MODELAREA PROCESELOR FIZICE SI CHIMICE

Transcript

1 MODELAREA PROCESELOR FIZICE SI CHIMICE C11, Miercuri, DO1, anii I(C+A), MM-EDO ale sistemelor chimice Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 1

2 Det.MM(cum?); bazele modelarii proc. chimice, bibliografie, 1 [1] Levine, W.S., (1996), The Control Handbook, CRC Press, Boca Raton, Florida, USA [2] Banerjee, S., (2005), Dynamics for Engineers, John Wiley & Sons, Ltd, Chichester, UK [3] Nise, N.S., (2000(2004)), Control Systems Engineering, 3 rd (4 th ) ed., John Wiley & Sons, Inc., 2000 (2004), USA [4] *** (1995), Hutte. Manualul inginerului. Fundamente, trad din Limba Germana, ed. a 29-a, Ed.Tehnica, Bucuresti, RO [5] ***, (2000), SYstem Modeling by BOndgraph Language and Simulation (SYMBOLS), [6] Pastravanu, O., R. Ibanescu (2001), Limbajul Bond-Graph in modelarea si simularea sistemelor fizico-tehnice, Ed. Gh. Asachi, Iasi, RO Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 2

3 Det.MM(cum?); bazele modelarii proc. chimice, bibliografie,2 [7] Schwarz, P., (2004), Modeling languages for continuous and discrete systems, EOLSS, CSRA [ed. H. Unbehauen], Oxford, UK [8] Breedveld, P.C., (2006), Modeling and simulation of dynamic systems using Bond-Graphs, EOLSS, CSRA [ed. H.Unbehauen], Oxford, UK [9] Cellier, F.E., and E. Kofman, (2006), Continuous System Simulation, Springer, USA [10] Roffel, B., and Betlem, B., (2006), Process Dynamics and Control, Wiley & Sons, Ltd., Chichester, England [11] Karnopp, D.C., Margolis, D.L. and Rosenberg, R.C., (2006), System Dynamics. Modeling and Simulation of Mechatronic Systems, Wiley & Sons, Hoboken, NJ, USA [12] *** (2006), Matlab User s Manual, Release 14SP1, MathWorks, Natick, MA, USA Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 3

4 Det.MM(cum?); bazele modelarii proc. chimice, cuprins,1 5. Determinarea MM 5.1 Probleme generale s-au facut s-au facut. s-au facut Principii de conservare si ecuatii de bilant (sist. chimice si termice) Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 4

5 Det.MM(cum?); bazele modelarii proceselor chimice, cuprins, Principii de conservare si ecuatii de bilant (sisteme chimice si termice) a. - Tipuri de ecuatii ale MM (EDO, EA, EDP) si caracteristici ale acestora b. - Simularea EDO, metode, inclusiv functiile utilizate in Matlab c. Elemente de modelare in chimie (rezervoare simple; cu flux variabil; inchise; cu amestecare; cu amestecare si reactie) d. Bilanturi de masa si energie e. Fierberea; echilibrul lichid-vapori; punctul de roua; evaporari adiabatice; distilare/ distilari; f. Curgerea fluidelor (gaze, lichide) g. Operatii in trepte (coloane de distilare; schimbatoare de caldura; condensare; reactoare Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 5

6 5.3.6 MM aferente sist.chimice si termice. Tipuri de ecuatii posibile -1 Tipuri de ecuatii aferente MM: Algebrice (EA - ex: x = ay + bz etc) Diferentiale (EDO, EDP, EDt ex: dx/dt = ay + bz etc) Integro-diferentiale (ex: dx/dt = ay + bz + c a.dt etc) Aceste ecuatii pot fi (caracteristici): Lineare (ex: P = hgρ + P 0, unde: P 0 - presiunea atmosferica [N/m 2 ]; P-idem la adancimea h, [N/m 2 ]; ρ densitatea apei, [kg/m 3 ] ) Nelineare {ex: Debitul si caderea de presiune printr-o vana: Q = C v *sqrt(p 1 P 2 ) } Explicite (ex: ec. nelineara Q = C v *sqrt(p 1 P 2 ) este explicita, deoarece P 1, P 2 si C v sunt date, deci Q se calculeaza direct. Implicite (atunci cand EA sau EDO necesita transformari pentru a se calcula o anumita variabila; deci nu se calculeaza direct, ca mai sus). Simultane (valoarea unei necunoscute nu poate fi obtinuta decat prin rezolvarea simultana a ecuatiilor MM (si nu numai a uneia dintre ecuatii) Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 6

7 5.3.6 MM aferente sist.chimice si termice. Tipuri de ecuatii posibile -2 Suficiente ca numar (adica, nr. ecuatiilor independente sa fie egal cu numarul variabilelor dependente, pentru a se putea obtine o solutie. Independent inseamna ca sistemul nu contine vreo ecuatie care se deduce din celelalte). Redundante (3 situatii- i, ii, iii): (i). Sisteme EA sau EDO, la care o ecuatie se poate deduce din altele; la acestea nu se obtin valori unice pentru variabilele dependente. Exemplu: 2x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 10 (a) 6x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 6 4x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 8 Sistemul este redundant, deoarece ec. (iii) se obtine din suma [(a) + (b)]/2. (ii). Sistemele EA sau EDO cu mai multe variabile decat ecuatii duc la o infinitate de solutii; in aceste cazuri se pot obtine solutii optimale numai daca sunt impuse conditii de extrem (de maxim sau de minim). (iii). Sistemele EA ori EDO cu mai multe ecuatii decat variabilele necunoscute; in aceste cazuri trebuie gasita ecuatia/ ecuatiile/ sistemul care duc(e) la solutia cu erorile cele mai mici ( data fitting adaptarea datelor ). Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 7 (b) (c)

8 5.3.6 MM aferente sist.chimice si termice. Tipuri de ecuatii posibile -3 EDO ecuatii diferentiale ordinare Notiunea de derivata, ex: dx/dt inseamna ca variatia lui x este cauzata de variatia lui t Ordinul unei EDO = nr. maxim de diferentieri ale unei variabile independente O EDO, poate fi scrisa si cu ajutorul derivatelor de ordin superior (= EDO n ) Orice EDO n, se poate transforma intr-un sistem de n-edo 1 (utilizand variabile intermediare) Conditiile (la) limita (de frontiera, sau marginale) In orice sistem de EDO, care reprezinta un MM, trebuie cunoscute valorile TUTUROR variabilele dependente (ori/si a derivatelor acestora etc), pentru anumite valori particulare ale variabilei independente. Aceste perechi de valori se numesc conditii de frontiera (limita, marginale). Daca nu sunt date ori cunoscute apriori, pentru a solutiona EDO trebuie sa facem o initializare, adica sa definim aceste valori (de exemplu la t = 0, adica in origine, de unde si denumirea de conditii initiale ; alteori, mai rar, sunt definite la valori ale variabilei independente din interiorul intervalului de simulare-analiza a sistemului, cand il simulam utilizand MM al acestuia). Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 8

9 5.3.6 MM aferente sist.chimice si termice. Tipuri de ecuatii posibile -4 EDP ecuatii diferentiale cu derivate partiale La EDO, derivatele sunt definite fata de o singura variabila independenta, timpul ( t ) La EDP, derivatele sunt definite in raport cu mai multe variabile independente, de ex. timpul, lungimea, masa, temperatura etc Exemplu de EDP: Tranzitia (difuzia, starea tranzitorie a) temperaturii intr-o brama incalzita la o extremitate si izolata termic in restul suprafetei, este data de urmatoarea EDP care descrie temperatura bramei -T, timpul - t si l, unde l este distanta/ adancimea de patrundere (incalzire) a acesteia (Fig mai jos): 2 T T t = + K 2 l Fig. 10.1: Brama cu MM descris de o EDP Adica, in oricare moment al timpului, temperatura T variaza si functie de timpul t si functie de distanta l (adancimea, patrunderea in brama), sau, altfel: in oricare punct l i al bramei, temperatura acestuia variaza in timp. Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 9

10 5.3.6 MM aferente sist.chimice si termice. Tipuri de ecuatii posibile -5 Ecuatiile algebrice (EA); acestea pot fi implicite sau explicite. EA explicite, exemplu: Ecuatia X = M + N se zice ca este definita explicit pentru necunoscuta X, daca M si N sunt cunoscute (adica X se poate calcula direct cu M si N cunoscute) EA implicite, exemplu: Cu ecuatia X = MX + N, chiar daca M si N sunt cunoscute, nu se mai poate calcula direct valoarea lui X, ci indirect, fiind sunt necesare unele transformari/ calcule. Deoarece marea majoritate a MM sunt neliniare si simultane, rezulta ca variabilele sunt definite implicit; de aici rezulta ca obtinerea unei solutii este posibila, in practica, prin utilizarea metodelor numerice, metode iterative. Solutionarea EA, astazi, se poate face numeric prin metode de substitutii directe totale sau partiale, metoda Newton-Raphson, prin generarea de functii arbitrare pentru a se putea reusi realizarea de proceduri de interpolare Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 10

11 5.3.6 MM ale sistemelor chimice si termice: rezolvarea numerica a EDO,1 Metodele numerice (la cursul de Metode numerice, anul II). Succint: Fie, ce trebuie inegrata, ec. X = X dt, unde X este derivata lui X. Metode de ordinul intai (integrare numerica de ord.1, Euler simpla) calculeaza derivata lui X, adica panta curbei X, la inceputul intervalului de timp de integrare (t 1 ), admite ca ramane constanta pe intervalul de integrare, iar la capatul intervalului (la t 2 adica), o recalculeaza (o aproximeaza), adaugand la valoarea gasita X 1 (X 1 = X(t 1 )), panta lui X de la t 1 (derivata), multiplicata cu pasul de integrare h (h = incrementul de pe axa timpului, axa variabilei independente). Deci, se calculeaza derivata la inceputul integrarii (punctul i, adica la inceputul pasului de integrare (i i+1), se avanseaza apoi cu un pas h mai departe la dreapta pe axa timpului in punctul i+1, unde variabila dependenta se calculeaza cu relatia de ord 1 liniara: X i+1 = X i + X i *h. Se calculeaza apoi derivata X i+1 la punctul (timpul) t = t i+1, iar procedeul se repeta pana la atingerea timpului final t f de integrare. Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 11

12 5.3.6 MM ale sistemelor chimice si termice: rezolvarea numerica a EDO,2 Integrare numerica de ordinul II. Metodele din aceasta categorie necesita calcularea a doua derivate, prin una din metodele: 1. Metoda Euler modificata. Derivatele se calculeaza la inceputul intervalului de integrare (t 1 ), apoi se recalculeaza o derivata medie, X ih/2,, la jumatatea intervalului de integrare (t 1 + h/2). Se recalculeaza, ca la metoda anterioara (Euler simpla), incepand tot cu t 1, insa cu derivata medie, valoarea variabilei dependente: X i+1 = X i + X ih/2 *h. 2. Metoda Runge-Kutta de ordinul intai. Procedura este una in 5 pasi: i) Se calculeaza derivatele (dx/dt) 1, adica la inceputul intervalului, la t 1. ii) Folosind derivatele de la pct (i) se integreaza cu metoda Euler simpla, pana la capatul intervalului de integrare h (adica pana la t 2, t 2 = t 1 + h), determinandu-se valoarea X 2 a variabilei dependente: X 2 ) = X 1 ) + {dx/dt} 1.h iii) Se recalculeaza derivatele (dx/dt) 2, adica la t 2. iv) Se calculeaza derivata medie a celor doua derivate la t 1 si t 2, adica: (dx/dt) med = ½({dX/dt} 1 + {dx/dt} 2 ) Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 12

13 5.3.6 MM ale sistemelor chimice si termice: rezolvarea numerica a EDO,3 v) Se recalculeaza (adica se integreaza), incepand din nou cu t 1, pe intreg intervalul de integrare h (adica pana la t 2 ), folosind formula Euler simpla ca la pasul ii), dar de data aceasta cu derivata medie de la pasul iv), respectiv: X) 2 = X) 1 + (dx/dt) med.h. - Se observa ca la metodele de integrare de ordinul II trebuie calculate doua derivate la fiecare pas de integrare (de unde denumirea). Metode Runge-Kutta de ordinul patru. Este cea mai uzuala metoda de integrare de ordin superior Necesita patru calcule de derivate pentru fiecare pas de integrare Dezavantaj: efort de calcul dublu comparativ cu metodele de ord 2 In prezent exista multe variante ale metodei Runge-Kutta (v. si Matlab) Acestea difera prin precizie, stabilitate numerica, pas constant sau variabil, prin aceea ca sunt implicite sau explicite, prin toleranta mare sau mica a erorii, aplicabilitate la EDO bine sau rau conditionate etc Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 13

14 5.3.6 MM ale sistemelor chimice si termice: rezolvarea numerica a EDO,4 Un sistem de EDO se zice ca este rau conditionat, daca raportul dintre cea mai mica constanta de timp a sistemului fizic si cea mai mare constanta de timp este foarte mic (de exemplu, <= 1/20 sau <=1/30). Marimea critica a pasului de integrare a unui sistem EDO depinde de raportul de mai sus Daca raportul este foarte mic, e posibil sa-l marim: in acest caz eliminam din MM acele EDO care au constante mici de timp; asta inseamna ca transformam (convertim) unele EDO in EA. Altfel spus, se poate determina chiar o solutie algebrica a EDO. Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 14

15 MM ale sist.ch.si termice. Algoritmi de simulare/integrare numerica a EDO,1 Simularea MM = rezolvarea EDO (aflarea solutiei EDO; determinarea evolutiei in timp a marimii de iesire din sistem; a marimii de interes; a marimii controlate/ reglate) Determinarea solutiilor EDO prin simulare, in cazul MATLAB, se face cu functiile: ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb Algoritmii de integrare numerica se vor detalia la disciplina Metode numerice, anul II. Pentru probleme nerigide, flexibile, normale (i.e. nonstiff), in MATLAB exista trei metode: ode45 - metoda de integrare cu dimensiune pasului variabila, tip Runge-Kutta (4, 5) varianta Dormand-Prince, de ordin mediu, intr-un singur pas (adica necesita pentru calculul valorii y(t n ), numai valoarea anterioara, la punctul y(t n - 1)). Este cea mai buna metoda de integrare care trebuie utilizata ca prima incercare, la cele mai multe probleme. ode23 - metoda de integrare tip Runge-Kutta (2, 3) varianta Bogacki- Shampine, de ordin scazut, intr-un singur pas (ca si ode45), dar mai eficienta decat aceasta la tolerante mari ale erorii si in prezenta rigiditatilor moderate. Perchea de formule utilizate este de ord. 2 si 3, spre deosebire de perechea de formule de ord 4 si 5, de la ode45, cu care se obtine acuratete mai mare (vezi fisierul lotkademo.m in MATLAB demos, in care se integreaza MM predatorprey al lui Lotka-Volterra, cu ode23 si ode45). Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 15

16 MM ale sist.ch.si termice. Algoritmi de simulare/integrare numerica a EDO,2 ode113: metoda de integrare numerica tip Adams-Bashforth-Moulton, de ordin variabil, multipas (necesita solutiile de la cativa pasi anteriori pentru a putea calcula solutia la pasul curent); mult mai eficienta decat ode45 la probleme care necesita tolerante mici ale erorii si atunci cand EDOs sunt greu de evaluat. Pentru probleme rigide, inflexibile, severe, stricte, constante, stabile (i.e. stiff), nu neaparat dificile, MATLAB dispune de patru metode: ode15s: metoda de integrare de ordin variabil, multipas (ca si ode113), ce are la baza formule de diferentiere numerica. ode15s se utilizeaza atunci cand ode45 esueaza sau este foarte ineficienta (adica atunci cand: ori (1) se suspecteaza faptul ca problema este dificila, ori (2), se rezolva o problema (ecuatie) diferential-algebrica (DAE-EDA)). Poate rezolva ODEs rigide si DAE-EDA index 1. ode23s: metoda de integrare numerica bazata pe o formula a lui Rosenbrock de ordinul 2, modificata. Este un algoritm de integrare pe un pas, deci poate fi mult mai eficient decat ode15s la probleme care permit tolerante mari ale erorii; poate rezolva probleme dificile pentru care ode15s nu este efectiva. Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 16

