17. maj Učinkovitost bonus-malus sistemov v. avtomobilskih zavarovanjih. Vesna Zakošek. Diferenciacija. avtomobilskih. zavarovanj.

Transcript

1 ov v ov v 17. maj 2012 a ov 1 / 38

2 Kazalo a ov ov v a ov 2 / 38

3 Osnove zavarovalništva ov v prenos tveganja z zavarovanca na zavarovalnico v zameno za premijo zavarovalnica zbrano premijo uporabi za kritje škod, ki iz a izhajajo premija je pošteno določena, če je sorazmerna tveganju, ki ga zavarovanec predstavlja za zavarovalnico homogene in heterogene skupine zavarovancev a ov 3 / 38

4 Zavarovanje avtomobilske odgovornosti ov v zavaruje zavarovanca pred odgovornostjo v prometni nesreči, torej pred odškodninskimi zahtevki tretjih oseb, udeleženih v prometni nesreči, ki jo je povzročil zavarovanec zakonsko predpisana a, ker škode, izhajajoče iz odgovornostnih navadno presegajo finančne zmožnosti voznikov predstavlja velik del premije premoženjskih, zato zavarovalnice posvečajo veliko pozornosti določanju premije tega a a ov 4 / 38

5 v konkurenčnem okolju je za zavarovalnice pomembno, da se čimbolj približajo pravi oceni premije posameznega zavarovanca združevanje zavarovancev v čimbolj homogene skupine a priori spremenljivke (npr. starost, poklic, kraj bivanja, uporaba avtomobila, moč motorja, način plačila premije) a posteriori spremenljivke: odvisne so od preteklega škodnega dogajanja posameznega zavarovanca najboljša napoved zavarovančevih bodočih škod je število povzročenih škod v preteklosti upošteva preteklo škodno dogajanje zavarovanca: zavarovanca brez škod v preteklem letu nagradi z bonusom, tistega s škodami pa kaznuje z malusom ov v a ov 5 / 38

6 Namen a ov v boljša diferenciacija zavarovancev vzpodbujanje zavarovancev k previdnejši vožnji manjše škode poravnajo zavarovanci, da ne bi izgubili bonusa a ov 6 / 38

7 Definicija a ov v Bonus-malus je določen s številom razredov s, začetnim razredom i 0, prehodi med razredi, odvisnimi od števila škod v preteklosti, odstotkom izhodiščne premije, ki ga plačujejo zavarovanci v posameznem razredu (relativno premijo) b = (b 1,..., b s ), b 1 b s. a ov 7 / 38

8 Primerjani i ov v belgijski nemški slovenski i Zavarovalnica Triglav Zavarovalnica Tilia Adriatic Slovenica a ov 8 / 38

9 Primerjani i Slika: Relativne premije primerjanih ov ov v Relativna premija v % Belgija Nemčija Triglav AS Tilia a ov Bonus-malus razred 9 / 38

10 a ov v lastnost Markova: razred zavarovanca za dano obdobje je določen enolično z razredom predhodnega obdobja in številom prijavljenih škod v obdobju ter ni odvisen od števila škod v predhodnih obdobjih škodna pogostnost λ je pričakovano število škod Poissonova porazdelitev števila škod N a ov 10 / 38

11 a prehodna matrika P(λ) je matrika verjetnosti prehodov med razredi za zavarovanca s škodno pogostnostjo λ P(λ) = (p ij (λ)) s i,j=1, kjer je p ij (λ) verjetnost, da gre zavarovanec iz razreda i v razred j l n (λ) porazdelitev zavarovancev po razredih v n-tem letu opazovanja a l T n (λ) = l T n 1(λ)P(λ) P(λ) stohastična matrika, l n (λ) stohastični vektorji za n = 0, 1,... ov v a ov 11 / 38

12 Upoštevane predpostavke ov v povprečna škodna pogostnost 7% prihodi in odhodi zavarovancev niso upoštevani vsi zavarovanci so prvo leto v začetnem razredu a a ov 12 / 38

13 Konvergenca a Tabela: Razvoj porazdelitve zavarovancev Zavarovalnice Tilia (v %) Razred Razvojno leto ov v a ov 13 / 38

14 Konvergenca a skonvergira v stacionarno stanje, ko se porazdelitev zavarovancev po razredih ne spreminja več lim n lt n (λ) = l T (λ) = l T (λ)p(λ) stacionarna porazdelitev zavarovancev l (λ) je enaka levemu lastnemu vektorju prehodne matrike P(λ) za lastno vrednost 1 ko je v stacionarnem stanju, doseže želeno a posteriori diferenciacijo in ima vsak zavarovanec premijo, ki mu pripada (izničen je učinek začetnega razreda) ov v a ov 14 / 38

15 Konvergenca a Tabela: Stacionarna porazdelitev zavarovancev (v %) Belgija Nemčija Zavarovalnica Adriatic Zavarovalnica Triglav Slovenica Tilia b l (λ) b l (λ) b l (λ) b l (λ) b l (λ) 54 69, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,01 ov v a ov 15 / 38

16 Povprečna relativna premija ov v finančni učinek a pomemben za zavarovalnice povprečna relativna premija v n-tem letu opazovanja l T n (λ)b stacionarna povprečna relativna premija π(λ) = l T (λ)b a ov 16 / 38

17 Povprečna relativna premija Slika: Razvoj povprečne relativne premije ov v Povprečna relativna premija v % Belgija Nemčija Triglav AS Tilia a ov Razvojna leta 17 / 38

18 Transparentnost a Tabela: Primerjava dejanskih in transparentnih relativnih premij (v %) Belgija Nemčija Zavarovalnica Adriatic Zavarovalnica Triglav Slovenica Tilia b b/π(λ) b b/π(λ) b b/π(λ) b b/π(λ) b b/π(λ) ov v a ov 18 / 38

19 a ov v z merami učinkovitosti merimo in primerjamo učinkovitost različnih ov z učinkovitostjo merimo, kako dobro diferencira zavarovance ovrednotenje a a ov 19 / 38

20 Relativni stacionarni povprečni nivo Relativni stacionarni povprečni nivo (RSAL, relative stationary average level) meri relativno premijo povprečnega voznika, ko je v stacionarnem stanju. RSAL = π(λ) b 1 b s b 1, kjer je π(λ) = l T (λ)b povprečna stacionarna relativna premija. merjenje zgoščevanja polic v najnižjih razredih če je RSAL nizek, je stopnja zgoščevanja polic v nižjih razredih visoka, visok RSAL pa kaže na boljšo porazdeljenost polic med razredi strožji ko je, nižja bo stopnja zgoščevanja polic v najnižjih razredih in višja bo vrednost RSAL ov v a ov 20 / 38

21 Koeficient variacije premije zaradi a je zavarovančeva premija lahko vsako leto drugačna z variabilnostjo premije merimo solidarnost med zavarovanci: bolj ko premija variira, manjša je solidarnost koeficient variacije premije (CV, coefficient of variation) meri standardni odklon premije glede na povprečno premijo CV = σ premije µ premije = l T (λ)(b π(λ)) 2 π(λ) e primerjamo med seboj s koeficientom variacije premije a v stacionarnem stanju strožji ima večji koeficient variacije premije ov v a ov 21 / 38

22 Elastičnost a Elastičnost a meri odziv a na spremembo škodne pogostnosti. η(λ) = dπ(λ)/π(λ), dλ/λ kjer je λ škodna pogostnost in π(λ) povprečna stacionarna relativna premija. v popolnoma elastičnem u relativno povečanje škodne pogostnosti povzroči enako relativno povečanje premije (zavarovanec, ki ima 10% višjo škodno pogostnost od drugega zavarovanca, bi moral imeti tudi 10% višjo premijo); takrat je elastičnost enaka 1 v praksi se premija poveča za manj kot škodna pogostnost, torej je elastičnost manjša od 1 pri primerjavi ov med seboj gledamo elastičnost a v stacionarnem stanju višja ko je elastičnost, bolj je strog ov v a ov 22 / 38

23 Elastičnost Slika: Povprečna stacionarna premija glede na škodno pogostnost (log-log graf) Povprečna stacionarna premija v % Belgija Nemčija Triglav AS Tilia ov v a ov 0,01 0,02 0,05 0,10 Škodna pogostnost 23 / 38

24 Povprečni optimalni samopridržaj želja po bonusu (hunger for bonus): zavarovanci sami poravnajo manjše škode, da ne bi izgubili bonusa optimalni samopridržaj zavarovanca je znesek, do katerega se zavarovancu splača samemu kriti škodo za primerjavo med i uporabimo povprečje optimalnih samopridržajev (AOR, average optimal retention) a v stacionarnem stanju po premijskih razredih če je povprečni optimalni samopridržaj v razumljivih mejah, se zavarovalnica zavaruje pred majhnimi škodami višji ko je povprečni optimalni samopridržaj, strožji je ov v a ov 24 / 38

25 a ov v Tabela: Primerjava mer učinkovitosti Bonus-malus RSAL Koeficient variacije Elastičnost AOR Belgija 1,35 % 10,65 % 7,57 % 141 EUR Nemčija 3,82 % 22,53 % 20,14 % 414 EUR Zavarovalnica Triglav 2,05 % 13,34 % 8,33 % 197 EUR Adriatic Slovenica 1,98 % 14,65 % 9,16 % 216 EUR Zavarovalnica Tilia 0,15 % 3,87 % 1,03 % 28 EUR Nemški je v stacionarnem stanju najstrožji glede na vse uporabljene mere učinkovitosti pri predpostavki 7% škodne pogostnosti. a ov 25 / 38

