Analiza şi sinteza circuitelor combinaţionale
|
|
- Ανδρομέδη Καλλιγάς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 PROIECTAREA LOGICĂ Analiza şi sinteza circuitelor combinaţionale Note de curs Dr.Ing.Mat. Ion I. Bucur Un circuit combinaţional C, este definit prin relaţiile dintre intrǎri şi ieşiri : f i : B n B, (B={0,1}), z i = f i (x 1,x 2,, x n ), unde : o o z i, 0 i m-1, este una dintre liniile de ieşire ale circuitului, iar x 0, x 1,, x n-1 sunt liniile de intrare în circuitul combinaţional considerat (diagrama modelului circuitelor combinaţionale, este prezentatǎ în figura 1). x 0 z 0 x 1... x n-1 Circuit Combinaţional C z 1... z m-1 Figura 1. Reprezentarea modelului unui circuit combinaţional 1. Introducere Se poate remarca, din relaţia care leagǎ liniile de intrare de liniile de ieşire, dependenţa în exclusivitate a valorilor ieşirilor de valorile aplicate intrǎrilor. Ca particularitate, funcţiile Boole-ene sunt, întotdeauna, funcţii cu domeniul de definiţie finit. Aşa cum au fost prezentate mai sus funcţiile f i au 2 n puncte, n-uple, distincte în domeniul lor de definiţie (produsul cartezian al mulţimii B cu aceasta însǎşi de n ori). Datoritǎ faptului cǎ funcţiile au un domeniu de definiţie cu 2 n n-uple distincte, iar funcţiile pot lua n 2 doar douǎ valori, atunci numǎrul funcţiilor distincte, astfel considerate, este 2. Exemplul 1.1 Funcţiile distincte f i : B 2 B cu douǎ variabile sunt : Tabelul 1.1 Mulţimea tuturor funcţiilor Boole-ene cu douǎ variabile. x 1 x 0 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f
2 Note de curs, dr.ing.mat. Ion I. Bucur Dintre acestea, se remarcǎ, pentru ilustrarea exemplului : funcţiile constante 0 şi 1, respectiv f 0 şi f 15 ; funcţiile identic x 1 şi x 0, respectiv f 3 şi f 5 ; funcţiile x 1 şi x 0, respectiv f 12 şi f 10 ; funcţiile SAU şi ŞI, respectiv f 7 şi f 1. Circuitele combinaţionale pot fi introduse prin enumerarea valorilor funcţiei corespunzǎtoare punctelor, în numǎr finit, domeniului de definiţie sau printr-o descriere comportamentalǎ a circuitului. Cea de-a doua cale este reductibilǎ la prima. Exemplul 1.2 Se considerǎ un circuit combinaţional care realizeazǎ suma a douǎ numere binare a şi b fǎrǎ semn reprezentate fiecare printr-un singur rang. Un astfel de circuit se numeşte, tradiţional, semi-sumator. Circuitul, se poate remarca, este introdus printr-o descriere comportamentalǎ. Acestei descrieri se poate asoca, simplu, o descriere enumerativǎ punct cu punct, dupǎ cum urmeazǎ : ((a,b) suma, transportul) :{ ((0, 0) 0, 0), ((0, 1) 1, 0), ((1, 0) 1, 0), ((1, 1) 0, 1) }. Se remarcǎ utilizarea unui mod de scriere explicit atât al valorilor argumentelor a şi b cât şi al valorilor funcţiilor de ieşire suma şi transportul, separând prin caracterul barǎ verticalǎ ( ) punctul curent din domeniul de definiţie, de valorile funcţiilor în acel punct. Acest mod de scriere este mult rǎpândit în literaturǎ. Cele douǎ funcţii sunt exprimabile separat ca formule Boole-ene utilizând fie valorile 1 (acolo unde funcţia este asertatǎ), fie valorile 0 (acolo unde funcţia este complementatǎ). În acest exemplu se va considera exprimarea celor douǎ funcţii prin aserţiuni. Pentru aceasta se construiesc formulele celor douǎ funcţii utilizând teorema de reprezentare a algebrelor Boole-ene : suma(a,b) = a b + ab ; transportul(a,b) = ab. S-a utilizat notaţia, mult răspândită, a pentru variabila a complementată. Existǎ o strânsǎ corespondenţǎ între definirea punct cu punct (numitǎ şi definirea prin tabela de adevǎr) şi scrierea prin formule a unei funcţii. În realitate, ambele cuprind aceeaşi informaţie. Se poate remarca, din forma canonicǎ disjunctivǎ, cǎ produsele variabilelor funcţiilor sunt calculate acolo unde funcţia ia valoarea 1. Produsele respective se numesc, tradiţional, termeni produs (din cauza analogiei, curent practicate, dintre funcţia ŞI şi Multiplicarea numerelor reale) şi se calculeazǎ astfel : - valoare 0 a variabilei, variabila apare în produs complementatǎ, - valoare 1 a variabilei, variabila apare în produs asertatǎ. Pentru termenii produs se mai utilizeazǎ, alternativ, denumirea de mintermi. Mintermii sunt indiciaţi, curent, cu valorile zecimale corespunzǎtoare scrierii binare a mintermului. Astfel formulele pentru cele douǎ funcţii pot fi scrise, în aceeaşi ordine, astfel : suma(a,b) = m 1 + m 2 ; transportul(a,b) = m 3. Construcţia formulelor prin punctele unde funcţiile sunt complementate se poate deduce similar sau se poate calcula simplu utilizând relaţiile De Morgan aplicate formulei deduse pentru punctele unde funcţiile sunt asertate. Este un foarte bun exerciţiu. 2
3 PROIECTAREA LOGICĂ 1.1 Dualitatea şi Legile DeMorgan Dualitatea este o proprietate foarte utilă a algebrelor booleene. Expresia duală a unei expresii Booleene se deduce prin: înlocuirea operatorului ŞI ( ), prin operatorul SAU (+) şi reciproc; înlocuirea constantei 0, prin constanta 1 şi reciproc; în timp ce, variabilele expresiei rămân neschimbate. Orice teoremă ori propoziţie demonstrată din algebra booleană ca fiind adevărată, are întodeauna o duală, deasemenea adevărată. Dualitatea este, în esenţă, o meta-teoremă, cu alte cuvinte o teoremă despre teoreme. Cu toate că dualitatea nu cuprinde, în sine, o modalitate directă de simplificare a expresiilor booleene, aceasta oferă posibilitatea deducerii unor noi teoreme din cele deja cunoscute ajuntând astfel în procesul de simplificare al expresiilor. Astfel, teorema de unificare x y + x y = x, are duala formulată astfel (x + y) (x + y ) = y. O demonstraţie a dualei teoremei de unificare decurge, succesiv, în două etape astfel: (1) aplicând legea de distributivitate se poate transcrie expresia membrului stâng al dualei teoremei de unificare: (x + y) (x + y ) = x (x + y ) + y (x + y ), (2) în continuare, expresia obţinută devine: x (x + y ) + y (x + y ) = x + y x = x ( y + 1) = x, ceea ce trebuia demonstrat. Se consideră expresia: f = abc + a (b + c), pentru care se calculează duala. O cale simplă de calcul a dualei poate fi imaginată prin divizarea expresiei date în sub-expresii mai mici pentru care efortul de calcul poate fi mai uşor controlat: f = e 1 + e 2, unde e 1 = abc, iar e 2 = a (b + c). Se notează, tradiţional, duala expresiei f prin f D, rezultând că: f D = e 1D e 2D. Aplicând principiul dualităţii sub-expresiei e 1D, rezultă: e 1D = a + b + c. Similar, se calculează sub-expresia: e 2D = a + bc. Rezultatul final arată astfel : f D = (a + b + c)( a + bc). Legea DeMorgan oferă o modalitate teoretică de complementare a unei funcţii, de complexitate modică. Expresia complementară a unei expresii date se formează pornind de la expresia originală prin înlocuirile: oricare literal, prin complementul său (x prin x şi reciproc), oricare constantă, prin complementara sa (0 se substituie prin 1 şi reciproc), operatorul ŞI se substituie prin operatorul SAU şi reciproc. Această teoremă, aplicată chiar operatorilor ŞI şi SAU arată relaţiile cu operatorii complementari SAU-NU respectiv ŞI-NU: (x + y) = x y, (x y) = x + y. Relaţiile anterioare pot fi interpretate astfel: 3
4 Note de curs, dr.ing.mat. Ion I. Bucur Operatorul SAU-NU aplicat unor variabile, este identic cu operatorul ŞI aplicat variabilelor respective dar complementate, în timp ce operatorul ŞI-NU aplicat unor variabile este identic cu operatorul SAU aplicat variabilelor respective dar complementate. Se consideră expresia booleană de trei variabile E(a,b,c) = a b c + a bc + ab c + abc. Complementara acesteia se calculează, pas cu pas astfel: (E(a,b,c)) = (a b c + a bc + ab c + abc ), (E(a,b,c)) = (a b c) (a bc) (ab c) (abc ), (E(a,b,c)) = (a + b + c ) (a + b + c ) (a + b + c ) (a + b + c), (E(a,b,c)) = (a + ab + ac + ab + bc + b c + c ) (a + a b + a c + a b + bc + a c + b c ), (E(a,b,c)) = (a + bc + b c + c ) (a + bc + b c ), (E(a,b,c)) = (a + c )(a + bc + b c ), (E(a,b,c)) = abc + ab c + a c + b c, (E(a,b,c)) = abc + b c + a c. O metodă, puţin mai simplă, pentru calculul formal al complementului expresiei unei funcţii constă în calculul dualei expresiei funcţiei urmat de complementarea fiecărui literal. Astfel, complementul expresiei booleene de trei variabile din exemplul precedent ar putea fi calculat după cum urmează: E D (a,b,c) = (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c ), Complementând fiecare literal din expresia dualei rezultă: (E(a,b,c)) = (a + b + c ) (a + b + c ) (a + b + c ) (a + b + c). De remarcat faptul că duala unei expresii şi legea DeMorgan aplicată aceleiaşi expresii nu sunt unul şi acelaşi lucru. Procedeul de obţinere al dualei este similar cu menţiunea că literalii nu sunt complementaţi pe durata procesului de calcul. Astfel, duala funcţiei SAU-NU este funcţia ŞI-NU şi reciproc, iar duala funcţiei ŞI este funcţia SAU şi reciproc. Atunci când se aplică, unei funcţii, teorema dualităţii se obţine o cu totul altă funcţie. Prin aplicarea legii DeMorgan unei funcţii anumite se obţine complementara respectivei funcţii. 