Program: Statistică descriptivă

Transcript

1 nveseşe în oamen! Proec cofnanţa dn Fondul Socal European prn Programul Operaţonal Secoral Dezvolarea Resurselor Umane 7 3 Axa prorară Educaţa ş formarea profesonală în sprjnul creşer economce ş dezvolăr soceăţ bazae pe cunoaşere Domenul major de nervenţe. Calae în învățămânul superor Tlul proeculu e-learnng efcen, ndvdualza ș Adapv penru învățămân la dsanță (e-lada) Conrac POSDRU/56/./G/3368 Program: Sască descrpvă Modul: Ssemazarea ş prezenarea daelor sasce Tema: Populaţa sască ş varablele sasce (6 eore, 3 praccă). Cuprnsul secvențe Înțelesur majore ale comuncăr. Ce sun populaţa sască ş varablele?. Tpur de varable.. Obecvele secvențe Însuşrea corecă a noţunlor de populaţe sască ş varable; denfcarea corecă a purlor de varable.. Cuvne-chee Populaţe sască, varablă canavă ş calavă, varablă arbuvă, emporală ş spaţală. FODUL SOCAL EUROPEA nveseşe în OAME ROMÂA UVERSTATEA BABEŞ-BOLYA CLUJ-APOCA CETRUL DE FORMARE COTUĂ, ÎVĂȚĂMÂT LA DSTAȚĂ Ș CU FRECVEȚĂ REDUSĂ Sr on.c.brăanu, nr., Cluj-apoca Tel.: () Fax: ()

2 . Ce ese populaţa sască? Populaţa sască repreznă mulţmea elemenelor smple sau complexe, de aceeaş naură, care au una sau ma mule însuşr esenţale comune, propr elemenelor câ ş populaţe prvă ca un o unar (Buga, Dragoş, e al, 5). O populaţe ese fnă dacă nclude un număr deermna de elemene, dar ea poae f consderaă drep reprezenavă penru o populaţe eorecă nfnă. Cre Ca urmare apare necesaea de a delma o populaţe în: conţnu, spaţu ş mp. Se ma denumeşe ş populaţa unvers. Exemple de populaţ sasce: mulţmea persoanelor dnr-o anumă ţară (localae, zonă ec.) în anul, mulţmea gospodărlor dn Româna, la momenul, mulţmea consumaorlor unu produs, mulţmea soceăţlor producăoare sau concurene ale unu produs, mulţmea soceăţlor dsrbuoare, angajaţ une soceăţ, ec. Se noează cu majusculele de la începuul alfabeulu: A, B, C ec. Unaea sască consue elemenul componen, al populaţe sasce, asupra cărua se va efecua nemjloc observarea. Unaea sască ese purăorul orgnar de nformaţe sau subecul logc al nformaţe sasce. Daoră vareăţ aspecelor sub care se poae prezena în fap, unaea sască comporă o defnţe precsă, care să excludă prn posblae de nerpreare dferă de căre observaor ş asfel orce eroare ce poae prejudca valoarea nvesgaţe. În exemplele cae ma sus, unăţle sasce sun: persoana, gospodăra, consumaorul, soceaea producăoare sau concurenă, soceaea dsrbuoare, angajaul ec. Se noează cu mnusculele corespunzăoare majuscule ce smbolzează populaţa sască, respecv a, b ec.. Volumul populaţe repreznă numărul unăţlor sasce care alcăuesc populaţa sască, Acesa poae f fn sau nfn, în funcţe de pul populaţe care poae f la fel fnă sau nfnă. Se noează cu, ar penru o populaţe A, avem: A : {a, a,, a} Eşanon repreznă o submulţme a une populaţ sasce, consuă după crer bne sable. În rapor cu procedeul de formare a eşanonulu avem eşanoane aleaoare ş eşanoane drjae. Eşanonul aleaor ese forma dn unăţle sasce care rezulă prnr-un procedeu aleaor: procedeul rager la sorţ, abelul cu numere înâmplăoare, procedeul exragerlor ssemace. Eşanonul drja ese consu pe baza unor nformaţ auxlare exsene la nvelul populaţe sudae sau lăsând lber pe ancheaor să aleagă unăţle respecând doar realzarea srucur eşanonulu în funcţe de crerle sable. Se noează cu n. Majoraea sudlor au ca supor daele provene de la nvel de eşanon, de ac mporanţa consur acesua ş mplc, apelarea la nferenţa sască, penru a esma paramer la nvelul populaţe unvers.. Ce sun ş cum se clasfcă varablele sasce? Cre Varabla sască repreznă o însuşre sau o răsăură comună uuror unăţlor une populaţ. velul înregsra de o varablă sască la o unae oarecare al populaţe se numeşe realzare sau sarea varable (Buga, Dragoş, e al, 5). În general se noează cu majusculele de la sfârşul alfabeulu,, Y, Z ec. Dacă se noează cu o varablă sască oarecare, aunc cu x, x,, x se vor noa sărle varable respecve.

3 Varablele sasce se clasfcă în rapor cu naura, modul de exprmare ş modul de varaţe. a) După naura lor varablele sasce po f arbuve, de mp ş de spaţu. Varabla arbuvă exprmă un arbu sau însuşre esenţală (ala, decâ mpul sau spaţul) unăţlor populaţe; Varabla de mp ne araă mpul în care au lua fnţă unăţle populaţe sau peroada de mp în care au exsa (exsa); Varabla de spaţu ne araă spaţul în care exsă sau au lua naşere unăţle populaţe. b) După modul de exprmare a sărlor deosebm: Varablă canavă ese varabla ale căre săr se exprmă prn valor numerce. Se ma numeşe ş varablă mercă. Varablă calavă ese varabla ale căre săr se exprmă prn cuvne sau codur. Se ma numeşe varablă nomnală (sărle se exprmă prn cuvne) sau varablă ordnală (sărle se exprmă prn codur). c) După modul de varaţe varabla canavă poae f: Varablă dscreă ese acea varablă care, în nervalul său de defnţe înregsrează cel mul valor raţonale, varaţa are loc în salur. Varablă connuă ese acea varablă care poae lua orce valoare reală dn nervalul său de varaţe. Exemple de varable sasce relav la populaţa formaă dn mulţmea consumaorlor unu produs: vârsa: varablă arbuvă, canavă, connuă { x [5-) [-3) } frecvenţa de cumpărare: varablă arbuvă calavă Y { - foare rar; rar, } număr de sormene cumpărae relav la produsul analza: varablă arbuvă, canavă, dscreă: Z { z ; z, } localzarea magaznelor de unde cumpără: varablă de spaţu, calavă S { s carerul M sau s srada P, } daa ulme cumpărăr a produsulu analza: varablă de mp, canavă T { 7..; 4.., } Varabla aleaoare ese varabla care poae lua orce valoare dn valorle une mulţm fne sau nfne, cu o anumă probablae, rezulaă dnr-o funcţe asocaă varable, numă lege de probablae. Ca ş varabla sască, varabla aleaoare în rapor cu valorle sale poae f dscreă sau connuă. În mp ce o varablă aleaoare înregsrează valor la înâmplare, varabla sască consue o însuşre ceră a unăţlor sasce dn populaţe. Valorle une varable aleaoare sun probable ş în srânsă legăură cu un anum expermen. Sărle une varable sasce nu sun probable, ele cuanfcă o răsăură propre fecăre unăţ dn populaţe. Varabla aleaoare ese varabla care poae lua orce valoare dn valorle une mulţm fne sau nfne, cu o anumă probablae, rezulaă dnr-o funcţe asocaă varable, numă lege de probablae. Ca ş varabla sască, varabla aleaoare în rapor cu valorle sale poae f dscreă sau connuă. În mp ce o varablă aleaoare înregsrează valor la înâmplare, varabla sască consue o însuşre ceră a unăţlor sasce dn populaţe. Valorle une varable aleaoare sun probable ş în srânsă legăură cu un anum expermen. Sărle une varable sasce nu sun probable, ele cuanfcă o răsăură propre fecăre unăţ dn populaţe. 3

