Metode Numerice de Rezolvare a Ecuațiilor Diferențiale

Transcript

1 Curs - Meode Numerce de Rezolvare a Ecuațlor Derențale Aplcaț în Ingnera Elecrcă As. Dr. ng. Levene CZUMBIL Laboraorul de Cerceare în Meode Numerce Deparamenul de Elecroencă Ingnere Elecrcă E-mal: Levene.Czumbl@em.ucluj.ro

2 Comporarea dnamcă a ssemelor zce conduce la modele maemace ormae dn ecuaţ derenţale ordnare sau sseme de ecuaţ derenţale care nu po rezolvae pe cale analcă uncţ complcae ca ormă sau uncţ cunoscue doar pe baza unor valor în punce dae abelar ş obţnue pe cale epermenală. Dn aces mov se recurge la rezolvarea numercă a acesora. Meodele numerce de apromare a soluţlor conduc la abele de valor ale uncţe necunoscue. Valorle abelae se calculează ulzând o valoare deja calculaă cu un pas înane meode unpas sau câeva valor calculae deja meode mulpas.

3 Crcu R-L sere în regm ranzoru. Se consderă un crcu orma dnr-un rezsor de rezsenţă R ş o bobnă de nducvae L almenae în sere la o ensune elecromooare e E cosω Se sudază varaţa curenulu în crcu la încderea înreruporulu K. cos E R d d L d d L R e e e L R ω ω ω Se scru eoremele lu Krco ş rezulă o ecuaţe derenţală de ordnul I: Crcuul R-L Sere

4 Ecuaţa lnlor de câmp creae de o sarcnă în mşcare în planul o sub acțunea unu câmp de orțe ese o ecuațe derențală oală eacă; Mşcarea unu elecron supus unu câmp elecrc EE ș a unu câmp magnec HH sasace ecuața derențală vecorală: dv d e m E µ v H Rezolvarea une ecuaţ derenţale asocae unu crcu elecrc de ordn I sau II eca cu un mpuls regm ranzoru; Condensaor de capacae C care se încarcă de la o sursă de ensune connuă E prnr-un rezsor de rezsenţă R. Descărcare unu condensaor de capacae C încărca nţal la ensunea E pe un rezsor de rezsenţă R.

5 Analza comporăr descarcăoarelor de supraensun daorae comuăr lnlor elecrce cu sarcnă capacvă presupune modelarea lne ca ş crcu ţnând con de prezenţa surse de energe de amplasarea descărcăoarelor surge-arresers ş de naura sarcn elecrce capacvă: Modelul de crcu elecrc Soluţonarea numercă a ecuaţe derenţale corespunzăoare crcuulu cu varablă necunoscuă ensunea la bornele descărcăorulu ndcă varaţle care apar penru dere sarcn capacve:

6 Modelul maemac cel ma des înâln al enomenelor care sau la baza majorăţ aplcaţlor elecroence ese ecuaţa derenţală. Rezolvarea eacă a ecuaţlor derenţale ordnare ese posblă penru o clasă oare resrânsă de aplcaț!!! O ecuaţe derenţală ese o ecuaţe care conţne pe lângă varablele ndependene ş uncţle necunoscue ş dervaele acesor uncţ sau derenţalele lor până la ordnul n nclusv numărul n repreznă ordnul ecuaţe derenţale. O ecuaţe derenţală se numeşe ordnară dacă conţne o sngură varablă ndependenă ş are orma generală: n ' ''...