2. Optimizarea circuitelor logice combinaţionale În continuare se vor aborda principiile optimizǎrii circuitelor logice combinaţionale modelate prin expresii formate din sume de produse (SDP) în douǎ niveluri sau, echivalent, prin forme tabelare (FT) cum ar fi, spre exemplu, tabelele de implicanţi. Translatarea între cele douǎ forme este imediată, în ambele sensuri. Dat fiind faptul că translatarea între cele doua forme este fără echivoc, pentru fixarea ideilor, se poate considera în continuare că orice circuit este prezentat sub prima formă, suma de produse. Minimizarea exactă unei funcţii scalare Booleene are drept principal obiectiv, pentru respectiva funcţie, stabilirea unei expresii algebrice echivalente, prin sume de produse, minime ca număr de termeni şi având, eventual, un număr minim de literali. Astfel de exprimare se mai numeşte, tradiţional, acoperire prin sumă de produse. Sunt utilizate, în acest scop, toate punctele din domeniul de definiţie în care funcţia este definită prin valoarea 1 şi punctele în care valoarea funcţiei nu este precizată, dacă astfel de puncte există în specificaţia funcţiei. Gǎsirea unei forme în produs de sume este similarǎ şi simplu de dedus din forma în sumǎ de produse. Înainte sǎ se considere aspecte atât teoretice cât şi de naturǎ tehnologicǎ, pragmatice, este util sǎ se aibǎ în vedere un exemplu, de complexitate redusǎ dar care sǎ contureze aspectele definitorii ale acestei probleme, esenţiale în proiectarea logicǎ. 4
5 PROIECTAREA LOGICĂ Exemplul 2.1. Pentru funcţia specificată prin suma de mintermi: f = m 5 + m 6 + m 9 + m 10 + m 13 + m 14, se doreşte stabilirea unor posibile implementǎri, cât mai simple Numărul (minim) de variabile pentru aceastǎ funcţie este patru, şi aceste variabile vor fi notate prin: x 8, x 4, x 2 şi x 1. Exprimarea mintermilor în format binar este prezentată în tabelul 4: Tabelul 2.1 Funcţia din exemplul 2.1 Mintermii Variabilele funcţiei funcţiei f x 8 x 4 x 2 x 1 m m m m m m Translatarea literalǎ, în ordine, a mintermilor funcţiei conduce la aceastǎ expresie, în sume de produse canonice, a funcţiei considerate: f = x 8 'x 4 x 2 'x 1 + x 8 'x 4 x 2 x 1 ' + x 8 x 4 'x 2 'x 1 + x 8 x 4 'x 2 x 1 ' + x 8 x 4 x 2 'x 1 + x 8 x 4 x 2 x 1 ', (1) x1' x 2'' x 4 ' x 8' x1' x 2' x 4' x 8' x 1' x 2 ' x 4 ' x 8' x 1' x 2 ' x 4'' x 8' x 1 ' x 2' x 4' x 8 ' + f x 1' x 2 ' x 4' x 1' x 2 ' x 8' x 1 ' x 2' x 4' x 1 ' x 2' x 8' + f x 4 x 8 x 1' x 2 ' + x 2' x 1 ' + f x 1' x 2 ' x 4' x 8 ' (a) (b) (c) Figura 2.1. Realizǎri posibile ale funcţiei din exemplul 2.1. Ţinând cont de comutativitatea operatorului + şi de faptul cǎ în algebrele Boole-ene are loc identitatea a + a = a, expresia funcţiei f se poate scrie, dupǎ o prealabilǎ grupare convenabilǎ a termenilor produs, astfel: f = (x 8 'x 4 x 2 'x 1 + x 8 x 4 x 2 'x 1 ) + (x 8 x 4 'x 2 'x 1 + x 8 x 4 x 2 'x 1 ) + 5
6 Note de curs, dr.ing.mat. Ion I. Bucur (x 8 'x 4 x 2 x 1 ' + x 8 x 4 x 2 x 1 ' ) + (x 8 x 4 'x 2 x 1 ' + x 8 x 4 x 2 x 1 '), (2) În expresia anterioarǎ a funcţiei f, din fiecare parantezǎ se pot factoriza produse de câte trei variabile, astfel: f = x 4 x 2 'x 1 (x 8 ' + x 8 ) + x 8 x 2 'x 1 (x 4 + x 4 ') + x 4 x 2 x 1 '(x 8 '+ x 8 ) + x 8 x 2 x 1 '(x 4 ' + x 4 ), (3) Considerând identitǎţile Boole-ene a + a' = 1 şi a 1 = a, expresia funcţiei f se rescrie astfel: f = x 4 x 2 'x 1 + x 8 x 2 'x 1 + x 4 x 2 x 1 ' + x 8 x 2 x 1 '. (4) Se poate remarca, în expresia anterioarǎ a funcţiei f, urmǎtoarea factorizare: f = (x 4 + x 8 )x 2 'x 1 + (x 4 + x 8 )x 2 x 1 '. (5) Expresia iniţialǎ a funcţiei, expresia (1), forma minimizatǎ (4) şi forma factorizatǎ (5) sunt reprezentate schematic, simbolic, în figura 2 (a), (b) şi respectiv (c). Cercetând circuitele din figura 2.1 se poate observa cu uşurinţǎ cǎ dintre cele trei realizǎri ale funcţiei f, cea mai complexǎ este cea din figura 2.1.(a). Comparând, în continuare, circuitele 2.1.(b) şi 2.1.(c) se poate spune cǎ în cazul circuitului 2.1(c) sunt utilizate mai puţine componente dar, în acelaşi timp se observǎ cǎ, spre deosebire de celelalte douǎ circuite are mai multe niveluri. Un numǎr crescut de niveluri poate implica, depinzând de tehnologie, o vitezǎ de lucru mai scǎzutǎ pentru un circuit combinaţional. Alegerea între un circuit mai economicos, dar mai lent, şi unul mai costisitor, dar mai rapid, este tranşatǎ prin considerente care ţin seama de contextul în care este plasat circuitul aflat în discuţie. Este de reţinut cǎ toate considerentele ce vor fi fǎcute în continuare se vor referi exclusiv la circuitele cu douǎ niveluri. De remarcat faptul cǎ în cazul circuitelor combinaţionale cu douǎ niveluri, aşa cum se poate vedea în figura 2.1(b), fiecare produs din suma de produse reprezintǎ o poartǎ (ŞI) iar fiecare literal dintr-un produs reprezintǎ o intrare într-o poartǎ. Întreaga sumǎ de produse corespunde unei porţi (SAU). Similar se întâmplǎ în cazul implementǎrii circuitelor combinaţionale prin produse de sume: fiecare sumǎ reprezintǎ o poartǎ (SAU) iar întregul circuit este realizat printr-o poartǎ (ŞI). Ca şi în cazul sumelor de produse, un literal dintr-o sumǎ este o linie de intrare într-o poartǎ SAU. Trebuie remarcat, pe scurt, cǎ numǎrul de linii de intrare într-o poartǎ este, în general, limitat iar numǎrul respectiv depinde de tehnologia în care este construitǎ poarta în cauzǎ. Porţile au costuri dupǎ cum şi liniile de intrare în porţi au costurile lor. Raportul dintre costul unei linii de intrare într-o poartǎ şi costul acelei porţi este dependent de tipul