Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη ) Αντί προλόγου.

Transcript

1

2 Αντί προλόγου Η ψυχή του νθρώπου γίνετι πντοδύνμη, ότν συνεπρθεί πό μι μεγάλη ιδέ Τρομάζεις ότν ύστερ πό πικρές δοκιμσίες, κτλάβεις πως μέσ μς υπάρχει μι δύνμη που μπορεί ν ξεπεράσει τη δύνμη του νθρώπου τρομάζεις γιτί πό τη στιγμή που θ κτλάβεις πως υπάρχει η δύνμη υτή δεν μπορείς πι ν βρεις δικιολογίες γι τις σήμντες ή άνντρες πράξεις σου, γι τη ζωή σου τη χμένη, ρίχνοντς το φτίξιμο στους άλλους ξέρεις πι πως εσύ, όχι η τύχη, όχι η μοίρ, μήτε οι νθρώποι γύρ σου, εσύ μονάχ έχεις, ό,τι κι ν κάνεις, ότι κι ν γίνεις κέριη την ευθύνη Κι ντρέπεσι τότε ν γελάς, ντρέπεσι ν περγελάς ν μι φλεγόμενη ψυχή ζητάει το δύντο Κλά πι κτλβίνεις πως υτή είνι η ξί του νθρώπου: ν ζητάει κι ν ξέρεις πως ζητάει το δύντο κι ν νι σίγουρος πως θ το φτάσει, γιτί ξέρει πως ν δεν λιποψυχήσει ν δεν κούσει τι του κνονρχάει η λογική, μ κρτάει με τ δόντι την ψυχή του κι εξκολουθεί με πίστη, με πείσμ ν κυνηγάει το δύντο, τότε γίνετι το θάμ, που ποτέ ο φτέρουγος κοινός νους δε θ μπορούσε ν το μντέψει: το δύντο γίνετι δυντό Νίκος Κζντζάκης (Από τον πρόλογο του Κπετάν Μιχάλη )

3 N θέλεις λίγ: θ τ έχεις όλ Tίποτε ν μη θέλεις: θ είσι ελεύθερος O ίδιος ο έρωτς που νιώθουν γι μς, μς πιτεί, μς κτπιέζει Γι ν είσι μεγάλος, ν είσι κέριος: Tίποτε δικό σου ν μην υπερβάλλεις ή ν μη διγράφεις N είσι όλ σε κάθε πράγμ N βάζεις όσ είσι κι στο ελάχιστο που κάνεις Eτσι σε κάθε λίμνη ολόκληρη η σελήνη Λάμπει, γιτί ζει ψηλά Aνρίθμητοι ζουν μέσ μς, Aν σκέφτομι ή ν νιώθω, γνοώ ποιος μέσ μου σκέφτετι ή νιώθει Eίμι μονάχ ο τόπος όπου νιώθουν ή σκέφτοντι Eχω περισσότερες πό μι ψυχές Yπάρχουν περισσότερ εγώ π' το ίδιο το εγώ μου Yπάρχω ωστόσο διάφορος γι όλους, Tους κάνω ν σιωπούν: εγώ μιλάω Oι διστυρωμένες προρμήσεις όσων νιώθω ή δεν νιώθω Πολεμούν μες σ' υτόν που είμι Tις γνοώ Tίποτε δεν υπγορεύουν Σ' υτόν που γνωρίζω ότι είμι: εγώ γράφω Fernando Pessoa

4 Η ψυχή του νθρώπου γίνετι πντοδύνμη, ότν συνεπρθεί πό μι μεγάλη ιδέ Τρομάζεις ότν ύστερ πό πικρές δοκιμσίες, κτλάβεις πως μέσ μς υπάρχει μι δύνμη που μπορεί ν ξεπεράσει τη δύνμη του νθρώπου τρομάζεις γιτί πό τη στιγμή που θ κτλάβεις πως υπάρχει η δύνμη υτή δεν μπορείς πι ν βρεις δικιολογίες γι τις σήμντες ή άνντρες πράξεις σου, γι τη ζωή σου τη χμένη, ρίχνοντς το φτίξιμο στους άλλους ξέρεις πι πως εσύ, όχι η τύχη, όχι η μοίρ, μήτε οι νθρώποι γύρ σου, εσύ μονάχ έχεις, ό,τι κι ν κάνεις, ότι κι ν γίνεις κέριη την ευθύνη Κι ντρέπεσι τότε ν γελάς, ντρέπεσι ν περγελάς ν μι φλεγόμενη ψυχή ζητάει το δύντο Κλά πι κτλβίνεις πως υτή είνι η ξί του νθρώπου: ν ζητάει κι ν ξέρεις πως ζητάει το δύντο κι ν νι σίγουρος πως θ το φτάσει, γιτί ξέρει πως ν δεν λιποψυχήσει ν δεν κούσει τι του κνονρχάει η λογική, μ κρτάει με τ δόντι την ψυχή του κι εξκολουθεί με πίστη, με πείσμ ν κυνηγάει το δύντο, τότε γίνετι το θάμ, που ποτέ ο φτέρουγος κοινός νους δε θ μπορούσε ν το μντέψει: το δύντο γίνετι δυντό Νίκος Κζντζάκης (Από τον πρόλογο του Κπετάν Μιχάλη )

5 Η Τρελή Ροδιά Σ' υτές τις κάτσπρες υλές όπου φυσά νοτιάς Σφυρίζοντς σε θολωτές κμάρες, πέστε μου είνι η τρελλή ροδιά Που σκιρτάει στο φως σκορπίζοντς το κρποφόρο γέλιο της Με νέμου πείσμτ κι ψυθιρίσμτ, πέστε μου είνι η τρελλή ροδιά Που σπρτράει με φυλλωσιές νιογέννητες τον όρθρο Ανοίγοντς όλ τ χρώμτ ψηλά με ρίγος θριάμβου; Ότν στους κάμπους που ξυπνούν τ ολόγυμν κορίτσι Θερίζουνε με τ ξνθά τους χέρι τ τριφύλλι Γυρίζοντς τ πέρτ των ύπνων τους, πέστε μου είνι η τρελλή ροδιά Που βάζει νύποπτη μεσ' τ χλωρά πνέρι τους τ φώτ Που ξεχειλίζει πό κεληδισμούς τ ονόμτά τους, πέστε μου Είνι η τρελλή ροδιά που μάχετι τη συννεφιά του κόσμου; Πέστε μου είνι η τρελλή ροδιά που χιρετάει τ μάκρη Τινάζοντς έν μντήλι φύλλων πό δροσερή φωτιά Μι θάλσσ ετοιμόγεννη με χίλι δυο κράβι Με κύμτ που χίλιες δυο φορές κινάν κι πάνε Σ' μύριστες κρογιλιές, πέστε μου είνι η τρελλή ροδιά Που τρίζει τ' άρμεν ψηλά στο διάφνον ιθέρ; Πνύψηλ με το γλυκό τσμπί που νάβει κι εορτάζει Αγέρωχο, γεμάτο κίνδυνο, πέστε μου είνι η τρελλή ροδιά Που σπάει με φως κτμεσίς του κόσμου τις κκοκιριές του δίμον Που πέρ ως πέρ την κροκάτη πλώνει τρχηλιά της μέρς Την πολυκεντημένη πό σπρτά τργούδι, πέστε μου είνι η τρελλή ροδιά Που βιστικά ξεθηλυκώνει τ μετξωτά της μέρς; Σε μεσοφούστν πρωτπριλιάς κι σε τζιτζίκι δεκπεντυγούστου Πέστε μου, υτή που πίζει, υτή που οργίζετι, υτή που ξελογιάζει Τινάζοντς π' τη φοβέρ τ κκά μύρ σκοτάδι της Ξεχύνοντς στους κόρφους του ήλιου τ μεθυστικά πουλιά Πέστε μου, υτή που νοίγει τ φτερά στο στήθος των πργμάτων Στο στήθος των βθιών ονείρων μς, είνι η τρελλή ροδιά; Οδυσσές Ελύτης "Η θητεί του κλοκιριού"

6 Βσικές Γνώσεις Μθημτικών μέχρι κι τη Β Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Φυσικοί: IN,,,, Ακέριοι: Z,,,,,,, Ρητοί: Q / Ζ, β Ζ *, Άρρητοι Q β Πργμτικοί R Q Q, ενώ R R, Ισχύει: Ν Ζ Q R, Ενώ με Ν*, Ζ*, Q*, R * συμβολίζουμε τ ντίστοιχ σύνολ χωρίς το μηδέν ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ β β β β β β β β γ β γ β βγ γ β β β β β β β β β β ν ν ν ν ν ν β β β β β ν ν ν ν ν ν ν β β β β β β με ν περιττο β γ β βγ γ β β γ γ β γ βγ β γ ή =β=γ Euler β γ δ γ βδ δ βγ Lagrange ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Επιτρέπετι ν προσθέσω ή ν φιρέσω πό τ δύο μέλη μις νισότητς τον ίδιο ριθμό Επιτρέπετι ν πολλπλσιάσω, ν διιρέσω κι τ δύο μέλη μις νισότητς με τον ίδιο θετικό ριθμό, ενώ πρέπει ν λλάξω την φορά της νισότητς ν υτός είνι ρνητικός Επιτρέπετι ν υψώσω μι νισότητ σε δύνμη με περιττό εκθέτη, ενώ πρέπει ν έχει θετικούς όρους ν την υψώσω σε δύνμη με άρτιο εκθέτη (ν έχει ρνητικούς όρους κι την υψώνω σε άρτιο εκθέτη πρέπει ν της λλάξω τη φορά) 4 Επιτρέπετι ν προσθέσω δύο νισότητες της ίδις φοράς κτά μέλη 5 Επιτρέπετι ν πολλπλσιάσω δύο νισότητες της ίδις φοράς κτά μέλη εφ όσον όλοι οι όροι είνι θετικοί 6 Αν,β θετικοί κι οι δύο ή ρνητικοί ριθμοί κι οι δύο τότε ισχύει η ισοδυνμί β β 7 Ισχύει η μετβτική ιδιότητ: Αν β κι β γ τότε γ Η ιδιότητ υτή μου επιτρέπει ν «ενισχύω» μι νισότητ με κάτι μεγλύτερο πό το μεγάλο ή κάτι μικρότερο πό το μικρό μέλος της 8 ΙΣΧΥΟΥΝ: β, β β, ν, ν β β 9 ΠΡΟΣΟΧΗ! ΔΕΝ ΑΦΑΙΡΟΥΜΕ, ΔΕΝ ΔΙΑΙΡΟΥΜΕ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΤΑ ΜΕΛΗ ΑΠΟΛΥΤΑ Απόλυτη τιμή ενός ριθμού είνι η πόστση της εικόνς του ριθμού πό την ρχή O του άξον Η πόλυτη τιμή ενός θετικού ριθμού είνι ο ίδιος ο ριθμός Η πόλυτη τιμή ενός ρνητικού ριθμού είνι ο ντίθετος ριθμός γι κάθε R,, ν > ν = ν 4 κι γι κάθε R ή γι κάθε R κι () () () 5 θ θ ή θ, ν θ ή 6 θ θ θ, ν θ θ θ ή -θ, ν θ 7 β β, β με β β β β γι κάθε,β R β 8 Η πόστση δύο ριθμών στον άξον ισούτι με την πόλυτη τιμή της διφοράς τους: d(,β) β ΠΡΟΣΟΧΗ! Αν y τότε κι y κι Αν β τότε κι β ενώ ν y τότε ή y ΡΙΖΕΣ Ορισμός: Ιδιότητες: ν μ ν ν ν με ν θετικός κέριος,, ν γι κάθε R ν ν ν, ν ν, μ ν ν,μ θετικοί κέριοι ενώ είνι μ ν μ ν ν Γι κάθε,β κι ν,μ,ρ Ζ ισχύουν: ν ν μ ν ν, R κι ν,μ θετικοί κέριοι, ν ν β ν β, μ, θετικός, μ κέριος, ν θετικός κέριος κι ν ν ν β β, β, ν ν ν β β, ν ρ μ ρ ν ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ βy γ Γι τη λύση του γρμμικού συστήμτος Σ με τη μέθοδο των οριζουσών βρίσκουμε τις ορίζουσες βy γ β D β β β, γ β D γβ γβ γ β, γ Dy γ γ γ κι ισχύει ότι Αν D έχει μονδική λύση την D D κι y Dy D, Αν D κι D ή Dy είνι δύντο, ενώ ν D D D τότε είνι δύντο ή όριστο ή έχει άπειρες λύσεις y μ M Ππγρηγοράκης 9

7 Βσικές Γνώσεις Μθημτικών μέχρι κι τη Β Λυκείου ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ:,β R / β,β R / β, Ανοικτό:, Κλειστό,β R / β,,β R / β,, R /,, R / ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η πόστση των σημείων Α(,y ) κι Β(,y ) είνι ίση με Το σημείο,β είνι συμμετρικό ως προς: τον με το, β, τον y y με το,β το (ΑΒ) ( ) (y y ) O, με το, β, την ευθεί y, κλπ με το β, Οι ευθείες y β κι y β είνι πράλληλες ν κι μόνο ν Οι ευθείες y β κι y β με είνι κάθετες ν κι μόνο ν Μι συνάρτηση λέγετι άρτι ν κι μόνο ν γι κάθε A ισχύει ότι: A κι Η γρφική πράστση μις άρτις συνάρτησης έχει άξον συμμετρίς τον y y Μι συνάρτηση λέγετι περιττή ν κι μόνο ν γι κάθε A ισχύει ότι: A κι Η γρφική πράστση μις περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίς το O(,) Μι συνάρτηση σε έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της: Είνι γνήσι ύξουσ ν κι μόνο ν γι κάθε, Δ ισχύει ότι: Αν Είνι γνήσι φθίνουσ ν κι μόνο ν γι κάθε, Δ ισχύει ότι: Αν Η μονοτονί μις συνάρτησης κθορίζετι πό το πρόσημο του λόγου μετβολής: λ τότε τότε Αν C είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης τότε η γρφική πράστση της g με : g c, c προκύπτει πό την πράλληλη μεττόπιση της C κτά c μονάδες πάνω g c, c προκύπτει πό την πράλληλη μεττόπιση της C κτά c μονάδες ριστερά g είνι η συμμετρική της C ως προς άξον συμμετρίς τον g είνι η συμμετρική της C ως προς άξον συμμετρίς τον y y ν g ν βσικές γρφικές πρστάσεις: Η πολυωνυμική συνάρτηση () β y O y O y O Η πολυωνυμική συνάρτηση ()=, y > y O a> a< a= O < Η πολυωνυμική συνάρτηση () =, y y > y y < O O O O y = y=- a Η ρητή συνάρτηση (), a y > O O y < Οι συνρτήσεις y y ( ), g( ) y y O O M Ππγρηγοράκης

8 Βσικές Γνώσεις Μθημτικών μέχρι κι τη Β Λυκείου ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ν ν Πολυώνυμο είνι κάθε πράστση που μπορεί ν πάρει τη μορφή: P με,,, στθεροί πργμτικοί ριθμοί κι R ν ν ν ν Το πολυώνυμο P έχει ρίζ το ρ ν κι μόνο ν P ρ δηλ ν κι μόνο ν P ( ρ)π() Αν P, Q δύο πολυώνυμ με Q πολυώνυμ π() κι υ() βρίσκοντι κάνοντς τη διίρεση τότε υπάρχουν δύο πολυώνυμ π() κι υ() ώστε : P Q()π() υ() Τ P : Q() ν ν Το πολυώνυμο P ν ν είνι το μηδενικό ν κι μόνο ν ν= ν = = ενώ δύο πολυώνυμ είνι ίσ ν κι μόνο ν οι συντελεστές των ομοβάθμιων όρων τους είνι ίσοι ΤΡΙΩΝΥΜΟ Τριώνυμο είνι κάθε πράστση που μπορεί ν πάρει τη μορφή β γ με ΡΙΖΕΣ Δ β Δ Έχει δύο ρίζες άνισες τις:, Δ β Έχει μι διπλή ρίζ την, β Δ β i Δ β i Δ Δ Έχει δύο μιγδικές ρίζες τις, TΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ β, ΜΟΡΦΗ () () β γ β β Δ () 4 Τιμές του - Πρόσημο του β, ετερόσημο του ομόσημο του Πρόσημο του τριωνύμου Δ β γ, Τιμές του - + Πρόσημο του β γ ομόσημο του ετερόσημο του ομόσημο του + Δ Τιμές του - β ο + Πρόσημο του β γ ομόσημο του ομόσημο του Δ Τιμές του - + Πρόσημο του β γ ομόσημο του Προσοχή!! Αν γι κάθε R είνι β γ τότε είνι Δ ομόσημο του δηλδή: Ισχύει Ισχύει 4 Το τριώνυμο β γ γι κάθε R Στην περίπτωση υτή το τριώνυμο β γ γι κάθε πργμτικό ριθμό ν κι μόνο ν ισχύει: Δ κι β γ γι κάθε πργμτικό ριθμό ν κι μόνο ν ισχύει: Δ κι M Ππγρηγοράκης β γ είνι, κλπ β γ διτηρεί στθερό πρόσημο γι κάθε πργμτικό ν κι μόνο ν ισχύει Δ β β Δ Η συνάρτηση β γ, είνι πρβολή με κορυφή το σημείο, 4 β γ Σχέσεις ριζών συντελεστών: (τύποι Vietta) S ρ ρ, Ρ ρ ρ Ενώ μι εξίσωση που έχει δοσμένες ρίζες ρ, ρ είνι η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Πίνκς τριγωνομετρικών ριθμών: Γωνί ω ημω συνω εφω o, π 6 o 45, π 4 σφω S P o 6, π o 9, π 8, π 7, π

9 Βσικές Γνώσεις Μθημτικών μέχρι κι τη Β Λυκείου Βσικοί τριγωνομετρικοί τύποι κι ριθμοί: ημ συν ή εφ ημ συν ημ συν ή π γι R κπ,κ : κέριος ημ, συν, γι κάθε R, εφ R, σφ R συν ημ, R, εφ σφ σφ M Ππγρηγοράκης R κ π, κ Z συν ημ 4 ημ( β) ημ συνβ συν ημβ, συν( β) συν συνβ ημ ημβ, 5 ημ ημ συν, 6 7 συν ημ, εφ, συν γι R κπ,κ : κέριος εφ συν συν ημ συν ημ, εφ εφ συν συν, σφ ημ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ κπ θ ημ ημθ ή με κ Ζ κπ π θ κπ θ συν συνθ ή κπ θ με κ Ζ εφ εφθ κπ θ με κ Ζ σφ σφθ κπ θ με κ Ζ εφ εφβ εφ( β) εφεφβ συν εφ (Τύποι ποτετργωνισμού): συν εφ εφ εφ ημ συν εφ εφ εφ εφ Είνι: ημ κπ, κ Ζ, π συν κπ, κ Ζ, π ημ κπ, κ Ζ π ημ κπ, κ Ζ συν κπ, κ Ζ συν κπ π ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ: λύνοντι με χρήση του τριγωνομετρικού κύκλου β γ Νόμος ημιτόνων: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι R ημα ημβ ημγ Νόμος συνημιτόνων: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι Πολικές συντετγμένες σημείου Μ,y στο επίπεδο Oy β γ βγσυνα ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Οι γωνίες κπ ω κι ω έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς ριθμούς με κ Ζ Οι ντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο συν ω συν ω, κι ντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς ριθμούς ημ ω ημ ω, εφ ω εφω, σφ ω σφω Δηλδή η συνάρτηση συν, R είνι άρτι, ενώ οι π ημ, R, εφ, κπ, σφ, κπ είνι περιττές συνρτήσεις ο ο Οι γωνίες της μορφής ή που μπορούν ν πάρουν τη μορφή 8 ω, π ω ή 6 ω π ω, έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς ριθμούς με τη γωνί ω με πρόσημο ή νάλογ με το τετρτημόριο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίς τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, θεωρώντς ότι π ω ο Οι γωνίες της μορφής ή που μπορούν ν πάρουν τη μορφή 9 ω, π ω ή ο 7 ω, π ω, ενλλάσσουν τους τριγωνομετρικούς ριθμούς με τη γωνί ω, δηλδή το ημίτονο γίνετι συνημίτονο ή ντίστροφ κι εφπτομένη γίνετι συνεφπτομένη ή ντίστροφ με πρόσημο ή νάλογ με το τετρτημόριο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίς π τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, θεωρώντς ότι ω ΠΡΟΟΔΟΙ Αριθμητική πρόοδος ονομάζετι η κολουθί ριθμών,, ν, στην οποί κάθε όρος προκύπτει πό τον προηγούμενο προσθέτοντς τον ίδιο ριθμό, (διφορά), ω ν ν Ισχύουν: ν= +(ν-)ω, Σν ν ν (ν )ω, ενώ νγκί κι ικνή συνθήκη γι ν είνι τρείς ριθμοί, β, γ διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου είνι η β γ Γεωμετρική πρόοδος ονομάζετι η κολουθί των μη μηδενικών ριθμών,, ν τον προηγούμενο πολλπλσιάζοντς τον ίδιο μη μηδενικό ριθμό, (λόγος), λ ν, στην οποί κάθε όρος προκύπτει πό (ν-) λ Ισχύουν: ν=λ, Σν ν εφόσον λ κι Σν ν ν λ, ενώ νγκί κι ικνή λ συνθήκη γι ν είνι τρείς μη μηδενικοί ριθμοί, β, γ διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου είνι η β γ

10 Βσικές Γνώσεις Μθημτικών μέχρι κι τη Β Λυκείου ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ονομάζετι η συνάρτηση (), ορίζετι γι κάθε R κι πίρνει τιμές στο, Αν είνι γνησίως φθίνουσ ενώ ν είνι γνησίως ύξουσ ν Ορισμός του e: lim =, =e ν ν ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Ορισμός log θ θ με, θ Νεπέριος λογάριθμος λέγετι ο λογάριθμος που έχει βάση το e : Δεκδικός λογάριθμος λέγετι ο λογάριθμος που έχει βάση το : y ln y e με κι y R y log y με κι y R Κάθε πργμτικός ριθμός μπορεί ν γρφεί ως λογάριθμος : γι κάθε R ισχύει: ln e ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η συνάρτηση () log, ορίζετι στο,, έχει τιμές στο IR κι είνι η ντίστροφη της Αν είνι γνησίως φθίνουσ, ενώ ν είνι γνησίως ύξουσ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ: --- στις επόμενες ιδιότητες όπου δεν γράφετι τ περιεχόμεν των λογρίθμων είνι θετικά ενώ οι βάσεις θετικές κι όχι έν ln P() ln P() ln ln e ln e e με ln e P() e P() με P log ( y) log log y log log log log y y με, y κ κlog ln log ΑΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ σε λογάριθμο: log, γενικότερ ισχύει: logβ,,β, ln log β ΑΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ σε εκθετική συνάρτηση : βση ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ εκθέτης εκθέτη ln(βάσης) e ή e ln Οι συνρτήσεις () κι () log με Είνι ντίστροφες κι έχουν γρφικές πρστάσεις που είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί y (Διπλνά σχήμτ) y y=a y=loga y=a y O > O y=log a << ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Αν Α(, y ) κι Β(,y ) τότε AB,y y Αν (,y), τότε i y j, y, y y ενώ το μέσο M του AB είνι το M, y λ εφω, Έστω τ δινύσμτ (, y ) κι β (,y ) Tότε: Ορίζουμε: β β συν(,β) y y Ισχύουν (, y ) ( y ),, συν,β β, ν προβ ν β β (,y ) β β (,y ) det(,β) // y y det(,β) y y y y = y y ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ε είνι η: Α Βy Γ με A ή B Ισχύουν: y y Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς που διέρχετι πό τ A,y, B, y είνι λαβ Η ευθεί (ε): Α Βy Γ είνι πράλληλη στο διάνυσμ δ ( Β,Α), στο διάνυσμ ε (Β, Α) κι έχει A συντελεστή διεύθυνσης λ, εφόσον Β ενώ είνι κάθετη στο διάνυσμ p (Α, Β) B Η πόστση ενός σημείου Μ( ο,y ο ) πό την (ε) είνι: Το εμβδό του τριγώνου ΑΒΓ με Α,y, B,y, Αο Βyο Γ d(μ,ε) Α Β Γ,y είνι: (ΑΒΓ) det(ab,aγ) M Ππγρηγοράκης

11 Βσικές Γνώσεις Μθημτικών μέχρι κι τη Β Λυκείου ΚΥΚΛΟΣ είνι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Οy τ οποί πέχουν στθερή πόστση ρ, (κτίν του κύκλου), πό έν στθερό σημείο Κ, (κέντρο του κύκλου) Αν Μ(,y) υτά τ σημεί κι Κ(, y ) τότε: ο ο o o y y ρ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΚΛΟΥ y A By Γ με Α Β 4Γ Α Β Τότε έχει κέντρο το σημείο: Κ, κι κτίν Α Β 4Γ ρ Η εξίσωση του κύκλου στο μιγδικό επίπεδο είνι: z zo ρ, με z o στθερός μιγδικός ριθμός κι ρ R ΠΑΡΑΒΟΛΗ είνι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Οy τ οποί ισπέχουν πό μι ευθεί δ, (διευθετούσ) κι έν στθερό σημείο Ε, (Εστί) p Αν Μ(, y) υτά τ σημεί κι δ:, Ε ( p,) τότε: d M,δ ME y p Το πάνω τμήμ είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης y p, ενώ το κάτω της y p y ε M(,y) Α(,y) Ο y P p> M(,y) Α O p E, p δ: p p Αν Μ(, y) υτά τ σημεί κι δ : y, Ε, d M,δ ME py τότε: Αυτή η πρβολή είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης: y p ΈΛΛΕΙΨΗ είνι το σύνολο των σημείων Μ(,y) του επιπέδου Οy τ οποί έχουν στθερό άθροισμ ποστάσεων,, πό δύο στθερά σημεί Ε, Ε (εστίες), ( EE γ Αν είνι E(γ,), E ( γ,) τότε: Αν είνι E(,γ), E (, γ) τότε: Το πάνω τμήμ της έλλειψης y ΜΕ ΜΕ Α, β y ΜΕ ΜΕ Α, β β β y, ενώ το κάτω της y β γ β γ y είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης: β,, Αντίστοιχ ισχύουν γι την β y γ γ Εκκεντρότητ της έλλειψης ονομάζετι ο ριθμός ε Ότν ε τότε η έλλειψη γίνετι ποιο πεπλτυσμένη, ενώ γ ότν ε η έλλειψη τείνει ν γίνει κύκλος ΥΠΕΡΒΟΛΗ είνι το σύνολο των σημείων του επιπέδου τ οποί έχουν στθερή πόλυτη διφορά ποστάσεων,, πό δύο στθερά σημεί Ε, Ε (εστίες), ( EE γ ) y y a y a Αν Μ(, y) υτά τ σημεί κι E ( γ,), E(γ,) τότε: ΜΕ ΜΕ Αν Μ(, y) υτά τ σημεί κι E (, γ), E(,γ) τότε ΜΕ ΜΕ Το πάνω τμήμ της υπερβολής β β y, ενώ το κάτω της y y, β β γ y, β γ β y είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης: β,,, γ y υπερβολής ονομάζετι ο ριθμός ε - Αντίστοιχ ισχύουν γι την ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ y β β είνι οι y κι y ενώ της β Ισοσκελής υπερβολή λέγετι η υπερβολή: y y ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ: των πρπάνω κμπυλών στο σημείο τους Α,y ΚΩΝΙΚΗ y ρ y p, Εκκεντρότητ της β είνι οι y κι y β β β o py o y β y β ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ o yyo ρ yyo p( o ) o p(y y o ) ο yyο β ο yy ο β A =py p> E ( γ,) y E, p O p δ: y y B M (, y) O B Α Ν Ο E(γ,) Κ Μ Λ Α Α M Ππγρηγοράκης

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτ/νσης) Συνρτήσεις - θεωρί Συνρτήσεις ΠΡΟτάσεις, ΠΑΡτηρήσεις, ΜΕΘοδοι κι ΣΧΟλι Πεδίο ορισμού ΠΡΟΑ Χρήσιμες προτάσεις γι εύρεση του πεδίου ορισμού συνάρτησης Aν μς ζητούν ν βρούμε το πεδίο ορισμού μις συνάρτησης ν έχουμε υπόψη ότι: h ( ) Aν ( ) = πρέπει g ( ) g ( ) Aν ( ) = ν g ( ) πρέπει g ( ) Aν ( ) = ln ( g ( )) πρέπει g> ( ) π Aν ( ) = εϕ ( g ( )) πρέπει g ( ) κπ +, κ Aν ( ) = σϕ ( g ( )) πρέπει g ( ) κπ, κ ΜΕΘΑ Πρκτικά το πεδίο ορισμού μις συνάρτησης είνι η πάντηση στην ερώτηση: «Τι τιμές μπορεί ν πάρει το ώστε το ( ) ν έχει νόημ πργμτικού ριθμού;» Πχ Έστω ( ) = ln( ) Ανζητώ τις τιμές του γι τις οποίες το ( ) έχει νόημ Επειδή ο λογάριθμος ορίζετι μόνο γι θετικούς ριθμούς πρέπει: > < Άρ πεδίο ορισμού: D = (,) ΠΑΡΑ Aν μς ζητούν ν βρούμε το πεδίο ορισμού μις συνάρτησης ν έχουμε υπόψη ότι: D ν κι μόνο ν το ( ) έχει νόημ πργμτικού ριθμού Πχ Αν η έχει D = [, 5] γι ν βρω το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g ( ) = + ( + ) σκέπτομι ότι πρέπει το g ( ) ν έχει νόημ, άρ το ( + ) ν έχει νόημ άρ ( + ) D + 5 Τελικά D g = [, ] ΠΑΡΑ Το πεδίο ορισμού το βρίσκουμε πό τον τύπο της συνάρτησης όπως μς δόθηκε ρχικά κι όχι στη μορφή που προκύπτει μετά πό τυχόν πράξεις ή πλοποιήσεις Κ Αδμόπουλος

37 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτ/νσης) Συνρτήσεις - θεωρί Πχ Αν πλοποιήσουμε τον τύπο της ( ) = έχω ( ) = + κι πό υτόν τον πλοποιημένο τύπο προκύπτει ότι D =, που είνι λάθος, φού ο σωστός προκύπτει πό την ρχική μορφή κι είνι D = { } ΠΑΡΑ Σε μι συνάρτηση δεν έχει σημσί με ποιο γράμμ συμβολίζω την νεξάρτητη μετβλητή Πχ Η συνάρτηση ( ) = + ln είνι ίδι μ την ( t) = t + lnt κθώς κι με την ( ω) ω lnω = +, κτλ ΠΡΟΑ Έν σημείο (, y) ( ) = y Πχ το (,) Γρφικές πρστάσεις Μ νήκει στη C ν κι μόνο ν Μ νήκει στη γρφική πράστση της προφνώς () = ( ) = + 4 φού ΣΧΟΑ Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είνι το σύνολο των τετμημένων όλων των σημείων της C, ενώ το σύνολο των τετγμένων όλων των σημείων της ΠΑΡΑ4 Επειδή σε κάθε C είνι το σύνολο τιμών της D ντιστοιχεί έν κι μόνο y = ( ), κάθε κτκόρυφη ευθεί τέμνει τη C σε έν το πολύ σημείο ΠΑΡΑ5 Γι ν βρούμε τ σημεί τομής των C κι C g λύνουμε την εξίσωση ( ) = g ( ) Οι λύσεις της είνι οι τετμημένες των σημείων τομής Πχ Βρείτε τ σημεί τομής των γρ πρστάσεων των ( ) = κι g ( ) = + Είνι: ( ) = g ( ) = + = = ή= Άρ τ σημεί τομής τους είνι τ: Α(,4) κι Β (,) Οι C κι C τέμνοντι πάνω στην ευθεί = ν κι μόνο ν g ( ) = g( ) ΠΡΟΑ Έστω : Άρτι περιττή A συνάρτηση τέτοι που γι κάθε A ν είνι A Τότε: άρτι ν ( ) = ( ) γι κάθε A, ένώ περιττή ν ( ) = ( ) γι κάθε A Οι περισσότερες συνρτήσεις δεν είνι ούτε άρτιες ούτε περιττές Κ Αδμόπουλος

38 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτ/νσης) Συνρτήσεις - θεωρί Η γρφική πράστση μις άρτις συνάρτησης έχει άξον συμμετρίς τον yy Ο,, ενώ μις περιττής έχει κέντρο συμμετρίς το ( ) ΠΡΟΑ4 Αν η συνάρτηση είνι περιττή τότε ( ) = Απόδειξη: Αφού περιττή ( ) = () () = () = Πράξεις συνρτήσεων ΜΕΘΑ Στις πράξεις συνρτήσεων πρώτ βρίσκουμε το πεδίο ορισμού κι μετά τον τύπο της συνάρτησης που προκύπτει πό τη συγκεκριμένη πράξη Αν το πεδίο ορισμού είνι το κενό σύνολο τότε η συγκεκριμένη πράξη δεν ορίζετι Πχ Αν ( ) = 5 κι g ( ) = +, τότε δεν ορίζετι η συνάρτηση + g φού D Dg = D + g = ΜΕΘΑ Γι ν δείξω ότι δύο συνρτήσεις, g είνι ίσες πρέπει πρώτ ν δείξω ότι έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α, κι μετά ότι ( ) = g ( ) γι κάθε Α Το δεύτερο μόνο του δεν εξσφλίζει την ισότητ Πχ Οι συνρτήσεις που ( ) = ( )( + ) 4 κι g ( ) = δεν είνι ίσες πρόλο + ( ) = = = g ( ), φού D Dg + ΠΑΡΑ6 Γενικά δεν ισχύει g = g ΜΕΘΑ4 Γι ν βρω το πεδίο ορισμού της g, νζητώ τ ώστε ( g ) ν έχει νόημ πργμτικού ριθμού Γι ν συμβίνει υτό D κι στη συνέχει το g( ) το ( ) πρέπει το g( ) ν έχει νόημ, άρ ν έχει νόημ, άρ g ( ) D g Δηλδή : D g= { Dgg ( ) D} Πχ Αν ( ) = ln(5 ) με D = (,5) κι g ( ) = με D g = [, + ) Τότε γι το D gνζητώ τ ώστε Dg κι g ( ) D δηλδή κι < 5 ή ισοδύνμ κι < 6 Άρ D g= [,6) κι ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g = g = ln 5 g = ln 5 ( ) ΜΕΘΑ5 Αν γνωρίζω την ( g ( )) κι θέλω ν μάθω την ( ) θέτω t= g ( ) Πχ Έστω ( ) = γι κάθε κι θέλω ν βρω την ( ) Κ Αδμόπουλος

39 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτ/νσης) Συνρτήσεις - θεωρί Θέτω t = οπότε = t+ κι έτσι η δοσμένη γίνετι: ( t) = ( t+ ) + t+ + 4 κι τελικά () t = t+ 6+ t+ 7 δηλ ( ) = Μονοτονί συνάρτησης ΠΡΟΑ5 Αν ισχύει: ( ) ( ) Αν ισχύει: ( ) ( ) < < (Διτηρείτι η φορά) < > (Αλλάζει η φορά) ΠΡΟΑ6 Γνωστές μονότονες συνρτήσεις είνι: ( ) = + β Είνι στο ν > ή ν < ( ) = Είνι στο ν > ή ν < < ( ) ln = Είνι στο ( ),+ v ( ) = Είνι στο [, + ) ( ) = Είνι στ (,),, + ν < ( ) κι ( ) κι ( ), + ν > ή v ( ) = με v περιττό Είνι στο ν > ή ν < ( ) = εϕ Είνι στ διστήμτ που ορίζετι ΠΑΡΑ7 Αν, θετικοί, τότε: < < (Διτηρείτι η φορά) Αν, ρνητικοί, τότε: < > (Αλλάζει η φορά) Αν, oμόσημοι, τότε: (Αλλάζει η φορά) Αν, θετικοί, τότε: < < (Διτηρείτι η φορά) Αν, ρνητικοί, τότε: < > (Αλλάζει η φορά) Αν, μη ρνητικοί, τότε: < < (Διτηρείτι η φορά) ΠΡΟΑ7 Aν συνάρτηση ορισμένη σε διάστημ Δ, ονομάζω λόγο μετβολής τον ριθμό λ= ( ) ( ) με, τυχί σημεί του Δ Αν λ> γι κάθε, τότε στο Δ Αν λ< γι κάθε, τότε στο Δ ΠΡΟΑ8 Μι συνάρτηση γνησίως μονότονη σε έν διάστημ Δ, έχει σε υτό το πολύ μι ρίζ Απόδειξη: Έστω ότι η έχει στο Δ δύο ρίζες < Τότε ( ) = ( ) = Κ Αδμόπουλος

40 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτ/νσης) Αν στο Δ είνι: ( ) ( ) Αν στο Δ είνι: ( ) ( ) < < < Άτοπο < > > Άτοπο Άρ η έχει στο Δ το πολύ μί ρίζ Συνρτήσεις - θεωρί ΠΑΡΑ8 Αν η συνάρτηση ορίζετι σε ένωση διστημάτων A B κι είνι γν ύξουσ στο A κι στο B, υτό δεν σημίνει κτ νάγκη ότι είνι γν ύξουσ κι στο A B (Όμοι ν ) Πχ η συνάρτηση ( ) = είνι γν ύξουσ στο (,) κι στο (,+ ) λλά δεν είνι γν ύξουσ σε όλο το πεδίο ορισμού της, δηλδή στο φού πχ είνι < ενώ ( ) > () Σύνολο τιμών ΜΕΘΑ6 Γι ν βρω το σύνολο τιμών της συνάρτησης θέτω y = ( ) κι νζητώ όλες τις τιμές του y γι τις οποίες: Α) η εξίσωση y = ( ) έχει λύση ως προς, κι Β) η λύση υτή νήκει στο D Το σύνολο τιμών προκύπτει πό την συνλήθευση των περιορισμών που προκύπτουν γι το y πό τις πρπάνω προτάσεις Πχ Γι ν βρω το σύνολο τιμών της ( ) = + με D = [, + ), θέτω y= + Ανζητώ όλ τ y γι τ οποί η εξίσωση υτή έχει λύση ως προς κι η λύση υτή νήκει στο D Είνι: y= + = y Γι ν έχει υτή λύση πρέπει y y Αν συμβίνει υτό, είνι = ( y ) = ( y ) + Πρέπει D ( y ) ( y ) Αφού λοιπόν y το σύνολο τιμών της είνι ( ) [, ) + που ισχύει γι κάθε Α = + ΠΡΟΑ9 Χρήσιμες προτάσεις στη διδικσί εύρεσης συνόλου τιμών συνάρτησης Η εξίσωση = β έχει λύση ν Η εξίσωση = β έχει λύση ν β > ν Η = έχει λύση ν Η + β+ γ = έχει λύση ν Οι ηµ = κι συν = έχουν λύση ν ΠΑΡΑ9 Αν μς δίνετι : Α Β, τότε το Β είνι το σύνολο άφιξης κι όχι κτ νάγκη το σύνολο τιμών της Κ Αδμόπουλος

41 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτ/νσης) Συνρτήσεις - θεωρί Πάντως ν το Β δεν είνι το, τότε μς δίνει κάποι πληροφορί που θ πίξει ρόλο στη λύση της άσκησης Πχ ν μς δίνετι : [, + ) τότε έχω την πληροφορί: ( ) Συνρτήσεις «-» ΜΕΘΑ7 Γι ν ποδείξω ότι μι συνάρτηση είνι «-» ποδεικνύω ότι γι, D ισχύει: (σπνίως) ή συνηθέστερ Αν τότε ( ) ( ) Αν ( ) ( ) = τότε = ή ότι η είνι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της ΜΕΘΑ8 Γι ν ποδείξω ότι η συνάρτηση δεν είνι «-» ρκεί ν βρω έν ντιπράδειγμ, δηλδή ρκεί ν βρω δύο ριθμούς, ώστε ν είνι ενώ ( ) = ( ) Υποψιάζομι ότι η δεν είνι «-» ν είνι πολυώνυμο άρτιου βθμού ή ν έχει στον τύπο της ημίτονο, συνημίτονο ή πόλυτο Πχ Γι ν ποδείξω ότι η ( ) = + δεν είνι «-», βρίσκω ντιπράδειγμ πρτηρώντς ότι ενώ είνι ( ) = () ΠΡΟΑ Μι γνησίως μονότονη συνάρτηση είνι «-» Απόδειξη: Έστω στο πεδίο ορισμού της Α Τότε γι, A είνι: Αν τότε < οπότε ( ) < ( ) ή > οπότε ( ) > ( ) σε κάθε περίπτωση πάντως ( ) ( ) Άρ «-» Όμοι ν Το ντίστροφο δεν ισχύει γενικά Πχ η συνάρτηση ( ) = είνι «-», δεν είνι όμως γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της ΠΑΡΑ Γι κάθε συνάρτηση ισχύει: Αν = τότε ( ) ( ) Δηλδή γι τις «-» συνρτήσεις ισχύει: = ( ) = ( ) Πχ Αν = Το ντίστροφο ισχύει μόνο γι τις συνρτήσεις «-» e + = e, επειδή η ( ) = e είνι «-» έχω: + = =, π ενώ ν ηµ = ηµ δεν έχω υποχρεωτικά π = φού η ( ) = ηµ δεν είνι «-» ΣΧΟΑ Αν «-» τότε γι κάθε y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση y = ( ) έχει ως προς κριβώς μί λύση Κ Αδμόπουλος

42 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτ/νσης) Συνρτήσεις - θεωρί ΜΕΘΑ9 Αν στ πρώτ ερωτήμτ μις άσκησης μελετώ μι συνάρτηση κι στη συνέχει μου ζητούν ν λύσω μι εξίσωση ή μι νίσωση, τότε θ πρέπει ν εμφνίσω την κι ν εκμετλλευτώ τ συμπεράσμτ των πρώτων ερωτημάτων Πχ ν στο ο ερώτημ έχω ποδείξει ότι η ( ) = + ln είνι «-» κι στο ο μου ζητούν ν λύσω την εξίσωση ln ln = θ έχω: ( ) ln = ln + ln = + ln = ( ) κι επειδή «-» είνι ( ) = = = φού η = πορρίπτετι ΠΑΡΑ Aν η συνάρτηση είνι «-» τότε κάθε ευθεί της μορφής y = y (πράλληλη στον ) τέμνει τη C σε έν το πολύ σημείο Έτσι ν μι ευθεί πράλληλη στον τέμνει τη γρφική πράστση μις συνάρτησης σε δύο σημεί τότε υτή δεν είνι «-» ΜΕΘΑ Αν η συνάρτηση είνι «-» τότε έχει το πολύ μί ρίζ, τότε θ πρέπει ( ) ( ) Πράγμτι: Αν η έχει δύο ρίζες με Άτοπο, φού η είνι «-» = = Αντιστρέψιμες συνρτήσεις ΠΡΟΑ Μι συνάρτηση ντιστρέφετι (δηλ έχει ντίστροφη) ν κι μόνο ν είνι «-» ΜΕΘΑ Μέθοδος εύρεσης της ντίστροφης συνάρτησης Βρίσκω το πεδίο ορισμού της Αποδεικνύω ότι είνι «-» Βρίσκω το σύνολο τιμών της που θ είνι πεδίο ορισμού της Λύνω τον τύπο y = ( ) ως προς κι θέτω όπου το ( y) Έχω έτσι τον τύπο της με μετβλητή το y κι θέτω όπου y το Πχ Ν βρεθεί η ντίστροφη της ( ) = + e Προφνώς D = Αποδεικνύω ότι είνι «-» Γι, ( ) ( ) = + e = + e e = e = άρ»-» Βρίσκω σύνολο τιμών y= ( ) y= + e e = y γι ν έχει λύση υτή η εξίσωση ως προς θ πρέπει: y > y> Τότε: ln e = ln( y ) = ln( y ) Άρ σύνολο τιμών: ( Α ) = (, + ) Βρίσκω τον τύπο της Είνι = ln( y ) άρ ( ) = ln( ) με πεδίο ορισμού D = (, + ) ( y) = ln( y ) δηλδή Κ Αδμόπουλος

43 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτ/νσης) ΠΑΡΑ Προφνώς, εκτός πό κάποιες εξιρέσεις, ισχύει: ΠΑΡΑ Είνι y ( ) ΠΑΡΑ4 Είνι ( ( )) γι κάθε y ( Α ) Απόδειξη: ( ) = = ( y) = γι κάθε D ( ) ( y) = = Επίσης ( ) Μπορώ επίσης ν γράφω: ( ( )) = Συνρτήσεις - θεωρί κι ( ( )) y = y ( y) = ( ) = y ΠΑΡΑ5 Αν η είνι γνησίως μονότονη, τότε κι η είνι γνησίως μονότονη κι μάλιστ με το ίδιο είδος μονοτονίς Απόδειξη: Α τρόπος: Έστω γν ύξουσ στο πεδίο ορισμού της Α άρ κι «-» Θ δείξουμε ότι κι η είνι επίσης γν ύξουσ Έστω ότι η ώστε: y < y ενώ ( ) ( ) Αλλά σ υτή την περίπτωση επειδή θ είνι: δεν είνι γν ύξουσ Τότε θ υπάρχουν y, y ( A) y y ( ( )) ( ) ( ) y y y y Άτοπο Άρ γν ύξουσ Όμοι ν Β τρόπος: Έστω γν ύξουσ στο πεδίο ορισμού της Α Θ δείξουμε ότι κι η είνι επίσης γν ύξουσ Πράγμτι γι κάθε y, y ( D ) ( ( )) ( ( )) είνι: y < y y < y κι επειδή η είνι γν ύξουσ τελικά: ( y) < ( y) Άρ γν ύξουσ ΠΑΡΑ6 Αν η είνι ντιστρέψιμη συνάρτηση, τότε οι C κι C είνι κμπύλες συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο της ης κι ης γωνίς των ξόνων, δηλδή την ευθεί ε : y = Απόδειξη: Αν το M(, y ) νήκει στη y y = οπότε M' y, νήκει στη C Τ M κι M ' είνι συμμετρικά ως προς την ευθεί το ( ) y C τότε = ( ) άρ ( ) = Άρ οι C κι C είνι συμμετρικές ως προς την ίδι ευθεί φού κάθε σημείο της μις έχει το συμμετρικό του πάνω στην άλλη ΣΧΟΑ Αν η είνι γνησίως ύξουσ, τότε τ κοινά σημεί των κι C βρίσκοντι πάνω στην ευθεί y = Άρ οι εξισώσεις ( ) C =, ( ) = κι ( ) = ( ) είνι ισοδύνμες, δηλδή ν έχω ν λύσω μι πό υτές μπορώ στη θέση της ν λύσω οποιδήποτε πό τις άλλες ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω ρίζ της ( ) = ( ) δηλδή ( ) = ( ) Θ ποδείξω ότι το είνι ρίζ της ( ) =, δηλδή ( ) = Κ Αδμόπουλος

44 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτ/νσης) ( ) ( ( )) ( ( )) Πράγμτι ( ) ( ) ( ) Αν ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Αν ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Άρ ( ) = Αντίστροφ: Έστω ρίζ της ( ) =, δηλδή ( ) είνι ρίζ της ( ) = ( ) δηλδή ( ) = ( ) Πράγμτι: ( ) ( ) ( ) ( ) Συνρτήσεις - θεωρί = = = Είνι < < < Άτοπο > > > Άτοπο = = = Πάντως γι οποιδήποτε ντιστρέψιμη συνάρτηση η ευθεί y = στ ίδι σημεί που την τέμνει κι η = Θ ποδείξω ότι το C C τέμνει την, άρ γι οποιδήποτε ντιστρέψιμη συνάρτηση οι εξισώσεις ( ) = κι ( ) = είνι ισοδύνμες Πράγμτι ( ) ( ) = ( ) = ( ) = ( ) ΜΕΘΑ Αν μου ζητούν ν βρω την ντίστροφη μις συνάρτησης πό μι συνρτησική της σχέση, θέτω όπου το ( ) ( ) Πχ Αν e + ( ) = + γι κάθε, βρείτε την Θέτω όπου το ( ) ( ) οπότε η δοσμένη γίνετι: ( ) e + ( ) = ( ) + ( ) άρ e + = ( ) + ( ) = e + ΜΕΘΑ Αν μου δίνετι μι συνρτησική σχέση που περιέχει μι συνάρτηση κθώς κι το τετράγωνό της, τότε προσπθώ συνήθως ν δημιουργήσω τυτότητ Πχ Βρείτε την ν δεν είνι δίκλδη κι ισχύει: ( ) ( ) = ln ( ) ( ) = ln ( ) ( ) + = ln = ln ( ) = ln ή ( ) = ln ( ) = + ln ή ( ) = ln ( ) Κ Αδμόπουλος

45 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Συνρτήσεις Συνρτήσεις "Τ Μθημτικά είνι η εξύψωση της κοινής λογικής" Lord Kelvin Πεδί ορισμού ΓA/ Ν βρεθούν τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων: Α) ( ) = Β) ( ) = 6 + ( ) = ln 8 Δ) ( ) = log(4 ) Γ) ( ) 4 Ε) ( ) = + Ζ) ( ) ln Θ) ( ) = ΣΤ) 4 ( ) = ( ) = ln e = Η) ( ) Ι) ( ) = π ΙΑ) ( ) εϕ + + = + + IB) ( ) = + 5 IΓ) ( ) = + ΙΔ) ( ) = ΙΕ) ( ) = ln ln + 6 IΣT) ( ) = ΙΖ) ( ) = + ηµ ΙΗ) ( ) = 4 ln ΓA/Γι ποιες τιμές του λ το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) = ( λ ) λ + λ είνι το ; ΓA/Aν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είνι: D = [, 7], τότε: Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: g ( ) = ( ) B) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: ϕ ( ) = ( ) + Γ) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: h( ) = ( ) + ( + ) ΓA/4 Aν ( ) 6 = +, τότε: Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Κ Αδμόπουλος

46 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) B) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: ϕ ( ) = + + Γ) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: h ( ) = ( + ) ( ) ΓA/5 Aν ( ) = ln(7 ) +, τότε: Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της g ( ) = + + ( ) B) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: ( ) Γ) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: h( ) = ( + ) ( ) Συνρτήσεις ΓA/6 Α) Aν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το διάστημ (, ), βρες το πεδίο ορισμού της h ( ) = ( ln ) Β) A) Aν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το διάστημ, 65, βρες το πεδίο ορισμού της ( ) ( ) ϕ = + ΓA/7 Aν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το διάστημ [,7] βρείτε το πεδίο ορισμού της g ( ) = ( ) Β) Αν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το [, 4] D = βρείτε το πεδίο ορισμού της: g( ) = ( ) ( ) Γρφική πράστση ΓA/8 Αν ( ) = + γράψτε τον τύπο της χωρίς το πόλυτο, σχεδιάστε τη γρφική της πράστση κι βρείτε το σύνολο τιμών της ΓA/9 Ν χράξετε τις γρφικές πρστάσεις κι ν βρείτε το σύνολο τιμών των συνρτήσεων: Α) ( ) = ln( ) Β) ( ) = + Γ) ( ) = ηµ +, [, π ] Δ) ( ) = συν, [, π ] ΓA/ Στο διπλνό σχήμ φίνετι το γράφημ μις συνάρτησης Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της κι το σύνολο τιμών της Β)Βρείτε τις τιμές: ( ), () κι ( ) ( ) Κ Αδμόπουλος

47 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Συνρτήσεις Γ) Λύστε τις εξισώσεις: ( ) = κι ( ) = Δ) Λύστε τις νισώσεις: ( ) < κι ( ) Ε) Βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης ( ) = γι τις διάφορες τιμές του ΓA/ Αν ( ) = + + κ, βρείτε το κ ώστε το σημείο Μ(, κ ) ν νήκει στη γρφική πράστση της ΓA/ Α) Αν ( ) = + βρείτε τ σημεί τομής της C με τους άξονες Β) Όμοι γι την ( ) = Γ) Όμοι γι την ( ) = ln( ) ΓA/ Αν το σημείο Α (5,) νήκει στη γρφική πράστση της ( ) =κ + 4: Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της κι το κ Β) Βρείτε τ σημεί τομής της με τους άξονες Γ) Βρείτε το λ ν το σημείο Β (, λ ) νήκει στη C ΓA/4 Α) Βρείτε τ σημεί τομής των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων ( ) = κι g ( ) = + 6 Β) Όμοι γι τις ( ) = κι g ( ) = ΓA/5 Α) Βρείτε τ σημεί τομής των γρφικών πρστάσεων των ( ) = + ln + e κι g ( ) = + συνρτήσεων ( ) ΓA/6 A) Βρείτε τ, β ώστε τ σημεί Α (,) κι Β( β,β+ ) ν νήκουν στη γρφική πράστση της συνάρτησης ( ) = B) Όμοι τ, β ν τ Α (,) κι Β (,) νήκουν στην γρφική πράστση της συνάρτησης: ( ) = + +β ΓA/7 Αν ( ) = με κι η C διέρχετι πό το σημείο Μ (,5) ν βρείτε: Α) τον ριθμό Β) τ σημεί τομής της C με τους άξονες Γ) τ σημεί τομής της C με τη C g όπου g ( ) = 4+ Κ Αδμόπουλος

48 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Συνρτήσεις ΓA/8 Δίνοντι οι συνρτήσεις ( ) = + +β κι g( ) = +β 6 με, β Αν η C τέμνει τον άξον στο - κι η C g τέμνει τον άξον yy στο σημείο με τετγμένη 6, ν βρείτε: Α) τους ριθμούς β, Β) Τ σημεί τομής των C κι C g Γ) Βρείτε τ διστήμτ στ οποί η C είνι πάνω πό τη C g ΓA/9 Βρείτε τ διστήμτ όπου η γρφική πράστση της ( ) = + βρίσκετι πάνω πό τον άξον ΓA/Aν ( ) βρίσκετι κάτω πό τη ΓA/ Αν = κι g ( ) C g = βρείτε τ διστήμτ όπου η C ( ) = + 5+ e κι g ( ) = 6+ e βρείτε τ γι τ οποί η C βρίσκετι πάνω πό τη C ; ΓA/ Αν ( ) k = + Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Αν το Α (,) νήκει στη C δείξτε ότι k = Γ) Αν k = βρείτε που η C τέμνει τους άξονες + k ΓA/ Δίνετι η συνάρτηση ( ) = + Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Αν το Α (, ) νήκει στη C δείξτε ότι k = 7 Γ) Αν k = 7 βρείτε που η C τέμνει τους άξονες ΓA/4 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = +β +γ με Bρείτε τ, β, γ ν το σημείο Α (, 6) νήκει στη C κι η τον άξον yy ' στο σημείο Β (,) ενώ τον στο σημείο Γ (, ) g C τέμνει Κ Αδμόπουλος

49 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Συνρτήσεις Συμμετρίες (Άρτι περιττή) ΓA/5 Eξετάστε ν οι πρκάτω συνρτήσεις είνι άρτιες ή περιττές ΓA/6 Eξετάστε ν οι πρκάτω συνρτήσεις είνι άρτιες ή περιττές ( ) = ηµ, g ( ) = συν, h ( ) = +, c ( ) = + k ( ) = + +, ϕ ( ) = + συν, s ( ) = + +, ηµ σ ( ) = +, q( ) ln = +, +, ν < π ( ) = +, ν > ΓA/7 Eξετάστε ν οι πρκάτω συνρτήσεις είνι άρτιες ή περιττές 4 ( ) = +, g ( ) = + +, h ( ) = + ηµ, c ( ) = + ηµ ηµ k ( ) = + συν, ϕ ( ) = + +, s ( ) =, σ ( ) =, + συν + + 5, ν < q( ) = ln, π ( ) = + 5 +, ν ΓA/8 Στο διπλνό σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση μις συνάρτησης A) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Λύστε τις εξισώσεις: ( ) =, ( ) = κι ( ) = Δ) Λύστε τις νισώσεις: ( ) >, ( ) <, ( ), ( ) < Κ Αδμόπουλος

50 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) E) Εξετάστε ν η είνι άρτι ή περιττή Ισότητ, πράξεις κι σύνθεση συνρτήσεων ΓA/9A) Εξετάστε ν οι συνρτήσεις είνι ίσες ( ) = 4 Συνρτήσεις κι g ( ) = + ΓA/ Εξετάστε ν οι συνρτήσεις ( ) = ( )( 4) κι g ( ) = 4 είνι ίσες ΓA/ Εξετάστε ν οι συνρτήσεις ( ) = ( )(4 ) κι g ( ) = 4 είνι ίσες ΓA/ Εξετάστε ν οι συνρτήσεις ( ) = ( )( ) κι g ( ) = είνι ίσες ΓA/ Εξετάστε ν οι συνρτήσεις ( ) = ( )( ) κι g ( ) = είνι ίσες ΓA/4 Προσδιορίστε τ, ( ) = +λ µ λ+ 5 κι µλ ώστε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις: g ( ) = ΓA/5 Προσδιορίστε τ, + ( µ + 5) + λ+ + λ + µλ ώστε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις: +λ +µ + ( µ ) + 4 ( ) = κι g( ) = λ µ+ Βρείτε επίσης τ σημεί όπου η C τέμνει τους άξονες ΓA/6 Αν ( ) ln = κι g ( ) = 5 ν ορίσετε τις συνρτήσεις: + g, g, g, g ΓA/7 A) Αν ( ) = ln κι g ( ) = βρείτε τις συνρτήσεις: + g, g, g, g ΓA/8 Αν ( ) 4 g = κι g ( ) = ορίστε τις + g κι Κ Αδμόπουλος

51 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓA/9 Αν ( ) ln( ) g ΓA/4 Αν ( ) κι / g ΓA/4 Αν ( ) e = κι + g, g Συνρτήσεις = κι g ( ) = ορίστε τις + g κι = κι g ( ) = ln(4 ) ορίστε + g, g, < g ( ) = ορίστε τις συνρτήσεις: +,, < +, < ΓA/4 Αν ( ) = κι g ( ) = ορίστε τη +, ln, συνάρτηση: + g +, < ΓA/4 Αν ( ) = κι g ( ) = ln βρείτε τις +, συνρτήσεις: + g, g +,, ΓA/44 Αν ( ) = κι g ( ) +, > = + < ν, βρείτε τη συνάρτηση + g ΓA/45A) Αν ( ) ln συνρτήσεις: = κι g ( ) = 5 ν ορίσετε τις g κι g ΓA/46 Αν ( ) = ln κι g, g κι g ( ) 4 ΓA/47 Προσδιορίστε τη συνάρτηση g ( ) = log ΓA/48 Α) Προσδιορίστε τη συνάρτηση g ( ) = + ΓA/49 Αν ( ) ΓA/5 Αν = ν ορίσετε τις συνρτήσεις: g ν ( ) = κι g ν ( ) = κι = e κι g ( ) = ln ορίστε τις g κι g = κι g ( ) ( ) 5 συνρτήσεις: g, g κι = ν ορίσετε τις Κ Αδμόπουλος

52 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓA/5 Δίνοντι οι συνρτήσεις, g με ( ) = + κι g ( ) = 5 Ν οριστούν οι συνρτήσεις g κι g ΓA/5 Αν ( ) = κι συνρτήσεις g κι g g ΓA/5 Δίνοντι οι συνρτήσεις, ( ) = + ν οριστούν οι Συνρτήσεις g με ( ) = ln κι g ( ) = Ν ορίσετε τις συνρτήσεις g, g κι ΓA/54 Αν ( ) = + β με προσδιορίστε τ β, ώστε γι κάθε ν ισχύει ( )( ) + ( ) = ( ) ΓA/55 Αν ( ) = + κι g ( ) =β + ν βρεθούν τ, β ώστε g = g κι οι C, C g ν τέμνοντι πάνω στην ευθεί = ΓA/56 Βρείτε τη Αποσύνθεση συνρτήσεων g ν g ( ) = + ln κι ΓA/57Αν g ( ) = 4 5 κι ΓA/58 Αν ( ) = κι ( ) συνάρτηση g ΓA/59 Αν ΓA/6 Αν ΓA/6 Αν ( ) + e ( ) = e >,, ( g )( ) = 4+ βρείτε την g ( ) = 4 συν βρείτε τη ( + ) = γι κάθε, βρείτε την ( ) ( ) = + + γι κάθε, βρείτε την ( ) = + κι ( g )( ) συνρτήσεις g κι g ΓA/6 Aν g ( ) = ln κι ( )( ) ΓA/6 Αν ( g )( ) = + κι ΓA/64 Αν g( ) = e κι ( )( ) ΓA/65 Αν g( ) = e κι ( )( ) ΓA/66 Αν ( ) ln g = προσδιορίστε τις g = + βρείτε την + g ( ) = βρείτε την g = +, βρείτε την g = + +, βρείτε την = + κι ( )( ) = + βρείτε την g Κ Αδμόπουλος

53 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓA/67 Αν 4 + ( g)( ) = κι g ( ) = βρείτε την Συνρτήσεις ΓA/68 Βρείτε τη συνάρτηση ώστε ν ισχύει: ( g )( ) = g ( ) = B) Aν ( g)( ) = + κι + Μονοτονί κι + g ( ) = βρείτε την ΓA/69 Μελετήστε ως προς τη μονοτονί τις συνρτήσεις: ( ) = +, ϕ ( ) = e, r ( ) = 5 4, k ( ) ln e + = + s ( ) = +, h ( ) = ln( ) 4 ΓA/7 Μελετήστε ως προς τη μονοτονί τις συνρτήσεις: ( ) = +, ϕ ( ) = e, r ( ) = ln( ), k ( ) = s ( ) = ln, h ( ) = + ln( + ), g ( ) = e ΓA/7 Βρείτε τ διστήμτ μονοτονίς των συνρτήσεων: ΓA/7 Μελετήστε ως προς τη μονοτονί τις συνρτήσεις: ( ) = +, ϕ ( ) =, r ( ) = e +, Κ Αδμόπουλος

54 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Συνρτήσεις k ( ) = + e s ( ) = e, h ( ) = +, g ( ) = ln( ), q ( ) = + ln ΓA/7 Μελετήστε ως προς τη μονοτονί τις συνρτήσεις: ( ) = 4 8, ϕ ( ) = +, r ( ) = ln( ), k ( ) = + e s ( ) = +, h ( ) = +, g ( ) = ln( ), q ( ) = ln ΓA/74 Αν η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο, μελετήστε την g ( ) = ( ) ( ) + ως προς τη μονοτονί ΓA/75 Aν γνησίως ύξουσ στο κι γι κάθε ισχύει: ( ) >, μελετήστε ως προς τη μονοτονί τις συνρτήσεις: g ( ) = ( ) +, h ( ) = ln ( ), s ( ) =, ( ) ( ) k ( ) = + ( ) κι ϕ ( ) = ( ( ) ) + e ν ορίζετι το ( ( )) γι κάθε ΓA/76 A) Μελετήστε ως προς τη μονοτονί τη συνάρτηση: g ( ) = + e στο ( ) Α) Αν γι τη συνάρτηση : ισχύει ( ) + e = + γι κάθε ν ποδείξετε ότι η είνι γνησίως ύξουσ Β) Δείξτε ότι ν h : (, + ) ώστε ν ισχύει: ln h ( ) h ( ) = γι κάθε (, + ), δείξτε ότι η h είνι γνησίως φθίνουσ ΓA/77 Αν η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ στο με ( ) > γι κάθε, μελέτησε ως προς τη μονοτονί τις συνρτήσεις : ( ) g ( ) = ( ) ( ) + κι ϕ ( ) = ln ( ( ) ) + e ΓA/78 Αν ( ) e ln λύστε την νίσωση: = + + μελετήστε την ως προς τη μονοτονί κι + e ln( ) e ln + < Κ Αδμόπουλος

55 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓA/79 Ν μελετηθεί ως προς τη μονοτονί η ( ) + λυθούν οι νισώσεις: ) + > + + κι 6 β) > 5+ 6 ΓA/8 Μελετήστε ως προς τη μονοτονί τη συνάρτηση: Συνρτήσεις = + κι ν ( ) = e κι λύστε την: + e < e + ΓA/8 Α) Μελετήστε ως προς τη μονοτονί τη συνάρτηση ( ) = ln +, λύστε την εξίσωση ( ) = κθώς κι την νίσωση ln < + + ΓA/8 Mελετήστε ως προς τη μονοτονί τη συνάρτηση: ( ) = ln( + ) + e + κι λύστε την εξίσωση: ( ) = ΓA/8 Μελετήστε ως προς τη μονοτονί τη συνάρτηση 5 ( ) = + κι λύστε την εξίσωση ( ) = ΓA/84 Λύστε την εξίσωση: e + ln( + ) = ΓA/85 Λύστε την εξίσωση: ln( ) + + = ΓA/86 Μελετήστε ως προς τη μονοτονί τη συνάρτηση ( ) = e κι λύστε την νίσωση ΓA/87 Λύστε την εξίσωση: ln ΓA/88 Λύστε την εξίσωση: + e = + = e e > ΓA/89 Λύστε την εξίσωση: e ln = 4 ΓA/9 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = Α) Δείξτε ότι η είνι γν φθίνουσ Β) Λύστε την εξίσωση: + 4 = 5 Γ) Ν λυθούν οι νισώσεις + 4 > 5 κι + 4 > 5 ΓA/9 Α) Δείξτε ότι ν, g μονότονες συνρτήσεις, τότε η g είνι γνησίως ύξουσ ν έχουν το ίδιο είδος μονοτονίς ή γνησίως φθίνουσ ν έχουν διφορετικό είδος μονοτονίς Κ Αδμόπουλος

56 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Συνρτήσεις Β) Αν η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ κι η g γνησίως φθίνουσ στο, ν μελετήσετε ως προς τη μονοτονί τις συνρτήσεις: g, g,, g g, θεωρώντς γνωστό ότι υτές ορίζοντι Γ) Ν λύσετε τις νισώσεις: Ι) ( )( ) ( ) ΙΙ) g( ( ) ) < g( ( + 4) ) κι ΙΙΙ) g g( ) ΓA/9 Αν : διέρχετι πό τ σημεί (, ) g g ( + 4), ( ) g g( ) ( ) > + γνησίως μονότονη με σύνολο τιμών το, η C Β 8, κι γι κάθε ισχύει: Α κι ( ) ( ) + ( + ) = : Α) Δείξτε ότι η είνι γνησίως ύξουσ Β) Δείξτε ότι η g ( ) = ( ) + ln( ) + είνι επίσης γνησίως ύξουσ στο (, + ) Γ) Λύστε την εξίσωση: ( ) = Δ) Λύστε την νίσωση: g ( ) 8 Ε) Λύστε την νίσωση: ( g ( )) > ΓA/9 Δίνετι η συνάρτηση ( ) =, με [, + ) Α) Δείξτε ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο [, + ) (μονοτονί τριωνύμου) Β) Λύστε την νίσωση: ( ) < 8 ( ) = Γ) Λύστε την εξίσωση: ( ) Ακρόττ ΓA/94 Βρείτε γι ποι τιμή του οι πρκάτω συνρτήσεις έχουν κρόττο, κθώς κι την τιμή του κροτάτου 4 Α) ( ) = 5 + Β) g ( ) = 4 Γ) h ( ) = + Δ) ϕ ( ) = συν με [,π ] E) k ( ) = με [,4] ΓA/95 Βρείτε γι ποι τιμή του οι πρκάτω συνρτήσεις έχουν κρόττο, κθώς κι την τιμή του κροτάτου Α) ( ) = ( ) + Β) g ( ) 4 Γ) h ( ) = ηµ, (,π ) ϕ = E) k ( ) = + ln( ) με [,e+ ] ΓA/96 Μι συνάρτηση : έχει την ιδιότητ: ( ) = + Δ) ( ) 5 ( ) + + ( + ) γι κάθε Α Βρείτε τον τύπο της (ν πάρετε την κάθε νίσωση ξεχωριστά) Κ Αδμόπουλος

57 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Β Βρείτε το ελάχιστο της Σύνολο τιμών ΓA/97 Βρες το σύνολο τιμών των συνρτήσεων: Συνρτήσεις e + Α) ( ) = 5 Β) ( ) = e 4 Γ) ( ) = e + Δ) ( ) = συν + 4 Ε) ( ) = + + ΓA/98 Βρες το σύνολο τιμών των συνρτήσεων: Α) ( ) = Β) ( ) = ηµ Γ) ( ) = + + e Δ) ( ) = με [,] Ε) ( ) = ΣΤ) ( ) = + + e Ζ) ( ) = Η) ( ) = Θ) ( ) = e συν + e Ι) ( ) = ΙΑ) ( ) = ΙΒ) ( ) = + 9 συν 4 e + ΓA/99 Αν η ( ) σύνολο τιμών της ( Α ) ΓA/ Αν η ( ) ln( ) = + είνι ορισμένη στο [,] = + + είνι ορισμένη στο Α=, e βρείτε το σύνολο τιμών της ( Α ) Συνρτήσεις «-» Α=, βρείτε το ΓA/ Εξετάστε ποιες πό τις πρκάτω συνρτήσεις είνι «-» Α) ( ) = +, Β) ( ) = ln( ), Γ) ( ) = e Δ) ( ) = +, Ε) ( ) e = +, ΣΤ) ( ) ( ) = + ln e +, e + Ζ) ( ) = + ln(+ ) +, H) ( ) =, Θ) ( ) = + e Ι) ( ) = συν ΙΑ) ( ) =, ΙΒ) ( ) = ηµ + ΓA/ Εξετάστε ποιες πό τις πρκάτω συνρτήσεις είνι «-» Α) ( ) = 4+, Β) ( ) = ln( ), Γ) ( ) = e + Κ Αδμόπουλος

58 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Δ) ( ) ln( e ) Συνρτήσεις = +, Ε) ( ) = + ln, ΣΤ) = + + ( ) ln( ) Ζ) ( ) =, Η) ( ) = ηµ, Θ) ( ) = ( )( + ) + + Ι) ( ) = +, ΙΑ) ( ) e = 4, ΙΒ) ( ) = ΓA/ Εξετάστε ποιες πό τις πρκάτω συνρτήσεις είνι «-» Α) ( ) = +, Β) ( ) = ln( ), Γ) ( ) = e e + = +, Ε) ( ) =, ΣΤ) ( ) = + ln(+ ) e Ζ) ( ) = +, Η) ( ) = συν +, Θ) ( ) = ( )( + ) + Δ) ( ) ln( e ) Ι) ( ) = + +, ΙΑ) ( ) e + =, ΙΒ) ( ) = + ΓA/4 Αν ( ) + ( ) = γι κάθε, δείξτε ότι η είνι συνάρτηση «-» ΓA/5 Αν είνι «-» ΓA/6 Αν ( ) ( ) = γι κάθε ν ποδειχθεί ότι η ( ) + ( ) = + γι κάθε, δείξτε ότι η είνι συνάρτηση «-» ΓA/7 Αν ( ) ( ) + ( ) = ln( ) + γι κάθε (, + ), δείξτε ότι η είνι συνάρτηση «-» ΓA/8 Αν ( g)( ) = ln( ) + ότι η g είνι «-» ΓA/9 Αν γι κάθε, + δείξτε ( ) + ( ) = e + γι κάθε δείξτε ότι η συνάρτηση είνι «-» ( ) ΓA/ Αν ( ) ln ( ) + e = + γι κάθε κι ( ) > γι κάθε, δείξτε ότι η συνάρτηση είνι «-» ΓA/ Αν :, ( ) ποδείξετε ότι η είνι - κι ( ) ( ) = ( ) ν Κ Αδμόπουλος

59 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓA/ Αν, g: ( ) Συνρτήσεις, η g είνι - κι γι κάθε ισχύει: g e + = ( ) + ( ) +, ν ποδείξετε ότι η είνι - ΓA/ Αν, g:, η g είνι - κι κάθε, ν ποδείξετε ότι η είνι - ΓA/4 Αν, g: g ( ) ( ) e ( ) = + γι, η g είνι -, ( ) > κι γι κάθε ισχύει: ( ) g( ) = ( ) + ( ) + γι κάθε, ν ποδείξετε ότι η είνι - ΓA/5 Αν + e = e + γι κάθε ποδείξτε ότι η ( ) ( ) συνάρτηση είνι «-» κι ν λυθεί η εξίσωση: ΓA/6 Δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) την εξίσωση e e + + = ΓA/7 Δίνετι η συνάρτηση ( ) Α) Δείξτε ότι είνι «-» e Β) Λύστε την εξίσωση: 4 ( ) ( ) ( 6) = + = + είνι «-» κι λύστε =, << = 4 ( ) ΓA/8 Δίνοντι οι συνρτήσεις, g: γι κάθε Α) Αποδείξτε ότι η g είνι «-» Β) Ν λυθεί η εξίσωση ( 4 + 4) ( + g g 4) + = ΓA/9 Αν ( g )( ) = ( ) + ln( e + ) είνι «-» κι λύστε την εξίσωση: ( ) ( ) ΓA/ Αν η συνάρτηση : η εξίσωση ( )( ) ( ) ΓA/ Αν : δείξτε ότι κι η με ( g)( ) = + γι κάθε, δείξτε ότι η + 4 = ( + 4) ΓA/ Αν ( ) 4 + = είνι γνησίως φθίνουσ, ν λυθεί συνάρτηση «-» με ( ) γι κάθε, ( ) g ( ) = είνι επίσης «-» ( ) ( ) + ( ) = + 5 γι κάθε δείξτε ότι η είνι «-» κι λύστε την εξίσωση ( ) + = ( ) Κ Αδμόπουλος

60 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) 5 ( ) ΓA/ Αν ισχύει: ( g ) e Συνρτήσεις ( ) = + + γι κάθε, δείξτε ότι η συνάρτηση είνι «-» κι λύστε την εξίσωση: (ln ) ( ) = Αντίστροφη συνάρτηση ΓA/4 Βρείτε την ντίστροφη της συνάρτησης ( ) ΓA/5 Βρείτε την ντίστροφη της συνάρτησης = + ( ) e = + ΓA/6 Βρείτε την ντίστροφη της συνάρτησης ( ) e 4 ΓA/7 Βρείτε την ντίστροφη της συνάρτησης ΓA/8 Βρείτε την ντίστροφη της συνάρτησης ( ) = ln( ) + ΓA/9 Βρείτε την ντίστροφη της συνάρτησης = + e ( ) = e ( ) = + ΓA/ Βρείτε την ντίστροφη της συνάρτησης ( ) 4 ΓA/ Βρείτε την ντίστροφη της συνάρτησης ( ) ln( ) = = + + e ΓA/ Βρείτε τις ντίστροφες των συνρτήσεων: ( ) =, + e g ( ) = e, h ( ) = + e κι ϕ ( ) = + ΓA/ Δίνετι η συνάρτηση ( ) = e 5 Αποδείξτε ότι είνι «-» κι ν βρείτε την +, ΓA/4Αν ( ) = βρείτε τ ((, ] ) κι + > ((, + )), δείξτε ότι η είνι «-» κι βρείτε την ΓA/5 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = Αποδείξτε ότι είνι «-» κι ν βρείτε την 5 Όμοι γι την g( ) = + (δικρίνετε περιπτώσεις) ΓA/6 Aν : συνάρτηση με σύνολο τιμών το κι γι κάθε ισχύει: ( ) + ( ) = +, τότε δείξτε ότι η είνι «-» κι βρείτε την ντίστροφή της Κ Αδμόπουλος

61 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓA/7 Aν : Συνρτήσεις συνάρτηση με σύνολο τιμών το [, + ) κι γι κάθε ισχύει: ( ) + ( ) =, τότε δείξτε ότι η είνι «-» κι βρείτε την ντίστροφή της ΓA/8 Aν : συνάρτηση με σύνολο τιμών το κι γι κάθε ισχύει: ( ( )) = ( ) + +, τότε δείξτε ότι η είνι «-» κι βρείτε την ντίστροφή της συνρτήσει της ΓA/9 Aν : συνάρτηση με σύνολο τιμών το (,+ ) κι γι κάθε ισχύει: ( ) + ln ( ) = +, τότε δείξτε ότι η είνι «-» βρείτε την ντίστροφή της κι λύστε την εξίσωση: ( ) = ΓA/4 Aν : συνάρτηση με σύνολο τιμών το κι γι ( ) κάθε ισχύει: e + ( ) + =, τότε: Α) Δείξτε ότι η είνι «-» κι βρείτε την ντίστροφή της Β) Λύστε την εξίσωση: ( ) = ΓA/4 Αν : (, + ) με σύνολο τιμών ( ) = (, + ) κι ( ) + ln ( ) = + γι κάθε, δείξτε ότι η είνι συνάρτηση «-» κι βρείτε την ντίστροφή της ΓA/4 Αν : (, + ) ln ( ) ( ) 4 με σύνολο τιμών ( ) = (, + ) κι + + = γι κάθε, δείξτε ότι η είνι συνάρτηση «-» κι βρείτε την ντίστροφή της ΓA/4 Αν η συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το κι ισχύει: ( ) + ( ) = γι κάθε δείξτε ότι η ντιστρέφετι, βρείτε = + 4 κθώς την ντίστροφή της κι λύστε την εξίσωση: ( ) ( ) επίσης κι την ( ) = ΓA/44 Αν η συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το κι ισχύει: ( ) ( ) = e + + γι κάθε δείξτε ότι η ντιστρέφετι, βρείτε την ντίστροφή της κι λύστε την εξίσωση: ( ) ( 7) επίσης κι την ( 4) = ΓA/45 Αν : με + = κθώς ( ) ln( ) = 4 γι κάθε > : Κ Αδμόπουλος

62 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Α) Δείξτε ότι η ντιστρέφετι κι ν βρείτε την Συνρτήσεις Β) Ν δείξετε ότι το σύνολο τιμών της είνι το ΓA/46 Αν : Α συνάρτηση «-» με σύνολο τιμών ( Α ) =Β ( y) κι γι κάθε y Β ισχύει: ( y) + e = y+ : Α) Βρείτε την Β) Δείξτε ότι η είνι μονότονη Γ) Λύστε την ( ) = Δ) Λύστε την εξίσωση ( e ) ΓA/47 Έστω συνάρτηση : + = ώστε: ( )( ) ( ) = γι κάθε Αποδείξτε ότι η είνι ντιστρέψιμη κι () = ΓA/48 Αν : με την ιδιότητ ( )( ) ( ) = +, γι κάθε κι () =, ν ποδείξετε ότι η ντιστρέφετι ( ) κι ν δείξετε ότι ( ) = ΓA/49 Αν συνάρτηση «-» κι ισχύει: g( g ( )) = g ( ) + ( ) γι κάθε : Α) Ν δείξετε ότι η g είνι «-» Β) βρείτε το ώστε: ( g g)( 4+ e ) g( 4 e ) ( 4 e ) = ΓA/5 Αν : ώστε ( ) + ( ) + = γι κάθε : Α) Βρείτε το () Β) Δείξτε ότι η ντιστρέφετι κι βρείτε την ντίστροφή της Γ) Δείξτε ότι η είνι γνησίως φθίνουσ Δ) Βρείτε τ διστήμτ στ οποί η C βρίσκετι κάτω πό τον ( ) Ε) Λύστε την νίσωση: ( ) ΓA/5 Αν : + < με σύνολο τιμών το (,+ ) κι γι κάθε ισχύει: ( ) + ln ( ) = + : Α) Δείξτε ότι η ντιστρέφετι κι βρείτε την ντίστροφή της Β) Λύστε την εξίσωση: ( ) = Γ) Βρείτε τ κοινά σημεί των C κι C ΓA/5 Αν = + + : ( ) 4 4 Κ Αδμόπουλος

63 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Α) Δείξτε ότι η ντιστρέφετι Β) Βρείτε το Γ) Βρείτε τ κοινά σημεί των C κι C Δ) Λύστε την εξίσωση: ΓA/5 Aν : ( ) = Συνρτήσεις (9) συνάρτηση με σύνολο τιμών το (,+ ) κι γι ( ) + ln ( ) =, τότε δείξτε ότι η είνι κάθε ισχύει: «-» κι βρείτε την ντίστροφή της Ν γίνει πρόχειρη γρφική πράστση της ΓA/54 Αν : C συνάρτηση με σύνολο τιμών το κι ισχύει: ( ) ( ) + e = + γι κάθε : Α) Αποδείξτε ότι η ντιστρέφετι κι βρείτε την ντίστροφή της B) Μελετήστε την κι την ως προς τη μονοτονί Γ) Λύστε την νίσωση: ( ) < Δ) Βρείτε τ κοινά σημεί των C κι C ΓA/55 Αν ( ) = + Α) Αποδείξτε ότι η ντιστρέφετι B) Δείξτε ότι η είνι γνησίως ύξουσ Γ) Βρείτε τ κοινά σημεί των C κι C Δ) Λύστε την εξίσωση: ( ) = 5 4 ΓA/56 Αν ( ) = Α) Αποδείξτε ότι η ντιστρέφετι κι βρείτε την ντίστροφή της Β) Βρείτε τ κοινά σημεί των C κι C ΓA/57 Αν : (Η είνι δίκλδη) συνάρτηση με σύνολο τιμών το [, + ) κι ισχύει ( ) + ( ) = + γι κάθε : Α) Αποδείξτε ότι η ντιστρέφετι κι βρείτε την ντίστροφή της B) Μελετήστε την κι την ως προς τη μονοτονί Γ) Λύστε την νίσωση: ( ) < 4 Δ) Βρείτε τ κοινά σημεί της C κι της ευθείς y = Κ Αδμόπουλος

64 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓA/58 Αν ( ) = + ln( + ) + Α) Δείξτε ότι η είνι γνησίως ύξουσ Β) Αποδείξτε ότι η ντιστρέφετι Γ) Βρείτε τ κοινά σημεί των C κι C Συνρτήσεις Δ) Βρείτε τ σημεί όπου η C τέμνει τον ΓA/59 Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση ώστε ν ισχύει ( ) + ( ) = γι κάθε ΓA/6 Βρείτε τη συνάρτηση : ( ) = γι κάθε ΓA/6 Βρείτε τη συνάρτηση : ( ) + ( ) = + ΓA/6 Βρείτε τη συνάρτηση : ισχύει: κι ( ) ( ) = = ΓA/6 Ν βρείτε συνάρτηση : ν ισχύει: ν γι κάθε ισχύει: ν γι κάθε {,} Δείξτε επίσης ότι η ντιστρέφετι, ν ισχύει: ( ) + ( + ) =, γι κάθε (Ν θέσετε όπου το ΓA/64 Ν βρείτε συνάρτηση :, ν ισχύει: ( ) + ( ) = +, γι κάθε (Ν θέσετε όπου το 4 ΓA/65 Δίνετι η συνάρτηση: : γι την οποί ισχύει ( + y) + ( y) = ( ) ( y) γι κάθε y, κι ( ) γι κάθε Δείξτε ότι () = κι άρτι ΓA/66 Έστω : (, + ) ώστε ( ) ( y) = γι κάθε y y>, κι η ( ) = έχει μονδική ρίζ: Α) Βρείτε το () Β) Δείξτε ότι η είνι «-» Γ) Λύστε την εξίσωση ( ) (5 6) = + ( ) ) ) Κ Αδμόπουλος

65 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Συνρτήσεις Δ) Αν ( ) > γι κάθε > ν δείξετε ότι η είνι γνησίως ύξουσ ΓA/67 Έστω συνάρτηση ώστε: ( y) ( ) ( y) + = + γι κάθε y, Α) Βρείτε το () Β) Δείξτε ότι η είνι περιττή Γ) Δείξτε ότι: ( y) = ( ) ( y), γι κάθε y, Δ) Αν η ( ) = έχει μονδική ρίζ ν δείξετε ότι η ντιστρέφετι Ε) Αν ( ) > γι κάθε >, δείξτε ότι η είνι γν ύξουσ στο ΓA/68 Δίνετι συνάρτηση : γι την οποί ισχύει: ( + y) = ( ) + ( y) + y γι κάθε y, A) Ν βρείτε το σημείο τομής της C με τον άξον yy B) Ν βρείτε τον τύπο της ΓA/69 Δίνετι συνάρτηση :, γι την οποί ισχύει: ( + y) = ( y) y ( ) γι κάθε y, Ν ποδείξετε ότι: A) η γρφική πράστση της διέρχετι πό την ρχή των ξόνων B) Η C έχει κέντρο συμμετρίς την ρχή Ο των ξόνων Γ) ( y) = y ( ) ( y), y, Γενικές σκήσεις ΓA/7 Αν ( ) = + e : Α) Εξετάστε ως προς τη μονοτονί Β) Λύστε την εξίσωση: e = g( ) Γ) Αν ισχύει: g ( ) + e = + γι κάθε : Γ) Δείξτε ότι g () = Γ) Δείξτε ότι η g είνι γνησίως ύξουσ Γ) Λύστε την νίσωση: ( g )( ) > ΓA/7 Αν : γνησίως ύξουσ με ( ) = κι ισχύει: ( ) g ( ) = ( ) + ( ) γι κάθε : Α) Δείξτε ότι οι συνρτήσεις, g είνι «-» Β) Δείξτε ότι ( ) g = + ( ) ( ) Γ) Αν () = λύστε την εξίσωση: + ( ) = π π ΓA/7 Έστω η συνάρτηση ( ) = ηµ + + εϕ με, A) Δείξτε ότι η ντιστρέφετι B) Λύστε την εξίσωση: ( ) = ΓA/7 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = ln Κ Αδμόπουλος

66 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Α Ν ποδείξετε ότι η είνι γνησίως φθίνουσ Β Λύστε την εξίσωση ( ) ΓA/74 Αν : Συνρτήσεις = Γ Λύστε την νίσωση + ln > κι ( ) = κι γι κάθε ισχύει: ( ) e + ( ) = : Α) Δείξτε ότι η ντιστρέφετι κι βρείτε την e ντίστροφή της Β) Βρείτε τ ( e+ ), e (Πρτηρήστε ότι: () = e+ ( ( ) ) = ( e+ ) κι ( ) = ) Γ) Λύστε την ( ) = ( ( ) = ( ( ) ) = () ) Δ) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονί Ε) Λύστε την νίσωση: ( 6) ΓA/75 Δίνοντι οι συνρτήσεις:, g: e e 6 + > με ( ) = γι τις οποίες ισχύει ( + g )( ) = γι κάθε Αποδείξτε ότι η ντιστρέφετι κι ισχύει ( ) = ( ) + g ( ) γι κάθε ΓA/76 Αν : κι γι κάθε ισχύει: ( ) Α) Δείξτε ότι η ντιστρέφετι κι βρείτε την ντίστροφή της Β) Λύστε την εξίσωση: ( ) = ΓA/77 Αν : με ( ( ) ) συνάρτηση g ( ) e e ( ) = + είνι «-», τότε: + ( ) = : = γι κάθε κι η Α) δείξτε ότι η είνι «-» Β) δείξτε ότι: ( g )( ) = g ( ) κι Γ) βρείτε την συνάρτηση ΓA/78 A) Δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) ύξουσ h e = + είνι γνησίως Β) Αν συνάρτηση «-» κι ισχύει: ( g g) ( ) = g ( ) + ( + e) γι κάθε : Β) Δείξτε ότι η συνάρτηση g είνι «-» B) Αν () = δείξτε ότι: g () = Β) Ν λυθεί η εξίσωση: g( ) ( e + ) = Κ Αδμόπουλος

67 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Συνρτήσεις e ΓA/79 Αν ( ) = ln + ν δείξετε ότι η είνι ντιστρέψιμη κι ν λύσετε τις εξισώσεις: ( ) = κι ( ( ) ) e e + + = ΓA/8 Αν - συνάρτηση κι (,5) ( ) λύστε την εξίσωση: ( ) + = 9 Α, Β (7,9) σημεί της C, ΓA/8 Αν τ σημεί Α (, 9) κι Β(6, ) νήκουν στη γρφική πράστση της γνησίως μονότονης συνάρτησης, ν λύσετε την ( ) νίσωση: ( ) + 9 ΓA/8 Δίνετι η γνησίως μονότονη συνάρτηση : που η γρφική της πράστση διέρχετι πό τ σημεί Α(,) κι Β(5,9) ( ) + + = 9 A) Λύστε την εξίσωση: ( ) B) Λύστε την νίσωση: ( ) ( 8 ) < ΓA/8 Δίνετι η γνησίως μονότονη συνάρτηση : που η γρφική της πράστση διέρχετι πό τ σημεί Α(,) κι Β(,-) + < A) Bρείτε τη μονοτονί της B) Λύστε την νίσωση: ( ) Γ) Λύστε την εξίσωση: ( ) Ε) Λύστε την εξίσωση: ( ) e = Δ) Βρείτε τ + ( + ) = () ΓA/84 Δίνετι η γνησίως μονότονη συνάρτηση : κι ( ) που η γρφική της πράστση διέρχετι πό τ σημεί Α(,) κι Β(4,-) ( ) Ν λύσετε την νίσωση: ( ) ΓA/85 Έστω ( ) ln( e ) είνι - βρείτε την ΓA/86 Αν ( )( ) 4 e = + κι g ( ) = Ν δείξετε ότι η e + κι τη συνάρτηση h ώστε h = g = γι κάθε ν ποδείξετε ότι: Α) η είνι «-» Β) = Γ) η δεν είνι μονότονη Δ) η είνι περιττή κι () = Κ Αδμόπουλος

68 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ( ) ( ) (θέτοντς όπου το ( ) : ( ( )) ΓA/87 Αν : = κι ντικθιστώ το ( ( )) ), ( ) = κι ισχύει: ( )( ) 5 Συνρτήσεις = γι 5 κάθε δείξτε ότι η είνι «-» κι ότι: ( ) ( ) 5 (θέτοντς όπου το ( ) : ( ( )) ΓA/88 Αν ( )( ) = + ( ) = Β) Η συνάρτηση ( ) = ( ) 5 = κι ντικθιστώ το ( ( )) ) γι κάθε, δείξτε ότι: Α) g ( ) = 4+ 5 ( ) + δεν είνι ντιστρέψιμη ΓA/89 Αν : ώστε ( )( ) = ποδειχθεί ότι: Α) Η ντιστρέφετι Β) Δείξτε ότι ( ) γι κάθε ν = ( ) Γ) () = Δ) Η έχει σύνολο τιμών το (Αρκεί γι κάθε ώστε ( ) = y ( ( )) = ( y ) ) υπάρχει Ε) Δείξτε ότι ( ) = ( ) ΣΤ) Δείξτε ότι η δεν είνι γνησίως μονότονη y ν ΓA/9 A) Αν ( ( ) ) B) Aν ( ( ) ) = + γι κάθε, κι ( ) = βρείτε το ( ) ΓA/9 Αν ( ( ) ) ( ) ότι: Α) η συνάρτηση είνι «-» Β) ( ) = = + γι κάθε, βρείτε το () = + γι κάθε τότε ν ποδείξετε ΓA/9 Αν ( ) = δείξτε ότι = ΓA/9 Αν η συνάρτηση είνι γν ύξουσ κι ( ) > γι κάθε ( ), δείξτε ότι η συνάρτηση g ( ) = είνι «-» κι λύστε ( ) ( ) = (Υπόδειξη: g ( ) ( ) την εξίσωση : ( ) ΓA/94 Έστω συνάρτηση : ( ) ( ) = ) ( ) με ( ( ) ) = 4+ 9, γι κάθε Α) Αποδείξτε ότι η ντιστρέφετι κι ότι ( ) = ( ( ) 9) 4 Κ Αδμόπουλος

69 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Β) Αποδείξτε ότι (4+ 9) = 4 ( ) + 9 γι κάθε Γ) Βρείτε το ώστε: ( ) = ΓA/95 Δίνοντι οι συνρτήσεις, g: γι κάθε Α) Αποδείξτε ότι η είνι - Β) Λύστε την εξίσωση: (ln ) = (ln ) ΓA/96 Αν ( ) ( ) = + + με (,) Συνρτήσεις με ( g )( ) = e : Α) Δείξτε ότι η ντιστρέφετι Β) Λύστε την ( ) = Γ) Λύστε την ( ) < Δ) Βρείτε το ( ) ΓA/97 Α) Aποδείξτε ότι η g ( ) ln = + + είνι γν ύξουσ Β) Αποδείξτε ότι ν η συνάρτηση είνι γν ύξουσ κι θετική τότε η h( ) = ( ) + ln ( ) + είνι ντιστρέψιμη Γ) Αν η C τέμνει τον άξον yy στο σημείο Α (,) ν λύσετε την ( ) εξίσωση: ( ) = e ΓA/98 Αν γι τη συνάρτηση ισχύει: ( ) + ( ) = e + γι κάθε, τότε: Α) Δείξτε ότι η είνι «-» (θέτω g ( ) = e+ κι ποδεικνύω ότι είνι -) Β) Βρείτε το Γ) Λύστε την εξίσωση: ( ) ( ) ΓA/99 Αν : () + e e + = + ( ) με ( ) = κι ισχύει ( ) + e = + γι κάθε, τότε: Α) Δείξτε ότι η είνι ντιστρέψιμη e Β) Λύστε την εξίσωση ( ln ) = Γ) Βρείτε την Δ) Βρείτε το () ΓA/ Αν ( ) = +, : Α) Δείξτε ότι ( ) > γι κάθε Β) Δείξτε ότι η είνι γνησίως φθίνουσ στο (με ρυθμό μετβολής) ( ( )) Γ) Λύστε την εξίσωση: e ηµ = συν ΓA/ Α) Μελετήστε ως προς τη μονοτονί τη συνάρτηση: ϕ ( ) = + Κ Αδμόπουλος

70 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Συνρτήσεις Β) Αν : (, + ) κι ( ) + ( ) = γι κάθε ν δείξετε ότι η είνι γνησίως ύξουσ βρείτε το () το (5) κι ν ( ) > λύσετε την νίσωση: ( ) (Υπόδειξη: < ( ) + ( ) < ( ) + ( ) ) ΓA/ Αν Αν, g: g ( ) ( ) g( g ( )) ώστε ν ισχύει γι κάθε + = κι η είνι «-», δείξτε ότι κι η g είνι «-» κι λύστε την εξίσωση: g( e ) g( ) + + = ΓA/Οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων, g φίνοντι στο διπλνό σχήμ Α) Υπολογίστε τ: g g 5 g ( + )( ), ( )( ), ( )( ), ( )( ) g Γ) Βρείτε τ διστήμτ του στ οποί η C είνι πάνω πό τη C Β) Ν λύσετε την εξίσωση ( ) = Δ) Λύστε την νίσωση ( g)( ) ΓA/4 Αν ( )( ) = 7 g <, γι κάθε, () = κι () = 9, τότε: Α) Δείξτε ότι η είνι «-» Β) Βρείτε το () (όπου το ( ) κι μετά = ) Γ) Λύστε την εξίσωση: ( ) = 9 (στην ρχική όπου το ( ) ΓA/5 Αν : κι μετά = ) κι ( )( ) = γι κάθε : A) Δείξτε ότι είνι «-» Β) Δείξτε ότι ( ) = ( ) Γ) Βρείτε το () Δ) Βρείτε την συνρτήσει της Ε) Λύστε την εξίσωση: ( ) = ( -άρω κι ντικθιστώ τ (()) κι () ) ΓA/6 Αν 5 ( ) = + + : Α) Δείξτε ότι η ντιστρέφετι κι βρείτε το () Β) Δείξτε ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο Γ) Λύστε τις εξισώσεις ( ) = 5 κι ( ) = Δ) Βρείτε τ κοινά σημεί των C κι C με την ευθεί y = 5 Ε) Λύστε την εξίσωση (ηµ ) = ηµ Κ Αδμόπουλος

71 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΣΤ) Λύστε την ( ) ( + ) < () ΓA/7 Δίνετι η συνάρτηση με ( ) ( e ) = ln + A) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της B) Ν ποδείξετε ότι η ντιστρέφετι Γ) Ν ορίσετε την Δ) Ν λύσετε την νίσωση ( ) < ( ln ) ΓA/8 Δίνετι η συνάρτηση με ( ) Α) Ν βρείτε το είδος μονοτονίς της Β) Ν ποδείξετε ότι η ντιστρέφετι = = + Γ) Ν λυθεί η εξίσωση ( ) Δ) Ν λυθεί η νίσωση ( ) ΓA/9 Δίνετι η συνάρτηση : ( )( ) + ( ) = + γι κάθε κι ( ) A) Ν βρείτε το ( 5) B) Ν ποδείξετε ότι η ντιστρέφετι Γ) Ν βρείτε το ( ) (στην ρχική θέτω οπου το ( ) Δ) Ν λύσετε την εξίσωση: ( ) ΓA/ Δίνετι η συνάρτηση : ( ) g + = ln Συνρτήσεις γι την οποί ισχύει: = = ( ) ) κι η συνάρτηση g με τύπο A) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της g B) Ν βρείτε συνάρτηση h γι την οποί ν ισχύει: ( )( ) h g = Γ) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση h είνι περιττή ΓA/ Δίνετι η συνάρτηση με ( ) = + A) Ν βρείτε το είδος μονοτονίς της B) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει μονδικός γι τον οποίο η συνάρτηση πίρνει την τιμή Γ) Ν λύσετε την νίσωση: + < Κ Αδμόπουλος

72 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓA/ Δίνοντι οι συνρτήσεις:, g: Συνρτήσεις ώστε ( g)( ) = γι κάθε A) Δείξτε ότι η g είνι «-» Β) Δείξτε ότι η g έχει σύνολο τιμών το Γ) Βρείτε την ντίστροφη της g συνρτήσει της D) Δείξτε ότι ν η είνι γν φθίνουσ τότε η g είνι γν ύξουσ ΓA/ Δίνετι η συνάρτηση : κάθε κι () = Α) Δείξτε ότι η ντιστρέφετι Β) Βρείτε το Γ) Λύστε την εξίσωση: ( ) ΓA/4 Δίνετι η συνάρτηση : ( ) ( ) 4 ώστε ( )( ) = 5 γι ( ) + = + = + γι κάθε () (στην ρχική θέτω οπου το γι την οποί ισχύει: Α) Ν ποδείξετε ότι η ντιστρέφετι κι ν ορίσετε την Β) Ν ποδείξετε ότι η είνι γνησίως ύξουσ Γ) Ν βρείτε τ σημεί τομής των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων κι Δ) Ν λυθεί η εξίσωση: ( e ) ( ) = ( ) ) + ΓA/5 Αν ( ) = κι η C διέρχετι πό το σημείο Μ (,) : + Α) Βρείτε το Β) Ορίστε την + Γ) Εξετάστε ν οι κι g ( ) = είνι ίσες + ΓA/6 Αν : κι g ( ) = ln + : Α) Δείξτε ότι η g είνι περιττή Β) Βρείτε το D g Γ) Αν επιπλέον ( g) ( ) = βρείτε την Δ) Δείξτε ότι το γράφημ της έχει κέντρο συμμετρίς το Ο (,) Κ Αδμόπουλος

73 Mθημτικά Γ Λυκείου Συνρτήσεις Ερωτήσεις Σωστό - Λάθος Σ-Λ Συνρτήσεις, ν άρτιος ριθμός H ντιστοιχί : {,} με () =, ν περιττός ριθμός είνι συνάρτηση Σ - Λ Γι τη συνάρτηση ( ) = ln, > ισχύει ( y) = ( ) + ( y) γι κάθε y, Σ - Λ Γι τη συνάρτηση ( ) = e,, ισχύει ( y) = ( ) ( y) γι κάθε y, Σ - Λ 4 Η γρφική πράστση της συνάρτησης βρίσκετι κάτω πό τον άξον Σ - Λ 5 Δίνετι η συνάρτηση y = ( ) Οι τετμημένες των σημείων τομής της C με τον άξον μπορούν ν βρεθούν, ν θέσουμε όπου y = κι λύσουμε την εξίσωση Σ - Λ 6 Δύο συνρτήσεις, g είνι ίσες, ν υπάρχουν κάποι, ώστε ν ισχύει ( ) = g ( ) Σ - Λ 7 Γι ν ορίζοντι το άθροισμ κι το γινόμενο δύο συνρτήσεων κι g θ πρέπει τ πεδί ορισμού τους ν έχουν κοινά στοιχεί Σ - Λ 8 Αν η συνάρτηση είνι «-», οι συνρτήσεις gh, έχουν πεδίο ( ) ορισμού το κι ισχύει ( g ( )) h ( ) συνρτήσεις g κι h είνι ίσες = γι κάθε, τότε οι Σ - Λ 9 Η συνάρτηση ( ) =,, είνι στθερή Σ - Λ Αν το σύνολο τιμών της είνι το διάστημ ( β, ), τότε η δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο Σ - Λ Μι συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το, είνι γνησίως ύξουσ κι έχει σύνολο τιμών το (,+ ) Τότε η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ στο Σ - Λ Κ Αδμόπουλος

74 Mθημτικά Γ Λυκείου Σ-Λ Συνρτήσεις Δίνετι συνάρτηση με πεδίο ορισμού έν διάστημ Δ Αν ο λόγος ( ) ( ) είνι θετικός γι κάθε,, με, τότε η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο Δ Σ - Λ Αν μι συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ σ έν διάστημ Δ, τότε η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ στο Δ Σ - Λ 4 Η συνάρτηση ( ) = είνι γνησίως φθίνουσ στο σύνολο (,) (, + ) Σ - Λ 5 Αν μι περιττή συνάρτηση προυσιάζει μέγιστο στο σημείο, τότε θ προυσιάζει ελάχιστο στο σημείο Σ - Λ 6 Αν μι άρτι συνάρτηση προυσιάζει κρόττο στο σημείο, τότε προυσιάζει το ίδιο είδος κροτάτου στο σημείο Σ - Λ 7 Αν μι συνάρτηση είνι άρτι, τότε είνι «-» Σ - Λ 8 Αν μι συνάρτηση είνι «-», τότε είνι πάντοτε περιττή Σ - Λ v 9 Η συνάρτηση ( ) =, v είνι: i) άρτι, ν ο ν είνι άρτιος Σ - Λ ii) περιττή, ν ο ν είνι περιττός Σ - Λ Αν η συνάρτηση είνι «-» τότε ισχύουν: ( ) A) ( ) = γι κάθε που νήκει στο πεδίο ορισμού της B) ( ) ( ) Έστω η συνάρτηση Σ - Λ = γι κάθε που νήκει στο πεδίο ορισμού της ( ) γρφικών πρστάσεων των Σ - Λ =, [, ) Σ - Λ + Τότε κάθε κοινό σημείο των C κι C νήκει στην ευθεί y = Αν μι συνάρτηση είνι άρτι, τότε έχει ντίστροφη Αν οι συνρτήσεις κι g έχουν πεδίο ορισμού το τότε ισχύει ότι: Σ - Λ Α) g = g Σ - Λ Β) g = g Σ - Λ Κ Αδμόπουλος

75 Mθημτικά Γ Λυκείου Σ-Λ Συνρτήσεις 4 Δίνετι μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το κι μι συνάρτηση I, γι την οποί ισχύει I( ) =, γι κάθε Τότε ισχύει ( I )( ) = ( I)( ), γι κάθε Σ - Λ 5 Αν οι συνρτήσεις κι g είνι γνησίως μονότονες στο, τότε η συνάρτηση g είνι: Α) γνησίως ύξουσ, ν οι, g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίς Σ - Λ Β) γνησίως φθίνουσ, ν οι, gέχουν διφορετικό είδος μονοτονίς Σ - Λ 6 Αν η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο Δ με ( ) < γι κάθε, τότε η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ Δ Σ - Λ 7 Αν οι συνρτήσεις κι g είνι «-» στο, τότε κι η συνάρτηση g είνι «-» στο Σ Λ MC Escher Κ Αδμόπουλος

76 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτ/νσης) Σημειώσεις θεωρίς Όρι ΠΡΟτάσεις, ΠΑΡτηρήσεις, ΜΕΘοδοι κι ΣΧΟλι ΠΑΡΒ Αν η συνάρτηση είνι ρητή ή πολυωνυμική ή άρρητη ή εκθετική ή λογριθμική ή τριγωνομετρική ή προκύπτει πό τις πρπάνω με οποιεσδήποτε πράξεις ή σύνθεση κι A, τότε lim ( ) υπάρχει, δηλδή το όριο τυτίζετι ( ) = εφόσον το ( ) με την τιμή της στο lim + ηµ = π + ηµπ = π + ή Πχ ( ) π + + e e lim = = συν συν lim ( ) = l lim ( ) l = lim + h = l ΠΡΟΒ Ισχύει [ ] ( ) ΣΧΟΒ Αν ( ) g ( ) h = τότε ισχύει γενικά Πχ ( ηµ) ΠΑΡΒ Αν ( ) g ( ) lim ( ) = lim g ( ) Το ντίστροφο δεν lim + = lim( + ) ενώ προφνώς + ηµ + κοντά στο τότε Αν ( ) < g ( ) κοντά στο τότε επίσης ισχύει lim ( ) lim g ( ) lim ( ) lim g ( ) Πχ < κοντά στο + ενώ lim = lim = + + ΜΕΘΒ Αν μς δίνουν το όριο μις πράστσης του ( ) κι μς ζητούν το όριο της ( ), χωρίς ν γνωρίζω ότι υπάρχει, θέτω την πράστση g ( ) λύνω την ισότητ ως προς ( ) κι πίρνω όρι + ( ) Πχ Αν lim = βρείτε το lim ( ) + ( ) + ( ) Λύση: Θέτω = g ( ) οπότε lim g ( ) = + ( ) g ( ) Είνι + ( ) = g( ) + ( ) g( ) ( ) = g ( ) g ( ) lim g ( ) lim Οπότε lim ( ) = lim = = = g ( ) lim g ( ) Κ Αδμόπουλος

77 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτ/νσης) ΜΕΘΒ Αν μου δίνουν το lim ( g ( )) ( ) lim h ( ) τότε κάνω λλγή μετβλητής Πχ Αν lim ( ) = 4 βρείτε το lim ( ) Λύση: Θέτω u =, τότε φού, u κι είνι lim ( ) = 4 lim ( u) = 4 δηλδή lim ( ) = 4 u κι μου ζητούν το Σημειώσεις θεωρίς ΜΕΘΒ Μηδενική λέμε μι συνάρτηση που έχει όριο το μηδέν (Απόλυτ) φργμένη λέγετι μι συνάρτηση ν υπάρχει ριθμός M > ώστε ( ) < M Χρκτηριστικότερες φργμένες συνρτήσεις είνι το ημίτονο κι το συνημίτονο φού: ηµ κι συν γι κάθε, άρ ηµ κι συν Ισχύει: Το όριο του γινομένου μηδενικής επί φργμένη είνι το μηδέν Η πόδειξη γίνετι με κριτήριο πρεμβολής Προσοχή!!! Τ πρπάνω δεν μπορούμε ν τ χρησιμοποιούμε σν θεωρί φού δεν υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο!!! Πχ Βρείτε το lim ηµ Λύση: Η συνάρτηση ηµ είνι φργμένη ενώ η μηδενική ηµ ηµ ηµ Αλλά ( ) lim = κι lim = οπότε με κριτήριο πρεμβολής lim ηµ = ( ) ΜΕΘΒ4Αν θέλω ν υπολογίσω το lim κι είνι lim ( ) g ( ) ενώ lim g ( ) = (δηλδή θέτοντς όπου το μηδενίζετι ο προνομστής λλά όχι κι ο ριθμητής) τότε το όριο είνι + ή ή δεν υπάρχει Σ υτή την περίπτωση δίνω στο όριο τη μορφή: ( ) ( ) lim = lim με g( ) g( ) = g ( ), lim g( ) = g ( ) g( ) g( ) κι lim g ( ) (δηλδή βγάζω μπροστά υτό που μηδενίζει τον προνομστή) Αν η g ( ) διτηρεί το ίδιο πρόσημο δεξιά κι ριστερά του (πάντ όμως κοντά στο ) τότε το όριο είνι + ή Κ Αδμόπουλος

78 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτ/νσης) Σημειώσεις θεωρίς Αν η g ( ) λλάζει πρόσημο εκτέρωθεν του τότε εργζόμστε με πλευρικά όρι κι ποδεικνύουμε ότι το όριο δεν υπάρχει Πχ lim = lim 4 ( ) = + = επίσης lim = lim = ( + ) = lim = lim ( ) = = + Άρ το όριο δεν υπάρχει + + ΜΕΘΒ5 Αν ο υπολογισμός του περιέχει όρους της μορφής g ( ) : lim ( ) οδηγεί σε μορφή κι Αν το lim g ( ) είνι θετικό ή ρνητικό, τότε είνι ντίστοιχ g> ( ) ή g< ( ) κοντά στο κι έτσι φεύγουν τ πόλυτ Αν lim g ( ) = τότε με τη βοήθει πίνκ βρίσκουμε το πρόσημο της ( ) g κι ν χρειστεί εργζόμστε με πλευρικά όρι Ανάλογ εργζόμστε ν υπάρχουν περισσότεροι όροι της μορφής g ( ) με lim g ( ) = + Πχ γι το L = lim Επειδή lim( ) = > είνι > κοντά στο =, οπότε = κι όμοι < οπότε = κι έτσι: ( ) + L = lim = lim = + Επίσης: L = lim Επειδή lim( ) = ( )( + ) lim = lim lim lim = lim ( + ) = ( ) + + lim = lim lim lim = lim = Άρ δεν υπάρχει το L v ΠΑΡΒ Ισχύει: ( ) Ισχύει: lim = lim ( ) = lim ( ) = lim ( ) = Κ Αδμόπουλος

79 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτ/νσης) Δεν ισχύει η πρότση: Αν lim ( ) lim ( ) = l Δεν ισχύει η πρότση: Αν lim ( ) = l = l τότε υπάρχει το lim ( ) ΠΑΡΒ Γι ν ορίζετι το = l τότε υπάρχει το Σημειώσεις θεωρίς lim ( ) κι lim ( ) κι lim ( ) πρέπει η συνάρτηση ν ορίζετι «κοντά» στο, οπότε το πρέπει ν είνι εσωτερικό σημείο ή άκρο νοικτού του διστήμτος του Α Πχ ν ( ) = ln είνι Α = (, + ) Έτσι ορίζοντι τ lim ( ), δεν ορίζετι το lim ( ) φού η δεν ορίζετι «κοντά» στο - ΠΡΟΒ Αν ( ) g ( ) Επειδή κι lim ( ) = + τότε κι lim ( ) = + είνι ( ) > άρ κι g ( ) > lim ( ) ενώ + lim g ( ) = + Τότε: ( ) g ( ) lim lim lim () ( ) g ( ) ( ) g ( ) g ( ) Αλλά lim () Από (),() lim = lim ( ) g ( ) g ( ) ( ) g = + g Όμοι ν ( ) g ( ) κι lim g ( ) = τότε κι lim ( ) = ΠΡΟΒ Αν lim ( ) (( β, )) = + = κι lim ( ) = + ή ντίστροφ τότε: β Απόδειξη: Αρκεί γι κάθε γ ν υπάρχει ( β, ) ώστε ( ) = γ Πράγμτι φού lim ( ) = θ υπάρχει δ (, β ) κοντά στο ώστε: + ( δ ) < γ Όμοι υπάρχει ε κοντά στο β ώστε () ε >γ, οπότε με ΘΕΤ στο [δ,ε] υπάρχει (,) δε ( β,) ώστε ( ) = γ Η πόλις θ σε κολουθεί Στους δρόμους θ γυρνάς τους ίδιους Δεν έχει πλοίο γι σε δεν έχει οδό Έτσι που τη ζωή σου ρήμξες εδώ, σ' όλη τη γη τη ρήμξες Κωνστντίνος Κβάφης Κ Αδμόπουλος

80 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Όρι Όρι "Τ μθημτικά φίνετι ν εφοδιάζουν υτόν που σχολείτι μζί τους με μι κινούργι ντίληψη γι τ πράγμτ" Charles Darwin Α Όρι στο ΓB/Α) Αν κι lim ( ) ( ) = + 5+ υπολογίστε τ όρι: lim ( ), + Β) Αν ( ) = + υπολογίστε τ όρι: lim ( ), lim ( ), ν υπάρχουν lim ( ) κι 5 lim ( ) + ln Γ) Αν ( ) = υπολογίστε τ όρι: lim ( ), lim ( ) κι lim ( ), + e e ν υπάρχουν + + ΓB/ Υπολογίστε τ όρι: Α) lim Β) lim Γ) lim Δ) lim Ε) + 4 lim 5+ / ΓB/ Υπολογίστε τ όρι: Α) lim Β) lim Γ) lim Δ) lim Ε) lim + ΣΤ) lim / 8 ΓB/4Υπολογίστε τ όρι: Α) lim( ) Β) lim ( + ) ( + ) 4 + Γ) lim( + ln ) Δ) lim + ηµ e π Ε) lim Κ Αδμόπουλος

81 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΣΤ) lim Θ) lim + + ΙΒ) lim + IE IH) lim lim ηµ συν + 5 ΓB/5 Βρείτε τ: L = lim + Ζ) + lim 8 + lim Η) Όρι 5+ 6 lim + Ι) ΙΑ) lim ΙΓ) lim ΙΔ) + lim συν π/ ηµ + ΙΣΤ) lim IZ) lim + h ΙΘ) lim K) lim, > 5 5 h h + 6 L = lim, L = lim + 7, κι lim 8 L = ( ) lim + + ΓB/6 Βρείτε το 5 ΓB/7 Βρείτε τ: Α) lim Β) lim Γ) lim Δ) lim Ε) lim ΣΤ) lim Z) lim Η) lim Θ) lim Ι) lim ΙΑ) lim ΙΒ) lim ΙΓ) lim ΙΔ) lim 7 7 Κ Αδμόπουλος

82 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Αλλγή μετβλητής ηµ + ηµ ΓB/8 Βρείτε τ όρι: Α) lim (Θέτω: u = ηµ ) π/ ηµ ln ln Β) lim + e + e (Θέτω: e ln ln u = ln ), Γ) lim e e Δ) lim συν + συν Ε) lim ΣΤ) συν + συν 4 lim e + 4e 5 ΓB/9 Βρείτε τ όρι: Α) lim (Θέτω: u = e ) e ln B) lim ηµ ηµ (Θέτω: u = ln ) Γ) lim e ln π / ηµ Δ) ΣΤ) lim lim 4 (Θέτω: (Θέτω: u = u) Ε) = ) Ζ) lim 4 + lim (Θέτω: Η) u 6 = ) Όρι lim Όρι σε κλδικές συνρτήσεις, ΓB/ A) Aν ( ) =, > lim ( ) βρείτε τ: lim ( ), lim ( ), Β) Βρείτε ν υπάρχουν τ όρι των συνρτήσεων στο : +,, ( ) = στο =, g ( ) =, =, > +, h ( ) = +, > στο, < =, φ( ) = +, στο = στο = Κ Αδμόπουλος

83 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓB/ Βρείτε (ν υπάρχει) το όριο της στο ν: Α) Β) + 7 > ( ) = 4 < < + ( ) =, > + + κι = κι =, Γ) ( ) = κι = + +, >, < ΓB/ Α) Αν ( ) = +, βρείτε το κ ώστε ν + +κ, υπάρχει το όριο: lim ( ) + +, Β) Αν ( ) = +, βρείτε το ώστε ν υπάρχει το, > 9 όριο: lim ( ) + ( ) = +, < Γ) Αν + +β, όριο: lim ( ) κι η C ν διέρχετι πό το Α (,) + + <, Δ) Αν ( ) = β +, όριο της στο κι μάλιστ ν είνι: lim ( ) = Ε) Αν + β lim = συν Όρι, βρείτε τ, β ώστε ν υπάρχει το, βρείτε τ, β ώστε ν υπάρχει το, βρείτε τ, β Κ Αδμόπουλος

84 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης), < ΓB/Α) Αν ( ) = +, βρείτε το κ ώστε ν + +κ, υπάρχει το όριο: lim ( ) 4 +, < B) Αν ( ) = +, βρείτε τ, β ώστε +β, + ΓB/4 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = 4+, > Γι ποι τιμή του η έχει όριο στο σημείο ; = Όρι lim ( ) = ΓB/5, < Α) Δίνετι η συνάρτηση ( ) = +β, Αν η έχει όριο στο = βρείτε τη συνθήκη που ικνοποιούν τ, β Επιπλέον ν η Όρι με πόλυτ C διέρχετι πό το ΓB/6 Βρείτε (ν υπάρχουν) τ: A) Β) Δ) lim lim Α, Γ) Ε) ΓB/7 Βρείτε (ν υπάρχουν) τ: A) 5 B) lim Γ) lim lim βρείτε τ β, lim lim lim Δ) lim + Κ Αδμόπουλος

85 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Ε) lim ΣΤ) lim + Ζ) lim Όρι Τριγωνομετρικά όρι ηµ (5 ) ΓB/8Υπολόγισε τ όρι: Α) lim Β) lim ηµ ηµ ( συν) ηµ ( ηµ ) ηµ ( + ) Γ) lim Δ) lim Ε) lim συν π/ ηµ + ηµ + ηµ ηµ συν ΣΤ) lim Ζ) lim Η) lim + συν + ηµ συν συν Θ) lim Ι) lim ΙΑ) lim + ηµ συν συν( π ) εϕ ηµ ( ) ΙΒ) lim ΙΓ) lim ΙΔ) lim ΙΕ) lim ηµ π π ηµ ( ) ΓB/9Υπολόγισε τ όρι: Α) lim Β) lim ηµ ηµ Γ) lim Δ) ηµ lim Ε) lim ΣΤ) lim ηµ εϕ ( ) ηµ (ln ) ηµ συν 9+ ηµ Z) lim Η) lim Θ) lim Ι) lim e ln + ηµ εϕ ηµ ηµ ( ) ΙΑ) lim ΙΒ) lim ΙΓ) lim ΙΔ) lim + ηµ ηµ ηµ συν συν ΙΕ) lim ΙΣΤ) lim ΙΖ) lim + συν + + ηµ + ηµ + + ηµν ΙΗ) lim ΙΘ) lim Κ) lim ηµ ηµ ηµ ( ) ηµ ( ) ηµ εϕ ηµ Κ) lim ΚΑ) lim ΚΒ) lim ΚΓ) lim + ηµ ηµ ( + ) + ηµ ΚΔ) lim ΚΕ) lim ΚΣΤ) lim εϕ ηµ Κ Αδμόπουλος

86 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ( ) ημ e ΓB/ Υπολογίστε τ όρι: A) L = lim e ημ( ημ) ημ ημ B) L = lim ( ημ) ( L = lim = ) ημ Όρι ΓB/ Αν το lim ( ) ηµ +, < ηµ + ( ) =, βρείτε το κ ώστε ν υπάρχει ηµ +κ, > ( ) ηµ ( ) ΓB/ Αν lim ( ) = κι lim = υπολογίστε το lim ηµ, < ΓB/ Α) Αν ( ) = βρες το lim ( ) συν, > +β, > (ν υπάρχει) Β) Δίνετι η συνάρτηση ( ) = + +, Αν η C διέρχετι πό το Α (,) βρείτε τ, β ώστε ν υπάρχει το όριο της στο = + Γ) Αν ( ) = ηµ ( ) l, <, > βρείτε το ώστε lim ( ) = l με Κριτήριο πρεμβολής ΓB/4 Αν γι την : ισχύει: + ( ) + γι κάθε, βρείτε τ lim ( ) κι lim ( ) ΓB/5 Α) Αν γι την : ισχύει: ( ) Κ Αδμόπουλος

87 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) γι κάθε, βρείτε τ lim ( ) κι lim ( ) 4 Β) Αν γι την : ισχύει: + ( ) + + γι κάθε κοντά στο, βρείτε το lim ( ) ΓB/6 Αν γι την : ισχύει: ( )( ) + γι κάθε κοντά στο, βρείτε το lim ( ) ΓB/7 Αν γι την : ισχύει: κάθε, βρείτε τ lim ( ) κι lim ΓB/8 Αν γι την : ισχύει:, βρείτε το lim ( ) ΓB/9 Αν γι την : Όρι 4 + ( ) + + γι ( ) ( ) ηµ + γι κάθε ισχύει: ηµ ( ) + γι κάθε ( ), βρείτε το lim ( ) κι το lim ΓB/ Αν η συνάρτηση : ικνοποιεί τη σχέση ( ) + + γι κάθε, ν βρεθεί το lim ( ) ΓB/ Αν lim ( ) = (5) 5 ΓB/ Αν ( ) ( 5) γι κάθε, ν ποδείξετε ότι ( ) ΓB/ Αν η συνάρτηση : ( ) + ηµ + γι κάθε βρείτε το ικνοποιεί τη σχέση + γι κάθε, βρείτε το ΓB/4 Α) Αν η συνάρτηση : ικνοποιεί τη σχέση lim ( ) lim ( ) ( ) + + γι κάθε, βρείτε το lim ( ) Β) Αν η συνάρτηση : ( ) ( ) ικνοποιεί τη σχέση + γι κάθε, βρείτε το lim ( ) κι το lim ( ) συν + ηµ Κ Αδμόπουλος

88 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓB/5 Αν η συνάρτηση : 4 + ( ) +, ( ) A) N υπολογιστεί το lim ΓB/6 Αν Α ( ) Όρι ικνοποιεί γι κάθε τη σχέση Β) βρείτε το ηµ γι κάθε, βρείτε τ όρι: lim ( ) Β ΓB/7Αν γι κάθε lim ( ) + ηµ ηµ ( ) lim > ισχύει: ( ) + βρείτε τ όρι: ( ) 4 ( ) 4 lim ( ), lim, lim +, ( ) 6 lim κι ( ) + 5 lim ΓB/8 Αν γι την : κάθε, ν βρείτε το ισχύει: lim ( ) ΓB/9 Αν η συνάρτηση : κι το ηµ ηµ + εϕ γι ( ) 6+ ηµ + ηµ lim ( ) ικνοποιεί τη σχέση: + ( ) ( ) γι κάθε (, ), ν βρεθεί το lim ( ) ΓB/4 Βρείτε το lim ( ) ν γι την : ισχύει: ( ) + ( ) ( ) + 4 γι κάθε ΓB/4 Αν γι τη συνάρτηση : γι κάθε (,), ν βρείτε τ: ( ) κι το lim ( ν υπάρχει) Μηδενική επί φργμένη ΓB/4 Υπολογίστε τ όρι: Α) ισχύει: lim ( ), lim + ( ) ( ) ηµ lim + 4 συν (μηδενική επί φργμένη) Κ Αδμόπουλος

89 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Β) lim ηµ Γ) lim συν Δ) lim ln συν 4 Ε) lim συν ΣΤ) lim ηµ συν Ζ) lim ( ) ηµ Η) lim ( ) συν Θ) lim ηµ 8 + Ι) lim εϕ συν + ΙΑ) lim ηµ ΙΒ) lim ηµ ΙΓ) lim ηµ ηµ ΙΔ) lim ( e ) ηµ e + IΕ) lim ηµ + ln ΙΣΤ) lim ( ) συν ΓB/4Έστω μι συνάρτηση μη στθερή, με lim g ( ) ότν g ( ) = ( ) ( ) 5 ( ) + 4 ( ) ΓB/44 Αν γι κάθε συνάρτηση : ισχύει Όρι lim ( ) = 4 Βρείτε το ( ) 8 ηµ ( ) γι κάθε, βρείτε το lim ( ) ΓB/45 Αν γι μι συνάρτηση : με lim = l ισχύει η σχέση ( ) + ( ) ηµ = ηµ γι κάθε βρείτε το l ( ) ΓB/46 Αν γι μι συνάρτηση : με lim = l ισχύει η σχέση ( ) + ( ) = ηµ γι κάθε Α) Υπολογίστε το () Β) Δείξτε ότι l = ( ημ) (ημ ) ημ Γ) Βρείτε τ όρι: L = lim ( L = lim = ημ ) ( ( ) ) ( ) L = lim ν lim ( ) = () κι L = lim + Κ Αδμόπουλος

90 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Με χρήση βοηθητικής συνάρτησης ΓB/47 Α) Αν lim ( ) = βρείτε το lim ( ) ν: Α) γνωρίζω ότι υπάρχει Α) δεν γνωρίζω ότι υπάρχει lim ( ) + ηµ + + = 5, ν βρείτε το lim ( ) ν: Β)Αν ισχύει ( ) Β) γνωρίζω ότι υπάρχει Β) δεν γνωρίζω ότι υπάρχει ( ) Γ) Αν ισχύει lim =, ν βρείτε το lim ( ) ( ) + ( ) Δ) Αν ισχύει lim =, ν βρείτε τ lim ( ), lim κι + ( ) lim + ( ) ( ) 4 Ε) Αν ισχύει lim =, ν βρείτε τ lim ( ), lim κι 4 ( ) lim ΓB/48 Α) Αν [ ] lim ( ) + = βρείτε το lim ( ) ν: Α) γνωρίζω ότι υπάρχει Α) δεν γνωρίζω ότι υπάρχει lim ( ) + + = 5, ν βρείτε το lim ( ) ν: Β)Αν ισχύει ( ) Β) γνωρίζω ότι υπάρχει Β) δεν γνωρίζω ότι υπάρχει lim ( ) + =, ν βρείτε το lim ( ) Γ) Αν ισχύει ( ) Δ) Αν ισχύει Ε) Αν ισχύει ( ) lim =, ν βρείτε το lim ( ) + ( ) 4 lim =, ν βρείτε το lim ( ) ( ) + ( ) ΣΤ) Αν ισχύει lim =, ν βρείτε τ όρι: ( ) ( ) lim ( ), lim κι lim ( ) ( ) Ζ) Αν lim = υπολογίστε τ lim ( ) κι lim Όρι Κ Αδμόπουλος

91 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓB/49 Αν : ( g) κι g ( ): lim ( ) ( ) = 4 Βρείτε τ lim ( ) ΓB/5Αν, g: βρεθεί το, lim[ ( g ) ( )] Όρι κι lim( ( ) + g ( )) =, κι lim g ( ) ( ) lim = κι lim[( + 4 ) g ( )] = 5 ν ΓB/5Αν γι τη μη στθερή συνάρτηση ισχύει: ( ) lim( ( ) + ) = 6, ν βρείτε τ όρι lim ( ) κι lim ( ) 6 ( ) ΓB/5Έστω : έτσι που lim = 4 Βρείτε την τιμή του ( ) 4k k έτσι που η συνάρτηση g ( ) = ν έχει στο = όριο 4 L +β + 6, ΓB/5Δίνετι η συνάρτηση ( ) =, < Αν η έχει στο σημείο = όριο L, ν βρείτε τους ριθμούς, β κι L ΓB/54 A) Aν lim ( ) = δείξτε ότι lim ( ) = ( lim ( ) = lim ( ) = lim ( ) =, ( ) ( ) ( ) κι κρ πρ) B) Αν + ( ) ( ) γι κάθε, βρείτε το lim ( ) Γ) Αν γι κάθε, η συνάρτηση : ικνοποιεί τη σχέση: ( ) ηµ + ηµ ( ) + ( ) ηµ, ν δείξετε ότι lim ( ) = () ΓB/55Αν γι κάθε, η συνάρτηση : ( ) ( ) 4+, βρείτε / ικνοποιεί τη σχέση: lim ( ) ΓB/56Αν γι την συνάρτηση ισχύει: ( ) ( ) γι κάθε, δείξτε ότι lim ( ) = () (σχημτίστε τυτότητ) Κ Αδμόπουλος

92 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓB/57Αν γι την συνάρτηση ισχύει:, βρείτε το lim ( ) Όρι ( ) + συν ( ) γι κάθε ΓB/58 Αν γι κάθε ισχύει : ( ) ( ) ηµ ν ποδείξετε ότι lim ( ) = () ν είνι γνωστό ότι υπάρχει ΓB/59 Αν γι κάθε ισχύει : ( ) + ( ) + ηµ ν βρείτε το όριο lim ( ) ν είνι γνωστό ότι υπάρχει εϕ ηµ ΓB/6Υπολογίστε το lim ΓB/6 Αν γι κάθε ισχύει ( ) + 4 +, βρείτε τ: ( ) Α lim ( ) Β lim (Υπόδειξη: επειδή lim ( ) = είνι lim ( ( ) ) = < άρ ( ) < κοντά στο κτλ) ΓB/6 A) Αν ( ) ( ) = ln + βρείτε το lim ( ) ν υπάρχει Β) Υπολογίστε, ν υπάρχει, το lim ( ) ν ( ) = + ΓB/6Υπολογίστε το lim 6 + ηµ + 4 Κριτήριο σύγκρισης ΓB/64 Αν γι κάθε ισχύει : ( ) γνωστό ότι υπάρχει (Υπόδειξη: Διιρώ ριθμητή κι προνομστή με ) ηµ βρες το ΓB/65 Αν γι κάθε ισχύει : ( ) lim ( ) ν είνι γνωστό ότι υπάρχει lim ( ) ν είνι συν ν βρείτε το όριο ΓB/66 Αν γι κάθε ισχύει : ( ) ( ) ( ) όριο + ηµ ν βρείτε το lim ( ) ν είνι γνωστό ότι υπάρχει ΓB/67Δίνετι η : γι την οποί ισχύουν: ( ) = ( ) γι κάθε κι lim ( ) = Βρείτε το lim ( ) (λλγή μετβλητής) Κ Αδμόπουλος

93 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓB/68Δίνετι η συνάρτηση : ( ) = ( ) γι κάθε κι lim ( ) κι lim ( ) ΓB/69Έστω συνάρτηση : κι lim [ ( ) ] 5 ΓB/7 Αν γι την : γι την οποί ισχύουν: lim ( ) Όρι + = Βρείτε το ώστε: ( ) = ( ) γι κάθε = Βρείτε το lim ( ) ισχύουν: ( ) = ( + ) γι κάθε κι ( ) ( ) lim =, βρείτε το lim 4 4 ηµ ΓB/7Υπολογίστε το lim π π κι το ηµπ lim ΓB/7Αν ( ) ηµ ( ) γι κάθε βρείτε το lim ( ) (4 ) ( ) ΓB/7Aν lim = υπολόγισε το lim 5 ( ) ( ) ΓB/74Aν lim = υπολόγισε το lim 4 ΓB/75Aν ( + y) = ( ) συν y + ( y) συν γι κάθε y, κι ( ) ( ) ( ) lim = ν ποδείξετε ότι lim = συν γι κάθε (Θέτω = h =+ h) ΓB/76 Έστω ( ) = ηµ + βηµ + γηµ ( ) Αν ( ) γι κάθε κι lim = l με l, ν ποδείξετε ότι + β+ γ = Β Μη πεπερσμένο όριο + ΓB/77 Υπολογίστε τ όρι (ν υπάρχουν): A) lim B) lim ln + Γ) lim Δ) lim Ε) π/ ηµ + συν lim + + Κ Αδμόπουλος

94 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) + ΣΤ) lim+ + e Ι) lim ( ) ln + ln Ζ) lim + + ηµ ΙΑ) lim ηµ Η) + lim ln ΓB/78 Υπολογίστε τ όρι (ν υπάρχουν): Α) lim Γ) ΣΤ) lim + +, Δ) + + lim 4+ 4 π lim + +, Ζ) lim ( ) + συν, Ε) lim, ηµ lim, Η) ( ) συν Ι) lim ηµ, ΙΑ) + lim, ΙΒ) lim συν ΓB/79 Υπολογίστε τ όρι (ν υπάρχουν) Α) lim ln( + ) lim+ + lim ( ) + Ι) lim ηµ lim ( ) Γ) ηµ ln lim Ζ) ΙΑ) συν lim συν π lim + Δ) lim ηµ Όρι + Θ) lim ηµ, Β) lim ( ) +, Θ) + lim ηµ, + +, ΙΓ) + lim Η) lim + ηµ Β) E) lim ηµ Θ) lim IB) lim ( ) ( ) 4 ΣΤ) + + +µ ΓB/8 Υπολογίστε το µ ώστε ν ισχύει: lim = l, με l κι στη συνέχει υπολογίστε το l + +β ΓB/8 Υπολογίστε τ, β ώστε ν ισχύει: lim = + +µ ΓB/8 Αν ( ) = βρείτε την τιμή του µ γι την οποί υπάρχει στο το όριο lim ( ) κι στη συνέχει βρείτε υτό το όριο ΙΓ) Κ Αδμόπουλος,

95 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) 4+λ ΓB/8 Αν lim = l βρείτε τ λ κι l + k ΓB/84Α) Βρείτε το lim γι τις διάφορες τιμές του k ( ) + k Β) Όμοι γι το lim + +β ΓB/85 Α) Βρείτε τ, β ώστε lim = +β Β) Όμοι ν lim = Γ) Βρείτε τ, β ώστε +β lim = ΓB/86 Δίνετι η συνάρτηση : {} με τύπο k + ( λ+ ) + 4 ( ) = ( ) στο = ν είνι πργμτικός ριθμός, ο οποίος κι ν βρεθεί Όρι k, λ Ν βρεθούν οι k, λ ώστε το όριο της ΓB/87Βρείτε τις τιμές των, β γι τις οποίες η συνάρτηση + + ( ) = +β έχει στο σημείο = όριο το L=4 + lim = + βρείτε την τιμή του ( ) =, βρείτε τ, β ώστε lim ( ) = + κι +β + ΓB/88Αν ΓB/89Αν lim ( ) = + (Υπόδειξη: β+ = κι πίρνω όρι) ( ) ΓB/9Αν ορισμένη στο διάστημ (,) (, β ) κι βρείτε το lim ( ) ΓB/9Α) Αν : ώστε: ( ) lim ( ) + = + = +, ν lim ( ), βρείτε το lim ( ) Κ Αδμόπουλος

96 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Β) Αν : ΓB/9Αν Α) ώστε: ( ) lim ( ) + ΓB/9Αν : ( ) + 5 lim ( ) + 7 =, βρείτε το lim ( ) = ν υπολογίσετε τ όρι: lim ( ) ( ) ( ) ( ) + Β) lim Γ) lim ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ηµ ώστε: lim =, βρείτε το lim ( ) + 4 Όρι ( ) ηµ + ΓB/94Αν lim ( ) = + ν υπολογίσετε τo όριo: lim ( ) ηµ ΓB/95 Α) Υπολογίστε τ: lim ηµ + κι lim ν ( ) ( ) lim ( ) = + (μηδενικές επί φργμένες) συν Β) Υπολογίστε το lim + Γ) Υπολογίστε το lim ln ημ ΓB/96 Υπολογίστε το L = lim ημ ΓB/97 Αν ημ L = lim κι λάβετε υπόψη: ημ ( π/ συν εϕ π > ημ > ημ ) ( ) + g ( ) lim ( ) = lim g ( ) = + δείξτε ότι lim = ( ) + g ( ) ( ) + g ( ) ( ) g ( ) ( ) g ( ) = + + = + ( ) + g ( ) ( ) + g ( ) ( ) + g ( ) ( ) g ( ) ( ) g( ) ( ΓB/98 Α) Αν ( ) g ( ) lim g ( ) = + ( ( ) g ( ) lim = θ είνι κι ( ) κοντά στο κι lim ( ) = + τότε κι κι ( ), g ( ) θετικά οπότε lim = άρ lim g ( ) = + ) g ( ) κι επειδή ( ) g ( ) ) Κ Αδμόπουλος

97 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Βρείτε τ όρι: Β) ΓB/99 Αν lim + ηµ Γ) + ηµ lim συν ( ) κι g( ) + γι κάθε : Α) Βρείτε τ lim ( ) κι lim g ( ) Β) Βρείτε το lim[ ( ) g ( )] Γ) Βρείτε το lim g ( ) ( g ) ( ) ΓB/ Α) Αν ( ) g ( ) lim ( ) = κοντά στο κι Β) Αν ( ) ln γι κάθε > ν δειχθεί ότι Όρι e + + lim g ( ) = τότε κι lim ( ) = + Γ Όρι στο άπειρο ΓB/ Βρείτε τ όρι: Α) lim ( 5 ) Β) lim ( + ) + Γ) lim ( 4 + ) Δ) 5 lim ( ) Ε) lim ( + ) + Ζ) lim ( ) lim ( 5 ) Θ) + lim Η) ( ) + Ι) + lim συνθ ΙΑ) lim + + ΙΒ) lim ( λ + 5 ), λ ΙΓ) lim (( µ ) + ), µ ΓB/ Βρείτε τ όρι: Α) lim ( ) Β) lim ( 4) + 5 Γ) lim ( + ) Δ) lim ( + + ) Ε) lim ( 4) + ΣΤ) lim ( + ) Ζ) lim (( συνθ ) 5 ) + + Η) lim (( λ ) + ), λ Θ) lim ( µ ), µ ΓB/ Βρείτε τ όρι: Α) + lim + 5 Β) lim + + Κ Αδμόπουλος

98 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Γ) lim Δ) lim E) lim ΣT) lim Ζ) lim Η) lim + + ΓB/4 Αν ( ) γι κάθε < βρείτε το lim ( ) + + ΓB/5 Βρείτε τ όρι: Α) lim ( 4 ) Γ) lim ( ) + Όρι + + (κοινός πράγοντς το ) Β) lim ( ) + Δ) lim ( 9 ) + ΓB/6Βρείτε τ όρι: Α) lim ( ) Β) lim ( 9 + ) Γ) lim ( ) + Δ) lim ( 4 ) Ε) lim ( ) ΓB/7Υπολογίστε το ( ) lim ΓB/8Βρείτε τ όρι:α) B) lim ( 4 5 ) + + lim ( ) + lim κι το Γ) lim ( 5 ) 5 ( ) lim µ γι µ + ΓB/9 Βρείτε τ όρι: Α) lim Γ) lim + συν + συν Δ) lim λ, λ Δ) ηµ (μηδενική επί φργμένη) B) lim ( e ηµ ) Ε) lim + ηµ + ηµ ΣΤ) lim + + Κ Αδμόπουλος

99 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Όρι + + ηµ Ζ) lim + συν Η) lim ηµ (διιρώ με το ) ηµ + ηµ Θ) Ι) lim + + π ΙΑ) lim lim ηµ + IΒ) lim ( + συν) ΙΓ) lim ημ ΙΔ) lim ( συν ln ) π ΙΕ) lim συν + IΣΤ) lim ( e + ηµ ) (με κρ πρεμβολής ηµ e e + ηµ e + κτλ) IΖ) lim + συν (με κρ πρ) + ΓB/Βρείτε τ όρι: Α) lim ηµ (Θέτω t = ) Β) lim e (Θέτω t = ) Γ) lim ηµ + + (Θέτω t = ) + Δ) lim συν (Θέτω t = ) Ε) ( ) lim συν ΣΤ) lim ln + Ζ) ( ) lim + + ηµ 5 Η) lim ηµ (ν θέσετε u = ) Θ) lim ηµ (ν θέσετε u = ) + + Ι) lim ηµ + (ν θέσετε u = ) ΙΑ) ( ) lim + + ηµ + ΓB/ Βρείτε τ όρι: Α) lim + Β) lim Γ) lim Κ Αδμόπουλος

100 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓB/Αν η συνάρτηση ορισμένη στο (,+ ) κι γι κάθε > ισχύει 4 4 ( + ) ( ) +, δείξετε ότι lim ( ) = + ( ) + ΓB/Έστω : (, + ) ώστε: lim + = + Βρείτε τ όρι: Α) lim ( ) Β) lim ( ) + ( ) + ηµ Γ) lim ΓB/4Βρείτε τ Α) lim Β) lim + + Γ) lim Δ) lim Ε) lim, ΣΤ) lim 7 + +, Ζ) lim , Η) + 5 lim, Θ) lim + 5 ΓB/5Βρείτε τ, β ώστε ( ) lim + + +β = ΓB/6Αν ( ) = + +β ώστε lim ( ) = + ΓB/7 Α) Βρείτε το Β) Βρείτε το ( + ) + + lim + ( ) + 4 lim ( ) με + ( ) + + ΓB/8 Προσδιορίστε το πολυώνυμο ( ) Ρ( ) lim = κι ( ) Ρ( ) lim = ( ) Όρι ν βρείτε τις τιμές των, β με Ρ γι το οποίο ισχύει: Κ Αδμόπουλος

101 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ( ) lim = + + lim ( g ) ( ) ΓB/9Αν + ( ) ΓB/Αν Β) lim ( ) + ( ) κι ( ) g( ) Όρι lim = 5, ν βρεθεί το + ( ) ( ) lim = ν βρείτε τ όρι: Α) lim + ηµ + ( ) Γ) lim + e + ( ) + ( ) Δ) lim Ε) lim + ( ) + ( ) + + ηµ + ( ) ν v v+ v v =, v v + 4v + v + v ΓB/ Υπολογίστε το lim ΓB/ Aν : συνάρτηση ώστε ( ) + ( ) ( ) = γι κάθε Α) Δείξτε ότι η είνι περιττή Β) Δείξτε ότι ( ) = συν Γ) Υπολογίστε τ όρι: lim κι lim [ ( ) ] + ( ) ΓB/ Στο διπλνό σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση μις συνάρτησης Ν υπολογίσετε τ όρι: Α) lim ( ) Β) lim ( ) y= Γ) + ( ) lim + e lim ( ) Ε) [ ] + Δ) lim ( ) ΣΤ) lim ( ) Ζ) lim + ( ) Η) lim ( ( ) ) ηµ + ΓB/4 Όμοι γι την του διπλνού όρι: Α) lim ( ) Β) lim ( ) + O C C σχήμτος ν υπολογίσετε τ y= Κ Αδμόπουλος O

102 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Γ) lim + ( ) Ε) lim [ ( ) 5] Δ) lim + ( ) ΣΤ) lim ( ) Ζ) lim ηµ Η) lim + ( ) ( ) ΓB/5 Όμοι γι την του διπλνού σχήμτος ν υπολογίσετε τ όρι: Α) lim ( ) Β) lim ( ) Γ) + lim + ( ) Ε) lim [ 4 ( ) ] + Δ) ( ) lim 4 e ηµ ΣΤ) lim Ζ) lim ( ) + ( ) ΓB/6 Όμοι γι την του διπλνού σχήμτος ν υπολογίσετε τ όρι: Α) lim ( ) Β) lim ( ) Γ) + lim ( ) Δ) Ε) lim ( ) + ΣΤ) lim Ζ) ( ) ηµ ( ) H) lim + lim + ( ) lim ( ) + + ( ) + O O y C y= C Όρι Κ Αδμόπουλος

103 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Γενικές σκήσεις στ όρι ΓB/7 Υπολογίστε τ όρι: ηµ ( ) ( ) Α) lim B) + lim ηµ ηµ Γ) lim + ηµ ( + ) 7 Δ) lim E) lim + Ζ) lim ( ) + + H) lim ( 4 ) Όρι ηµ + συν + 4 ΣΤ) lim ηµ + + Θ) lim + + ηµ ΓB/8 Υπολογίστε τ όρι: Α) lim B) lim ( ) + E) + Η) + ηµ Γ) ln + lim 4ln + ln lim e Θ) ΣΤ) ηµ lim lim e + 4 lim + Δ) Z) lim ηµ + + lim ln Ι) lim ln( + ) ln( + ) + ΓB/9 Γι τις διάφορες τιμές του λ, βρείτε το όριο στο της συνάρτησης ΓB/ Αν όρι: Α) ( ) 5 = + + +λ + 4 ( ) + γι κάθε, ν υπολογίσετε τ ( ) 5 lim κι Β) lim ( ) ΓB/ Δίνετι συνάρτηση : γι την οποί ισχύει: ( ) ( ) γι κάθε Ν βρείτε lim ( ) ΓB/ Δίνετι συνάρτηση : γι την οποί ισχύει: + 4 ( ) ( ) γι κάθε Ν βρείτε lim ( ) Κ Αδμόπουλος

104 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓB/ Έστω συνάρτηση : τέτοι, ώστε ν ισχύει: ( ) + ( ) = γι κάθε κοντά στο Ν βρείτε το όριο της στο = ( ( ) = κι κριτήριο πρεμβολής) ( ) + ΓB/4 Γι τη µη στθερή συνάρτηση : ( ) lim ( ) lim + = Ν βρείτε το: ΓB/5 Έστω συνάρτηση : ( ) ( ) ηµ lim ηµ με ΓB/6 Έστω η συνάρτηση ( ) = ώστε ν είνι: lim ( ) = + ΓB/7 Γι τη συνάρτηση : Ν δείξετε ότι: lim ( ) = δίνετι ότι: Όρι ( ) ( ) 9 ( ) lim = Ν βρείτε το όριο: δίνετι ότι: lim με Ν βρείτε τον ( ) ηµ ( π ) = + π( ) ( ) ΓB/8 Δίνετι μί συνάρτηση ορισμένη στο R, με lim = 4 ( ) λ λ Γι ποι τιμή του λ R η συνάρτηση g ( ) = έχει στο = 4 όριο πργμτικό ριθμό Ν βρεθεί υτό το όριο ΓB/9 Μί συνάρτηση είνι ορισμένη στο σύνολο (,) (,β) κι ( ) ισχύουν: lim + = κι lim ( ) = k k + Ν βρείτε τις τιμές του k, έτσι ώστε ν υπάρχει το όριο της στο = ( ) g( ) ΓB/4 Αν lim = κι lim =, τότε ν δειχθεί ότι: ηµ ηµ lim ( ) = lim g ( ) = Ν υπολογισθούν επίσης τ όρι: ( g ) ( ) Α= lim ηµ ( ) g( ) ηµ + ηµ κι Β= lim ηµ Κ Αδμόπουλος

105 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓB/4 Γι ποι τιμή του η στο = όριο πργμτικό ριθμό; + + ( ) = ηµ +,, > ΓB/4 Προσδιορίστε τ, β, γ, ώστε στο = η συνάρτηση + 4 ( ), <, > = β +γ + ν έχει όριο πργμτικό ριθμό Όρι έχει Κ Αδμόπουλος

106 Μθημτικά Γ' Λυκείου Όρι Ερωτήσεις Θεωρίς (Σωστού Λάθους) Αν lim ( ) h + h = l τότε Θεωρί Όρι lim ( ) = l Σ - Λ Μι συνάρτηση έχει όριο στο σημείο, ένν πργμτικό ριθμό Ανγκστικά το νήκει στο πεδίο ορισμού της Σ - Λ Αν lim ( ) > τότε ( ) > γι κάθε A Σ - Λ 4 Τ πλευρικά όρι μις συνάρτησης, ότν το πίρνει τιμές κοντά στο, συμπίπτουν πάντοτε Σ - Λ 5 Το όριο μις συνάρτησης στο εξρτάτι πό την τιμή της συνάρτησης στο σημείο υτό Σ - Λ 6 Αν μι συνάρτηση έχει όριο στο σημείο, τότε υτό είνι μονδικό Σ - Λ 7 Αν lim ( ) l lim ϕ = κι =, τότε υπάρχει συνάρτηση φ με ( ) ( ) ϕ ( ) g A υπάρχει το lim [ ( ) g ( )] ισχύει lim [ ( ) g ( )] lim ( ) lim g ( ) = l+ Σ - Λ 8 Αν γι τις, :, τότε πάντοτε = Σ - Λ 9 Αν ( ) =, τότε lim ( ) = = lim ( ) Σ - Λ + Αν lim ( ) = e, τότε η πίρνει ρνητικές τιμές γι κάποι 7 κοντά στο 7 Σ - Λ lim ( ) g ( ) = τότε πάντ ισχύει lim ( ) = lim g ( ) Αν [ ] Αν Αν lim ( ) = l, με l τότε lim ( ) = l > τότε πάντ Σ - Λ lim ( ) = l Σ - Λ lim ( ) = l ή lim ( ) = l Σ - Λ 4 Αν ( ) < g ( ) κοντά στο, τότε πάντ ισχύει lim ( ) < lim g ( ) Σ - Λ 5 Ισχύει πάντ lim ( ) = lim ( ) = Σ - Λ Κ Αδμόπουλος

107 Μθημτικά Γ' Λυκείου 6 Αν το Θεωρί Όρι lim ( ) είνι θετικός ριθμός, τότε η πίρνει θετικές τιμές κοντά στο Σ - Λ 7 Έστω μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού έν διάστημ που περιέχει το Τότε ισχύει πάντοτε lim ( ) = () Σ - Λ 8 Αν lim ( ) = β, lim g ( ) ( ) lim g ( ) β = γ κι ( ) β κοντά στο, τότε = γ Σ - Λ ( ) ηµ 9 Ισχύει ότι lim = με, Σ - Λ ( ) ( ) Αν lim = l, τότε lim = l Σ - Λ Αν ( ) + e, γι κάθε, τότε το lim + ( ) = Σ - Λ Αν lim ( ) = + κι g< ( ) κοντά στο, τότε πάντ ισχύει [ g] lim ( ) ( ) = Σ - Λ Αν lim ( ) = +, τότε lim ( ) = + ή + lim ( ) = Σ - Λ 4 Γι κάθε ισχύει: lim = + Σ - Λ 5 Ισχύει: lim ln = Σ - Λ + 6 Αν lim ( ) = +, τότε lim = Σ - Λ ( ) 7 Αν lim ( ) = + κι lim g ( ) =, το lim [ ( ) + g ( )] δεν υπάρχει Σ - Λ 8 Αν lim ( ) = κι ( ) > κοντά στο, τότε lim = + ( ) Σ - Λ 9 Αν lim ( ) = l, τότε lim = Σ - Λ ( ) l Αν η συνάρτηση :[, + ) είνι γνησίως ύξουσ, τότε πάντοτε ισχύει lim ( ) = + Σ - Λ Αν + lim ( ) 4 = τότε πάντ lim ( ) = ή lim ( ) = Σ - Λ Κ Αδμόπουλος

108 Μθημτικά Γ' Λυκείου (Κτ/νσης) Σημειώσεις Θεωρίς Συνέχει Θ Bolzano ΠΡΟτάσεις, ΠΑΡτηρήσεις, ΜΕΘοδοι κι ΣΧΟλι ΣΧΟΓ Οι πολυωνυμικές, οι ρητές, οι τριγωνομετρικές, οι εκθετικές, οι λογριθμικές συνρτήσεις κι ότι προκύπτει πό υτές με πρόσθεση, φίρεση, πολλπλσισμό, διίρεση, πόλυτη τιμή, ρίζ κι σύνθεση είνι συνεχείς συνρτήσεις Έτσι ν οι συνρτήσεις, g είνι συνεχείς στο, τότε κι οι συνρτήσεις + g, g, g, g, c,, v, g κι g είνι επίσης συνεχείς στο Το ντίστροφο γι τις + g, g, g, g, δεν ισχύει γενικά Έτσι μπορεί πχ η συνάρτηση ϕ = + g ν είνι συνεχής στο ενώ η ν μην είνι συνεχής στο, <, < Πχ Οι συνρτήσεις ( ) = κι g ( ) = δεν είνι συνεχείς,, λλά η συνάρτηση + g είνι συνεχής ΣΧΟΓ Μι συνάρτηση δεν είνι συνεχής στο σημείο του πεδίου ορισμού της ν δεν υπάρχει το όριό της στο, ή υπάρχει λλά είνι διφορετικό πό την τιμή της ( ) Δεν έχει νόημ ν ρωτάμε ν μι συνάρτηση είνι συνεχής σε σημείο που δεν νήκει στο πεδίο ορισμού της Πχ η ( ) είνι συνεχής συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της φού το =, όπου η δεν ορίζετι δεν νήκει στο D ΣΧΟΓ Αν η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το A είνι συνεχής στο, τότε το νήκει στο A, υπάρχει το lim ( ), lim ( ) κι lim ( ) ( ) = Γενικά εξετάζουμε τη συνέχει της στο ν το νήκει στο πεδίο ορισμού της Κ Αδμόπουλος

109 Μθημτικά Γ' Λυκείου (Κτ/νσης) Σημειώσεις Θεωρίς ΜΕΘΓ Αν η είνι συνεχής στο κι θέλουμε ν βρούμε το ( ) ρκεί ν βρούμε το lim ( ) Αν θέλουμε ν βρούμε το lim ( ) ρκεί ν βρούμε το ( ) Πχ Αν συνεχής στο = κι γι είνι ( ) = βρείτε το () Λύση: Αφού συνεχής στο = είνι () = lim = lim( + ) = ΜΕΘΓ Αν η είνι συνεχής στο κι μς δίνετι μι νισοτική χρησιμοποιώντς πλευρικά όρι σχέση μπορούμε ν βρούμε το ( ) κι κτλήγοντς στις σχέσεις ( ) ( ) = Πχ Αν ( ) ( ) κι ( ) οπότε γι κάθε κι η είνι συνεχής στο = βρείτε το () Λύση: Αφού είνι συνεχής στο = είνι lim ( ) = lim ( ) = () + Γι >, ( ) άρ lim ( ) lim () lim ( + ) () Γι <, ( ) άρ lim ( ) lim () lim ( + ) () Τελικά () = + ΜΕΘΓ Αν μς ζητούν ν βρούμε τις πρμέτρους ώστε η συνάρτηση ν είνι συνεχής, τότε: Βρίσκουμε τ σημεί που η λλάζει τύπο εκτέρωθέν τους lim (τ πλευρικά όρι ν είνι ίσ) κι Απιτούμε ν υπάρχει το ( ) ν είνι πργμτικός ριθμός Απιτούμε ν ισχύει η σχέση lim ( ) ( ) = Από τ πρπάνω κτλήγω σε έν σύστημ που η λύση του μου δίνει τις πρμέτρους Κ Αδμόπουλος

110 Μθημτικά Γ' Λυκείου (Κτ/νσης) Πχ Βρείτε το ώστε η Λύση:Πρέπει: ( ), > ( ) = +, ν είνι συνεχής Σημειώσεις Θεωρίς lim lim ( ) () lim = lim + = + + = + = = = ( ) ( ) + ΠΡΟΓ Ότν μς δίνουν μι συνρτησική σχέση γι μι συνάρτηση κι γνωρίζουμε ότι είνι συνεχής σε έν σημείο, τότε γι ν δείξουμε ότι είνι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της A, θ πρέπει ν δείξουμε ότι είνι συνεχής σε τυχίο σημείο A, κάνοντς λλγή μετβλητής στην εύρεση του ορίου κι χρησιμοποιώντς τη συνρτησική σχέση Πχ ν ( y) = ( ) + ( y) γι κάθε (, + ) κι συνεχής στο = δείξτε ότι η είνι συνεχής στο (, + ) Λύση:Αρκεί ν δείξουμε ότι είνι συνεχής σε τυχίο σημείο = του (, + ) δηλδή ότι lim ( ) = ( ) Πράγμτι είνι συνεχής στο = άρ lim ( ) = () Θέτω h= = h, γι, h κι είνι: lim ( ) = lim h = lim ( ) + ( h) = lim ( ) + lim ( h) = ( ) + () = ( ) [ ] h h h h = ( ) = ( ) ΣΧΟΓ4 Αν συνεχής στο [, ] έν τουλάχιστον ( β ) ώστε ( ), β κι ( ) ( ) β< τότε υπάρχει = (Θ Βοlzano) To ντίστροφo του Θ Βolzano δεν ισχύει γενικά Δηλ μπορεί μι β χωρίς ν ισχύουν συνάρτηση ν μηδενίζετι σε έν σημείο ( ), υποχρεωτικά οι προϋποθέσεις του Θ Bolzano, δηλδή χωρίς η ν είνι,, β ν είνι ετερόσημες συνεχής στο [ β ] ή χωρίς οι τιμές ( ) ( ) Αν συνεχής στο [ β, ] κι ( ) ( β) τουλάχιστον [ β, ] ώστε ( ) = Σε υτή την περίπτωση δικρίνουμε δύο περιπτώσεις, γι ( ) ( β< ) κι γι ( ) ( β= ) Αν συνεχής κι γνησίως μονότονη στο [ β, ] κι ( ) τότε υπάρχει έν κριβώς ( β, ) ώστε ( ) = τότε υπάρχει έν ( ) β< Κ Αδμόπουλος

111 Μθημτικά Γ' Λυκείου (Κτ/νσης) Αν συνεχής στο [, ] Σημειώσεις Θεωρίς β κι δεν μηδενίζετι σε υτό τότε διτηρεί στθερό πρόσημο Έτσι ν σε έν σημείο η είνι θετική, τότε θ είνι θετική σε όλο το διάστημ, ενώ ν είνι ρνητική σε έν σημείο θ είνι ρνητική σε όλο το διάστημ Αν ρ, ρ διδοχικές ρίζες της συνάρτησης, τότε η διτηρεί στθερό πρόσημο στο ( ρ, ρ ) (φού στο ( ρ, ρ ) η δεν έχει ρίζες) ΣΧΟΓ5 Το Θ Bolzano είνι «υπρξικό» θεώρημ, διπιστώνει δηλδή την ύπρξη μις τουλάχιστον ρίζς μις συνάρτησης, άρ κι μις εξίσωσης σε έν διάστημ, δεν μπορεί όμως ν διπιστώσει τον κριβή ριθμό των ριζών ούτε κι ν τις προσδιορίσει Πάντως είνι ιδιίτερ χρήσιμο σε περιπτώσεις που λόγω της μορφής της συνάρτησης δεν μπορούμε με άλλο τρόπο ν εξάγουμε συμπέρσμ γι τις ρίζες της ΣΧΟΓ6 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο διάστημ [ β, ] τότε πίρνει σ υτό ελάχιστη τιμή m, μέγιστη τιμή M κθώς κι όλες τις ενδιάμεσες τιμές μετξύ των m κι M Δηλδή υπάρχουν, [ β, ] τέτοι ώστε ( ) = m, ( ) = M κι m ( ) M γι κάθε β, [ ] ΜΕΘΓ4 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο διάστημ [ β, ], m η ελάχιστη κι M η μέγιστη τιμή της, τότε το σύνολο τιμών της είνι το σύνολο [ mm, ] Το σύνολο υτό δεν συμπίπτει γενικά με το διάστημ ( ), ( β) ή το ( β), ( ) Αν η συνάρτηση είνι συνεχής κι γν ύξουσ με πεδίο ορισμού A, τότε το σύνολο τιμών ( A ) είνι: ( ) = τότε ( A) lim ( ), lim ( ) Αν A ( β, ) = Αν A = [ β, ] τότε ( A) = [ ( ), ( β) ] + β Αν A = ( β, ] τότε ( A ) = ( lim ( ), ( β )] + Αν η συνάρτηση είνι συνεχής κι γν φθίνουσ με πεδίο ορισμού A, τότε το σύνολο τιμών ( A ) είνι: ( ) = τότε ( A) = lim ( ), lim ( ) Αν A ( β, ) β + Κ Αδμόπουλος

112 Μθημτικά Γ' Λυκείου (Κτ/νσης) Αν A = [ β, ] τότε ( A) = [ ( β), ( ) ] Αν A = ( β, ] τότε ( A) = [ ( ), lim ( )) Γενικά η εικόν ( ) β + Σημειώσεις Θεωρίς ενός διστήμτος μέσω μις συνεχούς κι μη στθερής συνάρτησης είνι διάστημ Αν η είνι στθερή κι συνεχής τότε το σύνολο τιμών της είνι μονοσύνολο Πχ Α) Βρείτε το σύνολο τιμών της ( ) = ln στο διάστημ (, e ) Λύση: Είνι στο (, e ), σύνολο τιμών είνι το ( ) lim ( ) = lim ln = κι ( e) = ln e= Άρ το + + (, ) (,) e = Α) Βρείτε το σύνολο τιμών της ( ) = στο διάστημ (,9] Λύση: Είνι στο (,9], lim ( ) = lim = + κι (9) + + = 9 = Άρ το σύνολο τιμών είνι το ((,9]) =, + ΣΧΟΓ7 Εξίσωση είνι μι ισότητ που ισχύει γι ορισμένες μόνο τιμές των μετβλητών της Έτσι ν μς δίνετι η εξίσωση ( ) = g ( ) υτό δεν σημίνει ότι οι δύο συνρτήσεις είνι μετξύ τους ίσες φού η ισότητ ισχύει γι ορισμένες μόνο τιμές του κι όχι γι όλες ΜΕΘΓ Γι ν ποδείξω ότι μι εξίσωση έχει μι τουλάχιστον ρίζ σε έν διάστημ ( β, ) κολουθούμε τ εξής βήμτ: Φέρνουμε όλους τους όρους στο ο μέλος Θεωρούμε το ο μέλος ως συνάρτηση Επληθεύουμε ότι ισχύουν γι την οι προϋποθέσεις του Θ Bolzano στο [ β, ] Αν δεν μς δίνετι το διάστημ το βρίσκουμε με δοκιμές Αν μς ζητούν ν ποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει περισσότερες πό μί ρίζες εφρμόζουμε την πρπάνω διδικσί γι περισσότερ διστήμτ χωρίζοντς το ρχικό διάστημ είτε βρίσκοντς με δοκιμές νέ διστήμτ, ρκεί τ διστήμτ ν μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεί Κ Αδμόπουλος

113 Μθημτικά Γ' Λυκείου (Κτ/νσης) Σημειώσεις Θεωρίς Αν η συνάρτηση που ορίζουμε δεν ορίζετι σε κάποιο πό τ άκρ του διστήμτος γιτί μηδενίζετι κάποιος προνομστής, κάνουμε πρώτ πλοιφή προνομστών κι μετά ορίζουμε νέ συνάρτηση Πχ Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο [ β, ], ποδείξτε ότι υπάρχει ξ ( β, ) τέτοιο που ( ξ ) = + ξ β ξ Λύση: ( ) = + κι γι, β ισοδύνμ έχουμε: β ( )( β ) ( ) = + β ( )( β ) ( ) + β = g ( ) = β ( ) + β κι εφρμόζω Θεωρώ τη συνάρτηση ( )( ) Θ Βοlzano γι την g στο [ β, ] Αν το θεώρημ Bolzano είνι νποτελεσμτικό βρίσκω το σύνολο τιμών κι ποδεικνύω ότι περιλμβάνει το μηδέν Γι ν ποδείξουμε ότι υπάρχει ξ ( β, ) που ν ικνοποιεί μι ισότητ, τότε θέτουμε όπου ξ το, προκύπτει έτσι μι εξίσωση κι κολουθούμε τις πρπάνω διδικσίες Πχ Δείξτε ότι υπάρχει ξ (,) ώστε ν ισχύει: ξ = 6ξ Λύση: Είνι = = Θεωρώ τη συνάρτηση: ( ) = 6 + Τότε: συνεχής στο [, ] κι () () = ( ) = 6 < άρ με Θ Bolzano ξ 6ξ + = ξ = 6ξ υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) ώστε ΠΑΡΓ Αν ( ) = g ( ) υτό δεν σημίνει κτνάγκην ότι ( ) = g ( ) ή ( ) = g ( ) Πράγμτι μπορεί γι πράδειγμ ν είνι g ( ), ( ) = οπότε έχω ( ) = g ( ) ενώ προφνώς δεν g ( ), > είνι ( ) = g ( ) ή ( ) = g ( ) Επίσης ν ( ) = g ( ) δεν συμπερίνω κτνάγκην ότι ( ) = g ( ) ή ( ) = g ( ) Όμοι ν ( ) g ( ) = δεν συμπερίνουμε κτ νάγκην ότι ( ) = ή g= ( ) ΠΑΡΓ Ισχύουν: e > + γι κάθε κι ln γι κάθε Κ Αδμόπουλος

114 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Συνέχει Συνέχει Συνάρτησης "Ο κόσμος των ιδεών τις οποίες ποκλύπτουν ή διφωτίζουν, η θέση της Θείς ομορφιάς κι τάξης στην οποί μς οδηγούν, η ρμονική σύνδεση των μερών τους, η άπειρη ιερρχί κι η πόλυτη βεβιότητ των ληθειών με τις οποίες σχολούντι, υτά κι άλλ πρόμοι είνι τ σφλέστερ θεμέλι της εκτίμησης που τρέφουν δικίως οι άνθρωποι γι τ μθημτικά, κι θ πρέμενν διμφισβήτητ κι κέρι, ν το σχέδιο του σύμπντος ξετυλιγότν σν χάρτης μπροστά στ πόδι μς, κι ν η νθρώπινη νόηση είχε την ικνότητ ν συλλάβει ολόκληρο το σχήμ της δημιουργίς με μι μτιά" JJSylvester ΓΓ/ Ν μελετήσετε ως προς τη συνέχει τις συνρτήσεις: +,, ( ) = g ( ) =, =, = ΓΓ/ Ν μελετήσετε ως προς τη συνέχει τις συνρτήσεις: + +, +, < ( ) = + ηµ + g ( ) =, < + + ln, ΓΓ/ Βρείτε το ώστε ν είνι συνεχείς οι συνρτήσεις: + + ln, +, < ( ) = ηµ ( ) g ( ) =, < + + +, ΓΓ/4 Εξετάστε ν είνι συνεχείς οι συνρτήσεις: +, < +, < ( ) = + g( ) = +,, > , h( ) = ϕ ( ) = + + = ΓΓ/5 Ν μελετήσετε ως προς τη συνέχει τις συνρτήσεις: ηµ +,, ( ) = κι g ( ) = + ηµ συν ( π ), >, = Κ Αδμόπουλος

115 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Συνέχει ΓΓ/6 Βρείτε το ώστε ν είνι συνεχείς οι συνρτήσεις: ηµ π, < < +, ( ) = ηµ κι g ( ) = ηµ, +, > ΓΓ/7 Ν μελετήσετε ως προς τη συνέχει κι ν χράξετε τη γρφική πράστση των συνρτήσεων:,, ( ) = κι g ( ) =, >, <, ΓΓ/8 Δίνετι η συνάρτηση: ( ) = +β, < ln, > Ν προσδιοριστούν τ, β ώστε η ν είνι συνεχής + β, < ΓΓ/9 Δίνετι η ( ) = + 4, < με, β + β, Βρείτε τ β, ώστε η συνάρτηση ν είνι συνεχής στο ( +β ) + 8+, < ΓΓ/ Αν η συνάρτηση ( ) = ( β ) + 4, με, β είνι συνεχής στο, ν δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μβ (, ) είνι κύκλος ΓΓ/ Ν βρεθούν οι τιμές των, β ώστε ν είνι συνεχής η ( + ) (β+ ) + 6, συνάρτηση: ( ) = 7, = ΓΓ/Μελετήστε ως προς τη συνέχει τις συνρτήσεις: ηµ συν,, + ηµ ) ( ) = β) ( ) =, =, = , ΓΓ/Δείξε ότι η ( ) = είνι, = Κ Αδμόπουλος

116 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) συνεχής ΓΓ/4Αν ( ) Συνέχει = + + ηµ γι κάθε κι η είνι συνεχής στο =, βρείτε το () ΓΓ/5Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο σημείο = κι γι κάθε ισχύει: ηµ ( ) +, βρείτε το ( ) ΓΓ/6 Έστω συνεχής στο ώστε γι κάθε ισχύει: ( ) + = +, ν βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ΓΓ/7Αν ( ) ( ) = + + γι κάθε [, + ) κι συνεχής στο [, + ) βρείτε τον τύπο της ΓΓ/8 Bρείτε τη συνεχή συνάρτηση : ( ) ( ( ) ) = + + γι κάθε ΓΓ/9Δίνετι η συνάρτηση : με την ιδιότητ: με () = κι + + ( ) lim = Δείξτε ότι η είνι συνεχής στο = ΓΓ/ H συνάρτηση είνι ορισμένη στο κι ισχύουν: + ( ) lim = L κι () = 4 4 Α Δείξτε ότι η είνι συνεχής στο = ( ) + Β Αν lim = βρείτε το L 4 ΓΓ/ Αν η συνάρτηση είνι περιττή κι συνεχής στο σημείο = ( ) + + κι ότι lim = ) ν βρείτε την τιμή της γι = β) Δείξτε ότι η είνι συνεχής στο = ( ) γ) Υπολογίστε το lim ( ) () + ηµ ( ) δ) Υπολογίστε το lim 4 ( ) ηµ 5 ΓΓ/Αν η είνι συνεχής στο =, lim = 4 κι + ( ) ( + ) = + 7+ γι κάθε, ν βρείτε την τιμή της στο = κι ποδείξτε ότι είνι συνεχής στο = ΓΓ/Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο = κι Κ Αδμόπουλος

117 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ( ) ηµ lim = + ΓΓ/4Αν ν βρείτε την τιμή της στο = Συνέχει 5 ( ) 6+ 4 γι κάθε, ν ποδειχθεί ότι η είνι συνεχής στο σημείο = ΓΓ/5 Αν ( ) συνεχής στο = + γι κάθε, ποδείξτε ότι η είνι ΓΓ/6 Aν η συνάρτηση είνι συνεχής στο = κι γι κάθε ισχύει ( ) 4 ηµ, ν βρεθεί το () ΓΓ/7 Αν ( ) ( ) + 4 ηµ γι κάθε κι συνεχής στο =, ν υπολογίσετε την τιμή της στο = ΓΓ/8Έστω συνάρτηση συνεχής στο = κι τέτοι που ν ισχύει: ( )( ) + γι κάθε Δείξτε ότι ( ) = ΓΓ/9 Αν ( ) ( ) + συν γι κάθε ν ποδειχθεί ότι η είνι συνεχής στο = ΓΓ/ Αν ( y) ( ) ( y) + = γι κάθε y, κι η συνάρτηση είνι συνεχής στο σημείο = ποδείξτε ότι η είνι συνεχής στο ΓΓ/Δίνετι η συνάρτηση : γι την οποί ισχύει η σχέση: ( β ) = ( ) + ( β) γι κάθε, β Αν η είνι συνεχής στο = ν δειχθεί ότι είνι συνεχής στο ΓΓ/Αν ( y) ( y) y ( ) = + γι κάθε y, κι συνεχής στο = ν δειχθεί ότι η είνι συνεχής στο = γι κάθε y, κι συνεχής στο y = ν δειχθεί ότι η είνι συνεχής στο ΓΓ/Αν ( ) ( y) ΓΓ/4 Δίνετι συνεχής συνάρτηση : γι την οποί ισχύει: ( + h) ( ) () lim = Α) Βρείτε το () Β) Βρείτε το: lim h h 4 (Με λλγή μετβλητής) ΓΓ/5 Δίνετι συνεχής συνάρτηση : ( h) lim = 6 h h Α) Βρείτε το () Β) Βρείτε το: γι την οποί ισχύει: ( ) () lim Κ Αδμόπουλος

118 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Γ) Βρείτε το: ηµ ( ) lim ΓΓ/6Αν ( ) ( ) Συνέχει + g= e κι ( ) g ( ) = ηµ γι κάθε, ποδείξτε ότι οι, g είνι συνεχείς στο ΓΓ/7Αν η είνι περιττή κι ( ) ( 4 ) : Α) Δείξτε ότι () = Β) Βρείτε τον τύπο της (Θέτω όπου το ) Γ) Εξετάστε ν η είνι συνεχής Θεωρήμτ συνέχεις ΓΓ/8 Δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) e ρίζ στο διάστημ (, ) ΓΓ/9 Δείξτε ότι η εξίσωση, e + ηµ γι κάθε = + έχει μι τουλάχιστον + ln = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ ( ) ΓΓ/4 Δείξτε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) ώστε: e ξ + ln( ξ+ ) = ΓΓ/4 Δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) = ηµ έχει μι τουλάχιστον π ρίζ στο διάστημ, ΓΓ/4 Α) Δείξτε ότι η εξίσωση + ln = + έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ, 4 Β) Δείξτε ότι η εξίσωση = + έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ (, ) ΓΓ/4 Δείξτε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) ώστε ξ ξ= ΓΓ/44 Δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) στο διάστημ (, ) ΓΓ/45 Δείξτε ότι η εξίσωση ln διάστημ ( ), ΓΓ/46 Δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) τουλάχιστον ρίζ = + + έχει μι κριβώς ρίζ = έχει μι κριβώς ρίζ στο π π = + ηµ έχει στο, μί Κ Αδμόπουλος

119 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Συνέχει ΓΓ/47Αν : [,] συνεχής,δείξτε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον [,] ώστε ( ) = ΓΓ/48Αποδείξτε ότι η εξίσωση συν = έχει μί τουλάχιστον ρίζ π π στο διάστημ, 4 4 ΓΓ/49 Αποδείξτε ότι η εξίσωση ( )ln = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημ (,4) ΓΓ/5 Αποδείξτε ότι η εξίσωση ( ) συν + = ηµ έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημ (,π) ΓΓ/5Δείξτε ότι ν ( ) = ηµ κι g ( ) = τότε οι C, C g τέμνοντι π π σε σημείο του διστήμτος, 4 ΓΓ/5Δίνοντι οι συνεχείς συνρτήσεις κι g ορισμένες στο διάστημ [,]Αν () = g(), () = g(), ν δειχθεί ότι υπάρχει ξ, ώστε ( ξ) = g( ξ ) [ ] ΓΓ/5Αν :[, ] [, ] β β είνι συνεχής κι β >, ποδείξτε ότι ( ξ) β υπάρχει ξ [, β ] τέτοιος που = ξ ΓΓ/54Οι συνρτήσεις, gείνι συνεχείς στο διάστημ [, ] ισχύουν : ( ) < g ( ) γι κάθε β, [, ] ( ) = κι ( ) Ν δειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον έν ( ), β κι g β =β β τέτοιο που ν ισχύει ( ) + g ( ) = 5 4 ΓΓ/55 Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση +β β = έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ [,] ΓΓ/56 Αν, g: [,], συνεχείς ν ποδειχθεί ότι υπάρχει έν ώστε ( ) + g ( ) = τουλάχιστον [ ], ΓΓ/57Αν η είνι συνεχής στο κι ισχύει < ( ) < γι κάθε,ν ποδείξετε ότι η εξίσωση + ( ) = ( ) έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ (,) ΓΓ/58Αν η συνάρτηση : [,] [,] είνι συνεχής στο [,] ν Κ Αδμόπουλος

120 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) δειχθεί ότι υπάρχει ξ (,) ώστε ΓΓ/59 Αν <β<γ ποδείξετε ότι η κριβώς ρίζες στο ΓΓ/6 Δείξτε ότι η εξίσωση στο διάστημ ( β, ) ΓΓ/6 Δείξτε ότι η εξίσωση τουλάχιστον ρίζ ξ ξ + ξ= ( ) 5 ( ) 4 Συνέχει = έχει δύο β γ e + β = έχει μι τουλάχιστον ρίζ ηµ συν = π +π έχει στο π π, ΓΓ/6 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο [, ] β, ποδείξτε ότι υπάρχει ξ (, β ) τέτοιο που ( ξ ) = + ξ β ξ ΓΓ/6Δείξτε ότι η εξίσωση + = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ (,) ΓΓ/64Δείξτε ότι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων 5 ( ) = κι g ( ) = έχουν έν κριβώς κοινό σημείο Μ που η τετμημένη του νήκει στο διάστημ (,) 5 ΓΓ/65 N δείξετε ότι η εξίσωση 4+ = έχει μί τουλάχιστον, ( Ηorner κι Θ Β στο πηλίκο) ρίζ στο ( ) ΓΓ/66 N δείξετε ότι η εξίσωση ( ) ln = + έχει μί κριβώς ρίζ στο (, ) ( Απλοιφή κι ομδοποίηση) ΓΓ/67 N δείξετε ότι η εξίσωση ( ηµ + συν ) + ηµ συν = π έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο, (ομδοποίηση) ΓΓ/68Αν, g συνεχείς στο διάστημ Δ κι η έχει ρίζες ρ < <ρ στο Δ κι ( ) g( ) = c γι κάθε κι c, δείξτε ότι υπάρχει μι τουλάχιστον ρίζ της εξίσωσης ( ) ρ, ρ ΓΓ/69Αν ( ) = +β +γ ( ) ποδειχθεί ότι g= στο [ ] κι ισχύει: β 4γ ( ( ) () () γ +β+γ < < κτλ) γ + γβ + γ < μί, ν Κ Αδμόπουλος

121 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓΓ/7Αν, g συνεχείς στο [, ] ότι οι C κι νήκει στο [ ] Συνέχει β κι ( ) + ( β ) = g( ) + g( β ) δείξτε C g έχουν έν τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη που β, ΓΓ/7 N δείξετε ότι η εξίσωση, ln + = + έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ ( ) ΓΓ/7 N δείξετε ότι η εξίσωση ln ln( ) τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ (, ) ΓΓ/7Αν :[,] εξίσωση ( ) ( ) + = + έχει μι συνεχής κι γν φθίνουσ, ν ποδείξετε ότι η = + έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο ( ) ΓΓ/74Αν συνεχής στο [, ] κι () () ( ) = ( + ) έχει μι τουλάχιστον λύση στο [,), = δείξτε ότι η εξίσωση ΓΓ/75 Αν συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο [,5] κι () δείξετε ότι: Α) () > κι (5) < Β) Η εξίσωση (+ ) = έχει μονδική ρίζ ΓΓ/76Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής στο [, ] = ν π κι () = ( π ) ν δείξετε ότι : A) Υπάρχει [, π ] τέτοιο που ( ) = ( + π ) B) Υπάρχουν σε κάθε χρονική στιγμή τουλάχιστον δύο ντιδιμετρικά σημεί του ισημερινού της γης που έχουν την ίδι θερμοκρσί (Μετεωρολογικό θεώρημ) ΓΓ/77Αν συνεχής στο [,] έν τουλάχιστον [,] ΓΓ/78Αν :[, ] έν τουλάχιστον (, ) κι ( ) δείξτε ότι υπάρχει ώστε : ( ) ( ) + + = β συνεχής κι <γ<δ<β, δείξτε ότι υπάρχει ξ β ώστε ( γ ) + ( δ ) = ( ξ ) (ΘΒolzano στο (, ) γδ ) ΓΓ/79Δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) = e συν έχει μι τουλάχιστον ρίζ ΓΓ/8Aν συνεχής στο [ β, ], ( ) 4 β = ( ) = ( ) + έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο [, ] =, ( ) 4, τότε η εξίσωση β ( Bolzano) 5 ΓΓ/8 Aν συνεχής στο [,] κι ( ) + ( ) + ( ) = + γι κάθε [,], ν ποδείξετε ότι η έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο (,) (Υπόδειξη: θέστε 5 g( ) = ( ) + ( ) + ( ) ) Κ Αδμόπουλος

122 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Συνέχει ΓΓ/8 Αν ( ) = e + ln, (, + ) Α) Δείξτε ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο (,+ ) Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Δείξτε ότι η έχει κριβώς μί ρίζ στο (,) ΓΓ/8 Έστω : συνεχής κι τ σημεί Α (, () ), (, ()) Γ ( 4, (4)), ( 5, (5)) C Αν η ευθεί ΑΓ σχημτίζει με τον της π π γωνί θ, 4 κι η ευθεί ΒΔ γωνί, π ω Ν δείξετε ότι 4 υπάρχει ξ, ξ με ξ ξ = ώστε ( ξ) ( ξ ) = ΘΕΤ, ΘΜΕΤ κι σύνολο τιμών ΓΓ/84 Έστω ( ) = + ln Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονί Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Δείξτε ότι η έχει κριβώς μί ρίζ Β, Δ) Δείξτε ότι η εξίσωση ( ) = έχει κριβώς μί ρίζ γι κάθε ΓΓ/85 Έστω ( ) = ln Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονί Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Δείξτε ότι υπάρχει έν κριβώς ξ (,] ώστε ξln ξ= ξ ΓΓ/86 Έστω ( ) = Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονί Β) Δείξτε ότι η έχει κριβώς μί ρίζ στο (,) Γ) Γι ποιες τιμές του η εξίσωση ( ) = έχει ρίζ στο (,) ; ΓΓ/87 Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ηµ + = έχει στο, π κριβώς μι ρίζ ΓΓ/88 Aν, g: [,] [,] συνεχείς ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ [,] ώστε ( ( ξ )) + g( g( ξ )) = ξ ΓΓ/89Δίνετι η συνάρτηση ( ) = ln + e Α) Αποδείξτε ότι η είνι γνησίως ύξουσ Β) Ν βρεθεί το σύνολο τιμών της Κ Αδμόπουλος

123 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Γ) Ν λυθεί η εξίσωση ln + e = Δ) Δείξτε ότι η εξίσωση ( ) Συνέχει = έχει κριβώς μί ρίζ στο ( ) ( ) = δεν έχει ρίζ στο (, ) ΓΓ/9 Αν συνεχής κι γν ύξουσ στο (,+ ), lim ( ) κι + lim ( ) =γ, δείξτε ότι υπάρχει μονδικός > ώστε: + +,, ενώ η = δ ( ) + e + ln = (Με σύνολο τιμών) ( ) ΓΓ/9 Έστω :[,] συνεχής, lim = 5 κι η C τέμνει τον άξον yy στο Α (, ) Δείξτε ότι η ευθεί ε : y = + κι η C έχουν έν τουλάχιστον κοινό σημείο ΓΓ/9Αν συνεχής στο κι (,) δείξτε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ( ) ( ) + = ( ) + + γι κάθε, ώστε 4 ( ) = 7 ( ) ΓΓ/9 Aν συνεχής κι lim = 4 κι γι κάθε ισχύει: 4ηµ ( ) ( ) ( ) 4 κι g ( ) = + δείξτε ότι οι C κι C g τέμνοντι σε έν τουλάχιστον σημείο Μ (, y) με (, ) ( ) ΓΓ/94 Αν συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο (, ), lim + = κι ισχύει: ηµ ( ) ( ) ( ) γι κάθε : g (,) ν g ( ) = ( ) ln Α) Βρείτε το σύνολο τιμών ( ) Β) Αν h ( ) ( ) = e ν ποδείξετε ότι η h ης γωνίς των ξόνων σε σημείο, ( ) C τέμνει τη διχοτόμο της ης κι ( ) Μ με (,) ΓΓ/95 Δείξτε ότι η εξίσωση ln 4 π π ρίζ στο, ΓΓ/96 Αν συνεχής στο [, ) π + = e εϕ έχει κριβώς μί + κι lim ( ) = +, ποδείξτε ότι η + εξίσωση ( ) + ln = έχει μί τουλάχιστον θετική ρίζ (Με σύνολο τιμών) ΓΓ/97A) Δείξτε ότι η εξίσωση + + 5= έχει μι τουλάχιστον ρίζ B) Αποδείξτε ότι κάθε πολυώνυμο περιττού βθμού έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο (Με σύνολο τιμών) Κ Αδμόπουλος

124 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓΓ/98 Aν g συνεχής στο [ β, ] κι γι κάθε [, ] δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) g( ) ( ) στο ( β, ) ΓΓ/99Αν, g συνεχείς στο [ β, ] κι ( ) δείξτε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, β ) ώστε: ΓΓ/ Έστω :[,] Συνέχει β είνι g ( ), = β έχει μι τουλάχιστον ρίζ g γι κάθε ( β, ), ( ξ ) = + g( ξ) ξ ξ β συνεχής ώστε γι κάθε ν ισχύει: + + ηµ ( ) ( ) ( ) Α) Βρείτε το () Β) Δείξτε ότι η εξίσωση ( + ) ( ) = 7+ έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο (,) ΓΓ/ Aν : περιττή κι συνεχής στο = κι ισχύει: ( ) + lim = : Α) Βρείτε το () ( ) Β) Δείξτε ότι η είνι συνεχής στο = (λλγή μετβλητής) ( ) Γ) Βρείτε το lim + + ΓΓ/ Αν συνεχής στο [,5 ] κι (,5) ν δείξετε ότι η δεν έχει ρίζες στο ( ) + ( ) = 5 γι κάθε,5 κι ν βρεθεί ο τύπος της ν () = +, < ΓΓ/ Εξετάστε ν είνι - η ( ) = +, ΓΓ/4 Α) Aν γι κάθε [,] η είνι συνεχής κι ισχύει + ( ) = 4, ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση διτηρεί στθερό πρόσημο στο (,), κι ν βρεθούν οι δυντοί τύποι της Β) Βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης ν γι κάθε ισχύει: [ ( ) ηµ ] ( ) = ΓΓ/5 Αν συνεχής στο κι κι () = ( ) + 4= + 4 γι κάθε βρείτε τους δυντούς τύπους της (H διτηρεί στθερό πρόσημο στο (, ) κθώς κι στο (, + ) Προκύπτουν 4 τύποι ) ΓΓ/6 Αν συνεχής στο κι [ ][ ] βρείτε τους δυντούς τύπους της ΓΓ/7 Βρείτε τις συνεχείς συνρτήσεις : ( ) ( ) = γι κάθε γι τις οποίες Κ Αδμόπουλος

125 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ισχύει: Συνέχει ( ) ( ) ηµ =, γι κάθε (Δημιουργείστε τυτότητ) ΓΓ/8Αν συνεχής στο [, ] β κι, β [, ], ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ [, β ] ώστε ( ) + ( ) = 5 ( ξ ) (Υπόδειξη: με min κι ma) ΓΓ/9 Aν η συνάρτηση είνι συνεχής στο [, ] β κι,, β, [, ] δείξτε ότι υπάρχει ξ [, β ] τέτοιο ώστε: 6 ( ξ ) = ( ) + ( ) + ( ) (Υπόδ : με minimum κι maimum ) ΓΓ/ Έστω : συνεχής συνάρτηση τέτοι ώστε η C τέμνει = κι (4) = ν τον άξον σε έν κριβώς σημείο Αν () ( + ) ( ) δείξετε ότι η εξίσωση ( + ) + = έχει μί τουλάχιστον λύση στο διάστημ (,) ΓΓ/ Aν συνεχής στο, ( ) γι κάθε κι ( ) (/ ) = 4 Α) Βρείτε το lim + ( ) + + ( ) + (Υπόδειξη: Αφού ( ) η διτηρεί πρόσημο στο άρ είνι ρνητική ) Β) Δείξτε ότι η εξίσωση ( ) ( ) ( ) = έχει μί τουλάχιστον λύση στο, Γ) Δείξτε ότι η εξίσωση ( ) = ( ) 4 έχει μι τουλάχιστον λύση στο διάστημ, (χρησιμοποίησε το ότι 4 = (/ ) ) Γενικές Ασκήσεις ΓΓ/ Έστω οι συνρτήσεις, g με πεδίο ορισμού το Δίνετι ότι η συνάρτηση της σύνθεσης A N δείξετε ότι η g είνι «-» g είνι - Β Δείξτε ότι η εξίσωση: g( ( ) ) g( ( ) ) + = + έχει κριβώς δύο θετικές κι μί ρνητική ρίζ ( ο θέμ Πνελλδ ) ΓΓ/ Έστω συνάρτηση συνεχής στο ώστε γι κάθε ν ισχύει: ( ) + ηµ = ηµ Α) Βρείτε τον τύπο της γι κάθε Β) Ν δείξετε ότι lim ( ) = + Γ) Ν δείξετε ότι η εξίσωση ( ) = έχει μι τουλάχιστον θετική + Κ Αδμόπουλος

126 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ρίζ ΓΓ/4 Έστω συνάρτηση συνεχής στο [,8] Συνέχει ώστε ( ) + () < 7 < (8) + ( ) Αποδείξτε ότι υπάρχουν διφορετικά, (,8) με + = 5 ώστε ( ) + ( ) = 7 (Θεωρήστε h ( ) = (5 ) + ( ) 7 κι Bolzano στο πεδίο ορισμού της) ΓΓ/5 Aν :[,] ώστε ( ) () + () γι κάθε [,]: Α) Δείξτε ότι () = () Β) Δείξτε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον [,] = ώστε ( ) ( ) ΓΓ/6 Δίνετι η συνεχής στο συνάρτηση γι την οποί ισχύει ( ) + ηµ ( ) ότι: lim = A) Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της περνάει πό το σημείο M, ( ) B) Ν βρείτε το ( ) lim + ΓΓ/7 Αν Δίνετι η συνάρτηση με ( ) = ln + Α) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Ν ποδείξετε ότι η είνι συνεχής στο πεδίο ορισμού της Γ) Ν ποδείξετε ότι η ντιστρέφετι κι ν μελετήσετε την προς τη συνέχει Δ) Ν βρείτε τ όρι: lim ( ) κι lim ( ) ΓΓ/8 Δίνοντι οι συνεχείς στο συνρτήσεις κι g γι τις οποίες ισχύουν: i) ( ) γι κάθε ii) Οι γρφικές τους πρστάσεις τέμνοντι στο Α(, ) κι iii) ρ = κι ρ = 5 είνι δύο διδοχικές ρίζες της εξίσωσης g( ) = Ν ποδείξετε ότι: Α) η συνάρτηση διτηρεί στθερό πρόσημο στο Β) ( ),5 Γ) g < γι κάθε ( ) 4 ( ) + + lim = g( ) + 5 ως Κ Αδμόπουλος

127 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Συνέχει ΓΓ/9 Δίνετι η συνάρτηση : ( ) ( ) γι την οποί ισχύει η σχέση: =, γι κάθε Α) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση είνι συνεχής στο (Ν θέσετε = κι ν φιρέσετε κτά μέλη) Β) Αν το σύνολο τιμών της είνι το, ν δείξετε ότι η ντιστρέφετι κι ν βρείτε την Γ) Ν λύσετε την εξίσωση ( ) = Δ) Ν βρείτε τ κοινά σημεί των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων κι ΓΓ/ Δίνετι η συνάρτηση συνεχής στο [,] γι την οποί ισχύει + 4 ( ) = 7 γι κάθε [,] Α) Ν βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης ( ) = Β) Ν ποδείξετε ότι η διτηρεί πρόσημο στο διάστημ (,) Γ) Αν επιπλέον ( ) = 6 ν βρεθεί ο τύπος της Δ) Ν βρείτε το όριο lim ( ) ΓΓ/ Δίνετι η συνεχής συνάρτηση :[, ) + γι την οποί ισχύει: ( ) ηµ + + γι κάθε > Ν βρείτε: Α) Το όριο: lim Β) Το όριο: 7 lim ηµ Γ) Το όριο: lim ( ) Δ) Το ( ) Ε) Αν η δεν έχει ρίζες στο [, + ) βρείτε το: ΓΓ/ Δίνετι η συνεχής συνάρτηση : ( ) = + + γι κάθε, 4 lim () + + () + + γι την οποί ισχύει Α) Ν ποδείξετε ότι η διτηρεί στθερό πρόσημο στο = ν βρείτε τον τύπο της Β) Αν ( ) Κ Αδμόπουλος

128 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ( ) Γ) Ν υπολογίσετε το όριο: lim, < ( ) Δ) Ν υπολογίσετε το όριο: lim, > + 4 ΓΓ/ Δίνετι η συνεχής συνάρτηση : ισχύει: 4 4 ( ) γι κάθε + Συνέχει γι την οποί Α) Ν ποδείξετε ότι: ( ) κι ( ) Β) Ν βρείτε το όριο: lim ηµ Γ) Ν βρείτε το όριο: lim + ηµ ξ, τέτοιο, ώστε ( ξ) ξ= Δ) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ( ) + κηµ, < ΓΓ/4 Αν ( ) = λ, = συνεχής συνάρτηση: , > Α) Ν βρείτε τ κ, λ lim Β) Ν υπολογίσετε το όριο: ( ) + Γ) Ν υπολογίσετε το όριο: lim ( ) Δ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ln( 8 ) ρίζ στο διάστημ (, ) ΓΓ/5 Αν ( ) + = + έχει μί τουλάχιστον 5 6 ( ) ( ),,, 4( ) = συνάρτηση κι κ + ( ),, + ( 4) ηµ g( ) + g : {,} γι την οποί ισχύει: lim = 5 κι τέλος g + = g + γι κάθε, ν βρείτε: ( ) ( ) ( ) Κ Αδμόπουλος

129 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Α) Το κ ν υπάρχει το lim ( ) Β) Το όριο lim ( ) Γ) Το όριο lim g( ) Δ) Το όριο lim g( ) ΓΓ/6 Δίνετι η συνεχής συνάρτηση : Συνέχει γι την οποί ισχύουν οι συνθήκες: ηµ ( ), γι κάθε κι =, γι κάθε ( ) ( ) Α) Ν βρείτε το όριο lim ( ) Β) Ν βρείτε το ( ) Γ) Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της τέμνει τη γρφική πράστση της συνάρτησης g( ) = σε έν τουλάχιστον σημείο με τετμημένη (,) ΓΓ/7Αν, g: συνεχείς κι περιοδικές συνρτήσεις με Τ περίοδο Τ, ν ποδείξετε ότι υπάρχουν,, με Τ = ώστε: ( ) g ( ) = ( ) g ( ) + 4 ΓΓ/8 Δίνετι η συνάρτηση με ( ) = Α) Ν ποδείξετε ότι η είνι γνησίως ύξουσ lim Β) Ν βρείτε το όριο ( ) Γ) Ν βρείτε το όριο lim ( ) + Δ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) γι κάθε κ ΓΓ/9 Δίνετι η συνεχής συνάρτηση : ( ) + συν + ηµ = γι κάθε = κ έχει μί κριβώς ρίζ στο γι την οποί ισχύει: A) Bρείτε τον τύπο της Β) Βρείτε το όριο lim ( ) + Γ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) = έχει τουλάχιστον μι θετική ρίζ ( (π) > φού < π ημ < ημ π ) π 6 π 6 ΓΓ/ Δίνετι η συνεχής κι γνησίως φθίνουσ συνάρτηση γι την ( ) 5 οποί ισχύουν: lim = 4 κι γι κάθε (,) : Κ Αδμόπουλος

130 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ( ) ( ) ( ) ( ) ηµ + + Συνέχει A) Υπολογίστε τ όρι: lim ( ) + κι lim ( ) Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της h ( ) = ( ) ln 4, (,) Γ) Δείξτε ότι η γρφική πράστση της y g ( ) e, = σε έν μόνο σημείο με τετμημένη ( ) ( ) 4 = τέμνει την ευθεί Δ) Βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης, γι κάθε λ ( ) e = e στο διάστημ λ+ 4 ( ) ΓΓ/ Δίνετι η συνεχής συνάρτηση γι την οποί ισχύουν: 4 () 5 + ( ) = ( ) κι γι κάθε κι lim = A) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση g ( ) = ( ) διτηρεί στθερό πρόσημο στο Β) Ν βρεθεί το () Γ) Ν βρεθεί ο τύπος της Δ) Ν βρεθεί το όριο: lim ( ) ΓΓ/ Δίνετι η συνεχής κι γνησίως μονότονη στο [,] συνάρτηση της οποίς η γρφική πράστση διέρχετι πό τ σημεί Α (,6) κι Β (,) Α) Βρείτε το είδος της μονοτονίς της Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης ( ) = κ, με κ Δ) Αποδείξτε ότι υπάρχει μονδικός (,) 9 ( ( ξ )) = 4 ( ) + () + () ξ ώστε: ΓΓ/ Δίνετι η συνάρτηση : (,] με ( ) = ln Α) Εξετάστε την ως προς τη μονοτονί Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Δείξτε ότι υπάρχει έν κριβώς (,] ώστε: ln = Δ) Δείξτε ότι η εξίσωση e + ln = + έχει κριβώς μί ρίζ στο, γι κάθε θετικό ριθμό διάστημ ( ) Κ Αδμόπουλος

131 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓΓ/4 Δίνετι η συνάρτηση + e, ( ) = ln +, > ψ Γ ψ=-χ+ ψ=χ Συνέχει A) Ν δείξετε ότι η συνάρτηση είνι συνεχής κι ν βρείτε το σύνολο τιμών της Β) Ν δείξετε ότι η έχει κριβώς δύο ρίζες ( ) + ( β ) + Γ) Ν δείξετε ότι η εξίσωση + = έχει τουλάχιστον μί ρίζ στο διάστημ (, ) γι κάθε, β { } Δ) Ν βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( ) = λ, γι τις διάφορες τιμές του λ ΓΓ/5 Έστω συνάρτηση : (, + ) με ( ) = + Α) Βρείτε το σύνολο τιμών της Β) Δείξτε ότι υπάρχει η ντίστροφή της κι είνι γνησίως φθίνουσ Γ) Αν η συνεχής βρείτε όρι: ( ) lim + + ( ) ΓΓ/6 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο [,] κι ισχύει: ( ) γι κάθε [,] ν δειχθεί ότι η C τέμνει τις διγώνιες τετργώνου του διπλνού σχήμτος κι ( ) lim + ( ) Α(,) του ΓΓ/7 Δίνετι συνεχής συνάρτηση : γι την οποί ισχύει ( ) ( ) = κι () = ότι: ( ) 5 lim () + () 4 4 Ο Β Α) Ν υπολογίσετε το όριο: + + Β) Αν lim ( ) = 8 ν ποδείξετε ότι η C διέρχετι πό σημείο με τετγμένη e+ Γ) Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της συνάρτησης h( ) = ( ) + συν( π ), τέμνει τον άξον σε έν τουλάχιστον,5 σημείο με τετμημένη στο διάστημ ( ) Δ) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει [ ],5 τέτοιο, ώστε: 9 ( ) = () + (4) + 4 (5) χ Κ Αδμόπουλος

132 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Συνέχει ΓΓ/8 Δίνετι συνεχής συνάρτηση : γι την οποί ισχύει ότι () > κι (4) > Αν τ = κι = είνι διδοχικές ρίζες της εξίσωσης ( ) = κι + + =, τότε: lim () ( ) Α) Ν βρείτε το πρόσημο της στο διάστημ (,) Β) Ν υπολογίσετε το όριο lim ( ) + Γ) Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της τέμνει τον άξον τουλάχιστον σε έν σημείο με τετμημένη μεγλύτερη του 4 ΓΓ/9 Έστω συνάρτηση συνεχής στο [, ] με () + () + () = Α) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g( ) = ( ) + ( + ) Β) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ [, ] τέτοιο, ώστε: ( ξ+ ) = ( ξ ) Γ) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει [,] τέτοιο, () ώστε: ( ) = ΓΓ/4 Έστω συνάρτηση : συνεχής ώστε ν ισχύει: ( ) = ηµ ηµ + συν γι κάθε Α) Δείξτε ότι () = κι lim ( ) = + + Β) Δείξτε ότι η έχει μί τουλάχιστον θετική ρίζ ( ) ( ) + Γ) Βρείτε τ6ο όριο: lim + ( ) e ( ) ( ) Δ) Δείξτε ότι: lim ( ) ln( e ) + = + Κ Αδμόπουλος

133 Μθημτικά Γ' Λυκείου Σ Λ Συνέχεις Συνέχει - Θ Bolzano Eρωτήσεις Θεωρίς (Σωστού Λάθους) Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής στο [ β,, ] η εξίσωση ( ) = δεν έχει ρίζ στο ( β, ) κι υπάρχει ξ ( β, ) ώστε ( ξ ) <, τότε θ ισχύει ( ) < γι κάθε ( β, ) Σ - Λ Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής στο διάστημ [ β,, ] κι πίρνει δύο διφορετικές τιμές ( ), ( ) με, ( β, ), τότε πίρνει όλες τις τιμές μετξύ των ( ) κι ( ) Αν γι μι συνεχή συνάρτηση στο, ισχύει ( ) Σ - Λ = κι ( ) = 4, τότε υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε ( ) = e Σ - Λ 4 Aν η συνάρτηση είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [ β,, ] τότε το σύνολο τιμών της είνι ( ), ( β) Σ - Λ 5 Aν η συνάρτηση είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ [ β,, ] τότε το σύνολο τιμών της είνι ( ), ( β) Σ - Λ 6 Κάθε συνεχής συνάρτηση στο [ β, ] με ( ) ( β), πίρνει μόνο τις τιμές μετξύ των ( ) β Σ - Λ κι ( ) 7 Aν η είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο (,+ ), τότε το σύνολο τιμών της είνι το διάστημ ( lim ( ), lim ( ) + ) + Σ - Λ β Αν η είνι β Σ - Λ, τότε κοντά στο Σ - Λ Αν συνεχής στο κι ( ) γι κάθε κι ( ) >, τότε ( ) > γι κάθε Σ - Λ 8 Έστω μι συνάρτηση συνεχής στο διάστημ [, ] «-» στο [ β,, ] τότε είνι κι γνησίως μονότονη στο [, ] 9 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο με ( ) οι τιμές της είνι ομόσημες του ( ) Κ Αδμόπουλος

134 Μθημτικά Γ' Λυκείου Σ Λ Συνέχεις Αν η συνάρτηση με πεδίο ορισμού έν διάστημ είνι συνεχής κι «-» στο, τότε κι η είνι συνεχής στο ( ) Σ - Λ Κάθε συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το έχει μέγιστη κι ελάχιστη τιμή Σ - Λ, < Η συνάρτηση ( ) =, > D Σ - Λ 4 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση g δεν είνι συνεχής στο, τότε η συνάρτηση + g δεν είνι συνεχής στο Σ - Λ 5 Αν οι συνρτήσεις, g δεν είνι συνεχείς στο σημείο του κοινού πεδίου ορισμού τους, τότε η συνάρτηση + g δεν είνι συνεχής στο Σ - Λ 6 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής σ έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε κι η είνι συνεχής στο Σ - Λ 8 Αν συνεχής στο [, ] κι () =, () = 4, τότε η είνι γνησίως ύξουσ στο (, ) Σ - Λ 9 Έστω συνάρτηση συνεχής στο [, ] υπάρχει ( β) τέτοιο ώστε ( ), β Αν ( ) ( β) >, τότε δεν = Σ - Λ +, > H συνάρτηση ( ) =, < είνι συνεχής στο πεδίο ορισμού της Σ - Λ Αν συνεχής συνάρτηση στο κι g συνεχής στο, τότε η συνάρτηση g είνι πάντ συνεχής στο Σ - Λ Ό,τι γπώ γεννιέτι διάκοπ Ό,τι γπώ βρίσκετι στην ρχή του πάντ Οδυσσές Ελύτης Κ Αδμόπουλος

135 Μθημτικά Κτ/νσης Γ Λυκείου Θεωρί Πργώγων-Ολοκληρωμάτων Πράγωγοι κι ολοκληρώμτ ΠΡΟτάσεις, ΠΑΡτηρήσεις, ΜΕΘοδοι κι ΣΧΟλι ΜΕΘΔ Αν θέλουμε ν πργωγίσουμε μι εκθετική συνάρτηση με μετβλητή βάση κι μετβλητό εκθέτη τότε κάνουμε το μετσχημτισμό: ( ) g ( ) g ( ) ln ( ) = e ([ ] ) ( ) ln ln ( ln ) = e = e = (ln + ) Πχ ( ) ( ) ηµ = e ηµ = e ηµ ( ηµ ln ) = ηµ συν ln + ηµ ln ln Επίσης: ( ) ( ) ΜΕΘΔ Γι ν είνι η ευθεί : y D ώστε: ( ) = +β κι ( ) ε = +β εφπτομένη της C πρέπει ν υπάρχει = Η πρώτη σχέση μς εξσφλίζει ότι η ε κι η C έχουν κοινό σημείο Η δεύτερη σχέση μς εξσφλίζει ότι η ε κι η εφπτομένη της C στο κοινό σημείο τυτίζοντι φού έχουν την ίδι κλίση ΜΕΘΔ Γι ν έχουν οι C κι C g κοινή εφπτομένη στο κοινό τους, y g = g Η πρώτη σημείο Α ( ) πρέπει: ( ) = ( ) κι ( ) ( ) σχέση εξσφλίζει ότι το Α είνι κοινό σημείο των C, C κι η δεύτερη σχέση g εξσφλίζει ότι οι εφπτόμενες των δύο κμπυλών στο Α τυτίζοντι, φού έχουν κοινό σημείο κι τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης ΜΕΘΔ4 Γι ν ποδείξω ότι η εφπτομένη ε της C στο σημείο της Α (, y) εφάπτετι της C g θεωρώ την ε: y ( ) = ( )( ) ε : y = ( )( ) + ( ) κι κολουθώ τη ΜΕΘΔ δηλδή ποδεικνύω ότι υπάρχει Dg ώστε: g g = ( ) = ( )( ) + ( ) κι ( ) ( ) Κ Αδμόπουλος

136 Μθημτικά Κτ/νσης Γ Λυκείου Η πρώτη σχέση μς εξσφλίζει ότι το σημείο, g( ) Θεωρί Πργώγων-Ολοκληρωμάτων ( ) Β της C g επληθεύει την εξίσωση της ε άρ η ε κι η C έχουν κοινό σημείο Η δεύτερη σχέση μς εξσφλίζει ότι η εφπτομένη στο, g( ) ε τυτίζοντι φού έχουν κοινό σημείο το Β κι την ίδι κλίση ΠΑΡΔ Αν δύο συνρτήσεις είνι ίσες τότε έχουν κι ίσες g ( ) Β κι η πργώγους Έτσι έχουμε το δικίωμ ν πργωγίζουμε μι ισότητ συνρτήσεων Δηλδή ν ( ) = g ( ) τότε ( ) = g ( ) Το ντίστροφο δεν ισχύει Αυτό που ισχύει είνι ότι ν δύο συνρτήσεις έχουν την ίδι πράγωγο τότε διφέρουν κτά στθερό ριθμό Δηλδή ν ( ) = g ( ) τότε ( ) = g ( ) + c ΜΕΘΔ5 Γι ν ποδείξω ότι η συνάρτηση έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ ( β, ): i) Εφρμόζω Θ Bolzano γι την στο [ β, ] ή ii) Εφρμόζω Θ Rolle γι μι πράγουσ της στο [ β, ] ή iii) Βρίσκω το σύνολο τιμών της στο [ β, ] κι ποδεικνύω ότι το μηδέν περιλμβάνετι σε υτό ή iv) Mε δοκιμές βρίσκω μι προφνή ρίζ της στο [ β, ] ΜΕΘΔ6 Γι ν ποδείξω ότι η συνάρτηση έχει μί κριβώς ρίζ στο διάστημ ( β, ): Αποδεικνύω με ένν πό τους προηγούμενους τρόπους ότι η συνάρτηση έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο ( β, ) κι στη συνέχει ποδεικνύω ότι η είνι γνησίως μονότονη στο [ β, ] ή δέχομι ότι έχει δύο διφορετικές ρίζες < στο [ β, ] κι εφρμόζοντς Θ Rolle γι την στο [, ] κτλήγω σε άτοπο ΜΕΘΔ7 Γι ν ποδείξω ότι η συνάρτηση έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημ ( β, ): Προσδιορίζω έν σημείο γ με <γ<β με δοκιμές ή χρησιμοποιώντς ΘΜΤ κι στη συνέχει εργάζομι στο κάθε διάστημ [ γ, ] κι [,] γβ όπως κι στην ΜΕΘΕ5 Κ Αδμόπουλος

137 Μθημτικά Κτ/νσης Γ Λυκείου Θεωρί Πργώγων-Ολοκληρωμάτων ΜΕΘΔ8 Γι ν ποδείξω ότι η συνάρτηση έχει το πολύ δύο ρίζες στο διάστημ ( β, ): Δέχομι ότι έχει τρεις διφορετικές ρίζες ρ <ρ <ρ κι εφρμόζοντς το, ρ, ρ βρίσκω ότι υπάρχουν Θεώρημ Rolle στ διστήμτ [ ρ ρ ] κι [ ] δύο τουλάχιστον ρίζες, της με ρ [, ρ ] κι ρ [, ρ ] Αν υτό δεν είνι άτοπο, εφρμόζοντς πάλι Θ Rolle γι την στο [, ] διπιστώνω ότι η έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο (, ) που ποδεικνύετι άτοπο ΣXOΔ Το Θεώρημ Rolle είνι υπρξικό Διπιστώνει πλά την ύπρξη μις τουλάχιστον ρίζς της πργώγου μις συνάρτησης σε έν διάστημ, λλά δεν μπορεί ν προσδιορίσει τον κριβή ριθμό των ριζών λλά ούτε κι ν τις εντοπίσει Το ίδιο ισχύει κι γι το ΘΜΤ Διπιστώνει την ύπρξη ενός σημείου ξ στο διάστημ ( β, ) με την ( β) ( ) ιδιότητ: ( ξ ) = β λλά δεν μπορεί ν ποφνθεί ν είνι μονδικό ούτε μπορεί ν το βρεί Τ ντίστροφ των θεωρημάτων Rolle κι ΘΜΤ δεν ισχύουν γενικά ΜΕΘΔ9 Αν έχουμε μι εξίσωση της μορφής: ( ) + g ( ) ( ) = κι θέλουμε ν της δώσουμε τη μορφή: () =,τότε G( ) πολλπλσιάζουμε με το e όπου G μι πράγουσ της g κι έχω: G( ) G( ) G( ) G( ) ( e ) + e g ( ) ( ) = ( e ) + e G ( ) ( ) = G( ) G( ) G( ) ( e ) + ( e ) ( ) = ( ) e = ηµ Πχ ( ) ( ) ( ) ηµ + συν = e + e συν ( ) = ηµ ηµ ηµ ( ) e + ( e ) ( ) = ( ) e = ΜΕΘΔ Έστω συνάρτηση που ορίζετι στο [ β, ] Αν θέλω ν ποδείξω ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, β ) ώστε ( ξ ) = k με k, υποψιάζομι ΘΜΤ γι την, ή Θ Rolle γι την g( ) = ( ) k ΠΑΡΔ Το γινόμενο ( ) ( ) πό τις ( ) ( ) ή Πχ: ( ) [ ] εμφνίζετι ν πργωγίσουμε μι ( ) ( ) ή ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( ) ( ) Κ Αδμόπουλος

138 Μθημτικά Κτ/νσης Γ Λυκείου Θεωρί Πργώγων-Ολοκληρωμάτων ΜΕΘΔ Aν μου δίνουν νισότητ ( ή ) κι μου ζητούν ν ποδείξω ισότητ τότε χρησιμοποιώ το Θεώρημ Fermat H νισότητ προσδιορίζει τη θέση ενός τοπικού κροτάτου Πχ Αν ln +( ) γι κάθε, δείξτε ότι = Λύση: Έστω ( ) = ln +( ) με D = (, + ) κι ( ) = Τότε η δοσμένη γράφετι: ( ) ( ) () γι κάθε Άρ η στο = προυσιάζει ελάχιστο, είνι πργωγίσιμη κι το είνι εσωτερικό σημείο του D Άρ με Θ Fermat θ είνι () = = = ΣXOΔ Το ντίστροφο του Θ Fermat δεν ισχύει γενικά Έτσι ν ( ) = υτό δεν σημίνει κτνάγκην ότι η συνάρτηση προυσιάζει στο τοπικό κρόττο Θ πρέπει επιπλέον η ν λλάζει πρόσημο εκτέρωθεν του (δηλδή η ν λλάζει είδος μονοτονίς) Πχ Αν ( ) = τότε: ( ) = κι () = Πρόλ υτά η δεν προυσιάζει στο = κρόττο φού η διτηρεί το ίδιο πρόσημο εκτέρωθεν του = ΠΑΡΔ Αν ( ) > γι κάθε τότε στο διάστημ Δ Το ντίστροφο δεν ισχύει γενικά Δηλδή ν στο διάστημ Δ υτό δεν σημίνει κτνάγκην ότι ( ) > γι κάθε, φού μπορεί ν υπάρχουν μεμονωμέν σημεί του Δ όπου η μηδενίζετι Πχ Ενώ η ( ) = είνι γνησίως ύξουσ στο η ( ) = δεν είνι θετική γι κάθε, φού () = ΜΕΘΔ Ψάχνουμε γι τοπικά κρόττ μις συνάρτησης : Στ σημεί που μηδενίζετι η πράγωγός της, Στ σημεί που δεν ορίζετι η, ενώ η είνι συνεχής Στ άκρ κλειστών διστημάτων του πεδίου ορισμού της ΠΑΡΔ4 Αν ( ) > γι κάθε τότε η είνι κυρτή στο διάστημ Δ Το ντίστροφο δεν ισχύει γενικά Δηλδή ν η είνι κυρτή στο διάστημ Δ υτό δεν σημίνει κτνάγκην ότι ( ) > γι κάθε, φού μπορεί ν υπάρχουν μεμονωμέν σημεί του Δ όπου η μηδενίζετι Όμοι ν κοίλη Πχ Ενώ η ( ) = ηµ είνι κυρτή στο ( π,π ) η ( ) = ηµ δεν είνι θετική γι π κάθε ( π, π ), φού = Κ Αδμόπουλος

139 Μθημτικά Κτ/νσης Γ Λυκείου Θεωρί Πργώγων-Ολοκληρωμάτων ΠΑΡΔ5 Αν ( ) = υτό δεν σημίνει κτνάγκην ότι η συνάρτηση προυσιάζει στο σημείο σημείο κμπής Θ πρέπει η ν λλάζει πρόσημο εκτέρωθεν του ή ισοδύνμ η ν λλάζει είδος μονοτονίς 4 Πχ Αν ( ) = τότε: ( ) = κι () = Πρόλ υτά η δεν προυσιάζει στο = σημείο κμπής φού η διτηρεί το ίδιο πρόσημο εκτέρωθεν του = ΜΕΘΔ Γι ν έχει η εξίσωση ( ) = μι τουλάχιστον λύση πρέπει το ν νήκει στο σύνολο τιμών της ΣXOΔ Αν η συνάρτηση είνι κυρτή στο διάστημ Δ τότε η εφπτομένη ε της C σε κάθε σημείο του Δ βρίσκετι κάτω πό τη C Δηλδή ν ε : y = +β η εφπτομένη θ ισχύει: ( ) +β γι κάθε Αν η συνάρτηση είνι κοίλη στο διάστημ Δ τότε η εφπτομένη ε της C σε κάθε σημείο του Δ βρίσκετι πάνω πό τη C Δηλδή ν ε : y = +β η εφπτομένη θ ισχύει: ( ) +β γι κάθε ΜΕΘΔ Γι ν ποδείξω ότι η συνάρτηση είνι στθερή στο διάστημ Δ: Πίρνω τον τύπο της κάνω τις πράξεις που γίνοντι κι ποδεικνύω ότι το ποτέλεσμ είνι νεξάρτητο της μετβλητής Αποδεικνύω ότι γι κάθε, ισχύει: ( ) = ( ) Αν είνι πργωγίσιμη στο Δ ποδεικνύω ότι ( ) = γι κάθε ΜΕΘΔ4 Γι ν βρω το πλήθος των ριζών μις συνάρτησης κτσκευάζω πίνκ μονοτονίς της κι βρίσκω το σύνολο τιμών της σε κθέν πό τ διστήμτ του πίνκ μονοτονίς Κ Αδμόπουλος

140 Μθημτικά Κτ/νσης Γ Λυκείου Θεωρί Πργώγων-Ολοκληρωμάτων Αν στο σύνολο τιμών ενός διστήμτος μονοτονίς περιλμβάνετι το μηδέν, τότε η έχει στο διάστημ υτό κριβώς μί ρίζ Αν δεν περιλμβάνει το μηδέν τότε η δεν έχει σ υτό το διάστημ ρίζ Γι ν βρω το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( ) = βρίσκω το σύνολο τιμών της σε κάθε διάστημ μονοτονίς της Αν το περιλμβάνετι στο σύνολο τιμών της σε έν διάστημ, τότε η εξίσωση ( ) = έχει στο διάστημ υτό κριβώς μί ρίζ Αν δεν περιλμβάνετι, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζ στο διάστημ υτό ΜΕΘΔ4 Γι ν ποδείξω μι νισότητ: Τ περνώ όλ στο ο μέλος, ορίζω την ντίστοιχη συνάρτηση κι τη μελετώ ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ Χρησιμοποιώ ΘΜΤ κι μονοτονί πργώγου γι μι κτάλληλη συνάρτηση (ιδίως ν η νισότητ είνι διπλή) Χρησιμοποιώ την ιδιότητ της εφπτομένης του γρφήμτος μις συνάρτησης ν βρίσκετι κάτω πό τη C ν η είνι κυρτή, ή πάνω πό τη C ν η είνι κοίλη (ιδίως ν έχει προηγηθεί μελέτη κυρτότητς) ΜΕΘΔ5 Αν γνωρίζω την κι έχω ν υπολογίσω το ολοκλήρωμ μις πράγουσάς της (συνήθως της F( ) = () t dt ) τότε χρησιμοποιώ τον τύπο της πργοντικής ολοκλήρωσης Πχ Αν F( ) = () t dt τότε: [ ] / / π/ F ( ) d = F ( ) d = F ( ) F ( ) d = F () ( ) d = π Πχ Γι ν υπολογίσω το ηµ tdt d π/ π/ = ηµ tdt ηµ d κτλ έχω: π ηµ tdt d = ηµ tdt d Κ Αδμόπουλος

141 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι Πράγωγοι " Όσοι δεν γνωρίζουν μθημτικά είνι δύσκολο ν νιώσουν την ουσί κι την ομορφιά, τη βθύτερη ομορφιά της φύσης " Richard Feynman Πράγωγος στο ηµ, ΓΔ/Δίνετι η συνάρτηση ( ) = + ηµ, > Α) Ν μελετήσετε τη συνέχει της στο = Β) Ν εξετάσετε ν η είνι πργωγίσιμη στο = +β +, ΓΔ/A) Αν ( ) = ν βρείτε τις τιμές των +, >, β ώστε η ν είνι πργωγίσιμη στο = + +, B) Όμοι γι την ( ) = +β, < την εξίσωση της εφπτομένης της στο = Επίσης βρείτε C στο σημείο της (, ()) + +β Μ, (,] ΓΔ/Δίνετι η συνάρτηση ( ) = +, (, + ) βρείτε τους, β ώστε ν είνι πργωγίσιμη η στο = + β + + < 6, ΓΔ/4Αν ( ) = + ( +β), ώστε ν ορίζετι η εφπτομένη της C στο =, ν βρεθούν οι, β ΓΔ/5Αν γι κάθε ισχύει: 6 + ( ) 6+ 9, βρείτε την πράγωγο της στο = ΓΔ/6 Αν γι κάθε ισχύει: ηµ ( ) ηµ +, βρείτε την πράγωγο της στο = Επίσης βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της C στο σημείο της (, ()) Μ ΓΔ/7Αν γι κάθε ισχύει: ηµ ( ) +, βρείτε την πράγωγο της στο = Επίσης βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της C στο σημείο της (, ()) Μ Κ Αδμόπουλος

142 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΔ/8Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο = κι ισχύει: ( ) 4 ηµ γι κάθε, ν δειχθεί ότι η είνι πργωγίσιμη στο = ΓΔ/9Αν : με + ( ) + 4 γι κάθε, ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη στο κι ν βρείτε την () ΓΔ/Αν γι κάθε ισχύει: πράγωγο της στο = + +β <, ΓΔ/ Aν ( ) = ηµ +, ορίζετι η εφπτομένη της εξίσωσή της Πράγωγος κι όρι ( ) ηµ, βρείτε την C στο σημείο της (, ()), βρείτε τ, β ώστε ν Μ κι βρείτε την ΓΔ/Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο κι γι κάθε ισχύει: 6ηµ ηµ ( ) ηµ + 9ηµ : Α) Βρείτε το () Β) Δείξτε ότι η είνι πργωγίσιμη στο κι βρείτε την () ( ) ηµ Γ) Υπολογίστε το όριο lim + 4 ( ) + 7 ΓΔ/ Αν : συνεχής με lim =, ν βρείτε: 8 Α) Το () κι Β) Το () φού ποδείξετε ότι η είνι πρ-μη στο ( ) ΓΔ/4 Αν : συνεχής με lim =, ν βρείτε: Α) Το () κι Β) Το () φού ποδείξετε ότι η είνι πρ-μη στο ( ) 4+ Γ) Ν υπολογίσετε το όριο: lim (ν θέσετε u = ) ΓΔ/5 Αν : πργωγίσιμη στο με () = κι () = ν ( ) () υπολογίσετε το όριο: lim ( Προσθφιρέστε το () ) Κ Αδμόπουλος

143 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΔ/6Η συνάρτηση : ( ) σχέση lim = 5 ηµ ν βρεθεί το (), συνεχής στο = κι ικνοποιεί τη Ν δειχθεί ότι η πργωγίζετι στο = κι ΓΔ/7Δίνετι η συνεχής συνάρτηση : ( ) + 7 γι την οποί ισχύει: lim = Α) Βρείτε το () Β) Δείξτε ότι η είνι πργωγίσιμη στο κι βρείτε το () ( ) + ηµ Γ) Υπολογίστε το όριο: lim + 4 ΓΔ/8Δίνετι η συνεχής κι άρτι συνάρτηση : γι την ( ) + 7 οποί ισχύει: lim = Α) Βρείτε το () 4 Β) Δείξτε ότι η είνι πργωγίσιμη στο κι βρείτε το () Γ) Αποδείξτε ότι η είνι πργωγίσιμη στο - κι βρείτε το ( ) ΓΔ/9Αν συνάρτηση είνι συνεχής στο = κι ( ) lim = 5, ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη στο κι ν ( ) 5+ 6 υπολογίσετε το όριο: lim Συνέχει κι πράγωγος ΓΔ/ Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο = κι ισχύει π ( ) ηµ γι κάθε,,, ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g( ) = ( ) είνι πργωγίσιμη στο = κι g () = ΓΔ/ Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο, ποδείξτε ότι η συνάρτηση ( ) g ( ) = + ( ) είνι πργωγίσιμη στο ΓΔ/Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο σημείο =, ν δείξτε ότι η συνάρτηση = g ( ) = ( + 5 ) ( ) είνι πργωγίσιμη στο Κ Αδμόπουλος

144 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΔ/Ν εξετστεί ν είνι πργωγίσιμη στο σημείο = η, συνάρτηση ( ) = Είνι η συνεχής στο = ; +, < Ορίζετι η εφπτομένη της C στο σημείο Α (,) ; ΓΔ/4Μι συνάρτηση είνι συνεχής στο σημείο = κι γι κάθε R ισχύει ( ) + 5 Υπολογίστε τ (), () Μ, () κι την εξίσωση της εφπτομένης στο ( ) ΓΔ/5Αν p ( ) είνι μι συνεχής συνάρτηση στο σημείο = κι ( ) = p ( ), ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη στο = ν κι μόνο ν p () = Πράγωγος πό συνρτησική σχέση (με χρήση του ενλλκτικού ορισμού) ΓΔ/6 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο κι ισχύει γι κάθε : ( ) + ( ) = δείξτε ότι η είνι πργωγίσιμη στο κι βρείτε το () ΓΔ/7 Αν : γι την οποί γι κάθε y, ισχύει: ( + y) = ( ) + ( y) + 4y, κι η είνι πργωγίσιμη στο με () = : Α) Βρείτε το () κι Β) Δείξτε ότι η είνι πργωγίσιμη γι κάθε κι μάλιστ ισχύει: ( ) = 4 + ΓΔ/8Αν : γι την οποί γι κάθε y, ισχύει: ( + y) = ( ) + ( y) + 4y, κι η είνι πργωγίσιμη στο με () = 4, ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη σε όλο το ( Βρείτε το () κι χρησιμοποιήστε τον ενλλκτικό ορισμό γι την πράγωγο) ΓΔ/9Μι συνάρτηση : είνι πργωγίσιμη στο = κι ισχύει ( ) ( ) + ( ) = ηµ γι κάθε Ν ποδειχθεί ότι () = ΓΔ/Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο κι γι κάθε y, ισχύει ( + y) = ( ) + ( y) + 5y δείξτε ότι η είνι πργωγίσιμη σε κάθε ΓΔ/Γι την συνάρτηση ισχύει: ( h) h h h Ν βρείτε το () κι το () + = + +, γι κάθε Κ Αδμόπουλος

145 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΔ/ Έστω συνάρτηση συνεχής στο κι τέτοι ώστε ( + h) lim = A) Βρείτε το () Β) Βρείτε το () h h ΓΔ/Γι την συνάρτηση ισχύει: ( + h) = h+ h h, γι κάθε h Ν βρείτε την κλίση της στο = κι την εξίσωση της εφπτομένης της C στο σημείο M(, ()) ΓΔ/4 Έστω : μι πργωγίσιμη συνάρτηση στο ( h) ( ) Α) Ν δείξετε ότι lim = ( ) h h ( + h) ( h) Β) Ν δείξετε ότι lim = ( ) h h ( + h) ( ) Γ) N δείξετε ότι: lim = ( ) ν η είνι δύο φορές h h πργωγίσιμη Πράγωγος συνάρτηση ΓΔ/5 Βρείτε τις πργώγους των συνρτήσεων: ) ( ) 5 = β) ( ) = γ) δ) ( ) = ε) ( ) = στ) ζ) ( ) = ΓΔ/6 Βρείτε τις πργώγους των συνρτήσεων: ( ) = 5 7 ( ) = ) ( ) = 5+ β) ( ) = 5 γ) ( ) = 4 ηµ + ln δ) ( ) = e ln + συν ΓΔ/7 Βρείτε τις πργώγους των συνρτήσεων: ( ) = + + β) ( ) = ηµ συν ) ( )( ) γ) ( ) = ln δ) ( ) = ηµ ΓΔ/8 Βρείτε τις πργώγους των συνρτήσεων: + + ηµ ) ( ) = β) ( ) = γ) ( ) = + ηµ ηµ Κ Αδμόπουλος

146 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι e δ) ( ) = ε) ( ) = στ) ln ΓΔ/9 Βρείτε τις πργώγους των συνρτήσεων: ) δ) ζ) ( ) = συν ( ) = e + β) ( ) = ηµ γ) ( ) = ηµ e ( ) = + ε) ( ) = e + στ) ( ) = συν ( ) = συν η) ( ) = ln 4 θ) ( ) = ln ηµ ι) ( ) ( ) = ηµ ( + ) ΓΔ/4 Βρείτε τις πργώγους των συνρτήσεων: ) ( ) 5 ( ) = + β) δ) ( ) = ln ε) ζ) ( ) = συν η) θ) ( ) = ln( + ) ( ) ( ) ( ) = = εφ γ) = e στ) e ηµ ΓΔ/4 Βρείτε τις πργώγους των συνρτήσεων: ) ( ) = ηµ β) ( ) = ηµ γ) δ) ( ) ln( ) = + ε) ζ) ( ) ln( ) = + η) ( ) e ( ) ( ) = συν = ηµ ( ) = ln = στ) ( ) = ln ( ηµ ) συν ( ) ln = ηµ + ΓΔ/4Αν πργωγίσιμη συνάρτηση πργωγίστε τις συνρτήσεις: Α) g( ) = ( e + ) Β) g( ) = ( ηµ ) Γ) g ( ) = ( + ) ΓΔ/4 Βρείτε τις πργώγους των συνρτήσεων: 7 Α) ( ) = Β) ( ) = Γ) ΓΔ/44Αν (, ) + πργωγίστε τις συνρτήσεις: Α) ( ) = Β) ( ) ηµ Δ) ( ) = Ε) ( ) = ( ) ΓΔ/45Βρείτε την πράγωγο της ( ) = Γ) ( ) = ( ηµ ) ( ) = ηµ =,, > 5 6 Κ Αδμόπουλος

147 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι + 6 8, ΓΔ/46Βρείτε την πράγωγο της ( ) = e ΓΔ/47 Υπολογίστε το όριο lim (ν ( ) e 4, > = ποιο είνι το () ;) ΓΔ/48 Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο [,], συνεχής στο [,] κι το βρείτε Εφπτόμενες ( ) + 9 lim =, δείξτε ότι υπάρχει το () κι ν ΓΔ/49Βρείτε εφ' όσον ορίζετι, την εφπτομένη της γρφικής + συν, πράστσης ( ) = στο κοινό της σημείο με τον yy ' λ +, > ΓΔ/5 Βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της ( ) = + στο σημείο Α (, () ) ΓΔ/5 Βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της ( ) = + ln στο σημείο Α (, () ) ΓΔ/5 Bρείτε την εφπτομένη της γρφικής πράστσης της ( ) = 4 που είνι πράλληλη στην ευθεί ( δ ):+ y+ = ΓΔ/5 Bρείτε την εφπτομένη της γρφικής πράστσης της ( ) = + που είνι πράλληλη στην ευθεί ( ) : y+ = ΓΔ/54 Bρείτε την εφπτομένη της γρφικής πράστσης της ( ) = + που είνι πράλληλη στην ευθεί ( η ): y = ΓΔ/55 Bρείτε την εφπτομένη της γρφικής πράστσης της ( ) = που είνι πράλληλη στην ευθεί ( δ ): y = ln ΓΔ/56 Αν ( ) = + βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της C που είνι πράλληλη στην ευθεί ( ε ): y = ΓΔ/57 Βρες τ β, ώστε στ σημεί Α (, () ) κι Β (, ()) η γρφική πράστση της ( ) = + + β+ έχει εφπτόμενες πράλληλες στον άξον ' Κ Αδμόπουλος

148 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΔ/58 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = + β, με Βρείτε τις τιμές των κι β γι τις οποίες η γρφική πράστση της διέρχετι πό το σημείο Α(,5) κι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφπτομένης της κμπύλης της στο Α είνι ίσος με 4 ΓΔ/59 Bρείτε την εφπτομένη της γρφικής πράστσης της ( ) = + που είνι κάθετη στην ευθεί ( η ): + y+ = ΓΔ/6 Bρείτε την εφπτομένη της γρφικής πράστσης της ln ( ) = που είνι κάθετη στην ευθεί ( δ ): + y+ = ΓΔ/6 Ποι εφπτομένη της γρφικής πράστσης της ( ) = + + σχημτίζει με τον άξον ' γωνί π /4; ΓΔ/6 Βρείτε την εφπτομένη της ( ) = + + που σχημτίζει με τον γωνί π/4 ΓΔ/6 Ποι εφπτομένη της γρφικής πράστσης της ( ) = + σχημτίζει με τον άξον ' γωνί 5 ; ΓΔ/64 Βρες το ν η εφπτομένη της ( ) = + στο Μ (, () ) σχημτίζει με τον άξον ' γωνί π /4 ΓΔ/65 Βρείτε την εφπτομένη της γρφικής πράστσης της ( ) = που διέρχετι πό το σημείο Μ(, ) ΓΔ/66 Βρες την εφπτομένη της γρφικής πράστσης της ( ) = + e που διέρχετι πό το σημείο Μ (,) ΓΔ/67 Βρείτε την εφπτομένη της γρφικής πράστσης της ( ) = + + που διέρχετι πό το σημείο Α (, ) ΓΔ/68 Έστω η συνάρτηση ( ) 6 = + Ν βρείτε: ) Το πεδίο ορισμού της β) το συντελεστή διεύθυνσης της εφπτομένης της κμπύλης της στο σημείο της με τετμημένη 4 γ) το σημείο στο οποίο η πρπάνω εφπτομένη τέμνει τον άξον y' y δ) τις συντετγμένες του σημείου της κμπύλης της στο οποίο η εφπτομένη της είνι πράλληλη στην ευθεί y = + Κ Αδμόπουλος

149 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΔ/69Δείξτε ότι δεν υπάρχουν σημεί της γρφικής πράστσης της 4 συνάρτησης ( ) =, στ οποί οι εφπτόμενες της C ν είνι μετξύ τους πράλληλες + +β, ΓΔ/7Δίνετι η ( ) = συν, > A) Ν βρεθεί το β ώστε η ν είνι συνεχής στο = Β) Ν βρεθεί το ώστε η ν είνι πργωγίσιμη στο = Γ) Βρείτε την εφπτομένη της C στο σημείο της Α (, () ) Δ) Βρείτε την εφπτομένη της C που είνι πράλληλη στην ( η ):+ y = στ σημεί της με τετμημένη μικρότερη του π ( ) Ε) Υπολογίστε το lim ηµ ΓΔ/7 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = με Δείξτε ότι: Α) Η εφπτομένη της C στο τυχίο σημείο της σχημτίζει με τους άξονες τρίγωνο με στθερό εμβδόν Β) Η πρπάνω εφπτομένη δεν έχει άλλο κοινό σημείο με τη C ΓΔ/7Δείξτε ότι δεν ορίζετι η εφπτομένη της γρφικής πράστσης ηµ, της συνάρτησης ( ) = στο σημείο Ο (,) +, > ΓΔ/7Βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης π π, της ( ) = ηµπ, < στο σημείο της Α (, () ) ΓΔ/74Aν C το διάγρμμ της συνάρτησης ( ) = κι (ε) οι 4 ευθείες y =λ + ν δειχθεί ότι γι κάθε λ το C κι η (ε) τέμνοντι πάντ σε δύο σημεί Κτόπιν δείξτε ότι οι εφπτόμενες σε κθέν πό τ ζεύγη των κοινών σημείων τέμνοντι κάθετ ηµ +, < ΓΔ/75Δίνετι η συνάρτηση ( ) = Ν βρεθούν: e, A) η κλίση της C στο σημείο A(, ()) B) η εξίσωση της εφπτομένης της C στο σημείο Α Κ Αδμόπουλος

150 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΔ/76 Αν : συνάρτηση ώστε γι κάθε ν ισχύει ( ) + 8= + ( + 4) ( ), ν ποδείξετε ότι η ευθεί: ( ε ): y = 4 εφάπτετι στη C κι ν βρείτε το σημείο επφής ΓΔ/77 Αν : συνάρτηση ώστε γι κάθε y, ν ισχύει ( + y) = ( ) ( y) κι η ευθεί ( ε ): y = + είνι εφπτομένη της Μ, () : C στο σημείο ( ) Α) Βρείτε το () Β) Βρείτε το Γ) Βρείτε τον τύπο της (Θέτω y = ) Δ) Βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης που διέρχετι πό το σημείο Α (, 7) Κοινές εφπτόμενες ΓΔ/78Έστω A(, γ ) το κοινό σημείο των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων : ( ) = + +β + κι g ( ) = + + Ν βρείτε τις τιμές των, β γι τις οποίες οι C κι C g έχουν κοινή εφπτομένη στο Α κι έπειτ ν βρείτε την εξίσωση της κοινής εφπτομένης ΓΔ/79 Ν βρεθούν οι πργμτικοί ριθμοί β, ώστε οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων ( ) = ln κι g ( ) = +β + ν έχουν κοινή εφπτομένη σε κοινό τους σημείο που βρίσκετι στην ευθεί ε : = ΓΔ/8 Ν βρεθούν οι πργμτικοί ριθμοί β, ώστε οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων ( ) = +β + κι g ( ) = β ν έχουν κοινή εφπτομένη σε κοινό τους σημείο που βρίσκετι στην ευθεί ε : = ΓΔ/8 Ν βρεθούν οι πργμτικοί ριθμοί β, ώστε οι γρφικές + 4 πρστάσεις των συνρτήσεων β ( ) = κι g ( ) = ν διέρχοντι πό το ίδιο σημείο με θετική τετμημένη στο οποίο ν δέχοντι κοινή εφπτομένη με συντελεστή διεύθυνσης 4 ΓΔ/8 Bρείτε το k ώστε η ευθεί ε : y= + k ν είνι εφπτομένη της κμπύλης της συνάρτησης: ( ) = + Κ Αδμόπουλος

151 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΔ/8 Βρείτε τ, ( ) = + κι κοινό τους σημείο ( ) β ώστε οι γρφικές πρστάσεις των g ( ) = +β ν έχουν κοινή εφπτομένη στο Α, y ΓΔ/84 Βρείτε την κοινή εφπτομένη των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων ( ) = κι g ( ) = 5 ΓΔ/85 Αν, ( ) = ( + 5) g( ) κι ( ) g πργωγίσιμες συνρτήσεις κι ισχύει: g 4 = ποδείξτε ότι οι C, C έχουν κοινή εφπτομένη (Υπόδειξη: Πρτηρήστε ότι ( 4) = g( 4) ) ΓΔ/86 Αν ( ) = + κι g ( ) = + (4 +β ) +, βρείτε τ, β ώστε η εφπτομένη της C στο σημείο της Α (,) ν εφάπτετι της C g ΓΔ/87Αν πργωγίσιμη κι γι κάθε (, ) ( ) ( ) + = ν ποδείξετε ότι η ευθεί ( ) : y g + ισχύει η σχέση: ε = είνι εφπτομένη της C (Υπόδειξη: Πρέπει ν υπάρχει (, + ) ώστε ( ) = o κι ( ) = ) ΓΔ/88 Έστω, g συνρτήσεις με ( ) = g Αν η ευθεί ( η ) : y = εφάπτετι της C g στο = ν βρείτε την εφπτομένη της C στο = ΓΔ/89 Aν τουλάχιστον σημείο (, ( )) ( ) = ln + ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν Μ ξ ξ με ξ (, ) στο οποίο η εφπτομένη της C διέρχετι πό την ρχή των ξόνων ΓΔ/9 Aν ( ) = e ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον σημείο Μ( ξ, ( ξ )) με ξ (, ) στο οποίο η εφπτομένη της C είνι κάθετη στην ευθεί ( η ): + y = ΓΔ/9 Αν οι συνρτήσεις, είνι εφπτομένη της Α) Βρείτε το όριο g είνι πργωγίσιμες κι η ευθεί y = Ο, () : C στο ( ) ( ) ηµ lim ηµ Κ Αδμόπουλος

152 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι 4 Β) Αν g : κι g ( ) ( ) γι κάθε ν δείξετε ότι ορίζετι η εφπτομένη της C g στο Α (, g() ) κι βρείτε την εξίσωσή της ΓΔ/9Αν g πργωγίσιμη συνάρτηση κι g() e εφπτόμενη της συνάρτησης ( ) ( g ( )) Α (, ()) = ν βρεθεί η = + στο σημείο της ( ) + ΓΔ/9Αν συνεχής στο κι lim =, ν ποδείξετε ότι η ευθεί ε : y = είνι εφπτομένη της C στο Μ(, ( )) ΓΔ/94 Δίνοντι οι συνρτήσεις ( ) = κι g ( ) = e + Αν η C τέμνει την ευθεί y = στο σημείο Α κι η C g τον άξον yy στο Β, ν δείξετε ότι η ευθεί ΑΒ είνι κοινή εφπτομένη των C κι στ σημεί Α,Β ντίστοιχ Πργώγιση κι ντίστροφη συνάρτηση ΓΔ/95 Δίνετι η συνάρτηση ( ) e = +, Α) Δείξτε ότι υπάρχει η ντίστροφη συνάρτηση Β) Αν θεωρήσουμε την () είνι πργωγίσιμη βρείτε το ( ) (Πργωγίστε την σχέση ( ( )) = ) Γ) Βρείτε την εφπτομένη της Μ, () 5 ΓΔ/96 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = +, Α) Δείξτε ότι υπάρχει η ντίστροφη συνάρτηση Β) Δείξτε ότι η ΓΔ/97 Αν C στο σημείο ( ) δεν είνι πργωγίσιμη στο = (Πργωγίστε την σχέση ( ( )) = ) ( ) 6 Α, () είνι πράλληλη στην ( δ) : y = : Α) Βρείτε το Β) Αποδείξτε ότι η είνι «-» Γ) Αν η είνι πργωγίσιμη βρείτε την εφπτομένη της C στο ( 5, (5) ) Β C g = + κι η εφπτομένη της στο ( ) Κ Αδμόπουλος

153 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι Ρυθμός μετβολής ΓΔ/98 Η θέση ενός κινητού που κινείτι στον άξον ', συνρτήσει του χρόνου t, δίνετι πό τη σχέση t () = t 6t + 9t 4με t Α) Ποιες χρονικές στιγμές βρίσκετι στην ρχή των ξόνων; Β) Βρείτε την τχύτητά του γι t = Γ) Βρείτε τις θέσεις του κινητού στις οποίες ηρεμεί Δ) Βρείτε την επιτάχυνσή του γι t = ΓΔ/99 Το μήκος ενός ορθογωνίου υξάνετι με ρυθμό 5 / cm s ενώ το πλάτος του ελττώνετι με ρυθμό cm / s Ν βρεθούν: Α) ο ρυθμός μετβολής της περιμέτρου, κι Β) Ο ρυθμός μετβολής του εμβδού του ορθογωνίου ότν το μήκος είνι cm κι το πλάτος cm ΓΔ/Πγοκολών έχει σχήμ κύβου Τη χρονική στιγμή που οι κμές του κύβου είνι cm η κολών ρχίζει ν λιώνει Οι κμές της μειώνοντι νάλογ με στθερό ρυθμό, cm / sec Ν βρεθεί ο ρυθμός μετβολής του εμβδού κι του όγκου του κύβου ΓΔ/Ο όγκος μις σφίρς υξάνει με ρυθμό cm / sec Ν βρεθεί η κτίν της σφίρς τη χρονική στιγμή που η επιφάνει της υξάνει με ρυθμό cm / sec ΓΔ/ Αν Ο (,) Α (,) κι Β (,e ), > κι το υξάνει με ρυθμό cm / s βρείτε το ρυθμό μετβολής του εμβδού Ε του τριγώνου ΟΑΒ ότν = ΓΔ/Δύο σημεί Α κι Β κινούντι στους άξονες Οχ κι Οy ντίστοιχ, με τχύτητες υ Α = m / sec κι υ B = 5 m / sec Βρείτε το ρυθμό μετβολής της πόστσής τους κτά τη χρονική στιγμή που το Α πέχει πό την ρχή των ξόνων 4 m ενώ το Β πέχει πό το Ο, m ΓΔ/4 Έν ποδήλτο βρίσκετι 4km δυτικά πό έν στυροδρόμι κι κινείτι προς υτό με τχύτητ 9 km / h Την ίδι στιγμή έν άλλο ποδήλτο βρίσκετι km βόρει πό το στυροδρόμι κι πομκρύνετι πό υτό με τχύτητ km / h Ν βρείτε το ρυθμό μετβολής της πόστσης των ποδηλάτων υτή τη χρονική στιγμή ΓΔ/5Μι κλεψύδρ δειάζει την άμμο σχημτίζοντς κώνο του οποίου η κτίν ισούτι πάντ με το ύψος του Η άμμος δειάζει με ρυθμό cm / sec Βρείτε το ρυθμό μετβολής της κτίνς του κώνου της άμμου ότν το ύψος του είνι cm Κ Αδμόπουλος

154 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΔ/6Κύλινδρος έχει στθερό όγκο cm κι η κτίν του ελττώνετι με ρυθμό cm / sec Ν βρεθεί ο ρυθμός μετβολής του ύψους του ότν η κτίν του είνι R = cm ΓΔ/7 Σ' ένν κτκόρυφο τοίχο βρίσκετι στερεωμένη, πλάγι, μι νεμόσκλ μήκους 5m Το κάτω μέρος της σκάλς ρχίζει ν γλιστρά με ρυθμό m/ s Τη χρονική στιγμή t που το κάτω μέρος της σκάλς πέχει πό τον τοίχο m, ν βρείτε: Α) Το ύψος που βρίσκετι το πάνω μέρος της σκάλς Β) Το ρυθμό που πέφτει το πάνω μέρος της σκάλς Γ) Το ρυθμό που μετβάλλετι το εμβδόν του τριγώνου που ορίζουν η σκάλ, ο τοίχος κι το έδφος, κι Δ) Το ρυθμό μετβολής της γωνίς που σχημτίζει η σκάλ με τον τοίχο Γ ΓΔ/8Σώμ Σ νέρχετι στο διπλνό Σ κεκλιμένο επίπεδο με τχύτητ m/ s Αν ΑΒ = m κι ΒΓ = m βρείτε το ρυθμό μετβολής του ύψους ΣΕ Α Ε Β ΓΔ/9 Ένς γερνός έλκει οριζόντι έν βρύ ντικείμενο που βρίσκετι στο έδφος, με έν συρμτόσχοινο Η τροχλί του γερνού βρίσκετι σε ύψος m πό το έδφος Αν το συρμτόσχοινο διέρχετι πό την τροχλί με ρυθμό m / min, ν βρεθεί ο ρυθμός με τον οποίο το σώμ πλησιάζει το γερνό τη στιγμή που πέχει πό υτόν 4m ΓΔ/ Ν βρεθεί ο ρυθμός μετβολής του μήκους της σκιάς ενός νθρώπου ύψους 7m ο οποίος πομκρύνετι με τχύτητ m/ s πό μι κολόν, της οποίς η λάμπ φωτίζει πό ύψος 5,m το έδφος ΓΔ/ Σε μι κωνική δεξμενή χύνετι νερό με ρυθμό π m / s Αν το ύψος της δεξμενής είνι m κι το πάνω μέρος της είνι κύκλος κτίνς 5m, ν βρεθεί ο ρυθμός μετβολής με τον οποίο νέρχετι η στάθμη του νερού ότν το βάθος του είνι m M ΓΔ/ Έν μπλόνι Μ που νεβίνει πό το έδφος με τχύτητ 4 m / min, γίνετι ντιληπτό πό ένν πρτηρητή Α σε πόστση m πό το σημείο πογείωσης Ε Βρείτε το ρυθμό θ μετβολής της γωνίς θ κθώς κι το ρυθμό Α m E μετβολής της πόστσης ΑΜ = d, ότν το μπλόνι έχει ύψος = m Κ Αδμόπουλος

155 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΔ/ Σημείο Μ ξεκινώντς πό το σημείο (,) μήκος της κμπύλης y = ηµ με [, ] Ο κινείτι κτά π Ότν το Μ διέρχετι πό το π σημείο Α, η τχύτητ πομάκρυνσής του πό τον άξον yy 6 είνι μον/sec Βρείτε την τχύτητ πομάκρυνσης του Μ πό τον άξον τη στιγμή που διέρχετι πό το Α ΓΔ/4 Κινητό σημείο Μ κινείτι κτά μήκος της κμπύλης y = e κι Α το σημείο της κμπύλης όπου η κλίση της είνι Κθώς το Μ διέρχετι πό το Α η τετμημένη του υξάνει με ρυθμό μον/sec Βρείτε το ρυθμό μετβολής της πόστσης d = ΟΜ με Ο (,), τη χρονική στιγμή που το Μ διέρχετι πό το Α ΓΔ/5 Σημείο Μ( y, ) κινείτι στην κμπύλη με εξίσωση y = έτσι που η τετγμένη του ν υξάνετι με ρυθμό 6 cm / s Ν βρείτε το ρυθμό μετβολής της τετμημένης του ότν = 4cm ΓΔ/6 Έν σημείο Μ( y, ) κινείτι στη γρφική πράστση της συνάρτησης ( ) = ( ) Η τετμημένη του είνι θετική κι πομκρύνετι πό το Ο (,) με ρυθμό μον/sec Ν βρεθεί ο ρυθμός μετβολής της γωνίς που σχημτίζει η εφπτομένη της C στο Μ με τον άξον ' ότν υτή είνι πράλληλη στην ευθεί με εξίσωση y+ = κθώς κι η τετμημένη του Μ τη στιγμή εκείνη ΓΔ/7 Κινητό σημείο Μ κινείτι κτά μήκος της κμπύλης y = ln κι Α e, σημείο της κμπύλης Κθώς το Μ διέρχετι πό το Α η τετμημένη του ελττώνετι με ρυθμό μον/sec Αυτή τη χρονική στιγμή βρείτε το ρυθμό μετβολής της γωνίς θ που σχημτίζει το ΟΜ με τον άξον ΓΔ/8 Σημείο Μ κινείτι στην κμπύλη y =, στο ο τετρτημόριο Η τετμημένη του υξάνει με ρυθμό cm/s Τη χρονική στιγμή που είνι ΟΜ = 9, με Ο(,) ν βρείτε: Α) Το ρυθμό μετβολής της τετγμένης Β) Το ρυθμό μετβολής του εμβδού του ορθογωνίου με τις δύο πλευρές του στους άξονες κι διγώνιο ΟΜ Γ) Το ρυθμό μετβολής της γωνίς θ () t που σχημτίζει το ΟΜ με τον Κ Αδμόπουλος

156 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΘΜΤ κι Θ Rolle ΓΔ/9Δίνετι η συνάρτηση ( ) = + + A Δείξτε ότι γι την εφρμόζετι το ΘΜΤ στο [-,4] Β Ν εφρμόσετε το ΘΜΤ γι την στο διάστημ [-,4] κι ν ερμηνεύσετε γεωμετρικά το ποτέλεσμ ΓΔ/Δίνετι η συνάρτηση ( ) =, Δείξτε ότι η ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘRolle στο διάστημ [, 4] βρείτε το ξ (, 4) γι το οποίο ισχύει '( ξ ) = κι ν δώσετε γεωμετρική ερμηνεί ΓΔ/Δείξτε ότι η εξίσωση πργμτική ρίζ στο διάστημ (,) ΓΔ/Δείξτε ότι η εξίσωση διάστημ (, ) ΓΔ/Δείξτε ότι η εξίσωση e ΓΔ/4Δείξτε ότι η εξίσωση πργμτική λύση = έχει κριβώς μι 5+ = έχει κριβώς μί λύση στο = + έχει μόνο μί πργμτική ρίζ 5 4 ΓΔ/5Ν λυθεί η εξίσωση: e e ΓΔ/6Λύστε την εξίσωση ln + + = έχει κριβώς μί + = = (Υπόδειξη: νζήτησε προφνή λύση) ΓΔ/7A)Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση = ηµ + συν έχει κριβώς δύο πργμτικές ρίζες ( π,) κι (, π ) B) Δείξτε ότι η συνάρτηση στο διάστημ (,) κι μί στο ( ) 4 ( ) = έχει κριβώς δύο ρίζες, μί 4, ΓΔ/8Ν ποδείξετε ότι κάθε εξίσωση της μορφής 4 + +β +γ= με > έχει το πολύ δύο πργμτικές ρίζες 4 ΓΔ/9 Δείξτε ότι η ( ) = έχει το πολύ δύο ρίζες 4 ΓΔ/ Δείξτε ότι η ( ) = έχει το πολύ δύο ρίζες ΓΔ/ Δείξτε ότι η ( ) = + έχει κριβώς μί ρίζ 5 ΓΔ/ Δείξτε ότι η ( ) = + έχει κριβώς μί ρίζ ΓΔ/ Αποδείξτε ότι η συνάρτηση ( ) = + +β με, β κι > έχει κριβώς μί ρίζ στο (Σύνολο τιμών κι Θ Rolle) Κ Αδμόπουλος

157 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι + 6 ΓΔ/4Δίνοντι οι συνρτήσεις ( ) = ( ), g ( ) = ορισμένες στο (,) Ν δειχθεί ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) ώστε οι εφπτόμενες των C κι C στο σημείο με τετμημένη ξ ν είνι πράλληλες Αντιπργώγιση ΓΔ/5 Βρείτε τις συνρτήσεις ν: Α) ( ) = + 4+ κι () = 7 Β) ( ) = + συν κι () = Γ) Δ) ( ) = + κι () = ( ) = 4 + ηµ κι () = g Ε) ( ) = 4 + ηµ κι () 5 + ΣΤ) ( ) = + e κι () e ΓΔ/6 Ν βρείτε συνάρτηση, πργωγίσιμη στο γι την οποί, γι κάθε, ισχύει: 5 Α) ( ) + ( ) = κι () = 4 Β) ( + ) ( ) + ( ) = 6+ κι () = Γ) ( ) = ( ) e κι () = e Δ) Βρείτε την πράγωγο ( e e ) κι τη συνάρτηση γι την οποί ισχύει: ( ) + ( ) = e κι () = ΓΔ/7 Αποδείξτε οτι η ( ) = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ (,) (Υπόδ: με ΘRolle) ΓΔ/8Δείξτε ότι η εξίσωση 4 + ( ) + β =+β με, β έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ (,) ΓΔ/9 Αν β+ γ=, δείξτε ότι η εξίσωση +β +γ= έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο (,) ΓΔ/4 Δείξτε ότι δεν υπάρχουν δύο σημεί της γρφικής 6 4 πράστσης της συνάρτησης ( ) = στ οποί ν έχουμε πράλληλες εφπτόμενες Κ Αδμόπουλος

158 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΔ/4 Αν συνεχής στο [,π ], πργωγίσιμη στο ( ) () ( π ) =π, ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον (, π ) ώστε ( ) + = συν ΓΔ/4 Αν πργωγίσιμη στο [, ] κι () () = ln, ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) ώστε:,π κι ισχύει: ( ξ ) = ξ ξ ΓΔ/4Αν πργωγίσιμη συνάρτηση στο [, ] κι ισχύει: e () = () + e ποδείξτε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον (, ) ώστε ( ) = e e ΓΔ/44 Α) Αν συνάρτηση είνι συνεχής στο [,π ] κι πργωγίσιμη στο (,π ), δείξτε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, π ) ώστε: ( ξηµξ+ ) ( ξσυνξ= ) ΓΔ/45 Αν πργωγίσιμη στο, ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ, ώστε: ( ) ΓΔ/46 Αν πργωγίσιμη στο [ ] ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) ώστε: ξ ( ξ ) = ( ξ) ξ + ΓΔ/47 Αν συνεχής στο [, ] κι () =, ν ποδείξετε ξ ( ξ ) = ( ξ ), κι () = (), ν β κι ( ) γι κάθε ( β, ), ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ( ξ ) ξ (, β ) ώστε: = + ( ξ) ξ β ξ ΓΔ/48 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο [,], πργωγίσιμη στο (,) κι () = () δείξτε ότι υπάρχει (, ) ώστε ( ) '( ) = β κι πργωγίσιμη στο (, ) ΓΔ/49 Αν συνεχής στο [, ], πργωγίσιμη στο ( ) διχοτόμος της γωνίς ˆ Oy τέμνει τη, Αν η C στ σημεί ΑΒ, με τετμημένες Κ Αδμόπουλος

159 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι, ντίστοιχ, ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον (, ) ( ) ώστε: ( ) = ΓΔ/5 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο [, ], πργωγίσιμη στο (, ), () = κι () =, ν ποδείξετε ότι υπάρχει (,) ώστε '( )[ ( ) + ] = ΓΔ/5Αν, g πργωγίσιμες στο κι ισχύει: ( ) = ( β ) = δείξτε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, β ) ώστε: Α) ( ξ ) + ( ξ ) = Β) ( ξ ) + ( ξ ) = Γ) ( ξ ) + ξ( ξ ) = ξ Δ) ( ξ ) = ηµξ( ξ ) Ε) ( ξ+ ) g ( ξ ) ( ξ= ) ΓΔ/5 Αν δύο φορές πργωγίσιμη στο [, ] β, ( ) γι κάθε β [, ] κι ( ) ( β= ) ( β ) (, ) δείξετε ότι υπάρχει έν ξ, β ώστε: ( ξ ) ( ξ> ) τουλάχιστον ( ) (ΘRolle γι την F( ) ( ) ( ) β) = στο [, ] ΓΔ/5Α) Δείξτε ότι μετξύ δύο ριζών της πργωγίσιμης συνάρτησης βρίσκετι μί τουλάχιστον ρίζ της Β) Βρείτε πόσες ρίζες έχει η πράγωγος της ( ) = ( + )( )( + ) κι σε ποι διστήμτ νήκουν ΓΔ/54Αν πργωγίσιμη στο κι ( ) ποδείξετε ότι η είνι γι κάθε, ν (Με εις άτοπο πγωγή) ΓΔ/55Δίνοντι οι συνρτήσεις, g με τις εξής ιδιότητες ) Είνι συνεχείς στο [ β, ] κι πργωγίσιμες στο ( β, ) β) Γι κάθε β [, ] είνι g ( ) κι γι κάθε ( β, ) g'( ) γ) ( β) g( ) ( ) g( β ) = Δείξτε ότι : ( ) Α) γι τη συνάρτηση F( ) = εφρμόζετι το ΘRolle στο [ β, ] g ( ) '( ) ( ) Β) Υπάρχει ( β, ) ώστε = (Πνελλήνιες 9) g'( ) g ( ) Κ Αδμόπουλος

160 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΔ/56Έστω η συνάρτηση συνεχής στο [ β, ] κι πργωγίσιμη ( ) στο ( β, ) Έστω κόμ η g ( ) = e ( )( β ) Ν δειχθεί ότι +β ξ υπάρχει ξ (, β ) ώστε ( ξ ) = ( ξ )( ξ β ) 7 ΓΔ/57Δίνετι η συνάρτηση ( ) = + +µ όπου µ πράμετρος που διτρέχει το Αποδείξτε ότι η εξίσωση ( ) = δεν μπορεί ν έχει δύο διφορετικές ρίζες στο (, ) (Πνελλήνιες 9) ΓΔ/58 Αν το σημείο Μβ (, ) νήκει στον κύκλο C: ( ) + y = δείξτε ότι η εξίσωση( ) + β = έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ (,) ΓΔ/59 Έστω συνάρτηση πργωγίσιμη στο [,] με συνεχή πράγωγο στο [,] κι τέτοι ώστε ν ισχύουν: () = () + κι () > Δείξτε ότι : A) Αν g ( ) = ( ) τότε υπάρχει έν τουλάχιστον σημείο της C στο οποίο η εφπτομένη ν είνι πράλληλη g στον ' B) Υπάρχει έν τουλάχιστον (,) τέτοιο που ( ) = (Υπόδειξη: με Θ Bolzano στο [, ] όπου το σημείο που βρήκτε στο ερώτημ A) ΓΔ/6Αν η συνάρτηση είνι τρεις φορές πργωγίσιμη στο διάστημ [ β, ] κι ισχύουν : ( ) = ( β ) κι '( ) = '( β ) = ν ποδειχθεί ότι η έχει δύο τουλάχιστον ρίζες κι η έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο ( β, ) ΓΔ/6 Αν η συνάρτηση είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο [,] κι ισχύει: () = () + () ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον (,) τέτοιο που ( ) = (Υπόδειξη : ΘΜΤ κι Rolle) ΓΔ/6 Αν δύο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση στο [, ] β,κι ( β ) = ( ) + ( )( β ), δείξετε ότι η εξίσωση ( ) = έχει μι β, (ΘΜΤ γι την κι Θ Rolle γι την στο[, ] τουλάχιστον λύση στο ( ) ξ ) Κ Αδμόπουλος

161 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΔ/6 Aν η συνάρτηση είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο [,] κι (), (), () είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου, ποδείξτε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον (,) τέτοιο που ( ) = ΓΔ/64 Έστω (Υπόδειξη: ΘΜΤ κι Rolle) > κι η δύο φορές πργωγίσιμη στο [, ] συνάρτηση ϕ Αν ϕ () = ϕ( ) + ϕ( ), ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο που ϕ''( ξ ) = ΓΔ/65 Aν η συνάρτηση είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο [ β, ] +β κι ( ), ( ), ( β ) είνι διδοχικοί όροι ριθμ προόδου, ποδείξτε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ( β, ) τέτοιο που ( ) = ΓΔ/66 Αν η συνάρτηση είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο κι υπάρχουν τρί σημεί της δύο τουλάχιστον σημεί της C συνευθεικά, ν ποδείξετε ότι υπάρχουν C στ οποί οι εφπτόμενες ν είνι πράλληλες κι έν τουλάχιστον ξ ώστε ν ισχύει ( ξ ) = (Υπόδειξη : ΘΜΤ κι Rolle) ΓΔ/67 Αν δύο φορές πργωγίσιμη στο, ( π ) = ( π ) = π κι () =, δείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ ( π, π ) ώστε: ( ξ ) = ηµξ (δύο ΘRolle γι την G ( ) = ( ) ΓΔ/68 Αν πργωγίσιμη στο [, ], () Δείξετε ότι: ηµ στ [ π,] κι [ ] = κι () = 4 Α) Yπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) ώστε: () ξ = ( ) B) Yπάρχουν ρ, ρ (, ) ώστε: ( ) ( ) 4 ΓΔ/69 Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: () 9 () ξ ξ,π ) ξ (Θ Bolzano) ρ ρ = (ΘΜΤ στ [, ],[, ] ξ ξ ) γι την οποί ξ, ξ, ώστε Ν ποδείξετε ότι υπάρχουν (Το διάστημ έχει πλάτος δ 9 κι με πλάτη: δ 9, δ 9 6, οπότε χωρίζω το κι ΘΜΤ στ, 4 κι ΓΔ/7 Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: () 9 () 4 ρ 5 ρ 9 4, ), σε δύο διστήμτ γι την οποί ρ,ρ, ώστε Ν ποδείξετε ότι υπάρχουν Κ Αδμόπουλος

162 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι (Το διάστημ έχει πλάτος δ 9 κι με πλάτη: δ 9 4, δ , οπότε χωρίζω το κι ΘΜΤ στ, 5 κι 5, ) ΓΔ/7 Α Έστω συνάρτηση πργωγίσιμη στο [,5 ] με () = (5) Ν ποδείξετε ότι υπάρχουν ρ, ρ (,5) ώστε ( ρ ) + ( ρ ) = (Το διάστημ έχει πλάτος δ 5 4 κι 4, οπότε χωρίζω το πλάτη: δ 4, δ κι ΘΜΤ στ, 4 κι 4,5 ) ΓΔ/7 Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: (5) 8 (), σε δύο διστήμτ, 5 σε δύο διστήμτ με γι την οποί ξ,ξ,ξ,5 Ν ποδείξετε ότι υπάρχουν διφορετικά νά δύο ώστε ξ ξ ξ 4 (Το διάστημ έχει πλάτος δ 5 κι 6, οπότε χωρίζω το διστήμτ με πλάτη: δ, δ 4 δ ,5 ) 5,9 κι,5 σε τρί,5, οπότε ΘΜΤ στ ΓΔ/7 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο [ β,, ] πργωγίσιμη στο ( β, ) κι ( ) = ( β ) ν ποδειχθεί ότι υπάρχουν, ( β, ) ώστε ( ) ( ) + = (Το διάστημ έχει πλάτος δ β κι, οπότε χωρίζω το πλάτη: δ (β ), δ (β ) οπότε ΘΜΤ στ β,β ),β σε δύο διστήμτ με β, (β ), κι ΓΔ/74 Αν δύο φορές πργωγίσιμη στο [, ], κι ισχύει: ( ) ( ) + = +, γι κάθε [,] ( ) ( ) e έν τουλάχιστον (,) ξ ώστε: ( ξ ) = ΓΔ/75 Αν δύο φορές πργωγίσιμη στο [, ] Αν γ (, β ) κι () γ <, δείξτε ότι υπάρχει (, ) ΓΔ/76 Έστω συνάρτηση συνεχής στο [, ] :Δείξτε ότι υπάρχει ( ΘΜΤ στ [, ],[, ] κι ΘRolle ) β με ( ) = ( β ) = ξ β ώστε: ( ξ ) > ( ΘΜΤ) β κι πργωγίσιμη στο ( β, ) Αν ( ) = β κι ( β ) =, ποδείξτε ότι υπάρχει έν Κ Αδμόπουλος

163 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι τουλάχιστον σημείο (, ( )) Αξ ξ της C στο οποίο η εφπτομένη ν είνι κάθετη στην ευθεί ε : y+ = ΓΔ/77 Αν η συνάρτηση είνι δυο φορές πργωγίσιμη στο διάστημ [,] κι ισχύουν : () = () + k κι () = () = k, ν ποδείξετε ότι υπάρχουν, (,) με κι ( ) = ( ) (Υπόδειξη: ΘΜΤ κι Rolle) ΓΔ/78 Έστω συνεχής στο [ β, ] κι πργωγίσιμη στο (, ) Δείξτε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, β ) ώστε ΓΔ/79 Αν, '( ξ ) = β ( ) ( ξ) ξ β g πργωγίσιμες στο [ β, ] με >, ( ) = ( β ) =, κι ( ) g ( ) γι κάθε [ β,, ] δείξτε ότι υπάρχει έν ( ρ) g ( ρ) τουλάχιστον ρ (, β ) ώστε + = ( ρ) g( ρ) ρ (Θ Rolle γι την ( ) g ( ) h ( ) = ) ΓΔ/8 Aν δύο φορές πργωγίσιμη στο [ δ, ], <β<γ<δ κι ( β ) < ( ) < ( δ ) < ( γ ), ν ποδείξετε ότι: Α) Η συνάρτηση έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημ (, ) β βγ γδ οπότε ρ ( ρ ) ( ρ ) ( ΘΜΤ στ [, ],[, ],[, ] [ ρ, ρ ],[ ρ, ρ ] κτλ) δ ( ) <, >, <, Bolzano στ Β) Η συνάρτηση έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο ( δ, ) ΓΔ/8 Έστω δυο φορές πργωγίσιμη στο διάστημ [, ] β Αν κνέν πό τ ( ), ( β ) δεν είνι η μέγιστη ούτε η ελάχιστη τιμή της στο [ β,, ] δείξτε ότι η έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο ( β, ) (Αν ( γ ) = m κι ( δ ) = M τότε γδ, εσωτερικά του [, ] ΘΜΤ κι μονοτονί πργώγου β ) ΓΔ/8 (Ανισότητ Jensen) Αν συνεχής στο [,5 ] πργωγίσιμη στο (,5 ) κι η είνι γν ύξουσ, δείξτε ότι : () (5) () (4) ΓΔ/8 Ν ποδείξετε ότι e < < e γι κάθε > + > + (Υπόδειξη: Με ΘΜΤ στο [, ] γι την ( ) = e κι πίρνοντς υπόψη ότι ) Κ Αδμόπουλος

164 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι < + < + ΓΔ/84 Ν ποδείξετε ότι ln( ) γι κάθε > ln( + ) (Υπόδειξη: Είνι < < άρ ΘΜΤ στο [, + ] γι την ( ) = ln κι πίρνοντς + υπόψη ότι ) ΓΔ/85 Ν ποδείξετε ότι + < ln < + γι την ( ) = ln κι πίρνοντς υπόψη ότι ) ΓΔ/86 Ν ποδείξετε ότι γι κάθε > ln γι κάθε ΓΔ/87 Ν ποδείξετε ότι ΓΔ/88 Ν δείξετε ότι: ΓΔ/89 Ν ποδείξετε ότι ΓΔ/9 Ν ποδείξετε ότι e e συν < ηµ < γι κάθε (, π ) < + < γι κάθε > + π < εϕ < γι κάθε, συν + < < + γι κάθε < ΓΔ/9 Σ' ένν γών δρόμου δύο θλητές τερμτίζουν τυτόχρον Αποδείξτε ότι υπάρχει μι τουλάχιστον χρονική στιγμή στη διάρκει του γών κτά την οποί οι δύο θλητές είχν την ίδι τχύτητ (Υπόδειξη: Έστω (), t gt () το διάστημ που έχουν δινύσει οι δύο θλητές τη χρονική στιγμή t κι εφρμόστε ΘRolle γι την ht () = () t gt ()) Κ Αδμόπουλος

165 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι `````````````````````````````````` Eφρμογές των Πργώγων (Συνέπειες του ΘΜΤ) Τ μθημτικά σωστά ιδωμέν, κτέχουν όχι μόνο λήθει λλά κι εξιρετική ομορφιά, μι ομορφιά ψυχρή κι υστηρή, όμοι γλυπτού που δεν γοητεύει το δύντο μέρος της φύσης μς, χωρίς τις υπέροχες πγίδες της ζωγρφικής κι της μουσικής, όμως εξίσι κι κθρή κι ικνή γι υστηρή τελειότητ, τέτοι που μόνο η μέγιστη τέχνη μπορεί ν μς προσφέρει Bertrand Russel Στθερή συνάρτηση ΓE/ Aν γι την πργωγίσιμη συνάρτηση ισχύει: ( ) = ηµ ( ) γι κάθε : Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση g ( ) ( e ) συν Β) Αν () = βρείτε την = είνι στθερή ΓE/ Aν γι την πργωγίσιμη συνάρτηση : (, ) ( ) = ( ) γι κάθε > : Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση g ( ) = ( e ) είνι στθερή Β) Αν () = βρείτε την + ισχύει: ΓE/ Έστω μι συνάρτηση : (, π) η οποί είνι πργωγίσιμη κι ισχύουν ( ) = σϕ ( ) γι κάθε (, ) π = Α) Ν δείξετε ότι η συνάρτηση Β) Ν βρείτε τον τύπο της ( ) g ( ) = είνι στθερή ηµ π κι ΓE/4 Έστω δύο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση στο κι F( ) = ( ) + [ ( ) ] Αν γι κάθε ισχύει ( ) + ( ) = δείξτε ότι η F είνι στθερή Βρείτε επίσης τον τύπο της ν () = κι () = ΓE/5 Aν γι την πργωγίσιμη συνάρτηση ισχύει: ( ) = ( ) γι κάθε : Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση g ( ) = ( ) + ( ) είνι στθερή (Στη δοσμένη θέστε όπου το ) Κ Αδμόπουλος

166 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι Β) Αν () = βρείτε την g ΓE/6 Aν γι τις πργωγίσιμες συνρτήσεις, g () =, ( ) = g ( ), g ( ) = ( ) τότε: g ισχύουν: () =, i) Δείξτε ότι η συνάρτηση h ( ) = ( ) g( ) είνι στθερή ii) Δείξτε ότι ( ) = g ( ) iii) Βρείτε τις, g ( ( ) g( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + = κι πολλ με το ΓE/7 Βρείτε την πργωγίσιμη συνάρτηση ν ( ) = ( ) γι κάθε κι () = (Πολλπλσιάστε επί ) ΓE/8 Aν πργωγίσιμη, ( ) ( ) = γι κάθε κι () =, βρείτε την συνάρτηση ΓE/9 Aν g ( ) = ( e ) κι ( ) = ( ) γι κάθε, τότε δείξτε ότι η g είνι στθερή κι βρείτε την ν είνι () = ΓE/ Βρείτε την πργωγίσιμη συνάρτηση : κι () ( ) ( ) e ΓE/ Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: ( )e κι η εφπτομένη της ν ισχύει: γι την οποί C στο σημείο της Α, () τέμνει τον άξον στο σημείο με τετμημένη e Βρείτε: Α) Την εξίσωση της εφπτομένης Β) Τον τύπο της ΓE/ Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: γι την οποί e e ( ) ( ) γι κάθε Αν η εφπτομένη της e Α, () διέρχετι πό το σημείο Β(,) ν βρείτε: C στο σημείο της Α) Την εξίσωση της εφπτομένης Β) Τον τύπο της ΓE/ Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση :, γι την ( ) οποί ισχύει: ( ) γι κάθε κι () ( ) Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση g ( ) είνι στθερή στο, Β) Βρείτε τον τύπο της Γ) Δείξτε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ, ώστε: ξ (ξ) e e ) Κ Αδμόπουλος

167 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι Μονοτονί ΓE/4 Βρείτε τ διστήμτ μονοτονίς των συνρτήσεων: A) ( ) = 4+ B) ( ) = Γ) ( ) = e Δ) ( ) = + Ε) ( ) = ΣΤ) ( ) = ln Ζ) ( ) = e Η) ( ) = ηµ ΓE/5 Μελετήστε ως προς τη μονοτονί τις συνρτήσεις: Α) ( ) = Β) ( ) + = + Γ) ( ) = 4 Δ) ( ) Ε) ( ) ln 5 4ln ΓE/6 Βρείτε τ διστήμτ μονοτονίς των συνρτήσεων:, Α) ( ) = Β) ( ) = +, > ΓE/7 Βρείτε τις τιμές του γι τις οποίες η συνάρτηση ( ) = + + είνι γνησίως ύξουσ στο Επίσης ποδείξτε ότι η ( ) = έχει κριβώς μί λύση στο (,), ν << e ΓΕ/8 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = + Α) Ν μελετήσετε την ως προς τη μονοτονί Β) Ν ποδείξετε ότι e + γι κάθε ΓΕ/9 Α) Ν ποδείξετε ότι e γι κάθε Β) Αν ( ) > γι κάθε, ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) h ( ) = e ( ) είνι γνησίως ύξουσ στο ΓΕ/ Αν γι τη συνάρτηση g ισχύει ότι ( g ) ( ) g ( ) [,] ν δείξετε ότι g () > < γι κάθε +λ ΓΕ/ Γι ποιες τιμές του λ η συνάρτηση ( ) = + γνησίως φθίνουσ στ διστήμτ του πεδίου ορισμού της ΓΕ/ Έστω η συνάρτηση ( ) e είνι = Μελετήστε την ως προς τη μονοτονί κι ποδείξτε ότι η ( ) = έχει κριβώς μί λύση στο διάστημ (, + ) Κ Αδμόπουλος

168 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΕ/ Αν γι την ισχύει ( ) ( ) < γι κάθε Μελετήστε την μονοτονί της g ( ) = e ( ), Αν () =, ν ποδειχθεί ότι ( ) > e γι κάθε > ΓΕ/4 Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο διάστημ [,] με < ( ) < κι ( ) > γι κάθε [,], ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) = e ( ) έχει κριβώς μί λύση στο διάστημ (,) 5 ΓΕ/5 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = +µ + ( µ+ ) όπου η πράμετρος µ διτρέχει το Α) Αποδείξτε ότι η είνι γνησίως ύξουσ Β) Βρείτε τ lim ( ), lim ( ) κι το σύνολο τιμών της + Γ) Αποδείξτε ότι η ( ) = έχει κριβώς μι λύση στο ΓΕ/6 Α) Μελετήστε ως προς τη μονοτονί τη συνάρτηση ( ) ln = + κι λύστε την νίσωση ( ) ln ln < Β) Μελετήστε ως προς τη μονοτονί τη συνάρτηση g ( ) = e + ΓΕ/7 Βρείτε τ διστήμτ μονοτονίς της συνάρτησης ( ) κι ν ποδείξετε ότι e γι κάθε (, + ) = e ΓΕ/8 Μελετήστε ως προς τη μονοτονί τη συνάρτηση ηµ ( ) = κι ποδείξτε ότι: ( + συν ) > ηµ γι κάθε + συν > Ακρόττ ΓΕ/9 Βρείτε τ τοπικά κρόττ των συνρτήσεων: 4 Α) ( ) = Β) ( ) = 4 Γ) ( ) = Δ) ( ) = Ε) ( ) = ΣΤ) ( ) = + + ΓΕ/ Βρείτε τ τοπικά κρόττ των συνρτήσεων: 4 + < Α) ( ) = Β) ( ) = , <, Κ Αδμόπουλος

169 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΕ/Βρες τ β, ώστε η γρφική πράστση της ( ) = + β+ ν έχει κρόττο γι = κι η εφπτομένη ( ) στο σημείο, ( ) Μ σχημτίζει με τον άξον ' γωνί θ ώστε εϕθ = ΓΕ/ Δίνετι η συνάρτηση ( ) = + +β που μηδενίζετι στο = κι προυσιάζει τοπικό κρόττο στο = Α) Βρείτε τ, β Β) Βρείτε το είδος του κροτάτου κι την τιμή του ΓΕ/ Βρείτε τ, β ώστε η ( ) = ln +β + ν προυσιάζει τοπικά κρόττ στ σημεί = κι = Στη συνέχει ν βρείτε τις τιμές υτών των κροτάτων ΓΕ/4 Βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς β, ώστε η συνάρτηση ( ) = +β 6+ ν δέχετι τοπικά κρόττ στ σημεί = κι = Μελετήστε κτόπιν τη μονοτονί της συνάρτησης ΓΕ/5 Α) Αν ( ) ( ) y y γι κάθε y, κι v θετικός κέριος, ποδείξτε ότι η είνι στθερή συνάρτηση v (Υπόδειξη: Είνι ΓΕ/6Β) Aν ( ) ( y) + ( y) ( ) ( y) v y y συν γι κάθε y,, ποδείξτε ότι η είνι στθερή συνάρτηση ΓΕ/7 Ν βρείτε το σημείο της πρβολής με εξίσωση τη μικρότερη πόστση πό την ευθεί y = ΓΕ/8 Έστω σημείο ( y, ) y = έχει Μ του ου τετρτημόριου της γρφικής πράστσης της ( ) = Από το Μ φέρνω πράλληλες προς τους άξονες κι yy που τους τέμνουν στ σημεί ΑΒ, Βρείτε το Μ ώστε το εμβδόν του ορθογωνίου ΟΑΜΒ ν είνι μέγιστο ΓΕ/9 N βρείτε το σημείο της πρβολής y = που πέχει πό το σημείο Α (,) τη μικρότερη δυντή πόστση Πλήθος ριζών ΓΕ/4 Δείξτε ότι η εξίσωση: στο (,) ln + = έχει κριβώς μί ρίζ Κ Αδμόπουλος )

170 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΕ/4A) Ν δειχθεί ότι η εξίσωση + ln = έχει μί κριβώς λύση στο διάστημ, e ΓΕ/4 Δίνετι η εξίσωση 4e + + =, Ν βρεθεί το πλήθος των ριζών της στο διάστημ (,) ΓΕ/4 Η συνάρτηση :[,] [,] είνι συνεχής στο [,] κι γνησίως φθίνουσ Δείξτε ότι η εξίσωση ( ) = έχει μί κριβώς ρίζ στο [,] ΓΕ/44 Δείξτε ότι η εξίσωση ηµ = + έχει μί μόνο ρίζ στο π διάστημ, ΓΕ/45 Βρείτε το πλήθος των ριζών της των συνρτήσεων: ( ) = 6 8 6,, h ( ) = 6 8 κι 4 g ( ) = ΓΕ/46 Βρείτε το πλήθος των ριζών της 5 κι το πλήθος των ριζών της ( ) = ΓΕ/47 Βρείτε το πλήθος των ριζών της το πλήθος των ριζών της g ( ) = 6 ( ) = + + κθώς g ( ) = + κθώς κι ΓΕ/48 Βρείτε το πλήθος των ριζών της h ( ) = + κθώς κι το πλήθος των ριζών της h ( ) = 4 4 ΓΕ/49 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = + ( ), Α) Ν μελετήσετε την ως προς τη μονοτονί Α) Ν βρείτε το σύνολο τιμών της 4 4 Β) Ν βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης λ +λ( ) =, λ ΓΕ/5 Έστω η συνάρτηση ( ) = e + + ln Α) N εξετάσετε την ως προς την μονοτονί Β) Ν βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Ν δείξετε ότι η έχει μί κριβώς ρίζ στο (,) Κ Αδμόπουλος

171 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΕ/5 Δίνετι συνάρτηση πργωγίσιμη στο γι την οποί ισχύει: ( ) + ( ) + ( ) = e e γι κάθε Α) Ν μελετήσετε την ως προς τη μονοτονί Β) Ν λύσετε την εξίσωση ( ) = Γ) Ν βρείτε το πρόσημο της ΓΕ/5 Αν : [, ] συνεχής κι + ( ) = 4 γι κάθε [,] κι η C τέμνει τον άξον yy στο σημείο Α (,) : Α) Βρείτε τις ρίζες της Β) Δείξτε ότι ( ) > γι κάθε (,) ( ) Γ) Βρείτε τον τύπο της Δ) Υπολογίστε το όριο: lim ηµ ηµ ΓΕ/5 Λύστε την + 4 = 5 με Μονοτονί με νώτερες πργώγους ΓΕ/54 Μελετήστε ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ τη συνάρτηση: ( ) = 6e + 6 ΓΕ/55 Μελετήστε ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ τη συνάρτηση: ( ) = e + ΓΕ/56 Μελετήστε ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ τη 4 συνάρτηση: ( ) = 4e ΓΕ/57 Αν ( ) ( ) ln ( ) = + μελετήστε την ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ ΓΕ/58 Αν ( ) = e μελετήστε την ως προς τη 6 μονοτονί κι τ κρόττ κι λύστε την εξίσωση: ( ) = ΓΕ/59 Μι συνάρτηση είνι τρεις φορές πργωγίσιμη στο, () = () = () = κι ( ) > γι κάθε {} ) Μελετήστε τη μονοτονί της κι β) Ν ποδείξετε ότι οι εξισώσεις ( ) = κι ( ) = έχουν μονδική ρίζ ΓΕ/6 Μελετήστε ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ τη συνάρτηση ( ) = e + e + κι λύστε την εξίσωση: ( ) = ΓΕ/6 Aν ( ) = ln + + λύστε την εξίσωση: 6 ( ) = Κ Αδμόπουλος

172 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΕ/6 Ν λυθεί η εξίσωση 6 ln = (Υπόδειξη: ( ) = 6 ln + 6 βρείτε τις η, η κι η πράγωγο κι πρτηρήστε ότι () = ) ΓΕ/6 Μελετήστε ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ τις ln e συνρτήσεις: ( ) = +, g ( ) =, h ( ) = ln ln ln( + e ) ϕ ( ) =, k ( ) = e ΓΕ/64 Αν η συνάρτηση είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο [ ], με ( ) > γι κάθε (,) κι () = () =, ν ποδείξετε ότι ( ) < γι κάθε (,) (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το Θ Rolle) Προβλήμτ ΓΕ/65Από όλ τ ορθογώνι με περίμετρο m ν βρείτε εκείνο που έχει το μεγλύτερο εμβδόν ΓΕ/66 Από όλ τ ορθογώνι με εμβδόν 6m ν βρείτε εκείνο που έχει τη μικρότερη περίμετρο ΓΕ/67Μι βιομηχνί κθορίζει την τιμή πώλησης () Π κάθε μονάδς ενός προϊόντος συνρτήσει του πλήθους μονάδων πργωγής σύμφων με τον τύπο: Π ( ) = 95 Το κόστος πργωγής νά μονάδ προϊόντος είνι δρχ κι επιπλέον η βιομηχνί πληρώνει φόρο 6 δρχ νά μονάδ προϊόντος Πόσες μονάδες πρέπει ν πράγει η βιομηχνί, ώστε ν έχει το μέγιστο κέρδος ΓΕ/68 Ισοσκελές τρίγωνο είνι εγγεγρμμένο σε κύκλο κτίνς cm Έστω cm το μήκος των ίσων πλευρών του κι θ η γωνί που σχημτίζουν Α) Ν ποδείξτε ότι το εμβδόν του τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε = ( + συνθ) ηµθ (χρησιμοποιήστε Ν Συνημιτόνων) Β) Βρείτε την τιμή του θ (, π ) ώστε το εμβδόν του τριγώνου ν γίνετι μέγιστο Γ) Αν η γωνί θ υξάνει με ρυθμό rad/sec ν βρείτε το ρυθμό μετβολής του μήκους των ίσων πλευρών τη στιγμή που το τρίγωνο γίνετι ισόπλευρο Κ Αδμόπουλος

173 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΕ/69Α) N βρείτε το σημείο της γρφικής πράστσης της 9 συνάρτησης y = που πέχει πό το σημείο Α, τη μικρότερη δυντή πόστση Β) N βρείτε το σημείο της γρφικής πράστσης της y = που πέχει πό το σημείο Α (,) τη μικρότερη δυντή πόστση ΓΕ/7 Έν ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους cm είνι εγγεγρμμένο σε τρίγωνο ΑΒΓ βάσης ΒΓ= cm κι ύψους ΑΔ=5 cm Α) Αποδείξτε ότι το εμβδόν Ε κι η περίμετρος Ρ του ορθογωνίου ως συνάρτηση του δίνοντι πό τους τύπους: Ε ( ) = κι Ρ ( ) = με (,5) Β) Έστω ότι το ύψος του ορθογωνίου υξάνετι με στθερό ρυθμό Ν βρείτε τις διστάσεις του ορθογωνίου γι τις οποίες τ μέτρ του ρυθμού μετβολής του εμβδού κι της περιμέτρου ν είνι ίσ 4 Γ) Ν δείξετε ότι η εξίσωση +Ρ ( ) =Ε ( ) + έχει τουλάχιστον μι ρίζ στο διάστημ (, ) Δ) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο που Ε ( ξ) Ε( ξ) 5 = ξ 5 ( ο θέμ επνληπτικών Πνελλδ 7) ( ) ΓΕ/7Χωρίζουμε έν ευθύγρμμο τμήμ μήκους 6 cm σε δύο τμήμτ κι κτσκευάζω με υτά δύο τετράγων Ν βρείτε πως πρέπει ν χωριστεί το ρχικό ευθύγρμμο τμήμ, ώστε το συνολικό εμβδόν των δύο τετργώνων ν είνι ελάχιστο ΓΕ/7 Σύρμ μήκους 4 cm κόβετι σε δύο κομμάτι με μήκη cm κι 4 cm Με το πρώτο κομμάτι σχημτίζουμε ισόπλευρο τρίγωνο κι με το δεύτερο τετράγωνο Α) Ν βρείτε το άθροισμ Ε ( ) των εμβδών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση του Β) Ν βρείτε γι ποι τιμή του το Ε ( ) γίνετι ελάχιστο; Αν με το πρώτο κομμάτι σχημτίσουμε κύκλο κι με το δεύτερο τετράγωνο: Γ) Βρείτε το άθροισμ S ( ) των εμβδών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση του Δ) Δείξτε ότι το S ( ) γίνετι ελάχιστο ότν π = 4 4 Κ Αδμόπουλος

174 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΕ/7Δοχείο έχει σχήμ ορθογωνίου πρλληλεπιπέδου με βάση τετράγωνο πλευράς κι είνι νοικτό πό την έδρ που βρίσκετι πένντι πό τη βάση του Ο όγκος του δοχείου είνι,5m ) Αποδείξτε ότι το εμβδόν της επιφάνεις του δοχείου είνι E( ) = + β) Υπολογίστε την πλευρά ώστε το εμβδόν E () ν γίνετι ελάχιστο ΓΕ/74 Έν κουτί κυλινδρικού σχήμτος έχει κτίν βάσης cm κι όγκο 68 cm To υλικό των βάσεων κοστίζει 4 λεπτά νά cm ενώ το υλικό της κυλινδρικής επιφάνεις,5 λεπτά νά cm Α) Ν εκφράσετε το συνολικό κόστος κτσκευής ενός κουτιού ως συνάρτηση του Β) Πόσο κοστίζει έν κουτί με κτίν βάσης 5 cm; Γ) Βρείτε τις διστάσεις του κουτιού με το λιγότερο κόστος (Δίνετι ότι,5 =,5 Δ) Αν [, 4] βρείτε το μέγιστο κόστος που μπορεί ν έχει έν τέτοιο κουτί Ε) Αν το κουτί με = cm είνι γεμάτο νερό κι το τρυπήσουμε στο κάτω μέρος ώστε ν χάνει νερό με ρυθμό π cm /sec ν βρείτε το ρυθμό με τον οποίο κτεβίνει η επιφάνει του νερού (Αν h το ύψος του κουτιού ο όγκος του είνι V= π h, η κυλινδρική επιφάνει έχει εμβδόν Ε = π h κι η ολική επιφάνει Ε = π h + π ) κυλ ολ ΓΕ/75 Οι κορυφές ενός τριγώνου είνι τ σημεί (,) Α, Β(, συν ) κι Γ( ηµ,), με (, π ) Α) Βρείτε το εμβδόν του τριγώνου ως συνάρτηση του Β) Βρείτε το γι το οποίο το εμβδόν του τριγώνου γίνετι μέγιστο κθώς κι τη μέγιστη τιμή του ΓΕ/76 Έν νυπηγείο μπορεί ν κτσκευάσει μέχρι κι πλοί το έτος Το κόστος κτσκευής τέτοιων σκφών σε χιλιάδες ευρώ δίνετι πό τη συνάρτηση Κ ( ) = 4 + ενώ τ έσοδ πό την πώλησή τους δίνοντι πό τη συνάρτηση: Ε ( ) = + Α) Βρείτε τη συνάρτηση που δίνει το κέρδος Ρ ( ) του νυπηγείου πό τη νυπήγηση σκφών Β) Βρείτε το ρυθμό μετβολής του κέρδους Γ) Βρείτε πόσ σκάφη πρέπει ν κτσκευάζει το νυπηγείο ώστε ν έχει το μέγιστο κέρδος (Θέμ εξετάσεων) Κ Αδμόπουλος

175 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΕ/77 Μι βιοτεχνί κτσκευάζει τριγωνικά πλκίδι τέτοι που το άθροισμ της βάσης κι του ύψους υ ν είνι στθερό κι ίσο με 5cm A) Βρείτε το εμβδόν Ε( ) του πλκιδίου συνρτήσει της βάσης Β) Γι ποιο το εμβδόν γίνετι μέγιστο; Γ) Ποι είνι η μέγιστη τιμή του εμβδού; (Θέμ εξετάσεων) Θ Fermat ΓΕ/78 Αν + γι κάθε δείξτε ότι = ΓΕ/79 Αν +ln γι κάθε ΓΕ/8 Αν ( ) e ΓΕ/8 A) Αν γι κάθε ισχύει (Yπόδειξη: με ΘFermat) > ν δειχθεί ότι = + + γι κάθε ν βρείτε το + δείξτε ότι = e Β) Αν γι κάθε (, + ) ισχύει ln + ν βρεθεί το ΓΕ/8 Αν ln γι κάθε >, ν ποδείξετε ότι = ΓΕ/8 Αν γι κάθε > ισχύει + eln δείξτε ότι = e ΓΕ/84 Αν < κι γι κάθε > ισχύει δείξτε ότι = e ΓΕ/85 Αν > κι γι κάθε > ισχύει δείξτε ότι = e ΓΕ/86 Αν, β = ν με ν ν β> κι +β γι κάθε, ν ποδείξετε ότι ΓΕ/87 Δίνετι πργωγίσιμη συνάρτηση :, γι την οποί ισχύει ( ) + ln( + ) γι κάθε > Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της διέρχετι πό την ρχή των ξόνων ΓΕ/88 Αν,, βγ θετικοί ριθμοί κι γι κάθε ισχύει : +β +γ δείξτε ότι βγ,, διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ΓΕ/89 Αν, g πργωγίσιμες στο =, ( ) = g( ) κι ( ) g ( ) γι κάθε, ποδείξτε ότι οι C κι C g έχουν πράλληλες εφπτόμενες στ σημεί τους με τετμημένη = ΓΕ/9 Δίνετι η συνάρτηση ( ) e ln( ) = +, > Κ Αδμόπουλος

176 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ (βρείτε την ) Β) Βρείτε τ σημεί όπου η C τέμνει τον άξον ' Γ) Αποδείξτε ότι + ln( + ) e γι κάθε > Δ) βρείτε το σύνολο τιμών της Ε) Αν + ln( + ) γι κάθε > δείξτε ότι = e ΓΕ/9 Αν 4 ( ) + συν γι κάθε κι η C διέρχετι πό το Ο (,) ν ποδείξετε ότι η εφπτομένη της C στο Ο (,) τυτίζετι με τον άξον ΓΕ/9 Βρες τον log (Υπόδειξη: ) > ν log γι κάθε (, ) + +β ΓΕ/9 Αν ( ) = ln με β>, κι β κι ( ) κάθε ν δείξετε ότι β = e ΓΕ/94 Αν πργωγίσιμη στο, () γι = κι ( ) γι κάθε, βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της C στο σημείο της Α (, ()) ΓΕ/95 H συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο Αν ( ) = + 7 κι η διφορά g ( ) ( ) γίνετι ελάχιστη γι =, τότε : Α) Αποδείξτε ότι οι εφπτόμενες των C, C στ σημεί τους Α (, () ) κι (, g() ) Β είνι πράλληλες Β) Ν βρείτε την εφπτομένη της C g στο Β, ν g () = 4 ΓΕ/96 Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο κι γι κάθε ( ) ισχύει: + = e + ( ), ν ποδείξετε ότι η δεν προυσιάζει κρόττο ΓΕ/97 Δείξετε ότι ν γι μι συνάρτηση που είνι πργωγίσιμη 5 στο ισχύει η συνθήκη [ ( )] + ( ) = + + γι κάθε, τότε η δεν έχει κρόττ ΓΕ/98 Aν ( ) = e : Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονί Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Δείξτε ότι η C τέμνει τον σε έν κριβώς σημείο g Κ Αδμόπουλος

177 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι Δ) Δείξτε ότι η εξίσωση e = + e έχει μονδική λύση ΓΕ/99 Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει η σχέση ( ) + ( ) = e, γι κάθε : Α) Δείξτε ότι η είνι γν φθίνουσ στο ln = Β) Λύστε την εξίσωση ( ) ( ) * ΓΕ/ Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση : + γι την οποί ισχύει ( ) ln ( ) = e γι κάθε Μελετήστε την ως προς τη μονοτονί ΓΕ/ Aν ( ) = 4 k + k, τότε: Α) Δείξτε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον (,) ώστε ( ) = ( ΘRolle) Β) Δείξτε ότι υπάρχει μί τουλάχιστον λύση της εξίσωσης ( ) στο διάστημ (, ) Γ) Αν k > δείξτε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον (, ) ( ξ ) < (ΘΜΤ) (ΘΒοlzano) ξ ώστε ln = ΓΕ/ Αν μονότονη κι πργωγίσιμη με μονότονη πράγωγο στο, (5) = 4, (5) = κι η προυσιάζει στο = κρόττο βρείτε την τιμή του κροτάτου () = () () =,λλά () κτλ) (Υπόδειξη: ( ) ( ) ΓΕ/ H συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο κλειστό διάστημ [,] κι ισχύει ( ) > γι κάθε (,) Αν () = κι () = 4 ν δείξετε ότι: Α) Η ευθεί y = τέμνει τη γρφική πράστση της σ' έν κριβώς σημείο με τετμημένη (,) Β) Υπάρχει (,) ώστε: ( ) = Γ Υπάρχει (,) της στο σημείο, ( ) (Υπόδειξη: Με Θ ενδιμέσων τιμών), ώστε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης ( ) Μ ν είνι πράλληλη στην ευθεί y = + (Υπόδ: με ΘΜΤ) ( ο θέμ Πνελλδικών ) Κ Αδμόπουλος

178 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΕ/4 Έστω μι συνάρτηση : η οποί είνι πργωγίσιμη κι ισχύει ( ) + ( ) = e + γι κάθε Ν εξετάσετε την ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ ΓΕ/5 Γι κάθε κ δίνετι η συνάρτηση ( ) = κ +, Α) Ν βρείτε τη τιμή του κ γι την οποί η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης στο σημείο Α (, () ) είνι πράλληλη στον άξον Β) Γι κ= Β) Ν μελετήσετε την ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ Β) Ν βρείτε το σύνολο τιμών της στο διάστημ (,) Β) γι κάθε (4,5) ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) = 5 έχει κριβώς μί λύση στο διάστημ (,) ΓΕ/6 Δίνοντι οι συνρτήσεις:, g: με ( ) = e κι g ( ) = ηµ + ( ) Α) Μελετήστε τις συνρτήσεις ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ Β) Ν ποδείξετε ότι: e ηµ ( ) (Συγκρίνετε τ κρόττ) ΓΕ/7 Γι μι συνάρτηση που είνι πργωγίσιμη στο σύνολο των πργμτικών ριθμών, ισχύει ότι: ( ) + β ( ) + γ ( ) = + 6 γι κάθε,όπου βγ, πργμτικοί ριθμοί με β < γ Ν δείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει κρόττ β Ν δείξετε ότι η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ γ Ν δείξετε ότι υπάρχει μονδική ρίζ της εξίσωσης ( ) = στο νοικτό διάστημ (,) ( ο θέμ Πνελλδικών ) + ΓΕ/8 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = ln Ν βρείτε το πεδίο ορισμού κι το σύνολο τιμών της συνάρτησης β Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) = έχει κριβώς δύο ρίζες στο πεδίο ορισμού της γ Αν η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης g ( ) ln Α,ln με > κι η εφπτομένη της = στο σημείο ( ) γρφικής πράστσης της συνάρτησης h ( ) = e στο σημείο (,e β ) Ββ με β τυτίζοντι, τότε ν δείξετε ότι ο ριθμός είνι ρίζ της εξίσωσης ( ) = (4 ο θέμ Πνελλδικών 6) Κ Αδμόπουλος

179 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Πράγωγοι ΓΕ/9 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = + Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού, τ διστήμτ μονοτονίς, τ κρόττ κι το σύνολο τιμών της Β) Με τη βοήθει του πεδίου τιμών βρείτε το διάστημ στο οποίο κινείτι το, ώστε η εξίσωση: + = 6 ν έχει μί τουλάχιστον λύση ΓΕ/ Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: () κι ( ) γι την οποί γι κάθε Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση: ( ) ( ) έχει μί τουλάχιστον λύση στο (,) (Αν τότε g ( ) κτλ κι θεωρούμε h( ) ( ) ( ) ) g ( ) ( ) ln, > ΓΕ/ Δίνετι η συνάρτηση ( ) =, = A) N ποδείξετε ότι η συνάρτηση είνι συνεχής στο Β) Ν μελετήσετε ως προς τη μονοτονί τη συνάρτηση κι ν βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Ν βρείτε το πλήθος των διφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης = e γι όλες τις πργμτικές τιμές του (Λογριθμούμε την εξίσωση) Δ) Ν ποδείξετε ότι ισχύει: ( + ) > ( + ) ( ), γι κάθε > (με ΘΜΤ) (Θέμ Πνελληνίων) Κ Αδμόπουλος

180 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Κυρτότητ Ασύμπτωτες De L Hospital Κυρτότητ-Σημεί κμπής "Συχνά λέω ότι ότν μπορείς ν μετρήσεις υτό γι το οποίο μιλάς κι ν το εκφράσεις με ριθμούς ξέρεις κάτι γι' υτό Αλλά ότν δεν μπορείς ν το μετρήσεις, ότν δεν μπορείς ν το εκφράσεις με ριθμούς, η γνώση σου είνι πενιχρή κι μη ικνοποιητική Μπορεί ν είνι το ξεκίνημ της γνώσης, λλά έχεις μόλις κι μετά βίς προχωρήσει στο στάδιο της επιστήμης " Lord Kelvin ΓZ/ A) Δίνετι η συνάρτηση ( ) = Βρείτε την, ν μελετήσετε την ως προς την κυρτότητ κι βρείτε τ σημεί κμπής της, ν υπάρχουν 4 B) Όμοι γι την: ( ) = Γ) Όμοι γι την: ( ) = Δ) Όμοι γι την: ( ) = 6e Ε) Όμοι γι την: ( ) = ΓZ/ Δίνετι η ( ) = ln Μελετήσετε την ως προς την κυρτότητ κι βρείτε τ σημεί κμπής της, ν υπάρχουν ΓZ/ Έστω συνάρτηση : [, 6] Στο διπλνό σχήμ είνι η γρφ πράστση της Προσδιορίστε τ διστήμτ στ οποί η είνι γν ύξουσ, γν φθίνουσ,κυρτή, κοίλη κι τις θέσεις των τοπικών κροτάτων κι των σημείων κμπής ΓZ/4 Έστω συνάρτηση : [, 6] Στο διπλνό σχήμ είνι η γρφ πράστση της Προσδιορίστε τ διστήμτ στ οποί η είνι γν ύξουσ, γν φθίνουσ,κυρτή, κοίλη κι τις θέσεις των τοπικών κροτάτων Βρείτε επίσης τ σημεί κμπής στο διάστημ [,4] ΓZ/5 Αποδείξτε ότι οι εφπτόμενες της γρφικής πράστσης της 4 συνάρτησης ( ) = + + στ σημεί κμπής της είνι κάθετες μετξύ τους K Aδμόπουλος

181 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Κυρτότητ Ασύμπτωτες De L Hospital ΓZ/6 Βρείτε τις τιμές των, β, ώστε η συνάρτηση ( ) = +β 6+ 5 ν έχει στο σημείο = τοπικό κρόττο κι η γρφική πράστση της ΓZ/7 Γι ποιες τιμές του η C ν έχει σημείο κμπής το Μ, ( ) = έχει θέση σημείου κμπής στο ; 4 ΓZ/8 Έστω η συνάρτηση ( ) = 4 + 6( ) 4+ με Ν βρείτε γι ποιες τιμές του η C έχει σημείο κμπής στο = ΓZ/9 Δίνετι η ( ) = Βρείτε το ώστε η C ν έχει σημείο κμπής στο = κι στη συνέχει ν μελετηθεί η ως προς τη μονοτονί, τ τοπικά κρόττ κι τ κοίλ ΓZ/ Δείξτε ότι η γρφική πράστση της συνάρτησης 4 () = , δεν έχει σημεί ( ) κμπής ΓZ/ Δείξτε ότι η γρφική πράστση της συνάρτησης ( ) = +β +γ +δ με κι β = γ δέχετι στο σημείο κμπής της οριζόντι εφπτομένη e ΓZ/ Αποδείξτε ότι η συνάρτηση ( ) = είνι κυρτή στ διστήμτ (,) κι (, + ) (Υπόδειξη : Θέστε g ( ) τον ριθμητή της '' κι μελετήστε τον ξεχωριστά ) ΓZ/ Έστω η συνάρτηση ( ) = Ν ποδειχθεί ότι γι κάθε η γρφική πράστση της συνάρτησης έχει έν κριβώς σημείο κμπής, το οποίο κινείτι σε μι πρβολή ΓZ/4 Αποδείξτε ότι τ σημεί κμπής της γρφικής πράστσης της συνάρτησης ( ) =e, >, βρίσκοντι γι κάθε τιμή του σε μι πρβολή την οποί κι ν προσδιορίσετε ΓZ/5 Αν η : ισχύει:( ) ( ) είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο κι ( ) + ( ) + ( ) = e + γι κάθε, ν δείξετε K Aδμόπουλος

182 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Κυρτότητ Ασύμπτωτες De L Hospital ότι: Α) Υπάρχει κριβώς έν σημείο της γρφικής πράστσης της με οριζόντι εφπτομένη Β) η είνι κυρτή στο ΓZ/6 Αν η συνάρτηση : είνι δύο φορές πργωγίσιμη κι ( ) ικνοποιεί τη σχέση: ( ) + e = + e γι κάθε ν ποδείξετε ότι : Α) Η γρφική πράστση της δεν έχει σημεί κμπής Β) Η έχει κριβώς έν κρίσιμο σημείο τοπικού κροτάτου ΓZ/7 Έστω g μι συνάρτηση δυο φορές πργωγίσιμη στο γι την οποί ισχύει ( ) g ( ) = 5 g ( ) e + γι κάθε κι < Ν ποδείξετε ότι η C g δεν έχει σημεί κμπής ΓZ/8Αν η συνάρτηση είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο με ( ) + ( ) = + γι κάθε, ν ποδείξετε ότι η δεν έχει σημεί κμπής ΓZ/9 Δίνετι η συνάρτηση θετική κι δυο φορές πργωγίσιμη στο Αν η g ( ) = ln ( ) έχει θετική δεύτερη πράγωγο, ποδείξτε ότι οι λ συνρτήσεις κι ϕ ( ) = e ( ), λ είνι κυρτές ΓZ/ Αν ( ) ln = : A) Δείξτε ότι η είνι κυρτή στο (, + ) Β) Βρείτε την εφπτομένη της C στο Α(, ( )) με > Γ) Αν > δείξτε ότι γι κάθε (, + ) ισχύει: ln + ln + ΓZ/ Αν η συνάρτηση είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο με ( ) < γι κάθε, κι η εφπτομένη της g g ( ) e ( ) =, ν ποδείξετε ότι γι κάθε C στο σημείο της Μ (, g ( )) βρίσκετι «κάτω» πό την C g ΓZ/ Αν η συνάρτηση είνι κοίλη στο, ν ποδείξετε ότι ( ) ( )( ) + ( ) γι κάθε, όπου τυχίος πργμτικός ριθμός Ποι η γεωμετρική σημσί υτού του συμπεράσμτος; (Υπόδειξη: Με την ιδιότητ της εφπτομένης κοίλης συνάρτησης ή με ΘΜΤ κι μονοτονί πργώγου) ΓZ/ Έστω : συνάρτηση με την ιδιότητ: ( ) ( + + ) ( ) + e = γι κάθε Ν ποδειχθεί ότι η γρφική πράστση της έχει έν κριβώς σημείο κμπής (Υπόδειξη: ποδείξτε ότι στο = έχω σημείο κμπής ) K Aδμόπουλος

183 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Κυρτότητ Ασύμπτωτες De L Hospital ΓZ/4 Αν η συνάρτηση είνι τρείς φορές πργωγίσιμη στο κι ισχύουν () = () = κι () ( ) > γι κάθε, ν δείξετε ότι: Α) η είνι γνησίως ύξουσ στο Β) η είνι κυρτή στο [, + ) κι κοίλη στο (,] ΓZ/5 Έστω πργωγίσιμη κι κοίλη συνάρτηση στο διάστημ = [,] Δείξτε ότι () + () < () (Υπόδειξη: Με δύο ΘΜΤ) ΓZ/6 Α) Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη κι κυρτή στο διάστημ [ β, ] κι ( ) = ( β ), ν ποδείξετε ότι ( ) < ( ) γι κάθε ( β, ) (Υπόδειξη: Rolle κι μονοτονί) Β) Αν β>, κι, δείξτε ότι β + ( ) β (Υπόδ: Χρησιμοποιείστε το Α γι την : ( ) = ( ) = ( ) β β β β ) β ΓZ/7 Α) Mελετήστε ως προς την κυρτότητ την: ( ) = ln( ln ) Β) Αποδείξτε ότι ln + y ln ln y γι κάθε y, (, + ) ΓZ/8 Αν η κυρτή στο κι () (Υψώνουμε στο τετράγωνο πίρνουμε τ ln κι μετά ΘΜΤ) = βρείτε το πρόσημο της g( ) = ( ) ( ) ( Αν < με ΘΜΤ στο [,] ( ) ( ) =, οπότε < < ( ) < ( ) κτλ κι όμοι ν > ) υπάρχει ώστε 4 ΓZ/9 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = e + Α) Ν μελετήσετε την ως προς την κυρτότητ Β) Ν βρείτε την εφπτομένη της C στο σημείο της Α (, ()) 4 Γ) Ν ποδείξετε ότι e + γι κάθε ΓZ/ Δίνετι η συνάρτηση : δύο φορές πργωγίσιμη γι την οποί ισχύει ότι ( ) + ( ) > ( ) γι κάθε Επίσης η εφπτομένη της Α, () έχει εξίσωση y = + 5 C στο σημείο της ( ) Α) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση g ( ) = e ( ) είνι κυρτή στο Β) Ν βρείτε την εφπτομένη της C g στο σημείο της Β (, g() ) Γ) Δείξτε ότι ( ) e (5 ) γι κάθε K Aδμόπουλος

184 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Κυρτότητ Ασύμπτωτες De L Hospital Κνόνς De L'Hospital - Ασύμπτωτες ΓZ/ Υπολογίστε τ πρκάτω όρι: Α) lim e Β) lim Γ) lim + συν ηµ συν + ηµ Δ) lim Ε) lim e ΓZ/ Υπολογίστε τ πρκάτω όρι: ln( + ) ( + + ) ln Α) lim Β) lim + ln( + ) + e + ηµ Γ) lim Δ) lim ηµ + ΓZ/ Υπολογίστε τ πρκάτω όρι: e e + ln Α) lim Β) lim Γ) lim ηµ + + ln ΓZ/4 Υπολογίστε τ πρκάτω όρι: e + Α) lim Β) lim ηµ ηµ Γ) lim ln Δ) lim σϕ + + Ε) lim ln ΣΤ) lim e Ζ) lim e + ΓZ/5 Ν βρεθούν οι πργμτικοί ριθμοί, β κι γ ώστε e +β e +γ lim = 4 ηµ ΓZ/6 Ν βρεθούν οι πργμτικοί ριθμοί κι β ώστε ν είνι + e +β + 4 πργμτικός ριθμός το lim + ΓZ/7 Βρείτε τ όρι: Α) lim ( ln ) Β) lim ( e ) Γ) lim ( ) Δ) lim ( e e ) Ε) lim ( ln + + ) κι lim ( ln + ) ΣΤ) lim ( e ln ) Ζ) lim ( ln ηµ e ) Η) lim Θ) lim K Aδμόπουλος

185 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) ΓZ/8 Ν βρεθεί η συνεχής συνάρτηση : ηµ σχέση: ( ) + e = ( ) ηµ + e γι κάθε Κυρτότητ Ασύμπτωτες De L Hospital που ικνοποιεί τη Ασύμπτωτες ΓZ/9 Βρείτε τις σύμπτωτες των: ( ) =, g ( ) = + + ΓZ/4 Βρείτε τις σύμπτωτες των : ( ) =, g ( ) = ΓZ/4 A) Βρείτε τις σύμπτωτες της: ( ) = + + B) Όμοι γι την g ( ) = ΓZ/4 Βρείτε τις σύμπτωτες της : ( ) = 4+ 4 ΓZ/4 A) Βρείτε τις σύμπτωτες της : ( ) = + + B) Όμοι της ( ) = 5e ΓZ/44 Βρείτε τις σύμπτωτες της : ( ) = e, < ΓZ/45 Βρείτε τις σύμπτωτες της : ( ) = +, + ΓZ/46 Βρείτε τις σύμπτωτες της : ( ) = Όμοι γι την ( ) = 4+ +β + ΓZ/47 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = Ν βρείτε τις τιμές των β, ώστε η ευθεί y = + ν είνι σύμπτωτη της C στο + ( ) +β + 5 ΓZ/48 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = με, β, γ +γ Βρείτε τους βγ,,, ώστε η γρφ πράστση της ν έχει ως σύμπτωτες τις ευθείες με εξισώσεις = κι y = K Aδμόπουλος

186 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Κυρτότητ Ασύμπτωτες De L Hospital ΓZ/49 Αν η γρφική πράστση της συνάρτησης έχει στο + σύμπτωτη την ευθεί με εξίσωση y = 4+, ν υπολογίσετε το όριο lim ( + ) ( ) ηµ L = + ( ) ( ) ( ) ΓZ/5 Αν η ευθεί : y πράστσης της κι β= ε = +β είνι σύμπτωτη της γρφικής ( + ) + ( ) = στο + ν δείξετε ότι = 5 ( ) (Υπόδειξη: Πρέπει lim = κι lim ( ( ) ) ΓZ/5 Αν η ευθεί : y = β ) ε = + είνι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της : στο +, ν βρεθούν οι τιμές του ώστε ( ) + 6 lim = + ( ) ΓZ/5 Η ευθεί ( ): y 4 ε = + είνι πλάγι σύμπτωτη στο + της γρφικής πράστσης της συνάρτησης Ν βρείτε τ όρι: ( ) 4 ( )( + ) 4 Α) lim Β) lim + ( ) + ΓZ/5 Ν βρεθούν οι πργμτικοί ριθμοί, β κι γ ώστε οι ευθείες με εξισώσεις = κι y = 4 ν είνι σύμπτωτες της γρφικής ( ) +β γ + πράστσης της συνάρτησης ( ) = +γ + 6 ΓZ/54 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = Ν βρεθεί το 4+ ώστε η C ν έχει μι μόνο κτκόρυφη σύμπτωτη +β + 5 ΓZ/55 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = Ν βρεθούν οι τιμές των, β ώστε η C ν έχει σύμπτωτη στο + την ευθεί με εξίσωση y = + Ποιες άλλες σύμπτωτες έχει η C ; ΓZ/56 Η ευθεί y 7 = είνι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης στο ( ) ) Ν βρείτε τ όρι: lim κι lim [ ( ) ] K Aδμόπουλος

187 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Κυρτότητ Ασύμπτωτες De L Hospital ( ) + 4 β) Ν βρείτε το γι το οποίο lim = ( ) + ΓZ/57 Μι συνάρτηση έχει γι κάθε την ιδιότητ + + < ( ) < Δείξτε ότι η C έχει πλάγι σύμπτωτη ΓZ/58 Μι συνάρτηση : (, ) ln ιδιότητ + ( ) + e + e σύμπτωτες της C ΓZ/59 Δίνετι η συνεχής συνάρτηση : + έχει γι κάθε την Βρείτε τις με lim ( ) = ± Αν g ( ) = ( ) +, ν βρείτε τις σύμπτωτες της C g ΓZ/6 Αφού μελετήσετε ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ την ( ) = + ln, βρείτε το πλήθος των ριζών κι τις σύμπτωτες ΓZ/6 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = ln ln + Α) Ν μελετήσετε την ως προς τη μονοτονί κι τ τοπικά κρόττ Β) Ν βρείτε το σύνολο τιμών της κι το πλήθος των πργμτικών ριζών της εξίσωσης ( ) = ( ) Γ) Εξετάστε ν η έχει σύμπτωτες Δ) Υπολογίστε το lim ( ) ΓZ/6 Aν ( ) ln ln, +, τότε Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονί κι βρείτε τ κρόττ, το σύνολο τιμών κι τον ριθμό των ριζών της Β) Δείξτε ότι: ln ln e 4 Γ) Μελετήστε την ως προς την κυρτότητ κι βρείτε τ σημεί κμπής Δ) Βρείτε τις σύμπτωτες της C =, ( ) ΓZ/6 A) Aν η συνάρτηση έχει συνεχή η πράγωγο δείξτε ότι ( + h) ( ) + ( h) ισχύει: lim = ( ) h h K Aδμόπουλος

188 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Κυρτότητ Ασύμπτωτες De L Hospital B) Λύστε την ίδι άσκηση χωρίς ν δίνετι ότι η η πράγωγος είνι συνεχής ΓZ/64 Η συνάρτηση είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο κι η είνι συνεχής στο = Αν () = () = κι (), ν ποδείξετε ότι ηµ + ( ) lim = ( e ) '( ) ν κι μόνο ν () = (Υπόδειξη: Εφρμόζουμε De l Hospital κι διιρούμε ριθμητή κι προνομστή με ) ΓΖ/65 Δίνετι η συνάρτηση ( ) ln, με, Η εφπτομένη της C στο σημείο της Μ e, (e) ευθεί (η) : y 8 Α) Ν βρείτε τον Β) Ν βρείτε τ όρι: lim ( ) κι lim ( ) Γ) Ν μελετήσετε την ως προς τη μονοτονί είνι πράλληλη στην Δ) Ν ποδείξετε ότι: e γι κάθε Ε) Ν ποδείξετε ότι: ln ( ) ( ) ln( ) γι κάθε ΓZ/66 Aν συνεχής στο = με () = ώστε y ( + y) = e ( y) + e ( ) γι κάθε y, ( ) Α) Δείξτε ότι () = κι lim = Β) Δείξτε ότι η είνι συνεχής στο Γ) Αν η είνι πργωγίσιμη στο ν ποδείξετε ότι ( ) = e + ( ) γι κάθε (Πργωγίστε με στθερό) Δ) Βρείτε τον τύπο της Ε) Βρείτε την σύμπτωτη της C στο ΓZ/67 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = Α) Την σύμπτωτη (ε) της C στο + Β) Τ σημεί τομής της (ε) κι της C ΓZ/68 Αν ( ) e + + ηµ + Ν βρείτε: = + συν : Α) Δείξτε ότι η ευθεί ( ε ): y = είνι πλάγι σύμπτωτη της C στο Β) Δείξτε ότι οι C κι ( ε ) έχουν άπειρ κοινά σημεί K Aδμόπουλος

189 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Κυρτότητ Ασύμπτωτες De L Hospital ΓZ/69 Ν μελετηθoύν κι ν πρστθούν γρφικά οι συνρτήσεις: Α) ( ) = Β) ( ) = Γ) ( ) = 4 Δ) ( ) Ε) ( ) 4 ΣΤ) ( ) + ΓΖ/7 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ Β) Μελετήστε την ως προς την κυρτότητ κι τ σημεί κμπής Γ) Βρείτε τις σύμπτωτες Δ) Κάνετε γρφική πράστση ηµ Ε) Βρείτε το όριο lim ( ) +, ΓΖ/7 Δίνετι η συνάρτηση ( ) =, > Α) Μελετήστε την ως προς τη συνέχει κι την πργωγισιμότητ Β) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ Γ) Βρείτε το σύνολο τιμών της Δ) Μελετήστε την ως προς την κυρτότητ κι τ σημεί κμπής Ε) Σχεδιάστε τη γρφική πράστση της ΓΖ/7 Στο διπλνό σχήμ η κμπύλη C είνι γρφική πράστση μις συνεχούς συνάρτησης στο [, β ] κι Μ (, y) τυχίο σημείο του επιπέδου Α) Βρείτε τον τύπο της πόστσης d( ) = ( ΜΜ ) του Μ πό το τυχίο σημείο Μ (, ( ) ) της C με [, β ] Β) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση d είνι συνεχής στο [,β] κι στη συνέχει ότι υπάρχει έν τουλάχιστον σημείο της C που πέχει πό το Μ λιγότερο π ότι τ υπόλοιπ σημεί κι έν τουλάχιστον που πέχει περισσότερο π ότι τ υπόλοιπ σημεί της Γ) Έστω ότι ( ) = κι Β (, 4) K Aδμόπουλος

190 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Κυρτότητ Ασύμπτωτες De L Hospital Γ) Βρείτε το υποσύνολο του [,] στο οποίο εφρμόζετι το Θ Rolle γι την κι στη συνέχει βρείτε την τετμημένη ξ του σημείου στο οποίο η C δέχετι οριζόντι εφπτομένη ( είνι ( ) = ( ) + ) Γ) Κάνετε μελέτη της κι σχεδιάστε τη γρφική της πράστση ΓZ/7 Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση : γι την οποί ισχύουν: () κι ( ) ( ) e γι κάθε Α) Βρείτε τον τύπο της Β) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ Γ) Μελετήστε την ως προς την κυρτότητ κι τ σημεί κμπής Δ) Βρείτε τις σύμπτωτες της C Ε) Ν σχεδιάσετε τη C (Δίνοντι:, 4 e κι, e ) ΓZ/74 Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση : γι την οποί ισχύουν: () ( ) κι ( ) ( ) γι κάθε Α) Βρείτε τον τύπο της Β) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ Γ) Μελετήστε την ως προς την κυρτότητ κι τ σημεί κμπής Δ) Βρείτε τις σύμπτωτες της C Ε) Ν σχεδιάσετε τη C (Δίνετι:, 7 ) ΓZ/75 Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση :, οποί ισχύουν: (e) e κι ( ) ( ) γι κάθε, γι την Α) Βρείτε τον τύπο της Β) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ Γ) Μελετήστε την ως προς την κυρτότητ κι τ σημεί κμπής Δ) Βρείτε τις σύμπτωτες της C Ε) Ν σχεδιάσετε τη C (Δίνοντι: ΣΤ) Ν βρείτε ο πλήθος των λύσεων της εξίσωσης τις διάφορες τιμές του, e,,7 e,,6 e,, e e ) e στο, γι K Aδμόπουλος

191 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Κυρτότητ Ασύμπτωτες De L Hospital ηµ, ΓΖ/76 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = Δείξτε ότι:, = Α) Η είνι πργωγίσιμη στο = κι στη συνέχει ότι η ευθεί y = (ο άξονς ) είνι εφπτομένη της C στο Ο(,) Β) Ο άξονς έχει άπειρ κοινά σημεί με την C Γ) Η ευθεί y = είνι σύμπτωτη της C στο + κι στο Δ) Η εξίσωση ( ) = έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο, π π + Ε) lim = + + συν ΓΖ/77 Δίνετι η γρφική πράστση της συνάρτησης στο διπλνό σχήμ, που έχει 5 άξον συμμετρίς την ευθεί = κι 5 9 διέρχετι πό το σημείο Α, 4 Η δεν είνι πργωγίσιμη στ = κι = 4 Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων:,,, Β) Βρείτε τη μονοτονί της κι τ όρι: lim κι ( lim ) 4 ( ) Γ) Ν γίνει η γρφική πράστση της ν γνωρίζετε ότι είνι κυρτή ( ) ΓΖ/78 Δίνετι η συνάρτηση γι την οποί ισχύει: ( ) = + Α) Δείξτε ότι: + Β) Δείξτε ότι: ( β) ( ) β γι κάθε, β Γ) Εξετάστε την ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ Δ) Βρείτε τ σημεί κμπής κι ποδείξτε ότι δύο πό υτά είνι συμμετρικά ως προς το τρίτο K Aδμόπουλος

192 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Κυρτότητ Ασύμπτωτες De L Hospital Ε) Μελετήστε ως προς τη μονοτονί τη συνάρτηση: g ( ) = ( ) ΣΤ) Δείξτε ότι: ( ) () + γι κάθε Ζ) Βρείτε τις σύμπτωτες της Η) Σχεδιάστε τη γρφική πράστση της Μην εκτιμάς το χρήμ ούτε περισσότερο ούτε λιγότερο π ό,τι του ξίζει Είνι πολύ κλός υπηρέτης, λλά πολύ κκός φέντης Αλέξνδρος Δουμάς K Aδμόπουλος

193 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτ/νσης) Σ-Λ Πράγωγοι Πράγωγοι Ερωτήσεις Θεωρίς (Σωστού Λάθους) ( ) ( ) ( h) ( ) Αν lim = ( ), τότε lim = ( ) h Σ - Λ Αν οι συνρτήσεις κι g δεν είνι πργωγίσιμες στο τότε κι η συνάρτηση + g δεν είνι πργωγίσιμη στο Σ Λ Αν το γινόμενο g δύο συνρτήσεων είνι πργωγίσιμη συνάρτηση στo, τότε οι κι g είνι πργωγίσιμες στο Σ Λ 4 Η εφπτομένη της C σε σημείο Α (, ( ) ) μπορεί ν διπερνά την C Σ - Λ 5 Οι ρίζες της ( ) της = είνι τ σημεί της C όπου οι εφπτόμενες Σ - Λ C είνι πράλληλες στον άξον 6 Αν μι συνάρτηση δεν είνι πργωγίσιμη στο τότε κι η δεν είνι πργωγίσιμη στο Σ - Λ 7 Μι συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ( ) ( ) ορισμού της, ν το lim είνι πργμτικός ριθμός Σ -Λ ( ) ( ) 8 Αν ισχύει lim = ±, τότε η δεν είνι πργωγίσιμη στο Σ -Λ 9 Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο, τότε ισχύει + h ( ) ( ) ( ) lim = Σ -Λ h h ( ) ( ) ( ) ( ) Αν ισχύει lim lim, τότε η δεν είνι πργωγίσιμη στο Σ -Λ + h e e Αν ( ) = e, τότε ( ) = lim h h Σ Λ Κ Αδμόπουλος

194 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτ/νσης) Η συνάρτηση ( ) Σ-Λ Πράγωγοι = είνι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Σ -Λ Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής στο, τότε ορίζετι πάντ η εφπτομένη της C στο σημείο της Μ (, ( ) ) Σ -Λ 4 H εφπτομένη της γρφικής πράστσης της στο σημείο της Μ,, ποτέ δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την C Σ -Λ ( ( ) ) 5 Αν μι ευθεί ( ε ) έχει με τη γρφική πράστση μις συνάρτησης μόνο έν κοινό σημείο, τότε είνι οπωσδήποτε εφπτομένη της Σ -Λ 6 Μι συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο διάστημ Δ με ( ), γι κάθε Τότε η γρφική της πράστση δεν δέχετι οριζόντι εφπτομένη Σ -Λ 7 Γι μι συνάρτηση ισχύει ( ) = ( ) e Τότε η C στο σημείο Μ (, ()) δέχετι οριζόντι εφπτομένη Σ Λ 8 Αν η είνι συνεχής στο, τότε η g με g ( ) = ( ) ( ) είνι πργωγίσιμη στο Σ Λ 9 Οι εφπτόμενες των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων ( ) =, g ( ) = +, h ( ) = στ σημεί τομής τους με την ευθεί =, είνι πράλληλες Σ Λ Η εφπτόμενη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης ( ) = +β, σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού της, συμπίπτει με τη γρφική πράστση της συνάρτησης Σ Λ Αν δυο συνρτήσεις τέμνοντι, τότε στο κοινό τους σημείο δέχοντι κοινή εφπτομένη Σ Λ Αν μι συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο, τότε θ είνι συνεχής στο Σ Λ Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής στο, τότε θ είνι πάντ πργωγίσιμη στο Σ Λ 4 Αν μι συνάρτηση δεν είνι συνεχής στο, τότε δεν είνι πργωγίσιμη στο Σ Λ 5 Αν μι συνάρτηση δεν είνι πργωγίσιμη στο, τότε δεν είνι συνεχής στο Σ Λ Κ Αδμόπουλος

195 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτ/νσης) Σ-Λ Πράγωγοι 6 Αν η είνι πργωγίσιμη στο, τότε η είνι συνεχής στο Σ Λ 7 Η γρφική πράστση μις πολυωνυμικής συνάρτησης άρτιου βθμού έχει πάντοτε οριζόντι εφπτομένη Σ Λ 8 Η γρφική πράστση μις πολυωνυμικής συνάρτησης περιττού βθμού έχει πάντοτε οριζόντι εφπτομένη Σ Λ 9 Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο σημείο, τότε () = Σ Λ [ ] ( ) Η συνάρτηση ( ) ισχύει: ( ) =, >, είνι πργωγίσιμη στο κι = Σ Λ Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο, τότε ισχύει = Σ Λ ( ( ( ))) ( ( )) Αν το άθροισμ g + δύο συνρτήσεων είνι πργωγίσιμη συνάρτηση στο, τότε κι οι συνρτήσεις κι g είνι πργωγίσιμες στο Σ Λ Αν γι τις, g ισχύει ότι η + g δεν είνι πργωγίσιμη στο, τότε κι οι, g δεν είνι πργωγίσιμες στο Σ Λ g είνι πργωγίσιμη, τότε οι συνρτήσεις ( ) 4 Αν η συνάρτηση ( ), g είνι πργωγίσιμες Σ Λ 5 Γι μι συνάρτηση η οποί είνι πργωγίσιμη στο ισχύει ) ν η είνι άρτι, τότε η είνι περιττή Σ Λ β) ν η είνι περιττή, τότε η είνι άρτι Σ Λ γ) ν η είνι περιοδική, τότε η είνι περιοδική με την ίδι περίοδο Σ Λ 6 Αν η συνάρτηση είνι πολυωνυμική ν-οστού βθμού, τότε η συνάρτηση είνι επίσης πολυωνυμική ν- βθμού Σ Λ 7 Οι πολυωνυμικές συνρτήσεις είνι πργωγίσιμες στο Σ Λ 8 Σε κάθε χρονική στιγμή ο ρυθμός μετβολής της τχύτητς ενός κινητού είνι η επιτάχυνση του Σ Λ 4 9 Αν ( ) =, τότε υπάρχουν σημεί της C με πράλληλες εφπτόμενες Σ Λ Κ Αδμόπουλος

196 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτ/νσης) Σ-Λ Πράγωγοι 4 Αν y = +β, τότε ο ρυθμός μετβολής των τιμών του y εξρτάτι πό τις τιμές της μετβλητής Σ Λ 4 Αν ( ) = 4, τότε ισχύει πάντ ( ) 4 Έστω συνάρτηση συνεχής στο [, ] 4 = Σ Λ β, πργωγίσιμη στο ( β, ) κι υπάρχει ξ (, β ) τέτοιο ώστε ( ξ ) =, τότε ( ) = ( β ) Σ Λ 4 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο [ β,, ] πργωγίσιμη στο ( β, ) κι ( ) γι κάθε ( β, ), τότε ( ) ( β ) Σ Λ 44 Aν μι συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο κι δεν είνι ντιστρέψιμη, τότε δεν υπάρχει κλειστό διάστημ [ β,, ] στο οποίο η ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ Rolle Σ Λ 45 Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο [ β, ] κι δεν ικνοποιεί όλες τις προϋποθέσεις του Θεωρήμτος Rolle στο [ β,, ] τότε δεν υπάρχει εφπτομένη της C πράλληλη στον άξον Σ Λ 46 Αν η συνάρτηση ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήμτος Rolle στο [ β,, ] τότε το ίδιο ισχύει κι γι την στο [ β, ] Σ Λ 47 Αν η έχει δύο ρίζες τότε η μπορεί ν είνι κυρτή Σ Λ 48 Μι πλάγι σύμπτωτη της C ποτέ δεν έχει άλλ κοινά σημεί με τη C Σ Λ 49 Αν ( ) = ( ) e τότε στο = η έχει τοπικό κρόττο Σ Λ 5 Ισχύει: ( ) ( ) ( ) = Σ - Λ Σχέδιο του M C Escher Κ Αδμόπουλος

197 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Ολοκληρώμτ Ορισμένο ολοκλήρωμ ΓH/ Στο διπλνό σχήμ δίνετι η γρφική πράστση μις συνάρτησης Ν υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώμτ: Ι = 5 Ι = ( ) d ( ) d Ι = 5 Ι = ( ) d ( ) d ΓH/ Στο διπλνό σχήμ δίνετι η γρφική πράστση μις συνάρτησης Ν υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώμτ: Ι = ( ) d, 4 4 Ι = ( ) d, Ι = ( ) d, 5 Ι = ( ) d, Ι = 4 Ι 6 = ( ) d ( ) d ΓH/ Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ: Α) Γ) Ε) Ζ) ( + + 4) d Β) ( ηµ + συν) d d Δ) ( + 4) d ΣΤ) ( + ) Η) π / 4 ( e + + ηµ ) d ΓH/4 Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ: d Β) Α) ( ) ( + ) + d d ( + ) συν e d Κ Αδμόπουλος

198 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Ολοκληρώμτ Γ) Ε) + d Δ) d ΣΤ) 4 Μέθοδοι ολοκλήρωσης ΓH/5Ν υπολογιστούν τ ολοκληρώμτ: Α) Γ) Ε) Ζ) Θ) 5 ( ) d Β) π / π ηµ ( + ) d Δ) 4 d ΣΤ) e d Η) d Ι) + + d + e d + ( ) e d π / 5 συν ηµ d + d ( + + ) ( + ) ΓH/6Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ π Α) d Β) + Γ) Ε) Ζ) Θ) ( ) + d Δ) e + d ΣΤ) e ln + d H) ln e π/ ηµ d Ι) ( + συν ) d / ηµ συν π d π / π/ d ηµ συν d ηµ + ηµ π/4 σφ + π /4 εϕ d e ( + e ) d d Κ Αδμόπουλος

199 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Ολοκληρώμτ ΓH/7Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ: Α) Γ) Ε) Ζ) e d Β) π / + σφ /4 e π ηµ d π e ηµ (ln ) d ΣΤ) π/ ηµ συν d Η) + ηµ ΓH/8Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ: Α) Γ) Ε) Ζ) + d Β) + e d Δ) ln( + ) + d συν d e e e e + e d e d d Δ) d ΣΤ) + d d Η) d + ΓH/9Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ Α) Γ) Ε) Ζ) + d Β) + 4 d + Δ) d ΣΤ) + d Η) d 9 d d + d d Κ Αδμόπουλος

200 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Ολοκληρώμτ ΓH/Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ Α) Γ) Ε) π/ ( ηµ + συν ) d Β) π/ (ηµ 5 + συν ) d Δ) π/ ηµ συνd ΣΤ) π/4 π/ ηµ 5 ηµ d συν ηµ 7d π συν ηµ Θεωρήστε ως δεδομένους τους τύπους: ηµσυνβ = ηµ ( + β ) + ηµ ( β ) συνσυνβ = συν( β ) + συν( + β ) ηµηµβ = συν( β) συν( + β ) ΓH/Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ: Α) Β) Δ) ΣΤ) Ζ) π/ ηµ d κι π d π/ συν d ( συν, π/ 4 ηµ d Γ) + συν π/ d ηµ π/6 π/ + συν ηµ = συν = ) ηµ συνd π/ (Πολ/ζω ριθμ κι προνομ με ηµ κι μετά ηµ συν d ( π/6 ΓH/Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ Α) Γ) Ε) Ζ) π/ ηµ συν d Ε) ηµ συν π/4 e d Β) e d Δ) ( + ) e d ΣΤ) e ln d Η) ηµ = ηµ ηµ κι μετά π/ π/ π/4 ηµ d + συν ηµ d συνd e ηµ d e d ηµ = συν ) ηµ = συν ) Κ Αδμόπουλος

201 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Ολοκληρώμτ ΓH/ Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ: Α) Γ) Ε) Ζ) Θ) ( 4)ln d Β) e συν(ln ) d Δ) π 4 e π/ e π ln d ΣΤ) π/4 d Η) e e e ln d Ι) e e e συνd ηµ d συν συν d d ln( + ) d IA) ln d IB) ln d ΙΓ) π/ ln( συν) ηµ d ΓH/4A) Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ: Α) Γ) π e ( συν ηµ ) d Β) π/ e e e d Δ) π/ π συν + ηµ Ε) d ΣΤ) συν e (ln + ) d ln d π/ συν ηµ d ΓH/5Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ: Α) Γ) d Β) e + d Δ) + 4 e d ( ) d Κ Αδμόπουλος

202 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Ολοκληρώμτ π Ε) Ζ) 5 ln d ΣΤ) ( + ) π συν d Η) ΓH/6Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ: Α) Γ) Ε) Ζ) π ( + ηµ ) συνd Β) ln e d Δ) e + ln d ΣΤ) + d Η) π/ d ( ) ln d e συν5d π ΓH/7Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ: Α) Γ) Ε) e π συν d Β) d Δ) ( + ln ) e e ln d ΣΤ) ln e π συν(ln ) d ηµ ( + συν ) 4 + d + ln d ηµ συν d + ηµ ΓH/8Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ 4 e e ln Α) d Β) d e + Γ) Ε) π d Δ) ηµ π 4 π e συν d Ζ) e ln 8 ln 4 + e d ( 4) d d d Κ Αδμόπουλος

203 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Ολοκληρώμτ +, < ΓH/9 Αν ( ) = e +, : Α) Εξετάστε ν η είνι συνεχής στο = Β)Υπολογίστε τ: ( ) d, ( ) d κι ( ) ΓH/Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ: Α) Β) Γ) ( ) d ν e ( ) d ν ( ) d ν ( ) ( ) = + d ln, e ( ) = e, < e e e, = ln, > ΓH/ Βρείτε το γι το οποίο ισχύει: Όμοι βρείτε το + γι το οποίο ισχύει: e d = e d + 9e e d = e d + 8e ΓH/Ν βρεθεί η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημ (,+ ) ν '( ) = + κι η C διέρχετι πό το σημείο Μ(,) ΓH/Ν βρεθεί η συνάρτηση ν ''( ) = κι '() =, () = ΓH/4Βρείτε τη συνάρτηση που είνι πργωγίσιμη στο (, + ) ν η C διέρχετι πό το σημείο Μ (,) κι η εφπτομένη της σε οποιοδήποτε σημείο της (, ( )) έχει κλίση ΓH/5Ν βρεθεί η συνάρτηση ν γι κάθε (, + ) ισχύει '( e ) = + κι η ( ) C στο σημείο (, () ) Μ έχει κλίση ΓH/6Ν βρεθεί η συνάρτηση ν ''( ) 6 () = 4, () = =, κι Κ Αδμόπουλος

204 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Ολοκληρώμτ ΓH/7Ν βρεθεί η συνάρτηση ν γι κάθε (, ) + ισχύει ( ) + ( ) '( ) = κι η C διέρχετι πό το σημείο Μ (,) ΓH/8 Ν βρεθεί η συνάρτηση η οποί είνι πργωγίσιμη στο (, + ) με ( π ) = κι γι κάθε (, ) π + είνι ( ) '( ) = συν ΓH/9Ν βρεθεί η συνάρτηση η οποί είνι πργωγίσιμη στο + ( ) (, + ) με () = κι γι κάθε (, + ) είνι '( ) = ΓH/Έστω πργωγίσιμη συνάρτηση στο (, + ) κι γι κάθε e + ( ) (, + ) είνι '( ) = Ν βρεθεί ο τύπος ν η C διέρχετι πό το σημείο Μ (, e) ΓH/ Βρείτε την πργωγίσιμη συνάρτηση στο (, + ) ν γι ( ) ( ) = κι () = ΓH/ Βρείτε την πργωγίσιμη συνάρτηση ν γι κάθε π π, ισχύει: + ( ) ηµ π π ( ) = κι επίσης = συν 4 6 ΓH/ Βρείτε την πργωγίσιμη συνάρτηση ν γι κάθε π π, ισχύει: συν ( ) ηµ π π ( ) = κι = συν 6 κάθε > ισχύει ΓH/4 Βρείτε τη συνάρτηση ν ( ) = κι η γρφική της πράστση στο σημείο της Α(-,) έχει κλίση ΓH/5Ν βρεθεί η συνάρτηση ν γι κάθε είνι ''( ) = 6+ κι τ σημεί Α (,) κι Β (,9) νήκουν στη C ΓH/6 Ν βρείτε τη συνάρτηση ν ( ) = 6 4 κι η προυσιάζει στη θέση = τοπικό κρόττο () = 4 Στη συνέχει ν βρείτε τ διστήμτ μονοτονίς κι τ τοπικά κρόττ της ΓH/7Βρείτε τη συνάρτηση ώστε ( ) ( ) = +, κι η γρφική της πράστση διέρχετι πό την ρχή των ξόνων ΓH/8 Βρείτε την πργωγίσιμη συνάρτηση στο ν ( + ) =, κι () = 5 Κ Αδμόπουλος

205 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Ολοκληρώμτ ΓH/9 Βρείτε την συνάρτηση πργωγίσιμη στο ν ( ) ( ) = e + κι () = ΓH/4 Ν βρείτε τη συνάρτηση που είνι πργωγίσιμη στο ( ) (, + ) με ( e ) = + κι η εφπτομένη της γρφικής της 7 πράστσης στο σημείο M(, ()) ν έχει συντ διεύθυνσης λ= 6 ΓH/4 Βρείτε τη συνάρτηση που η η πράγωγός της μηδενίζετι στο = έχει τοπικό μέγιστο το ( ) = κι έχει ( ) = γι κάθε ΓH/4Βρείτε τη συνάρτηση ν ( ) =, κι η γρφική της πράστση στο Α(,) έχει εφπτομένη πράλληλη στον ' 4 ΓH/4Αποδείξτε ότι η εξίσωση = έχει μι τουλάχιστον πργμτική ρίζ στο (,) ( ) ΓH/44 Υπολογίστε το ολοκλήρωμ: I = ( + ( )) e d όπου πργωγίσιμη με συνεχή πράγωγο κι () = ΓH/45 N βρεθεί η συνάρτηση : η οποί έχει την ιδιότητ : ( ) + ( ) = + e γι κάθε κι η κλίση της στο = είνι (Υπόδειξη: Πολλπλσιάστε τη δοσμένη με το ΓH/46 Ν βρείτε συνάρτηση πργωγίσιμη στο που ν ικνοποιεί τις συνθήκες: ( ) > γι κάθε, () = e κι ( ) = ( ) γι κάθε ΓH/47 Βρείτε την πργωγίσιμη συνάρτηση ν ( ) + ( ) = κι () = ΓH/48 Ν βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης : A) Γ) ( ) = e ( ) d Β) ( ) e e ( ) = d ( ) = e ( ) d ν: e ) Κ Αδμόπουλος

206 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Ολοκληρώμτ ΓH/49 Έστω μι πργωγίσιμη συνάρτηση :[, + ) γι την οποί ισχύει ( ) ( ) (t) + = +, t dt Αν () = ν βρείτε τον τύπο της (Ν θέσετε =, κτλ) ΓH/5 Έστω μι συνάρτηση η οποί έχει δεύτερη πράγωγο συνεχή στο [, β] κι () = (β) Αν β ( ) d =, ν δείξετε ότι η εξίσωση ( ) + ( ) = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο (, β) ΓH/5 Έν σώμ κινείτι πάνω σε άξον κι η επιτάχυνσή του κάθε χρονική στιγμή είνι 6t 4 σε cm / sec Αν κτά τη χρονική στιγμή t = sec το σώμ βρίσκετι στη θέση cm κι έχει τχύτητ cm / sec, ν βρείτε τη συνάρτηση της θέσης του κινητού κάθε χρονική στιγμή t ΓH/5Αν ( ) = ηµ ( π ) + β ν βρεθούν οι τιμές των, β ν ' ( ) = π κι ( ) d = 4 ΓH/5Έστω η συνάρτηση η οποί είνι πργωγίσιμη με συνεχή πράγωγο [, ] Αν ( ) + ( ) e d = κι ( ) e η τιμή ( ) ΓH/54Αν συνεχής στο με ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e d = ν βρεθεί η τιμή ( ) = ν βρεθεί = = = κι ΓH/55Αν η συνάρτηση g έχει συνεχή δεύτερη πράγωγο στο π διάστημ [,π ] κι ισχύει : g ( ) g + ( ) ηµ d = 5 κι g ( π ) βρείτε το g ( ) = ν ΓH/56Έστω συνάρτηση με συνεχή τρίτη πράγωγο στο διάστημ Δ Αν, β με <β κι η C έχει πράλληλες εφπτόμενες στ Κ Αδμόπουλος

207 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Ολοκληρώμτ ( ) ( ) σημεί Α, ( ) κι, ( ) β ( ) d ( ) =β β ( ) Ββ β δείξτε ότι : ΓH/57Αν συνεχής στο [, ] κι ( ) ( ) ν βρεθεί η κλίση της στο = [( ) + ] d = ΓH/58Αν, g συνρτήσεις με κι g συνεχείς στο [ ] ( ) = g( ) = ( 4) = g( 4) = ν δειχθεί ότι: 4 4 ( ) g ( ) d = ( ) g ( ) d ΓH/59Δείξτε ότι ΓH/6Αποδείξτε ότι µ v v µ ( ) d = ( ) d, µ, ν ( ) g( ) d = g( ) ( ) d ΓH/6Αν περιττή, δείξτε ότι ( ) d =,4 κι όπου συνεχής στο [, ] κι στη συνέχει ν υπολογισθεί το ολοκλήρωμ ΓH/6Αν συνεχής στο με ( ) ( ) υπολογισθεί το ολοκλήρωμ ( ) J = 5 ηµ d = γι κάθε, ν I = d ΓH/6Αν ( ) + ( ) = 994 γι κάθε κι η είνι συνεχής στο, δείξτε ότι ( ) d 994 = β d d ΓH/64Δείξτε ότι ) ( ) = ( +β ) β Κ Αδμόπουλος

208 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Ολοκληρώμτ d = ( ) d β) ( ) ΓH/65Αν συνεχής συνάρτηση στο ν ποδείξετε ότι d d ( ) = ( ), > d d v, ν συνεχής στο 4ν v ΓH/66 Δείξτε ότι: ( ) = ( ) διάστημ [, ] d = d κι υπολογίστε v v ΓH/67Αποδείξτε ότι ( ) ( ) την κοινή τιμή των δύο ολοκληρωμάτων ΓH/68Αν συνεχής στο [ β, ] κι c ν ποδείξετε ότι β c ( ) d = ( c ) d κι στη συνέχει υπολογίστε το ολοκλήρωμ c β 7 I = ( ) d ΓH/69Αν ( ) = + β +, ν βρεθούν τ, β ν η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο ΓH/7Αν π I = ( ) ηµ d κι = κι ( ) υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ I + J, I J, I, J d = 5 π J = ( ) συν d ν ΓH/7Η συνάρτηση :[ β, ] έχει συνεχή πράγωγο στο [ β, ] κι είνι - Αν ( ) =β κι ( β ) = ν ποδείξετε ότι: β ( ) ( ) ( ) d = (Υπόδειξη: Θέσε ) u = ( ) οπότε = ( u) κι d = ( u) du Κ Αδμόπουλος

209 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Ολοκληρώμτ ΓH/7 Αν «-» πργωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή πράγωγο ( ) κι ( ) = κι () =, ν δείξετε ότι: ( ) ΓH/7Η συνάρτηση : Αν η είνι συνεχής κι, β ( ) ( β) Α) ( ) β ( ) e d = e d είνι - κι έχει συνεχή πράγωγο δείξτε ότι: d =β ( β) ( ) ( ) d Β) ( ) =β ( β) ( ) ( ) β ( β) d d (Υπόδειξη: Θέσε ( ) ΓH/74 Έστω :[, ] πράγωγο συνάρτηση, με κι ( ) Αν είνι γνωστό ότι η συνάρτηση β ( β) u = ( ) οπότε = ( u) κι d = ( u) du ) β μι γνησίως ύξουσ κι με συνεχή γι κάθε [, ] ( ) d + ( ) ( ) d =β ( β) ( ) ( ) ΓH/75 Α) Αν ( ) = Α) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ: Β) Βρείτε το c ν ΓH/76 Δείξτε ότι : β είνι συνεχής, ν δείξετε ότι γι κάθε κι () = () : ( ) d (Κρυφοπργοντική φορές) 4 () t dt = 4 + ln + c + t () t dt π π π 5 d + ηµ ΓH/77Αφού μελετήσετε τη συνάρτηση, ως προς τ κρόττ στο διάστημ ολοκλήρωσης,δείξτε ότι : β β d β β e <<β e e Κ Αδμόπουλος

210 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνσης) Ολοκληρώμτ ΓH/78Αφού μελετήσετε τη συνάρτηση ( ) = 7συν ηµ, ως προς τ κρόττ στο διάστημ ολοκλήρωσης, δείξτε ότι : π ( ) 7π 7συν ηµ d π ΓH/79Αποδείξτε ότι: e( e ) ( e ) e d ln ln ΓH/8Γι κάθε [, + ) ν δείξετε ότι ΓH/8 Α) Ν ποδείξετε ότι: Β) Ν ποδείξετε ότι: 4 d > ΓH/8 Ν δείξετε ότι: Α) Β) e ln + e d e Γ) ln + d d + ln + > γι κάθε > π π π 4 ημ d + < dt ln < lnt ln ΓH/8 Δίνετι συνεχής κι δύο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση :, γι την οποί ισχύει: ( ) 4 ( ) 5, Ν [ ] ποδείξετε ότι: A) η ντιστρέφετι κι ν βρείτε την B) () = κι () Δ) ( ) + = γι [ ] = Γ) ( ) > γι κάθε (,) Ε) ΓH/84 Α) Δείξτε ότι Β) Δείξτε ότι d e ( ) + ( ) d = ( ) d > ln γι κάθε (, + ) Κ Αδμόπουλος

211 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνση) Ολοκληρώμτ Εμβδόν Επιπέδου Χωρίου ΓΘ/ Υπολογίστε το εμβδόν που περικλείετι πό τη γρφ πράστση της ( ) = + τις ευθείες =, = κι τον άξον ΓΘ/ Υπολογίστε το εμβδόν που περικλείετι πό τη γρφ πράστση της ( ) = τις ευθείες =, = κι τον άξον ΓΘ/Ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της με τύπο ( ) = + + κι τον άξον ΓΘ/4 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = + Ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της κι τον άξον ΓΘ/5 Δίνετι η συνάρτηση ( ) = + Ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της κι τον άξον ΓΘ/6Αν ( ) = 5+ 6 ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C κι τον άξον ΓΘ/7Αν ( ) = + 5 κι g ( ) = 7βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις C κι C Το ίδιο ν ( ) = κι g ( ) = 4 ΓΘ/8 Δίνοντι οι συνρτήσεις ( ) = + κι g ( ) = + Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C κι τη C ΓΘ/9 Δίνοντι οι συνρτήσεις ( ) e = κι g ( ) = Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C, τη τις ευθείες = κι = g g C g κι Κ Αδμόπουλος

212 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνση) Ολοκληρώμτ 4 ΓΘ/Αν ( ) = 4 ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C κι τον άξον ΓΘ/Ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη όπου ( ) = συν κι τις ευθείες y =, =, = π ΓΘ/ Ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της με τύπο ( ) = e e, τον άξον κι τις ευθείες = κι = ΓΘ/ Ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της με τύπο ( ) = +, τον άξον κι τις ευθείες = κι = ΓΘ/4 Ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της με τύπο ( ) = ln, τον άξον κι την ευθεί = e ΓΘ/5Αν ( ) = + ln( ) ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C, τον άξον κι τις ευθείες =, = 5 + k, < ΓΘ/6Αν ( ) =, βρείτε το k ώστε η ν είνι, συνεχής κι υπολογίστε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C τον άξον κι τις ευθείες = κι =, < ΓΘ/7Αν ( ) = ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που +, περικλείετι πό την C, τον άξον κι τις ευθείες =, = + 4, ΓΘ/8 Δίνετι η συνάρτηση με τύπο ( ) = +, > Ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της, τον άξον κι τις ευθείες = κι = C Κ Αδμόπουλος

213 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνση) Ολοκληρώμτ +, = ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που, > περικλείετι πό την C, τον άξον κι τις ευθείες =, = ΓΘ/9Αν ( ) λ ΓΘ/Αν ( ), < = + k, εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την ν βρεθούν τ k, λ (, + ) ν το C, τον άξον κι τις ευθείες =, = ισούτι με 6 ΓΘ/ Ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις κι g όπου ( ) = κι g( ) 7 6 = ΓΘ/ Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων ( ) = + + κι ( ) g = + 4 ΓΘ/Αν ( ) = + κι g ( ) = ν βρεθεί το εμβδόν E ( λ ) του χωρίου που περικλείετι πό την C κι =λ> Στη συνέχει ν υπολογισθεί το όριο ( ) C g κι τις ευθείες =, lim E λ λ + ΓΘ/4Ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πόc, όπου ( ) = κι g( ) = κθώς κι πό την ευθεί = ΓΘ/5Αν ( ) = ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C κι τις ευθείες y =, = ΓΘ/6 Δίνοντι οι πργωγίσιμες συνρτήσεις, ( ) = g ( ) + γι κάθε κι ( ) g( ) C g g με =, = Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις C, C κι ευθείες = κι = ΓΘ/7Αν ( ) ( 4) e = + ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C τον άξον κι τις ευθείες =, = g Κ Αδμόπουλος

214 Μθημτικά Γ Λυκείου (Κτεύθυνση) Ολοκληρώμτ ΓΘ/8Αν ( ) = + ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C τους άξονες, yy κι την εφπτομένη ( ε ) της C στο σημείο με M (,) ΓΘ/9 Αφού κάνετε γρφική πράστση της συνάρτησης ( ) = βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C, την εφπτομένη της στο σημείο Α( 4, (4)) κι τον άξον ΓΘ/ Αφού κάνετε γρφική πράστση της συνάρτησης ( ) = 4+ 5 ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C τον άξον yy κι την εφπτομένη ( ε ) της C στο Μ (, ()) ΓΘ/ Αφού κάνετε γρφική πράστση της ( ) = + 4 ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C, την εφπτομένη ( ε ) της C στο σημείο M (,) κι τον άξον ΓΘ/ Αφού κάνετε γρφική πράστση της συνάρτησης ( ) = βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη Β,4 C κι τις εφπτόμενές της στ σημεί της Α(,) κι ( ) ΓΘ/ Αφού κάνετε γρφική πράστση της ( ) = + 4 ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C κι τις εφπτόμενες της, Β, ΓΘ/4Αν ( ) C στ σημεί με Α( ) κι ( ) = 8 ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C, τον άξον yy κι την εφπτομένη στην κορυφή της πρβολής C Κ Αδμόπουλος