7 Ecuaţle derenţale cu dervae parţale conţn ma mule varable ndependene ş dervaele parţale ale uncţlor necunoscue. Rezolvarea une ecuaţ derenţale de ordn n mplcă mpunerea a n condţ nţale. Esă urmăoarele suaţ: z z z z z z Dacă oae cele n condţ valor sun dae penru aceeaş valoare a varable ndependene negrarea se ace cu condţ nţale mpuse la începu în problemă problema Cauc. Aunc când nervn dverse valor ale varable ndependene rezolvarea se ace cu condţ la lmă

8 Fe : I R R o uncțe connuă daă care descre ecuața derențală de ordnul I care urmează a rezolvaă unde I ese un nerval real ar ese valoarea nţală a uncțe care sasace acesă ecuațe derențală provenă dn condța nțală a probleme. Se propune deermnaea uncţe : I R care sasace problema cu valor condţ nţale problemă Cauc adcă evaluarea uncţe în nodurle a < < < < n- < n b aparțnând nervalulu de denţe I. ' I a < < < < < b n n [ a b] I

9 Demonsraa pe ablă n n n R n!...! '! < < n n n n R ξ ξ ξ Apromaţa ese cu aâ ma bună cu câ numărul de ermen luaţ în consderare în dezvolarea Talor ese ma mare. Meoda ese drecă înrucâ penru calculul lu sun necesare normaţ numa despre puncul aneror. Dacă se consderă doar prm re ermen dn descompunerea în sere Talor n Rn aunc se obțne urmăoarea ormulă apromavă de calcul: [ ]

10 Ese cea ma smplă meodă de negrare numercă a ecuaţlor derenţale ordnare. Se obţne dn meoda Talor penru n adcă se reţn numa prm do ermen dn dezvolare rezulând orma eplcă a meode lu Euler:... ε '' ξ < ξ <! Inerpreare geomercă: se alege un pas de negrare asel încâ nervalul de denţe [ b] să e împărţ în paş egal: b N Asel avem aceeaş problemă de rezolvare a ecuaţlor derenţale cu condţ nţale: ' ș curba soluțe:

11 Prn meoda lu Euler soluţa în nodul se apromează cu ordonaa punculu de nersecţe a angene la curbă în puncul cu dreapa. Ecuaţa angene: ' ' rezulă ormula de recurenţă a algormulu Euler: Asel meoda lu Euler se numeşe ş meoda lnlor polgonale penru că curba se înlocueşe prn lna polgonală M M conorm gur alăurae. Dreapa care rece prn M cu coecenul ungular - conorm poeze prn care ecuaţa derenţală care ormează problema Cauc dă în orce punc pana curbe!!!

12 Observaţe: În aplcaţle elecroence ulzarea meode lu Euler duce la unele dculăţ dn punc de vedere a precze meode. De aceea se olosesc varane ale meode lu Euler cu precze ma mare care olosesc relaţ de recurenţă de orma: Φ Meoda lu Euler îmbunăăță ormula Euler-Huen [ ] ' Φ unde în dezvolarea în sere Talor se reţn prm re ermen: '

13 Meoda lu Euler modcaă ormula Euler-Cauc Φ ' ' În aceasă meodă ʹ nu se ma apromează pe nervalul [ -] cu valoarea de la începuul nervalulu c cu o apromațe a valor de la mjlocul acesu nerval. Meoda lu Euler modcaă predcor corecor Rezulă dn reununea versun meode lu Euler clască relaţa predcor ş a versun modcae relaţa corecor. Cu meoda lu Euler clască se calculează o prmă apromaţe valoarea prezsă a soluţe în puncul urmăor adcă se nţalzează valoarea lu cu o relaţe:

14 După aceea la un pas 3 al procesulu erav de calcul noua valoare a lu rezulă prn aplcarea une relaţ de recurență de orma: Calculul se consderă ermna când a os deermna cu o precze mpusă aprorc cu ale cuvne eraţle se repeă până când derenţa dnre două apromaţ succesve ş - ese ma mcă decâ o eroare sablă dnane prmnd aunc ulma valoare calculaă. < ε eroarea mamă admsblă mpusă Observaţe: La aceeaş valoare a pasulu de negrare acese meode modcae îmbunăăţe a meode lu Euler asgură o precze ma bună ş o soluţonare ma rapdă a ecuaţlor derenţale.

