OSNOVE ELEKTROTEHNIKE I

Transcript

1 OSNOVE ELEKTROTEHNIKE I ENOSMERNA VEZJA DEJAN KRIŽAJ 009

2 Namerno prazna stran (prirejeno za dvostranski tisk) D.K. / 44.

3 VSEBINA. ENOSMERNA VEZJA. OSNOVNA VEZJA IN MERILNI INŠTRUMENTI 3. MOČ 4. ANALIZA VEZIJ 5. STAVKI (TEOREMI) D.K. 3 / 44.

4 Namerno prazna stran D.K. 4 / 44.

5 Enosmerna vezja.. Enosmerna vezja Vsebina polavja: Kirchoffova zakona, Ohmov zakon, električni viri (idealni realni, karakteristika vira, karakteristika bremena matematično in rafično, delovna točka). V enosmernih vezjih ni časovnih sprememb toka ali napetosti: tok in napetost na vseh elementih vezja sta konstantna. Da je do takea stanja prišlo, je moralo predhodno priti do prehodnea pojava, npr. tedaj, ko smo na vezje priklopili vir električne enerije. Med prehodnim pojavom se tok in napetost na elementih vezja časovno spreminja. Te pojave bomo obravnavali šele v zadnjem delu predmeta OE II. Pri enosmernih vezjih bomo obravnavali le vezja sestavljena iz uporov in virov. Analiza takih vezij je nekoliko bolj enostavna kot analiza vezij pri vzbujanju z izmeničnimi sinali, kljub temu pa se bo kasneje (OE) izkazalo, da lahko z določenimi dodatnimi prijemi (uporaba kompleksnea računa) znanja iz analize enosmernih vezij uporabimo tudi za analizo vezij iz druih pasivnih elementov (kondenzatorjev, tuljav) vzbujanih z izmeničnimi viri. Analiza vezja pomeni, da znamo določiti napetost in tok na vsakem elementu vezja. Da bomo to sposobni, bomo uporabili spoznanja iz elektrostatike in tokovnea polja. To, da je pri enosmernih vezjih vsota tokov v zaključeno površino enaka nič J d A = 0, da velja zakon o potencialnosti polja, kjer je interal električne poljske jakosti po zaključeni poti enak nič E dl = 0 in to, da pri enosmernih vezjih obravnavamo le konduktivne toke, kjer velja L linearna zveza med ostoto toka in električno poljsko jakostjo J = γ E. Iz prve zveze bo sledil prvi Kirchoffov zakon,iz drue drui Kirchoffov zakon in iz tretje zveze Ohmov zakon. Ti nam zadostujejo za popolno obravnavo (analizo) enosmernih vezij. A KIRCHOFFOVA ZAKONA. Kirchoffov zakon. Pri enosmernih vezij ni kopičenja naboja znotraj zaključene dq površine, kar matematično zapišemo = 0, kar dt zaključena A hkrati pomeni, da je J d A = 0. Če razdelimo zaključeno A površino na N delov, lahko zapišemo J d A = J d A + J d A + + J d A = 0, kar pa je A A A A N hkrati enako i + i + + i N = 0, kjer je i tok skozi površino A itd. Pri enosmernih vezjih so toki konstantni in jih običajno pišemo z veliko tiskano črko I ( i( t) = I). Vsota vseh tokov: delta reke Nil. Zaključena površina lahko predstavlja tudi majhno področje, kjer se stikajo vodniki s toki. Temu stiku rečemo spojišče (včasih smo rekli tudi vozlišče). V tem smislu lahko za tokove, ki se združujejo v spojiščih zaotovo trdimo, da je njihova vsota enaka nič, kar predstavlja prvi Kirchoffov zakon: D.K. 5 / 44. /8

6 Enosmerna vezja. N i= I i = 0. K.Z. Z besedami: Vsota tokov v (ali iz) spojišča je enaka nič. SLIKA: Vsota tokov v zaključeno površino/spojišče je enaka nič. Doovoriti se moramo le še kdaj je tok pozitiven. Kot pozitiven tok lahko označimo tistea, ki priteka v ali odteka iz spojišča. Važno je le, da smo pri obravnavi konsistentni. Primer: V spojišče so povezani štirje vodniki. Po prvem priteka tok 4 A, po druem odteka tok A in v tretjem priteka tok A. Določimo tok v četrtem vodniku. SLIKA.. Kirchoffov zakon. Kot smo že omenili v elektrostatičnih razmerah in v razmerah, ko je tok konstanten velja, da je delo po zaključeni poti enako nič, iz česar sledi tudi t.i. zakon o potencialnosti polja E dl = 0. Zaključeno pot lahko L razdelimo na M odsekov, in veljalo bo E dl = E dl + E dl + + E dl = 0 ali tudi L L L L M 0 U + U + + U M =, kar predstavlja. Kirchoffov zakon. Zaključeno pot si lahko poljubno izberemo, pri vezjih jo izberemo tako, da poteka preko virov, bremen in W. Kandinsky prevodnih vezi (žic), ki jih bomo pri analizi vezij poimenovali veje. Drui Krichoffov zakon lahko krajše zapišemo v obliki M Ui = 0.. K.Z. i= Z besedami: vsota padcev napetosti v (zaključeni!) zanki je enaka nič. SLIKA: Idealni napetostni enerator in vzporedno vezani dve bremeni. Po. Kirchoffovem zakonu mora veljati, da je vsota vseh padcev napetosti v zanki enaka nič. D.K. 6 / 44. /8

7 Enosmerna vezja. Primer: Na akumulator z napetostjo V zaporedno priključimo dve bremeni (dva upora). Kolikšna je napetost na druem uporu, če na prvem izmerimo padec napetosti 4 V? SLIKA. Ohmov zakon Kot smo že omenili, pri enosmernih vezjih obravnavamo le konduktivne toke, za katere smo uotovili, da je povprečna hitrost ibanja nabojev sorazmerna električni poljski jakosti v = µ E, s tem pa tudi ostota toka: J = ρv = γ E. Nato smo material z znano specifično prevodnostjo (γ ) uporabili kot prevodnik in uotovili, da v primeru prevodnika v obliki kvadra dolžine l in preseka A skozi prevodnik, ki je priključen na vir napetosti U, teče tok U γ A I = JA = γ EA = γ A = U = GU. l l G imenujemo prevodnost (enota S Siemens). Lahko pa ornjo enačbo zapišemo tudi v še bolj znani obliki U = I / G = RI, kar bi lahko poimenovali Ohmov zakon v interalni obliki. Če povzamemo: za bremena, ki jih bomo obravnavali pri analizi enosmernih vezjih velja linearna zveza (sorazmerje) med tokom in napetostjo. Večja kot je napetost na bremenu, večji tok teče skozi breme. Matematično to zapišemo kot U = RI Ohmov zakon kjer R je električna upornost. Enota za upornost je Ω (Ohm). Poimenovanje Ohmov zakon moramo upoštevati z zadržkom. Zvezo med napetostjo in tokom na določenem elementu vedno lahko poiščemo, ni pa vedno linearna. V elektrotehniki poosto uporabljamo elemente, kot so diode in tranzistorji. Pri teh ravno izkoriščamo njihove nelinearne lastnosti med tokom in napetostjo za usmerjanje, ojačanje, ipd. Ohmov zakon v smislu linearne zveze med tokom in napetostjo je omejen na tiste elemente, kjer je princip prevajanja konduktiven. * SLIKA: Simbol za upor, rafično prikazana linearna zveza med tokom in napetostjo. Primer: Iz I-U karakteristike upora določite njeovo vrednost in zapišite karakteristiko v matematični obliki. SLIKA. * Omejenost Ohmovea zakona ne sme zmanjšati njeovea zodovinskea in praktičnea pomena. Kar se tiče zodovine elektrike se je potrebno zavedati, da so bili sprva pojmi kot so naboj, tok in napetost še popolnoma nejasni in so različni raziskovalci preizkušali različne pojme. Ohm je na tem področju razjasnil razlike med napetostjo in tokom. Pole tea seveda zvezo med tokom in napetostjo v elektrotehniki zelo poosto uporabljamo in je za enostavne upore poosto upravičena linearna zveza. D.K. 7 / 44. 3/8

