Trigonomeetria gümnaasiumis

Transcript

1 Trignmeetria gümnaasiumis Hannes Jukk, Tartu Ülikl Trignmeetria võib meile tähendada kahte pisut erinevat matemaatikavaldknda. Ajalliselt n see tähendanud esmalt klmnurkade mõõtmise ja lahendamisega senduvat ning n seega üks haru tasandigemeetriast (planimeetriast). Sellest aspektist vaadeldes n trignmeetriale aluse pannud Kreeka matemaatik Eukleides (u 300 ekr), kes kirjutas raamatu Elements, ja Kreeka astrnm Hipparchust (u 180 u 15 ekr), kes kstas tabeli, milles kirjeldas ringis mdustuvate kõõlude ja kaarte väärtusi erinevate kesknurkade krral. Teine tunnetus trignmeetriast tekib meil gümnaasiumis, kus tegeletakse enam trignmeetriliste funktsinidega ning nende madustega. Alates prantsuse matemaatik Albert Girardist 16. sajandil tähistatakse trignmeetrilisi funktsine lühenditega sin, cs ja tan. Selleks et rääkida, mis juhtub gümnaasiumis, peame esmalt välja selgitama meie õpilaste eelteadmised. Põhikli õppekava (011) õpitulemustes n trignmeetria mõistet kasutamata öeldud: Õpilane leiab täisnurkse klmnurga jnelemendid. See nn täisnurkse klmnurga lahendamine tähendab seda, et antud kahe klmnurga jnelemendi (nurga ja/või külje) krral leiab õpilane teised neli puuduvat jnelementi. Õppesisust näeme, et õpilasel n klmnurga jnelementide leidmise vahenditeks teravnurga trignmeetrilised funktsinid ja Pythagrase tereem. Seega, võrreldes varem kehtinud põhikli ja gümnaasiumi riikliku õppekavaga (00), ei õpita põhiklis kehtiva õppekava khaselt enam trignmeetriliste funktsinide vahelisi põhiseseid. Matemaatika ainevaldknna õpetamine gümnaasiumis timub vastavalt 011. aastal vastu võetud õppekavale kahes harus: kitsas matemaatika (KM), mis ksneb 8 kursusest ning lai matemaatika (LM), mis ksneb 14 kursusest. Kitsas matemaatikas senduvad trignmeetriaga kaks kursust: II kursus Trignmeetria ning V kursus Funktsinid I. Alustatakse nurga mõiste üldistamisest ja erinevatest nurga mõõtühikutest ning jõutakse trignmeetrilise funktsini üldistamiseni. Lisaks n mõned enam kasutatud trignmeetriavalemid ehk põhisesed trignmeetriliste funktsinide vahel. Seal n klmnurga pindala valemid ja klmnurga lahendamine, kasutades siinus- ja ksinustereemi; ringjne kaare pikkuse ja sektri pindala arvutamine, kus võib vaja minna nurga ühikute teisendamist radiaanmõõdust kraadimõõtu ja vastupidi. Viiendas kursuses Funktsinid I

2 n märgitud õpitulemustes, et õpilane lahendab graafiku abil trignmeetrilisi põhivõrrandeid. See lauseke tähendab, et õpilased uurivad põgusalt trignmeetriliste funktsinide graafikuid, mida ple aga selgelt märgitud ei õpitulemustes ega ka õppesisus. Kui tekstis n märgitud mõisted arcsin m, arccs m ja arctan m, siis see tähendab, et tuleks põgusalt rääkida ka vastavatest funktsinidest ja graafikutest. Kursuses Funktsinid II n märge, et peab skama leida õpitud funktsinide tuletisi. Seega kitsas kursus n õhem varasemast selle plest, et vähendatud n trignmeetriliste teisenduste sakaalu ning peab skama lahendada vaid põhivõrrandeid. Õpilased peavad saama trignmeetriliste funktsinide graafikute uurimise käigus aimu nende funktsinide peridilisusest, mis annab võtme põhivõrrandite graafiliseks lahendamiseks. Lisaks leks õpilasel hea teada, et siinus ja tangens n paaritud funktsinid ning ksinus n paarisfunktsin. Vastasel juhul võib paljudele õpilastele jääda ekslik aimdus, et paarisfunktsinil peab lema paarisarvuline astendaja (nt y=x n ), mis n piiratud lähenemine. Mis tahes nurga trignmeetrilised funktsinid (siinus, ksinus, tangens), nende väärtused nurkade 0, 30, 45, 60, 90, 180, 70, 360 krral (KM, II kursus). Kuna esimese veerandi nurkade trignmeetriliste funktsinide väärtusi ei pea põhiklis tuletama ega ka pähe õppima, siis tehakse seda gümnaasiumis. I veerandi nurkade puhul n kaks võimalust. 1. Praktiline töö. Jnestada millimeetripaberile kaar 90 raadiusega 100 mm. Jatada see kaar malli abil üheksaks võrdseks saks. Jatised järgnevad siis üksteisele kaareks iga 10 tagant. Saadud jatuspunktide ühendamisel ringjne keskpunktiga saame nurgad 10, 0, 30,, 80. (vt T. Tõns, A. Veelmaa. Matemaatika X klassile. Mathema, lk 0, ül 701).. Tõestatakse Pythagrase tereemi kasutades (vt IX klassi matemaatika õpikutes). Mõlemal lähenemisel n mad eelised. Esimesel juhul n tarvis kasutada erinevaid jnestamise ja mõõtmise vahendeid. Malli kasutamist n ülesannetes õige harva vaja, nagu ka sirklit. Kui seda teha veel rühmades (vähemalt 6 õpilast rühmas), siis n võimalik rääkida mõõtmise täpsusest, pliiatsi teravusest, mõõtude võtmisest, vea arvutamisest, võib-lla arvutada aritmeetilised keskmised. Siinkhal võivad erinevad rühmad teha kaare erineva raadiusega. Sellel võiks lla vähemalt kaks väärtust: näha, et suuremalt jniselt n võimalik saada suurem täpsus; raadiusest lenemata saab teha samad järeldused. Jniste tegemine n matemaatika eluline rakendamine. Kiire ja räpakas töö siin kuidagi ei sbi. Teisel juhul (mis

3 võiks sbida ka kitsa matemaatika kursuses) võiks ühe tõestuse teha ks ning ülejäänutele anda ette jnised, mille järgi saab tulemusi põhjendada sarnasel kmbel. Õppekava lugemisel saab seda tõlgendada nii, et matemaatika kitsas kursuses ei õpita taandamisvalemeid. Kuid eespl märgitud nurkade trignmeetriliste funktsinide väärtusi peab teadma. Need jäävad üpris hõlpsasti meelde. Siinkhal võiks meenutada vana nippi: Funktsin sin cs tan 0 1 = 0 = = = = = = = 1 On vaja meelde jätta tabeli esimene rida. Funktsini graafikut kõrvale võttes (sic! On alles KM V kursuses) veendutakse ja jäetakse meelde, et siinus n esimese veerandi nurkade krral kasvav funktsin. Esimese veerandi nurkade ksinused saadakse, teades siinuseid (nurga siinus n võrdne täiendusnurga ksinusega). Tangens saadakse siinuse ja ksinuse jagatisena. Kui õpitakse taandamisvalemeid (LM IV kursus), siis n märkide meeldejätmiseks mitu võimalust. Üks n see, kus iga trignmeetrilise funktsini juurde n jnistatud krdinaattelgede abil krda risttabel, kus igas veerandis n näidatud trignmeetrilise funktsini märk. Teine võimalus n meelde jätta reegel sõnaliselt: nurga siinuse märk n sama, mis n nurga lõpphaaral leva suvalise punkti y-krdinaadil (ksinuse märk n sama, mis x-krdinaadil ning tangensi märk sama, mis x y-i märk). Lisaksin siia veel, et aitab see, kui satakse jnistada ja lugeda funktsinide graafikuid (mõne lühitöö või tunnikntrlli lahendamise ajal võiks lubada jniseid kasutada). Selgituseks kaks kena jnist, mis võivad märkide taandamisvalemite kasutamiseks vajalike märkide meeldejätmisel abiks lla. Siinusfunktsin sin x x

4 Ilus n need väärtused kanda ka ühikringile või kasutada sinusidi knstrueerimisel ühikringjnt. Järgmisel Wikipediast pärit jnisel jälgitagu ühikringjne ja nurga lõpphaarade lõikepunktide x- ja y-krdinaate kuidas nad n setud nurga siinuse ja ksinusega? Jnis. Siinusfunktsini väärtused ühikringjnel ( Miks eelmine tabel ja jnis vajalikud n? Miks peab üldse midagi pähe õppima? Siit saab väärtuslikke nurki, et leks hea kntrllida, kas n hästi meeles erinevad trignmeetria teisendusvalemid. Tänapäeval teevad palju asju meie eest ära arvutid ja kui ei tee, siis internetist või raamatutest leiab kiiresti õiged valemid ja tabelid kätte. Siiski n luline skus debugimine, see plegi päris meie sõna, aga prgrammeerijad kntrllivad ma prgrammi mingite andmete krral. LOGO-prgrammeerimise prpageerija Seymur Papert ütles ligilähedaselt järgmist (S. Papert jt, 1993; Mindstrms, Basic Bks, lk 144): Oluline n näha, et prgramm n hea, kuigi seal võib lla mõni väike viga. Debugimise filsfia seisneb selles, et õpilane saab ma vead ise likvideerida nii, et keegi teine ei saa isegi teada. See filsfia jõuab õpilasteni läbi arvutiprgrammeerimise kõige efektiivsemalt. Olgugi et mõnel juhul me teeme tehteid tähtavaldistega, siis leks mõistlik paluda õpilastel kntrllida teisendamisel saadud tulemust, andes muutujatele arvulisi väärtusi. Õpilastel n kliktis kena taskuarvuti, mis teeks silmad ette mõnelegi paarkümmend aastat vanale persnaalarvutile, kuid kasutada skavad selle riistapuu võimalusi õige vähesed. Oma tegevuse kntrllimine n jällegi see, millega peab tegelema matemaatikatunnis. Õpilane saab

5 taskuarvuti abil kntrllida, kas tema töö n lnud edukas. On küll tüütu, aga sel kmbel leks isegi võimalik leida kht, kus uus avaldis ei le enam eelmisega samaväärne. Sedasi ldaks sõber ma arvutiga ja tunne leks kindlam tehtud töö suhtes. Ka teisendusvalemeid saab nõndamdi üle kntrllida sin α = sinα csα, kuiα = 30, siis sin 60 = ja ka sin 30 cs30 = = 3. Negatiivse nurga trignmeetrilised funktsinid, funktsinide y = sin x, y=cs x, y = tan x graafikud. Siin tasuks taas muidugi kasutada erinevaid vahendeid, et tuumani jõuda. Esiteks: funktsinide graafikuid peaks tegema millimeetripaberile, hlimata kuluvast ajast. Vaja leks knstrueerida enam kui ühe peridi jagu. Jõudma peab selleni, et funktsini väärtused hakkava krduma. Teiseks: graafikuid n vaja uurida dünaamilise gemeetria vahendeid kasutades, eelistatult GeGebra abil (vt töölehti nn MttWikis või mujal). Siin tasuks vaadata põhjalikumalt näiteks siinusfunktsini: millised n nullkhad, milline n muutumispiirknd, millal n funktsin psitiivne, kus n negatiivne, mida tähendab peridilisus. Kui abstsissteljel n ühikuks valitud radiaan, siis n peridi pikkust küllalt lihtne jniselt välja lugeda. Siin n hea selgitada ka trignmeetriliste põhivõrrandite gemeetrilist lahendamist, kuigi see n hpiski V kursuses Funktsinid I. Näiteks võrrandi sin x = 0,5 gemeetrilisel lahendamisel uuritakse jniselt jnte y = sin x ja y = 0,5 lõikepunkte. Jälgime kahte eraldi seeriat lahendeid, jnisel n need tähistatud punktidega A i ja B i, kus i Z. Tähega A n märgitud lõikepunktid, millal siinusfunktsin n kasvamas, ja üks seeria lahendeid leks seega x π x 1 = + n π, kus n n suvaline täisarv. Teine seeria lahendeid n setud tähega B, 6 π 5π = π + n π = + n π. Kuna kasutatakse taskuarvutit, siis peab skama kasutada 6 6 ka kraadimõõtu. Sellisel kmbel lahendite kirjutamine n väga lmulik, sest kasutatakse tseselt siinusfunktsini peridilisust. Nii näidatakse üldist põhimõtet, kuidas võrrandeid graafiliselt lahendatakse. Graafiline lahendamine leks hea ka sel põhjusel, et näidatakse, kuidas avaldab mõju võrduse teisendamine. Näiteks n alguses võrrand sin x = 1, millest saadakse sin x = 0,5. Hea leks lahendada mõlemaid võrrandeid samal jnisel kõrvuti, siis uurida ja näha, et lõikepunktide abstsisskrdinaadid n ühed ja samad.

6 Graafilist lahendamist saab hiljem kasutada ka selliste võrrandite lahendamiseks, mis ehk ei sin x kuulugi kitsasse matemaatikasse, näiteks = 0. Siin n prbleemiks see, et nimetajas sin x lev avaldis ei thi lla null. Seega sin x = 0 lahendamisel saadud lahendid tuleb läbi kntrllida ja vajadusel esialgsed võrrandile sbimatud lahendid kõrvale visata. Võõrlahendite kõrvaldamiseks n kaks teed: kasutada ühikringjnt (viis trignmeetrilise võrrandi kntrllimiseks), millele kantakse peale võrrandi lahendid ja nimetaja nullkhad, või kasutades jnist, millele n kantud funktsinide y=sin x ja y=sin x ning siis sealt leida sbilikud lahendid ja sbiv peridi pikkus. Kitsa kursuse puhul, kus taandamisvalemeid ei õpita, saabki trignmeetrilisi põhivõrrandeid ainult graafiliselt lahendada, muidu erinevaid lahendiseeriaid kätte ei saaks. Põhivõrrandite gemeetriliselt lahendamine n väga lähedane n-ö võrdlemise võttele. Olgu meil lahendada eelpl märgitud võrrand sin x = 0,5. Taskuarvuti ekraanilt saab hõlpsalt ühe lahendi (sama teevad ka nt prgrammid Wiris ja StudyWrks). Prgramm Wiris ( annab teada trignmeetrilise võrrandi lahendamisel seeriate esindajad, aga mitte üldlahendit. Siinuse taandamisvalemitest järeldub võrdus sin 30 sin( ) =. Olles uurinud siinusfunktsini graafikut, siis funktsini peridilisuse tõttu ( 30 + n 360 ) 0, 5 ja sin ( ) = 0,5. sin = x + 1 = 30 n360 ja x + n Seega n meil kaks seeriat lahendeid = 150 n360, kus n n täisarv. Aastal 00 li riigieksamil (I variant II sa ül 7) ülesanne cs x = cs x, mille võime lahendada analgselt eelneva näitega. Siin arvestame taas peridilisust ning seda, et cs x = cs ( x). Seega saame lahendite seeriad x + n = x+ n360 või x= x 360. Kust saame avaldada x = n 360 või x = n 10, kus n n täisarv. Võib muidugi edasi minna ja esimesest lahendite seeriast lbuda, sest see sisaldub teises. Taandamisvalemid matemaatika laias kursuses. On muidugi täpne esitada taandamisvalemite juures 5 4=0 valemit (kui ktangensid ka mängus, ehkki neid ei peaks käsitlema) või veelgi

7 enam. Kuid saab ka teisiti. Funktsinid siinus ja ksinus ning tangens ja ktangens mdustavad kaasfunktsinide paarid. Ütleme, et üks paarilistest n funktsin tri x ja teine n tema kaasfunktsin ctri x. Sel juhul taandamisvalemid võivad lla kas ainult x-telje suhtes näiteks sin ( x) = sin x π või võetakse arvesse ka y-telg, siis näiteks π sin + x = cs x. Nüüd võime esitada kahed taandamisvalemid: tri( n ± x) = trix π siin märk n kas + või sõltuvalt, millise märgiga n funktsin tri x veerandis, kuhu kuulub nurk jääb samaks; ( n 1) n π ± x (tavaliselt n=0,,), funktsin + π tri ± x = ctri x siin märk n kas + või sõltuvalt, millise märgiga n funktsin tri x veerandis, kuhu kuulub nurk ( n+ 1 ) π ± x (tavaliselt n=0, 1), funktsin asendub kaasfunktsiniga. Näited. Olgu siin nurk α teravnurk. 1) cs ( 70 +α). Ksinuse kaasfunktsiniks n siinus. Tegemist IV veerandi nurgaga, kus x-krdinaat ja seega ka ksinus n psitiivne, seega cs ( 70 + α) = sinα. ) ct ( 180 +α). Jääb ktangens. Tegemist III veerandi nurgaga, kus y- ja x-krdinaat n negatiivsed ning ktangens psitiivne, seega ct ( α) = ctα. Laia matemaatika kursuses õpitakse veel lisaks nurkade summa ja vahe trignmeetrilisi valemeid ning eelmistest lihtsalt tuletatavaid kahekrdse nurga trignmeetrilisi funktsine. Õpilastele n svitatav valemite meeldejätmisel kasutada kkkupakkimise metafri. Nende valemite memreerimisel alustame nüüd valest tsast alustame järeldusest ehk kahekrdse nurga trignmeetrilistest funktsinidest. Kuivõrd leidub rhkesti kahekrdse nurga trignmeetriliste funktsinide madusi kasutavaid ülesandeid ning, et need sesed n lihtsama kujuga kui nurkade summa trignmeetrilised funktsinidega setud valemid, siis jäävad nad küllalt hästi meelde: sin x= sin xcs x ja cs x= cs x sin x. Eelmised kaks peavad lema kskõlas nurkade summa valemiga, siit ( x+ x) = sin xcs x cs xsin x ja cs( x x) = cs xcs x sin xsin x sin + +. Kui nüüd nurgad leksid erinevad, siis sin ( x y) = sin x cs y+ cs xsin y + ja

8 cs ( x y) = cs x cs y sin x sin y. + Ja viimaks ple enam raske tuletada nurkade vahe siinust ja ksinust, arvestades, et x y = x + ( y). See nipp võib aidata eksamil või kntrlltöö kirjutamisel valemid meelde tuletada. Paar ideed seses siinus- ja ksinustereemiga. Meie õpikutes n nendele tereemidele erinevaid tõestusi ja palju väärt materjali rakenduslike ülesannete näl. Tõestamisel n tähtis mõista, mis n antud ja mida n vaja näidata eeldust ja väidet. See tuleb selgelt ja rahulikult välja tuua. Tõestamise prtsess n mõneti sarnane kirjandi kirjutamisele etteantud teemal. Nüüd võib seda metafri kasutada sel kmbel, et edukatele õpilastele anda ette kirjandi kndikava ja lasta nad masdu asja kallale. Teistele õpilastele võib pakkuda vastupidist võimalust: mõelda, millised etapid tõestuses tehti, miks võis ja millele tuginedes sai liikuda tõestusega edasi. Siin n õpilase hl tõestus maha kirjutada ja taastada kirjandi kndikava. Klmas võimalus n lnud õpilastele huvitav tõestusest antakse ette lõplik jnis, kuid tõestus ise n näiteks lausehaaval eraldi sedelitele lahti lõigatud (len kasutanud paberigiljtiini). Töö nagu esimese klassi matemaatika õpikus, kus li neli pilti ja need tuli lgiliselt järjestada. Svitus n tõestada teisiti, kui seda tehakse õpikus, sest muidu kab mõnedel õpilastel põnevus khe. Laias kursuses leks üheks võimaluseks dünaamilise gemeetria vahenditega ldud animeeritud tõestuse vaatamine ja selle põhjal tõestuse kirjapanemine. Aadressil asub ksinustereemi tõestus-animatsin. Esmalt tasub jälitada tõestusknstruktsini etappe, neid vajadusel põhjendada. Sarnase knstruktsini võiks luua ka ise prgrammi GeGebra abil. Järgmisena n vaja tähele panna, et tõestati erijuhul, kus klmnurga nurgana vaadeldi teravnurka. Seega leks vaja uurida ka juhtumit, kus nurk n nürinurk. Kas leks ehk võimalik kstöös infrmaatikaõpetajaga teha selline fläsh-vide? See leks võimalus ainete integreerimiseks. (vt ka lehekülge matdid.edu.ee märksõnaks ksinustereem). Kkkuvõtteks arvan, et trignmeetrilised funktsinid n lulised sel põhjusel, et saame näited peridilistest funktsinidest, millele n rakendusi näiteks füüsikas. Nad annavad võimaluse tegeleda algebraga ning pakuvad mitmeid võimalusi õppida tõestamist ja lgilist järeldamist. Lõpetuseks üks rakenduslikku laadi ülesanne, mis n pärit artiklist Is the curve f temperature variatin a sine curve?, B.M. Land ja C.A. Land. The Mathematics Teacher, Sept 1977, Köide 7, Nr. 6, lk (tõlge n pisut khandatud):

9 Trans-Alaska trujuhtme ehitajad kasutasid sjustusplaate, et hida eelsjendatud trnafta temperatuuri, kui tru asus külmunud pinnases. Sjustuse disainimisel tuli arvestada temperatuuri kõikumisega kgu aasta jksul. Kui Alaska õhutemperatuurid läbi mitme aasta lid kgutud (kust saaks andmed?), siis selgus, et neid n hea lähendada siinusfunktsiniga f π 365 ( x) = 37 sin ( x 101) + 5, kus f n temperatuur Fahrenheitides, x n päevad alates aasta algusest. Selgitage arvulisi knstante. Teisendage temperatuur Celsiuse süsteemi. Jmt?