15 Fe ecuaţa derenţală de ordnul I: π ' 3 cos 5 9 cu condţa nţală Cauc 76 unde a valor pe nervalul [75]. Să se deermne valorle uncţe olosndu-se meoda lu Euler îmbunăăţă Euler-Heun respecv varana modcaă versunea Cauc. Pasul. Se scre ecuaţa derenţală ce urmează a rezolvaă: Pasul. Se erage dervae uncţe necunoscue: Pasul 3. Se deneşe uncţa asocaă ecuaţe derenţale:

16 Pasul 4. Denrea uncţe caracersce meode îmbunăăţe Euler-Huen: Φ EH : Pasul 5. Denrea uncţe caracersce meode îmbunăăţe Euler-Huen: Φ EC : a : 7 b : 5 N : Pasul 6. Se denesc capeele nervalulu numărul de punce de calcul ş se deermnă pasul de parcurgere al nervalulu de denţe: b a :.8 N Pasul 7. Se deermnă şrul de punce nermedare în care se evaluează valoarea uncţe necunoscue: :.. N : a

17 Pasul 8. Se mpune condţa nţală Cauc 75: EH : 5 EC : 5 Pasul 9. Se evaluează valorle uncţe necunoscue conorm meode lu Euler îmbunăăţe Euler-Heun : EH : EH Φ EH EH Pasul. Se evaluează valorle uncţe necunoscue conorm meode lu Euler modcaă versunea Cauc : Pasul. Se vzualzează valorle uncţe necunoscue deermnae în puncele : EC : EC Φ EC EC

18 Pasul. Se repreznă grac alura uncţe deermnae cu cele două meode: Pasul 3. Se evaluează abaerea procenuală dnre cele două meode:

19 Meodele lu Euler mplcă necesaea evaluăr dervaelor de ordn superor ale uncţe respecv ale uncţe care duc la dculăţ în apromarea numercă a dervaelor de ordn superor. În scmb meodele de p Runge Kua evă în oalae ulzarea dervaelor de ordn superor ele olosnd numa dervaele de ordn I ale uncţe adcă valorle uncţe. Se calculează valorle uncţe înr-un număr de punce nermedare ale nervalulu [ ] penru deermnarea lu cu o eroare mnmă. Cu ale cuvne meodele Runge Kua de negrare numercă a une ecuaţ derenţale înlocuesc calculul dervaelor uncţe prn evaluăr ale sale în dverse punce.

20 Fe ecuaţa derenţală ordnară cu condţ nţale de orma: ' b a n n < < < < < N a N a b o dvzune ecdsană a nervalulu [a b]!!! Dn raţun de smplcare a calculelor consderăm combnaţ lnare de valor ale uncţe în anume punce ale nervalulu [ ] soluţa calculându-se cu o relaţe unpas de orma: n n a a a... unde dn condţa ca dezvolarea în sere Talor a membrulu drep în uncţe de să concdă cu membrul drep al ormule lu Talor de ordnul n avem ş ormula dedusa ş oţ coecenţ după parcularzăr: Demonsraa pe ablă

21 Parcularzând paramerul n se deermnă dverse ormule: Runge Kua de ornul I n: -- omula lu Euler clască da Runge Kua de ornul II n: da omula modcaă a lu Euler Euler-Huen [ ]

22 Runge Kua de ornul III n: 4 6 da Runge Kua de ornul IV n3: 3 6 da 3 Acese ormule sun oare ulzae în aplcaţle dn domenul elecroenc - complcae ş preenţoase dn punc de vedere a precze!!!

23 Maser anul I Adams Adams Basor Adams Moulon Predcor corecor Mlne Predcor - corecor Hammng Soluţa în puncul se deermnă prn acese meode mulpas olosndu-se valorle calculae ale uncţe în ma mulţ paş aneror. Dacă la meodele unpas uncţa necesă evaluăr penru un număr mare de valor ale varable ndependene la meodele mulpas meode cu paş legaţ nu ese necesar calculul valorlor uncţe în punce nermedare suplmenare aţă de cele corespunzăoare pasulu de dscrezare negrare. Penru acese meode ese preerabl ca puncele luae în consderare penru calculul soluţlor sa e ecdsane. Fnd dae valorle... meodele mulpas olosesc acese normaţ penru calculul lu. Dezavanajul acesor meode ese pornrea ma dclă. Ele nu se auopornesc adcă la prmul pas nu sun dsponble nu se cunosc normaţle dn puncele aneroare necesare adcă prmele valor ale soluţe rebue să e calculae prn ale meode!!!

