ANALIZA SPECTRALĂ A SEMNALELOR ALEATOARE

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ANALIZA SPECTRALĂ A SEMNALELOR ALEATOARE"

Αγάπη Λούπης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ANALIZA SPECRALĂ A SEMNALELOR ALEAOARE. Scopul lucrăr Se sudază caracerzarea în domenul recvenţă a semnalelor aleaoare de p zgomo alb ş zgomo roz ş aplcaţle acesea la deermnarea modulelor răspunsurlor în recvenţă ale unor sseme lnare ş nvarane în mp.. Inroducere Modelarea maemacă a zgomoelor care apar în dspozvele ş rcuele elecronce, dar ş a semnalelor vehculae de ssemele de ransmse a normaţe au necesa nroducerea noţun de semnal aleaor, echvalenă cu noţunea de proces aleaor sau sochasc dn eora probablăţlor. Penru a den un semnal aleaor se consderă o eperenţă oarecare. Prn rezulaul une eperenţe se înţelege una dn posblăţle de realzare a acesea. Mulţmea rezulaelor posble se va num în connuare spaţul eşanoanelor ş va noa cu S. Un semnal aleaor ese de o colecţe de semnale uzuale în mp connuu, nume raecor sau realzăr. Procesele aleaoare sun semnale, cu două propreăţ:. ele sun uncţ de mp. ele sun aleaoare, în sensul că înane de a realza un epermen, nu ese posbl să descrem eac orma de undă ce se va genera. s s Spaţul realzărlor posble, S ( ) ( k ) s n n ( ) τ k ( k ) n k Fgura. Un ansamblu de realzăr posble

2 Spaţul realzărlor posble conţne, ca punce realzărle procesulu, ca uncţ de mp. Un asel de spaţu sau mulţmea uncţlor de mp se numeşe proces sochasc sau proces aleaor. Ese evden că se consderă noţunle de dsrbuţ în probablae ale derelor evenmene posble. Evenmenul, sau realzarea, consue producerea unu anume semnal. 3. Procese saţonare Fecăru punc s dn spaţul S se va asoa o uncţe, cu duraa lmaă în mp: Duraa se ma numeşe ş nervalul de observare. Dacă puncul s ese a, lmaă) sau uncţe eşanon: j (, s ), () s = s, uncţa de mp (, s ) se ma numeşe ş realzare (de duraă j (, j) = s () În gura se araă o mulţme de uncţ eşanon (realzăr) = k, mulţmea de valor: { j j,,, n} { ( k), ( k),, n( k) } = { ( k, s), ( k, s),, ( k, sk) } =. Fând mpul, (3) ese o varablă aleaoare. Prn urmare, un proces poae prv ca ş o mulţme de varable aleaoare, ndeae după mp: { (, s )} procesul se noează smplu cu ().. Penru smplcarea noaţlor nu se evdenţază s ş Se consderă un proces aleaor src saţonar ( ). Prn denţe meda procesulu () ese speranţa maemacă a varable aleaoare ( ) ş se noează cu ( ) : () { ()} () = E = p d unde p () ese densaea de reparţe a varable aleaoare ( ), penru a. (4) Penru un proces src saţonar ese valablă egalaea: adcă meda unu asel de proces ese o consană. = (5) Se consderă în connuare două momene ae, ş reparţe comună a varablelor aleaoare ( ) ş ( ) produs, ( ) ş ( ) ese: ş e p densaea de,,. Aun meda varable aleaoare

