Dinamika leta žuželk

Transcript

1 Dinamika leta žuželk Seminar Ib Avtor: Tim Verbovšek Mentor: prof. dr. Simon Širca Ljubljana, Povzetek Predstavljenih je nekaj najpomembnejših dosedanjih raziskav leta žuželk. Obravnavane so lastnosti leta, stabilnost lastnih načinov ter možnosti korekcij stabilnosti.

2 Kazalo 1 Kinematika leta 2 2 Enačbe gibanja Približek časovnega povprečenja Določanje aerodinamskih odvodov Lastni načini leta ter stabilnost Lebdenje Vzdolžno gibanje Prečno gibanje Stabilizacija leta 11 Uvod Tako za razvijalce letečih mikrovozil kot za biologe zanimiv problem je let žuželk. Zaradi zelo majhne mase kril v primerjavi s telesom in hitrega utripanja kril je njihov let (z izjemo mogoče kolibrija) drastično drugačen od leta ptic. Reynoldsovo število letečih žuželk je reda velikosti Re 1000, kar nakazuje prisotnost zračnih vrtincev ter turbulentnega toka. Zaradi hitrega utripanja se žuželkina krila, za razliko od kril drugih letalcev, po enem zamahu znajdejo v turbulentnem toku, ki je nastal v prejšnjem zamahu. Interakcija kril z okoliškim zrakom je tako pri žuželkah precej zahtevnejša kot na primer pri letalu. Prav tako so krila žuželk v preseku ravna, medtem ko ima krilo letala dobro določeno obliko. Vzgon žuželke je tako le posledica spreminjanja kota naleta. V tem seminarju obravnavamo stabilnost leta žuželk z iskanjem lastnih stanj kontroliranega leta. S pomočjo časovnega povprečenja ter numeričnih izračunov se enačbe gibanja močno poenostavijo, problem vpliva zračnih tokov na žuželkin let pa nam reši računalnik. Prav tako raziskujemo uspešnost popravljalnih manevrov za stabilizacijo leta. 1 Kinematika leta Na podlagi raziskav [1] lahko o letu žuželk povemo naslednje: utripanje kril je približno omejeno na eno ravnino, ravnino utripanja; kot med to ter vodoravno ravnino naj bo β. Kot med vodoravno ravnino ter longitudinalno osjo žuželke pa je χ. Vpeljimo lokalni koordinatni sistem (x 1, y 1, z 1 ) s središčem v korenu kril, ravnina x 1 y 1 sovpada z ravnino utripanja, os y 1 pa kaže proti žuželkini desni (Slika 1a). Položaj krila v tem koordinatnem sistemu določajo trije koti, vpeljemo jih pa s pomočjo vektorja R w, ki kaže od korena do konice krila ter vektorja R c, ki je pravokoten na R w, kaže pa od zadnjega do vodilnega roba krila (Slika 1b). Kot φ w je kot med projekcijo vektorja R w na ravnino utripanja ter osjo y 1, kot θ w je kot med R w ter njegovo projekcijo na ravnino utripanja, kot ψ w pa je kot med vektorjem R c ter njegovo projekcijo na ravnino utripanja. 2

3 Slika 1: Pogled na žuželko s strani z definicijo kota med vodoravno ravnino in ravnino utripanja (a), prikaz vektorjev R w in R c, ki opisujeta lego krila na krilu mušice (b) ter prikaz kota φ w (c) [2, 3]. Pri zamahovanju (spreminjanje φ w ) krila nihajo okrog povprečne vrednosti φ z amplitudo Φ; φ w = φ Φ f (t) (Slika 1c), oblika funkcije f (t) pa je odvisna od vrste žuželk; za večino žuželk je ta približno harmonična [1], lahko pa je tudi trapezna [4] (npr. pri vpetem letu vinskih mušic). Pri zamahovanju se prav tako spreminja kot naleta α, ki je s kotom ψ w povezan kot α = ψ w pri zamahu navzdol oziroma α = 180 ψ w pri zamahu navzgor; temu pravimo rotacija. Kot θ w je za večino žuželk majhen, največ 10 [1]. Vinske mušice so zopet izjema; za njih je θ w 30 [5]. Prava krila so upogljiva, njihova površina pa je razbrazdana, kar moramo pri modeliranju upoštevati. Izkaže se [6], da se z upoštevanjem upogljivosti kril povečata tako vzgon kot energija, ki jo žuželka porabi za letenje. Nasproten vpliv pa ima upoštevanje korugacije kril [7]. Vzgon ter energijska poraba sta tu manjša. Z upoštevanjem obeh lastnosti neidealnih kril se prispevka skoraj izničita, vzgon in energijska poraba sta večja za približno 3% [2]. Model idealnih kril tako vrne zanesljive rezultate. 2 Enačbe gibanja V tem poglavju predstavimo enačbe gibanja, ki opisujejo let žuželke, zgrajene iz togega trupa ter N togih kril [8]. Vpeljimo tri koordinatne sisteme (Slika 2a). Laboratorijski sistem označimo z (x E, y E, z E ). Lokalni koordinatni sistem (x b, y b, z b ) ima izhodišče v težišču leteče žuželke (R cg ), osi x b ter z b ležita v vzdolžni zrcalni ravnini, y b pa kaže proti žuželkini desni. Tretji koordinatni sistem, (x w, y w, z w ), ima izhodišče v korenu krila (R h ), os x w kaže proti konici, z w pa proti zadnjemu robu krila. Težišče žuželkinega telesa se v laboratorijskem koordinatnem sistemu giblje s hitrostjo v cg ter vrti s kotno hitrostjo ω bd. Sile in navori, ki delujejo na letečo žuželko so prikazani na Sliki 2b. Aerodinamična sila, ki deluje na žuželko, naj bo F A, navor pa M A. Enačbe gibanja v sistemu (x b, y b, z b ) zapišemo [2]: ( ) dvcg F A mg = m ω bd v cg a 1 b 1, (1) dt M A N [ ( ) ] mwg Rh R wg g i=1 i = ω bd (I bd C) ω bd (I bd C) dω bd dt 3 a 2 b 2. (2)

4 Slika 2: Izbira koordinatnih sistemov z relacijami med njimi (a) ter prispevki k navoru in sili (b) [8]. V zgornjih enačbah je m celotna masa žuželke, m wg masa i-tega krila (vsota v drugi enačbi teče po vseh N krilih žuželke), g vektor težnostnega pospeška, I bd tenzor vztrajnostnega momenta telesa, C prispevek utripajočih kril k vztrajnostnemu momentu, vektor R wg pa kaže od korena i-tega krila do njegovega težišča. Člena a 1 in a 2 predstavljata prispevka k sili in navoru, ki sta posledica rotacije togega trupa (in z njim lokalnega koordinatnega sistema). Člena b 1 in b 2 pa predstavljata prispevka k sili in navori, ki sta posledica utripanja kril. Izpeljava teh členov je dolgotrajna ter za naše potrebe nepomembna, zato jo tu izpustimo. Ker ima položaj kril R wg znano časovno odvisnost (prejšnje poglavje), so neznane opazljivke le še hitrost žuželke v cg, njena kotna hitrost ω bd ter rotacija lokalnega koordinatnega sistema (x b, y b, z b ). Sila F A ter navor M A sta zaenkrat še nepoznana, kako pa se določijo njune komponente, si bomo ogledali v nadaljevanju. 2.1 Približek časovnega povprečenja V nadaljevanju predpostavimo, da je čas enega zamaha žuželkinih kril precej krajši kot hitrost giabanja njenega trupa [8] (to bomo preverili kasneje). Količine, ki nastopajo v enačbah gibanja, zapišemo kot vsoto povprečne vrednosti (označene s črto ) ter trenutnega odstopanja od povprečne vrednosti (označenega s strešico ˆ). Če sedaj enačbe gibanja časovno povprečimo, dobimo F A mg = m ( d vcg dt ω bd v cg ˆω bd ˆv cg ) ā 1 b 1, M A N [ mwg R wg g ] i i=1 = ˆω bd Ī b w ˆω bd ω bd Ī b w ˆω bd ˆω bd Î b w ω bd ω bd Ī b w ω bd Ī b w d ω bd dt ā 2 b 2, kjer je I b w = I bd C. V členih ā 1 ter ā 2 nastopa masa kril m wg, ki pa je pri večini žuželk približno dva reda velikosti manjša kot masa žuželke m, zato lahko ta člena zanemarimo. Iz istega razloga v 4

5 Slika 3: Osi lokalnega koordinatnega sistema z izbranimi količinami; pogled od strani (a) ter pogled od spredaj (b) [2]. enačbi navora izpustimo vsoto (drugi člen na levi strani). Ker je utripanje kril zelo hitro, morata biti trenutni odstopanji ˆv cg ter ˆω bd zelo majhni. Izkaže se [8], da lahko v zgornjih enačbah zanemarimo člene, kjer ti količini nastopata. Zaradi periodičnega utripanja kril se prispevka k sili in navoru b 1 ter b 2 po enem utripu skoraj izničita; zanemarimo lahko še ta dva člena. Enačbe gibanja se tako poenostavijo v F A mg = m ( d vcg dt ω bd v cg ), (3) d ω bd M A = ω bd Ī b w ω bd Ī b w, (4) dt ki pa so enake enačbam gibanja iz aerodinamike togih teles [9]. Za žuželko pravimo, da je v ravnovesju, ko lebdi ( v cg = 0). Osi x b ter z b si izberimo tako, da je v ravnovesju os x b vodoravna in kaže naprej, z b pa kaže navzdol. Orientacijo lokalnega koordinatnega sistema izven ravnovesja naj določajo naklon θ (zasuk okrog osi y b ), kot φ (zasuk okrog osi x b ) ter kot ψ (zasuk okrog osi z b ). V lokalnem koordinatnem sistemu ( ) x y, y b, z b označimo komponente hitrosti v cg, kotne hitrosti ω bd ter aerodinamične sile F A in navora M A z v cg = [u, v, w] T, ω bd = [ p, q, r ]T, F A = [X, Y, Z] T, M A = [L, M, N] T. Komponente tenzorja vztrajnostnega momenta Ī b w naj bodo označeni z I i j. Izbira osi in količin je prikazana na Sliki 3. 5

6 Enačbi 3 ter 4 sedaj po komponentah preuredimo v devet sklopljenih diferencialnih enačb u = (wq vr) X g sin θ, (5) m v = ru pw Y g cos θ sin φ, (6) m ẇ = qu pv Z g cos θ cos φ, m (7) I xx ṗ I xz ṙ = L I xz pq (I yy I zz )qr, (8) I yy q = M I xz ( p 2 r 2) (I xx I zz ) rp, (9) I xz ṗ I zz ṙ = N ( ) I xx I yy pq Ixz qr, (10) φ = p (q sin φ r cos φ) tan θ, (11) θ = q cos φ r sin φ, (12) ψ = 1 (q sin φ r cos φ). cos θ (13) Gibanje sedaj opišimo kot trenutno odstopanje vrednosti zgornjih opazljivk od vrednosti v ravnovesju, x = x e δx, kjer je x vektor stanja, x = [ u, v, w, p, q, r, φ, θ ]T. Če so odstopanja leta od ravnovesja majhna, lahko vse komponente aerodinamične sile in navora zapišemo kot parcialne odvode X = X e X X X X X X δu δv δw δp δq δr u v w p q r (14) = X e X u δu X v δv X w δw X p δp X q δq X r δr, (15) zaradi majhnih odstopanj od ravnovesja pa predpostavimo, da so ti (imenovani aerodinamski odvodi) konstantni. Enačbe (5)-(13) lineariziramo ter jih zapišemo v matričnih oblikah [2]; enačba za vzdolžno zmoteno gibanje je δ u δu δẇ δw δ q = A δq ; A = δ θ δθ X u /m X w/m X q /m g Z u /m Z w/m Z q /m u e 0 M u /I y M w/i y M q /I y , (16) enačba za prečno zmoteno gibanje pa je δ v δv δṗ δp δṙ = A 1 δr ; (17) δ φ δφ Y v /m Y p /m Y r /m u e g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I A 1 = z L v I xzn v / I x I z I xz 2 I z L p I xzn p / I x I z I xz 2 I z L r I xzn r / I x I z I xz 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). I xz L v I x N v / I x I z I xz 2 I xz L p I x N p / I x I z I xz 2 I xz L r I x N r / I x I z I xz (18) 6

7 V zadnjem koraku smo vpeljali še brezdimenzijske količine s pomočjo karakteristične dolžine c (povprečna širina krila), karakteristične hitrosti U (povprečna hitrost utripanja kril pri dolžini vztrajnostnega radija r 2 = J w /m, definirana kot U = 2Φνr 2, kjer sta Φ amplituda utripanja kril in ν frekvenca utripanja) ter karakterističnega časa c/u. Brezdimenzijska hitrost je tako v cg = v cg /U, kotna hitrost ω bd = ω bd/u, tenzor vztrajnostnega momenta je Ī b w = Ī b w /0.5ρS t c 3, kjer je S t površina kril, sila F A = F A /0.5ρU 2 S t, navor M A = M A /0.5ρU 2 S t c, masa m = m/0.5ρs t c, čas t = tu/c ter gravitacijski pospešek g = gc/u 2. Splošna rešitev enačb (16) in (17) je oblike x (t) = 4 i=1 c j q j e λ jt, kjer ima vektor x(t) bodisi obliko [ δu, δw, δq, δθ ]T za longitudinalno gibanje bodisi obliko [ δv, δp, δr, δφ ]T za prečno, q j in λ j sta j-ti lastni vektor in njemu pripadajoča lastna vrednost, c j pa je določen z začetnimi pogoji. Lastni načini leta niso nič drugega kot lastni vektorji matrik A in A 1, njim pripadajoče lastne vrednosti pa nam povejo stabilnost lastnih načinov; te si bomo ogledali v nadaljevanju. 2.2 Določanje aerodinamskih odvodov Preden se lotimo iskanja lastnih stanj sistema potrebujemo še vrednost aerodinamskih odvodov v okolici ravnovesnega leta, zapisanih v enačbi (14). Te lahko določimo bodisi iz mehanskih modelov bodisi iz numeričnih izračunov. Slednjih načinov je več, v nadaljevanju opišemo postopek, povzet po [10]. V modelu predpostavimo, da žuželkina krila ne vplivajo na tok okrog njenega trupa in obratno. Tako lahko tok in silo izračunamo posebej za krila in trup. Aerodinamična sila F A ter navor M A sta določena z F i = (pn i ηυ ik n k ) ds ; υ ik = 1 ( υi υ ) k (19) 2 x k x i S kjer funkcijo v oklepaju integriramo po celotni površini ali žuželkinega trupa ali kril, p je tlak obtekajočega zraka, n i je i-ta komponenta normale na telo, η je dinamična viskoznost zraka, υ pa vektor hitrosti obtekajočega zraka. Ta je podan z Navier-Stokesovima enačbama za nestisljiv tok υ = 0, (20) υ t υ υ = 1 ρ p η 2 υ, (21) kjer je ρ gostota zraka. Najprej na podlagi opazovanj letečih žuželk določimo parametre ravnovesnega leta (β, Φ (t), α (t), v cg, ω bd = 0). Prostor okrog žuželke opišemo z diskretno tridimenzionalno mrežo, ki pa je dovolj velika, da na njenem robu privzamemo stacionaren tok (sprememba hitrosti zraka v robnih točkah je posledica le relativne hitrosti žuželkinih kril ter trupa). Gibanje okoliškega zraka tako opišemo kot hitrost υ v točkah diskretne mreže, pri čemer je ta na površini žuželke nič, na robu pa je enaka v cg pri obravnavanju trupa ter ( v cg v rot ) pri obravnavnavanju kril. Tu je v cg hitrost žuželkinega težišča, v rot pa hitrost robnih točk koordinatnega sistema okrog kril. Ta je določena z utripanjem s krili. Ob času t = 0 postavimo krilo v začetno lego, hitrost 7

8 Slika 4: Sprememba komponent sile ter navora na žuželko kot posledica variacije komponent hitrosti v cg ter kotne hitrosti ω bd [10]. zraka v vsaki točki pa je nič. Nato v vsakem naslednjem časovnem koraku rešimo enačbo (21) v obliki υ t t = υ t t [ 1 ρ p t η 2 υ t υ t υ t ], kjer zadnji člen na desni rešimo z metodo umetne stisljivosti [11]. Silo na krila nato izračunamo iz enačbe (19), hitrost zraka na robnih točkah pa spremenimo glede na spremembo hitrosti žuželkinega težišča ter kril. Postopek ponavljamo dovolj časa, da je približek časovnega povprečja upravičen, nato izračunamo povprečno silo in navor. Eno od opazljivk (komponente v cg, ω bd ) nato izmaknemo iz ravnovesne vrednosti ter ponovno izračunamo komponente sile ter navora. S spreminjanjem opazljivk ter računanjem komponent sile ter navora dobimo odvisnost, prikazano na Sliki 4. Dobljenim krivuljam prilagodimo premico, naklon te premice pa je enak aerodinamskemu odvodu. 3 Lastni načini leta ter stabilnost Lastna vrednost nosi informacijo o stabilnosti lastnega načina, ki mu pripada, saj žuželkino gibanje v kateremkoli lastnem načinu opisuje enačba x (t) = cqe λt. Lastna vrednost je lahko v splošnem kompleksno število oblike λ = n ± iω. Predznak njenega realnega dela n / n določa, če je gibanje dušeno (negativen predznak) ali divergira (pozitiven predznak), absolutna vrednost n pa določa hitrost dušenja oziroma divergence; čas, v katerem se motnja podvoji oziroma prepolovi je t d,h = 0.693/ n [10]. Imaginaren del lastne vrednosti predstavlja frekvenco oscilirajočega gibanja. Večina obstoječih raziskav je obravnavala lebdenje [8, 10], obstajajo pa tudi raziskave letenja naprej (npr. čmrljev let [12]). 3.1 Lebdenje Ker se je naš problem prelevil v reševanje dveh matričnih enačb (16) in (17), so rešitve ločene na dve skupini; vzdolžno ter prečno gibanje. Čeprav se lastnosti, kot so oblika trupa in kril, masa trupa ter frekvenca utripanja med žuželkami močno razlikujejo (razpon mas je na primer med 11 ter 1648 mg, razpon frekvenc utripanja pa med 26 in 157 Hz [2]) imajo vse žuželke podobne lastne načine gibanja. Lastnosti žuželke vplivajo le na velikost aerodinamskih odvodov, torej na lastne vrednosti. Lastni načini leta so sledeči [2]: za vzdolžno gibanje obstajajo nestabilno osciliranje ter dva stabilna dušena načina, za prečno gibanje pa stabilno osciliranje, stabilno dušeno gibanje ter nestabilno dušeno gibanje. 8

9 Slika 5: Levo: Časovna odvisnost vzdolžne hitrosti (δu ), kota naklona žuželkinega telesa (δθ ) ter kotne hitrosti okrog osi y b (δq ) v oscilatornem lastnem načinu gibanja (a) ter predstavitev lege, hitrosti in kotne hitrosti v dveh trenutkih osciliranja (b). Orientacija glavne osi žuželke v ravnovesju (δθ = 0) je prikazana s sivo črtkano črto. Desno: Časovna odvisnost vzdolžne hitrosti (δu ), kota naklona žuželkinega telesa (δθ ), kotne hitrosti okrog osi y b (δq ) ter odmika žuželkinega težišča v vzdolžni smeri (δx E ) v močno dušenem lastnem načinu gibanja (a) ter predstavitev lege, hitrosti in kotne hitrosti (b). Orientacija glavne osi žuželke v ravnovesju (δθ = 0) je prikazana z rjavo črtkano črto [10] Vzdolžno gibanje Oglejmo si lastne vektorje in vrednosti vzdolžnega gibanja čmrlja tipa bombus terrestris [10]. Prvi lastni način je nestabilno osciliranje. Glavne spremenljivke tu so vzdolžna hitrost δu, naklon δθ ter komponenta kotne hitrosti δq (Slika 3); vse ostale so vsaj za dva reda velikosti manjše [10]. Gibanje je tako sestavljeno iz premikanja težišča naprej in nazaj ter vrtenja okrog osi y b. Lastni vektor je, normiran tako, da je δθ = 1, δu δθ δq = 0.1(113.3 ) 1(0 ) 0.14(71.1 ) ustrezna lastna vrednost pa je λ 1 = ± 0.129i. Faze komponent lastnega vektorja so v zgornji enačbi zapisane v oklepajih. Motnja se tako (v brezdimenzijski obliki, normirani z obhodnim časom utripanja kril) podvoji v času t d = 15.4 (99 ms), perioda osciliranja pa je T = 48.7 (310 ms). Vidimo, da sta ta dva časa precej daljša od utripanja s krili; časovno povprečenje v prejšnjem poglavju je bilo upravičeno. Gibanje žuželke v tem lastnem načinu je predstavljeno na Sliki 5 (levo). Vidimo, da se žuželka večino časa med premikanjem naprej obrača navzgor ter med premikanjem nazaj obrača navzdol (δu in δq sta istega predznaka). Kombinacija teh premikov doprinese k nestabilnosti lastnega nihanja. Pri drugem (močno dušenem) lastnem načinu so glavne spremenljivke zopet δu, δθ ter δq, lastni vektor je δu δθ δq = 0.07(0 ) 1(0 ) 0.2(180 ) 9,,

10 Slika 6: V tretjem lastnem načinu se žuželka giblje le v navpični smeri, edina neničelna komponenta je δw [10]. vse tri komponente lastnega vektorja tako oscilirajo v fazi. Lastna vrednost je λ 2 = 0.197, začetna motnja pa se prepolovi že po treh zamahih kril (t h = 3.5 oziroma 22 ms). Gibanje je prikazano na Sliki 5 (desno), tu je na grafu dodan še odmik težišča žuželke v smeri x od ravnovesne vrednosti (pri osciliranju je bil povprečni odmik 0). Pri tretjem (šibko dušen) lastnem načinu pa je, za razliko od prejšnjih dveh, največja komponenta δw, kar pomeni, da gre za gibanje v navpični smeri. Začetna motnja se prepolovi po okrog šestedesetih zamahih kril (t h = 57.8 oziroma 370 ms), gibanje je prikazano na Sliki Prečno gibanje Za obravnavanje prečnega gibanja si oglejmo primer lebdečih kalnic tipa eristalis tenax [13]. Pri prečnem gibanju so nezanemarljive komponente štiri: prečna hitrost δv, vrtenje okrog osi x b δp, vrtenje okrog osi z b δr ter prečni naklon δφ (Slika 3b). Prvi lastni način je nestabilen. Lastni vektor (normiran tako, da je δφ = 1) je δv δp δφ = 0.179(0 ) 0.079(0 ) 1(0 ) začetna motnja pa se podvoji po devetih zamahih kril (t d = 8.8 oziroma 54 ms). Začetna motnja tu nagne ravnino utripanja vstran, kar destabilizira let. Žuželko odnese vstran. Drugi lastni način je stabilno osciliranje. Lastni vektor je δv δp δφ =, ( ) (147.5 ) 1(0 ) fazna razlika je tu zapisana v oklepaju. Perioda oscilacij je T = (670 ms), začetna motnja pa se prepolovi po osmih zamahih kril (t h = 7.8 oziroma 47 ms). Ker imata tu prvi dve komponenti veliko fazno razliko v primerjavi z naklonom δφ, prečna hitrost kompenzira naklon, kar vodi v stabilizacijo leta. Tretji lastni način je stabilen. Tokrat je zanemarljiva komponenta δv, lastni vektor je δp δr δφ = 0.510(180 ) 0.472(0 ) 1(0 ) 10.,

11 Velikosti prvih dveh komponent sta zelo podobni, njuna fazna razlika pa je 180 ; imata nasproten predznak. Ker je kot med vodoravno ravnino in glavno osjo žuželke približno χ 45 [13], to pomeni, da gre za rotacijo okrog žuželkine glavne osi. Gibanje je dušeno, začetna motnja pa se prepolovi že po enem zamahu kril (t h = 1.36 oziroma 8.2 ms). 4 Stabilizacija leta V prejšnjem poglavju smo videli, da je let žuželk precej nestabilen, zato za stabilizacijo žuželke potrebujejo informacije o sebi in o okolju ter hiter odziv na motnje. Podrobnosti čutil trenutno še niso dobro poznane, vemo pa, da nekatere žuželke kot senzorje uporabljajo vid in trepetavke (zakrneli par kril, ki zaradi hitrega utripanja služi kot merilec kotne hitrosti). Za odziv na motnje imajo žuželke na voljo več mehanizmov [2]: med letom lahko spreminjajo povprečen kot zamahovanja φ, amplitudo Φ, kot naleta med zamahom navzdol (α d ) ali med zamahom navzgor (α u ), čas rotacije kril na polovici zamaha (ko gre kot naleta iz α d v α u in obratno), časovno usklajenost utripanja kril in rotacije ter naklon ravnine utripanja β. Da bi določili, kako ti popravki vplivajo na žuželkin let, v enačbo (14) dodamo člene, ki opisujejo vpliv spremembe parametra, ki določa popravke ( na primer δ φ) na let ter rešujemo enačbo X = X e X u X X δu δv... v φ δ φ X Φ δφ..., δ u δu δ v δv δ φ δẇ = A δw B δφ.... Elementi matrike B tako določajo odziv leta na določeno spremembo, določimo jih pa numerično, kot aerodinamske odvode v matriki A. Za mušice [14] je stabilizacija lepo rešljiva. Nestabilen oscilirajoč način se lahko stabilizira ali s spremembo povprečnega kota zamahovanja δ φ ali pa spremembo diferencialnega kota naleta δα 2 (tu se kot naleta spremeni δα u = δα 2 /2 ter δα d = δα 2 /2), stabilnost šibko stabilnega načina pa se ojača z ali spremembo amplitude zamahovanja δφ ali pa s spremembo simetričnega kota naleta δα 1 (δα 1 = δα u = δα d ). Pri prečnem gibanju pa se nestabilen način lahko stabilizira, stabilnost šibko stabilnega leta pa ojača z δφ a (amplituda levega krila se poveča za δφ a /2, amplituda desnega pa zmanjša za toliko), δα 1a (kot naleta levega krila se poveča za δα 1a, kot naleta desnega pa zmanjša za toliko) ter δα 2a (Za levo krilo se α d poveča in α u zmanjša za δα 2a /2 in obratno za desno krilo). Žuželke imajo tako več kot dovolj možnosti za stabilizacijo leta. 11

12 Zaključek Kljub temu, da so žuželke v naravi pri letu izvrstne, smo pokazali, da je let žuželk precej nestabilen, saj niso vsa lastna stanja stabilna. Seveda moramo biti pozorni na vse približke, ki smo jih uporabili, izračunani lastni načini gibanja pa veljajo le za majhna odstopanja od ravnovesnega leta. Nestabilnosti leta žuželke kljubujejo z različnimi manevri. Literatura [1] C. P. Ellington, Phil. Trans. R. Soc. B 305, 1 (1984). [2] M. Sun, Rev. Mod. Phys. 86, 615 (2014). [3] Dobljeno na naslovu (14. januar, 2015). [4] J. M. Zanker, Phil. Trans. R. Soc. B 327, 1 (1990). [5] S.N. Fry, R. Sayaman, M.H. Dickinson, J. Exp. Biol. 208, 2303 (2005). [6] G. Du, M. Sun, J. Exp. Biol. 213, 2273 (2010). [7] G. Du, M. Sun, J. Theor. Biol. 300, 19 (2012). [8] M. Sun, J.K. Wang, Y. Xiong, Acta. Mech. Sin. 23, 231 (2007). [9] B. Etkin, L. D. Reid, Dynamics of Atmospheric Flight, (John Wiley and Sons, Inc., New York, 1996). [10] M. Sun, Y. Xiong, J. Exp. Biol. 208, 447 (2005). [11] M. Sun, J. Tang, J. Exp Biol. 205, 55 (2002). [12] Y. Xiong, M. Sun, Acta. Mech. Sin. 24, 25 (2008). [13] Y.L. Zhang, M. Sun, Acta. Mech. Sin. 26, 175 (2010b). [14] M. Sun, J.K. Wang, J. Exp. Biol. 210, 2714 (2007). 12