24 Să se sudeze conecarea unu crcu alcău dnr-o rezsență r ș o nducanță L la o sursă de ensune connuă U ș scurcrcuarea crcuulu. a Conecarea crcuulu la sursa connuă Teorema a doua a lu Krco devne: U d r L d Curenul ese orma dn două componene una sațonară ș una ranzore: s r d L U r d U d r d L U r A e r L Tnând con de condțle nțale rezulă: U A τ I e τ L r

25 Componena sațonară a curenulu ese: s U r Componena ranzore a curenulu ese: r U r e τ Se mplemeneză în Macad rezolvarea probleme consderându-se valorle numerce: L :. H r :. Ω U : V L τ : τ. r s U s : r τ r : e U : s r r s au : τ

26 b Scurcrcuarea crcuulu Dacă scurcrcuăm crcuul r L ensunea U la borne devne egal cu zero curenulpermanen devne egal cu zero: s s r r A e r L Țnând con de condțle nțale rezulă: U I A r I Calcul numerc: sc : U r e τ au s U : ausc : aus aus r τ

27 Crcuul dn gura de ma jos uncțonează în regm permanen cu înrerupăorul K descs. Să se deermne varața în mp a curenulu dn bobnă în urma scurcrcuăr rezsorulu R. Se preczează valorle numerce ale paramerlor crcuulu ș a surse de almenare. R : Ω R : 3 Ω L :. H E : V : E sn -- uncța care deermnă orma alure de creșere a semnalulu da sursa de ensune u

28 a : b : -- coecenț pe baza caroră se calculează recvența semnalulu manssa : loor -- uncțle loor ș manssa reurneaza parea înreagă ș parea racțonară a unu număr u a b : manssa u : u a b -- semnalul perodc de ensune elecrcă

29 Modcarea pozțe înrerupăorulu K conduce la aparța regmulu ranzoru în crcuul elecrc R-L. Modelul maemac reprezena de o ecuae derențală se obțne dn aplcarea eoreme a doua a lu Krco pe ocul de crcu. Condța nțală a ecuațe derențale se deduce dn calculul nensăț curenulu elecrc în regmul permanen aneror aparțe enomenulu ranzoru. d L R u d -- ecuața derențală de ordnul I care se obțne T.5 s -- momenul de mp la care se ace comuața : u T A R R condța nțală la momenul T deoarece regmul de uncțonare nu ese alernav c doar perodc Deș soluța analcă a ecuațe derențale descrse aneror se cunoașe problema se va soluțona prnr-o meodă numercă de negrare apromavă meoda Runge-Kua de ordnul IV. Scopul ese de a prezena o alernavă numercă de rezolvare.

30 Se scre dervaa curenulu în uncțe de celelale mărm dn ecuațe: d u R d L Se aașează membrulu drep al ecuațe o uncțe de do paramer: mpul ș curenul elecrc: u R : L Se condțoneaza peroada de smulare începând de la comuarea înrerupăorulu: T : 6 s :. s -- pasul de dscrezare a mpulu N T T : N numărul de punce de calcul olos penru apromarea valorlor de curenulu elecrc :.. N T : T -- puncele nermedare în care se vor deermna valorle curenulu elecrc I : -- nțalzarea condțe mpuse în ecuața derențală

31 Implemenarea ormulelor aerene meode Runge-Kua de ordnul IV: : : I I I I I I 6 : 3 : : 3 Implemenarea relațe de recurență aerenă meode Runge-Kua de ordnuliv: