ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ

Transcript

1 Κεφάλαιο 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 9. ΓΕΝΙΚΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ Στα προηγούµενα κεφάλαια µελετήσαµε διάφορες υλοποιήσεις συναρτήσεων µεταφοράς δεύτερης τάξης µε χρήση ενεργών κυκλωµάτων, δηλαδή, τελεστικών ενισχυτών. Στην συνέχεια θα εξετάσουµε µια σειρά από µεθόδους υλοποίησης φίλτρων ανώτερης τάξης. Μέχρι τώρα, κατά την διαδικασία σχεδίασης είχαµε υποθέσει ότι η συνάρτηση µεταφοράς είναι γνωστή και δεδοµένη. Κάτι τέτοιο όµως δεν ισχύει όταν αντιµετωπίζουµε πραγµατικά προβλήµατα σχεδίασης. Στην πραγµατικότητα, ο σχεδιαστής έχει στην διάθεσή του ένα σύνολο προδιαγραφών του προβλήµατος από τις οποίες προκύπτουν τα χαρακτηριστικά πλάτους και φάσης της συνάρτησης µεταφοράς. Κατά συνέπεια, είναι αναγκαίο να βρεθεί µια διαδικασία, ώστε µε βάση την πληροφορία αυτή να διαµορφώσουµε µια αποδεκτή συνάρτηση µεταφοράς, την οποία θα υλοποιήσουµε στην συνέχεια. Βασικό εργαλείο γι'αυτό το σκοπό είναι το τετράγωνο του πλάτους της συνάρτησης µεταφοράς (square magitude fucti, T ( jω) ). Αν θεωρήσουµε την ιδανική µορφή των προδιαγραφών απόκρισης και προσπαθήσουµε να τις προσεγγίσουµε µε µεγάλη ακρίβεια, οδηγούµαστε σε συναρτήσεις µεταφοράς οι οποίες είναι αδύνατον να υλοποιηθούν την πράξη. Εποµένως, σε πραγµατικά προβλήµατα είναι απαραίτητο να ελαφρύνουµε σε κάποιο βαθµό τις απαιτήσεις των προδιαγραφών µας, επιτρέποντας τις συναρτήσεις πλάτους και φάσης να κινούνται µέσα σε ορισµένα όρια στην ζώνη διόδου και αποκοπής. Οι συναρτήσεις µεταφοράς που υπακούουν τις καινούργιες αυτές προδιαγραφές συνιστούν προσεγγιστικές λύσεις του ιδεατού αρχικού προβλήµατος. Αν στην προσπάθειά µας να προσεγγίσουµε τις ιδεατές προδιαγραφές όσον το δυνατόν πιο κοντά θεωρήσουµε πολύ αυστηρές προδιαγραφές, προκύπτουν συναρτήσεις µεταφοράς πολύ υψηλής τάξης. Σ αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να λάβουµε σοβαρά υπ'όψιν διάφορους παράγοντες όπως το κόστος κατασκευής, το µέγεθος, την δυσκολία ρύθµισης κ.λ.π. Με αυτή την λογική, το συνολικό πρόβληµα σχεδίασης Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9 -

2 Κατωδιαβατά Φίλτρα Butterwrth φίλτρων αποτελεί έναν συµβιβασµό ανάµεσα στις ιδεατές προδιαγραφές πλάτους-φάσης και σε µια ρεαλιστική και ευσταθή µορφή συνάρτησης µεταφοράς. Αφού έχει προσδιορισθεί µια κατάλληλη συνάρτηση µεταφοράς, αυτή µπορεί να υλοποιηθεί είτε µε παθητικά είτε µε ενεργά κυκλώµατα. Για συχνότητες κάτω των 00Hz οι ενεργές υλοποιήσεις είναι καλύτερες των αντίστοιχων παθητικών. Για συχνότητες µεγαλύτερες του MHz οι παθητικές υλοποιήσεις είναι η µόνη λύση. Στην ενδιάµεση περιοχή συχνοτήτων µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε είτε την µία είτε την άλλη µορφή υλοποίησης, ανάλογα µε τις περιστάσεις. Η διαδικασία υλοποίησης ενός πραγµατικού κυκλώµατος το οποίο να ικανοποιεί ένα σύνολο προδιαγραφών περιλαµβάνει τα παρακάτω στάδια: Προσδιορισµός της συνάρτησης µεταφοράς: Στο στάδιο αυτό το ζητούµενο είναι να βρεθεί µια ευσταθής και υλοποιήσιµη συνάρτηση µεταφοράς, της οποίας τα χαρακτηριστικά συχνότητας να πληρούν τις προδιαγραφές του φίλτρου που έχουν τεθεί. Υλοποίηση της συνάρτησης µεταφοράς: Στο στάδιο αυτό ο στόχος είναι να υλοποιηθεί η συνάρτησης µεταφοράς που βρέθηκε στο προηγούµενο στάδιο της διαδικασίας, µε βάση τα ενεργά κυκλώµατα που αναλύθηκαν µέχρι τώρα. Το βασικό πρόβληµα στην θεωρία των προσεγγιστικών µορφών είναι η προσέγγιση του κανονικοποιηµένου ιδεατού κατωδιαβατού φίλτρου. Τα χαρακτηριστικά συχνότητας του φίλτρου αυτού δίνονται στο Σχ.9.. T ( jω) LP θ(ω) ω p ω ω p ω - Ζώνη διόδου (α) Ζώνη αποκοπής (β) Σχ. 9. Το κανονικοποιηµένο ιδεατό κατωδιαβατό φίλτρο έχει κέρδος ή απόσβεση 0dB στην ζώνη διόδου (από µηδέν µέχρι rad / sec ) και κέρδος µηδέν ή απόσβεση άπειρη για όλες τις συχνότητες πάνω από rad / sec. Η φάση του φίλτρου είναι γραµική συνάρτηση της συχνότητας. Η συνάρτηση Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9 -

3 Κεφάλαιο 9 µεταφοράς είναι: jω T ( jω ) e 0 ω (9-) LP 0 ω > Οι πιο συνηθισµένες µορφές προσεγγιστικών φίλτρων είναι: Φίλτρα Butterwrth: Η συνάρτηση τετραγώνου του πλάτους των φίλτρων αυτών είναι µονότονα φθίνουσα για όλες τις συχνότητες ω 0. Για το λόγο αυτό τα φίλτρα Butterwrth χαρακτηρίζονται και σαν φίλτρα µέγιστης επιπεδότητας (maximally flat). Φίλτρα Chebyshev: Στα φίλτρα αυτά η συνάρτηση τετραγώνου του πλάτους εµφανίζει µια ισοϋψή διακύµανση στην ζώνη διόδου ενώ είναι µονότονα φθίνουσα στην ζώνη αποκοπής. Αντίστροφα φίλτρα Chebyshev: Στα φίλτρα αυτά η συνάρτηση τετραγώνου του πλάτους είναι µονότονα φθίνουσα στην ζώνη διόδου ενώ εµφανίζει µια ισοϋψή διακύµανση στην ζώνη αποκοπής. Ελλειπτικά φίλτρα: Στα φίλτρα αυτά τα οποία είναι γνωστά και σαν φίλτρα Caurer, η συνάρτηση τετραγώνου του πλάτους εµφανίζει µια διακύµανση και στην ζώνη διόδου και στην ζώνη αποκοπής. Φίλτρα Bessel: Στα φίλτρα αυτά πραγµατοποιείται µια προσέγγιση της γραµµικής συνάρτησης φάσης για συχνότητες κοντά στο µηδέν. Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να επισηµάνουµε ότι σύµφωνα µε τον Μ/Σ Hilbert, µια συνάρτηση µεταφοράς ελάχιστης φάσης χαρακτηρίζεται πλήρως αν προσδιορισθεί είτε το πλάτος είτε η φάση της συνάρτησης µεταφοράς. Αυτό σηµαίνει ότι η προσεγγιστική λύση που θα προκύψει θα αφορά είτε το πλάτος είτε την φάση της συνάρτησης µεταφοράς, αλλά όχι και τα δύο µαζί. Όπως θα διαπιστώσουµε στην συνέχεια, τα φίλτρα Butterwrth, Chebyshev, αντίστροφα Chebyshev καθώς και τα ελλειπτικά φίλτρα προσεγγίζουν το πλάτος της συνάρτησης µεταφοράς ενώ τα φίλτρα Bessel προσεγγίζουν την φάση της συνάρτησης µεταφοράς. Έστω, η συνάρτηση µεταφοράς: T ( jω) T ( jω) Arg{ θ ( ω)} (9-) Επειδή και T ( j ω ) T ( jω) (9-3) Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-3

4 Κατωδιαβατά Φίλτρα Butterwrth T ( jω) T ( jω) T ( jω) (9-4) η συνάρτηση τετραγώνου του πλάτους προκύπτει ως εξής: T ( jω) T ( s) T ( s) s jω (9-5) H συνάρτηση τετραγώνου του πλάτους µιας υλοποιήσιµης συνάρτησης µεταφοράς µπορεί να πάρει την γενική µορφή N( ω ) T ( jω) (9-6) D( ω ) και πληρεί τις παρακάτω ιδιότητες: Ο αριθµητής N και ο παρονοµαστής D του τετραγώνου του πλάτους είναι πολυώνυµα του ω Οι συντελεστες των πολυωνύµων N και D είναι πραγµατικοί αριθµοί Τα πολυώνυµα N και D είναι θετιοκά για όλες τις πραγµατικές συχνότητες ω 0. Θεωρούµε την παρακάτω προσεγγιστική µορφή του τετραγώνου του πλάτους: T( jω) N( ω ) (9-7) N( ω ) + Q( ω ) Τα πολυώνυµα N (ω ) και Q(ω ) είναι δυνατόν να πάρουν διάφορες µορφές και οι οποίες οδηγούν στις αντίστοιχες προσεγγιστικές µορφές φίλτρων. Ειδικότερα, το πολυώνυµο Q( ω ) επιλέγεται µε τέτοιο τρόπο ώστε να πληρούνται τα παρακάτω ζητούµενα: Η τιµή του Q (ω ) είναι πολύ µικρότερη από την αντίστοιχη τιµή του N (ω ) για συχνότητες µέσα στην ζώνη διόδου, έτσι ώστε το T ( jω) να προσεγγίζει την µονάδα στην περιοχή αυτή. Το Q(ω ) πρέπει να αυξάνει µε πολύ ταχύτερο ρυθµό από το N (ω ) για συχνότητες µεγαλύτερες από την συχνότητα αποκοπής, έτσι ώστε η T ( jω) να αποσβένυται ταχέως στην ζώνη αποκοπής. Σε πρώτη φάση στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουµε µεθόδους ανάπτυξης µιας προσεγγιστικής µορφής για το κανονικοποιηµένο ή πρωτότυπο ιδεατό κατωδιαβατό φίλτρο. Στην συνέχεια, µε βάση το πρωτότυπο φίλτρο, είναι δυνατόν µε κατάλληλους µετασχηµατισµούς συχνότητας να δηµιουργήσουµε ανωδιαβατά, ζωνοδιαβατά, ζωνοφρακτικά ή άλλης µορφής φίλτρα. 9. ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BUTTERWORTH Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-4

5 Κεφάλαιο 9 Θεωρώντας την T ( jω) στην µορφή (9-4) επιλέγουµε: N ( ω ), Q( ω ) a + a ω + a ω a ω (9-8) 4 4 Ο λόγος που υπαγορεύει την παραπάνω επιλογή είναι ότι η διαφορά βαθµών των πολυωνύµων N (ω ) και Q(ω ) θα πρέπει να είναι όσο το δυνατόν µεγαλύτερη, έτσι ώστε το πλάτος να αποσβένυται γρήγορα για µεγάλες συχνότητες. Επί πλέον, για να έχουµε κανονικοποιηµένη συνάρτηση µεταφοράς T ( j0 ) θα πρέπει να είναι a 0. Τέλος, η απαίτηση για µέγιστη επιπεδότητα της συνάρτησης πλάτους στις χαµηλές συχνότητες οδηγεί στην παρακάτω επιλογή: a a 4... a 0, a (9-9) ω Σ αυτή την περίπτωση, έχουµε την συνάρτηση µεταφοράς: T ( jω ) (9-0) ω + ω Η απόκριση αυτή είναι γνωστή σαν απόκριση Butterwrth και ο ακέραιος του φίλτρου Butterwrth. Αν κανονικοποιήσουµε την συχνότητα ω έτσι ώστε ω, έχουµε: 0 δηλώνει την τάξη ή T ( jω) T ( jω) (9-) + ω (9-) + ω Παρατηρώντας την απόκριση Butterwrth, διαπιστώνουµε ότι ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Για όλα τα ισχύουν τα παρακάτω: T ( j 0), T ( j) ή 3 db, T ( j ) 0 (9-3) Aυτό σηµαίνει ότι το κέρδος του φίλτρου στις χαµηλές συχνότητες (dc) είναι ή 0dB. Επίσης, η συχνότητα ω είναι η συχνότητα ηµίσειας ισχύος ή συχνότητα 3dB. Από την (9-0) προκύπτει ότι γενικότερα η συχνότητα 3dB συµβαίνει για ω ω 0. H συνάρτηση πλάτους του φίλτρου Butterwrth φθίνει µονότονα για ω 0, και εποµένως, η µέγιστη τιµή της T ( jω) συµβαίνει για ω0. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-5

6 Κατωδιαβατά Φίλτρα Butterwrth Από την (9-) προκύπτει: d ω T ( jω) dω ( + ω ) (9-4) Θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι d d T ( jω) T ( jω) T ( jω) (9-5) dω dω Από τις (9-), (9-4) και (9-5) έχουµε: d T ( jω) dω ω ( + ω ) 3 / 0 για ω 0 (9-6) Οι πρώτες (-) παράγωγοι του φίλτρου Butterwrth είναι µηδέν για ω 0. Γι αυτό τον λόγο τα φίλτρα Butterwrth λέγονται και φίλτρα µέγιστης επιπεδότητας (maximally flat magitude filters). Για ω << η (9-) γράφεται προσεγγιστικά: 4 T ( jω ) ω + ω... (9-7) Από την (9-7) έχουµε: d dω T ( jω ) 0,,,...,( ) (9-8) ω0 d dω T ( jω )! (9-9) ω 0 Η απόσβεση της απόκρισης Butterwrth στις υψηλές συχνότητες είναι 0dB/ εκάδα. Για ω >> η (9-) γίνεται: T ( jω) (9-0) ω και εποµένως η απόσβεση είναι a 0 lg T ( jω ) 0 lgω ( db) (9-) Στο Σχ.9. δίνεται η συνάρτηση πλάτους της απόκρισης Butterwrth για διάφορα. Επίσης, στα Σχ.9.3 και 9.4 δίνονται οι αποσβέσεις του φίλτρου Butterwrth στην ζώνη διόδου ( 0 rad / sec και στην ζώνη αποκοπής (ω>) αντίστοιχα. Τέλος, Από τα σχήµατα αυτά προκύπτουν οι παρακάτω παρατηρήσεις: Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-6

7 Κεφάλαιο 9 Όσο αυξάνει η τάξη του φίλτρου Butterwrth τόσο τα χαρακτηριστικά πλάτους και απόσβεσης προσεγγίζουν αυτά της ιδεατής κατωδιαβατής συνάρτησης. Συγκεκριµένα, το πλάτος στην ζώνη διόδου προσεγγίζει την µονάδα, ενώ στην ζώνη αποκοπής προσεγγίζει το µηδέν. Όσο αυξάνει η τάξη του φίλτρου τόσο πιο απότοµη είναι η µετάβαση από την ζώνη διόδου στην ζώνη αποκοπής. 9.. ΠΟΛΟΙ ΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ BUTTERWORTH Από την (9-5 έχουµε: T( s) T( s) T( jω ) ω s/ j (9-) ή T ( s) T ( s) ( s / j) + + ( ) s (9-3) Θεωρούµε ότι T ( s) (9-4) D ( s) όπου D ( s) είναι το πολυώνυµο Butterwrth. Οι πόλοι της Εξ.(9-3) είναι οι ρίζες του πολυωνύµου: D ( s) D ( s) + ( ) s (9-5) Η (9-5) έχει ρίζες οι οποίες περιγράφονται ως εξής: ή p exp π,,,..., (9-6) p π π cs ( ) + j si ( ) (9-7) Εφόσον η συχνότητα έχει κανονικοποιηθεί έτσι ώστε ω ο, οι ρίζες αυτές κείνται πάνω σε έναν µοναδιαίο κύκλο και έχουν τις παρακάτω γωνίες σε σχέση µε τον θετικό πραγµατικό άξονα: π ϑ,,,..., (9-8) Γενικά, όταν η συχνότητα ω 0 δεν είναι κανονικοποιηµένη, οι πόλοι κείνται πάνω σε ένα κύκλο µε ακτίνα ω 0 : Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-7

8 Κατωδιαβατά Φίλτρα Butterwrth p π π ω 0 cs ( ) + j ω 0 si ( ) (9-9) Στο Σχ.9.6 δίνονται οι θέσεις των πόλων για 4 και 5. Από τα σχήµατα αυτά προκύπτουν οι παρακάτω παρατηρήσεις: Oι πόλοι παρουσιάζουν συµµετρία ως προς τον πραγµατικό και τον φανταστικό άξονα Από τους πόλους οι πρώτοι πόλοι της (9-3) κείνται στο αριστερό ηµιεπίπεδο του µιγαδικού χώρου (LHP) ενώ οι υπόλοιποι πόλοι κείνται στο δεξιό ηµιεπίπεδο του µιγαδικού χώρου (RHP). Οι πόλοι στο LHP αντιστοιχούν σε ένα ευσταθές σύστηµα και είναι αυτοί που µας ενδιαφέρουν, ενώ οι άλλοι πόλοι στο RHP αντιστοιχούν σε ένα ασταθές σύστηµα.. Αποκρίσεις πλάτους Butterwrth 0.8 Τ(jω) Frequecy (rad/sec) Σχ.9. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-8

9 Κεφάλαιο 9 Αποκρίσεις Butterwrth στην ζώνη διόδου Πλάτος (db) Συχνότητα (rad/sec) Σχ Απόκριση Butterwrth στην ζώνη αποκοπής Πλάτος (db) Συχνότητα (rad/sec) Σχ.9.4 Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-9

10 Κατωδιαβατά Φίλτρα Butterwrth Επειδή µας ενδιαφέρουν οι πόλοι στο αριστερό ηµιεπίπεδο του µιγαδικού χώρου, θεωρούµε τις γωνίες ψ σε σχέση µε τον αρνητικό πραγµατικό άξονα. Για να βρούµε τις γωνίες αυτές ακολουθούµε τους παρακάτω απλούς κανόνες: Εάν το είναι περιττό, τότε ο πρώτος πόλος συµβαίνει για ψ 0. Αν το είναι άρτιο, τότε οι δύο πρώτοι πόλοι συµβαίνουν για γωνίες ψ π ή ±90 /. Σε σχέση µε τους πρώτους πόλους, οι υπόλοιποι πόλοι κατανέµονται στο LHP µε ίσες γωνίες για,,...,. Οι γωνίες µεταξύ των πόλων είναι ψ π ή 80 Στο Σχ.9.7 δίνονται οι πόλοι στο LHP για 4,5,6. / Im(s) Im(s) θ θ / θ / θ θ θ / θ / θ θ / Re(s) θ θ Re(s) θ / θ θ θ θ / θ / θ θ θ / θ / θ (α) Πόλοι για 4. Κανένας πόλος στον πραγµατικό άξονα (θ45ο) (β) Πόλοι για 5. Πόλος στον πραγµατικό άξονα (θ36ο) Οι πόλοι Εποµένως, p Σx.9.6 στο LHP εκφράζονται συναρτήσει των ψ κ ως εξής: p σ + jω csψ + jsi ψ,,,... (9-30) σ cs ψ, ω si ψ και p σ + ω (9-3) Γενικά οι πόλοι είναι p σ + jω ω siψ,,,... (9-3) 0 csψ + jω 0 Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-0

11 Κεφάλαιο 9 Im(s) Im(s) Im(s) ψ θ / θ θ / θ / θ θ θ / θ θ / θ / θ θ / θ / θ θ / θ θ / θ ο ψ ±. 5 ο ψ 0 ο ο ψ ± 5 ± 67. ο ο ψ 5 ψ ± 36 ο ψ ± 7 ψ ± 45 ο ψ ± 75 (α) Πόλοι για 4 (β) Πόλοι για 5 (γ) Πόλοι για 6 όπου Σx ω 0 p σ ω (9-33) Επιλέγουµε τους πόλους στο LHP και τους αντιστοιχίζουµε στο πολυώνυµο συνάρτηση µεταφοράς T ( s) T D ( s), δηλαδή στην T ( s). Οι υπόλοιποι πόλοι αντιστοιχούν στο πολυώνυµο D( s). Η εκφράζεται συναρτήσει των πόλων ως εξής: ( s) D ( s) s p s σ jω Επειδή οι πόλοι είναι συζηγείς µιγαδικοί, έχουµε: ( s p )( s p ) s Συνεπώς, η T ( s) γράφεται: ( σ + ω ) s + csψ + (9-34) σ s + (9-35) T ( s) / ( csψ ) s + s + αν άρτιος (9-36) ή T ( s) ( s + ) ( ) / s + s + ( csψ ) αν περιττός (9-37) όπου ψ κ είναι οι γωνίες των πόλων στο δεύτερο και τρίτο τεταρτηµόριο του µιγαδικού επιπέδου. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9 -

12 Κατωδιαβατά Φίλτρα Butterwrth Από την (6-35) προκύπτει ότι τα Q των πόλων είναι: Q csψ και η (9-36) για παράδειγµα γράφεται (9-38) / T ( s) (9-39) s + s + Q Παράδειγµα 9. Να βρεθούν τα πολυώνυµα Butterwrth για 3 και 4 Α. Οι πόλοι για 3 δίνονται στο Σχ.9.8. p + j 3 jω -σ σ p p 3 j 3 Σχ. 9.8 Οι γωνίες ψ είναι ψ 0, ± 60 και µε βάση την (9-3) οι πόλοι στο LHP είναι: p 3, +, 3 j (9-40) Εποµένως, ή 3 3 D3( s) ( s+ )( s+ j )( s+ + j ) ( s+ )( s + s+) (9-4) D3 ( s) ( s + )( s + cs 60 s + ) ( s + )( s + s + ) Τα Q των πόλων είναι: Q (για τον πραγµατικό πόλο) (9-4) Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9 -

13 Κεφάλαιο 9 Q (για το ζεύγος του µιγαδικού πόλου) cs 60 Β. Οι γωνίες ψ για 4 είναι ψ ±.5, ± (δύο ζεύγη µιγαδικών πόλων).εποµένως, D ( s) ( s + cs 5. + )( s + cs ) 4 ( s +.847s + ) ( s s + ) 4 3 s +.63s s +.63s + (9-43) Οι πόλοι p είναι: cs. 5 ± jsi ± j0. 38 cs ± jsi ± j0. 9 Είναι φανερό ότι η διαδικασία εύρεσης των πόλων της απόκρισης Butterwrth είναι συστηµατοποιηµένη. Για τον λόγο αυτό και για ευκολία στην σχεδίαση τα στοιχεία αυτά συνήθως παρατίθενται σε πίνακες για διάφορες τιµές του. Συγκεκριµένα, στον Πίν.9. δίνονται οι θέσεις των πόλων της απόκρισης Butterwrth για µέχρι 0. Στον Πίν.9. δίνονται οι συντελεστές των πολυωνύµων Butterwrth. Τέλος, στον Πίν.9.3 δίνονται τα Q για κάθε ζεύγος πόλων. 9.. ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΕΣ ΚΑΙ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ BUTTERWORTH Το κέρδος του φίλτρου Butterwrth συναρτήσει της συχνότητας σε db είναι: A( ω ) 0 lg T ( jω) 0 lg T ( jω) ( db) (9-44) Η συνάρτηση απόσβεσης του φίλτρου είναι: a( ω ) A( ω ) (9-45) Είναι φανερό ότι οι συναρτήσεις πλάτους µε τα ιδανικά χαρακτηριστικά του Σχ.9. δεν είναι δυνατόν υλοποιηθούν. Οι πραγµατικές προδιαγραφές κατωδιαβατού φίλτρου για ένα σχεδιαστή δίνονται στο Σχ.9.9. Οι προδιαγραφές αυτές περιλαµβάνουν τα ακόλουθα στοιχεία: Την ζώνη διόδου η οποία εκτείνεται από το dc µέχρι την συχνότητα διόδου ω p (pass bad frequecy) Την ζώνη αποκοπής η οποία εκτείνεται από την συχνότητα αποκοπής ω s (stp bad frequecy) µέχρι το άπειρο. Στην ζώνη διόδου η απόσβεση θα πρέπει να είναι ελάχιστη και συγκεκριµένα θα πρέπει να είναι µικρότερη από. a max Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-3

14 Κατωδιαβατά Φίλτρα Butterwrth Στην ζώνη αποκοπής η απόσβεση θα πρέπει να είναι µέγιστη και συγκεκριµένα θα πρέπει να είναι µεγαλύτερη από a mi. Συνολικά οι προδιαγραφές περιγράφονται από το σύνολο των παραµέτρων ω,, a max, a ). Με βάση τις παραµέτρους αυτές τα ( p ω s mi και ω 0 θα πρέπει να προσδιορισθούν κατάλληλα έτσι ώστε η συνάρτηση πλάτους να πληρεί τις προδιαγραφές που έχουν τεθεί. Στη φάση αυτή το ω 0 είναι µια άγνωστη παράµετρος σχεδίασης και ω αφού το φίλτρο είναι πραγµατικό. LP α mi db a α max ω p ω s ω Σχ. 9.9 Από την (9-0) η συνάρτηση απόσβεσης είναι: a + ω 0lg ω και εποµένως db (9-46) + ω ω 0 a/ 0 (9-47) Με βάση την (9-4) η ω 0 δίνεται από την σχέση: ω ω (9-48) a /0 / [ 0 ] Από την παραπάνω σχέση φαίνεται ότι το ω 0 προκύπτει αν δοθούν τα ω και τα αντίστοιχα στην (9-48) θέσουµε ω ω p και a a έχουµε: max a. Αν ω p ω 0 amax /0 Οµοίως, προκύπτει ότι (9-49) Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-4

15 Κεφάλαιο 9 ω s ω 0 ami /0 Από τις (6-49) και (6-50) έχουµε: (9-50) ω s ω p 0 0 Εποµένως, έχουµε amax /0 ami /0 a /0 /0 [ ) /(0 ) ] mi a max (9-5) lg (0 (9-5) lg( ω / ω ) s p Η παραπάνω σχέση δίνει την απαιτούµενη τάξη του φίλτρου Butterwrth. Αν το που προκύπτει από την (9-5) δεν είναι ακέραιος, τότε στρογγυλοποιείται στον αµέσως µεγαλύτερο ακέραιο αριθµό. Το ω 0 που απαιτείται προκύπτει από την (9-48) αν όπου ω και τεθούν τα κατάλληλα µεγέθη. Επειδή το γενικά δεν είναι ακέραιος οι προδιαγραφές δεν πληρούνται ακριβώς. Έτσι, αν θέλουµε να έχουµε ω ω ω p για a a max τότε το ω 0 προκύπτει από την σχέση: ω p max / / a 0 [ 0 ] a (9-53) Σ'αυτή την περίπτωση, για ω ω S θα έχουµε a> (Σχ.9.0(α)), δηλαδή υπερκαλύπτονται οι a mu προδιαγραφές στην συχνότητα αποκοπής. Αν θέλουµε να έχουµε a a mi για s ω ω τότε το ω 0 προκύπτει από την σχέση ω ω (9-54) S a /0 / [ 0 mi ] Σ αυτή την περίπτωση θα έχουµε προδιαγραφές στην συχνότητα διόδου. Από την (9-48) ορίζουµε την παράµετρο / 0 0 a max a< a max για ω ω p (Σχ.9.0(β)), δηλαδή υπερκαλύπτονται οι ε (9-55) Με βάση την (9-49) έχουµε ω ε ω 0 ω ε ω p Ω (9-56) Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-5

16 Κατωδιαβατά Φίλτρα Butterwrth LP Υπερκάλυψη απόσβεσης LP α mi db a α max a(ω) α mi db a α max Μικρότερη απόσβεση a(ω) ω p ω s ω ω p ω s ω (α) (β) όπου γίνεται Σx.9.0 Ω ω είναι η κανονικοποιηµένη συχνότητα σε σχέση µε την συχνότητα διόδου. Η (9-48) ω p ω ω 0 ε Ω και η απόκριση Butterwrth περιγράφεται ως εξής: (9-57) T ( jω ) (9-58) + ε Ω Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι για Ω, δηλαδή ω ω p έχουµε T ( jω p ) (9-59) + ε και η απόσβεση είναι ( ) a ( ω ) 0lg + ε (9-60) p Είναι φανερό ότι το ε καθορίζεται ανάλογα µε το a max. Για a max 3 ( db) έχουµε ε και η ω p γίνεται η συχνότητα ηµίσειας ισχύος. Η (9-58) αποτελεί µια διαφορετική µορφή της (9-0). Η αξία της σχέσης αυτής έγκειται στο γεγονός ότι µας επιτρέπει να συγκρίνουµε τις αποκρίσεις Butterwrth και Chebychev που θα εξετάσουµε στην συνέχεια. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-6

17 Κεφάλαιο 9 Θέσεις των πόλων της απόκρισης Butterwrth N ± j ± j ± j0938. ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j0386. ± j0950. ± j ± j ± j ± j ± j Πιν. 9. ± j0588. ± j0788. ± j ± j ± j ± j0950. ± j ± j ± j0564. Συντελεστές των πολυωνύµων Butterwth B ( s) s + a s + + as+ a 0 a 0 a a a 3 a 4 a 5 a 6 a Πιν. 9. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-7

18 Κατωδιαβατά Φίλτρα Butterwrth Q των πόλων Butterwrth για άρτια Πιν. 9.3(α) Q των πόλων Butterwrth για περιττά Πιν. 9.3(β) ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ BUTTERWORTH Η σχεδίαση των φίλτρων Butterwrth περιλαµβάνει τα ακόλουθα βήµατα: Υπολογίζουµε την τάξη από την (9-5). Αν το δεν είναι ακέραιος στρογγυλοποιούµε στον αµέσως παραπάνω ακέραιο. Βρίσκουµε το ω από την (9-53) ή την (9-54) ανάλογα µε την επιλογή. Από την (9-38) ή τον Πίν.9.3 βρίσκουµε τις θέσεις και τα Q των πόλων. Σχεδιάζουµε τις κανονικοποιηµένες µονάδες δεύτερης τάξης µε ένα από τα κατωδιαβατά κυκλώµατα που αναλύθηκαν στα προηγούµενα κεφάλαια. Κλιµακοποιούµε στην συχνότητα και πλάτος για να προκύψουν στοιχεία µε πραγµατικές τιµές. Τέλος, ρυθµίζουµε το κέρδος αν απαιτείται για να προσαρµοστούµε ανάλογα στις προδιαγραφές. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-8

19 Κεφάλαιο 9 Παράδειγµα 9. Στο Σχ. 9.9 θεωρούµε τα παρακάτω στοιχεία: a 05dB, ami 0 d B max. ω p π rad /sec, ω S π rad /sec Να υλοποιηθεί ένα φίλτρο Butterwrth που να πληρεί τις παραπάνω προδιαγραφές. ΛΥΣΗ Από την Εξ.(9-5) βρίσκουµε: lg (0 0 /0 0.5 /0 [ ) /(0 ) ] lg() και στρογγυλοποιούµε στο 5 Από την (9-53) έχουµε: ω π / [ 0 ] 0 / rad /sec Από τον Πιν.9.3 προκύπτει οτι οι γωνίες, τα Q και οι θέσεις των πόλων των πόλων είναι: ψ κ Q p ± ± j ± ± j Οι πόλοι κείνται πάνω σε ένα κύκλο µε ακτίνα ω Κατά συνέπεια, η συνάρτηση µεταφοράς που πρέπει να υλοποιηθεί σε διαγραµµατική µορφή δίνεται στο Σχ.9.. ω Q 05. ω ω Q 06. Q 6. Μονάδα Μονάδα Μονάδα 3 Σχ. 9. Θεωρούµε προσωρινά ότι ω ο και υλοποιούµε τις κανονικοποιηµένες µονάδες. Στην συνέχεια, κλιµακοποιούµε την συχνότητα µε f ω ο για να πάρουµε τα πραγµατικά στοιχεία. Μονάδα (Ι) Η µονάδα αυτή είναι ένα κατωδιαβατό φίλτρο πρώτης τάξης (κεφ.) και αντιστοιχεί στον Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-9

20 Κατωδιαβατά Φίλτρα Butterwrth πραγµατικό πόλο. p T( s) s+ p Επιλέγουµε R Κλιµακοποίηση Επειδή ω ο 0ΚΩ πρέπει, όπου p C. ω RC ( ) rad /sec, επιλέγουµε f ω ο Επι πλέον, για να έχουµε αντιστάσεις m 0 4. Εποµένως, τα πραγµατικά στοιχεία είναι R 0 KΩ και C. 89 F. Μονάδα (ΙΙ) Την µονάδα αυτή την υλοποιούµε µε το κατωδιαβατό φίλτρο Salle-Key (στρατηγική ) για απλότητα στο κέρδος. C Q. 4, C, R R Q , Κλιµακοποιούµε και πάλι θεωρώντας f C 5. 99F, C 0. 4F, R R 0KΩ ω ο και m 0 4. Εποµένως, έχουµε: ΜΟΝΑ Α (ΙΙΙ) Ακολουθούµε την ίδια διαδικασία µε την προηγούµενη µονάδα. C Q 3. 4, C 3, R R Q , 3 3 Κλιµακοποιούµε µε f 3 ω ο και m 0 4 και έχουµε: C F, C F, R3 R3 0KΩ. Το κανονικοποιηµένο κύκλωµα δίνεται στο Σχ. 9.(α), ενώ το τελικό κύκλωµα στο Σχ. 9.(β). Η συνάρτηση µεταφοράς που υλοποιούν οι µονάδες του Σχ.9.(β) είναι συνολικά: ω 0 ω ω T LP ( s) T ( s) T ( s) T3 ( s) (9-6) s + ω 0 ω 0 ω 0 s + s + ω 0 s + s + ω 0 Q Q Στο Σχ.9.3 φαίνονται τα πλάτη των T ( j ), T ( j ) και T ( j ) καθώς και το πλάτος της ω 0 ω 3 ω 0 συνολικής συνάρτησης ( jω) T LP συναρτήσει της συχνότητας. Επίσης στο Σχ.9.4 φαίνεται η συνάρτηση απόσβεσης της T LP (s) συναρτήσει της συχνότητας. Στο σχήµα σηµειώνονται οι δύο κρίσιµες συχνότητες που αντιστοιχούν στην συχνότητα διόδου f p 000 Hz και στην συχνότητα αποκοπής f s 000 Hz. Είναι φανερό ότι σύµφωνα µε τους κανόνες σχεδίασης η απόσβεση είναι Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-0

21 Κεφάλαιο 9 0.5dB στην συχνότητα f ενώ υπάρχει περίσσεια απόσβεσης για την συνότητα f καθώς και για µεγαλύτερες συχνότητες. p s Q Q V i R C Q + - Q V Μονάδα Μονάδα Μονάδα 3 Σχ. 9.(α) ΜΟΝΑ Α Ι ΑΠΟΜΟΝΩΣΗ ΜΟΝΑ Α ΙΙ 5.99 F V i 0KΩ + - 0KΩ 0KΩ F 0.4 F ΜΟΝΑ Α ΙΙΙ 4.78 F 0KΩ 0KΩ 3.98 F V Σχ. 9.(β) Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9 -

22 Κατωδιαβατά Φίλτρα Butterwrth 0 Bde Magitude Diagram Butterwrth 5th rder 5 T(s) 0 Magitude (db) T(s) T3(s) -0 T(s) Frequecy (Hz) Σχ Bde Magitude Diagram Butterwrth 5th rder 30 Magitude (db) Frequecy (Hz): e+003 Magitude (db): 0.9 α(ω) 5 Frequecy (Hz): e+003 Magitude (db): Frequecy (Hz) Σχ.9.4 Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9 -

23 Κεφάλαιο ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ CHEBYSHEV Οπως είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο, η προσέγγιση Butterwrth εξαντλεί όλους τους βαθµούς ελευθερίας ώστε να πετύχει απόκριση συχνότητας βέλτιστα επίπεδη για ω0 και γενικά για χαµηλές συχνότητες. Μια εναλλακτική λύση θα ήταν να επιτρέψουµε στην απόκριση πλάτους να έχει µιά µικρή και οµαλή διακύµανση σε όλη την ζώνη διόδου για να πετύχουµε µεγαλύτερη πτώση στην ζώνη αποκοπής. Η προσέγγιση αυτή οδηγεί στα φίλτρα Chebyshev. Αν στην (9-7) θεωρήσουµε N ( ω ) και Q( ω ) ε C ( ω) τότε η συνάρτηση πλάτους γράφεται ως εξής: T ( jω) (9-6) + ε C ( ω) ή T ( jω) (9-63) + ε C ( ω) όπου 0< ε είναι µια παράµετρος η οποία ελέγχει το πλάτος της διακύµανσης. Η συνάρτηση πλάτους της (9-63) λέγεται απόκριση πλάτους Chebyshev και C ( ω ) είναι τα γνωστά πολυώνυµα Chebyshev, η τάξης τα οποία ορίζονται ως εξής: C( ω ) cs cs ω, ω (9-64) 9.3. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ CHEBYSHEV (Ι.) Τα πολυώνυµα Chebyshev υπακούουν στην επαναληπτική σχέση : C+ ( ω ) ωc( ω ) C ( ω ) (9-65) όπου C ( ω ), C ( ω ) ω. Με βάση την (9-65) προκύπτουν διαδοχικά τα πολυώνυµα C C C 3 4 ( ω) ω ( ω) 3ω + 4ω 3 4 ( ω) 8ω + 8ω : (Ι.) Για όλα τα έχουµε : 0 C ( ω) για 0 ω (9-66) και Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-3

24 Κατωδιαβατά Φίλτρα Chebyshev C ( ω) > για ω > (9-67) Με άλλα λόγια, τα πολυώνυµα Chebyshev κινούνται µεταξύ - και για συχνότητες στο διάστηµα από - µέχρις, και αυξάνουν µονότονα για συχνότητες έξω από το διάστηµα αυτό. Στο Σχ.9.3 δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των πολυωνύµων Chebyshev για,...,6. (Ι.3) Τα πολυώνυµα C ( ω ) αυξάνουν µονότονα για ω, για όλα τα. (Ι.4) Το C ( ω ) είναι άρτιο (περιττό) πολυώνυµο του ω όταν το είναι άρτιο (περιττό). (Ι.5) C ( 0) 0 όταν περιττό και C ( 0) όταν άρτιο (9-68) (Ι.6) Το πολυώνυµο Chebyshev C ( ω ) ορίζεται στις διάφορες περιοχές συχνοτήτων ως εξής: C( ω) cs cs και ω για ω (9-69) C ( ω) csh csh ω για ω > (9-70) Κατά συνέπεια, θα χρησιµοποιούµε τις µορφές (9-69) ή (9-70) ανάλογα µε την τιµή του ω που θεωρούµε. Σχ. 9.3 Στο Σχ.9.4 δίνεται η παράσταση της απόκρισης Chebyshev για κάποιο ε. Από το Σχ.9.4 και τις ιδιότητες των πολυωνύµων Chebyshev προκύπτουν οι παρακάτω ιδιότητες για την απόκριση Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-4

25 Κεφάλαιο 9 Chebyshev: Ι) Από την ιδιότητα (Ι.5) των πολυωνύµων Chebyshev έχουµε: T ( j0) όταν περιττό (9-7) Chebyshev respse 5th rder + ε a ( db) max και Σχ. 9.4 T ( j0) όταν άρτιο (9-7) + ε ΙΙ) Επειδή C ( ) για όλα τα, έχουµε: T ( j) για όλα τα (9-73) + ε ΙΙΙ) Για ω η συνάρτηση πλάτους µειώνεται µονότονα προς το µηδέν. Ο ρυθµός πτώσης του πλάτους είναι 0 db / dec. Από τις ιδιότητες (Ι)-(ΙΙΙ) προκύπτει οι παρακάτω παρατηρήσεις: Η ( jω) T κυµαίνεται στην ζώνη (-,) ανάµεσα σε µια µέγιστη τιµή που συµβαίνει όταν C ( ω ) 0 και σε µια ελάχιστη τιµή ( + ε ) / που συµβαίνει όταν C ( ω ). Στην περιοχή αυτή συχνοτήτων υπάρχουν κυµατώσεις της απόκρισης ή µέγιστα και + ελάχιστα. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-5

26 Κατωδιαβατά Φίλτρα Chebyshev Η περιοχή συχνοτήτων από ω 0 µέχρι ω ορίζει την ζώνη διόδου, ενώ για ω > έχουµε την ζώνη αποκοπής. Η συνάρτηση απόσβεσης του φίλτρου Chebyshev ορίζεται ως εξής: a 0lg T( jω) 0lg [ + ε C( ω )] (9-74) Η µέγιστη τιµή της απόσβεσης a max στην ζώνη διόδου (0,) συµβαίνει όταν C ( ω ), οπότε έχουµε: a max 0lg( + ε ) (9-75) Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι ε 0 amax /0 (9-76) Είναι φανερό ότι το ε ορίζεται συναρτήσει του α. Για α 3( db) έχουµε ε. Στην πραγµατικότητα όµως θα θεωρούµε απόσβεση στην ζώνη διόδου πολύ µικρότερη από 3dB. Εποµένως η παράµετρος αυτή κινείται στο διάστηµα 0 < ε <. Η διακύµανση της απόσβεσης του φίλτρου Chebyshev στην ζώνη διόδου δίνεται στο Σχ.9.5 για διάφορα. Επίσης, στο Σχ.9.6 φαίνεται ενδεικτικά η απόσβεση του φίλτρου στην ζώνη διόδου και αποκοπής για διάφορα και για a max 05. και db αντίστοιχα. Με βάση την (9-6), η συχνότητα ηµίσειας ισχύος (3dB), ω hp, βρίσκεται από τη σχέση: max max ε C ( ω ) hp (9-77) Εποµένως, C ( ω hp ) csh csh ω hp (9-78) ε Τελικά, προκύπτει ότι ω hp csh csh ( ) (9-79) ε Συνδυάζοντας τις Εξ.(9-78) και (9-76) έχουµε: /0 / ω csh csh (0 amax hp ) (9-80) Από την Εξ.(9-80) συνάγεται ότι για 0< ε < έχουµε ω hp >. Εποµένως, ενώ στο φίλτρο Butterwrth έχουµε πάντα ω hp, στο φίλτρο Chebyshev έχουµε ω hp >. Αν όµως θεωρήσουµε ε ( a max 3 db), τότε και για το φίλτρο Chebyshev προκύπτει επίσης ω hp (βλ Σχ.9.7). Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-6

27 Κεφάλαιο 9 Στο Σχ.9.8 δίνεται µια τυπική απόκριση απόσβεσης Chebyshev. Στο φίλτρο Chebyshev η συχνότητα διόδου ορίζεται πάντα ω και η ζώνη διόδου ορίζεται στο διάστηµα [0,]. Είναι p φανερό ότι οι προδιαγραφές του φίλτρου Chebyshev περιγράφονται απο τις παραµέτρους, a mi και ω s. Η απόσβεση a βρίσκεται από την (9-74) ως εξής: mi a max Σχ.9.5 Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-7

28 Κατωδιαβατά Φίλτρα Chebyshev Σχ.9.6α a mi [ ( ω ) ] Σχ.9.6β a ( ω ) 0 lg + ε C (9-8) όπου C ( ω ) δίνεται από την Εξ.(9-70) Εποµένως, έχουµε s s ε csh ( csh ω s ) 0 a mi /0 (9-8) Αν αντικαταστήσουµε το ε από την Εξ.(9-76) και λύσουµε ως προς έχουµε: Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-8

29 Κεφάλαιο 9 a a csh ( mi / ) / ( max / ) 0 csh ω s / (9-83) Σχ.9.7 a( ω) ( db) Χαρακτηριστικά απόσβεσης φίλτρου Chebyshev a mi a max ω s Σχ.9.8 Παράδειγµα 9.3 Οι προδιαγραφές ενός φίλτρου Chebyshev είναι: a max 05., ami 0dB, ω p, ω s rad /sec Να βρεθεί η τάξη του φίλτρου και η συχνότητα 3dB, ω hp. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-9

30 Κατωδιαβατά Φίλτρα Chebyshev ΛΥΣΗ csh ( 8. 48) csh ( ) Η συχνότητα 3dB προκύπτει από την Εξ.(9-79): ω hp csh csh 4 ( ).093 Για τις ίδιες προδιαγραφές η τάξη του φίλτρου Butterwrth από την (9-5) είναι: lg( 8. ) lg( ) 9.3. ΠΟΛΟΙ TΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ CHEBYSHEV Σύµφωνα µε την (9-5) έχουµε: T ( s) T ( s) T ( jω) ω s / j + ε C s ( ) j (9-84) Οι πόλοι του φίλτρου προκύπτουν από την σχέση: ε C s ( )+ 0 (9-85) j ή s C ± j Για ω <, έχουµε: C s j j ε cs cs s j cs w όπου w είναι ένας µιγαδικός αριθµός ο οποίος ορίζεται ως εξής (9-86) (9-87) s cs w u + jv (9-88) j από τις Εξ.(9-87)-(9-88) προκύπτει ότι csw csu csh v j si u sih v ± j ε Άρα, ισχύουν οι σχέσεις: csu csh v 0 (9-89) si u sih v ± j ε (9-90) Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-30

31 Κεφάλαιο 9 Η συνάρτηση csh v µεταβάλλεται από µέχρις και εποµένως δεν µηδενίζεται. Κατά συνέπεια, η (9-89) µηδενίζεται για τιµές του u που µηδενίζουν την cs u : u π ( ),,,..., (9-9) Για τις τιµές αυτές του u έχουµε si u ± και από την (9-90) προκύπτει: v Για κάθε τιµή του s ± sih ( ) ±a ε w u + jv αντιστοιχεί ένας πόλος (9-9) σ + jω (9-93) Από την Εξ.(9-88) έχουµε: s ( ) π j cs w j cs ( u + jv ) j cs + ja Εποµένως, τα πραγµατικά και φανταστικά µέρη των πόλων είναι (9-94) σ ( ) ± sih a si π (9-95) ( ) ω csh a cs π (9-96) Από τις Εξ.(9-95) και (9-96) προκύπτει εύκολα ότι: σ ω + sih a csh a (9-97) Αποδεικνύεται λοιπόν ότι οι πόλοι του φίλτρου Chebyshev κείνται πάνω σε µια έλλειψη (Σχ. 9.9) µε µέγιστο ηµιάξονα csha, ελάχιστο ηµιάξονα siha και κέντρα στα σηµεία ± j. Οι πόλοι που βρέθηκαν παραπάνω είναι πόλοι της συνάρτησης µεταφοράς T ( s ) T ( s). Όπως και στην περίπτωση Butterwrth, από τους πόλους συνολικά, επιλέγουµε τους ευσταθείς πόλους οι οποίοι κείνται στο LHP και τους αντιστοιχούµε στην στο RHP αντιστοιχούν αυτόµατα στην T ( s). T (s). Οι υπόλοιποι πόλοι που κείνται Απο τις (9-95) και (9-96) οι ευσταθείς πόλοι προκύπτουν απο τις παρακάτω σχέσεις: σ ω ( ) sih a si π (9-98) ( ) csh a cs π,,..., (9-99) Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-3

32 Κατωδιαβατά Φίλτρα Chebyshev jω csh a j σ sih a j Σχ. 9.9 Παράδειγµα 9.4 Να βρεθούν οι πόλοι του φίλτρου Chebyshev για 3 και ΛΥΣΗ amax 0. 5dB. και ε a a / [ 0 max /0 ] sih 3 ( ) csh a.8 sih a Οι γωνίες u για,, 3 u 30,90, 50 Οι ευσταθείς πόλοι είναι u είναι: + 30 s 0.66 si(30 ) + j.8 cs(30 ) 0.33 j.0 u 90 s 0.66 si(90 ) + j.8 cs(90 ) 0.66 u 50 s si(50 ) + j.8 cs(50 ) 0.33 j.0 Εποµένως, η συνάρτηση µεταφοράς Chebyshev που αντιστοιχεί είναι: T 3 ( s) ( s )( s s +.445) ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ GUILLEMIN Η µέθοδος Guillemi προσφέρει εναν πολύ πιο εύκολο τρόπο, για να καθοριστούν οι ευσταθείς πόλοι της απόκρισης Chebyshev. Θεωρούµε από την (9-9) τις γωνίες θ u οι οποίες ορίζουν την θέση των πόλων Chebyshev. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-3

33 Κεφάλαιο 9 ( ) π φ,,,..., (9-00) Ορίζουµε, τις συµπληρωµατικές γωνίες ψ 90 φ (9-0) Αποδεικνύεται ότι, αν φ είναι οι γωνίες Chebyshev µε αναφορά τον θετικό πραγµατικό άξονα, ψ είναι οι γωνίες Butterwrth µε αναφορά τον αρνητικό πραγµατικό άξονα. Είναι γνωστό οτι οι γωνίες Butterwrth που αντιστοιχούν σε ευσταθείς πόλους µπορούν να προσδιορισθούν πολύ εύκολα. Με βάση την (9-0) και τις (9-95)-(9-96) οι πόλοι της απόκρισης Chebyshev προκύπτουν από τις παρακάτω σχέσεις: σ sih a csψ (9-0) ± ω csh a siψ (9-03) Είναι φανερό ότι υπάρχει άµεση σχέση ανάµεσα στους πόλους Chebyshev και τους πόλους Butterwrth. Η διαδικασία του αλγορίθµου Guillemi φαίνεται στο Σχ.9.9 από το οποίο µπορούν να προσδιορισθούν οι θέσεις των πόλων Chebyshev γραφικά ακολοθώντας την παρακάτω πορεία. Θεωρούµε την έλλειψη Chebyshev µε µέγιστο ηµιάξονα csh a και ελάχιστο ηµιάξονα sih a. Θεωρούµε επίσης δύο κύκλους µε ακτίνες csh a και sih a αντίστοιχα, οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά και εσωτερικά της έλλειψης. Σχεδιάζουµε τις ευθείες που καθορίζονται από τις γωνίες Butterwrth ψ. Στο Σχ.9.9 θεωρούµε 4 και σχεδιάζουµε τις ευθείες µε γωνίες ± 36, ± 7, κλπ. Οι ευθείες αυτές τέµνουν τον εσωτερικό και εξωτερικό κύκλο. Για παράδειγµα η ευθεία ΟΑ τέµνει τον εσωτερικό κύκλο στο σηµείο Α και τον εξωτερικό στο σηµείο Β. Η προβολή της ΟΑ στον πραγµατικό άξονα OD ορίζει το πργµατικό µέρος του πόλου, δηλαδή OD sih a csψ, ενώ η προβολή της ΟΒ στον φανταστικό άξονα OC ορίζει το φανταστικό µέρος του πόλου, δηλαδή OC csh a siψ. Τέλος, η τοµή των AD και BC καθορίζει την θέση των πόλων Chebyshev. Παράδειγµα 9.5 Να βρεθούν οι πόλοι του φίλτρου Chebyshev µε 5 και µέγιστη επιτρεπόµενη απόσβεση διακύµανσης στην ζώνη διόδου, ΛΥΣΗ amax 0. 5dB και ε a 0.5 /0 / [ 0 ] sih Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-33

34 Κατωδιαβατά Φίλτρα Chebyshev csh a.09 sih a Οι γωνίες Butterwrth, ψ, για ευσταθείς πόλους είναι : ψ 0, ψ ±36, ψ ±7 Im(s) B C 7 ο A ψ F 36 ο E D O Re(s) -36 ο -7 ο Πόλοι της απόκρισης Chebyshev σε σχέση µε τους πόλους Butterwrth για 4. Σχ.9.9 Από τις (9-0) και (9-03) έχουµε: ψ 0, p cs(0 ) + j.09 si(0 ) ,3 j ψ 36, p cs(36 ) + j.09 si(36 ) ± Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-34

35 Κεφάλαιο 9 4,5 j ψ 7, p cs(7 ) + j.09 si(7 ) 0.35 ±. 037 Η συνάρτηση µεταφοράς είναι T ( s) 5 5 ( s s ) ( s )( s i i + 0.7s +.095)( s s Αν θεωρήσουµε ένα ζεύγος πόλων s σ ± jω, ) ( s+ σ jω )( s+ σ + jω ) s + σ s+ ( σ + ω ) Εκφράζοντας τον όρο αυτό συναρτήσει των ω Q, έχουµε :, (9-04) s ω + Q s + ω (9-05) Συγκρίνοντας τις (9-04) και (9-05) προκύπτει οτι: ω σ + ω σ + ω και Q (9-06) σ Από τις (9-06) βρίσκουµε τα ( ω, Q ) των πόλων Chebyshev, µεγέθη απαραίτητα για την υλοποίηση των µονάδων δεύτερης τάξης. Απο τα παραπάνω προκύπτουν οι ακόλουθες παρατηρήσεις: Όταν η τάξη είναι περιττή τότε υπάρχει ένας πραγµατικός και αρνητικός πόλος. Αντίθετα, όταν η τάξη είναι άρτια τότε όλοι οι πόλοι είναι συζηγείς µιγαδικοί. Οι πόλοι Chebyshev κείνται πάνω σε µια έλλειψη και κατά συνέπεια τα µέτρα τους δεν είναι ίδια. Κάθε ζεύγος έχει το δικό του µέτρο και το δικό του Q ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ BUTTERWORTH ΚΑΙ CHEBYSHEV Για να µπορέσουµε να συγκρίνουµε τις δύο αποκρίσεις θεωρούµε την απόκριση Butterwrth της µορφής (9-58) T ( jω) + ε Ω (9-07) όπου Ω ω είναι η κανονικοποιηµένη συχνότητα. Οµοίως, και στην απόκριση Chebyshev ω p θεωρούµε την συχνότητα Ω. Και στις δύο αποκρίσεις για Ω έχουµε T ( j) + ε και εποµένως υπάρχει µια κοινή βάση για σύγκριση. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-35

36 Κατωδιαβατά Φίλτρα Chebyshev Α. ΑΠΟΣΒΕΣΗ Γενικά, η απόσβεση του φίλτρου Butterwrth είναι : abu ( Ω) 0 lg( + ε Ω ) (9-08) Για µεγάλα Ω (ζώνη αποκοπής), έχουµε: a BU ( Ω) 0 lgε Ω 0 lgε + 0 lg Ω ( db) (9-09) Η απόσβεση Chebyshev δίνεται από την Εξ. (9-74). Για Ω >> έχουµε C Εποµένως, ( Ω) Ω (9-0) a CH 0 lg ε Ω 6( ) + 0 lgε + 0 lg Ω (db) (9-) Από τις (9-09) και (9-) έχουµε: a a 6( ) db (9-) CH BU Η διαφορά απόσβεσης είναι σηµαντική και αυξάνεται όσο µεγαλώνει η τάξη των φίλτρων. Β. Q ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ Τα Q των πόλων Butterwrth δίνονται από την σχέση : BU Q BU csψ (9-3) Επίσης για τα φίλτρα Chebyshev έχουµε Q CH σ + ω σ (9-4) Αντικαθιστώντας τα σ, ω από τις (9-0)-(9-03) στην (9-4) προκύπτει η σχέση: Q CH QBU + siψ sih sih ( ) ε (9-5) Από τον Πιν.9.3 που δίνει τα QBU και την (9-5) δηµιουργούµε τον Πίν.9.4 για τα ( a max 05. db). Για 5 τα Q BU και Q CH δίνονται ενδεικτικά στον Πίν.9.5. Q CH Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-36

37 Κεφάλαιο Q a 05dB max. Πιν ψ Q BU Q CH Πιν.9.5 Aπό τον Πιν.9.5 διαπιστώνουµε ότι το τίµηµα που πληρώνουµε για αυξηµένη απόσβεση στην ζώνη µετάβασης και αποκοπής είναι ότι τα Q είναι πολύ µεγαλύτερα των, ιδιαίτερα για µεγάλα. Ενα άλλο τίµηµα που πληρώνουµε είναι ότι τα χαρακτηριστικά φάσης του φίλτρου Chebyshev είναι ισχυρώς µη γραµµικά σε σχέση µε τα αντίστοιχα του φίλτρου Butterwrth. CH Q BU ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ CHEBYSHEV ίνονται τα µεγέθη προδιαγραφών (a, a, max mi ω p, ω s ). Η διαδικασία σχεδίασης των φίλτρων Chebyshev περιλαµβάνει τα παρακάτω βήµατα: Υπολογίζουµε τον συντελεστή ε από την (9-76) Υπολογίζουµε την τάξη του φίλτρου από την (9-83). Αν δεν είναι ακέραιος στρογγυλοποιούµε στον αµέσως επόµενο ακέραιο. Υπολογίζουµε την συχνότητα 3dB,ω hp, από την (9-79). Υπολογίζουµε το a από την (9-9). Βρίσκουµε τις γωνίες Butterwrth, ψ Από τις (9-0)-(9-03) βρίσκουµε τις θέσεις των πόλων ω ο και Q των πόλων από την (9-06). σ ± ω και στην συνέχεια τα Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-37

38 Κατωδιαβατά Φίλτρα Chebyshev Υλοποιούµε τις µονάδες (ω ο, Q) µε ένα από τα καταδιαβατά κυκλώµατα που εξετάσθηκαν προηγούµενα. Παράδειγµα 9.6 Οι προδιαγραφές ενός κατωδιαβατού φίλτρου δίνονται στο Σχ.9.0. Να υλοποιηθεί ένα φίλτρο Chebyshev που πληρεί τις προδιαγραφές αυτές. Το κέρδος στο dc (χαµηλές συχνότητες) να είναι 0 db. ΛΥΣΗ db a 05. db α max α mi db f p f s f 5KHz 7.5KHz Από τις προδιαγραφές έχουµε ω p Σχ. 9.0 π rad /sec, ω S π rad /sec, a max 05. και ami d B. Κανονικοποιούµε την συχνότητα ω p ώστε να πάρουµε Ω p. Εποµένως έχουµε: Ω S ω s 5 ω p.. όπου και ε ( ) / [( 0 ) ( 0 ) ] 005 csh / csh 5. { } csh x x + x { } sih x x + x + a sih 5 / sih a 0. 36, csh a Η συχνότητα ηµίσειας ισχύος είναι: Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-38

39 Κεφάλαιο 9 ( ) 005 / Ω hp csh csh 0 csh( ) Η πραγµατική ω ειναι ω π f, f KHz hp Οι γωνίες Butterwrth είναι : ψ 0, ±36, ±7 Εποµένως, οι πόλοι είναι: hp σ sih a 036., ω 0, Q 0. 5 hp 0, sih( )cs( 36 ) 093., ω 3, csh( )si( 36 ) 065. σ 3 0 p3, ± j0. 65 Ω , Q. 77 3, hp,3 0, sih( )cs( 7 ) 0., ω 45, csh( )si( 7 ) 0. σ 45 0 p 0. ± j.0 Ω.07, Q ,5 0 4,5 Τα πραγµατικά µέτρα των πόλων είναι 4,5 Ω π , Ω π , 0 Ω0 π ,5 0,3 Το συνολικό κύκλωµα περιλαµβάνει τρείς µονάδες. Η µονάδα (Ι) αντιστοιχεί στον πραγµατικό πόλο, η µονάδα (ΙΙ) αντιστοιχεί στο ζεύγος µιγαδικών πόλων και η µονάδα (ΙΙΙ) p p, 3 αντιστοιχεί στο ζεύγος πόλων p 4,5. Χρησιµοποιούµε ένα απλό παθητικό φίλτρο πρώτης τάξης για την µονάδα (Ι), και το κύκλωµα Salle-Key (στρατηγική ()) για τις µονάδες (ΙΙ) και (ΙΙΙ), όπως φαίνεται στο Σχ.9.. Η επιλογή της στρατηγικής () γίνεται διότι δίνει µονάδες µε κέρδος µονάδα στο dc, όπως απαιτείται από τις προδιαγραφές. Κατά συνέπεια, δεν απαιτείται περαιτέρω διόρθωση κέρδους σε τελική φάση. Μονάδα (Ι) σ 0. 36, αν R, C. 76 RC Επιλέγουµε m 0 4 για αντιστάσεις 0ΚΩ, και λόγω κλιµακοποίησης στην συχνότητα έχουµε f , οπότε A Εποµένως, R KΩ και C A F 0 m f Μονάδα (ΙΙ) Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-39

40 Κατωδιαβατά Φίλτρα Chebyshev Θεωρούµε προσωρινά ότι Ω. C 0, 3 Q, , C, Q 044. R R, 3 3, Θεωρούµε πάλι m 0 4 και λόγω αρχικής κλιµακοποίησης προδιαγραφών και κλιµακοποίησης µονάδας f Εποµένως, A και τα πραγµατικά στοιχεία της µονάδας είναι: C A F, C A F, R R 0KΩ m Μονάδα (ΙΙΙ) Θεωρούµε και πάλι προσωρινά ότι Ω. C 0 4, 5 Q, , C 3, Q 00. R3 R3, , Θεωρούµε m 0 4 και λόγω αρχικής κλιµακοποίησης προδιαγραφών και κλιµακοποίησης µονάδας f Εποµένως, A και τα πραγµατικά στοιχεία της µονάδας είναι: C 8. 49F, C F, R R 0KΩ Το συνολικό κύκλωµα δίνεται στο Σχ.9.. Η συνάρτηση µεταφοράς που υλοποιεί το κύκλωµα αυτό είναι T LP ( s) Ω 0 ( s + Ω ) 0 s Ω + Q ( Ω0 ), 3 0, 3 s + ( Ω ),3 0, 3 s Ω + Q ( Ω0 ) 4, 5 04, 5 s + ( Ω ) µε κέρδος µονάδα στο dc. Στο Σχ.9.3 φαίνονται τα πλάτη των συναρτήσεων T ( ), T ( ), T ( ),3 04, 5 s s 3 s καθώς και η συνολική συνάρτηση T LP (s) συναρτήσει της συχνότητας. Επίσης στο Σχ.9.4 φαίνεται η συνάρτηση απόσβεσης της T LP (s) από όπου φαίνεται ότι το φίλτρο που σχεδιάστηκε πληρεί τις προδιαγραφές που έχουν τεθεί. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-40

41 Κεφάλαιο 9 Q R + C + V - i Q V - Σχ F V i 0KΩ 8.79 F + - 0KΩ 0KΩ.956F + - Μονάδα Μονάδα 8.49 F 0KΩ 0KΩ F V Μονάδα 3 Σχ Bde Magitude Diagram Chebyshev respse 5th rder T(jω) T3(jω) Magitude (db) T(jω) T(jω) Frequecy (Hz) Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-4

42 Κατωδιαβατά Φίλτρα Chebyshev Σχ Bde Magitude Diagram Chebyshev respse 5th rder 0 Frequecy (Hz): 6.95e+003 Magitude (db): Magitude (db) Frequecy (Hz): 5e+003 Magitude (db): Frequecy (Hz) Σχ.9.4 Στην συνέχεια, θα σχεδιάσουµε τις µονάδες ΙΙ και ΙΙΙ ακολουθώντας την στρατηγική () για απλότητα στην κατασκευή. Το κέρδος στο dc θα πρέπει να είναι dβ. Η µονάδα Ι παραµένει όπως έχει σχεδιασθεί προηγούµενα. Μονάδα (ΙΙ) Θεωρούµε προσωρινά ότι Ω και τα κανονικοποιηµένα στοιχεία είναι: 0, 3 C C, R R, 3. 5 Q r και r. 5 Q,3,3 Η σταθερά κλιµακοποίησης συχνότητας είναι Επιλέγουµε την σταθερά κλιµακοποίησης πλάτους έτσι ώστε να έχουµε πυκνωτές 0.µ F. f Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-4

43 Κεφάλαιο 9 m f οπότε τα πραγµατικά στοιχεία της µονάδας είναι: C C 0.µ F, R R 46.3 ( ) Ω r 46.3 ( Ω), r ( Ω) και. 5 Μονάδα (ΙΙI) Θεωρούµε και πάλι προσωρινά ότι Ω και τα κανονικοποιηµένα στοιχεία είναι: 0 4, 5 C 3 C3, R3 R3, Q r 3 και r Q 4,5 4,5 Η σταθερά κλιµακοποίησης συχνότητας είναι Επιλέγουµε την σταθερά κλιµακοποίησης πλάτους έτσι ώστε να έχουµε πυκνωτές 0.µ F. f m f οπότε τα πραγµατικά στοιχεία της µονάδας είναι: C C 0.µ F, R R 3.99 ( ) Ω r 3.99 ( ), r 557. ( ) και Ω 3 Ω 3 Το συνολικό κέρδος της συνάρτησης µεταφοράς που υλοποιείται στο dc είναι H Το κέρδος που ζητείται είναι db Εποµένως, θα πρέπει να γίνει εξασθένηση κέρδους παθητικά. Ο λόγος εξασθένησης είναι 3.98 R R a και Z 69 ( Ω), Z. 38 KΩ 5.97 a a d Το τελικό κύκλωµα που αντιστοιχεί δίνεται στο Σχ.9.5. Οι συναρτήσεις πλάτους και απόσβεσης του κυκλώµατος είναι οι ίδιες όπως και προηγούµενα. Να σηµειώσουµε εδώ ότι στο φίλτρο Chebyshev οι διάφορες µονάδες έχουν το δικό τους ω ο και κατά συνέπεια, η κλιµακοποίηση γίνεται για κάθε µονάδα ξεχωριστά. Αντίθετα, στο φίλτρο Butterwrth όλοι οι πόλοι έχουν ένα κοινό ω 0 και συνεπώς η κλιµακοποίηση των διαφόρων µονάδων είναι ενιαία. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-43

44 Κατωδιαβατά Φίλτρα Chebyshev Μονάδα II 0. µf V i 0KΩ 8.79 F Μονάδα I Ω.38KΩ 46.3 Ω 0. µf Ω 46.3Ω 0. µf 33Ω 33Ω 0. µf Μονάδα III Ω 557.Ω + - V Σχ ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ CHEBYSHEV (INVERSE CHEBYSHEV) Ενα φίλτρο µε πολύ καλά χαρακτηριστικά απόκρισης συχνότητας είναι το αντίστροφο φίλτρο Chebyshev (Iverse Chebyshev, ICH). Η απόκριση του φίλτρου αυτού παρουσιάζει στην ζώνη διόδου τα χαρακτηριστικά της απόκρισης Butterwrth, είναι δηλαδή µέγιστα επίπεδη στις χαµηλές συχνότητες. Επί πλέον, στην ζώνη διόδου παρουσιάζει τα χαρακτηριστικά της απόκρισης Chebyshev, εµφανίζει δηλαδή µια διακύµανση στην απόσβεση µεταξύ ενός ελαχίστου ορίου και του άπειρου. Με αυτή την λογική, η απόκριση Iverse Chebyshev συνδυάζει τα στοιχεία των αποκρίσεων Butterwrth και Chebyshev. Η διαδικασία απόκτισης των αποκρίσεων ICH φαίνεται στο Σχ.9.6. Ξεκινάµε σε πρώτη φάση µε την απόκριση Chebyshev όπως φαίνεται στο Σχ.9.6(α). T CH ( jω) (9-6) + ε C ( ω) Στην συνέχεια, θεωρούµε την σχέση: ε C ( ω) TCH ( jω) (9-7) + ε C ( ω) η απόκριση της οποίας φαίνεται Σχ.9.6(β). Τέλος, αντιστρέφουµε την συχνότητα αντικαθιστώντας όπου ω το /ω. Η απόκριση που προκύπτει είναι: Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-44

45 Κεφάλαιο 9 ε C ω T ICH ( jω) (9-8) + ε C ω Η απόκριση αυτή είναι γνωστή σαν αντίστροφη απόκριση Chebyshev και η µορφή της φαίνεται στο Σχ.9.6(γ). Από την Εξ.(9-8) προκύπτει ότι για όλα τα είναι: ε T ICH ( j) (9-9) + ε Από το Σχ.9.6 προκύπτουν οι παρακάτω παρατηρήσεις: H ζώνη διόδου από ω0 µέχρις ω στο φίλτρου Chebyshev, αντιστοιχεί στην ζώνη αποκοπής από ω µέχρις ω για το αντίστροφο φίλτρο Chebyshev. Η συχνότητα ω είναι το άνω όριο της ζώνης διόδου της απόκρισης Chebyshev, ενώ η συχνότητα αυτή αποτελεί το κάτω όριο για την ζώνη αποκοπής στο φίλτρο αντίστροφο Chebyshev. Η συνάρτηση πλάτους T ICH ( jω) είναι οµαλή στην ζώνη διόδου ενώ ταλαντώνεται στην ζώνη αποκοπής µεταξύ ενός µέγιστου ε + ε και µηδέν (equal ripple). Η απόκριση πλάτους µε άλλη µορφή γράφεται : T ICH ( jω) (9-0) + C ε ω Απο την παραπάνω σχέση η συνάρτηση απόσβεσης για το αντίστροφο φίλτρο Chebyshev είναι: a ( ω) 0lg + C (9-) ε ω Στο Σχ.9.7 δίνεται η γενική µορφή της TΙ CH ( j ω ) και της a ( ω ). Στην ζώνη αποκοπής η απόσβεση κινείται πάνω από ένα ελάχιστο όριο που αντιστοιχεί στο ami. Συγκεκριµένα, η a ( ω ) ταλαντώνεται µεταξύ της τιµής a ( ω ) ami και a ( ω ). Για την συχνότητα ω, όπου αρχίζει η ζώνη αποκοπής έχουµε a a : mi Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-45

46 Κατωδιαβατά Φίλτρα Iverse Chebyshev Σχ ε a () ami 0lg, ( C (), ) (9-) ε Εποµένως, η παράµετρος ε προκύπτει ως εξής: ε [ 0 0 / a mi / ] (9-3) Στην συνέχεια θα υπολογίσουµε τις συχνότητες για τις οποίες συµβαίνουν τα ακρότατα της απόσβεσης. Οι τιµές ω για τις οποίες έχουµε a ( ω ) ami προκύπτουν όταν: C όπου ω > (9-4) ω Επειδή < ω η συνάρτηση Chebyshev περιγράφεται από τις απλές τριγωνοµετρικές συναρτήσεις: Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-46

47 Κεφάλαιο 9 cs cs Αν θεωρήσουµε θ θ ± ω cs, οι τιµές οι οποίες µηδενίζουν την cs θ 0 είναι: ω (9-5) π, 0,, 4,... (άρτιο) (9-6) Εποµένως, έχουµε ω π sec (άρτιο) (9-7) csθ Οι τιµές ω για τις οποίες έχουµε a ( ω ) βρίσκονται όταν C 0 ω Η (9-8) µηδενίζεται για τις παρακάτω γωνίες θ (9-8) π,,3,5,... (περιττό) (9-9) Εποµένως, οι αντίστοιχες συχνότητες είναι π ω sec ( περιττό) (9-30) Για να προσδιορίσουµε τα χαρακτηριστικά του αντίστροφου φίλτρου Chebyshev στην ζώνη διόδου θεωρούµε ω<<. Σ αυτή την περίπτωση, ισχύει η ακόλουθη προσεγγιστική µορφή C ω ω Με βάση την παραπάνω σχέση η (9-0) γίνεται: ω<< (9-3) T Ι CH ( jω ) + ω ε ω + ω (9-3) όπου ω / ( ) ε (9-33) Η µορφή της (9-3) είναι παρόµοια µε αυτή της απόκρισης Butterwrth. Κατά συνέπεια, για χαµηλές η απόκριση του αντίστροφου φίλτρου Chebyshev είναι βέλτιστα επίπεδη. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-47

48 Κατωδιαβατά Φίλτρα Iverse Chebyshev Σχ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ CHEBYSHEV Οι προδιαγραφές του κανονικοποιηµένου αντίστροφου φίλτρου Chebyshev δίνονται στο Σχ.9.8. Η ζώνη αποκοπής έχει απόσβεση α( ω ) ami και αρχίζει στην συχνότητα ω S. Η ζώνη διόδου συµβαίνει για συχνότητες από ω 0 µέχρις ω ω p και έχει απόσβεση α( ω ) amax. Στόχος της σχεδίασης είναι να βρεθεί η κατάλληλη τάξη του φίλτρου, έτσι ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές: { a, a, max mi ω p }. Για ω ω p έχουµε : α ( ω p) amax 0lg + ε C ( / ω) Από τις Εξ.(9-34) και (9-3) προκύπτει: C a 0 0 ω a 0 p mi / 0 max / (9-34) (9-35) Επειδή >, οι συναρτήσεις Chebyshev περιγράφονται απο τις υπερβολικές τριγωνοµετρικές ω p συναρτήσεις Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-48

49 Κεφάλαιο 9 ami h / csh csh amax / p 0 0 ω 0 0 / Τελικά, η τάξη του φίλτρου προκύπτει ως εξής: csh a a [(0 mi /0 ) /(0 max / ) ] 0 csh ω p / (9-36) (9-37) Παρατηρούµε ότι οι (9-37) και (9-83) είναι παρόµοιες στην γενική τους µορφή. Στην (9-83) για το φίλτρο Chebyshev, η συχνότητα έχει κανονικοποιηθεί σε σχέση µε την ω p ( ω ), ενώ στην (9-37) για το αντίστροφο φίλτρο Chebyshev, η συχνότητα έχει κανονικοποιηθεί σε σχέση µε την ω S ( ω ). Συµπεραίνουµε, λοιπόν, ότι το φίλτρο Chebyshev και το αντίστροφο φίλτρο S Chebyshev απαιτούν το ίδιο για τις ίδιες προδιαγραφές: { a max, a mi, ω p, ω s } p Από την (9-0), η συχνότητα ηµίσειας ισχύος (3dB) προκύπτει όταν συµβαίνει ε ω p (9-38) C Η (9-38) είναι ίδια µε την (9-77) µόνο που το ω hp έχει αντικατασταθεί από το ω. Συνεπώς, hp από την (9-80) προκύπτει άµεσα ότι ω hp < csh csh ε (9-39) Είναι προφανές ότι για το αντίστροφο φίλτρο Chebyshev η ω hp είναι µικρότερη από την µονάδα, ενώ για το φίλτρο Chebyshev είχαµε ω hp µεγαλύτερο από την µονάδα. Γενικά, όπως θα διαπιστώσουµε και στην συνέχεια, τα δύο αυτά φίλτρα έχουν αντίστροφη σχέση όσον αφορά τις συχνότητες. Chebyshev LP α mi db a α max ω p Σχ. 9.8 ω s ω (rad/sec) Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-49

50 Κατωδιαβατά Φίλτρα Iverse Chebyshev 9.4. ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΜΗ ΕΝΙΚΑ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ CHEBYSHEV Από την (9-8) παρατηρούµε ότι η συνάρτηση µεταφοράς του αντίστροφου φίλτρου Chebyshev έχει και πόλους και µηδενικά. T ( s) ( s) ( jω) ICH d( s) d( s) s jω (9-40) Από τις (9-8) και (9-40) τα µηδενικά προκύπτουν από τη σχέση: ( s) ( s) s jω ε C 0 ω (9-4) Τα µηδενικά της (9-4) συµβαίνουν στην ζώνη αποκοπής για ω> όταν C 0 ω Επειδή η παραπάνω σχέση είναι ίδια µε την (9-8), τα µηδενικά της συνάρτησης είναι: (9-4) ω π sec,,3,5,... (9-43) Οι πόλοι του αντίστροφου φίλτρου Chebyshev προκύπτουν από την σχέση: d( s) d( s) s jω + ε C 0 ω (9-44) Η (9-44) είναι ίδια µε την (9-85) η οποία δίνει τους πόλους του φίλτρου Chebyshev, µε την διαφορά ότι το ω έχει αντικατασταθεί µε το. Κατά συνέπεια, για να υπολογίσουµε τους ω πόλους του αντίστροφου φίλτρου Chebyshev ακολουθούµε την διαδικασία: α) Σε πρώτη φάση υπολογίζουµε τους πόλους του φίλτρου Chebyshev που αντιστοιχούν στην τάξη που έχει βρεθεί. β) Στην συνέχεια, αντιστρέφουµε τους πόλους του φίλτρου Chebyshev και παίρνουµε τους πόλους που µας ενδιαφέρουν. Εστω, ένα ζεύγος µιγαδικών πόλων: p, p arg( ± θ) (9-45) οι αντίστροφοι πόλοι βρίσκονται ως εξής: p, arg( ± θ ) p p (9-46), Είναι φανερό οτι οι πόλοι p, και p, έχουν το ίδιο Q. Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να σηµειωθεί ότι επειδή τα αντίστροφα φίλτρα Chebyshev έχουν εκτός από πόλους και µηδενικά, οι µονάδες που καλούνται να υλοποιηθούν δεν είναι κατωδιαβατές. Στην πραγµατικότητα, όπως θα διαπιστώσουµε στην συνέχεια, αν και η συνάρτηση που σχεδιάζεται είναι κατωδιαβατή, το φίλτρο αυτό οδηγεί σε Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9-50