1.Να βρείτε τις δυνατές τιμές της παράστασης Π= i ν + i ν+1 + i ν+2 +i ν+3 + i ν+4 + i ν+5 + i ν+6

Transcript

1 .Να βρείτε τις δυνατές τιμές της παράστασης Π ν + ν+ + ν+ + ν+3 + ν+ + ν+5 + ν+6 Έχουμε ν + ν+ + ν+ + ν+3 + ν+ + ν+5 + ν+6 ν ( ) ν οπότε αν νκ τότε Π ν κ ( ) κ. αν νκ+ τότε Π ν κ+ ( ) κ. - αν νκ+ τότε Π ν κ+ ( ) κ. 3 - αν νκ+3 τότε Π ν κ+3 ( ) κ 3.. Να βρείτε τους μιγαδικους αριθμούς για τους οποίους ισχύει Im( ) Έστω x+ψ.η σχέση Im( ) γράφεται ισοδύναμα x +ψ ψ x +ψ ψ x 0. Άρα ψ με ψ R 3.Να εξετάσετε αν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει 3 3 Eίναι 3 3 υπάρχουν τέτοιοι μιγαδικοί. άτοπο.κατά συνέπεια δεν. Να βρείτε τους πραγμ. αριθμούς χ, ψ για τους οποίους x + ( ψ 3) ισχύει 3 ψ+ x + ( ψ 3) Είναι 3 x + ( ψ 3) ( 3) ( ψ+ ) ψ+ x 6 x + ( ψ 3) ψ+ 3+ ( 3ψ) ψ

2 5. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων Α Β ν Α) Οι όροι του πρώτου αθροίσματος αποτελούν γεωμετρική πρόοδο με α,λ και πλήθος ν00. Οπότε έχουμε Α α ( λ ν ) λ.( 00 ) 50 ( ) 0 Β) Οι όροι του δεύτερου αθροίσματος αποτελούν γεωμετρική πρόοδο με α,λ και πλήθος ν+. Οπότε έχουμε ν+ ν+.( ) Οπότε ρ+ ( ρ ) ρ+ + ρ ( ) + ρ+ + ρ 3 ) + (+ )(+ ) + + ( )(+ ) + Β ν Αν νρ τότε Β Αν νρ+ τότε Β Αν νρ+ τότε Β ( Αν νρ+3 τότε Β ρ+ 3+ ρ ( ) 0 ν (+ ) 6. Έστω ο μιγαδικός ν όπου ν є Ν. Να προσδιορίσετε ( ) το φυσικό αριθμό ν ώστε ο να είναι πραγματικός αριθμός (+ ) ( ) Είναι ν ν ( + )(+ ) ( )(+ ) ν ( + ν ν (+ ) (+ ) + ν ( ) ( ) ( ) ν ν ( ) ( ) ) ( ) ν + + ν ν+ ( ) ( ) + Επομένως - ν+ () οπότε

3 Αν νρ τότε () - ν+ - ρ+ -( ) Ρ - Αν νρ+ τότε () - ν+ - ρ++ -( ) Ρ - -(-) Αν νρ+ τότε () - ν+ - ρ++ -( ) Ρ 3-3 -(-) Αν νρ+3 τότε () - ν+ - ρ+3+ -( ) Ρ Κατά συνέπεια ο μιγαδικός είναι πραγματικός όταν νρ+ ή νρ+3 όπου ρ ε Ν *. 7.Δίνονται οι μιγαδικοί (-) -(+) (+ )( ) και w + Να τους φέρετε στη μορφή α+β (-) -(+)(-+ )-(++ )(-)-(3+) (+ )( ) w (8 6)( ) (+ )( ) + 8.Δίνονται οι μιγαδικοί +3 Να βρεθούν οι χ, ψ є R, ώστε w wx(+)+ψ(-). Είναι wx(+)+ψ (-) w x+x+ψ-ψ w (x+ψ)+(x-ψ) Έχουμε w (x+ψ)+(x-ψ) +3 x+ψ x 5/ x ψ 3 ψ / 9. Δίνεται η συνάρτηση f () (+ ) + 3 α) Να λυθεί η εξίσωση f ()0 β) Να λυθεί η εξίσωση f ()f(-) γ) Να βρεθούν οι α, β ε R f (α-β)f(-)