17 MM ale sist.ch.si termice. Algoritmi de simulare/integrare numerica a EDO,3 ode23t: - este o implementare a regulii trapezului care utilizeaza un interpolant liber (interpolare lineara, spline de ord.3, cel mai apropiat vecin etc); se foloseste doar la probleme moderat de rigide si este necesara si o solutie fara amortizare numerica. Rezolva ODE rigide si DAE-EDA Index 1. ode23tb: - este implementarea unei metode de integrare tip Runge- Kutta, de ordin scazut, in doi pasi (doua stagii): in primul pas se utilizeaza pentru integrare o regula trapezoidala, iar in al doilea, pentru rafinarea solutiei obtinute, se utilizeaza o formula de diferentiere inapoi de ordinul 2. Pentru pastrarea valorilor determinate prin iterare la ambii pasi ( predictie-corectie ), se utilizeaza aceeasi matrice de iterare. Metoda este mult mai eficienta decat ode15s, mai ales la probleme care admit tolerante mari ale erorilor (ca si ode23s). Observatie: ode15i este o metoda de ordin variabil, care rezolva EDO total implicite, de forma f(t, y, y ) = 0 Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 17

18 MM ale sist.ch.si termice. Algoritmi de simulare/integrare numerica a EDO,4. Functia Tip de probleme Acuratetea metodei Unde sau cand se utilizeaza ode45 Usoare, nedificile Medie La majoritatea aplicatiilor, adica de cele mai multe ori. Este functia care se incearca prima (cea dintai). ode23 Usoare, nedificile Scazuta La probleme care permit tolerante mari ale erorilor, ori la probleme care au dificultate moderata. ode113 Usoare, nedificile Scazuta spre ridicata La probleme care nu permit decat tolerante mici ale erorilor, ori la probleme care necesita calcule intensive ode15s Dificile Scazuta spre medie La probleme la care ode45 este inceata, de unde deducem ca problema este dificila ode23s Dificile Scazuta La probleme dificile ce admit tolerante mari ale erorilor si, in plus, daca matricile M (de masa ) ale coef. EDO, sunt constante ode23t Moderat de dificile Scazuta La probleme moderat de dificile, daca este necesara o solutie fara amortizare numerica ode 23tb Dificile Scazuta Daca sunt admise tolerante mari ale erorilor la rezolvarea problemelor dificile. Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 18

19 MM ale sist.ch.si termice. Algoritmi de simulare/integrare numerica a EDO,5 Exemplu [12]: Se da un (exemplu de) sistem nerigid (= nonstiff) al carui MM este un sistem de trei EDO ce descriu miscarea unui corp rigid fara forte externe. Se dau si conditiile initiale (in origine): dy 1 /dt = y2.y3 y1(0) = 0 dy 2 /dt = - y1.y3 y2(0) = 1 dy 3 /dt = y1.y2 y3(0) = 1 Se cere sa se simuleza sistemul care are dinamica descrisa de MM dat mai sus (cele trei EDO). Rezolvare: Pentru a simula acest sistem se creaza functia rigid, care contine cele trei EDO ale exemplului: function dy = rigid(t,y) dy = zeros(3,1); % un vector coloana initializat dy(1) = y(2)*y(3); dy(2) = -y(1)*y(3); dy(3) = -0.51*y(1)*y(2); Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 19

20 MM ale sist.ch.si termice. Algoritmi de simulare/integrare numerica a EDO,6 In MATLAB exista functia odeset care permite modificarea/ ajustarea parametrilor functiilor de integrare numerica ODE. Functiile de integrarea numerica a ODEs pot sa integreze sisteme ODE de forma dy/dt = f (t,y) ( o singura EDO) sau M(t, y)dy/dt = f (t,y) (mai multe EDO) In exemplu, se schimba tolerantele erorii utilizand aceasta comanda (odeset) si rezolvand EDO in intervalul de timp [0 12], cu conditiile initiale de mai sus date in origine (adica la timpul 0), de vectorul [0 1 1]. Conform sintaxei functiei odeset, avem: options = odeset('reltol',1e-4,'abstol',[1e-4 1e-4 1e-5]); [T,Y] = ode45(@rigid,[0 12],[0 1 1],options); Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 20

21 MM ale sist.ch.si termice. Algoritmi de simulare/integrare numerica a EDO,7 Sintaxa aleasa pentru functia odeset este (a fost): options = odeset('name1',value1,'name2',value2,...) unde RelTol, AbsTol sunt tolerantele reale respectiv absolute ale erorilor de integrare, egale cu valorile 1e-4 1e-5, la integrarea celor trei EDO din exemplu folosind functia ode45, in intervalul [0 12] si avand conditiile initiale [0 1 1] in origine. La trasarea grafica a evolutiei solutiilor in intervalul de timp [0 12] considerat, se utilizeaza comanda plot de mai jos; cu ajutorul acesteia se traseaza evolutia solutiilor din cele trei coloane ale matricii Y functie de timpul T: plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.',t,y(:,3),'.') Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 21

22 5.3.6 MM ale sistemelor chimice si termice: principii de modelare,1/1 La elaborarea MM ale sistemelor chimice, trebuie respectate regulile de mai jos, pentru a obtine MM convergente si stabile: 1. Pentru fiecare MM, numarul de ecuatii independente (neredundante) trebuie sa fie egal cu numarul marimilor necunoscute. 2. Solutia oricarei ecuatii a MM, poate ca prin rezolvare sa reprezinte o cantitate necunoscuta, doar, cu conditia ca restul valorilor necunoscutelor sa se obtina din celelalte ecuatii ale MM (din cele anterioare). 3. Ecuatiile MM se aranjeaza astfel incat fiecare ecuatie, prin rezolvare (solutionare), determina o acumulare de masa ori de energie semnificativa (adica o necunoscuta semnificativa) a sistemului fizic. Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 22

23 5.3.6 MM ale sistemelor chimice si termice. Elemente de modelare, 1/11 (1) MM al rezervoarelor hidraulice fara flux variabil (deschise, simple), fig.11.2 Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 23

24 5.3.6 MM ale sistemelor chimice si termice. Elemente de modelare, 2/11 Se pleaca de la ecuatia de bilant de material(e), respectiv de la: Debitul de acumulare = debitelor de intrare - debitelor de iesire unde, debitul de acumulare este variatia in timp a volumului de fluid, dv/dt. Observatie: Orice variabila x sub semnul derivatei (adica derivata: dx/dt), intr-o ecuatie de bilant de material sau de energie, reprezinta un debit de acumulare (o acumulare) de masa respectiv de energie si, implicit, o variabila de stare a sistemului considerat. Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 24

25 5.3.6 MM ale sistemelor chimice si termice. Elemente de modelare, 3/11 Notand sectiunea vasului cu A, inaltimea cu H, debitul cu Q, volumul este V=HA, dv/dt = d(ha)/dt = AdH/dt (A = constanta), iar ecuatia de bilant material (adica MM-EDO) este (Fig. 11.3): A(dH/dt) = Q 1 Q 2 MM rezervorului din Fig este (unul) simplu, deoarece: Debitele de intrare si iesire, Q 1 si Q 2, nu depind de nivelul H din rezervor; Este suficient sa furnizam Q 1 si Q 2 si o valoare initiala pentru nivelul H (H 0 de exemplu), pentru ca EDO sa se rezolve usor (prin integrare). Rezulta valoarea lui H ca o functie continua de timp, prin integrarea derivatei continue de timp, dh/dt. Daca p.p. ca cele doua dreptunghiuri din Fig se pot inlocui cu unul singur (in care se efectueaza si integrarea), se obtine Fig Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 25

26 5.3.6 MM ale sistemelor chimice si termice. Elemente de modelare, 4/11 MM cu integrator (dreptunghi cu laturile laterale duble) este in Fig. 11.4: (2) MM aferent rezervoarelor hidraulice deschise cu flux variabil (Fig. 11.5). Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 26

27 5.3.6 MM ale sistemelor chimice si termice. Elemente de modelare, 5/11 In Fig. 11.5: p 1,p 2, p 3 sunt presiunile: de intrare, hidrostatica din vas la nivelul supapelor si respectiv de iesire ; Q 1, Q 2 debitele de intrare, iesire, dependente de nivelul H; t, p a (pa), p 1 si p 3 timpul, presiunea atmosferica, presiunea la intrare si respectiv la iesire -, variabile independente; Deoarece sistemul are patru variabile dependente (Q 1, Q 2, H si p 2 ), sunt necesare patru ecuatii pentru calcularea lor (C v este constanta supapelor/ ventilelor): Prima, cea de bilant material: dh/dt = (1/A)*(Q 1 Q 2 ) A doua, ecuatia de curgere prin supapa de la intrare: Q 1 = C v1 *sqrt(p 1 - p 2 ) A treia, ecuatia de curgere prin supapa de la iesire: Q 2 = C v2 *sqrt(p 2 p 3 ) A patra, o ecuatie care coreleaza presiunea p 2 cu adancimea hidrostatica H, respectiv: p 2 = p a + ρh Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 27

