Dinamica inflatiei si a somajului
|
|
- Κίρκη Γερμανού
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Dinamica inflatiei si a somajului 1 Introducere Ce este inflatia? Inflatia este un dezechilibru care afecteaza, in proportii diferite, toate economiile nationale, si care poate fi sesizat prin doua tendinte majore, si anume: cresterea generalizata a preturilor si scaderea puterii de cumparare a banilor. Se considera ca inflatia este o stare caracterizata prin cresterea permanenta a volumului puterii de cumparare fata de volumul bunurilor si serviciilor, astfel incat din aceasta rezulta cresterea veniturilor si preturilor in timp ce valoarea banilor scade. Cealalta tendinta majora ce caracterizeaza situatia de inflatie, scaderea de cumparare a banilor, consta in relevarea faptului ca in decursul unei perioade relativ lungi, volumul bunurilor si serviciilor ce se cumpara intr-o economie scade in comparatie cu masa monetara si nivelul preturilor. Aceasta se determina ca un raport intre masa monetara si nivelul preturilor, aratand cate bunuri si servicii se pot cumpara cu cantitatea de bani existenta in economie, la un nivel dat al preturilor. Ce este somajul? Cel mai adesea, fenomenul contemporan somaj este abordat si analizat ca un dezechilibru al pietei muncii la nivelul ei national: ca loc de intalnire si de confruntare intre cererea globala si oferta globala de munca. Aceasta maniera de abordare a somajului este, in fapt, o continuare a analizei problemelor demografico-economice, pe de o parte, si a celor economicofinanciare si investitionale, pe de alta parte. Numai ca atat resursele de munca (oferta de brate de munca), cat si nevoia de munca (cererea de munca) sunt filtrate prin exigentele si regulile unice ale remunerarii si salarizarii. De aceea, indiferent de unghiul de abordare si tratare a lui, somajul este o disfunctie a pietei nationale a muncii. 1
2 2 Curba Phillips Orice politica are drept scop declarat atat un nivel scazut de somaj, cat si o inflatie moderata. Aceasta, cu scopul esential de a creea o crestere economica inalta si durabila. Relatia dintre somaj si inflatie - ambele privite in dinamica - este surprinsa cu ajutorul curbei Phillips, dupa numele economistului englez de origine neozeelandeza care a fundamentat-o pentru prima data. Pe baza cercetarii unei ample serii de date, care s-au extins pe intervalul de timp , privitoare la rata somajului (ca indicator structural) si dinamica salariului nominal in Anglia, economistul englez A. W. Phillips a descoperit o relatie logica intre dinamicile celor doua marimi. Pe baza ipotezei, conform careia modificarea pretului este egala cu modificarea salariului minus efectul cresterii productivitatii medii, Phillips a observat o relatie inversa intre rata inflatiei si rata somajului. Nivelul somajului a fost mai mare cand ritmul de crestere a salariului nominal a fost mai lent. Invers, somajul a fost mai mic cand cresterile salariului nominal au fost mai rapide. Relatiile sunt plauzibile, deoarece nivelul si dinamica salariului depind de raportul dintre cererea si oferta de munca. Daca, de pilda, cererea de munca este mai mare decat oferta, atunci salariile sunt mai mari, ele cresc. Caracterul plauzibil al relatiei se poate demonstra si pe baza asezarii salariului in postura de variabila independenta. Salariile mai mici fac ca cererea sa fie mai mare ca oferta. Extinzand relatiile, s-a considerat ca guvernele pot reduce rata somajului provocand in mod deliberat inflatia. Ideea este destul de hazardata. In varianta sa originala, curba Phillips este o relatie de interdependenta inversa intre nivelul relativ al somajului si ritmurile de crestere a salariului nominal. Curba Phillips actuala include indicatorul ritmurilor asteptate ale inflatiei (nu doar pe cele inregistrate efectiv). Prin acestea, modelul este tributar economistului american Milton Friedman. Dezvoltand, la sfarsitul anilor 60, modelul asteptarilor false ale lucratorilor, acest economist a pus in evidenta importanta deosebita a asteptarilor pentru analiza ofertei globale. Curba Phillips este un instrument de fundamentare a politicilor economiei ofertei. Ea este o altermativa de reprezentare a ofertei globale. Pe baza ei, se adopta politica economica de reglementare a cererii globale, si astfel se ajunge 2
3 la fundamentarea alegerii intre inflatie si somaj, ale carei conditii sunt date de curba ofertei globale. In acest sens, prin curba ofertei Phillips se sustine ca nivelul inflatiei (schimbarea nivelului preturilor fata de perioada initiala) depinde de trei factori: 1.inflatia asteptata; 2.abaterile somajului fata de nivelul sau natural, adica somajul ciclic; 3.schimbarile soc ale ofertei. In termeni generali, specificatiile curbei Phillips sunt: { π = f(u) π = f(u) + π e, (2.1) (2.2) unde π=inflatia, π e =inflatia asteptata si u=somajul. Se poate asuma o relatie inversa intre inflatie si somaj: π = a 0 a 1 u; cu a 0, a 1 > 0 (I) Afirmam ca nivelul natural al somajului, u n este valoarea somajului care satisface conditia f(u n ) = 0 si π e = π. Avand curba liniara Phillips, atunci u n satisface conditia u n = a 0 a 1. Situatia este ilustrata in fig.(1), unde am reprezentat asteptarile marite ale curbei Phillips. Pentru a reprezenta o asemenea curba trebuie sa presupunem ca inflatia asteptata este data. In recentele abordari ale curbei Phillips s-a convenit sa se specifice relatia dintre inflatie si nivelului venitului real. Aceasta este deoarece curba Phillips trebuie inclusa inttr-un model mai larg al macroeconomiei. Acesta ia forma: π = α(y y n ) + π e, cu a > 0 (II) unde y=venitul real; y n = nivelul natural al venitului asociat cu u n. Subliniind aceasta relatie evidentiem :o curba Philips usor reformulata care relationeaza inflatia cu lipsa somajului, adica: π = γ(u u n ) + π e, cu γ 1 > 0, (III) si legea lui Okun, care pune in relatie lipsa somajului cu lipsa veniturilor, adica: u u n = γ 2 (y y n ), cu γ 2 > 0. (IV) Substituind (IV) in (III) avem : { π = γ 1 γ 2 (y y n ) + π e π = α(y y n ) + π e, α > 0 (2.3) (2.4) 3
4 Coeficientul α este compus din produsul a doi coeficienti ai reactiei, γ 1 si γ 2. Pentru o rata asteptata a inflatiei data, avem o relatie pozitiva intre π si y, a carui panta este α y n (vezi fig.(2)). Pentru π = π e avem y = y n si astfel avem o curba verticala a ofertei maxime pe termen lung la nivelul natural al venitului real. 3 Un model simplu macroeconomic al inflatiei Pentru modelarea inflatiei in contextul macroeconomiei, se ia modelul ca fiind liniar in logaritmi, cu exceptia inflatiei si a ratelor de interes care sunt exprimate in procente. Se vor desemna toate variabilele reale cu litere mici. Modelul considerat este dat in tabelul (3.1) Investitia este invers proportionala fata de rata de interes, dar rata de interes relevanta pentru deciziile investitiei este rata de interes asteptata reala, r π e. Retinem conditiile de echilibru, dar in mentiunile reale, cu venitul real egal cu suma cheltuielilor reale. Revenind la piata monetara, vom interpreta ecuatia cererii monetare ca fiind reala, relationata pozitiv cu venitul real si negativ cu rata de interes nominala. Singura ecuatie neobisnuita este cea a furnizarii soldurilor monetare reale: ms = ln( M ) = lnm lnp = m p P Tabelul 3.1. Modelul macroeconomic al inflatiei Piata bunurilor Definitia variabilelor c = a + b(1 tx) y y=venitul real i = i 0 h(r π e ) y = c + i + g c=consumul real i=investitiile reale g=cheltuielile guvernamentale reale π e =inflatia asteptata Piata monetara md = ky ur r=rata de interes nominala ms = m p md=cererea monetara reala md = ms ms=oferta monetare reala m=stocul monetar nominal p=nivelul pretului 4
5 Aplicatia 1 - Cererea monetara Md Fie expresia cererii monetare: P = Y k e ur. Logaritmand avem: ln( Md P ) = ln(y k e ur ) ln Md ln P = k ln Y ur Folosim faptul ca ln e = 1,astfel cererea monetara poate fi exprimata: md p = ky ur sau md = p + ky ur. Aplicatia 2 - Paritatea puterii de cumparare (PPP) Definim cursul de schimb real ca fiind: R = P SP, unde S= punctul cursului de schimb; P si P reprezinta nivelul pretului acasa, respectiv in strainatate. Daca paritatea puterii de cumparare detine legea pretului unic atunci: P = SP sau R = 1. Logaritmand, obtinem: ln P = ln S + ln P sau p = s + p. Daca P este constant si normalizat la valoarea unitatii, atunci: ln P = 0 si paritatea puterii de cumparare implica p = s. Diferentierea logaritmilor si procentelor In aceasta subsectiune vom lua numai logaritmii naturali. dy Fie y = ln(x), atunci: dx = d ln(x) = 1 dx x. y Consideram acum aproximarea sa: x = ln(x) = 1 x x. Atunci: y = ln(x) = x x. Aplicatia 1 - Inflatia Notam cu P nivelul pretului. Atunci: ln P = P P, dar P P ln P = π. este inflatia, des notata cu π, si astfel: Aplicatia 2 - Inflatia in timp discret Fie P (t)= nivelul pretului la momentul t, atunci: P (t + 1) P (t) P (t + 1) π(t + 1) = =. P (t) P (t) P (t + 1) Putem exprima aceasta relatie astfel: = ln P (t + 1). P (t) Utilizand litere mici definim: p(t + 1) = lnp (t + 1), p(t) = ln P (t). 5
6 Atunci: ln P (t + 1) = ln P (t + 1) ln P (t) = p(t + 1) p(t). Deci, inflatia poate fi exprimata: π(t + 1) = p(t + 1) p(t). (a + i 0 + g) + h (m p) + hπe Substituind si simplificand avem: y = u 1 b(1 tx) + hk. u Problema principala este cu echilibrul venitului, dar prin simplificare se ajunge la ecuatia liniara de forma: y = b 0 + b 1 (m p) + b 2 π e. Aceasta reprezinta curba cererii maxime al modelului macroeconomic al cererii maxime si ofertei maxime. Graficul pretului cu venitul real reprezinta curba cererii maxime. Observam ca stocul monetar nominal este constant, la fel si rata estimata a inflatiei. In economie se obisnuieste a se plasa pretul pe axa verticala si venitul real pe axa orizontala, deci vom respecifica aceasta ecuatie ca fiind o ecuatie a lui p cu y. Astfel: p = b 0 + b 1 m ( 1 ) y + ( b 2 ) π e p = c 0 c 1 y + c 2 π e, b 1 b 1 b 1 unde: c 0 = b 0 + b 1 m, c 1 = 1, c 2 = b 2. b 1 b 1 b 1 Modelul este ilustrat in termenii unei cereri maxime si a unei oferte maxime pe termen-lung in fig.(2). Pentru ca acesta este un model al cererii si ofertei trebuie sa presupunem ca rata inflatiei e zero, adica: π = π e = 0. 4 Dinamica modelului simplu Pentru a vedea acest model operand, presupunem inflatia zero. Nu facem aceasta presupunere pentru inflatia actuala, deorece pe termen scurt inflatia actuala poate devia de la valoarea estimata. Doar pe termen lung inflatia actuala va fi egala cu inflatia asteptata. Deci trebuie sa aratam ca rezultatul pe termen lung al acestui model satisface aceasta conditie. Exemplul numeric este urmatorul: y(t) = (m p(t)) π(t + 1) = p(t + 1) p(t) = 1.2(y(t) y n ), m = 5, y n = 6; Observam ca inflatia e definita ca fiind diferenta dintre preturi, pretul fiind exprimat in logaritmi. Substituind, obtinem urmatoarea ecuatie recursiva pentru nivelul pretului: p(t + 1) = p(t) + 1.2(y(t) 6) = p(t) + 1.2( (5 p(t)) 6) p(t + 1) = p(t), care e liniara. 6
7 Intai rezolvam pentru valoarea de echilibru, p(t + 1) = p(t) = p, care va duce la pretul de echilibru p = 20. Ne intrebam daca acest punct este stabil. Putem raspunde intr-o varietate de moduri. Intai putem pune ecuatia recursiva sub forma unei diagrame Cobweb si putem stabili daca converge catre punctul de echilibru. Aratam ca acesta este intr-adevar cazul unui pret initial p(0) = 10 in mentiunile figurii (3). Inclusiv coloana preturilor din foaia de calcul din fig.(4) arata aceasta. Revenind la foaia de calcul, plasam valorile din stocul monetar si nivelul natural al venitului in casutele G3, respectiv G4. In casuta B10 am pus nivelul initial al pretului si anume: 10. Casuta C10 are formula: (m p(0)) = p (G3 B10), in timp ce B11 are formula: p(0) = B10. Construim traiectoria in spatiul (y, p). Observam ca aceasta traiectorie urmareste curba cererii maxime. Din foaia de calcul observam ca inflatia scade continuu pana atinge zero. Doar cu inflatia actuala si cea asteptata zero, pretul va ramane in echilibru la valoarea p = 20. Acest model simplu ilustreaza deficienta folosirii modelului cererii maximeofertei maxime pentru a discuta despre inflatie. Modelul este determinat de venit-pret,sub premisa inflatiei zero. Aceasta este singura solutiei pe termen lung. 5 Modelul dinamic cu inflatia pozitiva Modelul anterior avea unica solutie acceptabila rata de inflatie zero(actuala si asteptata). Problema in esenta este ca la acest model static al pretului si venitului s-a adaugat componenta dinamica. In fig.(2) am ilustrat curba cererii maxime astfel: y = b 0 + b 1 (m p) + b 2 π e, b 1 > 0, b 2 > 0, la care am adaugat componenta timp pentru claritate: y(t + 1) = b 0 + b 1 (m(t) p(t)) + b 2 π e (t + 1).(VI) Observam ca venitul in perioada urmatoare depinde de variatia monetara reala din perioada anterioara, m(t) p(t) si de inflatia estimata. Astfel avem:y(t) = b 0 + b 1 (m(t 1) p(t 1)) + b 2 π e (t) (VII). Din (VI) si (VII) avem: y(t + 1) y(t) = y(t + 1) = b 1 (m(t) m(t 1)) b 1 (p(t) p(t 1)) + b 2 (π e (t + 1) π e (t)). 7
8 Modelul fiind considerat in logaritmi, avem: m(t) m(t 1) = λ=cresterea ofertei monetare p(t) p(t 1) = π(t)=inflatia π e (t + 1) π e (t) = π e (t + 1)=acceleratia ratei inflatiei estimate. Asadar, avem y(t+1) = b 1 (λ π(t))+b 2 π e (t+1), care reprezinta expresia curbei cererii de presiune (demand-pressure curve). Modelul se transcrie cu ajutorul sistemului de ecuatii: y(t + 1) = b 1 (λ π(t)) + b 2 π e (t + 1), b 1 > 0, b 2 > 0 π(t) = α(y(t) y n ) + π e (t), π e (t + 1) = β(π(t) π e (t)), β > 0. (5.5) (5.6) (5.7) Acest model este compus din curba cererii de presiune, din curba Philips, si dintr-o expresia de modificare a expectantelor. Vom urmari acest model cu un exemplu numeric. (fig.5) Fie λ = 15, si y n = 15 cu modelul numeric: y(t + 1) = 10(15 π(t)) π 3 (t + 1) π(t) = 0.2(y(t) 15) + π e (t) π e (t + 1) = 1.5(π(t) π e (t)). (5.8) (5.9) (5.10) Rearanjand curba Philips si substituind-o in expresia de modificare a expectantelor obtinem: { π(t) π e (t) = 0.2(y(t) 15), π e (t + 1) = (y(t) 15) = 0.3(y(t) 15). (5.11) (5.12) Aceasta este prima ecuatie fundamentala. Substituind-o in curba cererii de presiune obtinem: y(t + 1) = 10(15 π(t)) (y(t) 15) = π(t) y(t) In final substituim curba Philips in expresia: y(t+1) = [0.2(y(t) 15)+π e (t)]+0.15y(t) 2.25 = y(t) 10π e (t), reprezentand a doua ecuatie fundamentala. Recapituland, avem doua ecuatii cu diferente: y(t + 1) = y(t) 10π e (t) π e (t + 1) = 0.3(y(t) 15), care pot fi rezolvate pentru y si π e. De retinut ca rezolvarea nu se face pentru inflatia actuala, ci pentru cea asteptata. Odata rezolvate pentru inflatia asteptata si venit, se pot rezolva pentru inflatia actuala din curba Philips (π(t) = 0.2(y(t) 15) + π e (t)). Intai trebuie stabilite punctele fixe ale sistemului. Acestea sunt cand: 8