3 { } (,,, ) = E = p d d Funcţa care asoază ecăre perech (, ) valoarea, sască a semnalulu aleaor ş se noează (, ) Dacă () R : (, ), (6) se numeşe uncţe de corelaţe R = (7) ese un proces aleaor src saţonar, p depnde numa de derenţa,, ş nu de valorle absolue ale mpulu. Prn urmare, avem: (, ) R = R = R τ,, (8) Propreăţle uncţe de auocorelaţe. Valoarea mede păracă a procesulu aleaor ( ) ese valoarea uncţe de auocorelaţe calculaă în orgne:. Auocorelaţa ese o uncţe pară: R { } ( 0) R = E (9) ( τ ) R ( τ ) =, τ R (0) 3. Funcţa de auocorelaţe R R τ are un mam în orgne: R ( 0) τ, τ R () Analza specrală a semnalelor aleaoare nu se poae ace asupra raecorlor ndvduale, penru că acesea sun semnale de puere nă, dar aceasă analză se poae ace pe crer sasce ş energece. Fe, în aces scop, n, cu n a, o raecore a semnalulu aleaor. Se consderă raecora runchaă: ş () n, < = 0, n res ω ransormaa sa Fourer. Densaea specrală mede de puere a acesu semnal, S ( ω ), se obţne împărţnd densaea sa energecă Se observă că S S ( ω) = ( ω) ω la duraa semnalulu: () (3) ω ese, penru ω a, o varablă aleaoare, denă pe câmpul S. Noând cu m{ } operaorul de medere ş ăcând se obţne o uncţe de ω : 3

4 S E S E { } ( ω) = lm { ( ω) } = lm ( ω ) numă densaea specrală de puere a semnalulu aleaor. (4) Conorm eoreme Wener-Hnn, uncţa de corelaţe sască ş densaea specrală de puere ormează o pereche Fourer: F { R} = S F ( ω ) ese o uncţe pară (vez relaţa 0) ş pozvă: S S 0 τ ω (5) ω, ω R (6) = S( ) ω ω, ω R (7) 4. Procese ergodce Speranţa maemacă E{ } ese o medere de ansamblu, pe oae realzărle unu proces aleaor (). Se ma poae obţne un al p de mede, eecuaă în lungul procesulu, o mede realzaă pe un eşanon al procesulu ş eecuaă în mp. Aceasă medere poae ma uşor mplemenaă, mov penru care se doreşe să şe dacă esă vreo legăură înre medle sasce ş medle emporale. Se consderă o realzare a procesulu ( ), uncţa eşanon ( ), nervalul de observare nd de la la. Se consderă că ( ) ese un proces saţonar. Meda emporală a lu () ese: Ese evden, că ( ) = d () (8) ese o varablă aleaoare, depnzând de realzarea () curenă ş de duraa a nervalulu de observare. Meda sa sască ese: adcă Prn urmare ( ) E{ } = E{ () } d d = = E { } ese o esmare neabăuă a mede (9) = (0) Se spune că procesul () ese ergodc în mede, dacă sun sasăcue două condţ:. Meda emporală ( ). nde spre meda sască, ( ), când, adcă: lm = () 4

5 . Dspersa lu ( ) :, consdera ca varablă aleaoare, nde spre zero, aun când { ( )} lm var = 0 () O ală mede de neres ese auocorelaţa. Se poae den o mede emporală penru esmarea auocorelaţe: R R ( τ, ) = ( + τ) d ( τ, ) ese o varablă aleaoare, dependenă de realzarea nervalulu de medere. (3) ş de lungmea a Se spune, că procesul ( ) ese ergodc în auocorelaţe dacă sun sasăcue două condţ:. lm R ( τ, ) = R ( τ ). { R ( τ ) } lm var, = 0 Penru a avea de propreăţle de ergodae rebue ca procesul să e saţonar Reproca nu ese adevăraă. 5. Semnale aleaoare în sseme lnare Se consderă un ssem cu răspunsul la mpuls h presupus real. Dacă la nrarea acesu ssem se aduce un semnal aleaor saţonar ş ergodc, aun semnalul de la eşre ese o un semnal saţonar ş ergodc ş: S ω = H ω S ω (4) unde S ( ω ), SY Y ω sun densăţle specrale de puere ale semnalelor de nrare, respecv de la eşre, ar H ( ω ) ese răspunsul în recvenţă al ssemulu. 6. Zgomoul alb Analza de zgomo a ssemelor de comuncaţ se bazează de obce, pe o ormă de zgomo dealzaă, numă zgomo alb, a căre densae specrală de puere ese ndependenă de recvenţă. Adjecvul alb se oloseşe în sensul în care se spune că lumna albă conţne în specrul vzbl componene de dverse culor, cu aceeaş nensae. O realzare a zgomoulu alb se noează cu w () ş densaea specrală de puere a procesulu ese: No SW ( ω ) = Parameru N 0 se raporează de obce, eajul de nrare al receporulu ş se eprmă cu: (5) 5

6 N = k (6) 0 e unde e nd emperaura echvalenă de zgomo a receporulu. Funcţa de auocorelaţe a zgomoulu alb ese: Se vede că 0 W N RW τ δ τ o = R τ = penru τ 0. Ca urmare, două eşanoane prelevae dn zgomoul alb, nderen câ de apropae sun ele în mp, sun necorelae. Dacă, în plus, zgomoul alb ese ş gaussan, eşanoanele sun ş sasc ndependene. Zgomoul alb ar avea puerea mede nnă ş de el nu ese realzabl zc. Ese, ma curând, un concep ce uşurează mul calculele ş conduce la rezulae oare apropae de cele dn praccă. (7) Semnalele reale se numesc colorae ş au orme dere penru uncţle de corelaţe ş cea de densae specrală de puere. Câ mp un semnal are o uncţe de corelaţe îngusă, banda de densae specrală a puer ese largă ş în aces caz semnalul ese ma apropa de zgomoul alb. Dacă uncţa de corelaţe ese largă, banda specrală a semnalulu ese îngusă ş semnalul ese ma apropa de un semnal perodc (deermns). 7. Desăşurarea lucrăr Să se deermne epermenal densale specrale de puere ale semnale de la esrea unu generaor de zgomo: zgomo alb s zgomo roz. Avem n aces scop: un generaor de zgomo, un osloscop s analzor specru n mp real (a se vedea anea penru descrerea acesua). Frecvenele cenrale ale lrelor rece banda se esc de pe panoul ronal al analzorulu. Densaea specrala de puere la esrea ecaru lru ese V P S Hz = B unde banda de recvene s acorul de calae al lrulu sun: B = Q + + Q = Obs: Valoarea de reerna ese V re = V,.e. P re = 0 - W penru R= Ω: P e + V [V] = V 0 Pn [ W] [ db] = 0 log = Ve [ db] P [ W] re re V e db 0 V = 0log V e re [ V] [ V] 6

7 ( V [ V] ) e P = cu R= Ω R Analza ncepe apasand pe buonul SAR al analzorulu de specru n mp real; apo se apasa buonul MOMEN. Valorle penru ecare canal se esc n db; penru schmbarea canalulu se olosese comuaorul KANAL, de la 3. Daele se rec nr-un abel de orma: [Hz] Q B [Hz] V e, [db] V e, [V] P [V ] S [V /Hz] unde: = numarul canalulu; = recvena cenrala a lrulu; Q = 4,5 (acorul de calae al FB); B = /Q largmea de banda; P = puerea; S = densae specrala de puere; Se reprezna grac densaea specrala de puere a zgomoulu alb, respecv a zgomoulu roz adca S [V /Hz] unce de [Hz]. Anea Analzor de specru n mp real Schema de prnpu a unu analzor de specru n mp real se prezna n g.. FB De. Aenuaor de nrare FB De. Dspozv de asare FB n De. Fg. Caracersle lrelor rece-banda FB se nerseceaza ca n g. 7

8 B B B B + c c + Fg. Se cunosc marmle, s se se ca oae lrele au acelas acor de calae: Q B = (A) Dn g. rezula: de B + B + + = (A) Q = + ( ) + + (A3) In connuare benzle lrelor rezula dn (A). Noand cu () semnalul de la esrea lrulu FB, s presupunand ca acesa ese o ensune elecrca deecoarele ar rebu sa realzeze operaa: In realae deecoarele realzeaza operaa: u / =, lm e d / θ θ (A4) e, / / () ( θ ) u = dθ (A5) nd o consana a aparaulu. Penru valor suen de mar ale lu se obne Marmea u, = u, = cons. (A6) e e Ue, F = (A7) B reprezna o apromae a densa specrale de puere a semnalulu analza n banda lrulu FB. 8

Σχετικά έγγραφα

ANALIZA SPECTRALĂ A SEMNALELOR ALEATOARE

ANALIZA SPECTRALĂ A SEMNALELOR ALEATOARE ANALIZA SPECRALĂ A SEMNALELOR ALEAOARE. Scopul lucrării Se sudiază caracerizarea în domeniul frecvenţă a semnalelor aleaoare de ip zgomo alb şi zgomo roz şi aplicaţiile aceseia la deerminarea modulelor