4 În majoraea cazurlor, în sască sudem populaţ sasce. Aproape o aparaul ehnc ese dezvola în aces scop, respecv oaă srucura de organzare ş prelucrare a daelor. Uneor însă ese necesar sudul sasc al une sngure unăţ, ma ales în cazurle în care ea ese foare complexă (o ţară). Temă de reflecţe Sasca aplcaă în şnţele socale nu are rgdaea une şnţe perfec exace. De exemplu vârsa une persoane ese prn naura e o varablă connuă, varază pracc în orce momen de mp. În schmb, în orce surse de dae o găsm exprmaă doar în an înreg. Ca urmare, dsponblaea daelor ne oblgă să o folosm ca o varablă dscreă ş să ulzăm meode de prelucrae adecvae. Şaţ că? oţunle expuse în aceasă emă sun relav recene în sora omenr (aprox. două secole). Deş par noţun smple, ulzarea lor nu a fos posblă mulă vreme, daoră condţlor sorce care au facu ma dfclă dezvolarea şnţelor socale în rapor cu şnţele naur. Prn comparaţe, amnm ca logarm au fos descoperţ ş ulzaţ acum două mlen. Calculaț Daţ re exemple de populaţ sasce foare dfere înre ele: a. O populaţe formaă dn persoane b. O populaţe formaă dn unaţ complexe (ţăr, soceăţ comercale, ec) c. O populaţe sască foare dferă de cele aneroare. Praccă Penru fecare dn cele re populaţ pe care le-aţ lua în consderare, daţ exemplu de cel puţn zece varable în rapor cu care populaţa ar puea f sudaă. Clasfcaţ varablele în rapor cu oae crerle cunoscue: naura lor modul de exprmare modul de varaţe 4

5 nveseşe în oamen! Proec cofnanţa dn Fondul Socal European prn Programul Operaţonal Secoral Dezvolarea Resurselor Umane 7 3 Axa prorară Educaţa ş formarea profesonală în sprjnul creşer economce ş dezvolăr soceăţ bazae pe cunoaşere Domenul major de nervenţe. Calae în învățămânul superor Tlul proeculu e-learnng efcen, ndvdualza ș Adapv penru învățămân la dsanță (e-lada) Conrac POSDRU/56/./G/3368 Program: Sască descrpvă Modul: Ssemazarea ş prezenarea daelor sasce Tema: Sera de dsrbuţe (6 eore, 3 praccă). Cuprnsul secvențe Înțelesur majore ale comuncăr. Ce ese sera de dsrbue?. ndcaor specfc - frecvene.. Obecvele secvențe Însuşrea corecă a noţunlor sere sască, sere de dsrbuţe, frecvenţe. Calculul corec al frecvenelor.. Cuvne-chee Sere sască, sere de dsrbuţe, frecvenţă absoluă, frecvenţă relavă. FODUL SOCAL EUROPEA nveseşe în OAME ROMÂA UVERSTATEA BABEŞ-BOLYA CLUJ-APOCA CETRUL DE FORMARE COTUĂ, ÎVĂȚĂMÂT LA DSTAȚĂ Ș CU FRECVEȚĂ REDUSĂ Sr on.c.brăanu, nr., Cluj-apoca Tel.: () Fax: ()

6 Sera sască ese o consrucţe care redă fe dsrbuţa une populaţ în rapor cu una sau ma mule varable, fe varaţa une mărm în mp, în spaţu sau de la o caegore la ala. Defnţe Clasfcarea serlor sasce În rapor cu numărul varablelor După naura varablelor deosebm: După modul de exprmare a sărlor varable deosebm: În rapor cu naura ndcaorulu dn care ese alcăuă sera, avem: Ser sasce undmensonale, au la bază o sngură varablă; Ser sasce muldmensonale, care au la bază două sau ma mule varable. Ser arbuve, care au la bază varable arbuve; Ser cronologce (de mp sau sorce), care au la bază varable de mp; Ser de spaţu sau erorale, care au la bază o varablă de spaţu. Ser calave, care au la bază varable calave; Ser canave, care au la bază varable canave ş care după modul de varaţe a varable po f: dscree (când varabla ese dscreă) ş connue (când varabla ese connuă). Ser de frecvenţă sau ser de dsrbuţe (reparţe); Ser de varaţe. Sera sască ce redă varaţa une mărm în mp, în spaţu sau de la o caegore la ala se numeşe sere de dsrbuţe. Defnţe 6

7 Cre ndcaor specfc a sere de dsrbue Conform defnţe de ma sus, prn aceasă sere se dsrbue unăţle une populaţ sasce în rapor cu una sau ma mule varable. Fe o sere sască undmensonală având la bază varabla, respecv: x : x ese frecvenţa absoluă a clase,, R ş repreznă numărul de unăţ ale populaţe dn clasa penru care varabla a înregsra valoarea R. Clasa (grupa) de unăţ în rapor cu o varablă reuneşe acele unăţ dn cadrul populaţe care înregsrează aceeaş sare a varable sau sărle varable aparţnând unu anum nerval de varaţe. Ca urmare, în rapor cu o varablă sască populaţa poae f srucuraă înr-un anum număr d e clase. De asemenea, relav la sera sască undmensonală având la bază varabla, poae f formaă cu frecvfvenţe relave, frecvenţe cumulae absolue sau relave. Fe sera formaă cu frecvenţe relave: x x x xr : f f f f R f - ne araă ponderea unăţlor dn populaţe care au înregsra penru varabla sarea x: Pornnd de la sera nţală se poae deduce sera formaă cu frecvenţe absolue cumulae, respecv: x x x xr : (x ) (x ) (x ) (xr ) unde: (x) repreznă numărul de unăţ dn populaţa sudaă penru care varabla înregsrează valor ce nu depăşesc valoarea x. Pornnd de la sera nţală se poae deduce sera formaă cu frecvenţe relave cumulae, respecv: : F unde: F(x) - exprmă ponderea unăţ populaţe sudae penru care varabla a înregsra valor ce nu depăşesc valoarea x. F(x) f + f + + f x x f, R x ( x ) x F ( x ) R R x F ( x ) xr F ( x R ) Sera sască de reparţe bdmensonală ese o consrucţe ce redă dsrbuţa une populaţ în rapor cu două varable. Asfel, fe populaţa sască A sudaă în rapor cu varablele ş Y, rezulaele observăr se po grupa înr-un abel de forma urmăoare: 7

8 Y x x xj xj Toal j j - j - j - - J J - J - J Toal...j.J j - repreznă numărul de unăţ penru care, varabla înregsrează sarea xj ş varabla Y înregsrează sarea ;. - numărul de unăţ penru care Y, ndferen de nvelul înregsra de varabla ;.j - numărul de unăţ penru care xj, ndferen de nvelul înregsra de varabla Y; - numărul oal de unăţ analzae. Dn sera bdmensonală se po exrage ser undmensonale de forma urmăoare: x x x j xj :... j. J Y :.... denume ş ser de reparţe margnale, în rapor cu ş Y Y / x : j j, J j j j j denumă sere de reparţe undmensonală în rapor cu Y condţonaă de xj, numărul acesora fnd egal cu numărul de săr a varable. x x x j xj / Y :,. j J denumă sere de reparţe undmensonală în rapor cu condţonaă de Y, numărul acesora fnd egal cu numărul de săr a varable Y. De asemenea se poae elabora sau deduce sera de reparţe bdmensonală formaă cu frecvenţe relave, unde: j.. j f j f. f. j, j, J 8

9 Praccă Penru fecare dn cele re populaţ pe care le-aţ lua în consderare în aplcaţa de la secvenţa aneroară, alegeţ câe două varable în rapor cu care consruţ: serle undmensonale formae cu frecvenţele absolue serle bdmensonale formae cu frecvenţe absolue serle condţonae formae cu frecvenţele absolue Calculaț Calculul frecvenţelor dervae Penru serle consrue în aplcaţa de ma sus, calculaţ serle dervae cu ndcaor: frecvenţa absoluă cumulaă frecveţa relavă frecvenţa relavă cumulaă 9

10

11 nveseşe în oamen! Proec cofnanţa dn Fondul Socal European prn Programul Operaţonal Secoral Dezvolarea Resurselor Umane 7 3 Axa prorară Educaţa ş formarea profesonală în sprjnul creşer economce ş dezvolăr soceăţ bazae pe cunoaşere Domenul major de nervenţe. Calae în învățămânul superor Tlul proeculu e-learnng efcen, ndvdualza ș Adapv penru învățămân la dsanță (e-lada) Conrac POSDRU/56/./G/3368 Program: Sască descrpvă Modul: Ssemazarea ş prezenarea daelor sasce Tema: Sera de varaţe (6 eore, 3 praccă). Cuprnsul secvențe Înțelesur majore ale comuncăr. Ce ese sera de varaţe?. ndcaor specfc dferenţe, ndc, rmur.. Obecvele secvențe Însuşrea corecă a noţun de sere de varaţe. Calculul corec al ndcaorlor dervaţ.. Cuvne-chee Sere de varaţe, ndcaor de nvel, ndcaor de nensae, dferenţa absoluă, ndce, dferenţă relavă, rm. FODUL SOCAL EUROPEA nveseşe în OAME ROMÂA UVERSTATEA BABEŞ-BOLYA CLUJ-APOCA CETRUL DE FORMARE COTUĂ, ÎVĂȚĂMÂT LA DSTAȚĂ Ș CU FRECVEȚĂ REDUSĂ Sr on.c.brăanu, nr., Cluj-apoca Tel.: () Fax: ()

12 Defnţe Conform defnţe sera de varaţe redă varaţa une mărm, în mp, în spaţu sau de la o caegore la ala. Ca urmare, în connuare vom vorb de ser cronologce (au la bază o varablă de mp), ser de spaţu (au la bază o varablă de spaţu) ş ser caegorale (au la bază varable arbuve). Cele ma des înâlne sun serle cronologce ş serle de spaţu. Cre ndcaor a sere de varaţe Serle de varaţe au la bază mărm absolue ş relave. După un auor dn cadrul mărmlor absolue fac pare ndcaorul de nvel ş dferenţa absoluă a une mărm, ar dn cadrul mărmlor relave fac pare: ndcaorul relav de nensae, ndcele sasc ş dferenţa relavă a une mărm. ndcaorul de nvel (Y) ese o mărme ce reflecă nvelul unu fenomen analza. De exemplu: producţa dferelor produse, venurle populaţe, suprafaţa culvaă cu prncpalele culur, ransporul, exporul, mporul ec. Dferenţa absoluă a une mărm ( Y ) exprmă dferenţa dnre nvelul cercea ş nvelul bază de comparaţe al mărm analzae. Se exprmă în aceeaş unae de măsură în care ese cuanfca fenomenul analza ş ne araă cu câ s-a modfca acesa de la un nvel la alul. ndcele sasc al une mărm ( Y ) exprmă raporul dnre nvelul cercea ş nvelul bază de comparaţe al mărm analzae. e araă de câe or se modfcă acea mărme, de la un nvel la alul. Dferenţa relavă a une mărm ( R Y ) exprmă raporul dnre dferenţa absoluă a mărm respecve ş nvelul bază de comparaţe al acesea. e araă cu câ la suă se modfcă mărmea de la un nvel la alul. ndcaorul relav de nensae (d) se defneşe ca rapor înre do ndcaor de nvel de naură dferă ş araă gradul de răspândre a fenomenulu cuanfca de ndcaorul de la numărăor în rapor cu fenomenul cuanfca de ndcaorul de la numor. De exemplu: producţa dferelor culur / ha, densaea populaţe, producţa prncpalelor produse/ locuor, raa şomajulu ec. Greuaea specfcă (g) reflecă srucura fenomenulu analza în rapor cu sărle varable, de la baza sere. Serle cronologce Sera cronologcă reflecă evoluţa în mp a une mărm. Valorle varable ca funcţe de mp po f fxae la un anum momen de mp sau să se refere la un nerval de mp. Sera cronologcă de momene ese o sere de observaţ ordonae în mp, exprmând socur De exemplu, volumul populaţe, număr de unversăţ, bănc, nsuţ, fondur fxe, numărul salaraţlor, înreprnderle mc ş mjloc dn dfere domen de acvae, unăţle de cazare urscă ec. Înr-o asfel de sere însumarea mărm analzae nu are sens dn punc de vedere al conţnuulu, aceasa fnd permsă dn consderene de calcul, ajusăr ec. Sera cronologcă de nervale ese o sere de observaţ ordonae în mp exprmând fluxur. De exemplu: născuţ v, dvorţurle, decesele, producţa dferelor culur sau produse, venur, cheluel, producţa ndusrală, agrcolă, exporul, mporul ec. Înr-o asfel de sere are sens însumarea mărm analzae. Fe o sere cronologcă de momene sau de nervale ce reflecă evoluţa în mp a nvelulu une mărm Y,

13 Y : T T Pornnd de la aceasă sere se po deduce serle formae cu dferenţe absolue, ndc ş dferenţe relave. În funcţe de modul de raporare a sărlor varable mp, mărmle de ma sus se po calcula cu bază fxă ( / ) (baza de comparaţe rămâne aceeaş) sau cu bază în lanţ ( / -) (baza de comparaţe se schmbă, fnd consderaă cea precedenă nvelulu compara). Fe serle cronologce formae cu: dferenţe absolue cu bază fxă: : dferenţe absolue cu bază în lanţ / / / / T / / ( ) () / : / / / T / T / ( ) ( ) Înre cele două pur de dferenţe absolue cu baza fxă ş cu bază în lanţ, exsă relaţ de legăură ce ne perm exprmarea unora în funcţe de celelale. În aces conex, însumând dferenţele absolue cu baza în lanţ se obţn dferenţele absolue cu baza fxă. / / + Scăzând dferenţele succesve cu bază fxă se obţn dferenţele cu bază în lanţ. / / / + 3 / + + ( ) () ( ) + () Dferenţa absoluă ne araă cu câ se modfcă mărmea analzaă de la un momen la alul. Se exprmă în aceeaş unae de măsură în care ese cuanfca fenomenul suda. Dacă fenomenul analza se exprmă valorc, aunc dferenţa absoluă nu reflecă prea bne modfcărle ce nervn, mpunându-se ulzarea mărmlor relave respecve, ndcele sasc ş dferenţa relavă. Fe serle cronologce formae cu: ndc sasc cu bază fxă ndc sasc cu bază în lanţ / : / / T T / / : / / / T / T / / / ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) T T / T / 3

14 4 / / / / () ) ( ) ( ) (.. () (). () ()... Împărţnd do ndc succesv cu bază fxă se obţne un ndce cu bază în lanţ: ndcele sasc ne araă de câe or se modfcă fenomenul analza. Ese mărmea cel ma des folosă în caracerzarea evoluţe fenomenelor dn econome. Având ca bază de refernţă o sere cronologcă se po elabora ser formae cu: dferenţe relave cu bază fxă / / / ) ( ) ( () ) ( : () ) ( : / / / / / : T R R R R T R () ) ( () () ) ( () / / / R ndcaor a sere de varaţe Înre cele două pur de ndc exsă urmăoarele relaţ de legăură: Făcând produsul ndclor cu bază în lanţ până la o anumă sare a varable, se obţne ndcele cu bază fxă al clase respecve. Cre dferenţe relave cu bază în lanţ / / / / / : T T R R R R T R. sau ) ( / / / / R Aceasă mărme la fel ca ş ndcele sasce, se foloseşe frecven în caracerzarea fenomenelor dn econome. Dacă sera cronologcă analzaă ese de nervale, se poae deduce sera formaă cu greuaea specfcă: T g g g g g T g : T g ) ( ) ( ) ( Sera sască de spaţu (erorală) Sera sască de spaţu ese o consrucţe sască ce reflecă varaţa în spaţu a une mărm. Sera de spaţu preznă o mporanţă dn ce în ce ma mare, daoră dezvolăr ssemulu nformaţonal, a necesăţ comparaţlor nernaţonale ş a comparaţlor înre regunle une ţăr. În cadrul Anuarulu Sasc al Române exsă capole dsnce de Sască erorală ş Sas-

15 că nernaţonală. În capolul de Sască erorală sun cuprnse nformaţ prvnd: populaţa, forţa de muncă, condţ de muncă, venurle populaţe, cheluelle ş consumul populaţe, locunţe, assenţă socală, sănăae, învăţămân, culură, spor, conur naţonale, rezulae ş performanţe ale înreprnderlor, agrculură, slvculură, ndusre, ransporur, poşă, elecomuncaţ, ursm, fnanţe, jusţe ş sarea nfracţonală, pe cele 7 regun ş Bucureş. La baza sere de spaţu se găsesc aâ mărm absolue (ndcaor de nvel, dferenţa absoluă), câ ş mărm relave (ndcaor relav de nensae, ndcele sasc, dferenţa relavă). Fe sera sască Z, de forma urmăoare: s ese o sare a varable ce exprmă spaţul, ; Z() exprmă o mărme (ndcaor de nvel sau relav de nensae). Plecând de la sera de forma (.5) se po deduce serle formae cu: dferenţe absolue cu bază fxă: s / s Z ndc sasc cu bază fxă dferenţe relave cu bază fxă s Z : Z() s / s Z s Z() s s R : s / s s / s s / s sr / s Z Z Z Z s s s s / s Z s Z(3) s Z( ).( ) Z() s Z( ) R : s / s s / s s / s sr / s Z Z Z Z s s / s Z s Z( ).( ) Z() sr Z( R) s s R s / s Z s s s R : s / s s / s s / s sr / s RZ RZ RZ RZ s / s Z s / s Z Z() s / s Z s s Calculaț Dn Anuarul Sasc sau ale surse nformaţonale exrageţ două ser cronologce având la bază ndcaorul de nvel, una de momene, ala de nervale ş deduceţ serle formae cu dferenţe absolue, ndc sasc, dferenţe relave, cu bază fxă ş cu bază în lanţ (nerpreăr). Dn Anuarul Sasc sau ale surse nformaţonale exrageţ o sere de spaţu formaă cu ndcaor de nvel sau ndcaor relav de nensae ş deduceţ serle formae cu dferenţe absolue, ndc ş dferenţe relave, calculae cu bază fxă. nerpreare. Exrageţ exemple de ser de spaţu ce conţn nformaţ mporane penru domenul economc. 5

16 Tes Produsul nern bru (PB) al une ţăr a crescu în 6 faţă de 5 cu % ş a scăzu în 7 faţă de 6 cu %. Cu câ s-a modfca procenual PB în 7 faţă de 5? Produsul nern bru pe locuor (PB/loc) ese de 364$ în Franţa ş de 638$ în Spana. Deermnaţ: a) cu câ la suă ese ma mare PB/loc în Franţa faţă de Spana? b) cu câ la suă ese ma mc PB/loc în Spana decâ în Franţa? 3. Salarul lu Vasle ese de 53 le, cu 38,4% ma mc decâ salarul lu le. Care ese salarul lu le? 6

17 nveseşe în oamen! Proec cofnanţa dn Fondul Socal European prn Programul Operaţonal Secoral Dezvolarea Resurselor Umane 7 3 Axa prorară Educaţa ş formarea profesonală în sprjnul creşer economce ş dezvolăr soceăţ bazae pe cunoaşere Domenul major de nervenţe. Calae în învățămânul superor Tlul proeculu e-learnng efcen, ndvdualza ș Adapv penru învățămân la dsanță (e-lada) Conrac POSDRU/56/./G/3368 Program: Sască descrpvă Modul: Ssemazarea ş prezenarea daelor sasce Tema: Reprezenăr grafce (6 eore, 3 praccă). Cuprnsul secvențe Înțelesur majore ale comuncăr. Ce sun grafcele sasce. Tpur de grafce sasce. Obecvele secvențe Alegerea pulu adecva de reprezenare grafcă în concordanţă cu daele dore a f reprezenae. Alegerea cele ma corece ş sugesve fgur penru fenomenul reprezena.. Cuvne-chee Hsogramă, graphc de srucură, nor de punce, cronogramă, carogramă, carodagramă. FODUL SOCAL EUROPEA nveseşe în OAME ROMÂA UVERSTATEA BABEŞ-BOLYA CLUJ-APOCA CETRUL DE FORMARE COTUĂ, ÎVĂȚĂMÂT LA DSTAȚĂ Ș CU FRECVEȚĂ REDUSĂ Sr on.c.brăanu, nr., Cluj-apoca Tel.: () Fax: ()

18 Reprezenarea grafcă a une ser ne dă o magne geomercă (în plan sau spaţu) cu prvre la forma sacă sau evoluţa dnamcă a fenomenulu cuanfca de sera respecvă. Grafcul asoca une ser consue o magne spaţală a fenomenulu de cercea, permţând evdenţerea Defnţe rapdă a srucur, dnamc ş endnţe de dezvolare a acesua. Reprezenărle grafce sun folose aâ în scopul cunoaşer populaţe în cauză, câ ş penru popularzarea unor rezulae dn dverse domen de acvae. Elemenele unu grafc Tlul grafculu rebue să fe scur, clar ş semnfcav penru conţnuul fenomenulu relefa prn sera consderaă. Scara de reprezenare reuneşe mulţmea uuror puncelor coae. În cazul în care varabla Cre înregsrează valor mc, gradarea scăr începe în prncpu de la zero, dacă varabla înregsrează valor mar se consderă o ală orgne sablă cu aproxmaţe. Penru a nu încărca prea mul desenul, se recomandă reprezenarea pe scară doar a valorlor dspuse la un anum nerval convenabl ales. Dsanţele dnre două punce coae consecuve se numeşe nervalul grafculu. Când nervalele sun egale aunc avem scăr unforme, în caz conrar avem scăr neunforme. Scara armecă ese o scară unformă în mp ce scara logarmcă sau cea bnomală consue exemple de scăr neunforme. Reţeaua grafculu perme denfcarea cu uşurnţă în plan sau în spaţu a puncelor corespunzăoare valorlor înregsrae de varablele în cauză. Ssemul axelor recangulare (în plan sau spaţu) consue cele ma uzuale reţele în reprezenarea grafcă a serlor sasce. Semnele convenţonale se po maeralza înr-o reprezenare grafcă prn nscrpţ, fe prnr-o legendă. nscrpţa rebue să fe scură ş semnfcavă ş plasaă câ ma bne în rapor cu elemenul dn grafc pe care îl explcează. Legenda se foloseşe penru a explca folosrea semnelor, culorlor sau dverselor haşur folose în grafcul în cauză. Tpur de grafce Hsograma. Grafcul specfc serlor care au la bază o varablă connuă (de nervale) ese hsograma. Aceasa se consrueşe înr-un ssem de axe recangulare după cum urmează: pe abscsă se rec nervalele de varaţe, ar pe ordonaă se rasează scara frecvenţelor. Laura Cre necunoscuă a drepunghulu, noaă cu L se deermnă dn urmăoarea relaţe: L. l k. l laura cunoscuă a drepunghulu corespunzăor nervalulu (x- - x); L laura necunoscuă a drepunghulu corespunzăor nervalulu (x- - x); frecvenţa absoluă a clase ; k un coefcen de proporţonalae care se alege în rapor cu scara de reprezenare. 8

19 Dagramele de srucură Punerea în evdenţă sub formă grafcă a srucur une populaţ sasce ese posblă apelând la dagramele de srucură: drepunghul, păraul, cercul ş semcercul de srucură. Acese pur de grafce perm reprezenarea grafcă a serlor undmensonale consrue cu mărm de srucură (frecvenţe relave, greuae specfcă). Cel ma des folos ese cercul de srucură denum ş dagrama secorală (pechar). Rezulaele alegerlor parlamenare dn 3 nov % 4.9% 7.7% 6.% 37% CDR PDSR USD UDMR PRM PUR 8.7% Dagramele prn benz (barchar) Aces p de grafc ulzează benzle (barele), penru a reprezena dsrbuţa une populaţ în rapor cu o varablă canavă dscreă sau calavă. Benzle au aceeaş lăţme (bază), ar lungmea (înălţmea) lor ese drec proporţonală cu frecvenţa clase reprezenae. umărul benzlor ese egal cu numărul claselor în care ese împărţă populaţa sudaă. De asemenea se po lua în consderare o varablă sau două. În reprezenăr se ulzează benz smple sau benz grupae. Pozţa benzlor poae f orzonală sau vercală. 9

20 Bulgara Ceha Polona Româna Slovaca Ungara Cronograma O caegore foare mporană de ser o consue serle cronologce, a căror reprezenare grafcă se realzează prn cronograme. Trasarea une cronograme se realzează înr-un ssem de axe recangulare. Se consderă sera cronologcă de forma: Y : T T unde:, T, repreznă momenele (sau peroadele) de mp care se repreznă pe axa abscselor, ar mărmle se repreznă pe axa ordonaelor. Fecăre perech de valor (, ), î corespunde un punc în planul axelor recangulare. Unnd prn segmene de dreapă puncele consecuve, asfel deermnae, se obţne ceea ce se numeşe cronogramă Carograma ş carodagrama Acese pur de grafce se folosesc frecven penru reprezenarea grafcă a serlor sasce de spaţu. Realzarea une carograme sau a une carodagrame presupune conurarea spaţulu (sub formă de hară) în nerorul cărua se manfesă fenomenul care ese cuanfca de sera de reprezena. În nerorul hărţ asfel realzaă, prn dverse culor sau nuanţe ale aceleaş culor, prn haşur sau prn dfere dagrame, ese evdenţaă nensaea dezvolăr fenomenulu cercea precum ş mărmea ndcaorlor sere. Carodagrama

21 consue o modalae de reprezenare grafcă a serlor de spaţu, realzându-se ca o îmbnare înre carogramă ş dfere ale pur de dagrame, ca de exemplu dagrame prn benz, cerc, păra, drepungh ec. orul sasc orul sasc consue o modalae de reprezenare grafcă a serlor arbuve de reparţe bdmensonale. Se consderă o sere bdmensonală de reparţe în rapor cu varablele dscree ş Y. În ssemul de axe recangulare xo se marchează oae puncele de coordonae (xj, );, ; j, J Praccă Penru fecare abel de dae de ma jos, gasţ un echvalen (al ndcaor, ală populaţe sudaă) în surse de dae elecronce.. Populaţa Române sub 4 de an pe grupe de vârsă Grupa de vârsă (an) Populaţa