4 α) Έχουμε f ()0 (+)+3-0 α.τρόπος:(+) ( 3+ )( ) + (+ )( ) + β.τρόπος: Θέτουμε όπου x+ψ και έχουμε (+)+3-0 (+)(x+ψ)+3-0 x+ψ+x+ψ -3+ (x-ψ)+(x+ψ)-3+ x ψ 3 x x+ψ ψ Ανάλογα μπορούμε να εργαστούμε στο (β) ερώτημα β) Έχουμε f ()f(-) (+)+3-(+)(-)+3- (+)(+)(-) - γ) Έχουμε f (α-β)f(-) (+)(α-β)+3- (+)(-)+3- α-β+α-β -+- α+ β 3 α (α+β)+(α-β)3+ α β β / 0. Να υπολογιστούν τα χ, ψ αν ισχύει : x ψ 5+ 6 () Η σχέση () γράφεται x( ) ψ(3 ) (5+ 6)( 8) (+ )( ) (3+ )(3 ) ( + 8)( 8) x x 3ψ ψ ( ) + 8 x x 3ψ ψ (x x) 5(3ψ ψ) 3-6 (πολ/ζουμε με 65)

5 ( 3x 5ψ) + ( 6x+ 0ψ) 3 6 3x 5ψ 3 x 6x+ 0ψ 6 ψ. Δίνονται οι μιγαδικοί - και 3-. Να βρείτε το μιγαδικό αν ισχύει ος τρόπος Πολ/ζουμε την () με και έχουμε + ( ) () + ( ) + ( ) [( ) ] ( )[( 3+ ) 3+ ( )( 3 ) + ] ( )[( ) 3+ ] ος τρόπος Θέτουμε όπου x+ψ με χ,ψ є R και η δοσμένη σχέση () ισοδύναμα γράφεται : x+ψ + 3 [( ) (3 )] (x+ψ)(+ ) + 3 ( ) ( )(+ ) x+ x+ψ+ ψ x ψ+ x+ ψ (Πολ/ζουμε με 5) 5 x ψ+ x+ψ (x ψ) + (x+ψ) 5 0 x ψ 5 x x+ψ 0 ψ Άρα ο μιγαδικός είναι -+.Δίνεται ο μιγαδικός (+ x+ x) K.Για ποιες τιμές του x є R + (+ x) είναι Im(K) 0 ; Είναι Κ (+ x+ x) + (+ x) + x+ x x+ (+ x) [ x+ (+ x)][ (+ x)] + (+ x) + (+ x) [+(+ x)][ (+ x)]

6 x+ x(+ x)+ (+ x) (+ x) + (+ x) x + 7x+ 6 x + 5x+ + + (+ x) + (+ x) () [ x+ (6+ x + 8x)] + [x(+ x) + (+ x)] + (+ x) x + 5x+ + (+ x) Άρα Κ Αναζητούμε τα χ є R ώστε Ιm(Κ)0 οπότε λόγω () αρκεί 0 x + 5x+ 0 x - ή x - 3. Δίνονται τα πολυώνυμα f() 3 + +κ+λ- και g()f()-3- όπου κ, λ ε R α)να δείξετε ότι ο αριθμός f(+) + f(-) είναι πραγματικός β)να βρεθούν οι κ, λ ε ώστε g(+) να είναι ο μηδενικός μιγαδικός α)είναι f(+) (+) 3 +(+) +κ(+)+λ- ( )+(++ )+κ(+)+λ-(κ+λ-8)+(κ+6) () f(-) (-) 3 +(-) +κ(-)+λ- ( )+(-+ )+κ(-)+λ-(κ+λ-8)+(-κ-6) () Οπότε από () και () έχουμε ότι f(+) + f(-) (κ+λ-8) є R β) Είναι g(+) f(+)-3- (+) 3 +(+) +κ(+)+λ--3- ( )+(++ ) +κ(+)+λ--3- (-+)++ κ+κ+λ--3-(κ+λ-6)+(κ+5) οπότε ο g(+) είναι ο μηδενικός μιγαδικός όταν g(+) (κ+λ-6)+(κ+5) 0+0 κ+λ 6 0 κ 5 κ+ 5 0 λ. Δίνονται οι μιγαδικοί - και 3+.Να βρείτε τους συζυγείς των μιγαδικών w + και και να τους γράψετε στην κανονική τους μορφή. α) Έχουμε w + Οπότε w 0+ + (+ )(3 )

7 ( )(3+ ) (3 )(3+ ) β) Έχουμε Οπότε 5. Να βρείτε τους χ, ψ є R ώστε οι μιγαδικοί x ψ x +ψ και + x να είναι συζυγείς + -3 Έχουμε x ψ + (x ψ)( ) (+ )( ) x x ψ+ψ + x ψ x+ ψ x +ψ (x +ψ)(+ 3) x + 3x +ψ+ 3ψ + x + x + x -3 ( 3)(+ 3) + 3 x 3ψ 3x +ψ x 3ψ 3x + 0x+ψ + + x , είναι συζυγείς. Οπότε x ψ x 3ψ Re( ) Re() ψ 0 0x x Im() + Im() 0 x+ψ 3x + 0x+ψ 3x ψ x x ψ 3x 0x x 5x(x ) 0 x 0 ή x 3x ψ οπότε αν χ0 τότε ψ0 αν χ τότε ψ 6. Να βρείτε το συζυγή του μιγαδικού ( )(+ 3) (3+ ) ος τρόπος Μετασχηματίζουμε τον σε κανονική μορφή. Είναι ( )(+ 3) (3+ ) ο ότε (5+ )(+ 3) 3 ( 3)(+ 3) 5 8 5

8 ος τρόπος Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των συζυγών ( )(+ 3) ( ) (+ 3) (+ )( 3) 8... (3+ ) ( ) (3+ ) (3 ) Έστω οι μιγαδικοί και με και Να δείξετε : α) Ο μιγαδικός β) Ο μιγαδικός + + w u είναι πραγματικός είναι φανταστικός α)είναι w ( ) + +. Αφού w w θα είναι και w R + β)είναι u ( ) + Αφού +. + u u θα ισχύει ότι u є I Έστω οι μιγαδικοί και w όπου w με Να δείξετε ότι αν ο μιγαδικός είναι πραγματικός τότε και ο w είναι πραγματικός και αντίστροφα w R w w ( ) Έχουμε R

9 Δίνεται ο μιγαδικός + Να δείξετε ότι (α) Ο μιγαδικός u + () είναι πραγματικός (β) Ο μιγαδικός w () είναι φανταστικός ( 3 ) (3 Είναι ( + ) 6 Οπότε έχουμε Άρα (α) u + () (β) w () 8( 3) + 8 (+ 3) 6 R ( 3 ) 8( 3) - 8 (+ 3) 6 3 I 3 + ) ( 3 ) 8( 3) 0. Δίνονται οι μιγαδικοί ( + ) και + (α)να βρείτε την τιμή της παράστασης 00 Π Re() + Re (w) (β) Να δείξετε ότι ο μιγαδικός u ακέραιος Είναι ( + ) (3+ )( ) ( + )( ) w. + 3(w) είναι ( ) + ( ) w w (α)έχουμε Π Re() + Re (w) + ( )

