CULEGERE DE PROBLEME

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "CULEGERE DE PROBLEME"

Transcript

1 Colecţia "LICEU CULEGERE DE PROBLEME petru eameul de admitere la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură

2 Descrierea CIP a Bibliotecii Naţioale a Româiei UNIVERSITATEA POLITEHNICA (Timişoara) Culegere de probleme petru eameul de admitere la: Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură/Uiversitatea Politehica di Timişoara. Departametul de Matematică - Timişoara : Editura Politehica, Bibliogr. ISBN (76)(79.)

3 UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMIŞOARA DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ CULEGERE DE PROBLEME petru eameul de admitere la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură Colecţia "LICEU" EDITURA POLITEHNICA TIMIŞOARA -

4 Copyright Editura Politehica, Toate drepturile sut rezervate editurii. Nici o parte di această lucrare u poate fi reprodusă, stocată sau trasmisă pri idiferet ce formă, fără acordul prealabil scris al Editurii Politehica. EDITURA POLITEHNICA Bd. Republicii r Timişoara, Româia Tel. 56/.8 Fa 56/.8 Cosilier editorial: Prof.dr.ig. Sabi IONEL Redactor: Claudia MIHALI Bu de imprimat:.. Coli de tipar: 7 C.Z.U. 5(76)(79.) ISBN Tiparul eecutat la S.C. URC XEDOS Timişoara

5 5 CUPRINS ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL )...9 ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE (simbol TG )...5 ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ (simbol AM )...57 ANEXE Subiecte date la admitere î aii 9 şi, cu soluţii complete...79 BIBLIOGRAFIE..

6 6

7 7 PREFAŢĂ Prezeta culegere coţie probleme de matematică petru pregătirea cadidaţilor la admiterea î Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii şi Facultatea de Arhitectură di cadrul Uiversităţii Politehica di Timişoara. Problemele sut prezetate după modelul test, cu mai multe răspusuri, ditre care uul sigur este corect. Î fialul culegerii sut prezetate subiectele, cu soluţii complete, date la admitere î ultimii doi ai la facultăţile meţioate. Notăm că această culegere este alcătuită di o parte ditre problemele di cartea Teste grilă de matematică petru eameul de bacalaureat şi admiterea î îvăţămâtul superior, Editura Politehica,, elaborată de autorii: T. Bâzaru, N. Boja, O. Lipova, A. Kovacs, G. Babescu, P. Găvruţa, D. Redi, I. Mihuţ, D. Dăiau, D. Păuescu, C. Milici şi R. Aghelescu. La cocursul de admitere, petru ote pâă la 8,, subiectele se etrag eclusiv di această culegere (cu evetuale modificări miore), restul subiectelor proveid di cartea meţioată mai sus. Departametul de Matematică al Uiversităţii Politehica di Timişoara

8 8 DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ PROGRAMA ANALITICĂ Elemete de algebră Progresii aritmetice şi geometrice. Fucţii: fucţia parte îtreagă, fucţia radical, fucţia de gradul al doilea; Ecuaţii iraţioale. Sisteme de ecuaţii eliiare. Fucţia epoeţială şi fucţia logaritmică. Ecuaţii epoeţiale şi ecuaţii logaritmice. Permutări, arajamete, combiări. Biomul lui Newto. Numere complee sub formă algebrică. Matrice. Determiaţi. Sisteme de ecuaţii liiare. Legi de compoziţie. Grupuri. Iele şi corpuri. Iele de polioame cu coeficieţi îtr-u corp comutativ. Elemete de geometrie şi trigoometrie Fucţii trigoometrice. Relaţii ître fucţii trigoometrice. Aplicaţii trigoometrice î geometria plaă: teorema cosiusului, teorema siusurilor; rezolvarea triughiurilor. Dreapta î pla. Ecuaţii ale dreptei. Codiţii de paralelism şi codiţii de perpedicularitate a două drepte. Calcule de distaţe şi arii. Elemete de aaliză matematică Limite de fucţii. Cotiuitate. Derivabilitate. Aplicaţii ale derivatelor î studiul variaţiei fucţiilor. Primitive. Itegrala defiită. Aplicaţii ale itegralei defiite: aria uei suprafeţe plae, volumul uui corp de rotaţie.

9 ELEMENTE DE ALGEBRĂ

10 Culegere de probleme ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL) AL - Să se găsească primul terme a şi raţia r ai uei progresii aritmetice a a6 + a 7 ( a ) dacă :. a8 a7 a a) a, r b)a, r c)a, r d) a 5, r e)a, r f)a, r AL - Să se determie suma primilor de termei ai uei progresii aritmetice (a ), dacă a, a 5. a) b) 795 c) 55 d) 65 e) 5 f) 5 AL - Petru o progresie aritmetică suma primilor termei ai ei este S Să se determie primul terme a şi raţia r. a) a, r 9 b)a, r c)a, r d) a, r e)a, r f)a 9, r 9 a u şir avâd suma primilor termei S + a + b, ude AL Fie ( ) ab, R, petru orice. Să se determie a şi b astfel îcât şirul ( a ) să fie progresie aritmetică cu primul terme egal cu. a) a, b a R, b, c) a, b d) a, b e) a, b f) a, b b) ( ) AL - 5 Să se determie primul terme a şi raţia q petru progresia geometrică ( a ) dacă : a a a 5. a 6 5

11 Elemete de algebră a) a, q b) a, q c) a 6, q a 6 a d) sau e) a, q f) a a sau q q q q AL - 6 Suma a trei umere î progresie aritmetică este egală cu. Dacă se adaugă acestora, respectiv umerele,,, progresia devie geometrică. Să se afle aceste umere. a) 5,,7 şi 5,, b),,7 şi 7,,-9 c) 6,8, d),,5 şi 7,5, e) 5,9, şi 8,, f),,6 şi,,9 AL 7 Să se calculeze epresia + a + a E + a + a a a, a R \ { }. a) a b) a + c) a a a + + d) a a + e) a a + + f) AL 8 Să se determie umerele reale,y,z dacă,y,z sut î progresie aritmetică cu raţia eulă,,z,y sut î progresie geometrică şi +y+z 8. a) -, 6, b), 6, - c) 6,, d) -,, 8 e), -6, 6 f) 6, -8, AL - 9 Notâd cu S mulţimea soluţiilor ecuaţiei [ ] să se precizeze care di următoarele mulţimi este S a), Z b) U k, k + k Z k c) { ; d) {-,} e) [-,] f) (-,) Z \ {,} }

12 Culegere de probleme AL Se cosideră fucţia f: R R, f ( ) + şi se otează f f ο f,, f f - ο f. Să se determie epresia lui f a) f () f() + ; b) f () f(); c) f () f()+ - + d) f () f(); e) f () f()++; f) f () f()+ AL - Să se calculeze f ((, ]) petru fucţia de gradul al doilea defiită pri f ( ) +. a) [,] b) [,) c) (,] d) [,] e) (,) f) (,) AL - Să se rezolve iecuaţia <. a) R b) (,) (, ) c) (, + ) d) (, + ) (, ) e) (,) (, + ) f) R \ {,} AL - Să se determie valorile parametrului real m astfel îcât { R :( m ) ( m ) m } >. 5 m,, + a) ( ) b) m [, + ) c) m (, ] 5 d) m +, e) m 5, f) m, ( ] AL - Fiid dată ecuaţia a +b+c, (a ), să se eprime î fucţie de a, b şi c suma S +, ude, sut rădăciile ecuaţiei date. b bc c bc b bc a) S b) S a c) S a a a a a

13 Elemete de algebră b bc c bc b bc d) S + e) S a + f) S + a a a a a AL - 5 Să se determie parametrii reali m şi astfel ca ecuaţiile ( 5m 5) + ( m) + şi ( + ) 5 + să aibă aceleaşi rădăcii. a) m -, 7; b) m - 7, c) m 9, 7 d) m, 7 e) m 7, f) m 9, -7 AL - 6 Să se rezolve ecuaţia iraţioală +. a), b), c), d), e), f), AL - 7 Fie fucţia de gradul al doilea f m ( ) m ( m ) + m, ( m ). Să se determie m astfel îcât vârful parabolei asociate acestei fucţii să se găsească pe prima bisectoare. a) m b) m c) m d) m e) m f) m 6 6 AL - 8 Determiaţi epresia aalitică a fucţiei de gradul al doilea f : R R, f ( ) a + + c, ştiid că graficul ei taie aa Oy î puctul şi are abscisa vârfului. a) f ( ) + + b) f ( ) + c) f ( ) + + d) f ( ) + + e) f ( ) + + f) f ( ) + + AL - 9 Să se determie m R astfel îcât parabolele asociate fucţiilor f şi g ( ) m m 6 să aibă acelaşi vârf. ( ) a) m - b) m c) m - d) m e) m f) m -5

14 Culegere de probleme AL - Să se determie p, q R dacă fucţia : R R are maimul î puctul -. f, f ( ) + p + q a) p, q b) p, q c) p, q d) p q e) p q f) p, q AL - Presupuem că petru ecuaţia + b + c a avem Δ > şi rădăciile,. Să se calculeze î fucţie de Δ şi a. a ( ) a) Δ a b) Δ a c) Δ a d) Δ e) Δ a f) b + a Δ a AL - Petru ce valori ale parametrului real m iegalităţile m+ < < 6 sut satisfăcute petru orice R? + a) m R b) m 6 (, ) c) m ( 6, + ) d) m (, ) e) m 66 (, ) f) m 6 [, ] AL - Să se determie Im f ( ) f ( ) a), { } f R petru fucţia f : R R, b) 9 +, c), d), U, e), U, f),

15 Elemete de algebră 5 AL - Să se rezolve sistemul + y y a) {(,), (, )} b) {(,), (,) } c) {(,), (,) } d) {(, ), (, ) } e) {(,)} f) {(,)} AL - 5 Să se determie soluţiile reale ale sistemului y + y y + y 5 a) {(,), (, )}, b) {(,)} c) {(,)} d) {(,), (,) } e) {(,), (, )} f) {(,), (, )} AL - 6 Să se rezolve iecuaţia <. 7 a), b) 5, c) 5 5, d) 5 9, e) 7 5 5, 9 f) 7 9, AL - 7 Să se determie R petru care +. a), ( ) b) c) d) ± e) f) AL - 8 Fie iecuaţia >. Care di itervalele de mai jos reprezită mulţimea soluţiilor iecuaţiei? 7 b), a) (,) c) (,] d) (,+ ) e)[,5) f) 7, AL - 9 Să se determie mulţimea A R

16 6 Culegere de probleme a) (, ] b)[,+ ) c)[,+ ) d) (,] {} e)[ ) {} AL - Să se determie valoarea epresiei, f)[,+ ) E ( 9 9 ) ( ), Z a) 6 7 b) + c) d) e) f) AL - Să se determie toate soluţiile reale ale ecuaţiei a) { 5,, } b) [ 5, ] c) { 5,} d) [ 5, ] e) ( 5, + ) f) ( 5, ) AL - Să se determie toate soluţiile reale ale ecuaţiei +.,, c) a) { } d) {}, b) { } R \ e) (, ] {} f) {,,} AL - Să se calculeze valoarea epresiei E + +, petru [, ]. a) E + b) E + c) E d) E e) E 6 f) E ( ) AL - Să se rezolve ecuaţia: +. a) b) c) lg lg + ( )

17 Elemete de algebră 7 d) e) lg lg ( ) f) lg AL - 5 Determiaţi valoarea lui petru care e + e a) b) c) d) e) f) l AL - 6 Să se rezolve ecuaţia 6 9 a) este b) c) uica soluţie log log d) e) f) log + log log AL - 7 Să se rezolve iecuaţia: + >. a) ( ),+ b)[ ), c) (, ) d) (,+ ) e) (,+ ) f) (, ) AL - 8 Să se rezolve iecuaţia: > a),log b),log c) (,) d) (,log ( 5 ) ) e) (, log ( 5 + ) ) f) (, ) AL - 9 Să se rezolve ecuaţia: log log ( 5) ( 8).

18 8 Culegere de probleme a), b), c) d) e), f) 9 AL - Să se precizeze domeiul maim de defiiţie al fucţiei: f ( ) log.,, + a) ( ) b) (, ) [, + ) c)[,+ ) d) (,+ ) e) (,] (, ) f) (, ] [, ) AL - Să se determie domeiul maim de defiiţie al fucţiei ( ) f log log. + a) (,+ ) b) (,+ ) c), (, ) d),, e) (, ) (, + ) f) (, ) AL - Mulţimea soluţiilor ecuaţiei 5 log + log este: a) φ ; b), ; c) { }, ; d), ; e){,5 } f), 5 log9 6 AL - Să se rezolve ecuaţia: log + log ( ) log. a) b) c) 6 d) 6 e) f)

19 Elemete de algebră 9 AL - Să se rezolve ecuaţia lg + lg. a) b) c) d) e) f) AL - 5 Se cosideră iecuaţia: loga log + log, a >, a a a şi se otează cu M a mulţimea tuturor soluţiilor sale. Care ditre următoarele afirmaţii este adevărată? a) M, b) M, + c) M, + d), M e) ( 5, + ) f) M (, ) M AL - 6 Fie P ( ) a y+ a y 8 y> a ( ) toate valorile lui y astfel îcât P ( ) >, oricare ar fi log log,,,. Să se determie R. a) y ( a, a ) b) y ( a, a ) 8 c) y [ a, a] d) y ( a, ) e) y ( a, a) f) y [ a, a] AL - 7 Se cosideră fucţia f : R (, + ), Calculaţi iversa sa, f. e, f ( ), <. a) c) l( + ), (,) f ( ), [, + ) b) l, (,) f ( ), [, + ) d) f f l( ), (,) ( ), [, + ) l( + ), (,) ( ), [, + )

20 Culegere de probleme e) l( + ), (,) f ( ) f), [, + ) f l, (,) ( ) +, [, + ) AL - 8 Se cosideră epresia ( ) lui R astfel îcât E< ( ) 5. E log + log. Determiaţi valorile a) (, ) b) (, ) ( 6, ) c) [,] [ 6,] d) ( 6, + ) e) (, ) (, + ) f) (, ) (, + ) AL - 9 Să se determie umărul de elemete ale mulţimii E N + A 5 < ( + )! ( )! a) b) c) d) e) f) 5 AL 5 Soluţia ecuaţiei + 5( + 6)( + 5)( ) C se află î itervalul : a) (,9); b) (-8,-); c) (-6,-); d) (,) e) (,7); f) (9,). AL - 5 Să se rezolve ecuaţia C + + P A. a) b) c) 5 d) e) 7 f) AL - 5 Să se calculeze epresia: E C k C k C k,, k, k +. k C

21 Elemete de algebră a) E b) E c) E d) E e) E f) E AL - 5 Determiaţi mulţimea A a valorilor lui R petru care: C > C. a) A (, ) (, ] b) A { 567,,} c) A [ 7, ] d) A { 89,, } e) A [, ] {, } f) A {,,, } AL - 5 Să se precizeze termeul care u coţie pe di dezvoltarea biomului a + a *, a, R +. 5 a) Ca 5 7 b) Ca 7 5 c) Ca d) Ca 5 e) Ca 8 8 f) Ca AL - 55 Care este epresia termeului di dezvoltarea biomului care coţie pe a? a +, a a a)87 7 a b) 86 7 a c)7 5 a d) 86 a e) 7 a f) AL - 56 Care este termeul di dezvoltarea biomului î care epoeţii lui şi y sut egali? y + y, a) T b) T c) T 6 d) T 8 e) T 5 f) T AL - 57 Î dezvoltarea biomului +, suma coeficieţilor biomiali ai ultimilor trei termei este egală cu. Să se afle valorile lui petru care suma ditre termeul al treilea şi termeul al cicilea este egală cu 5. a), b) c), d), e) f),

22 Culegere de probleme AL 58 Calculaţi z + + z E z z petru umerele complee z şi z ( z fiid compleul cojugat umărului z). a) ( z + z ) b) ( + zz ) c) ( + z )( z ) d) z z e) ( + z )( z ) f) ( + z z ) AL - 59 Să se găsească valorile reale ale lui m petru care umărul i mi + m i + 5 este real i. ( ) ( ) a) m b) m c) 5 m d) m e) m f) m AL - 6 Să se calculeze valoarea epresiei i i E +. i + i a) i b) c) i d) e) i f) i AL - 6 Să se determie α R astfel îcât umărul comple i α + ( α + )i să fie real. a) b) + c) + d) + e) f) + AL - 6 Să se determie umerele complee z astfel îcât z + 8 z. a) z ± i, ± b) z ± i c) z ± i, ± ± i 5 i i d) z ± i, ± e) z ± i, f) z ± 5 + 7,,

23 Elemete de algebră AL 6 Să se precizeze cu care di valorile date mai jos este egal z ( + i) ( i) 9 7. a) z + i b) z c) z i d) z i e) z i f) z + i z AL - 6 Căreia di mulţimile de mai jos aparţie α + z z C \{}? z z, petru N b) Z c) Q d) R e) C \ R f) R \{} AL - 65 Să se determie toate umerele complee z C care verifică ecuaţia z z + i. a) z + i b) z + i, z i c) z, z + i 5 d) z i e) z, z + i f) z + i AL - 66 Fie α şi β rădăciile ecuaţiei + +. Să se calculeze α + β. a) b) c) d) i e) i f) AL - 67 Precizaţi partea imagiară a umărului comple ( i) i i + i i i 9 9 a) i b) i c) i d) i e) i f) i

24 Culegere de probleme AL - 68 Să se calculeze z dacă z + + i. a) b) c) d) 6 e) f) 6 AL - 69 Rădăciile pătrate ale umărului comple +i sut : a) +i, -i ; b) +i, --i ; c) +i, -+ ; d) -i, -+i ; e) +i, -i ; f) +i, +i AL - 7 Să se calculeze rădăcia pătrată di umărul comple z + i, i. ( ) a) + i, i b) + i, + i c) + i, i d) + i, + i e) i, i f) i, i AL - 7 Fie z u umăr comple astfel îcât b z se calculeze. b + z z a a b, ude, a > b >. Să a) a b) b c) a a b a + b a b d) a + b e) b + f) a a a + b b AL 7 Numerele complee z şi z satisfac relaţia: z + z z z. Care di afirmaţiile următoare este adevărată? a) z, z - i b) z z +i c) z, z > d) z > şi z > e) cel puţi uul di cele două umere f) z >, z are modulul mai mic sau egal cu. AL 7 Aflaţi a R astfel ca matricea diagoală costată X a a să fie soluţia comuă a ecuaţiilor matriceale a

25 Elemete de algebră 5 ( ) X şi ( ) X a) a b) a c) a d) a e) a f) a AL - 7 Se dau matricele pătratice de ordiul al doilea 6 5 E şi 7 F. Să se calculeze matricea A E F a) 9 A b) 9 A c) 9 A d) 9 A e) 9 A f) 9 A AL - 75 Fie ( ) Z A M. Dacă ( ) f să se calculeze ( ) A f. a) ( ) 6 A f b) ( ) 9 6 A f c) ( ) A f

26 6 Culegere de probleme d) ( ) 9 A f e) ( ) 9 6 A f f) ( ) I A f AL - 76 Să se calculeze produsul de matrice A B, ude A, B a) 7 b) 6 7 c) 7 d) 7 e) ( ) 7 f) 7 AL - 77 Să se rezolve ecuaţia matriceală: 7 5 X a) b) c) d) 5 e) f) AL - 78 Să se rezolve ecuaţia matriceală: 5 X

27 Elemete de algebră 7 a) 5 5 b) 5 c) 5 d) 5 5 e) 5 5 f) 5 5 AL - 79 Să se rezolve ecuaţia matriceală X a) X b) X c) X d) X e) X f) X AL - 8 Să se determie matricea X care verifică relaţia: 6 X. a) X ( ) b) X c) X d) X ( ) e) X f) X

28 8 Culegere de probleme AL - 8 Să se rezolve ecuaţia matriceală X. a) X 6 5 b) X 6 c) X 6 d) X 6 5 e) X 5 f) X 6 AL - 8 Fie A. Să se arate că A este de forma: A determie apoi a, N. a şi să se a) a+ a +, a b) a+ a, a c) a+ a +, a d) a+ a, a e) a+ a +, a f) a+ a, a AL - 8 Să se calculeze. a) b) c) d) e) f)

29 Elemete de algebră 9 AL - 8 Fiid dată matricea A, să se calculeze matricea A, N*. a) A ( ) b) A ( ) c) A d) A e) A f) A ( ) + AL - 85 Să se calculeze A, N* ude A. a) A b) A + c) A d) A e) A f) A AL - 86 Să se calculeze iversa matricei 6 9 A

30 Culegere de probleme a) A b) A c) A d) A e) 5 5 A f) A AL 87 Se dă ecuaţia a ; a R \ {-}. Să se determie parametrul a astfel îcât ître rădăciile ecuaţiei să eiste relaţia ( ) + + <. a) a ( ] [ ) +,, b) a ( ) ( ) +,, c) a [-,] d) a [,] e) a ( ], f) a [ ),+ AL - 88 Să se rezolve ecuaţia: X, X M (Z). a) X b) X c) X şi X d) X i i i i 6 e) X f) X

31 Elemete de algebră AL - 89 Dacă a,b,c sut lugimile laturilor uui triughi şi h a, h b, h c sut a h h îălţimile corespuzătoare, care este valoarea determiatului: Δ b h c h b c b h h c a a? a) Δ abc b) Δ c) Δ a +b +c e) Δ ; e) Δ abc f) Δ (ab+ac+bc) AL - 9 Să se calculeze determiatul: a) 8 b) 6 c) 6 d) 7 e) 8 f) AL - 9 Să se calculeze determiatul: Δ a a a a a a) b) a c) a d) 6a e) f) - AL - 9 Să se calculeze det ( A ) dacă A a) b) c) d) 7 e) f) 5

32 Culegere de probleme AL - 9 Fie matricele A determiatul matricii A B. şi B. Să se calculeze 9 a) -; b) -; c) ; d) ; e) ; f) AL - 9 Care sut soluţiile ecuaţiei? a), 7, b),, c) 7, 5, 5 d) 7, e) 7,, f), 7, a ab ac AL - 95 Să se rezolve ecuaţia ba b bc. ca cb c a) b) a c) a, b c d), +, a + b c e), a + b c f), a,, cu elemetele AL - 96 Fie matricea A ( ij ) i, j mi { i + j, i j + } a j i. Să se calculeze det A şi A.

33 Elemete de algebră a) det A, A b) det A, A c) det A, A d) det A, A e) det A, A f) det A, A AL - 97 Să se calculeze determiatul Δ sut rădăciile ecuaţiei + + 7, ştiid că,, a) Δ b) Δ - c) Δ d) Δ e) Δ f) Δ AL - 98 Să se rezolve sistemul: + y + z y + z 5. + y + z a) (,,) b) (,-,) c) (-,,) d) (,,) e) (,,) f) (,,) AL - 99 Să se rezolve sistemul + y + z + y + z + y + z a), y, z b), y, z c), y, z d), y, z e), y, z f), y 7, z 6

34 Culegere de probleme AL - Care sut valorile parametrului m R petru care sistemul de ecuaţii: m + y + z + my + z + y + mz admite soluţie uică? a) m R \ {-,} b) m R \ {,-} c) m R \ {-,-} d) m R \ {,} e) m R \ {-,} f) m R \ {-,} AL Se cosideră sistemul + y + mz y + z m m + y + z Să se determie parametrul real m petru ca sistemul să fie icompatibil. a) m, m -; b) m, m -; c) m -, m ; d) m, m ; e) m -, m ; f) m, m -. AL - Să se determie m R astfel ca sistemul: + y 8 y 5 + y m să fie compatibil. a) b) c) d) e) 8 f) AL - Petru ce valoare a parametrului real + y z + 5y + z + y + z m este compatibil şi edetermiat de ordiul îtâi? m R sistemul de ecuaţii a) m - b) m c) m - d) m e) m - f) m

35 Elemete de algebră 5 AL - Să se determie valorile parametrilor reali a şi b petru care sistemul + y z 6 + y+ bz este icompatibil. a y + z 8 a) a a, b R sau şi b b) a c) a R \, b b 7 d) a b şi R e) a a f) 7 b b m + y z AL - 5 Se cosideră sistemul liiar + y + z ( m ) + y + z, m, R. Petru ce valori ale parametrilor m şi sistemul este compatibil simplu edetermiat? a) m, b) m, c) m, d) m, e) m, f) m, AL - 6 Să se determie mulţimea valorilor parametrului real m petru care sistemul următor este compatibil my + + y m. + ( m ) y + m a) {,} b) c) {,} d) {-,} e) R \{-,} f) {,} AL - 7 Pe R se cosideră legea de compoziţie iteră defiită astfel: y y y + m, m R Să se determie m astfel îcât această lege să fie asociativă. a) m b) m c) m d) m e) m- f) m-

36 6 Culegere de probleme AL 8 Petru orice y y e + e ( ) R, y R se defieşte legea de compoziţie l ; precizaţi mulţimea soluţiilor ecuaţiei ( ) a) l,l b) d), l l c) { l } l e) { l } f) { l } AL - 9 Pe mulţimea A R \ {} se cosideră legea de compoziţie defiită pri: y y y + c, ( ), y A, c R Petru ce valoare a lui c legea este asociativă? a) c b) c- c) c d) c e) c f) c6 AL - Fie legea de compoziţie iteră pe R defiită pri y y + α + βy ( ), y R, ude α, β R. Care sut valorile lui α şi β petru care legea este comutativă şi asociativă? a) α β sau α şi β b) α + β c) α β sau α şi β d) α β e) α β f) α, β AL - Î mulţimea R este defiită legea de compoziţie iteră astfel îcât + y ( ), y R : y cu y. y Elemetul eutru e, admis de lege este: a) b) c) d) e) f)

37 Elemete de algebră 7 AL Pe R se defieşte legea de compoziţie pri y ay y +, ude a R. Petru ce valori ale lui a legea cosiderată admite elemet eutru? a) a b) c) a d) a e) a f) a AL - Determiaţi elemetul eutru al operaţiei defiită î R pri, y, y + + y y + y + y ( ) ( ) ( ), a) (,) b) (,) c) (,) d) (,) e) (-,-) f) (,-) AL - Să se determie elemetul eutru al grupului comutativ (G, ), ude l y G (, ) \ {} iar y a) b) e c) d) e) e f) e AL - 5 Petru ce valori ale parametrului real λ itervalul (,+ ) este mooid î raport cu legea de compoziţie defiită pe R pri : y y y + λ, ( ), y R? a) λ (,6 ) b) λ ( 6, + ) c) λ6 d) λ e) λ (, + ) f) λ (, ) AL - 6 Î mulţimea R a umerelor reale se cosideră legea de compoziţie defiită pri : y a + by, ( ), y R. Să se determie parametrii reali a şi b astfel îcât această lege de compoziţie să determie pe R o structură de grup abelia. a) a, b b) a, b c) a b d) a, b e) a, b f) a, b

38 8 Culegere de probleme AL - 7 Se cosideră grupul abelia ( R, ) cu legea de compoziţie : y k k ( + k k y a ) ude a R, este u umăr fiat, iar k este impar şi k. Care este elemetul eutru şi care este simetricul elemetului R î raport cu legea cosiderată? a) a ( a ) k k k k k k ; + b) a; ( a ) c) a ( a ) k k ; d) ; ( a ) k k k k k k k k k + e) ; ( a ) f) ; ( a ) AL - 8 Să se determie partea mulţimii Z pe care legea de compoziţie defiită pri : y + y + y, ( ), y Z determiă o structură de grup abelia propriu. a) Z b) Z \{} c) Z \ { } d) {} Z \ e) {,} f) { } AL - 9 Fie M R \. Să se determie mab,, * R astfel ca legea y y y + m să determie pe M o structură de grup abelia, iar aplicaţia * ( ) ( ) ( ) f : M, R,, f a + b să fie u izomorfism ître ( M, ) şi grupul multiplicativ al umerelor reale, diferite de zero. a) m 6; a ; b b) m 6; a ; b c) m 5; a ; b d) m ; a b ; e) m ; a b ; f) m ; a ; b (,, ) AL - Fie grupurile ( R, + ) şi ( ) α f R ( ) f ( ) e + α α +. Î ce codiţii fucţia :, +,, α N, α 5 este u izomorfism de grupuri? a) α5 b) α c) α8 d) α6 e) α7 f) α 9 k AL - Fie grupul (A, + ) ude compoziţie defiită pri : A R R R şi + este legea de (, ) ( y, y, y ) ( + y, + y, + y )(, )(,, ), ( y, y y ) A +,,.

39 Elemete de algebră 9 Petru ce m R fucţia f : A A cu f,, m + +, + m m ( ) ( ), este u automorfism al grupului (A, + )? a) m ± b) m R \{} c) m {, } d) m e)m f) m R \{, } AL - Fie G (, + ) care are o structură de grup faţă de operaţia defiită pri : y y ( + y) + 6, ( ), y G. Să se determie ab îcât fucţia f : R * G, f ( ) a b R * + + petru orice + R * +, la grupul ( G, ). izomorfism de la grupul ( ), R astfel, să realizeze u a) a, b b) a, b c)a, b d) a, b e) a b f)a, b { },. Să se determie a Z petru care operaţiile + şi AL - Fie Z Z ( y), y Z (, y ) (, y ) ( +, y + y ) (, y ) o (, y ) ( y + y ay y ), determiă pe Z Z o structură de iel cu elemetul uitate e(,). Î acest caz să se determie divizorii lui zero dacă eistă. a) a; u eistă b) a; (,), Z * c) a; (,), Z * d) ( ) a Z ; u eistă e) a Z ; (,y), y Z * f) ( ) a Z ;(,), Z * AL Fie ielul ( Z,,o) ude legile de compoziţie sut defiite pri y + y p; o y y p py + p + p, p Z. Să se stabilească dacă ielul are sau u divizori ai lui zero. Î caz afirmativ să se determie divizorii lui zero. a) Da; p, p-; b) Nu; c) Da; p, p; d) Da;, p+; e) Da; p,p; f) Da; p, p+.

40 Culegere de probleme AL - 5 Fie abc,, R. Pe R defiim legile de compoziţie şi Τ pri: y a + by, ( ), y R şi Τy y y + c, ( ), y R. Care sut valorile a, b, c astfel îcât ( R,, Τ ) să fie corp? a) a, b, c b) a, b, c 6 c) a, b, c 6 d) a, b, c e) a, b, c f) a, b, c 6 AL - 6 Să se rezolve următorul sistem de ecuaţii î corpul claselor de resturi $ + $ y 5$ modulo :. 7$ + $ y 8$ a) ( 9 $, $ ) b) ( 9 $, $ ) c) ( 69 $, $ ) d) ( 89 $, $ ) e) ( 5 $, $ ) f) ( 6 $, $ ) AL - 7 Care sut soluţiile sistemului: $ + $ y $ $ + $ y $ î ielul Z? a) $, y 7 $ b) $, y $ c) $, y $ d) icompatibil e) $, y $ f) 8$, y $ AL 8 Să se determie valoarea parametrului real m astfel îcât poliomul P ( ) + + m să se dividă cu +. a) b) c) d) e) f) AL 9 Să se determie câtul q şi restul r al împărţirii poliomului f la poliomul g +. a) q + +, r 5 5; b) q +, r 5 + 5; c) q + 7, r 5 ; d) q +, r + ; e) q + 6, r + ; f) q, r + 5; AL - Fie P u poliom cu coeficieţi reali. Dacă resturile împărţirii lui P la a b, a b sut egale, să se determie restul împărţirii lui P şi ( )

41 Elemete de algebră la poliomul ( a)( b). a) a + b b)b + a c) P(a) d)b + e) + a f) + b AL - Să se determie restul împărţirii poliomului P + ( ) ( ) ( ) la poliomul ( ) Q +. a) + b) c) d) + e) + f) AL - Fie f [ X] pri împărţirea la X + şi ( X + ) f ( X ) X f ( X + ) împărţirii lui f la X R u poliom de grad cel puţi doi. Dacă f dă restul X., să se determie restul a) X b) + X c) d) e) X X f) X AL - Să se determie toate polioamele de gradul trei care se divid la -, iar resturile împărţirii la -, - şi - sut egale. a) α ( ) b) α ( ) c) α ( 9 6 8) d) α ( ) e) α ( ) f) ( ) α α R AL - Fie P u poliom cu coeficieţi reali de grad mai mare sau egal cu, iar R mx + X + p restul împărţirii lui P pri produsul ( X )( X ). Să se determie m, şi p astfel îcât resturile împărţirii lui P pri X, X şi X + să fie, respectiv,,, 6. a) m,, p b) m,, p c) m 7, 6, p d) m,, p 5 e) m,, p f) m,, p AL - 5 Determiaţi puterile aturale petru care poliomul ( ) ( ) f X + X + + X este divizibil pri g X X +. a) p, p N b) p+, p N c) p+, p N d) p, p N e) p+, p N f) N

42 Culegere de probleme AL - 6 Să se determie parametrii a,b R astfel îcât poliomul ( ) + a b, să fie divizibil cu ( ) + P + Q. a) a b) a 6 c) a - 6 b - b - 6 b 6 d) a 6 e) a 5 f) a b - b - 5 b - AL 7 Să se determie restul R() al împărţirii poliomului Q + a + la ++, N +. ( ) b a) R ( ) ( a ) + b b) R ( ) ( a + ) + b + c) R ( ) a + b d) R ( ) ( a ) + b e) R( ) ( a ) + b f) R ( ) ( a ) + b + AL - 8 Fie f Z [ X], f a + ax + ax + a X poliomului f, dacă ( ) ( )... ( ), ( ) f + f + + f N.. Determiaţi coeficieţii * a) f + X 5X + X c) f + X + 6X + X e) f X + X X b) f X X + X d) f + X 6X + X f) f X 6X + X AL - 9 Determiaţi ordiul de multiplicitate m N al rădăciii 5 a ecuaţiei : a) b) c) d) e) f) 5 AL - Fie [ ] P R X, P ax + bx + cx + d, a, b. Să se determie relaţia ditre coeficieţii a, b, c, d petru care rădăciile lui P sut î progresie aritmetică. a) b + 7ab+ 9abc b) b 7a d + 9abc c) b + 7a d 9abc d) a + 7abc 9bd e) c + 7abc f) c + 7a d 9abc

43 Elemete de algebră P R X, P ax + bx + cx + d, a, d. Să se determie relaţia ditre coeficieţii a, b, c, d petru ca rădăciile poliomului P să fie î progresie geometrică. AL - Fie poliomul [ ] a) ab cd b) ab cd c) ab c d d) ac b d e) ac bd f) ac bd AL - Care este relaţia ditre a şi b atuci câd ecuaţia a + ab, ab, R \, are o rădăciă dublă. {} a) b a b)b a c)b a d) a 5b e) a b f) a b AL - Să se determie m R ştiid că rădăciile,, ale ecuaţiei + m + satisfac relaţia + +. a) m, m b) m, m c) m, m d) m, m8 e) m, m f) m, m AL - Dacă,, sut rădăciile ecuaţiei +, să se precizeze care di ecuaţiile următoare are drept rădăcii : y +, y +, y +. a) y y + b) y y c) y + y + 7 d) y + y + y + e) y + y f) y y + y AL - 5 Să se rezolve ecuaţia : ( ) ( ) ea admite rădăcia , ştiid că a)+,, b)+,, c)+, +, d)+,, e)+, +, + f)+,, AL - 6 Să se determie ab, R astfel ca ecuaţia + a + b + 7 să aibă rădăciile î progresie aritmetică.

44 Culegere de probleme a) a, b7 b) a, b 9 c) a 5, b d) a, b 6 e) a, b 6 f) a 5, b AL - 7 Să se rezolve ecuaţia: ( ) + + +, ştiid că admite rădăcia. i 5 6 a) + ± + ± i 5 + 6,, b),, c), +, + d), +, e),, ± 5+ 6 f), +, 5+ 6 AL 8 Să se determie valorile raţioale ale parametrilor a şi b astfel îcât + să fie rădăciă a ecuaţiei : + a + b a) a, b b) a, b c) a, b d) a, b e) a, b f) a, b AL - 9 Să se determie parametrii reali a, b şi c ştiid că ecuaţiile + a + b + şi + c au o rădăciă dublă comuă. a) a, b, c b) a, b, c c) a, b, c a, b, c a, b, c d) a, b, c e) a, b, c f) a b c a, b, c AL - 5 Să se determie suma coeficieţilor poliomului obţiut di dezvoltarea ( 8 8) 997. a) b) c) 997 d) e) C 997 f) 997

45 ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE

46 6 Culegere de probleme ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE (simbol TG ) TG - Să se calculeze: cos5 si5 E tg5 + ctg5. a) b) c) d) e) 8 f) 8 TG - Dacă tga, tgb, tgc, cât este tg ( a b c) + +? a) b) c) d) e) f) TG - Dacă se otează t si u, se cere să se eprime î fucţie de t epresia E tg u+ ctg u. a) t + b) t c) t d) t e) t f) t + TG - Dacă cos, 7 π cos y şi y,,, să se calculeze y. a) π b) π c) 6 π d) π e) 5 π f) π TG - 5 Să se restrâgă epresia: ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) si 5 cos 5 E tg. si 5 cos 5 a) E b) E c) E tg d) E ctg e) E si f) E cos TG - 6 Să se verifice că următoarea epresie este idepedetă de

47 Elemete de geometrie plaă şi trigoometrie ( ) ( ) E cos + si cos + si. a) E b) E c) E d) E e) E f) TG - 7 Ştiid că ctg, să se calculeze: si E si cos. cos E a) b) c) d) e) 7 7 f) 7 TG - 8 Să se calculeze valoarea epresiei: si tg E cos ctg petru π. a) b) c) d) e) f) TG - 9 Ştiid că π si α, α,, să se calculeze tg α. 5 a) b) c) d) 5 e) f) 7 : R R, cos. 5 TG - Determiaţi perioada pricipală a fucţiei f f ( ) a) b) 7 π c) 5π d) π 7 TG - Să se calculeze epresia E e) 5 π 7 si 6 si cos + cos 6 f) π

48 8 Culegere de probleme a) + b) c) d) + e) f) + TG - Să se calculeze epresia: [, π / ]. si + tg, ştiid că avem cos + ctg cos, a) ( 5 ) b) ( + 5 ) c) 6 ( 5 ) 6 5 d) ( + 5 ) e) ( 5 ) f) 5 ( + 5 ) 5 TG - Arătaţi că următoarea epresie este idepedetă de, + si + cos E +. + ctg + tg a) E b) E c) E d) E e) E f) E TG - Să se calculeze cos 5 + si 5 a) b) 6 c) d) e) 6 f) 6 TG - 5 Să se calculeze: tg5 cos5 + ctg5 si5 a) b) c) d) e) 5 f)

49 Elemete de geometrie plaă şi trigoometrie 9 TG - 6 Să se calculeze: si cos a) b) c) d) e) TG - 7 Să se calculeze: tg tg tg... tg89. f) a) b) c) d) e) f) TG - 8 Se dă triughiul ABC î care AB R m BAC α, R fiid raza cercului circumscris triughiului. Să se determie celelalte laturi î fucţie de α şi R. şi ( ) a) R, Rsi α, Rsi( α + 6 ) b) R, Rsi α, Rsi( α + ) c) R, Rsi α, Rsiα d) R, R,Rsiα e),, R, Rsi α +, Rsiα R R R f) ( ) TG - 9 Ître laturile uui triughi avem relaţia: a b+ c, iar ître ughiurile sale Aˆ Bˆ + Cˆ. Triughiul este: a) ascuţit ughic oarecare b) obtuz ughic oarecare c) isoscel d) dreptughic e) echilateral f) oarecare TG - Î triughiul ABC se dă b, c latura a. ˆ 6 şi m( C ) a) ( 6) b) 6 d) ( + 6) e) ( 6) şi ( 6). Să se calculeze c) 6 şi 6+ + f) 6+

50 5 Culegere de probleme TG - U triughi ABC cu lugimile laturilor,, 5 are vârful A opus laturii A de mărime mijlocie. Care este valoarea lui tg? a) 7 b) 7 c) 5 7 d) 6 7 e) f) 8 7 TG - Dacă A,B,C sut măsurile ughiurilor uui triughi să se calculeze: E tg A+ tg B+ tg C a) E ctg A ctg B ctg C ; b) E ctg A ctg B tg C c) E ctg A tg B tg C d) E tg A tg B tg C e) E tg A tg B ctg C f) E tg A ctg B tg C TG - Dacă î triughiul ABC avem răspusurile de mai jos este corect. A tg şi b+ c a, precizaţi care di a) ( ˆ π m B) sau ( ˆ π m C) b) m( A ˆ ) m( Bˆ ) c) m( A ˆ ) d) ( ˆ π m B) sau ( ˆ π m C) e) m( A ˆ ) m( Cˆ) f) m( A ˆ ) π π TG - Să se calculeze aria triughiului ABC, ştiid că a 6, B 6 şi C 5. a) 6( + ) b) 9( ) c) 9( + ) d) 6( ) 9 e) ( ) f) ( + ) TG - 5 Îtr-u triughi ABC laturile a, b, c sut îm progresie aritmetică, a fiid termeul di mijloc. Să se calculeze epresia: B C E tg tg.

51 Elemete de geometrie plaă şi trigoometrie 5 a) E b) E c) 6 E d) E e) E 6 f) E TG - 6 Se dau puctele A(,5), M(-,), N(,). Să se scrie ecuaţiile dreptelor ce trec pri A şi fac ughiurile de 5 şi, respectiv,5 cu dreapta (MN). a) - 7y + 6, 7 + y - 6 b) - 5y + 9, 5 -y -5 c) - y +, + y - 8 d) - y +, + y - e) - y + 7, + y - f) - 7y +, 7 - y - TG - 7 Să se afle coordoatele vârfurilor uui triughi cuoscâd mijloacele laturilor P(,-), Q(,7), R(-,). a) (-,-), (5,), (-,) b) (-,), (8,-5), (-6,9) c) (-,-5), (,9), (-,) d) (-,-5), (8,), (-6,) e) (,-), (-,9), (,7) f) (,-), (5,), (-9,9) TG - 8 Se dau puctul A(-,) şi dreapta (d) y + 5. Să se determie coordoatele puctului B, simetricul lui A faţă de dreapta (d). a) B(-,) b) B(,) c) B(,-) d) B(,) e) B(,-) f) B(-,) * TG - 9 Fiid date umerele a, b R, se cosideră puctele A(a,), B(,b) şi M(,λ) situate pe aele de coordoate (O) şi (Oy). Să se determie λ astfel ca proiecţia puctului M pe dreapta (AB) să coicidă cu mijlocul segmetului AB. a) a b a b) a b b c) a b a + b a b a a + b d) e) f) a b b TG Î sistemul cartezia (Oy) se cosideră puctele A(,), B(,), M(,-) şi N(-,). Să se determie puctul de cocureţă al dreptelor (AN), (BM) şi al perpedicularei di O pe (AB).

52 5 Culegere de probleme 8 a), d), b), e), c), f), 9 9 TG - Se dau puctele A(,5), B(-,), C(,). Se cere să se scrie ecuaţia mediaei di A a triughiului ABC. a) + 5y - b) - y + 7 c) + y - d) + y - e) - y - f) - y - TG Să se scrie ecuaţia dreptei ce trece pri puctul de itersecţie al dreptelor ( d ) + y 7, ( d ) y + şi este paralelă cu prima bisectoare. a) y ; b) y + 7; c) y + 5 d) y + ; e) y + ; f) y + 7. TG - Se dau dreptele (AB): - y +, (AC): - y -, (BC): + y +. Să se scrie ecuaţia îălţimii di A a triughiului ABC. a) - y + b) 6-9y - c) - + 6y - d) - y - e) 6-9y + f) - 6y + TG - Se dă triughiul ABC determiat de dreptele (AB): + y -, (BC): + y -, (CA): - y -. Să se calculeze aria triughiului ABC. a) A Δ ABC b) A Δ ABC 8 c) A Δ ABC 6 d) A Δ ABC 5 e) A Δ ABC 7 f) A Δ ABC 9 TG - 5 Să se determie λ astfel ca distaţa de la puctul A(,) la dreapta variabilă (λ+) - (λ-)y + λ - să fie d. a), - b), 7 c) 9 7, d) 9 7, e) -, 7 f),

53 Elemete de geometrie plaă şi trigoometrie 5 TG - 6 Să se scrie ecuaţiile dreptelor care trec pri puctul A(-5,7) şi sut situate la distaţa de puctul B(,7). a) + y -, - y + b) + 5y - 5, - 5y + 55 c) - y + 9, + y + d) + y -, + y - e) - y +, + y + f) - y +, + y - TG - 7 Fie î plaul (Oy) puctul M(-,6) şi dreapta (d) + y - 5. Să se afle distaţa simetricului puctului M î raport cu dreapta (d) pâă la prima bisectoare. a) b) c) d) 5 e) f) 5 TG - 8 Fie î plaul (Oy) puctele A(,) şi B(7, -) şi dreapta (d) -y+. Să se afle puctul M de pe dreapta (d) care este echidistat faţă de puctele A şi B. a) M(,) b) M, c) M, d) M, 8 e) M 9 8, f) M, 8 TG 9 Să se determie m R astfel îcât dreptele d : +my+m+ şi d : +(m-)y+m+ să coicidă. a) m b) m c) m d) m e) m f) m TG Să se determie α R astfel îcât dreptele de ecuaţii (d ) +y-, (d ) -y+ şi (d ) α+y- să fie cocurete: 9 a) α b) α c) α d) α- e) α TG Să se scrie ecuaţia dreptei di pla, ştiid că A(, ) este piciorul perpedicularei coborâtă di origie pe dreaptă. a) +y-; b) +y-; c) +y-9;

54 5 Culegere de probleme d) +y-; e) +y-; f) +y-7. TG Să se determie ecuaţia mediatoarei segmetului ce ueşte puctele (,) şi (,8) a) 9-7y b) 7-9y c) +7y-5 d) 7-y- e) +7z- f) -y+ TG Fie î plaul (Oy) puctele A(5,6), B(-,), C(-,-) şi D(6,). Ce figură geometrică reprezită patrulaterul ABCD? a) dreptughi b) romb c) pătrat d) trapez isoscel e) trapez dreptughic f) paralelogram TG Ştiid că puctul M(,y) se află pe dreapta D : + y +, să se determie miimul epresiei: E + y. a) b) c) d) e) f) TG 5 Se dă dreapta (α - ) + (α - )y - α + cu α R. Să se determie α astfel că dacă A,B sut itersecţiile dreptei cu (O), respectiv (Oy), să avem: +. OA OB a) α, α b) α 5 α 7 c) α 7 α 5 d) α 5 α 7 e) α 5 α 7 f) α 7 α 5 TG 6 Pe catetele OB şi OC ale uui triughi dreptughic se costruiesc î afară pătrate î care vârfurile opuse lui O sut, respectiv, D şi E. Să se determie coordoatele puctului H de itersecţie a dreptelor (CD) şi (BE), dacă B(b,) iar C(,c).

55 Elemete de geometrie plaă şi trigoometrie 55 a) H bc bc, b) H b + c + bc b + c + bc bc bc, b + c bc b + c bc c) H bc bc, d) H b c, b+ c bc b+ c b+ c e) H b c, f) H b + c b c, bc bc bc bc TG - 7 Fie A şi B puctele î care dreapta a + (a + )y + a taie aa (O), respectiv (Oy), (d ) dreapta ce trece pri A şi este paralelă cu prima bisectoare a aelor; (d ) dreapta care trece pri B şi este perpediculară pe (d ). Să se determie a astfel îcât puctul de itersecţie ditre (d ) şi (d ) să fie pe dreapta de ecuaţie + 5y. a) a ± b) a ± c) a, a d) a, a e) a ± f) a -, a TG - 8 Se dau dreptele + y -, + y -, - y + şi - y -, care sut laturile uui paralelogram. Să se scrie ecuaţiile diagoalelor. a) - y, - y + b) - y -, + y - c) - y +, + y - d) + y -, - + y + e) + 6y - 5, 5 + y - 7 f) + 6y - 5, - y + TG - 9 Se dau puctele A(,) şi B(-5,-). Să se afle puctul M pe dreapta (d) y +, astfel ca m ( AMB ) 9. a) M (-,), M (,5) b) M (-,), M, c) M (-,), M, d) M (,5) e) M(-,) f) M (,), M (-,)

56 56 Culegere de probleme TG - 5 Se dau dreptele - y + 6 şi - y - 9. Să se determie paralela la a doua bisectoare a aelor de coordoate care formează ître cele două drepte u segmet de 5 uităţi. a) y - +, y - + b) y - -, y - + c) y - + 5, y - + d) y - + 5, y - - e) y - -, y - + f) y - +, y -

57 ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

58 58 Culegere de probleme ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ (simbol AM ) AM - Determiaţi umerele reale a şi b astfel îcât: + + a b 5 lim + 8. a) a, b5 b)a, b 5 c)a 5, b d) a 5, b e)a, b f)a, b AM - Să se determie parametrii a şi b reali, aşa îcât: lim 8 a b +. a) a, b b)a, b c)a, b d) a, b e)a 8, b 6 f)a 6, b AM - Să se calculeze: L lim + arctg. arctg + a) b) + c) d) e) f) AM - Fie f :(, + ) R, defiită pri relaţia f ( ) + ( + ) + ( + ) + + ( + ) Să se determie lim f ( ). [ ] l l... l petru orice >. a) b) c) e d) + ( ) e e) ( + )( + ) e 6 f) e

59 Elemete de aaliză matematică 59 AM - 5 Să se calculeze: lim 7 9. a) 56 b) 56 c) 8 d) 8 e) f) AM - 6 Să se determie parametrul real a astfel îcât fucţia f : R \{} R, defiită pri f ( ) ( ) al, dacă <, dacă > să aibă limită î puctul. a) b) c) d) e) l f) l e AM - 7 Să se calculeze: lim cos. a) b) c) d) e) f) AM - 8 Să se calculeze: lim. l a) b) c) d) e) f) AM - 9 Să se determie: lim si. a) b) + c) d) e) f) u eistă AM - Să se calculeze: lim( si + si ). a) + b) c) d) e) f)

60 6 Culegere de probleme AM - Să se calculeze: lim si m *, ude m, N. π si a) m b) ( ) m m c) ( ) m m d) ( ) m m e) m f) ( ) m m e AM - Să se calculeze: lim si. a) b) c) d) e e) e f) + AM - Să se calculeze: lim + +. a) b) c) d) e e) e f) e AM - Se cosideră şirul ( ) ude a lim( si ) a) e b) e b cu termeul geeral b a + a a,. Să se calculeze: lim c) e d) e e) b. e a + a AM - 5 Se cosideră fucţia f :( k, + ) R, f ( ), + k ude ak, R. Să se precizeze relaţia ditre a şi k astfel îcât graficul fucţiei f să admită ca asimptotă dreapta y +. a) a + k b) a + k c) a + k d) a + k e) a + k f) a + k f), ude D este domeiul maim + de defiiţie. Să se determie asimptotele lui f. AM - 6 Fie f : D R R, f ( ) a),, y 5 b),, y 6 c),, y

61 Elemete de aaliză matematică 6 d),, y e),, y 5 f),, y AM - 7 Se cosideră fucţia :(, ] [, ), ( ) f + R f. Să se determie ecuaţia asimptotei spre la graficul lui f. a) y b) y c) y + d) y e) y + f) u eistă AM - 8 Fie fucţia f : R \ R, defiită pri + f ( ). Să se determie asimptotele la graficul acestei fucţii. a) y y,, b) y, c) y +, d), y e) y y,, f), y + AM 9 Să se determie valoarea costatei a R, astfel îcât fucţia f : [,] R, 7si a( ), [,) f ( ) 6 + a, [,] să fie cotiuă pe domeiul ei de defiiţie. a) a ; b) a ; c) a ; d) a ; e) a 5; f) a,5. AM - Să se determie valorile parametrului real m astfel îcât ecuaţia m 5 m să aibă cel puţi o rădăciă reală î itervalul (,). 5 m b) m,, + c) a) (, ) 5 m, 5 d) m, e) 5 m, f) m,

62 6 Culegere de probleme AM - Fie fucţiile f: D, f( ) ( ) f : D, f( ) R R şi fucţiile R R. Ştiid că D şi D sut domeiile maime de defiiţie ale celor două fucţii, să se precizeze aceste domeii. a) D [, + ) {} ; D[, + ) b) D [, + ) {} ; D [, ) c) D (, + ); D [, + ) {} d) D D [, + ) e) D [, + ); D [, + ) {} f) D D [, + ) {} AM - Se cosideră fucţia f : (, ) R, f ( ) ( + ) l Să se calculeze f (). a) b) c) d) e) f) AM - Să se calculeze derivata de ordiul uu a fucţiei f : R R, f ( ) a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) f) f ( ) AM - Care este cea mai mică pată posibilă a uei tagete la curba y + 5? a) 5 5 b) c) d) e) f) - AM - 5 Fie fucţia R ( ) f : D, f si, ude D este domeiul maim de defiiţie al fucţiei f. Să se studieze derivabilitatea fucţiei f î puctul şi î caz afirmativ să se calculeze valoarea derivatei î acest puct. a) f ' ( ) b) f ' ( ) c) f 'u ( ) eistă

63 Elemete de aaliză matematică 6 d) f ' ( ) e) f ' ( ) f) f ' ( ) AM - 6 Fie f : e, e R, defiită pri f ( ) arcsi l. Să se determie mulţimea puctelor î care fucţia este derivabilă. a) e, e b) e, c) ( ], e d)[ ] e e, e e), (,e) f), (,e] AM - 7 Să se determie parametrii reali a şi b astfel îcât fucţia f : R R, + a, defiită pri f ( ), să fie derivabilă pe R. a + b, > a) a, b b)a, b c)a R, b 5 d) a, b R e) a, b f)a, b AM - 8 Să se determie parametrii reali a şi b astfel îcât fucţia f : R R, e, defiită pri f ( ), să fie derivabilă pe R. a + b, > a) a, b b)a e, b e c) a, e b e d) a e, b e e) a e, b f) a, b ae, AM - 9 Fie fucţia f : R R, f ( ). si + bcos, > Să se determie costatele reale a şi b astfel îcât f să fie derivabilă pe R. a) a b b)a, b c)a b d) a, b e)a b f)a, b e AM - Să se calculeze derivata fucţiei f f ( ) arctg +. : E R R, defiită pri

64 6 Culegere de probleme a) f ( ) ' + b) f ( ) ' + c) f ( ) ' d) f ( ) ' + e) f ( ) f) f ( ) ' + AM - Să se calculeze derivata fucţiei f : \{ } [,] defiită pri ( ) f si. R, a) f '( ) cos b) f ' ( ) si c) ( ) f ' d) f '( ) cos e) f '( ) cos f) f '( ) AM - Fie f :[, ] R, derivabilă astfel îcât f ( ) f ( ) orice [, ]. Să se calculeze f '. ( ) a) f ' ( ) b) ( ) f ' petru cos c) f ' ( ) d) f ' ( ) e) f ' ( ) f) ( ) f ' + 5 derivata iversei fucţiei f î puctul y. AM - Se dă fucţia f : R (, + ), pri f ( ). Să se calculeze a) l5 b) l5 c) l d) l e) l f) l AM - Să se determie coeficietul ughiular al tagetei î puctul ( ee, ) f :, + R, f l +. la graficul fucţiei ( ) ( ) a) e b) e c) + e d) e + e e) e f) e AM - 5 Petru ce valoare a parametrului real t, fucţia f : R R,

65 Elemete de aaliză matematică 65 t f ( ) + bisectoare? are î puctul graficul taget uei drepte paralelă cu prima a) t b) t c) t d) t e) t f) t AM - 6 Fie f :[, + ) R, defiită pri f ( ) +. Să se determie abscisa a uui puct situat pe graficul lui f î care tageta la grafic să fie paralelă cu coarda ce ueşte puctele de pe grafic de abscisă,. 5 a) b) c) d) e) f) + şi +. Să se scrie ecuaţia tagetei la graficul lui f î puctul de abscisă. AM - 7 Se cosideră fucţia f : R \{ } R, f ( ) a) y + b)y + 8+ c)y + 8+ d) y + 8 e) y + 8 f) y + + a + b : R \ R,, ude ab, R. Să se determie a şi b ştiid că graficul lui f este taget dreptei y î puctul. AM - 8 Fie f {} f ( ) a) a, b b)a, b c)a, b d) a, b e)a, b f)a, b AM - 9 Se cosideră fucţiile f ( ) şi g ( ) + + c, ude c R. Să se afle c astfel îcât graficele lui f şi g să aibă o tagetă comuă îtr-u puct de itersecţie a curbelor. a) c b) c c) c d) c e) c f) c AM - Fie fucţia f : R R, f ( ) e. Să se determie pata tagetei la graficul fucţiei î puctul de abscisă -.

66 66 Culegere de probleme a) - b) c) d) e e) -e f) e + p + q AM - Se cosideră fucţia f(). Să se determie parametrii + p,q R astfel ca dreapta y- să fie tagetă graficului fucţiei î puctul A(,-). a) p, q -8 b) p-, q-5 c) p-, q - d) p-, q- e) p-5, q- f) p-6, q- AM - Să se determie puctul P de pe graficul fucţiei tageta la grafic trece pri origie. f() e +, î care a) P(,) b) P(, e ) c) P(, +e) d) P(, e + ) e) P(-, e - ) f) P AM - Să se afle soluţia iecuaţiei l( ) a) ( + ) d) ( + ) + >., b), ( ) c), ( ), e) (, + ) f), ( ) AM - Să se determie valorile parametrului real m petru care fucţia f : R R f l + m este mooto crescătoare pe R., ( ) ( ) a) (, ] b)[,+ ) c) (, ] [, + ) d) (, ] e) (, ] [, + ) f)[, ] AM - 5 Să se determie toate soluţiile (, + ) ale iecuaţiei: l a) (,+ ) b) (, e ] c)[ ) e,+ d) e e) [ ee, ] AM - 6 Să se afle puctele de etrem local ale fucţiei f : R R f, precizâd atura lor. ( ). e f) [ e,+ ), defiită pri

67 Elemete de aaliză matematică 67 a) 5 mi, ma, 5 mi b) ma, 5 mi c) 5 mi, 5 ma d) ma, 5 ma e) 5 ma, mi, 5 mi f) 5 ma, mi, 5 ma AM - 7 Să se determie cea mai mică şi cea mai mare valoare a fucţiei f : R R f 6 pe segmetul [, ]., ( ) a) f, f b) f 5, f 6 c) f 8, f mi ma mi d) f, f 7 e) f 9, f f) f 7, f mi ma mi AM - 8 Care este mulţimea puctelor de etrem local ale fucţiei f : E R R, f, ude E este domeiul maim de defiiţie? a) {} ( ) b) { } ma ma, c) d) {} mi mi ma ma e) {, } f) { 5, } a + a AM - 9 Se cosideră fucţia f : R R, f ( ) ude a este u parametru + real. Să se determie a astfel îcât fucţia să aibă u etrem î puctul. a) a b) a c) a d) a e) a f) a AM - 5 Să se determie mulţimea puctelor de ifleiue petru fucţia f : R R, f ( ) + 5. a) {,} b) { } c) {,} d) e) { } f) {,} a + b + c, ude a >, c<, b R. Să se determie coeficieţii a, b, c astfel ca graficul fucţiei să admită AM - 5 Se dă fucţia f : R \{} R, f ( ) asimptotă dreapta y f ( ) +, iar. a) a, b, c b) a, b, c c) a, b, c d) a, b, c e) a, b, c f) a, b, c

68 68 Culegere de probleme AM - 5 Să se determie valoarea costatei f : R R, a R astfel îcât fucţia si, π f ( ) a, să fie cotiuă pe R. π dacă π dacă a) π b) c) d) e) f) AM - 5 Fie fucţia R ( ) f : D, f si, ude D este domeiul maim de defiiţie al fucţiei f. Să se studieze derivabilitatea fucţiei f î puctul şi î caz afirmativ să se calculeze valoarea derivatei î acest puct. a) f ' ( ) b) f ' ( ) c) f 'u ( ) eistă d) f '( ) e) f '( ) f) f ' ( ) AM - 5 Fie α u umăr real şi f :[, ] R fucţia dată de: f ( ) α si,., Să se determie α R petru care f este de două ori derivabilă î. a) α b) α c) α> d) α> e) α> f) α AM - 55 Fie fucţia f ( ) arcsi. Să se determie ecuaţia tagetei la graficul fucţiei î puctul de abscisă.

69 Elemete de aaliză matematică 69 π + + a) y ( ) b) y ( ) π c) y + ( ) π + d) y ( ) e) y ( ) π π f) y + AM - 56 Folosid itervalele de mootoie ale fucţiei f :(, + ) R, defiită pri f ( ) 5 a) ( ) l, să se precizeze care di următoarele iegalităţi este adevărată. 5 > 5 b) < 5 c) > 8 d)8 < e) < f) > 5 AM - 57 Fie f : R R, defiită pri f ( ) + a 5, ude a R. Să se determie parametrul a astfel îcât fucţia să admită u etrem cu valoarea. a) a b) a şi a c) a d) a e) a 5 f) a a AM - 58 Fie f : R R, defiită pri f ( ) ude a R. Să se + determie a petru care fucţia f admite u puct de etrem situat la distaţa de aa Oy. a) a, a b) a, a c) a, a d) a, a e) a, a f) a, a 7 + +, AM - 59 Fie f : R R, f ( ). Precizaţi care di e, > următoarele fucţii reprezită o primitivă a fucţiei f :

70 7 Culegere de probleme + +, F ( ) e, > F + +, ( ) e, > F F c, ( ) e + c, > + +, ( ) e +, > a) toate b) ici ua c) F d) F e) F f) F + 97 AM - 6 Se cosideră fucţia f : (, ) R, f ( ). + Să se găsească umerele reale m, şi p astfel îcât fucţia m + + p F : (,) R, F( ) să fie primitivă petru f a) m,, p 7 b) m,, p 7 c) m,, p 7 9 d) m,, p 7 e) m, 7, p 9 f) m,, p AM 6 Calculaţi itegrala edefiită + d petru orice ( a, b), ude ( a,b). a) + l + C b) + C c) + + C d) + l + C e) l + + C + f) + C AM 6 Calculaţi itegrala: d e.

71 a) e e b) Elemete de aaliză matematică 7 e e c) ( e ) e d) ( e e ) e) ( e ) e f) ( e ) e AM 6 Să se calculeze itegrala: a) arctg b) l e d e + arctg c) arctg d) arctg e) arctg f) arctg arctg AM 6 Să se calculeze e e d. a) arcsi e arcsi e b) arcsi e arcsi e c) arcsi e arcsi e d) arcsi e arcsi e e) ( arcsi arcsi e e ) arcsi e arcsi e AM 65 Să se calculeze: ( ) e d a). e b) - c) ( e ) d) ( e) f) ( ) e) e f) e AM 66 Să se calculeze primitivele fucţiei + f : (, ) (, ) R, f ( ). + a) l( + ) + C b) l + C c) l + C

72 7 Culegere de probleme d) + l + l ( ) ( ) + C + C e) + l + C + l + C f) ( ) + l + C AM 67 Să se determie mulţimea primitivelor următoarei fucţii trigoometrice f : (, π ) R, f ( ) si a) l ctg + C b) C cos + c) l tg + C d) l tg + C e) l ctg + C f) l cos + C ( ) AM - 68 Să se calculeze I si d, ude π π,. si + cos a) I +C l tg b) ( l si cos ) c) I + C I + C I l si + cos + C I + l si + cos + C arctg d) ( ) e) I ( ) + + C l si cos arctg f) ( ) AM - 69 Să se stabilească o relaţie de recureţă petru itegralele: / I, N,, I d. a) I + ( )( I I ) b) I + ( )( I I ) c) I ( + )( I I ) d) I ( ) I + I

73 Elemete de aaliză matematică 7 e) I + ( I I ) f) I ( )( I I) AM 7 Să se stabilească o relaţie de recureţă petru itegralele I, π ( si ) N, I d + a) I I, ; b) I I, c) I I, ; d) I I, + e) I I, ; f) I I, 5 AM - 7 Ştiid că Pd ( ) şi Pd ( ) [ Pt () + P ( t ) ] dt. 5, să se calculeze a) b) 9 c) 8 d) 9 e) 7 f) Nu are ses o astfel de itegrală AM - 7 Se cosideră fucţia f : [,] R, ( ) Să se calculeze itegrala I f ( ) d [] [] + f. a) I l b) I l 6 c) I l d) I l e) I l f) I l AM 7 Să se calculeze 5 a) b) d. c) d) 7 e) f)

74 7 Culegere de probleme + d. AM 7 Să se calculeze: ( ) a) b) c) d) e) 9 f) 6 AM 75 Să se calculeze I + d a) 5 7 b) 5 c) 5 d) 5 e) f) 7 5 AM - 76 Fie fucţia f : [,] R, f ( ). Să se determie (,) f. îcât ( ) d f ( c) c astfel a) c b) c ± c) c d) 8 c e) 8 c ± f) c AM - 77 Să se calculeze a) b) π e l + ( l ) d π c) e- d) l e) l f) AM - 78 Calculaţi valoarea itegralei: I ( + + ) d. a) 8 b) 5 c) d) 9 e) 7 f) 8 AM - 79 Să se calculeze itegrala: I a) I l b) I + 5 d. l c) I + l

75 Elemete de aaliză matematică 75 d) I + l e) I + AM - 8 Să se calculeze : I d l f) I + l a) l + arctg b) l + π c) l + π 8 d) l e) π 8 f) l +π AM - 8 Să se calculeze : d. ( + ) a) l b) l 7 c) l d) l e e) 8 l f) l AM - 8 Care este valoarea itegralei : d? 8 a ) l( 9 + ) b) arctg c) d) e) f) 8 AM - 8 Să se calculeze valoarea itegralei: I + d a) I 5 b) I 5 c) I d) I ( 5 ) e) I ( 5 ) f) I ( 5+ ) AM - 8 Să se calculeze itegrala : d. π+ b) ( ) a) ( ) π c) π d) π e) π f) π

76 76 Culegere de probleme AM - 85 Să se calculeze : + d. a) 5 b) c) d) e) 5 f) AM - 86 Să se calculeze: d I. + + a) I b) I c) I d) I - e) I π f) I π AM - 87 Să se calculeze itegrala defiită d si π π a) l b) l c) l d) l e) l f) l 8 AM - 88 Determiaţi valoarea itegralei: I π si cos + si d. a) b) c) l d) 8 l e) f) l 5 5 AM - 89 Să se calculeze I π a) I ( e ) π e si d. π b) I e c) + π I e 5 d) π I e 5 π e) I + e 5 f) + π I e

77 Elemete de aaliză matematică 77 π AM - 9 Să se calculeze ma{ si,cos } d. a) b) c) d) e) f) - AM - 9 Să se calculeze lim a, dacă a d + petru orice N. a) b) c) d) e) 5 f) AM - 9 Să se calculeze lim ( ) e d. a) b) e c) e - d) e AM - 9 Fie F : R R, F e t ( ) l( t + t ) dt etrem local ale fucţiei F. e) e f). Determiaţi puctele de a) b) e c), d) e) u are pucte de etrem local f), 5 e AM - 9 Să se calculeze aria domeiului margiit de graficul fucţiei f ( ) cu aa O şi dreptele,. + a) l b) c) π d) e) π f) π AM - 95 Să se calculeze aria figurii plae cuprisă ître parabola y şi dreapta + y. a) 9 b) c) d) 8 e) 7 f) 8

78 78 Culegere de probleme AM - 96 Calculaţi aria domeiului mărgiit de curbele : y şi y. a),5 b),5 c), d) 6,5 e) f),5 AM - 97 Fie f : (-,+ ) R, defiită pri f () l (+ ). Care este aria porţiuii plae cuprisă ître graficul fucţiei, dreptele, şi aa O? a) b) l c) l d) l e) l f) l + AM - 98 Care este aria suprafeţei cuprisă ître parabolele de ecuaţii : y şi 8 y? a) 8 b) 6 c) 8 d) e) f) AM 99 Să se calculeze volumul corpului de rotaţie determiat pri rotirea î jurul f 8,,. aei O a subgraficului fucţiei ( ) [ ] a) 6 π b) 66 π c) π d) π e) π f) 8π AM - Să se calculeze volumul corpului de rotaţie determiat pri rotirea î jurul aei O a subgraficului fucţiei f ( ) 6, [,]. a) 6 π b) π c) π d) π e) π f) 6π

79 ANEXE Subiecte date la admitere î aii 9 şi, cu soluţii complete

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ]. Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1

Varianta 1 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p

Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008 Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011 Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A

Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A 1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior 4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IV-a SUBIECTUL Aflaţi difereţa ditre umerele aturale [( 4 a : ) :1 5] 4 6 = 4 [( b 7 ): 5 8] 8 5 = 7 a şi b ştiid că ele verifică egalităţile: Gheorghe Loboţ Suma a două

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii... Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,

Διαβάστε περισσότερα

Algebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen.

Algebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen. Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL

Διαβάστε περισσότερα

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017 Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

matricelor pătratice de ordinul 2, cu elemente numere reale; a11 a12 a13, mulńimea matricelor pătratice de ordinul 3, cu elemente

matricelor pătratice de ordinul 2, cu elemente numere reale; a11 a12 a13, mulńimea matricelor pătratice de ordinul 3, cu elemente LECłII DE SINTEZĂ î vederea pregătirii sesiuii iulie-august a eameului de BACALAUREAT - M petru cadidańii absolveńi ai liceelor di filiera tehologică, profil: servicii, resurse aturale şi protecńia mediului,

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ

SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ CLASA a IV-a U gospodar are î curte găii și iepuri, î total 30 de capete și 84 de picioare. Săptămâal, petru hraa uei păsări sut folosite, î medie, 500 g de grăuțe, iar petru hraa uui iepure de 4 ori mai

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI 122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela

MATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1 - rezolvari mate MT1

Varianta 1 - rezolvari mate MT1 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri

Διαβάστε περισσότερα

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a) Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi:

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Inegalitati. I. Monotonia functiilor

Inegalitati. I. Monotonia functiilor Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.

Διαβάστε περισσότερα

CERCUL. Prof. V Corcalciuc Scoala nr. 146 I.G. Duca Bucuresti ( Lectie facuta dupa manualul de clasa a 7-a Prof.Radu)

CERCUL. Prof. V Corcalciuc Scoala nr. 146 I.G. Duca Bucuresti ( Lectie facuta dupa manualul de clasa a 7-a Prof.Radu) ERUL Prof. V orcalciuc Scoala r. 46 I.G. Duca ucuresti ( Lectie facuta dupa maualul de clasa a 7-a Prof.Radu) Defiitie:ercul cu cetrul i si de raza r este multimea tuturor puctelor di pla situate la distata

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

BACALAUREAT 1998 SESIUNEA IUNIE Varianta 1

BACALAUREAT 1998 SESIUNEA IUNIE Varianta 1 Profilul matematică - fizică, informatică, metrologie BACALAUREAT 1998 SESIUNEA IUNIE Varianta 1 Se consideră funcția f : D R, f(x) = x(x 1)+ x(x+1). 1. Să se determina domeniul maxim de definiție D, domeniul

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 1: FUNCȚII LINIARE. Obiective:

TEMA 1: FUNCȚII LINIARE. Obiective: TEMA : FUNCȚII LINIARE TEMA : FUNCȚII LINIARE Obiective: Defiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale fucţiei, ecuaţiei şi iecuaţiei de gradul Cuoaşterea uor elemete de geometrie aalitică a dreptei

Διαβάστε περισσότερα

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii. 5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

sistemelor de algebrice liniarel

sistemelor de algebrice liniarel Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris

Διαβάστε περισσότερα

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 2018

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 2018 TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 8 A U T O R I Prof.univ.dr. Vasile Câmpian Prof.univ.dr. Iuliu Crivei Prof.univ.dr. Bogdan Gavrea Prof.univ.dr. Ioan Gavrea Prof.univ.dr. Dumitru Mircea Ivan Prof.univ.dr. Nicolaie

Διαβάστε περισσότερα

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ. pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ. pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ petru emeul de bcluret şi dmitere î îvăţămâtul superior l UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii

Διαβάστε περισσότερα

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I 1. Fie f : R R definită prin f(x) = x(1+e x ). a) Să se arate că f este indefinit derivabilă şi că f (n) (x) = a n e x +b n xe x, ( ) n 3, ( ) x R. Deduceţi că a n+1

Διαβάστε περισσότερα

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn. 86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că

Διαβάστε περισσότερα

Teste admitere Facultatea de Automatică şi Calculatoare Domeniul Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei

Teste admitere Facultatea de Automatică şi Calculatoare Domeniul Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei Teste admitere Facultatea de Automatică şi Calculatoare Domeniul Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei 0 aprilie 04 Cuprins Algebră 5 Analiza 39 3 Trigonometrie 6 4 Geometrie 69 5 Modele teste 73 5.

Διαβάστε περισσότερα

Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat 2009

Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat 2009 Grup Fie G-evidã şi *: GxG G, (x,y) x*y, œx,y0g. Axiomele grupului: G1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,z G (asociativitatea); G2. e G astfel îcât x*e = e*x = x, x G (e elemet eutru); G3. x G x G astfel îcât x *x

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z : Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA NAŢIONALĂ aprilie FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL Filiera tehologică: profilul

Διαβάστε περισσότερα

CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA

CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA î ul uiversitr 9 PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii lor

Διαβάστε περισσότερα

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii. Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

TEMATICA pentru proba de Matematică-Fizică din cadrul concursului de admitere în Academia Tehnică Militară sesiunea iulie 2015 A.

TEMATICA pentru proba de Matematică-Fizică din cadrul concursului de admitere în Academia Tehnică Militară sesiunea iulie 2015 A. TEMATICA petru proba de Matematică-Fizică di cadrul cocursului de admitere î Academia Tehică Militară sesiuea iulie 2015 A. MATEMATICĂ Coţiuturile programei de Matematică a cocursului de admitere di iulie

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII 7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a V-a. Clasa a VI-a. Clasa a VII-a

Clasa a V-a. Clasa a VI-a. Clasa a VII-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ MATEMATICA, DE DRAG EDIŢIA I, 4-6006 Clasa a V-a a+ b Numerele a, b, c, d N verifică relaţia: b+ c + c+ d + d+ a + = 5 Calculaţi: a + b+ c+ d 7 (G M /006) Suma a două

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei

Διαβάστε περισσότερα

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi

Διαβάστε περισσότερα

REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE

REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE Forma geerală a ecuaţiei: cu : I R R Î particular poliom / adus la o ormă poliomială dar şi ecuaţiile trascedete Rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

GRADUL II n α+1 1

GRADUL II n α+1 1 GRADUL II 2007 BUCUREŞTI 1. Fie A un inel cu unitate. Notăm cu Z(A) = {a A ( )x A,ax = xa}. Să se arate că: a) Z(A) este un subinel comutativ al lui A (numit centrul inelului A). b) Dacă B este un alt

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 Filiera teoretică, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profil Militar, specializarea matematică - informatică. a) Să se calculeze modulul vectorului

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul

Διαβάστε περισσότερα

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0 DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα