Μετασχηματισμοί Laplace

Transcript

1 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μετασχηματισμοί Laplace Ο μετασχηματισμός Laplace μας επιτρέπει να μετατρέψουμε γραμμικές διαφορικές με σταθερούς συντελεστές και ολοκληρωτικοδιαφορικές εξισώσεις σε αλγεβρικές εξισώσεις, των οποίων η επίλυση είναι ευκολότερη. Ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένας τελεστής, ο οποίος μετασχηματίζει μία συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, συνήθως ως προς το χρόνο, σε μία συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής s σύμφωνα με τον ακόλουθο ορισμό: st L{f (t)} = F(s) = e f (t)dt (A.) 0 όπου L συμβολίζει το μετασχηματισμό Laplace και F(s) τη συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής s = σ + iω, i =. Ο μετασχηματισμός Laplace της f(t) υπάρχει όταν το αόριστο ολοκλήρωμα (A.) συγκλίνει. Το τελευταίο θα ισχύει εάν η συνάρτηση f(t) είναι φραγμένη, δηλαδή για κάποιες πεπερασμένες θετικές τιμές των Μ και σ ικανοποιείται η ακόλουθη ανισότητα: σt f (t) e dt M 0 Επομένως, ο μετασχηματισμός Laplace της t e δεν υπάρχει αφού η συνάρτηση f(t) = δεν ικανοποιεί την παραπάνω ανισότητα. Αντίθετα, η συνάρτηση μετασχηματιστεί κατά Laplace. t e t e μπορεί να Έστω ότι L{f(t)} = F(s). Τότε ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s) είναι επίσης ένας γραμμικός ολοκληρωτικός μετασχηματισμός που ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα των Fourier Mellin ως εξής: 437

2 438 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων L - {F(s)} = c+ iω lim e st F(s)ds πi ω = f(t) (A.) c iω όπου L - συμβολίζει τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, και c είναι μια πραγματική σταθερά. Α. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Laplace Στη συνέχεια, παρουσιάζονται οι σημαντικότερες ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace. Γραμμικότητα. Ο μετασχηματισμός Laplace του γραμμικού αθροίσματος δύο συναρτήσεων f (t) και f (t) ισούται με το γραμμικό άθροισμα των μετασχηματισμένων συναρτήσεων F (s) και F (s). Συγκεκριμένα, L{ α f (t) f (t)} { f (t) f (t)}e st + α = α + α dt = αf (s) + αf (s) (A.3) 0 Μετασχηματισμός Laplace πρώτης παραγώγου. Ο μετασχηματισμός Laplace της πρώτης παραγώγου της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση: d(f (t) df L = e st dt dt = sf(s) f (0) (A.4) dt 0 όπου f(0) είναι η αρχική τιμή της συνάρτησης. Απόδειξη: Με τη βοήθεια του τύπου ολοκλήρωσης κατά παράγοντες λαμβάνουμε: b f (x)g (x)dx = f (x)g(x) a f a df (t) df L = = e st dt f (t)e st dt dt 0 b b a (x)g(x)dx f (t) 0 0 d dt ( e st ) dt = f (0) s f (t)e st dt sf(s) f (0) 0 + = Μετασχηματισμός Laplace παραγώγου n-τάξης. Ο μετασχηματισμός Laplace της n- παραγώγου της συνάρτησης f(t) είναι:

3 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 439 d n f (t) = s dt n L n n n () (n ) (n ) F(s) s f (0) s f (0)... sf (0) f (0) (A.5) όπου f (n) (0) είναι η τιμή της n-παραγώγου της συνάρτησης f(t) για t=0. Μετασχηματισμός Laplace του ολοκληρώματος μιας συνάρτησης. Ο μετασχηματισμός t Laplace του ορισμένου ολοκληρώματος f (t )dt δίνεται από τη σχέση: 0 t L f (t )dt = F(s) (A.6) 0 s Απόδειξη: Από τον ορισμό (A.) έχουμε: t t t st d L f (t )dt e f (t )dt dt st ( e = = ) f (t )dt dt = s dt t t st st st d e f (t )dt e f (t )dt dt e f (t)dt F(s) s + = = s dt s s Μετατόπιση στο πεδίο του χρόνου. Έστω οι χρονικές συναρτήσεις f(t) και f(t-τ). Η f(t τ) θα είναι ίση με την προς τα δεξιά χρονικά μετατοπισμένη συνάρτηση f(t), όπου τ είναι η χρονική σταθερά μετατόπισης (βλέπε Εικόνα Α.). Ο μετασχηματισμός Laplace της μετατοπισμένης συνάρτησης f(t-τ) θα δίνεται από την ακόλουθη σχέση: Εικόνα Α.: Μετατόπιση συνάρτησης στο πεδίο του χρόνου.

4 440 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων L{f (t τ)} = e sτ F(s) (A.7) Απόδειξη: Αν θέσουμε t' = t τ, θα έχουμε L { f (t τ )} = f (t τ)e st dt = e sτ f (t')e st ' dt ' 0 Όμως, για t'<0 ισχύει: f(t')=0. Συνεπώς, { } = sτ L f(t τ) e F(s) τ Μετατόπιση στο πεδίο της μιγαδικής μεταβλητής. Αντίστοιχα, για τη μετατόπιση στο μιγαδικό επίπεδο θα ισχύει: L{e at f (t)} = F(s + a) (A.8) Απόδειξη: Από τον ορισμό (A.) έχουμε: L{e at f (t)} = f (t)e at e st dt = f (t)e (s+ a)t dt = F(s + a) 0 0 Αλλαγή χρονικής κλίμακας. Μια άλλη ιδιότητα του μετασχηματισμού Laplace είναι εκείνη που σχετίζεται με την αλλαγή της κλίμακας χρόνου. Η συνάρτηση f(at) διαφέρει από την f(t) στην κλίμακα χρόνου κατά a μονάδες. Για τις δύο αυτές συναρτήσεις ισχύει η σχέση: L{f(at)} = a F s a (A.9) Απόδειξη: Από τον ορισμό (A.) έχουμε: s (at) st L{f(at)} = f(at)e dt= f(at)e a d(at) a 0 0 Αν εφαρμόσουμε το μετασχηματισμό λ = at, θα έχουμε 0 s λ a s L{f (at)} = L{f (λ)} = f (λ)e d(λ) F a = a a

5 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 44 Το θεώρημα της αρχικής τιμής. Το θεώρημα αυτό αναφέρεται στη συμπεριφορά μιας συνάρτησης f(t) καθώς t 0, γι αυτό ονομάζεται θεώρημα της αρχικής τιμής. Με την προϋπόθεση ότι η πρώτη παράγωγος f () (t) μπορεί να μετασχηματισθεί κατά Laplace, το θεώρημα αυτό διατυπώνεται ως εξής: lim f (t) = lim sf(s) (A.0) t 0 s Απόδειξη: Από την εξίσωση (A.4) παρατηρούμε ότι το όριο του ολοκληρώματος df e st dt για t 0 θα είναι ίσο με μηδέν. Αντίστοιχα, το όριο του τρίτου μέρους στην dt 0 εξίσωση (A.4) για s είναι: lim[sf(s) f (0)] = 0 ή s limf(t) = lim sf(s) t 0 s Το θεώρημα της τελικής τιμής. Το θεώρημα αυτό αναφέρεται στη συμπεριφορά της συνάρτησης f(t) καθώς t, γι αυτό και ονομάζεται θεώρημα της τελικής τιμής. Με την προϋπόθεση ότι η f () (t) μπορεί να μετασχηματισθεί κατά Laplace και ο παρονομαστής της ρητής συνάρτησης sf(s) δεν έχει ρίζες στον άξονα των φανταστικών αριθμών ή στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο, το θεώρημα αυτό διατυπώνεται ως εξής: lim f (t) = limsf(s) (A.) t s 0 Απόδειξη: Υπολογίζουμε πρώτα το όριο του δεύτερου όρου στην εξίσωση (Α.4) για t και s 0. t () st () () lim f (t)e dt = f (t)dt = lim f (λ)dλ = lim[f(t) f(0)] = limf(t) f(0) s 0 t t t Ακολούθως, υπολογίζουμε το όριο του τρίτου μέρους στην εξίσωση (A.4). lim[sf(s) f (0)] = lim sf(s) f (0) s 0 s 0 Εξισώνοντας τα δύο παραπάνω αποτελέσματα, λαμβάνουμε τη σχέση (A.). Παρατήρηση: Τα θεωρήματα της αρχικής και της τελικής τιμής επιτρέπουν τον προσδιορισμό της αρχικής και τελικής τιμής της συνάρτησης f(t), χωρίς να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της F(s).

6 44 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πολλαπλασιασμός συνάρτησης επί t. Στην περίπτωση αυτή, ισχύει η σχέση: d L{tf(t)} = F(s) (A.) ds Απόδειξη. Διαφορίζοντας την εξίσωση (A.) ως προς s λαμβάνουμε: d F(s) ds = 0 tf (t)e st dt = = L{tf(t)} που είναι ακριβώς η εξίσωση (A.). Στη γενική περίπτωση, θα ισχύει η σχέση: n L{t n d f(t)} = ( ) n F(s) (A.3) dsn Διαίρεση συνάρτησης δια t. Στην περίπτωση αυτή, ισχύει η σχέση: f(t) L = F(s)ds t (A.4) s Απόδειξη. Αν ολοκληρώσουμε την (A.) από s έως προκύπτει: = = F(s)ds f (t)e σtdt dσ f(t)e σtdσ dt s s 0 0 s f(t) σt f(t) st f(t) de dt e = dt L t = = t t 0 s 0 Α. Μετασχηματισμοί Laplace Βασικών Συναρτήσεων Μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Η γραφική παράσταση της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης παρουσιάζεται στην Εικόνα Α.. Η μαθηματική διατύπωση της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης είναι: 0, t < 0 f(t) = H (t) = (A.5), t > 0

7 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 443 Εικόνα Α.: Μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Ο μετασχηματισμός Laplace της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης (A.5) εύκολα υπολογίζεται από την εφαρμογή της εξίσωσης (A.): st st st L{H(t)} = e H(t)dt = e dt = e = s s (A.6) Ανάλογα, ο μετασχηματισμός Laplace της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης που εφαρμόζεται την χρονική στιγμή t o >0, είναι: L{H(t st t )} e o 0 = (A.7) s Γενικά, εάν f(t) είναι μια βηματική συνάρτηση μεγέθους a, 0, t < t f(t) = aη(t t o) = a, t > t o o (A.8) τότε, η μετασχηματισμένη κατά Laplace συνάρτηση F(s) θα είναι: a L{f (t)} = e st o (A.9) s Μοναδιαία συνάρτηση πύλης. Η γραφική παράσταση της μοναδιαίας συνάρτησης πύλης παρουσιάζεται στην Εικόνα Α.3. Η αλγεβρική έκφραση της μοναδιαίας συνάρτησης πύλης είναι:

8 444 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Εικόνα Α.3: Μοναδιαία συνάρτηση πύλης. 0, t < 0 f(t) = / b, 0 < t < b = H(t) H(t b) b b 0, t > b (A.0) Συνεπώς, ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης (A.0) είναι: 0 sb st sb e L{f(t)} = H(t) H(t b) e dt e b b = = (A.) bs bs b s Συνάρτηση μοναδιαίου στιγμιαίου παλμού. Η συνάρτηση Dirac δέλτα, δ(t), ορίζεται από το όριο της μοναδιαίας συνάρτησης πύλης για b 0. Η γραφική παράσταση της μοναδιαίας παλμικής συνάρτησης δίνεται στην Εικόνα Α.4. Εικόνα Α.4: Μοναδιαία παλμική συνάρτηση.

9 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 445 Η αλγεβρική διατύπωση της μοναδιαίας παλμικής συνάρτησης είναι:, t = 0 δ (t) = (A.) 0, t 0 Το ολοκλήρωμα της δ(t) όταν ο χρόνος μεταβάλλεται από σε +, είναι: + ε δ(t)dt = δ(t)dt = (A.3) ε Ο μετασχηματισμός Laplace της δ(t) εύκολα προκύπτει από την εξίσωση (A.) για b 0. Συνεπώς, υπολογίζοντας το όριο της εξίσωσης (A.) για b 0, λαμβάνουμε: sb sb e d( e )/db se L{ δ (t)} = lim = lim = lim = (A.4) b 0b s b 0 d(sb) db b 0 s Επικλινής συνάρτηση με κλίση a. Η γραφική παράσταση της επικλινούς συνάρτησης δίνεται στην Εικόνα Α.5. Η αλγεβρική έκφραση της επικλινούς συνάρτησης με κλίση a είναι: sb f(t) = ath(t) (A.5) Συνεπώς, ο μετασχηματισμός Laplace της επικλίνους συνάρτησης είναι: st a L {f (t)} = L{atH(t)} = ate dt = 0 s (A.6) Εικόνα Α.5: Επικλινής συνάρτηση.

10 446 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πολυωνυμική συνάρτηση ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή. Έστω f(t) είναι μια εκθετική συνάρτηση ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή t, της μορφής: f(t) = a t n (A.7) όπου n είναι κάποιος ακέραιος θετικός αριθμός. Ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης (A.7) είναι: L{at n an! } = (A.8) sn + Hμιτονοειδής Συνάρτηση. Έστω f(t) είναι μια ημιτονοειδής συνάρτηση με πλάτος a. f(t) = asin(ωt) (A.9) Εύκολα αποδεικνύεται ότι ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης (A.9) είναι: L{asin(ωt)} = s aω + ω (A.30) Έστω η συνημιτονοειδής συνάρτηση με πλάτος a. f(t) = acos(ωt) (A.3) Ο αντίστοιχος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης (A.3) θα είναι: L{acos(ωt)} = s as + ω (A.3) Εκθετική συνάρτηση. Έστω η εκθετική συνάρτηση f (t) = e at (A.33) Ο μετασχηματισμός Laplace της εκθετικής συνάρτησης είναι: L{e at } = e at e st dt = e (s+ a)t = (A.34) s + a 0 s + a 0 Στον Πίνακα Α. παρουσιάζονται οι μετασχηματισμοί Laplace, F(s), τυπικών χρονικών συναρτήσεων, f(t).

11 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 447 Πίνακας Α.: Μετασχηματισμοί Laplace διαφορικών και γινομένων f(t) L{f(t)} = F(s) f(t) L{f(t)} = F(s) df dt sf(s) f(0) t df dt df(s) s ds + df(s) ds df dt s F(s) sf(0) f (0) t df dt s df(s) ds sf(s) + f(0) t df dt s df(s) ds F(s) t df dt s df(s) ds F(s) + 4s df(s) ds + Στον Πίνακα Α. παρουσιάζονται οι μετασχηματισμοί Laplace των διαφορικών όρων (df/dt) και (d f/dt ) καθώς και των γινομένων τους με την ανεξάρτητη μεταβλητή t (και t ). Οι μετασχηματισμοί αυτοί μας επιτρέπουν να επιλύσουμε ορισμένες κατηγορίες γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με μη σταθερούς συντελεστές. Πίνακας Α.: Μετασχηματισμοί Laplace τυπικών χρονικών συναρτήσεων, f(t) α/α F(s) f(t). /s Η(t). /s t 3. /s n t n /(n )! 4. (s+ α) αt e 5. e t/τ τs + τ 6. (s + α) 7. n (s + α) (n =,,...) te αt t n e αt (n )! 8. (s + α)(s + b) (e αt e bt ) (b α) 9. s (s + α)(s + b) 0. b s + b (be bt αe αt ) (b α) sin bt

12 448 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πίνακας Α. (συνέχεια): α/α F(s) f(t). b s b. s s + b 3. s s b 4. b (s + α) + b 5. s + α (s + α) + b sinh bt cos bt cosh bt e αt sin bt e αt cos bt Γ(k) 6. k s (k 0) t k Γ(k) 7. k (s + α) (k 0) t k αt e 8. f(s+α) e t f (t) 9. e bs f (s) f(t-b) και f(t) = 0 για t<b α Παράδειγμα Α.: Εφαρμογή του μετασχηματισμού Laplace στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων Άσκηση : Να μετασχηματίσετε κατά Laplace την ακόλουθη ολοκληρωτική-διαφορική εξίσωση: t dy + 3y(t) = a y(t )dt dt 0 Λύση: ; y(0) = yo Από την εφαρμογή των ιδιοτήτων των μετασχηματισμών Laplace (βλέπε εξισώσεις (A.4) και (A.6)) λαμβάνουμε: a sy(s) y(0) + 3Y(s) = Y(s) s

13 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 449 και Y(s) = sy(0) s + 3s a Άσκηση : Να μετασχηματίσετε κατά Laplace την ακόλουθη διαφορική εξίσωση: Λύση: dy 3 dy dy y(t) = 4u(t) ; y(0) = y'(0) = y''(0) = 0 dt dt dt Από την εφαρμογή της εξίσωσης (A.5), λαμβάνουμε: sy(s) 3 s y(0) Y(s) = sy(0) 4U(s) s3+ s + 3s+ y(0) + (s Y(s) s y(0) y(0) ) + 3(sY(s) y(0)) + Y(s) = 4U(s) Παράδειγμα Α.: Εφαρμογή του θεωρήματος της αρχικής τιμής Να υπολογίσετε την αρχική τιμή της συνάρτησης f(t), από τη μετασχηματισμένη συνάρτησή της F(s): (s )(s + ) F(s) = s(s+ 3)(s 4) Λύση: Σύμφωνα με το θεώρημα της αρχικής τιμής, η αρχική τιμή της συνάρτησης f(t=0) υπολογίζεται ως εξής: s(s )(s+ ) s lim f (t) = lim sf(s) = lim = lim = lim s = t 0 s s s(s+ 3)(s 4) s s s s s s Παράδειγμα Α.3: Εφαρμογή του θεωρήματος της τελικής τιμής Θεωρούμε μια διεργασία πρώτης τάξης στην οποία εισάγεται μια βηματική μεταβολή μεγέθους a. Όπως θα δούμε στο Κεφάλαιο 5, η μετασχηματισμένη μεταβλητή εξόδου, Y(s), της διεργασίας θα δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση:

14 450 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Kp a Y(s) = τs+ s Να υπολογίσετε την τελική τιμή της y(t) για t. Λύση: Η τελική τιμή της y(t) για τελικής τιμής. t προκύπτει από την εφαρμογή του θεωρήματος της Ka p lim (y(t)) = lim(s Y(s)) = lim = Kpa τs+ t s 0 s 0 Παράδειγμα Α.4: Μετασχηματισμός Laplace περιοδικής συνάρτησης Δίνεται η περιοδική συνάρτηση f(t), η οποία ισούται με το άθροισμα των χρονικά μετατοπισμένων συναρτήσεων f (t), f (t T), κλπ. f(t) = f (t)h(t) + f (t T)H(t T) + f (t T)H(t T) + όπου Τ είναι η περίοδος της συνάρτησης f (t). Να υπολογίσετε το μετασχηματισμό Laplace της f(t). Λύση: Σύμφωνα με την εξίσωση (A.7), ο μετασχηματισμός Laplace της παραπάνω συνάρτησης θα είναι: L{f(t)} = F (s) + F (s)e -st + F (s)e -st + = F (s)( + e -st + e -st F(s) + ) = e st Α.3 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης Y(s) δίνεται από τη σχέση (A.). Επειδή όμως ο υπολογισμός του ολοκληρώματος (Α.) είναι συνήθως δύσκολος και χρονοβόρος, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της Y(s) υπολογίζεται με τη βοήθεια κατάλληλων μεθόδων που θα αναλύσουμε στη συνέχεια. Συγκεκριμένα, στην περίπτωση που η Y(s) είναι μια ρητή συνάρτηση (και αυτή είναι η περίπτωση που θα μας απασχολήσει), τότε η συνάρτηση Y(s) δύναται να αναλυθεί σε άθροισμα μερικών

15 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 45 κλασμάτων. Ακολούθως, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Y(s) υπολογίζεται εύκολα με τη βοήθεια των αποτελεσμάτων του Πίνακα Α.. Επομένως, κύριος σκοπός μας είναι η ανάπτυξη μιας ρητής συνάρτησης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων. Για το σκοπό αυτό, θεωρούμε τη ρητή συνάρτηση: b(s) b s + b s b s + b Y(s) = = a(s) a s a s... a s a m m m m o n n n + n o ; όπου n>m (A.35) Έστω z, z,, z m και p, p,, p n είναι οι ρίζες των πολυωνύμων b(s) και a(s), αντίστοιχα. Συνεπώς, η εξίσωση (A.35) γράφεται: Y(s) b(s) b (s z )(s z )...(s z ) m m = = a(s) a n (s p )(s p )...(s p n) (A.36) Εάν οι ρίζες p, p,, p n είναι διακεκριμένες, τότε η εξίσωση (A.36) αναλύεται στους ακόλουθους όρους: b(s) k k kn Y(s) = = a(s) (s p ) (s p ) (s p ) n (A.37) Ακολούθως, υπολογίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της εξίσωσης (A.37): k k kn L {Y(s)} L L... L = (s p ) (s p ) (s p ) n (A.38) Τελικά, με τη βοήθεια του Πίνακα Α. λαμβάνουμε: tp tp tp y(t) L {Y(s)} k n e k e... k ne = = (A.39) Α.3. Προσδιορισμός των Συντελεστών k, k,, k n Πραγματικές ρίζες: Στην περίπτωση που οι ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή, a(s), είναι πραγματικές και διακεκριμένες, τότε οι συντελεστές k i στην εξίσωση (A.37) υπολογίζονται από την ακόλουθη σχέση για i =,,, n. b(s) b(s) k i = (s p i) = a(s) a (s p )(s p ) (s p ) (s p ) s= p i n i n (s p ) i s= p i (A.40)

16 45 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Παράδειγμα Α.5: Υπολογισμός του L - {Y(s)}: Περίπτωση πραγματικών διακεκριμένων ριζών Να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της ακόλουθης συνάρτησης: s s 6 s s 6 3 Y(s) = = s s s + (s )(s + )(s ) Λύση: Από την εφαρμογή της σχέσης (A.37) λαμβάνουμε: s s 6 k k k Y(s) = = (s )(s + )(s ) s s + s Ακολούθως, από την εξίσωση (A.40), υπολογίζουμε τους συντελεστές k, k και k 3. k = (s s 6) (s ) (s + )(s ) (s ) s= 6 = = 3 ( ) k (s s 6) = (s ) (s + ) (s ) (s + ) s= + 6 = = ( )( 3) 3 k 3 Συνεπώς, (s s 6) = (s )(s + ) (s ) 4 y(t) = 3e e e 3 3 t t t (s ) s= = = ()(3) 3

17 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 453 Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του παραπάνω προγράμματος σε MatLab. Μιγαδικές ρίζες: Εάν το πολυώνυμο του παρονομαστή της Y(s) (βλέπε εξίσωση (A.36)) έχει ένα ζευγάρι συζυγών μιγαδικών ριζών, (π.χ., p και p ), τότε η Y(s) αναλύεται ως εξής: b(s) ks + k k3 kn Y(s) = = a(s) (s p )(s p ) (s p ) (s p ) 3 n (A.4) Ο υπολογισμός των k και k μπορεί να γίνει από την ακόλουθη σχέση: b(s) (s p )(s p ) = (k s + k ) (A.4) = a(s) s p s= p Θεωρούμε τώρα το ζεύγος των συζυγών μιγαδικών ριζών p = α+ βi και p = α βi. Συνεπώς, η συνεισφορά των ριζών p και p στη χρονική απόκριση της y(t) θα είναι : ks+ k ks+ k ks+ k = = (s p )(s p ) [s ( α+ βi)][s ( α βi)] (s + α) + β k(s+ α) k α + k k (s+ α) k k α = = + (s + α) + β (s + α) + β (s + α) + β (A.43) Ακολούθως, με τη βοήθεια του Πίνακα Α., υπολογίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace του τελευταίου αθροίσματος. ks + k k αt kα L k αt e cos(βt) e = + sin(βt) (s p )(s p ) β (A.44) Παράδειγμα Α.6: Υπολογισμός του L - {Y(s)}: Περίπτωση συζυγών μιγαδικών ριζών Να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της ακόλουθης συνάρτησης: Y(s) = Λύση: s+ + s s 5 Οι ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή είναι p = + i, p = i. Στην περίπτωση

18 454 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων αυτή, -α = και β = Α. Ακολούθως, από την εφαρμογή της εξίσωσης (A.4), υπολογίζουμε τους συντελεστές k και k Α. s+ (s s + 5) (s p )(s p ) s= p = ks+ k = s p Άρα, k = και k =. Αντικαθιστώντας τις τιμές των k, k, -α και β στην εξίσωση (A.44) λαμβάνουμε: y(t) = et cos(t) + etsin(t) Εναλλακτικά, η μετασχηματισμένη συνάρτηση Y(s) γράφεται: s+ Y(s) = [s ( + i)][s ( i)] και σύμφωνα με την εξίσωση (A.39) λαμβάνουμε: y(t) = k e + k e (+ i)t ( i)t Ακολούθως, από την εφαρμογή της εξίσωσης (A.40) υπολογίζουμε τους συντελεστές k και k Α. k s+ + i (+ i) + i i i i = = = = = = (s ( i)) + i + i 4i i i s=+ i Παρόμοια, υπολογίζεται η τιμή του συντελεστή k, k Συνεπώς, s+ + i = = (s ( + i)) s= i t y(t) i e( + i)t + = + i e ( i)t = e (( i)e it + ( + i)e it ) Σύμφωνα με την ταυτότητα του Euler θα ισχύει: iα e = cosα + isinα Τελικά, η χρονική συνάρτηση y(t) γράφεται:

19 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 455 t t o = + = +, φ = tan ( ) = 45 y(t) e (cost sin t) e sin(t φ) Παρατήρηση: Στην παραπάνω εξίσωση χρησιμοποιήθηκε η τριγωνομετρική ταυτότητα: αcos b + αsin b = αsin(b + φ) ; α = (α + α ) ; φ = tan (α / α ) Η επαλήθευση του αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MatLab. Επαναλαμβανόμενες ρίζες: Στην περίπτωση που το πολυώνυμο a(s) έχει μία επαναλαμβανόμενη ρίζα τάξης r, τότε οι συντελεστές k, k, k r υπολογίζονται ως εξής: b(s) k k k k k Y(s) = a(s) = (s p ) + (s p ) + + (s p ) + + (s p ) + (s p ) r r n n r r n n (A.45) b(s) k (s p ) a(s) r r = (A.46) s= p d b(s) k r = (s p ) ds a(s) r s= p (A.47) dr b(s) k r = (s p r ) (r )! ds a(s) s= p (A.48) Από τον Πίνακα Α., εύκολα υπολογίζεται ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace του όρου /(s p ) n,

20 456 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων L n = (s p ) n t e (n )! pt (A.49) Παράδειγμα Α.7: Υπολογισμός του L - {Y(s)}: Επαναλαμβανόμενες ρίζες Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της Y(s) = s + s+ 3 (s + ) 3 Λύση: Σύμφωνα με τα ανωτέρω, η Υ(s) γράφεται: k 3 k k Y(s) = + + (s + ) 3 (s + ) (s + ) Υπολογισμός των k, k, k 3 : k 3 s + s+ 3 3 = (s + ) = s + s+ 3 = + 3= 3 s= (s + ) s= k = ds (s + ) d (s + s+ 3) 3 (s + ) 3 s= = s + = 0 s= k Άρα, (s ) 3 + = = (3 )! ds (s + ) d (s + s+ 3) = 3 s= y(t) = t L {Y(s)} L L e e (t )e (s + ) s +! = t t t + = + = + 3 Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MatLab.

21 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 457 A.3. Θεώρημα Συνέλιξης Πολλές φορές, μια συνάρτηση F(s) μπορεί να γραφεί ισοδύναμα ως γινόμενο δύο συναρτήσεων, δηλαδή των G(s) και H(s). F(s) = G(s)H(s) (A.50) Εάν οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Laplace των G(s) και Η(s) είναι g(t) και h(t) αντίστοιχα, τότε ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s), δηλαδή η f(t), δύναται να υπολογισθεί με τη βοήθεια του ολοκληρώματος της συνέλιξης: f(t) = L - {F (s)} = L - {G(s)H(s)} = t 0 0 t g(τ)h(t τ)dτ = g(t τ)h(τ)dτ (A.5) Οι δύο παραπάνω ισοδυναμες διατυπώσεις του θεωρήματος υποδηλώνουν ότι το ολοκλήρωμα της συνέλιξης είναι συμμετρικό. Παράδειγμα Α.8: Εφαρμογή του θεωρήματος συνέλιξης Με τη βοήθεια του θεωρήματος συνέλιξης να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της F(s): F(s) = Λύση: s (s+ ) Θεωρούμε ότι G(s) = /(s ) και H(s) = /(s+) Α. Σύμφωνα με τον Πίνακα Α., οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Laplace των G(s) και H(s) είναι:

22 458 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων g(t) = L - {/s } = t ; h(t) = L - {/(s+) } = te t Συνεπώς, σύμφωνα με την εξίσωση (A.5) έχουμε: f(t) = t (t τ) τ(t τ)e dτ = te t 0 t t τ t τ τe dτ e τ edτ 0 0 = t τ t t τ t τ t te e (τ ) e τ e e (τ ) t = (t ) + (t + )e Α.4 Θεώρημα Heaviside Θεωρούμε τη ρητή συνάρτηση Laplace, Y(s): b(s) Y(s) = (A.5) a(s) όπου τα b(s) και a(s) είναι πολυώνυμα του s. Η τάξη του πολυωνύμου a(s) είναι μεγαλύτερη εκείνης του πολυωνύμου b(s). Eπιθυμούμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της Y(s). Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: Πραγματικές διακεκριμένες ρίζες: Στην περίπτωση αυτή, η Y(s) γράφεται υπό τη μορφή, b(s) b(s) Y(s) = = a(s) a (s)(s p ) i i (A.53) όπου a(s)είναι i το πηλίκο a(s) / (s-p i ). Η συνεισφορά της ρίζας p i στη συνολική χρονική απόκριση της y(t) θα είναι: b(s) y (t) e pi b(p ) y (t) = e (A.54) pt i i = a(s) ή pt i pi i da(s) / ds s = pi s = pi Επαναλαμβανόμενη ρίζα πολλαπλότητας r: Στην περίπτωση αυτή, η Y(s) γράφεται: b(s) b(s) φ(s) Y(s) = = = a(s) a(s)(s p) (s p) r i i i r (A.55) Η συνεισφορά της ρίζας p i πολλαπλότητας r στη y(t) θα είναι:

23 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 459 d r φ /dsr dr φ /dsr t dφ /ds tr tr y p (t) = φ(p i i ) e (r )! (r )!!! pi pi p (r )! (r )! i = e (A.56) (r j)! (j )! r r j r j (j ) pt d φ /ds t i j = pi Μιγαδικές ρίζες: Για συζυγείς μιγαδικές ρίζες α ± iβ (όπου β είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός), ο τετραγωνικός όρος [(s + α) + β ] εμφανίζεται στον παρονομαστή της Y(s), δηλαδή pt i b(s) b(s) ψ(s) Y(s) = = = a(s) a (s)[(s + α) + β ] (s+ α) + β i (A.57) Η συνεισφορά των μιγαδικών ριζών α± β στη y(t) θα δίνεται από την εξίσωση (A.58): e αt y (t) (ψ cosβt ψ sinβt) β α± iβ = i + r (A.58) όπου ψ r και ψ i είναι το πραγματικό και το μιγαδικό μέρος της ψ(s) για s =-α+iβ. Παράδειγμα Α.9: Εφαρμογή του θεωρήματος Heaviside Άσκηση : Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = s+ 5 s + 5s+ 4 Λύση: Όλες οι ρίζες του πολυωνύμου a(s) είναι πραγματικές και διακεκριμένες. s+ 5 k k Y(s) = = + (s + )(s + 4) s + s + 4 Συνεπώς, k s = = = s s= ; k s = = = s s= 4 4 t y(t) = e e 3 3 4t

24 460 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab. Άσκηση : Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = s+ + + s (s 4s 5) Λύση: Το πολυώνυμο a(s) έχει μία ρίζα με πολλαπλότητα δύο (p = p = 0) και ένα ζευγάρι συζυγών μιγαδικών ριζών (p 3 = + i, p 4 = i). Συνεπώς, η Y(s) αναλύεται στους ακόλουθους όρους: όπου, s+ k k k k Y(s) = = s (s 4s 5) s s (s p ) (s p ) k = φ(s) = s s= 0 s+ s = = = 0, (s + 4s + 5) s= 0 dφ(s) d s + k = = = 0,04! ds s= 0 ds (s + 4s + 5) s= 0 ψ(s) = s+ + + s (s 4s 5) (s p )(s p ) 3 4 s+ = s και α=, β= Συνεπώς, η συνεισφορά του ζεύγους των μιγαδικών ριζών στη y(t) θα δίνεται από την ακόλουθη σχέση:

25 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 46 t e y a+ ib(t) = (ψicos t + ψrsin t) όπου ψ r και ψ i είναι το πραγματικό και μιγαδικό μέρος της ψ(s). ψ(s) s+ + i+ i (i )(3+ 4i) 7 i = = = = = s 4 4i 3 4i (3 4i)(3+ 4i) 5 + i + i 7 ψr = = 0, 8 ; ψi = = 0, Συνεπώς, με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα, η y(t) είναι: y(t) = 0,04 + 0,t 0,04e t t cos t 0,8e Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab. sin t Άσκηση 3: Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = s(s3+ 6s + s + 6) Λύση: Όλες οι ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή της Y(s) είναι πραγματικές και διακεκριμένες. k k k 3 k4 Y(s) = = s(s + )(s + )(s + 3) s s + s + s + 3

26 46 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Σύμφωνα με την εξίσωση (A.54) υπολογίζουμε τους συντελεστές k, k, k 3 και k 4. k k k k 3 4 Συνεπώς, = = (s + )(s + )(s + 3) 6 s= s= 0 = = = s(s + )(s + 3) ( )()() = = = s(s + )(s + 3) ( )( )() s= = = = s(s + )(s + ) ( 3)( )( ) 6 s= 3 y(t) = e + e e 6 6 t t 3t Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του παραπάνω προγράμματος σε MatLab. Άσκηση 4: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: dy 5 4y H(t) dt + =, y(0) = Λύση: Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης, προκύπτει:

27 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 463 5sY(s) 5y(0) + 4Y(s) = s 5s + 5s + k k Y(s) = = = + s(5s + 4) 5s(s + 0,8) s s + 0,8 5s + k = = = 0,5 5(s + 0,8) s= 0 5s + ; k = = 0, 5 5s s= 0,8 Συνεπώς, 0,8t y(t) = 0,5( + e ) Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MatLab. Άσκηση 5: Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = Λύση: 3 s + 3s+ 6 Το πολυώνυμο του παρονομαστή έχει ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών ριζών,,5± i 5 /. 3 3 ψ(s) Y(s) = = = s + 3s+ 6 (s +,5) + 0,5 5 (s+ α) + β ( ) όπου α =, 5, β = 0,5 5. Επειδή ψ(s) = 3, προκύπτει ότι ψ r = 3 και ψ i = 0. Συνεπώς, σύμφωνα με την εξίσωση (A.58), λαμβάνουμε:

28 464 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων,5t,5t e 6e y(t) = (ψicos(0,5 5t) + ψrsin(0,5 5t)) = sin(0,5 5) 5 5 Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MatLab. Άσκηση 6: Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: 0 Y(s) = (s + 4)(s + ) 3 Λύση: Η a(s) έχει μία ρίζα με πολλαπλότητα ένα και μία ρίζα με πολλαπλότητα τρία. 0 k 3 k k k4 Y(s) = = (s + 4)(s + ) 3 (s + ) 3 (s + ) s + s k3 = φ(s) = 5 s= s+ 4 = s= ; k dφ(s) d 0 5 = = =! ds ds s + 4 s= s= k dφ(s) d 0 5 = = =!! s 4 4 ds ds + s= s= 0 5 = = 4 ; k4 3 (s + ) s= 4

29 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 465 Συνεπώς, σύμφωνα με τις εξισώσεις (A.54) και (A.56) λαμβάνουμε: y(t) = 5 t e 5 te + 5 e 5 e 4 4 t t t 4t Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MatLab. Άσκηση 7: Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = + + s 9s 9 s3+ 7s + 4s+ 8 Λύση: Όλες οι ρίζες είναι πραγματικές και διακεκριμένες. Επομένως, Y(s) k k k 3 s + 7s + 4s + 8 (s + )(s + )(s + 4) s + s + s + 4 s + 9s+ 9 s + 9s+ 9 = = = k s + 9s = = = (s + )(s + 4) 3 3 s= k Συνεπώς, s + 9s+ 9 5 = = (s + )(s + 4) s= ; k 3 s + 9s+ 9 = = (s + )(s + ) 6 s= 4 5 y(t) = e e e 3 6 t t 4t

30 466 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab. Άσκηση 8: Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: e 0,5s s s 6s+ 3 ss s+ Y(s) = Λύση: Η Υ(s) γράφεται, e 0,5s s Υ(s) = (s 3) + (s ) + Σύμφωνα με τον Πίνακα Α., έχουμε: L = (s 3) + 3t sin(t)e και s L (s ) + t cos(t)e = Από την εφαρμογή του θεωρήματος της χρονικής μετατόπισης συνάρτησης, λαμβάνουμε: L e (s 3) και τελικά, 0,5s + = sin((t 0,5))e 3(t 0,5) H(t 0,5) 3(t 0.5) t y(t) = sin((t 0,5))e H(t 0,5) cos(t)e Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab.

31 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 467 Άσκηση 9: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: Λύση: d y dy dx y= 3 + x ; y(0)=0, y (0)=0 και x(t)=e 3t dt dt dt Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης x(t) είναι: dx(t)/ dt = 3e 3t Ακολούθως, προκύπτει: λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης, 7 s Y(s) + 4sY(s) + 4Y(s) = s+ 3 7 k k k 3 Y(s) = = + + (s + 3)(s + ) (s + ) s + s k = = 7 s+ 3 s = Συνεπώς, ; d 7 k = ds (s 3) = 7 + s = 7 k = = 7 (s ) = ; 3 + s 3 t t 3t y(t) = 7te + 7e 7e Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab.

32 468 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Άσκηση 0: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: d y dy y = H(t) ; y(0)=0, y (0)=0 dt dt Λύση: Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης, προκύπτει: sy(s) + 3sY(s) + Y(s) = s Y(s) k k k 3 s(s + 3s + ) s(s + )(s + ) s s + s + = = = + + k Συνεπώς, = = (s + )(s + ) s= 0 k = = = s(s + ) ( )() ; s= ; k = = s(s + ) s= t y(t) = e + e t Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab.

33 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 469 Άσκηση : Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: 3 dy dy + = 0 ; y(0) = y (0) = 0, y (0) = 3 dt dt Λύση: Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης, προκύπτει: s 3Y(s) sy(s) Y(s) + = = s(s + ) Το πολυώνυμο του παρονομαστή έχει μια πραγματική ρίζα στη θέση s = 0 και ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών ριζών, 0 ± i. Άρα, y(t) = y o (t) + y -0±li (t) y 0t o(t) = e = s + s= 0 0t i i r y ± (t) = e [ψ cos t + ψ sin t] όπου ψ(s) = /s και ψ(i) = /i = i ψ r = 0, ψ i = -. Συνεπώς, y(t) = cost Άσκηση : Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = (s + )(s + ) s3 s 9s 7

34 470 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Λύση: Διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή λαμβάνουμε: s+ 3 k k Y(s) = s+ + = s+ + + (s + )(s + ) s + s + όπου (s + 3)(s + ) k = = (s + )(s + ) = s ; (s + 3)(s + ) k = = (s + )(s + ) = Ο μετασχηματισμός Laplace της δ(t) είναι, ενώ της dδ(t)/dt είναι s. Επομένως, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της Y(s) είναι: d t y(t) = δ(t) + δ(t) + e e dt t s

35 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 47 Τι πρέπει να γνωρίζω Τι είναι μετασχηματισμός Laplace; Ποιες κατηγορίες διαφορικών εξισώσεων επιλύονται με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace; Ποια είναι η ιδιότητα της γραμμικότητας; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της παραγώγου n-τάξης, d n f/dt n ; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της χρονικά μετατοπισμένης συνάρτησης f(t T); Ποιο είναι το θεώρημα της αρχικής τιμής; Ποιο είναι το θεώρημα της τελικής τιμής; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace βηματικής συνάρτησης μεγέθους α; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της μοναδιαίας συνάρτησης πύλης; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Dirac, δ(t); Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της επικλινούς συνάρτησης f(t) = αt; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της εκθετικής συνάρτησης f(t) = e -αt ; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της ημιτονοειδούς (αsinωt) και συνημιτονοειδούς συνάρτησης (αcosωt); Πως υπολογίζεται ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της ρητής συνάρτησης Y(s) για τις περιπτώσεις (i) διακεκριμένων πραγματικών ριζών, (ii) επαναλαμβανόμενων ριζών και (iii) συζυγών μιγαδικών ριζών; Διατυπώστε το θεώρημα της συνέλιξης. Διατυπώστε το θεώρημα Heaviside για διακεκριμένες πραγματικές ρίζες, επαναλαμβανόμενες και συζυγείς μιγαδικές.

36 47 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Ασκήσεις Άσκηση A.: Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των παρακάτω περιοδικών συναρτήσεων: Άσκηση Α.: Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: f(t) e cos0t t 6e = t 4 + (t 0) για t >0 Άσκηση Α.3: Να αποδείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s), F(s) = s(s+ ) είναι: f(t) = t + ( + t)e t με τη βοήθεια του θεωρήματος Heaviside.

37 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 473 Άσκηση Α.4: Να αποδείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s), F(s) = (s + a)(s + b) είναι: f(t) = e at + (b a) e bt (a b) Άσκηση Α.5: Να αποδείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s), s + 3s 4 F(s) = (s )(s + s + ) είναι: f(t) = e t + e t cos(t) + e t sin(t) Άσκηση Α.6: α) Με τη βοήθεια του ολοκληρώματος συνέλιξης να δείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Y(s) =, δίνεται από το F(s) G(s) ολοκλήρωμα του Volterra, y(t) = f(t) + t y(u)g(t u)du. 0 β) Με βάση την απόδειξη του ερωτήματος (α) να δείξετε ότι η λύση του ολοκληρώματος Volterra y(t) = sin(t) + t 0 sin[(t u)]y(u)du είναι: y(t) = 3sin(t) sin( t) Άσκηση Α.7: Να δείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων: α) 3 s(s + ) s ; β) (s + )(s + 4) είναι: (α) f(t) = e t (t+) t e t και (β) f(t) = [cos(t) cos(t)] 3

38 474 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Άσκηση Α.8: Να υπολογίσετε την αρχική και τελική τιμή της y(t) από την ακόλουθη μετασχηματισμένη συνάρτηση, Y(s): Y(s) = + s3 4s 5 s 3(s + s+ ) Άσκηση Α.9: Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων: α) (s + )(s + )(s + 3) ; β) (s + a)(s + b) ; γ) s+ + s(s 4) δ) [(s + a) + b ] ; ε) e s s + ; στ) e s st Άσκηση Α.0: Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων: α) Y(s) = 0 (s + 0)(s + s + ) ; β) Y(s) = (s + s ) s(s + 3s + ) γ) Y(s) = s+ 3 s + 3s+ s+ 4 Άσκηση Α.: Να επιλύσετε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace: α) dy 3 dy dy dt 3 dt dt y= H(t) ; y(0) = y (0) = y (0) = 0 β) dy dy 3 + y= e t ; y (0) dt dt =, y(0) = γ) dy 3 dy dy dx y= x ; y(0) = y (0) = 0, y (0) = όπου x(t) = 5sin t. dt 3 dt dt dt β + β Άσκηση Α.: α) Να αποδείξετε ότι η y(t) AL {( s) s } Kummer: = είναι λύση της εξίσωσης

39 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 475 dy dy t + ( t) + βy= 0 dt dt όπου Α και β είναι κάποιες σταθερές. β) Να δείξετε ότι στην περίπτωση που β = y(t) = A(t ) και για την περίπτωση που β = t y(t) = A t+! Άσκηση Α.3: (Θέμα εξετάσεων Απρίλιος 006) Με τη βοήθεια των μετασχηματισμών Laplace να επιλύσετε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις: α) β) dy dy y= sint, y(0) = 0 και y(0) = 0 dt dt 3 dy dy dy t y= e, y(0) = 0, y(0) = 0 και y(0) = 0 3 dt dt dt

40 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Εισαγωγή στο MATLAB Γ. Eισαγωγή Γ.. Τι είναι το Πρόγραμμα MATLAB Το πρόγραμμα MATLAB αποτελεί ένα τεχνικό υπολογιστικό περιβάλλον μέσω του οποίου μπορούν να επιλυθούν υψηλού επιπέδου μαθηματικά προβλήματα αριθμητικής ανάλυσης, υπολογισμού πινάκων, επεξεργασίας σήματος και πλήθος άλλων εφαρμογών παρέχοντας τη δυνατότητα οπτικοποίηση των αποτελεσμάτων. Η ονομασία του προγράμματος MATLAB προέρχεται από τη σύνθεση των λέξεων Matrix Laboratory καθώς το πρόγραμμα αρχικά σχεδιάστηκε ώστε να διευκολύνει τους υπολογισμούς μεταξύ πινάκων, με την ουσιαστική διαφοροποίηση από τις υπόλοιπες γλώσσες προγραμματισμού να μην απαιτεί εκ των προτέρων διαστασιολόγησή τους. Το πρόγραμμα MATLAB είναι ιδιαίτερα διαδεδομένο και βρίσκει εφαρμογή τόσο στα πανεπιστήμια σε προπτυχιακό επίπεδο με καθαρά διδακτικό σκοπό, καθώς και σε μεταπτυχιακό επίπεδο για ερευνητικούς σκοπούς, όσο και στις βιομηχανίες για την επίλυση προβλημάτων μηχανικής. Βασικό πλεονέκτημά του αποτελεί η εύκολη χρήση και η μεγάλη επεκτασιμότητα αφενός από το ίδιο το πρόγραμμα MATLAB που εξελίσσεται διαρκώς παρουσιάζοντας ανανεωμένες εκδόσεις, αφετέρου δε από τους χρήστες του προγράμματος που μπορούν να προσθέσουν εξειδικευμένες ρουτίνες για τα επιμέρους προβλήματα που μελετούν. Μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι επιπρόσθετες συλλογές συναρτήσεων που προσαρτώνται στο κυρίως πρόγραμμα και αφορούν στα εξειδικευμένα πεδία επιστημών, επεκτείνοντας τις δυνατότητες του προγράμματος MATLAB. Οι συλλογές αυτές καλούνται από το πρόγραμμα toolboxes (εργαλειοθήκες) και καλύπτουν πλήθος εφαρμογών. 497

41 498 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Γ.. Ξεκινώντας το Πρόγραμμα MATLAB Αφού ολοκληρωθεί η εγκατάσταση του προγράμματος, το MATLAB ξεκινάει μέσω του αρχείου MATLAB.exe που βρίσκεται στο φάκελο όπου εγκαταστάθηκε το πρόγραμμα MATLAB ή μέσω της συντόμευσης του αρχείου που δημιουργήθηκε στο περιβάλλον εργασίας μετά την εγκατάσταση. Το γραφικό περιβάλλον του προγράμματος MATLAB είναι πλήρως συμβατό με το πρότυπο των Windows-based προγραμμάτων. Το περιβάλλον εργασίας του προγράμματος MATLAB αποτελείται από τρία εσωτερικά παράθυρα εντός της κλασικής δομής των προγραμμάτων Windows με το χαρακτηριστικό Εικόνα Γ.: Το περιβάλλον εργασίας του προγράμματος MATLAB.

42 Εισαγωγή στο MATLAB 499 μενού επιλογών (File, Edit κλπ). Το πλήκτρο Start που διακρίνεται στην κάτω αριστερή γωνία του παραθύρου παρέχει την εύκολη πλοήγηση στα toolboxes και στα αρχεία βοήθειας του προγράμματος MATLAB. Το βασικό παράθυρο εντός του οποίου δίνονται όλες οι εντολές και εμφανίζονται τα αποτελέσματα είναι το Command Window. Το σημείο εισαγωγής των εντολών είναι μετά το σύμβολο >>, το οποίο ονομάζεται prompt. Στο παράθυρο Command History καταγράφεται το σύνολο των στοιχείων που πληκτρολόγησε ο χρήστης στο Command Window με χρονική σειρά. Στο τρίτο παράθυρο περιλαμβάνονται τρεις καρτέλες:. Current Directory Browser που παρέχει την εύκολη πλοήγηση στους φακέλους του υπολογιστή μας. Εναλλακτικά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη συντόμευση αυτού που βρίσκεται κάτω από το μενού των επιλογών.. Workspace όπου καταγράφονται όλες οι μεταβλητές που δημιουργήθηκαν κατά τη χρήση του προγράμματος και ορίστηκαν στο Command Window. 3. Launch pad που παρέχει την πρόσβαση σε εργαλειοθήκες, demos και συνοδευτικές οδηγίες χρήσης του προγράμματος MATLAB, λειτουργίες που επιτυγχάνονται και μέσω του Start button. Το μενού επιλογών προσφέρει την εύκολη πρόσβαση σε πλήθος εντολών οι οποίες μπορούν επίσης να εκφραστούν μέσα από το Command Window με κατάλληλο ορισμό. Παρακάτω παρατίθεται μία σύντομη αναφορά στις κυριότερες εντολές του μενού επιλογών πέραν αυτών που εύκολα κανείς μπορεί να αναγνωρίσει. Το μενού File περιλαμβάνει εντολές για τη δημιουργία νέων αρχείων, άνοιγμα ήδη υπαρχόντων αρχείων, αποθήκευση και έξοδο από το πρόγραμμα. Η επιλογή New στο συγκεκριμένο μενού εμφανίζει τέσσερις επιπλέον επιλογές:. M-File : Ανοίγει έναν επεξεργαστή κειμένου, Editor, όπου δομείται από το χρήστη ο κώδικας για ένα πρόγραμμα που έπειτα μπορεί να αποθηκευτεί ως anyname.m. Η επέκταση του αρχείου,.m, δηλώνει ότι πρόκειται για αρχείο του προγράμματος MATLAB. Αντί του επεξεργαστή κειμένου που προτείνει το πρόγραμμα MATLAB μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοσδήποτε άλλος επεξεργαστής κειμένου όπως το Word ή το Wordpad μέσω της εντολής Preferences εντός του M-File.. Figure : Εμφανίζει το παράθυρο όπου παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις του προγράμματος MATLAB.

43 500 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων 3. Model : Εμφανίζει το παράθυρο δημιουργίας νέων μοντέλων στο πακέτο Simulink toolbox. 4. GUI Graphic User Interface : Εμφανίζει τον οδηγό δημιουργίας νέου γραφικού περιβάλλοντος για την παρουσίαση μιας εργασίας. Γ..3 Επιτρεπτοί Χαρακτήρες κατά τον Προγραμματισμό σε MATLAB Η γλώσσα που χρησιμοποιεί το πρόγραμμα MATLAB, (κώδικας), γράφεται μόνο με χαρακτήρες τους οποίους αναγνωρίζει το πρόγραμμα. Οι επιτρεπτοί χαρακτήρες για τη σύνταξη όλων των εντολών είναι οι: α) λατινικοί χαρακτήρες, β) αριθμητικοί χαρακτήρες και γ) αριθμητικοί τελεστές και παραθέτονται στους Πίνακες Γ., Γ., Γ.3 και Γ.4. Πίνακας Γ.: Λογικοί τελεστές Τελεστής & & Λειτουργία Λογικό και Λογικό ή & Λογικό και για πίνακες γραμμή Λογικό ή για πίνακες γραμμή ~ Λογικό όχι Πίνακας Γ.: Τελεστές σύγκρισης Τελεστής Λειτουργία > Μεγαλύτερο από > = Μεγαλύτερο ή ίσο από < Μικρότερο από < = Μικρότερο ή ίσο από = = Ίσο με ~ = Όχι ίσο με

44 Εισαγωγή στο MATLAB 50 Πίνακας Γ.3: Ειδικοί χαρακτήρες Χαρακτήρας Λειτουργία [ ] Δηλώνουν την αρχή και το τέλος ενός πίνακα. ( ) Γενικά, δηλώνουν προτεραιότητα στις πράξεις. Επιπλέον, χρησιμοποιούνται για να περιλάβουν ορίσματα συναρτήσεων καθώς και για να δηλώσουν συγκεκριμένο στοιχείο πίνακα (για παράδειγμα το στοιχείο Α(o,p) αποτελεί το στοιχείο της o σειράς και p στήλης ενός πίνακα A (mxn) με (m>o, n>p). { } Χρησιμοποιούνται όπως και οι αγκύλες [ ], αλλά για τη δημιουργία υποπινάκων που αναγνωρίζονται από το πρόγραμμα ως αυτόνομα στοιχεία άλλου πίνακα. Αντίστροφα, χρησιμοποιούνται όπως οι παρενθέσεις για τη δήλωση του στοιχείου υποπίνακα και την εμφάνισή του. = Εντολή αντικατάστασης. Η παράσταση Α=Β δεν παρουσιάζει μία ισότητα αλλά μία αντικατάσταση όπου η μεταβλητή Α λαμβάνει την τιμή της μεταβλητής Β (μπορεί να είναι αριθμητική έκφραση ή μεταβλητή ή και αλφαριθμητικοί χαρακτήρες εντός εισαγωγικών). : Γενικά αποτελεί την εντολή από/έως. Για παράδειγμα Α:Β σημαίνει τη σειρά με στοιχεία : Α, Α+, Α+,,B.. Δηλώνει την υποδιαστολή στους δεκαδικούς αριθμούς., ; % Ορίζει την συνέχεια της γραμμής στην επόμενη. Το πρόγραμμα διαβάζει τις δύο εγγραφές σαν να βρίσκονταν στην ίδια σειρά. Διαχωρίζει τα στοιχεία της ίδιας γραμμής ενός πίνακα και τα ορίσματα των συναρτήσεων. Όταν γράφεται μεταξύ δύο εντολών στην ίδια γραμμή έχει την ίδια ιδιότητα να εκτελείται και η δεύτερη εντολή σαν να βρίσκεται σε ξεχωριστή γραμμή. Δηλώνει την επόμενη γραμμή σε πίνακα. Όταν γράφεται μετά το τέλος κάποιας εντολής αποτρέπει την εμφάνιση αποτελέσματος στο command window. Δηλώνει την έναρξη σχολίου. Οτιδήποτε γράφεται μετά από % δεν λαμβάνεται υπ όψιν από το πρόγραμμα.! Οτιδήποτε γράφεται μετά από θαυμαστικό αναγνωρίζεται ως εντολή προς το λειτουργικό σύστημα.

45 50 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πίνακας Γ.4: Αριθμητικοί τελεστές Τελεστής Λειτουργία Παράδειγμα + Πρόσθεση: Οι προσθετέοι πρέπει να έχουν τις ίδιες διαστάσεις, αν πρόκειται για πίνακες, με εξαίρεση την πρόσθεση πίνακα (x) με πίνακα (mxn), οπότε το στοιχείο του πρώτου πίνακα προστίθεται σε όλα τα στοιχεία του δευτέρου. >> Α+Β Αφαίρεση >> Α Β * Πολλαπλασιασμός: Στους πίνακες αφορά το εσωτερικό γινόμενο και ο αριθμός των στηλών του πρώτου όρου του γινομένου πρέπει να είναι ίδιος με τον αριθμό των στηλών του δευτέρου με εξαίρεση τους πίνακες (x) που πολλαπλασιάζονται με οποιονδήποτε πίνακα. >> Α*Β \ Αριστερή διαίρεση >> Α\Β.\ Αριστερή διαίρεση στοιχείο προς στοιχείο: Οι πίνακες πρέπει να έχουν ίδιες διαστάσεις με εξαίρεση τον πίνακα στοιχείο (x). >> Α./Β / Δεξιά διαίρεση >> Α/Β./ Δεξιά διαίρεση στοιχείο προς στοιχείο >> Α./Β ^ Δύναμη >> Α^Β.^ Δύναμη στοιχείο προς στοιχείο >> Α.^Β Ανάστροφος πίνακας: Αν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί ως στοιχεία του πίνακα μετατρέπονται στους συζυγείς τους.. Ανάστροφος πίνακας: Οι μιγαδικοί αριθμοί παραμένουν ως έχουν. Α Α. Γ..4 Ορισμός Μαθηματικών Συναρτήσεων Το πρόγραμμα MATLAB περιέχει μία βιβλιοθήκη με τις συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται συχνότερα. Οι συναρτήσεις αυτές δεν είναι τίποτε άλλο από έτοιμα υποπρογράμματα, (ρουτίνες), οι οποίες απαιτούν κάποια ορίσματα για να υπολογίσουν το αποτελέσμα. Όμοια υποπρογράμματα μπορεί να εισάγει και ο χρήστης στη βιβλιοθήκη

46 Εισαγωγή στο MATLAB 503 του προγράμματος MATLAB μέσω των m-files, (βλέπε Κεφάλαιο Γ.5). Ο ορισμός των κυριότερων μαθηματικών συναρτήσεων του προγράμματος MATLAB φαίνεται στον ακόλουθο Πίνακα Γ.5. Πίνακας Γ.5: Μαθηματικές συναρτήσεις Εντολή sin(a) cos(a) tan(a) asin(a) acos(a) atan(a) sinh(a) cosh(a) tanh(a) asinh(a) acosh(a) atanh(a) exp(a) log(a) log0(a) abs(a) sqrt(a) gcd(a,b) lcm(a,b) erf(a) Λειτουργία Ημίτονο. Το A εκφράζεται σε rad. Συνημίτονο Εφαπτομένη Τόξο ημιτόνου Τόξο συνημιτόνου Τόξο εφαπτομένης Υπερβολικό ημίτονο Υπερβολικό συνημίτονο Υπερβολική εφαπτομένη Υπερβολικό τόξο ημιτόνου Υπερβολικό τόξο συνημιτόνου Υπερβολικό τόξο εφαπτομένης Δύναμη με βάση το e Νεπέριος λογάριθμος Δεκαδικός λογάριθμος Απόλυτη τιμή Τετραγωνική ρίζα Μέγιστος κοινός διαιρέτης Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο Συνάρτηση λάθους rand Εμφανίζει τυχαίο αριθμό στο διάστημα (0,)

47 504 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Γ..5 Χρήσιμες Πληροφορίες κατά την Εφαρμογή του Προγράμματος MATLAB Στο πρόγραμμα MATLAB τα κεφαλαία και τα μικρά γράμματα αναγνωρίζονται ως διαφορετικοί χαρακτήρες (case sensitive), είτε πρόκειται για ονόματα μεταβλητών, είτε για αναγραφή εντολών. Έτσι, η μεταβλητή A είναι διαφορετική από τη μεταβλητή a και η εντολή format εκτελείται, σε αντίθεση με την εντολή Format η οποία δεν αναγνωρίζεται και το πρόγραμμα εμφανίζει μήνυμα σφάλματος. Οι ελληνικοί χαρακτήρες δεν είναι αποδεκτοί από το πρόγραμμα για το χαρακτηρισμό μεταβλητών ή την αναγραφή εντολών. Γενικά, οτιδήποτε αφορά στο πρόγραμμα πρέπει να είναι γραμμένο με λατινικούς χαρακτήρες. Εξαίρεση αποτελεί ό,τι βρίσκεται μεταξύ εισαγωγικών:... ή μετά από το σύμβολο: %. Στην περίπτωση αυτή το πρόγραμμα αναγνωρίζει κείμενο ή σχόλιο, αντίστοιχα, και όχι κάποια εκτελέσιμη εντολή. Ο αριθμός των κενών διαστημάτων δεν επηρεάζει καθόλου το πρόγραμμα, το οποίο αναγνωρίζει κάθε συστοιχία κενών διαστημάτων ως ένα και μόνο κενό διάστημα. Οι μεταβλητές μπορούν να ονομαστούν με τη σύνθεση οποιονδήποτε γραμμάτων και αριθμών προς σχηματισμό μιας λέξης, χωρίς τη χρήση κενού διαστήματος. Ονόματα μεταβλητών που αποτελούνται μόνο από αριθμούς δεν θεωρούνται μεταβλητές από το πρόγραμμα, το οποίο στην περίπτωση αυτή εμφανίζει μήνυμα σφάλματος. Όταν εισάγουμε μια αριθμητική παράσταση στο Command Window χωρίς να τη δηλώσουμε σαν μεταβλητή, τότε το πρόγραμμα αυτόματα ονομάζει τη μεταβλητή αυτή ans : Η μεταβλητή ans πρόκειται να αλλάξει τιμή και να χαθεί η υπάρχουσα πληροφορία σε περίπτωση εισαγωγής νέας αριθμητικής παράστασης, δηλαδή,

48 Εισαγωγή στο MATLAB 505 Τόσο στο Command Window, όσο και στα M-files οι εντολές διαβάζονται και εκτελούνται από το πρόγραμμα γραμμικά. Συνεπώς, αν σε κάποιο σημείο του κώδικα εμφανίζεται μια εντολή που περιέχει τη μεταβλητή Α χωρίς όμως η μεταβλητή αυτή να έχει λάβει κάποια τιμή μέχρι το συγκεκριμένο σημείο του κώδικα, τότε το πρόγραμμα θα εμφανίσει μήνυμα σφάλματος, ακόμη και στην περίπτωση που ορίζουμε την τιμή της μεταβλητής Α σε μετέπειτα σημείο. Το MATLAB παρέχει ένα πλήρες αρχείο βοήθειας στο οποίο ο χρήστης μπορεί να ανατρέξει και να βρει πληροφορίες για τη σύνταξη των διαφόρων εντολών και βοηθητικά παραδείγματα για την κατανόησή τους. Οι σημειώσεις αυτές αποτελούν ένα έναυσμα για τη χρήση του MATLAB και σε καμία περίπτωση δεν αποτελούν έναν πλήρη οδηγό του προγράμματος. Γ. Πίνακες Γ.. Εισαγωγή στους Πίνακες Ο κάθε ορισμός στο πρόγραμμα MATLAB εκφράζεται ως πίνακας. Δηλαδή, ακόμα και οι πραγματικοί αριθμοί αναγνωρίζονται από το πρόγραμμα ως πίνακες (x). Η ουσιαστική διαφορά του προγράμματος MATLAB από τις υπόλοιπες γλώσσες προγραμματισμού είναι το γεγονός ότι δεν προαπαιτείται δήλωση των διαστάσεων του πίνακα, τις οποίες υπολογίζει το πρόγραμμα αυτόματα. Η εισαγωγή ενός πίνακα στο πρόγραμμα MATLAB γίνεται με τη βοήθεια του συμβόλου: [ ] όπου το πρόγραμμα αναγνωρίζει ως πίνακα

49 506 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων ο,τιδήποτε περιέχεται μεταξ τ των αγκυλών. Τα στοιχεία μιας γραμμής του πίνακα διαχωρίζονται μεταξύ τους με κενά (δεν έχει σημασία ο αριθμός των κενών) ή με κόμμα (,). Τα στοιχεία της επόμενης γραμμής του πίνακα εισάγονται είτε μετά από το ελληνικό ερωτηματικό (;), είτε στην επόμενη γραμμή πατώντας το πλήκτρο enter. Άλλωστε, έως να κλείσουν οι αγκύλες για το πρόγραμμα εκκρεμεί η εισαγωγή του πίνακα. Τα στοιχεία του πίνακα μπορεί να είναι αριθμοί, μεταβλητές (που ήδη έχουν λάβει κάποια τιμή), μαθηματικές εκφράσεις ή αλφαριθμητικές σταθερές (γράμματα, αριθμοί ή σύμβολα) που περιέχονται μεταξύ εισαγωγικών ( ). Για παράδειγμα, ο πίνακας 3 A= εισάγεται στο MATLAB ως εξής: ή

50 Εισαγωγή στο MATLAB 507 Όπως παρατηρούμε και στις δύο περιπτώσεις μετά το κλείσιμο της αγκύλης και το πάτημα του πλήκτρου enter το πρόγραμμα απαντά με το ίδιο αποτέλεσμα, επιβεβαιώνοντας ότι η μεταβλητή Α έχει αποθηκευτεί στη βάση δεδομένων του. Για να αναζητήσουμε το στοιχείο του πίνακα Α που βρίσκεται στη γραμμή o και στήλη p πληκτολογούμε: Α(o,p). Για παράδειγμα, Επίσης, μπορούμε να αντικαταστήσουμε ένα ή περισσότερα στοιχεία του πίνακα πληκτρολογώντας το στοιχείο που θέλουμε να αντικαταστήσουμε και τη νέα τιμή που θέλουμε να λάβει. Στο παράδειγμα που φαίνεται στη συνέχεια αντικαθηστούμε το στοιχείο Α(,3) του πίνακα το οποίο έχει την τιμή 3, με την τιμή 9. Όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα Α παραμένουν ως είχαν.

51 508 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πίνακας Γ.6: Χρήσιμες εντολές για υπολογισμούς μεταξύ πινάκων Τελεστής inv(a) Λειτουργία Υπολογίζεται ο αντίστροφος πίνακας του Α, εφόσον αυτός είναι τετραγωνικός,. Εναλλακτικά, ο πίνακας υψωμένος στον εκθέτη (-) δίνει επίσης τον αντίστροφο πίνακα. Παράδειγμα: eig(a) Υπολογίζονται οι ιδιοτιμές του πίνακα Α. Παράδειγμα: det(a) Υπολογίζεται η ορίζουσα του τετραγωνικού πίνακα Α. Παράδειγμα:

52 Εισαγωγή στο MATLAB 509 Πίνακας Γ.6 (συνέχεια): Τελεστής Λειτουργία length(a) Το πρόγραμμα δίνει το μέγιστο αριθμό γραμμών ή στηλών του πίνακα Α. Παράδειγμα: size(a) Δίνονται οι διαστάσεις του πίνακα Α. Παράδειγμα: trace(a) Υπολογίζεται το ίχνος του πίνακα, δηλαδή το άθροισμα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του. Ουσιαστικά, η εντολή αποτελεί συνδυασμό των εντολών sum(a) και diag(a) ως: trace(a)=sum(diag(a)). Παράδειγμα:

53 50 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πίνακας Γ.6 (συνέχεια): Τελεστής eye(m,n) Λειτουργία Παράγει τον ταυτοτικό πίνακα (mxn). Παράδειγμα: ones(m,n) Παράγεται πίνακας (mxn) του οποίου όλα τα στοιχεία είναι ίσα με τη μονάδα. Παράδειγμα: zeros(m,n) Παράγεται πίνακας mxn του οποίου όλα τα στοιχεία είναι μηδενικά. Παράδειγμα: clear A Διαγράφει τον πίνακα Α από το Workspace. Γ... Πίνακες και Μιγαδικοί Αριθμοί Όπως ήδη έχει αναφερθεί στο Κεφάλαιο Γ., οι μιγαδικοί αριθμοί αναγνωρίζονται από το πρόγραμμα MATLAB ως εξής:

54 Εισαγωγή στο MATLAB 5 ή Στον Πίνακα Γ.7 δίνονται συγκεντρωτικά οι εντολές που αφορούν στη διαχείριση μιγαδικών αριθμών. Πίνακας Γ.7: Χρήσιμες εντολές για μιγαδικούς αριθμούς Εντολή Λειτουργία conj(a) Υπολογίζεται ο συζυγής μιγαδικός του Α. real(a) Υπολογίζεται το πραγματικό μέρος του Α. imag(a) Υπολογίζεται το φανταστικό μέρος του Α. abs(a) Υπολογίζει το μέτρο του μιγαδικού αριθμού Α. angle(a) Υπολογίζει το όρισμα του μιγαδικού Α. Γ.3 Πολυωνυμικές Παραστάσεις Γ.3. Ορισμός Πολυωνύμου Ένας πίνακας γραμμή n_στοιχείων (διάνυσμα), όπως ακριβώς ορίστηκε στην προηγούμενη ενότητα εκφράζει επίσης μία πολυωνυμική παράσταση της μορφής: A X + A X A X + A X + A. Πιο συγκεκριμένα, ένας πίνακας γραμμή n n n n o (xn) αναπαριστά μία πολυωνυμική παράσταση όπου τα στοιχεία του πίνακα αποτελούν τις σταθερές ενός πολυωνύμου βαθμού (n-) κατά φθίνουσα σειρά. Για παράδειγμα, η 4 3 πολυωνυμική παράσταση, P = X + X + 3X + 4X + 5, δηλώνεται στο πρόγρραμμα MATLAB ως εξής:

55 5 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Ενώ η πολυωνυμική παράσταση, 4 P = 3X + X +, ορίζεται ως εξής: Γ.3. Ρίζες του Πολυωνύμου Οι ρίζες των πολυωνύμων υπολογίζονται με τη βοήθεια του προγράμματος MATLAB με την εντολή roots. Οι ρίζες του πολυωνύμου P, για παράδειγμα, υπολογίζονται ως εξής: Εναλλακτικά, η εντολή θα μπορούσε να οριστεί και ως εξής:

56 Εισαγωγή στο MATLAB 53 Γ.3.3 Ανάκτηση Πολυωνύμου από τις Ρίζες του Για την περίπτωση που γνωρίζουμε όλες τις n_ρίζες ενός πολυωνύμου n_βαθμού, το πρόγραμμα MATLAB παρέχει τη δυνατότητα αυτόματου υπολογισμού των συντελεστών του πολυωνύμου μέσω της εντολής poly. Οι εντολές roots και poly αποτελούν ένα ζεύγος εντολών με ακριβώς αντίστροφη λειτουργία. Για παράδειγμα, Επίσης, με βάση την εντολή poly μπορούμε να υπολογίσουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα, για παράδειγμα: Γ.3.4 Πολλαπλασιασμός Πολυωνύμων Ο πολλαπλασιασμός δύο πολυωνυμικών παραστάσεων γίνεται με την εντολή conv. Για παράδειγμα, το γινόμενο των πολυωνύμων, υπολογίζεται ως εξής: P = X + X + 3 και P = 4X + 5X + 6,