8 Enosmerna vezja. Označevanje smeri tokov in napetosti. Tako za napetost kot za tok določimo smer. Na viru označimo smer napetosti od sponke plus proti sponki minus, na bremenu pa lahko smer toka ali napetosti določimo poljubno. Ne pa tudi obeh. Smer toka na bremenu določa tudi smer napetosti in obratno (U = IR ). SLIKA: Označevanje smeri tokov in napetosti na virih in bremenu. ELEKTRIČNI VIRI Ločimo dva vira tipa virov: napetostne vire in tokovne vire. Obravnavali bomo idealni tokovni in napetostni vir ter realni tokovni in napetostni vir. Uotovili bomo, da sta realna vira ekvivalentna, če imata enaki I-U karakteristiki. Idealni napetostni vir Idealni napetostni vir zaotavlja na zunanjih sponkah konstantno napetost neodvisno od obremenitve. Tej napetosti rečemo tudi napetost odprtih sponk oziroma napetost prostea teka. I-U karakteristiko idealnea napetostnea vira zapišemo kot U = U 0. SLIKA: Simbol za idealni napetostni vir, napetost odprtih sponk in karakteristika vira. Problem predstavitve (uporabe) idealnih virov je v tem, da je tok kratkea stika pri napetostnem viru neskončen (ker je notranja upornost idealnea napetostnea vira enaka nič), prav tako je neskončna napetost na odprtih sponkah idealnea tokovnea vira (notranja upornost takea vira je neskončna). V realnih razmerah je potrebno upoštevati še notranjo upornost tako tokovnea kot napetostnea vira. Za tak vir uporabimo izraz realen vir, kljub temu, da je v realnosti lahko električna karakteristika pravea vira še bolj zapletena. Realni napetostni vir Govorili smo že o idealnem napetostnem viru, za katerea smo rekli, da ima napetost na zunanjih sponkah konstantno in neodvisno od priključenea bremena. Takih virov seveda ni, D.K. 8 / 44. 4/8

9 Enosmerna vezja. če na slab napetostni vir priključimo»preveliko«breme (v resnici je to breme z majhno notranjo upornostjo), se na zunanjih sponkah vira napetost»sesede«. Vsak vir ima namreč določeno notranjo upornost in ob priključitvi vira na breme steče tok, ki povzroči padec napetosti na bremenu, pa tudi na notranji upornosti vira. Kar tudi pomeni, da na zunanjih sponkah vira nimamo več napetosti odprtih sponk pač pa neko manjšo napetost, ki je zmanjšana za padec napetosti na notranji upornosti vira. Polejmo si razmere matematično in rafično: SLIKA: realni napetostni vir. Realni napetostni vir ponazorimo z zaporedno vezavo idealnea napetostnea vira in upora. Če na priključnih sponkah ni priključeno breme, je seveda tok enak nič in padca napetosti na upornosti vira ni. Napetost na priključnih sponkah je enaka napetosti odprtih sponk: U = U = U. Če pa priključimo breme, se napetost na priključnih sponkah zmanjša za padec o napetosti na notranji upornosti eneratorja: U = U IR. To enačbo lahko prikažemo tudi rafično in ji rečemo karakteristika vira. Na X osi (abscisi) označimo napetost, na Y osi (ordinati) pa tok. Enačba predstavlja enačbo premice, ki jo najlažje določimo v točkah, kjer premica seka X in Y os, napetostno in tokovno os. Ko je tok enak nič, je U = U o = U, to je stanje odprtih sponk, napetosti pa rečemo napetost odprtih sponk. Ko pa je napetost enaka nič, je tok enak Ik = U / R. To pa je stanje kratkea stika, toku rečemo tok kratkea stika ali kratkostični tok. Med točkama kratkea stika in napetostjo odprtih sponk mora potekati premica, ki ji rečemo karakteristika realnea vira. Samo karakteristika vira še ne zadostuje za določitev napetosti na bremenu. Potrebujemo še karakteristiko bremena. Ta je preprosta, saj ko na priključne sponke priključimo breme, je na bremenu napetost U in velja: U = Rb I. Če narišemo še to enačbo v diaram, tudi ta predstavlja enačbo premice. Ena točka je v koordinatnem izhodišču, druo pa določimo tako, da za določeno izbrano vrednost toka (napetosti) izračunamo vrednost napetosti (toka) in vrišemo še druo točko ter potenemo premico. Naklon premice predstavlja upornost. Velik naklon predstavlja majhno upornost, majhen naklon pa veliko upornost. Premici imata presečišče, ki a imenujemo delovna točka. To je namreč točka, ki ponazarja»delovno«stanje vezja. Odčitamo lahko tok in napetost delovne točke. To je tok, ki teče skozi breme, napetost pa je napetost na bremenu. Ta način določanja delovne točke imenujemo rafičen način. Določimo delovno točko še matematično. To naredimo tako, da združimo enačbi bremena in U vira. Dobimo RbI = U IR. Tok v vezju bo torej I =, napetost na bremenu pa R + R U U = R + R b R b. To sta tudi tok in napetost v delovni točki, ki jih odčitamo tudi rafično. b D.K. 9 / 44. 5/8

10 Enosmerna vezja. Primer: Na 9 V baterijo z notranjo upornostjo Ω priključimo breme z upornostjo 5 Ω. Določite napetost in tok na bremenu rafično in analitično. U 9V Izračun: I =,5A R + R = Ω + 5Ω =, U =,5A 5Ω = 7,5 V. b Idealni tokovni vir Idealni tokovni vir na svojih sponkah zaotavlja tok, ki je neodvisen od priključitve bremena. Matematično zapišemo karakteristiko takea vira kot I = I0. V primeru, da sponke takea vira kratko sklenemo, bo tekel tok kratkea stika, kar predstavlja tudi nazivni tok tea vira. SLIKA: Simbol za idealni tokovni vir, tok kratkea stika in karakteristika vira. Realni tokovni vir Je sestavljen iz idealnea tokovnea vira s tokom I in vzporedno vezane upornosti R. Če ni priključenea bremena, je na zunanjih sponkah napetost enaka U = R I. Če je na zunanji sponki priključeno breme (upor R b ), se tok skozi breme zmanjša za tok skozi upornost vira: I = I U / R. Ta enačba predstavlja karakteristiko realnea tokovnea vira, ki jo prav tako lahko rafično prikažemo. Pri kratkem stiku je napetost na bremenu enaka nič, tok pa je kar tok idealnea tokovnea vira in a imenujemo tudi tok kratkea stika: I ( U = 0) = Ik = I, pri odprtih sponkah pa je tok I enak nič, napetost pa napetost odprtih sponk U o = IR. Če karakteristiko narišemo kot U-I diaram, dobimo zopet premico. V presečišču s karakteristiko bremena pa delovno točko. SLIKA: Realni tokovni vir. Uotovimo lahko, da se karakteristika realnea tokovnea vira lahko prilea karakteristiki realnea napetostnea vira. V tem smislu sta to dva ekvivalentna vira. Če primerjamo karakteristiki uotovimo, da bo analoija veljala tedaj, ko bo U = IR. Vprašanje: Kdaj torej ovorimo o napetostnem in kdaj o tokovnem viru? Ko imamo vir z zelo veliko notranjo upornostjo nam le ta zaotavlja konstanten tok (dokler je upornost bremena dosti manjša od notranje upornosti vira, če pa je notranja upornost vira zelo majhna, nam to na zunanjih sponkah zaotavlja konstantno napetost. Vzporedna in zaporedna vezava virov. Enako kot upore, lahko zaporedno vežemo tudi napetostne vire in s tem dosežemo višjo skupno napetost na zunanjih sponkah. To je tudi D.K. 0 / 44. 6/8

11 Enosmerna vezja. običajno narejeno pri mnoih elektronskih aparatih, kjer je na primer za delovanje naprave pri 6 V potrebno povezati zaporedno štiri,5 V baterije. Podobno lahko z vzporedno vezavo tokovnih virov dosežemo vir z večjim nazivnim tokom SLIKA: Zaporedna vezava napetostnih virov in vzporedna vezava tokovnih virov. Nelinearno breme. Grafični način je posebno primeren tedaj, ko je breme nelinearno. Ko je napetost na sponkah bremena neka nelinearna funkcija toka skozi breme. Na primer U = ki. Tak primer je na primer dioda, element, ki ima nizko upornost pri pozitivnih in zelo visoko pri neativnih napetostih (ali obratno, odvisno od priključitve). Pri diodi je v prevodni smeri tok ku eksponentno odvisen od napetosti: I = I0e,v zaporni smeri pa je tok majhen, do določene napetosti, kjer pride do preboja. Ob preboju tok skozi diodo močno naraste in lahko pride do trajne poškodbe ali uničenja elementa. Delovno točko določimo rafično, tako, da določimo točko preseka nelinearne karakteristike bremena in linearne karakteristike realnea vira. SLIKA: Primer določanja delovne točke pri priključitvi diode na realni napetostni vir. SLIKA: Primer določanja delovne točke pri tranzistorski vezavi. Nelinearne so karakteristike tranzistorja, ki so prikazane za različne vrednosti baznea toka. (samo informativno) D.K. / 44. 7/8