porţii, de tehnologia în care se realizeazǎ poarta etc. Se poate aprecia, în general, cǎ atunci când se pune problema unei porţi suplimentare, costul acesteia este de câteva ori mai mare decât costul unei linii de intrare într-o poartǎ deja existentǎ în circuitul respectiv. Din acest punct de vedere, micşorarea numǎrului de porţi este un criteriu important în gǎsirea, în general, a unei forme mai simple pentru o funcție Boole-eanǎ datǎ. 2.1 Principiile optimizării logice. Obiectivul minimizării logice în două niveluri este reducerea mărimii reprezentării funcţiilor Booleene în oricare din formele de reprezentare sume de produse ori produse de sume. Se poate remarca faptul cǎ oricare din cele două forme ale funcţiilor Booleene poate fi dedusă din cealaltă cu ajutorul legilor De Morgan iar aceastǎ transformare păstrează numărul de termeni şi de literali. Prin urmare, se poate concentra abordarea doar asupra minimizării unei singure forme şi anume suma de produse, fără să se piardă din generalitate. Obiectivul detaliat al minimizării logice în două niveluri poate varia puţin în funcţie de stilurile de implementare. Circuitele PLA sunt un astfel de stil de implementare. Prima ţintă a minimizării logice, pentru acest stil de implementare este reducerea numărului de produse şi ţinta secundară este reducerea literalilor din produse. 6
7 PROIECTAREA LOGICĂ Alte obiective de optimizare sunt relevante atunci când funcţiile modelate prin forme în două niveluri sunt implementate altfel decât prin PLA-uri. Reprezentările logice în doua niveluri pentru funcţii scalare, spre exemplu, pot fi implementate prin porţi complexe a cǎror mărime este corelată cu numărul de literali din forma factorizată a acelei reprezentări. În astfel de situaţii obiectivul major este minimizarea numărului de literali. Minimizarea logică pentru o funcţie scalară sau o funcţie vectorială se face după aceleaşi principii, dar cazul vectorial este mult mai complex. Minimizarea disjunctă a componentelor scalare ale unei funcţii vectoriale poate conduce la rezultate suboptimale deoarece optimizarea nu poate exploata comunitatea unor termeni produs. Un rezultat important în optimizarea logică în două niveluri este echivalenţa funcţiilor vectoriale binare de variabile binare cu funcţiile binare scalare de variabile multi-valorice. Din astfel de raţiuni, pentru început, abordarea se va concentra asupra tehnicilor de optimizare ale funcţiilor scalare de variabile bi-valorice. 2.2 Definiţii Se vor considera funcţii binare (Boole-ene) de variabile binare incomplet specificate, de forma: f: B n {0, 1, *} m, deoarece funcţiile complet specificate sunt un caz particular al funcţiilor cu puncte nedefinite, nespecificate ( don t care ). Pentru fiecare linie de ieşire f i (1 i m) se definesc trei mulţimi de puncte disjuncte, partiţii ale domeniului de definiţie: mulţimea punctelor în care funcţia f i are valoarea 1, mulţimea punctelor în care funcţia f i are valoarea 0 şi mulţimea punctelor în care funcţia f i are valoarea * sau mulţimea punctelor nedefinite. Aceste partiţii sunt notate respectiv prin mp1, mp0, respectiv mp* (submulţimi ale domeniului de definiţie B n ). Prin aceastǎ partiţionare a domeniului de definiţie, fiecare funcţie scalară incomplet specificată poate fi privită ca un triplet de funcţii complet specificate. Funcţiile sunt reprezentate (prin sume de produse ori tabelar) ca liste de implicanţi. Conceptul implicantului multi-ieşire (multi-funcţie) este general ca natură, deoarece combină vectorul valorilor liniilor de intrare cu vectorul valorilor corespunzătoare liniilor de ieşire. În consideraţiile care urmează se va restricţiona noţiunea de implicant doar la valoarea 1 sau * (neprecizatǎ) a unei funcţii. În consecinţǎ, partea de ieşire a unui implicant multi-ieşire este bivalorică pentru o componentă scalară a respectivei funcţii vectoriale, având următoarea semnificaţie: - o valoare 1 implică fie o valoare 1, fie o valoare * a componentei scalare respective, în timp ce, - o valoare 0 nu implică atribuirea unei valori a respectivei componente scalare; pur şi simplu acea componentă scalară este ignorată în punctul corespunzător părţii de intrare. În astfel de situaţii partea de intrare a implicantului, cu alte cuvinte, se referă la unul sau mai multe puncte din domeniul de definiţie, unde anumite componente scalare ale funcţiei vectoriale iau valoarea 1 ori * şi anume acele componente pentru care partea de ieşire a implicantului multi-valoric este nenulă. Definiția 2.1 Un implicant multi-ieşire (multi-funcţie) al unei funcţii vectoriale f: B n {0, 1, *} m este o pereche de vectori linie de dimensiune n şi m numiţi partea de intrare şi respectiv partea de ieşire. 7
8 Note de curs, dr.ing.mat. Ion I. Bucur Partea de intrare are componente cu valori din mulţimea {0, 1, *} şi reprezintă un produs de literali. Partea de ieşire are componente cu valori din mulţimea {0, 1}. Pentru fiecare componenta a ieşirii o valoare nenulă implică o valoare 1 sau * a respectivei funcţii scalare în punctul (punctele) corespunzător (corespunzătoare) părţii de intrare. Mintermii multi-ieşire sunt implicanţi supuşi unor restricţii deosebite. Definiția 2.2 Un minterm multi-ieşire al unei funcţii precum cea definită anterior este un implicant multi-ieşire a cărui parte de intrare are componente cu valori din mulţimea {0, 1} (exact n literali) şi care implică valoare nenulă pentru una şi numai pentru una dintre componentele (funcţiile scalare) de ieşire. Exemplul care urmeazǎ ilustreazǎ printr-o funcţie vectorialǎ simplǎ, cu douǎ componente scalare, aspectele definitorii ale implicanţilor canonici, mintermii, în cazul funcţiilor vectoriale. Exemplul 2.2. f = (f 1, f 2 ); f 1 = a b c + a b c + ab c + abc+ abc, f 2 = a b c + ab c Un implicant multi-ieşire al acestei funcţii vectoriale f este (*01 11). Acest implicant multi-ieşire reprezintǎ patru mintermi multi-ieşire: (001 10), (101 10), (001 01) şi (101 01). Datoritǎ faptului cǎ un implicant, necanonic, poate acoperi mai mulţi implicanţi canonici (mintermi) multi-ieşire, se poate concepe reprezentarea unei funcţii printr-o mulţime de implicanţi necanonici. Iar numǎrul implicanţilor necanonici ai respectivei mulţimi sǎ fie, posibil, mai mic decât numǎrul implicanţilor canonici ai funcţiei. O astfel de mulţime cu implicanţi necanonici, asociatǎ unei funcţii date, este definitǎ în continuare. Definiția 2.3 O acoperire a unei funcţii vectoriale binare este o mulţime (o listă) de implicanţi care conţin (acoperă) mintermii acelei funcţii. Se noteazǎ prin F acoperirea funcţiei f. Mulţimile mp1, mp0, mp* pot fi modelate prin acoperiri, unde implicanţii şi mintermii sunt corespunzători funcţiilor complet specificate respective. Acoperirile mp1, mp0 şi mp* sunt notate, tradiţional, prin F ON, F OFF şi respectiv F DC. O acoperire F a unei funcţii f satisface inegalitatea: F ON F F ON F DC. Atunci când o funcţie este complet definită, F ON şi F sunt identice (deoarece F DC este mulţimea vidǎ). Mărimea sau cardinalitatea unei acoperiri este numărul de implicanţi ai acelei acoperiri. Definiția 2.4. O acoperire minimă este o acoperire de cardinalitate minimă. În cele ce urmeazǎ se va considera că obiectivul minimizării logice combinaţionale exacte în două niveluri este determinarea unei acoperiri minime. Este, adesea, util să se determine acoperiri minimale, locale, numite acoperiri minimale, deoarece calculul acestora poate fi atins cu resurse (memorie şi timp) mai reduse. Obiectivul minimizării euristice logice combinaţionale în două niveluri este determinarea unei acoperiri minimale. Astfel de acoperiri sunt adesea foarte apropiate în cardinalitate de acoperirile minime şi pot astfel oferi soluţii eficiente pentru problemele practice. În mod normal minimalitatea locală se defineşte în termeni de conţinere, includere. Definiția 2.5 O acoperire iredundantă a unei funcţii este o acoperire care nu este un superset propriu al niciunei alte acoperiri pentru aceeaşi funcţie. 8
9 PROIECTAREA LOGICĂ Altfel spus, îndepărtarea oricǎrui implicant dintr-o acoperire minimă nu mai acoperǎ, nu mai conţine, funcţia. Echivalent, nici un implicant nu este conţinut în orice subset de implicanţi ai acoperirii. O proprietate de minimalitate mai slabă este minimalitatea în raport cu conţinerea unui singur implicant, numitǎ adeseori, conţinerea singulară. Definiția 2.6 O acoperire este minimală în raport cu conţinerea singulară dacă nici un implicant nu este conţinut în orice alt implicant al acoperirii. O acoperire iredundantǎ este deasemenea minimalǎ în raport cu conţinerea singularǎ, dar nu şi reciproc. Raţiunea acestei afirmaţii este aceea cǎ un implicant poate fi redundant deoarece este conţinut într-un subset de implicanţi ai acoperirii şi nu de un singur implicant. Din acest motiv, redundanţa este o proprietate mai puternicǎ. Exemplul 2.3. Se reia funcţia f = (f 1, f 2 ) din exemplul 2.2. O acoperire minimală de cardinalitate trei este specificată prin: (00* 10) (*01 11) (11* 10) O acoperire iredundantă de cardinalitate patru este definită prin: (00* 10) (*01 01) (1*1 10) (11* 10) O acoperire redundantă de cardinalitate cinci, dar care este minimală în raport cu conţinerea singulară este exemplificată prin: (00* 10) (*01 01) (*01 10) (1*1 10) (11* 10) De reţinut cǎ cel de-al treilea implicant (cel indicat printr-o săgeată orizontală) este conţinut în reuniunea dintre primul şi cel de-al patrulea implicant. O altă proprietate a implicanţilor şi a acoperirilor este aceea de a fi primi, respectiv prime. Definiția 2.7. Un implicant este prim dacă nu este conţinut de nici un alt implicant al funcţiei. O acoperire este primă dacă toţi implicanţii săi sunt primi. În raport cu definiţia 2.7 se cuvin făcute câteva remarci complementare: - definiţia calităţii de implicant prim a unui implicant este legată de toţi implicanţii posibili ai funcţiei şi nu doar de cei ai acoperirii considerate; - pentru funcţiile scalare, un implicant prim corespunde unui produs de literali, unde nici un literal nu poate fi eliminat fără să se piardă proprietatea de implicant. În termeni generici, un implicant prim corespunde unui implicant cu dimensiune maximală. Dimensiunea maximală înseamnă cea mai mare dimensiune ce poate fi atinsă fără să se intersecteze F OFF sau, echivalent, mp0. Pentru funcţiile vectoriale, un implicant prim conţine şi un număr maxim de componente scalare (funcţii scalare) ale funcţiei vectoriale reprezentate în partea de ieşire a implicantului. Implicanţii 9
10 Note de curs, dr.ing.mat. Ion I. Bucur primi sunt adesea numiţi primi, pentru o exprimare mai scurtă, mai simplă, fără să existe riscul de echivoc. Exemplul 2.4. Se reia funcţia vectorială de variabile binare din exemplele precedente. Lista tuturor implicanţilor primi arată astfel: (00* 10) (*01 11) (1*1 10) (11* 10) Prin definiţie nici un implicant prim nu este conţinut în alt implicant prim al funcţiei. Implicanţii anteriori reprezintă o acoperire primă, dar care nu este minimă. In adevăr, al treilea implicant prim este conţinut în reuniunea dintre al doilea şi al patrulea implicant prim. Prin definiţia unui implicant prim, dacă acoperirea este primă, atunci aceasta este minimală în raport cu conţinerea singulară. Înlăturând cel de-al treilea implicant prim se obţine o acoperire minimă care este necesar iredundantă. Se presupune, acum, că funcţia este incomplet specificatǎ şi mulţimea mp* (sau F DC ) pentru ambele ieşiri este specificată, simplu, prin implicantul cu partea de intrare 100. Atunci, implicanţii primi ar fi: (*0* 10), (*01 11), (1** 10). Aceşti implicanţi primi formează o acoperire minimă. Anumiţi implicanţi primi au proprietatea specială că trebuie să fie incluşi în orice acoperire a funcţiei. Aceşti implicanţi sunt numiţi implicanţi primi esenţiali. Definiția 2.8. Un implicant prim este esenţial dacă există un minterm al funcţiei acoperit (conţinut) în exclusivitate (faţă de mulţimea tuturor implicanţilor primi ai funcţiei) de acest implicant prim. Exemplul urmǎtor abordeazǎ câteva proprietǎţi importante ale implicanţilor primi. Exemplul 2.5. Funcţia considerată în exemplele anterioare are asociaţi aceşti implicanţi primi: (00* 10) (*01 11) (1*1 10) (11* 10) Pentru prima componentă scalară se observă că primul implicant prim este esenţial deoarece acoperă în exclusivitate mintermul (000 10), iar al patrulea implicant prim este deasemenea esenţial pentru cǎ acoperă în exclusivitate mintermul (110 10). A doua funcţie scalarǎ este implicatǎ de numai un singur implicant, mai exact de al doilea implicant. Acest implicant este, în consecinţă, esențial. Dintre toți implicanţii primi, doar al treilea nu este esenţial. Minimizarea logică exactă Minimizarea logică exactă vizează rezolvarea găsirii unei acoperiri minimale. Este considerată o problema clasicǎ în teoria funcţiilor binare de variabile discrete şi primul rezultat remarcabil în găsirea unei acoperiri minime a fost formulat de Quine şi McCluskey. Soluţia problemei, aşa cum a fost 10
11 PROIECTAREA LOGICĂ formulată de autori, se bazează pe teorema lui Quine, teoremă care delimitează spaţiul căutărilor soluţiei optime. Teorema Quine Există o acoperire minimă care este primă. Demonstrație Se consideră o acoperire minimă care nu este alcătuită din implicanţi primi. Fiecare implicant care nu este prim poate fi înlocuit printr-un implicant prim care-l conţine. Astfel, mulţimea rezultată de implicanţi este o acoperire şi are aceeaşi cardinalitate ca şi acoperirea iniţială. În consecinţă, există o acoperire minimă care este alcătuită doar din implicanţi primi. Teorema Quine permite limitarea căutării unei acoperiri minimale la acele acoperiri care constau exclusiv din implicanţi primi. Se remarcă faptul ca teorema se poate generaliza pentru a manevra definiţii mai largi ale acoperirii minime, unde costul unui implicant este întotdeauna mai mic sau egal cu costul unui implicant pe care-l conţine. Teorema se aplicǎ, spre exemplu, cazului de minimizare al numărului literalilor pentru funcţiile scalare (cu o singurǎ ieşire). E. McCluskey a formulat căutarea unei acoperiri minime ca o problema de acoperire într-un tabel de implicanţi primi. Se va aborda aceasta formulare considerând funcţii scalare complet definite. Un tabel de implicanţi primi este, în fapt, o matrice binarǎ A ale cărei coloane sunt în corespondenţă biunivocǎ cu implicanţii primi ai funcţiei f, iar rândurile sunt în corespondenţă biunivocǎ cu mintermii funcţiei. Un element a i,j A este 1 dacǎ şi numai dacǎ cel de-al j-lea prim acoperǎ (conține) cel de-al i- lea minterm. O acoperire minimǎ este o mulţime minimǎ de coloane care acoperă toate liniile, sau echivalent: o mulţime minimǎ de primi ce acoperǎ (conţin) toţi mintermii funcţiei. Se poate observa cǎ: Problema acoperirii poate fi vǎzutǎ ca fiind problema găsirii unui vector binar x reprezentând o mulţime de implicanţi primi cu cardinalitate ( x ) minimǎ astfel încât : Ax >= 1 (1) Matricea A poate fi privitǎ ca matricea de incidenţǎ a unui hipergraf ale cărui noduri corespund mintermilor, iar arcele corespund implicanţilor primi. Într-o astfel de modelare, problema acoperirii corespunde unei acoperiri cu arce ale hipergrafului. Exemplul 2.6. Fie funcţia scalarǎ de trei variabile a, b şi c: f(a, b, c) = a b c + a b c + ab c + abc + abc Se poate verifica cu uşurinţǎ faptul cǎ implicanţii primi ai acestei funcţii sunt aceştia: (p) 0 0 * 1 (q) * (r) 1 * 1 1 (s) 1 1 * 1 Ţinând seama de implicanţii primi p, q, r şi s, matricea A aratǎ astfel: p q r s Vectorul x = [1101] T reprezintă o acoperire, pentru cǎ Ax >= 1. Se poate afirma cǎ vectorul x selecteazǎ implicanţii primi p,q şi s. 11
12 Note de curs, dr.ing.mat. Ion I. Bucur Minimizarea exactǎ poate fi rezolvatǎ calculând întâi tabelul de implicanţi primi şi apoi soluţionând problema de acoperire rezultatǎ. De remarcat faptul cǎ problema de acoperire în acest caz este unatǎ, deoarece toate clauzele de acoperire pot fi exprimate ca o disjuncţie de implicanţi. Dificultatea abordǎrii constǎ din intractabilitatea problemei de acoperire şi din mǎrimea tabelului de implicanţi. O funcţie scalarǎ binarǎ cu n variabile binare poate avea 3 n /n primi şi 2 n-1 mintermi. De aceea, un algoritm exponenţial al unei probleme de mǎrime exponenţialǎ este probabil sǎ necesite un timp lung de calcul şi un volum mare de memorie. Rezultatele actuale aratǎ cǎ multe probleme practice de minimizarea logicǎ ale unor funcţii dificile pot fi rezolvate exact prin algoritmi performanţi care exploateazǎ natura problemei şi structuri de date eficiente. Tabelul de implicanţi poate fi redus. Se pot extrage coloanele esenţiale corespunzătoare implicanţilor primi esenţiali, deoarece aceştia oricum trebuie sǎ aparţinǎ oricărei soluţii. Se pot înlătura liniile dominante şi coloanele dominate. Extracţia implicanţilor primi esenţiali şi înlăturarea coloanelor dominate şi a liniilor dominante se poate face iterativ. Se obţine astfel, în final, tabelul redus al implicanţilor primi. Dacǎ tabelul redus se întâmplǎ sa fie vid, atunci s-a gǎsit soluția deja, prin implicanţii primi esenţiali anterior extraşi. Altfel, tabelul redus, numit uneori şi tabel ciclic, modelează așa-zisul miez ciclic al problemei. Metoda originalǎ propusǎ de E. McCluskey revine la branşǎri, adică se aleg diferite combinaţii de coloane (implicanţi primi) şi se evalueazǎ costul corespunzǎtor. Chiar dacǎ alegerea unei coloane (un prim implicant) poate conduce la simplificǎri bazate pe regulile de dominanţǎ şi de esenţiali, procesul este exponenţial (în cel mai defavorabil caz) în raport cu mǎrimea tabelei reduse. Exemplul 2.7. Se considerǎ matricea A din exemplul 2.6. p q r s Se remarcǎ imediat cǎ implicanţii p şi s sunt esenţiali. Aceasta revine la a spune cǎ implicanţii primi p şi s aparţin oricărei acoperiri. Din acest motiv, coloanele corespunzătoare pot fi şterse la fel ca şi liniile incidente lor. Dupǎ procesul de reducere al matricei, matricea astfel obţinutǎ are o singurǎ linie şi douǎ coloane, arǎtând astfel : q r În acest caz matricea ilustreazǎ faptul cǎ oricare dintre cei doi implicanţi q şi r poate fi folosit pentru a completa o acoperire minimǎ. Matricea redusǎ nu este ciclicǎ şi nu este necesar, în consecinţǎ, un proces de branşare. În concluzie, existǎ douǎ soluţii ale problemei acoperirii prime pentru aceastǎ funcţie: {p, q, s} şi {p, r, s}. O altǎ abordare clasicǎ numitǎ, adesea, metoda lui Petrick constǎ în scrierea clauzelor de acoperire ale tabelului (redus) de implicanţi în forma unui produs de sume. Fiecare clauzǎ (sau, echivalent, fiecare sumǎ din acest produs) corespunde unui minterm şi aceasta reprezintǎ disjuncţia implicanţilor primi 12
13 PROIECTAREA LOGICĂ care acoperă respectivul minterm. Produsul de sume este apoi transformat într-o suma de produse ce este satisfǎcutǎ ori de câte ori un termen al sǎu ia valoarea 1. În acest caz, termenii produs reprezintǎ implicanţii primi care au fost aleşi. Costul unei acoperiri este legat de numărul de literali din produs. Ca rezultat, o acoperire minimǎ este identificatǎ prin orice termen produs al SDP având cei mai puţini literali. Exemplul 2.8. Se aplicǎ metoda lui Petrick matricei A (tabelului cu incidenţa implicanţilor primi, cum mai este numit) din exemplul 2.6. p q r s Clauza care stabileşte acoperirea primului minterm este p; clauza relativǎ la cel de-al doilea minterm este p +q, etc. Produsul de sume aratǎ astfel: (p)(p + q)(q + r)(r + s)(s) = 1 Calculând produsele se obţine forma sumǎ de produse (SDP): pqs + prs = 1 ceea ce exprimǎ faptul cǎ exista douǎ acoperiri minime având aceeaşi cardinalitate, 3. Prima acoperire este alcǎtuitǎ din aceastǎ submulţime {p, q, s} a implicanţilor primi, iar a doua reprezintǎ submulţimea {p, r, s} a implicanţilor primi. De remarcat cǎ metoda lui Petrick s-ar fi putut aplica, încǎ mai eficient, tabelului redus de implicanţi primi şi ar fi condus la o singura clauzǎ: β+γ =1 Astfel, ori implicantul prim q ori implicantul prim r, împreunǎ cu implicanţii primi esenţiali {p, s} determină o acoperire minimǎ cu implicanţi primi ai funcţiei considerate. Chiar dacǎ exprimarea produsului de sume şi alegerea termenului produs din suma de produse sunt imediate, transformarea produsului de sume într-o sumǎ de produse (SDP) implicǎ un număr exponenţial de operaţii. Acest fapt limitează metoda Petrick la tabele cu dimensiuni relativ mici. Algoritmul Quine-McCluskey poate fi extins la funcţii vectoriale prin calculul implicanţilor primi multi-ieşire şi a tabelei corespunzǎtoare. Extensii pentru ca sǎ opereze cu funcţii incomplet specificate sunt, de asemenea, relativ simplu de alcǎtuit şi de aplicat. 13
14 Note de curs, dr.ing.mat. Ion I. Bucur 14
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότερα3.4. Minimizarea funcţiilor booleene
56 3.4. Minimizarea funcţiilor booleene Minimizarea constă în obţinerea formei celei mai simple de exprimare a funcţiilor booleene în scopul reducerii numărului de circuite şi a numărului de intrări ale
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότερα3.4. Minimizarea funcţiilor booleene
56 sau: F = ABC + ABC + ABC Complementând din nou, se obţine funcţia iniţială: F = ABC + ABC + ABC = ABC ABC ABC = ( A + B + C)( A + B + C)( A + B + C) sau F = S 4 S5 S6 3.4. Minimizarea funcţiilor booleene
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1
2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραArhitectura Calculatoarelor. Fizică - Informatică an II. 2. Circuite logice. Copyright Paul GASNER 1
Arhitectura Calculatoarelor Fizică - Informatică an II gasner@uaic.ro 2. Circuite logice Copyright Paul GASNER 1 Funcţii booleene Porţi logice Circuite combinaţionale codoare şi decodoare Cuprins multiplexoare
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραELECTRONICĂ DIGITALĂ
E-mail URL ELECTRONICĂ DIGITALĂ Dan NICULA Universitatea TRANSILVANIA din Braşov Departamentul de Electronicăşi Calculatoare www.dannicula.ro/ed dan.nicula@unitbv.ro www.dannicula.ro 1 Capitole 0. Introducere
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare Copyright Paul GASNER Adunarea în sistemul binar Adunarea se poate efectua în mod identic ca la adunarea obişnuită cu cifre arabe în sistemul zecimal
Διαβάστε περισσότερα1. ELEMENTE DE ALGEBRĂ BOOLEANĂ
. ELEMENTE DE ALGEBRĂ BOOLEANĂ În teoria circuitelor numerice şi în electronica digitală în general, semnalele electrice pot lua numai valori discrete, în majoritatea cazurilor aceste valori fiind asociate
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραCIRCUITE COMBINAŢIONALE UZUALE
Arhitectura calculatoarelor Lucrarea de laborator Nr. 3. 1 CIRCUITE COMBINAŢIONALE UZUALE 1. Scopul lucrării Lucrarea prezintă unele circuite combinaţionale uzuale şi utilizarea acestor circuite la implementarea
Διαβάστε περισσότεραprin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραPlatformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic
Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Logică 24. Echivalenta starilor STARILE ECHIVALENTE DIN CIRCUITELE SECVENTIALE Realizarea unui circuit secvenţial
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραCIRCUITE LOGICE CU TB
CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραCodificatorul SN74148 este un codificator zecimal-bcd de trei biţi (fig ). Figura Codificatorul integrat SN74148
5.2. CODIFICATOAE Codificatoarele (CD) sunt circuite logice combinaţionale cu n intrări şi m ieşiri care furnizează la ieşire un cod de m biţi atunci când numai una din cele n intrări este activă. De regulă
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραUniversitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Algebră (1)
Universitatea din ucureşti.7.4 Facultatea de Matematică şi Informatică oncursul de admitere iulie 4 omeniul de licenţă alculatoare şi Tehnologia Informaţiei lgebră (). Fie x,y astfel încât x+y = şi x +
Διαβάστε περισσότεραCircuite logice programabile
82 Tabelul 3.12. Tabelul de funcţionare al circuitului 74155. Selecţie Strobare Date Ieşiri B A 1G 1C 1Y 1 01Y 1Y 21Y 3 x x 1 x 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 x
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότερα