţia. La bare cotite, U din reaţia (.48) reprezintă energia de deformaţie totaă a barei, egaă cu suma energiior de deformaţie ae bareor componente, deci în faţa integraei trebuie introdus semnu "sumă". Exempu. Se cere să se cacueze săgeata şi unghiu de rotire a iniei eastice în capătu iber a barei din figura.6. şi derivata Rezovare Pentru determinarea săgeţii se utiizează reaţia M w M dx. EI F Se cacuează momentu încovoietor în secţiunea x Rezută săgeata y M y ( x) F x M F x. j

24 . METODE ENERGETICE 7 ( )( ) y y I E F x x Fx EI w d 0. Pentru determinarea unghiuui de rotire, în punctu se introduce momentu fictiv. M 0 Fig..6 Se cacuează ( ) 0 M F x x M, 0 M M, apoi, înocuind în expresia momentuui încovoietor, se cacuează unghiu de rotire M 0 0 ( )( ) y y y I E F x Fx EI x M M M I E d d 0 0 ϕ..9. Deformaţii a încovoiere şi răsucire Pentru bare cotite soicitate a încovoiere şi răsucire, energia de deformaţie are expresia + n i t i t n i y i i i i i i i I G x M I E x M U d d, unde i este număru bareor drepte componente. Depasarea pe direcţia unei forţe exterioare este F + n i t i t i i t n i i y i i j i i i i x F M I G M x F M I E M F U d d δ, (.50)

25 8 REZISTENŢA MATERIALELOR Exempu.4 Se cere să se cacueze depasarea verticaă a capătuui iber a barei cotite din figura.7. Fig..7 Rezovare ( ) În cee două bare acţionează momentee încovoietoare M x F x, respectiv M x F şi momentu de răsucire M t F a. Se cacuează ( ) x derivatee în raport cu F. Săgeata în capătu iber este a w EI 0 sau EI + ( Fx )( x ) dx + ( Fx )( x ) dx ( F a)( a) F a F F a w + +. EI EI GI t 0 GIt 0 dx.9. Deformaţii a încovoierea simpă La o bară dreaptă, soicitată a încovoiere simpă, energia de deformaţie are expresia U Tz dx + GAf y M dx. EI unde A k A, iar factoru de forfecare k se poate cacua din condiţia (8.45) f f Tz G k f A A f τ xz da. G y

26 . METODE ENERGETICE 9 Dacă tensiunie tangenţiae τ xz se cacuează pe baza formuei ui Juravski (8.7), rezută k f A I y / A * S y b da La bara de secţiune dreptunghiuară b h z S * 4 y, 8 h. deci A S b * h y h da 64 h k f z 4 h 5 b h b dz 0 bh b h 5 0, 8. 5 b h 6 0 Exempu.5 Se cere să se cacueze săgeata în capătu iber a barei din figura.6 ţinând cont şi de efectu forţei tăietoare. deci Rezovare Apicând teorema ui Castigiano (.47), se obţine w w U F EI M dx + G A T y z M y Tz dx, y F f F EI ( Fx)( x) dx + F d y G A f 0 0 w F + F. E I y G A f x,

27 0 REZISTENŢA MATERIALELOR Se notează w w i + w f. Raportu între săgeata produsă de forţa tăietoare momentu încovoietor se obţine Ţinând cont că w i este ( +ν ) w f E I y. w G A E G, A f k f A, w w i f i 6 k f ( + ν ) f I y i y, A i y La o bară din oţe cu ν, de secţiune dreptunghiuară cu h w i y, rezută w f i 4 5 h.. w f şi săgeata produsă de 5 k f şi 6 h Pentru 5, w f 4 0, w 5 0 deci pentru bare scurte, având ungimea i de cinci ori mai mare ca înăţimea, săgeata datorită forţei tăietoare reprezintă numai % din cea datorită momentuui încovoietor..0 Metoda Mohr-Maxwe Într-o secţiune oarecare a unei bare drepte, soicitate a încovoiere simetrică, momentu încovoietor se poate exprima sub forma M m F j + μ, (.5) unde primu termen din membru drept arată contribuţia forţei termen arată contribuţia ceorate sarcini apicate barei. Se cacuează derivata în raport cu M F j F j F j, iar a doiea m. (.5)

28 . METODE ENERGETICE Înocuind expresia (.5) în reaţia (.48), rezută δ j M m dx. (.5) I E y Dacă în expresia (.5) se înocuieşte F şi μ 0, rezută M m, deci în reaţia (.5) m reprezintă momentu încovoietor într-o secţiune a barei care are aceeaşi rezemare ca bara studiată, dar este soicitată de o singură forţă egaă cu unitatea, apicată în punctu şi pe direcţia pe care se cacuează deformaţia. Unghiu de rotire se cacuează cu o reaţie simiară, în care m este momentu încovoietor produs în secţiunea x atunci când asupra barei acţionează un singur cupu ega cu unitatea, apicat în punctu respectiv. În genera, reaţia pentru cacuu depasărior a încovoiere prin metoda Mohr-Maxwe (874) are forma n u j i i M i mi ( E I ) i j dx, (.54) unde suma se extinde pe toate intervaee în care funcţia de integrat este diferită. Reaţii asemănătoare se stabiesc şi pentru ceeate soicitări. Fiind bazat pe o integraă, în care intervine expresia anaitică a efortuui produs de o sarcină unitate apicată în punctu şi pe direcţia depasării cacuate, procedeu se mai numeşte metoda sarcinii unitate sau metoda sarcinii fictive. În cazu unei bare soicitate a încovoiere obică, de un moment de componente M şi M, componentee depasării în ungu axeor centrae y neprincipae se pot cacua cu reaţiie I z Δy + I Δz δ y, E I I y z z yz I yz I yz Δy + I Δz δ z, E I I I y z y yz unde Δ y M m x y y d, Δ z M z m z dx. Exempu.6 Se cere să se cacueze săgeata a mijocu barei din figura.8, a. Rezovare Datorită simetriei, reaţia (.5) se scrie

29 REZISTENŢA MATERIALELOR w M m dx, EI y 0 F x unde M x, iar din figura.8, b se obţine m. Fig..8 Rezută F x x w dx EI y 0 F EI y. (.55) 48 Exempu.7 Se cere să se cacueze depasarea capătuui iber a barei din figura.9, a. Fig..9 Rezovare Momentee încovoietoare produse de forţa F sunt ( cosϕ ) M F, M F.

30 . METODE ENERGETICE Pentru determinarea componentei verticae a depasării, se consideră bara din figura.9, b, încărcată cu o forţă verticaă egaă cu apicată în secţiunea. Momentee încovoietoare în cee două porţiuni sunt w w Din reaţia (.5) rezută ( cosϕ ) m, m. π 4 EI y 0 y 0 ϕ dx, EI [ F ( cos )][ ( cosϕ )] dϕ + ( F )( ) ( cos ϕ cosϕ + ) π F 4F F π d 4 6 0, 7 EI ϕ + + y EI y EI 0 y Pentru determinarea componentei orizontae a depasării,, se consideră bara din figura.9, c, încărcată cu o forţă orizontaă egaă cu apicată în secţiunea. Momentee încovoietoare în cee două porţiuni sunt m sinϕ, m x Utiizând reaţia (.54), se obţine. w h F F h π 4 [ F ( )] ( F )( x) x EI cosϕ sinϕ dϕ + d 4 y EI. y EI y 0 0 EI y..0. Regua ui Vereşceaghin Pentru o porţiune dintr-o bară dreaptă soicitată a încovoiere, în figura.0 s-a reprezentat diagrama momenteor încovoietoare M, de formă oarecare, şi diagrama m, care în cazu genera are o variaţie iniară. Rezovarea integraei ui Mohr M m d x (.56) se poate face prin regua stabiită de A. N. Vereşceaghin (95). În secţiunea x, ordonata diagramei m este m x tgα. Eementu haşurat a diagramei M are aria d Ω M dx.

31 4 REZISTENŢA MATERIALELOR Cu aceste notaţii, integraa (.56) se poate scrie M m d x x tgα dω tgα x dω tgα x Ω η Ω. (.57) Rezută că integraa ui Mohr (.56) se poate cacua înmuţind aria Ω a diagramei M cu ordonata η a diagramei m, din dreptu centruui de greutate a suprafeţei diagramei M. Acest procedeu se numeşte regua ui Vereşceaghin. Fig..0 Fig.. De notat că regua ui Vereşceaghin se apică numai a bare drepte, a care diagrama m este iniară. Dacă diagrama m are porţiuni cu încinări diferite, reaţia (.57) se apică pe intervae cu pantă constantă. Dacă una din diagramee M sau m intersectează axa absciseor, atunci integrarea se poate face pe intervae determinate de punctu de intersecţie. Regua ui Vereşceaghin este uşor de apicat atunci când diagrama M se poate împărţi în suprafeţe a care se cacuează uşor suprafaţa şi poziţia centruui de greutate (fig..). La porţiunie de bară încărcate cu sarcină uniform distribuită, trebuie ca a unu din capetee intervauui forţa tăietoare să fie zero. În acest caz, diagrama M este o paraboă cu pantă nuă a capătu respectiv (fig.., b, c). Dacă forţa tăietoare este diferită de zero a ambee capete ae intervauui, diagrama M este o paraboă care nu are pantă nuă ce puţin a o extremitate şi reaţiie din figura. nu sunt apicabie. Se recomandă apicarea principiuui suprapunerii efecteor, deci separarea sarcinior exterioare şi construcţia diagramei momenteor încovoietoare separat pentru fiecare sarcină, rezutând diagrame mai simpe a care se pot cacua eementee din figura.. Dacă în urma apicării unei metode energetice se obţine o deformaţie negativă, rezută că aceasta are oc în sens contrar forţei sau cupuui unitate ce acţionează în punctu respectiv.

32 . METODE ENERGETICE 5 Exempu.8 Se cere să se cacueze panta iniei eastice în reazemu şi săgeata a mijocu barei din figura., a prin metoda Mohr-Maxwe şi regua de integrare a ui Vereşceaghin. Rezovare În figura., b s-a construit diagrama M. Pentru cacuu săgeţii construieşte sistemu din figura., c. Diagrama m este dată în figura., d. Deoarece diagrama m are pante diferite, cacuu se face pe intervae cu pantă constantă w F F. EI EI w, se Fig.. Fig..

33 6 REZISTENŢA MATERIALELOR Pentru cacuu unghiuui de rotire în reazemu, se apică un cupu ega cu pe reazemu barei din figura., e şi se construieşte diagrama m din figura., f. Apicând regua ui Vereşceaghin se obţine F F ϕ. EI 4 6 E I Exempu.9 Să se cacueze săgeata şi unghiu de rotire în secţiunea a barei din figura., a utiizând metoda Mohr-Maxwe şi regua ui Vereşceaghin. Rezovare Se determină reacţiunie şi se construieşte diagrama M (fig.., b). Deoarece pe intervau - împărţirea în paraboe cu pantă nuă a o extremitate este compicată, se construiesc diagramee parţiae din fig.., c, separat pentru sarcina distribuită şi pentru forţa concentrată. Pentru cacuu săgeţii în punctu, se apică în acest punct o forţă verticaă egaă cu (fig.., d). Se cacuează reacţiunie şi se trasează diagrama m' (fig.., e). Săgeata este w ( q ) ( ) + ( q ) ( ) q q +. EI EI EI EI Pentru cacuu unghiuui de rotire a secţiunii, se încarcă bara în această secţiune cu un cupu ega cu (fig.., f). Se cacuează reacţiunie şi se trasează diagrama m" (fig.., g). Unghiu de rotire este ( q ) ( ) + ( q )( ) q 5q ϕ +. EI EI EI 6 E I Întrucât atât săgeata cât şi unghiu de rotire sunt pozitive, depasarea şi rotirea vor avea oc în sensurie sarcinior unitate apicate. Exempu.0 Să se cacueze depasărie pe verticaă şi orizontaă, precum şi unghiu de rotire în secţiunea a barei cotite din figura.4, a. Se cunoaşte moduu de rigiditate a încovoiere EI. Rezovare Se trasează diagrama M (fig..4, b). Pentru cacuu depasării pe verticaă în punctu se apică în acest punct o forţă verticaă egaă cu (fig..4, c) şi se trasează diagrama m' (fig..4, d). 4

34 . METODE ENERGETICE 7 Fig..4 Fig..5 Utiizând regua ui Vereşceaghin, rezută depasarea pe verticaă 5F w ( F )( 4 ) ( F )( ) EI +. E I Pentru cacuu depasării orizontae în, se apică în acest punct o forţă orizontaă egaă cu unitatea (fig..4, e) şi se trasează diagrama m (fig..4, f). Rezută F h ( F). EI E I

35 8 REZISTENŢA MATERIALELOR Pentru cacuu unghiuui de rotire a secţiunii, se apică în această secţiune un cupu ega cu unitatea (fig..4, g) şi se trasează diagrama (fig..4, h). Rezută unghiu de rotire m ( )( ) ( )( ) EI F F F I E 5 + ϕ. Exempu. Să se cacueze săgeata în punctu de apicaţie a forţei şi unghiu de rotire în reazemu din stânga a barei în trepte din figura.5, a. Rezovare Momentee de inerţie axiae sunt 64 4 d I π şi 64 4 d I π. Se cacuează reacţiunie (fig..5, b) şi se trasează diagrama M (fig..5, c). Se apică o forţă egaă cu în secţiunea 4 (fig..5, d) şi se construieşte diagrama (fig..5, e). Se cacuează depasarea verticaă în secţiunea 4, utiizând regua ui Vereşceaghin pe patru intervae, determinate de satu de diametru şi satu de pantă în diagrama m m : F F F F E I F F E I w EI F EI F w Se apică un cupu ega cu în secţiunea (fig..5, f) şi se construieşte diagrama (fig..5, g). Se determină rotirea în secţiunea cu regua ui Vereşceaghin, tot pe patru intervae, fiind mai uşor de cacuat ariie din diagrama M, atfe fiind necesare doar trei intervae determinate de satu de diametru: m F F F F E I F F E I ϕ. EI F EI F ϕ

36 . METODE ENERGETICE 9.0. Formua ui Simpson O ată metodă de cacu a integraei ui Mohr (.56) pentru bare drepte se bazează pe formua stabiită de Newton, dar atribuită ui Thomas Simpson (77). Fig..6 Fig..7 Dacă intervau de integrare, de ungime, se împarte în două subintervae egae (fig..6) iar funcţia f x M x m x este aproximată prin o paraboă ( ) ( ) ( ) care să treacă prin punctee de a capetee intervauui, de ordonate f, f, şi de a mijocu acestuia, de ordonată cacua cu formua ui Simpson f B, atunci aria suprafeţei de sub curbă se poate f ( x) dx ( f A + f B fc ). (.58) Pentru porţiuni de bară încărcate cu o sarcină uniform distribuită q const. (fig..7), momentu încovoietor M x variază paraboic, momentu ( ) ( x) variază în genera iniar, deci funcţia M m m este un poinom de gradu ce mut trei şi integrarea este exactă. Dacă una din diagramee M sau m intersectează axa absciseor, atunci integrarea se face pe intervae determinate de punctu de intersecţie. Cacuu depasărior cu metoda Mohr-Maxwe se face împărţind bara în porţiuni pe care funcţia de integrat este diferită. Se utiizează reaţia n n Mi mi δ i j dx ( EI i y ) i 6( EI i y ) i i ( M AmA + 4M BmB + MCmC ) i A C. (.59)

37 0 REZISTENŢA MATERIALELOR Deoarece M M A + M C q, 8 B + reaţia de cacu a depasărior devine m B m A + m n i q j M A M C ( ma mc ) M AmA M C mc EI i y i δ (.60) 6 ( ) 4 i Pentru porţiuni de bară încărcate cu sarcină având o distribuţie iniară sau mai compicată, formua (.58) este aproximativă. Exempu. Să se cacueze depasarea verticaă a punctuui a barei din figura.8, a, prin metoda Mohr-Maxwe, utiizând regua ui Simpson şi regua ui Vereşceaghin. Rezovare Se trasează diagramee T (fig..8, b) şi M (fig..8, c). În vederea apicării reguii ui Vereşceaghin se construiesc diagramee M parţiae, separat pentru sarcina distribuită şi pentru forţa concentrată (fig..8, d). Se apică în punctu o forţă verticaă egaă cu (fig..8, e) şi se trasează diagrama m (fig..8, f). Apicând formua (.60) rezută depasarea pe verticaă w 4 q q q q + ( ) + ( ). 6EI EI Apicând regua ui Vereşceaghin separat pentru cee două diagrame parţiae din figura.8, d se obţine w 4 q q q ( ) + ( ). EI 4 EI 7 EI Exempu. Să se cacueze depasarea verticaă a punctuui a barei din figura.9, a, prin metoda Mohr-Maxwe, utiizând regua ui Simpson şi regua ui Vereşceaghin. Rezovare Se trasează diagramee T (fig..9, b) şi M (fig..9, c). Se apică în punctu o forţă verticaă egaă cu (fig..9, d) şi se trasează diagrama m (fig..9, e). Apicând formua (.60) rezută depasarea pe verticaă C

38 . METODE ENERGETICE w 4 q q q q + ( ) + ( ). 6 EI 4 4E I Fig..8 Fig..9 Deoarece în secţiunea forţa tăietoare nu este zero, paraboa din figura.9, c nu are pantă nuă în, deci reaţiie din figura., b nu sunt apicabie. Se construiesc diagramee de momente încovoietoare produse separat de forţa concentrată (fig..9, f) şi de sarcina distribuită (fig..9, g). Apicând succesiv regua ui Vereşceaghin se obţine w q ( q ) ( ) + ( ) q. EI EI 4 4E I 4 Exempu.4 Să se cacueze săgeata şi unghiu de rotire în secţiunea a barei din figura., a prin metoda Mohr-Maxwe şi regua ui Simpson.

39 REZISTENŢA MATERIALELOR Rezovare Se utiizează diagrama M din figura., b şi diagramee m' (fig.., e) şi m" (fig.., g). Săgeata este w 0 q EI 6 + EI 6 Unghiu de rotire este ϕ 0 q EI 6 + EI 6 q ( ) + ( q )( ) 4 q [( q )( ) + ( q )( ) ]. q EI + ( ) + ( q )( ) 5q [( q )( ) + ( q )( ) ]. 6EI +.0. Deformaţii în sisteme de bare articuate În cazu bareor soicitate a întindere-compresiune, deformaţiie se pot cacua cu reaţia N i ni δ j dx, (.6) E A unde n i N i i i i este forţa axiaă în secţiunea x a sistemuui soicitat de forţee exterioare, este forţa axiaă în secţiunea x a sistemuui cu aceeaşi rezemare, dar soicitat de o singură forţă egaă cu apicată în punctu şi pe direcţia ui δ j, iar E i A i este moduu de rigiditate a întindere-compresiune a barei i. Reaţia (.6) se poate deduce direct, pe baza unui raţionament anaog cu ce foosit a demonstrarea teoremei ui Betti. Pentru simpitate se va renunţa a indici pentru baree care compun sistemu. Se apică sistemuui o forţă egaă cu unitatea, pe direcţia depasării căutate δ. Forţa axiaă într-o secţiune dată este n. Energia potenţiaă de deformaţie (5.5) j este n dx. E A Se apică apoi forţee exterioare. Forţa axiaă datorită acestora este N. N dx. La aceasta se adaugă E A Energia de deformaţie corespunzătoare este

40 . METODE ENERGETICE ucru mecanic efectuat de forţa pe depasarea δ j produsă de forţee exterioare. Energia de deformaţie finaă totaă n dx E A N dx + E A + δ j (.6) este egaă cu energia de deformaţie acumuată în cazu apicării simutane a forţei N + n unitate şi a sarcinior exterioare, când forţa axiaă este ( ) ( N + n) Egaând expresiie (.6) şi (.6), rezută dx. (.6) E A N n δ j d x. (.64) E A La grinzie cu zăbree, forţee axiae şi moduee de rigiditate sunt constante pe ungimea bareor, deci reaţia (.64) devine δ j i Ni ni i. Ei Ai Exempu.5 Să se cacueze depasarea punctuui a sistemuui de bare articuate a capete din figura.0, a, a care pentru toate baree EA const. Rezovare Se cacuează întâi reacţiunie, apoi, utiizând metoda izoării nodurior, se determină eforturie în bare. Ţinând sema de convenţia de semne din Rezistenţa materiaeor N F, sinα F N tgα, N F. Pentru cacuu componentei verticae a depasării,, se apică o forţă verticaă egaă cu unitatea în punctu şi se determină eforturie în bare. Înocuind F în expresiie de mai sus, se obţine n, sinα n tgα, n. w

41 4 REZISTENŢA MATERIALELOR Reaţia (.6) devine w EA i Ni ni dx EA ( N n + N n + N n ) F F F F cos cosα + + sinα EA tg α sin α EA α + sin α +. sin α Fig..0 Pentru cacuu componentei orizontae a depasării,, se apică o forţă orizontaă egaă cu unitatea în punctu (fig..0, b) şi se cacuează eforturie în bare: Rezută n n 0, n. h h N n cosα F F cos α cosα. E A E A tgα E A sinα Depasarea totaă va fi w h u +.

42 . METODE ENERGETICE 5. Sisteme static nedeterminate Sistemee static nedeterminate (denumite şi sisteme hiperstatice) studiate în Rezistenţa materiaeor sunt sisteme eastice a care nu se pot determina toate eforturie cu ajutoru ecuaţiior de echiibru ae Staticii. Atunci când număru reacţiunior necunoscute, datorite egăturior, este mai mare decât număru ecuaţiior de echiibru static, sistemu este static nedeterminat exterior. Gradu de nedeterminare este ega cu diferenţa între număru necunoscuteor şi număru ecuaţiior de echiibru. Atunci când sistemu de bare conţine contururi închise, nu se pot determina eforturie interioare, sistemu fiind static nedeterminat interior. Un contur pan închis, soicitat de forţe copanare, este tripu static nedeterminat. În continuare se vor considera numai sisteme de bare pane, soicitate de forţe copanare, a care gradu de nedeterminare n este dat de reaţia n r + c e, unde r este număru reacţiunior exterioare, c- număru contururior închise, iar e este număru ecuaţiior de echiibru din statică... Metoda eforturior Se consideră un sistem static nedeterminat exterior. Înocuind egăturie cu reacţiuni, în afara forţeor exterioare, asupra sistemuui vor acţiona r reacţiuni, pentru cacuu cărora se dispune de trei ecuaţii de echiibru. Pentru rezovarea probemei, sunt necesare încă ( r ) ecuaţii, reprezentând condiţii de deformaţie. Se utiizează metoda eforturior, exprimând deformaţiie în funcţie de eforturi. Se transformă sistemu static nedeterminat (s.s.n.) într-un sistem static determinat (s.s.d.) echivaent, prin suprimarea unui număr corespunzător de egături, care se înocuiesc cu ( r ) forţe (sau momente) exterioare numite necunoscute static nedeterminate (reacţiuni hiperstatice) care se vor nota distinct cu j,..., r. X ( ) j Se scriu condiţiie de echivaenţă între s.s.d. echivaent şi s.s.n. Acestea sunt condiţii de deformaţie în punctee şi pe direcţiie necunoscuteor static nedeterminate, în care deformaţiie se exprimă în funcţie de eforturi. Se rezovă sistemu format din ecuaţiie provenite din condiţiie de deformaţie, din care se obţin necunoscutee static nedeterminate, apoi din ecuaţiie de echiibru se determină restu reacţiunior sau eforturior care acţionează în sistemu static

43 6 REZISTENŢA MATERIALELOR determinat echivaent. Astfe, probema se reduce a studiu sistemuui static determinat echivaent. De menţionat că a sisteme static nedeterminate compuse din bare de diferite secţiuni, în genera, se face un cacu de verificare a tensiunior din bare, deoarece a scrierea condiţiior de deformaţie trebuie cunoscute moduee de rigiditate ae bareor componente. La sisteme formate din o singură bară de secţiune constantă, din o bară în trepte cu rapoarte date între dimensiunie transversae ae diferiteor tronsoane sau din bare cu aceaşi modu de rigiditate se poate face şi un cacu de dimensionare... Teorema ui Menabrea Condiţiie de echivaenţă între sistemu static nedeterminat dat şi sistemu static determinat echivaent, se pot scrie utiizând a doua teoremă a ui Castigiano (.47). La sisteme static nedeterminate exterior, cu reazeme rigide fixe, depasărie pe direcţiie necunoscuteor static nedeterminate sunt nue, deci condiţiie de deformaţie se scriu sub forma U u j 0. (.65) X Reaţia (.65) exprimă anaitic teorema ui L. F. Menabrea (857): vaorie reacţiunior hiperstatice corespund unui minim a energiei potenţiae de deformaţie. Într-adevăr, reaţia (.65) indică o condiţie de extrem a energiei de deformaţie. Se demonstrează că acesta este un minimum dacă echiibru este stabi. În acest sens, teorema ui Menabrea corespunde principiuui acţiunii minime. În cazu bareor soicitate a încovoiere, reaţia (.65) devine M EI y M X j j d x 0, (.66) iar în cazu bareor cotite şi a cadreor, aceasta se extinde pe toate baree componente n i i E M i I i yi M X i j dx 0. (.67) Teorema ui Menabrea se apică şi sistemeor static nedeterminate interior: vaorie eforturior static nedeterminate, care acţionează în baree unui sistem în echiibru stabi, corespund unui minim a energiei potenţiae de deformaţie.

44 . METODE ENERGETICE 7 Exempu.6 Se cere să se traseze diagrama momenteor încovoietoare a bara din figura., a. Rezovare Înocuind egăturie cu reacţiuni (fig.., a), se pun în evidenţă patru reacţiuni, pentru cacuu cărora se dispune de numai trei ecuaţii de echiibru. Sistemu este simpu static nedeterminat. Se aege drept necunoscută static X nedeterminată şi se notează. Se desfiinţează reazemu simpu din punctu şi se construieşte sistemu static determinat echivaent (fig.., b). Forţa exterioară acţionează în capătu iber din punctu. X V Fig.. este Condiţia de echivaenţă între s.s.d. (fig.., b) şi s.s.n. (fig.., a) w 0, deci, deşi sistemu static determinat din figura., b are capăt iber în, se caută acea vaoare a forţei X care, acţionând asupra barei împreună cu sarcina distribuită q, face ca săgeata în punctu să fie nuă (ca şi cum ar exista un reazem simpu).