10 7 000 (β)έχουμε u + 3(w) ( 0) Z.Έστω οι μιγαδικοί και 3.Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών και ος Τρόπος Τρέπουμε τους μιγαδικούς στην κανονική τους μορφή. ( )( 3 ) ( 3 ) ( + 3) οπότε ( 3 ) ( 3) ( )( 3 + ) ( 3 )( 3 + ) 3 + ( 3 + ) + ( 3) οπότε ( 3 + ) 3 + ( ) ος Τρόπος Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του μέτρου Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών α β ( ) ό ουα, β R, και α+β (+ 3) 3 ( Έχουμε ) ( 99 (+ ) 0 3) 5 α β α β α +β α+β α+β α +β ) ( + ) ( (+ 3) + 3 ( + 3 ) 0 + 3

11 ( ) (+ ) + ( + ) ( + ) ( 3) 3 0 ( + 3 ) Για το μιγαδικό ισχύει 3-3. Να δείξετε ότι Είναι (3 )(3 ) ( 3)( 3) ( 3 )(3 ) ( 3)( 3) Για το μιγαδικό ισχύει Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού Είναι ( 0)( 0) 9( )( ) ( 0)( 0) 9( )( ) (*) + 9 ( )( ) 9 ( )( ) * Είναι ( )( ) Δίνονται οι μιγαδικοί και w με -+0, και + w. Να δείξετε ότι α) Ο w είναι πραγματικός αν και μόνο αν ο Γεωμ. Τόπος των εικόνων Μ() είναι μια ευθεία, από την οποία έχει εξαιρεθεί το σημείο Α(-, 0) β) Ο w είναι φανταστικός, αν και μόνο αν, ο Γεωμ. Τόπος των εικόνων Μ() είναι ένας κύκλος με κέντρο Κ(-, ) και ακτίνα ρ 5

12 γ) Να δείξετε ότι ο παραπάνω κύκλος και η ευθεία τέμνονται στα σημεία Α(που εξαιρείται) και Β(που δεν εξαιρείται) και να βρείτε τις συντεταγμένες του Β Έστω x+ ψ και Μ(χ, ψ) η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο με (χ, ψ) (-, 0). + x+ψ+ x+ψ (x+ ) +ψ x+ ( ψ ) [(x+ ) +ψ] [x ( ψ )] [x+( ψ )] [x ( ψ )] Είναι w (x +ψ + x ψ) + (x ψ+ ) x +ψ + x ψ x ψ+ w + x + ( ψ ) x + ( ψ ) x + ( ψ ) () x ψ+ w R 0 x ψ+ 0 () x + ( ψ ) α) Ο Γεωμ.Τόπος των εικόνων Μ(χ, ψ) είναι η ευθεία () από την οποία εξαιρείται το σημείο Α(-, 0). () x +ψ + x ψ β) w I 0 x +ψ + x ψ 0 (3).Δηλαδή ο Γεωμ.Τόπος x + ( ψ ) των εικόνων Μ(χ, ψ) είναι ο κύκλος που παριστάνει η εξίσωση (3) και έχει 5 κέντρο Κ(-, ) και ακτίνα ρ γ)τα σημεία τομής των παραπάνω γραμμών, είναι λύσεις του συστήματος x ψ+ 0 x ψ x +ψ + x ψ 0 (ψ ) +ψ + (ψ ) ψ 0 x ψ x ψ x η x 0 5ψ 5ψ 0 ψ 0 η ψ ψ 0 η ψ Κατά συνέπεια ο κύκλος και η ευθεία τέμνονται στα σημεία Α(-, 0) (που εξαιρείται) και Β(0, )(που δεν εξαιρείται) 6. Έστω ( ) 3 5 f + όπου χ+ψι x,ψ R. Ref, Imf Να βρεθούν τα ( ) ( ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ( ( )) μιγαδικό επίπεδο Να δειχτεί ότι f( ) x ψ 5 M f στο

