Capitolul 2. Integrala stochastică
|
|
- Φυλλίς Μέλιοι
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Capitolul 2 Integrala stochastică 5
2 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală cel mai adesea mişcare Browniană) iar H s este un proces stochastic adaptat filtraţiei corespunzătoare lui M s, cu proprietatea că E H2 s d M s <. Începem prin a considera cazul în care integratorul M s este mişcarea Browniană 1- dimensională. Deoarece conform Propoziţiei traiectoriile mişcării Browniane B t au variaţie infinită, nu putem defini integrala H sdb s ca o integrală de tip Lebesgue- Stieltjes. Cheia construcţiei este izometria în L 2 2.3) de mai jos, care ne va permite să definim integrala stochastică H sdb s ca fiind limita în L 2 P ) a unui şir de variabile aleatoare convenabil alese. Pe un spaţiu de probabilitate Ω, F, P ) fixat, considerăm o mişcare Browniană 1- dimensională B t începută la B =, şi presupunem că filtraţia corespunzătoare F t ) t verifică condiţiile uzuale σ-algebra F t este continuă la dreapta şi completă pentru orice t ). Ideea construcţiei este următoarea: 1. dacă fs, ω) = ϕω)1 [a,b) s) este un proces elementar, definim fs, ω)db s = ϕω) B b t B a t ), şi extindem prin linearitate definiţia la cazul în care fs, ω) este un proces simplu o combinaţie liniară finită de procese elementare); 2. dacă E f 2 s, ω)ds <, aproximăm procesul fs, ω) prin procese simple f n s, ω), şi definim fs, ω)db s = lim f n s, ω)db s în L 2 P )). În această construcţie, sunt câteva elemente care trebuiesc demonstrate: existenţa şirului de aproximare f n s, ω), convergenţa şirului f ns, ω)db s în L 2 P )), şi independenţa limitei în raport cu alegerea şirului de aproximare f n s, ω). 2.2 Integrala stochastică Itô Definim clasa I a integranzilor ca fiind clasa funcţiilor ce verifică următoarele condiţii: ft, ω) : [, ) Ω R i) ft, ω) este un proces stochastic, adică funcţia t, ω) [, ) Ω ft, ω) este măsurabilă în raport cu σ-algebra produs B F; ii) ft, ) este o variabilă aleatoare măsurabilă în raport cu σ-algebra F t pentru orice t ;
3 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 52 iii) E f 2 s, ω)ds <. Numim proces elementar un proces stochastic ft, ω) I de forma ft, ω) = ϕω)1 [a,b) t). Observăm că proprietăţile ii) şi iii) mai sus revin în acest caz la faptul că variabila aleatoare ϕ = ϕω) este o variabilă aleatoare măsurabilă în raport cu σ-algebra F a, respectiv că variabila aleatoare ϕ 2 este integrabilă. Definim în acest caz integrala stochastică prin ϕω)1 [a,b) s)db s ω) = ϕω) B b t ω) B a t ω)). 2.1) Numim proces simplu un proces stochastic ft, ω) I ce poate fi scris ca o combinaţie liniară finită de procese elementare, adică ft, ω) = N ϕ i ω)1 [ai,b i )t), unde ϕ i = ϕ i ω) sunt variabile aleatoare F ai -măsurabile de pătrat integrabil, 1 i N, şi a 1 < b 1... a N < b N. Definim integrala stochastică în acest caz prin liniaritate, adică N N ϕ i ω)1 [ai,b i )s)db s ω) = ϕ i ω) B bi tω) B ai tω)). 2.2) Integrala stochastică a funcţiilor simple astfel definită are următoarele proprietăţi: Proposition Dacă f I este un proces simplu mărginit, atunci integrala stochastică N t ω) = fs, ω)db s ω) este o martingală continuă şi are loc egalitatea [ ) 2 ] E fs, ω)db s ω) = E f 2 s, ω)ds. 2.3) Proof. Pentru a demonstra prima afirmaţie, datorită linearităţii integralei stochastice, este suficient să considerăm cazul în care f I este un proces elementar mărginit ft, ω) = ϕω)1 [a,b) t), unde ϕω) este o variabilă aleatoare F a -măsurabilă mărginită de pătrat integrabil şi a < b. Dacă procesul ϕ este mărginit de constanta K, obţinem N t N s = ϕω) B b t ω) B a t ω)) ϕω) B b s ω) B a s ω)) K B b t ω) B b s ω) + K B a t ω) B a s ω),
4 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 53 şi continuitatea procesului N t rezultă din continuitatea mişcării Browniene B t. Pentru a arăta că N t este o martingală în raport cu filtraţia F t ) t, trebuie să arătăm că oricare ar fi s < t avem E N t F s ) = N s. În funcţie de poziţiile relative ale lui a, b, s şi t, distingem următoarele cazuri: 1. a < s < t < b Avem E N t F s ) = E ϕω) B t ω) B a ω)) F s ) = ϕω) E B t ω) B s ω) F s ) + E B s ω) B a ω) F s )) = ϕω) E B t ω) B s ω)) + B s ω) B a ω)) = ϕω) + B s ω) B a ω)) = ϕω) B s ω) B a ω)) = N s, deoarece în acest caz B t B s este o variabilă aleatoare independentă de σ-algebra F s iar B s B a este o variabilă aleatoare F s -măsurabilă. 2. a < s < b < t Avem E N t F s ) = E ϕω) B b ω) B a ω)) F s ) = ϕω) E B b ω) B s ω) F s ) + E B s ω) B a ω) F s )) = ϕω) E B b ω) B s ω)) + B s ω) B a ω)) = ϕω) + B s ω) B a ω)) = ϕω) B s ω) B a ω)) = N s, deoarece în acest caz B b B s este o variabilă aleatoare independentă de σ-algebra F s iar B s B a este o variabilă aleatoare F s -măsurabilă. 3. Pentru cele patru cazuri rămase de considerat demonstraţia fiind similară, o omitem. Pentru a demonstra ultima afirmaţie, considerăm un proces simplu f I, dat de ft, ω) = N ϕ i ω)1 [ai,b i )t), unde ϕ i ω) sunt variabile aleatoare F ai -măsurabile mărginite de pătrat integrabil, 1 i N, şi a 1 < b 1... a N < b N.
5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 54 Folosind independenţa incremenţilor mişcării Browniene şi faptul că variabilele aleatoare ϕ i, ϕ j sunt F ai, respectiv F aj -măsurabile, obţinem: de unde rezultă [ E + E E [ ϕ i ω)ϕ j ω) B bi t B ai t) )] B bj t B aj t { E ϕ 2 = i ω) ) b i t a i t), i = j, i j ) 2 ] [ N fs, ω)db s ω) = E 1 i<j N [ N ] = E ϕ 2 i ω) b i t a i t) = E f 2 s, ω)ds, ϕ 2 i ω) B bi t B ai t) 2 ] + ϕ i ω)ϕ j ω) B bi t B ai t) B bj t B aj t ) 2.4) încheiând astfel demonstraţia. Pentru de a extinde definiţia integralei stochastice la cazul general al unui proces fs, ω) I avem nevoie de următoarea lemă, care arată că un proces fs, ω) I poate fi aproximat prin procese simple mărginite, în următorul sens: Lemma Dacă ft, ω) I, există un şir de procese simple mărginite f n t, ω) I astfel încât E fs, ω) f n s, ω)) 2 ds. 2.5) Folosind acest rezultat, putem acum demonstra următoarea: Theorem Oricare ar fi procesul ft, ω) I şi şirul de procese simple f n t, ω)) n N I cu E fs, ω) f n s, ω)) 2 ds, procesul N n t ω) = f ns, ω)db s ω) converge în L 2 P ), uniform în raport cu t [, ), către o martingală continuă N t ω). Mai mult, limita este independentă de alegerea şirului f n t, ω)) n N folosit în aproximarea funcţiei ft, ω). Înainte de a prezenta demonstraţia, să observăm că dat fiind un proces f I, din Lema rezultă că există un şir de funcţii simple f n I ce verifică condiţia 2.3) mai sus. Putem aşadar enunţa următoarea:
6 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 55 Definition Integrala stochastică Itô ) Definim integrala stochastică Itô a unui proces stochastic ft, ω) I în raport cu mişcarea Browniană B t prin fs, ω)db s = lim f n s, ω)db s, unde f n t, ω) este un şir de procese simple mărginite ce verifică relaţia 2.5) de mai sus. Proof. Să observăm mai întâi că dacă g I este un proces simplu mărginit, din Propoziţia rezultă că M t = gs, ω)db sw) este o martingală continuă şi are loc egalitatea 2 EMt 2 = E gs, ω)db s ω)) = E g 2 s, ω)ds <, şi deci sup EMt 2 E t g 2 s, ω)ds <. Conform teoremei de convergenţă a martingalelor Teorema 1.6.7) rezultă că limita M = lim t M t există aproape sigur şi avem EM 2 = lim E t E t = lim = E ) 2 gs, ω)db s ω) g 2 s, ω)ds g 2 s, ω)ds <. Cum diferenţa a două procese simple este de asemenea un proces simplu, aplicând rezultatul anterior procesului gs, ω) = f n s, ω) f m s, ω) şi folosind inegalitatea Doob Teorema iv)), obţinem ) E sup Nt n Nt m ) 2 ce f n s, ω) f m s, ω)) 2 ds t 2cE f n s, ω) fs, ω)) 2 ds + f m s, ω) fs, ω)) 2 ds pentru n, m, conform ipotezei. Rezultă că N t ω) este un şir Cauchy în L 2 P ), uniform în raport cu t. Cum L 2 P ) este un spaţiu metric complet, rezultă că Nt n converge în L 2 P ) către un proces pe care îl notăm N t = N t ω). Deoarece Nt n converge la N t în L 2 P ) uniform în raport cu t ), există un subşir N n k t care converge aproape sigur către N t, uniform în raport cu t. Din Propoziţia rezultă că procesele Nt n sunt continue, şi deci procesul limită N t este de asemenea un proces continuu în variabila t.
7 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 56 Conform aceleiaşi propoziţii, N n t este o martingală, şi deci oricare ar fi s < t avem E N n t F s ) = N n s, de unde prin trecere la limită cu n rezultă că N t este de asemenea o martingală faptul că E Nt n F s ) E N t F s ) pentru n rezultă din E E Nt n F s ) E N t F s )) 2) = E E Nt n N t F s )) 2) )) E E Nt n N t ) 2 F s = E Nt n N t ) 2), pentru n ). Pentru a demonstra independenţa limitei de şirul de aproximare f n I considerat, să considerăm un alt şir de procese simple f n I cu E şi să notăm Ñ t n = f n s, ω)db s ω). Conform demonstraţiei anterioare, avem ) ) 2 E Nt n Ñ t n ce sup t fs, ω) f n s, ω)) 2 ds, f n s, ω) f ) ) 2 n s, ω) ds pentru n, şi deci limita N t este independentă de alegerea şirului de aproximare N n t considerat. Example Ca un exemplu, să calculăm integrala stochastică B sdb s folosind definiţia integralei stochastice. Considerăm ft, w) = B t şi definim şirul f n t, ω) = 2 n 1 n= B t j 1 [tj,t j+1 )t), unde t j = t n j = t j 2. n Din independenţa incremenţilor mişcării Browniene obţinem: ) E f n s, ω) fs, ω) 2 ds = E = = 2 n 1 j= 2 n 1 j= 2 n 1 j+1 j= t j j+1 t j = t2 2 2 n Btj B s ) 2 ds s t j )ds 1 2 t j+1 t j ) 2
8 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 57 pentru n, şi deci f n t, ω) este de fapt un şir de aproximare al procesului ft, ω) în sensul relaţiei 2.5). Conform definiţiei integralei stochastice avem deci B s db s = lim = lim 1 = lim 2 2 n 1 f n s, ω)db s ω) B tj B tj+1 B tj ) j= 2 n 1 j= = 1 2 B2 t B 2 ) 1 2 t. B 2 tj+1 B 2 tj B tj+1 B tj ) 2) Încheiem această secţiune cu două observaţii. Remark În exemplul anterior am obţinut B t db t = 1 2 formulă ce diferă de formula obişnuită de integrare B 2 t B 2 ) 1 2 t, B s db s = 1 2 B2 s=t s s= = 1 2 B2 t B), 2 în cazul integralei Lebesgue-Stieltjes dacă aceasta integrală s-ar fi putut aplica procesului B t ). Aceasta se datorează faptului că mişcare Browniană nu este un proces cu variaţie mărginită şi deci integrala B sdb s nu este definită în sensul Lebesgue-Stieltjes), dar este un proces cu variaţie pătratică local mărginită, fapt ce conduce, conform definiţiei integralei stochastice, la apariţia termenului suplimentar 1 2t din formula anterioară. În Secţiunea 2.4 vom obţine formula generală de integrare prin părţi pentru integrala stochastică, numită formula Itô. Remark Spre deosebire de integrala Lebesgue-Stieltjes, alegerea punctului intermediar s i produce valori diferite ale integralei stochastice. În această secţiune am construit integrala stochastică Itô, integrală ce corespunde alegerii punctului intermediar ca limita inferioară a intervalului considerat, adică este s i = s i. Există şi alte construcţii ale integralei stochastice, spre exemplu alegerea s i = s i+s i+1 2 conduce la integrala stochastică Stratonovich. 2.3 Extensii ale integralei stochastice Există câteva extensii ale integralei stochastice construite în secţiunea anterioară, obţinute în principal prin înlocuirea integratorului mişcare Browniană B t o martingală continuă),
9 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 58 printr-o martingală continuă generală M t cu variaţie pătratică local) finită. Aplicaţiile din partea a doua a cărţii au în vedere mişcarea Browniană, pentru care construcţia prezentată este suficientă; din acest motiv, nu vom prezenta construcţia integralei stochastice în cazul general. Pentru construcţia generală a integralei stochastice Itô se poate consulta spre exemplu [?], [?] sau [?]. Prezentăm în continuare câteva definiţii necesare prezentării rezultatelor din secţiunea următoare. Un proces M t se numeşte martingală locală dacă există un şir S n ) n N de timpi de oprire cu proprietatea că S n a.s. şi M t Sn ) t este o martingală de pătrat integrabil pentru orice n N. În mod similar, un proces A t ) t se numeşte proces cu variaţie locală mărginită dacă există un şir S n ) n N de timpi de oprire cu proprietatea că S n a.s. şi A t Sn ) t este un proces cu variaţie mărginită pentru orice n N. Numim semimartingală un proces X t = M t + A t, unde M t este o martingală locală iar A t este un proces cu variaţie locală mărginită. Dacă X t este o martingală de pătrat integrabil cu traiectorii continue, din inegalităţii Jensen pentru aşteptarea condiţionată rezultă căxt 2 este o submartingală cu traiectorii continue. Conform teoremei de descompunere Doob-Meyer rezultă că Xt 2 poate fi scris în mod unic sub forma Xt 2 = M t + A t, unde M t este o martingală cu traiectorii continue, A t este un proces crescător cu traiectorii continue cu A =, şi M t, A t sunt adaptate filtraţiei lui X t. Procesul crescător A t astfel construit se numeşte variaţia pătratică a procesului X t, şi se notează X t. Din discuţia de mai sus, rezultă că acest proces poate fi caracterizat ca fiind unicul proces crescător început la X =, adaptat filtraţiei lui X t, pentru care procesul X 2 t X t este o martingală în raport cu filtraţia lui X t. Extindem noţiunea de variaţie pătratică în cazul a două procese, după cum urmează: dacă X t şi Y t sunt martingale de pătrat integrabil cu traiectorii continue, definim variatia pătratică a lui X t şi Y t prin X, Y t = 1 2 X + Y t X t Y t ), şi observăm că această definiţie o generalizează pe cea precedentă, în sensul că variaţia pătratică a lui X t este dată de X t = X, X t. Dacă X t = M t + A t este o semimartingală unde M t este o martingală locală iar A t este un proces de variaţie locală mărginită), definim variaţia pătratică a procesului X t ca fiind variaţia pătratică a părţii sale martingale, adică X t = M t.
10 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 59 Exerciţii Exercise Fie B t o mişcare Browniană 1-dimensională începută la B =. Să se arate că sdb s = tb t B sds. Exercise Fie B t o mişcare Browniană 1-dimensională începută la B =. Să se arate că B2 s db s = 1 3 B3 t B sds. Exercise Să se arate că dacă B t este o mişcare Browniană 1-dimensională începută la B =, atunci M t = B 2 t t este o martingală. Care este variaţia pătratică a lui B t? Exercise Să se arate că dacă M t este o martingală continuă de pătrat integrabil, atunci n 1 ) 2 Mti+1 M ti i= converge în probabilitate la variaţia pătratică M t atunci când norma partiţiei = t < t 1 <... < t n = t tinde către.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα1.7 Mişcarea Browniană
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROCESELOR STOCHASTICE 43 1.7 Mişcarea Browniană Mişcarea Browniană a fost pentru prima dată observată de către botanistul scoţian Robert Brown în 1828, când a observat
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραModele stochastice în evaluarea derivatelor financiare. de Eduard-Paul Rotenstein
Modele stochastice în evaluarea derivatelor financiare de Eduard-Paul Rotenstein Iaşi, 217 There are many paths, but only one journey. Naomi Judd Cuprins Introducere 1 1 Probabilităţi şi procese stochastice
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότερα7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραTeorema lui Peano de existenţă
Universitatea Alexandru Ioan Cuza Lucrare de licenţă Teorema lui Peano de existenţă locală Student: Cosmin Burtea Coordonator ştiinţific: Prof. Ioan I.Vrabie 2 Prefaţă Lucrarea de faţă tratează problema
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραElemente de Teoria. Chapter Spaţiu de probabilitate
Chapter 1 Elemente de Teoria Probabilităţilor 1.1 Spaţiu de probabilitate Pentru a defini conceptul de spaţiu de probabilitate, vom considera un experiment, al carui rezultat nu se poate preciza cu siguranţă
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραUn rezultat de descompunere pentru o clasa de distributii omogene
Un rezultat de descompunere pentru o clasa de distributii omogene Ingrid Beltiţă si Anders Melin Raport pentru contractul CEx-18 MDDS, faza octombrie 27 Introducere Consideram operatorii Schrödinger H
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραRădăcini primitive modulo n
Universitatea Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Rădăcini primitive modulo n Îndrumător ştiinţific: Prof. Dr. Victor Alexandru 2010 Rezumat Tema lucrarii este studiul radacinilor primitive.
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραa. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραPuncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.
Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe
Διαβάστε περισσότεραSeminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραSiruri de numere reale
Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραexistă n0 N astfel ca pentru orice 1.Teoremă. Orice şir (xn)n din Q convergent la un, x Q are loc xn+p-xn ε (propritatea lui Cauchy).
TEOREME CAUCHY În 1810, Cauchy merge la Cherbourg pentru a lucra la fortificaţiile pentru invazia lui Napoleon în Anglia. In această perioadă produce câteva rezultate, inclsiv soluţia unei probleme puse
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραNOŢIUNI INTRODUCTIVE
1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1. Spaţiul vectorial R n Mulţimea R n reprezintă mulţimea tuturor n-uplelor (x 1,..., x n ) cu x 1,..., x n numere reale, adică R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. Un n-uplu
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραJ F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis
3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale
3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 3
Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότερα3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R
3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3
Διαβάστε περισσότεραprin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Διαβάστε περισσότερα1 Formula Black-Scholes
Formula Black-Scholes. Modele de creştere (investiţii bancare, creşterea populaţiei, etc) Unul din cele mai simple modele de creştere este cel al creşterii exponenţiale. În acest model, notând cu cantitatea
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότερα