13 Βήματα στο Διαφορικό Λογισμό Κεφάλαιο 2ο - Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Transcript

1 13 Βήματα στο Διαφορικό Λογισμό Κεφάλαιο ο - Κατεύθυνσης (Τελευταία ενημέρωση: 3/1/16) 13 Μαθήματα 34 Ερωτήσεις θεωρίας 177 Άλυτες ασκήσεις _+ 5 ασκήσεις σχολικού βιβλίου Ασκήσεις πρόκληση - προβληματισμοί Μεθοδολογία ασκήσεων Κατηγορίες ασκήσεων Athens 017

2 αφιερωμένο στους μαθητές που κοπιάζουν Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός

3 Ερωτήσεις - Ασκήσεις Μεθοδολογία Παρατηρήσεις Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός Ερώτηση 1 η «Παράγωγος σε σημείο» Μάθημα 1ο Ορισμός παραγώγου σε σημείο α) Έστω μια συνάρτηση f και 0 σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε θα λέμε ότι η f λέγεται παραγωγίσιμη στο 0 ; Έχει νόημα το 0 να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης; Τι ονομάζουμε λόγο μεταβολής; β) Πότε θα λέμε ότι η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 ; (3 περιπτώσεις) γ) Πως συμβολίζουμε την παράγωγο της f στο 0 ; δ) Δώστε ισοδύναμες εκφράσεις και τύπους για την παράγωγο της f στο 0. Άσκηση 1η Δίνεται η στο χ 0 =0., 0 f () 0, 0 να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη Άσκηση η 1 Δίνεται η f () = g(), 0 και g (0) = g(0) = 0. 0, 0 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 0 β) Να δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 0. Άσκηση 3η Αν f παραγωγίσιμη στο 0, δείξτε ότι η g () = f (), 0 f '( 0).( 0) f ( 0), 0 παραγωγίσιμη στο 0. είναι Άσκηση 4η. Να δείξτε ότι: α) Η f() είναι συνεχής στο 0 = 0 β)η f() είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 0. Έστω f :R R για την οποία ισχύει f() + για κάθε Άσκηση 5η Αν για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει: παραγωγίσιμες στο 0 = - 1, να δείξτε ότι: 6 3 f g 1, (1) με f, g α) f 1 g1 0 β) f 1 g 1 9 Άσκηση 6η Έστω f, g συναρτήσεις ορισμένες στο R και παραγωγίσιμες στο σημείο 0 =0. Αν για κάθε R ισχύει f() g() και f(0) = g(0), να αποδείξετε ότι Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 3

4 f f 0 g g0 α) 0 0 f f 0 g g f 0 g 0 β) γ) Άσκηση 7η για > 0 για < 0 Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε: α) β) γ) δ) f 0 h f 0 lim f0 h0 h f 0 f 0 h lim f0 h0 h f 0 h f 0 h lim f0 h0 h f 0h f 0 lim f 0, 0 0 h1 h 1 0 Σημείωση: Όλοι τα παραπάνω αποτελούν ισοδύναμους τύπους της παραγώγου της f στο 0 Χωρίς απόδειξη χρησιμοποιούμε μόνο το πρώτο τύπο που υπάρχει στη θεωρία του σχολικού βιβλίου (και στο βιβλίο Μαθηματικά και στοιχεία Στατιστικής της Γενικής Παιδείας). Ερώτηση η «Παράγωγος και συνέχεια» α) Να δείξετε ότι αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 τότε είναι και συνεχής στο 0 β) Να δείξετε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει μέσω του παραδείγματος f, 0 0. Πως ονομάζεται το σημείο αυτό ; (έννοια εκτός βιβλίου) γ) Να δείξετε ότι αν η f δεν είναι συνεχής στο 0 τότε η f δεν είναι και παραγωγίσιμη στο 0. δ) Σωστό ή Λάθος; Αν η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 τότε δεν είναι και συνεχής στο 0 Άσκηση 8η Δίνεται συνάρτηση α) Συνεχής β) Παραγωγίσιμη f 1, 0 3 1, 0 τότε να αποδείξετε ότι η f είναι στο 0 0: Άσκηση 9η Εξετάστε αν η συνάρτηση f συν 1, 0 1 ημ e, 0 είναι παραγωγίσιμη στο 0 0 Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 4

5 Άσκηση 10η Δίνεται η συνάρτηση f,, παραγωγίσιμη στο 0, τότε: α) Να αποδείξετε ότι: α 1 και β π με α, β πραγματικούς αριθμούς. Αν η f είναι β) Στη συνέχεια να σχεδιάστε την γραφική παράσταση της συνάρτησης f και μέσω του σχήματος βρείτε το σύνολο τιμών της. Εξετάστε αν ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f. Άσκηση 11η Αν f είναι συνεχής στο 0 = 0 και α)f(0) = 0 β) f 0 Άσκηση 1η f () lim 4 0 f γ) lim 0 0 τότε να αποδείξετε ότι: f ημ δ) Έστω η συνεχής συνάρτηση f: η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση: ημ f ημ Να αποδείξετε ότι: α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β) f 0 lim 0 Ερώτηση 3η «Εξίσωση εφαπτομένης της C f» α) Τι ονομάζουμε κλίση ή συντελεστή διεύθυνσης της f C στο σημείο 0 0,f ; β) Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο 0 ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f (για συντομογραφία γράφουμε C ) στο σημείο αυτό; Άσκηση 13η Συμπληρώστε την τρίτη στήλη με σχήμα και συνθήκη f Η εφαπτομένη της C f στο σημείο 0 είναι παράλληλη στον άξονα είναι παράλληλη στην ευθεία : y είναι κάθετη στην ευθεία : y σχηματίζει με τον άξονα γωνία ω διέρχεται από το σημείο (α, β) Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 5

6 Οι C f, C g τέμνονται Οι C, C f έχουν κοινή εφαπτομένη g είναι η : y στο σημείο Α( 0, f( 0 )) (μπορεί να είναι και περισσότερα τα σημεία τομής) σε διαφορετικά σημεία τομής 1 1 A,f, B,g αντίστοιχα f g Οι C,C έχουν στο κοινό τους σημείο τομής εφαπτόμενες που τέμνονται κάθετα κοινή εφαπτομένη Άσκηση 14η Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 1, η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 1 και ισχύει: f () 1 g(),, α) Να βρεθεί η τιμή g ( 1) και η παράγωγος της f στο 0 = 1. β) Γράψτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της ƒ στο σημείο με τετμημένη 1 Άσκηση 15η Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο 0 και α) Υπολογίστε το f () f () lim 3, τότε, β) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 γ) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο 0 δ) Βρείτε την γωνία που σχηματίζει η ευθεία (ε) του προηγούμενου ερωτήματος με τον άξονα. Οι ασκήσεις του σχολικού βιβλίου στην εξίσωση εφαπτομένης (με τον ορισμό της παραγώγου) 1. α) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σημεία της παραβολής y στα οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης να είναι μεταξύ τους παράλληλες. Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 6

7 β) Ισχύει το ίδιο για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 f ;. Έστω η συνάρτηση f και το σημείο Α(ξ, f (ξ)), ξ 0 της γραφικής παράστασης της f. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(ξ, f(ξ)) και Β( ξ, 0) εφάπτεται της C f στο Α. 3. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της 3 οποιοδήποτε σημείο της Μ(, 3 εκτός του Μ. Στο σημείο Ν η κλίση της στο Μ. f ),α 0 έχει με αυτήν και άλλο κοινό σημείο σε Ν C είναι τετραπλάσια της κλίσης της 1 4. Έστω ε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f σε ένα σημείο της Μ, 1. Αν Α, Β είναι τα σημεία στα οποία η ε τέμνει τους άξονες και yy αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι i) To M είναι μέσο του ΑΒ ii) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του ξ Σημείωση: Οι παραπάνω ασκήσεις λύνονται πιο απλά με γνώσεις του επόμενου μαθήματος, αλλά για εξάσκηση στον ορισμό της παραγώγου της παραθέτουμε σε αυτό το σημείο. f Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 7

8 Ερώτηση 4η «Παράγωγος σε διάστημα» Μάθημα ο Παραγωγίσιμες συναρτήσεις α) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ; β) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β); γ) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; Ερώτηση 5η «Παράγωγος, πρώτη, δεύτερη, ν οστή» α) Τι ονομάζουμε πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f; Ορίστε και εξηγήστε τι σχέση που έχει με το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f; β) Πως ορίζουμε και συμβολίζουμε τη δεύτερη, τρίτη και ν οστή παράγωγος της συνάρτησης f ; Ερώτηση 6η «Παράγωγος βασικών συναρτήσεων» α) Συμπληρώστε τον πίνακα Συνάρτηση Πρώτη παράγωγος Τύπος Πεδίο ορισμού Τύπος Πεδίο ορισμού c v, v, v 1 e ln β) Να αποδείξετε τις πρώτες τέσσερις περιπτώσεις. Άσκηση 16η Να παραγωγίσετε κατάλληλα τις παρακάτω συναρτήσεις και να συμπληρώσετε τα αποτελέσματα στα κενά, ln Βασική Άσκηση 17η α) Να αποδείξετε ότι: γ) Να αποδείξετε ότι: β) Να αποδείξετε ότι: e 1 1 lim (χωρίς τον κανόνα του De l Hospital) 0 e 1 lim (χωρίς τον κανόνα του De l Hospital) 0 ln lim 1 (χωρίς τον κανόνα του De l Hospital) 1 1 Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 8

9 Άσκηση 18η Να ορίσετε την παράγωγο της f όπου υπάρχει, στις παρακάτω περιπτώσεις: α) f 3, 0, 0 β) f e, 0 ln, 0 γ) f ln, 1 e, 0 Άσκηση 19η Έστω συνάρτηση f μια πολυωνυμική συνάρτηση ν οστού βαθμού ( ν > ). Βρείτε τον v v1 βαθμό των πολυωνυμικών συναρτήσεων Άσκηση 0η f,f,f,f Βρείτε την ν οστή παράγωγος των συναρτήσεων, f e, g ημ και h συν Άσκηση 1η Δίνεται η συνάρτηση ορίζεται. f, 1 3, 1 βρείτε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτηση f όπου Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 9

10 Μάθημα 3ο Κανόνες παραγώγισης Ερώτηση 7η «Κανόνες παραγώγισης» α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο πεδίο ορισμού τους Συνάρτηση Πρώτη παράγωγος Τύπος Πεδίο ορισμού Τύπος Πεδίο ορισμού f + g f g f f g f g v, v 0,1 β) Να αποδείξετε τις περιπτώσεις 1, 6, 7, 8 από τον προηγούμενο πίνακα Ερώτηση 8η «Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης» α) Πως βρίσκουμε την παράγωγο της σύνθεσης f o g δύο συναρτήσεων f και g ; Ποιος είναι ο κανόνας της αλυσίδας; β) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα, όπου h είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση Συνάρτηση Πρώτη παράγωγος Τύπος σύνθεσης h v h h h Να γραφτεί ως σύνθεση δύο συναρτήσεων Τύπος h e ln h Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 10

11 h h,, 0 ln β) Να αποδείξετε τις τρεις τελευταίες περιπτώσεις του πίνακα. Άσκηση η (A) Βρείτε την παράγωγο ξεχωριστά των παρακάτω συναρτήσεων σε διαστήματα που 5 n n 3, e 1,ημ,συν 3,e,ln ημ,εφ σφ,ημ,συν,όπου n ορίζονται, φυσικός αριθμός (n >1) (B) Βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων για παραγωγίσιμες συναρτήσεις και σε διαστήματα που ορίζονται, f ln, g 3, f 1, f Άσκηση 3η Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, να αποδείξετε ότι: α) Αν η f είναι άρτια συνάρτηση τότε η f είναι περιττή β) Αν η f είναι περιττή συνάρτηση τότε η f είναι άρτια γ) Αν η f είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ > 0, τότε και η f είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ. Άσκηση 4η Παραγωγίστε τις συναρτήσεις στο R. ημf v και f v,όπου f παραγωγίσιμη συνάρτηση Άσκηση 5η Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων όπου ορίζονται, α) m β) f γ) g, 0 δ) h ln 5 3, 1 ε) k στ) f, 0, Άσκηση 6η Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει: f (ln ) ln, για κάθε > 0 α) Να βρείτε το f (0) και f (1) β) Να δείξετε ότι: f 0 0 και f 1 e γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στα σημεία με τετμημένη 0 και 1. δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου το οποίο σχηματίζεται από την εφαπτομένη της C στο 0 1 και τους άξονες ' και y'y. f Άσκηση 7η Δίνεται η συνάρτηση f, α) Να βρείτε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f. Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 11

12 β) Να αποδείξετε ότι: f 4f Άσκηση 8η Δίνεται η συνάρτηση f e, όπου λ ένας μη μηδενικός πραγματικός αριθμός. α) Βρείτε την πρώτη, δεύτερη και τρίτη παράγωγο της f β) Βρείτε την ν οστή (ν > 3) παράγωγο της συνάρτησης f Άσκηση 9η f 1,για κάθε Δίνεται η συνάρτηση f: με τύπο α) Να αποδείξετε ότι f f,για κάθε 1 β) Να βρείτε την δεύτερη παράγωγος της f συναρτήσει της f. 1 f f 4f,για κάθε γ) Να αποδείξετε ότι Άσκηση 30η Δίνεται η συνάρτηση f α) Στο διάστημα,0 β) Στο διάστημα 0, γ) Στο 0 0 δ) Ορίστε τη συνάρτηση f 1, 0 3 1, 0, βρείτε την παράγωγο της f: Άσκηση 31η, 0 Δίνεται η συνάρτηση f (). Να εξετάσετε την f ως προς τη 0, 0 συνέχεια στο πεδίο ορισμού της. Άσκηση 3η Δίνεται η συνάρτηση όπου ορίζεται. f συν 1, 0 1 ημ e, 0. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτηση f Άσκηση 33η Έστω η συνάρτηση f, 0 α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο διάστημα 0, β) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο διάστημα 0, γ) Ορίστε τη συνάρτηση f και εξετάστε αν είναι συνεχής στο διάστημα 0, Οι ασκήσεις στην εξίσωση εφαπτομένης από το σχολικό βιβλίο Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 1

13 5. Να βρείτε τα σημεία των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων, στα οποία οι εφαπτόμενες τους είναι παράλληλες στον άξονα των. α) f() = + 4 β) f = e 1 γ) f = 6. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g() = στο κοινό σημείο τους Α(1, 1), είναι κάθετες. 7. Δίνεται η συνάρτηση τις οποίες η κλίση της f α α α, α. Να βρείτε τις τιμές του α, για C f στο σημείο της Α(0, 1) είναι ίση με Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης οποία η εφαπτομένη είναι: i) Παράλληλη προς την ευθεία y = ii) Κάθετη προς την ευθεία y = f στα 9. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f η οποία άγεται από το σημείο Α(0, 1). 10. Δίνεται η συνάρτηση f α β γ, με α,β, γ. Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ για τις οποίες η C f διέρχεται από το σημείο Α(1, ) και εφάπτεται της ευθείας y = στην αρχή των αξόνων Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g() = 1έχουν ένα μόνο κοινό σημείο στο οποίο οι εφαπτόμενές τους είναι κάθετες. 1. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = 3 έχει, με τη γραφική παράσταση της f δύο κοινά σημεία και εφάπτεται αυτής σε ένα από τα σημεία αυτά Δίνονται οι συναρτήσεις f α β και g 1. Να βρείτε τα α,β, για τα οποία οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη 0 = Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο f δεύτερου βαθμού, του οποίου η γραφική παράσταση να εφάπτεται των ευθειών y = + 1 και y = 3 1 στα σημεία Α(0, 1) και Β (1, ) αντιστοίχως. 15. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ημ ημ, [0, π], στα οποία η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα των. 16. Έστω f μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, για την οποία ισχύει g f 1 1,. Να g η συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 13 f 1 1και

14 αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της στο Β (0, g(0)). C f στο σημείο A 1,f 1 εφάπτεται της C g 17. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο διάστημα ( 1, 1), για την οποία ισχύει π π i)να βρείτε την f 0 f ημ e συν (ημ) για κάθε ii)να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. C f στο σημείο, A 0,f 0 σχηματίζει με Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 14

15 Ερώτηση 9η «Ορισμός» Μάθημα 4ο Ρυθμός μεταβολής α) Έστω δύο μεταβλητά μεγέθη, y τα οποία συνδέονται με τη σχέση y f λέγεται ρυθμός μεταβολής του y ως προς, όταν 0 ; f 0 τι μας καθορίζει για το μέγεθος; Πότε αυξάνεται, μειώνεται ή μένει σταθερό; β) Το πρόσημο του. Τι γ) Σωστό ή Λάθος; Ο ρυθμός μεταβολής f 0 παριστάνει την ταχύτητα με την οποία αυξάνεται ή μειώνεται το μέγεθος f (), όταν 0 Βασική Άσκηση 34η Γράψτε τους βασικούς τύπους Μαθηματική έννοια Εμβαδόν σφαίρας Όγκος σφαίρας Όγκος κυλίνδρου Όγκος κώνου Ρυθμός μεταβολής διαστήματος ως προς τον χρόνο t τη χρονική στιγμή t 0 Τύπος - σχέση Ρυθμός μεταβολής ταχύτητας ως προς τον χρόνο t τη χρονική στιγμή t 0 Οριακό κόστος στο 0 Οριακή είσπραξη στο 0 Οριακό κέρδος στο 0 Όταν ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα και μαλά με ταχύτητα U, τότε σε χρόνο t διανύει διάστημα s Άσκηση 35η Δίνεται η ορθή γωνία Oy και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 10m του οποίου τα άκρα Α και Β ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Oy,O αντίστοιχα. Το σημείο Β κινείται με σταθερή ταχύτητα U=m/sec και η θέση του πάνω στον άξονα Ο δίνεται από τη συνάρτηση s (t) = U (t),όπου t ο χρόνος σε sec, 0 < t < 5. Να βρεθεί: 1. Το εμβαδόν E(t) του τριγώνου ΑΟΒ ως συνάρτηση του χρόνου.. Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού E(t) τη στιγμή κατά την οποία το μήκος του τμήματος ΟΑ είναι 6m Σημείωση: Τον ρυθμό μεταβολής καθώς και τα προβλήματα που ακολουθούν στις παρακάτω παραγράφους θα παρουσιαστούν σε ξεχωριστό ένθετο. Επίσης με τις ασκήσεις του βιβλίου θεωρούμε ότι είμαστε πλήρεις και δεν χρειάζονται άλλες ασκήσεις εκτός σχολικού βιβλίου. Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 15

16 Ερώτηση 10η «Θεώρημα του Rolle» Μάθημα 5ο Θεώρημα του Rolle α) Να διατυπώσετε το θεώρημα του Rolle και να γράψετε όλα τα ισοδύναμα συμπεράσματα του θεωρήματος. β) Να δοθεί γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Rolle. γ) Το αντίστροφο του θεωρήματος ισχύει; Να δοθεί παράδειγμα και ένα σχήμα που να το αποδεικνύει. Βασικό θέμα 36η Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, τότε: α) Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της f υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της f β) Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της f υπάρχει μια το πολύ ρίζα της f. γ) Ερμηνεύεστε και σχολιάσετε τα παρακάτω σχήματα Βασικό θέμα 37η Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f 0 για κάθε.να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι «ένα προς ένα» συνάρτηση. Άσκηση 38η Να εξεταστεί αν για τις παρακάτω συναρτήσεις ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle. Στις περιπτώσεις που ισχύει, να υπολογισθούν τα σημεία στα οποία η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f είναι παράλληλη στον άξονα. a) b) f () 1 [-1,1] f () 3 [-,1] c) f () [-,], 1 0 3, 0 1 d) f (), 1,1 Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 16

