MODELAREA SI SIMULAREA DINAMICII SISTEMELOR

Transcript

1 Gheorghe M.Panaiescu MODELAREA SI SIMULAREA DINAMICII SISTEMELOR Noe de curs Universiaea Perol-Gaze Ploiesi Caedra Auomaicǎ si calculaoare 7

2

3 P R E F A Ţ Ǎ Lucrarea prezenǎ ese suporul de curs al disciplinei Modelarea si simularea dinamicii sisemelor si ese desinaǎ sudenilor de la specializarea Auomaicǎ si informaicǎ indusrialǎ AII, cursuri de zi dar si celor care urmeazǎ forma de învǎǎmân cu frecvenǎ redusǎ. Exisǎ si o versiune specialǎ a acesei lucrǎri dedicaǎ învǎǎmânului cu frecvenǎ redusǎ, versiune care se aliniazǎ insruciunilor de redacare elaborae de CNEAA. Versiunea prezenǎ a acesor Noe de curs cumuleazǎ o experienǎ dinamicǎ, care se mǎsoarǎ în pese ani de predare. An de an cursul a suferi modificǎri, de aceea a fos meninu în formǎ elecronicǎ. Modificǎrile si îmbunǎǎirile cele mai recene consau în suplimenarea cu un numǎr de exemple de modele si de calcule de simulare a unor siseme dinamice sau a unor pǎri ale lor: capiolele sun însoie la finalul lor de un numǎr de probleme, unele rezolvae, alele propuse spre rezolvare, si de câeva ese de auoevaluare. Penru efecuarea calculelor necesare rezolvǎrii unor aplicaii noi sau penru verificarea exemplelor din corpul acesor Noe de curs, auorul recomandǎ sudenilor uilizarea pacheului de programe Malab. Alǎuri de Noele de curs, înr-un volum separa afisa în acelasi loc, ese da un Ghid de lucrǎri care conine un numǎr de eme si probleme propuse a fi soluionae în orele de aplicaii. 3

4 C U P R I N S INTRODUCERE ÎN TEHNICA MODELǍRII SI SIMULǍRII 7 Siseme si modele Definiii Uiliaea modelǎrii si simulǎrii Eape ale modelǎrii dinamicii unui sisem Clasificǎri ale modelelor Relaia înre mulimea modelelor si mulimea sisemelor Probleme Exerciii de auoevaluare MODELE MATEMATICE DINAMICE 7 Modele sub formǎ de ecuaii difereniale ordinare Efecul discreizǎrii impului asupra modelelor de ipul ecuaiilor difereniale ordinare Modele sub formǎ de ecuaii cu derivae pariale Modele sub formǎ de ecuaii inegrale sau ecuaii inegro-difereniale Probleme Exerciii de auoevaluare PRINCIPII FUNDAMENTALE DE FIZICǍ, CHIMIE SI CHIMIE FIZICǍ ÎN MODELAREA SISTEMELOR DINAMICE 47 Ecuaii de coninuiae Ecuaii de bilan energeic Ecuaii de miscare Ecuaii de ranspor Ecuaii de sare Specre de componeni Ecuaiile de sare si amesecurile complexe Echilbre înre faze Ecuaii chimice generalizae, soechiomerie, echilibru chimic 4

5 Ale principii si aspece caniaive uilizae în scrierea modelelor dinamicii sisemelor Probleme Exerciii de auoevaluare FORME STANDARD ALE MODELELOR DINAMICII SISTEMELOR 67 Dinamica sisemelor modelaǎ cu ecuaii de sare si ecuaii de observare Modele maemaice în domeniul complex Dinamica sisemelor modelaǎ cu ecuaii care leagǎ iesirile de inrǎri Modele maemaice în domeniul frecvenelor Trecerea de la modelul liniar de ip ecuaii de sare/ecuaii de observare la modelul ip inrare-iesire Trecerea de la modelul liniar de ip inrare-iesire la modelul ip ecuaii de sare/ecuaii de observare Probleme Exerciii de auoevaluare ELEMENTE DE NATURǍ ALEATOARE ÎN DINAMICA SISTEMELOR 89 Spaiul evenimenelor Probabiliǎi, probabiliǎi condiionae Variabile aleaoare Generarea de numere aleaoare Raporul experimen-lege de repariie eoreicǎ si verificarea legilor de repariie Esimarea si verificarea paramerilor legii de repariie eoreice Esimarea de parameri în modelele sisemelor Fenomene aleaoare dinamice Modele dinamice sochasice Modelul ARIMA Forma Wiener-Kalman a modelelor penru siseme sochasice discree Esimarea recursivǎ a paramerilor unui model Probleme Exerciii de auoevaluare 5

6 METODE NECONVENTIONALE ÎN MODELAREA DINAMICII SISTEMELOR 33 Analiza componenelor principale Regresia prin componene principale Meoda celor mai mici pǎrae pariale Reele neuronale Reele neuronale arificiale sraificae Analiza mulirezoluie Exerciii de auoevaluare MODELAREA SI SIMULAREA DINAMICII SISTEMELOR MARI 57 Siseme dinamice mari Meode de modelare a sisemelor mari orienae pe ecuaii Meode orienae pe module Exerciii de auoevaluare MODELE ALE DINAMICII SISTEMELOR CU EVENIMENTE DISCRETE 65 Siseme cu evenimene discree Inroducere în eoria reelelor Peri Semanica reelelor Peri Marcaje Timpi asociai cu poziiile si ranziiile Reguli de funcionare Compeiie si sincronizare Mecanisme de conrol Reele Peri speciale. Asincronism, masini de sare si auomae Grafuri cu evenimene emporizae Probleme Exerciii de auoevaluare RǍSPUNSURI LA EXERCITIILE DE AUTOEVALUARE 87 B I B L I O G R A F I E 89 6

7 INTRODUCERE ÎN TEHNICA MODELǍRII SI SIMULǍRII Siseme si modele Definiii Uiliaea modelǎrii si simulǎrii Eape ale modelǎrii dinamicii unui sisem Clasificǎri ale modelelor Relaia înre mulimea modelelor si mulimea sisemelor Probleme Exerciii de auoevaluare Siseme si modele Un sisem naural ese înr-un schimb permanen de informaie, de energie si/sau de maerie cu ambiana si numai exrem de rar relaia sisemului cu mediul înconjurǎor ese mereu aceeasi. În cvasioaliaea cazurilor exisǎ o evoluie mai lenǎ sau mai rapidǎ, nauralǎ sau provocaǎ, care face ca impul sǎ capee o imporanǎ fundamenalǎ. Exisǎ asadar aspece dinamice care rein aenia fie în cadrul unei urmǎriri pasive a evoluiei sisemului, fie penru scopul pracic al influenǎrii/conducerii evoluiei lui. Schimbul amini cu mediul inseamnǎ aâ recepare câ si generare. O pare din ceea ce sisemul primese de la mediul înconjurǎor, pare care deranjeazǎ în general o evoluie normalǎ nu odeauna usor de defini se grupeazǎ sub numele generic de perurbaii. Perurbaiile se prezinǎ, de asemenea, în una sau mai mule din cele rei forme, adicǎ informaie, energie si/sau maerie. Penru un observaor, un sisem fizic implica înr-un schimb de o naurǎ sau ala cu ambiana poae fi caraceriza prin câeva ipuri de variabile, dupǎ cum urmeazǎ: inrǎri manipulabile sau variabile de comandǎ, asupra cǎrora un uilizaor al sisemului poae aciona; perurbaii, care uzual scapǎ inerveniei dirijae, conrolae; iesiri, care po fi mǎsurae sau cel puin deecae si care sun expresia aciunii sisemului asupra ambianei; variabile de sare, care sun inerioare sisemului, nu sun neapǎra direc percepibile, dar împreunǎ cu evenualele inrǎri guverneazǎ evoluia sisemului. 7

8 Un model al unui sisem ese, desigur, alceva decâ sisemul însusi. Modelul rebuie însǎ sǎ imie, pânǎ la a reproduce dacǎ ese posibil, comporarea si/sau evoluia sisemului modela. Modelele unui sisem po fi de nauri diferie. Po fi modele fizice, po fi modele maemaice sau po fi o combinaie a acesora în sensul simplu cǎ de cele mai mule ori nu se poae face o modelare fizicǎ fǎrǎ a se inermedia relaia model-sisem modela prin ecuaii maemaice. Modelele po fi de cunoasere sau de reprezenare/conducere. În oae cazurile, sisemul exisǎ independen de orice model aasa, fie cǎ ese vorba de o inenie sau ala, de a cunoase un sisem sau de a-l conduce. Mai mul, modelele sun în cvasioaliae simplificǎri, uneori caricauri ale realiǎii. Se spune adesea cǎ modelele sun minciuni uile necesare în descoperirea adevǎrului. Sub aspec episemologic se poae observa cǎ cel care elaboreazǎ modelul ese de fap pare inegranǎ a modelului, cu care se aflǎ în ineraciune srânsǎ, aproape inimǎ. Asfel, naura modelului depinde de obiecivele urmǎrie de cel care îl concepe, iar modelul adopa modificǎ percepia si înelegerea sisemului de cǎre realizaorul modelului. Modelele de cunoasere se bazeazǎ pe fenomenologia bogaǎ descrisǎ de legile fizicii, chimiei, biologiei, economiei ec. Variabilele unui model de cunoasere au semnificaii imediae: emperauri, presiuni, cureni, acceleraii, fore, cosuri ec. Acese modele sun foare bogae în semnificaii, spre deosebire de modelele de reprezenare/conducere. Ele conin în cvasioaliae informaiile uile privioare la sisemul sudia. Sun însǎ în general dificil de manipula în evaluǎrile numerice si în implemenare. Modelele de reprezenare si conducere nu permi decâ cu oul ocazional inerpreǎri fizice ale fenomenelor din sisemul sudia. Acese modele sun consiuie din relaii maemaice care leagǎ diferie variabile ale sisemului înrun domeniu de valori preciza, de cele mai mule ori limia. Variabilele care apar în modelele de aces ip po sǎ nu aibǎ nici o legǎurǎ cu vreun sens fizic chiar dacǎ în paricular acesa ese cunoscu. Modelele de reprezenare po fi: modele de reguli care sun de forma o dublǎ acionare a lui A, produce o deplasare a lui B si sun generae prin observarea sisemului în funcionarea lui; sun adesea dificil de manipula dar se preeazǎ la meodele ineligenei arificiale; modele gen fisier care sun abele de dae inrare-iesire; sun de cele mai mule ori puncul de plecare în elaborarea unor modele mai evoluae; 8

9 modele inrare-iesire care sun relaii maemaice înre inrǎri si iesiri în cadrul unor reprezenǎri de ip cuie neagrǎ black box; modele de sare care recurg la descrierea sǎrii sisemului la momene diferie; modele grafice care po fi sub forma unor scheme funcionale, a unor grafuri de fluenǎ, a unor reele Peri, sau a unor asa-numie bond-graph-uri. Mare pare din modelele de reprezenare si conducere sun obiece maemaice sau po fi raae ca obiece maemaice. De aceea, frecven, în expunerile care urmeazǎ se va vorbi de modele maemaice ale sisemelor, în paricular ale dinamicii sisemelor. Definiii Un model maemaic ese un sisem de relaii/ecuaii, care descrie comporamenul unui sisem real înr-o mǎsurǎ rezonabilǎ. Înr-un model maemaic se dising anumie variabile independene care sun puse în corespondenǎ cu inrǎrile sisemului real, în general manipulabile. Ale variabile sun dependene de primele si sun puse în legǎurǎ cu iesirile sisemului modela. Mǎsura în care sisemul ese reprezena de model, calificaǎ vag mai sus ca rezonabilǎ consǎ în capaciaea modelului de a produce pracic aceleasi perechi inrǎri-iesiri ca si sisemul real. Coincidena riguroasǎ înre model si sisemul modela ese scoasǎ din discuie penru simplul moiv cǎ aproape odeauna realiaea ese mai complexǎ decâ ceea ce se poae cuprinde înr-un model, iar exaciaea, rigoarea reprezenǎrilor rebuie sǎ corespundǎ scopului urmǎri. Modelele maemaice mai cuprind si un numǎr de parameri. Paramerii fac paricular un model, îl pun în acord cu realiaea unui sisem fizic. Cum s-a arǎa, variabilele si paramerii unui model po fi uneori în relaie direcǎ cu caniǎi fizice si/sau fizico-chimice din sisemul real. Prin simulare se înelege operaia de rezolvare în condiii precizae a sisemului de relaii/ecuaii care consiuie modelul maemaic al dinamicii unui sisem real sau pe cale de a deveni real. Simularea se conduce cu referire la si prin comparare permanenǎ cu sisemul simula, real sau virual, sau cu siseme similare. Prin urmare, ese necesarǎ o aciune consanǎ de inerpreare a produsului calculelor de simulare din parea celui care elaboreazǎ sau uilizeazǎ modelul cu care se face simularea. Simularea se realizeazǎ cu ajuorul unor mijloace de calcul adecvae programae corespunzǎor. Uiliaea modelǎrii si simulǎrii Modelarea si simularea sisemelor ese uilǎ cel puin în rei siuaii. 9

10 În cerceare si dezvolare, modelarea maemaicǎ permie adâncirea înelegerii unui proces sau a unui sisem în ansamblu sau în pǎri ale lui. Sun uilizae aici în special modele din caegoria celor de cunoasere. Deecarea mecanismului fenomenelor, sensibiliaea sisemului la modificarea unor variabile, crearea premiselor unor modificǎri de scarǎ sun ţeluri obisnuie în fazele de dezvolare a unor siseme ehnologice sau ingineresi. În proiecare, dimensionarea unor pǎri ale unui sisem sau a sisemului în oaliae, unele evaluǎri privind dinamica si posibiliǎile de auomaizare sun de lua în considerare mai înâi prin simulare pe baza unui model maemaic porivi. În operarea sisemelor, modelele si simularea pe baza acesora po servi unor scopuri variae, de la pregǎirea personalului de operare, la localizarea si remedierea operaivǎ a unor defeciuni în funcionarea sisemului, la opimizarea funcionǎrii acelui sisem. Eape ale modelǎrii dinamicii unui sisem Elaborarea modelului unui sisem dinamic ese o experienǎ în mare mǎsurǎ paricularǎ. Se po ousi recomanda câiva pasi de parcurs, care, eviden, po fi îmbogǎii si amendai chiar de la prima experienǎ proprie a ciiorului. Asadar, câeva eape în modelare: A. Formularea problemei necesiǎ rǎspunsuri explicie sau subînelese la urmǎoarele înrebǎri: care ese sisemul fizic de reprezena prin modelul maemaic; care ese uilizarea/scopul modelului; câ de complexǎ rebuie sǎ fie descrierea urmǎriǎ; ce dae sun disponibile penru verificarea modelului. Cele paru rǎspunsuri la cele paru înrebǎri nu sun independee, ci mai mul sau mai puin ele se condiioneazǎ reciproc. Un exemplu aparen simplu, care se referǎ la modelul maemaic al unui rezisor la exremiǎile cǎruia se aplicǎ o ensiune dealiazǎ înrucâva eapa formulǎrii problemei de modelare. Relaia binecunoscuǎ U = RI exprimǎ ensiunea U la exremiǎile unui rezisor a cǎrui rezisenǎ elecricǎ ese R si prin care circulǎ curenul I. Acesa ese un model maemaic al sisemului consiui de rezisorul în discuie. Rezisorul ese un elemen foare concre, care are desigur limiele lui de uilizare. Ese siu de pildǎ cǎ în rezisor are loc o disipare de energie. Puerea disipaǎ ese daǎ de expresia P = RI si, dacǎ ne referim la un elemen de circui, exisǎ o limiǎ a puerii pe care rezisorul o poae disipa în mediul ambian. Dacǎ acea limiǎ ese depǎsiǎ rezisorul îsi schimbǎ mai înâi drasic caracerisica principalǎ, valoarea rezisenei elecrice, iar dacǎ puerea disipaǎ limiǎ ese încǎ mai accenua depǎsiǎ aunci rezisorul se poae disruge în urma efecului de încǎlzire dincolo de limia care asigurǎ inegriaea fizicǎ a

11 maerialului din care ese confeciona. Sau, poae mai grav, el poae influena prin energia dispersaǎ ale elemene din imediaa vecinǎae. Asadar, modelul maemaic al rezisorului rebuie complea cu relaia resricivǎ P < P, cu P acea limiǎ a capaciǎii lui disipaive, daǎ uzual de caaloage. Nu s-a spus nimic pânǎ acum despre ipul curenului ensiunii dar s-a admis aci cǎ ese vorba de cureni si ensiuni coninue. Dacǎ curenul ensiunea variazǎ în imp aunci lucrurile se complicǎ pe mai mule planuri. Dacǎ ese vorba de curen alernaiv de frecvenǎ relaiv joasǎ aunci modelul propus se menine, cu grija de a lucra în evaluarea puerilor mai curând cu valori eficace penru curen si/sau ensiune, decâ cu valori insananee si cu valorea medie a puerii si nu cu valorile ei la un momen da. Pe mǎsurǎ ce frecvena crese, valoarea însǎsi a rezisenei elecrice se modificǎ faǎ de aceea în curen coninuu. Poae deveni imporanǎ inducana rezisorului si a conexiunilor lui si po încea a mai fi neglijabile capaciǎile înre diferie pǎri ale rezisorului si înre rezisor si unele elemene din proximiae. Modelul simplu de mai sus nu mai corespunde noii siuaii. El rebuie modifica penru a descrie un sisem mul mai complex, care cuprinde si elemene reacive, inducane si capaciǎi. Condiia de puere rebuie si ea reformulaǎ. În regim de impulsuri, puerea medie poae fi micǎ dar valorile insananee ale ensiunii po fi foare mari. În asemenea cazuri rebuie inu seama de posibiliaea de srǎpungere pe zone resrânse a rezisorului. Iaǎ, asadar, o alǎ limiare care poae deveni necesarǎ: limiarea ensiunii înre exremiǎile rezisorului. Nu sun lipsie de ineres cazurile în care rolul unui rezisor ese ocmai acela de a genera/disipa în mediul înconjurǎor limia sau infini o caniae de energie. Modelul maemaic rebuie aunci complea cu relaii care descriu caniaiv ransferul de energie înre rezisor si mediu. Si aici rezisorul poae ceda ermic dacǎ ransferul cǎre mediu nu ese suficien de inens. Mediul însusi inervine în comporarea rezisorului, siu fiind cǎ fluxul energeic ese cu aâ mai inens cu câ diferena de emperaurǎ înre suprafaa rezisorului si mediu ese mai mare. Sisemul si modelul lui se po exinde asadar la mai mul decâ ar pǎrea sric necesar la o primǎ examinare. B. Scrierea corecǎ a modelului si verificarea lui necesiǎ colecarea de dae despre sau de pe sisemul modela. Penru aceasa sun necesare: recursul la baze de dae cu consane fizice si/sau fizico-chimice, mai ales când ese vorba de modelele de cunoasere; selecarea variabilelor de modifica/manipula si de observa; selecarea ipului porivi de modificǎri ale variabilelor manipulabile ale sisemului; elaborarea, dacǎ ese cazul, a unor planuri de experimenare producive sub aspecul informaiei referioare la sisemul modela.

12 C. To penru usurarea scrierii unui model reprezenaiv în condiii de precizie adecvaǎ ese necesarǎ analiza eoreicǎ a naurii sisemului de modela/simula. Sub aces aspec sun necesare: analiza mǎsurii în care principiile de bazǎ fizice si/sau fizico-chimice guverneazǎ procesul sau sisemul, fie si parial; sabilirea elemenelor de naurǎ experimenalǎ, empiricǎ necesare penru definirea compleǎ a modelului parameri de esima ec; evaluarea proporiei elemenelor empirice necesare în modelarea sisemului, proporie care poae varia de la foare puin la inegral. D. Chiar din fazele impurii ale procedurii de elaborare a modelului sun necesare rezolvǎri ale modelului, un gen de simulare avan la lere. Penru aceasa, cel care elaboreazǎ modelul rebuie sǎ se preocupe de: sudiul de consisenǎ a modelului, sudiul redundanelor exisene; selecarea meodelor de calcul adecvae în rapor de liniariaea sau neliniariaea sisemului modela, de proporia elemenelor deerminise si aleaoare ec.; selecarea meodelor numerice efecive. E. Rezolvǎrile recomandae mai devreme au rolul principal de evaluare a modelului. Evaluarea modelului consǎ în principal în operaii de: comparare si confrunare a modelului cu dae experimenale sau ale dae de referinǎ; esimare a paramerilor modelului, aunci când ese formula pe baze si principii eoreice; idenificare a sisemului dacǎ modelarea ese în cvasioaliae de naurǎ empiricǎ sau experimenalǎ. Se înelege cǎ eapele prezenae mai sus nu sun ineviabile si nu rebuie parcurse obligaoriu în ordinea daǎ. Unele eape po fi compleae în funcie de necesiǎile pracice, alele po fi omise. Ordinea efecivǎ a pasilor modelǎrii rebuie sǎ fie cea poriviǎ modelului si sisemului paricular modela. De cele mai mule ori succesiunea aceasa are reveniri, cu reluarea unora dinre eape. Clasificǎri ale modelelor Diversiaea exraordinarǎ a modelelor maemaice, chiar si penru acelasi sisem modela face dificilǎ o axonomie exhausivǎ. În acese condiii, clasificǎrile care urmeazǎ sun faalmene însuficiene dar majoriaea lor se referǎ aâ la modele câ si la sisemele modelae si simulae cu acele modele. Exisǎ o clasificare A dupǎ numǎrul inrǎrilor si al iesirilor sisemului si/sau modelului. Modelele cu o singurǎ inrare si o singurǎ iesire, cunoscue în exe scrise în limbi diverse si sub prescurarea SISO Single Inpu Single Oupu sun foare uile în sudiul fundamenal al dinamicii sisemelor simple. Modelele cu mai mule inrǎri si mai mule iesiri, prescurae MIMO Muliple Inpu

13 Muliple Oupu aduc în prim plan complexiaea sisemelor cu comenzi si rǎspunsuri muliple. Exisǎ de asemenea o clasificare B dupǎ naura variabilei imp; sisemele si modelele lor po fi coninue, dacǎ impul ia valori pe mulimea numerelor reale sau pe un inerval compac; sisemele si modelele po fi discree, dacǎ impul ia valori pe mulimea numerelor inregi sau pe o mulime de valori numerabilǎ. Ecuaiile consiuive ale unui model maemaic produc o clasificare C dupǎ naura ecuaiilor coninue în model. Ecuaiile modelului po fi exclusiv algebrice, caz în care ese vorba uzual de modele saionare sau cvasisaionare. Modelul poae fi consiui din ecuaii difereniale ordinare din ecuaii inegrale sau din ecuaii inegro-difereniale. Modelele care conin ecuaii cu derivae pariale sun considerae ca fiind înr-o clasǎ apare. Ecuaiile cu diferene sun în fond o ecuaii algebrice dar, de obicei, cu aspecul emporal foare bine evidenia. Dacǎ modelul ese omogen în ceea ce privese ipurile de ecuaii din care ese forma aunci el împrumuǎ calificaivul de la ipul de ecuaii respeciv. Modelele maemaice sun în mare pare hibride, adicǎ conin ecuaii aparinând mai mulor ipuri din cele enumerae mai sus. Modelele maemaice nu po ignora o anumiǎ spaialiae a obiecelor si a sisemelor modelae. De aici o clasificare D dupǎ caracerizarea spaialǎ a sisemului modela/simula. Modelele po fi cu parameri concenrai sau cu parameri disribuii dupǎ cum sarea sisemului modela poae fi descrisǎ prinr-un numǎr fini sau infini de valori. Ecuaiile difereniale ordinare sun modele ipice penru sisemele cu parameri concenrai, cele cu derivae pariale sun ipice penru sisemele cu parameri disribuii. Foare mule siseme au manifesǎri aleaoare fie daorae unor facori exerni, fie din cauza naurii lor inime. Funcie de imporana fenomenelor aleaoare se obine o clasificare în E modele de ip deerminis si modele sochasice. Modelele de ip deerminis nu au elemene înâmplǎoare aleaoare în descrierea maemaicǎ, variabilele si paramerii au valori bine definie si soluiile sun, o asa, numere bine precizae. Modelele sochasice au elemene aleaoare srucurale si/sau exogene si valorile variabilelor care le caracerizeazǎ, uneori inclusiv valorile paramerilor nu sun niciodaǎ cunoscue cu exaciae ci numai sub forma unor valori mai-mul-saumai-puin-probabile acompaniae de probabiliǎi cuanificabile. Exisǎ siseme care îsi menin în imp caracerisicile ceea ce le face previzibile pe ermen lung, exisǎ alele care manifesǎ o evidenǎ evoluie. Sub aces aspec modelele si sisemele se clasificǎ în F modele/siseme invariane sau modele/siseme evoluive, care nu sun invariane. Sisemele si modelele invariane au perechile de inrǎri/iesiri insensibile la ranslaia în imp. Aceasǎ invarianǎ înseamnǎ de regulǎ meninerea consanǎ în imp a paramerilor modelului. Sisemele si modelele evoluive au dimporivǎ perechile de inrǎri/iesiri dependene de modificarea originei impului. 3

14 Dupǎ liniariaea ecuaiilor modelului se obin clase G de modele liniare si modele neliniare. Modelele/sisemele sun liniare dacǎ fiind dae douǎ perechi de inrǎri/iesiri, alfel oarecare, orice combinaie liniarǎ a celor douǎ inrǎri produce o combinaie liniarǎ cu aceeiasi coeficieni a celor douǎ iesiri corespunzǎoare inrǎrilor aplicae separa. Liniariaea unui model asigurǎ accesul la un numǎr imporan de meode analiice de raare eoreicǎ si de rezolvare consacrae. Modelele si sisemele sun în marea lor majoriae neliniare adicǎ nu reproduc combinaiile liniare ale inrǎrilor în combinaii liniare ale iesirilor cum sisemele si modelele liniare o fac. Acese modele au handicapul unui acces limia la meode analiice consacrae. Sun uilizae meode numerice de raare, cele mai mule din ele bazae pe liniarizǎri valabile pe domenii limiae. Relaia înre mulimea modelelor si mulimea sisemelor Douǎ siseme fizice disince sau douǎ modele care la inrǎri idenice au reacii idenice sun echivalene. O afirmaie cu valoare de ruism: penru fiecare sisem exisǎ un model. Ese posibil ca un acelasi sisem sǎ aibǎ mai mule modele maemaice, fie de genuri diferie, fie de acelasi gen. Fiecare model consiuie o realizare a sisemului modela. Înr-un anume sens, preciza de la caz la caz, se poae pune problema unui model minimal. De asemenea, se poae afirma cǎ un acelasi model maemaic poae servi la modelarea mai mulor siseme fizice, chiar de nauri diferie. Prin urmare nu exisǎ o relaie cardinalǎ clarǎ înre cele douǎ mulimi, cea a modelelor si cea a sisemelor. Nu se poae spune cǎ mulimea sisemelor ese mai cuprinzǎoare decâ cea a modelelor si nici invers. Probleme Problema. Urmǎrind eapele elaborǎrii modelului unui rezisor prezenae în aces capiol, încercai o dezvolare similarǎ penru un condensaor sau penru o inducanǎ. Problema. Un sisem hidroehnic, de pildǎ cel de la Palinu ese un sisem cu o dinamicǎ proprie. Ese acesa un sisem invarian? Evideniai presupusele variabile manipulabile ale sisemului. Evideniai perurbaiile care acionazǎ asupra sisemului. Enumerai câeva aspece aleaoare ale sisemului. Exerciii de auoevaluare. Fie un sisem dinamic si un model al lui. Modelul ese: 4

15 a sisemul însusi, b descrierea maemaicǎ riguroasǎ a sisemului sau c o exprimare maemaicǎ a comporǎrii sisemului prinre mule alele posibile. Fie un sisem dinamic invarian. Un asfel de sisem: a are un model maemaic cu oi coeficienii consani în imp; b sub aciunea acelorasi inrǎri aplicae la momene diferie, rǎspunsul ese idenic dacǎ sarea sisemului ese aceeasi în momenele aplicǎrii inrǎrilor respecive; c nu-si schimbǎ sarea în imp. Marcai afirmaia inadecvaǎ. 3. Elaborarea unui model maemaic al unui sisem dinamic se face a conform unei reee sandard, b cu reveniri asupra srucurii maemaice si asupra paramerilor care inervin în model având în vedere uilizarea modelului sau c se preiau din lieraurǎ modele gaa fǎcue? 4. Un model maemaic al unui sisem naural, alcǎui numai din ecuaii algebrice poae descrie dinamica acelui sisem? a niciodaǎ; b numai dacǎ una din variabile ese impul; c odeauna. 5. Exisǎ foare mule siseme dinamice, exisǎ foare mule modele maemaice ale sisemelor. Care ese relaia dinre numǎrul de siseme si numǎrul de modele? a sun mai mule modele decâ siseme modelae; b sun mai mule siseme decâ modele maemaice; c exisǎ siseme care au fiecare mai mule modele, exisǎ modele care servesc fiecare la modelarea mai mulor siseme, asadar nu exisǎ o relaie de ipul, <, > sau înre cele douǎ numere cardinale, cel al muimii de siseme si cel al mulimii de modele. 5

16 6

17 MODELE MATEMATICE DINAMICE Modele sub formǎ de ecuaii difereniale ordinare Efecul discreizǎrii impului asupra modelelor de ipul ecuaiilor difereniale ordinare Modele sub formǎ de ecuaii cu derivae pariale Modele sub formǎ de ecuaii inegrale sau ecuaii inegro-difereniale Probleme Exerciii de auoevaluare În figura alǎuraǎ ese reprezena un sisem absrac care, faǎ de sisemul mai general da în capiolul anerior, capiol în bunǎ mǎsurǎ inroduciv are pariculariaea cǎ nu ese afeca de perurbaii, sau perurbaiile po fi ignorae. Se dising vecorul inrǎrilor u, si vecorul iesirilor y,. Momenul poae fi convenional o origine a impului, momenul de începu al aplicǎrii inrǎrilor care sun funcii de imp mai simple sau mai complicae. Ulerior momenului iniial se observǎ iesirile. Acesea depind desigur de inrǎrile aplicae dar si de sarea sisemului la momenul iniial. Prin urmare iesirile sisemului, numie si rǎspunsul lui la inrǎri po fi diferie dacǎ inrǎrile aplicae sun repea aceleasi dar sarea sisemului ese diferiǎ de la caz la caz în momenul de începu al aplicǎrii acelor inrǎri. Se poae spune cǎ, de fap, inrǎrile acioneazǎ asupra sǎrii sisemului, iar iesirile observae sun produse de modificǎrile în sarea sisemului. Sarea sisemului ese descrisǎ uzual de un numǎr de variabile de sare, fini sau infini. Variabilele de sare sun funcii de imp si conin informaia minimalǎ necesarǎ la un momen, alfel oarecare, penru a deermina comporarea sisemului în momenele urmǎoare, cu sau fǎrǎ inrǎri. Informaia privind sarea unui sisem ese grupaǎ de obicei înr-un vecor x, asa-numiul vecor de sare. Vecorul x nu ese unic. Orice ransformare liniarǎ nedegeneraǎ a 7

18 spaiului componenelor acesui vecor produce un vecor de sare care conine nealeraǎ informaia necesarǎ definirii sǎrii sisemului. Cu unele modificǎri în noaii, dacǎ sarea sisemului în momenul iniial ese descrisǎ de vecorul x si dacǎ se aplicǎ sisemului inrǎrile u, evoluia sisemului dupǎ ese observaǎ prin inermediul iesirilor y,. Relaiile care cuprind dependena rǎspunsului unui sisem de sarea lui curenǎ si de inrǎrile aplicae si care dau sansa calculului explici al rǎspunsului se consiuie în modelul maemaic al acelui sisem. Dupǎ cum s-a arǎa în inroducere, modelele maemaice ale sisemelor sun de ipuri variae. În coninuare sun comenae câeva ipuri de modele, modul cum se scriu ele si se dau si meode de calcul menie a evalua rǎspunsul sisemelor la inrǎri special selecae sau la inrǎri oarecare. Mare pare din elemenele prezenae în cele ce urmeazǎ se regǎsesc în cǎrile de maemaici sau au mai fos abordae si la ale discipline pe care ciiorul le-a parcurs anerior. Penru aprofundarea unor aspece se recomandǎ revederea acelor surse. Modele sub formǎ de ecuaii difereniale ordinare Un exemplu relaiv simplu, discua mul în lieraurǎ ese cel al unui vas alimena cu lichid si din care se evacueazǎ o pare din acel lichid. Vasul ese prezena schemaic în figura alǎuraǎ. Se admie cǎ debiele de alimenare si de evacuare, F i, F o, sun exprimae în uniǎi de volum în uniaea de imp. Înr-un inerval de imp scur, alimenarea cu lichid a vasului si caniaea de lichid evacuaǎ ese daǎ de ermenii din parea dreapǎ a relaiei care urmeazǎ. V + V = F + θ F + θ i o, θ [, Cei doi ermeni, prin coeficienii θ ] in seama de o formulǎ de medie binecunoscuǎ din analiza maemaicǎ si diferena lor egaleazǎ variaia volumului de lichid din vas, care ese reprezenaǎ de parea sângǎ a egaliǎii. Ecuaia respecivǎ ese o relaie de coninuiae penru inervalul fini de imp avu în vedere. 8

19 Trecerea la limiǎ prin diminuarea inervalului de imp conduce la ecuaia diferenialǎ dv = Fi Fo d care ese modelul dinamicii sisemului în discuie. Dacǎ vasul are pe înreaga lui vericalǎ aria seciunii ransversale consanǎ alfel spus, dacǎ ese cilindric aunci variabila de sare V poae fi înlocuiǎ de variabila de sare h, coa lichidului în vas, care descrie de asemenea comple sarea sisemului la un momen da. Desigur, vasul poae avea alimenǎri muliple, în numǎr de n i, iar evacuarea lichidului se poae face pe mai mule cǎi, în numǎr de n o. Aunci ecuaia model al dinamicii vasului ese ni n dv o = Fij Fok d j= k= Ese de reinu sensul fizic al acesei ecuaii numiǎ de coninuiae: suma alimenǎrilor minus suma evacuǎrilor egaleazǎ acumularea de lichid în vas. Ecuaiile de coninuiae mai sun numie uneori si ecuaii de bilan maerial. De observa cǎ ecuaiile de mai sus modeleazǎ vasul penru un inerval de valori ale volumului V sau ale înǎlimii h fini: nu se mai poae evacua lichid dinr-un vas gol, nu se mai poae alimena lichid înr-un vas care ese deja plin. Sarea unui sisem de aces gen poae fi modificaǎ fie prin debiul debiele de alimenare, fie prin debiul debiele de evacuare, fie prin modificarea unor debie din ambele caegorii. Debiele acesea sun, asadar, variabile de inrare ale sisemului dinamic. Acesea po fi manipulae prin mijloace de vehiculare pompe, de pildǎ combinae evenual cu elemene de comandǎ a debielor robinee. Iesirea sisemului poae fi înǎlimea coloanei de lichid din vas. Mijloacele de vehiculare, în fond surse de presiune, po lipsi uneori, de pildǎ pe evacuarea lichidului. Se poae uiliza în loc scurgerea nauralǎ a lichidelor sub aciunea forei graviaionale, ea însǎsi sursǎ de presiune, presiunea hidrosaicǎ. În aces caz modelul de mai sus se compleezǎ cu modelul scurgerii libere a lichidului, pe o cale sau ala de evacuare siuaǎ la disana h de suprafaa lichidului din vas. Presiunea hidrosaicǎ medie în orificiul de scurgere ese produsul densiǎii lichidului, cu acceleraia graviaiei si cu înǎlimea coloanei de lichid. Fora care acioneazǎ asupra unui elemen de je cu aria seciunii A o, exac câ seciunea orificiului de evacuare, si de o lungime micǎ l ese proporionalǎ cu acea arie. Masa elemenului de je se obine muliplicând volumul respeciv, infiniesimal cu densiaea ρ a lichidului. Dinr-un bilan de energii rezulǎ F o ρgha = o l ρao l Ao 9

20 cu expresia viezei jeului de lichid la iesirea din orificiu cuprinsǎ înre paraneze. În cele din urmǎ, debiul de evacuare dica de forele graviaionale ese Fo = Ao gh Ese usor de observa cǎ ecuaia model se modificǎ si capǎǎ forma dv = F A gh i o d mai complicaǎ înr-un anume sens care va fi discua mai depare anicipând, ecuaia descrie acum un sisem neliniar. Preuindeni debiele se exprimǎ volumeric. De observa cǎ bilanurile de energii reprezinǎ si ele o sursǎ de ecuaii uilizabile în modelarea dinamicii sisemelor, ecuaii bazae pe fenomene fizice. Scurgerea nauralǎ a lichidului din vas capǎǎ aspece diferie aunci când se produce prinr-o conducǎ lungǎ si nu prinr-un simplu orificiu de lungime neînsemnaǎ. Apar fenomene de frecare pe calea de ranspor, care nu po fi ignorae. Asfel, dacǎ se face referire la figura alǎuraǎ, asupra lichidului din conducǎ socoi incompresibil acioneazǎ pe lângǎ fora daoraǎ presiunii hidrosaice de la iesirea din vas si o forǎ de frecare k f F o /A p l, care depinde de un facor de frecare k f, de debiul de evacuare F o si de aria seciunii ransversale A p a conducei de lungime l. Aceasǎ forǎ ese daoraǎ caracerisicii fizice a lichidului numiǎ vâscoziae si forelor care deerminǎ aderena lichidului la pereele conducei. Ea ese proporionalǎ cu lungimea conducei si, dacǎ curgerea ese laminarǎ, adicǎ ese lipsiǎ de agiaia, de urbulena care apare la vieze mari de deplasare, ese proporionalǎ cu pǎraul viezei medii de deplasare prin conducǎ. În cazul viezelor mari fenomenul frecǎrii ese mai complex, ceea ce se raduce prin relaii mai complicae penru calculul acelei fore. În cazul viezelor medii mici, legea conservǎrii impulsului masei de lichid în deplasare coduce la d ρla d care dupǎ rearanjare se scrie df d F A = A ρgh k o p p o p f p o Ap g k = h l ρa F A f F o p si care compleeazǎ cu încǎ o ecuaie modelul de mai sus baza exclusiv pe ecuaia de coninuiae. Ese de observa cǎ modelul dinamicii sisemului cu evacuare pe conduce lungi îsi schimbǎ ordinul, adicǎ numǎrul variabilelor de sare crese de la una V la douǎ si se consiuie înr-un vecor de sare V F o T cu douǎ componene. Ese de l

21 reinu cǎ scrierea modelului a fǎcu apel la o alǎ imporanǎ lege a fizicii, legea conservǎrii impulsului. În general, o clasǎ foare cuprinzǎoare de siseme fizice se poae modela prin siseme de ecuaii cu derivae ordinare. Sisemele din aceasǎ clasǎ po fi caracerizae prinr-un vecor de sare de dimensiune finiǎ care saisface ecuaia diferenialǎ ordinarǎ în formǎ vecorialǎ dx = f [, x, u ] d Ecuaia exprimǎ evoluia sǎrii sisemului descrisǎ de vecorul x sub aciunea inrǎrilor u, iar condiiile iniiale despre care se vorbese în manualele de maemaicǎ se referǎ de fap la sarea iniialǎ x a sisemului modela. Modelul se referǎ desigur la un sisem real. Asadar, inereseazǎ ca ecuaia sǎ aibǎ soluie, iar soluia sǎ fie unicǎ. Exisena si uniciaea soluiei se ransformǎ asfel dinr-o problemǎ maemaicǎ înr-o problemǎ foare pracicǎ. Forma funciei din parea dreapǎ a ecuaiei de mai sus poae fi mai simplǎ sau mai complicaǎ, iar simpliaea sau complexiaea se reflecǎ din plin asupra problemelor exisenei si uniciǎii soluiilor. Rǎspunsul ese relaiv simplu penru forma liniarǎ a ecuaiei de mai sus dx = Fx + Gu d în care F si G sun marici de dimensiunile cuvenie. Dacǎ cele douǎ marici sun invariane în imp, sisemul însusi se numese invarian, iar soluia exisǎ aproape odeauna si ea ese unicǎ dacǎ se precizeazǎ condiia iniialǎ x = x. Penru cazul în discuie, înr-o primǎ eapǎ, ecuaia omogenǎ, adicǎ ecuaia cu inrǎri nule dx = Fx d are soluia x = exp[ F ] x unde s-a noa 3 3 F F exp F = I + F + + +! 3!

22 Maricea Φ = exp[ F ] ese maricea de ranziie a sǎrii sisemului, asadar se poae scrie x = Φ x Înr-o eapǎ secundǎ, penru cazul neomogen, adicǎ aunci când inrǎrile sun efeciv aplicae, se pune x = Φ z cu z o funcie derivabilǎ, deocamdaǎ neprecizaǎ. Prin derivare, relaia aceasa conduce la dx dφ dz = z + Φ d d d Din relaia de definiie rezulǎ limpede cǎ funcia de ranziie verificǎ ea însǎsi ecuaia omogenǎ si are proprieǎile Φ = I Φ = Φ τ Φ τ Φ [ Φ ] = exprimae maricial, cu I maricea uniae de ordin egal cu ordinul sisemului modela. Dacǎ se dǎ curs demonsraiei cu luarea în seamǎ a observaiilor ulime, se poae scrie dx = Fx + Φ d si prin comparaie cu ecuaia iniialǎ rezulǎ si mai depare dz d dz Φ = Gu d dz = [ Φ ] Gu d admiând cǎ inversa maricei de ranziie exisǎ. Prin inegrarea acesei ulime ecuaii rezulǎ [ Φ τ ] z = z + Gu τ dτ si înlocuind în expresia vecorului x de mai sus, se obine [ Φ τ ] x = Φ x + Φ Gu τ dτ unde ermenul cu inegrala reprezinǎ conribuia inrǎrilor u la modificarea sǎrii sisemului sau, cum se mai obisnuiese a se spune, ese soluia forţaǎ a sisemului de ecuaii, spre a o disinge de soluia liberǎ a sisemului omogen.

23 Cum funcia de ranziie din faa inegralei nu depinde de variabila de inegrare ea poae fi inrodusǎ sub inegralǎ ceea ce ransformǎ relaia de mai sus în x = Φ x + Φ [ Φ τ ] Gu τ dτ Dacǎ se ine seamǎ de proprieaea a doua a funciei de ranziie, aceea de compunere muliplicaivǎ a funciilor de ranziie aunci se obine o nouǎ expresie a soluiei sisemului de ecuaii x = Φ care ulerior conduce la x + Φ τ Φ τ [ Φ τ ] Gu τ dτ x = Φ x + Φ τ Gu τ dτ expresie în care efecul inrǎrilor ese evalua prin clasica inegralǎ de convoluie, înr-o formǎ usor modificaǎ. Cazul examina în dealiu imedia mai sus ese desul de paricular. Nici mǎcar sisemele aparen simple de la începuul seciunii, ilusraive penru modelarea cu siseme de ecuaii difereniale ordinare nu po fi cuprinse oae în caegoria sisemelor de relaii de forma discuaǎ, adicǎ cu oi coeficienii din maricile F si G consani. Un model de ipul adus în discuie ese ousi uilizabil pe zone resrânse ale domeniilor de definiie ale funciilor care apar în dreapa semnului de egaliae din forma generalǎ a sisemului de ecuaii difereniale. Zona ese deerminaǎ de aproximǎri ale acelor funcii cu o eroare accepabilǎ prin dezvolarea lor conform binecunoscuei formule a lui Taylor, dezvolare limiaǎ la ermenii liniari. O formǎ mai generalǎ a sisemului de ecuaii difereniale ese dx = F x + G u d cu maricile F si G dependene de imp. Se observǎ cǎ liniariaea ese meninuǎ dar sisemul înceeazǎ a mai fi invarian. Un sisem modela asfel va fi denumi în coninuare evoluiv, în sensul cǎ în afara proceselor dinamice, ranziorii, procese emporale prin excelenǎ, mai exisǎ o evoluie paramericǎ, uzual la o alǎ scarǎ de imp. Si în cazul acesa, pornind de la sisemul omogen dx = F x d dacǎ se definese o marice de ranziie Φ ;, ea saisface relaiile dφ ; = F Φ ; d 3

24 Φ ; = I si aunci x = Φ ; x Maricea de ranziie a sǎrii sisemului depinde, asadar, de impul sabili ca origine si are urmǎoarele proprieǎi Φ ; = Φ ; Φ ; Φ ; [ Φ ; ] = dovedie de Ahans si Falb M.Ahans si P.L.Falb Opimal Conrol McGraw Hill, 966, similare celor din cazul sisemelor invariane, si cu impul inial ca parameru. Reluând pas cu pas firul demonsraiei de mai sus, în cazul unui sisem evoluiv, pornind cu x = Φ ; z înr-o procedurǎ similarǎ se obine si, în final [ Φ τ; ] x = Φ ; x + Φ ; G τ u τ dτ x = Φ ; x + Φ ; τ G τ u τ dτ Maricea F rebuie sǎ fie coninuǎ pe orice inerval fini de imp. Calculul maricei de ranziie Φ ; nu ese fǎrǎ probleme. O modaliae de calcul consǎ în a lua un numǎr limia de ermeni din dezvolarea funciei exp[f] de mai sus, numǎr dependen de magniudinea elemenelor maricei F si de valorile impului. De reinu relaia exp F = [ exp Fτ ] unde = r τ cu numǎrul r înreg. Posibiliaea alegerii un inerval τ penru o convergenǎ rapidǎ, apoi ridicarea la pǎra de r ori reprezinǎ o posibiliae de acoperire a unor largi orizonuri de imp. Meoda seriilor penru calculul maricei de ranziie ese simplu de aplica si poriviǎ calculului numeric. Ea nu necesiǎ valorile proprii ale maricei F ca în cazul alor meode ransformarea Laplace inversǎ, Hamilon-Cayley, ransformǎrile maricei F prin asemǎnare. Câeva cuvine acum despre sisemul de ecuaii adjunc. Penru sisemul de ecuaii difereniale dx = Fx + Gu d se definese ca sisem de acuaii adjunc dz T = F z d 4 r

25 care ese un model penru sisemul real dacǎ acesa ar lucra parcurgând axa impului în sens invers. Sisemul de ecuaii adjunc ese uil în raarea unor probleme de sabiliae a calculului numeric. Maricea de ranziie Ψ ; asociaǎ sisemului adjunc verificǎ ecuaia dψ ; = F T Ψ ; d si T Ψ ; = I, Ψ ; = [ Φ ; ] = Φ ; Exemplul prezena în inroducerea seciunii aceseia a permis ilusrarea unei modaliǎi de scriere a unor modele de ipul sisemelor de ecuaii difereniale ordinare. În prima varianǎ, cea a vasului cilindric cu alimenare si evacuare forae sau manipulabile, modelul ese liniar si invarian. Sisemul în variana cu scurgere liberǎ daoraǎ presiunii hidrosaice, adicǎ prin aciunea forelor graviaionale, pe un orificiu liber sau pe o conducǎ lungǎ ese o invarian deoarece nu ese sensibil la o deplasare a originii impului: el evolueazǎ idenic ori de câe ori se repeǎ aceeasi sare iniialǎ si aceleasi inrǎri. Sisemul ese însǎ neliniar deoarece se modeleazǎ prin ecuaii difereniale cu parea dreapǎ coninând pueri fracionare sau înregi diferie de uniae ale unor variabile de sare. Liniarizarea pe domenii resrânse ese permisǎ, dar cu precauiile menionae mai devreme. Liniarizarea aunci când ese posibilǎ produce siseme de ecuaii difereniale liniare, în general usor de manipula. Modurile de evoluie a sisemului sun dae sineic de forma canonicǎ blocdiagonalǎ a maricii F. Diagonalizarea maricii F aduce pe diagonalǎ valorile proprii ale maricei care sun reale sau complexe si conjugae ori de câe ori elemenele maricei sun reale, adicǎ aproape odeauna. Penru sisemele liniare si invariane sau liniarizae si deci local invariane se poae uiliza înregul arsenal de meode din calculul operaional. La fel sudiul în domeniul frecvenelor ese posibil. Nu odeauna însǎ liniarizarea produce rezulae uilizabile sub aspec pracic. Penru forma bruǎ a sisemelor de ecuaii difereniale neliniare, lucrul exclusiv în domeniul imp ese ineviabil si de aceea sun necesare meode de inegrare numericǎ adecvae. Iaǎ mai depare, pe scur, câeva dinre cele mai uilizae. Meoda Runge-Kua de ordinul 4. Ecuaia de inegra are forma dx = f, x d si se impune condiia iniialǎ x = x Formulele uilizae penru evaluarea vecorului x la fiecare pas al inegrǎrii sun i i i k + k + k k i 3 4 x i = + 6 5

26 în care x i+ = x + x i i x i k = hf i, i i h k k = hf i +, xi + i i h k k = 3 hf i +, xi + i i k = hf + h x + k 4 i, cu h creserea elemenarǎ a variabilei si cu indicele i =,,... care indicǎ pasii succesivi de inegrare. Meoda Adams. Primii rei pasi în variabila se calculeazǎ cu o alǎ meodǎ, de pildǎ cu meoda Runge-Kua, si se noeazǎ x = + h, x = + h si x 3 = + 3h. Apoi se calculeazǎ q = hx' = hf, x, q = hx' = hf, x, q = hx' = hf, x, q 3 = hx' 3 = hf 3, x 3 precum si diferenele de ordinul ale valorilor funciei x, x i = x i+ x i si diferenele de ordinele, si 3 ale valorilor q, q i = q i+ q i, q i = q i+ q i si 3 q i = q i+ q i. Meoda Adams consǎ în calculul unei noi diferene xi = qi + qi + qi + qi3 8 penru i = 3, 4,... prin exrapolare, ceea ce permie predicia unei noi valori xi+ = xi + xi. Cu valoarea nou calculaǎ x i+ se recalculeazǎ caniǎile q i si diferenele lor de ordinele, si 3 si apoi 3 xi = qi + qi qi qi3 4 care ese o valoare corecaǎ. Eroarea de inegrare ese mǎsuraǎ de norma pred cor x x, care dacǎ ese dincolo de o limiǎ accepaǎ impune modificarea i i pasului de inegrare. Meoda Adams ese o meodǎ din caegoria predicorcorecor. Meoda oferǎ prin aceasa posibiliaea conrolului asupra pasului de inegrare în variabila. Penru faciliarea calculelor si penru uilizarea raionalǎ a memoriei po fi uilzae alernaiv relaiile pred h x i = xi + xi xi xi xi3 4 cor h x x + 9x + 9x x + x i i 3 5 i+ = i i+ i i i 4 cu accen penru valorile derivaei. Meoda Milne ese, de asemenea, o meodǎ din caegoria predicor-corecor. Necesiǎ la pornire perechile i, x i penru i =,,, 3 rezulae din condiia 6

27 iniialǎ si prin calcul de pildǎ prin meoda Runge-Kua. Formulele la fiecare pas urmǎor sun pred 4h x i = xi + xi xi xi 3 cor h x i xi x i x i + x + = i 3 Si în meoda Milne conrolul pasului de inegrare h în rapor cu eroarea pred cor x x ese posibil. i i Meodele daorae lui Adams si lui Milne nu sun singurele din caegoria predicor-corecor. Pacheul de programe Malab, cu care se lucreazǎ uzual la orele de aplicaii conine o gamǎ de funcii care execuǎ inegrarea sisemelor de ecuaii difereniale ordinare. Funciile respecive sun relaiv usor de uiliza. Un dealui de meiona: se vorbese acole de siseme rigide siff care necesiǎ o aenie specialǎ si versiuni speciale ale funciilor din pache. Rigidiaea sau proasa condiionare se aseamǎna înrucâva cu aceea de la sisemele de ecuaii algebrice liniare când deerminanul unui sisem Kramer ese foare aproape de a fi nul comparaiv cu deerminanii ceilali obinui prin subiuirea ermenilor liberi pe coloane diferie ale deerminanului principal. Aici proasa condiionare se referǎ la valorile proprii ale maricei F care po fi de ordine de mǎrime foare diferie. Ordinele de mǎrime diferie indicǎ fapul cǎ modelul modeleazǎ fenomene care se deruleazǎ în sisemul modela cu vieze foare diferie. Procesele rapide coexisene cu procesele lene rebuie raae cu aenie, almineri rezulaele obinue prin calcul po fi alerae în semnificaia lor. Efecul discreizǎrii impului asupra modelelor de ipul ecuaiilor difereniale ordinare Dinamica unor siseme poae fi urmǎriǎ si pe mulimi emporale discree. Ecuaiile modelaoare sun analoge ale ecuaiilor difereniale ordinare dar operaorul diferenial care opera pe mulimi compace lipsese penru cǎ variabila ia valori discree si echidisane pe axa impului. Un sisem ese modela în acese circumsane prin ecuaii de forma x k + = f [ k, x k, u k ] si sarea sisemului ese descrisǎ numai la momene precizae, discree, marcae de indicii aasai variabilei emporale. Inrǎrile se considerǎ de asemenea cǎ se modificǎ la aceleasi momene discree. Iesirile se exprimǎ ca funcii de vecorul discre de sare y = h x [ ] k + k 7

28 Uneori un model de ipul acesa se referǎ la siseme care efeciv, prin naura lor îsi modificǎ sarea la momene de imp precizae. De foare mule ori însǎ acese modele se referǎ la siseme fizice coninue în imp. Se preferǎ modelele discree din moive diverse: comodiaea unor reglǎri numerice, inerii mari ale sisemului ec. Operaia de discreizare a unui sisem în esenǎ coninuu meriǎ o aenie specialǎ. Un sisem coninuu în rapor cu impul, liniar, descris de ecuaiile Gu Fx d dx + = Hx y = se poae discreiza în anumie condiii conform regulilor expuse mai depare. În cazul foare general al sisemelor dinamice evoluive soluia sisemului ese, dupǎ cum s-a vǎzu mai devreme + Φ Φ = d u G x x ; ; τ τ τ τ unde ; Φ ese maricea de ranziie cu proprieǎile binecunoscue ; ; ; Φ = Φ Φ [ ] ; ; Φ = Φ dacǎ inversa maricei de ranziie exisǎ. Dacǎ sisemul ese invarian aunci soluia ecuaiilor difereniale de mai sus ese Φ + = Φ d Gu x x τ τ τ în care maricea de ranziie ese Φ = expf si are proprieǎile I = Φ Φ = Φ + = Φ Φ Φ [ ] Φ = Φ dacǎ Φ ese nesingularǎ. Din relaiile ulime rezulǎ [ ] k k Φ = Φ Discreizarea are la bazǎ în cazul din urmǎ relaia ; ; ; ; k k k k k k k k k k u d G x d u G x x k k k k Φ + = Φ = Φ + = Φ τ τ τ τ τ τ τ unde s-au inrodus inrǎrile u k socoie consane pe orice inerval [ k, k+. Meninerea consanǎ a inrǎrilor ese una din mai mule alegeri posibile. Discreizǎri mai rafinae se po realiza prin inerpolarea liniarǎ a inrǎrii înre 8

29 douǎ momene consecuive k, k+, prin aproximǎri biliniare Tusin ec. Cunosine elemenare de calcul inegral oferǎ mai mule posibilǎi de aproximare a inegralei din ulima expresie a evoluiei sǎrii sisemului în inervalul meniona. Dacǎ se ine seamǎ de echivalena mulimii momenelor k cu mulimea numerelor înregi sau cu o pare a ei, se poae scrie x k + = F k x k + G k u k cu expresiile penru Fk si Gk usor de idenifica. Dacǎ pasul impului T se menine mic faǎ de consanele de imp ale sisemului, aunci F k T F k I + F k T + +! k + F k τ G k G k I + F k τ + + dτ! k sun exprimǎri aproximaive convenabile penru cele douǎ marici, care sun uilizabile aâ penru siseme invariane câ si penru siseme cu evoluie. Traarea modelului discre/discreiza al unui sisem dinamic se face înr-un anumi mod penru cazul invarian si diferi penru cazul evoluiv. În cazul liniar si invarian maricile Fk si Gk sun consane în imp si ecuaia de evoluie a sǎrii sisemului ese daǎ de x k + = Fx k + Gu k Urmând meoda de la ecuaiile difereniale ordinare, ecuaia omogenǎ are soluia generalǎ k x k = F x Maricea de ranziie ese, asadar si În cazul neomogen si în general Φ k = k F x k = Φ k x x = Fx + Gu x = Fx + Gu = F x + FGu + Gu x k = F k x + k i= F ki Gu i O scriere alernaivǎ, cu înlocuirea puerilor maricii F cu maricea de ranziie corespunzǎoare ese x k = Φ k x + k i= Φ k i Gu i În oricare din ulimele douǎ expresii suma are semnificaia unei convoluii numerice. 9

30 În cazul coeficienilor variabili în imp, maricile Fk si Gk depind de imp si evoluia sisemului dupǎ un pas ese exprimaǎ de relaia x k + = F k x k + G k u k daǎ ceva mai devreme. Maricea de ranziie verificǎ relaia Φ k + ; = F k Φ k; cu Φ ; = I si x k = Φ k; x. Maricea de ranziie discreǎ se evalueazǎ direc Φ ; = F Φ ; = F F Φ k = F k F k F F si au loc relaiile evidene Φ k; = Φ k; j Φ j; [ Φ k; ] = Φ; k ulima numai dacǎ oae maricile Fk sun nesingulare. Soluia ecuaiei neomogene ese penru orice k. x k = Φ k; x + k i= Modele sub formǎ de ecuaii cu derivae pariale Φ k; i + G i u i Se considerǎ o barǎ din maerial omogen, de formǎ si dimensiuni ransversale fixe pe oaǎ lungimea, izolaǎ de mediul ambian în ceea ce privese un posibil schimb de energie, dar prevǎzuǎ cu posibiliaea ca la capee sǎ fie încǎlziǎ rǎciǎ dupǎ voinǎ. Dacǎ emperaura ese aceeasi la ambele capee, mai devreme sau mai ârziu înreaga barǎ va avea pracic aceeasi emperaurǎ, aceea de la capeele ei. Dacǎ emperaurile la capee sun diferie, dupǎ un imp se va sabili un relief de emperaurǎ de-a lungul barei, care va rǎmâne pracic acelasi pânǎ la o modificare a emperaurii la cel puin unul din capee. Pâna la aingerea uneia sau aleia din sǎrile cvasisaionare se poae observa un regim dinamic, ranzioriu guverna de fenomenul conduciei ermice. Aces fenomen are ca forǎ mooare diferena de emperaurǎ: are loc un ransfer de energie de la un punc mai cald la alul mai rece. 3

31 Cu noaiile din figura alǎuraǎ la care se adaugǎ, în ipoeza seciunii circulare, raza r a barei, se poae scrie cǎ prin conducie, în inervalul scur, prin planele limiǎ ale poriunii [x, x + x], perpendiculare pe barǎ, are loc un ransfer de energie daora gradienului de emperaurǎ, care aduce o variaie a energiei în elemenul de lungime x T T kcdπr kcdπr x x+ x x x cu Tx, emperaura barei [K] în puncul x la momenul si k cd o consanǎ de maerial numiǎ conduciviae ermicǎ. Lungimile sun exprimae coeren în [m], impul în [s], iar conduciviaea în [J/s.m.K]. În volumul πr x, pe duraa are loc o acumulare de energie calculaǎ asfel πr xρc[ T +, x + θ x T, x + θ x ] cu ρ densiaea barei în [kg/m 3 ] si c capaciaea caloricǎ a maerialului barei în [J/kg.K], cu θ, θ [,]. Egalarea celor douǎ caniǎi de energie si recerea la limiǎ, x produc ecuaia T T = x a care ese ecuaia ransmierii cǎldurii înr-o barǎ cilindricǎ, izolaǎ faǎ de mediul ambian. Consana a poae fi idenificaǎ usor cu k cd /ρc. Temperaura Tx, ese o funcie de imp si de poziia puncului în lungul barei. Dacǎ bara ese de lungime finiǎ, singura modaliae de a aciona asupra reliefului ei ermic o oferǎ exremiǎile ale cǎror emperauri se po modifica conform relaiilor generale T, = T T l, = T Acesea sun condiii la limia barei presupusǎ a avea lungimea l. Se mai adaugǎ un relief iniial T x, = Tini x x [, l] care ese condiia iniialǎ a problemei. Din lipsa posibiliǎilor ehnice sau din necesiaea expresǎ de a relaxa condiiile de schimb energeic cu ambiana, izolarea barei poae sǎ nu mai fie o condiie riguros îndepliniǎ. Aunci fenomenele energeice care deerminǎ dinamica sisemului barǎ mealicǎ cilindricǎ sun mai bogae. Pe lângǎ fenomenul de conducie po apǎrea ransferuri de energie daorae fenomenelor de convecie si radiaie. Prin convecie, daoriǎ fenomenului de venilare nauralǎ sau din cauza circulaiei fluidului în care bara ar puea fi imersaǎ, elemenul de barǎ [x, x + x] disipeazǎ în mediul înconjurǎor înr-un inerval scur o energie k πr x T x + θ 3 x, + θ [ ] cv 4 T a 3

32 proporionalǎ cu diferena de emperaurǎ faǎ de cea ambianǎ T a, cu aria laeralǎ expusǎ cǎre mediu si cu impul scurs, facorul de proporionaliae fiind k cv o consanǎ de ransfer exprimaǎ în [J/s.m.K]. Numerele θ 3, θ 4 [,] apar din nou penru a accede la valori medii convenabile penru emperaura barei pe elemenul în discuie si pe duraa luaǎ în considerare. Mai poae avea loc un ransfer energeic prin radiaie, proporional si de daa aceasa cu suprafaa elemenului, cu impul scurs si cu puerea a para a unei emperauri medii a elemenului de barǎ πr x εσ T x + θ x, + θ [ ] cu σ consana Sefan-Bolzmann exprimaǎ în [w/m.k 4 ] si cu ε emisiviaea suprafeei maerialului din care ese confecionaǎ bara, un numǎr subuniar cu aâ mai apropia de uniae cu câ emisiviaea ese mai apropiaǎ de aceea a corpului negru. Ecuaia generalǎ care descrie dinamica barei penru cazul comple ese T kcd T kcv εσ 4 = T T T a ρc x rρc rρc Termenii din parea dreapǎ a ecuaiei po avea, de la caz la caz, imporanǎ diferiǎ. Exemplul parcurs mai sus ese o ilusrare a modaliǎii de a descrie dinamica unui sisem prin ecuaii cu derivae pariale. Ese de observa cǎ sarea sisemului ese descrisǎ de un vecor cu numǎr nelimia de componene: în fiecare punc, emperaura Tx, exprimǎ sarea sisemului în acel punc, iar numǎrul de punce ese numǎrul de punce din inervalul [,l]. Înre ecuaiile cu derivae pariale, de forme alfel foare diverse, de o aenie apare s-au bucura ecuaiile liniare în parea lor asa-numiǎ principalǎ, aceea care conine derivaele de cel mai înal ordin. Asfel, în paricular si în legǎurǎ cu siseme si fenomene naurale, ecuaiile cu derivae pariale de ordinul I si liniare z z L z = a x, y + b x, y = c x, y x y sau de ordinul II si liniare z z z z z L z = a x, y + b x, y + c x, y = f x, y,, x x y y x y si similarele lor în mai mul de douǎ variabile au raǎri cvasiexhausive în lieraura maemaicǎ deveniǎ deja clasicǎ. De fiecare daǎ Lz desemneazǎ parea principalǎ a ecuaiei, care ese si liniarǎ în derivaele de ordinul cel mai înal. Una din variabilele de care depinde funcia necunoscuǎ z poae fi impul si aunci ese vorba de un model dinamic al unui sisem, în paricular cu parameri disribuii. În cazurile exemplificae, alfel foare generale, ramâne o variabilǎ 3

33 care are semnificaie spaialǎ. Desigur, numǎrul variabilelor spaiale poae fi mai mare, douǎ sau poae chiar rei. În erminologia eoriei sisemelor, z descrie sarea sisemului în punce de coordonae spaiale diverse, infini vecine si depinde concomien de variabila emporalǎ. Asa cum s-a schia în exemplul barei, funcia z în paricular funcia T poae fi asimilaǎ vecorului de sare din cazul sisemelor descrise înr-o seciune anerioarǎ prin ecuaii cu derivae ordinare, calificae obisnui ca siseme cu parameri concenrai. Funcia z descripoare a sǎrii sisemului ar puea fi consideraǎ un vecor de sare cu exrem de mule componene, numǎrul acesora fiind un cardinal ransfini din caegoria coninuului. În cele ce urmeazǎ sun raae pe cale analiicǎ, fǎrǎ preenia exhausiviǎii, unele ecuaii cu derivae pariale în care funciile cunoscue sau necunoscue depind de una, douǎ sau rei varibile spaiale dar si de imp, în mod explici. Ecuaiile cu derivae pariale de ordinul I liniare se po rezolva pe cale analiicǎ luând în considerarea asa-numiul sisem de ecuaii caracerisic asocia. Asfel, ecuaiei cu derivae pariale z z a x, + b x, = c x, x i se asociazǎ sisemul caracerisic dx d dz = = a x, b x, c x, care ese un sisem inegrabil prin deerminarea asa-numielor inegrale prime. La noiunea de inegralǎ primǎ se ajunge pe calea explicaǎ în coninuare. Dacǎ una din variabile ese consideraǎ independenǎ, penru a face o alegere fie aceea, sisemul are soluia generalǎ x = f, c, c z = f, c, c în care apar, cum ese si firesc, douǎ consane arbirare c si c. Prin rezolvarea sisemului de relaii de mai sus în rapor cu cele douǎ consane se obin expresiile ϕ z, x, = c ϕ z, x, = c care sun inegralele prime anunae puin mai devreme. Orice funcie arbirarǎ dar derivabilǎ ν ϕ, ϕ = conine sub formǎ impliciǎ soluia zx, a ecuaiei cu derivae pariale, iniiale. Desigur, doza de arbirar face soluia inuilizabilǎ. Ea rebuie paricularizaǎ la un sisem dinamic concre, sisemul de modela. Problema paricularizǎrii soluiei ese cunoscuǎ în maemaicǎ sub numele de problema lui Cauchy. În paricular, funcia zx, rebuie sǎ saisfacǎ anumie condiii penru valori 33

34 precizae ale variabilelor independene. Uzual, în modelarea dinamicii sisemelor se precizeazǎ o condiie iniialǎ, în cazul în discuie zx, = z x. Ecuaiile cu derivae pariale de ordinul II cu parea principalǎ liniarǎ,,, y z y x c y x z y x b x z y x a z L + + = se clasificǎ pe domenii mai largi sau mai resrânse, ocmai în rapor cu anumie pariculariǎi ale acesei pǎri principale. Prin schimbǎri adecvae de variabile si/sau funcie parea principalǎ poae fi adusǎ la una din formele: hiperbolicǎ, dacǎ b 4ac >, parabolicǎ, dacǎ b 4ac =, sau elipicǎ, dacǎ b 4ac <. Cazuri pariculare de ecuaii hiperbolice, parabolice si elipice, de imporanǎ pracicǎ remarcabilǎ sun respeciv ecuaia undelor = z x z ecuaia cǎldurii = z x z si ecuaia Laplace Poisson aunci când apare si o pare dreapǎ [ ], y x f y z x z = = + Ese cunoscu fapul cǎ inegrarea unei ecuaii cu derivae pariale sau a unui sisem de ecuaii cu derivae pariale pune probleme diferie faǎ de ecuaiile cu derivae ordinare. În paricular, în condiii similare de precizie, meodele numerice penru ecuaiile cu drivae pariale sun consumaoare de imp de calcul si de memorie mul mai imporane. Exisǎ posibiliǎi de ransformare a ecuaiilor cu derivae pariale în ecuaii cu derivae ordinare. O ecuaie diferenialǎ cu derivae pariale în rapor cu o variabilǎ spaialǎ si una emporalǎ poae fi adusǎ la forma unei ecuaii cu derivae ordinare prin uilizarea ransformaei Laplace, dacǎ sun îndeplinie anumie condiii. Fie, de pildǎ, ecuaia cu derivae pariale, x x z x z x x z x b x z x a ϕ γ β α = cu a, b, α, β, γ funcii numai de x, coninue pe un inerval [, l]. Se admie cǎ soluia ei saisface condiiile iniiale, x f x z = si x g x z = = penru orice x în inervalul [,l], si condiiile la limiǎ h Cz x z B x z A x = + + = 34

35 z z A + B + C z = h x x x= l penru orice >, cu A, B, C, A, B, C consane. O asemenea ecuaie poae fi raaǎ cu ajuorul ransformǎrii Laplace dacǎ funcia ϕ x, admie o ransformaǎ Φx, s, la fel funcia necunoscuǎ zx, si primele ei douǎ derivae, asemenea si funciile de imp din parea dreapǎ a condiiilor la limiǎ. Având în vedere cǎ derivaele primǎ si secundǎ în rapor cu impul ale funciei necunoscue sun respeciv sz x, s f x [ sf x g x ] s Z x, s + se obine ecuaia cu derivae ordinare d Z dz a + b + c = d dx dx cu c si d usor de inerprea, cu s ca parameru si cu condiiile la limiǎ Z A + Bs + C Z = H s + Bf x x= Z A + Bs + C Z = H s + Bf l x x= l Dupǎ inegrarea ecuaiei cu derivae ordinare, soluiilor cu paramerul s li se aplicǎ ransformarea Laplace inversǎ. Condiiile la limiǎ si iniiale se cer a fi racordae adicǎ rebuie sǎ ia valori la limiǎ si iniiale compaibile si fizic plauzibile. Ecuaia rezulaǎ ese de obicei mai usor de inegra analiic. Transformarea Laplace inversǎ ese calea nauralǎ de a obine soluia zx, a ecuaiei cu derivae pariale. O revenire la ecuaia cu derivae pariale descripoare a dinamicii barei omogene furnizeazǎ un exemplu de uilizare a meodei a cǎrei descriere s-a încheia imedia mai sus. Dacǎ funcia Tx, admie o ransformaǎ Laplace relaiv la variabila, la fel funciile T si T, dupǎ calculul ransformaelor T*x, s, respeciv T *s, T *s, în cazul simplu al evoluiei ranziorii exclusiv prin fenomenul conduciei si pe inervale de emperaurǎ relaiv resrânse penru a puea considera caracerisicile de maerial consane, ecuaia de mai sus si condiiile la capee iau înfǎisarea d T * [ st * T x ] = i dx a T *, s = T * s T * l, s = T * s Se obine, asadar, o ecuaie diferenialǎ ordinarǎ, care conine paramerul s. 35

36 În sprijinul dezvolǎrii unor aplicaii numerice, se dau în abelul urmǎor câeva valori ipice ale consanelor din ecuaia cea mai simplǎ, penru douǎ meale, cuprul si fierul. Cupru Fier c [J/kg.K] ρ [kg/m 3 ] k cd [J/smK] În cazul varianei complee, se recomandǎ penru evaluarea consanei de ransfer prin convecie în aer expresia. 5 k cv = 4.65 T / d cu d diamerul barei. Penru fenomenul de radiaie valoarea consanei Sefan-Bolzmann ese s = 5, în [w/m.k 4 ], iar emisiviaea medie comunǎ ese ε =,3,4. Mul mai ineresanǎ din puncul de vedere al sudiului dinamicii sisemelor pare a fi meoda colocaiei. Meoda ransformǎ ecuaiile difereniale cu derivae pariale, care prin srucura lor descriu siseme cu parameri disribuii, siseme cu o mulime a variabilelor de sare infiniǎ, în ecuaii cu derivae ordinare. Acesea descriu în anumie limie de precizie un sisem aproape echivalen dar cu o mulime finiǎ a variabilelor de sare. Dacǎ, de pildǎ, rebuie rezolvaǎ ecuaia cu derivae pariale z, x z, x = f x z se admie o exprimare aproximaivǎ a funciei necunoscue în forma z, x = n j= L z, nj x j cu L nj coeficienii unui polinom de inerpolare Lagrange, consani penru o poziionare daǎ a valorilor fixe x j j =,,..., n în inervalul de valori de ineres ale variabilei spaiale x. Polinomul de inerpolare poae fi de gradul n în variabila spaialǎ x, sau, dacǎ funcia aproximaǎ ese o funcie parǎ, poae fi de gradul n si aunci polinomul aproximan ese de gradul n în x. Polinomul rece exac prin asa-numiele punce de colocaie, x j j =,,..., n, punce care po fi amplasae, în principiu, la libera alegere a analisului. Expresia polinomului de inerpolare a unei funcii care în puncele x i i =,,..., n ia respeciv valorile y i ese L x = y n n ' n k = i n i = ' k = x x k x x i k 36

37 în care accenul care însoese semnul produselor muliple reprezinǎ absena facorului de indice k = i. Ecuaia cu derivae pariale daǎ ca exemplu se ransformǎ în L dz x, j d Ln x j nj = f x j z x, j d dx cu j =,,..., n. Acesa ese un sisem de ecuaii cu derivae ordinare, care descrie un sisem cu parameri concenrai, penru care vecorul de sare are componenele zx j,, j =,,..., n. Penru o relaivǎ echipariie a erorilor de aproximare ese indica a se lua ca punce de colocaie rǎdǎcinile polinomului Jacobi de gradul n q q p n u u d G p q u [ ] q q q n du u q + n u p + n q n, ; = n în care cei doi parameri rebuie sǎ saisfacǎ condiiile q > si p > q. Polinoamele Jacobi asigurǎ o repariie judicioasa a puncelor de colocaie în inervalul de valori ale variabilei spaiale x si au în plus proprieaea imporanǎ de a fi orogonale pe inervalul,. Asfel penru i j si q pq u u G p, q; u G p, q; u du = u q u pq i G p, q; u G i i! Γ q Γ p q + i + = p + i q q +... q + i Γ p + i penru k = j. Ese de reinu în paricular, penru cazurile pracice, valorile p = q = când polinoamele Jacobi de grade n diferie sun generae cu relaia simplǎ n d n n Gn, ; x = [ x x ] n n! dx Modelele maemaice se po prezena si sub forma unor siseme de ecuaii cu derivae pariale. În exemplul care urmeazǎ modelul maemaic nu mai ese o singurǎ ecuaie cu derivae pariale ci se consiuie ca un sisem de asfel de ecuaii. De pildǎ, modelul maemaic al ransferului de energie în srauri granulare raversae de fluide care au emperauri variabile în imp ese alcǎui din douǎ ecuaii cu derivae pariale. Modelul rebuie sǎ punǎ în evidenǎ ransferul de energie bilaeral, de la solid la fluid si invers, în funcie de semnul diferenelor de emperaurǎ exisene înre solid si fluid. Sarea sisemului în fiecare punc al volumului de granule solide ese descrisǎ de emperaura solidului T s x, si de emperaura fluidului T g x,, ambele dependene de imp si de o coordonaǎ spaialǎ x, axialǎ dacǎ se face referire la figura alǎuraǎ care are o simerie cilindricǎ. Se admie cǎ deplasarea fluidului ese în esenǎ axialǎ, j j p, q; u du = 37

38 cu o presupusǎ consanţǎ a viezelor pe raza vasului care de cele mai mule ori ese un reacor chimic. Relaia de bilan energeic penru fluidul cuprins înr-un elemen de înǎlime micǎ din sraul granular rebuie sǎ inǎ seama de aporul energeic prin schimb solid-fluid dar si de aporul naural de energie al fluxului care se propagǎ prinre granulele sraului. În ipoeza unor variaii relaiv mici de emperaurǎ se poae scrie ecuaia w T g Tg ρ sσ hrt + + x c P T T g s = α si în urma scrierii bilanului energeic penru solidul din acelasi spaiu rezulǎ ecuaia Ts σ h + Ts Tg = cs În cele douǎ ecuaii cu derivae pariale s-au folosi noaiile: w [m/s] penru vieza efecivǎ a fluidului, ρ s [kg/m 3 ] penru densiaea solidului, σ [m /kg] penru suprafaa specificǎ exerioarǎ a solidului, h [W/m.K] penru consana de ransfer medie solid-fluid, R [J/mol] penru consana universalǎ a gazelor, T [K] penru emperaura medie localǎ, α penru fracia de goluri a spaiului cu granule, c g [J/mol.K] penru cǎldura specificǎ a fluidului, P [Pa] penru presiunea în sisem si c s [J/kg.K] penru cǎldura specificǎ a solidului. Adǎugarea unor condiii iniiale si la limiǎ Tg x, = Ts x, = T T, g = T face modelul comple. El îndeplinese oae condiiile penru a fi raa cu ajuorul ransformǎrii Laplace. Meoda colocaiei ese, de asemenea, aplicabilǎ. g 38

39 Modele sub formǎ de ecuaii inegrale sau ecuaii inegro-difereniale Dinamica unui circui elecric simplu RC, serie, penru a face o alegere, alimena cu o ensiune e se modeleazǎ prinr-o ecuaie binecunoscuǎ e = Ri + C i τ d τ în care R ese valoarea rezisenei si C ese valoarea capaciǎii, iar i ese curenul sabili în circui. Dacǎ valoarea C ese consanǎ, facorul care muliplicǎ curenul poae fi scos în afara inegralei si prinr-o simplǎ derivare relaia de mai sus poae fi ransformaǎ înr-o ecuaie diferenialǎ cu derivae ordinare, usor de raa. Dacǎ însǎ valoarea capaciǎii se modificǎ în imp, ca în cazul uilizǎrii unor elemene de circui neliniare sau în cazul modulaoarelor, aunci ecuaia model rǎmâne o ecuaie inegralǎ si rebuie raaǎ în consecinǎ. Un mediu mulimolecular ese adesea descris de o funcie de disribuie pseudoconinuǎ în rapor cu o anumiǎ caracerisicǎ. Sun foare cunoscue, de pildǎ, curbele puncelor reale de fierbere PRF, care caracerizeazǎ fraciile peroliere prin coa pare din amesecul complex care ese fracia respecivǎ, fracie care fierbe si se evaporǎ pânǎ la o anumiǎ emperaurǎ. Sun de asemenea familiare ehnologilor chimisi reparizarea polimerilor si caracerizarea lor în rapor cu masele lor moleculare. O ransformare chimicǎ înr-un mediu molecular pseudoconinuu în rapor cu o anumiǎ caracerisicǎ poae fi cuprinsǎ sub aspecul mecanismului, înr-o schemǎ conform cǎreia speciile moleculare de caracerisici x si x' se ransformǎ reversibil sau nu, dupǎ cum ambele consane de viezǎ sun nenule sau una ese pracic nulǎ, conform ecuaiei k x, x A x A x k x, x Vieza de ransformare exprimaǎ pe înreaga disribuie de componeni se exprimǎ prin ecuaia inegro-diferenialǎ c x, b b = k x, x c x, dx k x, x c x, dx + a a Ecuaia de mai sus exprimǎ variaia în imp a disribuiei componenilor cx, având în vedere consumul prin reacia direcǎ exprima de prima inegralǎ si producia exprimaǎ prin a doua inegralǎ din parea dreapǎ a ecuaiei model. Exemplele de mai sus sun ilusraive în ceea ce privese posibiliaea ca modelul dinamicii unor siseme sǎ fie sau sǎ coninǎ ecuaii inegrale sau inegro-difereniale. Teoria maemaicǎ se ocupǎ de obicei de ecuaii inegrale de douǎ ipuri: Ecuaiile Fredholm se prezinǎ sub forma 39

40 sau sub forma b g = K, τ. y τ. dτ a b y = G + K, τ. y τ. dτ a Ecuaiile Volerra se deosebesc de cele precedene prin exisena unei limie de inegrare variabile sau g = K, τ. y τ. dτ a y = G + K, τ. y τ. dτ a În ambele cazuri, y ese funcia necunoscuǎ. Celelale funcii, g, G si K, τ sun cunoscue analiic, grafic sau numeric. Ulima, K, τ ese numiǎ funcia nucleu al ecuaiei inegrale. Exisǎ o legǎurǎ înre ecuaiile inegrale si ecuaiile difereniale ordinare. De pildǎ, ecuaia neliniarǎ d y f y d =, inegraǎ în douǎ eape, produce mai înâi dy = f y d + c d τ, τ si apoi { f [ τ, y τ ] d } d + c + y = τ c cu c si c consane arbirare. O expresie alernaivǎ penru y ese y = τ f [ τ, y τ] dτ + G obinuǎ dupǎ o inegrare prin pǎri si cu G = c +c. Ulima expresie ese o ecuaie inegralǎ Volerra de ipul II. Consanele c si c se deerminǎ din condiii iniiale asupra funciei si asupra derivaei funciei necunoscue sau din condiii în douǎ punce disince ya = y a si yb = y b. Dacǎ una din limiele inegralei care apare în ecuaia inegralǎ ese infiniǎ ecuaia se numese singularǎ. O posibiliae de soluionare prin aproximǎri succesive consǎ în a admie o soluie y aproximaivǎ, care inrodusǎ în ecuaie permie evaluarea unei noi funcii y, mai apropiaǎ de soluia corecǎ y înr-un anume sens. Admiând cǎ procesul ese convergen, ceea ce nu ese odeauna obligaoriu, sirul de funcii y, y, y, ese convergen cǎre soluia y. Condiiile de 4

41 convergenǎ sun greu de specifica, dar aceasa ese o cale cel puin enanǎ penru rezolvarea ecuaiilor inegrale. Ecuaiile inegro-difereniale au una din formele generale dy = a y + K y d d τ τ τ sau y x, = a y x, + K τ y x, τ dτ dupǎ cum funcia necunoscuǎ depinde numai de imp sau si de o a doua variabilǎ. Fǎrǎ prea mare efor, înre exemplele prezenae mai devreme si ipurile de ecuaii enumerae se poae sabili o corespondenǎ. Ese de reinu fapul cǎ modelele maemaice de forme variae care au fos prezenae în capiolul care se încheie aici au fos scrise cu referire la fenomene fizice si fizico-chimice cunoscue, prin folosirea unor legi care guverneazǎ caniaiv asfel de fenomene. În capiolul urmǎor sun cuprinse sisemaic un numǎr de asfel de legi foare uile în scrierea unor modele maemaice si în sudiul dinamicii unor siseme. Probleme Problema. Scriei modelul dinamicii încǎrcǎrii/descǎrcǎrii unui rezervor de formǎ sfericǎ cu diamerul D, care conine un fluid incompresibil, de pildǎ apǎ. Rezervorul are aerisire la parea cea mai de sus si ese alimena cu acelasi fluid la un debi consan F i. Fluidul se scurge prinr-un orificiu circular de diameru,d, siua în puncul cel mai de jos al rezervorului, la un debi sabili prin aciunea forei graviaionale. Penru nivelul de referinǎ h mǎsura de la puncul cel mai de jos, se cere a se scrie un model liniar aproximan al sisemului, valabil în jurul acesui nivel. Deerminai inervalul de valori ale nivelului h, în care modelul liniar are o eroare faǎ de modelul riguros de ±%. Dae numerice: D =,5 m; h = p + /p max + 5 m. Paramerul p reprezinǎ poziia sudenului în caalogul grupei. Numǎrul p max ese numǎrul oal al sudenilor din grupǎ. Soluia problemei. Bilanul maerial ese da prin ecuaia de coninuiae dv π,d = Fi gh d 4 cu V volumul caloei sferice pline cu lichid 4

42 = 3 3 h D h V π Cu aceasǎ ulimǎ expresie d dh h hd d dv = π ceea ce aduce modelul la forma 4, h D h gh D F d dh i = π π o ecuaie diferenialǎ neliniarǎ h apare si sub radical si la numior ec.. În regim saionar 4, h D h gh D F i = π π si debiul de alimenare rebuie sǎ fie exac 4, gh D F i π = egal cu cel de evacuare dica de fora graviaionalǎ. Liniarizarea se face punând + =,, 4, u h f u h f h hd gh D F i π π,, u u u f h h h f u h u h + + cu noaia F u i penru unica inrare/comandǎ a sisemului. Sisemul cu inrarea consanǎ i F u u = = nu-si modificǎ sarea si, = u h f. Derivaele pariale 4, 4, h D h h D gh D u h D h h g D h f = π π π h D h u f = π în puncul, u h devin 4

43 f h π,d g 4 h =, h D h u π h respeciv f u = D h, u πh h.75 RÃ S P UNS LA UN S A LT A L DE B ITULUI FI DE %.7.65 h [m ] Tim p [s ] Dacǎ a si b sun valorile celor douǎ derivae pariale de mai sus, în puncul h, u, aunci modelul liniariza ese dh d h h = = a h h + b u u d d Inegrarea celor douǎ ecuaii model penru h =, 5m si D = m, inegrare fǎcuǎ cu funcia Malab ode3, produce rezulaul din graficul alǎura. Cele douǎ curbe reprezinǎ: una rezulaul inegrǎrii modelului riguros, cealalǎ rezulaul inegrǎrii modelului liniariza, aproximan. Penru a compara rǎspunsurile celor douǎ modele, se face o asfel de evaluare numericǎ penru un sal poziiv în debiul de alimenare de -% si se reine momenul si h când h = h exac h aproximaiv raverseazǎ limia de % din nivelul corec. Se repeǎ evaluarea penru un sal negaiv o de -% si se procedeazǎ analog. Rezulaul acesui al doilea calcul ese de asepa a fi diferi de primul. Se obine asfel un inerval h inferior, h superior de precizie prescrisǎ. 43

44 Problema. Formulai si rezolvai o problemǎ similarǎ celei de mai sus, penru un vas conic, cu vârful în jos sau cu vârful în sus. Problema 3. Scriei modelul dinamicii unui sisem de douǎ vase cilindrice, care sun umplue parial cu un lichid apǎ si care comunicǎ unul cu alul prinr-un ub orizonal suficien de lung penru ca frecarea în acel ub sǎ devinǎ imporanǎ. Sarea iniialǎ a sisemului ese: niveluri diferie în cele douǎ vase, comunicarea prin ubul de legǎurǎ înrerupǎ. Se resabilese legǎura brusc. Care ese evoluia în imp a sisemului? În ce condiii comporarea sisemului ese oscilanǎ? Dupǎ câ imp oscilaiile se reduc sub % din coele saionare spre care sisemul inde? Indicaie. Circulaia lichidelor prin conduce lungi ese modelaǎ în lucrarea semnaǎ de Chuei-Tin Chang si Jung-Ing Hwang si publicaǎ în AIChE Journal, 44, nr.6, p , prin relaia dq π d 8 fρ Lq q = ρ gh 5 d 4ρ L π d Relaia ese înrucâva diferiǎ de aceea daǎ înr-un exemplu prezena mai devreme. Unele diferene sun numai de noaii, q penru F o sau πd /4 penru A p, cu uilizarea diamerului conducei de seciune circularǎ în locul ariei ei ransversale. Apare în relaie si facorul de frecare f care aici ese adimensional. Legǎura lui cu coeficienul k f uiliza mai sus ese k f = πdfρ/8. În lucrarea ciaǎ se dau si unele valori numerice: d =,58 m; L = 5 m; f =,59. 3 specific penru apǎ, la fel densiaea ρ = kg/m 3. Vasele au arii ransversale de m si înǎlimi maxime de h =,378 m sau,689 m. Debiele sun în jur de q =,5 m 3 /s. Acese ulime valori sun orienaive si uilizarea lor în calculele proprii ese faculaivǎ. Exerciii de auoevaluare. Un vas cilindric de seciune circularǎ aseza orizonal se poae alimena cu un lichid la un debi dori si are o evacuare care poae fi sabiliǎ, de asemenea, la dorinǎ. Nivelul de lichid din vas ese obiecul unei reglǎri auomae prin douǎ comenzi: debiul alimena si debiul evacua. Vasul ca sisem dinamic ese a invarian, liniar, de ordinul ; b invarian, neliniar, de ordinul ; c varian cu evoluie paramericǎ, neliniar, de ordinul. Marcai afirmaia adecvaǎ. 44

45 . Fie acelasi vas de la exerciiul, aseza de daa aceasa cu axul verical. Vasul ca sisem dinamic ese a invarian, liniar, de ordinul ; b invarian, neliniar, de ordinul ; c varian cu evoluie paramericǎ, neliniar, de ordinul. Marcai afirmaia adecvaǎ. 3. Fie Φ ; funcia maricialǎ de ranziie a unui sisem dinamic varian evoluiv parameric si coninuu în imp. Care din afirmaiile urmǎoare nu ese adevǎraǎ? a Φ ; = I b Φ ; = [ Φ ; ] ; = Φ,. Φ ;. Φ ; c Φ cu < < < 4. Se dǎ ecuaia dx = Fx + Gu d care descrie evoluia în imp a sǎrii x a unui sisem dinamic invarian. Se mai dǎ soluia penru x = x x = Φ x + Φ τ Gu τ dτ Care ermen al sumei din dreapa ulimei expresii reprezinǎ soluia liberǎ fǎrǎ inrǎri a sisemului? a primul ermen; b al doilea ermen; c suma nu conine explici soluia liberǎ. 5. Marcai mai jos afirmaia corecǎ relaiv la meoda colocaiei orogonale. a reducerea dimensionaliǎii modelului unui sisem dinamic cu parameri disribuii; b recerea de la modele maemaice proprii sisemelor cu parameri concenrai la modele maemaice aproximane proprii sisemelor cu parameri disribuii; c inegrarea aproximaivǎ a unor ecuaii cu derivae ordinare. 6. Penru inegrarea numericǎ a sisemelor de ecuaii cu derivae ordinare se folsesc înre alele meodele Runge-Kua de ordine variae, meoda Gauss, meoda Milne, meoda Adams. Care din acese meode sun de ipul predicor-corecor? a Runge-Kua, b Gauss si Runge-Kua sau c Milne si Adams? 7. Se noeazǎ uzual cu Φ asa-numia marice de ranziie a unui sisem dinamic. Maricea Φ are ca elemene funcii de imp. Relaiile de mai jos i Φ = I 45

46 ii Φ = Φ τ Φ τ iii [ ] Φ = Φ exprimǎ proprieǎile maricei de ranziie care caracerizeazǎ un anumi sisem. Sisemul acela ese a liniar invarian, b neliniar sau c varian? 46

47 PRINCIPII FUNDAMENTALE DE FIZICǍ, CHIMIE SI CHIMIE FIZICǍ ÎN MODELAREA SISTEMELOR DINAMICE Ecuaii de coninuiae Ecuaii de bilan energeic Ecuaii de miscare Ecuaii de ranspor Ecuaii de sare Specre de componeni Ecuaiile de sare si amesecurile complexe Echilbre înre faze Ecuaii chimice generalizae, soechiomerie, echilibru chimic Ale principii si aspece caniaive uilizae în scrierea modelelor dinamicii sisemelor Probleme Exerciii de auoevaluare În seciunea referioare la diferiele ipuri de modele ale dinamicii sisemelor s-a apela mai mul sau mai puin explici la principii fizice si fizico-chimice presupuse ca fiind însusie de ciior în cursul sudiilor preuniversiare sau în anii de sudii precedeni. Aici sun revǎzue mai sisemaic acele principii si sun aduse în discuie alele suplimenare. Ecuaii de coninuiae Ecuaiile de coninuiae sun relaii care modeleazǎ asa-numiele bilanuri maeriale. Bilanurile acesea po fi generale sau pe componeni. O ecuaie de coninuiae globalǎ se poae exprima în cuvine asfel: Debiul masic care alimeneazǎ un sisem debiul masic care pǎrǎsese sisemul = vieza de schimbare a caniǎii de maerial din sisem. Termenii în ecuaiile de coninuiae sun mǎsurai uzual în uniǎi de masǎ în uniaea de imp, dar po fi exprimai o asa de bine în numǎr de moli în uniaea de imp. Excepie de la aceasǎ regulǎ de bilan maerial o fac procesele nucleare. Ecuaiile rebuie sǎ coninǎ în acel caz ermeni care sǎ corespundǎ unor dispariii sau apariii de maerie asociae unor ransformǎri masǎ-energie. 47

48 O ecuaie de coninuiae pe componeni se exprimǎ în cuvine asfel: Debiul de componen care alimeneazǎ sisemul debiul din acelasi componen care pǎrǎsese sisemul + vieza de formare a acelui componen = vieza de schimbare caniaivǎ a componenului în sisem. Uniǎile în ecuaiile de coninuiae pe componeni sun uzual moli în uniaea de imp dar po fi si uniǎi de masǎ în uniaea de imp. Vieza de formare poae fi o viezǎ de dispariie sau de consum a componenului în reaciile chimice care au loc în sisem. În cazul din urmǎ semnul plus din faa viezei se înlocuiese cu semnul minus. Ecuaii de bilan energeic Dupǎ cum si numele le araǎ, ecuaiile de la aces punc modeleazǎ bilanurile de energie înr-un sisem. Din nou în cuvine, o asfel de ecuaie are urmǎorii ermeni: Fluxul de energii care alimeneazǎ sisemul fluxul de energii care pǎrǎsesc sisemul + energia adǎugaǎ sisemului prin posibile reacii chimice lucrul efecua de sisem asupra mediului ambian = vieza de schimbare a energiei în ineriorul sisemului. Termenii din relaia de bilan energeic se exprimǎ în uniǎi de energie pe uniaea de imp sun asadar pueri. Semnele penru ermenii ulimi din parea sângǎ a ecuaiilor de bilan enegeic po fi conrare celor specificae mai sus, dupǎ cum ese vorba de un apor energeic sau de un consum energeic. De pildǎ, înr-o reacie se poae degaja energie, dar se poae consuma energie reacii exoerme, reacii endoerme. To asa, sisemul poae efecua un lucru mecanic asupra mediului dar poae si primi o caniae de energie prin lucrul mecanic efecua de mediu asupra sisemului. Ecuaii de miscare Forma cunoscuǎ din primii ani de fizicǎ d x F = m d care exprimǎ fora în funcie de masǎ si de acceleraie poae fi insuficienǎ în cazurile în care masa ese ea însǎsi variabilǎ în imp. De aceea, mai general, ese preferaǎ legea conservǎrii impulsului sau a momenului. Aceasǎ varianǎ araǎ asfel: 48

49 n d mvi F ji = j= d si însumeazǎ forele pe direcia i, care po fi componene ale unor fore muliple, aplicae asupra sisemului din diverse direcii. Conservarea impulsului a fos uilizaǎ înr-o seciune anerioarǎ la scrierea modelului unui sisem care consa înr-un vas din care evacuarea lichidului se efecua prinr-o conducǎ lungǎ. Un exemplu suplimenar ese prezena în coninuare. Conducele de produse peroliere sun uilizae penru ransporul unor lichide de caliǎi variae. Înre procedurile de pompare succesivǎ a douǎ lichide diferie, penru a evia conaminarea unui lichid cu alul se rimie pe conducǎ o sferǎ plasicǎ de diamerul conducei care ese împinsǎ de un iner. Forele care acioneazǎ asupra lichidului în caniae variabilǎ sun urmǎoarele: fora de frecare K f L xv proporionalǎ cu pǎraul viezei medii si cu lungimea pǎrii din conducǎ ocupaǎ încǎ de lichid fora inerialǎ a masei de lichid pe care sfera o împinge; aceasǎ masǎ ese L xa p ρ fora de împingere daoraǎ presiunii pe sferǎ, P A p, în esenǎ consanǎ. Noaiile sun L penru lungimea coducei, x penru coordonaa curenǎ a cenrului sferei, v penru vieza de deplasare a aceseia, K f penru facorul de frecare în conducǎ, A p penru aria ransversalǎ a conducei, ρ penru densiaea lichidului în curs de dislocuire si P presiunea aplicaǎ asupra sferei. Ecuaia care descrie dinamica golirii conducei ese d [ ρa p L x v] = P Ap K f L x v d care dupǎ înlocuirea viezei cu derivaa coordonaei spaiale a cenrului sferei si ale modificǎri evidene devine dx P K k dx L x = L x d d d ρ ρap d Acesa ese un model de forma unei ecuaii difereniale cu derivae ordinare, ese neliniar si de ordinul al doilea. Ecuaii de ranspor Înre punce vecine ale spaiului gazdǎ a unor fenomene fizico-chimice are loc un ransfer de masǎ, de energie si/sau de momen de îndaǎ ce apare o diferenǎ de concenraii, de emperaurǎ, respeciv de viezǎ. În oae cazurile ransporul numi uneori si ransfer are caracerisicile unui flux prinr-o suprafaǎ uniarǎ, proporional cu o forǎ morice care ese ocmai diferena de concenraii, de emperaurǎ sau de viezǎ. 49

50 Penru ransferul de masǎ, penru elaborarea de modele maemaice exisǎ legea lui Fick n J x = D x care exprimǎ debiul de subsanǎ în direcia x în funcie de gradienul de concenraie în acea direcie. Coeficienul D ese numi coeficien de difuzie si, dacǎ n ese numǎrul de molecule în uniaea de volum si J x ese debiul numeric de molecule prin uniaea de suprafaǎ, aunci D se exprimǎ în [m /s] adicǎ în uniǎi de suprafaǎ pe uniaea de imp. O varianǎ localǎ foare generalǎ a legii lui Fick n = D. n exprimǎ relaia dinre variaiile în imp si în spaiu ale concenraiei n. În ulima relaie, cu s-a noa operaorul laplacean. Penru ransferul de energie, de mule ori sub formǎ de cǎldurǎ, fora morice ese, cum s-a mai spus, diferena de emperaurǎ. Legea lui Fourier T q = h x ese aceea care modeleazǎ ransferul ermic. În expresia maemaicǎ a legii lui Fourier s-a noa cu q fluxul de energie prin uniaea de suprafaǎ, în [J/s.m ], cu h conduciviaea spaiului dinre zonele sau puncele înre care are loc ransferul de energie, în [J/s.m.K], iar gradienul de emperaurǎ, aici derivaa emperaurii în rapor cu unica variabilǎ spaialǎ specificaǎ, în [K/m]. Gradienul se exprimǎ în unele cazuri prin raporarea unor diferene finie ale emperaurii si variabilei spaiale x. Transferul de momen înr-un mediu fluid are ca forǎ morice gradienul de viezǎ mǎsura în [/s], iar coeficienul de proporionaliae ese vâscoziaea mǎsuraǎ în [kg/m.s]. Ecuaia modelaoare a fenomenului cea mai cunoscuǎ dv F = ηs dx poarǎ numele de legea lui Newon. În ecuaia daǎ raporul F/S ese o forǎ specificǎ de forfecare, η ese coeficienul de vâscoziae sau, simplu, vâscoziaea mediului în deplasare, iar derivaa ese gradienul de viezǎ. Legea lui Newon ese aplicabilǎ la o clasǎ resrânsǎ de fluide, fluidele newoniene. Penru medii foare vâscoase se folosesc ecuaii diferie. Mai depare ese da un exemplu care se referǎ la deplasarea laminarǎ a unui flux de lichid incompresibil newonian. Mai în amǎnun, calificaivul newonian se leagǎ ocmai de fapul cǎ fora de forfecare sau rezisena de recere a douǎ srauri adiacene de lichid unul pe lângǎ alul ese proporionalǎ cu vieza relaivǎ sau cu gradienul de viezǎ 5

51 v τ z rz = η r cu fora de forfecare în [N/m ], cu vâscoziaea fluidului η în [kg/m.s] si cu gradienul de viezǎ în direcia razei conducei presupusǎ cilindricǎ de seciune circularǎ, în [/s]. Sisemul ese cu simerie axialǎ, axa fiind orienaǎ pe direcia z de deplasare a fluidului. Asupra elemenului inelar de grosimi dr, dz acioneazǎ în direcia poziivǎ a axei ubului o forǎ de frecare/forfecare, τ rz πrdz si o forǎ πrdrp daoraǎ presiunii, iar în direcia inversǎ fore similare de forfecare πrdzτ rz + πrdzτ rz dr r si daorae presiunii πrdrp + πrdrp dz z Vieza de modificare a momenului elemenului inelar πrdrdz de densiae ρ ese π rdrdzρv z Dupǎ combinarea acesor fore si ordonarea ermenilor ecuaiei se obine v z P rρ + rτ rz + r = r z care ese o ecuaie cu derivae pariale nu dinre cele mai simple. Ecuaii de sare Modelele maemaice cer precizarea unor proprieǎi ale maerialelor din sisemul modela, cum sun densiǎile, enalpiile ec. Acese mǎrimi sun uzual funcii de presiune, de emperaurǎ si de compoziie. Frecven mǎrimile aminie po fi exprimae prin relaii simple. De pildǎ penru enalpia vaporilor unei subsane, relaia liniarǎ în emperaurǎ H = C p T + λ v ese suficien de precisǎ penru inervale de emperaurǎ si de presiune de înindere moderaǎ. Penru inervale mai largi de emperaurǎ evaluarea rebuie îmbunǎǎiǎ T H = C T T dt + λ p În cele douǎ expresii apar cǎldura specificǎ C p, emperaura T si cǎldura laenǎ de vaporizare λ v. În variana a doua cǎldura specificǎ apare înr-o inegralǎ deoarece ese variabilǎ cu emperaura. Sun cazuri, dupǎ cum se va explica mai v 5

52 depare, în care si energia laenǎ de vaporizare rebuie exprimaǎ în funcie de emperaurǎ si presiune. În evaluarea unor proprieǎi ale maerialelor vehiculae prin sisemele dinamice, de mare uiliae sun ecuaiile de sare. Ecuaiile de sare exprimǎ o legǎurǎ compleǎ înre presiune, volum si emperaurǎ penru subsane pure si au în vedere si compoziia când ese vorba de amesecuri. Expresia generalǎ si impliciǎ a unei ecuaii de sare ese FP, V, T = cu presiunea, volumul si emperaura noae ca de obicei cu P, V, T. Legea gazelor perfece PV = nrt în care mai apare consana universalǎ a gazelor R si numǎrul de moli n, ese o ecuaie de sare. Valabiliaea ei ese resrânsǎ la asa-numiele gaze perfece sau ideale, care în condiii normale de emperaurǎ si presiune saisfac cu foare bunǎ precizie respeciva ecuaie. În ecuaiile de sare se preferǎ uneori folosirea densiǎii molare ρ, exprimaǎ în [mol/m 3 ] sau mai uzual în [mol/l]. În acese condiii ecuaia gazelor perfece se scrie sub forma P = ρrt Cele mai mule ecuaii de sare se po explicia în rapor cu presiunea P = fρ, T O ecuaie de sare îmbunǎǎiǎ faǎ de aceea a gazelor perfece ρrt P = aρ bρ a fos propusǎ de Van der Waals la sfârsiul secolului al XIX-lea si caracerizeazǎ mul mai riguros gazele reale deoarece coeficienii a si b sun specifici fiecǎrei specii moleculare. Mai precis, valorile lor sun legae de paramerii criici ai subsanei respecive. Penru o presiune si o emperaurǎ dae, ecuaia rezulaǎ ese o ecuaie cubicǎ în ρ. Ecuaia de sare de mai sus face pare dinr-o clasǎ foare cuprinzǎoare de ecuaii de sare, ecuaii cubice în densiaea ρ, cubice de asemenea în volumul molar v. Clasa aceasa a fos îmbogǎiǎ considerabil în deceniul al opulea si al nouǎlea al secolului recu. Iaǎ câeva ecuaii de sare cubice în densiaea ρ, dezvolae în perioada menionaǎ si foare uilizae, inclusiv în simulaoarele comerciale: ecuaia de sare Soave-Redlich-Kwong 97 ρrt aρ P = bρ + bρ Acese ecuaii de sare se referǎ la sarea unor subsane pure sau amesecuri, sarea lor de agregare, sarea energeicǎ, sarea enropicǎ ec. Ele sun pariculare în sensul cǎ nu se confundǎ decâ evenual în pare cu ecuaiile care descriu sarea unui sisem. 5

53 ecuaia de sare Peng-Robinson 976 ρrt aρ P = bρ + bρ b ρ ecuaia de sare Pael-Teja 98 ρrt aρ P = bρ + b + c ρ bcρ Acesea si încǎ o serie înreagǎ de ale ecuaii de sare produse în anii din urmǎ reusesc sǎ modeleze în egalǎ mǎsurǎ aâ comporarea subsanelor pure câ si a amesecurilor, pe largi inervale de emperaurǎ si presiune, din vecinǎaea puncului riplu si pânǎ mul dincolo de puncele criice. Asfel de ecuaii sun surse nu numai de presiuni, volume si emperauri ci si de ali parameri fizici de foare mare imporanǎ cum sun energiile inerne sau enalpiile si enropiile. Ecuaiile de sare permi evaluarea reparizǎrii componenilor înre faze în echilibru, permi calculul asa-numielor consane de echilibru, care sun foare imporane în modelarea si simularea proceselor chimice si perochimice. Referior la paramerii care apar în ecuaiile de sare si la calculul lor, se exemplificǎ în coninuare cazul ecuaiei de sare Peng-Robinson care conine doi asemena parameri, a si b. Penru subsane pure acesia au expresiile RTc a =.4574 α Pc RTc b =. 778 Pc în care apar emperaura criicǎ T c si presiunea criicǎ P c si, penru a, facorul α = [ + s T ] r care conine la rându-i emperaura redusǎ, T r = T/T c si coeficienul s = ω.388ω ω 3.976ω 4 un polinom în facorul acenric ω. Se observǎ cǎ fiind dai paramerii criici T c si P c si facorul acenric ω, consane caracerisice fiecǎrei specii moleculare, se po calcula coeficienii din ecuaia de sare. Coeficienii numerici din expresiile de mai sus au fos deerminai prinr-o procedurǎ de regresie cu luarea în considerare a unui numǎr apreciabil de specii moleculare si a unui numǎr de proprieǎi care depind de sarea subsanelor respecive. Aceasǎ procedurǎ ese cunoscuǎ sub numele de analizǎ muliplǎ a proprieǎilor, în englezese, mulipropery analysis. Penru amesecuri, forma ecuaiei de sare se menine dar coeficienii sun calculai din cei penru componenii puri pe baza unor asa-numie reguli de amesecare. Fǎrǎ a inra în prea mule dealii, coeficienul b penru amesec ese o medie ponderaǎ cu concenraiile molare, a coeficienilor b i, i =,,..., n, 53

54 asociai celor n componeni din amesec. Coeficienul a ese o formǎ pǎraicǎ în concenraiile molare cu coeficienii calculai prin luarea mediei geomerice a coeficienilor a i, a j, i, j =,,..., n, medie corecaǎ cu facori k ij apropiai de uniae, specifici fiecǎrei perechi de componeni. Consanele k ij se numesc parameri de ineraciune, sun nule penru i = j si sun în general diferie penru ecuaii de sare diferie. În calculele de modelare-simulare sun necesare evaluǎri ale enalpiilor si uneori ale enropiilor. Frecven se considerǎ, fǎrǎ vreo verificare, cǎ enalpiile sun variabile liniar cu emperaura, cǎ enalpiile de vaporizare ale subsanelor sun consane, cǎ presiunea nu ar avea nici o influenǎ asupra acesora. Punerea corecǎ a problemei ese sineizaǎ în formulǎrile care urmeazǎ. Enalpia unei subsane la emperaura T si la presiunea P are rei componene: a enalpia de formare în sarea sandard, uzual la 98K si presiune cvasinulǎ; b o diferenǎ de enalpie la emperaura T în sarea de gaz ideal, faǎ de sarea sandard; c o abaere de enalpie la emperaura T si la presiunea P, faǎ de sarea de gaz ideal, la aceeasi emperaurǎ. Înr-o relaie cuprinzǎoare enalpia se descompune asfel H = H + H H + H H Primul si al doilea ermen din relaia genericǎ de mai sus sun furnizai de abele sau de baze de dae compuerizae. Daele socae înr-un mod sau alul sun pariculare penru fiecare specie molecularǎ si sun mereu aceleasi oricare ar fi sarea subsanei în condiiile dae de emperaurǎ si presiune. Termenul al reilea ese furniza de o ecuaie de sare, în paricular de ecuaia Peng- Robinson, prinr-un calcul simplu. Relaia de calcul al abaerii de enalpie ese ρ P P dρ H H = RT + P T ρ T ρ si include, dacǎ ese cazul, si enalpia laenǎ de recere de la o sare fluidǎ la ala. Enalpia laenǎ ese cunoscuǎ uzual ca o consanǎ specificǎ unei subsane dae. Aceasǎ percepie ese corecǎ dacǎ se ine seamǎ de fapul cǎ alǎuri de valoarea daǎ în abele mai ese specificaǎ si o presiune: presiunea normalǎ. Enalpia laenǎ se modificǎ la ale presiuni diferie de cea normalǎ. Apropierea de puncul criic de pildǎ duce la diminuarea repaǎ a acesei enalpii si la anularea ei la presiuni superioare presiunii criice când pracic nu mai exisǎ faze fluide disince. În cazul amesecurilor, ermenii asociai formǎrii si sǎrii de gaz ideal se calculeazǎ prin ponderarea ermenilor corespunzǎori componenilor puri cu concenraiile lor molare. Termenul al reilea, abaerea de enalpie se calculeazǎ din ecuaia de sare penru amesec. Enropia, o proprieae la fel de imporanǎ uneori ca si enalpia are douǎ componene 54

55 S = S + S S prima ese enropia în sarea de gaz ideal la emperaura T, a doua ese abaerea de enropie la emperaura T si la presiunea P, faǎ de sarea de gaz ideal la aceeasi emperaurǎ. Primul ermen din descompunerea de mai sus conine uzual o pare legaǎ de formarea subsanei din elemenele consiuive în condiii sandard si o alǎ pare dependenǎ de emperaurǎ. Toae elemenele necesare calculǎrii ermenului prim se iau din abele sau baze de dae. Termenul al doilea se evalueazǎ pe baza unei ecuaii de sare cu relaia ρ P dρ S S = Rln ρrt ρr T ρ Specre de componeni Exisǎ amesecuri de foare muli componeni cum sun ieiurile sau fraciile peroliere sau cum sun polimerii. Asemenea amesecuri nu po fi raae componen cu componen cum se procedeazǎ cu amesecurile mai simple, din mai puini componeni, ci sun considerae a avea specre de componeni coninue. Dealfel, o specificare a uuror componenilor ese de cele mai mule ori imposibilǎ. În acese cazuri se alege o anumiǎ caracerisicǎ, de pildǎ asanumiele punce reale de fierbere PRF sau masele moleculare si se exprimǎ procenual sau în fracii parea din amesec, care are caracerisica definiorie sub o anumiǎ valoare. Exprimarea aceasa se consiuie înr-o funcie de repariie a componenilor si, ca orice funcie de repariie are valori înre zero % si %, ese nedescrescǎoare si admie o derivaǎ în fiecare punc, derivaǎ care ese o densiae de repariie. Valorile caracerisicii se înind pe un inerval fini. În cazul puncelor reale de fierbere inervalul ese marca de un punc iniial si un punc final de fierbere. Acese douǎ funcii sun cunoscue mai ales prin graficele lor curba puncelor reale de fierbere, de pildǎ si sun noae generic cu Fx si fx, x fiind caracerisica în rapor cu care se face sorarea componenilor. Aceleasi noaii se regǎsesc si în seciunea referioare la variabilele aleaoare si mule rezulae de acolo po fi aplicae si la funciile de repariie penru amesecuri complexe. Deosebirea majorǎ consǎ în lipsa caracerului aleaor al caracerisicii faǎ de care se calculeazǎ repariia componenilor. Ecuaiile de sare si amesecurile complexe În cazul amesecurilor complexe, asa cum s-a spus, ese mai convenabil a se considera cǎ amesecul conine un specru de componeni coninuu în rapor cu o caracerisicǎ daǎ. Cea mai uzualǎ caracerisicǎ ese aceea a puncelor reale de fierbere PRF. Fracia respecivǎ sau ieiul bru sun descrise compoziional prinr-o curbǎ a acesor punce reale de fierbere care sun emperaurile de 55

56 fierbere ale unor fracii înguse din amesec, în condiii normale de presiune. Fraciile înguse sun rezulaul unei operaii de disilare în cursul cǎreia disilǎ mai înâi componenii mai volaili, cu emperauri de fierbere mai scǎzue, apoi componeni din ce în ce mai puin volaili, cu emperauri de fierbere din ce în ce mai ridicae, pânǎ la epuizarea amesecului sau cel puin al unei pǎri imporane a lui. O asa-numiǎ curbǎ PRF ese o relaie înre procenele din amesec care fierb pânǎ la o emperaurǎ daǎ si acea emperaurǎ. Asa cum s-a arǎa mai devreme, o curbǎ PRF ese similarǎ unei curbe de repariie si chiar ese o curbǎ de repariie dar nu în sensul uiliza în cazul variabilelor aleaoare. Penru amesecuri nedefinie, raarea ese diferiǎ pânǎ la un punc de aceea a amesecurilor de componeni cu nume. Prin divizarea inervalului de punce reale de fierbere specific amesecului se definese un numǎr de pseudocomponeni. Uzual se folosesc diviziuni cu inervale egale. Numǎrul de pseudocomponeni ese ales asfel încâ sǎ reprezine adecva amesecul, de regulǎ pânǎ la câeva zeci. Frecven, fraciile peroliere sun caracerizae în plus prin relaia procenemedii-densiae. Aceasǎ relaie ese uzual o lisǎ de fracii înguse definie prin puncul de fierbere mediu si prin densiaea lor. Prin inerpolare se po evalua densiǎile pseudocomponenilor definii. Din puncul de fierbere si din densiaea fiecǎrui pseudocomponen se po esima cosane caracerisice, înre care masele moleculare, paramerii criici si facorii acenrici. Masele moleculare sun uile penru conversii fracii/procene molare fracii/procene masice si invers. Celelae consane sabilie pe aceasǎ cale sun uilizae penru evaluarea coeficienilor din ecuaiile de sare, penru pseudocomponeni si penru orice amesec al lor. Premisele sabilie pânǎ acum permi a se calcula densiǎi în condiii de emperaurǎ si presiune dae si echilibre înre faze lichid-vapori. Relaiv la densiae, se menioneazǎ în lieraurǎ diferena de precizie în evaluarea cu ecuaiile de sare a densiǎii fazelor: foare precis penru faza vapori, mul mai puin precis penru faza lichid. Penru calculul de echilibre înre faze imprecizia în valorile penru densiaea fazei lichid nu are prea mare imporanǎ: condiiile de echilibru nu-s foare sensibile la aceasǎ mǎrime. Dacǎ însǎ densiaea se aflǎ înre obiecivele calculelor aunci ese necesarǎ precauie în uilizarea valorilor densiǎilor calculae cu ecuaiile de sare. În cazul hidrocarburilor clar individualizae sau sub formǎ de amesecuri pseudoconinue cum sun fraciile peroliere, o compensare a erorilor în evaluarea densiǎilor se poae realiza prinr-o varianǎ a ecuaiei de sare Peng-Robinson, ecuaia cu ranslaie de volum de densiae care daeazǎ din anii 8 ai secolulului recu. Aceasǎ varianǎ a ecuaiei face o corecie a densiǎii rezulaǎ din consanele criice si din facorii acenrici care caracerizeazǎ pseudocomponenii, cu efecul necesar în densiaea amesecurilor. 56

57 În ceea ce privese enalpiile enropiile, pseudocomponenii definii ca mai sus sun raai asemǎnǎor componenilor cu nume, cu deosebirea cǎ expresiile si consanele referioare la sarea de gaz ideal sun evaluae o pe calea esimǎrii prealabile a consanelor fundamenale din dae PRF si procene-mediidensiae. Ca si în cazul componenilor individualizai, în cazul amesecurilor ermenul asocia sǎrii de gaz ideal se calculeazǎ prin ponderarea ermenilor corespunzǎori pseudocomponenilor cu concenraiile lor molare. Termenul al doilea, deviaiv faǎ de sarea de gaz ideal se calculeazǎ din ecuaia de sare penru amesec. Echilbre înre faze În mule aplicaii prezenae în capiolele precedene, în care fluidele erau mediul care deermina dinamica unui sisem, sarea de agregare a maerialului vehicula era unicǎ sau, cum se spune, fluidele se prezenau înr-o singurǎ fazǎ. În foare mule siseme dinamice fluidele se prezinǎ în mai mule faze fie penru cǎ, de pildǎ, ese vorba de lichide imiscibile si aunci coexisǎ douǎ sau mai mule faze lichide, fie penru cǎ emperaura ese suficien de ridicaǎ penru ca o pare din fluid sǎ se vaporizeze caz în care avem pe lângǎ faza fazele lichid si o fazǎ vapori. Apariia fazelor muliple ese caracerisicǎ amesecurilor. Desigur, penru un componen singular nu ne puem asepa la mai mul de douǎ faze fluide. La un amesec ese posibilǎ coexisena unui numǎr de faze mai mare. Nu are imporanǎ dacǎ sisemul ese închis sau deschis, ceea ce echivaleazǎ cu a avea un spaiu fini sau infini care poae fi ocupa de fluid, endina nauralǎ ese ca fazele posibile în condiiile de presiune si de emperaurǎ dae sǎ se separe una de ala. Iau nasere suprafee separaoare ale fazelor sau inerfee unde exisǎ relaii precise înre concenraiile componenilor în cele douǎ faze. Relaiile respecive se numesc relaii de echilibru înre faze si au forma generalǎ y i = k i x i i =,,, n penru fiecare din cei n componeni, cu fraciile molare x i, y i în cele douǎ faze în echilibru si cu k i asa-numiele consane de echilibru, impropriu numie consane deoarece ele depind odeauna de emperaurǎ, uneori de presiune si de compoziie. Dacǎ sisemul ese deschis, echilibrul are loc numai la inerfaǎ. Dacǎ sisemul ese închis aunci echilibrul se poae sabili penru un spaiu mai larg si se po disinge faze omogene care ocupǎ fiecare un volum da din spaiul oal al sisemului. Echilibrul nu se sabilese insananeu. El are dinamica lui proprie dicaǎ de fenomenul difuziei în fiecare fazǎ, care face ca repa concenraiile de la inerfaǎ sǎ se generalizeze în înreg spaiul ocupa de faza respecivǎ. Prin meode de inensificare a omogenizǎrii fazelor, de pildǎ agiarea inensǎ, scara de imp la care se realizeazǎ echilibrul de faze înr-un sisem închis poae sǎ fie mul diferiǎ de aceea a alor fenomene care deerminǎ 57

58 dinamica sisemului. Modul cum echilibrul fazelor inervine în modelarea unor siseme dinamice ese ilusra în exemplul unui separaor de faze. Variabilele care descriu separaorul sun urmǎoarele: caniǎile din componenul i în faza lichid, u i i =,,..., n [mol]; caniǎile din componenul i în faza vapori w i i =,,..., n [mol]; debiul componenului i în alimenare f i i =,,..., n [mol/s]; debiul componenului i în lichidul exras l i i =,,..., n [mol/s]; debiul componenului i în vaporii exrasi v i i =,,..., n [mol/s]; consana de echilibru penru componenul i, k i i =,,..., n Ecuaiile care modeleazǎ bilanul maerial în condiii izoerme sun: a Ecuaiile de conservare dui dwi + = f i li vi, i =,,..., n d d b Ecuaiile de echilibru lichid-vapori wi ui = k n i n w u, i =,,..., n j = j j= j c Ecuaii care leagǎ debiele de lichid exras, pe componeni, de compoziia lichidului din separaor; l i = q.u i, i =,,..., n d Ecuaii care leagǎ debiele vaporilor exrasi, pe componeni, de compoziia vaporilor din separaor; v i = p.w i, i =,,..., n cu facorii q si p dependeni de imp; e Condiia de volum limia al vasului n i= u L i + n i = unde ρ L si ρ V sun densiǎile celor douǎ faze. ρ ρ w V i = C 58

59 O numǎrare a ecuaiilor araǎ cǎ sun în oal 4n + ecuaii, unele difereniale, alele algebrice. Ecuaiile conin 6n + 5 simboluri. Unele dinre ele noeazǎ consane, de pildǎ cele n consane de echilibru si capaciaea vasului C. Alele sun definie implici, cum sun densiǎile ρ L si ρ V care sun deplin deerminae de compoziia fazelor, de presiune si de emperaurǎ. Rǎmân încǎ de discua 5n + simboluri. Penru ca sisemul de ecuaii sa poaǎ fi rezolva ese necesar a fi specificae încǎ n + variabile sau acelasi numǎr de relaii înre ele. Desigur, alimenarea separaorului ese uzual cunoscuǎ în fiecare momen, ceea ce înseamnǎ n specificaii în plus. Rǎmâne de fǎcu o ulimǎ specificare. Aceasa poae fi, de pildǎ, o condiie de operare. Relaia n i= mi li = L cu L un debi masic de lichid consan poae fi o asfel de condiie. În ulima relaie s-au noa cu m i i =,,..., n masele moleculare ale componenilor. Renunarea la codiia de izoermiciae a echilibrului aduce o ecuaie nouǎ, o ecuaie de bilan energeic. În configuraia separaorului de mai sus aporul energeic exern ese daora exclusiv fluxului de alimenare, iar ransporul de energie cǎre exerior se produce numai prin fluxurile de lichid si de vapori evacuae din vas, care sun eviden purǎoare de energie. Relaia de bilan energeic ese de d = n i = h * i f i n i= h l i i n i= H v în care E ese energia coninuului vasului separaor de faze, h i*, h i, H i i =,,..., n sun enalpiile specifice ale componenilor în alimenare, în lichid, respeciv în vapori. Separaorul de faze examina mai sus ese prooipul unui al separaor de faze, foare frecven si muliplu uiliza în coloanele de separare cu echilibre de faze. Ese vorba de asa-numiul echilibru eoreic sau aler eoreic. Sun câeva deosebiri dar nu de esenǎ. Asfel, conform figurii de mai jos o seciune dinr-o coloanǎ poae fi echivalaǎ cu un separaor de faze cu mai mule alimenǎri, o evenualǎ alimenare propriu-zisǎ F j, alimenǎri cu vapori de la seciunea de dedesub si cu lichid de la seciunea de deasupra, cu douǎ fluxuri care evacueazǎ lichid cǎre seciunea siuaǎ mai jos si vapori spre seciunea siuaǎ deasupra, cu evenuale ale fluxuri de vapori S j sau de lichid S j " spre exerior. Relaiile de coninuiae si de bilan energeic sun similare cu acelea din cazul separaorului de faze. Ele diferǎ prin numǎrul de ermeni, mai muli în cazul seciunii unei coloane de separare cu echilibre de faze. Aporul sau exragerea localǎ de energie ese, de asemenea, posibilǎ. Seciunea coloanei poae fi consiuiǎ fizic dinr-un asa-numi aler, o consrucie unde poae saiona o caniae de lichid care ese în conac cu o caniae de vapori, uzual depare de echilibrul eoreic. Seciunea poae sǎ fie si o poriune de coloanǎ cu umpluurǎ i i 59

60 care asigurǎ o conacare înre un curen ascenden de vapori si un flux descenden de lichid. În ambele cazuri modelele maemaice penru regimul saionar si/sau penru regimul dinamic al reuniunii de seciuni care ese coloana recurg la absracia numiǎ echilibru eoreic sau aler eoreic. Echilibrul eoreic ese echivalenul unui separaor de faze care ar avea un imp de saionare suficien de îndelunga penru a se ainge echilibrul fazelor în forma daǎ de relaiile de echilibru prezenae mai sus. O observaie se cuvine a fi fǎcuǎ: ordinul sisemului dinamic numi separaor de faze ese cel puin egal cu numǎrul de componeni din amesecul supus separǎrii. Ordinul sisemului crese muliplicaiv cu numǎrul de echilibre eoreice j =,,..., m cu care poae fi asimilaǎ coloana. Rezulǎ, asadar, modele care consau în foare mule ecuaii difereniale care produc dificulǎi de calcul uneori neasepae. Ecuaii chimice generalizae, soechiomerie, echilibru chimic Transformǎrile chimice au un mecanism propriu care araǎ ce specii moleculare se consumǎ, dispar penru a fi produse ale specii moleculare. Proporia acesor combinǎri si ransformǎri ese daǎ de soechiomerie. Ecuaia unei ransformǎri chimice, scrisǎ penru speciile moleculare generice A i i =,,..., n, cu oi ermenii grupai în parea sângǎ a semnului ransformǎrii n i= ν A i i exprimǎ consumul sau producerea de A i în reacie în caniaea de ν i moli, dupǎ cum coeficienul soechiomeric ν i ese negaiv sau, respeciv, poziiv. Dacǎ vieza globalǎ a reaciei ese r [mol/s] aunci vieza de producere sau de dispariie a speciei A i ese obinuǎ prin muliplicarea acesei vieze cu coeficienul soechiomeric respeciv. Transformǎrile po fi muliple, în mai mule reacii paralele sau succesive. În asemenea siuaii se poae vorbi de un vecor al viezelor si de o marice a coeficienilor soechiomerici. Viezele cu care speciile se formeazǎ sau dispar 6

61 în sisem se calculeazǎ muliplicând vecorul ranspus al viezelor cu maricea care exprimǎ soechiomeria globalǎ a mecanismului ransformǎrilor ν ν n [ r ] = [ ] A ra r r n m ν m ν mn Aici m ese numǎrul reaciilor chimice care consiuie mecanismul. În relaiile de bilan maerial pe componeni, viezele de formare si/sau dispariie care se inroduc au exac acese valori din parea sângǎ a relaiei de mai sus. Toae ransformǎrile chimice sun eoreic reversibile dar au vieze diferie înrun sens faǎ de celǎlal. Exisǎ asadar posibiliaea ca viezele ransformǎrilor direcǎ si inversǎ sǎ fie egale, ceea ce se înâmplǎ la asa-numiul echilibru chimic. Si acese dealii legae de echilibrul chimic inervin în scrierea corecǎ a relaiilor de bilan maerial. La ransformǎrile chimice ale unor amesecuri de foare muli componeni, ieiuri sau fracii peroliere, suma din relaia de mai sus referioare la reacii chimice se ransformǎ înr-o inegralǎ. În locul componenilor se uilizeazǎ specre pseudoconinue de componeni descrise de repariii de genul unei curbe a puncelor reale de fierbere. Un exemplu se poae vedea în seciunea unde au fos descrise modelele de ipul ecuaiilor inegro-difereniale. În oae cazurile rebuie lua în considerare un posibil efec ermic al reaciilor. Penru aceasa în relaia de bilan energeic rebuie inrodusi ermeni de forma r j h j j =,,..., m care dau mǎsura dispariiei de energie în spaiul inramolecular sau, dimporivǎ, degajarea de energie în spaiul exramolecular, r j fiind vieza în [mol/s] a unei reacii anumie si h j energia în [J/mol] asociaǎ ransformǎrii unui mol în direcia sǎgeii din ecuaia chimicǎ respecivǎ scrisǎ în forma generalizaǎ de mai sus. Ale principii si aspece caniaive uilizae în scrierea modelelor dinamicii sisemelor Fapul cǎ în seciunea prezenǎ se insisǎ mai ales asupra principiilor proprii domeniului ehnologiilor chimice se daoreazǎ în principal complexiǎii uneori excesive a sisemelor din aceasǎ ramurǎ a produciei maeriale. Desigur, asa nu exclude luarea în considerare a alor fenomene a cǎror descriere maemaicǎ caniaivǎ ese accesibilǎ din mecanica eorericǎ, din elecroehnicǎ sau din ale domenii. În coninuare ese prezena un exemplu care apeleazǎ la legi din domenii diferie. Modelul maemaic al unui moor de curen coninuu, de pildǎ, se scrie pe baza unei duble referiri la legile mecanicii si la legile elecroehnicii. Un moor de curen coninuu poae fi modela în circumsane diferie. 6

62 Se admie mai înâi cǎ moorul ese comanda prin ensiunea aplicaǎ indusului, care ese si mǎrime de inrare. Mǎrimea de iesire ese de naurǎ mecanicǎ. Ea ese deplasarea unghiularǎ a axului moorului. Curenul de exciaie ese presupus consan. Modelul moorului în acese condiii se compune din: a o relaie de echilibru înre ensiunile elecrice di u = R i + L e i i i + d în care R i si L i sun rezisena si inducana indusului, i ese curenul în indus si e c ese ensiunea conraelecromooare. b expresia ensiunii conraelecromooare care ese proporionalǎ cu vieza de roaie relaivǎ roor/saor dθe ec = ke d cu coeficienul k e consan numai în limiele în care reacia indusului se poae neglija ipoeza de flux consan în roor. c o relaie de echilibru mecanic d θ e dθ e k m i = I f + d d cu ermenul din sânga care exprimǎ cuplul elecromagneic proporional cu curenul prin indus, cu parea dreapǎ compusǎ dinr-un ermen lega de cuplul inerial al elemenului care se roese si care are un momen inerial I si un al ermen care reprezinǎ fora de frecare vâscoasǎ a aceluiasi corp roior. Cele rei ecuaii au în vedere uniǎi de mǎsurǎ adecvae. În condiii obisnuie efecul induciv da de L i si efecul frecǎrilor concreiza în coeficienul f se po neglija. O alǎ iposazǎ de funcionare a unui moor de curen coninuu ese aceea în care comanda ese pe exciaie. Tensiunea pe indus ese presupusǎ consanǎ, iar iesirea ese o de naurǎ mecanicǎ, în speǎ vieza de deplasarea unghiularǎ a axului moorului. Ecuaiile dinamicii moorului sun în acese codiii înrucâva diferie. Asfel se exprimǎ a echilibrul elecric cu ecuaia U = R i I + e c = R i I + f u [i e, Ω] b cuplul mecanic la ax cu relaia c m = f c [I, i e ] caracerisicile moorului, f u [i e, Ω] si f c [I, i e ], care apar în acese douǎ ecuaii sun familii de hiperbole c echilibrul dinamic al roorului cu relaia dω c m = I + f Ω + cr d c 6

63 Noaiile noi care apar în aces al doilea model al moorului sun, de asemenea, modificae si suplimenae: I penru curenul în indus, Ω penru vieza unghiularǎ a axului, i e penru curenul de exciaie, c m penru cuplul rezisen la axul moorului. Seciunea prezenǎ a acesor Noe de curs nu si-a propus nicidecum epuizarea subiecului aâ de vas al scrierii modelelor maemaice pe baza legilor fundamenale ale fizicii, ale chimiei fizice sau a unor relaii preluae din ale domenii. Rǎmâne în seama ciiorului, poae ca exerciiu, scrierea alor modele dinamice, în baza cunosinelor proprii dobândie la ale discipline, inclusiv în cursul sudiilor preuniversiare. Probleme Problema. Penru propan C 3 H 8, paramerii criici sun T c = 369,8 K, P c = 4,5. 6 Pa, facorul acenric ese ω =,53. Consana universalǎ a gazelor ideale ese R = 8,345 J K mol. Verificai cǎ dacǎ emperaura fluidului ese mai mare decâ emperaura criicǎ, aunci o ecuaie de sare, de pildǎ ecuaia Peng-Robinson are o singurǎ soluie corespunzǎoare unei sǎri de agregare unice. Arǎai cǎ un fap similar se înâmplǎ si dacǎ presiunea la care se aflǎ fluidul ese superioarǎ presiunii criice. Dacǎ aâ presiunea câ si emperaura fluidului sun sub valorile lor criice aunci ecuaia de sare are rei soluii. Care dinre ele corepunde unei sǎri de vapori, care unei sǎri de lichid? Problema. Scriei ecuaiile de coninuiae penru un separaor de faze lichid si vapori la o emperaurǎ fixaǎ. Alimenarea unicǎ si masic consanǎ ese un amesec de doi componeni în proporie de 5%/5% masic. Consanele de echilibru la emperaura daǎ sun k =,5 si k =,5. Ce se înâmplǎ dacǎ alimenarea îsi schimbǎ brusc compoziia la 5%/75% masic? Masele moleculare ale componenilor sun 3 si 44, evacuǎrile maeriale sun sub formǎ de vapori si lichid în caniǎile rezulae din echilbru. Problema 3. Mai sus, în seciunea referioare la ecuaiile de miscare, s-a scris modelul maemaic al golirii de lichid a unei conduce în vederea ransporului prin acea conducǎ, a unui lichid de alǎ caliae. Din conex se înelege cǎ respeciva conducǎ ese orizonalǎ. 63

64 Scriei un model penru o conducǎ care nu ese orizonalǎ, de pildǎ penru una care are o reime ascendenǎ cu o panǎ de %, apoi o reime descendenǎ cu o panǎ de,5% si, în fine, ulima reime ascendenǎ cu o panǎ de %. Exerciii de auoevaluare. Modelele dinamicii sisemelor includ adesea si ecuaii de coninuiae. Marcai în lisa care urmeazǎ ermenul care nu poae apǎrea înr-o ecuaie de coninuiae scrisǎ corec. a acumularea de maerial înr-un sisem vecin b debiele fluxurilor care inrǎ/ies în/din sisem c viezele ransformǎrilor chimice din sisem. În seciunea Ecuaii de miscare ese da modelul operaiei de golire de produs a unei conduce în vederea uilizǎrii ei la ransporul unui al produs. Tipul acelui model ese: a liniar, b neliniar sau c depinde de lungimea conducei? 3. Sarea fluidelor poae fi descrisǎ de o ecuaie de sare cubicǎ în densiaea molarǎ ρ, de pildǎ de ecuaia Peng-Robinson. Penru o presiune si o emperaurǎ fixae, ecuaia poae avea una sau rei rǎdǎcini reale poziive. Se admie cǎ ecuaia are rei asfel de rǎdǎcini. Ce reprezinǎ cea mai micǎ dinre ele? a densiaea fazei vapori; b densiaea fazei lichid; c nu are nici o semnificaie fizicǎ. 4. Sun în general ecuaiile de bilan energeic independene de ecuaiile de coninuiae? a da; b uneori; c cele douǎ ipuri de ecuaii sun cuplae cel puin prin energiile enalpiile fluxurilor maeriale si prin efecul ermic al reaciilor chimice dacǎ acesea au loc. 5. Echilibrul înre faze se produce: a Insananeu, b înr-un imp fini, diferi de zero, fix sau c înr-un imp fini, diferi de zero, cu o dinamicǎ proprie cu aâ mai rapidǎ cu câ consanele de echilibru sun mai depǎrae de uniae si cu câ fazele au o inerfaǎ mai exinsǎ de pildǎ în condiii de amesecare urbulenǎ? 6. De ce în modelarea amesecurilor foare complexe cum sun ieiurile brue, fraciile peroliere sau polimerii se uilizeazǎ nu componeni individualizai, ci pseudocomponeni care grupeazǎ dupǎ o anumiǎ caracerisicǎ punce reale de fierbere, masǎ molecularǎ numerosi componeni reali? a Exisǎ o radiie care s-a impus cu impul; 64

65 b Dimensionaliaea ecuaiilor de coninuiae si/sau a ecuaiilor de echilbru înre faze ar crese inaccepabil; c Nu se cunosc mai mul de jumǎae din componenii prezeni. 7. Despre enalpia de vaporizare/condensare se poae spune cǎ: a Ese consanǎ indiferen de emperaurǎ sau presiune; b Ese în valoare absoluǎ una penru vaporizare, ala penru condensare; c Ese variabilǎ cu emperaura si presiunea si se anuleazǎ la puncul criic. Marcai afirmaia adevǎraǎ. 8. Cele douǎ modele maemaice ale moorului de curen coninuu, prezenae în seciunea ulimǎ a capiolului prezen sun: a liniare; b neliniare sau c unul liniar, celǎlal neliniar? 65

66 66

67 FORME STANDARD ALE MODELELOR DINAMICII SISTEMELOR Dinamica sisemelor modelaǎ cu ecuaii de sare si ecuaii de observare Modele maemaice în domeniul complex Dinamica sisemelor modelaǎ cu ecuaii care leagǎ iesirile de inrǎri Modele maemaice în domeniul frecvenelor Trecerea de la modelul liniar de ip ecuaii de sare/ecuaii de observare la modelul ip inrare-iesire Trecerea de la modelul liniar de ip inrare-iesire la modelul ip ecuaii de sare/ecuaii de observare Probleme Exerciii de auoevaluare Douǎ sun ipurile de modele maemaice înrebuinae frecven în sudiul dinamicii sisemelor. Ambele sun la fel de uile si în anumie condiii sun si echivalene. În coninuare sun prezenae acese ipuri de modele cu varianele lor si cu posibilele lor echivalene. Dinamica sisemelor modelaǎ cu ecuaii de sare si ecuaii de observare Asa-numia ecuaie de sare cuprinde exclusiv evoluia sǎrii sisemului. Ecuaia are ca necunoscuǎ funcia vecorialǎ x adicǎ ocmai vecorul care descrie sarea sisemului la orice momen, în condiiile aplicǎrii unor inrǎri u. În general, dacǎ componenele vecorului de sare a sisemului sun definie pe un inerval compac de valori ale impului aunci ecuaia de sare se poae pune sub forma unei ecuaii difereniale dx = d f [, x, u ] cu funcia vecorialǎ cu n componene f mai mul sau mai puin complicaǎ. Dinamica sisemului nu poae fi urmǎriǎ odeauna prin mǎsurarea sau observarea nemijlociǎ a componenelor vecorului de sare, fie pemru cǎ ineresul pracic impune aeniei numai anumie componene, fie penru cǎ unele componene nu po fi mǎsurae eficien, dar înaine de oae penru moivul simplu cǎ vecorul de sare poae fi uneori numai vag lega de elemene mǎsurabile el fiind mai curând un purǎor de informaie privind sarea sisemului la un momen da, purǎor care poae lua înfǎisǎri foare diferie. De 67

68 aceea, dinamica sisemului ese urmǎriǎ prin inermediul unei ecuaii de mǎsurare/observare de forma generalǎ y = h[, x, u] cu funcia vecorialǎ cu m componene h, de asemenea, mai mul sau mai puin complicaǎ. În ambele ecuaii impul poae sǎ aparǎ sau sǎ nu aparǎ explici, dar de fiecare daǎ inervine implici prin vecorul de sare x si prin variabilele manipulabile, de inrare u. Un caz paricular foare insruciv daoriǎ faciliǎilor maemaice de raare mul mai bogae decâ penru cazul general ese acela al ecuaiilor de sare si de observare liniare. Ecuaiile po fi liniare din cauzǎ cǎ sisemul modela însusi ese liniar sau ele po fi obinue prin liniarizarea mai mul sau mai puin localǎ a unor ecuaii de formǎ generalǎ. Ecuaiile în forma linarǎ sun dx = Fx + Gu d y = Hx cu F, G si H marici de dimensiuni adecvae. Dacǎ cele rei marici au oae elemenele consane în imp modelul ese invarian si se referǎ la un sisem invarian. Dacǎ cel puin unul din elemenele maricilor menionae variazǎ în imp aunci sisemul nu mai ese invarian ci evolueazǎ din punc de vedere parameric si se modeleazǎ cu un model el însusi evoluiv parameric. Cazul corespunde formei generale a modelului când impul apare explici în pǎrile din dreapa ale ecuaiilor. Dacǎ sisemul ese discre/discreiza în rapor cu variabila imp aunci forma modelului în realizarea ecuaie de sare ecuaie de observare ese xk + = Fxk + Guk yk = Hxk Se înelege cǎ momenele succesive sun asociae cu variabila înreagǎ k. Invarianţa modelului si a sisemului modela ese asiguraǎ dacǎ elemenele maricilor F, G si H, în general diferie de cele noae la fel în ecuaiile de mai înaine, au oae elemenele consane penru orice k. Exisǎ, asadar, si modele/siseme discree parameric evoluive, caz în care cel puin o pare din elemenele maricilor depind de variabila emporalǎ discreǎ k. Modele maemaice în domeniul complex Un model liniar si invarian, rapora la o mulime de momene compacǎ se raeazǎ foare comod în spaiul operaional complex la care se ajunge prin ransformarea Laplace. Prin aceasǎ ransformare inegralǎ, fiecǎrei funcii de imp f care îndeplinese anumie condiii nuliae penru imp negaiv, derivabiliae pe poriuni, mǎrginire de cǎre o funcie Me σ cu M, σ >, cu σ 68

69 evenual nul i se asociazǎ biunivoc o funcie Fs în spaiul operaional complex F s s = f e d Se poae verifica cu usurinǎ cǎ ransformarea Laplace ese liniarǎ. Dacǎ ese daǎ imaginea Fs se poae reveni la funcia original f prin ransformarea inversǎ a+ j f = F s e s ds πj a j o inegralǎ pe o vericalǎ în spaiul complex, siuaǎ la sânga vericalei Res = σ, cu σ preciza mai sus, care delimieazǎ un semiplan de olomorfie a funciei complexe Fs, cel din dreapa. Se mai pun încǎ unele condiii asupra funciei F s care fac ca inegrala sǎ fie convergenǎ si care se po regǎsi si revedea în manualele de maemaicǎ specifice. Transformarea Laplace se poae aplica si derivaelor sau inegralelor funciilor de imp f. Echivalenul operaiilor de derivare si inegrare sun considerabil mai simple în planul complex. Ele devin muliplicǎri, divizǎri ec. Se sugereazǎ ciiorului revederea unor proprieǎi ale ransformǎrii Laplace. Cu cele câeva proprieǎi enumerae, ecuaiile de sare se ransformǎ în ecuaii algebrice sxs x = F.Xs + G.Us cu noaiile evidene, cu x condiia iniialǎ asupra sǎrii sisemului. Prelucrǎrile ulerioare sun mul faciliae daoriǎ operaiilor simplu de efecua, operaii algebrice. Penru sisemele discree/discreizae, echivalenul înr-un fel al operaorului inegral Laplace ese operaorul z, noa uneori cu B. Ese un operaor de deplasare în recu cu un pas de unde si noaia a doua, B de la Backward shif, care, simplu, face din xk, xk, adicǎ xk = Bxk. Operaorul poae fi iera de un numǎr oarecare de ori. Asfel, xk p = B p xk = BB...Bxk... prin aplicarea deplasǎrii înapoi de p ori. Cu aces operaor, ecuaiile de sare ale sisemului se po scrie B.I Fxk = G.uk cu I maricea uniae de ordin egal cu ordinul sisemului. Dinamica sisemelor modelaǎ cu ecuaii care leagǎ iesirile de inrǎri Modelele inrare-iesire ignorǎ cel puin aparen sǎrile recurene ale sisemului modela. Asemenea modele aplicǎ mulimea inrǎrilor pe mulimea iesirilor posibile. Ecuaiile model, penru un sisem coninuu în imp rebuie sǎ coninǎ un operaor pe un spaiu de funcii, cel al inrǎrilor, cu rezulaul înr-un al 69

70 spaiu de funcii, cel al iesirilor. În seciunea Modele maemaice dinamice a prezenei lucrǎri a fos prezenaǎ relaia x = Φ x + Φ τ Gu τ dτ care se referǎ la siseme liniare invariane si care ese o aplicaie a mulimii unrǎrilor u pe mulimea sǎrilor x. Dacǎ se admie cǎ sarea iniialǎ ese descrisǎ de un vecor cu oae componenele nule, ceea ce prinr-o ranslaie poriviǎ ese odeauna posibil, dacǎ relaia ese muliplicaǎ cu maricea H care apare în ecuaia de observare se obine modelul y = HΦ τ Gu τ dτ care aplicǎ efeciv inrǎrile pe mulimea iesirilor prinr-un operaor inegral, liniar, operaorul de convoluie. Prinr-o noaie condensaǎ h = HΦG modelul se poae rescrie y = h τ u τ dτ cu funcia h cunoscuǎ sub numele de funcia pondere a sisemului. Aceasǎ funcie ese rǎspunsul eoreic al sisemului la inrarea nu mai puin eoreicǎ denumiǎ impulsul uniar δ, impuls permanen nul excepând momenul anulǎrii argumenului când ese foare inens. Despre funcia pondere a sisemului se mai poae spune cǎ rebuie sǎ fie nulǎ penru impi negaivi deoarece, alfel, sisemul nu ar fi cauzal, adicǎ ar exisa iesire/rǎspuns fǎrǎ ca sisemului sǎ i se aplice o inrare/exciaie, rǎspunsul h ar premerge inrarea δ, ceea ce penru sisemele naurale ese absurd. Inrarea u se considerǎ, de asemena, nulǎ înaine de momenul. În acese condiii limiele inegralei de mai sus po fi puse infinie fǎrǎ ca rezulaul sǎ se schimbe: y = h τ u τ dτ Funcia pondere conine informaii privind sabiliaea sisemului. Asfel, sisemul ese sabil dacǎ si numai dacǎ inegrala h d ese mǎrginiǎ. În condiiile deplasǎrii momenului iniial în originea impului, expresia inrareiesire daǎ mai devreme are un echivalen în spaiul operaional Ys = HsUs cu Ys, Hs, Us ransformaele Laplace respeciv ale funciilor y, h, u. Funcia Hs se mai numese în acese condiii si funcia de ransfer a sisemului. 7

71 Modele maemaice în domeniul frecvenelor Sudiul dinamicii sisemelor poae fi efecua si prin examinarea rǎspunsului lor la inrǎri pariculare pe care în paragraful curen vor fi numie semnale. Dacǎ semnalul aplica la inrare ese sinusoidal ese aproape de la sine îneles cǎ penru un sisem liniar se obine la iesire o sinusoidǎ de aceeasi frecvenǎ, în general de alǎ ampliudine si alǎ fazǎ. Ale frecvene nu po apǎrea decǎ dacǎ sisemul ese neliniar. O inrare sinusoidalǎ se poae reprezena în mai mule moduri. Modul cel mai comun ese cel sub formele A sinω + ϕ sau A cosω + ϕ care pun în evidenǎ o ampliudine, o frecvenǎ si o fazǎ. O alǎ reprezenare ese cea sub forma exponenialǎ Ae jω + ϕ. Desigur, A, ω si ϕ nu sun aceleasi în oae exprimǎrile dar marcheazǎ de fiecare daǎ respeciv o ampliudine, o frecvenǎ si o fazǎ. Prin observarea reaciei sisemului la mai mule frecvene se po obine asa-numiele caracerisici dinamice de frecvenǎ ale acelui sisem. Mijlocul maemaic principal penru sudiul caracerisicilor dinamice de frecvenǎ ese ransformarea Fourier. Fie funcia de imp f denumiǎ generic semnal. Transformaa Fourier a unui semnal ese prin definiie + F jω jω = f e d Penru ca inegrala de mai sus sǎ exise, semnalul f rebuie sǎ îndeplineascǎ anumie condiii. Acesea sun condiiile lui Dirichle cu referire la orice inerval fini si consau în: a mǎrginire si numǎr fini de disconinuiǎi; b exisena unei pariii finie a oricǎrui inerval fini asfel încâ pe orice subinerval al pariiei funcia sǎ fie monoonǎ. Se înelege cǎ disconinuiǎile sun numai de prima specie. Valoarea funciei sau a semnalului înr-un asemenea punc se considerǎ a fi egalǎ cu media arimeicǎ a limielor laerale în acel punc. Condiia a doua se poae cii si alfel: semnalul pe orice inerval fini are cel mul un numǎr fini de exreme. Se mai cere ca funcia f sǎ fie absolu inegrabilǎ pe axa realǎ, adicǎ inegrala + f d sǎ exise sau, cum se mai spune, sǎ fie convergenǎ. Exisǎ o ransformare Fourier inversǎ care permie revenirea la funcia de imp j = ω ω f F j e dω π + Perechea f, Fjω reprezinǎ douǎ expresii ale aceluiasi semnal în domeniul imp, respeciv în domeniul frecvenǎ. Oricare dinre ele descrie comple semnalul si recerea de la o formǎ la cealalǎ se face pe calea ransformǎrii Fourier direce sau inverse. Semnificaia ransformaei Fourier Fjω a unui 7

72 semnal, penru o frecvenǎ fixaǎ ese urmǎoarea: funcia complexǎ Fjω ese un numǎr complex cu un modul si o fazǎ jφ jω F jω = P jω + jq jω = F jω e calculae dupǎ regulile bine cunoscue din algebra numerelor complexe. Prin modificarea frecvenei se obin diferie module si diferie faze. Penru un semnal da se poae vorbi asadar de un specru de ampliudini, de un specru de faze. O valoare imporanǎ relaiv la un semnal ese daǎ de inegrala + [ f ] E = d care are caracerisicile unei energii. Un calcul care face uz de expresia semnalului în domeniul frecvenǎ produce rezulaul urmǎor jω jω E = f F jω e dωd = F jω f e ddω = π π = π + F jω F jω dω = π + F jω o relaie care ese cunoscuǎ si sub numele de eorema lui Parseval. O semnificaie de reinu are expresia F jω dω / π care ese o fraciune din energia funciei/semnalului f asociaǎ inervalului de frecvee infiniesimal [ω/π, ω + dω/π]. Pǎraul modulului ransformaei Fourier apare, asadar, ca o densiae specralǎ de energie, o funcie parǎ de frecvena unghiularǎ ω. Se poae vorbi, asadar, de un specru de pueri al unui semnal. Modelul maemaic inrare-iesire în domeniul imp discua mai devreme y = h τ u τ dτ are un echivalen în domeniul frecvenelor, care araǎ ca un produs de imagini prin ransformarea Fourier Yjω = HjωUjω Caliaea de semnale a funciilor de imp y, u, h, ulima în condiii de cauzaliae ese folosiǎ penru a lucra cu imaginile lor în domeniul frecvenelor. Funcia Hjω se numese din nou funcie de ransfer. Funcia de ransfer ca funcie cu valori complexe are un modul si o fazǎ proprie. Muliplicarea din relaia ulimǎ, model al dinamicii sisemului în domeniul frecvenelor modificǎ ampliudinea inrǎrii prin muliplicare de module, modificǎ faza inrǎrii prin adunare de exponeni. dω 7

73 Transformarea Fourier prezenaǎ sumar mai devreme ese de fap o descompunere a funciei/semnalului în rapor cu o bazǎ de funcii/semnale mai simple, semnalele sinusoidale. Semnalele care alcǎuiesc baza au si proprieaea de orogonaliae deoarece + e jω jω e d = ori de câe ori cele douǎ frecvene ω si ω sun diferie. Descompunerea Fourier, desi ese o ransformare de referinǎ nu ese singura descompunere posibilǎ a unui semnal. Semnalele de duraǎ finiǎ sau definie pe supor compac, cum se mai spune se po descompune înr-o bazǎ de funcii diferiǎ. Funciile po fi orogonale sau chiar oronormale pe inervalul de imp pe care semnalul ese defini. În condiiile suprapunerii unor perurbaii de naurǎ aleaoare, foare convenabilǎ ese descompunerea Karhunen-Loève. Baza ese consiuiǎ în aces caz din funciile proprii ale unui anumi operaor inegral. Semnalele de bandǎ limiaǎ, acele semnale penru care specrul de ampliudini ese nul sau neglijabil dincolo de o anumiǎ frecvenǎ po fi descompuse prin raporare la o bazǎ alcǎuiǎ din asa-numiele funcii esanion. Relaiv la funcia esanion cenralǎ sin πw s = πw si la funciile celelale care compleeazǎ baza, obinue prin ranslaie pe axa impului cu mulipli înregi ai inervalului /W n sin πw W s n =, n Z n πw W se enunǎ o eoremǎ de esanionare care spune cǎ un semnal de bandǎ limiaǎ poae fi reconsiui din esanioanele sale prelevae la inervale regulae, disanae la /W dacǎ mǎrimea W ese mai mare sau cel puin egalǎ cu frecvena maximǎ din specrul semnalului. Dacǎ semnalul ese noa în coninuare cu f aunci relaia de reconsiuire ese n sin πw + n W f = f = n W n πw W în care se idenificǎ funciile esanion muliplicae cu esanioanele funcieisemnal în momenele n/w, cu n înreg. O formulare complemenarǎ în cazul când W ese exac frecvena limiǎ superioarǎ a specrului ese urmǎoarea: 73

74 semnalul poae fi reconsiui din esanioanele sale dacǎ acesea sun prelevae mai frecven decǎ dublul frecvenei W sau la inervale de imp regulae mai scure decâ /W. Teorema esanionǎrii se poae pune în legǎurǎ cu problema discreizǎrii unui sisem dinamic cu variaie coninuǎ în imp. Se poae esima banda semnificaivǎ de frecvene a unui sisem, se po evidenia benzile de frecvene ale semnalelor care acioneazǎ asupra sisemului sau sun observae relaiv la dinamica lui. Acese mǎrimi fiind evaluae, se poae sabili inervalul porivi de discreizare care sǎ poaǎ servi la conducerea sisemului. Trecerea de la modelul liniar de ip ecuaii de sare ecuaii de observare la modelul ip inrare-iesire Cu noaiile înrucâva modificae, ecuaiile model în domeniul operaional, în variana ecuaii de sare ecuaii de observare sun sx s x = AX s + BU s Y s = CX s + DU s sau, înr-o scriere maricialǎ si n A B X s x = C D U s Y s Sun adǎugae aici ca observae/mǎsurae si inrǎrile sisemului. Maricea si n A B T s = C D ese denumiǎ maricea sisemului. Maricea de ransfer se deduce direc din relaiile de mai sus M s = C si n A B + D si corespunde, dacǎ inrǎrile sun nule pânǎ la momenul iniial, ecuaiei Y s = M s U s la care, cu noaii usor diferie, s-a fǎcu referire înr-un paragraf preceden. Dacǎ C i ese linia i a maricei C si B j ese coloana j a maricei B, aunci, cu noaiile m ij s, respeciv d ij penru elemenele maricilor Ms si D, i =,,..., n, j =,,..., l, exprimarea elemenelor maricii de ransfer Ms ese m s = C si A B + d ij i n sau încǎ,,..., n, n + i T,,.., n. n+ j mij s = de si n A cu numǎrǎorul fraciei minorul maricei Ts alcǎui din liniile,,..., n, n + i si din coloanele,,..., n, n + j. Pe aceasǎ cale se poae rece de la forma sandard ecuaii de sare ecuaii de observare la forma inrare-iesire. 74 j ij

75 Ca exemplu, fie sisemul de ordinul doi cu maricile din modelul ecuaii de sare ecuaii de observare = = = =,,, D C B A Maricea sisemului si deerminanul maricei de inversa si A sun aunci de, + = + = s A si s s s T si elemenele maricei de ransfer Ms, care rezulǎ din calcul sun + = + + = s s s s s m + = + + = s s s s s m + = + + = s s s s s s m + = + + = s s s s s m Maricea Ms se spune cǎ ese proprie dacǎ are limia nulǎ când variabila operaionalǎ inde cǎre infini sau, echivalen, dacǎ maricea de ransfer direc D ese nulǎ. O proprieae imporanǎ: deerminanul maricii de ransfer Ms ese egal cu deerminanul maricii Ts diviza prin polinomul caracerisic al maricii A. Înr-adevǎr, conform formulei lui Schur de de de W U VT T W V U T + = de unde rezulǎ ] [de de de = A si s T s M n În cazul paricular al unui sisem cu o singurǎ inrare si o singurǎ iesire SISO D B A si C s F n + = 75

76 cu N s N s Y s F s = + D = = s s U s s = de si A n si N s = N s + D. s = n A si n A B N s = C Calculul inversei si n A ine seama de expresia polinomului caracerisic n n s = de si n A = s + an s as + a Se pune n V s Vn s Vs + V si n A = = s s cu V i, i =,,..., n marici n n cu elemene reale, obinue recursiv prin idenificarea ermenilor de acelasi grad din relaia n n n s I n + an s I n asi n + ai n = si n A Vn s Vs + V Formulele lui Newon produc coeficienii a i, i =,,..., n. Asfel a n = ra = σ an k = [ σ k + an σ k ank+ σ ] k a = [ σ n + an σ n aσ ] n cu noaia obisnuiǎ σ i = r A i, urma maricei A i. Algorimul propriu-zis ese V = a = r V si o ulimǎ relaie n I n n n A Vn Vn A + an I n an = / r Vn A Vn 3 Vn A + ani n an3 = / 3 r Vn3 A = = Vn i = Vni+ A + ani+ I n ani = / i r Vni A = V A a a = / n r V V + I n care poae servi ca verificare. V = = V A + ai n C B D A 76

77 Trecerea de la modelul liniar de ip inrare-iesire la modelul ip ecuaii de sare ecuaii de observare Fie un sisem dinamic descris de ecuaiile dx = Fx + Gu d y = Hx cu vecorul variabilelor de sare n-dimensional. Prin definiie el ese comple conrolabil dacǎ maricea [ G FG F G F n G] are rangul n. Conrolabiliaea echivaleazǎ cu posibiliaea de a ajunge în orice sare a sisemului, pornind de la orice sare iniialǎ, în imp fini, prin aplicarea unor inrǎri prinr-o aciune de comandǎ. Sisemul ese comple observabil dacǎ maricea T T T T T T n T [ H F H F H F H ] are rangul n. Observabiliaea reprezinǎ reflecarea în iesirile y a oricǎrei modificǎri în sarea sisemului. Idenificarea din dae inrare-iesire ese posibilǎ penru sisemele comple conrolabile si comple observabile. În cazul conrolabiliǎii pariale si/sau observabiliǎii pariale se poae idenifica, evenual, acea pare a sisemului care ese simulan conrolabilǎ si observabilǎ. Realizǎri ale unui sisem dinamic, realizarea minimalǎ. Un sisem cu o inrare si o iesire ese desigur mai simplu de raa maemaic. Rezulaele sun însǎ exrapolabile la cazul mai general al sisemelor cu mai mule inrǎri si mai mule iesiri. Penru cazul simplu meniona modelul se prezinǎ sub forma dx = Fx + gu d y = hx cu g si h vecori de dimensiuni adecvae. Un riple F, g, h se numese o realizare a sisemului. Realizarea ese canonicǎ dacǎ ea reprezinǎ un sisem aâ comple conrolabil câ si comple observabil. Realizǎrile canonice diferǎ înre ele numai prinr-o schimbare de bazǎ în spaiul variabilelor de sare. O alǎ realizare canonicǎ F, g, h se obine prin relaiile F = TFT, g = gt si h = ht, cu T o marice asociaǎ unei ransformǎri liniare nedegenerae. Funcia de ransfer a sisemului în domeniul complex are expresia Φ s = h si F g cu Φ =. Rǎspunsul sisemului la inrarea impuls ese y h exp F g = 77

78 Dezvolǎrile în serie Taylor ale funciilor de mai sus, prima în jurul puncului s =, a doua în jurul originii impului =, sun dae de expresiile Φ s = k= = k y Yk k= k! si pun în evidenǎ coeficienii Y k k =,,,... cunoscui sub numele de parameri Markov. Prin derivarea dezvolǎrii ulime se obine relaia generalǎ k d y k Yk = = hf g k d cu derivaele luae în origine. Ulima relaie leagǎ ripleul realizǎrii F, g, h de paramerii Markov. Realizare compleǎ minimalǎ. Fiind da un sir {Y, Y, Y,...} de parameri Markov, ripleul F, g, h ese o realizare compleǎ minimalǎ dacǎ k i Yk = hf g penru k =,,, ii n ese minim Realizare parialǎ minimalǎ. Fiind daǎ o secvenǎ finiǎ {Y, Y, Y,..., Y M } de parameri Markov, ripleul F, g, h ese o realizare parialǎ minimalǎ dacǎ k i Yk = hf g penru k =,,,, M ii n M ese minim Realizǎrile minimale pariale sun mai uile din punc de vedere pracic deoarece, dacǎ evaluarea se bazeazǎ pe dae experimenale, numai un numǎr fini de parameri Markov po fi evaluai în condiii de siguranǎ. Pe de alǎ pare, admierea aciǎ a ipoezei liniariǎii si invarianţei sisemului rebuie limiaǎ la un inerval de imp rezonabil. Teoremǎ: Sirul {Y, Y, Y,...} genereazǎ o realizare fini dimensionalǎ dacǎ si numai dacǎ exisǎ un înreg n si n consane α, α,..., α n asfel încâ + j = n i= Y k s Y n α Y i k n i+ j penru oi j. Numǎrul n ese în aces caz dimensiunea realizǎrii minimale si α i sun coeficienii polinomului caracerisic. Penru o secvenǎ finiǎ de parameri Markov se preferǎ exprimarea în rapor cu maricea Hankel unde i, j =,,... Y Y H i, j = Y j Y Y Y j Yi Y i Yi+ j 78

79 Teoremǎ: O secvenǎ finiǎ de parameri Markov {Y, Y, Y,..., Y M } genereazǎ o realizare parialǎ minimalǎ, care ese esenial unicǎ excepând o schimbare de bazǎ în spaiul variabilelor de sare dacǎ si numai dacǎ exisǎ înregii poziivi α si β asfel încâ i α + β = M ii rang H βα = rang H β+α = rang H βα+ Dimensiunea n M a realizǎrii ese în aces caz rangul maricii H βα. Realizarea obinuǎ pe aceasǎ cale genereazǎ un sir de parameri Markov dincolo de poziia M din sir. Legǎura înre maricea Hankel si sisemul descris de ripleul F, g, h ese discuaǎ imedia. Maricea Q [ g Fg F g F j = g ] j ese pare din maricea de conrolabiliae, iar maricea T T T T T T i T Ri = [ h F h F h F h ] ese pare din maricea de observabiliae. Acum se poae verifica usor facorizarea Hi, j = R i Q j Asadar, sub aspec algebric, problema realizǎrii implicǎ o facorizare a unei marici Hankel în o marice de conrolabiliae si una de observabiliae Hn, n = R n Q n si câe facorizǎri, aâea realizǎri canonice. În coninuare sun prezenai algorimii de recere de la funcia de ransfer la realizarea minimalǎ. Formularea problemei. Fiind daǎ o secvenǎ finiǎ si parialǎ de parameri Markov {Y, Y, Y,..., Y N }, N =,, 3,... sǎ se gǎseascǎ o secvenǎ de realizǎri pariale minimale F n, g n, h n asfel încâ dacǎ numerele naurale M, N sun în relaia M < N aunci FM, g M, hm FN, g N, hn. Ulima relaie de inegaliae rebuie îneleasǎ asfel: maricile cu indicele M se regǎsesc ca submarici în maricile cu indicele N. Algorimul ceru ese în esenǎ recursiv. Algorimul lui Rissanen facorizeazǎ poriuni din ce în ce mai mari din maricea Hankel H n +, m = R n +, n + Q n +, m m > n si rang H n +, m n, asfel încâ maricea Rn +, n + ese inferior riunghiularǎ cu pe diagonalǎ. Se adopǎ o schemǎ de calcul de ipul eliminǎrii Gauss. Ulima linie din maricea H ese dependenǎ liniar de celelale dacǎ si numai dacǎ ulima linie din Q ese o linie de zerouri. Exemplu: Secvena de parameri Markov {,,, 98, 974, 976, 973}, penru covenienǎ alcǎuiǎ din numere inregi produce succesiunea de evaluǎri prezenaǎ în coninuare. În prima eapǎ H, = RQ 79

80 =. x a b Maricea R se consruiese inferior riunghiularǎ cu pe diagonalǎ. Pe prima linie a maricii Q se rec parameri Markov din secvena daǎ, în ordine. Rezulǎ imedia a =. Se pune b = deoarece o alegere rebuie fǎcuǎ înrucâ ecuaiile sun mai puine decâ necunoscuele. Rezulǎ imedia x =. În eapa a doua H 3,3 = R Q =. a x y b Maricea R 3 se consruiese inferior riunghiularǎ cu pe diagonalǎ. Pe prima linie a maricii Q 3 se rec parameri Markov din secvena daǎ, în ordine. Coloanele din Q 3 care conin cel puin un elemen nenul deja sabili se compleeazǎ cu zerouri. Excepie face coloana ulimǎ. Rezulǎ mai înâi x = 98, y =, apoi a = si b = 4. În eapa urmǎoare H 4, 4 = R4 Q = a = b x y z c Maricea R 4 se consruiese la fel ca mai sus, inferior riunghiularǎ cu pe diagonalǎ. Pe prima linie a maricii Q 4 se rec parameri Markov din secvena daǎ, în ordine. Coloanele din Q 4 în care exisǎ cel puin un elemen nenul deja sabili se compleeazǎ cu zerouri, cu excepia ulimei coloane. Rezulǎ mai înâi x = 974, y = 98, z = 3, apoi a = 6, b = 8, c =. Algorimul se încheie aici. Linia ulimǎ din Q 4 ese alcǎuiǎ numai din zerouri ceea ce araǎ fapul cǎ ulima linie din H4, 4 ese dependenǎ liniar de celelale. Condiiile din eorema enunaǎ mai devreme au fos ainse

81 = = Realizarea urmǎriǎ se exrage din ulima egaliae maricialǎ pe baza relaiilor care urmeazǎ F = R 3 R3 cu R 3 obinu din R 4 prin omierea primei linii si a ulimei coloane, g T = [ ] nu alceva decâ prima coloanǎ din Q 3 si h = [ ] prima linie din R 3. Dimensiunea realizǎrii ese n = 3. Se cuvine a fi fǎcu un comenariu: ce înseamnǎ zerouri în ulima linie din Q n+? O pare din zerouri, primele n, sun inroduse prin algorim. Ulimul zero rebuie inerprea ca un elemen q n+n+ mic în rapor cu o normǎ a vecorului consiui din elemenele ulimei coloane din Q n+, de pildǎ suma modulelor primelor n elemene ale acelei coloane ar puea însemna q n i= n+ n+ q n q i n + i= i n+ < ε. Un zero în poziia n +, n + cu ε fixa/propus convenabil. Algorimul general. Fie secvena {Y, Y, Y,..., Y N } N =,, 3,.... Fie k cel mai mic numǎr naural penru care Y k >. Se pune N = k + si se formeazǎ maricea Hankel Hk +, k +. Aceasa are rangul cel puin egal cu k.. Se aplicǎ algorimul de facorizare si se deerminǎ R k+ si Q k+. Dacǎ linia ulimǎ a maricei Q k+ nu ese în oaliae alcǎuiǎ din zerouri aunci rangh k +, k + = k +. Se mǎrese N cu douǎ uniǎi si se realizeazǎ maricea Hankel Hk +, k + si se coninuǎ cu facorizarea. Pasul se repeǎ pânǎ când, la un N = n +, ulima linie din maricea Q n+ ese în esenǎ nulǎ. Dimensiunea si ordinul sisemului ese n. 3. Relaia 8

82 F = R R dǎ maricea principalǎ a realizǎrii care ese de dimensiune n. Inversa maricei R n se poae calcula recursiv deoarece ese riunghiularǎ ca si precedena, R n. Maricile g si h sun respeciv prima coloanǎ din Q n, prima linie din R n. 4. Dacǎ se aduc în secvenǎ parameri Markov noi sau îmbunǎǎii se reia calculul din puncul unde maricea Hankel s-a modifica din cauza noilor valori. În fiecare eapǎ a procedurii recursive de calcul al realizǎrii pariale minimale, maricea Q ese maricea de conrolabiliae a sisemului Q = [ g Fg F g...] Evoluia sǎrii sisemului pornind de la sarea iniialǎ daǎ de vecorul x =, la aplicarea impulsului δ ese daǎ de expresia x = expfg care dezvolaǎ în serie Taylor în jurul puncului = devine x g Fg F g = ! coeficienul F k g ese cea de a k derivaǎ în origine a rǎspunsului respeciv. Liniile maricei Q rezulaǎ din algorimul prezena mai sus sun componene ale rǎspunsului în sare scris mai devreme. Sun ignorae sau neglijae acele componene care sun sub un ε seleca mai sus. Ese vorba de o aproximare inginereascǎ prinr-un model de dimensiune redusǎ, înr-o manierǎ algorimizaǎ foare convenabilǎ. Încǎ un rezula ese demn de reinu. Dacǎ Hn +, n + = R n+ Q n+ si ulima linie din Q n+ ese formaǎ din zerouri aunci din scrierea R h = Q F = R R care conchide algorimul, scriere permisǎ deoarece R ese nesingularǎ prin consrucie, face ca pe ulima linie a inversei maricei R sǎ aparǎ coeficienii polinomului caracerisic al maricii F. Ese un rezula asepa în conformiae cu eorema Hamilon-Cayley. În cazul exemplifica R 4 = 3 3 si polinomul caracerisic ese s 3 + 3s + 3s + Pracic ese greu de realiza inrǎri idealizae cum sun impulsul uniar, salul reapǎ ec. Se recurge uzual la inrǎri care se po realiza experimenal. Acesea sun de obicei mǎsurae sau observae la inervale regulae de imp,,, n. To asa si iesirea sisemului. Inrarea nauralǎ ca si rǎspunsul sisemului la n n 8

83 aciunea ei se po aproxima liniar înre oricare douǎ momene succesive de observare i, i+. Înr-o asemenea raare, ransformaele lor Laplace sun n U s = ai exp si s i = respeciv m Y s = bi exp si s i= uzual cu m > n si cu a = u u /, a i = u i+ u i + u i / i =,,..., n si a n = u n u n /. Formule similare se folosesc si penru coeficienii b i. Se obine apoi funcia de ransfer Ys/Us care, penru paramerii Markov, ar rebui dezvolaǎ în serie Taylor în jurul puncului s =, operaie pracic mai dificilǎ decâ s-ar pǎrea la prima vedere. Ese preferabil sǎ se recurgǎ la ransformarea Laplace inversǎ si sǎ se obinǎ funcia pondere, rǎspunsul în domeniul imp la perurbaia δ, impuls uniar. Tabelele de echivalene de la domeniul imp la domeniul Laplace nu conin decâ un numǎr faalmene limia de perechi f F s. Se recurge la meode numerice de calcula inversa Laplace a funciei Ys/Us. De pildǎ, meoda lui Sehfes cuprinsǎ în formula N ln f eroare Vi F i ln + = i = cu N par arbirar dar lega de precizia de calcul numǎrul de digii semnificaivi cu care se lucreazǎ si cu V = N min i, N + i k N k! i i+ N k= + k! k! k! i k!k i! Funcia pondere obinuǎ se poae inerpola polinomial, penru usurarea calculelor cu polinoame orogonale si se po obine apoi paramerii Markov. Probleme Problema. Se dǎ funcia de imp [ τ, [, τ [ τ, [, τ f = R Pe baza proprieǎilor ransformǎrii Fourier liniariae, efecul ranslaiei pe axa impului si folosind ransformaa funciei recangulare egalǎ cu uniaea pe 83

84 τ inervalul, τ si nulǎ în res, scriei ransformaa Fourier a funciei dae. Esimai frecvena frecvenele cu cea mai mare valoare în specrul de ampliudini? Dae numerice: τ = + /p. Soluie. Impulsul recangular de ampliudine /τ, simeric faǎ de originea = si de duraǎ τ are ransformaa Fourier ωτ sin F jω = ωτ Semnalul propus ese suma a douǎ semnale: un impuls recangular ca acela de mai sus, dar de alǎ ampliudine si înârzia cu τ/ si unul similar dar negaiv si decala anicipaiv cu τ/. Asadar, absracie fǎcând de un acelasi coeficien consan τ, ransformaele Fourier ale acesor semnale sun ωτ ωτ sin ωτ sin j e ωτ j, respeciv e ωτ ωτ Transformarea Fourier ese liniarǎ si prin urmare suma celor douǎ semnale are ca ransformaǎ suma ransformaelor celor douǎ semnale ωτ sin ωτ ωτ j j e e ωτ Paraneza conine o diferenǎ de exponeniale care poae fi rescrisǎ, recurgând la una din formulele lui Euler, sub forma ωτ jsin În consecinǎ, ransformaa Fourier a semnalului din enun ese ωτ sin ωτ τ cos j = jτ ωτ ωτ Exremele modulului acesei funcii, cele înre care se aflǎ si exremele de ampliudine cerue în enun sun siuae în puncele de anulare a derivaei. Funcia cos x x 84

85 .5 V aloarea funciei/valoarea derivaei om ega*au are derivaa xsin x + cos x x si nulurile ei coincid cu nulurile numǎrǎorului fraciei. Rezolvarea ecuaiei respecive se face numeric, cel puin parial. O pare din soluii se po afla analiic având în vedere scrierea x x x x x x xsin x + cos x = xsin cos sin = sin x cos sin = Graficul alǎura dǎ o idee asupra poziiei pe axa frecvenelor a rǎdǎcinilor derivaei a se observa curba care nu depǎsese în modul valoarea,5. Valorile care anuleazǎ primul facor din descompunerea de mai sus nu corespund unor maxime de ampliudune. De fap în acele punce ransformaa Fourier se anuleazǎ. Ampliudinile cele mai mari sun vizibile pe cealalǎ curbǎ care face absracie de faze si sun siuae la aproximaiv ωτ = ±, 33 calculul poae fi fǎcu, desigur, si mai precis. Acese rǎdǎcini sun evaluae numeric si sun ale facorului al doilea al descompunerii de mai devreme, cel din paranezǎ. Mai urmeazǎ acum o înlocuire a duraei τ cu valoarea ei paricularǎ si calculul frecvenei cerue din relaia ω = πf. Exerciii de auoevaluare 85

86 . Care din cele de mai jos ese avanajul major ale recerii modelelor de la domeniul imp la domeniul complex? a lucrul cu numere complexe ese mai comod decâ cu numere reale, b ecuaiile difereniale liniare cu derivae ordinare sun ransformae în ecuaii algebrice sau c permie verificarea soluiilor în domeniul imp cu cele în domeniul complex si reciproc? cosω [ π / ω, + π / ω ]. Se dǎ funcia s =, o funcie care are în res forma unui puls sinusoidal poziiv, simeric faǎ de originea impului =, pare a unei sinusoide de frecvenǎ ω. Marcai în lisa de mai jos ransformaa Fourier a acesui semnal. π sin [ π ω ω ] [ ] / ω sin π ω + ω / ω a + ω π ω ω / ω π ω + ω / ω π sin [ π ω ω / ω ] b ω π ω ω / ω c [ π ω + ω / ω ] π sin ω ω π ω + ω / 3. Se dau funciile de imp/semnalele x, y si ransformaele lor Fourier X ω, respeciv Yω. Funcia + c = x τ / a y[ a τ ] dτ ese o convoluie a celor douǎ semnale rescrise penru scǎri ale impului modificae prin comprimare si prin dilaare cu acelasi facor a >. Transformaa Fourier a semnalului c ese: a XωYω; b XaωYω /a sau c Xω /ayaω? 4. Exisǎ o legǎurǎ înre eorema esanionǎrii si consanele de imp ale unui sisem dinamic? a nu, nu ese nici o legǎurǎ; b un sisem dinamic poae avea consane de imp muliple, frecvena esanioanelor ar puea fi legaǎ de una dinre ele; c un sisem poae fi privi si ca un filru rece jos: el permie ransferul variaiilor lene frecvenele joase, consanele de imp mari de la inrare la iesire si aenueazǎ considerabil variaiile rapide frecvenele înale, consanele de imp mici observae la iesire. Asadar, semnalele observae la iesirea sisemului po fi considerae semnale de bandǎ limiaǎ. Frecvena de esanionare definiǎ de eorema esanionǎrii ese legaǎ nemijloci de inervalul de imp de discreizare a unui sisem de ipul coninuu. 86

87 5. Care din formele modelelor dinamicii sisemelor ese mai apropia de observarea experimenalǎ a sisemelor? a forma ecuaii-de-sare-ecuaii-de-observare, b forma de reprezenare în complex sau c forma inrare-iesire? 87

88 88

89 ELEMENTE DE NATURǍ ALEATOARE ÎN DINAMICA SISTEMELOR Spaiul evenimenelor Probabiliǎi, probabiliǎi condiionae Variabile aleaoare Generarea de numere aleaoare Raporul experimen lege de repariie eoreicǎ si verficarea legilor de repariie Esimarea si verificarea paramerilor legii de repariie eoreice Esimarea de parameri în modelele sisemelor Fenomene aleaoare dinamice Modele dinamice sochasice Modelul ARIMA Forma Wiener-Kalman a modelelor penru siseme sochasice discree Esimarea recursivǎ a paramerilor unui model Probleme Exerciii de auoevaluare Sisemele reale prezinǎ o serie de aspece aleaoare daorae unor facori de nauri foare diferie. O enumerare a lor, depare de a fi exhausivǎ ar puea fi: Dacǎ sarea unui sisem ese numai parial conrolabilǎ aunci parea neconrolabilǎ poae evolua sponan si la înâmplare cu efec aleaor asupra sǎrii înregului sisem. Unele inrǎri ale sisemelor sun ineviabil flucuane ceea ce influeneazǎ, de asemenea aleaor, dinamica sisemului. Exisǎ odeuna erori mai mari sau mai mici în observarea si mǎsurarea sisemului, erori care uneori po fi imporane. Unele fenomene fizico-chimice, definiorii penru o anumiǎ caegorie de siseme sun în esenǎ de naurǎ saisicǎ. Ignorarea aspecelor de aces gen poae duce înelegerea sisemului si problema reglǎrii lui în impas. Remediul ese unul singur: sudiul aen al acesei lauri a sisemelor dinamice. De aceea, în coninuare sun aduse în discuie mai înâi câeva complemene de eoria probabiliǎilor si saisicǎ maemaicǎ. 89

90 Spaiul evenimenelor Un experimen oarecare poae avea rezulae diverse. Acese rezulae sun numie în coninuare evenimene. Asfel, rosogolirea unui zar perfec pe o suprafaǎ planǎ orizonalǎ poae avea ca rezula apariia pe faa de deasupra a, sǎ spunem, cinci punce. S-a produs asadar evenimenul apariiei deasupra a feei cu cinci punce. To asa, conform definiiei de mai sus, exragerea valeului de cupǎ dinr-un pache de cǎri de joc bine ameseca ese un evenimen în sensul definiiei dae mai devreme. Fie E mulimea evenimenelor posibile relaiv la un experimen. Mulimea E ese numiǎ uneori spaiu al evenimenelor. Evenimenele unui asfel de spaiu se po gǎsi în anumie relaii, cu evenimenele acelui spaiu se po face unele operaii. O relaie imporanǎ înre evenimene ese implicaia. Implicaia se noeazǎ A B si se ciese evenimenul A implicǎ evenimenul B, ceea ce înseamnǎ cǎ producerea evenimenului A conduce la producerea obligaorie a evenimenului B; implicaia reciprocǎ, A B si B A ese un mod de a exprima egaliaea echivalena a douǎ evenimene. Operaiile cu evenimene sun unare sau binare. Operaia de luare a conrarului unui evenimen da ese unarǎ, opereazǎ cu un singur evenimen. Reuniunea si inersecia de evenimene sun operaii binare, lucreazǎ cu cel puin douǎ evenimene. Luarea conrarului unui evenimen consǎ în considerarea acelui evenimen care se produce când nu se produce evenimenul al cǎrui conrar se exprimǎ. Dacǎ evenimenul asupra cǎruia se opereazǎ ese A aunci evenimenul conrar ese noa cu A. De ce se folosese calificaivul conrar se va explica dupǎ definirea celor douǎ operaii binare anunae. Reuniunea a douǎ evenimene se noeazǎ A B si ese evenimenul care consǎ în producerea a cel puin unuia din cele douǎ evenimene A, B. Inersecia a douǎ evenimene se noeazǎ A B si ese evenimenul care consǎ în producerea deodaǎ a ambelor evenimene A si B. Exisǎ douǎ evenimene speciale care se includ în mulimea E. Unul ese evenimenul imposibil noa cu si celǎlal ese evenimenul sigur noa cu E, nu înâmplǎor cu aceeasi lierǎ ca si mulimea de evenimene o noaie alernaivǎ: Ω. Evenimenul imposibil nu se produce niciodaǎ, evenimenul sigur se produce de fiecare daǎ. O relaie de forma A B = exprimǎ incompaibiliaea reciprocǎ a douǎ evenimene, adicǎ producerea unuia exclude producerea celuilal. Acum se poae formula mai precis raporul înre un evenimen si conrarul lui: A A =, A A = E. Cu ale cuvine un evenimen ese incompaibil cu conrarul sǎu, producerea unui evenimen sau a conrarului sǎu ese sigurǎ. Ese 9

91 momenul sǎ fie adusǎ precizarea cǎ conrarul conrarului unui evenimen ese acel evenimen. Simbolic, A = A. Mulimea E ese parial ordonaǎ, relaia de ordine ese implicaia. Mulimea E împreunǎ cu operaiile de luare a conrarului unui evenimen, de reuniune si de inersecie a evenimenelor se organizeazǎ ca o algebrǎ booleanǎ. Înre evenimenele dinr-o mulime E se dising aomi sau evenimene elemenare si evenimene compuse. De pildǎ, prin aruncarea zarului se po produce înre alele evenimenele A si A 5 care consau în apariia pe faa de deasupra, a numǎrului de punce recu ca indice. Ambele sun aomi sau evenimene elemenare în sensul cǎ nu exisǎ ale evenimene încǎ mai simple decâ ele. Reuniunea A A5 ese însǎ un evenimen compus. Fie acum Ω mulimea evenimenelor elemenare dinr-o mulime finiǎ E de evenimene. Eviden Ω Ø. O submulime de pǎri ale lui Ω, K PΩ se organizeazǎ ca un corp dacǎ A K A K A, B K A B K A, B K A B K În acese codiii perechea Ω, K ese un corp de evenimene si ese un σ-corp sau corp borelian de evenimene dacǎ orice reuniune sau inersecie de evenimene din E, finie sau infinie aparin mulimii E. Înr-un spaiu E comple si aomic, orice evenimen A se poae scrie ca o reuniune de elemene din Ω A = ω ωi Ω Se numese pariie a unui evenimen A din K o mulime de evenimene A i K i =,,, n muual incompaibile, adicǎ A i A j = Ø penru i j, asfel încâ n i = A i i = A Dacǎ A = Ω aunci, în aceleasi condiii, evenimenele A i K i =,,, n alcǎuiesc un sisem comple de evenimene. Probabiliǎi, probabiliǎi condiionae Pe mulimea evenimenelor dinr-un corp K se definese o funcie realǎ P numiǎ probabiliae, care are proprieǎile:. P A penru A K. PΩ = P A = P A penru A i K cu A i A j = Ø dacǎ i j. 3. i i 9

92 i i I Dacǎ ulima proprieae are loc si penru reuniuni numerabile, aunci probabiliaea P se numese comple adiivǎ sau σadiivǎ pe corpul borelian de evenimene Ω, K. Tripleul Ω, K, P se numese câmp borelian de probabiliae. Dacǎ Ω ese o mulime finiǎ sau numerabilǎ aunci Ω, K, P ese un câmp de probabiliae discre. Din proprieǎile de mai sus derivǎ ale câeva proprieǎi imporane ale probabiliǎii P. Asfel 4. PØ = 5. P A = P A 6. P A B = P A P A B 7. P A 8. P A B = P A + P B P A B 9. P A B = P A + P B P A B unde A B = A B si A B = A B B A sun diferena, respeciv diferena simericǎ a douǎ evenimene. O exindere a relaiei ulime la reuniunea a n evenimene ese urmǎoarea n n j + P A i = S j cu S P A A j n j = i... i j i, i,..., i j n i = j= Dacǎ F = { A } ese o familie numerabilǎ de evenimene muual incompa- ibile, aunci P A i =. Dacǎ familia F = { Ai } i I ese si exhausivǎ, adicǎ se i I consiuie ca un sisem comple de evenimene, aunci P A i =. i I Evenimenele se po afla în relaie de condiionare reciprocǎ în sensul cǎ un evenimen odaǎ produs poae modifica probabiliaea de producere a alui evenimen. Relaia de bazǎ penru calculul probabiliǎilor condiionae ese P A = P A / B B = P A B / P B cu evenimenul B, cel care condiioneazǎ producerea evenimenului A, recu ca indice sau pe poziia a doua în argumenul funciei probabiliae. În general, p A / B P A si P B / A P B ceea ce indicǎ o dependenǎ, o condiionare efecivǎ înre cele douǎ evenimene. Dacǎ are loc egaliaea în ambele relaii aunci evenimenele sun independene. Dacǎ probabiliaea unei inersecii finie de evenimene ese nenulǎ P A i i I aunci probabiliaea respecivǎ se poae calcula cu formula 9

93 n n P Ai = P An / Ai... P A / A P A i = i = care se demonsreazǎ induciv pornind de la relaia penru douǎ evenimene derivaǎ din formula probabiliǎii condiionae P A B = P A / B P B = P B / A P A Dacǎ F = { Ai } i I ese o pariie a câmpului Ω, aunci probabiliaea unui evenimen oarecare se poae calcula cu relaia n P A = P A P A / A i= cunoscuǎ ca formula probabiliǎii oale. Mai ese de reinu formula lui Bayes P A / A = P A P A / A / P A P A / A i i i i i i = care în aceleasi condiii, F = { Ai } i I o pariie a câmpului Ω, permie calculul probabiliǎii fiecǎrui evenimen al pariiei condiiona de evenimenul A K, alfel oarecare. Variabile aleaoare O variabilǎ aleaoare ese o funcie X:Ω R cu proprieaea cǎ { X < x} { ω Ω / X ω < x} K, x R O variabilǎ aleaoare simplǎ ia un numǎr fini de valori. De exemplu, funcia indicaor a unui evenimen A K ω A χ A= ω A ese o variabilǎ aleaoare simplǎ, care ia numai douǎ valori, si. Dacǎ X ese o variabilǎ aleaoare definiǎ pe câmpul Ω, K, P aunci penru oricare douǎ valori x, x R, x x oae inervalele finie sau infinie delimiae de cele douǎ valori corespund unor evenimene din K si, prin generalizare, penru orice mulime I, reuniune de inervale din mulimea numerelor reale R, se poae calcula P I = P [ X X I ] = P [ ω X I ]. P X I reprezinǎ disribuia de probabiliae a variabilei aleaoare X. Se poae vorbi de P X ca de o probabiliae definiǎ pe câmpul asocia R, K X în care K X = {I R/X I K}. Dacǎ variabila aleaoare X ia valori înr-o mulime cel mul numerabilǎ { xi / xi R, i I, I N + } aunci ea se numese discreǎ si i n i 93

94 PX xi = i I P J = P x, X xi J X i J Dacǎ X variazǎ coninuu pe un inerval I K X aunci PX I = f X x dx I si ese o funcie absolu coninuǎ. Funcia f X x ese densiaea de probabiliae sau densiaea de repariie a variabilei aleaoare X, ese nenegaivǎ penru orice x si are proprieaea f x dx = X Se numese funcie de repariie a variabilei aleaoare X funcia FX x = P[ X ω < x] = PX [, x] Funcia de repariie ese nedescrescǎoare pe înreaga axǎ realǎ a < b FX a FX b a, b R si ese coninuǎ la sânga în fiecare punc lim FX x = FX a a R x a, x < a Valorile minimǎ si maximǎ ale unei funcii de repariie sun dae de lim lim FX x =, FX x = x x + Evenualele disconinuiǎi sun de specia primǎ si sun cel mul numerabile. Reciproc, orice funcie cu proprieǎile de mai sus poae fi pusǎ în corespondenǎ cu un câmp de probabiliae. Penru o variabilǎ aleaoare discreǎ F x = P x X X i x i < x iar penru una coninuǎ x d F x f x dx f x dx F x X = X, X = X Penru orice inerval [ a, b R PX {[ a, b} = FX b FX a si P X a = Se noeazǎ cu VΩ, K, P mulimea uuror variabilelor aleaoare definie pe câmpul de probabiliae Ω, K, P. Dacǎ X, Y VΩ, K, P, aunci suma, produsul celor douǎ variabile aleaoare, modulul, puerea, în general o funcie mǎsurabilǎ Borel de oricare dinre ele sun oae variabile aleaoare din mulimea VΩ, K, P. Ori de câe ori nu exisǎ posibiliaea vreunei confuzii, K X 94

95 indicele asocia cu variabila aleaoare, care marcheazǎ funcia de repariie sau funcia de densiae de repariie se poae omie. Dacǎ se reia exemplul foare frecvena în manualele de eoria probabiliǎilor, al zarului perfec care ese fǎcu la fiecare experienǎ sǎ se rosogoleascǎ pe o suprafaǎ planǎ orizonalǎ, aunci mulimea evenimenelor elemenare aomi Ω ese alcǎuiǎ din apariiile pe rând, deasupra, ale celor sase fee marcae uzual cu unu pânǎ la sase punce. Mulimea de pǎri ale lui Ω ese alcǎuiǎ din oae reuniunile posibile de evenimene elemenare la care se adaugǎ evenimenul imposibil. Mulimea K organizaǎ ca un corp de evenimene coincide chiar cu mulimea PΩ, iar funcia numiǎ probabiliae ia valoarea /6 penru fiecare din evenimenele elemenare deoarece feele zarului au sanse egale de a apǎrea deasupra. O variabilǎ aleaoare poae fi chiar numǎrul de punce afisa pe faa de deasupra. În aces caz funcia de repariie se prezinǎ ca în desenul alǎura si ese, ca penru orice variabilǎ aleaoare discreǎ, o funcie în repe. Dar pe acelasi câmp de probabiliae se po defini si ale variabile aleaoare. Pe câmpul asocia zarului perfec se poae imagina, de pildǎ, funcia X:Ω R definiǎ asfel ω ω ω ω ω ω,5 3 3, ,5 si aunci funcia de repariie se prezinǎ diferi: cu oae cǎ salurile sun aceleasi ca ampliudine, ele sun siuae la abscisele,5 3, 6 8 si,5 adicǎ în drepul valorilor pe care variabila aleaoare le poae lua efeciv. Asadar, mulimea de variabile aleaoare VΩ, K, P ese foare bogaǎ. De variabilele aleaoare sun legae câeva valori remarcabile. Una foare imporanǎ ese media + M x = xf x dx Media face pare din lisa nesfârsiǎ a momenelor de diferie ordine ale variabilei, acesa fiind momenul de ordinul unu. Similar se poae calcula media unei funcii gx de variabila aleaoare X 95

96 + M[ g x] = g x f x dx si dacǎ gx = x r, cu r numǎr naural, avem ocmai momenul de ordinul r despre care s-a amini. În cazul paricular gx = [x Mx] se obine o alǎ valoare imporanǎ relaiv la variabila aleaoare descrisǎ de funcia de repariie Fx sau de densiaea de repariie fx, si anume dispersia. Rǎdǎcina pǎraǎ poziivǎ a dispersiei se numese abaere medie pǎraicǎ sau abaere sandard. Dispersia ese momenul cenra de ordinul doi al variabilei aleaoare, unul din muliplele momene cenrae de diferie ordine ale variabilei. Nu numai variabilele aleaoare coninue au momene, medii, dispersii, ci si cele discree. În cazul discre, formulele de calcul conin sume în locul inegralelor si valorile variabilei parcurg înreaga lisǎ de valori posibile, iar densiaea de repariie ese înlocuiǎ de probabiliǎile asociae valorilor pe care variabila le poae lua. Câeva legi de repariie eoreice, foare uilizae sun prezenae pe scur în coninuare. Legea binomialǎ m m nm P m = Cn p p cu m n si p un numǎr în inervalul [, ] ese de ip discre. Variabila aleaoare ese m si are media np si dispersia np p. Modelul fizic îl consiuie urna cu bile de douǎ culori, iar evenimenele consau în exragerea repeaǎ a câe unei bile dupǎ care bila exrasǎ ese reinrodusǎ în urnǎ. Variabila m reprezinǎ numǎrul bilelor de o anumiǎ culoare în n exrageri succesive, conform schemei cu bila reurnaǎ. Numǎrul p reprezinǎ proporia de bile de acea culoare în urnǎ, cu ale cuvine probabiliaea ca la o exragere rezulaul sǎ fie o bilǎ de culoarea respecivǎ. Legea Poisson m P m = µ m! exp µ cu µ > si m naural ca variabilǎ aleaoare. Media variabilei ese µ, dispersia ei ese de asemenea µ. Un model fizic îl reprezinǎ numǎrul dezinegrǎrilor radioacive, numǎrul de apeluri elefonice soliciae înr-o cenralǎ ec. înr-un inerval de imp preciza, scur. Legea normalǎ gaussianǎ care ese daǎ de densiaea de probabiliae x m σ f x = e σ π în care m ese media variabilei x si σ ese dispersia ei. Legea normalǎ ese percepuǎ în paricular ca o lege limiǎ penru sumele de variabile aleaoare. Un 96

97 fenomen afeca de foare muli facori aleaori se prezinǎ de cele mai mule ori ca un fenomen aleaor descris de o lege normalǎ. Variabilele aleaoare din expunerea eoreicǎ sau din exemplele prezenae mai sus au fos oae simple, adicǎ a fos vorba în oae cazurile de o singurǎ aplicaie X:Ω R legaǎ de un unic câmp de probabiliae Ω, K, P. Se po imagina variabile aleaoare cu mai mule componene variabile aleaoare, sub forma unor vecori cu componene aleaoare definie relaiv la un acelasi câmp de probabiliae sau chiar la câmpuri de probabiliae diferie. Asfel legea urmǎoare se referǎ la o variabilǎ aleaoare vecorialǎ. Legea normalǎ mulidimensionalǎ daǎ de densiaea de repariie T xm W xm f x = e n π dew cu media m, un vecor cu n componene, si cu maricea de covariaie W, o marice poziiv definiǎ. Penru ca exemplul sǎ aibǎ consisena necesarǎ rebuie definiǎ mai exac maricea W. Ese de discua în prealabil problema corelaiei a douǎ variabile aleaoare care po fi independene, caz în care valorile uneia nu influeneazǎ în nici un fel valorile pe care le poae lua cealalǎ, dar po fi mai mul sau mai puin dependene ceea ce înseamnǎ cǎ dacǎ una din variabile a lua o valoare aunci legea de repariie a celeilale se modificǎ în funcie de acea valoare a primei variabile. Fiind dae douǎ variabile aleaoare x si y de medii nule, media produsului lor M xy se numese covariaie. Dacǎ covariaia ese nulǎ se poae spune în general cǎ cele douǎ variabile nu sun corelae. Dimporivǎ, dacǎ Mxy, aunci variabilele sun corelae, exisǎ o corelaie înre ele, exisǎ o dependenǎ înre valorile pe care ele le iau în sensul arǎa puin mai devreme. Dacǎ mediile sun diferie de zero, afirmaia si definiia se menin penru abaerile de la medie. Înrucâ covariaia Mxy poae lua valori foare diferie, penru o apreciere caniaivǎ mai riguroasǎ a ǎriei corelaiei se uilizeazǎ coeficienul de corelaie M xy ρ = M x M y care ia valori în inervalul [, ] si în expresia cǎruia se dising dispersiile celor douǎ variabile, Mx si My. O valoare penru ρ apropiaǎ de exremele inervalului indicǎ o corelaie srânsǎ, o valoare apropiaǎ de zero exprimǎ o corelaie slabǎ. Componenele unui vecor aleaor, privie ca variabile aleaoare simple sun muual mai mul sau mai puin corelae. Se definese ca marice a covariaiilor unui vecor aleaor x media produsului xx T, media produsului vecorului cu ranspusul sǎu. Se obine o marice pǎraǎ simericǎ care are pe diagonalǎ 97

98 dispersiile individuale ale componenelor. Aceasa ese maricea W uilizaǎ în expresia densiǎii de repariie a variabilei aleaoare normale mulidimensionale din exemplul de mai sus. Dacǎ maricea covariaiilor ese diagonalǎ are oae elemenele nule cu excepia celor de pe diagonala principalǎ aunci componenele sun muual independene. Împǎrirea fiecǎrui elemen al maricei covariaiilor cu abaerile medii pǎraice ale componenelor corespunzǎoare ale vecorului x produce o marice a coeficienilor de corelaie, cu pe diagonalǎ, cu valori in inervalul [, ] în res. Generarea de numere aleaoare În modelarea si mai ales în simularea sisemelor ese necesarǎ deseori generarea de numere aleaoare a cǎror apariie sǎ se producǎ conform unei anumie legi de repariie: unele valori mai frecven, alele mai rar. În sprijinul acesei cerine, aproape oae limbajele de programare evoluae au în biblioeca lor alǎuri de ale funcii, funcii generaoare de numere aleaoare uniform reparizae pe un inerval preciza, de regulǎ inervalul,. În PASCAL, de pildǎ, exisǎ funcia random, cu sau fǎrǎ argumen, care genereazǎ asfel de numere. Subprogramul randomize invoca înainea primului apel la funcia random asigurǎ secvene de numere diferie la fiecare nouǎ uilizare succesivǎ înr-un program, a funciei de biblioecǎ generaoare de numere aleaoare. Versiunea fǎrǎ argumen a funciei random produce numere reale în inervalul,, uniform reparizae pe acel inerval. Versiunea cu argumen de ip word, randomw, produce numere aleaoare de ipul word, cuprinse înre si w. Penru cazul coninuu al funciei random fǎrǎ argumen, se poae figura funcia densiae de repariie si funcia de repariie comform graficelor alǎurae. 98

99 Cu generaorul de numere aleaoare random sau cu generaoarele similare din ale limbaje se po genera numere aleaoare reparizae dupǎ legi diferie de cea uniformǎ. Penru aceasa se po uiliza meode analiice sau o meodǎ direcǎ care are în vedere funcia de repariie a variabilei care rebuie generaǎ. Legea de repariie normalǎ normaǎ de medie nulǎ si de de dispersie ese legaǎ de legea de repariie uniformǎ prin una sau ala dinre relaiile urmǎoare u = ln x cos π x u = ln x sin π x în care x si x sun douǎ numere aleaoare independene, cu repariie uniformǎ pe inervalul,. Ese un exemplu de generare analiicǎ a unor numere aleaoare supuse unei legi de repariie diferiǎ de cea uniformǎ. Un al exemplu ese cel al generǎrii de numere aleaoare uniform reparizae pe un inerval fini a, b, a < b, oarecare. Trecerea la noua variabilǎ se realizeazǎ prin mijlocirea relaiei u = a + b ax cu x genera de funcia de biblioecǎ random. Variabila u ese uniform reparizaǎ pe inervalul fini specifica. Unele produse sofware, cum ese de pildǎ pacheul Malab, conin funcii capabile a genera direc numere aleaoare conform unei legi de repariie precizae. Dar generarea pe cale analiicǎ sau prin sofware consacra a unor numere aleaoare reparizae conform unei legi pariculare nu ese odeauna posibilǎ. Modul de generare alernaiv ese descris în coninuare. Se admie cǎ ese daǎ funcia de repariie Fu a unei variabile u sau funcia ei densiae de repariie fu din care se poae calcula Fu. Se genereazǎ valori x uniform reparizae pe inervalul, cu ajuorul funciei de biblioecǎ random sau similara ei din ale limbaje de programare. Se calculeazǎ de fiecare daǎ u = F x, unde F. ese inversa funciei de repariie a variabilei u de genera. Funcia de repariie ese odeauna o funcie monoonǎ, deci ese inversabilǎ penru orice x,. Inervalul, ese mulimea de valori comunǎ uuror funciilor de repariie. Variabila aleaoare u ese cu siguranǎ reparizaǎ conform legii descrise de funcia Fu sau de derivaa ei fu. Raporul experimen lege de repariie eoreicǎ si verficarea legilor de repariie Variabilele aleaoare po fi observae prin valorile pe care ele le iau efeciv. Numǎrul observaiilor ese ineviabil fini. Forma maemaicǎ a legii de repariie precum si paramerii ei, inclusiv cei mai simpli cum sun media si dispersia, sun elemene care rebuie inferae, esimae prin inferenǎ, din acese observaii experimenale. Inferena ese operaia logicǎ prin care se admie o 99

100 judecaǎ, al cǎrui adevǎr nu ese verifica direc ci în viruea unei legǎuri a ei cu ale judecǎi considerae adevǎrae. Cu oae cǎ ipoeza normaliǎii unei variabile aleaoare ese saisfǎcǎoare în foare mule cazuri, în special aunci când fenomenul ese rezulaul aciunii înâmplǎoare a unui numǎr foare mare de facori, uneori reprezenaiviaea legii de repariie însǎsi rebuie verificaǎ. Verificarea se face, asa cum s-a spus, pe baza unui volum limia de observaii experimenale. Observaiile experimenale, fie acesea x, x,..., x n, sun mai înâi sorae pe m inervale I k k =,,..., m în care se pariioneazǎ axa realǎ. Sorarea se face în rapor cu aparenena lor la unul sau la alul din acele inervale. Se calculeazǎ frecvenele absolue n k k =,,..., m penru fiecare inerval adicǎ numǎrul de valori observae care aparin unuia sau aluia din inervalele I k. Cu acese frecvene sau cu frecvenele relaive obinue prin împǎrirea lor la numǎrul oal de valori observae n se poae rasa un grafic sub forma unor drepunghiuri cu baza câ fiecare inerval si înǎlimea egalǎ cu frecvena. Acese grafice sun denumie hisograme ale frecvenelor relaive sau absolue. Prin cumularea ordonaǎ a frecvenelor se obine un grafic numi poligonul frecvenelor cumulae, relaive sau absolue. Cele douǎ funcii grafice sun penru colecia de dae experimenale ceea ce penru variabila aleaoare sun probabiliǎile sau densiaea de repariie si funcia de repariie. În ermeni de frecvene relaive funciile sub formǎ de grafic care au ca sursǎ experimenul ar rebui sǎ esimeze funciile eoreice corespondene. Dacǎ ele sun sau nu esimaii ale acelor funcii eoreice, dacǎ legea de repariie eoreicǎ reprezinǎ înr-adevǎr variabila aleaoare observaǎ se apreciazǎ prin calculul unei valori m χ = n np k k k = npk în care inervin aâ frecvenele experimenale câ si probabiliǎile eoreice pk = P x I k, k =,,..., m si care ese o variabilǎ aleaoare deoarece, eviden, la un nou se de observaii se obine aproape sigur alǎ valoare. Variabila χ ese consacraǎ în saisica maemaicǎ si ese definiǎ ca o sumǎ de pǎrae ale unor variabile aleaoare normale normae de medie nulǎ si de dispersie egalǎ cu uniaea independene. Variabila are un numǎr de grade de liberae egal cu numǎrul de ermeni din suma definiorie. Funcia de repariie a variabilei χ ese abelaǎ sau poae fi evaluaǎ si ese folosiǎ în verificarea ipoezelor saisice de naura celei formulae mai devreme sau de alǎ naurǎ. Inuiiv, valoarea χ calculaǎ din observaii experimenale ar rebui sǎ fie câ mai apropiaǎ de zero. Aunci, probabiliǎile p k ar fi foare apropiae de frecvenele relaive n k /n rezulae din experimen. Ipoezei modelul eoreic ese verifica de observaiile experimenale H i se opune ipoeza alernaivǎ H modelul eoreic pe cale de a fi adopa nu ese verifica de observaiile experimenale. Pragul discriminaor înre cele douǎ adevǎruri muual exclusive

101 ese sabili ca limiǎ superioarǎ a unui inerval defini penru un nivel de semnificaie sau penru un nivel de încredere preciza q uzual,95, inerval care grupeazǎ q% din valorile χ firesi, plauzibile în cazul valabiliǎii ipoezei H. Schema accepǎrii sau respingerii uneia sau aleia dinre ipoeze ese H χ < χ q > H cu valoarea de provenienǎ experimenalǎ în sâga semnului discriminaor, cu valoarea eoreicǎ, ebelarǎ în dreapa acelui semn. Pe calea aceasa se poae seleca legea de repariie adecvaǎ. Esimarea si verificarea paramerilor legii de repariie eoreice Asa cum s-a arǎa, legea de repariie cea mai frecven uilizaǎ în general dar si în modelarea si simularea dinamicii sisemelor ese legea normalǎ. Ipoezele si verificǎrile paramerice discuae în cele ce urmeazǎ se referǎ în exclusiviae la variabile aleaoare reparizae normal sau, cum se mai spune, gaussian. O lisǎ de valori observae x, x,..., x n ale unei variabile aleaoare poarǎ numele consacra de selecie. Numele ar puea pǎrea impropriu prin prisma eimologiei cuvânului selecie si de aceea rebuie sublinia cǎ valorile din lisa de observaii nu comporǎ nici un proces subieciv de alegere. Prin selecie se înelege numai reinerea experimenalǎ a unui numǎr fini de valori ale variabilei aleaoare din numǎrul exrem de mare de valori pe care aceasa le-ar puea lua. Se admie cǎ variabila are o repariie normalǎ cu media µ si dispersia σ. Se definese ca medie de selecie media arimeicǎ a valorilor observae xi i= x = n Ea ese o esimaie absolu corecǎ a mediei µ si se reparizeazǎ ca si variabila x observaǎ, normal cu aceeasi medie µ dar cu dispersia σ /n. Din daele care alcǎuiesc selecia se po calcula douǎ dispersii de selecie si s s n n xi µ i = = n n xi x i = = n

102 Ambele sun esimǎri absolu corece ale dispersiei σ, prima cu n grade de liberae, a doua, mai uzualǎ deoarece nu necesiǎ cunoaserea mediei eoreice µ, cu n grade de liberae. Sinagma esimaie absolu corecǎ exprimǎ fapul cǎ media unei asfel de eimaii ese exac valoarea paramerului esima. Asupra mediei, ipoeza cea mai frecvenǎ are forma µ = µ si se noeazǎ cu H. Opusa ei se noeazǎ cu H. Uneori se formuleazǎ ipoeze în foma unilaeralǎ, în care semnul egal ese înlocui cu un semn de inegaliae. Verificarea uneia sau aleia dinre ipoeze se face în baza unei selecii. Dacǎ dispersia σ ese cunoscuǎ, aunci se poae calcula o valoare x µ z = σ n care ese o variabilǎ aleaoare reparizaǎ normal si ese în plus si normaǎ adicǎ are media nulǎ si dispersia egalǎ cu uniaea. Se sabilese un nivel de încredere sau de semnificaie q, uzual de,95 95%, penru care în abele sau prin calcul se gǎsese un z q, în paricular z,95 =,96. Aceasǎ valoare delimieazǎ un inerval z q, + z q, numi inerval de încredere, care conine 95% din valorile z calculae din daele seleciilor de ipul si de volumul specifica mai devreme. Prin urmare, valorile din afara inervalului de încredere sun cu oul improbabile, probabiliaea lor fiind complemenara q. Apariia unei valori z din aceasǎ caegorie pune sub semnul îndoielii valabiliaea ipoezei formulae. Asadar, dacǎ valoarea calculaǎ z zq, + zq ipoeza se accepǎ, în caz conrar se respinge sau înr-o exprimare care pune în evidenǎ ambele ipoeze muual exclusive H z < z > q H Dacǎ dispersia σ nu ese cunoscuǎ se uilizeazǎ variabila Suden, în care inervine radicalul poziiv al dispersiei de selecie x = µ s n Variabila Suden ese o variabilǎ aleaoare în legǎurǎ cu care se menioneazǎ si un numǎr de grade de liberae, acelasi cu al esimaiei s. Se sabilese un nivel de încredere q si un inerval de încredere q, + q. Tabelele sau calculul dau acese valori penru diverse niveluri de încredere, cel mai uzual fiind acelasi,95, dar si penru grade de liberae diferie. Ipoeza H se confirmǎ dacǎ valoarea Suden calculaǎ se siueazǎ în ineriorul inervalului de încredere. Ipoeza se respinge în caz conrar. Sineic

103 H < > q H Ipoeze se fac, de asemenea, asupra dispersiei. Ipoezele acesea rebuie uneori si ele verificae. Asfel, fiind dae douǎ esimaii ale aceleiasi dispersii, s si s, valoarea bazaǎ pe experimen s F = s are cracerisicile unei variabile aleaoare si se spune cǎ are f si f grade de liberae, egale respeciv cu gradele de liberae ale celor douǎ esimaii raporae. Variabila ese cunoscuǎ in saisica maemaicǎ sub numele de variabila F Fisher-Snedecor. În paricular, gradele de liberae po fi f si si aunci s F = σ ese o variabilǎ F cu f si grade de liberae. O ipoezǎ σ = σ se poae verifica prin calcularea unei valori F cu σ la numior. Un nivel de semnificaie q delimieazǎ si în aces caz un inerval de încredere. Un F calcula din dae experimenale superior lui F q abelar cu gradele de liberae respecive impune respingerea ipoezei H formulae si acceparea ipoezei alernaive H. Cazul conrar face ca ipoeza H sǎ fie accepaǎ. Schema globalǎ ese cuprinsǎ în exprimarea H F < F > q H Crieriul F se aplicǎ de obicei unilaeral. Variabila z normalǎ normaǎ si variabilele aleaoare si F care sun în conexiune direcǎ cu legea de repariie normalǎ permi formularea si esarea unui numǎr imporan de ipoeze saisice. O alǎ variabilǎ aleaoare imporanǎ legaǎ de variabila reparizaǎ normal ese variabila χ despre care s-a vorbi la verificarea caliǎii de model al unei variabile aleaoare observae experimenal, îndepliniǎ sau nu de o lege de repariie eoreicǎ. Variabila χ ese o sumǎ de pǎrae ale unor variabile normale normae independene si are gradele de liberae egale cu numǎrul de ermeni în sumǎ. Variabila χ permie ea însǎsi verificarea de ipoeze asupra dispersiei da fiind fapul cǎ înr-o esimaie s a dispersiei eoreice σ se poae separa o sumǎ de pǎrae de variabile z normale normae independene si implici o variabilǎ χ. Tabelele sau calculul direc dau si în cazul acesa valori χ q care consiuie pragul discriminaor înre ipoeze la un nivel de semnificaie q preciza. 3

104 Esimarea de parameri în modelele sisemelor Problema esimǎrii unor parameri ai legilor de repariie normalǎ fac pare dinr-un cadru mai larg cunoscu sub numele generic de esimare a paramerilor. O adâncire a subiecului ese absolu necesarǎ deoarece frecven modelul maemaic al unui sisem se poae scrie relaiv usor sub forma lui generalǎ pe baza unor considerene fenomenologice sau de alǎ naurǎ, dar numai precizarea valorilor unor parameri îl fac specific unui anumi sisem fizic real. Aceasǎ acordare a modelului pe sisemul modela se bazeazǎ pe dae observae în experimene organizae special sau prin observarea pasivǎ a funcionarii sisemului. Esimarea de parameri în relaii-model algebrice Un model algebric are în general forma y = fx, a cu f o funcie vecorialǎ cu m componene de vecorul de variabile x cu n componene si de vecorul de parameri a cu p componene. Problema esimǎrii paramerilor se pune în ermenii urmǎori: fiind daǎ o lisǎ de perechi de valori experimenale x si y se cere a se deermina paramerii a asfel încâ sǎ fie minimizaǎ o anumiǎ disanǎ model-experimen. Dinre crieriile posibile sun frecven uilizae cel al celor mai mici pǎrae cu sau fǎrǎ ponderi, suma modulelor abaerilor absolue sau relaive. În oae acese alegeri disana model-experimen se referǎ numai la valorile y cu acceparea aciǎ sau expliciǎ, a unei precizii mul mai bune în mǎsurarea variabilelor x decâ în observarea lui y. Uneori însǎ variabilele independene x sun afecae ele însesi de erori de observare si de meninere în cursul experimenelor, erori care nu po fi ignorae. În cazul acesa, în evaluarea acelei disane model-experimen inrǎ si variabilele x dupǎ cum se va explica mai depare. Meoda celor mai mici pǎrae Paramerii a din relaia y = fx, a po fi deerminai din dae experimenale având în vedere cǎ în realiae relaia ese îndepliniǎ sub forma aproximaivǎ y = fx, a + ε Scrisǎ penru mai mule punce experimenale y k = fx k, a + ε k k =,,, N aceasa permie consiuirea unui crieriu de apropiere model-experimen de forma S = ε T Qε 4

105 cu ε vecorul rezidualelor ε k si Q o marice de ponderi poziiv definiǎ. Maricea Q ese de cele mai mule ori diagonalǎ si dǎ ponderi diferie unor observaii y k afecae de erori variabile cu k. Dacǎ erorile sun consane si descrise saisic de aceeasi lege de repariie, admisǎ a fi normalǎ de medie nulǎ, aunci maricea Q poae fi maricea uniae I muliplicaǎ evenual cu valoarea reciprocǎ a dispersiei unice, caz în care avem meoda celor mai mici pǎrae clasicǎ, cu ponderi consane penru cele N observaii experimenale, de fap fǎrǎ ponderi. Paramerii a cǎuai sun aceia care minimizeazǎ pe S, care ese o sumǎ de pǎrae ale abaerilor model-experimen, ponderae sau nu. Cazul cel mai frecven în aplicaii si în consecinǎ cel mai pus la punc sub aspec eoreic ese cel liniar în paramerii a, liniar, de asemenea, în x. Aparen paricular, cazul devine mai general decâ pare dacǎ se iau în consideraie posibiliǎile de liniarizare în x fie prin subsiuii adecvae fie prin dezvolǎri Taylor valabile pe regiuni limiae ale spaiului variabilelor independene x. Prin urmare, meriǎ o aenie apare cazul liniar y = x T a în care vecorul x poae conine o primǎ componenǎ consanǎ si egalǎ cu uniaea, care corespunde unui coeficien liber de orice influenǎ daoraǎ modificǎrilor lui x si în care vecorul a al paramerilor ese n + -dimensional adicǎ are n componene, câe una penru fiecare componenǎ variabilǎ a vecorului x si încǎ una ca ermen liber cum s-a spus mai devreme. Dacǎ y k sun valorile observae si x k sun valori pariculare ale vecorului x în experienele sau observaiile k =,,..., N aunci minimul sumei S se obine penru soluia sisemului în necunoscuele a Xa = Y în sensul celor mai mici pǎrae. În relaia ulimǎ X are ca linii vecorii x kt, iar Y ese vecorul observaiilor y k. Sisemul ese liniar în componenele lui a si se poae rezolva, în eape, prin premuliplicarea mai înâi cu ranspusa maricei X X T Xa = X T Y si, dupǎ aceea, prin muliplicarea la sânga cu inversa maricei produs X T X, numiǎ si inversa generalizaǎ sau pseudoinversa maricei X, dacǎ inversa respecivǎ exisǎ a = X T X X T Y Exisena inversei uilizae ese un al mod de a vorbi despre diversiaea puncelor x k. Desigur, în maricea X se po incorpora valori ale vecorului x variae, asa cum rezulǎ din observarea curenǎ a sisemului de modela. Ese cazul experimenului pasiv, nedirija. Experimenul se poae însǎ planifica, în primul rând penru a asigura acea diversiae de valori ale componenelor vecorului x capabilǎ sǎ punǎ în evidenǎ efecele lor asupra valorilor y. Planificarea poae merge încǎ mai adânc, alegând componenele vecorului x în asa fel încâ sǎ aibǎ loc relaia 5

106 N xik xjk = k = penru oricare douǎ componene disince i j. De pildǎ, experimenul din abelul alǎura are aceasǎ proprieae, numiǎ si proprieaea de orogonaliae. Experiena nr. x x x Pare dificil de pus în aplicare un asemenea plan experimenal. Dar în abelul de mai sus nu ese vorba de valorile naurale ale variabilelor ci de valori legae înr-un mod porivi de cele naurale. Mai explici, dacǎ variabilele din realiae sun, sǎ spunem, o emperaurǎ T si un debi d, care în cursul experimenǎrii iau valorile 5, 75, o C, respeciv,, 4 kg/orǎ aunci variabilele T 75 x = 5 d x = po lua exac valorile din abel. Coeficienii relaiei-model se esimeazǎ în rapor cu acese variabile si apoi se revine la variabilele naurale, reale, T si d. Avaajul unui experimen planifica si, în plus, orogonal ese dublu. Pe de o pare maricea X T X ese diagonalǎ si deci usor de inversa. Pe de alǎ pare efecul fiecǎrei variabile a l N xlk yk k = = l =,,,..., n N x k = lk poae fi pus în evidenǎ separa, în deplina lui semnificaie sau lipsǎ de semnificaie. În acese condiii, suma de pǎrae ale rezidualelor ε k minimizaǎ se descompune sub forma = N k= care rearanjaǎ duce la N k = y y a x k k a N k = k x k a x a k... a x N k= x k n nk... a = N n k= x nk 6

107 = a + N k = N k= x k k + a y a x N y k k= k N k= x k = a x a k N n k =... a x Aceasǎ ulimǎ expresie pune în evidenǎ o ineresanǎ descompunere a sumei pǎraelor valorilor observae y k, din parea sângǎ a egaliǎii. Descompunerea conine ermeni legai clar de câe un efec al unei variabile si un ulim ermen care ese însǎsi suma rezidualelor ridicae la pǎra minimizaǎ. Cu erminologia sume de pǎrae si grade de liberae asociae, ermenii din dreapa semnului de egaliae au fiecare câe grad de liberae excepând ulimul care are N n + grade de liberae. Dacǎ nu exisǎ nici un efec real, adicǎ semnificaiv al x- ilor asupra lui y, aunci se poae considera cǎ valorile a, a, a,..., a n sun daorae exclusiv zgomoului care acompaniazǎ observaiile y si aunci ermenii sumei de mai sus po servi la calculul unor esimaii cu sau N n + grade de liberae ale dispersiei valorilor y. Cu acese esimaii se po calcula valori F Fisher-Snedecor cu gradele de liberae respecive. De pildǎ raporul F = N k= a N l xlk k = n x nk y a x a x... a x N n + ese o valoare F cu si N n + grade de liberae. Selecând un nivel de semnificaie q uzual,95 abelele dau o valoare F q criicǎ. Un F calcula care se siueazǎ sub valoarea criicǎ araǎ cǎ efecul variabilei x l nu exisǎ sau, în ali ermeni, nu ese semnificaiv, valoarea F calculaǎ fiind daoraǎ exclusiv zgomoului. Dimporivǎ, un F calcula care ese mai mare decâ valoarea criicǎ indicǎ un efec semnificaiv: variabila y depinde efeciv de x l. Termenul lega de reziduale poae fi el însusi esa ca semnificaie dacǎ ese rapora la o esimare a dispersiei din punce experimenale repeae. Penru fiecare punc repea în aceleasi condiii x se calculeazǎ o dispersie experimenalǎ s. Se calculeazǎ apoi un s global ca o medie ponderaǎ cu gradele de liberae ale esimaiilor puncuale. Aces din urmǎ s are ca grade de liberae suma gradelor de liberae ale esimaiilor s puncuale componene. Un F calcula ca rapor al esimaiei din reziduale la esimaia din experiene repeae, care ese sub valoarea criicǎ abelarǎ indicǎ o siuaie normalǎ: modelul reprezinǎ experimenul în limiele zgomoelor care afeceazǎ mǎsurǎorile y. Din conra, depǎsirea valorii criice dezvǎluie relaii mai complicae înre y si x, efece ignorae, sau o inadecvare de alǎ naurǎ a modelului la experimenul efecua pe sisemul de modela. nk k k k n nk + 7

108 Valoarea F calculaǎ în aces mod, sau numai ermenul din suma pǎraelor asocia rezidualelor când calculul unui F nu ese posibil se poae consiui în crieriu de discriminare înre douǎ sau mai mule modele posibile ale aceluiasi obiec, pe baza acelorasi dae experimenale. Ese de prefera aproape odeauna modelul cu F mai mic, asadar cu reziduale mai mici. Desigur, variabilele care po fi modificae dupǎ dorinǎ înr-un experimen planifica sun cele de inrare, independene. Exisǎ o variabilǎ deosebiǎ, impul, care ese mai puin planificabilǎ. Cel mai curen mod de a raa impul în observaiile experimenale ese de a-l mǎsura si marca la inervale regulae. Pe o secvenǎ de momene egal disanae ese posibilǎ o orogonalizare a maricei X prin uilizarea unor polinoame orogonale pe mulimea de punce de pe axa impului. Aceasa presupune cǎ sun de calcula dependenţe de imp sub formǎ de polinoame. Exisǎ polinoame de grad,, ec. care pe o reea de punce echidisane {,,..., N } au proprieaea imporanǎ N Pi k Pj k = k = ori de câe ori gradele lor i si j sun diferie. Acese polinoame au expresiile urmǎoare P =. P =. N P = N N N P3 =. + 3 N N N N N N P = m m k = k m + k! m k! k! k! N în care s-a noa x k = x x x... x k +. Mule funcii po fi aproximae prin polinoame de aces ip si în general prin polinoame. Adǎugând repa câe un polinom cu grad mai mare cu o uniae faǎ de eapa precedenǎ se po calcula coeficieni ai unui polinom-model global, a cǎror semnificaie poae fi judecaǎ separa. Meoda verosimiliǎii maxime Aunci când nu exisǎ variabile care sun observae si mǎsurae cu precizii ne superioare faǎ de alele, când disincia înre variabilele independene si dependene ese dificil de sabili se recurge la ale meode de esimare a k k 8

109 paramerilor din modelele sisemelor. Una ese meoda verosimiliǎii maxime prezenaǎ în coninuare. Fie X o mulime de vecori care sun în corespondenǎ cu un numǎr de punce experimenale. Fiecare vecor x X are o pare δ aleaoare, de medie zero, care se adunǎ la valoarea lui eoreicǎ, adevǎraǎ. Adaosul δ ese presupus repariza dupǎ o lege normalǎ. Fie f un vecor de funcii care modeleazǎ sau coreleazǎ daele experimenale, funcii care conin parameri de esima. Ideal, dacǎ x ese foare precis mǎsura si modelul ese exac pe dae, aunci fx,a = în oae puncele experimenale. Pracic însǎ, niciodaǎ cele douǎ condiii de precizie si de adecvare a modelului la experimen nu sun saisfǎcue si aunci are loc mai curând relaia fx,a = ε cu ε un vecor care nu are oae componenele nule. Dacǎ modelul descrie daele în manierǎ saisfǎcǎoare aunci ε se explicǎ si se exprimǎ comple prin erorile de deerminare ale lui x ε = J X δ unde J X ese maricea jacobianǎ a funciilor f în rapor cu x. Eviden, maricea J X depinde de punc. Vecorul ε ese normal disribui si are media nulǎ penru cǎ δ ese admis a fi normal disribui si are media nulǎ. Maricea de covariaie a lui ε se calculeazǎ din maricea de covariaia a lui δ cu relaia T W = J W J ε Funcia densiae de repariie penru ε înr-un anumi punc experimenal ese daǎ de de A T f ε = exp ε Aε m π unde A ese inversa maricei W ε si m ese numǎrul componenelor lui ε. Cele mai verosimile valori ale paramerilor a sun acelea care fac maximǎ probabiliaea N N Ak T f = de k ε exp ε A m k k ε k k = k = π sau fac minimǎ suma N S = ε k = dacǎ se admie o variaie moderaǎ a deerminanilor maricilor A k de la un punc experimenal la alul. În relaiile scrise, k numǎrǎ puncele experimenale. Prinr-o meodǎ sau ala se deerminǎ valorile paramerilor a care fac maxime minime expresiile de mai sus. Asupra acesor valori exisǎ inceriudini, ele au x T k δ A k x ε k 9

110 parea lor de variaie aleaoare. Ese necesarǎ analiza semnificaiei acesor variaii aleaoare penru cel puin douǎ moive. Primul ese acela cǎ valorile unor componene ale lui a po fi în esenǎ nule. Al doilea provine din aceea cǎ po exisa ale valori ale paramerilor, echivalene sub incidena saisicii adopae. Penru analiza vecorului a se rescrie o ecuaie de mai sus în forma Jxδ + Jaα = cu α parea aleaoare de medie nulǎ a vecorului a, cu J α maricea jacobianǎ a funciilor f relaiv la vecorul a. Dacǎ se admie cǎ modelul si daele sun în relaie corecǎ, aunci J α α = ε penru fiecare punc experimenal. Ulima ecuaie scrisǎ penru oae puncele experimenale duce la Bα = e unde maricile B si e cumuleazǎ în ordine linii din J α, respeciv din ε penru oae puncele experimenale. Calcularea vecorului α se face prin muliplicarea ecuaiei la sânga cu inversa generalizaǎ a maricei B T T α = B B B e Medierea produsului αα T duce la obinerea maricei de covariaie a vecorului a α T T T W B B B W B B B α = si densiaea de repariie a lui α ese de Q T f α = exp α Qα l π cu l numǎrul componenelor lui a si Q inversa maricei W α. În spaiile ε si α sun anumie hipersuprafee pe care funciile densiae de repariie sun consane. Din cauza formelor pǎraice coninue, cu A sau Q poziiv definie, hipersuprafeele pe care fε, respeciv fα sun consane sun hiperelipsoizi. Hipervolumele coninue în acese hipersuprafee noae ca domeniul D po fi calculae cu inegrala muliplǎ deq T V = Q d l... exp α α α D π si sun egale cu probabiliaea ca puncul marca de vecorul α sǎ se afle în hiperelipsoid. Probabiliaea complemenarǎ q = V se asociazǎ cazurilor în care α are vârful în afara hiperelipsoidului. Se poae defini un nivel de încredere sau de semnificaie. Similar inervalului de încredere, apar elipsa de încredere, elipsoidul de încredere ec. Inegrala muliplǎ de mai sus se poae calcula prinro dublǎ schimbare de variabilǎ. Prima aduce maricea Q în forma diagonalǎ, a e

111 doua ransformǎ hiperelipsoidul înr-o hipersferǎ de o razǎ noaǎ cu ρ. Rezolvarea ecuaiei în ρ Vρ = q produce o valoare unicǎ asociaǎ lui q. Revenirea la coordonaele iniiale redǎ hipersuprafaa care conine oi vecorii α echivaleni probabilisic. Fiecǎrui punc x experimenal i se asociazǎ un ρ care poae fi compara cu o valoare ρ criicǎ, asociaǎ unui q preciza, uzual,5. Fǎcându-l pe ρ crieriu discriminan se po elimina puncele experimenale grav eronae. Toaǎ discuia se poae reformula în ermeni de disane generalizae. Se poae calcula, de asemenea, un ρ mediu care poae fi uiliza în discriminarea înre modele diferie. Fenomene aleaoare dinamice O variabilǎ aleaoare simplǎ X VΩ, K, P definiǎ pe un câmp de probabiliae Ω, K, P poae avea un aspec emporal. Fiind daǎ o mulime de momene T discreǎ sau de puerea unei inerval, variabila X ese mereu ala în mulimea V Ω, K, P pe mǎsurǎ ce indicele parcurge mulimea T. Variabila devine în aces mod un proces aleaor. Mai general, variabila poae avea mai mule componene, asadar poae fi vecorialǎ, dar cu acelasi gen de evoluie emporalǎ. Asfel pusǎ problema, penru un momen fixa variabila X poae lua valori conform unei legi de repariie care în momenul urmǎor poae fi ala si apoi ala s.a.m.d. Succesiunea de valori x pe care varibila aleaoare le ia efeciv pe mǎsurǎ ce mulimea T ese parcursǎ în sensul naural de curgere a impului ese o funcie de imp care consiuie o realizare din foare mule posibile a procesului aleaor respeciv. Se înelege din cele expuse pânǎ acum cǎ înr-un proces aleaor douǎ aspece sun de lua în considerare. Unul se referǎ la un momen fixa =, alfel oarecare, în care variabila vecorialǎ x poae fi priviǎ ca o variabilǎ aleaoare cu funcia de repariie Fx;, evenual cu densiaea de repariie fx;. Celǎlal aspec are în vedere muliplele realizǎri posibile ale funciei x. Dupǎ cum se observǎ, impul apare în funcia de repariie ca un parameru si în general, o descriere mai bunǎ a fenomenului aleaor, cu aspecul lui emporal cu o se poae face cu funcii de repariie de forma F x,..., xn;,..., n, penru un vecor de n valori ale funciei de imp x la n momene disince. Asemenea si densiaea de repariie, dacǎ ea exisǎ, se referǎ la un vecor de n valori ale lui x, luae la n momene diferie. Descrierea ese cu aâ mai compleǎ cu câ numǎrul n ese mai mare. Desigur, impul poae fi discre sau coninuu, x poae lua valori discree sau coninue. Penru douǎ momene diferie dar fixae,

112 penru variabilele aleaoare x si x, se poae pune problema corelǎrii care devine aici auocorelare. Dacǎ impul ia valori înr-o mulime T discreǎ procesul se mai numese serie emporalǎ. Un proces aleaor poae fi saionar sau nesaionar. Un proces saionar are proprieaea specificǎ conform cǎreia F x,..., xn;,..., n = F x,..., xn; + τ,..., n + τ penru orice τ. În cuvine, funcia de repariie muliemporalǎ ca si densiaea de repariie muliemporalǎ, dacǎ aceasa exisǎ, nu depind de originea impului sau sun invariane la o ranslaie pe axa impului. Un proces aleaor nesaionar nu are aceasǎ proprieae. Proprieaea de saionariae are implicaii asupra paramerilor care apar în expresia maemaicǎ a legilor de repariie penru variabilele aleaoare x, x ec. simple sau luae împreunǎ, cu evenuala lor corelare saisicǎ. Paramerii respecivi rǎmân consani în imp. Se includ aici mediile, dispersiile, covariaiile ec. Despre un proces aleaor saionar care are funcia de auocorelaie nulǎ penru orice decalaj de imp diferi de zero se spune cǎ are caracerisicile unui zgomo alb. Un proces aleaor pur ese acela penru care funcia de repariie si densiaea de repaiie sun mereu aceleasi indiferen de valorile pe care x le-a lua anerior. Înr-un asemenea caz impul înceeazǎ a mai fi un parameru. Ese un fap subîneles cǎ sarea la un momen da a unui sisem depinde în general de sarea sisemului pe un inerval de valori anerioare sau, în cazul discre, de sarea sisemului la un numǎr oarecare de momene anerioare. Asa-numiele marici de ranziie conin probabiliǎi de recere de la o sare la urmǎoarea din mai mule posibile, probabiliǎi condiionae de sǎrile ocupae anerior. Cu câ mai mule sǎri ocupae anerior deerminǎ efeciv o sare urmǎoare cu aâ mai mule informaii rebuie cuprinse în acese marici de ranziie. Exisǎ procese aleaoare de ip discre care po fi asociae unui sisem cu un numǎr de sǎri disince, care po fi ocupae la fiecare momen cu o anumiǎ probabiliae. Trecerile de la o sare la ala sun aleaoare si li se poae asocia o unicǎ marice de ranziie cu elemene dependene numai de sarea imedia anerioarǎ celei care urmeazǎ a fi ocupaǎ. Acesa ese un caz cu foare mule aplicaii pracice, chiar dacǎ unele din ele aproximane, cunoscu sub numele de proces Markov. În aces caz, elemenele maricei de ranziie permi calculul probabiliǎii unei sǎri urmǎoare când sarea curenǎ ese daǎ. Dacǎ sarea la un momen ese descrisǎ probabilisic de vecorul p, aunci maricea P de ranziie înr-un momen urmǎor, la o sare urmǎoare permie calculul probabiliǎii combinae p = Pp. Maricea P nu poae avea decâ elemene poziive cu suma pe linii si elemenele unei linii au pariculariǎile unor probabiliǎi condiionae

113 P / = P / T T P / H [ H P / H + R ] H P / În ulima expresie s-au înlocui momenele n cu numerele înregi recue ca indice, operaie care subliniazǎ echivalenţa cardinalǎ a mulimii momenelor de imp cu mulimea numerelor înregi. Ese ineresan de urmǎri comporarea asimpoicǎ a unuii proces Markov si posibila lui periodiciae. Un exemplu numeric ajuǎ la înelegerea mai exacǎ a proceselor Markov. Asfel, un proces Markov defini de maricea de ranziie P + / = A P / A T + R cu primele ei pueri =,7,3 3 P P =,65,35,45,55,55,475 afla în sarea iniialǎ descrisǎ de vecorul de probabiliǎi p T = [,,9], se va afla dupǎ rei ranziii înr-o sare nouǎ descrisǎ de vecorul de probabiliǎi T 3 T p 3 = [ P p] =,5375,465. [ ] Modele dinamice sochasice Teoria clasicǎ a sisemelor dinamice ignorǎ caracerisica sochasicǎ a unor perurbaii care acioneazǎ asupra mulor siseme reale. Pracica araǎ cǎ examinarea rǎspunsului unui sisem la perurbaiile luae uzual în consideraie nu conduc auoma la concluzii valabile penru orice al gen de perurbaie, în paricular penru cazul perurbaiilor aleaoare. În forma generalǎ a sisemului de ecuaii difereniale, care descrie evoluia sǎrii unui sisem dx = F x + G w d nu ese precizaǎ forma inrǎrilor. Asadar se poae admie cǎ inrǎrile po fi si perurbaii w de naura unui proces aleaor sau, cum se mai spune, sochasic. Dupǎ cum s-a arǎa înr-o seciune precedenǎ, sisemul are o marice de ranziie Φ; care saisface ea însǎsi ecuaia omogenǎ dφ ; = F Φ ; d si are proprieaea Φ ; = I. Soluia sisemului cu perurbaia w ese x = Φ ; x + Φ ; τ G τ w τ dτ Inegrala din expresia soluiei sisemului de ecuaii difereniale ese o inegralǎ paricularǎ în sensul cǎ ea are alǎ si alǎ valoare penru fiecare realizare a 3

114 funciei w. Desigur, vecorul care descrie sarea sisemului ese el însusi aleaor, ese la rându-i un proces sochasic. Media la un momen da ese Φ + = Φ = Φ + Φ = = w d G d w G M x M x M ; ; ; ] ; [ ] [ τ τ µ τ τ µ τ τ τ τ µ deoarece Φ; si G sun marici cu elemene deerminise sau derivae din marici cu elemene deerminise, iar inegrarea ese echivalenǎ unei sume. Efecul perurbaiei w asupra sǎrii sisemului modela ese caraceriza încǎ mai consisen dacǎ se evalueazǎ si maricea de auocorelaie a vecorului variabilelor de sare x. Calculul conduce la ;, ; ;, ; } ] ][ {[, τ τ τ τ τ τ τ τ µ µ d d G G x x M T T T T Φ Σ Φ + + Φ Σ = Φ = = Σ Dacǎ în cazul relaiilor deerminise evoluia în imp a unui sisem dinamic era apreciaǎ exclusiv prin valorile pe care le luau componenele vecorului de sare, în cazul sochasic problema se pune în mod diferi. Comporarea dinamicǎ a sisemului ese apreciaǎ prin evoluia mediei si prin auocovariaia vecorului de sare. To asa, penru reglarea auomaǎ crieriile de apreciere a caliǎii reglǎrii sun diferie. Ese o apreciere nu numai în medie ci si prin maricea de covariaie a componenelor vecorului de sare. Modelul procesului dinamic cu inrǎri aleaoare prezena mai sus ese dinr-un punc de vedere, exrem de paricular. Pariculariaea lui consǎ ocmai în fapul cǎ elemenele sochasice sun inroduse exclusiv ca inrǎri ale sisemului. În realiae unele elemene de naurǎ sochasicǎ sun inerioare sisemului. În ermeni mai exaci si consacrai, se spune cǎ variabilele de sare ale unui sisem dinamic se împar în variabile de sare conrolabile, acelea care po fi modificae prin aciunea unor inrǎri si variabile de sare observabile, acelea ale cǎror valori si evoluie po fi evaluae sau esimae prin mǎsurǎorile y la un momen da sau la mai mule momene consecuive. Variabilele care descriu sarea sisemului po sǎ nu fie oae conrolabile, po sǎ nu fie oae observabile, asa încâ cele douǎ mulimi de variabile de sare po sǎ nu coincidǎ si po fi submulimi srice ale mulimii uuror variabilelor care descriu sarea unui sisem. Variabilele de sare neconrolabile evolueazǎ imprevizibil, previzibil insǎ în probabiliae si sun sursa unor evoluii aleaoare ale celorlale variabile de sare si, de asemenea, sursa unor observaii sau mǎsurǎori afecae de asanumiele zgomoe, un al nume penru procesele aleaoare de cele mai mule ori paraziare, nedorie. 4

115 Dezvolarea eoreicǎ de mai sus are o valoare aplicaivǎ relaiv scǎzuǎ. Ea formuleazǎ numai un nou gen de probleme în legǎurǎ cu dinamica sisemelor, probleme diferie de cele înâlnie la raarea în maniera clasicǎ a sisemelor deerminise. În pracicǎ, de mare uiliae sun modelele discree în imp. Sun examinae mai depare douǎ modaliǎi de raare a dinamicii sisemelor afecae de prezena unor fenomene aleaoare dinre cele mai comune în aplicaii care in de dinamica sisemelor. Unul ese modelul ARIMA AuoRegressive- Inegraed-Moving-Average, cu varianele ARMA, ARMAX, ARX ec., cu X penru adjecivul exogen alǎura inrǎrilor, si ese daora lui Box si Jenkins. Celǎlal ese modelul liniar al lui Wiener perfeciona de Kalman. Ambele modele se referǎ la siseme dinamice discree în imp. Modelul ARIMA O relaie inrare-iesire penru un sisem de ordinul unu se exprimǎ în forma y = ay + bu sau în forma y b = a B u unde B ese operaorul de deplasare în imp, care aplica o daǎ opereazǎ conform relaiei By = y, aplica de k ori are efecul B k y = y k. Mai general, un sisem de ordinul r, s, f ese modela în maniera inrare-iesire de ecuaia s b + b B + bb bs B y = a B a B a B u f r... r Ese limpede cǎ cei rei înregi r, s, f au semnificaia numǎrului de valori succesive anerioare ale iesirii, care influeneazǎ iesirea sisemului, numǎrul de inrǎri succesive, care au ecou în iesirea curenǎ si, respeciv, înârzierea cu care inrarea acioneazǎ asupra iesirii sisemului. Penru sabiliae, rǎdǎcinile polinomului de la numior raa ca un polinom în operaorul B rebuie sǎ se siueze oae în afara cercului de razǎ uniae. Modelul de mai sus ese de ip deerminis si se referǎ la un sisem care are o singurǎ inrare si o singurǎ iesire. Un model ARIMA penru evoluia aleaoare a unui sisem dinamic poae fi concepu ca o serie emporalǎ iesire a unui sisem dinamic care are ca inrare zgomoul alb adicǎ un proces aleaor cu auocorelaia nulǎ indiferen de inervalul de imp de decalare. Relaia de definiie a seriei emporale ese q + b B b B q N = B a B a B a d p... p 5

116 în care facorul de la numior B d are d rǎdǎcini pe cercul uniae ceea ce face ca sisemul sǎ poaǎ fi si nesaionar dacǎ d >. Celelale p rǎdǎcini ale numiorului sun mai mari în modul decâ uniaea deoarece, se presupune, sisemul ese sabil. Sisemul de mai sus ese de ordinul p, d, q. Un model comun si un exemplu penru discuia curenǎ ese cel de ordinul,, N bb = + B a cu a o secvenǎ de zgomo alb de medie nulǎ si de dispersie σ a. Expresia oferǎ o posibiliae de predicie, de anicipare. Cu noaia N + i / = M [ N + i] penru media saisicǎ a valorilor posibile N + i evaluaǎ la momenul, succesiunea de ralaii N = N + a + b B a N / = N + b a N N / = a asigurǎ predicia cu un pas a valorii N. Dealia, prima relaie din cele rei ese rescrierea ecuaiei model al sisemului cu evoluie aleaoare, de ordinul,,. Ecuaia a doua reprezinǎ rezulaul operaiei de mediere la momenul, când valorile N si a sun deja cunoscue. Scǎderea primelor douǎ relaii conduce la a reia. În general efecele zgomoului sun adiive, asa încâ modelul ARIMA cu inrǎri are forma P B y P B u f P B s q = + P B a d r p în care polinoamele în B din formele anerioare sun exprimae în simbolica obisnuiǎ cu gradul recu ca indice. Procesul are ordinul r, s, f în parea lui deerminisǎ, are ordinul p, d, q în parea lui aleaoare. De observa noaia = B. Figura alǎuraǎ araǎ schemaic modul cum opereazǎ sisemul considera a avea pe lângǎ inrǎrile reale si inrarea ficivǎ dar cu efece reale consiuiǎ de zgomoul alb a. 6

117 Modelul echivalen dar cu specificarea variabilelor de sare araǎ asfel x + = Ax + Gu + Γa y = H x cu x vecorul de sare, y vecorul observaiilor, a vecorul de zgomo alb, u vecorul inrǎrilor, A, G, Γ si H marici de dimensiuni adecvae. Trecerea de la modelul acesa, care pune în evidenǎ vecorul de sare al sisemului, la modelul inrare-iesire ese relaiv usoarǎ y = H I A. B GB u + H I AB ΓB a = V B u + N Trecerea inversǎ ese mai complicaǎ, fie si numai din moivul neuniciǎii vecorului de sare, considerând secundarǎ problema pǎrii neobservabile a sisemului modela. Tousi se poae elabora o reprezenare cu evidenierea unor variabile de sare, dacǎ relaia inrare-iesire se rescrie sub forma τ B y = d µ B u f + α B a în care τ B d n = P B P B = τ B... τ B r p n n µ B = P B P B = µ µ B... µ B s p n α B = P B P B = α B... α B q r n cu numǎrul n = { r + p + d r + q s + p + } max,,. Polinoamele în operaorul B po avea, asadar, unii coeficieni nuli si po fi de grade mai mici decâ n sau n. O primǎ versiune a modelului cu variabile de sare poae fi x + τ x x + τ x... = xn + τ n xn xn + τ n xn µ τ α µ τ α d u f a µ n τ n α n µ n τ n α n si y = [... ] x + a A doua posibiliae ese n 7

118 = a f u x x x x x x x x n n d n n n n n n n α α α µ µ µ µ τ τ τ si [ ] y x... = Ambele reprezenǎri au un minim de variabile care descriu sarea sisemului modela. În maricile din parea dreapǎ care muliplicǎ vecorul de sare, submaricea cu uniǎi pe diagonalǎ ese o marice uniae I n de ordinul recu ca indice. Dezvolǎrile de mai sus sun sugerae de rescriea ecuaiei inrare-iesire penru un momen imedia urmǎor +, înr-o formǎ înrucâva mai dealiaǎ = = + a B f u B B y B B B d n n α µ τ τ τ Se sugereazǎ ciiorului parcurgerea acesei ransformǎri ca exerciiu. Forma Wiener-Kalman a modelelor penru siseme sochasice discree În aceasǎ varianǎ de reprezenare a sisemelor liniare sochasice, procesul sochasic observa ese compus descompus din în douǎ componene însumae: un semnal evenual aleaor si un zgomo care afeceazǎ observaiile. Forma x A x G u w + = + + y Hx v = + ese foare generalǎ si foare uilizaǎ. În cele douǎ ecuaii, w si v sun vecori de dimensiunea n respeciv m, care reprezinǎ secvene de zgomo alb independene care au maricile de auocovariaie M w w j j R T [ ] + =δ M v v j j R T [ ] + = δ M w v j T [ ] + = 8

119 cu δj funcia impuls uniar si cu R, R marici poziiv definie si simerice faǎ de diagonala principalǎ. Modelul poae fi adus la forma ARIMA care dupǎ unii specialisi are avanajul economiei de parameri si, încǎ mai imporan, ese mai usor de idenifica si paramerii ei mai usor de esima din daele inrare-iesire care uzual se recoleazǎ de pe sisemele reale. Dupǎ cum s-a discua, si la modelele ARIMA aniciparea, predicia, prognozarea evoluiei sisemului modela ese foare imporanǎ. Din nou, cea mai bunǎ predicie rebuie îneleasǎ în sensul unei abaeri medii pǎraice minime si ea se realizeazǎ pe baza observaiilor y si a inrǎrilor u curene si anerioare. Acese anicipǎri se obin recursiv sau secvenial conform relaiei x / = T T = x / + P / H [ H P / H + R ] [ y H x / ] si x + / = A x / + G u cu marici de covariaie succesive dae de relaia P / = P / T T P / H [ H P / H + R ] H P / si cu P + / = A P / A T + R cu sarea iniialǎ x/ si cu covariaia de începu P/. În relaiile de mai sus cele douǎ argumene care apar separae de bara înclinaǎ rebuie înelese ca valori evaluae la momenul din sânga barei din informaii/dae accesibile pânǎ la momenul din dreapa barei, inclusiv. Esimǎrile, anicipǎrile, valorile prognozae sun marcae prin semnul special aseza deasupra valorii, vecorului sau funciei respecive. Regimul saionar, ceea ce rezulǎ dupǎ ce efecul inrǎrilor se singe, ese ceea ce foare frecven se urmǎrese. Penru un sisem comple observabil se poae arǎa cǎ maricile P/ si P/ evolueazǎ spre marici poziiv definie, de valori unice, consane. Înrucâ relaiile penru acese marici nu conin ermeni si facori dependeni de observaii, ele po fi ierae a priori pânǎ când se obine convergena. Esimaorul de sare Kalman un al nume penru secvena de mai sus poae fi uiliza si penru ecuaiile de sare asociae cu modelul ARIMA în variana secundǎ, cu R = Γ Σ Γ T si R =. Când modelul corespunde unei forme ARIMA, în forma cu ecuaia de sare si ecuaia de observare, esimaorul sǎrii sisemului x + / ese vecorul x + însusi care poae fi obinu direc din ecuaia de sare x + / = Ax / + Gu + Γa = = Ax / + Gu + Γ[ y H x / ] În plus, deoarece x + / = x +, maricea de covariaie 9

120 T P + / = M{[ x + / x + ].[ x + / x + ] } ese nulǎ. Acelasi model ese valabil si dacǎ maricea A ese variabilǎ în imp, ceea ce se înâmplǎ când sisemul modela ese parameric evoluiv si inrarea sa ese nulǎ, chiar si penru regimul saionar x + = A +, x + G w y = H x + v Condiiile iniiale sun, de asemenea, x / = x si P/ = P, iar caracerisicile saisice rǎmân aceleasi, adicǎ maricile de covariaie sun T M[ w w ] = Q T M[ v v ] = R T M[ w v ] = ulima penru orice pereche de valori,. Se mai adaugǎ T M[ x x ] = P, M[ x w T ] =, M[ x v T ] = Exrapolarea, aniciparea sau prognozarea vecorului de sare se face conform relaiei x + / = A +, x / Maricea de covariaie anicipaǎ ese P + / = A +, P / A T +, ecuaia de filrare ese x + / + = x + / + K + [ y + H + x + / ] iar maricea de covariaie curenǎ ese P + / + = [ I K + H + ] P + / Maricea de amplificare a sisemului se idenificǎ a fi T T K + = P + / H + [ H + P + / H + + R + ] Ca un exemplu, fie un sisem simplu de ordinul unu, cu ecuaia de sare x + = x + w în care vecorul w ese repariza normal cu media nulǎ si dispersia uniarǎ si cu ecuaia de observare y = x + v cu adaosul aleaor v, la fel, normal reapariza cu media nulǎ si dispersia. Observaiile la =,,, 3, 4, 5, 6 sun y =,, 4, 3,,,. Se cer esimaiile x + / si P + /, penru =,, 3, 4, 5, 6, 7 în urmǎoarele condiii: a p =, ceea ce corespunde unei oale inceriudini asupra paramerilor zgomoului; b p =, ceea ce înseanmǎ cǎ esimarea iniialǎ ese deplin cunoscuǎ; c p =, ceea ce corespunde unei siuaii clare sub aspec saisic. Tabelul da mai jos cuprinde evoluia calculelor de esimare-filrare.

121 xˆ / P/ x + / P + / K xˆ + / P + / În cazul liniar si coninuu, filrul Kalman are aspecul urmǎor: ecuaia de sare se prezinǎ ca dx = F x + G w d iar ecuaia de observare y = Hx + v Caracerisicile saisice ale proceselor aleaoare w si v sun caracerizae prin medii nule, zgomo alb, lipsǎ de corelare muualǎ. T Condiiile iniiale sun x = x si P = M[ x x ] = P. Ecuaia de filrare are forma diferenialǎ dx = F x + K [ y H x ] d Maricea de amplificare are expresia T K = P H R Maricea de covariaie rezulǎ din relaia dp T T T = F P + P F P H R H P + G Q G d Schema algorimicǎ cu sisemul, cu observarea si filrarea se menine ca mai sus. Dacǎ exisǎ inrǎri u aunci se inroduce în ecuaia de anicipareprognozare conribuia acesora, Gu. Un exemplu mai dealia: Esimarea unei consane aleaoare Modelul procesului. În aces exemplu simplu se prezinǎ încercarea de a esima o consanǎ afecaǎ de zgomo, de pildǎ o ensiune. Se presupune cǎ se po mǎsura/observa valori ale consanei dar observaiile/mǎsurǎorile sun afecae de un zgomo alb care are o abaere medie pǎraicǎ de, voli. În exemplul de faǎ procesul ese guverna de ecuaia liniarǎ x k = Axk + Buk + wk = xk + wk si se face o singurǎ mǎsurǎoare care urmeazǎ relaia

122 y k = Hxk + vk = xk + vk Sarea nu se schimbǎ de la un pas la alul si de aceea A =. Nu exisǎ vreo comandǎ/inrare si de aceea u =. Mǎsurǎoarea afecaǎ de zgomo ese sarea însǎsi si de aceea H =. Dacǎ în coninuare uneori se renunǎ la indici, ese penru cǎ mǎrimile respecive sun consane. Ecuaiile si paramerii filrului. Ecuaiile de acualizare în imp sun xˆ k = xˆ k k = Pk + P Q si ecuaiile de acualizare a mǎsurǎorilor sun Pk K k = Pk Pk + R = P + R xˆ k k = xˆ k + K k yk xˆ k Pk = K k Pk Se admie o varianţǎ micǎ penru proces, Q =. 5 Se poae lua Q =, dar cu o dispersie micǎ dar nenulǎ acordarea filrului se dovedese mai flexibilǎ. Se presupune cǎ se cunoase din experienǎ fapul cǎ valoarea consanei de esima are o lege de disribuie saisicǎ normalǎ. Asadar, o pornire cu valoarea, ese accepabilǎ. Prin urmare, se pune la pornire x ˆ =, k. Similar, rebuie aleasǎ o valoare iniialǎ penru P k, sǎ-i spunem P. Dacǎ ese absolu sigur cǎ esimarea iniialǎ xˆ k ˆ = x =, ese corecǎ se poae pune P =. Tousi, daǎ fiind inceriudinea asupra esimǎrii iniiale ˆx, prin alegerea P = se aduce filrul la înelesul cǎ iniial si la orice momen x ˆ k =. Cum calculul o dovedese, alegerea nu ese criicǎ. Se poae alege P nenul si filrul va aduce o convergenǎ ulerioarǎ la un P lega de realiae. Se va porni aici cu P =,5. Simulǎri. Penru începu se alege valoarea consanei scalare y = fǎrǎ vreo cǎciulǎ penru cǎ valoarea aleasǎ reprezinǎ adevǎrul. Se simuleazǎ apoi un numǎr de de observaii/mǎsurǎri disince y k afecae de erori disribuie normal cu media zero si o deviaie sandard de,, asa cum s-a admis mai sus. Mǎsurǎorile individuale po fi generae în chiar bucla filrului dar s-a prefera pre-generarea lor penru posibile comparaii în parcurgerea esimǎrii cu diversi parameri. În prima simulare s-a fixa dispersia mǎsurǎorilor la R =, =,. Din cauzǎ cǎ aceasa ese adevǎraa dispersie a erorilor de mǎsurare ese de asepa ca filrul sǎ arae cea mai bunǎ performanǎ sub aspecul capaciǎii de rǎspuns si al varianţei esimǎrii. Aces fap va deveni mai vizibil în simularea a doua si a reia prezenae mai depare. Figura alǎuraǎ araǎ rezulaele primei simulǎri. Valoarea adevǎraǎ a consanei esimae ese, cum s-a spus, x = si ese reprezenaǎ de linia dreapǎ

123 orizonalǎ coninuǎ; mǎsurǎorile afecae de zgomo sun reprezenae prin + si valoarea esimaǎ ese siuaǎ pe curba coninuǎ. FILTRA RE A K A LM A N A UNE I TE NS IUNI R=,.3.. Tensiune V Ieraia.5 6 x P V.5 P V Ieraia Ieraia 3

124 Când s-a discua mai sus despre alegera maricei P s-a arǎa cǎ alegerea nu ese criicǎ aâ imp câ ese nenulǎ deoarece filrul va converge cândva mai ârziu la valori corece. În figura arǎaǎ imedia mai sus s-au reprezena valorile penru P k în succesiunea ieraiilor. La ieraia a -a valoarea P k s-a aseza, faǎ de valoarea iniialǎ grosierǎ de,5, la circa,3 V. În figurile urmǎoare se poae vedea ce se înâmplǎ când R ese mǎri sau micsora cu un facor de. FILTRAREA KALMAN A UNEI TENSIUNI R=.3.. Tensiune V Ieraia FILTRAREA KALMA N A UNEI TENSIUNI R=,.3.. Tensiune V Ieraia 4

125 În prima figurǎ filrul aflǎ cǎ R =, de de ori mai mare decâ normal, asa încâ el ese mai reinu în a crede în mǎsurǎori. În figura a doua filrul ese informa cǎ dispersia mǎsurǎorilor ese de de ori mai micǎ faǎ de normal, R =,, asa încâ el devine foare încrezǎor în mǎsurǎori. Desi esimarea unei consane ese relaiv simplǎ si direcǎ, ea demonsreazǎ clar cum lucreazǎ un filru Kalman. În oae cazurile esimarea ese considerabil mai needǎ decâ mǎsurǎorile. Se pune uneori problema ajusǎrii performanelor filrului prin alegerea adecvaǎ a paramerilor R si Q. Esimarea recursivǎ a paramerilor unui model Aces mod de esimare a paramerilor unui model al dinamicii unui sisem se deosebese de cel prezena înr-un paragraf preceden prin maniera în care sun prelucrae daele experimenale. Dacǎ în discuia anerioarǎ daele erau colecae si apoi prelucrae în oaliaea lor, în formularea diferiǎ a problemei daǎ în aces capiol daele sun colecae repa si prelucrae în acelasi mod, prin adǎugarea la fiecare eapǎ a unor informaii noi privind sisemul modela si, evenual, renunarea la informaii mai vechi, cǎzue în desueudine. Desigur, s- ar puea proceda la prelucrarea ansamblului de dae dupǎ una din meodele dezvolae mai devreme, pe mǎsura dezvolǎrii lui. Volumul de calcul ar crese însǎ inaccepabil dupǎ relaiv puini pasi în acumularea de informaii privind sisemul modela. Ese necesar si porivi sub raporul impului de calcul si al memoriei necesare a se folosi informaia sineicǎ obinuǎ deja si corecarea ei prin conribuia informaiei nou sosie. De pildǎ, sisemului descris de relaia inrare-iesire γ B y + = µ B u + α B a cu γb, µb, αb polinoame în operaorul de deplasare B [By = y ], fǎrǎ divizori comuni, γb cu rǎdǎcini în afara cercului uniae, i se po esima paramerii din dae de forma y, y,..., y m, u d, u d,..., u d m recolae pânǎ la momenul si care ine seamǎ de o evenualǎ înârziere d în reacia sisemului la inrǎrile aplicae. Numǎrul m ese ordinul sisemului, sun de esima m parameri si, în consecinǎ, sun necesare N > m seuri de dae de ipul arǎa. Cu inrǎrile si iesirile mǎsurae se poae scrie e = y + γ y γ m y m µ... ~ u d µ m u d m = y y cu ~ T y = ψ θ în care, în dealiu 5

126 ψ T = [ y y m u d u d m] T θ = [ γ γ m µ µ m ] În meoda celor mai mici pǎrae ar fi, de pildǎ, de minimiza o sumǎ de pǎrae N + m+ d S = e = m + d Caracerul recursiv apare dupǎ ce înr-o primǎ fazǎ se evalueazǎ paramerii prin meoda celor mai mici pǎrae în maniera clasicǎ, nu recursivǎ. Cu noaiile y T = [ y m + d y m + d + y m + d + N] y m + d y m + d... y d Ψ = y m + d y m + d... y d y m + d + N y m + d + N... y d + N u m u m... u u m u m... u u m + N u m + N... u N sisemul Ψθ = y se rezolvǎ muliplicând la sânga relaia maricialǎ de mai sus, cu inversa generalizaǎ a maricei observaiilor si inrǎrilor Ψ T T T θˆ = Ψ Ψ Ψ y = PΨ y unde s-a noa cu P maricea Ψ T Ψ. O nouǎ mǎsurǎoare se concreizeazǎ înro linie nouǎ în maricea Ψ si un elemen suplimenar în y. Se scrie T P + = P + ψ + ψ + cu ψ vecorul care ranspus devine linie în maricea Ψ. Ulima formulǎ are la bazǎ eorema inversǎrii binomiale a maricilor T T T ABA + M = M M A B + A M A A M usor de demonsra, care aplicaǎ penru P + conduce la T P + = [ P + ψ + ψ + ] = T T = P P ψ + [ + ψ + P ψ + ] ψ + P necesarǎ la evaluarea esimǎrii urmǎoare, la pasul +, a vecorului de parameri ˆ T θ + = P + Ψ + y + Mai imporanǎ ese aceeasi relaie scrisǎ în funcie de θ. Primul pas consǎ în evaluarea produsului Ψ Τ y la pasul + care ese 6

127 T Ψ y T = Ψ y + ψ + y + T ψ + y + apoi, cu noaia T α = [ + ψ + P ψ + ] se obine T T θˆ + = [ P αp ψ + ψ + P ][ Ψ y + ψ + y + ] = T = θˆ αp ψ + ψ + θˆ + P ψ + y + αp ψ + ψ T + P ψ + y + = T α = θˆ αp ψ + ψ + θˆ + α P ψ + y + = α T = θˆ + αp ψ + [ y + ψ + θˆ ] unde, eviden, T ψ + P ψ + = α / α, ceea ce permie începerea esimǎrii cu θ = si P = M.I cu M un numǎr mare si I maricea uniae. Vecorul K + = α P ψ + ese inerprea ca un vecor al amplificǎrilor si cu noaia T ε + = y + ψ + θˆ relaia de recurenţǎ devine θ + = θ + K + ε + Din raiuni pracice vizând convergena calculului de esimare, mai ales când se pornese cu θ =, în expresia lui α se pune nu ci ω defini de expresia recursivǎ ω + = ω ω + ω cu ω =,99 valoare apropiaǎ de si cu ω apropia de asemenea de si cu împǎrirea maricii P + cu ω +, P +/ω +. Aces ω mai are rolul de a face uiae esimǎrile slabe/inconsisene din fazele impurii ale operaiei de esimare recursivǎ. Mǎrimea variabilǎ ω inde asimpoic cǎre, ceea ce se poae verifica imedia prin eoria progresiilor geomerice. Meoda celor mai mici pǎrae nu ese singura modaliae de esimare recursivǎ a paramerilor unui model dinamic. Formulele specifice meodelor recursive sun în general T K + = P z + /[ ω + + ψ + P z + ] T P + = { P P z + ψ + P /[ ω + + T + ψ + P z + ]}/ ω + 7

128 Relaiile acesea se diversificǎ prin umplerea vecorilor z si ψ cu anumie valori pariculare. Se obin meodele enumerae imedia. Meoda celor mai mici pǎrae recursivǎ cu z = ψ, ca mai sus. În cazul în care diferenele reziduale ε sun corelae, paramerii esimai po conine diferene semnificaive/sisemaice faǎ de cei care reprezinǎ înradevǎr sisemul modela. Se produce o convergenǎ la valori diferie sisemaic de valorile reprezenaive. Meoda celor mai mici pǎrae generalizaǎ, elaboraǎ penru a rezolva problema diferenelor reziduale corelae, cu z = ψ si implemenaǎ în douǎ eape ieraive care alerneazǎ: a cele mai mici pǎrae recursive penru paramerii propriu-zisi ai modelului b cele mai mici pǎrae recursive penru reziduale, o auoregresie care filreazǎ parea corelaǎ si care are ca rezula reziduale necorelae. Meoda celor mai mici pǎrae exinsǎ, similarǎ meodei celor mai mici pǎrae generalizaǎ, cu cele douǎ eape ale meodei anerioare puse laolalǎ, paramerii modelului si paramerii de auoregresie penru reziduale sun grupai înr-un vecor unic, exins T θ = γ γ µ µ δ δ ] [ m m m cu δ i, unii nuli, parameri înr-un polinom δb care apare la numǎrǎorul fraciei-filru care muliplicǎ rezidualele ε. Esimarea se face concomien si T T T T T z = ψ = [ y u ε ] în care y T = [ y y m] u T = [ u u m] T ε = [ ε ε m] si T ε + = y + ψ + θˆ Meoda verosimiliǎii maxime ese cu vecorul paramerilor de esima acelasi ca mai sus T θ = [ γ γ m µ µ m δ δ m ] dar, în noaii ca mai sus, cu T T T T T z = ψ = [ y u ε ] δ B si ε deermina din ecuaia δ B ε = γ B y µ B u ceea ce presupune rezolvarea la fiecare pas al esimǎrii, a unui sisem de ecuaii în necunoscuele ε. Se accepǎ uneori soluia aproximaivǎ T ε + = y + ψ + θˆ 8

129 Meoda variabilei insrumenale ese singura meodǎ în care z ese diferi de ψ, care se menine acelasi ca în cazul meodei celor mai mici pǎrae recursivǎ T ψ = [ y y m u u m] la fel rǎmân vecorul paramerilor de esima T θ = [ γ γ m µ µ m ] si relaia de calcul al diferenei experimenal esima/anicipa T ε + = y + ψ + θˆ Vecorul asa-numielor variabile insrumenale z rebuie sǎ saisfacǎ codiiile N lim T z ψ = R N N = cu R o marice nesingularǎ si N lim z δ e T = N N = Asadar z ese un vecor de componene necorelae cu cele ale vecorului rezidualelor filrae prin δb care poae fi δb. Exisǎ deci posibiliaea unei alegeri în ceea ce privese z. Lieraura recomandǎ, de pildǎ, z T = [ x x m u u m] cu x B = µ B u δ inrǎrile filrae cu polinoamele supraliniae de grad m la numior si mai mic ca m la numǎrǎor. În paricular, µ B si δ B po fi chiar polinoamele în B care apar în modelul sisemului, esimae pânǎ la momenul curen. Se poae uiliza la fel de bine o ehnicǎ boosrap, în vecorul z, în poziiile x-ilor se pun T xˆ = z θˆ cu componenele x la începu, la pornire arbirare. Probleme Problema. Se aruncǎ douǎ zaruri, unul corec, alul incorec. Cel incorec are probabiliǎile feelor cu,, 3, 4, 5, 6 punce nu egale ci P = P = P3 = P4 = P5 = P6. Fie X variabila aleaoare care ia valorile de pe zarul corec si Y variabila aleaoare care ia valori conform zarului incorec. a Calculai probabiliǎile asociae valorilor variabilei aleaoare Y b Calculai valorile medii si dispersiile celor douǎ variabile aleaoare, X si Y c Fie Z variabila aleaoare Z = X Y. Valorile posibile ale lui Z sun, ±, ±, ±3, ±4, ±5. Evaluai probabiliǎile PZ =, PZ = ±, PZ = ±, 9

130 PZ = ±3, PZ = ±4, PZ = ±5. Facei o diagramǎ PZ = z cu z în abscisǎ, penru z =, ±, ±, ±3, ±4, ±5. d Fie S o secvenǎ de 36 de perechi i, j, cu i =,, 3, 4, 5, 6 valori ale variabilei aleaoare X, cu j =,, 3, 4, 5, 6 valori ale variabilei aleaoare Y. În alǎ exprimare Xi, j = i, Yi, j = j penru oricare din perechile secvenei, i, j S. Fie evenimenul Z = 4. Calculai probabiliaea ca evenimenul acesa sǎ nu aparǎ nici mǎcar o daǎ înr-o asemenea secvenǎ. Problema. Se alege la înâmplare o lunǎ a anului. Apoi se alege o zi din acea lunǎ o la înâmplare se admie cǎ anul nu ese bisec. a Descriei oae rezulaele lunǎ, zi care formeazǎ spaiul evenimenelor penru aces experimen aleaor b Care ese probabiliaea ca luna sǎ fie de 3 de zile? c Care ese probabiliaea ca ziua aleasǎ sǎ fie înre a zecea inclusiv si a douǎzecea inclusiv? d Care ese rǎspunsul la puncul c dacǎ anul ese bisec? Problema 3. Fie A, B evenimene produse de un acelasi experimen aleaor. Dacǎ probabiliaea ca cel puin unul din cele douǎ evenimene sǎ se producǎ ese,7 si dacǎ probabiliaea ca cel puin unul din cele douǎ evenimene sǎ nu se producǎ ese,6, calculai probabiliaea ca exac unul dinre cele douǎ evenimene sǎ se producǎ. Problema 4. Trei evenimene A, B, C asociae cu un anumi experimen aleaor saisfac relaiile urmǎoare: PA =,5; PB =,; PC =,5 PA B =,; PA B C =,5; PA C = PB C Probabiliaea ca cel puin douǎ din evenimenele A, B, C sǎ se producǎ ese,3 a Calculai probabiliaea ca nici unul dinre cele rei evenimene sǎ nu se producǎ b Calculai probabiliaea ca sǎ se producǎ exac unul dinre cele rei evenimene Problema 5. O variabilǎ aleaoare coninuǎ X are funcia de densiae de probabiliae x x [,] f X x = x R \[,] a Verificai cǎ funcia de mai sus ese înr-adevǎr o densiae de probabiliae. 3

131 b Calculai media si dispersia variabilei aleaoare. c Comparai valorile de la puncul anerior cu media, respeciv dispersia unei variabile aleaoare coninue, reparizaǎ uniform pe inervalul [,]. Problema 6. Fie X o variabilǎ aleaoare coninuǎ cu densiaea de probabiliae x e x f X x = x < legea de repariie exponenialǎ. a Verificai cǎ funcia de mai sus ese o densiae de probabiliae sub al nume, o densiae de repariie. b Sabilii funcia de repariie a variabilei X. c Calculai probabiliaea ca variabila X sǎ ia valori cuprinse înre si. d Calculai media si dispersia variabilei X. Exerciii de auoevaluare. Prin caliaea de a fi orogonal, un plan de experimenare aduce ca avanaje: a faciliarea analizei semnificaiei efecului daora fiecǎrei variabile independene b diversificarea puncelor experimenale în spaiul variabilelor dependene c faciliarea calculului unei relaii de regresie Marcai afirmaia inadecvaǎ.. În esimarea recursivǎ prin meoda celor mai mici pǎrae a paramerilor θ ai unui sisem dinamic se folosese relaia ˆ T θ + = θˆ + αp ψ + [ y + ψ + θˆ ] T cu noaiile cunoscue. Coninuul paranezei drepe, y + ψ + θˆ ese: a diferena dinre iesirea efeciv observaǎ si valoarea ei prezisǎ b eroarea de predicie a modelului recursiv la un momen da c diferena a douǎ numere oarecare Marcai afirmaia inadecvaǎ. 3. În relaia din problema precedenǎ, facorul α P ψ +, care muliplicǎ paraneza dreapǎ ese: a un facor care muliplicǎ eroarea de predicie penru a coreca vecorul de sare b un facor care muliplicǎ eroarea de predicie penru a coreca vecorul de parameri c un facor de amplificare al esimaorului Marcai afirmaia inadecvaǎ. 3

132 4. O lisǎ de valori ale unei variabile aleaoare x observae experimenal, x,, x N, ese o selecie. Media de selecie x ese media arimeicǎ a valorilor observae si ese o o variabilǎ aleaoare. Dispersia variabilei x ese: a egalǎ cu aceea a variabilei x b de N ori mai micǎ faǎ de aceea a variabilei x c de N ori mai micǎ faǎ de aceea a variabilei x 8. Se dau densiǎile de repariie x [,] x x [, ] f x = si f x =. în res în res Se noeazǎ cu σ, respeciv cu σ dispersiile celor douǎ variabile aleaoare care au repariiile descrise de f x, f x. Marcai în sevena de mai jos relaia corecǎ înre cele douǎ dispersii. a σ < σ ; b σ = σ ; c σ > σ 6. Coeficienul de corelaie a douǎ variabile aleaoare ese: a un numǎr oarecare, b un numǎr poziiv subuniar sau c un numǎr care aparine inervalului [, ]? 3

133 METODE NECONVENTIONALE ÎN MODELAREA DINAMICII SISTEMELOR Analiza componenelor principale Regresia prin componene principale Meoda celor mai mici pǎrae pariale Reele neuronale Reele neuronale arificiale sraificae Analiza mulirezoluie Exerciii de auoevaluare În anii din urmǎ au apǎru si sun în plinǎ dezbaere meode noi de raare a dinamicii sisemelor prin modelare si simulare. Acese ehnici noi sun generae de unele neajunsuri ale meodelor care po fi numie clasice. Asfel, meodele regresionale radiionale au neajunsul cǎ a forma algebricǎ a relaiilor-model rebuie sa fie cunoscuǎ; b ese necesarǎ o sorare câ de câ clarǎ a variabilelor în douǎ clase: independene si dependene. Pe de alǎ pare, ipoeza liniariǎii ese greu de saisfǎcu penru mule din sisemele fizice, reale. În sfârsi, sudiul sisemelor în domeniul imp si în domeniul frecvenelor ese afeca de aspece conradicorii privioare la localizarea în imp a fenomenelor si la localizarea lor în frecvenǎ. Problema independenei sau dependenei variabilelor ese rezolvaǎ cel puin saisfǎcǎor de analiza componenelor principale PCA de la Principal Componen Analysis. Regresia în spaii în care componenelor principale au fos puse în evidenǎ ese raaǎ prin meoda celor mai mici pǎrae pariale PLS de la Parial Leas Squares în condiii de liniariae sau de neliniariae. Forma relaiilor de regresie înceeazǎ a mai fi o problemǎ dacǎ se folsesc reelele neuronale. Problema alegerii unor anumie relaii în care sǎ se deermine anumii coeficieni se ransformǎ în sabilirea unei srucuri adecvae a reelei neuronale uilizae, în selecarea unor funcii de acivare a neuronilor arificiali din reea, în evaluarea unor ponderi asociae legǎurilor inerneuronale. Problema liniariǎii se esompeazǎ în cazul uilizǎrii reelelor neuronale. Prin mijlocirea asa-numielor funcii wavele numele lor ar puea fi raduse în românese, dupǎ modelul franuzesc ondelees, prin undelee se rezolvǎ srǎluci problemele legae de localizarea în imp si în frecvenǎ a unor 33

134 fenomene ranziorii, deci variabile în imp. Analiza mulirezoluivǎ MRA de la MuliResoluion Analysis face posibilǎ abordarea concomienǎ a fenomenelor rapide si lene înr-o raare uniarǎ. Acese meode, în aspecele lor cele mai elemenare dar fundamenale sun prezenae în seciunea prezenǎ. Analiza componenelor principale Nu sun puine siuaiile în care volumul de dae experimenale ese imporan dar valorile noae, înregisrae, socae nu spun mare lucru despre relaiile dinre variabilele observae. Analiza componenelor principale ese încǎ una din meodele saisice de analizǎ a relaiilor înre variabile diverse înr-un spaiu mulidimensional. Eficiena ei ese dovediǎ în special în cazurile foare frecvene când sabilirea variabilelor independene si dependene ale unui sisem nu ese o problemǎ simplǎ. În esenǎ, variabilele observae sun afecae de zgomoe si, posibil, sun muual corelae. Prin analiza componenelor principale ele sun reduse la o mulime de variabile laene care sun expresia unui gen de sumar al informaiei relevane asupra sisemului obinuǎ prinr-o proiecie a informaiei brue pe un subspaiu de dimensiune mai redusǎ. Analiza componenelor principale ese o procedurǎ de a explica înreaga variaie a daelor observae, grupae uzual înr-o marice X R m+ n, cu m numǎrul de observaii si cu n numǎrul de variabile observae. Descompunerea conform meodei cunoscuǎ sub numele de analiza componenelor principale ese daǎ de expresia T T T X = p + p k pk + E unde i si p i sun, penru orice i =,,, k, vecori scor, respeciv vecori loading, iar E ese o marice de diferene reziduale care compleeazǎ suma penru a avea loc egaliaea. Vecorii i sun muual orogonali. Vecorii p i la rândul lor sun de asemenea orogonali dar mai sun si de lungime egalǎ cu uniaea. Numǎrul de ermeni în suma de mai sus nu poae depǎsi n. Prima componenǎ principalǎ ese aceea care explicǎ cea mai mare pare a variaiilor din maricea de observaii X. În spaiul n-dimensional al vecorilor p i, vecorul p ese pe direcia celei mai mari variabiliǎi a daelor si vecorul ese proiecia fiecǎrui vecor de observaii pe direcia daǎ de p. De aici si expresia = Xp. A doua componenǎ principalǎ ese aceea care ese a doua ca imporanǎ. Ea ese ca si prima o combinaie liniarǎ a vecorilor variabilelor observae si ese orogonalǎ în rapor cu prima. Mai depare, componenele sun ordonae descrescǎor, în ordinea conribuiei lor la variaia generalǎ a daelor observae. Penru o marice X de rang n se po sabili n asemenea componene. Dacǎ sun corelaii puernice înre variabilele observae si zgomoe imporane le afeceazǎ, aunci se rein numai k < n asfel de componene care po fi suficiene 34

135 penru a explica variabiliaea daelor observae. Resul componenelor sun la sau sub nivelul zgomoelor si prin eliminarea lor, procedurǎ obisnuiǎ, se obine un benefic efec de filrare. Calculul componenelor principale se poae face pe cǎi diverse. Una din posibiliǎi consǎ în deerminarea asa-numielor valori singulare ale maricei X urmaǎ de descompunerea aceseia conform relaiei X U V T u v T u v T T = Σ = σ + σ σ nunvn cu valorile singulare ordonae crescǎor, σ < σ < < σ n. Prima componenǎ principalǎ ese σ u, primul vecor loading ese v ec. Algorimul alernaiv ese cel al celor mai mici pǎrae pariale, ieraiv si neliniar. Aces algorim calculeazǎ pe rând fiecare componenǎ principalǎ. Perechea, p ese calculaǎ din maricea X, celelale sun evaluae analog din maricile rezidualelor rezulae la fiecare eapǎ T X = p + E T = + E p E si în coninuare asemǎnǎor. În dealiu, algorimul consǎ în pasii de mai jos si se aplicǎ penru fiecare componenǎ principalǎ inlocuind în pasii urmǎori X cu Ei, i =,,..., n. Se seleceazǎ la înâmplare un vecor x j din X si se redenumese : = x j ; T T Se calculeazǎ p : p = X / ; 3Se normalizeazǎ p : p = p / p cu. norma euclidianǎ; T 4Se calculeazǎ : = Xp / p p ; 5Se comparǎ uiliza la pasul cu cel calcula la pasul 4; dacǎ variaia vecorului scor ese minorǎ calculul se încheie; în caz conrar se reia algorimul cu pasul. Rezulǎ din cele expuse cǎ analiza componenelor principale ese o meodǎ de a reduce dimensionaliaea unei marici de observaii care ese produsul unui experimen pasiv, alceva decâ un experimen planifica în accepiunea daǎ acesor ermeni înr-o seciune anerioarǎ. Dar analiza componenelor principale ese în acelasi imp un procedeu de orogonalizare a unui experimen. La problema regresiei muliple discuaǎ mai devreme s-a sublinia imporana orogonalizǎrii unui experimen. Aces aspec devine încǎ o daǎ imporan dacǎ ese vorba de calculul unor relaii de regresie parialǎ a unor dae experimenale. În formularea obisnuiǎ, se considerǎ douǎ marici de observaii X si Y. Se urmǎrese o explicare a variaiilor în Y prin variaiile din X. Meoda calculelor regresionale prin meoda clasicǎ a celor mai mici pǎrae nu dǎ odeauna rezulae. Se preferǎ o meodǎ a celor mai mici pǎrae parialǎ care pornese de la descompunerile celor douǎ marici în componenele lor principale T T T X = p + p + + p + E... k k T l l T T Y = u q + u q + + u q + F... 35

136 urmaǎ de corelarea prin regresie a primei componene principale din Y cu componenele principale din X. Repearea procedeului penru componenele urmǎoare ca imporanǎ ale lui Y produce acea explicare a relaiei X Y care se urmǎrese. Regresia prin componene principale Regresia prin componene principale prescuraǎ în lieraurǎ prin PCR, de la Principal Componens Regression ese o meodǎ de regresie liniarǎ uilizabilǎ aunci când variabilele asa-zis independene sun de fap corelae, au proprieaea de mulicoliniariae, cum se mai spune. Problema clasicǎ a regresiei liniare prezenaǎ înr-o seciune anerioarǎ y i = bx i + e i se rezolvǎ prin meoda celor mai mici pǎrae. Vecorul de coeficieni obinu are expresia b = X T X X T y cu X maricea ale cǎrei coloane sun vecorii x i, cu y vecorul observaiilor asupra variabilei dependene, de rǎspuns. Dacǎ variabilele x i sun mulicoliniare evaluarea coeficienilor b devine insabilǎ numeric. Regresia prin componene principale eviǎ dificulǎile regresiei clasice, posibile în asemenea ocazii, prin calcule similare derivae din meoda celor mai mici pǎrae dar în rapor cu ale variabile. Relaiile urmǎoare explicǎ dealiile. y = Xb + E = XUU T b + E = Sc + E unde S = XU, c = U T b, cu o marice de vecori loading p i care coincid cu vecorii proprii de lungime uniae ai maricei X T X. Evaluarea esimǎrilor vecorului de coeficieni c se face cu relaia c = S T S S T y Înrucâ colanele din S sun vecori score maricea S T S ese diagonalǎ, la fel inversa ei, din cauza orogonaliǎii vecorilor i care o compun. Daoriǎ acesei proprieǎi de orogonaliae, mul discuaǎ si în seciunea referioare la regresia liniarǎ clasicǎ si la experimenele orogonale, eliminarea unui coeficien din vecorul c nu afeceazǎ celelale valori. Aceasa permie eliminarea unora din variabilele laene i care au efec neînsemna asupra variabilei y. Prin aceasa se reduce dimensionaliaea regresiei la nivelul sric necesar. Meoda celor mai mici pǎrae pariale Meoda clor mai mici pǎrae pariale prescuaǎ în lieraurǎ ca PLS de la Parial Leas Squares ese capabilǎ ca si analiza componeelor principale sǎ reducǎ numǎrul de dimensiuni. Deosebirea de regresia prin componene principale PCR consǎ în fapul cǎ dacǎ la PCR direciile principale p i erau alese independen de variabila y, la PLS direciile respecive sun alese sǎ 36

137 reprezine corespunzǎor variabila de rǎspuns y. Variabila y poae fi vecorialǎ. Algorimii PLS sun diferii penru cazul variabilei y simple si penru cazul variabilei y vecoriale. Algorimul penru cazul variabilei de rǎspuns simple ese secvenial. La pasul k al algorimului se exrage un singur vecor loading din variabilele x i care sǎ explice adecva prin vecorul score asocia variaiile în variabila de rǎspuns rǎmase/reziduale dupǎ k pasi.. Iniializare. Se pune indicele lega de dimensiune, k =. Se copiazǎ în D si în e coninuul maricilor X si y dupǎ o prealabilǎ cenrare pe medie. În eapele urmǎoare D si e vor fi cópii ale maricilor reziduale penru X si y din eapa anerioarǎ.. Selecarea vecorilor loading si a vecorilor score. Vecorul loading se definese ca T uk = Dk ek = cov Dk, ek si vecorul score se definese ca sk = Dk u k De noa cǎ acele coloane din D k care sun asociae puernic cu e k vor primi încǎrcǎri mari faǎ de coloanele cu asociere mai slabǎ.. Regresarea vecorilor score pe variabilele x si y. Se esimeazǎ cu meoda celor mai mici pǎrae coeficienii w k si v k T T T T Dksk wk = [ sk sk sk Dk ] = T sk sk si T T T T eksk vk = [ sk sk sk ek ] = T sk sk 3. Calcularea rezidualelor. Se calculeazǎ rezidualele cu relaia T Dk = Dk sk wk respeciv cu relaia T e e s v k = k De noa ca D T =, în dreapa cu un vecor nul de dimensiune poriviǎ, si s k k k k e T s k k =. Relaiile po fi uilizae penru a arǎa cǎ penru indici i, j diferii, vecorii s i si s j sun orogonali. 4. Reluare evenualǎ. Se mǎrease k si se revine la pasul, pânǎ când rezidualele maricilor D k si e k devin suficien de mici. Expresia predicivǎ model daǎ de PLS ese yˆ = r k = s k v k = r k = D k u k v k 37

138 cu r numǎrul de facori principali exrasi. Din cauzǎ cǎ procedeul ese repea pe rezidualele variabilelor asa-zis independene si nu pe variabilele insesi, s-ar pǎrea cǎ algorimul expus nu s-ar porivi exac cu forma generalǎ a regresiei. Si ousi... Algorimul penru cazul variabilei de rǎspuns vecoriale ese o exindere a algorimului preceden. În cea de a k eapǎ se exrage un vecor loading u k din variabilele asa-zis independene si un vecor loading v k din variabilele dependene. Perechea de vecori loading ese selecaǎ asfel încâ variabila score s k penru asa-numiele veriabile independene sǎ prezicǎ adecva variabila score din spaiul rǎspunsurilor. Variabilele score legae de variabilele de predicie si cele legae de variabilele de rǎspuns sun regresae. Variabilele score legae de variabilele de predicie si cele legae de rǎspunsuri prezic, de asemenea, variabilele observae specifice. Procesul ese repea pe maricile reziduale pânǎ când un anumi crieriu de oprire ese saisfǎcu. Mai în dealiu, fie D si E respeciv, ceea ce se obine din X si Y în urma unei operaii de cenrare pe medie. PLS realizeazǎ relaii înre variabilele asa-zis independene si variabilele lor score conform relaiilor s k = D k u k cu u k vecor loading si cu s k un vecor score al variabilelor asa-zis independene. Analog, variabilele de rǎspuns sau dependene sun legae de variabilele lor score prin s k = D k u k cu v k vecor loading si cu k un vecor score al variabilelor dependene. Funcia sabiliǎ prin PLS ese ˆ = b u k cu b k ermenul de panǎ înr-o regresie liniarǎ si ˆ k valoarea prezisǎ a lui k. k k Reele neuronale O descriere fie si sumarǎ a unui neuron naural nu poae ocoli caracerul lui de dispoziiv de calcul cu un numǎr de inrǎri simuli si o iesire unicǎ pe un axon, iesire care uzual exisǎ sau nu exisǎ ese binarǎ si care poae servi ca inrare penru un al neuron sau, în general, penru ali neuroni în cadrul unor asa-zise sinapse. Inrǎrile unui neuron sun combinae înr-un gen de inrare unicǎ prin însumarea ponderaǎ a inrǎrilor propriu-zise, dupǎ anumie reguli. Exisǎ un prag de sensibiliae sub care iesirea neuronului ese nulǎ. Depǎsirea pragului produce o iesire, mereu aceeasi, asadar neuronul ese principial un elemen cu iesire binarǎ, pe numai douǎ niveluri. În general, funcia care leagǎ iesirea neuronului de inrarea lui sineicǎ se numese funcie de acivare. Funcia de acivare ip 38

139 prag asociaǎ uzual cu neuronii naurali ese ilusraǎ în figura alǎuraǎ. Se observǎ pragul de sensibiliae nenul si se sugereazǎ o ranziie în imp fini de la o sare, cea cu iesire nulǎ, la cealalǎ sare cu iesire nenulǎ. Ca deobicei, nici în cazul neuronilor nu ese posibilǎ variaia insananee a unei mǎrimi, iesirea lui. Posibiliǎile de inerconecare a neuronilor sun foare diverse si de aici srucurile foare variae si complexe ale sisemelor si subsisemelor nervoase precum si capaciaea de a execua calcule paralel de mare amploare. Sisemele neuronale au în plus capaciaea de a învǎa. Toae acese caracerisici au aras aenia de impuriu ehnicienilor în încercarea lor de a simula prin elemene de calcul procesele ineligene care au loc în sisemele nervoase, deseori în legǎurǎ direcǎ cu siseme ehnice foare concree. În coniunare discuia se limieazǎ la reelele neuronale organizae în srauri, adicǎ fǎrǎ cicluri în care un neuron ar puea furniza siesi, pe o cale mai mul sau mai puin ocoliǎ, inrǎri. Reele neuronale arificiale sraificae Înr-o reea neuronalǎ arificialǎ sraificaǎ uniǎile neuronale procesoare de informaie sun dispuse înr-o secvenǎ de rei sau mai mule srauri de neuroni. Iesirile neuronilor dinr-un sra ponderae convenabil sun inrǎri penru neuronii care aparin exclusiv sraului urmǎor sau sun iesiri ale reelei dacǎ ese vorba de sraul ulim, de iesire. Primul sra primese inrǎrile simulii din ambianǎ. Ulimul sra produce iesirile, în fond rezulaul unui calcul mai mul sau mai puin complex. Inrǎrile neuronilor din sraurile inerioare, ascunse si ale ulimului sra, cel de iesire sun combinaii liniare ale iesirilor produse de neuronii din sraul premergǎor. Coeficienii acelor combinaii liniare sun nise ponderi care au un rol foare imporan în asa-zisa insruire a unei reele neuronale, înr-un proces de învǎare care face o srucurǎ cu neuroni sraificaǎ sǎ fie adapaǎ unui anumi scop ehnic sau ehnologic. Rolul oricǎrui sra neuronal inerior, ascuns ese acela de a reformula si de a reaplica iesirile sraului anerior penru a obine o reprezenare mai capabilǎ a separa, a clasifica daele de la inrarea reelei. 39

140 Sraurile inerioare permi aasarea unei semanici pariculare combinaiilor de inrǎri ale reelei. Srucura reelelor neuronale sraificae poae fi foare diferiǎ dacǎ se iau în considerare numǎrul de srauri si numǎrul de neuroni în fiecare sra. Figura de mai sus araǎ srucura unei reele neuronale cu rei srauri, unul de inrare, unul ascuns si unul de iesire, cu l, m, respeciv n celule neuronale. Trebuie spus cǎ sraul de inrare al unei reele neuronale arificiale are uzual numai rolul de a pregǎi inrǎrile sraului urmǎor. Neuronii din primul sra au câe o singurǎ inrare pe care o aduc prin ranslaie si prin scalare la valori porivie penru a fi simuli valabili penru celulele neuronale din sraul urmǎor. Un rǎspuns la înrebǎrile posibile si legiime referioare la srucurarea unei reele neuronale arificiale a fos da cu mulǎ vreme în urmǎ de Kolmogorov în cadrul eoriei aproximǎrii funciilor. Asfel, fiind daǎ o funcie coninuǎ d c φ : I R, φ x = y, unde I = [, ] si, în consecinǎ, I d ese cubul uniae d- dimensional, funcia φ poae fi implemenaǎ înr-o reea neuronalǎ cu exac rei srauri, cu d uniǎi în sraul de inrare, cu d + neuroni în unicul sra ascuns si cu c uniǎi în sraul de iesire. Sraul ascuns, inerior realizeazǎ aplicaia d k zk = λ ψ x j + ε k + k j = în care x j sun inrǎrile reelei, λ k consane reale si ψ o funcie, independene de funcia de reprezena φ, iar ε ese un numǎr raional poziiv, mǎrgini. Funcia ψ de acivare a neuronilor din sraul ascuns rebuie sǎ îndeplineascǎ cunoscua α condiie a lui Lipschiz ψ u ψ v cu v penru orice α, ] si penru orice argumene u, v I d. 4

141 Sraul de iesire face aplicaia y d + = g z i i k k = unde funciile g i, i =,,..., c sun reale si coninue si depind de φ si ε. Teorema daǎ de Kolmogorov ese numai o eoremǎ de exisenǎ. Consruirea efecivǎ a funciilor ψ si g i ese deschisǎ. Posibiliǎile de aproximare a funciei φx cu funcii de un gen sau alul rǎmâne de discua în coninuare. În procesul de insruire/învǎare penru reelele neuronale arificiale sraificae se uilizeazǎ o mulime de învǎare H alcǎuiǎ din perechi i k, k, k =,,..., N de vecori de inrare i de la inpu inrare si de vecori de rǎspuns asociai de la arge inǎ. Operaiile de bazǎ cunoscue si sub numele cuprinzǎor de regula dela generalizaǎ sun: Se aplicǎ reelei neuronale inrǎri simuli i k din mulimea de învǎare; Se calculeazǎ pas cu pas iesirile uuror uniǎilor reelei neuronale, având în vedere funciile de acivare specifice, în cele din urmǎ iesirile o k o de la oupu iesire; Se comparǎ pe baza unui crieriu presabili vecorul o k, iesire a sraului ulim al reelei, sraul de iesire, cu vecorul de iesire k pereche în mulimea H cu inrarea aplicaǎ reelei; Se calculeazǎ eroarea si se propagǎ mǎsura ei în sens invers, de la iesire cǎre inrare; Se minimizeazǎ eroarea la fiecare eapǎ prin modificarea ponderilor reelei. Penru minimizarea erorii E de predicie a iesirilor k prin iesirile calculae o k se poae uiliza orice meodǎ de deerminare a exremelor unei funcii, în cazul în discuie funcia care mǎsoarǎ eroarea de predicie. Meodele de gradien sun desigur uilizabile dacǎ funcia care mǎsoarǎ diferenele în sens larg înre k si o k ese derivabilǎ. Vecorul derivaelor pariale E/ w ji în rapor cu ponderile w ji aasae inrǎrilor penru celula j din sraul i dǎ direcia de modificare a ponderilor, care rebuie sǎ fie în sensul invers al vecorului gradien. Asadar, modificǎrile w ji rebuie sǎ fie proporionale cu componenele vecorului gradien cu semn schimba. Calculul acesor derivae conine o procedurǎ de derivare a unor funcii care la rândul lor au ca argumene ale funcii. Inervin aici ineviabil funciile de acivare ale celulelor neuronale. Dacǎ acesea sun de ipul prag eoreic, derivaa lor ese preuindeni nulǎ, iar în puncul corespunzǎor pragului derivaa nu exisǎ. Penru a evia aces inconvenien, pragul eoreic sal penru argumen egal cu pragul de sensibiliae al neuronului ese înlocui în aplicaii de funcia sigmoidǎ care are expresia σ x = + α x e si înfǎisarea din figura alǎuraǎ unde apare si un prag. 4

142 Din coeficienul poziiv α se poae aranja ca pana de recere de la nivelul minim la cel maxim si invers sǎ fie oricâ de abrupǎ: cu câ mai mare α cu aâ mai mare pana si, la limiǎ, când α ese foare mare, sigmoida devine pragul ideal. Avanajul funciei sigmoidale ese acela cǎ ea ese derivabilǎ preuindeni, asadar meodele de minimizare a disanei dinre prezis si observa, bazae pe gradien sun deplin abordabile. Reelele neuronale arificiale sun deja larg uilizae penru a rezolva probleme de învǎare în diverse domenii. Prin uilizarea unor dae experimenale exisene, reelele neuronale învaǎ în fond relaiile înre inrǎri si iesiri. Relaiile neliniare sun cu oul empirice si nu sun bazae pe vreo eorie din fundamenele fizicii, de pildǎ. Sub aces unghi, reelele neuronale sun pur si simplu modele regresionale complexe a cǎror srucurǎ ese deerminaǎ empiric. Desi reelele neuronale arificiale sun inspirae de reelele de celule nervoase ale organismelor vii, dezvolǎrile aplicaive ulerioare, pânǎ la cele mai recene ale acesor reele numie si modele conexionise sun puernic influenae de dezvolǎrile recene înregisrae de analiza funcionalǎ. În domeniul ingineriei sisemelor se observǎ cu ceriudine o explozie a inersului academic dar si indusrial/comercial faǎ de reelele neuronale arificiale cu aplicaii în proiecarea de procese si de produse, în operarea si reglarea auomaǎ a proceselor, mule din ele de remarcabilǎ complexiae. Câeva exemple: Generarea de modele neliniare desinae proiecǎrii sisemelor de reglare predicivǎ, fixe sau adapive Diagnoza funcionǎrii defecuoase a sisemelor si idenificarea cauzelor Moniorizarea si inerprearea endinelor unor procese coninue si/sau disconinue, cu evaluarea performanelor ehnologice si a caliǎii produselor Modelarea comporǎrii haoice a sisemelor dinamice deerminise. Varieaea de reprezenǎri pe care reelele neuronale le po cuprinde booleene, caliaive, semicaniaive si/sau analiice/caniaive, gradul mare de paralelism al calculelor pe care reelele neuronale îl pemi si simpliaea srucurii lor le-au ransforma înr-un insrumen de mare populariae prinre ingineri, s-ar puea spune, cu uilizǎri penru rezolvarea unei varieǎi largi de probleme. 4

143 O reea neuronalǎ ipicǎ din cele sraificae, deocamdaǎ cele mai uilizae ese consiuiǎ din mai mule srauri de noduri inerconecae, fiecare cu o funcie de acivare, si ponderi pe fiecare arc care coneceazǎ nodurile reelei înre ele. Iesirea fiecǎrui nod ese o funcie neliniarǎ de oae inrǎrile sale. Asfel, reeaua ese o dezvolare a relaiei neliniare necunoscue înre inrǎrile x si iesirile F înr-un spaiu genera de asa-numiele funcii de acivare ale nodurilor reelei. În paricular, învǎarea prin propagare direcǎ în reele sraificae poae fi priviǎ ca sineizarea unei aproximǎri a unei funcii mulidimensionale în spaiul genera de funciile de acivare φ i x, i =,,..., m, adicǎ m F x = ciφ i x i = Cu dae empirice la dispoziie, cu funciile de acivare dae si cu opologia reelei cunoscuǎ, paramerii c i, i =,,..., m sun ajusai asfel încâ eroarea aproximǎrii sǎ fie oricâ de micǎ. S-au prezena mai devreme douǎ funcii de acivare, funcia prag ideal si funcia sigmoidalǎ. Ambele au rǎspunsuri penru orice inrare, nu imporǎ câ de mare sau cǎ de micǎ. De aceea ele sun calificae drep funcii de acivare globale si nu sun singurele în genul lor. Ele sun doar cele mai cunoscue, prima uilizaǎ penru celulele neuronale din reelele numie si perceproni si cealalǎ uilizaǎ pe larg în reelele sraificae cu învǎare prin propagare secvenialǎ inversǎ BPN BackPropagaion Nework. Asadar, în general, neuronii cu funcii de acivare globale sun acivi pe un domeniu larg de valori ale inrǎrilor si asigurǎ o aproximare globalǎ a daelor empirice. Cu funcia sigmoidalǎ de acivare si reele neuronale de ipul sraifica, secvenial, cu un singur sra ascuns compus din m noduri, funcii diverse se po aproxima prin funcii din mulimea n d Sm f x / f x = ciσ xwi + θ i, wi R, ci, θ i R i= unde w i, c i, θ i sun parameri ajusabili. Se poae arǎa cǎ dacǎ m ese suficien de mare aunci orice funcie coninuǎ poae fi aproximaǎ oricâ de exac conform cu formula de mai sus. O alernaivǎ la funciile de acivare globale o consiuie funciile de acivare locale care produc iesiri ale neuronului cu precǎdere înr-o vecinǎae resrânsǎ a unor valori de inrare. Iesirea lor se esompeazǎ penru valori siuae depare de cenrul de maxim rǎspuns al funciei de acivare si, implici, de maximǎ recepiviae a celulei neuronale cǎreia funcia îi ese aasaǎ. Funciile de ipul radial de pildǎ sun în esenǎ locale si sun uilizae în reelele cu baze de funcii radiale RBFN - Radial Basis Funcion Nework. Figura care urmeazǎ reprezinǎ o asemenea funcie, funcia gaussianǎ. 43

144 În general, o funcie radialǎ ese de forma φ i x = h x x i si ese asociaǎ unui nod sau cenru de coordonae x i. Funcia gaussianǎ în variana ei mulidimensionalǎ dew T n φi x = exp x x n i W x xi, x R π cu W o marice poziiv definiǎ o marice de ponderi în direcii diverse din R n ese de ipul radial. În cazul unidimensional ilusra puin mai devreme aceeasi funcie se scrie sub forma x xi φi x = exp, x R π σ σ i Reelele de ipul RBFN po si ele sǎ aproximeze funciile coninue cu o eroare oricâ de micǎ. Reelele de aces ip necesiǎ o prealabilǎ sorare a inrǎrilor, o operaie de aglomerare clusering în clase de inrǎri similare. Din discuia de pânǎ acum rezulǎ cǎ în foare mule cazuri reelele neuronale arificiale sun uilizae penru aproximarea unor funcii de cele mai mule ori necunoscue. Ese un moiv foare emeinic penru a sudia mai îndeaproape problema aproximǎrii. Fie fx o funcie realǎ si coninuǎ definiǎ pe o mulime X. Fie FA, x o funcie aproximanǎ realǎ coninuǎ în orice punc x din mulimea X si în cei n parameri grupai în A. Fiind precizaǎ o disanǎ ρ se po deermina paramerii A * penru care * ρ [ F A, x, f x] ρ [ F A, x, f x] relaiv la oi A A, A fiind spaiul paramerilor, uzual un spaiu euclidean. Disana ρ ese o mǎsurǎ a aproximǎrii si ese de obicei norma L p a diferenei F A *, x fx, adicǎ / p p p * * ρ = L [ F A, x f x] = F A, x f x dx cu p i 44

145 Înr-o privire foare generalǎ, o reea neuronalǎ aproximanǎ poae fi, de pildǎ, liniarǎ FW, X = WX cu W o marice de coeficieni ponderi, X un vecor de inrǎri. Mule aproximǎri de pildǎ de ipul spline, în baze orogonale, cu reele BPN BackPropagaion Nework cu un singur sra se po scrie ca FW, X = WΦX adicǎ sub forma unei combinaii liniare de funciile unei baze porivi alese, Φ = [ Φi x, i =,,..., m], care corespunde unei reele cu un singur sra ascuns. Reprezenarea reelelor ca scheme de aproximare ese foare uilǎ penru analiza proprieǎilor eoreice ale reelelor neuronale cu srucuri variae. Reelele cu funcii de bazǎ radiale po fi obinue si ca rezula al eoriei regularizǎrii. Aproximarea prin funcii de bazǎ radiale si eoria regularizǎrii. Se considerǎ problema clasicǎ a inerpolǎrii formulaǎ asfel: fiind dai N vecori de inrare n disinci, xi R, i =,,..., N si iesirile corespunzǎoare y i R, i =,,..., N, sǎ se gǎseascǎ o funcie F : R n R care sǎ saisfacǎ condiiile de inerpolare F xi = yi i =,,..., N Soluia problemei de mai sus ese o funcie care ese o combinaie liniarǎ de N funcii de bazǎ radiale, adicǎ F x = N i = c h x i x i În aces scop po fi uilizae funcii gaussiene, mulipǎraice si ale funcii radiale. Inerpolarea în sensul clasic ese echivalenǎ cu aproximarea cu eroare nulǎ în nodurile x i, y i. Funciile de bazǎ radiale po fi uilizae penru problema aproximǎrii luând în considerare numai K din cele N inrǎri k, k =,,..., K cu K < N, asfel încâ F x = K k = c h x k k Prin uilizarea eoriei regularizǎrii se poae rezolva problema aproximǎrii prin deerminarea funciei Fx care minimizeazǎ urmǎoarea funcionalǎ N H[ F x] = y F x + λ PF x i = i în care y i sun valori mǎsurae ale funciei necunoscue, Fx ese aproximarea acelei funciei necunoscue si λ ese un numǎr real poziiv numi parameru de regularizare. S-a noa cu P un operaor resriciv denumi si sabilizaor, a cǎrui srucurǎ dǎ expresie cunosinelor apriori despre soluie si depinde, asadar, de pariculariǎile problemei de rezolva. În mod normal P ese un operaor diferenial asa încâ el reflecǎ gradul de neezime dori al funciei necunoscue. Prin urmare H[Fx] exprimǎ un compromis înre eroarea de aproximare si i 45

146 gradul de neezime al funciei necunoscue. În ale cuvine ea exprimǎ un compromis înre inerpolare si generalizare. Soluia aproximanǎ în problema minimizǎrii funcionalei de mai sus ese o combinaie liniarǎ de ceea ce maemaicienii numesc funcii de bazǎ radiale generalizae, adicǎ K F x = c G x; k = unde Gx; k ese funcia Green a operaorului diferenial Pˆ P cu Pˆ operaorul adjunc al lui P. Dacǎ P ese un operaor cu simerie radialǎ, aunci funcia Green ese radialǎ ea însǎsi si funcia aproximanǎ devine F x = K k = c k G k x k k Coeficienii c k si cenrele k sun necunoscue ale cǎror valori se sabilesc prin opimizare numericǎ. Toae funciile de bazǎ radiale considerae pânǎ acum sun de aceeasi rezoluie. Asfel, dacǎ sun gaussiene ele au aceeasi deviaie sandard σ. Dacǎ se uilizeazǎ funcii de bazǎ radiale generalizae cu rezoluii diferie aunci se inroduce concepul de hiperfuncii de bazǎ. Acese funcii po genera soluia urmǎoarei forme modificae a problemei regularizǎrii N L L min H[ F x] = fm xk yk + λ m Pm fm f m k = m= m= în care funcia necunoscuǎ Fx ese socoiǎ a fi o sumǎ de mai nule componene, f m x, m =,,..., L, adicǎ F x = f x Asfel, soluia problemei de minimizare a ulimei fucionale ese daǎ de L L m = K F x = c G x; m= k= m mk m k unde funciile de bazǎ radiale Gm x; k, m =,,..., L definesc comporarea funciei necunoscue Fx la rezoluii diverse ale variabilelor de inrare. Coeficienii c mk si cenrele k se sabilesc prin opimizare numericǎ globalǎ. Un rezula foare imporan al eoriei de aproximare cu reele neuronale a funciilor coninue ese o eoremǎ care araǎ cǎ reelele cu propagare inversǎ cu bazǎ de funcii sigmoide nu sun cea mai bunǎ aproximare, ele nu minimizeazǎ nici o normǎ. Pe de alǎ pare, reelele bazae pe eoria regularizǎrii minimizeazǎ norma L sau norma Cebîşev când numǎrul de funcii din bazǎ ese egal cu numǎrul de dae experimenale de insruire. Aceasǎ proprieae nu se menine dacǎ numǎrul funciilor din bazǎ nu egaleazǎ numǎrul puncelor experimenale de insruire si al cenrelor k ale dezvolǎrii sun necunoscue. Cu oae acesea, s-au pus la punc ehnici de insruire penru reele de regularizare 46

147 care pǎsreazǎ proprieaea de ce mai bunǎ aproximare, dupǎ cum se araǎ în coninuare. Proceduri de insruire penru reele cu baze de funcii radiale. Reelele cu baze de funcii radiale cele mai comune sun proiecae ierarhic. Proiecarea unei reele cu baze de funcii radiale implicǎ deerminarea paramerilor c k, k si σ k minimizaori ai erorii globale de aproximare. Problema poae fi raaǎ ca o singurǎ problemǎ de opimizare globalǎ prin insruire supravegheaǎ. Se poae încerca ousi deerminarea paramerilor în douǎ eape. În prima se deerminǎ cenrele k si deviaiile sandard σ k în mod nesuperviza. În a doua eapǎ se sabilesc c k înr-o procedurǎ de opimizare prin insruire supervizaǎ. Aceasǎ procedurǎ în douǎ faze ese, se pare, mai eficienǎ. Ia-o în cele ce urmeazǎ. Faza I. Insruire auoorganizaǎ. În aceasǎ fazǎ se calculeazǎ cenrele k ale celor K funcii de bazǎ radiale si exinderea lor daǎ de σ k. Penru a gǎsi cele K cenre de maximǎ recepiviae din seul de inrǎri din mulimea de insruire s-a folosi algorimul sandard de aglomerare cu k medii k-means clusering algorihm. Fiecare grupare ese legaǎ de un nod ascuns al reelei. Cenrul grupǎrii deerminǎ valoarea k a funciei de bazǎ. Pasul curen alocǎ noduri numai penru regiunile unde exisǎ dae. Lǎrgimea sau dispersia fiecǎrui câmp ese apoi sabiliǎ prinr-o eurisicǎ a coniguiǎii. Po fi uilizae mule din eurisicile de ipul vecinului celui mai p-apropia p-neares neighbor. De exemplu, lǎrgimea poae fi daǎ de media geomericǎ σ = d d unde d si d sun disanele euclidiene de la cenrul k la douǎ cenre cele mai apropiae. Aceasǎ eurisicǎ asigurǎ o oarecare suprapunere penru fiecare uniae cu uniǎi vecine ceea ce conduce la o inerpolare needǎ pe spaiul inrǎrilor. Insruirea auoorganizaǎ din faza curenǎ reduce eforul de insruire supervizaǎ din faza a doua în care rebuie evaluae numai ponderile. Faza II. Minimizarea erorii medii pǎraice. Ponderile c k ale funciilor de bazǎ radiale sun gǎsie prin minimizarea erorii medii pǎraice E = [ yk F xk ] k Deerminarea ponderilor ese o problemǎ liniarǎ a cǎrei convergenǎ ese sigurǎ. S-au sugera mule îmbunǎǎiri si alernaive penru insruirea reelelor cu baze de funcii radiale. Unii auori si cerceǎori au uiliza coeficieni care sun funcii liniare de inrǎri, care permi funcii gaussiene asimerice si o funcie pǎraicǎ de cos de forma E = yi ck yi k xi ck cl k xi l xi i k i + Φ Φ Φ k l i cu x i, y i perechi inrare-iesire si cu Φ k x i, Φ l x i funcii din bazǎ. Meoda aceasa se araǎ a fi superioarǎ precedenei la predicia seriilor de imp haoice. 47

148 Faza primǎ, eurisicǎ, de insruire a reelelor cu baze de funcii radiale necesiǎ reluǎri cu diferie numere de uniǎi ascunse penru a obine un opim srucural al reelei. Analiza mulirezoluie În seciunea Forme sandard ale modelelor dinamicii sisemelor a acesor Noe de curs s-au prezena ransformarea Fourier direcǎ si inversǎ si cele douǎ forme de reprezenare ale semnalelor, în domeniul imp si în domeniul frecvenǎ. Sun mule ale lucruri de adǎuga la acea sumarǎ discuie dar cel puin un aspec nu poae fi omis: relaia înre asa-numia localizare în imp a unui semnal si localizarea lui în frecvenǎ. Problema poae fi îneleasǎ mai bine dinr-un exemplu. Sǎ admiem cǎ avem un semnal recangular f ca în figura alǎuraǎ. Semnalul are duraa τ si înǎlimea /τ si ese simeric faǎ de originea impului. Prin ransformarea Fourier se obine semnalul în domeniul frecvenǎ τ sin ω F jω = τ ω care ese reprezena în modul în figura alǎuraǎ. Se observǎ cǎ specrul ese foare boga în apropierea frecvenei zero. Se mai remarcǎ, de asemenea, cǎ exisǎ frecvene penru care componenele specrului 48

149 sun nule. Aces fap se produce penru oae nulurile numǎrǎorului fraciei care ese Fjω, adicǎ ori de câe ori argumenul sinusului ese muiplu înreg nenul de π, în ali ermeni la frecvenele kπ/τ cu k Z {}. Cea mai mare pare a energiei semnalului ese concenraǎ în banda de frecvene [-π/τ, π/τ]. Dacǎ duraa semnalului ese mai scurǎ aunci banda de frecvene menionaǎ se dilaǎ. Invers, dacǎ duraa semnalului se marese, concenrarea energeicǎ a semnalului în domeniul frecvenǎ ese mai pronunaǎ. Asadar, localizarea în imp si localizarea în frecvenǎ a unui semnal sun conradicorii si afirmaia poae fi generalizaǎ penru orice semnal. O bunǎ localizare în imp duce la o proasǎ localizare în specrul de frecvene si invers. Inervine aici principiul indeerminǎrii al lui Heisenberg, principiu care se referǎ la mǎrimi asa-zis conjugae: viezǎ poziie a unei paricule elemenare, imp energie penru un semnal ec. Problema localizǎrii ese susinuǎ deplin si de una din proprieǎile ransformǎrii Fourier care se exprimǎ prin aceea cǎ dacǎ f si F jω sun perechi Fourier aunci ransformaa semnalului conraca dilaa în imp fα α > se scrie simplu ca /αfjω/α cu dilaarea conracarea specrului corespunzǎoare. Sub aspec pracic observarea unui semnal se face pe o duraǎ odeauna finiǎ. Observarea ese echivalenǎ cu privirea semnalului prinr-o fereasrǎ recangularǎ definǎ în imp în genul celei comenae mai devreme în aceasǎ subseciune. Fereasra poae fi de lǎrgime diferiǎ si poae avea diverse poziii pe axa impului, nu numai poziia paricularǎ de mai devreme care dǎ o simerie faǎ de origine. Naural, o sinusoidǎ de frecvenǎ joasǎ va rebui observaǎ un imp mai îndelunga penru a o deeca deplin, ca ampliudine, ca frecvenǎ, ca fazǎ. Un semnal analog de frecvenǎ mai mare va necesia un imp de observare mai scur. Afirmaiile privind impul de observare se po exinde caliaiv la fenomene lene si la fenomene rapide. De alfel frecvenele joase sun caracerisice fenomenelor lene, frecvenele înale corespund fenomenelor rapide. În manifesarea dinamicii unor siseme, deseori apar concomien fenomene lene si fenomene rapide sau în orice caz fenomene care au vieze semnificaiv diferie. De aici necesiaea unei observǎri la rezoluii diferie a fenomenelor care au vieze diferie. În parea referioare la modelele în domeniul frecvenǎ ale dinamicii sisemelor, în seciunea Forme sandard ale modelelor dinamicii sisemelor s-a amini posibiliaea reprezenǎrii semnalelor în ale baze, diferie de aceea a funciilor sinusoidale uilizaǎ de ransformarea Fourier. Bazele de care se vorbese în coninuare sun nise hiperbaze, conform erminologiei deja consacrae menionaǎ si în subseciunea precedenǎ în legǎurǎ cu problema aproximǎrii, iar funciile din bazǎ sun nise familii de hiperfuncii care alcǎuiesc o asanumiǎ hiperbazǎ. Funciile au câeva proprieǎi remarcabile care vor rezula din discuarea unui caz paricular. 49

150 Se admie în general cǎ un semnal privi ca funcie de imp se poae reprezena aproximaiv oricâ de precis prin funcii în scarǎ. Pe de alǎ pare, dacǎ semnalul are o bandǎ de frecvene limiaǎ el poae fi deplin deermina din esanioanele lui prelevae mai frecven decâ dublul frecvenei celei mai înale din specru, conform eoremei esanionǎrii prezenae în alǎ seciune. Puem pune laolalǎ acese douǎ elemene de reprezenare a unui semnal si pe aceasǎ cale sǎ se obinǎ o informaie relaivǎ la semnal discreǎ în imp, discreǎ în ampliudine. Fie un numǎr de op esanioane ale semnalului echidisane în imp. Ele au fos alese delibera numere înregi penru a simplifica câ se poae de mul calculele care urmeazǎ. Aceasǎ secvenǎ se poae rescrie sub forme derivae succesiv din secvena daǎ, prin douǎ operaii simple, una de mediere si ala de luare a diferenelor Se observǎ cǎ primele paru numere din linia a doua sun mediile arimeice pe perechi ale numerelor din prima linie. Aceasa ese operaia de mediere care se observǎ si în derivarea primelor numere din linia a reia si în obinerea primului numǎr din linia ulimǎ. Celelale paru numere din linia a doua se obin prin luarea diferenei înre primul numǎr al perechii mediae si media perechii. Asemenea numerele de pe linia a reia care urmeazǎ imedia noilor medii, la fel numǎrul al doilea de pe linia ulimǎ. De reinu cǎ numerele rezulae din diferene se reproduc pe liniile urmǎoare oricâe ar fi ele. Cu rememorarea regulilor de calcul, linia ulimǎ conine aceeasi informaie despre semnal ca si prima: oricând operaiile inverse se po efecua cu rezula final linia primǎ reconsiuiǎ. Se admie cǎ semnalul are ca supor inervalul [, ] si se încearcǎ reconsiuirea lui pas cu pas. Funcia penru [, ϕ = în resul axei reale muliplicaǎ cu ulima medie din abel produce o reprezenare exrem de aproximaivǎ a semnalului, prin media lui. Dacǎ la 43ϕ se adaugǎ funcia

151 pe nru, χ = penru, în res muliplicaǎ cu ulima diferenǎ calculaǎ se obine penru semnal o reprezenare îmbunǎǎiǎ 43ϕ 3χ care pe inervale egaleazǎ cele douǎ medii care figureazǎ în linia penulimǎ a abelului. Dacǎ, în coninuare, la reprezenarea obinuǎ pânǎ la aceasǎ eapǎ se adunǎ funciile pe nru, 4 χ = penru, 4 în res 3 pe nru, 4 3 χ = penru, 4 în res muliplicae cu diferenele din poziiile 3 si 4 ale liniei ulime se obine o reprezenare încǎ mai bunǎ a semnalului prin expresia 43ϕ 3χ + 6 χ + χ, care pe poriuni egaleazǎ mediile din linia a doua a abelului de mai sus. Încǎ un pas similar si se ajunge la reprezenarea semnalului prin valorile din prima linie a abelului. Reprezenarea ulimǎ si cea mai compleǎ ese 43ϕ 3χ + 6χ + χ + + 8χ + 8χ + χ + χ unde s-au noa penru uniformiae ϕ cu ϕ si χ cu χ. În reprezenǎrile succesive ale semnalului, la reprezenarea prin medie, cea mai grosierǎ, se adaugǎ repa dealii ale semnalului. Funcia ϕ definiǎ mai sus se numese funcie de scalare, în paricular funcia de scalare a lui Haar. Funciile χ cu indici variai se numesc funcii wavele sau, mai simplu si ca o propunere, undelee. Funciile wavele permi adǎugarea de dealii ale semnalului din ce în ce mai fine pe mǎsurǎ ce indicele 3 5

152 superior crese. Funciile wavele de un anumi ordin marca prin indicele superior asociae unei anumie definiii se obin din funciile wavele de ordin mai mic, cu un indice superior mai mic, prinr-un procedeu de dilaare în direcia axei impului cuprinzând în aces ermen si conracia si prin ranslaie cu un muliplu înreg al duraelor lor. Funcia de scalare saisface ecuaia funcionalǎ ϕ = c ϕ i i Z cu oi coeficienii nuli excepând c = c =, adicǎ ϕ = ϕ + ϕ Funcia wavele de acelasi ordin, funcia wavele mamǎ cum se mai numese se calculeazǎ ca o combinaie liniarǎ de funcii de scalare cu argumene similare, cu aceiasi coeficieni dar cu semne schimbae penru indicii impari i χ = c ϕ i i Z ceea ce produce în paricular χ = ϕ ϕ Funcia de scalare si funciile wavele alcǎuiesc o hiperbazǎ în spaiul semnalelor de energie finiǎ cunoscu în maemaicǎ ca spaiul L al funciilor de pǎra sumabil. Orogonaliaea lor asigurǎ independena lor liniarǎ. Penru fiecare i 3 se poae obine o funcie de scalare indusǎ diadic, dilaaǎ si deplasaǎ prin ranslaie. De pildǎ, penru nivelul cel mai fin de rezoluie în exemplul prezena 3 3 ϕ i = ϕ i Funciile wavele penru dealii din ce în ce mai fine se obin din funcia wavele mamǎ prin relaii analoge χ i = χ i, i χ i = χ i, i asadar o prin dilaare si ranslaie. Orogonaliaea sisemului de funcii se poae verifica cu usurinǎ. Inegrala + f, g = f g d care ese un produs vecorial în spaiul L ese nenulǎ numai cǎnd f si g coincid cu una si aceeasi din funciile de scalare sau una si aceeasi funcie wavele. Funciile de scalare descrise mai devreme, ransformae în familii infinie prin operaia de ranslaie cu mulipli înregi ai lǎrgimii suporului lor fini sun baze 3 penru spaii de funcii în scarǎ care sun în relaia V V V V cu indicii în corespondenǎ cu indicii superiori ai funciilor de scalare respecive. Desigur, secvena de spaii incluse unul în alul poae fi exinsǎ aâ în jos, la i i 5

153 definiii mai slabe cǎ si spre indici superiori, la definiii superioare. Penru fiecare j =,, se definese un spaiu W j genera de funciile wavele ca fiind complemenul lui V j în V j+ asfel încâ are loc descompunerea orogonalǎ în sumǎ direcǎ j+ j j V = V W Se obine apoi 3 V = V W = V W W = V W W W Fiecare spaiu complemenar W j are o bazǎ nauralǎ consiuiǎ din funcii wavele si conine dealiile necuprinse în spaiul V j de acelasi indice. O îmbunǎǎire a hiperbazei de funcii consǎ în normarea hiperfunciilor conform relaiilor j j j ϕ i = ϕ i si j j χ i = χ i Operaia aduce funciile de scalare si funciile wavele la normǎ uniarǎ, iar hiperbaza devine oronormalǎ. Hiperbaza generaǎ de funcia de scalare Haar nu ese unica posibilǎ. În vremea din urmǎ au apǎru generalizǎri ulburǎoare aâ penru comuniaea maemaicienilor câ si penru inginerii dedicai aplicaiilor. O varieae largǎ de funcii wavele ese acum la îndemânǎ penru descompunerea, analiza si sineza daelor coninue sau discree. În general, o funcie wavele ese o funcie ale carei dilaǎri si ranslaii alcǎuiesc o bazǎ Riesz penru spaiul funciilor de pǎra sumabil L. Ignorând de dragul simpliǎii problema normalizǎrii si considerând oae funciile reale, se poae spune ca funciile wavele sun deduse dinr-o anumiǎ funcie de scalare realǎ ϕ care saisface o ecuaie de scalare ϕ = c ϕ i i Z Fiind daǎ o asemenea funcie, se definese spaiul V ca închiderea spaiului liniar genera de ranslaiile înregi ale funciei ϕ, ϕ i = ϕ i, i Z si, penru orice j înreg, se ia spaiul V j ca închidere a spaiului liniar genera de j j ranslaiile înregi ale funciei ϕ dilaae, ϕ i = ϕ i, i Z. Se spune cǎ avem de a face cu o analizǎ mulirezoluie dacǎ muimea dublu infiniǎ de spaii... V V V V V... saisface rei crierii: j j. f V f V, j Z. i Z V i Z i = {} i 3. V = L R Odaǎ analiza mulirezoluie pusǎ la punc ese usor de sabili funcia wavele mamǎ i j 53

154 i χ = c ϕ i i Z cu aceleasi valori c i din ecuaia funcionalǎ verificaǎ de funcia de scalare. Aceasǎ funcie wavele are inegrala pe înreaga axǎ realǎ nulǎ. O cale de generalizare a funciei de scalare Haar, care ese o funcie B-spline de ordinul unu si a funciei wavele corespunzǎoare ese urmǎoarea: penru orice k naural, funcia B-spline de ordinul k, care poae fi gândiǎ ca o convoluie a funciei Haar cu ea însǎsi de k ori, saisface ecuaia de scalare k k+ i ϕ = Ckϕ i = i i Aceasa produce o analizǎ mulirezoluie si, deci, o funcie wavele în maniera descrisǎ mai devreme. Acese funcii wavele spline sun definie pe supor compac si au k derivae coninue, dar numai penru cazul Haar se obine orogonaliaea funciilor familiei induse de funcii dilaae si deplasae prin ranslaie. Dacǎ asupra orogonaliǎii funciilor din bazǎ nu se insisǎ odeauna în mod deosebi, ese considera în general cǎ ese de dori ca funciile sǎ fie definie pe supor compac sau cel puin sǎ înregisreze o descresere rapidǎ în afara unui inerval compac. Aceasǎ comporare ese în oal conras cu aceea a fuciilor sinusoidale, cenrale în analiza Fourier. Aceasǎ pariculariae face din funciile wavele o bazǎ de reprezenare a funciilor neperiodice, care au punce unghiulare si disconinuiǎi. Cel puin un lucru rebuie observa: mul mai puini coeficieni sun necesari la reprezenarea prin funcii wavele decâ la reprezenarea Fourier a aceui gen de funcii. Sun aici rei lucruri care rebuie puse în acord: neezimea, finiudinea suporului si orogonaliaea. Din pǎcae nu sun posibile oae deodaǎ. Nu exisǎ funcii wavele indefini difereniabile oronormale care sǎ aibǎ scǎderi exponeniale nici gând de a fi definie pe supor compac ceea ce impune anumie compromisuri. Consruirea unor funcii wavele spline ca mai sus poae fi modificaǎ penru a genera funciile wavele Bale-Lemarié, care au scǎderi exponeniale, sun difereniabile de k ori si oronormale. În 988 Ingrid Daubechies a reusi sǎ spargǎ canoanele prin realizarea unor funcii wavele pe supor compac, oronormale si care au un grad de neezime dori oarecare. Cel mai simplu exemplu da de ea, fǎrǎ sǎ fie rivial ese coninuu si ese deriva din funcia de scalare ϕ care saisface relaia ϕ = ϕ + ϕ ϕ + ϕ

155 Nu exisǎ formǎ expliciǎ penru aceasǎ funcie. Sudiul ei se face pe baza analizei amǎnunie a ransformaei Fourier a ecuaiei de scalare. Penru un anumi se poae rezolva penru ϕ ca o limiǎ a sirului de valori φ j defini recursiv prin relaia φ = c φ i j i Z i j cu iniializare penru φ exac funcia de scalare Haar. Conrar insincului comun de a rezolva orice ecuaie, analiza poae fi condusǎ aici prin concenrare asupra coeficienilor c i. Acese funcii wavele mai rafinae sun uilizae cu precǎdere în prelucrarea de imagini, în comprimarea informaiei generae la preluarea de imagini, în vederea ransmierii si/sau socǎrii ei eficiene. Exerciii de auoevaluare. Marcai în lisa urmǎoare afirmaia care nu se porivese reelelor neuronale arificiale sraificae. a neuronii dinr-un sra ascuns au inrarile si iesirile observabile nemijloci b sun srucuri care po fi insruie c au cel puin rei srauri de neuroni. Fie o reea neuronalǎ arificialǎ sraificaǎ cu sraul de inrare forma din neuroni, cu douǎ srauri ascunse având 7, respeciv 5 neuroni si cu sraul de iesire alcǎui din 3 neuroni. Câe ponderi se sabilesc în procesul de insruire a reelei? a 64, b 7 sau c ; 3. Penru aceeasi reea neuronalǎ din enunţul anerior, care din perechile de vecori x T, y T de mai jos nu poae face pare dinr-o mulime de învǎare penru reeaua neuronalǎ specificaǎ? a [3, ], b [, ], c [, ]? 4. Care dinre funciile de acivare ale celulelor neuronale sun capabile a modela efecele locale ale variabilelor de inrare ale neuronului arificial? a oae ipurile de funcii de acivare; b funciile sigmoidale; c funciile radiale. 5. Analiza componenelor principale oferǎ posibiliaea ca: a sǎ se exragǎ informaia din dae experimenale; b sǎ se reducǎ dimensionaliaea unui volum de dae experimenale; c sǎ ransforme un model sochasic înr-unul deerminis. Marcai afirmaia neporiviǎ. 6. Analiza mulirezoluie permie: a reprezenarea la scǎri diferie a unor fenomene cu consane de imp variae; 55

156 b reprezenarea funciilor de imp care descriu dinamica unui sisem înr-o alǎ bazǎ de funcii numiǎ si hiperbazǎ; c rezoluii diferie la vieze diferie ale dinamicii sisemelor; d speculaii maemaice foare elegane dar grauie. Marcai afirmaia neporiviǎ. 56

157 MODELAREA SI SIMULAREA DINAMICII SISTEMELOR MARI Siseme dinamice mari Meode de modelare a sisemelor mari orienae pe ecuaii Meode orienae pe module Exerciii de auoevaluare Siseme dinamice mari Sisemele dinamice mari sun siseme care aâ fizic câ si maemaic prezinǎ o amploare si o complexiae deosebiǎ. În ceea ce privese modelarea maemaicǎ a unor asemenea siseme, ipice sun urmǎoarele caracerisici: modelul maemaic ese un sisem de ecuaii difereniale si algebrice; dimensionaliaea modelului maemaic ese neobisnuiǎ, sue sau chiar mii de variabile si funcii, în condiiile unei slabe cuplǎri; numai câeva procene din maricea jacobianǎ în fond o marice de incidenǎ sun ocupae de valori nenule; se spune cǎ maricea de incidenǎ ese o marice rarǎ; sisemul de ecuaii care modeleazǎ sisemul ese de cele mai mule ori rǎu codiiona rigid algebric si/sau diferenial; algebric prin coexisena valorilor foare mari si foare mici, diferenial prin consanele de imp foare diferie ca ordin de mǎrime; modelul maemaic ese neliniar, iar linearizarea lui ese numai uneori posibilǎ; modelul ese deseori afeca de disconinuiǎi în imp sau în sare. Exemple ipice de siseme mari se gǎsesc din abundenǎ în indusria chimicǎ si de prelucrare a ieiului, dar siseme care po fi calificae mari se po înâlni si în ale ramuri indusriale. Desigur, sisemele mari cunosc regimuri saionare sau aproape saionare, care inereseazǎ poae în primul rând. De aceea au fos creae si lansae pe piaǎ un numǎr apreciabil de produse sofware de simulare a sisemelor mari în regim saionar. Nu acelasi lucru s-a înâmpla cu simularea dinamicii sisemelor mari. Dupǎ cunosina auorului, nu exisǎ încǎ un sisem de simulare a dinamicii unui sisem mare adus la perfeciunea simulaoarelor de regimuri saionare. Moivele sun urmǎoarele: neliniariǎile mari si variaiile imporane ale sǎrii sisemului fac inoperane meodele aplicae în cazul liniar; inrǎ în aciune meodele numerice de inegrare a ecuaiilor difereniale; 57

158 posibilele disconinuiǎi emporale sau în sarea sisemului cer ruine si algorimi de deecare si de localizare a acesora si de reiniializare eficienǎ a calculului când acese disconinuiǎi se manifesǎ; reaua condiionare rigidiaea emporalǎ, cu ale cuvine consanele de imp foare diferie, de cele mai mule ori prin ordine de mǎrime aduce în discuie nu numai precizia calculului dar si sabiliaea lui; conrolul pasului de inegrare devine crucial penru sabiliaea calculului. Pacheul Simulink pare a fi o promisiune majorǎ în domeniul acesa al modelǎrii si simulǎrii sisemelor dinamice mari, deocamdaǎ pe modele simplificae si liniarizae. Aâ în cazul simulǎrii regimului saionar câ si în cazul simulǎrii regimului dinamic simularea poae fi orienaǎ pe ecuaii sau în manierǎ modularǎ, modulele având de cele mai mule ori un echivalen fizic în unele subsiseme ale sisemului mare care rebuie modela. Meode de modelare a sisemelor mari orienae pe ecuaii Meodele bazae pe ecuaii opereazǎ pe ecuaii si urmǎresc rezolvarea eficienǎ a sisemului de ecuaii modelaor. Meodele din aceasǎ caegorie încearcǎ sǎ profie de fapul cǎ maricea jacobianǎ de incidenǎ a sisemului ese o marice rarǎ si se cauǎ o rezolvare eficienǎ prin pariionarea maricei si rearanjarea ecuaiilor. De pildǎ, o aranjare a maricei de incidenǎ înr-o formǎ blocriunghiularǎ reprezinǎ o posibiliae de eficienizare a calculelor prin descompunerea problemei în subprobleme mai simple, care se po rezolva în eape. Iaǎ un algorim simplu de bloc-riangularizare a maricii de incidenǎ daora lui D.V.Sewar. Pasii care rebuie parcursi sun urmǎorii:. Se cauǎ în maricea de incidenǎ o linie fǎrǎ elemene în afara diagonalei si se eliminǎ acea linie odaǎ cu coloana care conine elemenul nenul;. Se repeǎ pasul pânǎ la epuizare; 3. Se cauǎ perechi de linii cu proprieaea de la pasul, se eliminǎ liniile si coloanele cu elemene nenule; c f h q h q Ecuaia 5 x Ecuaia x Ecuaia x x x Ecuaia x x Ecuaia 3 x x Ecuaia 4 x x x 4. Se reia pasul ; 58

159 5. Se reia pasul 3 cu rei sau mai mule linii; 6. Se încheie algorimul în momenul când nu mai sun linii de elimina, maricea de incidenǎ a fos epuizaǎ. Aplicarea algorimului poae duce, de exemplu, la o marice rearanjaǎ ca în abelul alǎura. Noul aranjamen al ecuaiilor si varibilelor de deermina încadrae în drepunghiuri sugereazǎ prin sine însusi ordinea calculelor. Dacǎ liniile sun ecuaii, coloanele maricei de incidenǎ sun variabile care apar în ecuaii conform prezenei sau absenei semnului x. Aceasa nu ese singura modaliae de a raa problema prin meoda pe ecuaii. O modaliae ese si aducerea blocurilor în corespondenǎ cu uniǎi fizice urmaǎ de o procedurǎ predicor-corecor; rezolvarea fiecǎrei uniǎi fizice se realizeazǎ în dinamica ei paricularǎ, înr-un numǎr specific de ieraii. O alǎ modaliae o reprezinǎ descompunerea sisemului de ecuaii în douǎ subsiseme: unul rapid cu consane de imp mici si unul len cu consane de imp mari, comparaiv cu cele din prima clasǎ. Cele douǎ subsiseme sun rezolvae prin meode specifice, cu pasi de inegrare specifici si sun apoi reconecae prin polinoame de inerpolare/exrapolare înr-o meoda mulirae cu mai mule vieze. Problema proasei condiionǎri ese pracic rezolvaǎ pe aceasǎ cale. Pariionarea sisemului de ecuaii poae fi fǎcuǎ si pe crieriul liniar/neliniar. Meodele bazae pe ecuaii au dezavanajul pierderii uneori a legǎurii cu semnificaia fizicǎ concreǎ a unora dinre variabile, a unora dinre ecuaii. Sun meode mai degrabǎ penru maemaicieni. Penru ingineri sun mai indicae meodele cuprinse sub genericul Meode orienae pe module Meodele din aceasǎ caegorie au o caracerisicǎ principalǎ: fiecare modul ese o uniae fizicǎ sau un grup de uniǎi legae conform opologiei sisemului si/sau procesului ehnologic. Fiecarui modul i se furnizeazǎ inrǎri si fiecare modul genereazǎ iesiri. Modulele po fi raae simulan sau în manierǎ secvenialǎ. Variana simulanǎ necesiǎ o eapǎ premergǎoare de liniarizare care rebuie repeaǎ, refǎcuǎ la fiecare nou punc de începu al unei noi eape de simulare. Meoda în variana simulanǎ ese mai curând poriviǎ simulǎrii regimurilor saionare. Din nou, exisǎ riscul sǎ se piardǎ semnificaia ehnicǎ-ehnologicǎ a calculelor si a rezulaelor lor. În cele ce urmeazǎ se acordǎ o aenie mai mare, nu aâ de mare pe câ ar fi necesar, meodei modular-secveniale. Mai înâi ese adusǎ în discuie variana saionarǎ care conine unele elemene de naurǎ opologicǎ comune si siuaiilor dinamice. Modulele unui sisem mare sun conecae înre ele prin fluxuri maeriale, de energie sau de informaie. În ermeni opologici un sisem ese un ansamblu de noduri module legae prin 59

160 fluxuri arce orienae. Ese posibil ca sisemul sǎ fie simplu ramifica, fǎrǎ reveniri, si aunci calculul se execuǎ o singurǎ daǎ. Ese însǎ posibil ca un modul calcula sǎ depindǎ de informaii generae de un modul care nu a fos încǎ evalua. În aces din urmǎ caz, sub aspec opologic exisǎ unul sau mai mule cicluri în graful model al circulaiei informaiei în sisem care rebuie raae ieraiv. Cum se face disincia înre siseme ciclice si neciclice? Desigur, penru unele siseme observarea unor cicluri poae fi o opraie vizualǎ, penru alele ese suficienǎ o minimǎ algorimizare. În orice caz, penru simularea pe calculaoare, algorimizarea ese obligaorie. Algorimizarea ese obligaorie si penru cǎ evaluǎrile se fac ieraiv, prin secionarea unor fluxuri si prin efecuarea în decursul calculului a unor comparaii înre valorile pe cele douǎ fee ale seciunii, cea prezisǎ si cea rezulaǎ din calcul. Un exemplu simplu forma dinr-un reacor chimic si o seciune de separare a produselor de reacie ese da în figura imedia urmǎoare. Converirea fluxului de alimenare a reacorului în produsele de ineres ese numai parialǎ asfel încâ maerialul neconveri rebuie reinrodus în reacor. Se realizeazǎ asfel un reciclu maerial care ese în paricular un reciclu de informaie: fluxurile sun caracerizae de anumii parameri care în procesul de modelare-simulare reprezinǎ informaii. În calculul modul cu modul reacorul nu poae fi calcula deoarece nu ese cunoscuǎ alimenarea lui ci numai parea proaspǎǎ din alimenare. Penru parea recirculaǎ din alimenare rebuie fǎcuǎ o ipoezǎ asupra caliǎii si caniǎii penru a face posibil un calcul si apoi, dupǎ calculul separǎrii sǎ se aprecieze dacǎ ipoeza a fos corecǎ sau nu. Jocul ipoezǎ comparaie înre ipoeic si calcula ese echivalen cu secionarea informaionalǎ a unui flux din ciclu, cu admierea unor valori pe una din feele ǎieurii si compararea rezulaului asocia celeilale fee a ǎieurii. Un crieriu de apropiere înre caracerisiicile ipoeice si cele calculae bine sabili poae spune când calculul se poae considera încheia. Se observǎ cǎ prin ǎieura efecuaǎ s-a desfiina un ciclu al grafului asocia sisemului. Ciclul poae fi înrerup si alfel dupǎ cum se poae usor observa în figura de mai sus. Maniera de calcul, în esenǎ ieraivǎ se menine. Algorimul de analizǎ srucuralǎ a sisemului de modela rebuie sǎ spunǎ dacǎ sisemul conine cicluri sau nu. Dacǎ conine cicluri rebuie sǎ indice care 6

161 anume fluxuri rebuie sǎ fie ǎiae penru deschiderea ciclurilor si, desigur, rebuie sǎ indice oodaǎ numǎrul sric necesar de asemenea secionǎri. O reea de module cu conexiunile lor ehnologice si pur informaionale poae sǎ nu coninǎ cicluri. Un exemplu de reea neciclicǎ ese da în figura alǎuraǎ. Maricea de incidenǎ cu penru fluxuri care acced un modul, cu penru fluxuri care pǎrǎsesc un modul ese daǎ în coninuare A B C D E Se fac sume pe vericalele maricei, care corespund fluxurilor din schema sisemului. Acolo unde se obin zerouri fluxurile sun inerioare, în res fluxurile sun periferice. Algorimul de analizǎ a srucurii sisemului ese urmǎorul:. Se serg fluxurile periferice;. Un modul numai cu iesiri poae fi calcula; se serge din lisa de module; rǎmân ale fluxuri periferice; se reia pasul. Operaia se oprese în douǎ siuaii: a nu mai sun module de elimina; b nu mai po fi eliminae module. În cazul a sisemul ese neciclic, ordinea de calcul ese ordinea în care au fos eliminae modulele. În cazul b sisemul ese ciclic în parea rǎmasǎ; modulele eliminae dau o ordine de calcul a pǎrii neciclice. Iaǎ acum un exemplu de reea ciclicǎ. Maricea de incidenǎ asociaǎ acesei reele ese: 6

162 A B C D E F Eliminarea fluxurilor periferice nu aduce nici un modul în sarea cu zero inrǎri. Asadar, reeaua ese ciclicǎ. Algorimul de deciclizare pornese cu secionarea uuror fluxurilor. Apoi:. Se numǎrǎ fluxurile de iesire secionae, penru fiecare nod modul;. Se calculeazǎ o funcie de eficienǎ a înlocuirii iesirilor cu inrǎri asfel: se scade din numǎrul oal de fluxuri secionae numǎrul de fluxuri de iesire secionae ale modulului si apoi se adunǎ la rezula numǎrul de inrǎri nesecionae ale aceluiasi modul; 3. Se cauǎ minimul pe noduri al funciei de eficienǎ. Dacǎ minimul egaleazǎ sau depǎsesee numǎrul oal de fluxuri secionae nu mai ese posibilǎ nici o îmbunǎǎire; secvena,, 3 ese încheiaǎ si se coninuǎ cu 5. Almineri: 4. Penru nodul reinu se rec oae iesirile în caegoria fluxurilor nesecionae si oae inrǎrile în caegoria celor secionae; se reia de la. 5. În maricea de incidenǎ se serg valorile din coloanele corespunzǎoare fluxurilor secionae; schema a fos deciclizaǎ, se sabilese ordinea de calcul conform algorimului de la schemele fǎrǎ cicluri. În cazul exemplifica, maricea de incidenǎ, dupǎ eliminarea fluxurilor periferice are aspecul din abelul alǎura I II III IV A 6 4 * B *5 5 3 C 5 *4 3 D E F Tabelul conine în ulimele paru coloane rezulaele numǎrǎrii fluxurilor din schemǎ ǎiae la fiecare eapǎ a algorimului de deciclizare. Tabelul urmǎor compleeazǎ operaia de reducere repaǎ a numǎrului de fluxuri secionae la fiecare eapǎ a algorimului. 6

163 I x x x x x x x II x x x x x III x x x IV x x Calculul ieraiv în cazul saionar are în vedere porivirea unor valori prezise si calculae, la ǎieuri. Cazul dinamic ese mul, mul mai complica deoarece se cere porivirea unor funcii de imp în puncele respecive. Problema se poae rezolva de pildǎ în manierǎ direcǎ f + = α f + + α f ca o combinaie liniarǎ convexǎ înre predicia anerioarǎ si valoarea curenǎ. Sansele de convergenǎ a calculului sun nebuloase. O meodǎ mai perfecionaǎ uilizeazǎ informaii pe mai mule inervale de imp orizonuri de imp anerioare si o exrapolare a inrǎrilor/iesirilor de formǎ polinomialǎ. Gradul polinomului polinoamelor evolueazǎ de la la un numǎr propus, pe mǎsurǎ ce caniaea informaiei sporese. Algorimiza: A. Prezicerea variabilelor fluxurilor ǎiae la n + ; B. Calculul secvenial al modulelor în ordinea sabiliǎ conform algorimilor de deciclizare de mai sus care au în vedere opologia sisemului.. Se calculeazǎ diferenele înre valorile calculae si cele anicipae ale inrǎrilor si derivaelor lor ε = un+ un n + δ = u n+ u n n +. Se acualizeazǎ polinoamele de inerpolare/exrapolare evenual cu o formulǎ recursivǎ de genul bn + = Dbn + L ε + L δ 3. Se uilizeazǎ u n+ penru inegrare pe orizonul de imp propus; C. Se calculeazǎ eroarea de prezicere a fluxurilor secionae; D. Acualizarea orizonului de imp. Simularea sisemelor mari nu ese de aplica în imp real decâ penru siseme lene. Simularea ese mul aplicaǎ off line penru pregǎirea unor schimbǎri ale funcionǎrii sisemului porniri, opriri, schimbǎri de regim ehnologic. Exerciii de auoevaluare. Dinamica sisemelor mari se deosebese de dinamica sisemelor simple prin: a modelul maemaic foare voluminos; b consanele de imp foare diferie penru diferie pǎri sau fenomene din sisem; 63

164 c frecvenele siuaii de rea condiionare a relaiilor/ecuaiilor algebrice si/sau difereniale; d scara la care se lucreazǎ. Marcai afirmaia inexacǎ.. În calculele de simulare bazae pe ecuaii, la finalul calculelor se po obine adesea soluii muliple. Cum se procedeazǎ în asemenea siuaii? a se rein oae soluiile, b se rein numai soluiile poziive sau c se rein acele soluii care au semnificaie ehnologicǎ si sun fezabile? 3. Meoda de modelare-simulare bazaǎ pe module se aplicǎ înr-un fel în cazul sisemelor secveniale si secvenial-ramificae si în al fel în cazul sisemelor cu recirculare de maerie, de energie si/sau de informaie. Marcai mai jos ipul de calcul uiliza penru sisemele cu recirculare. a calcul unic; b un calcul ieraiv, repea pânǎ când se îndeplinese un crieriu de convergenǎ; c un calcul de bazǎ relua imedia penru verificare. 4. Meoda de simulare bazaǎ pe module se aplicǎ înr-un fel penru regimurile saionare, în al fel penru regimurile dinamice. În cazul calculelor ieraive, care vizeazǎ regimurile dinamice, ce elemene inrǎ în crieriul de convergenǎ? a funcii de imp, b variabile simple independene de imp sau c convergena nu ese o problemǎ, ea se produce deja de la prima evaluare? 64

165 MODELE ALE DINAMICII SISTEMELOR CU EVENIMENTE DISCRETE Siseme cu evenimene discree Inroducere în eoria reelelor Peri Semanica reelelor Peri Invariani Conflice, paralelism, viabiliae, mǎrginire, siguranǎ Marcaje Timpi asociai cu poziiile si ranziiile Reguli de funcionare Compeiie si sincronizare Mecanisme de conrol Reele Peri speciale. Asincronism, masini de sare si auomae Grafuri cu evenimene emporizae Probleme Exerciii de auoevaluare Siseme cu evenimene discree Sisemele cu evenimene discree, alceva decâ sisemele discree pur si simplu, consiuie o caegorie de siseme nu mai puin imporanǎ din puncul de vedere al inginerului auomais. Asemenea siseme au o evoluie emporalǎ, deci o dinamicǎ, dicaǎ de evenimene care se produc la momene variae fǎrǎ a fi muliplu înreg al vreunui ac de ceasornic sau al vreunui pas de imp. Fie cǎ ese vorba de siseme de producie flexibile, fie cǎ ese vorba de reele de calculaoare, mai resrânse sau mai cuprinzǎoare, de reele de auomae bancare, siseme ipice cu evenimene discree, dinamica funcionǎrii lor are puernice influene asupra unor parameri cu nuane economice ca produciviae, asigurarea fǎrǎ blocaje a unor servicii, accesibiliae ec. Capiolul prezen se referǎ cu precǎdere la sisemele producive, dar majoriaea dacǎ nu oaliaea discuiei se poae exinde la mule ale ehnologii si nu în ulimul rând la sisemele informaice în permanenǎ see de resurse, uilizae în compeiie si în diviziune. Un insrumen foare popular prinre ingineri si foare eficace în raarea dinamicii sisemelor cu evenimene discree ese cel consiui de reelele Peri. 65

166 Inroducere în eoria reelelor Peri Reelele Peri sun un insrumen maemaic de naurǎ graficǎ daora lui Carl Adam Peri. Acese grafuri cu srucurǎ specialǎ sun uilizae la reprezenarea, modelarea si simularea unor siseme foare diverse în care dinamica evenimenelor, evoluiile paralele, dependenţele condiionae cum ese sincronizarea, compeiia penru resurse ec. sun nu numai prezene dar sun si deerminane. Fenomene de acese ipuri apar frecven în sisemele de producie, în proocoalele de comunicare, în calculaoare si în reelele de calculaoare, în programele în imp real, în sisemele de ranspor ec. Toae acese siseme sun cunoscue în prezen ca siseme cu evenimene discree. Un punc de vedere din unghiul eoriei grafurilor. O reea Peri ese o pereche G, M compusǎ dinr-un graf bipari oriena G = E,V si un marcaj iniial M. Mulimea nodurilor V ese împǎriǎ în douǎ submulimi disjunce, P si T. Elemenele din P se numesc poziii, elemenele din T se numesc ranziii. Poziiile se noeazǎ P i, i =,, P, ranziiile se noeazǎ T j, j =,, T barele de modul exprimǎ numǎrul de elemene din mulimea scrisǎ înre ele sau, cum se mai spune, cardinalul acelei mulimi. Arcele cuprinse în mulimea E merg de la poziii la ranziii si de la raziii la poziii. Graful ese bipari si un arc nu poae uni o poziie cu o poziie si nici o ranziie cu o ranziie. În reprezenarea graficǎ poziiile se reprezinǎ uzual prin cercuri, ranziiile prin bare îngrosae uneori prin drepunghiuri. Arcelor li se aribuie ponderi, odeauna numere înregi. Absena graficǎ a ponderilor face subînelese exisena unor ponderi egale cu uniaea. Penru o definire compleǎ a unei reele Peri rebuie inrodusǎ noiunea de marcaj iniial. Marcajul iniial aribuie fiecǎrei poziii P i un numǎr nenegaiv M i. La reprezenarea graficǎ acele numere sun recue, dacǎ e posibil, în cercurile care reprezinǎ poziiile sau sǎrile. Vecorul coloanǎ M cu componenele M i se numese marcajul iniial al reelei. Se spune cǎ poziia P i ese anerioarǎ ranziiei T j dacǎ exisǎ un arc de la P i la T j. Analog, se spune cǎ poziia P i ese ulerioarǎ ranziiei T j dacǎ exisǎ un arc de la T j la P i. Uzual, poziiile reprezinǎ condiii, iar ranziiile reprezinǎ evenimene. O ranziie un evenimen implicǎ un anumi numǎr de poziii anerioare si ulerioare, care reprezinǎ pre-condiii si pos-condiii penru acel evenimen. Dacǎ ponderile uuror arcelor sun egale cu uniaea, prezena unui marcaj denumi adesea si jeon înr-o poziie se poae inerprea ca o condiie verificaǎ, îndepliniǎ asociaǎ acelei poziii. O alǎ inerpreare mai generalǎ ese: M i jeoane prezene în poziia P i indicǎ o resursǎ disponibilǎ în caniaea M i. Dinr-un punc de vedere clasic, marcajul unei reele Peri ese idenifica cu sarea reelei. Schimbarea sǎrii se produce dupǎ regulile care urmeazǎ: 66

167 O ranziie T j poae fi abiliaǎ si evenual amorsaǎ, acivaǎ dacǎ oae poziiile anerioare acelei ranziii conin aâea jeoane câ ese ponderea arcului care duce la ranziia în discuie. Când o ranziie T j ese acivaǎ, din fiecare poziie anerioarǎ se consumǎ un numǎr de jeoane si, în consecinǎ, se diminueazǎ numǎrul jeoanelor din acea poziie exac cu numǎrul pondere a arcului care coneceazǎ poziia la ranziia respecivǎ; oodaǎ, se adaugǎ poziiilor ulerioare ranziiei T j aâea jeoane câe sun înscrise ca ponderi pe arcele emergene din T j spre acele poziii. Observaie: în loc de a asocia ponderi arcelor, se poae face o reprezenare cu arce exclusiv cu pondere uniarǎ; aunci înre poziii si ranziii apar arce muliple în paralel. Un punc de vedere din algebra liniarǎ. Înr-o analizǎ a marcajului si a poziiilor, dacǎ se considerǎ vecorul coloanǎ M al marcajului, se spune ca mai sus cǎ M i ese numǎrul de jeoane din poziia P i. Fie o marice de dimensiuni P x T noaǎ D cu elemenul generic d egal cu ponderea arcului care pleacǎ ij din P i si ajunge în T j arcele cu d = sun inexisene. Analog, fie maricea + D de dimensiuni P x T cu ij + d ij egal cu ponderea arcului de la ranziia T j la + poziia P i din nou, d ij = semnaleazǎ arce care nu exisǎ. Pornind de la acese definiii se spune cǎ ranziia T j ese abiliaǎ si ese amorsabilǎ dacǎ si numai dacǎ M D. j. Acivarea ranziiei produce un marcaj nou M ~ care verificǎ ecuaia: ~ + M + D j D M =.. j + D = D D aunci se poae scrie Dacǎ se definese maricea ~ M = M + Du în care u ese vecorul coloanǎ defini ca u j =, u i = penru i j. Penru mai mule ranziii succesive, de pildǎ penru douǎ, se poae scrie ~ ~ + M = M + Du~ = M + Du + Du~ = M + D u + u~ = M + Du + cu u un vecor sumǎ a vecorilor u asociai unor ranziii simple, în paricular douǎ, un vecor care nu poae avea componene negaive. Observaie: Exisena unui vecor de componene nenegaive u asfel ca ~ M = M + Du nu implicǎ obligaoriu posibiliaea de a obine marcajul M ~ din 67

168 marcajul M, prin una sau mai mule ranziii. Condiia j D M. rebuie sǎ se verifice la fiecare pas inermediar când un marcaj M rece la marcajul M prin execuarea unei anumie ranziii T j. În plus, în cazul unei succesiuni de ranziii, vecorul u nu spune nimic relaiv la ordinea în care ranziiile rebuie sǎ aibǎ au loc, ceea ce ese foare imporan. Daoriǎ acesor resricii sisemul nu ese realmene liniar si principiul suprapunerii efecelor nu se verificǎ decâ ocazional. Un exemplu: Penru reeaua Peri din figura alǎuraǎ, conform definiiilor enunae = 3 D, = + D si = 3 D Sǎgeile cenusii din figurǎ indicǎ sǎrile succesive ale reelei dupǎ execuarea ranziiilor înscrise pe acele sǎgei. Dupǎ execuarea secvenei de ranziii 3 T T T T, oae execuabile în ordinea menionaǎ, se obine marcajul = + = = ~ D D M Semanica reelelor Peri Componenele diverse ale unei reele Peri au semnificaiile care urmeazǎ: 68

169 Marcajele reprezinǎ resurse în deplinul sens al cuvânului. Poae fi vorba de resurse fizice, cum sun cele maeriale, sau de informaii, mesaje, condiii ec. Din poziii se aseapǎ accesul la anumie resurse Tranziiile reprezinǎ aciuni consumaoare de resurse spre a fi prelucrae, ranziiile sun producǎoare de ale resurse Ponderile arcelor care leagǎ o poziie cu o ranziie reprezinǎ numǎrul minim de resurse din caegoria socaǎ în acea poziie necesar penru a execua ranziia Ponderile arcelor care unesc o ranziie cu o poziie reprezinǎ numǎrul exac de resurse noi din caegoria celor socae în acea poziie, resurse produse prin aciunea definiǎ de ranziie Numǎrul oal de marcaje, de jeoane dinr-o reea Peri nu se conservǎ obligaoriu: se po imagina aciuni de asamblare, se po imagina aciuni de demonare a unor ansambluri în pǎri componene; mesajele po fi combinae penru obinerea unui mesaj nou cum ese cazul însumǎrii a douǎ numere sau un mesaj da poae fi difuza cǎre mai mule poziii. Invariani Invariani în poziii. Se admie cǎ v ese un vecor linie de dimensiune P care verificǎ relaia vd =. Aunci, produsul vm, produs care se poae inerprea ca o sumǎ ponderaǎ a valorilor marcajului, cu ponderile egale cu componenele vecorului v se menine consan oricare ar fi secvena de ranziii execuaǎ. De pildǎ penru un marcaj M ~ rezula din M are loc implicaia evidenǎ ~ ~ M = M + Du vm = vm + vdu = vm Exemplu. Penru reeaua Peri daǎ mai devreme se observǎ cǎ [ ] [ ] D = = [ ] 3 Asa se raduce prin aceea cǎ numǎrul oal al marcajelor din poziiile P si P 4 se menine consan independen de ranziiile execuae. Invariani penru ranziii. Fie acum un vecor coloanǎ u de dimensiune T si cu componene nenegaive care verificǎ egaliaea Du =. Aunci, oricare secvenǎ de ranziii fezabilǎ reprezenaǎ de vecorul u conservǎ marcajul iniial. Înr-adevǎr ~ M = M + Du = M Cum s-a discua mai sus, secvena de ranziii fezabile cuprinsǎ în u poae si sǎ nu exise. 69

170 Exemplu. Penru reeaua Peri din figura alǎuraǎ Du = = Se poae verifica fapul cǎ vecorul u = [ ] T ar puea reprezena fie secvena T T 3, fie secvena T T 3 dar numai una din ele ese fezabilǎ. Conflice, paralelism, viabiliae, mǎrginire, siguranǎ Conflice. Definiie. Se spune cǎ douǎ ranziii diferie T i si T j sun în conflic srucural dacǎ k : D ki D kj ceea ce înseamnǎ cǎ poziia P k premerge ambele ranziii. Se spune despre un conflic srucural cǎ ese si efeciv dacǎ, în plus, la marcajul M ambele ranziii po fi acivae, adicǎ aâ M D. i câ si M D. j. Exemplu. În reeaua Peri de mai sus ranziiile T si T 3 sun în conflic srucural poziia P ese anerioarǎ ambelor ranziii. Aces conflic ese si efeciv în prima pare a figurii a, dar nu ese efeciv dupǎ ce ranziia T 3 s-a produs, în parea din dreapa a figurii b. Termenul de conflic provine din aceea cǎ dacǎ ranziiile T i si T j sun în conflic srucural efeciv, aunci nu se poae produce, nu se poae amorsa decâ una din acese ranziii si nu ambele deoarece nu sun suficiene jeoane în poziiile anerioare oricum s-ar succeda ranziiile în discuie. În siuaiile de aces gen ese necesarǎ o decizie: care din cele douǎ ranziii urmeazǎ a se amorsa. Alfel spus, douǎ ranziii în conflic srucural sun în compeiie penru resursele accesibile din cel puin o poziie anerioarǎ pe care o împar. Paralelism. Definiie. Se spune cǎ douǎ ranziii T i si T j sun srucural paralele dacǎ T D i D.. j = 7

171 ceea ce înseamnǎ cǎ ranziiile T i si T j nu au poziii anerioare în comun. Se spune cǎ paralelismul srucural ese efeciv la un marcaj M dacǎ, în plus, ambele ranziii po fi acivae fiind deja abiliae, adicǎ aâ M D. câ si M D.. j Exemplu. În reeaua Peri de mai devreme ranziiile T si T sun srucural paralele. Aces paralelism ese efeciv în cazul din figura secundǎ, cea din dreapa b, ceea ce nu ese cazul cu prima figurǎ a. Viabiliae. Definiie. Tranziia T i ese viabilǎ sau vie aunci când oricare ar fi marcajul accesibil din marcajul iniial, exisǎ o secvenǎ de ranziii fezabile, secvenǎ care conduce la un marcaj penru care ranziia ese abiliaǎ, ese gaa penru amorsare. O reea Peri se spune cǎ ese viabilǎ dacǎ oae ranziiile ei sun viabile. De noa cǎ dacǎ o ranziie ese viabilǎ aunci ea poae fi amorsaǎ indefini se zice cǎ exisǎ o suceesiune de ranziii fezabile prin care acea ranziie ese vie la nesfârsi. Dacǎ o ranziie nu ese viabilǎ aunci exisǎ posibiliaea ca reeaua Peri sǎ funcioneze numai un imp fini, dar prin repearea unei anumie grupe de ranziii poae fi în funciune si un imp indefini. Exemplu. Reeaua Peri din figura cu cinci faze daǎ mai sus nu ese vie deoarece secvena de ranziii consideraǎ conduce la un marcaj penru care nici o ranziie nu mai ese abiliaǎ penru execuie siuaie de blocaj, dead-lock. Mǎrginire, siguranǎ. Definiie. O poziie P i ese k-mǎrginiǎ dacǎ marcajul ei nu ese nu poae fi mai mare decâ k, oricare ar fi marcajul accesibil. O poziie se numese sigurǎ dacǎ ese -mǎrginiǎ. O reea Peri ese sigurǎ dacǎ oae poziiile sale sun - mǎrginie sigure. Noǎm cǎ dacǎ o poziie ese de ipul magazie, buffer cu o capaciae finiǎ k un depozi, o memorie, de pildǎ aunci în mod necesar reeaua Peri rebuie sǎ fie k-mǎrginiǎ dacǎ modelarea ese corec fǎcuǎ. Mai depare se va da o meodǎ simplǎ de asigurare a mǎrginirii corece. Exemplu. Secvena de ranziii T 3, T din figura alǎuraǎ conduce la un marcaj care coincide cu cel iniial, cu excepia celui penru poziia P 3 care are un jeon în plus. Mai mul, dacǎ secvena de ranziii menionaǎ se repeǎ de k ori, în poziia P 3 se acumuleazǎ k jeoane si, în consecinǎ, poziia nu ese mǎrginiǎ. Sub aspec maemaic se scrie cu u vecorul asocia secvenei T 3, T : = > Du = i 7

172 si aunci ~ M = M + Du > M Prin repearea secvenei de ranziii menionae, permanen fezabilǎ, se obine o cresere a marcajului poziiei P 3 indefiniǎ. Pornind de la aces exemplu se poae observa cǎ ori de câe ori o reea Peri admie o secvenǎ de ranziii fezabilǎ penru care vecorul u verificǎ relaia Du >, reeaua Peri ese nemǎrginiǎ raionamenul penru cazul general ese similar celui din exemplul de mai sus. Marcaje Majoriaea proprieǎilor de mai sus se po verifica dacǎ se cunoase mulimea marcajelor accesibile pornind de la marcajul iniial. Desigur, calculul uuror marcajelor accesibile din marcajul iniial nu ese în general o sarcinǎ usoarǎ. Figura care urmeazǎ ilusreazǎ un asemenea calcul înr-un caz simplu. 7

173 Timpi asociai cu poziiile si ranziiile Teoria originalǎ a reelelor Peri raeazǎ evenimenele în ordinea lor si, în consecinǎ, diamica reelei a fos consideraǎ ca o succesiune de evenimene de ranziii resrânsǎ numai la considerene de logicǎ o ranziie se poae desfǎsura numai dacǎ ese abiliaǎ. În aces conex, înrebarea câ imp consumǎ un evenimen? nu se pune. Dar penru a rǎspunde la înrebǎri relaiv la performanele reelei si ale sisemului modela cu reeaua de pildǎ, câ de repede poae produce sisemul? ese necesar a inroduce în discuie impul. Înr-adevǎr, cu poziiile si cu ranziiile se po asocia durae pe calea urmǎoare: Durae asociae cu poziiile: duraele minime penru ca jeoanele sǎ devinǎ permanene înr-o poziie, înaine de fi capabile a conribui la abiliarea si amorsarea unei/unor ranziii urmǎoare. Duraele acesea se numesc impi de asepare. Durae asociae ranziiilor: durae care separǎ momenul de începu consumul de jeoane din poziiile premergǎoare si momenul de finalizare a aciunii producerea de jeoane desinae poziiilor urmǎoare corespunzǎoare ranziiilor. Acese durae au primi numele de impi de aciune. Duraele de execuie po fi uilizae, de pildǎ, penru a reprezena impul de producie în cazul sisemelor de producie unde ranziia reprezinǎ impul uzual consuma pe masina unealǎ. Timpii de asepare ar puea reprezena duraele ransporului în cazul în care o poziie reprezinǎ o ruǎ sau un canal prin care comunicǎ douǎ procese sau la fel de bine impul minim de acces necesar accesibiliǎii cum ar fi impul de rǎcire al unei piese recue prinr-un cupor, înaine de a i se puea aplica prelucrarea urmǎoare. Timpii, duraele de asepare si de execuie po fi consane sau variabile, po fi deerminise sau aleaoare. Nu rebuie ignora nici impul de consiuire a numǎrului de jeoane dinr-o poziie necesar abiliǎrii unei ranziii. Observaie. În realiae, fǎrǎ pierdere din generaliae, se poae admie cǎ oae aciunile sun insananee oae ranziiile se perec în imp nul. Tranziiile cu duraǎ nenulǎ se divid în douǎ ranziii insananee începuul si erminarea aciunii separae de o poziie care are impul de asepare egal cu impul de execuie al ranziiei originare v.figura alǎuraǎ. Tranziii de inrare si de iesire. Tranziiile care nu au poziii premergǎoare se numesc ranziii de inrare sau surse. Aciunile de aces ip depind de decizii exerne, sun conrolae din exerior. Tranziiile care nu au poziii urmǎoare se 73

174 numesc ranziii de iesire sau consumaori. Tranziiile de aces gen indicǎ producerea de jeoane desinae exeriorului. Aceleasi definiii se po aplica si poziiilor: poziiile de inrare rebuie aprovizionae cu jeoane din exerior. În realiae, cum se va vedea mai depare, în acord cu clasa paricularǎ a reelei Peri în sudiu, poae rezula mai poriviǎ uilizarea la periferie a ranziiilor si nu a poziiilor de inrare si de iesire sau a poziiilor si nu a ranziiilor de inrare si de iesire. Reguli de funcionare Pânǎ aici execuǎrii ranziiilor li s-au impus numai resricii de ordin logic fǎrǎ a specifica momenul în care o ranziie ese efeciv execuaǎ. Acum, cǎ s-a adus în discuie impul, se poae defini regula de funcionare cunoscuǎ ca regula impului de aciune cel mai apropia: ranziiile se execuǎ câ de promp posibil, adicǎ de-îndaǎ ce sun asigurae oae jeoanele necesare penru a abilia raziia. În imediaǎ legǎurǎ cu regula de mai sus se inroduc reguli de prioriae, regulile de arbiraj în cazul poziiilor implicae înr-un conflic, sau modaliaea de a indica ce ranziie rebuie sǎ se execue aunci când apare un conflic si + raiecoriile la inrare, funcii u i : N R una penru fiecare ranziie de inrare U i cu u i n insanţa în care ranziia de inrare U i se aflǎ la momenul n. Cu acese reguli de funcionare se po deermina oae momenele la care se produc evenimenele din reea ca, de exemplu, aciunile succesive, sosirea si plecarea unor jeoane înr-o/dinr-o poziie ec. În paricular, se ajunge la momenele când se execuǎ ranziiile de iesire ceea ce consiuie raiecoriile la iesire. Compeiie si sincronizare Compeiia penru a produce, reunirea înr-o poziie. Aceasǎ siuaie se înâlnese aunci când o poziie are mai mule ranziii premergǎoare. În aces caz exisǎ mai mule surse care produc jeoane desinae acelei poziii v.figura. Ca exemplu de aces ip poae servi cazul unei poziii-depozi unde sosesc produse ale mai mulor masini, ranziiile reprezenând ocmai aciunile acesor masini. 74

175 Compeiia penru a consuma, ramificarea dinr-o poziie. În aces caz o poziie are mai mule ranziii care o urmeazǎ v.figura urmǎoare. Tranziiile sun în compeiie penru jeoanele acesei poziii. Siuaia se raeazǎ ca un conflic srucural cum s-a discua mai devreme. Sincronizarea în a produce, ramificarea dinr-o ranziie. Aici o ranziie are mai mule poziii urmǎoare v.figura. În acese cazuri jeoanele resurse, pǎri componene, mesaje ec. sun emise simulan cǎre poziiile consumaoare urmǎoare. Tranziia ar puea corespunde, de pildǎ, unei operaii de dezmembrare a unei piese în pǎrile ei componene. Sincronizarea în consum, reunirea înr-o ranziie. Siuaia corespunde cazului în care o ranziie are mai mule poziii premergǎoare. Jeoanele aseapǎ în acele poziii momenul în care apare ulimul jeon care abilieazǎ ranziia se spune cǎ sarea fiecǎrei poziii dureazǎ cel puin câ duraa de asepare a celei poziii. În acel momen se consumǎ concomien oae jeoanele necesare penru acivarea ranziiei. Mecanisme de conrol Prevenirea acivǎrii muliple simulane a unei ranziii. În conformiae cu definiiile de mai devreme, nimic nu împiedicǎ o ranziie sǎ devinǎ acivǎ simulan de mai mule ori: dacǎ acivarea unei ranziii nu ese insananee aunci se poae înâmpla ca ranziia sǎ se amorseze da mai mule ori înaine ca 75

176 aciunea deerminaǎ de prima acivare sǎ se fi isprǎvi. Asa ar însemna ca o masinǎ desinaǎ efecuǎrii unei anumie operaii pe un ip de piese, pe rând penru fiecare piesǎ, sǎ fie inundaǎ de ale piese similare care, eviden, nu po fi servie paralel. Penru a preveni o siuaie de aces gen se aaseazǎ acelei ranziii o poziie suplimenarǎ. Aceasǎ poziie rebuie sǎ aibǎ ca unicǎ ranziie anerioarǎ si unicǎ ranziie urmǎoare ranziia în discuie. Figura care urmeazǎ explicǎ meoda în douǎ variane echivalene. În variana din sânga ranziia are duraa, duraǎ necesarǎ execuǎrii aciunii cǎreia îi corespunde. Poziia suplimenarǎ are duraa θ de punere în miscare a aciunii. În variana din dreapa ranziia a fos descompusǎ în douǎ ranziii insananee cu o poziie înre ele cu duraa de asepare. Poziia suplimenarǎ are aceleasi caracerisiici. Agregaul mai simplu sau mai complex al buclei creae se numese reciclarea ranziiei. În plus, se poae aribui un imp de asepare poziiv poziiei reciclane penru a fora un imp minim înre finalizarea unei aciuni si iniierea urmǎoarei se poae vorbi de un imp de punere în miscare/în funciune. Se observǎ cǎ poziia jeonului în buclǎ indicǎ dacǎ ranziia ese ocupaǎ sau liberǎ, ocupǎ aunci când jeonul din poziia suplimenarǎ lipsese. Conrolul fluxului. O modificare similarǎ permie limiarea fluxului de jeoane prinr-o ranziie cu imp de aciune nul. Se observǎ v.figura urmǎoare cǎ dacǎ marcajul iniial al poziiei suplimenare asociae ranziiei poziie care, de asemenea, rebuie sǎ aibǎ ca unicǎ ranziie premergǎoare si urmǎoare ranziia consideraǎ ese m si impul ei de asepare aunci fluxul maxim de jeoane prin acea ranziie ese de m jeoane la fiecare uniǎi de imp. Figura indicǎ un debi maxim de douǎ jeoane la fiecare rei uniǎi de imp. 76

177 Poziii cu capaciae limiaǎ. Modelarea unor siseme fizice pune problema pracicǎ a capaciǎii limiae a unor poziii. Exisǎ firesc o limiǎ superioarǎ a numǎrului de jeoane pe care o poziie le poae conine. Mǎrginirea specificaǎ si sigurǎ a unei poziii se poae obine pe baza urmǎorului algorim:. Penru o poziie p k-mǎrginiǎ se adaugǎ o poziie suplimenarǎ p cu marcajul iniial Mp = k Mp. Înre fiecare ranziie si poziiile suplimenare de genul p se definesc arce suplimenare cu ponderile w, p = wp, si wp, = w, p ceea ce face ca suma jeoanelor din poziia p si din poziia complemenarǎ p sǎ fie aceeasi si înaine su dupǎ execuarea unei ranziii. Figura alǎuraǎ ese un exemplu. Ese aici vorba de un depozi inermediar înre douǎ servicii marcae prin ranziiile din figurǎ. Capaciaea depoziului ese de maximum 6 uniǎi. Sincronizarea acivǎrii ranziiilor. Uneori se poae înâmpla ca douǎ sau mai mule ranziii sǎ reprezine aceeasi aciune fizicǎ. Înr-un asemenea caz ranziiile rebuie sǎ se sincronizeze penru a se amorsa simulan. Asa se poae realiza cel puin în douǎ moduri care duc la un gen de unire a ranziiilor considerae Unul din cele douǎ moduri nu ese deplin accepabil sub incidena eoriei clasice a reelelor Peri; cum se va arǎa mai depare, sub aspec maemaic modul acela ese ousi corec si adecva în a exprima simulaneiaea. Ese vorba de a face sǎ coincidǎ începuul si sfârsiul unei eape penru mai mule resurse implicae simulan înr-o anumiǎ eapǎ. Se apeleazǎ la circuie de sincronizare fǎrǎ emporizare si fǎrǎ jeoane. Fiecare din cele douǎ arce ale circuiului de sincronizare include si impune câe o inegaliae, una de sens opus celeilale, la momenele de acivare a ranziiilor, de unde egalizarea momenelor de acivare a ranziiilor. Acese ranziii po apoi sǎ fie puse laolalǎ, po fuziona v.figurile urmǎoare. 77

178 Exisena de circuie fǎrǎ jeoane si fǎrǎ emporizare, accepabilǎ sub aspec maemaic, ese conrarǎ regulilor orodoxe ale reelelor Peri. Se poae jusifica funcionarea spunând cǎ se împrumuǎ jeoanele absene din circuiul de sincronizare penru a aciva ranziiile si cǎ schema ese în mǎsurǎ a resiui acese jeoane înr-un imp nul. Fuziunea ranziiilor sincronizae înlǎurǎ orice discuie. De noa cǎ un numǎr egal de sǎgei inrǎ în si ies din ranziiile sincronizae. În consecinǎ, numǎrul oal de jeoane din graf si nu numai din circuie se conservǎ în impul funcionǎrii. Se recupereazǎ de asemenea inerprearea de resurse a jeoanelor însesi. O alǎ soluie foare diferiǎ permie si aceasa sincronizarea a douǎ ranziii. Aceasǎ soluie eviǎ circuiele de sincronizare cu preul inroducerii unor ranziii ficive înainea ranziiilor adevǎrae. Soluia ese ilusraǎ în figura alǎuraǎ. Se poae verifica prin simularea funcionǎrii reelei Peri si, mai depare, prin ecuaii, cǎ sincronizarea ese efecivǎ. Aceasǎ diversiae de soluii grafice produs al aceleiasi ecuaii maemaice ese o ilusrare a ineresului de a pune în ecuaii grafurile de evenimene. 78

179 Reele Peri speciale. Asincronism, masini de sare si auomae Reelele Peri asincrone sun acelea în care oae ranziiile au cel mul o poziie anerioarǎ si cel mul o poziie urmǎoare v.figura care urmeazǎ. În asemenea reele nu exisǎ ranziii de inrare si de iesire si, de aceea, erminalele sun de ipul poziiilor ceea ce face ca fiecare ranziie sǎ posede exac o singurǎ poziie premergǎoare si o singurǎ poziie urmǎoare. O reea Peri cu oae ranziiile având exac o poziie premergǎoare si exac o poziie urmǎoare se numese masinǎ de sare. În masinile de sare asignarea impului penru ranziii si poziii nu ese imporanǎ. Singurul efec al aribuirii ese de înârziere a execuǎrii ranziiilor. Aici problema principalǎ ese cea logicǎ accesibiliaea marcajelor, eliminarea blocajelor ec.. În general eforul principal de conrol ese oriena pe execuarea ranziiilor. Când numǎrul oal de marcaje ese, gândul poae duce la fapul cǎ acel marcaj unic araǎ sarea sisemului poziiile reprezinǎ sǎrile posibile ale sisemului si reeaua obinuǎ se poae inerprea ca fiind un auoma. Dacǎ în plus fiecare poziie are exac o ranziie urmǎoare, acel auoma rezulǎ a fi deerminis. Dacǎ nu acesa ese cazul, auomaul nu ese deerminis v.figura si aunci penru fiecare sare sun posibile raiecorii diferie. În cazul non-deerminis se aribuie probabiliǎi arcelor care pleacǎ dinr-o poziie si aunci se obine un auoma sochasic. Parea pe fond cenusiu din figura de mai jos dealiazǎ cǎile alernaive de a ajunge de la poziia P la poziia P 3. Invariani. Cum înr-o masinǎ de sare fiecare ranziie are o poziie premergǎoare si una urmǎoare, maricea D = D + D conine pe coloana asociaǎ cu ranziia un si un dacǎ arcele oae au ponderea uniarǎ. În realiae maricea D poae fi consideraǎ o marice de incidenǎ noduri-arcuri în graful oriena, care se obine dacǎ fiecare ranziie se înlocuiese cu un arc care leagǎ poziia anerioarǎ de poziia urmǎoare acelei ranziii nodurile acesui graf sun poziiile grafului iniial. Cu aceasǎ observaie si cu rezulaele simple din eoria grafurilor se obin consecinele care urmeazǎ. Invariani penru poziii: deoarece maricea D are srucura coloanelor arǎaǎ un si un + rezulǎ cǎ D = 79