12 Enosmerna vezja. Vprašanja za obnovo: ) Razložite. in. Kirchoffov zakon in od kod izhajata? ) Razložite Ohmov zakon. Od kod izhaja? Kakšne so omejitve tea zakona? 3) Razložite idealni in realni napetostni vir matematično in rafično (I-U karakteristika). Kaj je to karakteristika vira, karakteristika bremena? 4) Kaj je delovna točka, kako jo določimo? Primeri kolokvijskih in izpitnih nalo. kol ,nal. 5. kol , nal. 5 D.K. / 44. 8/8

13 Vezja, inštrumenti.. Osnovna električna vezja in merilni inštrumenti Vsebina polavja: osnovni elementi vezij (zaporedna in vzporedna vezava uporov, napetostni in tokovni delilnik, mostično vezje, potenciometer), temperaturna odvisnost uporov, nelinearni elementi, ampermeter, voltmeter, ohmmeter, vatmeter. Z upoštevanjem obeh Kirchoffovih zakonov in zveze med napetostjo in tokom na uporih (Ohmovim zakonom) lahko analiziramo poljubno enosmerno vezje. Potrebno je pač zapisati zadostno število enačb za neznane toke v vejah vezja in rešiti sistem linearnih enačb. V kratkem si bomo podrobneje oledali metode za reševanje (analizo) vezij, ki nam omoočajo sistematičen pristop k reševanju.. Zaporedna vezava uporov Poosto upore priključimo (vežemo) zaporedno. Če so priključeni na vir napetosti, se napetost porazdeli na posamezne upore: U = U + U U N = Ui. Ker pa je skozi vse upore isti tok, velja... (.. ) U = IR + IR + + IR = I R + R + + R = I R = IR N i= N N i nad i= Nadomestna upornost zaporedno vezanih uporov je seštevek posameznih upornosti: R N nad = Ri. i= N SLIKA: Zaporedna vezava uporov. Primer: Določimo nadomestno upornost zaporedne vezave uporov 30 Ω, 00 Ω in kω. Izračun: R nad = 30 Ω.. Vzporedna vezava uporov Upore vežemo vzporedno, ko želimo tok razdeliti v več vej. Celotni tok je vsota tokov posameznih vej: I = I + I I N. Če so upori priključeni na vir, je na vseh uporih enaka N U U U U napetost. Velja I = = U =. Vzporedno vezane upore lahko torej R R R R R N i= i nad nadomestimo z nadomestnim upornom, za katerea velja prevodnostmi dobimo G N nad = Gi. i= = N. Če to izrazimo s Pri vzporedni vezavi uporov tvorimo torej nadomestno upornost s seštevanjem njihovih prevodnosti, pri zaporednih pa upornosti. R nad i= R i D.K. 3 / 44. /

14 Vezja, inštrumenti. SLIKA: Vzporedna vezava uporov. Primer: Določimo nadomestno upornost vzporedne vezave uporov 30 Ω, 00 Ω in kω. Izračun: G nad = /30 S + /00 S +/000 S = 0,044 S, kar ustreza R nad =,556 Ω.. 3. Napetostni delilnik Napetostni delilnik realiziramo z zaporedno vezavo dveh ali več uporov priključenih na vir napetosti. SLIKA: Napetostni delilnik. Zanima nas napetost na uporu R. V skladu z. KZ velja U U U = 0. Z upoštevanjem Ohmovea zakona U = RI in U U R U = RI dobimo I =, od koder je U = IR = R = U. Dobili smo R + R R + R R + R rešitev, ki je v elektrotehniki zelo poosto uporabljena. Napetost moramo poosto zmanjšati oziroma»deliti«. Takemu preprostemu načinu rečemo delilnik napetosti, enačbo pa si velja vtisniti v spomin. Ponovimo končni rezultat: U U R =. R + R Pole matematične oblike je zelo pomembno, da si predstavljamo odvisnost napetosti na uporu od vrednosti uporov tudi rafično. Očitno napetost na uporu R ni linearno odvisna od vrednosti upornosti R. Kako bi si lahko skicirali potek odvisnoti napetosti na R od upornosti R? Tako, da poskušamo poenostaviti enačbo z razmislekom, kakšna bi bila oblika enačbe za zelo majhne R in zelo velike R : - pri R, ki so mnoo manjši od R (matematično R R ) bo R zanemarljivo velik R v primerjavi z R in bo enačba približno enaka U U. Pri majhnih vrednostih R R bo torej napetost na R linearno odvisna od velikosti R. - pri R, ki so mnoo večji od R (matematično R R ) bo R zanemarljivo velik v R primerjavi z R in bo enačba približno enaka U U = U. Pri velikih R vrednostih R bo torej vsa napetost eneratorja na uporu R. D.K. 4 / 44. /

15 Vezja, inštrumenti. Pomaajmo si izrisati rafično odvisnost napetosti U (R ) z računalnikom. Proramov, ki jih lahko v ta namen uporabimo je zelo veliko. Načeloma ni pomembno katerea uporabimo, sta pa se v (elektro)tehniki uveljavila predvsem dva profesionalna prorama: Matlab in Matematica. Polejmo si, kako bi uporabili proram Matlab. V ukazni vrstici prorama vpišemo naslednje vrstice: U=0 % izbrana napetost eneratorja R=5 % izbrana upornost R R=0::00 % tvorimo vrednosti uporov R od 0 po do 00 U=U*R./(R+R) % enacba za izracun napetosti na R (deljenje z./ ) plot(r,u) % ukaz za izris rafa U(R) xlabel('upornost R') % zapis osi X ylabel('napetost U') % zapis osi Y 0 8 napetost U upornost R SLIKA: Sprememba napetosti na bremenu v odvisnosti od upora R. 4. Tokovni delilnik Podobno kot napetostni delilnik, poosta v elektrotehniki uporabljamo tudi tokovni delilnik. SLIKA: Tokovni delilnik. Zanima nas tok skozi upor R. Imamo dva vzporedno vezana upora s skupnim tokom I. Zanima nas tok skozi upor R. Velja: I = I + I, kjer sta I = U / R in I = U / R. Dobimo R + R I = U / R + U / R = U ( / R + / R ) = U. Napetost je torej R U RR = I, tok skozi R R R + R R R upor R pa I = U / R = I = I. Končni rezultat je podoben (vendar ne R + R R R + R enak) kot pri napetostnem delilniku. Zaradi pooste uporabe si a tudi velja zapomniti. Zato a ponovimo: I I R =. R + R D.K. 5 / 44. 3/

16 Vezja, inštrumenti. 5. Napetostni delilnik s potenciometrom a) brez upoštevanja bremenske upornosti Poznamo več različnih tipov potenciometrov. Mi bomo obravnavali le linearne, take, katerih x spremembo upornosti lahko zapišemo kot Rx = R, kjer je R upornost potenciometra med l skrajnima leama, l dolžina prevodne proe, x pa dolžinski del, katerea upornost je R x (lej sliko). Če potenciometer priključimo na vir napetosti U, je napetost na uporu R x enaka U x U x = IRx = Rx. Z upoštevanjem zveze Rx = R pa dobimo R l U U x x U x = Rx = R = U. R R l l Napetost na uporu R x se linearno spreminja z leo drsnika. SLIKA: Priključen potenciometer in raf napetosti na drsniku linearnea potenciometra. b) z upoštevanjem bremenske upornosti Če upoštevamo še priključitev bremena na upor R x, velja U U x U x U x = +. Po preureditvi dobimo (preverite še sami) R R R l x x b / b n = R R. U x x = U, kjer je x ( x / l ) n + l D.K. 6 / 44. 4/

17 Vezja, inštrumenti. Izrišimo nekaj krivulj vrednosti U p za različna razmerja n = R / Rb. Vzemimo U = in spreminjajmo x od 0 do (l=) in izrišimo vrednosti Ux za vrednosti n = 0,0, 0,,, 0 in 00. Matlabovi ukazi so x=0:0.0:; for n=[0.0,0.,,0,00] % zanka za 5 različnih vrednosti n Ux=x./(+x.*(-x)*n) plot(x,ux) hold on % ohrani raf end xlabel('x'); ylabel('ux'); Up 0.5 n=0,0 0, x SLIKA: Različne vrednosti U x pri razmerjih n = 0,0, 0,,, 0, 00. Večjo linearnost se doseže pri n, torej tedaj, ko je bremenska upornost dosti večja od upornosti uporovnea delilnika. 6. Mostično vezje SLIKA: Mostično vezje. Eno v praksi zelo poosto uporabljenih vezij je t.i. mostično vezje, ki a poosto imenujemo tudi Wheatstonov mostič. Zakaj most? Zato, ker premostimo dva napetostna delilnika in merimo napetost med upori. Zradimo a iz napetostnea delilnika z uporoma R in R ter delilnika z uporoma R 3 in R 4. Napetost na uporu R je U R = U, na R R R 4 pa + U U R4 4 =. Mostično napetost dobimo z uporabo K.Z: R + R 3 4 D.K. 7 / 44. 5/

