Prof. univ. dr. Constantin ANGHELACHE Prof. univ. dr. Gabriela-Victoria ANGHELACHE Lector univ. dr. Florin Paul Costel LILEA

Transcript

1 Metode ş procedee de ajustare a datelor pe baza serlor croologce utlzate î aalza tedţe dezvoltăr dfertelor dome de actvtate socal-ecoomcă Prof. uv. dr. Costat ANGHELACHE Uverstatea Artfex/ASE - Bucureșt Prof. uv. dr. Gabrela-Vctora ANGHELACHE Academa de Stud Ecoomce - Bucureşt Lector uv. dr. Flor Paul Costel LILEA Uverstatea Artfex - Bucureșt Drd. Adreea Gabrela BALTAC Academa de Stud Ecoomce Bucureşt Abstract Statstca studază, pr metode specf ce, clusv tedţa de dezvoltare, cuoscută î lteratura de specaltate sub deumrea de tred, îcercâd separarea fl ueţe factorlor eseţal (cu acţue sstematcă), de fl ueţa factorlor accdetal, care fac ca ître terme emprc ş ce teoretc să exste abater. Cu cât fl ueţa factorlor accdetal este ma prouţată, cu atât gradul de varaţe de la o utate de tmp la alta este ma mare ş la/curba de tedţă este ma df cl de detf cat. Practc, pr operaţa de ajustare, se obţ ser croologce calculate, evdeţd tedţa de dezvoltare îlocud serle emprce Cuvte chee: damcă, feome, terme, date, dsperse *** Serle croologce, referdu-se la feomeele socal-ecoomce, pot prezeta varaţ foarte mar de la o peroadă la alta. Varaţle mafestă tedţe dferte, care corespud legtăţ tere, ce determă dezvoltarea feomeelor respectve. Romaa Statstcal Revew r. 8 / 01

2 Specfc feomeelor socale este faptul că acţuea sstematcă a cauzelor eseţale este modfcată de flueţa cauzelor eeseţale, u uma î terorul aceleaş peroade de tmp, c ş î damcă. Feomeele socalecoomce, fd flueţate î damcă, u uma de acţuea factorlor eseţal, preztă abater ma mar sau ma mc de la la geerală teoretcă, care, î ses statstc, exprmă legtatea de dezvoltare specfcă fecăre etape. La aalza uor ser damce se poate desprde fe tedţa de apropere către aceeaş valoare a creşterlor absolute îregstrate de la a la a, fe tedţa de apropere a rtmurlor de creştere cu baza î laţ. Dacă datele sere î fucţe de tmp se repreztă grafc se poate observa că uele feomee se dezvoltă de formă rectle ş altele de formă curble. Dacă sera de date se referă la o peroadă ma lugă, se pot îtâl ş cazur câd o tedţă de dezvoltare rectle se trasformă îtr-o tedţă de dezvoltare expoeţală ş ulteror îtr-o tedţă rectle. Alte ser damce preztă varaţ repetable (cu caracter cclc) î fucţe de modfcarea aotmpurlor, altele î fucţe de factor cojuctural de producţe ş de paţă ş ma rar se îtâlesc ser croologce a căror terme par să se dstrbue cu totul depedet uul faţă de altul. Î cadrul ue ser damce, terme u pot f cu totul depedeţ ître e, ca î cazul serlor de dstrbuţe ude fecare terme este depedet faţă de celălalt ş este legat de o aumtă probabltate de aparţe, cocretzată î frecveţa sa de mafestare. Î cadrul serlor damce terdepedeţa dtre terme trebue prvtă î sesul că, fecare depde de velul precedet ş, îtr-o aumtă măsură, toţ terme sere î determă ş pe următor. Ca exemplu: producţa lu februare u este cu totul depedetă de codţle ş, respectv, de velul producţe d lua auare a aceluaş a. Ma mult, aalzâd cauzele ş codţle de bază ale producer feomeelor, se poate costata că ele se modfcă sstematc, de la o utate la alta, ca urmare a uor acumulăr cattatve treptate ce pot f urmărte î cadrul ue etape îtreg de dezvoltare. Iterdepedeţa obectvă dtre terme ue ser damce mprmă evoluţe feomeelor cercetate o aumtă tedţă, care, datortă faptulu că feomeele sut flueţate î damca lor ş de factor îtâmplător, u poate f cuoscută decât prtr-o aalză teoretcă ş practcă a tuturor termelor sere respectve. Pr ajustarea termelor ue ser de date statstce, î sesul cel ma larg, se îţelege operaţa de îlocure a termelor real cu terme teoretc ş exprmă legtatea specfcă de dezvoltare obectvă a feomeelor la care se referă datele[1]. Î cazul serlor damce legtatea de dezvoltare se aalzează î fucţe de tmp. Varabla de tmp u trebue cosderată î Revsta Româă de Statstcă r. 8 / 01

3 se ca factor determat, c ca u mjloc de stetzare î mod succesv a flueţe sstematce a factorlor care acţoează î cadrul aceloraş codţ de bază, dar cu dmesu dferte. Î cazul ajustăr serlor damce, dspersa totală, care stetzează mărmea mede a varaţe produse de flueţa tuturor factorlor, se descompue î dspersa calculată pe baza varaţe termelor real de la valorle ajustate î fucţe de tmp, plus dspersa calculată pe baza varaţe valorlor ajustate de la meda termelor sere damce. Dspersa totală: ( y y) σ y = Dspersa termelor sere de la valorle ajustate ( σ y / z ) stetzează flueţa factorlor rezdual factor eîregstraţ care, î cazul serlor damce, sut toţ factor î afară de factorul tmp: y / z = ( y Y ) t ude: Y = valoarea teoretcă a varable y î fucţe de tmp. t Dspersa valorlor ajustate de la valoarea mede ( σ y / t ), stetzează varaţa produsă uma de modfcarea factorulu tmp; cosderâd toţ celalţ factor ca fd eeseţal ş cu acţue costată î toate cazurle: y / t = (Y t y ) De sublat că valorle teoretce (ajustate) î fucţe de tmp se pot stabl folosd ma multe procedee de calcul. Codţa eseţală a aplcăr corecte a uu procedeu sau altul de ajustare este ca umărul termelor sere să fe sufcet de mare petru a putea tra î câmpul de acţue al Leg umerelor mar, asgurâd o compesare reală a abaterlor îtâmplătoare[1]. Este cuoscut, de asemeea, faptul că legtatea de dezvoltare a uu feome u se poate urmăr decât î cadrul ue etape îtreg, î cadrul cărea codţle de bază ale producer feomeelor se schmbă uma cattatv. Numa atuc câd această codţe umăr sufcet de mare de terme este satsfăcută, se poate desprde î mod verdc tedţa (tredul) de dezvoltare a feomeulu respectv. Romaa Statstcal Revew r. 8 / 01

4 Î teora ş practca statstcă se folosesc ma frecvet petru ajustare metodele ş procedee de ajustare pe baza medlor moble; pr metoda grafcă; pe baza sporulu medu; pe baza dcelu medu de creştere ş pr ecuaţle fucţlor aaltce calculate folosd procedeul celor ma mc pătrate. Ajustarea pe baza medlor moble Se foloseşte, î specal, acolo ude varaţa termelor ue ser damce preztă u aspect de regulartate cclcă. Pr calcularea medlor moble se îlătură varaţa cclcă ş se preztă sera de date cu o varaţe lă, cotuă. Medle moble sut med parţale, calculate dtr-u umăr prestablt de terme, î care se îlocueşte pe râd prmul terme cu termeul ce urmează î sera care trebue să fe ajustată. Medle moble sut cuoscute ş ca med glsate sau aluecătoare. Se cosderă, de exemplu, o sere formată d opt terme (y ), care urmează să fe ajustaţ pr procedeul medlor moble, tre terme. Medle moble: y y y 1 y1 + y + y y4 + y5 + y6 = ; y4 = ; y + y + y4 y5 + y6 + y7 = ; y5 = ; y + y4 + y5 y6 + y7 + y8 = ; y6 = ; Ajustarea se face după modelul: y calculate d câte Valor emprce (y ) y 1 y y y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 Valor ajustate (y ) y 1 y y y 4 y 5 y 6 Rezultă că s-a obţut u umăr ma mc de med moble decât umărul termelor sere emprce. D opt terme s-au obţut şase med moble. Aceasta îseamă, î geeral, că se obţ atâtea med moble câţ terme are sera, ma puţ cu umărul termelor d care s-au calculat medle, mcşorat cu o utate. Dacă este umărul termelor sere ş umărul termelor petru fecare mede moblă ( ), umărul medlor moble va f: ( 1). Revsta Româă de Statstcă r. 8 / 01

5 Î acest caz operaţa de ajustare deve relatv uşoară, deoarece, calculâd medle dtr-u umăr mpar de terme, fecare mede se plasează î dreptul uu terme real al sere care corespude cu pozţa termeulu cetral. Dacă se calculează med moble dtr-u umăr par de terme, fecare mede moblă se plasează la mjlocul termelor, (ître ce do terme cetral). Petru a putea face ajustarea termelor î aceste codţ se calculează medle moble d câte do terme a sere ajustate. Medle moble ţale se umesc med moble provzor (otate cu y ), ar î a doua etapă se obţe med moble deftve sau cetrate (otate cu y ): y1 + y y + y y1 = ; y = etc. Ajustarea termelor se face după următorul model (sera d opt terme ş med moble d câte patru terme): Valor emprce (y ) med moble provzor y med moble provzor y y 1 y y y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 1 y y y 4 y 5 y 1 y y y 4 Î cazul î care ajustarea se face pe baza medlor moble calculate d umăr par de terme, medle moble se obţ î două trepte: - med moble provzor ( y ), care se plasează ître terme sere; - med moble deftve sau cetrate ( y ) care se plasează î dreptul termelor sere ş cu care se face ajustarea termelor sere ţale. Ajustarea pe baza metode graf ce Se repreztă grafc sera de date emprce ş se trasează, vzual, dreapta sau curba care ueşte cele două pucte extreme ale sere croologce, astfel îcât să abă abater mme faţă de pozţa valorlor reale î grafc. Ajustarea vzuală se bazează pe poteza că acţuea tuturor cauzelor ar f fost costată pe toată peroada, mprmâd tuturor termelor aceeaş formă de creştere absolută sau relatvă ş care poate f terpretată pe baza le/curbe valorlor reale luate î fucţe de tmp. Grafcul folost petru reprezetarea ue ser damce (croograma) este bazat pe sstemul coordoatelor rectagulare, î care tmpul este trecut pe axa abscselor (OX), dcator urmărţ fd folosţ petru stablrea scăr de reprezetare pe axa ordoatelor (OY)[1]. Romaa Statstcal Revew r. 8 / 01

6 Rezultă că ajustarea pe baza reprezetăr grafce costtue u strumet de aprecere a tedţe de dezvoltare, î fucţe de care se poate alege îsăş metoda (procedeul) ce trebue folostă î estmarea tedţe de lugă ş scurtă durată. Î geeral, se acceptă ca fd ma bu mjloc de ajustare procedeul care, aplcat la sera de date emprce, permte obţerea uor terme teoretc care dă abater mme de la valorle reale corespuzătoare. Î cazul prezetat, ţâd seama de alura grafculu, este de aşteptat ca valorle teoretce care corespud ajustăr de forma ue progres artmetce (sporul medu ş ecuaţa le drepte) să dea cele ma mc abater. Petru verfcare se pot folos ma multe procedee de calcul, fd ales cel care satsface cel ma be codţa de mm. Ajustarea pe baza sporulu medu Folostă atuc câd, prelucrâd datele d sere, se obţ sporur dvduale cu baza î laţ apropate ca valoare uele de altele. Aceasta corespude, î fapt, ue creşter a velurlor caracterstc studate sub forma ue progres artmetce cu raţa egală cu sporul medu. Ajustarea pe baza sporulu medu se bazează pe relaţa care exstă ître prmul terme (sporurle cu baza î laţ) ş ultmul terme: y = y 0 + Σ 1/0 + Σ /1 +Σ / Σ /-1. Dacă se admte că abaterle î plus ş mus ale sporurlor dvduale faţă de sporul medu sut mme ş se compesează recproc, dev: y = y0 + Δ + Δ + Δ + + Δ de or adcă: y = y0 + Δ Pe baza relaţlor respectve se pot scre pe râd toţ terme progrese artmetce. Se cosderă tmpul dtre ce do terme extrem a sere ca o varablă statstcă, cu valor de la t 1... t. Î teora ş practca statstcă se obşueşte ca terme ajustaţ să se oteze cu Y petru a- deoseb de terme sere emprce care se otează cu y. Folosd acest procedeu se obţe: t = y0 + tδ Y ude: y 0 = termeul cosderat ca bază de ajustare; t = varabla de tmp luată î raport cu baza de ajustare folostă. Revsta Româă de Statstcă r. 8 / 01

7 Urmează ca, petru a afla u terme ajustat pe baza sporulu medu, să fe ales termeul ca bază de ajustare la care se va adăuga sporul medu luat de u umăr de utăţ de tmp egale cu pozţa pe care termeul respectv o are faţă de termeul ales ca bază. Nu î toate cazurle poate f folost ca a de ajustare aul de bază al sere, deoarece atuc u se ţe seama decât de dfereţa de mărme dtre prmul ş ultmul terme al sere. Petru a măr gradul de precze a ajustăr, este dcat ca alegerea baze de ajustare să se facă după ajustarea vzuală. Se alege d grafc acel terme care, pr pozţa sa, se aprope cel ma mult de la dreaptă teoretcă ce ueşte cele două pucte extreme ale sere. Se aprecază că î puctul respectv s-a realzat cel ma be relaţa de progrese artmetcă dtre prmul terme, sporurle auale cu baza î laţ ş ultmul terme. Petru sera prezetată, care urmează, î geeral, forma de progrese artmetcă, u este ecesar să se schmbe baza de ajustare. Câd se va alege o altă bază de ajustare se vor obţe valor de tmp cu ses egatv petru terme care se găsesc îatea termeulu respectv ş valor de tmp poztve petru terme următor. Ecuaţa de ajustare: Y = y ± t Δ t 0 Se obţ două progres artmetce: ua descrescătoare, calculată de la baza de ajustare către terme precedeţ, ş alta crescătoare, calculată către ultm terme a sere. Ajustarea pe baza dcelu medu de creştere Folostă atuc câd terme au tedţă de creştere sub forma ue progres geometrce, î care raţa poate f cosderată ca egală cu dcele medu de creştere ( I ). Ajustarea se bazează pe relaţa dtre prmul terme, dc de creştere cu baza î laţ ş ultmul terme. Dacă ultmul terme se scre î fucţe de prmul, atuc va f egal cu prmul terme multplcat succesv cu dc cu baza î laţ: y = y 0 I 1/0 I /1 I /... I /-1 Dacă dc cu baza î laţ au valor apropate, valorle pot f substtute cu valoarea dcelu medu de creştere. Aceasta se bazează pe relaţa dtre dc cu baza î laţ ş valoarea mede a lor. Se obţe: y = y 0 I I I I de or de ude: y = y I 0 Romaa Statstcal Revew r. 8 / 01

8 Ş î acest caz se pot stabl toţ terme progrese geometrce, calculaţ î fucţe de baza de ajustare ş raţe. U terme oarecare ajustat este egal cu termeul ales ca bază, îmulţt cu dcele medu de creştere rdcat la o putere egală cu umărul utăţlor de tmp corespuzătoare pozţe sale faţă de termeul de bază. Dacă termeul ales ca bază de ajustare este î terorul sere, atuc ecuaţle termelor ajustaţ dev: ± t Y t = y0 I Ajustarea pr Metoda celor ma mc pătrate Ajustarea serlor croologce pr procedeele prezetate se bazează pe relaţa care exstă ître prmul ş ultmul terme al sere luată î fucţe de umărul termelor ş exprmată sub formă de mărme absolută sporul medu sau sub formă de mărme relatvă dcele medu de creştere. Procedeele respectve sut cuoscute î lteratura de specaltate ş sub deumrea de procedee mecace. Este cuoscut că asupra forme de varaţe flueţează ş terme termedar a ue ser damce, care pot prezeta abater de la modfcarea sstematcă produsă de legtatea care le geerează. Î acest ses, sera croologcă poate f cosderată ca o varablă î tmp, care se formează ca o fucţe de forma: y = f(t ) ude: t = valorle varable depedete (tmpul); y = valorle varable depedete (feomeele prezetate î sera croologcă). Î practca statstcă, cel ma frecvet se îtâlesc feomeele care, î damca lor, apar sub forma uor fucţ lare, expoeţale, parabolce sau a ue hperbole. Î cotuare se preztă ajustarea pe baza fucţlor lare, expoeţale ş parabolce, ca fd cel ma des utlzate î ajustarea serlor croologce. Alegerea fucţe care corespude cel ma be forme reale de evoluţe a feomeelor se face tot pe baza ue aalze atete a grafculu ş dcatorlor absoluţ ş relatv ce caracterzează sera emprcă de date. Î cazul câd grafcul arată o tedţă de creştere absolută costată, verfcată ş prtr-o varaţe mcă a sporurlor cu baza î laţ, se poate apreca că feomeul creşte după o fucţe lară prtr-o ecuaţe de estmare: Y t = a + bt ude: Y t = valorle teoretce ale caracterstc ce trebue ajustată, calculată î fucţe de valorle caracterstc factorale (t); Revsta Româă de Statstcă r. 8 / 01

9 a = parametrul care are ses de mărme mede ş arată la ce valoare ar f ajus caracterstca rezultatvă y, dacă flueţa tuturor factorlor, î afara celu îregstrat, ar f fost costată pe toată peroada; b = parametrul care stetzează uma flueţa caracterstc factorale (t) ş care î ses geometrc arată gradul de îclaţe a le/curbe de ajustare. Î ecuaţle de ajustare a ue ser croologce b u poate să fe decât poztv, î cazul serlor cu tedţă obectvă de creştere cotuă, ş egatv câd sera preztă tedţa de scădere cotuă; t = valorle caracterstc factorale care, î cazul serlor damce, este tmpul. Î cazul î care grafcul arată o tedţă de creştere relatv, costată, respectv creşter absolute d ce î ce ma mar, verfcată ş pr obţerea uor valor apropate ale dclor cu baza î laţ, se poate apreca că feomeul creşte de forma ue fucţ expoeţale, avâd ecuaţa de estmare: Y t = ab t Câd pe grafc se obţe o curbă care are fe u puct de maxmum, fe u puct de mm, se aprecază că feomeul studat se modfcă î tmp sub forma ue parabole de gradul do. Se pot îtâl cazur frecvete câd pe grafc apare uma o secţue de parabolă crescătoare sau descrescătoare specfcă uma aumtor etape. Î acest caz este ecesar să se apreceze, pr compararea cu altă etapă precedetă, care este tedţa de lugă durată ş să se ajusteze sera î cosecţă. Ecuaţa de estmare a ue parabole de gradul do exprmată î fucţe de tmp: Y = a + bt + ct t Ca ş î cazul corelaţe, petru aflarea parametrlor fucţe de regrese ecesare ajustăr sere se aplcă Metoda celor ma mc pătrate: Σ(y Y t ) = m Î cazul fucţe lare codţa deve: Σ [(y (a + b t )] = m Petru a putea satsface codţa respectvă este ecesar să se determe valorle celor do parametr a ş b. Se foloseşte sstemul de ecuaţ ormale, care măsoară legătura lară dtre varabla depedetă x ş varabla depedetă y. Îlocud pe x cu t rezultă: a + bσt = Σy aσt + bσt = Σt y Romaa Statstcal Revew r. 8 / 01

10 Aalzâd varaţa varable y î fucţe de tmp, s-a costatat că u depde de tmp, c de alţ factor edoge ş exoge. Aalzâd gradul de depedeţă dtre caracterstca de tmp t ş volumul producţe uu produs sau pe total, la vel mcro sau macroecoomc petru care trebue să se calculeze valorle ajustate Y, se poate costata că producţa u este î fucţe de tmp. Volumul producţe de eerge electrcă ca orce feome socal-ecoomc î geeral - depde de o sere de alţ factor a căror flueţă este prezetă î toate utăţle de tmp. Producţa depde, prtre altele, de gradul de îzestrare tehcă, de gradul de calfcare a muc, de modul de orgazare a procesulu de mucă etc. î cazul î care aceşt factor u acţoează, smplul fapt că a ma trecut u a u duce la modfcarea e. Tmpul u face decât să stetzeze î fucţe de perodctatea sere flueţa combată a tuturor factorlor de flueţă sstematc ş aleator, eseţal ş eeseţal, obectv ş subectv. D acest motv, petru a ahla flueţa varaţe de tmp, se pue codţa: t = 0 Petru t = 0, sstemul de ecuaţ ormale prezetat deve: a = y = t y b t, de ude: y a =, b = t Rezolvâd sstemul de ecuaţ se demostrează că valoarea lu a este egală char cu meda sere, respectv valoarea formată uma pe baza flueţe costate a cauzelor eseţale, deoarece: y a = = y Codţa aplcăr procedeulu de ajustare este t = 0. Petru a satsface această codţe trebue să se cosdere orgea valorlor de tmp ca fd î cetrul sere. Sera va f dvzată î două părţ, î care umărul utăţlor de tmp egatve trebue să fe egal cu umărul celor poztve. Î cazul câd sera este formată dtr-u umăr mpar de terme, orgea varaţe valorlor de tmp va f char î dreptul termeulu cetral ş varaţa de tmp se va măsura î tervale îtreg: 0; ± 1; ± ; ± etc. Î cazul ue ser damce formate dtr-u umăr par de terme, orgea valorlor de tmp va cădea ître ce do terme cetral ş varaţa de tmp se va măsura î jumătăţ de tervale de tmp: ± 1; ± ; ± 5 etc.; 0 fd la ½ d dstaţa 1 ş +1[]. y t Revsta Româă de Statstcă r. 8 / 01

11 Î cazul ajustăr pe baza fucţe expoeţale codţa de mmum: Σ(y Y t ) = m deve: Σ[y (ab t )] = m Fd o fucţe expoeţală, ecuaţa mede de tedţă deve: log Y = log a t log b t + Sstemul de ecuaţ ormale, petru legătura de formă expoeţală, se adaptează petru cazul î care varabla factorală x este cosderată varabla de tmp t, respectv: log a + logbσt = Σ log y log aσt + logbσt = Σ t log y ( ) care, petru aceeaş codţe pusă la serle damce, ca Σt = 0, sstemul deve: log a = Σ log y logbσt = Σ ( t log y ) ude: log y log a = ( t log y ) log b =. t Pr logartmare, sstemul de ecuaţ ormale este asemăător cu cel obţut petru fucţa lară, cu deosebrea că se folosesc logartm, ar valorle celor do parametr a ş b se obţ pr atlogartmarea rădăclor sstemulu. Petru verfcarea obectvtăţ fucţe foloste se repreztă grafc serle damce ale valorlor reale ş ale valorlor teoretce calculate pe baza ecuaţlor de regrese de tp expoeţal. Î cazul î care ajustarea sere croologce se face după ecuaţa ue fucţ de forma ue parabole de gradul, sstemul de ecuaţ ormale adaptate la factorul tmp: Romaa Statstcal Revew r. 8 / 01

12 a + bσt + cσt = Σy aσt + bσt + cσt = Σt y 4 aσt + bσt + cσt = Σt y Puâd codţa ca t = 0, toate puterle mpare sut ule ş sstemul de ecuaţ ormale ce trebue rezolvate: a + cσt = Σy bσt = Σt y 4 aσt + cσt = Σt y D ecuaţa a doua se calculează parametrul b, care este acelaş ca ş î ecuaţa le drepte, ar d ecuaţle prezetate se formează u ou sstem î a ş c: a + cσt = Σy 4 aσt + cσt = Σt y Rezolvâd sstemul, se obţ valorle celor do parametr ş avâd ecuaţa mede de tedţă, cu care se calculează ecuaţle dvduale î fucţe de valorle lu t ş se face ajustarea. Ş î acest caz se repreztă pe acelaş grafc ş datele reale ş datele ajustate ş dacă abaterle dtre croograma emprcă ş cea teoretcă sut esemfcatve îseamă că fucţa de ajustare este be aleasă. Bblografe selectvă [1] Aghelache, C. (008) - Tratat de statstcă teoretcă ş ecoomcă, Edtura Ecoomcă, Bucureşt [] Bj, E. et al. (01) Statstcă petru ecoomşt, Edtura Ecoomcă, Bucureşt - Aghelache, C., Bugudu, E., Deatcu, C. (011) Elemete de ecoometre teoretcă ş aplcată, Edtura Artfex, Bucureşt - Bardse, G., Nymage, R., Jase. E. The Ecoometrcs of Macroecoomc Modellg, Oxford Uversty Press, 005, ISBN , Berard, C. Hydrodyamcs for a System of Harmoc Oscllators Desturbed by a Coservatve Nose, artcle publshed by the revew Stochastc Processes ad ther Applcatos, Volume 117, o. 4, Aprl 007, Orlado USA, ISSN Revsta Româă de Statstcă r. 8 / 01