Din figura anterioară, 2 T ω = ω = = 0,636 I m. T 2 π

Transcript

1 rs 6 mne. rce elecrce în cren alernav snsodal. Mărm alernave snsodale Se nmeşe mărme snsodală sa armoncă o mărme alernavă, (de exeml, crenl elecrc), rerezena în fgra 3., care oae f scrsă sb forma: () = m sn(ω ± ϕ), nde: m ese valoarea maxmă (de vârf) sa amldnea, ω ese lsańa, ar ϕ ese faza nńală a mărm snsodale. Argmenl snsl, adcă mărmea lnar varablă în m (ω ± ϕ), se nmeşe faza mărm snsodale. onvenm să nmm valoare nsananee, valoarea e care o are mărmea varablă la n momen oarecare. el ma scr nerval de m dă care mărmea erodcă îş rea valoarea în aceeaş ordne se nmeşe eroadă, noaă c (), având ca nae de măsră secnda. Nmărl de eroade crnse în naea de m se nmeşe frecvenńă (f), ar rodsl π f = ω se nmeşe lsańa sa veză de roańe a mărm erodce, ş se măsoară în rad/s sa s -. Exsă dec relańle: ω π f = = ; ω = π f = ; ω = π. π FrecvenŃa se măsoară în herz (Hz). În sseml de năń S, faza ş faza nńală, care sn nghr, se măsoară în radan. Prodsl ω = α rereznă n ngh geomerc, adcă ese o mărme sańală. () Fg. 3. ϕ/ω ϕ + m /4 / 3/4 π/ π 3π/ π - m med [s] [s] ω [rad] Dn fgra aneroară, se oae observa că fnńa sns are eroada π, fa ce face ca modfcarea faze nńale c n mll ozv sa negav de π, să n modfce valoarea fncńe. Prncalele mărm ce caracerzează o mărme snsodală sn: Valoarea de vârf sa amldnea ne mărm snsodale, ese cea ma mare valoare nsananee (ca modl) e care o oae avea acea mărme în decrsl ne eroade. Aceasă valoare se noează, de exeml în cazl n cren (), c smboll m. Valoarea mede. Aşa cm se şe, valoarea mede a ne mărm snsodale, lând ca domen de negrare o eroadă, ese nlă. În elecroehncă, se lzează oş, enr caracerzarea mărmlor snsodale, o valoare mede calclaă nma enr alernanńa ozvă, adcă enr o jmăae de eroadă, exrmaă c ajorl valor de vârf asfel: m med = m sn d cos m ω = ω = =,636 m ω π Prn analoge se obńne valoarea mede enr ensne : med = m =,636 m π moranńa valorlor med ale crenl ş ensn consă în fal că acese valor se măsoară c ajorl aaraelor elecrce de magneoelecrc revăze c redresor. Valoarea efecvă sa efcace. Valoarea efecvă a crenl snsodal ese egală c acea valoare consană, a n cren conn care, recând rnr-n rezsor c rezsenńa dezvolă în m de o eroadă aceeaş energe calorcă Q ca ş crenl snsodal = m snω ce rece rn acelaş rezsor, în acelaş nerval de m :

2 Q = = d. => = m m sn ω d = =,77 m Prn analoge se obńne valoarea efecvă, a ne esn snsodale: = m =,77 m. Valoarea efecvă ese ndcaă de aaraele elecrce de măsra, enr crenl alernav (c exceńa celor c redresor). În elecroehncă, se oerează c valorle efecve ale mărmlor snsodale, asfel că rezlă exresa: = sn(ω +ϕ) Aceasă relańe se nmeşe forma normală în sns a ne mărm snsodale. O mărme snsodală ese dec comle deermnaă dacă se cnosc valoarea efecvă, lsańa ω, adcă frecvenńa f, ş faza nńală ϕ. DferenŃa dnre fazele nńale ale doă mărm snsodale se nmeşe defazaj. Penr doă mărm snsodale de forma: = sn(ω +ϕ ) ş = sn(ω +ϕ ), defazajl ese: ϕ = ϕ - ϕ. Aces defazaj oae f ozv sa negav. Dacă ϕ - ϕ >, ese defaza înanea l, ca ş în fgra 3.,a, ar dacă ϕ - ϕ <, ese defaza în rma l, ca în fgra 3.,b. () () ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ a Fg. 3. ϕ b În cazl defazajl dnre doă mărm snsodale se o v rmăoarele cazr arclare: ϕ = ϕ - ϕ = mărmle sn în fază când ambele mărm rec deodaă rn zero ş rn maxme, ambele mărm sn în acelaş momen maxme ozv sa negav,ele fnd snfazce. ϕ = ϕ - ϕ = ± π mărmle sn în cadrară când na dnre mărm rece rn maxm, cealală rece rn zero. ϕ = ϕ - ϕ = ±π - mărmle sn în oozńe de fază sa în anfază când cele doă mărm rec deodaă rn zero ş maxme, dar acese sn ose.. erezenarea fazorală a mărmlor alernave snsodale Aceasă meodă consă în lzarea roreăńlor nmerelor comlexe ş oferă smlae ş volm reds de calcl. +j b Dă cm se şe dn algebra nmerelor comlexe, fecăr nmăr comlex c î coresnde bnvoc în lanl comlex a l Gass n nc (afxl nmărl) ş dec î coresnde n vecor de ozńe,care se nmeşe r α c a Fg fazor, ca în fgra 3.3: În lanl comlex axa abcselor se nmeşe axă reală,, ş se ndcă rn smboll + ; ar axa ordonaelor se nmeşe axă magnară, ş se rereznă rn smboll +j. n nmăr comlex oae f scrs sb na dn formele: ) forma algebrcă: c = a + j b nde: a = e{ c } area reală a nmărl comlex

3 b = m{ c } area magnară a nmărl comlex Modll sa lngmea fazorl O, se noează c r, fnd deermna c formla: r = c = a + b Argmenl nmărl comlex se noează c α, fnd nghl e care-l face fazorl c axa reală: α = arcg a b ) forma rgonomercă: Dn fgra 3.3 se observă că: a = r cosα b = r snα e care înlocnd-le în forma algebrcă rezlă: c = a + j b = r cosα + j r snα = r (cosα + j snα) 3) forma exonenńală: - deoarece, cosα + j snα = e j α, se obńne forma exonenńală: c = r e j α smlfca. erezenarea în comlex a ne mărm snsodale oae f făcă în doă forme: nesmlfca sa a) egla de rerezenare fazorală nesmlfcaă: În aces caz mărm snsodale alernave = sn(ω + ϕ), se asocază n fazor a căr modl ese egal c amldnea mărm snsodale ş al căr argmen ese egal c faza mărm snsodale: = sn(ω + ϕ) = e +j ω +ϕ Fg j (ω + ϕ) Nmărl comlex se bcră de roreaea că roecńa sa e axa magnară, ese char mărmea snsodală, ca în fgra 3.4: = [ cos(ω + ϕ )+ j sn(ω + ϕ)] = cos(ω + ϕ) + j sn(ω + ϕ) Dec = m{ } În aceasă sańe nmerele comlexe sn fncń de m, având roecńle e axe ş argmenl varabl, de varablă. b) egla de rerezenare fazorală smlfcaă: Penr rerezenarea în comlex smlfca se rennńă la coefcenl ş la oeraorl e j (ω ), obńnând-se fazorl comlex smlfca. = sn(ω + ϕ) = e j ω Mărmea se nmeşe valoarea efecvă comlexă. În acesă sańe, modll fazorl ese egal c valoarea efecvă a mărm snsodale, ar argmenl fazorl ese egal c faza nńală a mărm snsodale. erezenarea în comlex smlfca se bazează e roreaea că mărmle snsodale dnr-n crc elecrc, având aceeaş frecvenńă, dferă înre ele nma rn valoare efecvă ş faza nńală, ând f caracerzae rn erech de nmere (val. efecvă, faza nńală). oresondenńa oerańlor în rerezenarea comlexă a mărmlor snsodale rezlă meda, ca în cele ce rmează:

4 a) Amlfcarea mărm snsodale c n scalar real coresnde bnvoc c amlfcarea magn comlexe rn acel scalar: λ λ b) Adnarea mărmlor snsodale coresnde bnvoc adnăr magnlor comlexe: + + c) Dervarea mărm snsodale coresnde c înmlńrea magn comlexe rn j ω: d j ω d Prn înmlńrea n fazor c j ω, în lanl comlex, aces lcr înseamnă rorea acesa în sens rgonomerc c n ngh de 9. d) negrarea în m a mărm snsodale coresnde bnvoc c îmărńrea magn comlexe rn nmărl j ω: d j ω Prn îmărńrea n fazor c j ω, are loc rorea acesa în sens nvers rgonomerc, c n ngh de 9..3 rce smle în cren alernav snsodal ezsenńa în cren alernav snsodal. Se consderă n crc c rezsenńa conecaă la srsa de ensne elecromooare, fgra 3.6 c valoarea momenană: = snω. Am consdera ensnea ca orgne de fază, c defazaj zero, adcă orneşe dn orgnea axelor de coordonae. În crc a naşere n cren = = snω = snω, nde = ese crenl efcace. ezsenńa neroară a srse ş rezsenńa condcorl s-a neglja sa se consderă nclse în rezsenńa. Deoarece m = ş m =, legea l Ohm ese valablă ş enr valorle maxme câ ş enr valorle med ale crenńlor ş ensnlor, asfel: m = m ş med = med Perea nsananee (momenană) ese rn defnńe: = = sn ω = ( cosω) = ( cosω) = ( cosω). Mărmle,, sn rerezenae în dagramele carezană ş olară în fgra 3.7, dn care rezlă că ensnea ş /4 / e = Fg. 3.6 crenl sn în fază (ϕ = ). Aces lcr la o rezsenńă, ese concreza racc rn fal că ensnea la borne rmăreşe nsanane varańa în m a crenl. Se observă că erea ese mere ozvă, = =, rn rmare erea elecrcă rmă de rezsor dn exeror, se ransformă reversbl în căldră. PlsaŃa er ese dblă ( ω) fańă de cea a ensn, fa ce face ca daoră nerńe ermce, căldra dezvolaă în rezsoare să fe roorńonală c valoarea mede în m de o eroadă a er nsananee, asfel că exresa valor med P a er ese: Fg. 3.7 Dagramă fazorală

5 P = d = = Aceasă ere P ese o ere acvă. În dagrama olară, sa fazorală, s-a folos fazor l ş, a ensn ş crenl, aceş fazor fnd nşe vecor care n a nc de alcańe ş c care se o efeca aceleaş oerań ca ş c vecor forńelor mecance. Bobna în cren alernav snsodal. Se consderă n crc c ndcvaea, rerezena în fgra 3.8, la care s-a neglja rezsenńele srse, condcoarelor ş a srelor bobne. ensnea elecromooare momenană a srse, ese: = cren varabl snω, care rodce în srele bobne n Alcând eorema a doa a l Krchhoff, crcl dn fgra 3.6, + = se obńne = - e = d =, dn care scoaem crenl : d = d => = d d Fg. 3.8 Înlocnd exresa ensn momenane în relańa aneroară, se obńne exresa crenl: π π = sn ω d = ( cos ω) = sn ω = sn ω ω ω Prodsl dnre lsańa ω = π f [rad/s] ş ndcvaea [H] se nmeşe reacanńă ndcvă, = ω, ş are ca nae de măsră [Ω]. (-) / Valoarea efecvă a crenl ese: = [A]. Perea nsananee la bornele bobne ese: π = = snω sn ω = - snω Mărmle,, sn rerezenae în dagramele olară ş carezană în fgra 3.9, dn care rezlă că / (+) (+) crenl rn bobnă ese defaza în rma ensn de la borne c nghl ozv π, coresnzăor n sfer de eroadă. Perea are alernanńe ozve ş negave, c lsańa dblă (ω) fańă de ensne ş c valoarea mede nlă: P = d = sn ω d =. Energa consmaă înr-n sfer de eroadă ese cedaă înao srse în rmăorl sfer de eroadă. Dn fgra 3.7 se consaă că energa dn rml sfer de eroadă ese negavă: / 4 / 4 d = sn ω d =, dec ese cedaă srse. Energa W ese egală în modl c W = ω (-) Fg. 3.9 energa acmlaă în câml magnec al bobne W = m =. π/ Dagramă

6 ondensaorl deal în cren alernav snsodal. Se consderă n crc c condensaor deal (fără erder în delecrc) coneca la srsa de ensne elecromooare momenană: = snω, rezsenńa neroară a srse ş a condcorl fnd negljaă, fgra 3.. Alcând eorema a doa al Krchhoff: = c, ş Ńnând seama de relańa dnre sarcna q ş caacaea a condensaorl: c e = q = = d =, se obńne, rn dervarea acese relań: d d π Fg. 3. = = ( sn ω) = ω cosω = sn ω +, d d nde = se nmeşe reacanńa caacvă (Ω), ar = rereznă crenl efecv dn crc. ω Perea momenană ese: = = snω. Mărmle, ş sn rerezenae în dagramele carezene ş fazorală, în fgra 3., dn care rezlă că crenl ese defaza înanea ensn c nghl negav π, coresnzăor n sfer de eroadă. (+) /4 / (+) (-) (-) - Fg. 3. Perea momenană are alernanńe ozve ş negave, c lsańe dblă (ω) fańă de ensne ş c valoarea mede nlă: P = d sn ω d = =. Energa consmaă înr-n sfer de eroadă W = / 4 / 4 d = sn ω d = dencă c energa ω câml elecrc al condensaorl: W = eroadă. Dn lmele doă relań se regăseşe exresa reacanńe caacve :.4 rcl,,, sere în cren alernav snsodal. = m ese cedaă înao srse în rmăorl sfer de ω Fg. 3. = = Se consderă crcl dn fgra 3., în care în care crenl rn crc are valoarea momenană daă de relańa: = snω, care rodce în crc căderle de ensne momenane, ş. ezlă dn eorema a doa a l Krchhoff: = + + e = sa: d + d, care rereznă ecańa negrodferenńală a crenl dn crcl,, în sere. łnând con de dagramele olare (fazorale) dn fgrle 3.7, 3.9 ş 3., ş lând ca fază de refernńă crenl, care ese comn ror elemenelor de crc (,, ), rezlă fgra ϕ B A Fg , în care crcl are caracer ndcv, ş relańa: = + +, sa exlc: = + jω + = ( + jω + ) = Z jω jω Dn rnghl OAB se obńne: =. + ( )

7 sa cnoscând că = ; = = ω ş = = adcă: în care = + ω, ω, ω rezlă: = + ω = Z, ω ω = = se nmeşe medanńa crcl, măsrând-se în (Ω), ar mărmea ω = + ω = se nmeşe medanńa crcl, în (Ω). Z + ω Z = + jω + = + j ( ω ) = + j, ese medanńa comlexă a crcl jω ω Defazajl dnre crenl rn crc ş ensnea la bornele crcl, rezlă dn fgra 3.3, dn rnghl OAB: ω gϕ = = = ω dec: ω ϕ = arcg ω = arcg. renl momenan are valoarea = sn(ω - ϕ), nde se calclează dn formla = Z, ar defazajl ϕ = arcg. rcl,, aralel în cren alernav snsodal. Se consderă crcl dn fgra 3.6, în care se cnosc,, ş ensnea momenană: = e = e Fg. 3.6 rc -- aralel łnând seama de defazajele crenńlor, ϕ Fg. 3.7 renń dn ramr a valorle efecve: =, = =, = = ω ω snω. Fazor crenńlor sn: =, = j ω, = j ω, fańă de ensnea comnă, recm ş de eorema l Krchhoff: = + +, se obńne dagrama olară, rerezenaă în fgra 3.7, dn care rezlă crenl : sa: = + ( ) = + ω = + =. ω Z Defazajl dnre crenl ş ensnea ese da de exresa: g ϕ = = ar valoarea momenană a crenl ese = sn(ω - ϕ).