17 Άσκηση 39η Να βρεθούν οι α, β, γ ώστε η συνάρτηση ƒ με f () οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο [-1,] 0 e 1 0 να ισχύουν Άσκηση 40η Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[, ] R με f 0, για κάθε, ώστε: f ( ) ln f ( ) Να δειχτεί ότι: α) Η συνάρτηση g() e f () ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle στο [α, β] β) Υπάρχει, 0 ώστε: f '( o) f ( o) Άσκηση 41η Έστω συνεχείς συναρτήσεις f, g στο [α, β] και παραγωγίσιμες στο (α, β). Αν g() 0 για κάθε [α, β] και g () 0 αποδείξετε ότι υπάρχει, Άσκηση 4η Έστω συνάρτηση f :, για κάθε, ώστε: f '( ) f ( ) g'( ) g( ) και ισχύει, f ( ) f ( ) g( ) g( ). Να με 0 <α < β,ώστε η ευθεία που ενώνει τα σημεία Α(α, ƒ(α)) και Β(β, ƒ(β)) της γραφικής παράστασης αξόνων. Να δείξετε ότι: α) f ( ) f ( ) β) Αν ƒ δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α, β] με f ''() 0 ακριβώς μια ευθεία ε που εφάπτεται της αξόνων C f να διέρχεται από την αρχή των,, τότε υπάρχει C f και η οποία περνάει από την αρχή των Άσκηση 43η Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g : με g(0) g(1) 0. Να δείξετε ότι: f () α) Για την συνάρτηση h() g()e ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle στο [0, 1] β) Υπάρχει 0,1 ώστε g'( o) g( o)f '( o) 0 Άσκηση 44η Έστω οι συναρτήσεις f, g οι οποίες είναι συνεχείς στο κλειστό [α, β] και παραγωγίσιμες στο (α, β), ώστε g'() 0 για κάθε (α, β) α) Να δείξετε ότι: g(α) g(β) β) Να βρεθεί ο κ ώστε η συνάρτηση F() f () kg() να ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [α, β] f '( o ) f(β) f (α) γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 α,β ώστε να ισχύει: g'( ) g(β) g(α) o Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 17

18 Ερώτηση 11η «Αντιπαραγώγιση» α) Τι ονομάζουμε αντιπαραγώγιση; (Σημείωση: Δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο με αυτό τον όρο, αλλά με τον όρο αρχική ή παράγουσα) β) Πως το θεώρημα του Rolle μπορεί να μας αποδείξει ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα (χωρίς να ισχύει κατ ανάγκη το θεώρημα Bolzano); Άσκηση 45η Συμπληρώστε το παρακάτω πίνακα με τις βασικές συναρτήσεις που μας δίνουν την αντιπαραγώγιση Συνάρτηση Αντιπαραγώγιση 0 1 c v ημ συν 1 1 e 1 v f f f f Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 18

19 f f f e f f α f ημf f συνf f f συν f f f f g f g f f g f g g f g f g Σημείωση: Όλα τα παραπάνω αναφέρονται σε διάστημα (και όχι ένωση διαστημάτων) και ορίζονται για έτσι ώστε να έχουν νόημα οι παραστάσεις. Άσκηση 46η 3 1 0, Να αποδείξετε ότι η εξίσωση διάστημα (0, 1). Άσκηση 47η Να αποδείξετε ότι η εξίσωση * έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0, 1) Άσκηση 48η Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 0 με α, β πραγματικούς αριθμούς, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1) Άσκηση 49η Να δείξετε ότι η εξίσωση 1 1 e 1 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1) Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 19

20 [Υπόδειξη: Με την βοήθεια αντιπαραγώγισης έχουμε: 1 ln ln 1 1 ln 1 0 ] 1 Ερώτηση 1η «Το πολύ μια ρίζα» α) Πως αποδεικνύουμε με τη βοήθεια του θεωρήματος του Rolle, ότι μια εξίσωση f() = 0 έχει το πολύ μια ρίζα σε ένα διάστημα (α, β); β) Γενίκευση: Όταν έχουμε να δείξουμε για κ το πολύ ρίζες; Άσκηση 50η Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 1 a 0, a έχει το πολύ μια ρίζα στο διάστημα ( -, ). Άσκηση 51η Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει f f 3 e 016 Να αποδείξετε ότι η f C τέμνει τον άξονα το πολύ σε ένα σημείο. Άσκηση 5η Να αποδείξετε ότι η εξίσωση τρεις πραγματικές ρίζες. e, όπου,, με 0, έχει το πολύ Ερώτηση 13η «Ακριβώς μια ρίζα» Γράψτε όλους τους τρόπους που αποδεικνύουμε μια εξίσωση f () = 0 έχει μια ακριβώς ρίζα σε ένα διάστημα (α, β) Άσκηση 53η (Rolle προφανής λύση) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln έχει ακριβώς μια ρίζα στο 0, Άσκηση 54η (Rolle Bolzano) 5 3 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 όπου, με 0και 0. Να αποδείξετε ότι έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα 0, Άσκηση 55η (Δύο ακριβώς ρίζες) (Σπάσιμο διαστημάτων Bolzano Rolle άτοπο ) f :, συνάρτηση με τύπο f τότε να δείξετε ότι η Έστω εξίσωση f 0 έχει δύο ακριβώς λύσεις στο διάστημα,. Άσκηση 56η (Γενική άσκηση) (Rolle ενδιαμέσων τιμών Μέγιστης και ελάχιστης τιμής) f 1 f 3 f 4 f 7. Η συνάρτηση f: είναι παραγωγίσιμη στο [1, 7] και ισχύει Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 1,7 τέτοιο ώστε f 0 Σημείωση: Υπάρχει ξεχωριστό ένθετο με θεωρία, μεθοδολογία και ασκήσεις για το Θεώρημα του Rolle. Για άρτια κάλυψη της κατηγορία αυτής, προτείνεται η ταυτόχρονη μελέτη και των δύο φυλλαδίων. Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 0

21 Μάθημα 6ο Θεώρημα μέσης τιμής (Θ.Μ.Τ) Ερώτηση 14η «Το θεώρημα μέσης τιμής» α) Διατυπώστε το θεώρημα μέσης τιμής (συντομογραφικά αναφέρεται Θ.Μ.Τ) (Σημείωση: Στην βιβλιογραφία αναφέρεται και ως Θεώρημα Langrange) β) Δώστε την γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος γ) Ποια είναι η σχέση του Θ.Μ.Τ με το θεώρημα Rolle; Άσκηση 57η Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ στο διάστημα [-1,1] Άσκηση 58η α) Δίνεται η συνάρτηση f () β) f () f () γ) f () Να δείξετε ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ στο [-1, ] και στην συνέχεια να βρείτε ξ (-1, ) f () f ( 1) ώστε: f '( ). 1 Άσκηση 59η Δίνεται η συνάρτηση f () α) Να προσδιορίσετε τα α, β R ώστε να ισχύει το Θ.Μ.Τ στο διάστημα [0, 3]. Για α = - 1 και β = - 3, f (3) f (0) β) Βρείτε τα ξ (0, 3) ώστε f '( ) 3 γ) Να προσδιορίσετε σημείο Μ στη γραφική παράσταση της ƒ όπου η εφαπτομένη της να είναι παράλληλη προς την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(3, 1) και Β(,- ). Άσκηση 60η Δίνεται συνάρτηση ƒ συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β) με ƒ(α) = β και ƒ(β) = α. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο (ξ, ƒ(ξ)) να είναι παράλληλη στην ευθεία: y e Ερώτηση 15η α) Πως συνδυάζεται το θεώρημα μέσης τιμής (ΘΜΤ) με το θεώρημα Bolzano ή το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών; να β) Όταν η άσκηση αναφέρεται για δύο σημεία 1 και τέτοια ώστε τα f,f βρίσκονται μέσα στην ζητούμενη σχέση - εξίσωση, τότε τι θα κάνουμε; 1 Άσκηση 61η (Θ.Μ.Τ + Bolzano) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :,, με Να αποδείξετε ότι:, α) Υπάρχει τέτοιο ώστε f f και f, όπου 0. Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 1

22 β) Υπάρχουν,, τέτοια ώστε f f 1 1 Άσκηση 6η (Θ.Μ.Τ + «σπάσιμο» διαστήματος) Έστω συνάρτηση ƒ για την οποία είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β) και ƒ(α) = ƒ(β) Να δείξετε ότι υπάρχουν 1, (α, β) τέτοια ώστε: f '( 1) f '( ) 0 Άσκηση 63η (Α Δέσμη Εξετάσεις 001) (Bolzano και διπλό Θ.Μ.Τ) Έστω συνάρτηση f :[, ] συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη (α, β) με f ( ) f. α) Να αποδείξετε ότι η f () έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α, β) β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ 1, ξ (α, β) τέτοια ώστε: f '( 1) f '( ) 4 Άσκηση 64η (Θ.Μ.Τ + Rolle) Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [1, 3]. Αν είναι f () f (1) f (3) α) Να εφαρμόσετε το θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα [1, ] και [, 3] β) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει σημείο 0 (1, 3) τέτοιο ώστε: f ''( o) 0 Άσκηση 65η (Θ.Μ.Τ + Θ.Ε.Τ) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0,1 με f 0 0 και f 1 1. Να αποδείξετε ότι: α) Υπάρχει 0,1,ώστε f f f β) Υπάρχουν 1, 0,1, ώστε 1 Ερώτηση 16η (Θεώρημα μέσης τιμής και ανισοτικές σχέσεις) Πως μας βοηθάει το Θ.Μ.Τ για να αποδείξουμε ανισοτικές σχέσεις; Άσκηση 66η (Θ.Μ.Τ και ανισότητες) Να αποδείξετε τις παρακάτω ανισότητες με την βοήθεια του Θεωρήματος Μέσης Τιμής (ΘΜΤ): α) ημβ ημα β α για α, β R β) 1 e e 1, R γ) συν συνy y,, y R ε) 1 ln 1 1, R * + 1 v1 v v v1 στ) vβ (α β) a β vα (α β) με 0 < β < α και ν > 1 δ) e e e y y e y,, y R με y β α β α ζ) εβ εα με συν α συν β π 0 α β Άσκηση 67η Να αποδείξετε ότι: Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός

23 α) 1 ln 1 για κάθε (0, + ) β) ln 3 3 γ) ln lim Άσκηση 68η (ΘΜΤ + Rolle + Β Λυκείου Άλγεβρα) Έστω συνάρτηση f: α,β δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα α,β και 1,, 3 α,β. Αν 1 3,, και f,f,f αποτελούν ξεχωριστές αριθμητικές 1 3 f γ 0. προόδους, να δείξετε ότι υπάρχει ένα γα,β τέτοιο ώστε Άσκηση 69η (Ανισοτικές σχέσεις, ΘΜΤ, Rolle και Bolzano) Έστω δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, με f (α) > 0, f ( β ) > 0 και f ( γ ) < 0 για κάποιο,. Να αποδείξετε ότι: α) Η εξίσωση f () =0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (α, β) β) Υπάρχει, άξονα. γ) Υπάρχει, ώστε 0 ώστε η εφαπτομένη της f 0 C f στο σημείο 0 να είναι παράλληλη στον (Υπόδειξη: Δύο φορές ΘΜΤ για την f σε κατάλληλα διαστήματα και ένα ΘΜΤ για την f πάλι σε ένα κατάλληλο διάστημα) Σημείωση: Υπάρχει ξεχωριστό ένθετο με θεωρία, μεθοδολογία και ασκήσεις για το Θεώρημα της Μέσης Τιμής. Για πλήρη κάλυψη της κατηγορία αυτής, προτείνετε η ταυτόχρονη μελέτη και των δύο φυλλαδίων. Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 3

24 Ερώτηση 17η «Σταθερή συνάρτηση» Μάθημα 7ο Σταθερή συνάρτηση α) Γράψτε τον ορισμό, τις ιδιότητες και σχεδιάστε την γραφική παράσταση της σταθερής συνάρτησης β) Σωστό ή Λάθος; Αν f ( ) = c στο διάστημα Δ, όπου c πραγματικός αριθμός, τότε f 0 γ) Το αντίστροφο της πρότασης β ισχύει; Διατυπώστε και αποδείξτε το ανάλογο θεώρημα δ) Το θεώρημα ισχύει για ένωση διαστημάτων; Αναφέρεται παράδειγμα που αποδεικνύει τον ισχυρισμό σας Άσκηση 70η Κατηγορία 1η: Εύρεση τύπου Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, με f 1 και f f για κάθε > 0 f α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή στο 0, β) Να βρείτε τον τύπο της f και g. Άσκηση 71η Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, με f f f α) Να αποδείξετε ότι 0 για κάθε > 0. τότε να βρείτε τον τύπο της f. β) Αν f για κάθε > 0. Άσκηση 7η Κατηγορία η : Η ζητούμενη σχέση περιέχει μια σταθερά c f f 0 για Δίνεται συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη τέτοια ώστε: κάθε. α) Να δείξετε ότι υπάρχει c τέτοιο ώστε β) Ποιος είναι ο τύπος της συνάρτησης f αν f 99 f 99 0 ; f f c. Άσκηση 73η (Βασική άσκηση θεωρία) f f για κάθε, τότε να δείξετε ότι Δίνεται συνάρτηση f τέτοια ώστε f c e υπάρχει c τέτοιο ώστε: Άσκηση 74η (Βασική άσκηση Γενίκευση) (A) Δίνεται συνάρτηση f τέτοια ώστε f f *, για κάθε, τότε να f c e δείξετε ότι υπάρχει c τέτοιο ώστε: (B) Δίνεται συνάρτηση f τέτοια ώστε f f, για κάθε, τότε: α) Να δείξετε ότι υπάρχει c τέτοια ώστε: f f c e β) Αν f 0 f 0 1, βρείτε τον τύπο της f. Άσκηση 75η Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f τέτοια ώστε Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 4

25 ln f για κάθε 0,1 1, f Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι f Άσκηση 76η Εφαρμογή της βασικής άσκησης 73 c, c. ln. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g : με f f g g. Αν h f g τότε: για κάθε α) Να δείξετε ότι: h h f 017 g 017 τότε να δείξετε ότι οι συναρτήσεις f,g είναι ίσες. β) Αν Άσκηση 77η «Άσκηση Ε.Μ.Ε.» Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με Να αποδείξετε ότι: α) f 0 1 f y f yf e y και f 0 και ισχύουν f 0 για κάθε, y. β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται στο πρώτο και δεύτερο τεταρτημόριο. γ) f f 1 για κάθε δ) Η συνάρτηση g μην δίνεται) f είναι σταθερή στο R. (Βοηθητικό ερώτημα, μπορεί και να e ε) Να βρεθεί ο τύπος της f. Άσκηση 78η «Άσκηση Ε.Μ.Ε.» Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f και g στο R ώστε να ισχύουν οι επόμενες προϋποθέσεις: α) f 0 και β) f 0 g 0 1 γ) g 0 για κάθε f 1 g 1 g f Αποδείξτε ότι: 1. f g 1 για κάθε (Υπόδειξη: Προσοχή! Στην περίπτωση αυτή το ρόλο του c παίζει ο αριθμός 1). Υπολογίστε τους τύπους των συναρτήσεων f, g Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 5

26 Άσκηση 79η (Εξετάσεις 199 Α Δέσμη) Βασική άσκηση 73 Να βρεθεί συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα, f f f και f (0) = 199 η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 6

27 Μάθημα 8ο Συναρτήσεις με ίσες παραγώγους f g Ερώτηση 18 η «Ίσες παραγώγους συναρτήσεων» α) Υπενθυμίστε πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες. β) Σωστό ή Λάθος: Αν f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο τότε ισχύει f g f g γ) Ισχύει το αντίστροφο της πρότασης (β); Διατυπώστε και αποδείξτε την ανάλογη πρόταση του βιβλίου. δ) Αν η ζητούμενη σχέση είναι της μορφής Α() = Β(), τότε μπορούμε να πάρουμε και τα δύο μέλη και να παραγωγίσουμε κατά μέλη ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. ε) Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g είναι ίσες, εκτός από τον ορισμό της ισότητας των συναρτήσεων, ποιος άλλος τρόπος υπάρχει; στ) Αν f g όπου f, g δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις και ορισμένες στο, τότε ποια σχέση συνδέσει τις συναρτήσεις f, g; Σημείωση: Διαβάστε τον πίνακα αντιπαραγωγίσεων που δόθηκε στο μάθημα 5 / σελ στο Θεώρημα του Rolle, χρειάζεται για την επίλυση των ασκήσεων! Άσκηση 80η «Εύρεση τύπου» (Α) Αν f (1) =1 βρείτε τον τύπο της f στις παρακάτω περιπτώσεις: 1 α) f, 0 β) f f 3 1, 0 1 e f e f, 0 γ) e e f f, 0 δ) e 1 ε) f f e, και επιπροσθέτως δίνεται f 1 e 1 (Β) Βρείτε τον τύπο της f για τα ερωτήματα (α), (β),(γ) και(δ) αν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ήταν το R * (δες στην επόμενη σελίδα την άσκηση για προβληματισμό). Άσκηση 81η (Εξετάσεις 001) Να βρείτε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει γραφική της παράσταση στο σημείο Α (0,3) έχει κλίση. Άσκηση 8η (Εξετάσεις 00) f 6 4 για κάθε και η Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, για την οποία ισχύουν f f για κάθε 0, f 1 0 και. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Άσκηση 83η (Εξετάσεις 005) Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R, τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση για κάθε, και f 0 0. Να αποδείξετε ότι: f Άσκηση 84η 1 e ln f f e Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 7

28 Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο για κάθε 0. f f f 0 f α) Να αποδείξετε ότι: f β) Να βρείτε τον τύπο της f. για κάθε 0. 0, και ισχύουν f 1, f 1 3 και Άσκηση 85η (1η Δέσμη εξετάσεις 1998) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, για την οποία ισχύουν f f 0 f 0 και για κάθε > 0 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α (1, 1). Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0, και να βρείτε την συνάρτηση f. Άσκηση για προβληματισμό Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: τέτοια ώστε f 1 1, f f, με τότε η παρακάτω λύση είναι σωστή; Δικαιολογήστε την απάντησή σας και βγάλτε τα κατάλληλα συμπεράσματα. Αντιμετώπιση για προβληματισμό Παίρνουμε την δεδομένη σχέση και έχουμε διαδοχικά: Όμως f f διαιρούμε και τα δύο μέλη με 0 f f, 0 f ln, 0 f ln c, 0 f ln c, 0 f 1 1 c 1άρα ο τύπος της συνάρτησης είναι f ln, 0 Συμφωνείτε; Στην συνέχεια λύστε την άσκηση 80 (Β) στην προηγούμενη σελίδα. Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 8

29 Ερώτηση 19η «Μονοτονία συνάρτησης» Μάθημα 9ο Μονοτονία συνάρτησης α) Υπενθυμίστε τον ορισμό γνησίως αύξουσας, γνησίως φθίνουσας και μονοτονίας συναρτήσεων σ ένα διάστημα Δ. Τι σχέση έχει η μονοτονία με την ένα προς ένα συνάρτηση; Τι σχέση έχει η μονοτονία με την εξίσωση f()=0; β) Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Ποια πρόταση συνδέει τα πρόσημα της f με την μονοτονία της f ; Να την διατυπώσετε. γ) Να αποδείξετε την πρόταση που διατυπώσατε στο υποερώτημα (β) δ) Η πρόταση του ερωτήματος β ισχύει για ένωση ανοικτών διαστημάτων; Για ένωση κλειστών διαστημάτων; Αναφέρεται παράδειγμα που να δικαιολογεί κάθε φορά τον ισχυρισμό σας. (Δες παρακάτω τα Σωστά Λάθος) ε) Εξηγήστε γιατί το αντίστροφο της πρότασης του β ερωτήματος δεν ισχύει αναφέροντας ένα παράδειγμα. Διατυπώστε κατάλληλα το αντίστροφο της πρότασης. Σωστό ή Λάθος; Ερωτήσεις πάνω στην θεωρία i. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα (a, b), τέτοια ώστε να είναι γνησίως μονότονη στα διαστήματα a, και,b, τότε πάντα η f θα είναι γνησίως μονότονη 0 0 (με το ίδιο είδος μονοτονίας) στην ένωση των διαστημάτων τους, δηλαδή στο a, 0 0,b ii. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα (a, b), τέτοια ώστε να είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα a, και,b, επίσης συνεχής στο σημείο 0,τότε πάντα η f 0 0 θα είναι γνησίως μονότονη (με το ίδιο είδος μονοτονίας) στην ένωση των διαστημάτων τους, δηλαδή στο a, 0 0,b Άσκηση 86η Μελετήστε ως προς την μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις στο πεδίο ορισμούς τους 3 α) f 3 1 β) f γ) f δ) f 4, 1, 1 e 3 Άσκηση 87η Στο παραπάνω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου f μια συνάρτηση f. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. Άσκηση 88η Δίνεται συνάρτησης f που ορίζεται στο R και η παράγωγος f έχει τύπο 3 f για. Βρείτε τη μονοτονία της f. Άσκηση 89η Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και ισχύει. f 0 για κάθε Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 9

30 f 1 Αν είναι lim 1 τότε: 1 1 α) Να αποδείξετε ότι: f 1 0 β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία Άσκηση 90η «Μονοτονία και σύνολο τιμών» Βρείτε το σύνολο τιμών για τις παρακάτω συναρτήσεις (όπου ορίζονται) f ln f 1 f ln ln 1 α) 1 β) γ) 1 f e ln 1 δ) f ε) στ) f 1 3 Άσκηση 91η «Μονοτονία και εξισώσεις» Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις f () =0 έχουν μια ακριβώς ρίζα. 3 ) f 1, 0,1 1 1 β) f 1 ln 1 3 ) f 5 1, 1, 0 Άσκηση 9η «Μονοτονία και σχέσεις» Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: για την οποία ισχύουν χωριστά οι παρακάτω σχέσεις. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της ) f f, ά 0, ) f 6f 3 3 Άσκηση 93η «Μονοτονία και ανισώσεις» Να αποδείξετε τις παρακάτω ανισώσεις α) 3, ά β) γ) e 1, ά , ά ln 1, ά 0 1 δ) Άσκηση 94η «Μονοτονία και επίλυση ανίσωσης» Δίνεται συνάρτηση f : 1, με τύπο: α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση f 0 f ln 1 Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 30

31 Άσκηση 95η Θεωρούμε τη συνάρτηση f : 0, με τύπο f 8 α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Βρείτε το f (1) και στη συνέχεια λύστε την ανίσωση 4 4 Άσκηση 96η (Εξετάσεις 006) Δίνεται η συνάρτηση f 1 e, 1 1 e α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία β) Για κάθε < 0 να αποδείξετε ότι: f 5 f 7 f 6 f 8 Άσκηση 97η Α. Θεωρούμε συνάρτηση f 1 ln για 1, α) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο 1, β) 1 ln 0, ά 1 Β. Έστω η συνάρτηση g : 1, με τύπο: g α) Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία 1 1 β) Αν 1, να αποδείξετε ότι:. Να αποδείξετε ότι: ln 1 ΘΕΜΑ Γ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 016 (απαιτητικό επαναληπτικό θέμα κυρίως στη μονοτονία) Γ1. Να λύσετε την εξίσωση e 1= 0, R. Γ. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f: R την σχέση απάντησή σας. Μονάδες 4 R που ικανοποιούν f () = e 1 για κάθε R και να αιτιολογήσετε την Μονάδες 8 Γ3. Αν f() = e 1, R να αποδειχθεί ότι η f είναι κυρτή (δηλαδή f 0 για κάθε R όπως θα δούμε παρακάτω). Μονάδες 4 Γ4. Αν f είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Γ3, να λυθεί η εξίσωση: f( ημ +3) f( ημ ) = f( +3) f() όταν 0,. Μονάδες 9 Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 31

32 Μάθημα 10ο Ακρότατα συνάρτησης Ερώτηση 0η «Ορισμός τοπικών και ολικών ακροτάτων» α) Ορίστε στον άξονα των πραγματικών αριθμών μια περιοχή του 0 β) Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α και 0 1. Ολικό μέγιστο και ελάχιστο στο 0 και σχήμα χωριστά. Τοπικό μέγιστο και ελάχιστο στο 0 και σχήμα χωριστά 3. Τοπικά ακρότατα και θέσεις τοπικών ακροτάτων 4. Ολικά ακρότατα ή πιο απλά ακρότατα Aτότε δώστε τους ορισμούς Άσκηση 98η Σωστό ή Λάθος; Δικαιολογήστε την απάντησή σας α) Ένα τοπικό μέγιστο είναι πάντα υψηλότερα από ένα τοπικό ελάχιστο β) Αν η f παρουσιάζει μέγιστο τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από όλα τα τοπικά μέγιστα της συνάρτησης γ) Αν η f παρουσιάζει ελάχιστο τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης δ) Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα μιας συνάρτησης, είναι πάντα μέγιστο της συνάρτησης ε) Το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μιας συνάρτησης, είναι πάντα ελάχιστο της συνάρτησης στ) Κάθε συνεχής συνάρτηση σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) έχει μέγιστο και ελάχιστο (τοπικό ή ολικό) ζ) Κάθε συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] έχει μέγιστο και ελάχιστο (τοπικό ή ολικό) η) Αν η f είναι γνησίως μονότονη στο ανοικτό διάστημα (α, β) τότε δεν έχει ακρότατα. θ) Αν η f είναι γνησίως μονότονη στο κλειστό διάστημα [α, β] τότε δεν έχει ακρότατα. ι) Κάθε συνάρτηση έχει τοπικά ακρότατα Ερώτηση 1η «Θεώρημα Fermat» α) Διατυπώστε και αποδείξτε το Θεώρημα Fermat β) Δώστε γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος. Ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. γ) Αν το 0 είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού και f 0 τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο 0 (αντιθεταντίστροφο του Θεωρήματος); Δικαιολογήστε την απάντησή σας. δ) Αν έχουμε δεδομένο ανισότητα και θέλουμε να αποδείξουμε ή να καταλήξουμε σε ισότητα ποιο θεώρημα σκεφτόμαστε; Αναφέρετε τα βήματα που ακολουθούμε Σημείωση: Το Θεώρημα Fermat «συνεργάζεται» καλά με το Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, αρκεί να αποδείξουμε ότι τα ακρότατα δεν βρίσκεται στα άκρα του διαστήματος, αλλά στα εσωτερικά του σημεία. Άσκηση 99η Κατηγορία 1: Σχέσεις που δεν έχουν ακρότατα» Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: τέτοια ώστε f 6f 1 κάθε. Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα με δύο τρόπους, α) Με μονοτονία και β) Με το Θεώρημα Fermat για Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 3

33 Άσκηση 100η Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: τέτοια ώστε 01 Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα f f f 1 για κάθε Άσκηση 101η (Εξετάσεις 001) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: τέτοια ώστε 3 3 f f f 6 1 για κάθε όπου, Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα. «Κατηγορία : Από ανισότητες σε ισότητες» Άσκηση 10η Για κάθε ισχύει 1 όπου α θετικός πραγματικός αριθμός, τότε να αποδείξετε ότι α = e. Άσκηση 103η Δίνεται α, β >0 τέτοια ώστε για κάθε, τότε να δείξετε ότι: 1 Άσκηση 104η Έστω συνάρτηση f: τέτοια ώστε f 0 0 παραγωγίσιμη στο 0 0 και f f f για κάθε, τότε να αποδείξετε ότι f 0 Άσκηση 105η Έστω συνάρτηση f: τέτοια ώστε παραγωγίσιμη στο 0 0 και f για κάθε, τότε να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα y y στο σημείο 1. Άσκηση 106η Έστω συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη τέτοια ώστε f 0 0 για κάθε. Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο = 1 α) Να δείξετε ότι: β) Υπολογίστε το f 1 Άσκηση 107η και fof 1 f f 1 f 1 0 Κατηγορία 3η: Εύρεση παραμέτρων με Θεώρημα Fermat 3 Έστω συνάρτηση f: με τύπο f 3 1 η οποία παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία 1 1 και 1. α) Να αποδείξετε ότι α = 1 και β =0 β) Να προσδιορίσετε το είδος των ακροτάτων της f. Άσκηση 108η 3 Έστω συνάρτηση f: με τύπο f η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο 1 1 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο (, 4). α) Να αποδείξετε ότι α = 1 και β = - 3. β) Να προσδιορίσετε το είδος των ακροτάτων της f. Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 33

34 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : 0, Άσκηση πρόκληση (δες σημείωση στην Ερώτηση 1), η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) και ισχύει f 0 f f 1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0, ώστε 0 f 0. 0 Σημείωση: Αν στην εκφώνηση δινόταν ότι η f είναι συνεχής (0, ) βρείτε ένα διαφορετικό τρόπο απόδειξης. Ερώτηση η «Πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων» α) Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων μια συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ; β) Ποια σημεία της f λέγονται κρίσιμα; Άσκηση 109η 3,0 1 Δίνεται η συνάρτηση f,1 3 α) Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f; β) Βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f. Ερώτηση 3η «Κριτήριο τοπικών ακροτάτων» α) Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο (α, β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο 0, στο οποίο η f είναι συνεχής. Πότε η τιμή f ( 0 ) είναι τοπικό ακρότατο της f ; Να αποδείξετε τους ισχυρισμού σας. β) Αν η f () διατηρεί πρόσημο στο (α, 0) ( 0,β), τότε να δείξετε ότι, i. το f ( 0 ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και ii. η f είναι γνησίως μονότονη στο (α,β). (Θέμα θεωρίας Προσοχή) Κατηγορία 1η: Εύρεση ακροτάτων Άσκηση 110η Μελετήστε ως προς τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις στο πεδίο ορισμούς τους: ln α) f ln β) f, v v v 1 ln γ) f δ) f v ln, v v 1 f e ε) στ) v f e, v v 1 ζ) f e f e, v v v 1 f e η) θ) Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 34

35 e v ι) f, v v 1 Άσκηση 111η Όμοια, μελετήστε ως προς τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις στο πεδίο ορισμούς τους: 3 α) f 6 9 β) f ln f ln 1 γ) δ) f, 0 e, 0 f 1 e e, f ε) 1 στ) f ln 1 Άσκηση 11η Θεωρούμε τον πραγματικό αριθμό α και τη συνάρτηση f: με τύπο f e, α) Να αποδείξετε ότι η f έχει δύο τοπικά ακρότατα. β) Αν 1, είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της f, να αποδείξετε ότι η παράσταση: 1 e f 1 e f είναι ανεξάρτητη του α. Άσκηση 113η 3 f f e e για Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: για την οποία ισχύει κάθε. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f. Κατηγορία η: Πλήθος ριζών εξίσωσης Άσκηση 114η Βρείτε το πλήθος ριζών των παρακάτω εξισώσεων στα αντίστοιχα διαστήματα 1 3 α) στο 0, β) στο, γ) στο R δ) ln 0, ε) eln 0, Άσκηση 115η στο στο (0, 1) στ) Έστω η συνάρτηση f : 0, με τύπο: α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα f ln 4 3 γ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g ln και 1 3 h έχουν μόνο κοινό σημείο στο οποίο έχουν και κοινή εφαπτομένη. Άσκηση 116η (Εξετάσεις 00) Έστω f,g : συναρτήσεις ώστε η σύνθεση fog να είναι 1 1, να αποδείξετε ότι: α) Η g είναι 1 1 Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 35

36 β) Η εξίσωση ρίζα. 3 g f g f 1 έχει δύο ακριβώς θετικές και μία αρνητική Άσκηση 117η (Εξετάσεις 007) 3 Δίνεται συνάρτηση f: με τύπο: f 3 όπου σταθερά με k, k. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο. β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f 0 έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες. Κατηγορία 3η: Ανισοτικές σχέσεις (Ακρότατα εργαλείο 3ο για την απόδειξη ανισοτήτων) Άσκηση 118η Για κάθε > 0 να αποδείξετε τα παρακάτω: α) eln β) 1 ln 1 γ) e 1ln Άσκηση 119η Έστω η συνάρτηση f : 0,1 με τύπο: f 1 1 α) Να αποδείξετε ότι: f f ln ln 1 για κάθε 0,1 β) Αν, 0 ώστε α + β = 1 να αποδείξετε ότι: Άσκηση 10η Έστω f : 0,e η συνάρτηση για την οποία ισχύουν οι σχέσεις f ln f για κάθε 0,e. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, e). β) Να βρείτε τον τύπο της f γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης: 1 1 ln e 1, f 1 0 και Κατηγορία 4η: Προβλήματα στην μονοτονία και ακρότατα Σημείωση: Θα την μελετήσουμε αναλυτικά σε ξεχωριστό ένθετο Δίνεται η συνάρτηση Η f έχει πεδίο ορισμού το Για κάθε * έχουμε, f 1, 0 Άσκηση για προβληματισμό. Να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία και ακρότατα., 0 και είναι συνεχής στο Λύση *. Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 36

37 , 0 f 1, 0 0 f f < > Η μονοτονία της f φαίνεται στον παραπάνω πίνακα μεταβολών, ενώ παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο A (0, f(0)) = (0, 0). Ερώτηση: Βρίσκεται κάποιο λάθος στην παραπάνω λύση; Να γίνει η δικαιολόγηση και από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 37

38 Μάθημα 11 Κυρτότητα Σημεία καμπής Ερώτηση 4η «Ορισμός κυρτότητας» α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε η f λέγεται κυρτή και πότε κοίλη στο Δ; Πως συμβολίζεται η κυρτή και η κοίλη συνάρτηση; Σημείωση: Σε πολλά βιβλία όταν δίνεται μια συνάρτηση κυρτή ή κοίλη, θεωρείται και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του διαστήματος Δ, χωρίς να τονίζεται ιδιαίτερα. β) Δώστε την γεωμετρική ερμηνεία ορισμού κυρτής και κοίλης συνάρτησης στο Δ. γ) Αν η f είναι κυρτή ή κοίλη στο Δ= [α, β] συμπληρώστε κατάλληλα τους παρακάτω πίνακες α α f < f > f f δ) Μέσω των γραφικών παραστάσεων (σελ σχ. βιβλίο) να διαπιστώσετε ποιες βασικές συναρτήσεις είναι κυρτές και ποιες κοίλες. Τι θεωρείται η ευθεία ; Κυρτή, κοίλη και τα δύο ή τίποτα; Βασική Άσκηση 11η α) Αν η παραγωγίσιμη συνάρτηση f είναι κυρτή στο R και παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο, τότε να αποδείξετε ότι αυτό είναι και ολικό ελάχιστο της f. β) Αν η παραγωγίσιμη συνάρτηση f είναι κοίλη στο R και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο, τότε να αποδείξετε ότι αυτό είναι και ολικό μέγιστο της f. Σημείωση: Τα παραπάνω αποδεικνύονται με δεδομένο ότι η συνάρτηση παρουσιάζει γενικά τοπικό ακρότατο (χωρίς να γνωρίζουμε το είδος του). Βασική άσκηση 1η Έστω f κυρτή και παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα Δ. Αν α, βδ με α < β, να αποδειχθεί ότι: f f f Βασική άσκηση 13η Έστω f κοίλη και παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα Δ. Αν α, βδ με α < β, να αποδειχθεί ότι: f f f Βασική άσκηση 14η α) Έστω συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή στο διάστημα Δ. Αν α,β,γδ και α < β < γ να δείξετε ότι: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) β) Διαπιστώστε ανάλογο συμπέρασμα όταν η συνάρτηση f είναι κοίλη στο Δ. Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 38

39 Βασική άσκηση 15η Έστω οι συναρτήσεις f, g δύο φορές παραγωγίσιμες στο R. Αν η f είναι κυρτή στο R και η g κοίλη στο R τότε να αποδείξετε ότι: α) Οι Cf, Cg έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία. β) Αν οι Cf και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη σε κάποιο κοινό σημείο τους, τότε οι Cf και Cg έχουν μοναδικό κοινό σημείο. Ερώτηση 5η «Εργαλείο εύρεσης κυρτότητας» α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Γράψτε ποιο Θεώρημα συνδέει το πρόσημο της f με την κυρτότητα της f ; β) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε ότι δεν ισχύει το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος. Πως μπορούμε να το διατυπώσουμε για να ισχύει; γ) Αν θέλουμε σε μια άσκηση να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη, ποια πρόταση θα χρησιμοποιούμε, τον ορισμό ή το θεώρημα; Να γίνει διάκριση περιπτώσεων. δ) Να συμπληρώσετε κατάλληλα τον πίνακα για να ισχύει το θεώρημα που διατυπώσατε στο ερώτημα (α). Αν ισχύει για την πρώτη στήλη, η πρώτη γραμμή ( f ) τότε προκύπτουν οι άλλες δύο ; Με ανάλογο σκεπτικό δώστε συμπεράσματα όταν ισχύει η δεύτερη ή η τρίτη γραμμή, τότε ισχύουν και οι άλλες δύο ; α β α β f f + f f f + f Άσκηση 16η Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία ορίζεται η συνάρτηση f, αν είναι κυρτή ή κοίλη: i) f 1 ln ii) f() = iii) f() = 1 e iv) f() = e 3 v) f() = ln 4 Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 39

40 vi) f() = Άσκηση 19η Να βρείτε τις τιμές του α R ώστε η συνάρτηση f() = α να είναι κοίλη στο R. Άσκηση 130η Έστω μια συνάρτηση f : R->R για την οποία ισχύει f () < f () f () για κάθε R. Nα δείξετε ότι η συνάρτηση g() = f() e - είναι κυρτή στο R. Άσκηση 131η Έστω μια συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει f() > 0 για κάθε R και η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Αν g() = ln f() και g () > 0 για κάθε R, να δείξετε ότι η συνάρτηση h() = e λ f() είναι κυρτή στο R, για κάθε λ R. Άσκηση 13η Δίνεται η συνάρτηση f: (0,+ ) R για την οποία ισχύουν f() < και f για κάθε > 0. f () Nα δείξετε ότι: α) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+ ) β) Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη γ) Η f είναι κυρτή στο (0,+ ) Άσκηση 133η Έστω f μία συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f() > 0 για κάθε R. Αν η συνάρτηση g() = lnf() είναι κυρτή στο R με g () 0, R, να αποδειχθεί ότι και η f είναι κυρτή στο R. Ερώτηση 6η «Σημείο Καμπής» α) Τι εννοούμε όταν λέμε «σημείο καμπής» στην καθημερινή μας ζωή ; Δώστε παραδείγματα β) Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, γραφικής παράστασης της f;.τι λέγεται σημείο καμπής της γ) Μέσω των γραφικών παραστάσεων βασικών συναρτήσεων, να βρείτε τα σημεία καμπής. Σημείωση: Για την μελέτη της κυρτότητας και σημείων καμπής, εντός ύλης είναι οι συναρτήσεις που είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες δύο τουλάχιστον φορές σε κάθε εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμούς τους. Άσκηση 134η 3, 1 Δίνεται η συνάρτηση f 4, 1 α) Να αποδείξετε ότι η f δεν παραγωγίζεται στο σημείο 0 1 β) Βρείτε την δεύτερη παράγωγο της f,όπου ορίζεται γ) Βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας και τα σημεία καμπής της συνάρτησης Άσκηση 135η Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 40

41 Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σημεία καμπής της Cf,όταν: i) f() = ln ii) f() = iii) f() = συν+ e iv) f() = v) f() = ln vi) f() = ln(ln) vii) f() = 1, 0, viii) f() = 4-6ln -1 i) f() = 1 e 3e 4 ) f() = (1+ )e - Άσκηση 136η (Εξετάσεις 004) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f()= ln. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, να μελετήσετε την μονοτονία της και να βρείτε τα ακρότατα β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. Άσκηση 137η Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, 1 3 δεν έχει σημεία καμπής. Άσκηση 138η Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = α 3 +β +γ+δ με α 0 και β = 3αγ δέχεται στο σημείο καμπής της οριζόντια εφαπτομένη. Άσκηση 139η Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μίας συνάρτησης f στο διάστημα [ 1,8]. y y=f () 10-1 O Μελετήστε, Α) Την μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f, Β) Την κυρτότητα και τα σημεία καμπής της συνάρτησης f Γ) Μπορούμε να βρούμε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f ; Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 41

42 Ερώτηση 7η «Ιδιότητες σημείων καμπής» α) Αν το 0 0 A, f είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, τότε τι ισχύει για το f 0 ; 1) Ποιο θεώρημα σας θυμίζει; ) Το αντίστροφο της παραπάνω πρότασης ισχύει; Δώστε ένα παράδειγμα που να το αποδεικνύει. 3) Τι μας πληροφορεί το αντιθεταντίστροφο της παραπάνω πρότασης; β) Ποιες είναι οι διαφορές τοπικών ακροτάτων και σημείων καμπής; γ) Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής; δ) (Κριτήριο σημείων καμπής) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Πότε η f παρουσιάζει καμπή στη θέση 0 ; Άσκηση 140η (σχ. βιβλίο 5 /σελ. 79) Έστω μια συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο (-, ), για την οποία ισχύει: f f 3 (1) α) Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει σημεία καμπής β) Ποιος είναι ο ρόλος του διαστήματος (-, ) στην εκφώνηση αφού δεν χρειάζεται στην απόδειξη της άσκησης;, που έχουν την ιδιότητα (1) γ) Βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f για [Υπόδειξη: f 1 4 Άσκηση 141η και μελέτη πρόσημου ] Έστω g μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει (g()) = 5g() - e - α για κάθε R και 1 α > 0. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g δεν έχει σημεία καμπής. Άσκηση 14η Δίνεται η συνάρτηση f() = 4 + α 3 + β + γ +1, β > 6 και α, β, γr. Αν η f παρουσιάζει στο o = 1 καμπή και στο Α(1,f(1)) η γραφική παράσταση της f έχει οριζόντια εφαπτομένη, να αποδείξετε ότι: α) Η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής β) Η f παρουσιάζει μοναδικό ελάχιστο γ) α + β + γ < - δ) Η εξίσωση f()=0 έχει ακριβώς δυο ρίζες στο R Ερώτηση 8η «Εργαλείο 4: Κυρτότητα και εφαπτομένη» Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη σε ένα διάστημα Δ, τότε ποια είναι η σχετική θέση της C f και της εφαπτομένης σε κάθε σημείο 0 του Δ; Πότε θα χρησιμοποιούμε αυτή την πρόταση; Βασική άσκηση 143η α) Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή στο (α, β) (άρα και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του διαστήματος) και, τότε να αποδείξετε ότι: f f f για κάθε, Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 4

43 β) Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη στο (α, β) (άρα και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του διαστήματος) και, τότε να αποδείξετε ότι: f f f για κάθε, Άσκηση 144η Δίνεται η συνάρτηση f() = ln. (Α) Να βρείτε τα α, βr, ώστε το Α(1,3) να είναι σημείο καμπής της Cf. (Β) Για α = 4 και β = -1: a) Να βρείτε τα διαστήματα που η Cf είναι κυρτή ή κοίλη. b) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο σημείο καμπής της. c) Να δείξετε ότι 4 ln 3 για κάθε 1. Άσκηση 145η Έστω f: παραγωγίσιμη συνάρτηση με f () lim 3 a) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο 0 =. b) Αν η f είναι κυρτή στο R να δείξετε ότι: i) f ii) Υπάρχει μοναδικό ξ(,3) στο οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο. και f (3) = 4 Άσκηση 146η Έστω συνάρτηση f : 0, με τύπο f e ln. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο 0, β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Μ γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε > 0 ισχύει η σχέση: 1,f 1 e e 1 ln 1 Άσκηση 147η Δίνονται οι συναρτήσεις f () e και g() ln α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ƒ είναι κυρτή, ενώ η συνάρτηση g είναι κοίλη. β) Να βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(0,1) και της C g στο Β(1,0) γ) Να αποδείξετε ότι: e 1, R και ln 1, (0,+). Πότε ισχύουν οι ισότητες; δ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται υψηλότερα από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g. Σημείωση: Κάποιες βασικές ανισότητες που πρέπει να έχουμε κατά νου (και προκύπτουν από την τελευταία άσκηση): α) Αποδείξαμε ότι e 1 0 άρα e 0 για κάθε β) Αποδείξαμε ότι ln 1 0 άρα ln 0 ln e. για κάθε 0,, άρα ισχύει: Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 43

44 Η σχετική θέση των παραπάνω γραφικών παραστάσεων φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. γ) Επίσης γνωρίζουμε ότι άρα 0 0 δηλαδή η γραφική παράσταση του ημιτόνου, βρίσκεται μεταξύ των ευθειών y= και y =. Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 44

45 Μάθημα 1 Ασύμπτωτες Κανόνας De l Hospital Σημείωση: Συστήνουμε να ξεκινήσετε το διάβασμά σας από τον κανόνα του Hospital για να διευκολυνθείτε στην εύρεση ορίων των ασύμπτωτων. Ερώτηση 9η «Ασύμπτωτες» α) Γράψτε 3 είδη ασύμπτωτων για μια γραφική παράσταση συνάρτησης. Σημείωση: Όταν λέμε ασύμπτωτη, αναφέρεται στην γραφική παράσταση συνάρτησης και όχι στην συνάρτηση, δηλαδή είναι λάθος να γράψουμε ότι η ασύμπτωτη της f είναι η =1, αλλά παρόλα ταύτα για λόγους ευκολίας θα το δεχόμαστε κατανοώντας τι θέλει να εκφράσει η άσκηση. β) Που μας εξυπηρετούν οι ασύμπτωτες; γ) Σωστό ή Λάθος: Η ασύμπτωτη μιας γραφικής παράστασης συνάρτησης μπορεί να έχει κοινά σημεία με αυτήν. Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Βασική Άσκηση 148η Γράψτε όλες τις βασικές γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων που έχουν ασύμπτωτες και ποιο είδος παρουσιάζουν κάθε φορά. Άσκηση 149η Βρείτε το είδος και την εξίσωση των παρακάτω ασύμπτωτων (σχ. 1 και ) (σχ. 1) (σχ. 3) (σχ. ) Άσκηση 150η Δίνονται οι τέσσερεις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g, h, z, όπως φαίνονται στο διπλανό σχήμα3. α) Βρείτε ποια είναι η σχέση των γραφικών παραστάσεων. β) Ποιες είναι ασύμπτωτές τους; γ) Τελικά η ασύμπτωτη μπορεί να τέμνει την γραφική παράσταση συνάρτησης; Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 45

46 Ερώτηση 30η «Κατακόρυφη ασύμπτωτη» α) Δώστε τον ορισμό της κατακόρυφης ασύμπτωτης 0 για την γραφική παράσταση της συνάρτησης f. β) Αν ο άξονας y y είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f, τότε τι θα ισχύει; γ) Σε ποια σημεία αναζητούμε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες μιας συνάρτησης; Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο R ή σε κλειστό διάστημα, τότε παρουσιάζει κατακόρυφες ασύμπτωτες; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. δ) Σε ποια σημεία των ρητών συναρτήσεων αναζητούμε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες; ε) Πόσες κατακόρυφες ασύμπτωτες μπορεί να έχει μια συνάρτηση; Σημείωση: Επανάληψη στα μη πεπερασμένα όρια (Φυλλάδιο: Μάθημα 7/ Ανάλυση 10 Κεφάλαιο, ενώ από το σχολικό βιβλίο: παράγραφος 1.6 / σελ. 176) Βασική Άσκηση 151η α) Βρείτε μια γνωστή συνάρτηση που η γραφικής της παράσταση έχει άπειρες κατακόρυφες ασύμπτωτες. β) Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις έχουν κατακόρυφες ασύμπτωτες; Δικαιολογήστε την απάντησή σας γ) Οι συνεχείς συναρτήσεις στο R έχουν κατακόρυφες ασύμπτωτες; Δικαιολογήστε την απάντησή σας Άσκηση 15η Να βρείτε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων για τις παρακάτω συναρτήσεις:, ln α) f 1 β) f γ) f, 0 Άσκηση 153η Δίνεται συνάρτηση f :,1 1, με τύπο f και λ πραγματικός 1 αριθμός. α) Σωστό ή Λάθος; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία = 1. β) Για ποια τιμή του λ η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη; Ερώτηση 31η «Οριζόντια ασύμπτωτη» α) Δώστε τον ορισμό της οριζόντιας ασύμπτωτης y y0 για την γραφική παράσταση της συνάρτησης f. β) Αν ο άξονας είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f, τότε τι θα ισχύει; γ) Σε ποια διαστήματα του πεδίου ορισμού αναζητούμε τις οριζόντιες ασύμπτωτες; δ) Ποιες ρητές συναρτήσεις έχουν οριζόντια ασύμπτωτη; ε) Πόσες οριζόντιες ασύμπτωτες μπορεί να έχει μια συνάρτηση που ορίζεται στο R; Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 46

47 Σημείωση: Επανάληψη στα όρια που το (Φυλλάδιο : Μάθημα 8 / Ανάλυση 1 κεφάλαιο, ενώ από το σχολικό βιβλίο παράγραφος 1.7 σελ. 18) Βασική άσκηση 154η α) Αν η περιττή συνάρτηση f ορίζεται στο R και έχει (η γραφική της παράσταση) οριζόντια ασύμπτωτη στο + την y, τότε να αποδείξετε ότι η C έχει οριζόντια ασύμπτωτη και στο της οποίας να βρείτε την εξίσωση. β) Δώστε σχήμα μιας τέτοιας συνάρτησης. Βασική άσκηση 155η Να αποδείξετε ότι οι πολυωνυμικές συναρτήσεις δεν έχουν οριζόντιες ασύμπτωτες. Άσκηση 156η Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων για τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f 1 β) f 1 γ) f Άσκηση 157η Δίνεται η συνάρτηση f: με τύπο f 3, όπου λ πραγματικός f ln αριθμός. Βρείτε την τιμή του λ έτσι ώστε η f να έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο. Άσκηση 158η Έστω μια συνάρτηση f: (0,+ ) για την οποία ισχύει e f () 1 για κάθε 0. Να δείξετε ότι ο άξονας είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της C f. Ερώτηση 3η «Πλάγια ασύμπτωτη» α) Δώστε τον ορισμό της πλάγιας ασύμπτωτης y για την γραφική παράσταση της συνάρτησης f. β) Σε ποια διαστήματα του πεδίου ορισμού αναζητούμε τις οριζόντιες ασύμπτωτες; γ) Δικαιολογήστε γιατί η οριζόντια ασύμπτωτη είναι ειδική περίπτωση της πλάγιας ασύμπτωτης; δ) Ποιες ρητές συναρτήσεις έχουν πλάγια ασύμπτωτη (όχι οριζόντια); ε) Πόσες πλάγιες ασύμπτωτες μπορεί να έχει μια συνάρτηση που ορίζεται στο R; στ) Εργαλείο εύρεσης πλάγιας οριζόντιας ασύμπτωτης : Αν f lim ασύμπτωτης και lim f τότε ποια είναι η εξίσωση της πλάγιας f στο ; Ισχύει το αντίστροφο; Διατυπώστε και περιγράψτε το. Πότε θα το χρησιμοποιούμε; Τι συμβαίνει αν λ = 0 ; ζ) Πότε χρησιμοποιούμε τον ορισμό της πλάγιας ασύμπτωτης μιας γραφικής παράστασης συνάρτησης και πότε το εργαλείο; Υπάρχουν ασκήσεις που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε και τα δύο ταυτόχρονα σε ένα ερώτημα; Βασική Άσκηση 159η Σωστό ή Λάθος; Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 47

48 α) Αν η f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο, τότε δεν μπορεί να έχει και πλάγια ασύμπτωτη στο β) Αν η f έχει πλάγια ασύμπτωτη στο, τότε δεν μπορεί να έχει και οριζόντια ασύμπτωτη στο γ) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που ορίζεται στο R, μπορεί να έχει 4 το πολύ οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες δ) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που ορίζεται στο R, μπορεί να έχει το πολύ οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες ε) Μια πολυωνυμική συνάρτηση δευτέρου βαθμού και άνω δεν έχει ασύμπτωτες. Άσκηση 160η Δίνεται η συνάρτηση f: με τύπο f α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y 1 είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο β) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της C f στο Άσκηση 161η Έστω η συνάρτηση με τύπο f α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να δείξετε ότι δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες γ) Βρείτε τις πλάγιες οριζόντιες ασύμπτωτες της C f στο Άσκηση 16η (Εξετάσεις 005) Δίνεται η συνάρτηση f με, και 3. Αν η ευθεία y 3 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο, τότε να αποδείξετε ότι: α = 1 και κ =3. Άσκηση 163η Έστω οι συναρτήσεις f,g : για τις οποίες ισχύει: lim ευθεία y 3 είναι ασύμπτωτη της C g. f α) Να αποδείξετε ότι lim β) Να βρείτε την ασύμπτωτη της C f στο Άσκηση 164η Δίνεται ότι f g 3 και ότι η lim 4 3 ( ) 0,όπου α, β πραγματικοί αριθμοί. Βρείτε τα α, β. [Υπόδειξη: Να λυθεί με την βοήθεια των ασύμπτωτων ] Άσκηση 165η Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έει στο + ασύμπτωτη την ευθεία y=+, να βρείτε τον μ, ώστε: 9 1 f () 3 4 lim f () 1 Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 48

49 Άσκηση 166η Εξετάσεις 000 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : για τις οποίες ισχύει f g 4 για κάθε. Αν η ευθεία y 3 7 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο +. α) Να βρείτε τα όρια: g i) lim g 3 ii) lim f 3 1 β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y 3 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g καθώς Άσκηση 167η Έστω μια συνάρτηση f: (0,+ ) με f για κάθε > 0. Αν η ευθεία ε: 3 y 1 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f τότε να βρείτε την f. Ερώτηση 33η «Κανόνας De L Hospital» α) Διατυπώστε τους δύο κανόνες (θεωρήματα) του De L Hospital (προφέρεται: Ντελοπιτάλ) (συντομογραφικά D L) β) Ο D L για ποιες απροσδιόριστες μορφές αναφέρεται; Μπορεί να λειτουργήσει και σε άλλες απροσδιόριστες μορφές; Δώστε μεθόδους και παραδείγματα. Ιστορικά σχόλια μαθηματικά κουτσομπολιά: Ο De L Hospital ήταν μαθητής του γνωστού μαθηματικού Johann Bernoulli ( ) και φημολογείται ότι ο λεγόμενος κανόνας του De l Hospital άνηκε στο καθηγητή του! Ο De L Hospital καταγόταν από εύπορη και στρατιωτική οικογένεια. Είχαν υπογράψει συμβόλαιο με το Bernoulli να χρησιμοποιεί ο πρώτος τις ανακαλύψεις του έναντι σταθερής αμοιβής! Πηγή: W. Rudin Άρχές Μαθηματικής Ανάλυσης» leader books. Βασική άσκηση 168η α) Αν f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο διάστημα (α, β) με, και f g 0 με g 0 τότε να αποδείξετε ότι: f f α) lim g g Άσκηση 169η g 0 κοντά στο β) Τι σας θυμίζει το όριο αυτό; 1 Δίνονται δύο συναρτήσεις f, 0 και g Α) Να δείξετε ότι: lim f lim g 0 α) 0 0 f β) Το όριο lim 0 g f γ) Το όριο lim 0 g υπάρχει δεν υπάρχει Β) Τι συμπέρασμα βγάζετε από την παραπάνω άσκηση;,. Άσκηση 170η «Μορφή 0 /0» Βρείτε τα παρακάτω όρια: i) lim 01 Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 49

50 ii) iii) lim e e lim 0 Άσκηση 171η «Μορφή /» Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: i) 3 ln lim ln ii) lim e 1 4e 3 iii) 3 ln(1 ) lim ln( ) Άσκηση 17η «Μορφή 0» Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: i) lim ln 0 ii) 1 lim e 1 iii) lim ln ln( 1) Άσκηση 173η «Μορφή 1,0,» Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: i) 1 1 lim 1 ii) 1 lim iii) 1 lim 0 Άσκηση 174η Ένας μαθητής υπολόγισε το όριο ως εξής: lim lim lim Σχολιάστε την λύση του. Άσκηση 175η Έστω μια συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και συνεχής έως την δεύτερη παράγωγο, τότε να αποδείξετε ότι: f h f h f lim h0 h (Για να ανήσυχους μαθητές - εργασία: Να δείξετε με ένα παράδειγμα ότι το τελευταίο όριο μπορεί να υπάρχει ακόμη και όταν η f δεν υπάρχει). f Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 50

51 Μάθημα 13: Σχεδιασμός γραφικής παράστασης συνάρτησης Ερώτηση 34η «Σχεδιασμός της C f» α) Μαθητής: «Κύριε κύριε; Για ποιο λόγο τα μαθαίνουμε όλα αυτά (αναφέρεται σε όλες τις έννοιες από το 1ο και ο κεφάλαιο της Ανάλυσης)»; Τι πρέπει να απαντήσει ο καθηγητής σε σχέση με την τελευταία παράγραφο του Διαφορικού Λογισμού; β) Συνεχίζει ο μαθητής: «Γιατί ο σχεδιασμός της γραφικής παράστασης συνάρτησης είναι τόσο σημαντικός»; Για την καλύτερη απάντηση, αναφέρεται ένα από τα βασικά σχήματα και δώστε όλες τις πληροφορίες που μας δίνει ένα σχήμα (πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών, μονοτονία, ακρότατα, κυρτότητα, σημεία καμπής, ασύμπτωτες κτλ) γ) Για να σχεδιάσουμε μια γραφική παράσταση συνάρτησης ποια βήματα ακολουθούμε; Δώστε ένα παράδειγμα Άσκηση 175η Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων 3 α) f β) f Άσκηση 176η e e 1 γ) f Δίνεται στο παρακάτω σχήμα η γραφική παράσταση της συνάρτησης f («πεταλούδα»), συμπληρώστε τα παρακάτω κενά και απαντήστε στις επόμενες ερωτήσεις. 1 ln.... f f f..... Βρείτε, αν υπάρχουν, α) Τα ακρότατα της συνάρτησης β) Τα σημεία καμπής γ) Τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f δ) Πεδίο ορισμού Σύνολο τιμών ε) Άξονες συμμετρίας στ) Τις λύσεις της εξίσωσης f 0 ζ) Τις λύσεις της ανίσωσης f 0 η) Ορίζεται αντίστροφη συνάρτηση της f; Κεφάλαιο ο Διαφορικός Λογισμός 51