18 Vezja, inštrumenti. R R 4 R R 4 U most = U U 4 = U U = U. Zanimiva situacija nastopi, R + R R3 + R4 R + R R3 + R4 ko je mostična napetost enaka nič. Tedaj rečemo, da je mostič uravnotežen, pri čemer mora R R4 veljati: =. Sledi R ( R3 + R4 ) = R4 ( R + R ) oziroma RR3 = R4R, kar bolj R + R R + R 3 4 R R4 poosto zapišemo v obliki =. R R 3 Mostična vezja se v praksi zelo poosto uporabljajo. Zelo poosta uporaba mostiča je pri iskanju (merjenju) neznane upornosti, katero lahko zelo natančno določimo tako, da spreminjamo eno (ali več) vrednosti upora(ov) toliko časa, dokler ni napetost U most enaka nič. R4 Potem je upornost enostavno določljiva iz ornje enačbe, npr: R = R. R 3 Wheastonovo mostično vezavo ne uporabljamo le v enosmernih razmerah pač tudi pri izmeničnih sinalih. Poznamo različne tipe mostičev, npr. Wienov, Owenov, Maxwellov, itd. SLIKA: Primer uporabe principa Wheatstonovea mostiča: Zoraj mikromehansko izdelan senzor naklona. Vir: An optimized MEMS-based electrolytic tilt sensor. Jun et al.: Sensors and Actuators A39 (007) stran Spodaj: polprevodniški senzor tlaka. Vir: produkt Laboratorija za mikrosenzorske strukture in elektroniko na Fakulteti za elektrotehniko, Univerza v Ljubljani. D.K. 8 / 44. 6/

19 Vezja, inštrumenti. 7. Transformacija zvezda trikot Poosto pri analizi vezij zasledimo vezavo uporov v obliki, ki ji rečemo trikot, saj so trije upori nameščeni v obliki trikotnika. Drua oblika vezave pa je taka, da so trije upori vezani v skupno spojišče taki vezavi pravimo vezava v zvezdo. Poosto si za lažjo analizo vezij pomaamo s transformacijo vezave trikot v zvezdo in obratno. Če imamo v vezavi zvezda tri spojišča z upori R, R in R 3, potem s transformacijo dobimo vezavo trikot z upori R, R 3 in R 3, katerih vrednosti so R R R R = R3 = in R3 =, R R R pri čemer je 3 R = R R + R R + R R. 3 3 SLIKA: Transformacija vezja oblike zvezda v obliko trikot. Zapišimo še obratno pot: če želimo iz vezave trikot preiti v vezavo zvezda, bomo upore določili iz R R3 R =, podobno pa tudi R in R 3. * R + R + R 3 3 Temperaturne lastnosti uporov Ko skozi upor»teče«tok, se nosilci naboja (v uporih običajno elektroni) ne ibljejo premočrtno od ene do drue sponke, pač pa»trkajo«z atomi v snovi. Kljub trkanju z atomi prevodnika pa se pod vplivom priključene napetosti (električnea polja) v povprečju ibljejo v eni smeri: elektroni v smeri pozitivne sponke. V tem smislu se ibljejo z neko povprečno hitrostjo (rečemo tudi hitrost drifta), ki pa je odvisna od temperature. Pri višji temperaturi je namreč nihanje atomov večje in s tem tudi število trkov, torej se povprečna hitrost nabojev zmanjša. S tem se tudi zmanjša tok, posredno pa se poveča električna upornost. Meritve pokažejo, da se temperaturna odvisnost upornosti spreminja skoraj linearno s temperaturo, kar lahko zapišemo v obliki R( T ) = at + b, kjer sta a in b konstanti, ki ju moramo določiti z meritvijo. Običajno nas zanima sprememba upornosti lede na temperaturo okolice (0 0 C), kjer bo R( T0 ) = at0 + b. Če enačbi odštejemo, dobimo * Poskusite sami izpeljati te enačbe. Pot je ta, da mora biti nadomestna upornost med dvema sponkama enaka v obeh vezavah. Npr veljati mora: R + R = R ( R + R ), R R R ( R R ) R = + in še ena zveza za R, ki jo zapišite sami. Nato seštejte prvo in tretjo enačbo ter odštejte druo in dobili boste enačbo za R. D.K. 9 / 44. 7/

20 Vezja, inštrumenti. = + in pišemo T T 0 R( T ) R( T0 ) a R ( T 0) ( α ( )) R( T) = R( T ) + T T Vpeljemo konstanto α, ki jo imenujemo temperaturni koeficient SLIKA: Temperaturna odvisnost upornosti. Tipične vrednosti temperaturnih koeficientov so (v K - ): Železo 0,006 Aluminij 0,004 Baker 0,0039 Konstantan 0,00003 Vse zapisane vrednosti koeficientov so pozitivne, torej bo upornost železa, aluminija, bakra in konstantana večja pri višjih temperaturah. Okrajšava za pozitivni temperaturni koeficient je PTK, za neativnea pa NTK (an. PTC in NTC). SLIKA: Pozitivni in neativni koeficient upora. Primer: Kolikšna je upornost bakrene žice pri 80 0 C, če je njena upornost pri upornost pri 0 0 C enaka 0 Ω? Izračun: 0 - R (80 C) = 0 Ω +0,0039 K 60K =,34 Ω. ( ) Obstaja vrsta elementov, katerim se upornost izrazito spreminja s temperaturo. Tem elementom pravimo termistorji (an. thermistor = thermal resistor). Njihova uporaba v elektrotehniki je zelo poosta, od merjenja temperature do kompenzacije temperaturnih lastnosti druih elementov v vezju, reulacija ampliture, napetosti, alarm,... D.K. 0 / 44. SLIKA: Upornost NTC termistorja se manjša z višanjem temperature. Za primerjavo je na sliki prikazana tudi odvisnost upornosti platine od temperature. Vir: katalo firme Murata. 8/

21 Vezja, inštrumenti. Nelinearni elementi. Linearni element je samo poenostavitev, ki nam olajša analizo vezij. V osnovi so vsi elementi vsaj do določene mere nelinearni. Za upore navadno smatramo, da so linearni, čeprav poznamo tudi vrsto nelinearnih uporov. Najbolj znan nelinearni element je prav otovo dioda. Dioda je običajno izdelana iz polprevodniškea materiala, ki omooča prevajanje v eni smeri, v drui pa ne. To povzroči izrazito nelinearno karakteristiko, ki jo v elektrotehniki s pridom uporabljamo. Bolj zapleteni so tranzistorji, ki so elementi z najmanj tremi kontakti od katerih je en običajno namenjen za kontrolo prevajanja toka med druima kontaktoma. Poosto se uporablja rafičen način za določanje delovne točke tudi pri uporabi nelinearnih elementov. Če si zamislimo, da priključimo nelinearen element na sponki v vezju, lahko posebej narišemo karakteristiko vezja brez priključenea elementa in dodamo karakteristiko nelinearnea elementa. V presečišču je delovna točka. Poosto rišemo rafično karakteristiko nelinearnea elementa za več parametrov, na primer pri bipolarnem tranzistorju za različne bazne toke, pri MOS tranzistorju za različne vrednosti napetosti vrat itd. Kirchoffova zakona sta splošno veljavna, tudi za vezja z nelinearnimi elementi. Večji problem je pri izračunavanju, saj je sistem linearnih enačb dosti lažje rešiti od nelinearnea. Pri slednjem se moramo poslužiti numeričnih metod, pa še v tem primeru ni uspeh zaotovljen. D.K. / 44. 9/