22 . Dsrbuţa vourlor elecoraulu penru Sena la alegerle dn 3 noembre 996: Formaţunea Polcă Vour Obţnue (%) CDR PDSR USD UDMR PRM PUR PB/loc în $ în Româna ş ale ţăr es-europene, în 998 Ţara Bulgara Ceha Polona Româna Slovaca Ungara PB/loc ($) umărul oal de auoursme înscrse în crculaţe la sfârşul anulu în Româna în peroada Anul Auoursme înmarculae 5. Un produs a fos lansa smulan pe 3 peţe. Pe acese peţe, produsul a fos propus la preţur dfere (P), venurle consumaorlor (V) fnd ş ele dfere. Penru fecare paă s-a înregsra un anum nvel al cerer, rezulaele fnd snezae în abelul urmăor: r. Cr Cerere 5,4 3, 4,9,5 8, 5, 7,6,3 4, 6,4 3, 8,8, Preţ (P),4 5,,5,7,8 3,4,,6 3,6 3,5,9,8,9 Calculaț Penru serle exrase după modelul de ma sus, consruţ urmăoarele grafce: Hsograma Cercul de srucură Dagrama prn benz Cronograma orul de punce Tes Penru fecare dn fgurle de ma jos enumeraţ pul de sere ş varable corespunzăor: Hsograma Dagramele de srucură Dagramele areale orul sasc Cronograma Carograma Carodagrama

23 nveseşe în oamen! Proec cofnanţa dn Fondul Socal European prn Programul Operaţonal Secoral Dezvolarea Resurselor Umane 7 3 Axa prorară Educaţa ş formarea profesonală în sprjnul creşer economce ş dezvolăr soceăţ bazae pe cunoaşere Domenul major de nervenţe. Calae în învățămânul superor Tlul proeculu e-learnng efcen, ndvdualza ș Adapv penru învățămân la dsanță (e-lada) Conrac POSDRU/56/./G/3368 Program: Sască descrpvă Modul: Ssemazarea ş prezenarea daelor sasce Tema: Meda armecă (6 eore, 3 praccă). Cuprnsul secvențe Înțelesur majore ale comuncăr.oţunea de valoare mede.meda armecă defnre, mod de calcul, propreăţ. Obecvele secvențe Însuşrea corecă a noţunlor valoare mede ş mede armecă. Calculul ş nerprearea corecă a mede armece.. Cuvne-chee Valoare mede, mede armecă, propreăţ ale mede, propreaea de adţune a mede armece. FODUL SOCAL EUROPEA nveseşe în OAME ROMÂA UVERSTATEA BABEŞ-BOLYA CLUJ-APOCA CETRUL DE FORMARE COTUĂ, ÎVĂȚĂMÂT LA DSTAȚĂ Ș CU FRECVEȚĂ REDUSĂ Sr on.c.brăanu, nr., Cluj-apoca Tel.: () Fax: ()

24 Defnţe Valoarea mede În vederea defnr paramerulu valoarea mede se consderă o populaţe sască sudaă în rapor cu varabla canavă ş o funcţe G(x,x,,xR) unde x,, R, repreznă sărle varable. Funcţa G exprmă o anumă însuşre esenţală, un arbu al populaţe în rapor cu varabla. Aceasă funcţe se numeşe funcţe deermnană. Prn defnţe, valoarea mede a varable ese paramerul care lasă nvarană funcţa deermnană, adcă: ( ) ( ) G x, x,, xr G,,, Aceasă egalae se înâlneşe sub denumrea de relaţa lu BOARSK-KS. În funcţe de forma analcă a funcţe G, dn relaţe se deduce expresa analcă (ndcaorul) de calcul a valor med. Cre Generalăţ prvnd valoarea mede Penru a exemplfca defnţa daă, se consderă populaţa famllor dnr-o localae, cerceaă în rapor cu numărul de cop. Daele rezulae dn observare se preznă ca o sere de reparţe de forma: x : În aces caz, funcţa deermnană are urmăoarea formă: G ( x, x,, xr ) semnfcând numărul oal de cop dn localaea respecvă. Penru a găs numărul medu de cop pe famle se parcularzează relaţa dn funcţa deermnană după cum urmează de unde rezulă: R x., R R R R R x x Cunoaşerea naur paramerulu valoare mede, conduce la o defnţe ma compleă ş plnă de semnfcaţe. Penru a înţelege semnfcaţa valor med, rebue sublna fapul că, în general, varaţa unu fenomen, de orce naură, ş în parcular varaţa une varable în rapor cu care ese cerceaă o populaţe, ese deermnaă de acţunea smulană a două caegor de facor: facor esenţal ş facor neesenţal. În caegora facorlor esenţal nră ace facor care acţonează asupra uuror unăţlor populaţe în mod connuu ş în acelaş sens, deermnând, în prncpal, nvelul de dezvolare a varable penru fecare unae componenă dn populaţe. Facor esenţal se conjugă în acţunea lor cu facor neesenţal, care, în general, au un caracer aleaor, sun numeroş ş neunform răspândţ prnre unăţle populaţe. Fecare dn facor consderaţ neesenţal acţonează numa asupra unu anum număr de unăţ dn populaţe. Ca urmare, aceşa po conrbu fe la creşerea nvelulu varable (penru unele unăţ dn populaţe), fe la scăderea nvelulu varable (penru ale unăţ dn populaţe). La rândul lor facor esenţal nu acţonează cu aceeaş nensae asupra uuror unăţlor dn cadrul populaţe consderae, deermnând, în aces fel, varaţa neunformă a varable respecve în cadrul populaţe. 4

25 Se poae afrma că paramerul valoarea mede a une ser sasce care are la bază varabla, consue acel nvel pe care l-ar puea înregsra varabla în cadrul populaţe cerceae în condţle în care facor neesenţal nu s-ar f manfesa, ar facor esenţal ar f acţona asupra unăţlor dn populaţe cu aceeaş nensae. Paramerul valoarea mede, calcula penru o sere sască, pune în evdenţă ceea ce ese comun, general ş esenţal sub aspecul nvelulu de dezvolare al varable, în rapor cu care ese sudaă o populaţe. În rapor cu naura varable ce să la baza sere, câ ş a forme de prezenare a ndcaorlor cu care aceasa ese consruă, exsă ma mule posblăţ de calcul a valor med. Funcţa deermnaă G, sub forma sa cea ma generală, are urmăoarea exprese analcă: G R K K, x R x f ( x x ),, Penru dverse valor ale lu k, în srcă concordanţă cu conţnuul ş semnfcaţa funcţe G, se înâlnesc ma mule pur de med: meda armoncă (k -); meda armecă (k ); meda păracă (k ); meda cubcă (k 3); meda de ordnul k în general. În caz concre, valoarea mede reală ese aceea care se obţne prn ndcaorul (medu) rezula prn aplcarea crerulu relaţe deermnane. Defnţe Meda armecă Meda armecă ese ndcaorul cel ma ulza în calculul paramerulu valoarea mede a une ser sasce, aşa cum rezulă dn pracca sască. Se consderă acum două ser sasce de reparţe, una formaă dn frecvenţe absolue, ar cealală dn frecvenţe relave: x :., R x : f., R Meda armecă penru cele două ser ese daă de relaţa: x M ( ) ; M() Cre Calculul mede armece x f j Dacă sera ese de nevale, consruă cu frecvenţe absolue avem: M ( ) x. Fe o sere de reparţe, care are la bază o varablă connuă, respecv, ' j x : x f., R 5

26 Folosnd noaţle: x + x x ' unde ' x repreznă mjlocul nervalulu, obţnem relaţa: ' M ( ) x f Relaţa ne araă că meda armecă a une ser de nervale se reduce la meda armecă a une ser dscree în care clasele sun reprezenae prn mjloacele nervalelor de varaţe. Cre Propreăţ ale mede armece º Meda produsulu dnre o varablă ş o consană k ese egală cu produsul dnre meda varable ş consana respecvă: 3º Meda armecă a sume a două sau ma mule varable ese egală cu suma medlor acesora: M( r) M() + M() + + M(r) 4º Meda produsulu a r varable două câe două ndependene ese egală cu produsul medlor acesora: R º Meda armecă a une consane ese egală cu consana respecvă, adcă, dacă la baza une ser se află o varablă care a înregsra o sngură sare, C, aunc aplcând relaţa de calcul a valor med se obţne: M ( k ) R M ( ) M ( C) C C k x f 5º Propreaea de adţune a mede armece: k R x f / C k k M ( ) M( R) M() M() M(r) Se presupune o populaţe care ese srucuraă în rapor cu un creru C canav sau calav, în P clase, C, C,, Cp. Aunc meda armecă a varable, în rapor cu care ese sudaă populaţa, se poae obţne ca o mede a medlor varable dn cele P clase: 6 Meda armecă a une ser ese cuprnsă înre valoarea mnmă ş valoarea maxmă pe care o înregsreză varabla, care să la baza sere. mn x max Aceasă dublă negalae rezulă dn urmăorul şr de negalăţ: x x mn R x mn R R R x R x max R x max. 6

27 Calculul mede armece Angajaţ une soceăţ comercale se dsrbue după salarul lunar cuven conform urmăoare ser de reparaţe connuă: Praccă unde varabla ese exprmaă în m le. Penwru deermnarea salarulu medu pe angaja, se recurge la ransformarea sere de nervale înr-o sere dscreă, după cum urmează: Salarul medu se deermnă asfel: Presupunem că ese necesară deermnarea ponder agenţlor economc, dnr-un anum judeţ care au înregsra perder în anul calendarsc închea. Daele înregsrae de la nsuţle compeene se aranjează înr-o sere alernavă de forma: : 85 5 unde sarea penru varabla corespunde acelor agenţ care au înregsra perder în anul consdera. Meda (ponderea) agenţlor cu capal de sa care au înregsra perder se deermnă asfel: În judeţul consdera, 5% dn agenţ economc cu capal de sa au înregsra perder în anul calendarsc consdera. Calculaț Penru o sere de dsrbuţe exrasă ş ulzaă în aplcaţle aneroare, calculaţ: meda armecă ponderaă ulzând frecvenţele absolue meda armecă ponderaă ulzând frecvenţele absolue comparaţ rezulaul cu cel obţnu prn meda armecă smplă ş comenaţ Tes Penru o sere de dsrbuţe bdmensonală exrasă ş ulzaă în aplcaţle aneroare: calculaţ ş nerpreaţ medle dsrbulor margnale calculaţ ş nerpreaţ medle dsrbulor condţonae demonsraţ propreaea de adţune a mede armece 7

28 8

29 nveseşe în oamen! Proec cofnanţa dn Fondul Socal European prn Programul Operaţonal Secoral Dezvolarea Resurselor Umane 7 3 Axa prorară Educaţa ş formarea profesonală în sprjnul creşer economce ş dezvolăr soceăţ bazae pe cunoaşere Domenul major de nervenţe. Calae în învățămânul superor Tlul proeculu e-learnng efcen, ndvdualza ș Adapv penru învățămân la dsanță (e-lada) Conrac POSDRU/56/./G/3368 Program: Sască descrpvă Modul: Ssemazarea ş prezenarea daelor sasce Tema: Medana ş modala (6 eore, 3 praccă). Cuprnsul secvențe Înțelesur majore ale comuncăr.valoarea medană defnre, mod de calcul, nerpreare.valoarea modală defnre, mod de calcul, nerpreare. Obecvele secvențe Însuşrea corecă a noţunlor valoare medană ş modală. Calculul ş nerprearea corecă a medane ş modale.. Cuvne-chee Valoare medană, valoare modală. FODUL SOCAL EUROPEA nveseşe în OAME ROMÂA UVERSTATEA BABEŞ-BOLYA CLUJ-APOCA CETRUL DE FORMARE COTUĂ, ÎVĂȚĂMÂT LA DSTAȚĂ Ș CU FRECVEȚĂ REDUSĂ Sr on.c.brăanu, nr., Cluj-apoca Tel.: () Fax: ()

30 Valoarea medană Valoarea medană, noaă cu M e ese acea valoare a varable canave care împare reparţa în două părţ egale, respecv: Defnţe Calculul valor medane se face dferenţa, după cum sera are la bază o varablă dscreă sau connuă. Penru o reparţe dscreă, calculul medane nu mplcă probleme deosebe ş nc un volum mare de calcule. Se consderă o reparţe cu frecvenţe absolue: x : x În calculul valor medane a une ser dscree, po apărea două suaţ: a) volumul al populaţe ese un număr mpar; b) volumul al populaţe ese un număr par. În ambele cazur, calculul medane presupune, în prma fază, deermnarea rangulu medane, noa cu vconform urmăoare relaţ: a) Dacă volumul populaţe ese un număr mpar, rangul medane ese un număr zecmal a căru pare înreagă ndcă numărul de unăţ dn populaţe penru care varabla a înregsra valor ma mc ca medana. Ca urmare, rebue să fe valoarea meda urmăoare cele de rang adcă: M e x b) Dacă volumul populaţe ese un număr par, rangul medane ese un număr înreg ş ca urmare la mjlocul sere nu se ma află o valoare a varable cu care să concdă medana c se găsesc două valor, medana calculându-se în aces caz ca meda armecă a acesora. Relaţa de calcul a medane, în aces caz, ese: x x M e Penru o reparţe connuă, calculul valor medane presupune verfcarea egalăţ (.) ş ca urmare, rebue cunoscuă densaea de reparţe f(x). Deermnarea funcţe f(x) mplcă un volum mare de calcule ş dec, dn aces mov, în acvaea praccă f(x) ese aproxma. Aces lucru va conduce la o exprese aproxmavă de calcul a valor medane, care necesă un volum redus de calcule. Penru acesa se consderă o reparţe connuă în rapor cu varabla, ş anume: x x x x x x x R x R :. R unde nervalele x--x, po f de lungme egală sau neegală. Calcularea rangulu medane va perme sablrea nervalulu în care se află valoarea medană, nerval num ş nerval medan. Se cumulează frecvenţele absolue dn aproape în aproape până ce ese îndeplnă negalaea: x + R rm e ( M + + x e ) R R. r M e, 3

31 + + + Ulma frecvenţă cumulaă, ne perme să ndcăm nervalul medan. Formula aproxmavă de calcul a medane: x x M e M e M e M ( M [ x ) x ) ( x ( x x ) e e x + - lma nferoară a nervalulu medan; - frecvenţa absoluă a nervalulu medan; x x l - lungmea nervalulu medan ) Valoarea modală Defnţe Valoarea modală Mo() a une reparţ repreznă aceea valoare a varable cărea î corespunde frecvenţa cea ma mare. Aces parameru se ma numeşe modul, valoare domnană, sau modă se noează cu Mo. x x x x R :. f f f f R Cre valoarea modală se ceşe drec dn sere, nefnd nevoe de nc o ehncă sau formulă de calcul. În cazul acesu p de sere, valoarea modală va f acea valoare a varable penru care frecvenţa ese cea ma mare. Penru ser de reparţe connue, respecv: x x x x x x x x x x+ x R x R : f f f f f + f R Modala nu poae f deermnaă drec. nervalul cărua î corespunde frecvenţa cea ma mare, se numeşe nervalul modal ş va conţne modala. Să presupunem că nervalul modal ese x--x. Formula de calcul a modale: Mo - repreznă valoarea modală; xmo - repreznă lma nferoară a nervalulu modal; - repreznă dferenţa dnre frecvenţa nervalulu modal ş frecvenţa nervalulu preceden; - repreznă dferenţa dnre frecvenţa nervalulu modal ş frecvenţa nervalulu urmăor; lmo - repreznă lungmea nervalulu modal. Calculul modale Penru o sere de reparţe dscreă, daă sub forma: M o ( x) xm o + l M o O sere poae avea o sngură valoare modală, caz în care sera se numeşe unmodală. Dacă o sere are ma mule valor modale, aunc se numeşe plurmodală. O sere plurmodală evdenţază fapul că populaţa în cauză ese neomogenă. Calculul valor modale, în asemenea cazur, presupune o delmare ma rguroasă a obeculu + 3

32 observăr câ ş a populaţe care urmează să fe sudaă. O ală cale, care poae duce la elmnarea unu asemenea neajuns, o consue comasarea a două câe două sau re câe re nervale ec., până se ajunge la o sere unmodală. Calculul medane Praccă Urmăorul exemplu, prvnd calculul medane une ser, va perme evdenţerea ehnc de calcul a acesu parameru câ ş semnfcaţa lu. Reparţa angajaţlor înr-o soceae comercală, în rapor cu salarul lunar, ese caracerzaă prn urmăoarea sere: unde valorle varable sun exprmae în dolar. Prma eapă în calculul medane îl consue calculul rangulu, după cum urmează: Însumând frecvenţele succesv până ce valoarea obţnuă depăşeşe rangul, rezulă că nervalul care va conţne medana ese [4-8). Fnd vorba de o sere care are la bază o varablă connuă, medana se deermnă conform relaţe: Ca urmare, jumăae dn angajaţ soceăţ respecve câşgă cel mul 5,$ ş cealală jumăae câşgă cel puţn 5,$ în peroada în care s-a făcu observarea. Relevană, în aces sens, pare a f urmăoarea sere consruă, având în vedere medana: care consue reparţa celor două jumăăţ dn populaţa angajaţlor soceăţ respecve. Calculul modale Reconsderăm exemplul prvnd dsrbuţa angajaţlor une soceăţ comercale în rapor cu salarul lunar: Praccă unde varabla ese exprmaă în dolar. Calculul valor modale presupune în prmul rând găsrea nervalulu modal. Frecvenţa cea ma mare ese 8 ş ca urmare, nervalul modal ese 4-8. nervalul modal fnd găs, se poae aplca relaţa de calcul a valor modale: În concluze, puem afrma că ce ma mulţ anagajaţ a soceăţ comercale respecve au un salar lunar în jur de 5,764 $. 3

33 Calculul medane ş modale Calculaț Având în vedere populaţa soceăţlor comercale supusă observăr concrezaă în abelul urmăor, calculaţa medana ş modala penru fecare dn varablele: capal socal; cfra de afacer; 3 proful; r Capal socal Cfra de afacer Proful

34 34

35 nveseşe în oamen! Proec cofnanţa dn Fondul Socal European prn Programul Operaţonal Secoral Dezvolarea Resurselor Umane 7 3 Axa prorară Educaţa ş formarea profesonală în sprjnul creşer economce ş dezvolăr soceăţ bazae pe cunoaşere Domenul major de nervenţe. Calae în învățămânul superor Tlul proeculu e-learnng efcen, ndvdualza ș Adapv penru învățămân la dsanță (e-lada) Conrac POSDRU/56/./G/3368 Program: Sască descrpvă Modul: Ssemazarea ş prezenarea daelor sasce Tema: Paramer varațe (6 eore, 3 praccă). Cuprnsul secvențe Înțelesur majore ale comuncăr. Defnrea paramerlor varaţe. Modul de calcul al paramerlor varaţe 3. Propreăţ ale varanţe. Obecvele secvențe Însuşrea corecă a noţunlor de varanţă ş abaere mede paracă Calculul ş ulzarea corecă a paramerlor varaţe. Cuvne-chee Varaţe, varanţă, abaere mede păracă, coeffcen de varaţe Pearson FODUL SOCAL EUROPEA nveseşe în OAME ROMÂA UVERSTATEA BABEŞ-BOLYA CLUJ-APOCA CETRUL DE FORMARE COTUĂ, ÎVĂȚĂMÂT LA DSTAȚĂ Ș CU FRECVEȚĂ REDUSĂ Sr on.c.brăanu, nr., Cluj-apoca Tel.: () Fax: ()

36 Rolul paramerlor varaţe nensaea dferă cu care se po manfesa facor esenţal câ ş sensul conrar cu care po acţona facor neesenţal în rapor cu fecare unae a une populaţ sasce provoacă nvele dfere înregsrae de varable în rapor cu care ese sudaă populaţa. Problema măsurăr Cre varaţe une varable canave ese mporană penru a vedea în ce măsură valoarea mede a acesea poae reprezena înrega populaţe. Dacă abaerle de la valoarea mede sun neesenţale aunc se poae afrma că populaţa ese omogenă ş că aces parameru poae reprezena endnţa cenrală, ar dacă acese abaer sun mar aunc populaţa ese eerogenă ş valoarea mede nu are capacaea de a reprezena populaţa. Paramer varaţe se po calcula aâ sub formă absoluă câ ş relavă, ş măsoară împrăşerea valorlor une varable canave faţă de valoarea mede sau valoarea medană. Defnrea abaer med părace ş a varanţe Abaerea mede păracă, noaă cu σx, se defneşe ca fnd meda păracă a abaerlor valorlor varable, de la valoarea mede, adcă: σ x M ( ) Defnţe Un calcul nermedar în aflarea acesu parameru, îl consue calcularea păraulu abaer med părace, care se numeşe varanţă ş are urmăoarea exprese de calcul: σ x M ( ) V ( ) Cre Modul de calcul al abaer med părace ş al varanţe Varanţa fnd un calcul nermedar în aflarea abaer med părace, în cele ce urmează se va prezena modul de calcul al acesea. Relaţa de calcul a varanţe se parcularzează în rapor cu pul sere. În cazul une ser care are la bază o varablă dscreă, conform defnţe, varanţa are expresa: σ R ( x x R ) În cazul une ser care are la bază o varablă connuă, varanţa se calculează conform urmăoare relaţ: a căre aplcare presupune cunoaşerea densăţ de reparţe f(x). Penru o sere daă, varanţa calculaă nu are nerpreare, dar dacă se exrage rădăcna păraă dn acesa se obţne un număr care se exprmă în aceleaş unăţ de măsură ca ş varabla de la baza sere. Aces număr (valoare) repreznă abaerea mede păracă, smbolzând cu câ se abae în mede în plus sau mnus orce valoare x a varable de la valoarea mede. Paramerul abaerea mede păracă se poae exprma ş sub formă relavă, caz în care se numeşe coefcenul de varaţe Pearson, ş se noează cu Vx. Expresa de calcul ese: 36

37 37 ş repreznă abaerea mede a orcăre valor a varable de la valoarea mede, consderaă egală cu sau %. Coefcenul de varaţe a lu Pearson calcula penru două sau ma mule ser, poae f folos în aprecer comparave prvnd gradul de reprezenavae a valor med calculae. Deoarece gradul de reprezenavae a valor med ese în rapor nvers cu mărmea coefcenulu de varaţe a lu Pearson, se poae afrma, în cazul ma mulor ser, că ese ma reprezenavă valoarea mede a acele ser penru care Vx ese ma mc. În concluze, rebue reţnu că paramerul abaerea mede păracă sub formă absoluă σx ş sub formă relavă Vx sun ndcaor fundamenal ulzaţ în măsurarea varaţe une varable. % V x x σ Valoarea mede a varble Y ese: care înlocuă ne conduce la: 3. Varanţa une varable, se poae exprma cu ajuorul dferenţe dnre momenul de ordnul do ş păraul momenulu de ordnul înâ al varable, adcă: Urmăorul calcul smplu ne conduce la egalaea de ma sus: 4. Varanţa sume a două varable dependene ese egală cu suma varanţelor celor două varable plus covaranţa dnre cele două varable: ) ( ) ( ) ( )] ( ) [( ) ( ) ( V M x x M x M x M Y Y M Y V + b M a b a M Y Y M + + ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) M M V ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Y Y M Y V V Y V Propreăţ ale varanţe. Varanţa une consane ese egală cu zero. Luându-se C ş aplcând relaţa de calcul a varanţe se obţne: V() V(C) M[(C-C)] M(). Varanţa une varable ese ndependenă de schmbarea orgn. Ţnând con de defnţa varanţe avem: Cre Dacă înre două varable Y ş exsă urmăoarea relaţe lnară: Y a +b aunc are loc urmăoarea egalae: V(Y) a V() Conform defnţe varanţe, se poae scre: ) ( ) ( Y Y M Y V ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ( ) ( V a M a x M x a M b x M a b a M Y M Y Y V + ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( M M M M M M M M V + + +

38 5. Regula de adunare a varanţelor. Se consderă o sere de reparţe, care are la bază varabla, ar populaţa respecvă de volum ese împărţă în R clase în rapor cu un creru C. Se demonsrează că varnţa în înrega populaţe, care măsoară varaţa oală în rapor cu, ese egală cu suma a două varanţe dn care una măsoară varaţa în cadrul grupelor, ar cealală varaţa dnre grupe. Varaţa lu în cadrul populaţe cerceae se compune dn varaţa în cadrul celor R grupe daoraă acţun facorlor neesenţal ş varaţa de la o grupă la ala daoraă acţun facorlor esenţal care nu acţonează cu aceeaş nensae asupra unăţlor dn populaţe. oând cu: σ x - varanţa varable în grupa care măsoară împrăşerea în aceasă grupă provocaă de facor neesenţal; σ - varanţa dnre grupe, care măsoară împrăşerea de la o grupă la ala; σ x - meda varanţelor grupelor, care măsoară varaţa mede în cadrul celor R grupe; - meda dn grupa ; propreaea enunţaă ma sus se rezumă la urmăoarea egalae: σ σ + σ x Se consderă populaţa agenţlor economc care îş desfăşoară acvaea înr-o anumă zonă geografcă. Sera de dsrbuţe a celor 6 de agenţ economc în rapor cu proful realza ese: unde varabla prof are valorle exprmae în mloane le. Proful medu ese: Varanţa calculaă conform defnţe ese: de unde: Valoarea obţnuă penru σx de 6,63 ml. le repreznă cu câ se abae în mede proful fecăru agen economc de la proful medu consdera de,55 ml. Le. Abaerea mede păracă exprmaă sub formă relavă, prn nermedul coefcenulu de varaţe Pearson ese: reprezenând abaerea mede în procene a profurlor înregsrae de ce 6 de agenţ economc de la proful medu. 38

39 nveseşe în oamen! Proec cofnanţa dn Fondul Socal European prn Programul Operaţonal Secoral Dezvolarea Resurselor Umane 7 3 Axa prorară Educaţa ş formarea profesonală în sprjnul creşer economce ş dezvolăr soceăţ bazae pe cunoaşere Domenul major de nervenţe. Calae în învățămânul superor Tlul proeculu e-learnng efcen, ndvdualza ș Adapv penru învățămân la dsanță (e-lada) Conrac POSDRU/56/./G/3368 Program: Sască descrpvă Modul: Ssemazarea ş prezenarea daelor sasce Tema: Aspece generale prvnd legăurle dnre varable (6 eore, 3 praccă). Cuprnsul secvențe Înțelesur majore ale comuncăr. Tpologa legăurlor dnre varable. Aspece puncuale prvnd ulzarea legăurlor de p probabls înre varable 3. Eapele ehnce parcurse în modelarea legăurlor. Obecvele secvențe Înţelegerea corecă a scopulu sudulu legăurlor dnre varable Învăţarea eapelor necesare prelucrărlor sasce în cazul legăurlor dnre varable. Cuvne-chee Legăură deermnsă, legăură probablsă, varablă endogenă ş exogenă, varablă rezduală, corelaţe, regrese FODUL SOCAL EUROPEA nveseşe în OAME ROMÂA UVERSTATEA BABEŞ-BOLYA CLUJ-APOCA CETRUL DE FORMARE COTUĂ, ÎVĂȚĂMÂT LA DSTAȚĂ Ș CU FRECVEȚĂ REDUSĂ Sr on.c.brăanu, nr., Cluj-apoca Tel.: () Fax: ()

40 Tpologa legăurlor dnre varable În capolul de faţă ne propunem abordarea unor meode sasce caracersce sudulu serlor muldmensonale. Scopul acesora ese de a denfca ş ulza evenualele legăur care se po manfesa înre două sau ma mule varable. e po neresa: exsenţa Cre legăur, nensaea acesea, forma funcţonală a legăur, paramer ş reprezenavaea e prvnd fenomenul cercea. Problemaca legăurlor dnre varable ese foare curen înâlnă în econome. Spunem că salarul unu angaja ese în funcţe de producvaea munc sale, vechmea în muncă, responsablaea acvăţ sale, ec; sau cererea dnr-un produs ese în funcţe de preţul produsulu, venul consumaorlor, ec. De fecare daă, aâ în eora economcă, câ ş în aplcaţ se înâlneşe expresa fe funcţa cerer. În realaea economcă însă, aceasă funcţe nu se dă, nu se cunoaşe, c rebue esmaă pornnd de la o bază de dae. Aceasă problemă de esmare a une funcţ ş ale probleme colaerale e fac obecul acesu capol. Penru a puea aborda sudul legăurlor dnre varable rebue să şm în prmul rând dacă exsă sau nu o legăură înre varablele sudae (sau înre fenomenele pe care acesea le repreznă) ş care ese naura acesora. Defnrea legăur nule Legăura nulă. Semnfcă lpsa orcăre legăur înre două sau ma mule fenomene sau varable care cuanfcă fenomenele. De exemplu, o legăură nulă se manfesă înre înălţmea unu angaja ş salarul acesua sau înre produsul nern bru al une ţăr ş vârsa prmulu mnsru. Defnţe Dn punc de vedere sasc, spunem că înre două varable ş Y exsă o legăură nulă, sau nu exsă legăură, dacă cov( x, ). Defnrea legăur deermnse. Legăura deermnsă. Spunem că înre varablele ş Y exsă o legăură deermnsă dacă une valor a lu î corespunde o sngură valoare a lu Y. Asfel de legăur se înâlnesc în specal în fzcă, unde de exemplu veza ese egală cu dsanţa împărţă la mp: v d /, Defnţe sau forţa ese egală cu masa înmulţă cu acceleraţa: F m a. Asfel de exemple exsă ş în econome, unde raa profulu ese egală cu proful împărţ la cfra de afacer: rπ π / C. A. %. Legăura ese deermnsă penru că varabla ese perfec deermnaă de celelale două: π ş C.A. Adcă penru o anumă valoare a profulu ş o anumă valoare a cfre de afacer nu puem avea decâ o sngură valoare a rae profulu. Defnrea legăur sasce 3. Legăura sască. Se ma numeşe ş socască sau probablsă. Ese pul de legăură cel ma des înâlnă în şnţele socale, dec ş în econome. Fecăre valor a varable î corespunde o dsrbuţe de valor ale varable Y. Maemac, o asfel de legăură se exprmă sub forma Defnţe f (x) + ε, unde am noa p rn ε componena aleaoare rezduală, daoraă acţun asupra lu Y a celorlalţ facor decâ. Deş s-ar puea spune că prn luarea în consderare a uuror facorlor care nfluenţează varabla Y, legăura ese nrnsec deermnsă, în şnţele economce vom înâln aproape înodeauna un număr 4

41 foare mare de facor, care nu po f denfcaţ ş cuanfcaţ în oalaea lor. Asfel, funcţa care îl explcează pe Y are două componene: una deermnsă, f ( x, x,, xn), cuprnzând varablele cuanfcable de care depnde Y, ş una aleaoare, ε, cuprnzând varablele ce nu au puu f cuanfcae. Aspece puncuale prvnd legăurle sasce Sudul legăurlor dnre varable s-a dezvola înr-o dscplnă apare, numă economere. În capolul de faţă nu ne propunem dec decâ o nroducere în aceasă problemacă, fără a aborda elemene de nferenţă sască specfce acesor legăur. În cele ce urmează vom prezena Cre câeva aspece legae de varable ş fenomenele reprezenae de acesea, probleme aâ de naura aparaulu sasc ulza, câ ş de aplcablaea lu în conexul economc.. aura probablsă a legăurlor. Aceasă naură are ca urmare un anume grad de nedeermnare ceea ce duce la o dfclă denfcare a corelaţlor dnre varable. edeermnarea parţală se daorează muludn facorlor care deermnă un anum fenomen. Mecansmul proceselor economce ese adeseor deoseb de complex, presupunând exse nţa unu număr foare mare de facor de lua în consderare. Sruc urle cauzale se po doved a f complcae, cauza unu fenomen depnzând la rândul e de o ală cauză. De asemenea legăurle po f aâ unvoce câ ş bunvoce, două varable puând f în acelaş mp cauză ş efec. De mule or char eora economcă poae clarfca suaţa, mecansmul formăr cerer de exemplu fnd explca prn preţ ş ven. În ale cazur însă, dn lpsa une eor pernene înr-un anum domenu se poae începe prn nsrumenul sasc, ar dacă anume poeze formulae se adeveresc prn efecuarea observaţlor, se încearcă o jusfcare economcă a rezulaulu găs. Aceasă dn urmă cale poae f ouş perculoasă dacă explcaţa economcă nu ese găsă, deoarece dn pun de vedere sasc se poae denfca o corelaţe puerncă înre două varable aparen fără nc o legăură înre ele, deoarece se realzează prn nermedul une a rea varable, care poae f cauza comună a celorlale două. Toaă aceasă argumenaţe ma sus expusă nu ese făcuă cu scopul de a încurca ş ma mul corul, c penru a arage aenţa aâ asupra coplexăţ problemac acesu capol, câ ş a modulu de ulzare a aparaulu sasc ce urmează a f expus, nu înr-un mod mecanc, după o anumă reţeă, c în srânsă legăură cu eora economcă.. Varablele endogene, exogene ş rezduale. În sudul legăurlor dnre fenomene nervn ma mule pur de varable, după rolul juca de ele în funcţa care explcează legăura. Varabla efec, cea pe care dorm să o explcăm prn nermedul alor facor se numeşe varablă endogenă (sau explcaă sau dependenă) ş obşnum să o noăm cu Y. Facor de nfluenţă (ce cuanfcabl), varablele prn care explcăm fenomenul, se numesc varable exogene (sau explcave sau facorale). Obşnum să le noăm cu,,,. Varablele care au nfluenţă asupra fenomenulu cerceaa, n a varable endogene, dar care nu po f denfcae sau cuanfcae, se grupează sub forma une varable rezduale, noaă cu ε. denfcarea varablelor explcave în scopul suder nfluenţe lor asupra cele dependene se bazează pe cunoşnţele ş experenţa specalsulu în domenul cercea, dar ş pe meode sasce specfce. În econome majoraea legăurlor înre varable sun cunoscue pornnd de la eora economcă. Touş, fecare suaţe economcă concreă poae presupune o ală nensaea a legăur, o ală nfluenţă a fecăru facor asupra varable enndogene. În ale cazur însă, dependenţele eorece nu se cunosc, c rebue denfcae pe baza observăr fenomenelor sudae. Acese fenomene vor rebu însă urmăre în mp penru a verfca dacă legăura ese una conjuncurală sau ţne de un anum mecansm economc. În funcţe de suaţa concreă în fecare domenu sau caz, în alegerea varablelor explcave se poae proceda în două modur: 4