13 v Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών Z χ+ψι για τους οποίους ισχύει f( ) 5 Είναι f Ζ + x x f f Ζ χ ψ ψ + ψ+ χ χ f Ζ χ ψ + ψ χ f Ζ χ Ιm f Ζ ψ ( ) ( +ψ ) ( ψ ) ( ) χ+ ψ + χ ψ χ ψ ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα Re ( ( )) ψ και ( ( )) χ Μ( χ ψ, ψ χ) Θέτω Παρατηρώ 0 ψ0 f χ ψ 0 0 χ ψ ψ χ χ άρα ο γ. τ. είναι η ευθεία ( ε ): χ+ ψ 0 ( Z) ( χ ψ) + ( ψ χ) ( χ ψ) + ( χ ψ) 5( χ ψ) χ ψ 5 χ ψ : v f ( Z) 5 χ ψ 5 5 χ ψ χ ψ : Άρα οι ευθείς είναι ο ζητούμενος γ. τ ( ε) ( ε ) 5 7. Έστω ο μιγαδικός αριθμός χ+ψ, με χ,ψ ε R α) Να αποδείξετε ότι, στο μιγαδικό επίπεδο, ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(χ,ψ) που είναι τέτοια ώστε είναι κύκλος. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου αυτού. β) Έστω Ο η αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου και ε, ε είναι δύο εφαπτόμενες που άγονται από το Ο προς τον παραπάνω κύκλο. Να βρείτε τις συντεταγμένες των δύο σημείων επαφής Μ, Μ (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΔΕΣΜΩΝ 999)

14 α) Έστω χ+ψ. Τότε η δοθείσα σχέση γράφεται Δηλαδή κύκλος με κέντρο (,) και ακτίνα ρ β) Έστω ε: ψλχ ευθεία εφαπτόμενη στον κύκλο που διέρχεται από την αρχή Ο(0,0) ) (Σημείωση: Αν ο λ δεν ορίζεται,τότε θα έχουμε κατακόρυφη εφαπτομένη δηλαδή μορφής ε: χκ, η οποία πρέπει να περνά από την αρχή των αξόνων άρα πρέπει χ0. Επίσης πρέπει η απόσταση του κέντρου από την ευθεία να ισούται με την ακτίνα, δηλαδή d(k, ε)ρ ή (Λάθος) Αρα δεν έχουμε κατακόρυφες εφαπτομένες, δηλαδή ο λ ορίζεται ) Για να εφάπτεται μία ευθεία στον κύκλο, πρέπει το σύστημά τους να έχει μοναδική λύση Το σύστημα αυτό έχει μοναδική λύση όταν η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει μοναδική λύση, δηλαδή όταν Δ0

15 8. Να βρείτε το Γεωμετρικό Τόπο των εικόνων Μ() του μιγαδικού Έστω για τον οποίο ισχύει Re(+ 5+ 7) Im( 6) x+ ψ και Μ(χ, ψ) η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο x+ψ (x+ 5) + ( ψ+ 7) Είναι () 6 x+ψ 6 (x ) + ( ψ 6) Οπότε Re( ) Im( 6) + 5 Άρα ο Γεωμ. Τόπος είναι η ευθεία χ-ψ+0 () x ψ 6 x ψ+ 0 9.Να βρείτε το Γεωμετρικό Τόπο των εικόνων Μ() του μιγαδικού αν ισχύει ότι οι εικόνες των μιγαδικών,, είναι συνευθειακά σημεία. Έστω x+ ψ και Μ(χ, ψ) η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο. Είναι 0+ οπότε η εικόνα του είναι το σημείο Α(0, (x+ψ) ψ+ x οπότε η εικόνα του είναι το σημείο Β(-ψ,χ) Αφού τα σημεία Α, Μ, Β είναι συνευθειακά, θα έχουμε r r det( ΑΜ, ΜB) 0 () Όμως ΑΜ r ( x, ψ ) και ΜΒ r ( ψ x,x ψ) και λόγω της () έχουμε x ψ x ψ 0 x(x ψ) ( ψ )( ψ x) 0 x +ψ x ψ παριστάνει κύκλο γιατί Α +Β -Γ(-) +(-) > 0. Α Β Το κέντρο του είναι Κ (, ) (, ) και η ακτίνα του είναι x ψ 0() ρ Η () 30. Για τους μιγαδικους και w ισχύουν και w 3-. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w. Έστω α+ β. Όμως α +β α +β ()

16 Έστω ακόμη w x+ ψ και οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο είναι τα σημεία Μ(χ, ψ). Έχουμε α β w 3- x+ψ 3( α+β) x+ψ 3( α+β) α+β ( α+β)( α β) α β ( ) x+ψ 3( α+β) x+ψ 3( α+β)-( α-β) α +β x x α α x + ψ α+ β () ψ ψ β β Η σχέση () λόγω της () γράφεται x ψ + x ψ + 6. (3) Άρα ο Γεωμ.Τόπος των εικόνων του μιγαδικού w είναι η έλλειψη με εξίσωση (3). 3. Έστω οι μιγαδικοί, w με w ( )+ 3 () Αν οι εικόνες Μ(Ζ) του μιγαδικού Ζ ανήκουν στην ευθεία (ε) x + 3ψ 0 να δείξετε οι εικόνες του μιγαδικού w,ανήκουν σε σταθερή ευθεία (δ), της οποίας να βρείτε την εξίσωση. Αν ( 3β) + β α+ β (, β R) Έστω ακόμη ότι ( ) ( 3β) +β + 3 [ ] α τότε θα ισχύει α+ 3 β 0 α 3β οπότε w x + ψ.είναι w ( ) + 3 x + ψ ( 3β) +β ( 3β) +β+ 3 x +ψ (5 β) + ( 3+ β) 5 x 5 β x β ψ+ 5 x 3 0 x ψ + 6 x +ψ 7 ψ + 3+ βψ 3 β Κατά συνέπεια οι εικόνες του μιγαδικού w,ανήκουν στην σταθερή ευθεία (δ) : x + ψ 7.

17 ( ) 3. Δίνεται η συνάρτηση f () όπου 0+ 0, + 0 Να βρείτε (α)τους f ( ) και f ( ) (β)το Γεωμ. Τόπο των εικόνων M () του μιγαδικού όταν f () R. (γ) Το Γεωμ. Τόπο των εικόνων M () του μιγαδικού όταν f (). (α) (β) ( )( ) ( )( 3) f ( ) ` + f ( ) ( ) + ( ) 0 f () R f () f () (+ ) ( ) (+ ) ( ) + () Έστω x + ψ και Μ(χ,ψ) οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο.η () ισοδύναμα γράφεται (x ψ) + (x ψ) (x+ψ) (x+ψ) (γ) x xψ x+ ψ x 0 άξονας ψ ψ ψ 0 άξονας x x xψ x+ ψ xψ 0 f () x + ( ψ ) (x ) +ψ + ( ψ ) ψ x() (x ) +ψ x +ψ ψ+ x x+ +ψ Κατά συνέπεια ο γ.τ. είναι η ευθεία (), δηλαδή η διχοτόμος της γωνίας χοψ. 33.Να βρείτε το Γεωμ. Τόπο των εικόνων M () του μιγαδικού, αν ισχύει + ( ) + 3 0

18 Έστω x + ψ και Μ(χ,ψ) οι εικόνες του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο. Η () ισοδύναμα γράφεται x ψ + (ψ) x +ψ ψ+ x + ( ψ ). + Κατά συνέπεια ο γ.τ. είναι κύκλος με κέντρο Κ(0,) και ακτίνα ρ. +α 3.Αν w με α R και α,τότε να αποδείξετε ότι: +α (α)ο w είναι φανταστικός αν και μόνο αν ο είναι φανταστικός αριθμός (β) Ισχύει w αν και μόνο αν ο w είναι πραγματικός αριθμός. ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΔΕΣΜΩΝ 99 (α)έχουμε w +α α I w w +α ++ α +α +α α +α ( α)(+α) ( +α)(+α) +α +α +α +α +α+α α α α α α+α+α+α 0 α(+ ) 0 α 0 (β) Έχουμε w + 0 I w w w +α +α +α +α +α α ( + α)( α)( + α)( + α) +α +α α+α +α α 0 +α α+α α+ α 0 α( ) R 35. Δίνεται η συνάρτηση και Re( ) 0 ( )(+ ) f() με C + (α) Να αποδείξετε ότι f f() (β) Να βρείτε το είδος της καμπύλης στην οπία ανήκουν τα σημεία M(x, ψ ) για τα οποία οι μιγαδικοί αριθμοί αx+ με α,β,χ,ψ R και αβ x 0 ικανοποιούν τη σχέση Re[ f()] 0 ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΔΕΣΜΩΝ 993 βψ

19 ( )( + ) f (+ )( ) (+ )( ) f() (+ ) (+ ) (α) Είναι ( + ) (β)έχουμε f() + + Για τους μιγαδικούς αριθμούς αx+ βψ με α,β,χ,ψ R και αβ x 0, α x +β ψ + βψ η παραπάνω σχέση γράφεται f() αx α x +β ψ βψ f() + () και επειδή Re[ f()] 0 η () αx αx α x +β ψ 0 α x +β ψ 0 α x +β ψ και επειδή α, β 0 αx x ψ θα είναι + ().Επομένως ( ) ( ) α β Αν α β τα σημεία Μ ( x, ψ) ανήκουν στην έλλειψη με εξίσωση την () Αν α β τα σημεία Μ ( x, ψ) ανήκουν στον κύκλο x + ψ ( ) (3) α Όμως Re( ) 0 x 0 Αν x 0 από (3) ψ ±.Κατά συνέπεια, από τον κύκλο εξαιρούνται τα β σημεία 0, και 0,- β β 36. Δίνεται η παράσταση Π (+ + )( + ) (α) Να γίνουν όλες οι δυνατές πράξεις και να απλοποιήσετε την παράσταση Π. (β) Να λυθεί στο C η εξίσωση (γ) Αν, οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης με Re( ) < 0 και Α, Β οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο και Γ είναι η εικόνα του μιγαδικού, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. (δ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(χ,ψ) για τα οποία ισχύει (ΜΑ) + ( ΜΒ ) (M Γ)

20 (α) Είναι ( + + )( + ) Π 5 + () (β) Είναι () (+ + )( + ) (γ) Είναι Α(-,-), Β(,-) και Γ(0,) οπότε έχουμε AB (,0) ΑΓ (3,) Οπότε έχουμε ΑΓ ΒΓ 3 ( ) κατά συνέπεια ΒΓ (,3) ΒΓ o Γ 90 ). (δ) Είναι Μ(χ,ψ) οπότε [( x ) + ( ψ+ ) ] ΑΓ. Άρα ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ( ( ΜΑ) + ( ΜΒ) ( ΜΓ) + +[ x ) + ( ψ+ ) ] x + ( ψ ) x + x+ +ψ ψ 6 ( [ ] + ψ+ + x x+ +ψ + ψ+ x + ψ 8ψ Έστω μιγαδικός αριθμός.να λυθεί η εξίσωση ν, ν N αν γνωρίζουμε οι εικόνες Μ(Ζ) του μιγαδικού Ζ ανήκουν στη διχοτόμο της ης και 3 ης γωνίας των αξόνων. Έστω x +ψ Η 0 φανερά είναι λύση. Αν 0 τότε x +ψ ().Όμως,λόγω υπόθεσης θα είναι και ψ x οπότε η ( ) x x ± και κατά συνέπεια + ή