9 y(t + 1) = 0 si π e (t + 1) = 0, deci avem: 0 = y 10π e 0 = 0.3(y 15), de unde rezulta (y, π e ). Situatia este ilustrata in fig.(6). Punctul fix este dat de intersectia a doua izocline: y(t+1) = 0 si π e (t+1) = 0. Revenind la fig.(6), daca π e (t + 1) > 0 atunci y > 15 si astfel, la dreapta izoclinei π e (t + 1) = 0, π e creste, iar la stanga π e descreste. Aceasta este ilustrata de sagetile sus-jos care apar in grafic. Daca π e (t + 1) > 0 atunci π e < y, si astfel sub izoclina y(t + 1) = 0 creste, in timp ce sub y descreste, aceasta fiind ilustrata prin sagetile la dreapta,respectiv stanga. Se stabileste astfel un sens antiorar. Indiferent daca miscarea este direct spre punctul fix sau in spirala, trebuie sa investigam mai mult. Facem aceasta printr-o foaie de calcul, ca in fig.(7). Dam o valoare initiala pentru venit si inflatia asteptata, si anume 12. Acestea sunt plasate in casutele B9, respectiv C9. Formulele pentru inflatia actuala (D9),si B10, C10, D10 sunt: - D9 = 0.2(y(0) 15) + π e (0) = 0.2 (B9 15) + C9 - B10 = y(0) y(0) 10π e (0) = B B9 10 C9 - C10 = π e (0) + 0.3(y(0) 15) = C (B9 15) - D10 = 0.2 (y(1) 15) + π e (1) = 0.2 (B10 15) + C10 - Construim traiectoria economiei in planul (y, π e ). Chiar daca economia are o miscare antiorar, se spiraleaza indepartandu-se de punctul fix, iar daca facem graficul in spatiul (y, π) traiectoria va fi tot o spirala cu miscare antiorar. Fie y(0) = 100 si π e = 10. Pentru modelul urmator : y(t + 1) = 10(15 π(t)) π e (t + 1) π(t) = 0.2(y(t) π e (t)), π e (t + 1) = 0.8(π(t) π e (t)), (5.13) (5.14) (5.15) (5.16) vom gasi ca sistemul are o miscare in spirala antiorar care converge catre punctul fix (y, π e ) = (150, 150). 9
10 6 Experimentare Fie modelul: y(t + 1) = b 1 (λ π(t)) + b 2 π e (t + 1), b 1 > 0, b 2 > 0 π(t) = α(y(t) y n ) + π e (t), α > 0 π e (t + 1) = β(π(t) π e (t)), β > 0. (6.17) (6.18) (6.19) Facand aceleasi substitutii ca inainte obtinem din (6.18): π(t) = π e (t) = α(y(t) y n ); substituind aceasta relatie in (16.19) si rezultatul in (16.17) obtinem: y(t+1) = b 1 (λ π(t))+b 2 βα(y(t) y n ) = (λb 1 b 2 βαy n ) b 1 π(t)+b 2 βαy(t). Sustituim (6.17) in: y(t + 1) = (λb 1 b 2 βαy n ) b 1 [α(y(t) y n )] + π e (t)] + b 2 βαy(t) = (λb 1 b 2 βαy n + b 1 αy n ) (b 1 α b 2 βα)y(t) b 1 π e (t), deci cele doua ecuatii cu diferente sunt: { y(t + 1) = (λb1 b 2 βαy n + b 1 αy n ) (b 1 α b 2 βα)y(t) b 1 π e (t) π e (t) = βα(y(t) y n ). (6.20) (6.21) { 0 = (λb1 b 2 βαy n + b 1 αy n ) (b 1 α b 2 βα)y(t) b 1 π e (t) 0 = βα(y(t) y n ). (6.22) (6.23) Rezulta y = y n si b 1 π e = (λb 1 b 2 βαy n + b 1 αy n ) (b 1 α b 2 βα)y, π e = λb 1 b 2 βαy n + b 1 αy n b 1 ( b 1α b 2 βα b 1 ). Pentru a verifica acest rezultat fata de cel anterior dam valorile: λ = 15, y n = 15, b 1 = 10, b 2 = 0.5, α = 0.2, β = 0.3. Rezulta: y = 15 si π e = 15. Pentru a pune aceste date in foaia de calcum luam: y(t + 1) = A 0 A 1 y(t) A 2 π e (t) A 0 = λb 1 b 2 βαy n + b 1 αy n A 1 = b 1 α b 2 βα A 2 = b 1 π e (t) = B 1 (y(t) y n ) B 1 = βα. Verificam pentru exemplul dat anterior in care am schimbat nivelul natural al venitului in 150 si parametrul β in 0.8. Fie y(0) = 100 si π e (0) = 10. Ceea ce va rezulta este o spirala antiorar care converge catre punctul de echilibru (y, π ) = (150, 150). Apoi, inlocuind valoarea lui β din 0.8 in 0.3, vom observa ca traiectoria rezultata e in zig-zag si converge catre acelasi punct fix. 10
11 7 Concluzie De multi ani economistii afirma existenta unei corelatii negative intre rata inflatiei, pe de o parte si rata somajului din economie, pe de alta parte. Cu alte cuvinte, nivele ridicate ale somajului sunt asociate cu nivele scazute ale inflatiei si invers. Relatia dintre inflatie si somaj este reprezentata grafic prin curba Philips. Analizand serii de date ale inflatiei si somajului, economistii au remarcat faptul ca legatura inversa, stabila, intre cei doi indicatori nu este intotdeauna valabila. O interpretare alternativa a acelorasi date ar fi aceea ca, in timp ce legatura intre inflatie si somaj exista la un anumit moment, pozitia curbelor este determinata si de un numar de alti factori. La inceput parea convenabila alegerea politicii economice ca o alternativa intre nivelul inflatiei si nivelul somajului. Guvernul putea alege diverse combinatii inflatie-somaj astfel incat sa duca la bun sfarsit politica economica dorita. In conditiile anticiparii preturilor, curba Phillips nu mai permite aceasta alegere. Chiar daca in primele perioade anticiparile nu vor fi corecte, teoria asteptarilor rationale arata faptul ca agentii economici invata din propriile greseli si dupa o anumita perioada anticiparile vor deveni corecte. Aceasta va conduce la inclinarea tot mai accentuata a curbei Phillips, pana devine verticala, adica rata inflatiei nu va mai depinde de rata somajului, ci evolueaza independent. Astfel, in problema inflatiei determinanta este credibilitatea guvernului, care prin masurile si anunturile efectuate influenteaza comportamentul agentilor economici. Atata timp cat guvernul este credibil, agentii economici isi formeaza anticiparile placand de la anunturile acestuia, si de aici posibilitatea de a concepe politici de crestere economica viabile. In schimb daca agentii economici observa ca actiunile guvernului nu corespund realitatii, atunci asteptarile acestora se adapteaza realitatii si nu anunturilor, si de aici imposibilitatea guvernului de a implementa politici credibile de dezvoltare economica. Bibliografie 1.An Introduction to Economic Dynamics - Ronald Shane;
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
z a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Curs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Conice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Ecuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
POLITICA MONETARĂ: ARTĂ ŞI REGULI. Lucian Croitoru. Consilier al Guvernatorului Banca Naţională a României
POLITICA MONETARĂ: ARTĂ ŞI REGULI Lucian Croitoru Consilier al Guvernatorului Banca Naţională a României CURBA PHILLIPS - FORMA CLASICA Inflaţie Şomaj ESTE CURBA PHILLIPS PE TERMEN LUNG VERTICALĂ? Atunci
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni
Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine
Principiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Problema 1.1. x = 1 4. x = 3 2, 5 3/2. x = 4 1, 2. x = 5/2 . 7/2. x = 1/2. Rezolvare: Ipoteza de nesaturare:, x2. ,..., xn.
Problema. Se consideră un consumator doritor să cumpere bunuri de două tipuri. Gusturile sale sunt reprezentate printr-o relaţie de preferinţă pe mulţimea vectorilor de consum notată: f, preferat sau indiferent.
Curs 6 Relatii de cointegrare
Curs 6 Relatii de cointegrare Intuitie: Doua serii de timp sunt in relatie de cointegrare daca nu sunt neaparat corelate, dar o combinatie liniara a lor este de medie si varianta constante: mai devreme
Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
VII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Algebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme
1 Formula Black-Scholes
Formula Black-Scholes. Modele de creştere (investiţii bancare, creşterea populaţiei, etc) Unul din cele mai simple modele de creştere este cel al creşterii exponenţiale. În acest model, notând cu cantitatea
Criterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale
3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile
Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener
Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare
1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
CAPITOLUL 2 FLUCTUAŢIILE AGREGATELOR MACROECONOMICE ŞI CAUZELE ACESTORA
Fluctuaţiile agregatelor macroeconomice şi cauzele acestora CAPITOLUL 2 FLUCTUAŢIILE AGREGATELOR MACROECONOMICE ŞI CAUZELE ACESTORA 2.2. Static şi dinamic Creşterea economică reprezintă dezvoltarea capacităţii
INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.