1Ecuaţii diferenţiale

Transcript

1 1Ecuaţii diferenţiale 1.1 Introducere Definitia 1.1 Se numeşte ecuaţie diferenţială ordinarădeordin1: y 0 (x) =f (x, y (x)) (EDO) unde y este funcţia necunoscută, iar f este o funcţie de două variabile definită într-un domeniu plan D. Remarca 1.1 Ecuaţia (EDO) este sub formă normală. Remarca 1.2 Oecuaţie diferenţială de ordin 1 se poate da şi sub forma: (1.1.1) P (x, y)dx + Q (x, y)dy =0 sau implicit: F (x, y, y 0 )=0. Remarca 1.3 Dacă se ţine cont de interpretarea geometrică a derivatei, ecuaţia (EDO) -2-

2 se poate interpreta astfel: să se determine funcţiile y = y (x) acăror grafic în punctul (x, y (x)) are panta tangentei f (x, y (x)) Definitia 1.2 Se numeşte soluţie pentru ecuaţia (EDO) orice funcţie φ : I R derivabilăcareverificăecuaţia, adică: φ 0 (x) =f (x, φ (x)), x I Definitia 1.3 Se numeşte soluţie generală pentru ecuaţia (EDO) o mulţime de soluţii ale ecuaţiei care depinde de o constantă arbitrară; se numeşte soluţie particulară a ecuaţiei (EDO) o soluţie care se obţine din soluţia generală pentru o anumită valoare a constantei; se numeşte soluţie singulară a ecuaţiei (EDO) o soluţie care nu se poate obţine din soluţia generală pentru nici o valoare a constantei. -3-

3 Exemplul 1.1 Fie ecuaţia: Soluţia generalăeste iar o soluţie particularăeste: y 0 (x) =2x y (x) =x 2 + C y = x Definitia 1.4 A integra o ecuaţie diferenţială înseamnă a afla soluţia generală, eventual soluţiile singulare. A integra o ecuaţie diferenţială prin cuadraturi înseamnă a aflasoluţiile ei folosind calculul integral. Una din problemele care apar legate de ecuaţia diferenţială esteproblema Cauchy: Să seafle soluţia ecuaţiei diferenţiale (EDO) care verifică condiţia Cauchy (numită şi condiţie iniţială): y (x 0 )=y 0 (Cauchy) pentru (x 0,y 0 ) D. Existenţa şi unicitatea soluţiei problemei Cauchy este datăde: Teorema 1.1 Dacă funcţia f are derivată parţială continuă f y pe domeniu D 1 atunci pentru orice punct (x 0,y 0 ) D existăuninterval(x 0 ε, x 0 + ε) cu centrul în punc- 1 D este domeniu dacăesteomulţime deschisă(adică odatăcuunpunctconţine şi un disc cu centrul în punctul respectiv) şi conexă(oricaredouă puncte din mulţime pot fi unite cu o linie poligonalăinclusă în mulţime). -4-

4 tul x 0 şi o unică funcţie φ :(x 0 ε, x 0 + ε) R care verifică: 1. φ (x 0 )=y 0 2. pentru orice x (x 0 ε, x 0 + ε)(x, φ (x)) D, 3. φ este soluţie pentru ecuaţia diferenţială(edo): φ 0 (x) =f (x, φ (x)), x (x 0 ε, x 0 + ε). Demonstraţia acestei teoreme (care asigură existenţa şi unicitatea problemei Cauchy) nu o reproducem aci. 1.2 Ecuaţii dif. ordinare de ordin I integrabile prin cuadraturi Ecuaţie dif. exactă (1.2.1) P (x, y)dx + Q (x, y)dy =0 (1.2.2) Sol. generală: U (x, y) =C U (x, y) U (x 0,y 0 )= P y = Q x Z x P (t, y) dt + x 0-5- Z y y 0 Q (x 0,t) dt

5 Teorema 2.1 Dacă (1.2.2) nu este verificată atunci există μ asfel încât : μ (x, y) P (x, y) dx + μ (x, y) Q (x, y) dy =0 să fieecuaţie exactă. Remarca 2.1 μ se numeşte factor integrant. Remarca 2.2 μ se determină: (μp ) y = (μq) x (1.2.3) μ y P + μ P y = μ x Q + μ Q x Cazuri particulare când se poate determina μ -6-

6 1. μ = μ (x) : 2. μ = μ (y) : µ dμ P dx Q = μ y Q x dμ dx μ = P ln (μ) = ln (μ) = y Q x Q Z P y Q x Q Z P Z = f1(x), dx y + Q x P dy Exemplul 2.1 2ydx + xdy =0-7-

7 P =2y Q = x P y P y Q x Q =26= Q x =1 = 1 Zx 1 ln μ = dx =ln(x)+lnc x μ = x 1 2yxdx + x 2 dy =0 U (x, y) U (0.0) = Z x x 2 y = C 0 2ytdt + Z y dt = x 2 y Ecuaţii cu variabile separate P (x)dx + Q (y)dy =0 P y = Q x =0-8-

8 Sol. generală: U (x, y) =C, unde U (x, y) = Ecuaţii cu variabile separabile Z x x 0 P (t) dt + Z y y 0 Q (t) dt a 1 (x) b 1 (y)dx + a 2 (x) b 2 (y)dy =0 admite factor integrant: 1 μ = b 1 (y) a 2 (x) ecuaţia devine: a 1 (x) a 2 (x) dx + b 2 (y) dy =0 b 1 (y) care este cu var. separate Ecuaţii diferenţiale omogene (1.2.4) y 0 = f ³ y x Teorema 2.2 Ecuaţia (1.2.4) se reduce la o ecuaţie cu variabile separabile prin schimbarea de funcţie: u = y,y = ux, u = u (x) x -9-

9 Demonstraţie: xu 0 + u = f (u),u 0 = du dx du f (u) u = dx x Remarca 2.3 Sol.gen.: Z pot exista sol. singulare: du f (u) u =lnx +lnc, u := y x y = u 0 x unde u 0 este sol. f (u) u =0 Exemplul 2.2 cu y = xu : Z y 0 = ³ y x 2 xu 0 + u = u 2 du u 2 u = dx Zx du dx u 2 u = x - 10-

10 ln (u 1) ln u =lnx +lnc u 1 = Cx u y x = Cx y sol. singulară: y =0 Remarca 2.4 Tot ecuaţii diferenţiale omogene sunt şi de forma: P (x, y)dx + Q (x, y)dy =0 unde P, Q sunt funcţii omogene de acelaşi grad r (adică P (tx, ty) =t r P (x, y) ), substituţia fiind aceeaşi dar dy = udx + xdu. Exemplul 2.3 Să se integreze ecuaţia diferenţială: x 2 + xy y 2 dx x 2 dy =0 Avem r = 2. Schimbarea de funcţie y = xu, dy = udx + xdu obţinem: x 2 + x 2 u x 2 u 2 dx x 2 (udx + xdu) =0 : x 2 1+u u 2 dx udx xdu =0 1 u 2 dx = xdu Z dx x = Z du 1 u 2

11 Obţinem: ln x +lnc = 1 2 ln u +1 u 1 ; u = y x ln (Cx) = 1 2 ln y + x y x Cx = s y + x y x C 2 x 2 = y x 1 y + x Cx Cx = 2y 2 2x y = +1 xcx2 1 Cx 2 Sol. singulare posibile : y = x, y = x nu sunt singulare C = 0sau C Ecuaţii reductibile la omogene (1.2.5) y 0 = f µ a1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 Teorema 2.3 Ecuaţia (1.2.5) se reduce la o ecuaţie omogenă dacă ½ a1 x + b 1 y + c 1 =0 a 2 x + b 2 y + c 2 =0-12-

12 are soluţie unică (x 0,y 0 ) şi la o ecuaţie cu variabile separabile dacă sist. n-are soluţii. Demonstraţie: dacă sist. are sol. unică atuncisefaceschimbareadevariabilăşi de funcţie x x 0 = u, y y 0 = v, v = v (u) y 0 (x) : = v 0 (u) iar în celălat caz schimbarea de funcţie v = a 1 x + b 1 y + c Ecuaţia diferenţială liniarădeordini (1.2.6) y 0 (x)+p (x) y (x) =q (x) Remarca 2.5 dacă q (x) ==0atunci ecuaţia se numeşte Ecuaţie diferenţială liniară de ordin I, omogenă, şi neomogenă în caz contrar. Teorema 2.4 (1.2.6) admite factor integrant funcţie de x. Demonstraţie: y 0 (x) = dy dx (p (x) y q (x)) dx +dy =0-13-

13 P (x, y) =p (x) y q (x) Q (x, y) =1 P y Q x Q = p (x) 1 Corolarul 2.1 Soluţia generalăaecuaţiei µz diferenţiale (1.2.6) este: y (x) =e R p(x)dx μ (x) q (x)dx + C Demonstraţie: Ecuaţia : y 0 + p (x) y = q (x) se înmulţeste cu factorul integrant μ (x) =e R p(x)dx şi deoarece μ 0 (x) =p (x) μ (x) rezultă: (yμ (x)) 0 = μ (x) q (x) cu soluţia: Z y (x) μ (x) = μ (x) q (x)dx adică: µz y (x) =e R p(x)dx e R p(x)dx q (x)dx + C

14 Exemplul 2.4 y 0 a x +1 y = ex (1+x) a,a R R a Factorul integrant: μ (x) =e x +1 dx = e a ln(x+1) =(x +1) a prin înmulţire cu μ ecuaţia devine: (x +1) a y 0 = e x integrând: deci sol. generalăvafi: (x +1) a y = e x + C y (x) =(x +1) a e x + C (x +1) a. Remarca 2.6 Soluţia generală a ec. dif liniare este de forma: y (x) =y o (x)+y p (x) unde y o (x) este sol. gen. a ec. liniare omogene, iar y p (x) o sol. particulară aec. neomogene: y 0 (x) =Ce R p(x)dx,y p (x) =e R Z p(x)dx e R p(x)dx q (x)dx - 15-

15 1.2.8 Ecuaţia diferenţială Bernoulli (1.2.7) y 0 + p (x) y = q (x) y α,α6= 0, 1 Teorema 2.5 Ecuaţia (1.2.7) se reduce la ecuaţia dif. liniară cu schimbarea de funcţie z (x) =y (x) 1 α. Demonstraţie: împărţim ecuaţia datăcuy α şi obţinem: y α y 0 + p (x) y 1 α = q (x) Se observăcă y 1 α 0 =(1 α) y α y 0, notând z = y 1 α ecuaţia devine: z 0 + p (x) z = q (x) 1 α care este ec. dif. liniarăînz. Remarca 2.7 După rezolvarea ec. în z se revine la funcţia iniţială prin schimbarea de funcţie z = y 1 α. Exemplul 2.5 y 0 +2xy =2x 3 y 3 α =3. Se împarte ec. cu y 3 şi rezultă: y 3 y 0 +2xy 2 =2x 3-16-

16 z = y 2,z 0 = 2y 3 y 0. z 0 +2xz =2x3 2 z 0 4xz = 4x 3 factor integrant: μ = e R 4xdx = e 2x2 ; Prin înmulţire cu f.i. rezultă: ³ ze 2x2 0 = 4x 3 e 2x2 de unde: ze 2x2 = Z 4x 3 e 2x2 dx ze 2x2 = 1 2 e 2x2 + x 2 e 2x2 + C Revenind la funcţia iniţială: z = x2 + Ce 2x2 1 y = x2 + Ce 2x2 1 y = ± q x2 + Ce 2x2-17-

17 1.2.9 Ecuaţia diferenţială Riccati (1.2.8) y 0 + p (x) y = a (x)+b(x)y 2 Teorema 2.6 Ecuaţia (1.2.8) se reduce la ec. dif. Bernoulli dacă se cunoaşte o soluţie aeiy 1 prin schimbarea de funcţie z = y y 1. Demonstraţie: y 0 + p (x) y = a (x)+b(x)y 2 y1 0 + p (x) y 1 = a (x)+b(x)y1 2 Scăzând ec. rezultă: (y y 1 ) 0 + p (x)(y y 1 )=b(x) y 2 y1 2 Înlucuind z = y y 1,y= z + y 1 rezultă: z 0 + p (x) z = b (x) z (z +2y 1 ) z 0 +(p (x) 2y 1 b (x)) z = b (x) z 2. Remarca 2.8 Dacă se face schimbarea de funcţie u = 1 y y 1 se obţine direct o ec. dif. liniarăînu

18 Remarca 2.9 Dacă nu se cunoaşte o soluţie particulară a ec. Riccati s-a dem. că ecuaţia nu se poate integra prin cuadraturi. De ex.: y 0 = x 2 + y Ecuaţii diferenţiale neexplicitate în raport cu y Ecuaţia diferenţialăclairaut (1.2.9) y = xy 0 + φ (y 0 ) Metoda de integrare: notăm y 0 = p (x) şi derivăm ecuaţia dată. Ecuaţia devine: y 0 = y 0 + x dy0 dx + φ0 (y 0 ) dy0 dx ţinând cont de y 0 = p rezultă: x + φ 0 (p) dp dx =0 rezultă: 1. dp dx =0adică p = C (constant) şi obţinem soluţia generală: y = Cx + φ (C). 2. x + φ 0 (p) =0adică, ţinând ½ cont de ec. dată: x = φ 0 (p) y = φ 0 (p) p + φ (p) - 19-

19 care reprezintăosoluţie singularădată parametric. Exemplul 2.6 (φ (y 0 )=y 02 ) Soluţia generală: y = xy 0 + y 02 y = Cx + C 2 Soluţia singulară: ½ x = 2p y = 2p 2 + p 2 Adică p = x 2,y= x Ecuaţia diferenţială Lagrange (1.2.10) unde φ (y 0 ) 6= y 0. y 0 = p şi rezultă: (1.2.11) Derivând rezultă: y = xφ (y 0 )+ψ(y 0 ) y = xφ (p)+ψ(p) p = φ (p)+xφ 0 (p) dp dx + ψ0 (p) dp dx

20 Rezultă: dx dp (φ (p) p)+xφ0 (p) = ψ 0 (p) care este o ecuaţie dif. liniară deordin1,cux funcţie necunoscută şi p variabilă. Rezolvând ecuaţia obţinem: x = f (p, C) y = f (p, C) φ (p)+ψ(p) care reprezintăsoluţia generalădată parametric. dacă p 1 este soluţie pentru ecuaţia: φ (p) p =0 atunci y = p 1 x + ψ (p 1 ) este o soluţie (singulară) pentru ecuaţia dată. Exemplul 2.7 y = xy 0 + y 02.Notând y0 = p rezultă y = xp + p 2 Derivând: p = p x dp dx +2pdp dx de unde: 2p dx dp + x =2p sau dx dp + x 2p =1 Z dp Conform schemei de la ecuaţia liniară calculăm μ (p) =e p = e 1 2 ln p = p şi

21 înmulţim ecuaţia cu μ avem: rezultă: x p = adicăsoluţia generală: (x p) 0 p = p Z pdp = Z p 1/2 dp = p3/2 3/2 + C x = 2 3 p + µ Cp 1/2 2 y = p 3 p + Cp 1/2 + p 2 Soluţie singulară: 2p =0p 1 =0deci y =0(axa Ox ). Graficul câtorva soluţii particulare este:

22 Ecuaţii diferenţialeordinaredeordinsuperior Definitia 2.1 Se numeşte ecuaţie diferenţială ordinară deordinn sub forma normală oecuaţiedeforma: ³ (1.2.12) y (n) (x) =f x, y (x),y 0 (x),..., y (n 1) (x) unde f este o funcţie datăden +1variabile. Exemplul 2.8 La mişcarea rectilinie dacă notăm spaţiul parcurs cu s legea lui Newton este: µ m d2 s dt = F t, s, ds 2 dt unde F este forţa care acţionează asupra corpului de masă m. Caz particular căderea liberă: m d2 s dt = mg 2 rezultă d 2 s dt = g 2 ds dt = gt + C 1 s = g t2 2 + C 1t + C 2-23-

23 Definitia 2.2 Se numeşte problemă Cauchy pt. ec. dif. (1.2.12) aflarea unei soluţii a ecuaţiei dif. care verifică condiţiile iniţiale: y (x 0 )=y 0,y 0 (x 0 )=y 1,..., y (n 1) (x 0 )=y n 1. Definitia 2.3 Se numeşte soluţie generalăpentruecuaţia (1.2.12) o mulţime de soluţii ale ec. care depinde de n constante arbitrare: (1.2.13) y (x) =F (x, C 1,..., C n ). Remarca 2.10 Dacă avem soluţia generală problema Cauchy se reduce la determinarea constantelor din sol. gen. prin rezolvarea unui sistem: F (x 0,C 1,..., C n )=y 0 F x (x 0,C 1,..., C n )=y 1... n 1 F x n 1 (x 0,C 1,..., C n )=y n 1 Remarca 2.11 Aflarea sol. gen. a ec.(1.2.12) este o problemă dificilă, rezolvată teoretic doar pentru anumite tipuri de ecuaţii diferenţiale, ca de exemplu pentru ecuaţia dif. liniară de ordin n cu coef. constanţi: y (n) + a n 1 y (n 1) a 1 y 0 + a 0 = f (x) - 24-

24 unde a 0,..., a n 1 R. Exemplul 2.9 Ecuaţia oscilatorului armonic: y 00 (t)+ω 2 y (t) =0 soluţia generalăeste: y (t) =C 1 cos (ωt)+c 2 sin (ωt) sau y (t) =A sin (ωt + ϕ) unde: q A = C2 2 + C2 1, sin ϕ = C 1 A, cos ϕ = C 2 A Exemplul 2.10 Ecuaţia Bessel: x 2 y 00 (x)+xy 0 (x)+(x 2 ν 2 )y (x) =0 dacă ν/ N atunci sol. generală: y = C 1 J ν (x)+c 2 J ν (x) unde: X ( 1) n x 2n+ν 2 J ν (x) = n!γ (n + ν +1) n=0 unde: Z Γ (α) = e x x α 1 dx 0-25-