METODE DE DETERMINARE A SOLUŢIEI ÎN CALCULUL ELASTO-PLASTIC DE ORDINUL AL II-LEA

Transcript

1 3 MEODE DE DEERMINARE A SOLUŢIEI ÎN CALCULUL ELASO-LASIC DE ORDINUL AL II-LEA 3.1. INRODUCERE Relaţa ateatcă, extnsă la nvelul întreg structur, ce caracterzează echlbrul statc al une structur, poate f scrsă astfel: Ψ( ) = [ K s ( ) ] = ( ) = 0 (3.1) în care ( ) reprezntă vectorul forţelor noale nterne ale structur, ar reprezntă vectorul forţelor noale exteroare (nclusv încărcărle echvalente la nour), nepenente e caracterstcle e eforabltate ş e rgtate ale eleentelor coponente ale structur. În stuul coportăr nelnare a structurlor nteresează atât echlbrul stabl al structur cât ş cel crtc care poate f forulat energetc prn stuerea cele e a oua varaţe a energe potenţale e eforaţe, în raport cu eleentele e eforaţe: δ Π = δ( δπ) = δ( δ Ψ( ) ) = δ δψ = δ K ( ) δ (3.) ora patratcă (3.) este poztvă acă atrcea tangentă a rgtăţlor este poztv efntă. O conţe necesară pentru stabltatea echlbrulu este ec ca toate eleentele agonale prncpale a atrce e rgtate tangente a întreg structur, K, să fe poztve. Deoarece caracterstcle e rgtate ş eforabltate ale eleentelor structur nu sunt cunoscute nţal (pentru o anută ăre totală a vectorulu forţelor noale) rezultă că soluţa ecuaţe atrceale (3.1) nu se poate obţne rect. Deternarea soluţe în calculul elasto-plastc e ornul al II-lea se face prntr-o succesune e cclur e calcul, controlul soluţe constân în îneplnrea concotentă a abelor conţ ce caracterzează stuaţa e echlbru: copatbltatea eforate ş echlbrul statc al nourlor. După oul în care se efectuează calculul, etoele se îpart în: etoe teratve recte; etoe sple ncreentale; etoe ncreental-teratve. 103

2 Metoele teratve se utlzează în prncpal cân calculul structur se execută rect pentru ărle totale ale sarcnlor ate, cuprnse în vectorul, utlzân fe atrcea e rgtate secantă fe atrcea e rgtate tangentă ş secantă. Sarcna crtcă corespunzătoare proucer colapsulu structur poate f găstă în acest caz ntr-o etapă e teraţe a unua ntre nvele e încărcăre, cân efectul e colaps structural se anfestă prntr-o creştere conserablă a valorlor eplasărlor, sau char o escopunere a procesulu e calcul în totaltatea lu. Dacă proucerea colapsulu nu este aşteptată, ntregul proces e teraţe poate f aplcat pentru un sngur nvel e încărcăre, cel ax. În această stuate, convergenta confguraţe e echlbru poate f acceptată prntr-o conţe uşoară a tolerante. Altfel, toleranţa convergenţe trebue să fe severă, ar în această stuaţe efortul e calcul este are ş coststor fn necesar ca în fecare cclu teratv să fe rezolvat ssteul ecuaţlor structurale. e e altă parte, este portant e senalat că pot apărea fcultăţ e convergenţă în stablrea corectă a confguraţe e echlbru, cân nvelul e încărcăre se află în vecnatatea sarcn crtce. În locul une confguraţ e echlbru stabl, convergenţa poate nca o altă confguraţe e echlbru, e astă ată nestabl, ceea ce constutue un rezultat eronat, char acă abele confguraţ sunt e echlbru. De exeplu, aplcată une structur pleoştte ublu încastrată (v. ex. cap. 5), etoa poate converge spre confguraţa stablă obţnută upă fenoenul e snap-through, acă confguraţe e echlbru nstabl, cu toate că era e aşteptat echlbrul stabl. Această etoă prezntă ş un alt nconvenent ş anue faptul că nu poate f aplcată ecât în cazul steelor conservatve. Dn aceste otve eseor sunt utlzate etoe ncreentale (pas cu pas) urărnu-se o lnarzare a relaţe (3.1) prn alegerea unor paş constanţ pentru încărcăr sau eplasăr, pe parcursul cărora coportarea structur este conserată a f lnară, până se ajunge la nvelul e încărcăre ort (etoa paşlor controlaţ e încărcăr) sau la lta e eforabltate stabltă (etoa paşlor controlaţ e eplasăr). O aseenea etoă ce utlzeaza atrcea tangentă a rgtăţlor este echvalentă cu etoa Euler e ntegrare nuercă a unu sste e ecuaţ ferenţale nelnare, n acest otv această etoă se a nueşte ş etoa Euler. Ea este foarte generală ş ă o escrere a stalor ntereare, reclaân însă a ult tp e calculator. Avân în veere faptul ca ervata funcţe Ψ în raport cu eplasărle reprezntă atrcea Jacoban a ssteulu nelnar (3.1) care în ecanca structurlor poartă enurea e atrce e rgtate tangentă a structur pe baza relaţe (3.1) se obţne: ( ) ( ) Ψ = = K ( ) (3.3) care a poate f scrsă: ( ) = K ( ) (3.4) Înlocun canttăţle nfntesale prn creşter fnte ş ţnân seaa e (3.) rezultă urătoarea relaţe ce stă la baza paşlor calcululu ncreental: = = K (3.5) ( ) 104