22 Vezja, inštrumenti. Merilni inštrumenti. Poznamo vrsto merilnih inštrumentov, ki nam omoočajo meritve električnih veličin: voltmeter, ampermeter, ohmeter, vatmeter in drui. Običajno so bili ti inštrumenti analoni in so bili zasnovani na osnovnih principih lastnosti električnea polja. Večinoma so uporabljali vrtljive tuljavice. Sodobni inštrumenti so večinoma diitalni, izdelani z uporabo elektronskih elementov. Največji problem merilnih inštrumentov je njihova omejena točnost merjenja, ki je poosto določena s ceno naprave. Omejeno točnost naprav je potrebno upoštevati pri natančnejših meritvah. S problemi merjenja se ukvarja posebno področje elektrotehnike metroloija. Voltmeter. Voltmeter je inštrument za merjenje napetosti. Simbol je kro s črko V v sredini kroa. Idealni voltmeter bi bil tak, ki bi a priključili med merilni sponki in se razmere v vezju ne bi spremenile. V resnici ima vsak voltmeter določeno notranjo upornost, ki je velika, ni pa neskončna. Zamislimo si, da merimo napetost odprtih sponk. S priključitvijo voltmetra bomo spremenili razmere v vezju, saj bo skozi voltmeter stekel določen tok, ki pri odprtih sponkah ne bi. SLIKA: Voltmeter: priključitev, razlika med idealnim in realnim voltmetrom. Razširitev merilnea območja voltmetra je mooča z dodanim preduporom, ki a vežemo zaporedno voltmetru. S tem izvedemo že omenjen napetostni delilnik. Primer: Vzemimo, da voltmeter meri do 5 V (merilno območje), želimo pa meriti do 00 V, pri čemer je notranja upornost voltmetra 00 kω. Določimo predupor tako, da bo voltmeter kazal 5 V tedaj, ko bo na zaporedno vezavo voltmetra in predupora priključena napetost 00 V. 5 V Izračun: 00V = IRp + 5V ; I = R p = 900 kω =,9MΩ. 00 kω SLIKA: Povečanje (razširitev) merilnea območja voltmetra. Ampermeter. Ampermeter je inštrument za merjenje toka. Umestimo a v vejo, v kateri želimo meriti tok. Simbol za ampermeter je kroec s črko A v sredini kroca. Tudi ampermeter ni idealen inštrument. V idealnih razmerah naj bi bila notranja upornost ampermetra čim manjša, torej taka, ki ne bi povzročila dodatnea padca napetosti na inštrumentu. V resnici ima neko malo notranjo upornost. D.K. / 44. 0/

23 Vezja, inštrumenti. SLIKA: Ampermeter, priključitev Prav tako kot voltmetru, lahko tudi ampermetru povečamo merilno območje, vendar sedaj tako, da upor vežemo vzporedno z ampermetrom, ki a imenujemo tudi soupor ali kar po anleško»šant«(an. shunt). S tem del toka, ki bi a sicer meril ampermeter preusmerimo v vzporedno vejo. Primer: Želimo meriti tok 30 A, pri čemer nam inštrument kaže največ 0 A. Notranja upornost ampermetra v tem merilnem območju je 0, Ω. Določimo upornost soupora. Izračun: Ker ampermeter meri največ 0 A, moramo predvideti, da bi pri toku 30 A v vzporedni veji tekel tok 0 A. Napetost na ampermetru pri 0 A je V, ta napetost mora biti V tudi na souporu v vzporedni veji. Veljati mora torej R s = = 0,Ω. 0A Vprašanje: Kako realiziramo tako male vrednosti souporov? SLIKA: Razširitev merilnea območja ampermetra s souporom. Vatmeter je inštrument za merjenje moči. Ima dva para sponk. Z enim parom merimo napetost, z druim pa tok. Simbol je kroec s črko W. Odčitek vatmetra bi bil ob upoštevanju neidealnosti vatmetra različen lede na priključitev sponk. Zakaj? SLIKA: Priključitev vatmetra. Ohmmeter. Je naprava za merjenje upornosti. V osnovi je inštrument, ki pri znani vzbujalni napetosti meri tok skozi breme in iz razmerja določi upornost bremena. Univerzalni inštrument običajno vključuje tako ampermeter, voltmeter kot ohmeter, običajno pa je z njim mooče meriti tudi kapacitivnosti, določene parametre nelinearnih elementov (tranzistorjev, diod), induktivnosti, poosto pa tudi omoočajo priklop določenih senzorjev (temperature, svetilnosti), brezkontaktno merjenje toka (s tokovnimi kleščami) in tudi priklop na računalnik za sprotno odčitavanje in kasnejšo analizo podatkov. D.K. 3 / 44. /

24 Vezja, inštrumenti. Vprašanja za obnovo: ) Tokovni in napetostni delilnik. ) Zaporedna in vzporedna vezava uporov. 3) Voltmeter. Razširjanje merilnea območja s preduporom. 4) Ampermeter. Razširjanje merilnea območja s souporom. 5) Temperaturne lastnosti uporov. Za doma:. Odovorite na vprašanja za obnovo. Rešite TEST.htm 3. Rešite katero od kolokvijskih ali izpitnih nalo Za raziskovalce:. V tekstu smo uporabili izraze coulomb, amper, volt, vat. Po komu se te enote imenujejo in kakšne zaslue imajo ti ljudje za razvoj elektrotehniške znanosti?. Poiščite na internetu strani, ki uporabljajo napetostni ali tokovni delilnik ali mostično vezje v konkretni aplikaciji in opišite osnovni princip delovanja. 3. Preverite svoje znanje na spletu: 4. Napišite proram, ki bo zrisal karakteristiko vira in karakteristiko bremena. Izrišite več karakteristik bremena na isto sliko. Kako se spreminja delovna točka? 5. Raziščite različne tipe potenciometrov, način izdelave in njihovo uporabo. 6. Poiščite na spletu primere uporabe Wheatstoneovea mostiča Kako je označena točnost določenea inštrumenta? Kaj pomeni razred,...? 8. Poiščite informacije o prvih ampermetrih in voltmetrih. Poskušajte razumeti princip delovanja. Kolikšna je tipična notranja upornost voltmetra in ampermetra? Primeri kolokvijskih in izpitnih nalo Izpit, 0. marec 006 (naloa 5) Izpit, 0. aprila 005 (naloa ) Izpit, (naloa 4) D.K. 4 / 44. /

25 Moč Moč Vsebina polavja: definicija moči, delo, moč na bremenu, maksimalna moč, izkoristek. Moč (simbol p, P) je definirana kot produkt napetosti in toka. V splošnem velja p( t) = u( t) i( t), pri enosmernih sinalih pa sta tok in napetost časovno konstantna, zato pišemo moč v obliki P = UI. V primeru, da se moč troši na linearnem uporu (na katerem velja U = RI ), z upoštevanjem Ohmovea zakona dobimo * : En prvih industrijskih eneratorjev elektrike je bil zasnovan na ločevanju naboja s trenjem, ki a uparjene kaplice»nanašajo«na prevodne ščetke. Izumitelj William Geore Armstron, leta 84. P = RI ali P = U / R. Enota za moč je vat (W). Moč je merilo za intenzivnost dela, ki a opravljajo električne sile. Obstaja torej neposredna zveza med močjo in delom, A = Pdt da. (in tudi P = ) dt Če je moč časovno konstantna, velja A = P dt = Pt, kjer je t čas opravljanja dela. Primer: Ko priključimo breme (npr. avtomobilsko žarnico) na enosmerni vir napetosti V, je skozenj tok A. Določimo moč na bremenu, upornost bremena in enerijo, ki se sprosti na bremenu v času 0 minut. Izračun: Moč je P = UI = V A = 4W. Upornost je R = P / I = 4 W /( A) = 6Ω. Enerija je A = W = Pt = 4 W 0 60 s = 4400 J = 4, 4 kj. Vprašanje: Ali re vsa ta enerija v toploto (serevanje)? Vsekakor en del, drui del pa re v svetlobno enerijo. (Žarnice z žarilno nitko nimajo ravno velikea izkoristka, običajno med 0 in 0 % celotne moči). Moč na bremenu. Olejmo si, kako se moč spreminja na spremenljivem bremenskem uporu, ki a priključimo na realni napetostni vir. Veljati mora U = =. Pb RbI Rb R b + R * Te zveze poosto imenujemo kar Joulov zakon, saj je James P. Joule leta 84 prvi prišel do uotovitve, da je sproščena toplota v prevodniku proporcionalna kvadratu toka, ki teče skozi vodnik. D.K. 5 / 44. /6

