Naloge iz Atomov, molekul, jeder 15 februar 2017, 1. rešitev Schrödingerjeve enačbe za radialni del valovne funkcije. Kolikšna je normalizacijska

Transcript

1 Naloge iz Atomov, molekul, jeder 15 februar 2017, 1 1 Vodikov atom 1.1 Kvantna števila 1. Pokaži, da je Y 20 (ϑ) = A(3 cos 2 ϑ 1) rešitev Schrödingerjeve enačbe za kotni del valovne funkcije. Kolikšna je normalizacijska konstanta? (Vstavi Y 20 v enačbo za Φ(ϑ, ϕ), A = 5/8.) 2. Pokaži, da je R 10 (r) = Ae r/a 0 rešitev Schrödingerjeve enačbe za radialni del valovne funkcije. Kolikšna je normalizacijska konstanta? (Vstavi R 10 v enačbo za R(r), A = 2a 3/2 0.) 3. Pokaži, da je R 21 (r) = A a 3/2 0 r a 0 e r/(2a 0) rešitev Schrödingerjeve enačbe za radialni del valovne funkcije. Kolikšna je normalizacijska konstanta? (Vstavi R 21 v enačbo za R(r), upoštevaj tudi n = 2, l = 1; A = 1.) 4. Zapiši normalizirano valovno funkcijo Ψ 2,1, 1 (r, ϑ, ϕ) za vodikov atom! Uporabi tabele! (Ψ 2,1, 1 (r, ϑ, ϕ) = (8 π a 3/2 0 ) 1 (r/a 0 ) e r/(2a 0) sin ϑ e iϕ ) 5. Primerjaj vrtilno količino elektrona, ki je v osnovnem stanju vodikovega atoma, z vrtilno količino elektrona v osnovnem stanju po Bohrovem modelu! (Bohr: Γ = n h, osn. stanje: n = 1, Γ = h; val. funkcije: Γ = h l(l + 1); Γ 1s = 0) 6. Zapiši valovno funkcijo elektrona v vodikovem atomu, ki je v drugem vzbujenem stanju, ima velikost vrtilne količine 6 h ter komponento z vrtilne količine h! (n = 3, l = 2, m = 1; Ψ 3,2, 1 =...) 7. Kdaj je L z enaka L? (Ko l = m l = 0) 8. Kolikšen kot oklepa L z osjo z, ko je l enak 1 oziroma 2? (cos ϑ = L z /L = m l / l(l + 1)) 9. Katera magnetna kvantna števila so mogoča, ko je l = 4? (m l = 0, ±1, ±2, ±3, ±4) 10. Katere kombinacije kvantnih števil so možne, če je glavno kvantno število n = 4? (l = 0, m l = 0; l = 1, m l = 0, ±1;... do l = 3)

2 Naloge iz Atomov, molekul, jeder 15 februar 2017, Za koliko odstotkov se razlikujeta L in L z vodikovega atoma, ki je v p, d ali f stanju in ima maksimalno z komponento vrtilne količine? (L z,max /L = l/ l(l + 1) ) 1.2 Verjetnostna gostota 1. Kdaj je verjetnostna gostota krogelno simetrična? (Ko je l = 0.) 2. Elektron v vodikovem atomu je v stanju 2p. Pri kateri oddaljenosti od jedra atoma ima verjetnostna gostota maksimum? Kolikšna je najverjetnejša oddaljenost elektrona od jedra? Kolikšna je pričakovana vrednost oddaljenosti elektrona od jedra? Vse oddaljenosti izrazi z Bohrovim polmerom. (Verjetnostna gostota ima v stanju 2p maksimum pri 2a 0, najverjetnejša oddaljenost elektrona od jedra pa je v istem stanju 4a 0 ; r 2p = 5a 0.) 3. Valovna funkcija elektrona v vodikovem atomu v 2p stanju je odvisna od smeri in tudi od oddaljenosti od jedra. Kje ima verjetnostna gostota v atomu z elektronom v 2p stanju, ki ima m l enak 0, maksimum v smeri osi z in kje v ravnini xy? (xy: Ψ 2,1,0 (ϑ = π/2) = 0; z: max pri r = 2a 0.) 4. Kolikšna je pričakovana vrednost oddaljenosti 3d elektrona od jedra vodikovega atoma? (10,5 a 0 ) 5. Verjetnostna gostota v odvisnosti od oddaljenosti od jedra ima za 2s elektron dva maksimuma. Kje? (Pri r 0 = 0 in pri r 2 = 4a 0, pri r 1 = 2a 0 ima minimum.) 6. Kolikšno je razmerje med verjetnostjo, da je 1s elektron oddaljen od jedra a 0 /2 in verjetnostjo, da je oddaljen 2a 0? (1,26) 7. Kolikšna je povprečna oddaljenost 1s elektrona od jedra vodikovega atoma? (3a 0 /2) 8. Kolikšna je verjetnost, da je oddaljenost 1s elektrona od jedra vodikovega atoma večja od a 0? Ko je razdalja med elektronom in jedrom 2a 0, je celotna energija atoma enaka njegovi potencialni energiji. V okviru klasične razlage se elektron ne more bolj oddaljiti od jedra. Kolikšna je verjetnost po kvantni obravnavi, da je razdalja med elektronom in jedrom večja od 2a 0? (P 1s (r > a 0 ) = 5 e 2 ; P 1s (r > 2a 0 ) = 13 e 4.) 9. Kolikšno je razmerje med verjetnostima, da sta znotraj a 0 1s in 2s elektrona? (P 1s (r < a 0 ) = 1 5 e 2 ; P 2s (r < a 0 ) = 1 (21/8) e 1 ).)

3 Naloge iz Atomov, molekul, jeder 15 februar 2017, Osnovno stanje elektrona v vodikovem atomu opišemo z valovno funkcijo Ψ(r, ϑ, ϕ) = A e r/a 0, kjer je a 0 Bohrov polmer. Izračunaj normalizacijsko konstanto A in pričakovano vrednost potencialne energije elektrona v polju jedra. (A = 1/ πa 3 0 ; W p = e 2 /(4πε 0 a 0 ).) 11. Osnovno stanje vodikovega atoma opišemo z valovno funkcijo Ψ( r) = 1 e r/a 0, πa 3 0 kjer je a 0 Bohrov polmer. Kako bi izračunal polmer krogle okoli jedra atoma, da je verjetnost, da v njej najdemo elektron, 1/2? 1.3 Izbirna pravila 1. Vodikov atom je v stanju 4p z magnetnim kvantnim številom +1. V katera stanja lahko preide s sevanjem? (V 3d z m = 0, 1 ali 2; v 3s z m = 0; v 2s z m = 0; v 1s z m = 0) 2. V vodikovem atomu je elektron v 2p stanju z magnetnim kvantnim številom 0. Naštej pet stanj, v katera lahko preide z absorpcijo fotona! ((n, l, m) = (3, 2, 0), (3, 2, 1), (3, 2, 1), (3, 0, 0), (4, 2, 1),...) 3. Vodikov atom je v 5 f stanju z magnetnim kvantnim številom 2. V katera stanja z glavnimi kvantnimi števili 4, 3, 2 ali 1 lahko preide s sevanjem? ((n, l, m) = (4, 2, 2), (4, 2, 1), (3, 2, 2), (3, 2, 1).) 4. V vodikovem atomu je elektron v stanju 4d z magnetnim kvantnim številom 1. Naštej tri stanja, v katera lahko preide z emisijo fotona, ter tri stanja, v katera lahko preide z absorpcijo fotona. 5. Kolikšna je največja in kolikšna je najmanjša možna tirna vrtilna količina vodikovega atoma, če je elektron v stanju z glavnim kvantnim številom n = 4? Zapiši štiri stanja, v katera lahko preide s sevanjem ali absorpcijo iz stanja z največjo možno tirno vrtilno količino in n = 4, če je magnetno kvantno število elektrona v začetnem stanju enako m = 0. (L max = h 12, L min = 0;... ) 6. V neskončni 1D potencialni jami je delec v stanju z n = 3. V katera stanja lahko preide z emisijo in v katera z absorpcijo fotona? (Emisija: dovoljen prehod v stanje n = 2, z absorpcijo lahko preide v stanja z n = 4, 6, 8,...)

4 Naloge iz Atomov, molekul, jeder 15 februar 2017, Zeemanov efekt 1. Vzorec določenega elementa damo v magnetno polje z gostoto 0,30 T. Za koliko se razlikujeta valovni dolžini Zeemanovih komponent spektralne črte z valovno dolžino 450 nm? (2,83 pm) 2. V mionskema atomu je elektron zamenjan z negativnim mionom, ki ima maso 207 m e. Ali bi iz Zeemanovega efekta lahko ločili mionski atom vodika od navadnega? Kako? (Razcep je manjši, ker E Zeeman m 1 ; λ µ / λ e = m e /m µ = 1/207.) 3. Zeemanovi komponenti črte z valovno dolžino 500 nm se razlikujeta za 0,0116 nm, kadar je atom v zunanjem magnetnem polju z gostoto 1,00 T. Kolikšno je razmerje e/m? (1, As/kg) 4. Vodikov atom je na začetku v stanju z glavnim kvantnim številom 3. Koliko je različnih prehodov v končno stanje z glavnim kvantnim številom 2? Koliko različnih fotonov lahko izseva vodikov atom pri teh prehodih, če ni zunanjega magnetnega polja in koliko, če B = 0? (15, 1, 3) 5. S spektrometrom z ločljivostjo 0,01 nm želimo opazovati Zeemanov razcep spektralne črte z valovno dolžino 400 nm. Kolikšna vsaj mora biti magnetna poljska gostota, da Zeemanov razcep opazimo? (1,34 T) 6. Kolikšne so energije fotonov, ki jih izsevajo vodikovi atomi pri prehodu iz stanja 3d v stanje 2p, če so v magnetnem polju z gostoto 0,5 T? 2 Atomi z več elektroni 2.1 Periodni sistem elementov 1. Koliko je lahko elektronov na isti podlupini f? (14) 2. Kako bi se spremenila periodna tabela elementov, če bi imeli elektroni spin 1 in možna stanja s z = 1, 0 in 1 (in bili še vedno fermioni)? Kateri elementi bi bili v tem primeru žlahtni plini? (Elementi z vrstnimi števili 3, 15,... ) 3. Koliko elementov bi imel periodni sistem, če bi bilo število elektronov, ki jih lahko ima atom, omejeno z največjim kvantnim številom N = 6? (182)

5 Naloge iz Atomov, molekul, jeder 15 februar 2017, 5 4. Kolikšen je efektivni naboj, ki ga čutijo elektroni v zunanji lupini kalijevega atoma? Oceni ionizacijsko energijo! (1 e 0 ; 0,85 ev) 5. Oceni efektivni naboj jedra, ki ga čutijo elektroni v zunanji lupini kalcijevega atoma! Oceni enako za atom žvepla! Kateri od atomov ima večjo ionizacijsko energijo? () 2.2 Vrtilna količina 1. Določi kvantna števila J, L in S atoma, ki ima dva elektrona s tirnima kvantnima številoma 1 in 3! (L = 2, 3 ali 4; S = 0 (singlet) ali 1 (triplet); J = 1, 2, 3, 4 ali 5.) 2. Atom ima zunaj zaključenih lupin en sam elektron. Kolikšna je celotna vrtilna količina tega atoma, če je njegovo stanje P ali D? (možna stanja: 2 P 1/2, 2 P 3/2, 2 D 3/2, 2 D 5/2 ) 3. Če je j enak 5/2, kateri vrednosti l so možne? (2 ali 3) 4. Poišči vrednosti L, S in J za vsako od naslednjih stanj: 1 S 0, 3 P 2, 2 D 3/2, 3 D 3/2, 5 F 5, 6 H 5/2! ( 1 S 0 : L = S = J = 0; 3 P 2 : L = S = 1, J = 2; 2 D 3/2 : L = 2, S = 1/2, J = 3/2; 3 D 3/2 : ni takega stanja; 5 F 5 : L = 3, S = 2, J = 5; 6 H 5/2 : L = 5, S = J = 5/2) 5. Za katere od elementov Ne, Mg, Cl, Ca, Cu, Ag in Ba pričakuješ, da so njihovi energijski nivoji razdeljeni v singletna in tripletna stanja? (Ne, Mg, Ca, Ba) 6. V katerih od stanj 1 S 0, 1 S 1/2, 2 P 3/2, 2 P 2, 3 D 2, 3 F 5/2 je lahko (neioniziran) atom helija? ( 1 S 0, 3 D 2.) 7. Atom je v tripletnem stanju s skupno vrtilno količino enako h 20. Kolikšno je lahko kvantno število L za skupno tirno vrtilno količino? (L = 3, 4 ali 5.) 8. Označi stanje ter ugotovi, kolikšna je lahko največja skupna vrtilna količina (a) atoma Na, ki ima valenčni elektron v stanju z glavnim kvantnim številom 4, ostale pa v najnižjih stanjih. (b) atoma z elektronsko konfiguracijo 1s 2 2p 3d. (4 2 F 7/2, J max = h 63/2; 3 3 F 4, J max = 2 h 5.) 9. Za določeni stanji F in D je znano, da imata obe enako število možnih kombinacij za kvantno število J in sicer 5. Kolikšna je spinska vrtilna količina v teh dveh stanjih? (F : S = h 6; D : S h 6.)

6 Naloge iz Atomov, molekul, jeder 15 februar 2017, Spin elektrona 1. Curek elektronov prileti v homogeno magnetno polje z gostoto 1,20 T. Kolikšna je razlika med energijami elektronov, katerih spin je vzporeden polju in elektronov z nasprotnovzporednim spinom? (1, ev) 2. Proton in elektron v vodikovem atomu imata vsak spin 1/2. Osnovno stanje atoma je razcepljeno na dve podstanji, ki ustrezata vzporedni in nasprotno vzporedni orientaciji spinov protona in elektrona. Stanje z nasprotnima spinoma ima višjo energijo. Iz tega stanja lahko atom preide v stanje z vzporednima spinoma, če se protonu ali elektronu spin obrne. Pri tem odda foton z valovno dolžino 21 cm. Astronomi zaznajo EM valovanje s tako valovno dolžino iz medzvezdnega prostora. Kolikšno povprečno magnetno polje, ki izvira iz magnetnega dipolnega momenta protona, čuti elektron v vodikovem atomu, ko ta preide med opisanima spinskima stanjema z izsevanjem fotona? (0,05 T) 3. Pri atomih natrija se zaradi spinsko orbitalne sklopitve razcepi izsevana črta pri prehodu iz 3P v 3S stanje v dve črti. Prva ima valovno dolžino 589,00 nm in ustreza prehodu 3P 3/2 3S 1/2, druga pa ima valovno dolžino 589,06 nm in ustreza prehodu 3P 1/2 3S 1/2. Kolikšno efektivno magnetno polje čuti elektron kot posledico svojega tirnega gibanja v natrijevem atomu? (1,86 T) 2.4 Spekter rentgenskih žarkov 1. Kateri element ima valovno dolžino črte K α enako 0,144 nm? (cink) 2. Kolikšna je valovna dolžina črte K α pri aluminiju? (0,84 nm) 3. Efektivni naboj, ki ga čuti elektron v M-ti lupini pri atomu z vrstnim številom Z = 29 je približno (Z 7,4)e 0. Poišči valovno dolžino črte K β za ta atom! (0,124 nm) 4. V rentgenski cevi v tarčo iz volframa (Z = 74) trkajo elektroni. S kolikšno napetostjo naj bodo vsaj pospešeni, da bomo v spektru izsevane svetlobe lahko opazili značilni črti K α in K β? Kolikšna je najkrajša valovna dolžina fotonov zavornega sevanja pri tej pospeševalni napetosti? Izračunaj valovno dolžino črt K α in K β! Vezavna energija elektronov v volframovi lupini K je 69,5 kev, v lupini L 11,3 kev in v lupini M 2,3 kev. (69,5 kv; 17,9 pm; λ Kα = 21,3 pm; λ Kβ = 18,5 pm)

7 Naloge iz Atomov, molekul, jeder 15 februar 2017, 7 3 Molekule 3.1 Vodikova molekula 1. Energija, ki je potrebna, da odtrgamo elektron iz vodikovega atoma je 13,6 ev. Energija, ki je potrebna, da odtrgamo elektron iz vodikove molekule, pa je 15,7 ev. Ali je razumljivo, da je ionizacijska energija vodikove molekule večja od ionizacijske energije vodikovega atoma? 2. Protona v molekularnem ionu H + 2 sta oddaljena 0,106 nm. Vezavna energija iona je 2,65 ev. Kolikšen negativni naboj bi morali postaviti na sredino med oba protona, da bi imel sistem p + xe 0 p+ enako vezavno energijo? (x = 0,30) 3.2 Rotacijska stanja 1. Kolikšne so energije in valovne dolžine fotonov, ki jih molekule NO absorbirajo pri prehodih med rotacijskimi stanji J = 1 J = 2 in J = 2 J = 3? Vztrajnostni moment molekule NO je 1, kgm 2. (0,84 mev, 1,47 mm; 1,26 mev, 0,98 mm) 2. Absorpcijska črta rotacijskega prehoda J = 0 J = 1 ima v 12 C 16 O frekvenco 1, Hz. Pri neznanem izotopu? C 16 O ima ista absorpcijska črta frekvenco 1, Hz. Kolikšno je masno število neznanega izotopa ogljika? (13) 3. Kolikšne so energije štirih najnižjih rotacijskih stanj molekul H 2 in D 2? Razdalja med jedroma je v obeh molekulah 0,106 nm. (H 2 : 0 ev, 7,41 mev, 22,2 mev, 44,4 mev, 74,1 mev; D 2 : 0 ev, 3,7 mev, 11,1 mev, 22,2 mev, 37,0 mev) 4. Rotacijski spekter molekule HCl ima absorpcijske črte pri valovnih dolžinah 12, m, 9, m, 8, m, 6, m in 6, m. Molekulo sestavljata atoma 1 H in 35 Cl. Kolikšna je v molekuli razdalja med njunima jedroma? (0,128 nm) 5. Molekula 200 Hg 35 Cl seva pri prehodu med rotacijskima stanjema J = 1 in J = 0 fotone z valovno dolžino 4,4 cm. Kolikšna je medatomska razdalja v tej molekuli? (0,223 nm) 6. Dvoatomna molekula HCl odda pri prehodu med dvema rotacijskima stanjema foton z valovno dolžino 156 µm. Katero je začetno in katero je končno stanje molekule? Razdalja med jedroma atomov H in Cl je 128 pm. (Prehod: j = 3 j = 2.) 7. Molekula O 2 je na začetku v rotacijskem stanju, ki ima rotacijsko energijo 2,16 mev. Kolikšna je vrtilna količina v tem stanju? Iz začetnega stanja preide v stanje z manjšo

8 Naloge iz Atomov, molekul, jeder 15 februar 2017, 8 vrtilno količino. Kolikšna je valovna dolžina izsevanega fotona? Razdalja med jedroma atomov je 121 pm. ( h 12; 1,16 mm.) 3.3 Vibracijska stanja 1. Vodikov izotop devterij ima približno dvakratno maso navadnega vodika. Katera od molekul H 2 in HD ima večjo vezavno energijo? (HD, ker je vibracijska energija osnovnega stanja te molekule manjša.) 2. Elastična konstanta vezi v molekuli 1 H 19 F je približno 966 N/m. Kolikšna je vibracijska frekvenca molekule? (1, Hz) 3. Energijska razlika med najnižjimi sosednjimi vibracijskimi nivoji v neki dvoatomni molekuli je 0,266 ev, njena elastična konstanta pa je 1, N/m. Eden od atomov je kisik 16 O, kateri je najverjetneje drugi? (Ogljik.) 4. Predpostavi, da se molekula H 2 obnaša kot harmonski oscilator z elastično konstanto 573 N/m. Kolikšna je energija osnovnega vibracijskega stanja? Kolikšno je kvantno število vibracijskega stanja, ki ima dovolj veliko energijo, da raztrga molekulo? Vezavna energija molekule je 4,5 ev. (0,27 ev; 9) 5. Ogljikov monoksid je raztopljen v tekočem ogljikovem tetrakloridu. Raztopina absorbira sevanje s frekvenco 6, Hz. Ogljikov tetraklorid je za to frekvenco prozoren, zato sklepamo, da sevanje absorbirajo molekule CO. Kolikšna je elastična konstanta vezi v molekuli CO? Kolikšna je energijska razlika med sosednjimi vibracijskimi stanji? Kolikšna je amplituda nihanja molekule CO v osnovnem stanju? Koliko odstotkov dolžine vezi je to, če je ravnovesna razdalja med jedroma 112 pm? (1852 N/m; 0,265 ev; 4, m; 4,3 %) 6. Odvisnost potencialne energije V dvoatomne molekule kisika O 2 od razmika med jedroma r približno izrazimo z V(r) = V 0 (e 2(r r 0)/a 2e (r r 0)/a ), kjer je V 0 = 3 ev, a = 0,12 nm, r 0 pa je ravnovesna razdalja med jedroma. Kolikšna je nihajna energija molekule kisika v osnovnem in v prvem vzbujenem stanju? Vzemi približek linearnega harmonskega oscilatorja in upoštevaj, da težišče molekule miruje. (0,023 ev; 0,070 ev) 7. Ob predpostavki, da so rotacijska stanja neodvisna od vibracijskih stanj molekule, ugotovi, koliko je rotacijskih stanj med osnovnim in prvim vzbujenim vibracijskim stanjem molekule HF. Razdalja med atomoma v molekuli je 91,7 pm, njena lastna

9 Naloge iz Atomov, molekul, jeder 15 februar 2017, 9 vibracijska frekvenca pa je 1, Hz. (14) 8. Vibracijska frekvenca vodikove molekule ω je 8, Hz, razdalja med jedroma pa je 74 pm. Koliko je rotacijskih stanj med osnovnim vibracijskim in prvim vzbujenim vibracijskim stanjem? (Osnovno in 7 vzbujenih.) 3.4 Maxwell Boltzmannova statistika 1. Pri kateri temperaturi je tisočina atomov v plinu enoatomnega vodika v prvem vzbujenem stanju? (14260 K) 2. Temperatura na površju Sonca je približno 5000 K. Koliko odstotkov vodikovih atomov je v osnovnem, prvem, drugem, tretjem,... vzbujenem stanju? Upoštevaj degeneracijo različnih nivojev. (Deleži atomov stanjih: osnovno : 1 2, ; 1. vzbujeno : 2, ; 2. vzbujeno : 5, ;... ) 3. Energija vzbujenega stanja Na atoma 3 2 P 1/2 je za 2,093 ev večja kot energija osnovnega stanja 3 2 S 1/2. Kolikšno je razmerje med številoma atomov v obeh stanjih v natrijevih parah pri 1200 K? (n(3 2 P 1/2 )/n(3 2 S 1/2 ) = 4, ) 4. Množica elektronov, od katerih je vsak v svoji neskončno visoki 1D potencialni jami s širino 0,9 nm, je v temperaturnem ravnovesju pri temperaturi 1500 K. Kolikšno je razmerje med številom elektronov v drugem vzbujenem stanju in številom elektronov v prvem vzbujenem stanju? (n(2)/n(1) = 0,4) 5. V molekuli CO je razdalja med atomoma 0,113 nm. Kolikšna je temperatura plina CO, če ugotovimo, da je razmerje med številom molekul v drugem vzbujenem vrtilnem stanju in številom molekul v prvem vzbujenem vrtilnem stanju 1,55? (6000 K) 6. Vztrajnostni moment molekule H 2 je 4, kgm 2. Koliko odstotkov molekul je v vrtilnih stanjih z J = 0, 1, 2, 3 in 4 pri 300 K? Ali obstaja temperatura, kjer sta zasedenosti stanj z J = 2 in J = 3 enaki? Če obstaja, kolikšna je? (N(J = 1) = N(J = 0) 1,69; N(J = 2) = N(J = 0) 0,89; N(J = 3) = N(J = 0) 0,22; 1540 K) 7. Katero vrtilno stanje je najbolj zasedeno v plinu H 2 s temperaturo 500 K? Ravnovesna razdalja med atomoma v molekuli je 0,0742 nm. (J = 1)

10 Naloge iz Atomov, molekul, jeder 15 februar 2017, Klasična frekvenca nihanja molekule H 2 je 1, Hz. Koliko odstotkov molekul je v vibracijskih stanjih z n = 0, 1, 2, 3, 4 pri 5000 K? Ali obstaja temperatura, pri kateri sta zasedenosti stanj z n = 2 in n = 3 enaki? Če obstaja, kolikšna je? (72 %, 20 %, 5,7 %, 1,5 %, 0,4 %; ne.) 9. Kolikšen je delež vodikovih molekul, ki so pri temperaturi 875 K v osnovnem vibracijskem stanju, ter kolikšen je delež molekul, ki so v osnovnem rotacijskem stanju? Ne pozabi upoštevati degeneracije. Upoštevaj rotacijska stanja do vključno stanja z J = 8. Vztrajnostni moment molekule H 2 je 4, kgm 2, vibracijska frekvenca pa 1, Hz. (1 7, ; 0,096.) 10. V magnetnem polju z gostoto 1 T je kilomol srebrovih par pri temperaturi 1300 C. Kolikšna je razlika med številom atomov s spinom v smeri magnetnega polja in številom atomov s spinom v nasprotni smeri? Atom srebra ima spin 1/2 in magnetni moment 1 µ B. ( N = N A 4, ) 4 Atomsko jedro 4.1 Lastnosti jedra 1. Koliko je v jedrih 6 3Li, 22 10Ne, 94 40Zr in Hf nevtronov in protonov? (3 p, 3 n; 10 p, 12 n; 40 p, 54 n; 72 p, 108 n) 2. V naravi je bor mešanica dveh izotopov, 10 5 B in 11 5 B, in ima atomsko maso 10,82 u. Koliko odstotkov vsakega od izotopov je v naravnem boru? (18 % 10 5 B, 82 % 11 5 B) 3. Kolikšna je energija elektronov, ki imajo valovne dolžine primerljive z dimenzijami jedra zlata Au? (λ 2R; 89 MeV) 4. Kolikšno je razmerje med radijem Bohrove orbite 1s elektrona in radijem jedra pri atomu vodika 1 1H in kolikšno pri atomu urana U? 5. Na podlagi lupinskega modela jedra znanstveniki ocenjujejo, da je jedro atoma z Z = 110 in A = 294 posebno dolgoživo. Oceni njegov radij! (8 fm) 6. Kolikšno je razmerje med povprečno gostoto atoma vodika 1 1H in gostoto njegovega jedra? Predpostavi, da ima atom polmer prve Bohrove orbite. (ρ j /ρ at = 8, ) 7. Kolikšni sta magnetni potencialni energiji elektrona in protona v magnetnem polju z gostoto 0,10 T? (proton: 8, ev, elektron: 5, ev)

11 Naloge iz Atomov, molekul, jeder 15 februar 2017, Vezavna energija 1. Kolikšna je vezavna energija na nukleon pri atomih 22 10Ne, 56 26Fe, 79 35Br in Au? (8,08 MeV/nukleon, 8,79 MeV/nukleon, 8,69 MeV/nukleon, 7,92 MeV/nukleon) 2. Kolikšna energija je potrebna, da iz jedra 4 2He odstranimo najprej nevtron, nato iz preostalega jedra proton in nazadnje še razdvojimo nevtron in proton? Primerjaj vsoto teh energij s celotno vezavno energijo 4 2 He. (20,6 MeV; 5,5 MeV; 2,2 MeV) 3. Prost nevtron razpade na proton in elektron. Kolikšna mora biti najmanjša vezavna energija, ki jo nevtron prispeva k jedru, da ne razpade, kadar je vezan? (0,783 MeV) 4. Kolikšna je vezavna energija nevtrona v jedru 11 B in kolikšna je vezavna energija protona v istem jedru? (11,46 MeV; 10,67 MeV) 4.3 Kapljični model 1. Uporabi semiempirično formulo za vezavno energijo in izračunaj, kolikšna je za jedro 40 20Ca. Za kolikšen odstotek odstopa od dejanske vrednosti? (E semp = 348 MeV; E vez = 342 MeV) 2. S pomočjo semiempirične formule najdi energijo, ki je potrebna, da iz jedra 81 Kr, 82 Kr ali 83 Kr odstranimo nevtron. Zakaj se energija, potrebna za odstranitev nevtrona iz 82 Kr, močno razlikuje od ostalih dveh? (7,76 MeV, 9,87 MeV, 7,04 MeV) 3. Dve jedri z enakim masnim številom in z vrstnima številoma za kateri velja, da je Z 1 = N 2 in Z 2 = N 1, imenujemo zrcalni izobari. Zrcalna izobara sta npr N in 15 8 O. Konstanto w 3 v semiempirični formuli lahko izračunamo iz razlike v masah takih izobarnih jeder, če je eno jedro sodo-liho, drugo pa liho-sodo. Izpelji izraz za w 3 v odvisnosti od razlike med masama, njunih masnih števil in manjšega od vrstnih števil ter mas vodikovega atoma in nevtrona! Z izpeljanim izrazom izračunaj vrednost w 3, če za podatke uporabiš zrcalni jedri 15 7 N in 15 8 O! 4. S semiempirično masno formulo poišči najmanjšo energijo fotona, ki iz jedra 56 Fe izbije proton, in najmanjšo energijo fotona, ki iz jedra izbije nevtron. (proton: 9,4 MeV; nevtron: 11,7 MeV) 5. Kateri izobar z masnim številom 75 je po predvidevanjih kapljičnega modela najbolj stabilen? (Z = 33, As) 6. Kateri izobar z masnim številom 120 je po predvidevanjih kapljičnega modela najbolj stabilen?

12 Naloge iz Atomov, molekul, jeder 15 februar 2017, Pri katerih elementih so po predvidevanjih kapljičnega modela najbolj stabilna jedra z masnimi števili 97, 169, 80 in 194? Er, 80Se, 194 ( Mo, Os) 8. Uporabi kapljični model in ugotovi, kateri od izobarov Te in I (jod) razpade en v drugega. S katerim razpadom? ( 127 β 52 Te I) 9. S semiempirično masno formulo izračunaj vezavno energijo in maso jeder 4 2 He, 12 6 C, 56 26Fe, 65 28Ni, 95 37Rb, Cs, Pb, Po, Pa, U, U! Dobljene rezultate primerjaj s pravimi vrednostmi, podanimi v tabeli. 5 Jedrski razpadi in reakcije 5.1 Radioaktivnost 1. Tritij razpada beta z razpolovno dobo 12,5 let. Kolikšen del tritija bo ostal nerazpadel po 25 letih? (1/4) 2. Najverjetnejša termična kinetična energija nevtronov pri sobni temperaturi je 0,025 ev. Na kolikšni razdalji bo v curku nevtronov s tako energijo samo še polovica nerazpadlih? Razpolovni čas nevtrona je 10,3 minute, razpade pa na elektron, proton in antinevtrino. (1350 km) 3. Kolikšna je verjetnost, da neko jedro 38 Cl razpade v času 1 s? Razpolovna doba je 37,2 minuti. (3, ) 4. Aktivnost nekega radionuklida se zmanjša za 15 % v 10 dneh. Kolikšna je razpolovna doba tega radionuklida? (42,7 dni) 5. Aktivnost izotopa 55 Co se vsako uro zmanjša za 4 %. Kolikšen je razpolovni čas? (17 ur) 6. Aktivnost enega grama 226 Ra je 1 Ci. Kolikšna je njegova razpolovna doba? (1582 let) 7. Aktivnost nekega radionuklida merimo vsako uro. Izmerjene vrednosti so 80,5 MBq, 36,2 MBq, 16,3 MBq, 7,3 MBq in 3,3 MBq. Poišči razpolovno dobo radionuklida! (52,08 minut) 8. Razpolovni čas neona 25 Ne je 15 ur. Koliko časa traja, da razpade 80 % 25 Ne? Katera je najverjetnejša razpadna reakcija? (34,8 ur; razpad beta v 25 Na)

13 Naloge iz Atomov, molekul, jeder 15 februar 2017, Naravni torij 232 Th razpada α z razpolovno dobo 1, let. Neka skala je kristalizirala pred 3,5 milijardami let in danes vsebuje 0,10 % torija. Kolikšen % torija je vsebovala v času svojega nastanka? (0,12 %) 10. Kos lesa iz antičnih ruševin ima aktivnost ogljika 14 C 13 razpadov v minuti na gram ogljika, ki ga vsebuje. Aktivnost ogljika 14 C v živem lesu je 16 razpadov v minuti na gram ogljika. Pred koliko leti so posekali drevo? Razpolovni čas ogljika 14 C je 5760 let. (Pred 1700 leti.) 11. Najtežja jedra so verjetno nastala v eksplozijah supernov, nato pa jih je ista eksplozija razpihnila po vesolju. Po tej predpostavki je bil delež 235 U in 238 U ob času eksplozije enak. Kasneje je iz te snovi nastala Zemlja. Kdaj je bila eksplozija supernove, če je danes na Zemlji le 0,7 % 235 U in 99,3 % 238 U? Razpolovna doba 235 U je let, 238 U pa 4, let. (Pred 5,93 miljardami let.) 12. Pri radioizotopski preiskavi so bolniku v krvni obtok vbrizgali majhno količino raztopine, ki je vsebovala radioaktivni izotop 24 Na. Aktivnost vbrizgane raztopine je bila na začetku razpadov na sekundo. Čez pet ur so bolniku odvzeli 1 cm 3 krvi in izmerili njeno aktivnost, ki je bila tedaj 16 razpadov/(min cm 3 ). Razpolovni čas 24 Na je 15 ur. Izračunaj prostornino krvi v celotnem krvnem obtoku tega človeka. (6 litrov) 13. Radioaktivna jedra 24 Na razpadajo z razpadom beta, razpolovni čas je 15 ur. Koliko elektronov emitira v eni uri 1,0 µg radioaktivnega izotopa 24 Na? (1, ) 14. Pri reakcijah v jedrskem reaktorju nastane vsako sekundo 2, jeder radioaktivnega izotopa fosforja 32 P. Kolikšna je aktivnost tega izotopa v stacionarnem stanju, ko se število jeder s časom ne spreminja? Kolikšno je število jeder v stacionarnem stanju? Razpolovni čas izotopa 32 P je 14,3 dni. Ko reaktor zaženemo, jeder izotopa 32 P še ni. Po kolikšnem času je aktivnost tega izotopa polovica aktivnosti v stacionarnem stanju? (2, Bq; 4, ; 9,3 µs) 5.2 Razpadi α, β in γ 1. Jedro urana 232 U razpada α v torij 228 Th. Kolikšna je energija, sproščena pri razpadu? Ali lahko uran 232 U razpade v uran 231 U z emisijo nevtrona? Ali lahko razpade v protaktinij 231 Pa z emisijo protona? (5,42 MeV; ne; ne) 2. Energija, sproščena pri α razpadu radija 226 Ra, je 4,87 MeV. V kaj razpade? Kolikšna je kinetična energija delca α in kolikšna je kinetična energija nastalega jedra?

14 Naloge iz Atomov, molekul, jeder 15 februar 2017, 14 ( 222 Rn; 4,78 MeV; 0,086 MeV) 3. Jedro polonija 210 Po razpada z razpadom α. Zapiši reakcijo in oceni sproščeno energijo, uporabi kapljični model! (9,86 MeV) 4. Jedro polonija 210 Po razpade v jedro svinca 206 Pb tako, da odda delec α. Kolikšna je kinetična energija delca α? (5,32 MeV) 5. Mirujoče jedro 200 Pb v nekem trenutku emitira delec α s kinetično energijo 5,77 MeV. Zapiši reakcijo. Kolikšna je hitrost nastalega jedra? Kolikšen del celotne energije, ki se sprosti ob razpadu začetnega jedra, odnese delec α? (v jed = 3, m/s; 98 %) 6. Izotop 238 U razpada z razpadi α in β v verigi, v kateri je končni stabilni izotop 206 Pb. Koliko razpadov α in koliko razpadov β se zvrsti od 238 U do 206 Pb? Koliko energije se v celoti sprosti? (8 razpadov α in 6 razpadov β ; 51,7 MeV) 7. Kateri izotop je na koncu verige petih razpadov α in štirih razpadov β radioaktivnega jedra 226 Ra? Kolikšna je celotna reakcijska energija te verige razpadov? ( 206 Pb; 35,3 MeV) 8. Vzorec naravnega samarija z maso 1 g odda vsako sekundo 120 delcev α. Nestabilni izotop, ki pri tem razpada, je 147 Sm. V naravnem samariju je tega izotopa 15 %. Zapiši razpadno reakcijo ter izračunaj njen razpolovni čas. ( 147 Sm 143 Nd + α; t 1/2 = 1, let.) 9. S semiempirično masno formulo poišči kinetično energijo delca α, ki ga odda jedro 229 Pa pri razpadu α! (Q = 11,1 MeV; W α = 10,9 MeV) 10. Za koliko mora biti večja masa starševskega elementa X od hčerinskega Y, da jedro X lahko razpade v Y z emisijo delca α, z emisijo elektrona, pozitrona ali z ujetjem elektrona? (razpad α: m(x) m(y) m( 4 2 He); razpad β : m(x) m(y) 0; razpad β + : m(x) m(y) 2m(e); ujetje elektrona: m(x) m(y) 0) 11. Jedro 7 Be razpada v 7 Li z ujetjem elektrona. Zakaj ne razpade z emisijo pozitrona? (Ker m( 7 Be) m( 7 Li) < 2m(e).) 12. Prosti nevtroni spontano razpadajo z razpadom β. Zapiši reakcijo! Koliko energije se sprosti ob razpadu mirujočega nevtrona? Kolikšna je lahko največja kinetična energija emitiranega elektrona? Predpostavi, da se ob nekem takem razpadu (mirujočega nevtrona) sproščena energija porazdeli le med protonom in antinevtrinom. Kolikšne so gibalne količine nastalih delcev? Nariši jih! Kolikšna je energija antinevtrina, ki je brezmasni (ultrarelativističen) delec? (0,78 MeV; 0,78 MeV;... )

15 Naloge iz Atomov, molekul, jeder 15 februar 2017, Kolikšna je največja kinetična energija, ki jo lahko ima elektron emitiran pri razpadu β jedra 12 B? (13,37 MeV) 14. Kolikšna mora biti energija nevtrina, ki sproži reakcijo ν + 37 Cl 37 Ar + e s katero eksperimentalno zaznajo nevtrine s Sonca? (0,804 MeV) 15. Ko vzbujeno jedro emitira žarek γ, se nekaj sproščene energije porabi za odriv jedra. Kolikšno je razmerje med energijo žarka γ in odrivno energijo jedra z masnim številom 200? Emitirani γ žarek ima energijo 2,0 MeV. Življenjska doba vzbujenega stanja jedra je reda velikosti s. Primerjaj nedoločenost energije vzbujenega stanja z velikostjo odrivne energije! (W γ /W odr = 1, ; W/W odr = 0,02) 16. Prosto, mirujoče jedro 191 Ir v vzbujenem stanju, ki ima energijo za 129 kev večjo od energije osnovnega stanja, preide v osnovno stanje z emisijo fotona γ. Kolikšen del energije, ki se sprosti ob tem razpadu, odnese foton γ? (p γ c/q = 1 3, ) 17. Jedro tehnecija 95 Tc razpade z zajetjem elektrona v molibden 95 Mo. Pri tem se sprosti energija 1,6 MeV. Kolikšno energijo odnese nevtrino? (Nevtrino odnese 1,6 MeV (1 9, ).) 5.3 Jedrske reakcije 1. Dopolni naslednje jedrske reakcije: 6 3 Li +? 7 4 Be + n 35 17Cl +? S He 4 2 He Be He +? Br H 2n +? ( 2 1 H; 1 1 H; n; Kr) 2. Kolikšna je najmanjša kinetična energija, ki jo mora imeti nevtron v laboratorijskem sistemu, da sproži reakcijo n O + 2,20 MeV 13 6 C He? (2,34 MeV) 3. Jedro tritija s kinetično energijo 15 MeV trči v drugo enako mirujoče jedro. Pri tem nastanejo delec α in dva nevtrona. Kolikšna je kinetična energija produktov v težiščnem sistemu? (18,83 MeV) 4. Kolikšna mora biti v laboratorijskem sistemu kinetična energija nevtrona, da lahko sproži reakcijo 14 N + n 13 N + 2n? (11,31 MeV)

16 Naloge iz Atomov, molekul, jeder 15 februar 2017, Kolikšno kinetično energijo mora imeti najmanj proton, ki trči ob mirujoče jedro devterija, da ga razcepi? Zapiši reakcijo. (3,34 MeV; p H p H + n) 6. Kolikšno minimalno kinetično energijo mora imeti proton, da lahko sproži reakcijo 15 N + p 15 O + n? (3,77 MeV) 5.4 Razcep in zlivanje jeder 1. Jedro 238 U se spontano razcepi na 96 Y in 140 I ter dva nevtrona. Kolikšna je sproščena energija? Uporabi semiempirično formulo! (165,5 MeV) 2. Jedri tritija in devterija se spojita v helij, sprosti pa se nevtron. Zapiši reakcijo! Kolikšna je sproščena energija? (17,6 MeV) 3. Oceni, koliko vodika zgori v helij vsako sekundo v Soncu, če predpostaviš, da izvira vsa energija, ki jo Sonce izseva, iz te reakcije. Gostota energijskega toka, ki pride do Zemlje, je 1,4 kw/m 2, oddaljenost Zemlje od Sonca je 1, m. Na Soncu teče reakcija 4 1 H 4 He + 2e + + 2ν, pri kateri se sprosti 24,7 MeV. (6, kg) 4. Glavna reakcija v Soncu je zlivanje vodikovih jeder v helijeva. Običajno poteka v treh korakih 2(p + + p + ) 2( 2 H + e + ) 2(p H) 2( 3 He) 3 He + 3 He 4 He + 2p + Koliko energije se sprosti v celotnem zaporedju reakcij, ki vodijo k nastanku enega jedra 4 He? (24,7 MeV)