1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α, β), οι συντεταγµένες του Μ -1 Λ 1 O 1-1 - Μ(α, β) Κ. Τα σηµεία των αξόνων Τα σηµεία του άξονα έχουν τεταγµένη 0, δηλαδή είναι Κ(α, 0) Τα σηµεία του άξονα έχουν τετµηµένη 0, δηλαδή είναι Λ(0, β) 3. Το πρόσηµο των συντεταγµένων Όπου γράφεται η λέξη έχουµε πρόσηµο + τεταγµένη γ O τετμημένη τεταγμένη τετµηµένη 4. Τα σηµεία Μ(α, β) και Μ (β, α) Μ(α, β) Είναι συµµετρικά ως προς τη διχοτόµο 1 ης 3 ης γωνίας των αξόνων Μ (β, α) Ο 5. Η απόσταση (ΑΒ) των σηµείων Α( 1, 1), Β(, ) (ΑΒ) = ( 1) + ( 1) ή αν θέλετε (ΑΒ ) = ( 1 ) + ( 1 )
6. Γραφική παράσταση συνάρτησης : Α R Λέγεται το σύνολο των σηµείων Μ(, ()) για όλα τα A Η γραφική παράσταση της συµβολίζεται Ο τύπος = () της συνάρτησης λέγεται και εξίσωση της Η εξίσωση = () επαληθεύεται από τις συντεταγµένες των σηµείων της και µόνο απ αυτές Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέµνει τη το πολύ σε ένα σηµείο. Η είναι συµµετρική της ως προς τον άξονα. ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ 1. Επισήµανση Αν ένα σηµείο ανήκει στη τύπο = ()., τότε οι συντεταγµένες του επαληθεύουν τον Αν οι συντεταγµένες σηµείου επαληθεύουν τον τύπο = (), τότε το σηµείο ανήκει στη.. Μέθοδος Για να βρούµε τα σηµεία τοµής της θέτουµε όπου το 0 και λύνουµε την εξίσωση. Ουσιαστικά λύνουµε το σύστηµα 3. Μέθοδος Για να βρούµε το σηµείο τοµής της θέτουµε όπου το 0. Ουσιαστικά λύνουµε το σύστηµα µε τον άξονα, στον τύπο = () = () = 0 µε τον άξονα, στον τύπο = () = () = 0
3 4. Παρατήρηση Η γραφική παράσταση οποιασδήποτε συνάρτησης µπορεί να τέµνει τον άξονα σε πολλά σηµεία, ενώ τον άξονα το πολύ σε ένα. 5. Μέθοδος Για να βρούµε τα σηµεία τοµής των,, λύνουµε την εξίσωση () = (). Ουσιαστικά λύνουµε το σύστηµα 6. Μέθοδος Για να βρούµε τα για τα οποία η ανίσωση () > () = () = () είναι πάνω από τη, λύνουµε την
4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. ίνεται η συνάρτηση () = 3 1. Να βρείτε i) το σηµείο της που έχει τετµηµένη 1 ii) τα σηµεία της που έχουν τεταγµένη iii) τα σηµεία της που έχουν τεταγµένη = R i) Έστω Α(1, ) το ζητούµενο σηµείο. Επειδή Α, θα επαληθεύει τον τύπο () = 3 1 της συνάρτησης = 3 1 1 = Άρα το ζητούµενο σηµείο είναι το Α(1, ) ii) Έστω Β(, ) ζητούµενο σηµείο. Επειδή B, θα επαληθεύει τον τύπο () = 3 1 της συνάρτησης = 3 1 3 = 3 = 1 = 1 ή = 1 Άρα έχουµε δύο ζητούµενα σηµεία, τα Β(1, ), Β ( 1, ) iii) Έστω Γ(, ) ζητούµενο σηµείο. Επειδή Γ, θα επαληθεύει τον τύπο () = 3 1 της συνάρτησης = 3 1 1= 3 αδύνατη Άρα δεν υπάρχει τέτοιο σηµείο.
5. ίνεται η συνάρτηση () = 4. Να βρείτε i) τα σηµεία τοµής της µε τον άξονα ii) το σηµείο τοµής της µε τον άξονα = R i) Σχόλιο () = 0 0 = 4 = 4 = ή = Άρα η τέµνει τον άξονα στα σηµεία A(, 0), A (, 0) ii) (0) = 0 4 = 4 Σχόλιο 3 Άρα η τέµνει τον άξονα στο σηµείο B(0, 4) 3. ίνονται οι συναρτήσεις () =,, = R, = R Λύνουµε το σύστηµα = () = () () = 3. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των = = 3 3= = 3 = = 3 3 0 ( 3) = 0 = 3 = 0 ή 3= 0 = 3 Για = 0, η = 3 = 0. Σηµείο τοµής Α(0, 0) Για = 3, η = 3 = 9. Σηµείο τοµής Β(3, 9)
6 4. ίνονται οι συναρτήσεις () = + + 1 και () = + k, όπου k R. i) Να βρείτε την ελάχιστη τιµή του k ώστε οι, να έχουν κοινό σηµείο. ii) Όταν k = 3 4, να βρείτε για ποια η είναι πάνω από τη = R, = R i) Θεωρούµε την εξίσωση Οι, () = () + + 1 = + k + (1 k) = 0 (1) να έχουν κοινό σηµείο η εξίσωση (1) έχει ρίζα 0 1 4(1 k) 0 1 4 + 4k 0 4k 3 k 3 4 Σχόλιο 5. Άρα η ελάχιστη τιµή του k είναι ii) Τα ζητούµενα είναι οι λύσεις της ανίσωσης Σχόλιο 5 3 4 () > () + + 1 > + 3 4 4 + 4 + 4 > 8 + 3 4 4 + 1 > 0 ( 1 ) > 0 1 0 1 1
7 5. ίνονται τα σηµεία Β(1, 4), Γ(5, ). Να βρείτε σηµείο Α του άξονα, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ) Αφού το σηµείο Α ανήκει στον άξονα, θα είναι Α(, 0) ΑΒ = ΑΓ (ΑΒ ) = (ΑΓ ) (1 ) + (4 0 ) = (5 ) + ( 0 ) 1 + Άρα το ζητούµενο σηµείο είναι Α 3, 0 + 16 = 5 10 + 8 = 1 = 3 + 4 6. ίνονται τα σηµεία Β(1, 4), Γ(5, ). Να βρείτε σηµείο Α του άξονα, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ) Αφού το σηµείο Α ανήκει στον άξονα, θα είναι Α(0, ) Πρέπει και αρκεί ΑΒ = ΑΓ (ΑΒ ) = (ΑΓ ) (1 0 ) + (4 ) = (5 0 ) + ( ) 1 + 16 8 + 4 = 1 = 3 Άρα το ζητούµενο σηµείο είναι Α(0, 3) = 5 + 4 4 +
8 7. ίνονται τα σηµεία Β(1, ) και Γ(3, 1). Να εξετάσετε αν υπάρχει σηµείο Α του άξονα τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο στο Α. Έστω Α(, 0) το ζητούµενο σηµείο (ΑΒ ) + (ΑΓ ) = (ΒΓ ) ( 1 ) + (0 ) + ( 3 ) + (0 1 ) = (3 1 ) + (1 ) + 1 + 4 + 4 + 5 = 0 (1) = 16 0 = 4 < 0. 6 + 9 + 1= 4 + 1 Άρα η εξίσωση (1) είναι αδύνατη. Εποµένως δεν υπάρχει τέτοιο σηµείο Α. 8. Ποιες από τις παρακάτω γραµµές είναι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων; i) ii) iii) iv) O O O O Συναρτήσεις είναι οι (ii) και (iii), διότι η οποιαδήποτε κατακόρυφη ευθεία τέµνει την αντίστοιχη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σηµείο. Συναρτήσεις δεν είναι οι (i) και (iv), διότι µία τουλάχιστον κατακόρυφη ευθεία τέµνει την αντίστοιχη γραφική παράσταση σε δύο σηµεία.
9 9. i) Αν (α, β) είναι οι συντεταγµένες σηµείου Μ, ποια είναι η απόσταση του Μ από τον άξονα ; ii) Έστω η συνάρτηση () = 6 + 7. Να βρείτε κάθε σηµείο της το οποίο απέχει από τον άξονα απόσταση. i) Η απόσταση του Μ από τον άξονα είναι β ii) = R Έστω Κ(, ()) ζητούµενο σηµείο (1) = (5) = (3) = d (K, ) = ( ) = 6+ 7 = 6 + 7 = 6 + 5 = 0 ή ή 6 + 7 = 6 + 9 = 0 = 1 ή = 5 ή ( 3 ) = 0 = 1 ή = 5 ή = 3 1 6 1 + 7 = Ζητούµενο σηµείο το Α(1, ) 5 6 5 + 7 = 5 30 + 7 = Ζητούµενο σηµείο το Α(5, ) 3 6 3 + 7 = 9 18 + 7 = Ζητούµενο σηµείο το Α(3, )
10 10. i) Αν (α, β) είναι οι συντεταγµένες σηµείου Μ, ποια είναι η απόσταση του Μ από τον άξονα ; ii) Έστω η συνάρτηση () = 6 + 7. Να βρείτε κάθε σηµείο της οποίο απέχει από τον άξονα απόσταση. i) Η απόσταση του Μ από τον άξονα είναι α ii) = R Έστω Κ(, ()) ζητούµενο σηµείο d (K, ) = () = ( ) = = = ή = 6 + 7 = 4 1 + 7 = 1 Ζητούµενο σηµείο το Α(, 1) το ( ) 6 ( ) + 7 = 4 + 1 + 7 = 3 Ζητούµενο σηµείο το Α(, 3)