26 Moč 3. To ni ravno preprosta funkcija, saj R b nastopa x, tako v števcu kot v imenovalcu. Poskusimo iz enačbe razbrati, kako se moč na uporu spreminja s spreminjanjem bremenske upornosti. Ločimo lahko tri različna področja: ) Ko je bremenski upor enak nič, bo moč enaka nič. U ) Pri majhni upornosti bremena ( Rb R ) velja približno P R b, torej pri majhnih R vrednostih upornosti bremena moč na uporu linearno raste. U 3) Ko je bremenski upor zelo velik velja P. Moč na bremenu se bo torej pri velikih R upornostih bremena zmanjševala obratno sorazmerno velikosti ~ in se bo z R b večanjem očitno zmanjševala proti nič. 4) Vmes, med točko in 3 bo imela funkcija (moč) nek maksimum, ki a lahko dp določimo z odvajanjem moči po upornosti bremena ( 0 dr = ). b b SLIKA: Moč na bremenu R b, ki je priključen na realni napetostni vir. Levo: breme na realnem napetostnem viru, desno: prikaz moči na bremenu v odvisnosti od R b. Primer: Določimo moč na bremenu 0 Ω, ki a priključimo na realni napetostni vir V z notranjo upornostjo Ω. V Izračun: P = 0Ω = 0 W. Ω + 0Ω Vprašanje: Ali lahko to moč dosežemo tudi pri kakšni drui upornosti? Odovor je pritrdilen: če enačbo zapišemo tako, da iščemo neznano upornost bremena pri znani moči, dobimo: ( ) R 0 + = R, kar je kvadratna enačba, ki je s preureditvijo enaka b b 0R 04R + 40 = 0 b b (Pri zapisu v matematični obliki smo zaradi prelednosti opustili pisanje enot. Ko določimo rešitev moramo pravilno enoto dopisati!) Rešitvi kvadratne enačbe sta dve: že znanih 0 Ω, pa tudi 0,4 Ω. D.K. 6 / 44. /6

27 Moč 3. Preprosti ukazi s proramom Matlab za izračun 8 in prikaz moči na bremenu: 6 Rb=0:0.:50 % tvorimo niz vrednosti Rb od 0 do 4 50 s korakom 0, U= R= 0 P=Rb*U^./(R+Rb).^ % Izracun moci 8 plot(rb,p) % izris 6 xlabel('rb / Ohm') 4 ylabel('moc na Rb / W') % če želimo zrisati za več različnih vrednosti, zapišemo enačbe v dadoteko in jo večkrat Rb / Ohm poženemo s spremenjeno vrednostjo R, pri čemer za risanje na isti raf dodamo ukaz hold on SLIKA: Prikaz moči za različne vrednosti notranje upornosti eneratorja ( Ω, 5 Ω in 0 Ω). Moc na Rb / W Maksimalna moč na bremenu. Vzemimo primer bremena priključenea na realni napetostni vir in se vprašajmo, kdaj je na bremenu največja moč. Grafična določitev je seveda enostavna, matematično pa jo določimo pri pooju, da mora biti naklon premice na funkcijo moči enak nič (vzporeden z X osjo). Ker naklon premice dobimo z odvajanjem, moramo maksimalno moč iskati pri pooju dp 0 dr =. Uotovimo, da z odvajanjem dobimo pooj, da mora biti za maksimalno moč na b bremenu upornost bremena enaka notranji upornosti vira * : R = R. b Kolikšna bo tedaj moč? Vstavimo pooj (R b = R ) v enačbo za moč in dobimo: U Pb,max =. 4Rb Primer: Določimo še maksimalno moč iz prejšnjea primera. To bo tedaj, ko bo (V) Rb = R = Ω, moč pa bo tedaj P max = = 8W. Rešitev se seveda sklada z odčitkom 4 Ω maksimalne moči, ki jo poiščemo na rafu. dp b U U R = + ( ) = 0 dr b R R b R R b ( R ) * Rb dp U R b = = 0 Rb = R dr b R R b R R + + b D.K. 7 / 44. 3/6

28 Moč 3. Izkoristek bremena. V smislu zakona o ohranitvni enerije se del enerije virov prenese na breme, drui del pa lahko smatramo kot izubna enerija: W = W + W. vhodna izhodna izubna Izkoristek lahko definiramo kot kvocient izhodne in vhodne enerije Wizhodna η =. Wvhodna Ker pa je enerija pri enosmernih vezjih sorazmerna moči W = Pt, lahko definiramo izkoristek tudi kot kvocient moči na bremenu in moči vira (virov): Pb η = P Izkoristek poosto zapišemo v procentih, torej kot Pb η = 00%. P SLIKA: Vhodna enerija se prenese (transformira) na izhodno in izubno. Kako se spreminja izkoristek vezja pri bremenu, priključenem na realni napetostni vir? Izkoristek opisuje enačba Pb I Rb Rb η = = =. P I R + R R + R ( b ) b Pri majhnih bremenskih upornostih re izkoristek proti nič, pri velikih pa proti vrednosti (00%). (lej sliko) D.K. 8 / 44. 4/6

29 Moč 3. Primer z Matlabom: R=4.3 Rb=0:0.:00 plot(rb,rb./(rb+r)) Izkoristek Rb SLIKA: Povečevanje izkoristka z večanjem bremenske upornosti. Kakšna pa je razlika med izkoristkom in maksimalno močjo na bremenu? Uotovimo, da je izkoristek vezja nekaj druea kot maksimalna moč na bremenu. Največji izkoristek dosežemo pri čim večji upornosti bremena, vendar je tedaj moč na bremenu majhna v primerjavi z maksimalno. Pri maksimalni moči pa je izkoristek vezja ravno 50%. Kako določimo izkoristek povezanih sistemov? Če imamo dva zaporedno vezana sistema, lahko izkoristek določimo kot η P P P izh() izh() iz() = = = ηη, Pvh () Pvh () Pvh () torej kot produkt posameznih izkoristkov. Dodajmo še spremembo moči z ukazi hold on P=Rb./(Rb+R).^ plot(rb,p/max(p)) Izkoristek, Moc Rb SLIKA: Izkoristek vezja in moč na bremenu. D.K. 9 / 44. 5/6

30 Moč 3. Vprašanja za obnovo: ) Kako je definirana moč? Zapiši zveze tudi z upoštevanjem Ohmovea zakona. ) Kakšna je povezava med močjo in delom? 3) Kako se spreminja moč na bremenu, ki je priključen na realni napetostni vir? 4) Ali lahko enako moč dosežemo pri dveh različnih upornostih? 5) Kdaj bo moč na bremenu, ki je priključeno na realni napetostni vir maksimalna? Pri kateri upornosti? Kolikšna bo tedaj moč? 6) Ohmeter, Watmeter, univerzalni inštrument. Za raziskovalce:. Kako je J.P. Joule prišel do svojih uotovitev o toploti, ki je proporcionalna kvadratu toka?. Naštejte nekaj različnih tipov žarnic. Opiši njihov princip delovanja. Preverite izkoristke različnih tipov žarnic. 3. Napišite računalniški proram, ki izriše več različnih krivulj na isti raf. Pri temuporabite zanko znotraj katere npr. povečujete vrednost upornosti eneratorja. Primeri kolokvijskih in izpitnih nalo: kolokvij, (naloa ) kolokvij, 5. december 006 (naloi 4, 5) kolokvij, (naloa ) Izpit, (naloa 4) Izpit, 0. marec 006 (naloa 4) Izpit, 0. aprila 005 (naloa ) Izpit, (naloa 5) izpit, 6. januar 007 (naloa 5) Izpit, (naloa 4) D.K. 30 / 44. 6/6

31 Analiza vezij(4).docj Analiza vezij Vsebina polavja: metoda Kirchoffovih zakonov, metoda zančnih tokov, metoda spojiščnih potencialov. Spoznali smo že oba Kirchoffova zakona in zvezo med tokom in napetostjo na uporu. Zaradi pomembnosti velja ponoviti:. KZ:. KZ: N Ii = 0 v spojišču i= M Ui = 0 v zanki i= Ohmov zakon: U = RI (povezuje U in I) Leonardo da Vinci, 94: analiza čoveškea torza Galerria del Academia, Beneteke S pomočjo teh zvez lahko analiziramo (določimo tok in napetost na poljubnem elementu vezja) poljubno vezje. Le zapisati moramo ustrezno število enačb in rešiti sistem enačb. Spoznali pa bomo tudi metode, ki nam omoočajo analizo vezij z manjšim številom enačb. Najbolj tipične metode reševanja (analize) vezij so: ) Metoda Kirchoffovih zakonov ) Metoda zančnih tokov 3) Metoda spojiščnih potencialov. Metoda Kirchoffovih zakonov (metoda vejnih tokov) Je najosnovnejša metoda, ki se (kot že ime pove) poslužuje uporabe Kirchoffovih zakonov. Način reševanja bomo prikazali na konkretnem primeru. Najprej moramo označiti smeri tokov v vsaki veji. Ta označitev je lahko poljubna, potrebno pa se je zavedati (kot smo že omenili!), da smer toka (skozi upor) določa tudi smer napetosti. Za lažjo analizo bomo označili tudi spojišča vezja ter tri zanke. Toka v veji s tokovnim virom nismo posebej označili, saj ta tok lahko enačimo kar s tokom tokovnea eneratorja. Zapišemo lahko štiri enačbe z uporabo KZ: spojišče (0): I4 I3 I5 = 0 spojišče (): I + I + I4 = 0 spojišče (): I + I + I3 = 0 spojišče (3): I I + I5 = 0 In dve enačbi po KZ: zanka (J ): U + IR + I3R3 I4R4 = 0 zanka (J ): I3R3 + IR + I5R5 = 0 Za zanko J 3 ne zapišemo enačbe saj ni potrebna. Zančni tok J 3 je znan in kar enak (vsiljenem) toku tokovnea eneratorja. D.K. 3 / 44. /8

32 Analiza vezij(4).docj 4. Polejmo število neznank in število enačb, ki smo jih zapisali. Število neznank je enako številu neznanih vejskih tokov, torej 5. Število enačb, ki smo jih zapisali pa je 6. Ena od enačb je torej odveč, je redundančna. Izkaže se, da je odveč ena od enačb po KZ. Izločimo lahko torej poljubno spojiščno enačbo *. I () I J 3 R R () I (3) U + J I 5 R 3 J R 5 R 4 I 3 I 4 (0 V) SLIKA: Primer vezja: U = 0 V, I = A, R = 0 Ω, R = 5 Ω, R 3 = 0 Ω, R 4 = Ω, R 5 = 40 Ω. Teorija rafov (na kratko) Reševanje takea sistema enačb zahteva sistematičen pristop. Pomaamo si lahko s teorijo rafov, kjer najprej narišemo raf vezja, nato drevo vezja in vrišemo dopolnilne veje (kite). Graf vezja narišemo kot vezje, v katerem ostanejo le veje vezja. Drevo vezja sestavimo iz vej vezja, s katerimi moramo doseči vsa spojišča vezja, pri tem pa ne smemo zaključiti nobene zanke. Veje, ki jih nismo uporabili za tvorjenje drevesa, so dopolnilne veje in jih dorišemo s črtkanimi črtami. SLIKA: Graf vezja, drevo vezja in dopolnilne veje kite. Število enačb, ki jih moramo zapisati po KZ je torej enako N, kjer je N število spojišč, število enačb po KZ pa je enako številu dopolnilnih vej. V našem primeru bomo potrebovali 4- = 3 spojiščne enačbe in zančni enačbi. * Seštejte spojiščne enačbe (), () in (3) ter množite z -. Dobili boste spojiščno enačbo (0). Vezje, ki a obravnavamo je nekoliko specifično, ker v eni veji vsebuje idealni tokovni vir. V smislu analize vezij (teorije rafov) take veje ne moremo smatrati kot dopolnilne veje. Za te je značilno, da vsebujejo elemente s končno notranjo upornostjo. D.K. 3 / 44. /8

33 Analiza vezij(4).docj 4. Zapis in reševanje sistema enačb Sistem enačb rešimo tako, da a zapišemo v matrični obliki. Upoštevali bomo spojiščne enačbe od () do (3)). Npr prvo spojiščno enačbo () zapišemo v obliki I + 0 I + 0 I + I + 0 I = I, druo v obliki I + I + I3 + 0 I4 + 0 I5 = 0 itd. Koeficiente prepišemo v matriko in dobimo I I 0 0 I I 3 = I R 0 R3 R4 0 I4 U 0 R R3 0 R 5 I 5 0 Potrebno je le še vstaviti vrednosti in rešiti sistem enačb zapisan v matrični obliki A x = b (včasih zapišemo tudi kot Ax = b ), kjer je A matrika velikosti 5x5, x vektor neznank (tokovi I do I 5 ) in b vektor sestavljen iz vrednosti na desni strani matričnea zapisa. Sistem enačb poosto rešimo z uporabo računalniških proramov. Sistem enačb rešimo s proramom Matlab. Tvoriti moramo matriko A in vektor b ter rešiti sistem enačb tipa Ax=b. Rešitev dobimo z Matlabovim ukazom x=a\b. >> A=[,0,0,,0;-,,,0,0;0,-,0,0,;0,0,0,-,0;0,5,-0,0,40] A = >>b = [ - ; 0 ; ;0 ;0]; >> x=a\b x = S pomočjo Matlaba izračunani vejski toki so I = 0,43 A, I =, 4953 A itd.. Metoda zančnih tokov Metoda zančnih tokov temelji na uporabi KZ, kjer namesto vejskih tokov uporabimo zančne toke. Slednje tvorimo iz vejskih tako, da je ta v veji, ki ni skupna drui (sosednji) zanki kar enak vejskemu toku, sicer pa je enak vsoti ali razliki vejskih tokov, odvisno od označitve smeri zančnih tokov. Potrebno število enačb je enako številu dopolnilnih vej. Za analizirano vezje veljajo sledeče zveze med zančnimi in vejskimi toki: D.K. 33 / 44. 3/8

34 Analiza vezij(4).docj 4. J J J = I 4 = I 5 = I 3 in I = J J 3 I = J J 3 Če vejske toke izražene z zančnimi vstavimo v napetostni enačbi po K.Z., dobimo sistem zančnih enačb. Običajno je lažje napisati enačbe tako, da sproti upoštevamo padce napetosti v zanki: zanka (J ): U + ( J J3) R + ( J J ) R3 JR4 = 0 zanka (J ): ( J J) R3 + ( J J3) R + JR5 = 0 zanka (J 3 ): J3 = I Dobimo sistem treh enačb za tri neznane toke. V osnovi le sistem dveh, saj je tretja že določena: J3 = I = A. Obstaja še dru pristop k tvorjenju sistema enačb, ki seveda privede do ekvivalentnea zapisa enačb. Pri tem pristopu najprej upoštevamo tok zanke in vse padce napetosti v zanki, ki jih ta tok povzroča. Nato ustrezno prištejemo ali odštejemo še prispevke ostalih zančnih tokov. Primer: J( R + R3 + R4 ) J3R JR3 U = 0 J ( R + R + R ) J R J R = Reševanje sistema dveh enačb Vstavimo vrednosti v zornjo enačbo in zapišemo enačbi v matematični obliki (brez enot): J 3 0 J 0 0 = 0 J55 J0 5 = 0 Enačbi z dvema neznankama lahko preprosto rešimo tako, da iz ene enačbe izrazimo eno od spremenljivk in jo vstavimo v druo enačbo. Npr iz. enačbe izrazimo J in dobimo J = 0,(J 3-50). To vstavimo v druo enačbo in dobimo 0,(J 3-50)55-J 0 = 0 in iz nje izračunamo J =, 7757 A in z vstavitvijo te vrednosti v eno od enačb še J = 0,5047A.Uotovimo lahko, da je dobljeni tok J skladen z rešitvijo, ki smo jo dobili po sistemu reševanja Kirchoffovih enačb: J = -I 4. Matlab: Reševanje s pomočjo prorama Matlab je silno preprosto. Tvorimo matriko A in vektor b ter rešitev kot x=a\b'. Drua možnost je x=inv(a)*b. Tokrat smo nekoliko druače zapisali vektor b (kot vrstični vektor) kot v prejšnjem primeru. Zato a je potrebno spremeniti (transponirati) z dodatkom '. A=[3, -0; -0,55] b=[50,0] x=a\b >> x = D.K. 34 / 44. 4/8

35 Analiza vezij(4).docj Metoda spojiščnih potencialov Metoda temelji na uporabi. KZ, po katerem zapišemo vsoto tokov v spojišče, ki mora biti enaka nič. Toke izrazimo s potenciali spojišč, razen, če je tok v veji znan, npr. tokovni enerator. Označimo vsa spojišča in jim pripišemo neznane potenciale. Potencial enea spojišča lahko prosto izberemo. Ponavadi mu priredimo vrednost 0 V (a ozemljimo). Če se v veji nahaja upor, izrazimo tok v veji s padcem napetosti na uporu ( I = U / R ), napetost na uporu pa z razliko potencialov spojišč. V primeru, da se v veji nahaja tudi napetostni enerator, je potrebno vrednost napetosti eneratorja ustrezno upoštevati (odšteti ali prišteti razliki potencialov). Število potrebnih enačb je enako N, kjer je N število spojišč. V primeru ki a obravnavamo je to 4 =3. Reševanje konkretnea primera: V smislu sistematičnea pristopa bomo predpostavili, da vsi toki izhajajo iz spojišča (čeprav smo jih oriinalno označili druače). Spojišče (): Tok v tej veji določimo iz padca napetosti na uporu R 4. Napetost na tem uporu pa je razlika potencialov spojišč () in (0). Ker smo spojišče (0) ozemljili, potencial spojišča () pa je V, je tudi napetost med spojiščema enaka V. Napetost na uporu R 4 je manjša od V za padec napetosti na napetostnem viru, torej je enaka V U, tok skozi upor R 4 pa je V U R 4. Na podoben način določimo ostale toke. Za spojišče () dobimo V U V V + + I = 0, R4 R za spojišče () V V V V V3 + + = 0 R R3 R in za spojišče (3) V3 V V3 I + + = 0. R R 5 Dobimo sistem treh enačb za tri neznane potenciale. Vstavimo vrednosti in rešimo sistem enačb: V 0 V V + + = 0 0 V V V V V3 + + = V3 V V3 + + = oziroma V + V = 0 0 V + V + + V3 = V V + = 5 40 D.K. 35 / 44. 5/8

36 Analiza vezij(4).docj 4. Potenciali spojišč izračunani s pomočjo Matlaba so: V = 8,43 V, V =,7 V in V 3 = 0,869 V. Vejske toke določimo iz že zapisanih zvez, pri čemer pa je sedaj potrebno upoštevati predhodno izbrano smer tokov. Tako je na primer tok I enak V V = (8, 4,7) V / 0Ω = 0, 43A. R (Opozorilo: Zaradi prelednosti pisanja enačb namenoma pri vstavljanju številskih vrednosti v enačbe nismo pisali tudi enot. Enačbe smo torej spremenili v matematično obliko. Ko določimo rešitev, pripišemo ustrezne enote). Reševanje sistema enačb s pomočjo Kramerjevea pravila En od načinov reševanja sistema enačb je z uporabo t.i. Kramerjevea pravila *. Pri tem det( A ) moramo izračunati determinante matrik. Rešitev za potencial V je na primer V =, det( A) kjer je determinanta matrike A,05 0,05 0 det( A) = 0, 05 0,35 0, =, 05(0,35.0, 5 ( 0, )( 0, )) ( 0, 05)(0, 05.( 0, 5) ( 0, ) , 0, (0,05.( 0,) (0,35).0)) det( A ) = 0, 040. Determinanto det(a ) pa dobimo tako, da prvi stolpec matrike A nadomestimo z vektorjem b): 8 0, 05 0 det( A ) = 0 0, 35 0, = 0, 330 % Uporaba Matlaba >> A=[+/0,-/0,0;-/0,/0+/0+/5,-/5;0,-/5,/5+/40] A = >> b=[-+0;0;] b = 8 0 >>V= A\b ans = , 0,5 det( A ) Dobimo: V = = 8,V. det( A) * Gabriel Cramer (704-75): D.K. 36 / 44. 6/8

37 Analiza vezij(4).docj 4. * Analiza vezij s proramskim orodjem Pri bolj kompleksnih vezjih, še posebno, ko analiziramo vezja z dodanimi nelinearnimi elementi, se lahko poslužimo analize vezij s proramskimi paketi. En najbolj znanih je zasnovan na Spice simulacijah *. Na spletu je mooče dobiti vrsto proramov, ki temeljijo na Spice simulaciji. Polejmo si primer uporabe prorama 5Spice, ki omooča tudi uporabo rafičnea vmesnika. Ta je še posebno primeren za popolne začetnike, saj ni potrebno poznati sintakse zapisov, pač pa le nekaj osnovnih pravil. Eno od teh je npr, da je potrebno eno od spojišč ozemljiti. Vsa računalniška orodja, ki temeljijo na Spice simulacijah, temeljijo na enakem načinu zapisovanja (sintakse) povezav med elementi. Spice sintaksa obravnavanea vezja: U 0 DC 0.0V ; V povezuje spojišči in 0, kjer smo spojišče 0 dodali med U in R4 I 3 ; I je med spojiščema in 3, nejova vrednost je R 0 R 3 5 R3 0 0 R4 0 0 R DC U 0 0 ; naredi sken U-ja od 0 do 0 V po V in omooci.print ukaz.print DC I(R) I(R) ; izpiše toke na uporih R in R.END SLIKA: Primer simulacije vezja s proramom 5Spice, (pomembno pri delu s proramom je to, da mora biti eno od spojišč vedno ozemljeno) * SPICE je sicer delo univerzitetnea laboratorija (Electronics Research Laboratory, University of California, Berkeley, ZDA), a pa pod tem imenom poznamo tudi v profesionalnih orodjih (npr. HSPICE in PSPICE). Več: D.K. 37 / 44. 7/8

38 Analiza vezij(4).docj 4. Za doma:. Odovorite na vprašanja za obnovo. Rešite TEST4.htm 3. Rešite kakšno od kolokvijskih ali izpitnih nalo Vprašanja za obnovo: ) Zapišite in razložite Kirchoffova zakona. (lej tekst) ) Kolikšno število enačb moramo zapisati za analizo vezja po metodi Kirchoffovih zakonov? 3) Kaj je to raf vezja, drevo in dopolnilne veje? Prikaži na primeru. 4) Kako zapišemo enačbe z uporabo metode zančnih tokov? Kolikšno je število potrebnih enačb za analizo vezja? 5) Kaj je to determinanta in poddeterminanta sistema, kako zapišemo sistem enačb v matrični obliki? 6) Na čem temelji metoda spojiščnih potencialov? Kako jo uporabimo? Kolikšno je potrebno število enačb po tej metodi? Primeri kolokvijskih in izpitnih nalo izpit, 0. septembra 00 (naloa 5) izpit, 3. januar 003 (naloa 5) kolokvij, (naloa 3) izpit, (naloi 3, 5) kolokvij, (naloa ) Za raziskovalce: Poiščite način izračunavanja determinant s proramom Matlab ali FreeMat in rešite sistem za potencial V. Iz spleta si naložite proram 5spice in se z njim malo poirajte (a uporabite za analizo vezij). D.K. 38 / 44. 8/8

39 5. 5. Stavki (Teoremi) Vsebina: Stavek superpozicije, stavek Thévenina in Nortona, maksimalna moč na bremenu (druič), stavek Telleena.. Stavek superpozicije Ta stavek določa, da lahko poljubno vezje sestavljeno iz linearnih elementov z več viri poenostavimo tako, da analiziramo vezje s posamičnim vklopom posameznih virov v vezje. Toke, ki jih izračunamo na tako poenostavljenem vezju na koncu seštejemo (superponiramo). V našem konkretnem primeru bi lahko določili toke v vejah vezja za dve poenostavljeni vezji. V prvem bi bil vklopljen le napetostni vir, v druem pa le tokovni vir. Izklopljen napetostni vir nadomestimo s kratkim stikom, tokovni vir pa odklopimo - odprte sponke. SLIKA: Vezje nadomestimo z dvema enostavnejšima vezjema. V prvem vezju obdržimo le napetostni vir, tokovnea pa izklopimo (odprte sponke), v druem vezju pa obdržimo tokovni vir in odklopimo napetostnea (nadomestimo s kratkim stikom). Primer: Določimo tok I 4 s pomočjo metode superpozicije.. vezje: Ko izklopimo tokovni vir lahko vse upornosti združimo v eno (nadomestno) tako, da zaporedno seštejemo upora R in R 5 ter nato obema vzporedno še R 3 ter nato vsem še zaporedno R in R 4. Dobimo nadomestno upornost R nad =(R +R 5 ) R 3 +R +R 4 =9,8 Ω. Tok I 4() = -0 V/9,8 Ω = 0,347 A. (Bodite pozorni na to, da je predznak toka neativen.). vezje: Ko izklopimo napetostni vir, nam ostane vezje, pri katerem ne moremo preprosto seštevati upore. Zopet moramo uporabiti eno od metod za reševanje vezij. Vzemimo kar metodo zančnih tokov, ki se je za analizo konkretnea vezja izkazala kot zelo. Razlika v že nastavljenih enačbah bo le ta, da sedaj nimamo napetostnea vira: J 3 0 J 0 = 0 J55 J0 5 = 0 Izračun nam da vrednosti J =,4330 A in J = 0,444 A. I 4() je enak J in bo torej enak I 4() =,4330 A. Na koncu seštejemo obe vrednosti in dobimo I 4 = I 4() + I 4() = 0,347 A,4330 A =,7757 A. Uotovimo lahko, da je rešitev enaka, kot smo jo dobili z uporabo metode Kirchoffovih zakonov. D.K. 39 / 44. /6