28 5.3.6 MM ale sistemelor chimice si termice. Elemente de modelare, 6/11 Exista mai multe posibilitati de a aranja-dispune cele patru ecuatii (deci mai multe MM posibile), functie de modul de selectare a acestora, pentru a determina fiecare variabila. Se arata doar una (un singur MM), care are si sens fizic: acela in care debitele Q 1 si Q 2 sunt rezultatul presiunii fluidului asupra supapelor (cauza efect), Fig Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 28

29 5.3.6 MM ale sistemelor chimice si termice. Elemente de modelare, 7/11 (3) MM aferent rezervoarelor hidraulice inchise (gaz ideal, comprimare izoterma), Fig 11.7: Seamana cu rezervorul hidraulic cu flux variabil, doar ca e inchis; presiunea p 0 nu mai este constanta, este variabila. se cere sa se coreleze p 0 cu variatia lui H, (cu variatia nivelului suprafetei libere de lichid (in spatiul liber, gazul se comprima /destinde, deci p 0 variaza) Se admite ca: Gazul este ideal, deci p 0 V G = mrt G (p o = presiunea; V G = volumul; T G = temperatura; m = masa gazului; R = constanta gazelor) Compresia si destinderea (expansiunea) sunt izoterme (adica T G = constanta; vaporizarea la suprafata = neglijabila; m = constanta) Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 29

30 5.3.6 MM ale sistemelor chimice si termice. Elemente de modelare, 8/11 (3) MM aferent rezervoarelor hidraulice inchise (gaz ideal, comprimare izoterma, continuare); (1 EDO + 5EA) Cu sectiunea A a rezervorului, volumul de lichid este AH, si notand cu V 0 volumul total, avem volumul de gaz V G = V 0 AH. Aceasta ecuatie, impreuna cu legea gazelor de mai sus (p 0 V G = mrt G ), alaturate MM de la rezervorul cu flux variabil din Fig si 11.6, duc la MM din Fig de mai jos Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 30

31 5.3.6 MM ale sistemelor chimice si termice. Elemente de modelare, 9/11 (4) MM aferent rezervoarelor hidraulice inchise (gaz real, comprimare adiabatica, temperatura gazului variaza cu compresia): Este valabila si aici legea gazelor: p 0 V G = mrt G Dar, trebuie cunoscute V G si T G pentru a se calcula presiunea p 0. Deoarece, adiabatic (adica fara a ceda sau a primi caldura din exterior), intreaga cantitate de caldura echivalenta lucrului mecanic efectuat de catre gaz sau asupra lui apare drept caldura sensibila a gazului, se pot scrie ecuatiile termodinamice urmatoare: Lucrul mecanic efectuat asupra gazului = - p 0.dV G /dt; Echivalentul caloric al acestui lucru mecanic = -1/J.p 0 dv G /dt,» unde J este echivalentul termic al lucrului mecanic in jouli, [J] Intrucat variatia in timp a caldurii specifice a gazului este d/dt(mc V T G ) iar m si C V sunt constante, aceasta variatie devine mc V *dt G /dt. Facem bilantul dintre lucrul mecanic si caldura sensibila, adica egalam variatia caldurii sensibile = (cu) lucrul mecanic efectuat: mc V *dt G /dt = - p 0 /J*(dV G /dt) (1) vezi Fig Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 31

32 5.3.6 MM ale sistemelor chimice si termice. Elemente de modelare, 10/11 Daca la MM al volumului de gaz din rezervorul inchis (Fig.11.9 de mai jos, relatia (1) slide anterior), este alaturat MM aferent rezervorului inchis din Fig. 11.7, obtinem MM din Fig , adica MM aferent rezervorului inchis, cu gaz in conditii adiabatice: Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 32

33 5.3.6 MM ale sistemelor chimice si termice. Elemente de modelare, 11/11 (4) MM aferent rezervoarelor hidraulice inchise (gaz real, comprimare adiabatica, i.e. temperatura gazului variaza cu compresia), 2 EDO + 5EA: Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 33

34 End End Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 34