3 În acest caz trasarea curbe încărcăre-eplasare, se poate face alegân un pas constant fe pentru încărcare (fg. 3.1a) fe pentru eplasăr (fg. 3.1b). De enţonat faptul că utlzarea unu pas e eforaţe controlat perte ş stuul oenulu postcrtc (echlbrul nstabl al structur), spre eosebre e cazul pasulu controlat e încărcăr, cân trasarea curbe se opreşte la atngerea încărcăr ltă. e această cale, coportarea nelnară a structur pe parcursul încărcăr este înlocută prntr-o succesune e ntervale cu coportare lnarzată, care se înepărtează progresv e curba ce corespune coportăr reale. Ecartul ntre curba reală ş curba obţnută este e ornul e are al lu. O cale e reucere a abater constă în alegerea unor paş e încărcăre (eplasare) a c, care are însă rept efect ărrea tpulu e rezolvare ş e aseenea o alterare a rezultatelor nuerce obţunte ca urare a erorlor e rotunjre generate în tpul procesulu e calcul. Se pot utlza ş etoe e ntegrare nuercă a efcente, cu ar f Runge-Kutta, care necestă însă un efort a are e prograare. O altă cale constă în a folos ş ac corectarea pe baza restablr conţe e echlbru statc, oată la câteva trepte, revenn astfel la punctele stuate pe curba reală, prn aplcarea unor proceee teratve. ornn e la ecuaţa ncreentală e echlbru (3.5), o analză ncreetal teratvă poate f realzată pentru eternarea raspunsulu structur, această plcân tre faze prncpale. ra sau etapa prector plcă eternarea ncreentelor e eplasăr pornn e la ecuaţa ncreentală e echlbru a structur. A oua etapă nută corector constă în refacerea eforturlor ncreentale e la capetele eleentelor coponente ale strcutur, pe baza eplasărlor ncreentale obţnute în faza prector, eforturle rezultante n eleentele structur la sfrştul fecăru pas ncreental fn obţnute prn cuularea tuturor eforturlor ncreentale eternate înantea ş în tpul pasulu curent. În cea e-a trea etapă e verfcare este testat echlbrul structur pentru a se asgura convergenţa procesulu teratv în noua stare e eforaţe a structur. Astfel, prn suarea forţelor nterne ale eleentelor în fecare no ş copararea acestora cu încărcărle exteroare poate f calculat vectorul forţelor neechlbrate pe structura ş în cazul în care acest vector nu poate f negljat se repetă etapele 1 ş pâna la sparea totală a acestua (forţele neechlbrate evn negljable). In stuul coportar nelnare a structurlor nteresează att oul e coportare a structur pna la atngerea încărcăr ltă ce prouce colapsul structur cât ş oul e coportare post crtc, astfel ncât este necesar ca ecuaţa (3.1) sa fe rescrsă sub urătoarea foră: ( ) λ = 0 (3.6) în care cu λ s-a notat factorul e încărcare corespunzător une anute stuaţ e echlbru stabl sau nstabl al structur. entru rezolvarea acestu sste cu n ecuaţ e echlbru ş (n+1) necunoscute (eplasărle generalzate corespunzătoare celor n grae e lbertate ale structur respectv λ paraetrul încărcăr e refernţă ), o ecuaţe aţonală e constrângere trebue ntrousă. În general această ecuaţe poate f scrsă sub urătoarea foră: 105

4 n = ( ) + β α ( λ λ ) c β (3.7) n+ 1 = în care α reprezntă un coefcent e noralzare a ensunlor încărcărlor cu cel al eplasărlor, ncele superor senfcă pasul corespunzător pozţe e echlbru curente, c este o valoare prescrsă a lung e arc ntre ouă puncte succesve ş -1 e echlbru, ar coefcenţ β (=1,,3,,n+1) sunt paraetr e control a algortulu e rezolvare a ssteulu (3.107). După cu se poate observa în fgura 3.1.a, ecuaţa (3.7) în cazul în care = 0 = 1,,...n ş β ( ) β n+1 = 1corespune etoe paşlor controlaţ e încărcăr; ecuaţa e constrângere corespunzătoare etoe paşlor controlaţ e eplasăr se obţne prn partcularzarea ecuaţe (3.7) acă β = 1 ş β = 0 ( ) (fg. 3.1.b); ar etoa paşlor controlaţ e lungea e arc (arc-length control) corespune stuaţe în care toţ paraetr β =1 (fg. 3.1.c). λ +1 c λ 3 λ λ +1 c Snap-hrough λ c 1 Snap-hrough c +1 Snap-Bac λ 1 Control n ncarcar + λ 1 λ = c 1 Control n eplasar +1 = c g. 3.1 Ecuaţ e constrângere pentru ferte etoe e control pentru trasarea curbe încărcăre -eplasare. În analza nelnară a structurlor pe baza une etoe ncreental-teratve care sa ţnă seaa e nelnartaţle ntrouse e ofcarea geoetre structur ş/sau e nelnartatea fzcă a ateralulu, este foarte portant e a se ncorpora o proceură efcentă pentru eternarea răspunsulu structur upă atngerea încărcăr ltă corespunzătoare colapsulu total al structur sau cea corespunzătoare eşr n lucru a unor eleente structurale ar care nu atrag upă sne colapsul total al structur. Spre exeplu, în cazul structurlor n beton arat exstă a ulte aseenea puncte aflate sub încărcărea lta, atorate eşrlor succesve n lucru a unor eleente ar care nu atrag upă sne colapsul întreg structur. Un algort efcent e a consera ş eterna cu axă acurateţe aceste puncte este foarte benefc ş eseor esenţal pentru eternarea încărcăr 3 Control n lungea e arc ( λ λ ) + ( ) = c (a) (b) (c) 106

5 crtce corespunzătoare colapsulu structur, ş a eterna cu axă acurateţe capactatea e uctltate ş eforaţe a structur precu ş natura oulu e ceare general al structur. Aplcarea unor ncreente e încărcăre poztve (etoa paşlor controlaţ e încărcăr) conuce în o natural la fcultăţ e calcul în aproperea unor valor ale încărcărlor ce prouc colapsul local sau global al structur (anuţ teren e pe agonala prncpală a atrce e rgtate a structur sunt a c sau egal cu zero), ar aplcarea unor etoe e rearanjare a acestor teren prn ntereul unor "sprngur" artfcale (Wrght & Gaylor 1968; Ra 1981) sau prn aplcarea unor etoe e reucere a ncreentulu e încărcăre (Cope & Rao 1981; Bergan & Holan 1979; Crsfel 198; hlps & Zenewcz 1976) necestă o atenţe sportă ş nu sunt întoteauna efcente. robleele atorate fenoenelor e "snapthrough" (ar nu ş cele e "snap-bac") (v. fg.3.1.c) pot f luate în conserare prn aplcarea etoelor paşlor controlaţ e eplasăr, conserân ntenstatea încărcăr ca ş necunoscută (Batoz & Dhatt 1979), ar o alegere potrvtă a pasulu e eplasare este eosebt e fclă în anute stuaţ. entru elnarea acestor fcultăţ a ulte etoe ncreental teratve au fost propuse e-a lungul tpulu. Două etoe propuse e Bergan au at rezultate satsfăcătoare: etoa paraetrulu curent e rgtate e entfcare a punctelor ltă (Bergan s. al. 1978) ş tehnca e nzare a forţelor neechlbrate pentru ajustarea nvelulu forţelor exteroare (Bergan 1980). Metoele e tp "arc-length" propuse e Rs (197, 1979) ş Wepner (1971) au fost rafnate ş aplcate cu succes e Ra (1981) ş Crsfel (1981, 198, 1983, 1984) pentru o varetate are e problee. De aseenea sunt e antt etoele e tp "wor-ncreent" propuse e Bathe & Dvorn (1983), Yang & McGure (1985) precu ş etoa nzăr eplasărlor rezuale ("nu resual splaceent") propusă e S.L. Chan (1988). Acestea sunt oar câteva ntre etoele propuse în lteratura e specaltate pentru eternarea ntegrală a răspunsulu nelnar al structurlor: tratarea sngulartăţlor atrce e rgtate ale structur, surprnerea cu axă acurateţe a răspunsulu structur în oenul post crtc ş a fenoenelor e "snapthrough" ş "snap-bac". Efcenţa etoelor ncreental-teratve epne în are ăsura e oul în care se conseră tranzţa e la o confguraţe e echlbru statc a structur la o confguraţe e echlbru vecnă a acestea în tpul teraţlor. rocesul e eternare a urătoare confguraţ e echlbru (+1) pe baza confguraţe e echlbru e refernţa () este nepenent e confguraţle ntereare corespunzătoare teraţlor n carul unu pas e încărcăre. În fgura 3. sunt prezentate ouă oaltăţ e conserare a tranzţe e la confguraţa e echlbru () la confguraţa e echlbru (+1). ra (fg. 3..a) care conseră ca ş confguraţe e refernţă confguraţa eforată a structur corespunzătoare teraţlor n carul unu pas e încărcăre, ş cea e a oua (fg. 3..b) care conseră o sngură confguraţe e refernţă pentru toate teraţle n carul pasulu respectv e încărcăre, ş anue cea corespunzătoare confguraţe e echlbru (). În analza nelnar elasto- plastcă e ornul al II-lea cea e a oua 107

6 etoă este a exactă eoarece forţele neechlbrate se eternă prn raportarea la o confguraţe e echlbru eja eternată (), în tp ce pra etoă eternă forţele neechlbrate faţă e o confguraţe eforată a structur ntereară, corespunzătoare une teraţ (confguraţe neechlbrată), ucân la o înepărtare progresvă faţă e curba reală e echlbru (confguraţa reală e echlbru) în cazul unor valor ar ale ncreentelor e încărcăre. De aseenea reactualzarea tensunlor pentru verfcarea crterlor e curgere n secţunle eleentelor fnte se face a exact în carul unor proceur aparţnân cele e a oua categor. (a) (b) g. 3.. roceee e conucere a teraţlor în carul unu ncreent al încărcăr. Astfel or e câte or nteresează ş aspectul nelnartăţ fzce în răspunsul nelnar al structurlor este e preferat utlzarea (prograarea) unor proceur nuerce n cea ea oua categore, în cua spltăţ, sub aspectul prograar, a proceurlor nuerce n pra categore. 3.. MEODA AŞILOR CONROLAŢI DE ÎNCĂRCĂRI. MEODA NEWON-RAHSON Cea a cunoscută etoă ncreental-teratva utlzată pentru soluţonarea ssteulu nelnar e ecuaţ (3.1) este etoa Newton-Raphson. Datortă portanţe aceste etoe, în cele ce urează se prezntă forularea generala a acestu proceeu. Echlbrul statc coespunzător unu anut nvel al forţelor exteroare (corespunzătoare pasulu ) este eternat e vectorul eplasărlor noale, *, care anulează funcţa: f * ( ) ( ) = 0 (3.8) une ( ) reprezntă vectorul eforturlor nteroare e la capetele eleentelor fnte corespunzător pasulu e încărcăre ar reprezntă vectorul forţelor 108

7 exteroare n nourle eleentelor fnte corespunzătoare aceluaş pas, nepenent e starea e eforaţe exstentă. Conserân cunoscută soluţa la teraţa (-1) n carul pasulu, prn ezvoltarea în sere aylor a funcţe f în ( 1) vecnătatea aceste soluţ,, rezultă: * ( 1) f * ( 1) f ( ) = f ( ) + ( ) + teren e orn superor (3.9) ( 1) Ţnân seaa e relaţa (3.8) ş negljân teren e orn superor n relaţa (3.9) relaţa e a sus evne: f * ( 1) ( 1) ( ) = ( ) (3.10) ( 1) f Avân în veere faptul că reprezntă atrcea e rgtate tangentă a ( 1) () structur corespunzătoare pasulu ş teraţe (-1) ş notân cu ncreentul e eplasare corespunzător teraţe (-1), relaţle e recurenţă pe baza cărora se eternă vectorul eplasărlor ncreentale ce converge spre soluţa ortă, se scru: ( 1) 1 ( 1) [ K ] ( ) = (3.11a) ( ) ( ) ( 1) ( ) = + (3.11b) Relaţle (3.11) reprezntă relaţle e recurenţă ale etoe Newton-Raphson. Conţle nţale ale procesulu teratv, în carul unu ncreent e încărcăre, sunt: K ( o) = ( 1) (0) ( 1) = (3.1) (0) ( 1) = În carul unu pas e încărcăre teraţle contnuă până la satsfacerea unu crteru e convergenţă, respectv pâna la sparea ntegrala a forţelor neechlbrate (v. fg. 3.3.a). O caracterstcă a acestu proces teratv este că atrcea e rgtate tangentă a structur trebue reactualzată ş refactorzată pe parcursul teraţlor e echlbrare conucân la coplcaţ ale procesulu e calcul ş o ărre a tpulu e calculator. Aşa cu s-a antt anteror orce etoă ncreental-teratvă presupune efectuarea a tre faze prncpale ş anue: faza prector, faza corector ş faza e verfcare, ponerea cea a portantă în exacttatea etoe avân-o etapa corector, în carul cărea se eternă forţele nterne n nourle eleentelor fnte corspunzătoare no stăr e eforaţe a structur, corespunzătoare eplasărlor ncreentale eternate în carul etape prector. Aproxarea în ceea ce prveşte precţa eplasărlor ncreentale poate f a ult sau a puţn exactă, esenţal în carul etoelor ncreental-teratve fn oul e calcul al forţelor nterne ale structur. Astfel sunt utlzate eseor etoe ncreental-teratve e tp Newton-Raphson ofcată, care înlătură acest K 109

8 nconvenent, precţa eplasărlor realzânu-se în acest caz pe baza une atrc e rgtate tangente, care nu se reactualzează în tpul terărlor n carul unu pas e încărcăre, coefcenţ atrce e rgtate tangentă avân aceleaş valor cu cele e la începutul teraţlor, pe parcursul unu pas al încărcăr (fg 3.3.b). Incarcare (0) Incarcare (0) ( 1) 0 K 1 K ( 1) 0 K 0 K () (a) Deplasare (b) Deplasare g. 3.3 Iteraţle în etoa Newton-Raphson pentru un sste cu un sngur gra e lbertate:(a) Metoa generală; (b) Metoa ofcată. entru ssteul ecuaţlor e echlbru statc (3.1), atrcea e rgtate tangentă a structur rezultă e urătoarea foră : ( ) ( ) K s ( ) K = = [ K s ( ) ] = K s ( ) + (3.13) care e altfel reprezntă relaţa generală ntre atrcea tangentă e rgtate ş cea secantă. În etoa Newton-Raphson ofcată aplcată în cazul oelulu e analză elasto-plastcă e ornul al II-lea, bazat pe etoa eleentelor fnte, prezentat în carul captolulu, procesul teratv se expră sub urătoarea foră: ( ) ( + 1) ( + 1) ( 1) K δ = (3.14) une K = K 0 + K 3 reprezntă atrcea e rgtate tangentă evaluată la ( 1) nvelul e încărcăre păstrată constantă în tpul procesulu teratv; = vectorul forţelor nterne ale structur; ( +1) = vectorul forţelor e refernţă () corespunzător nvelulu (+1) e încărcăre (noulu nvel e încărcăre); δ reprezntă vectorul eplasărlor ncreentale obţnute în carul terate. Matrcele e rgtate K j, j=1, nu sunt luate în conserare în calculul atrce e rgtate tangentă a structur întrucât eplasărle ncreentale ce efnesc aceste atrc sunt nule la începutul fecăru pas e încărcăre. Aceste atrc vor f luate în conserare pe parcusrsul procesulu teratv oar în calculul forţelor nterne ale ( + 1) ( ) structur respectv la eternarea forţelor neechlbrate. Vectorul eplasărlor ncreentale acuulate precu ş vectorul forţelor nterne ale structur, corespunzătoare acestor eplasăr, pentru teraţa n carul pasulu e 110

9 încărcăre (+1) sunt efnţ e urătoarele relaţ: ( ) ( 1) ( ) = + δ (3.15) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( K 0 + K 3 + K 1 + K ) (3.16) Vectorul eplasărlor, vectorul forţelor nterne ale structur precu ş vectorul forţelor neechlbrate pe structură, acuulate în tpul teraţlor n carul unu pas e încărcăre, sunt efnte e urătoarele relaţ: ( + 1) ( ) ( ) = + (3.17) ( + 1) ( ) ( ) = + (3.18) ( + 1) ( ) ( + 1) ( + 1) ( ) R = (3.19) une cu R s-a notat vectorul forţelor neechlbrate. entru =1 varablele e a sus au valor egale cu cele eternate la sfârştul preceentulu pas e încărcăre. Algortul etoe e teraţe poate f urărt grafc în fgura ( +1) ( + 1) R R ( + 1) ( ) +1 ( ) K K ( + 1) ( + 1) ( ) = () δ = δ ( +1) gura 3.4 Conucerea teraţlor în etoa Newton-Raphson ofcată. 3.3 MEODA AŞILOR CONROLAŢI DE LUNGIMEA DE ARC. MEODA CRISIELD Metoele e eternare a răspunsulu nelnar al structurlor care utlzează paraetr e control în încărcăr evn slab convergente ş eseor vergente în vecnatatea încărcăr care prouce colapsul global al structur sau cel local al unu eleent al acestea (atrcea e rgtate a structur evne sngulară). O posbltate e a stua coportarea structur ş în oenul post crtc, ec e a putea trasa curba încărcăre-eplasare ş upă punctul corespunzător încărcăr ltă, o reprezntă etoele bazate pe conserarea paraetrulu e control în eplasăr. În prncpal aceste etoe constau în ubla soluţonare a ssteulu 111

10 ecuaţlor e echlbru: R ( ) ( 1) [ ] = [ R ] ( 1) K (3.0) ş calculul paraetrulu e încărcăre corespunzător unu pas al analze plecân e la ecuaţa ce corespune eplasăr selectate : ( 1) ( ) ( ) R( ) = λ + (3.1) entru o valoare fxată a ncreentulu e eplasare, corespunzătoare eplasăr selectate,, ( 1) ( ) = ş = 0 pentru >1, urătoarea forulă este eventă acă luă în conserare faptul că R = 0 : prector pentru = 1 ( ) λ = (3.) R( ) corector pentru > 1 ( ) Aseănător cu etoele paşlor controlaţ e eplasăr, etoele e tp "arclength" tratează factorul e încărcare λ ca o varablă (necunoscută) aţonală în tpul teraţlor e echlbrare astfel încât poate f explorat coportaentul structur în aproperea colapsulu cât ş upă atngerea acestua surprnzân ş fenoenele e snap-through ş snap-bac ce pot apărea în oenul post-crtc e coportare. actorul ncreental e încărcăre este guvernat e o ecuaţe e constrângere suplentară care poate f pusă sub urătoarea foră generală (Crsfel, 1981): + A 0 λ = l (3.3) une =vectorul eplasărlor ncreentale propuse în carul teraraţe e echlbrare ; A 0 reprezntă un paraetru scalar ce guvernează contrbuţa relatvă ată e eplasăr ş e ncreentele e încărcăre; λ = precţa factorulu ncreental e încărcăre; reprezntă vectorul forţelor extroare, e refernţă, conserate acţonân oar în nourle e scretzare ale structur; l reprezntă lungea specfcată a arculu pentru pasul curent al analze. Noua soluţe spre care se tne în procesul teratv trebue căutată în vecnatatea ultulu punct e echlbru în spaţul efnt e o suprafaţă elpsoală, ce înconjoară ultul punct e echlbru n spaţul încărcăre-eplasare, ărea fn eternată e lungea e arc prescrsă. În calculul practc, la teraţa e echlbrare, valorle eplasărlor ncreentale sunt eternate pe baza ecuaţe (3.3), ar calculul structural este conus în contnuare pentru aflarea forţelor neechlbrate, R, ca ferenţă ntre încărcărea exteroară propusă, λ, ş cea nteroară calculată pe baza eplasărlor totale 11

11 obţnute. În cazul în care, vectorul forţelor neechlbrate evne sufcent e c, procesul teratv este oprt, în caz contrar se alege un nou set e eplasăr ncreentale pe baza ecuaţe (3.3) ş pe baza estărlor făcute în carul teraţe, contnuân calculul cu urătoarea teraţe (+1). Rs ş Wepner au aoptat o varantă lnarzată a ecuaţe e constrângere (3.3) pentru teraţa (+1), reprezentată e urătoarea ecuaţe: δ + A0 δλ λ = 0 (3.4) une δ ş δλ reprezntă corecţle ce se fac asupra eplasărlor ncreentale respectv factorulu ncreental e încărcăre λ. În etoa orgnală propusă e Rs ş Wepner (Rs 197, Wepner 1971) ecuaţa e constrângere (3.3) a fost aaugată ssteulu e n ecuaţ e echlbru, ~ ~ ~ K = R, rezultân un sste extns K = R avân (n+1) ecuaţ ş (n+1) necunoscute (eplasărle generalzate corespunzătoare celor n grae e lbertate ale structur respectv factorul e încărcăre λ). Această forulare reuce efcenţa soluţonăr întrucât în acest caz atrcea coefcenţlor ssteulu extns îş pere propretatea e setre. Structura atrce extnse ş a vectorlor corespunzător este arătată în fgura 3.5. K ~ ~ R ~ - R = K λ l g Structura ssteulu e ecuaţ extns. + A 0 λ (3.5) Ra (1981) ş Crsfel (1981, 198, 1983, 1984) au îbunătăţt această etoă propunân o etoă nrectă e soluţonare pentru ecuaţa suplentară e constrângere. În această etoă relaţa ntre δ ş δλ este rescrsă astfel: 1 1 δ = K R + δλ K (3.6) δ = δ + δλ δ (3.7) R 113

12 1 une δ R = K R reprezntă vectorul eplasărlor rezultat în ura elnar 1 forţelor neechlbrate; δ = K reprezntă vectorul eplasărlor e refernţă calculat la fecare reactualzare a atrce e rgtate tangentă a structur. recţa eplasărlor ncreentale la teraţa (+1) este realzată pe baza urătoare relaţ: + 1 = + δ R + δλ δ (3.8) Substtun + 1 în ecuaţa e constrângere (3.3) ş conserân A 0 =0 (valoare care este frecvent aoptată) rezultă urătoarea ecuaţe e graul al II-lea în necunoscuta δλ : a1 δλ + a δλ + a3 = 0 (3.9) în care coefcenţ ecuaţe aţ e urătoarele relaţ: a = δ δ a 1 = δ ( + δ R ) ( + δ ) ( + δ ) l (3.30) a3 = R R sunt eternaţ la teraţa e echlbrare, astfel încât ecuaţa (3.9) poate f acu rezolvată rezultân ouă valor (e obce reale) pentru paraetrul δλ. Alegân una ntre valorle astfel estate pentru factorul ncreental e încărcăre se pot esta pe baza relaţe (3.8) eplasărle ncreentale pentru urătoarea teraţe. Alegerea unea ntre răăcnle ecuaţe (3.9) (în cazul în care acestea rezultă reale) e eternare a factorulu e încărcare, corespunzător urătoare confguraţ e echlbru a structur este în general o probleă fclă, eoarece fecare ntre cele ouă soluţ corespun unu punct e echlbru pe curba încărcăre-eplasare, însă oar una ntre soluţ corespune aevărate confguraţ e echlbru. Crterul e selecţe propus e Crsfel constă în eternarea răăcn ce corespune cele a c valor a prousulu ( +1 ) acă a valor ce corespune celu a c ungh ntre vector ş + 1. Exstă stuaţ în care ecuaţa (1.9) nu ate întoteauna soluţ în ulţea nuerelor reale. În cazul une aseenea stuaţ prntr-o cşorare a lung e arc ş refacerea calculelor pornn e la ultul punct e echlbru cu noua lunge e arc ( l /, l / 4, ) se poate evta aparţa acestu fenoen. e lânga această etoă splă, e reucere a lung e arc, care nu este întoteauna efcentă, în lteratura e specaltate sunt oferte ş alte etoe, una ntre acestea, propusă e La & Morley 199, va f prezentată în carul captolulu 5. Metoa Crsfel, escrsă anteror, aplcată pentru soluţonarea ssteulu e ecuaţ nelnare e tp (3.1) ce expră echlbrul statc al întreg structur, va f exeplfcată în contnuare sub fora grafcă. Aceasta presupune a întâ o rescrere a ecuaţe (3.1) sub urătoarea foră ncreental-teratvă: ( ) ( + 1) ( ) ( + 1) ( 1) K δ = λ (3.31) 114

13 une K = K 0 + K 3 reprezntă atrcea e rgtate tangentă evaluată la nvelul e încărcăre păstrată constantă în tpul procesulu teratv e ( 1) ( + 1) ( ) echlbrare; = vectorul forţelor nterne ale structur; λ = factorul e încărcăre ncreental corespunzător nvelulu (+1) e încărcăre (noulu nvel e () încărcăre) ş teraţe e echlbrare ; δ reprezntă vectorul eplasărlor ncreentale estate în carul terate. Matrcele e rgtate K j, j=1, nu sunt luate în conserare în calculul atrce e rgtate tangentă a structur întrucât eplasărle ncreentale ce efnesc aceste atrc sunt nule la începutul fecăru pas e încărcăre. Aceste atrc vor serv la calculul forţelor nterne ale structur ( + 1) ( ), respectv la calculul forţelor neechlbrate pe structură pe parcursul procesulu teratv. Incarcare raectora ncarcar ( ) K δλ Curba e echlbrare (3) λ (3) δλ +1 δλ = λ ( + 1) λ ( + 1) K 1 ( + 1) λ () λ () 1 δ () 1 ( ) ( 3) ( ) δ ( 3) δ () ( + 1) ( + 1) () ( + 1) ( + 1) Deplasare g. 3.6 Conucerea teraţlor în etoa Crsfel. Vector eplasărlor ncreentale acuulate ş a forţelor nterne ale structur, corespunzătoare factorulu ncreental e încărcare λ, pentru teraţa n carul pasulu e încărcare (+1) sunt efnţ e urătoarele relaţ: ( ) ( 1) ( ) = + δ ( ) ( ) ( ) ( ) ( = K + K + K + K (3.3) ( ) ) 0 3 ( ) ( 1) ( ) λ = λ + δλ une ( 0) ( 0) = 0 ş λ = 0. rn ncele superor corespunzător atrcelor e rgtate n relaţle e a sus se evenţează faptul că aceste atrc sunt 1 115

14 reactualzate la fecare nouă teraţe ş anue: atrcea e rgtate K 0 prn reevaluarea strbuţe zonelor plastce n secţunle corespunzătoare punctelor e ntegrare nuercă n lungul eleentelor fnte ca urare a ofcar câpulu e eplasăr; atrcele K 1 ş K care sunt eternate în funcţe e nole valor ale eplasărlor ncreentale. Vectorul eplasărlor, vectorul forţelor nterne ale structur precu ş vectorul forţelor neechlbrate pe structură acuulate la sfrştul unu pas e încărcăre sunt efnte e urătoarele relaţ: ( + 1) ( ) ( ) = + (3.33) ( + 1) ( ) ( ) λ = λ + λ (3.34) ( + 1) ( ) ( ) = + (3.35) ( + 1) ( ) ( + 1) () ( + 1) ( ) R = λ (3.36) une cu R s-a notat vectorul forţelor neechlbrate. entru =1 varablele e a sus au valor egale cu cele eternate la sfârştul preceentulu pas e încărcare. 116