26 a ov v predstavljene mere učinkovitosti se nanašajo na e v stacionarnem stanju večina ov potrebuje več kot 30 let, da pride do stacionarnega stanja učinkovitost je v našem primeru izenačena s strogostjo a, kar izhaja iz dejstva, da je večina ov premalo strogih, zaradi česar se zavarovanci zgoščajo v najnižjih razredih, s čimer izgubi svoj osnovni namen, to je diferenciacijo zavarovancev a ov 26 / 38

27 ov v zavarovance najbolje razlikuje med seboj. Določimo ga lahko na dva načina: s kredibilnostno formulo, določimo optimalne relativne premije za z danim številom razredov in prehodnimi pravili. a ov 27 / 38

28 določimo premijo za zavarovanca, ki je imel v preteklih letih določeno število škod v homogenem portfelju zavarovalnica vsem zavarovancem zaračuna enako premijo v popolnoma heterogenem portfelju zavarovalnica zavarovancu zaračuna premijo ustrezajočo njegovemu individualnemu škodnemu dogajanju linearna kombinacija obeh tehnik je kredibilnostna formula utež dana škodnemu dogajanju posameznika je kredibilnostni faktor ov v a ov 28 / 38

29 ov v N i slučajna spremenljivka števila škod zavarovanca v i-tem letu določamo škodno pogostnost zavarovanca v točki t + 1, pri čemer poznamo njegove prijavljene škode v preteklih t letih iščemo funkcijo Ψ : N t R, ki minimizira izraz E(L(Λ Ψ(N 1,..., N t )) N 1 = k 1,..., N t = k t ), kjer je z L označena funkcija izgube a ov 29 / 38

30 Kvadratna funkcija izgube ov v izberimo kvadratno funkcijo izgube L(x) = x 2 minimum E((Λ Ψ(N 1,..., N t )) 2 ) je potem dosežen pri Ψ quad (N 1,..., N t ) = E(Λ N 1,..., N t ) a ov 30 / 38

31 Negativni binomski model za heterogen portfelj navadno predpostavimo negativno binomsko porazdelitev števila škod N Λ = λ Poi(λ), Λ Γ(a, τ) N NegBin(a, τ) izpeljemo lahko, da je potem, če predpostavimo neodvisnost števila škod pri znani škodni pogostnosti, Λ N 1 = k 1,..., N t = k t Γ(a + k, τ + t), kjer je k = k k t in je Ψ quad (k 1,..., k t ) = a + k τ + t = ρ k quad t + (1 ρ quad) a τ ov v a ov za kredibilnostni faktor ρ quad = t t+τ 31 / 38

32 ov v Tabela: (v %) Leto Kumulativno število škod , ,44 160,55 225,67 290,78 355, ,28 153,56 215,83 278,10 340, ,47 147,14 206,81 266,49 326, ,96 141,24 198,52 255,80 313, ,72 135,80 190,87 245,94 301, ,73 130,76 183,78 236,81 289, ,95 126,08 177,21 228,34 279,47 S kredibilnostno formulo ne dobimo pravega a, pač pa premijo, ki naj bi jo plačal zavarovanec, ki je imel v preteklih letih določeno število škod. a ov 32 / 38

33 ov v i so tržna poenostavitev kredibilnostne formule da bi iz kredibilnostne formule dobili, moramo definirati še število razredov in prehodna pravila a ov 33 / 38

34 razdelimo škodno pogostnost na a priori in a posteriori del Λ = ηθ, tako da je a posteriori del škodne pogostnosti Θ Γ(a, a), torej je E(Θ) = 1 naj bo L razred slučajnega zavarovanca v portfelju, ko je v stacionarnem stanju, r L pa relativna premija slučajnega zavarovanca optimalne relativne premije so tiste, ki minimizirajo izraz E(L(Θ r L )) pri kvadratni funkciji izgube dobimo ov v a ov r quad 0 l = 0 θl l (ηθ)f Θ (θ)dθ l l (ηθ)f Θ (θ)dθ 34 / 38

35 Tabela: (v %) Belgija Nemčija Zavarovalnica Adriatic Zavarovalnica Triglav Slovenica Tilia b l ˆr quad l b l ˆr quad l b l ˆr quad l b l ˆr quad l b l ˆr quad l ov v a ov 35 / 38

36 a ov v Slika: Primerjava dejanskih in optimalnih relativnih premij Relativna premija Dejanska relativna premija Optimalna relativna premija Razred Belgija Nemčija a ov Zavarovalnica Triglav Zavarovalnica Tilia Adriatic Slovenica 36 / 38

37 liberalizacija a posteriori diferenciacije dovoljuje uporabo ov kot konkurenčno orodje manj učinkoviti i so tržno bolj zanimivi dolgoročno gledano so manj učinkoviti i neprimerni zaradi previsoke stopnje zgoščanja zavarovancev v nižjih razredih v konkurenčnem okolju je pri analizah potrebno upoštevati prihode in odhode zavarovancev v praksi se konkurenčnost in učinkovitost a izključujeta, ker zavarovanci premalo poznajo glavni namen a ov v a ov 37 / 38

38 ov v Hvala za pozornost! a ov vesna.zakosek@triglav.si 38 / 38