ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Δικτυακός τόπος: hp://ipml.ee.duh.gr/~chamzas/courses/dsp/ Οι εκπαιδευτικοί γενικά συμφωνούν ότι οι μελλοντικοί μηχανικοί προετοιμάζονται καλύτερα ως προς τις μελλοντικές τεχνολογικές προκλήσεις αν εκπαιδευτούν όχι μόνο στο αντικείμενο που καθορίζεται από την ειδικότητά τους αλλά επίσης και σε τομείς ευρύτερου ενδιαφέροντος. Τέτοιο παράδειγμα, πλούσιο σε θεωρία και εφαρμογές, είναι η Ανάλυση Σημάτων και ειδικότερα η Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων. Χρησιμοποιείται στην αστρονομία, ωκεανογραφία, κρυσταλλογραφία, ενβιομηχανική, στο σχεδιασμό κεραιών, στις τηλεπικοινωνίες, στη θεωρία συστημάτων, σε επιστήμες σχετικές με υπολογιστές και σε άλλα πολλά πεδία. Έχω επιλέξει από αυτό το σπουδαίο αντικείμενο, διάφορες γνωστικές περιοχές σχετιζόμενες με διακριτούς μετασχηματισμούς Fourier και γραμμικά συστήματα με μετασχηματισμούς Ζ, και με κατασκευή και προβλήματα υλοποίησης ψηφιακών συστημάτων. Παρ όλο ότι προσπαθώ να διατηρήσω την μαθηματική αυστηρότητα, πολλές φορές δίνω πιο ελαστικά επιχειρήματα και συσχετίζω τα αποτελέσματα με γνωστές έννοιες. Αυτή η κατά συνθήκη ελαστική θεώρηση προς χάρη συντομίας και απλότητας δεν είναι ασυνήθιστη, ακόμα και σε καθαρά Μαθηματικά, όπου για παράδειγμα το θεώρημα καμπύλης του Jorda θεωρείται συνήθως αυταπόδεικτο και το αξίωμα της επιλογής παραλείπεται. Η ύλη περιλαμβάνει αρκετά εφαρμοσμένα θέματα,. Όπως και να έχει, έχω επικεντρώσει τη προσοχή μου σε ότι νόμισα ότι ήταν καλύτερο. Γι αυτό περιέλαβα περισσότερο ενότητες γενικού ενδιαφέροντος παρά ειδικά θέματα με αναλυτική κάλυψη. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Σ αυτό το κεφάλαιο, αναπτύσσουμε εν συντομία, τις βασικές έννοιες της θεωρίας διακριτών και συνεχών συστημάτων. Στην παράγραφο., αναπτύσσουμε τη διακριτή μορφή γραμμικότητας, βεβαιώνουμε την ισοδυναμία συνέλιξης και χαρακτηρισμού των γραμμικών συστημάτων, ενώ παράλληλα εισάγουμε το μετασχηματισμό z, σαν συνάρτηση συστήματος. Η παραπάνω ανάλυση επαναλαμβάνεται στην παράγραφο., για συνεχή συστήματα και μετασχηματισμούς Fourier. Στην παράγραφο.3, εξηγούμε την αρχή της ψηφιακής προσομοίωσης για αναλογικά συστήματα. Μερικές από τις έννοιες έχουν αναπτυχθεί με περισσότερη λεπτομέρεια σε προηγούμενα μαθήματα ενώ άλλες έννοιες θα αναπτυχθούν με λεπτομέρειες αργότερα.. Διακριτά σήματα και συστήματα

Ο συμβολισμός f[] υποδηλώνει μία ακολουθία αριθμών πραγματικών ή μιγαδικών, που ορίζεται για κάθε ακέραιο. H ακολουθία f[] θα ονομάζεται διακριτό ή ψηφιακό σήμα και ο δείκτης, διακριτός χρόνος. Οι παρακάτω ειδικές περιπτώσεις θα χρησιμοποιούνται συχνά (Σχ. -). Βηματική ακολουθία Ακολουθία Δέλτα = U [ ] = δ [ ] = Σημειώνουμε ότι δ[-3] ισούται με για =3, και για 3. Για κάθε k δ[ k] = = k k Στην προηγούμενη σχέση, είναι κατανοητό ότι είναι ο διακριτός χρόνος και ότι k είναι μια σταθερή παράμετρος Από την εξίσωση (-) προκύπτει ότι μία αυθαίρετη (οποιαδήποτε) ακολουθία f[] μπορεί να γραφεί σαν ένα άθροισμα ακολουθιών δέλτα Αυτό παριστάνεται στο Σχήμα.. Διακριτά συστήματα f[ ] = f[ k] δ [ k] (.) k = Ένα διακριτό σύστημα είναι ένας κανόνας με τον οποίο αντιστοιχούμε σε μία ακολουθία g[], μία άλλη ακολουθία f[]. Μ αυτό τον τρόπο, ένα διακριτό σύστημα είναι μία απεικόνιση (μετασχηματισμός) της ακολουθίας f[], στην ακολουθία g[]. Θα χρησιμοποιήσουμε το συμβολισμό g[] = L{f[]} (.) για αυτή την απεικόνιση. Η ακολουθία f[] θα ονομάζεται είσοδος, και η ακολουθία g[] έξοδος ή απόκριση (Σχ..3). Γενικά για να ορίσουμε την τιμή της εξόδου g[] για ένα συγκεκριμένο, πρέπει να ξέρουμε την είσοδο f[] για κάθε, προηγούμενο ή επόμενο. Όπως όμως βλέπουμε και στις παρακάτω απεικονίσεις, αυτό δεν είναι πάντα απαραίτητο. Σχήμα. -

Σχήμα. Παράδειγμα. a) g[] = f []. Αυτό το σύστημα είναι μη γραμμικό, και η παρούσα τιμή g[] της εξόδου εξαρτάται μόνο από την f[] (Σύστημα για το οποίο δεν χρειάζεται μνήμη). b) g[] = f[]. Αυτό είναι ένα γραμμικό, χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα για το οποίο επίσης δεν χρειάζεται μνήμη. c) g[] = f[]+3f[-]. H παρούσα τιμή g[] εξαρτάται από την f[] και την προηγούμενη τιμή f[-]. To σύστημα έχει πεπερασμένη μνήμη Στα συστήματα δίχως αναδρομή του παραδείγματος -, η g[] εκφράζεται συναρτήσει των όρων της f[]. Παράδειγμα. g[]+g[-] = f[] Σ αυτό το παράδειγμα, για να βρούμε τη g[], πρέπει να γνωρίζουμε όχι μόνο την f[], αλλά επίσης και την g[-]. M' αυτό τον τρόπο, η g[] υπολογίζεται επιλύνοντας μία εξίσωση διαφορών ή όπως θα την αναφέρουμε εδώ μία αναδρομική εξίσωση. Στην πραγματικότητα, έχουμε άπειρες εξισώσεις, μία για κάθε. Όπως θα δείξουμε υπό ορισμένες περιπτώσεις ( αιτιατότητα ), αυτές οι εξισώσεις έχουν μία και μοναδική λύση: Γι αυτό το λόγο ορίζουν ένα σύστημα αναδρομικό. Τα παρακάτω απλά συστήματα είναι ειδικού ενδιαφέροντος Στοιχείο καθυστέρησης g[] = f[-] Πολλαπλασιαστής g[] = af[] Αυτά τα συστήματα θα παρίστανται με τα μπλόκ διαγράμματα του σχήματος.4. Το γράμμα α στο τρίγωνο που αναπαριστά τον πολλαπλασιαστή είναι το κέρδος του. Η σημασία του γράμματος z (η συνάρτηση συστήματος) στο μπλοκ που αναπαριστά το στοιχείο καθυστέρησης θα αναπτυχθεί αμέσως μετά. Θα δείξουμε έπειτα ότι ένα οποιοδήποτε γραμμικό σύστημα μπορεί να υλοποιηθεί με ένα συνδυασμό στοιχείων καθυστέρησης και πολλαπλασιαστών. Γιά παράδειγμα το Σχήμα -5 δίνει την υλοποίηση του συστήματος g[] = f[] + 3f[-]. -3

Σχήμα.3 Σχήμα.4 Γραμμικότητα Ένα σύστημα L είναι γραμμικό αν για οποιοδήποτε a, a, f[] και f[] L{af[]+af[]} = al{f[]} + al{f[]} (.3) Από τον ορισμό προκύπτει ότι η απόκριση στην af[] ισούται με ag[]. Επιπλέον, αν g[] και g[] είναι οι αποκρίσεις των f[] και f[] αντίστοιχα, τότε η απόκριση στην f[]+f[] ισούται με g[]+g[] Χρονική αμεταβλητότητα Ένα σύστημα L είναι χρονικά αμετάβλητο αν L {f[-k]} = g[-k] (.4) για οποιοδήποτε k Δηλαδή: Μία μετατόπιση της εισόδου προκαλεί μία ίση μετατόπιση της εξόδου Παράδειγμα.3 α) Το σύστημα g [ ]= f[ ] είναι μη γραμμικό (γιατί;) και χρονικά αμετάβλητο. b) Το σύστημα g[]=f[] είναι γραμμικό, και χρονικά μεταβαλλόμενο επειδή η απόκριση στην f[-k] ισούται με f[-k], ενώ g[-k]=(-k)f[-k] c) Το σύστημα g[]=f[]+3f[-] είναι γραμμικό και χρονικά αμετάβλητο. Η απόκριση Δέλτα Θα συμβολίσουμε με h[] την απόκριση ενός συστήματος, στην ακολουθία δ[] (Σχήμα.6) L{δ[]} = h[] (.5) -4

Σχήμα.5 Σχήμα.6 Σημειώνουμε ότι η ακολουθία h[] δεν είναι απαραίτητα μηδενική για <. Αν τότε το σύστημα ονομάζεται αιτιατό. Παράδειγμα.4 h[] = για < (.6) g[] = f[]+3f[-] Σ' αυτό το παράδειγμα, η g[] εκφράζεται άμεσα συναρτήσει όρων της f[] (Μη αναδρομικό σύστημα) Θέτοντας f[] = δ[] μπορούμε επομένως να βρούμε αμέσως την δέλτα απόκριση h[] Παράδειγμα.5 h[] = δ[] +3δ[-] g[ ] = f[ ] + f[ ] + + f[ k]... +.. (.7) k όπως στο παράδειγμα.4-5

k h [ ] = [ ] + [ ] + + [ k U ] + = = δ δ... δ... [ ] Παράδειγμα.6 Θέλουμε να βρούμε την δέλτα απόκριση h[] ενός αιτιατού συστήματος τέτοιου ώστε: g [ ] g [ ] = f[ ] (.8) Aπό τις ισότητες (.5) και (.6) προκύπτει ότι: h [ ] h [ ] = δ[ ] για καθε και h[] = για < Θέτοντας =,... και συμφωνώντας ότι h[-] =, παίρνουμε = : h[] = = : h[ ] h[] =, h[] = = h[ ] h[] = h[ ] = :, h = h για καθε > Γενικά, [ ] [ ] Εύκολα προκύπτει επαγωγικά ότι: [ ] = [ ] h U (.) Στο ο κεφάλαιο (Μετασχηματισμός Ζ) αναπτύσσουμε απλούστερες μεθόδους για τον προσδιορισμό της h[]. Στο Σχήμα (.7) δείχνουμε μία υλοποίηση μπλοκ διαγράμματος του παραπάνω συστήματος. Σημειώνουμε ότι τα δύο συστήματα στην (.7) και (.8) έχουν την ίδια δέλτα απόκριση h[]: Έτσι λοιπόν είναι ισοδύναμα. Αυτό γίνεται γιατί δίδουν την ίδια απόκριση στην ίδια είσοδο (βλέπε.). Το σύστημα στο (.7) είναι βέβαια μη επαναληπτικό (αναδρομικό), αλλά ένας μη πεπερασμένος αριθμός στοιχείων καθυστέρησης είναι αναγκαίος για την υλοποίηση του. Το σύστημα της εξίσωσης (.8) (επαναληπτικό) υλοποιείται με ένα μόνο στοιχείο καθυστέρησης. -6

Σχήμα.7 Διακριτή συνέλιξη Θα εκφράσουμε την απόκριση g[] ενός γραμμικού συστήματος για μία οποιαδήποτε (αυθαίρετη) είσοδο f[] με όρους της h[] και f[]. Σημειώνουμε ότι η απόκριση της δ[-k] ισούται με h[-k] για κάθε k (χρονική αμεταβλητότητα) L{δ[-k]}=h[-k] (-) Έτσι, η απόκριση στο f[k]δ[-k] είναι f[k]h[-k] (γραμμικότητα) Από τα παραπάνω και την (.) προκύπτει ότι [ ] = { [ ]} = [ ] { [ ]} = [ ] [ ] g L f f kl k f kh k k = k = Tο τελευταίο άθροισμα είναι η διακριτή συνέλιξη της f[] με την h[]. Η πράξη θα σημειώνεται με f[] *h[]. Όπως είναι εύκολο να διαπιστώσει κάποιος η συνέλιξη είναι πράξη προσεταιριστική και επιμεριστική. Ετσι λοιπόν έχουμε καταλήξει στο σημαντικό συμπέρασμα ότι [ ] = [ ]* [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] g f h f k h k f k hk Παράδειγμα.7 k = k = h [ ] = U [ ] f [ ] U [ ] U [ ] = = < 4 4 αλλου Βρείτε το g[] = f[]*h[] για = και =5 Για να βρούμε το g[], πολλαπλασιάζουμε την f[k] με h[-k] και προσθέτουμε για όλα τα k όπως βλέπουμε από το Σχήμα.8α. g[ ] f[ ] h[ ] f[] h[] f[ ] h[ ] = + + = + + 4 Παρόμοια -7

3 4 5 g[] 5 = f[][] 3 h + f[][] h 3 + f[][] h 4 + f[][] h 5 = + + + Σημειώνουμε ότι, αν h[] = για < τότε Σχήμα.8 g [ ] = f[ kh ] [ k] = f[ khk ] [ ] k = k = (-) Aν, επίσης f[] = για <, τότε g[]= για < : για παίρνουμε: g [ ] = f[ kh ] [ k] = f[ khk ] [ ] k = k = (-3) Δίνοντας συγκεκριμένες τιμές παίρνω: g[] =f[]h[] g[] = f[]h[]+f[]h[] g[] =f[]h[] + f[]h[]+f[]h[] Παράδειγμα.8 f[] = U[] -U[-3] = h[] Βρες τη g[] Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι g[] = για < και >4 Για : g[ ] = + k = Για < 4: g[ ] = = 5 k= όπως δείχνεται στο Σχήμα.9-8

Σχήμα.9 Παράδειγμα.9 f[ ] = h[ ] = U[ ] 3 Από την (.) προκύπτει ότι g [ ]= k = k k x 3 = 6 3 Η συνάρτηση συστήματος Ας υποθέσουμε ότι η είσοδος σε ένα γραμμικό σύστημα είναι μία γεωμετρική πρόοδος f[] = r Όπως βλέπουμε από την (.) η απόκριση που προκύπτει k k g [ ] = r hk [ ] = r hkr [ ] (-4) k = k = Είναι επίσης η ίδια γεωμετρική πρόοδος πολλαπλασιασμένη με την τιμή Η(r) του μετασχηματισμού z. H( z) = hz [ ] (-5) = της ακολουθίας h[] Αιτιολογώντας όπως στην (.4) συμπεραίνουμε ότι: { } L z = H( z) z (-6) για οποιαδήποτε z, πραγματικό ή μιγαδικό, για το οποίο οι σειρές της εξίσωσης (.5) συγκλίνουν. Θα ονομάσουμε τον παράγοντα H(z) συνάρτηση συστήματος. -9

Αυτή η συνάρτηση μπορεί να οριστεί τόσο από την (.5) όσο και από την (.6). Για να ορίσουμε τη H(z) από την (.6) χρησιμοποιούμε την είσοδο f[] = z. Ο συντελεστής της z στην απόκριση H(z) z που προκύπτει, ισούται με H(z). Για το στοιχείο καθυστέρησης, H(z) = z -. Πράγματι, αν f[] = z, τότε g[]=f[-] =z- = z- z. Για τον πολλαπλασιαστή, H(z) = a. Πράγματι, αν f[] = z, τότε g[] = af[] = az Παράδειγμα. Η αναδρομική εξίσωση Σχήμα. -

6g[] + 5g[-] + g[-] = f[] ορίζει ένα σύστημα με είσοδο f[] και έξοδο g[]. Αν f[] = z, τότε g[] = H(z)z. Αντικαθιστώντας, παίρνουμε 6Η(z)z + 5H(z)z- + H(z)z- = z οπότε H ( z )= + z + 6 5 z Στο Σχήμα., έχουμε τέσσερα συστήματα τα οποία έχουν καθορισθεί από τα μπλοκ διαγράμματά τους. Στο ο σύστημα (μη επαναληπτικό), η H(z) υπολογίζεται άμεσα σαν έξοδος στην z. Στο ο σύστημα (αναδρομικό) η H(z) υπολογίζεται επιλύνοντας μία εξίσωση. Το τρίτο παράδειγμα είναι ένας συνδυασμός των δύο πρώτων «εν σειρά». Για το 4ο σύστημα είναι απαραίτητο να εισαγάγουμε μία βοηθητική έξοδο με τη συνάρτηση του συστήματος H(z) και να επιλύσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων. Τα συστήματα (c) και (d) έχουν την ίδια συνάρτηση συστήματος. Ετσι λοιπόν είναι ισοδύναμα. Ας παρατηρηθεί όμως ότι το (c) περιέχει δύο στοιχεία καθυστέρησης, ενώ το (d) περιέχει μόνο ένα. Συστήματα εν σειρά Δύο συστήματα είναι συνδεδεμένα εν σειρά αν η έξοδος του πρώτου είναι είσοδος του δεύτερου. Σημειώνοντας με h[] και H(z) την δέλτα απόκριση και τη συνάρτηση συστήματος, αντίστοιχα, του συστήματος που σχηματίστηκε, συμπεραίνουμε, με την εξήγηση του σχήματος. ότι (γιατί;) h[] = h[]*h[] H(z) = H(z) H(z) Σχήμα. Θεώρημα συνέλιξης Εξ ορισμού τα H(z), H(z) και H(z) είναι οι μετασχηματισμοί των h[], h[] και h[], αντίστοιχα. Και επειδή οι ακολουθίες h[] και h[] είναι τυχαίες, προκύπτει από την (.7) ότι ο μετασχηματισμός z, της συνέλιξης δύο ακολουθιών ισούται με το αποτέλεσμα των z μετασχηματισμών τους Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι αν Fz ( ) = fz [ ] Gz ( ) = gz [ ] = = -

είναι οι μετασχηματισμοί z, της εισόδου f[] και της εξόδου g[] του συστήματος H(z) τότε: G(z) = F(z)H(z) επειδή g[] = f[]*h[] Έτσι έχουμε λοιπόν, τους τομείς παρακάτω ισοδύναμους ορισμούς της συνάρτησης συστήματος H(z). Η(z) είναι ο μετασχηματισμός z, της h[]. Aν f[] = z, τότε H(z) είναι ο συντελεστής της προκύπτουσας απόκρισης g[]=h(z)z 3. Η(z) ισούται με το λόγο G(z)/F(z).. ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ο όρος συνεχές ή αναλογικό σήμα, θα σημαίνει μία συνάρτηση f(), πραγματική ή μιγαδική, ορισμένη για κάθε πραγματικό. Τα παρακάτω σήματα θα χρησιμοποιούνται συχνά (Σχήμα.). Βηματική συνάρτηση Συνάρτηση προσήμου Ορθογωνικός παλμός > > U () = sg = Pa () = < < < a > a Σχήμα. Η συνάρτηση ΔΕΛΤΑ δ() Αυτή η σημαντική έννοια θα αναπτυχθεί, σ' άλλα κεφάλαιο. Εδώ θα σημειώσουμε μόνο ότι η δ() μπορεί μόνο να ληφθεί σαν το όριο μίας "οικογένειας" συναρτήσεων fc() τέτοιων ώστε: fc() d = fc() ϕ() d c ϕ ( ) (.9) για οποιαδήποτε συνάρτηση φ() συνεχή εξ ορισμού. Αυτή η ερμηνεία της δ() οδηγεί στην ταυτότητα δ () ϕ () d = ϕ ( ) (.) για την οποία όλες οι τυπικές ιδιότητες της δ() μπορούν να συναχθούν -

Αναλογικά συστήματα Ένα αναλογικό σύστημα είναι ένας κανόνας με τον οποίο αντιστοιχούμε μία συνάρτηση g(), σε μία άλλη συνάρτηση f(),. Ένα σύστημα είναι έτσι ένας μετασχηματισμός, ο οποίος απεικονίζει την είσοδο f() στην έξοδο (ή απόκριση) g() g() = L[f()] Γραμμικότητα Ένα σύστημα L είναι γραμμικό αν για οποιοδήποτε a, a, f() και f() L[af() + af()] = al[f()] + al[f()] Αμεταβλητότητα του χρόνου Ένα σύστημα L είναι χρονικά αμετάβλητο αν L[f(- )] = g(- ) για οποιοδήποτε πραγματικό Παράδειγμα. α) g () = f() (ανορθωτής): μη γραμμικός, χρονικά αμετάβλητος β) g() = f() : γραμμικός, χρονικά μεταβλητός γ) g() = f(-a) (γραμμή καθυστέρησης): γραμμικός, χρονικά αμετάβλητος Σημείωση: Αν ένα σύστημα είναι γραμμικό και f(), τότε g(), επειδή τότε f()=f(): Έτσι λοιπόν, g() = g(). Aν όμως, f() = μόνο για, τότε δεν συνεπάγεται ότι g( )= διότι g( ) εξαρτάται από όλες τις τιμές της f(), προηγούμενες και επόμενες. Αιτιότητα Θα λέμε ότι μία συνάρτηση f() είναι αιτιατή αν f() = για < Θα λέμε ότι ένα σύστημα είναι αιτιατό αν μία αιτιατή είσοδος δημιουργεί μία αιτιατή έξοδο. Έτσι λοιπόν, ένα αιτιατό σύστημα έχει την παρακάτω ιδιότητα (βλέπε εξίσωση.) Αν f() = για τότε g() = για (.3) Πόρισμα Αν ένα σύστημα είναι αιτιατό, και f() = f() για, τότε g() = g() για. Επειδή η απόκριση της f() = f() - f() ισούται με g() - g() και f() = για. Ένα φυσικό σύστημα είναι πάντοτε αιτιατό αν είναι πραγματικός χρόνος, αυτό όμως δεν συνεπάγεται ότι όλα τα φυσικά συστήματα είναι αιτιατά. Αν, για παράδειγμα L είναι μία οπτικό σύστημα και η είσοδος του f(x) είναι ένα αντικείμενο, τέτοιο ώστε f(x) = στο αριστερό ημιεπίπεδο x, η προκύπτουσα (εξαγόμενη) έξοδος (εικόνα) g(x) μπορεί και να μην είναι μηδενική για x. Πότε ένα σύστημα ή μία συνάρτηση είναι πραγματικό; Θα λέμε ότι ένα σύστημα είναι πραγματικό, αν η απόκριση σε μία πραγματική είσοδο f(), είναι μια πραγματική -3

συνάρτηση g(). από τον ορισμό και τη γραμμικότητα του συστήματος, προκύπτει ότι αν f() και f() είναι δύο πραγματικές συναρτήσεις και L f () + jf = g () + jg () { } τότε g () L{ f () } g () L{ f () } = = (.4) Διαφορικές εξισώσεις Μία σημαντική ειδική περίπτωση ενός γραμμικού συστήματος, είναι η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές και μηδενικές αρχικές συνθήκες. Υπέθεσε, για παράδειγμα ότι g () + ag() = f() (.5) Aν αυτή η εξίσωση ισχύει για οποιοδήποτε και ερμηνεύεται επίσης ότι ισχύει g() = για, όταν f() =, για, τότε αυτό ορίζει ένα γραμμικό αιτιατό σύστημα με είσοδο f() και έξοδο g(). Αν η εξίσωση (.5) ισχύει για, μόνο, και g() = (μηδενικές αρχικές συνθήκες) τότε, θέτοντας f() =, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ισχύει για οποιοδήποτε. Το σύστημα λοιπόν, που έχει οριστεί είναι πραγματικό αν το α είναι πραγματικός αριθμός. Στο Σχήμα.3 θα δείξουμε τη λύση της (.5) για δύο ειδικές μορφές της f() της μοναδιαίας περιοχής a e c f c u u c g ( ) < ac () = [() ( )] () = ac a ( e ) e > ac f ( ) c e / c U g ac e a e / c () = () () = > Eίναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι, αν το c είναι μικρό, τότε g () g () e a U() για c Σχήμα.3 Έτσι λοιπόν, όταν c, η απόκριση προσεγγίζει μία οριακή τιμή e-au(), η οποία είναι ίδια και για τις δύο εισόδους. Αυτή η σημαντική παρατήρηση μας οδηγεί στην έννοια της κρουστικής απόκρισης. Κρουστική απόκριση Σ' ένα τυχαίο γραμμικό σύστημα L χρησιμοποιούμε μία ακολουθία εισόδων fc( )= c f c -4

μοναδιαίων περιοχών όπως στην εξίσωση (.9). Η δημιουργούμενη απόκριση gc() είναι ένα σήμα το οποίο εξαρτάται από το σύστημα L, τη μορφή f() της εισόδου και το βαθμωτό παράγοντα c. Μπορεί να δεχτεί ότι όταν c, g c () τείνει σ' ένα όριο [ c ] L f () = g () h() c c Το όριο h() εξαρτάται από το σύστημα L, αλλά είναι ανεξάρτητο από τη μορφή της εισόδου, εφ' όσον το εμβαδόν της ισούται με. Αφού η fc() τείνει στην δ() (Βλέπε εξίσωση.9), μπορούμε να πούμε ότι h() είναι η απόκριση του L, στην κρουστική συνάρτηση δ() h() = L[δ()] (.7) H συνάρτηση h() θα ονομάζεται κρουστική απόκριση του συστήματος. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι αν η είσοδος σ' ένα σύστημα είναι ένα σήμα f() τυχαίας μορφής αλλά αρκετά μικρής διάρκειας σχετικά με το h() τότε η εξαγόμενη απόκριση είναι περίπου ίση με Ah() όπου Α είναι το εμβαδόν της f(). Αν η f() παίρνει σημαντικές τιμές όχι κοντά στην αρχή (=) αλλά κοντά στο σημείο, όπως στο σχήμα.4, τότε ( χρονική αμεταβλητότητα) η απόκριση που θα λάβουμε θα ισούται κατά προσέγγιση με Αh(-). Παράδειγμα. Η εξίσωση g'()+ag()=f() ορίζει ένα γραμμικό, αιτιατό σύστημα, με κρουστική απόκριση e-au(). Αν f() είναι ένα τρίγωνο εμβαδού Α=Βε (όπως στο σχήμα.4) και ε<</α, τότε a ( ) g () Ah ( ) = Be ε > + ε Σχήμα.4 Συνέλιξη Θα δείξουμε ότι η απόκριση g() ενός γραμμικού συστήματος L για μία τυχαία είσοδο f() δίνεται από τη σχέση g () = f( τ)( h τ) dτ (.8) Η έκφραση "f() είναι μικρής διάρκειας σχετικά με τη h()", σημαίνει περίπου ότι η f() είναι μηδενική για >ε και η h() είναι κατά προσέγγιση σταθερή για οποιοδήποτε διάστημα πλάτους ε -5

Απόδειξη Η συνάρτηση f() μπορεί να γραφεί σαν ένα άθροισμα στοιχειωδών συναρτήσεων f i () όπως στο σχήμα.5. Σημειώνοντας με g i () την απόκριση του L στην f i (), έχουμε (γραμμικότητα) f() = fi() g() = gi() (.9) i i Σχήμα.5 Αν το Δτ είναι αρκετά μικρό, τότε το εμβαδόν της fi() ισούται με f(i)δτ. Έτσι λοιπόν, η προκύπτουσα απόκριση, είναι κατά προσέγγιση f(τi)δτh(-τi), επειδή η fi() συγκεντρώνεται κοντά στο σημείο τi. Aν Δτ, μπορούμε έτσι να συμπεράνουμε ότι gi() f( τi)( h τi) Δ τ f( τ)( h τ) dτ i i και στη συνέχεια έπεται η (.8). Το ολοκλήρωμα στην εξίσωση (.8) είναι η συνέλιξη της εισόδου f() με την κρουστική απόκριση h(): g() = f()*() h = f( τ)( h τ) dτ = f( τ)( h τ) dτ (.3) Αν το σύστημα L είναι αιτιατό, τότε h ()= για < γιατί δ()= για <. Σ' αυτή την περίπτωση η (.3) δίνει: g () = f( τ)( h τ) dτ = f( τ)( hτ) dτ (.3) Αν επίσης f()= για <, τότε g()= για <. Για > έχουμε: g () = f( τ)( h τ) dτ = f( τ)( hτ) dτ (.33) O υπολογισμός του ολοκληρώματος της συνέλιξης διευκολύνεται συχνά από μια ημιγραφική μέθοδο. Για να βρούμε το g() για κάποια =,, σχηματίζουμε τη συνάρτηση h(-τ) και τη μετατόπιση της h( -τ). Το εμβαδόν του γινομένου f(τ)h(-τ) μας δίνει τη g(). -6

Σχήμα -6 Παράδειγμα.3 Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε τη συνέλιξη g() των δύο συναρτήσεων f() και h() του σχήματος.6. Όπως βλέπουμε, η h() είναι αιτιατή και η f() είναι μηδενική έξω από το διάστημα (α,β). Από το σχήμα προκύπτει ότι g()= για =<α και g ( ) = f( τ) h( τ) dτ α < < β α β g ( ) = f( τ) h ( τ) dτ > β 3 α 3 3 Σημειώνουμε ότι, αν f()= έξω από το διάστημα (α,β) και h()= έξω από το διάστημα (α,β), τότε g()= έξω από το διάστημα (α+α, β+β). Παράδειγμα.4 Αν f()=u(-)-u(-3) είναι ένας παλμός όπως φαίνεται στο σχήμα.7 και h()=f() τότε η g() είναι ένα τρίγωνο Σχήμα.7 Κέντρο βάρους εξόδου Ορίζουμε με m f Af = f( d ) m f = f d = ( ) A f (.34) το εμβαδόν, την πρώτη ροπή και το κέντρο βάρους, αντίστοιχα της f(). Παρόμοια ορίζονται και τα αντίστοιχα μεγέθη για τις h() και g(). Θεώρημα Αν g()=f()*h(), τότε η = AA, = + (.35) g f h g f h Απόδειξη Ολοκληρώνοντας τα δύο μέρη εκατέρωθεν της εξίσωσης (.8) και αλλάζοντας την σειρά των ολοκληρωμάτων στο δεξιό μέρος, έχουμε με -τ=x g( ) d = f ( τ) h( τ) d dτ = f ( τ) dτ h( x ) dx Tότε Αg=AfAh. Παρόμοια -7

g( ) d = f ( τ) h( τ) ddτ = f ( τ) ( x + τ) h( x ) dxdτ = = f ( τ) d τ xhxdx ( ) + τ f ( τ) d τ hxdx ( ) Έτσι λοιπόν m=am+am g f h h f Διασπώντας και τα δύο μέλη με Αg = AA f h συμπεραίνουμε ότι =h+h. Στο g g h παράδειγμα.4, Αg=4, Af= και Αh=. Επίσης, g=4, f= και hh=. Η Συνάρτηση συστήματος Ας υποθέσουμε ότι η είσοδος για ένα γραμμικό σύστημα είναι μία εκθετική συνάρτηση f()= e jω όπως βλέπουμε από την (.3) η απόκριση που προκύπτει θα είναι: jω( τ) jω jω τ g () = e h( τ) d= e e h( τ) dτ (.36) Έτσι λοιπόν, η g() είναι επίσης εκθετική πολλαπλασιασμένη με την τιμή Η(ω) του μετασχηματισμού Fourier jω H( ω ) = h( ) e d (.37) της h(). Αφού αυτό αληθεύει για κάθε ω, οπότε jω { } jω L e = H( ω ) e (.38) θα ονομάσουμε τον παράγοντα Η(ω) σαν συνάρτηση συστήματος. Μπορούμε να την ορίσουμε τόσο από την (.37), όσο και από την (.38). Για να ορίσουμε την Η(ω) από την (.38), χρησιμοποιούμε την είσοδο f()= e jω. H συνάρτηση Η(ω) ισούται με το συντελεστή της προκύπτουσας απόκρισης H( ω ) e jω. Γενικά, η Η(ω) είναι μιγαδική με μέτρο Α(ω) και φάση φ(ω) H( ) A( ) e j ( ) ω = ω ϕ ω (.39) -8

Σχήμα.8 Παράδειγμα.5 (Εξομαλύνση) Θεώρησε ένα σύστημα του οποίου η κρουστική απόκριση h() είναι ένας παλμός όπως δείχνεται στο σχήμα.8. Από την εξίσωση (.37) προκύπτει ότι η αντίστοιχη συνάρτηση συστήματος, δίνεται από τη σχέση a jω H ( ω ) = e d = a a si aω aω Είναι εύκολο να διαπιστώσει κάποιος ότι g f a p + a a () = ()* a() = f d a () τ = a a a f( τ) dτ (.4) Παράδειγμα.6 Από την εξίσωση (.37) προκύπτει ότι αν h()=e-au(), για α>, τότε a jω H( ω ) = e e d = a + jω (.4) Παράδειγμα.7 (Διαφοριστής) Θεώρησε ένα σύστημα, του οποίου η έξοδος είναι η παράγωγος f'() της εισόδου. Aν f() =ejω, τότε Έτσι λοιπόν, Η(ω)=jω Παράδειγμα.8 Η διαφορική εξίσωση g () = f () = jωe jω g () + ag() = f() για καθε (.4) oρίζει ένα αιτιατό σύστημα με είσοδο f() και έξοδο g(). Όπως βλέπουμε από την (.38), αν f()=ejω, τότε: g () = H( ω ) e jω Aντικαθιστώντας στην (.4), παίρνουμε: jωh( ω) e + ah( ω) e = e jω jω jω Έτσι λοιπόν, H ( ω ) = a + jω -9

Από την (.4) προκύπτει λοιπόν, ότι η κρουστική απόκριση του συστήματος ισούται με e-au(). Επομένως, η λύση της (.4), δίνεται από τη σχέση a aτ g () e f( τ) e dτ = Πραγματικά συστήματα Η συνάρτηση συστήματος, ενός γραμμικού συστήματος είναι, σε γενικές γραμμές, μία συνάρτηση Η(ω) της πραγματικής μεταβλητής (συχνότητα) ω. Έτσι λοιπόν, αν h() είναι πραγματική, τότε H h e j ω *( ω) = ( ) d = A( ω) e jϕ( ω) [βλέπε εξίσωση (.37)]. Αλλά το παραπάνω ολοκλήρωμα ισούται με Η(-ω), οπότε Ç*( ù) = Ç( ù) Á( ù) = Á( ù) ö( ù) = ö( ù) (.43) Έτσι λοιπόν, η συνάρτηση συστήματος, ενός πραγματικού συστήματος, έχει άρτιο μέτρο και περιττή φάση. Γι' αυτό το λόγο, αν είναι γνωστή για ù, τότε είναι γνωστή και για ω<. Η απόκριση ενός τυχαίου συστήματος, πραγματικού ή μιγαδικού, στην f() = cosù = e jù + e jù ισούται με Hù ( ) H ù g e jù ( ) () = + e jù Aπό την (.43) προκύπτει ότι, αν η h() είναι πραγματική, τότε [ ] g () = Re Çù ( )e jù Aυτό προκύπτει επίσης από την εξίσωση (.4) cosù = Re e jù οπότε g () = Re [ Hù ( )e jù ] = Re [ Aù ( )e jö( ù) e jù ] Έτσι λοιπόν συμπεραίνουμε ότι { cos } ( ) cos [ ( )] L ù = A ù ù + ö ù (.44) Παράδειγμα.9 Έστω ότι θέλουμε να επιλύσουμε την εξίσωση g () + g() = cos3 -

όπως είδαμε παραπάνω, η g() μπορεί να θεωρηθεί σαν η απόκριση ενός συστήματος με είσοδο cos3 και συνάρτηση συστήματος /(+jω). Επειδή H ( 3) = = + j3 προκύπτει από την (.44), ότι 3 e j a 3 / 3 g () = cos( 3 a ) 3 Χρόνος καθυστέρησης Θα δείξουμε ότι το κέντρο βάρους h της h() [βλέπε εξ. (.34)] ισούται με την κλίση, στην αρχή της φάσης καθυστέρησης -φ(ω). h = ϕ ( ) (.45) Απόδειξη Από την (.43), συμπεραίνουμε ότι φ()= και Α'()=. Οπότε, Η()=Α() και Η'()=jφ'(). Επιπλέον [βλέπε εξ. (.37)]. H( ) = h( ) d = A h και H = jhe j ω ( ω ) ( )() d H ( ) = j hd () = jm Έτσι λοιπόν, jφ'()α h =-jm h και η (.45) προκύπτει, επειδή m h =A h h. Από τις εξισώσεις (.45) και (.35) προκύπτει ότι αν ένα σήμα f() διέρχεται διαμέσου ενός πραγματικού συστήματος, το κέντρο βάρους του παρουσιάζει καθυστέρηση ενός μεγέθους ίσου με -φ'(). h Σχήμα.9 Συστήματα σε σειρά Δύο συστήματα έχουν συνδεθεί σε σειρά όπως στο σχήμα.9. Σημειώνοντας με h() και Η(ω) την κρουστική απόκριση και τη συνάρτηση συστήματος, αντίστοιχα, ολοκλήρου του συστήματος, συμπεραίνουμε από το σχήμα ότι h () = h()* h() H( ω ) = H( ω ) H ( ω ) (.46) Θεώρημα συνέλιξης Εξ' ορισμού, Η(ω), Η(ω) και Η(ω) είναι οι μετασχηματισμοί Fourier των h(), h() και h() αντίστοιχα και επειδή οι συναρτήσεις h() και h() είναι τυχαίες, προκύπτει από την (.46), ότι ο μετασχηματισμός Fourier της συνέλιξης των δύο συναρτήσεων, ισούται με το γινόμενο των μετασχηματισμών Fourier εκάστης συνάρτησης. -

Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα, ότι αν F f e j ω jω ( ω) = ( ) d και G( ω) = ge ( ) d είναι οι μετασχηματισμοί Fourier των f() και g(), αντίστοιχα, τότε G( ω ) = F( ω ) H( ω ) (.47) επειδή g()=f()*h(). Έτσι λοιπόν, έχουμε τους τρεις παρακάτω ορισμούς της συνάρτησης συστήματος Η(ω). Σχήμα.. Η Η(ω) είναι ο μετασχηματισμός Fourier της h().. Aν f()=ejω, τότε Η(ω) είναι ο συντελεστής της απόκρισης g()=h(ω)ejω. 3. H H(ω) ισούται με το κλάσμα G(ω)/F(ω). Ο αντίστροφος τύπος Θα εκφράσουμε την κρουστική απόκριση h() ενός συστήματος, συναρτήσει της συνάρτησης του συστήματος του Η(ω). Γι' αυτό το σκοπό, θα χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα δ() = π e jω dω (.48) Αυτή η ταυτότητα, μπορεί να αιτιολογηθεί, ως εξής: Είναι γνωστό ότι, αν α> τότε: si α si d = d = π (.49) π -

Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι [βλέπε σχήμα (.) και (*****)]. lim a a a από το οποίο προκύπτει, όπως στην εξ. (.9) ότι sia ϕ() d= ϕ() (.5) π δ( ) = lim a si a π (.5) και η (.48) έπεται (προκύπτει), επειδή si a π = π a a j e ω dω (.5) Θεώρημα jω h () = H( ) e d π ω ω (.53) Απόδειξη Η απόκριση του συστήματός μας στη δ(), ισούται με h(). Η απόκριση του δεξιού μέρους της εξ. (.48) ισούται με το δεξιό μέρος της (.53). Γι' αυτό το λόγο, η (.53) είναι αποτέλεσμα της (.48) (Σχήμα.). Σχήμα. Παράδειγμα. Ένα ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο, είναι ένα σύστημα, με σταθερό μέτρο Α(ω) και γραμμική φάση φ(ω), στο διάστημα (-ωc,ωc). H( ω) = p ( ω) e ω c j ω Από την (.53), προκύπτει ότι, η κρουστική απόκριση δίνεται από τη σχέση ωc j j si c( ) ω ω ω h () = e e d = π ω ωc π( ) -3

όπως στο σχήμα.. Σχήμα. Αν η είσοδος είναι μία βηματική συνάρτηση f()=u(), τότε η έξοδος που προκύπτει, και έχει σημειωθεί με a(), είναι η βηματική απόκριση του συστήματος όπως βλέπουμε από την (.3) α() = h() d = si ωc( τ ) dτ = + π( τ ) π c ω ( ) si x dx x Σημειώνουμε ότι, αν f()=cosω, τότε g()=a(ω)cosω(-). [βλέπε εξ..44)]. Γι' αυτό το λόγο, αν ω >ωc, τότε g()=. Αν ω <ωc, τότε g()=cosω(-). Tο προηγούμενο θεώρημα, εκφράζει μία τυχαία συνάρτηση h() σε όρους του μετασχηματισμού Fourier της Η(ω), οριζόμενης από την εξ. (.37). Η υπόθεση ότι η h() είναι κρουστική απόκριση ενός συστήματος, εισήχθηκε απλώς, προκειμένου να εξάγουμε την (.53) από την (.48) με απλό τρόπο εφαρμόζοντας το θεώρημα στην έξοδο g() ενός συστήματος και του μετασχηματισμού του G(ω)=F(ω)Η(ω), παίρνουμε jω jω g () = G( ) e d = F( ) H( ) e d π ω ω π ω ω ω (.54) Περιοδικοί είσοδοι Είναι γνωστό ότι μία περιοδική συνάρτηση, με περίοδο τ, μπορεί να γραφεί σαν ένα άθροισμα εκθετικών παραγόντων [βλέπε σειρές Fourier, παρ. *****)] j f() = ae ω ω = = π Τ (.55) όπου a = T Τ / jω f() e Τ / d (.56) Aπό την (.38) προκύπτει ότι η απόκριση ενός γραμμικού συστήματος σε περιοδική είσοδο f(), είναι -4

g () = ah( ω ) e = jω (.57) Αυτός ο τύπος είναι χρήσιμος, μόνο αν μικρός αριθμός όρων στο παραπάνω άθροισμα είναι σημαντικός. Υπέθεσε, για παράδειγμα, ότι το σύστημα είναι ένα χαμηλοπερατό φίλτρο, όπως στο παράδειγμα.. Αν ω<ωc<ω τότε η (.57) δίνει ω g () = a + ae + a e j ( ) jω( ) Aν η Η(ω) δεν είναι στενού εύρους ζώνη, ή ισοδύναμα, αν η διάρκεια της h() είναι της τάξης Τ (βλέπε παρ. *****), τότε η g(), ορίζεται καλύτερα από το συνελικτικό ολοκλήρωμα της εξ..8. Σχήμα.3 Ο τύπος αθροίσματος του Poisso Χρησιμοποιήσαμε την έννοια του συστήματος, για να αποδείξουμε το θεώρημα συνέλιξης (.47) και τον αντίστροφο τύπο (.53). Συνεχίζοντας παρόμοια, θα αποδείξουμε τον τύπο αθροίσματος του Poisso. Αυτή η σημαντική ταυτότητα θα χρησιμοποιηθεί κατ' επανάληψη. Η σειρά συναρτήσεων δέλτα = δ( + T ) (Σχήμα.3) είναι μία περιοδική συνάρτηση με συντελεστές σειρών Fourier a T / j = e d= T δ ω () T / T Αυτό προκύπτει, από την εξίσωση (.) και (.56) και από το γεγονός ότι, στο διάστημα (-Τ/,Τ/) το παραπάνω άθροισμα ισούται με δ(). Αντικαθιστώντας στην (.55), παίρνουμε: = δ( + T ) = T ω e j = Θεώρησε μια τυχαία συνάρτηση y(), με μετασχηματισμό Fourier jω Y ( ω) = y( ) e d Χρησιμοποιώντας την (.58), θα δείξουμε ότι -5

= y ( + T) = Y ( ) e j ω ω T = (.59) όπου Τ είναι μία σταθερά, και ω =π/τ. Απόδειξη Σχηματίζουμε ένα σύστημα (Σχήμα.3), με κρουστική απόκριση y() και συνάρτηση συστήματος Υ(ω). Η απόκριση αυτού του συστήματος, στην αριστερή πλευρά της (.58) ισούται με την αριστερή μεριά της (.59) και η απόκριση στην δεξιά μεριά της (.58), ισούται με την δεξιά μεριά της (.59). Έτσι λοιπόν, η (.59) είναι αποτέλεσμα της (.58). Σημειώνουμε ότι το αριστερό μέρος της (.59) είναι μία περιοδική συνάρτηση και οι συντελεστές των σειρών Fourier της ισοδυναμούν με τις τιμές των δειγμάτων Υ(ω)/Τ του Υ(ω)/Τ..3. ΨΗΦΙΑΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Θεώρησε ένα αναλογικό σύστημα Η a (ω), με είσοδο f() και έξοδο g(). Θέλουμε να βρούμε ένα διακριτό σύστημα Η(z) τέτοιο ώστε, αν η είσοδος του f[] ισοδυναμεί με τις τιμές των δειγμάτων f(t) της f(), τότε η προκύπτουσα έξοδος g[] να ισούται με τις τιμές δείγματος g(t) της g(). Aν f[ ] = f( T ) τοτε g[ ] = g( T ) (.6) Αν ένα τέτοιο σύστημα υπάρχει, τότε θα λέμε ότι είναι ένας ψηφιακός προσομοιωτής του Ηa(ω). Όπως θα δούμε η (.6) δεν μπορεί γενικά να είναι αληθής για οποιοδήποτε f(). Η προσομοίωση είναι δυνατή μόνο αν τεθούν περιορισμοί στις επιτρεπόμενες εισόδους. Πράγματι, υπέθεσε πρώτα ότι η f() είναι εκθετικής μορφής. Όπως ξέρουμε [βλέπε (.36)] η g() είναι, τότε, επίσης εκθετική [Σχήμα (.4)]. j j f() = e ω ω g() = H a( ω ) e (.6) οι τιμές του δείγματος f(t) της f(), σχηματίζουν μία γεωμετρική πρόοδο με λόγο ejω f f T e j ω [ ] = ( ) = T Έτσι λοιπόν, η απόκριση g[] του διακριτού συστήματος Η(z), δίνεται από τη σχέση Aυτό προκύπτει από την (.4) με r=ejω Τ. jωt jω T g [ ] = H( e ) e (.6) -6

Σχήμα.4 Επειδή g(t)=h a (ω )ejω Τ, για να ικανοποιεί την (.6), πρέπει να εκλέξουμε μία Η(z), τέτοια ώστε jω H( e ) = H ( ω ) (.63) Θεώρησε έπειτα ένα τυχαίο σήμα, με μετασχηματισμό Fourier F(ω). Από τον τύπο αντιστροφής, προκύπτει ότι a jω jω f() = F( ) e d g( ) = F( ) Ha( ) e d π ω ω π ω ω ω (.64) jωt Επειδή f[ ] = f( T ) = F( ) e d π ω ω συμπεραίνουμε όπως στην (.6), ότι η απόκριση g[] της Η(z) θα είναι jωt jωt g [ ] = F( ) H( e ) e d π ω ω (.65) Αλλά [βλέπε (.64)] jωt gt ( ) = F( ) H a( ) e d π ω ω ω (.66) Έτσι λοιπόν, για να είναι η (.6) αληθής, τα ολοκληρώματα των (.65) και (.66) θα πρέπει να είναι ίσα, για κάθε. Aυτό ισχύει για την περίπτωση, αν -7

jωt H( e ) = H ( ω ) (.67) a για κάθε ω για το οποίο F(ω). Αν, λοιπόν η (.6) ισχύει για κάθε f(), η (.67) θα πρέπει να ισχύει για κάθε ω. Όπως και να έχει όμως, αυτό δεν είναι πάντα δυνατό, επειδή η H(ejωΤ) είναι μία περιοδική συνάρτηση της ω, ενώ αντίθετα, συνήθως, η Ha(ω) δεν είναι. Για να ικανοποιήσουμε τη συνθήκη προσομοίωσης (.6), θα πρέπει να περιορίσουμε τις επιτρεπτές εισόδους. Θεώρημα προσομοίωσης Aν η f() είναι περιορισμένου εύρους ζώνης, για παράδειγμα αν π F( ω) = για ω > σ σ = (.68) Τ και η H(z) είναι τέτοια, ώστε: jωt H( e ) = H ( ω) για ω < σ (.69) a (σχήμα.5), τότε η συνθήκη προσομοίωσης (.6), ικανοποιείται Σχήμα.5 Απόδειξη: Από την εξίσωση (.68) και (.69), προκύπτει ότι j T F( ω) H( e ω ) = F( ω) H ( ω) για κάθε ω a Έτσι λοιπόν, τα δύο ολοκληρώματα στις (.65) και (.66) είναι ίσα για κάθε. Σημείωση Καθώς το ω αυξάνεται από -σ σε σ, ο αριθμός z=e jω, καλύπτει το μοναδιαίο κύκλο του επιπέδου z. Έτσι λοιπόν, η (.69) δίνει όλες τις τιμές της Η(z) σ' αυτό τον κύκλο. Ισχυριζόμαστε λοιπόν, ότι η H(z), ορίζεται μοναδικά, από αυτές τις τιμές. -8

Απόκριση δέλτα ενός προσομοιωτή Σημειώνοντας με h[], την απόκριση δέλτα του διακριτού συστήματος συμπεραίνουμε από την (.5) ότι jωt jωt H( e ) = h[ ] e (.7) = Έτσι λοιπόν, οι συντελεστές της σειράς Fourier, μιας περιοδικής συνάρτησης H(ejωΤ), ισούνται με h[]. Έτσι λοιπόν σ h H e j T e j T σ ω ω [ ] = ( ) d = H ( j ) e j ω ω T d σ σ ω ω σ σ α (.7) Γι' αυτό το λόγο, το διακριτό σύστημα ορίζεται μοναδικά από την (.69). Θα εισαγάγουμε τη συνάρτηση αναλογικού συστήματος Ησ(ω)=Ηα(ω)pσ(ω) που έχουμε πάρει αποκόπτοντας την Ηα(ω) για ω >σ (Σχήμα.5). Σημειώνοντας με hσ() την κρουστική απόκρισή της, έχουμε π jω hα() = Hα( ω) e dω π π (.7) και η εξίσωση (.7) δίνει: h [ ] = Thσ ( Τ ) (.73) Από την προηγούμενη ανάλυση, προκύπτει ότι για να ορίσουμε το διακριτό προσομοιωτή H(z), του αναλογικού συστήματος Ηα(ω), κάνουμε τα εξής:. Υπολογίζουμε την h[], δειγματολειπτώντας την κρουστική απόκριση hσ() του συστήματος Hσ(ω), στο οποίο έχει γίνει η σχετική αποκοπή, ή. ορίζουμε την Η(z), συναρτήσει των τιμών της, στο μοναδιαίο κύκλο [βλέπε (.69)]. Παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να προσομοιώσουμε ένα διαφοριστή, δηλαδή ένα αναλογικό σύστημα, με συνάρτηση συστήματος Ηα(ω)=jω. Επειδή σ jω hσ jωe dω σ cos σ si () = σ π = σ (.74) π η (.73) δίνει ( ) h [ ] = Τh ( T ) = σ T για και h[]=. Σημείωση Όπως ήδη έχουμε δείξει, αν F(ω)= για ω >σ, τότε g(t)=f'(t). Αυτό οδηγεί στην ταυτότητα -9

f( T ) = ( ) kt k = k k f( T kt ) (.75) εκφράζοντας την παράγωγο μιάς συνάρτησης περιοριζόμενου εύρους ζώνης, σε όρους των τιμών δείγματός της. Παράδειγμα. Έστω ότι θέλουμε να προσομοιώσουμε το ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο H α( ω ) = pω c ( ω ) με συχνότητα αποκοπής ωc<σ (βλέπε σχήμα.6). Σ' αυτή την περίπτωση, Ησ(ω)=Ηα(ω), επειδή Ηα(ω)= για ω >σ. Έτσι λοιπόν si ωc hσ () = ha () = h [ ] = Tha ( T) = π si ωct π Σχήμα.6 Φίλτρα χτένας (Comp filers) Θα λέμε ότι ένα αναλογικό φίλτρο, είναι φίλτρο χτένας, αν η συνάρτηση συστήματος του Ηα(ω), είναι περιοδική H ( ω + c) = H ( ω ) (.76) a Ένα τέτοιο σύστημα, μπορεί να προσoμοιωθεί ψηφιακά για οποιαδήποτε είσοδο έχοντας εξασφαλίσει ότι Τ=π/c, το οποίο σημαίνει σ=c/. Πράγματι, αν η H(z) ορίζεται από την εξίσωση (.69) τότε η H(ejωΤ)=Ηα(ω) ισχύει για οποιοδήποτε ω. a Σχήμα.7 Παράδειγμα.3 Η εξίσωση Τ [ ] g () g ( T) + ag () = f() (.77) ορίζει ένα σύστημα με είσοδο f() και έξοδο g(). Αν f()=ejω, τότε g()=ha(ω)ejω. Αντικαθιστώντας στην (.77) έχουμε -3

Τ H e j T H e j ( T ) ah e j e a( ω) a( ω) + a( ω) = ω ω ω jω Έτσι λοιπόν (σχήμα.7) H a η ( ω ) = re jωt όπου Τ r = και A = at + aτ + Είναι φανερό ότι η Hα(ω) είναι φίλτρο χτένας, με περίοδο π/τ και ο ψηφιακός της προσομοιωτής είναι jωt A A H( e ) = j T H( z) ω = re rz Παράδειγμα.4 Αν Ηα(ω)=(+e-jωΤ), τότε Η(z)=(+z - ) και h[]=δ[]+δ[-]+δ[-]. Σε μερικές εφαρμογές, επιδιώκουμε να έχουμε ένα σύστημα του οποίου η συνάρτηση συστήματος Ηα(ω) πληροί κάποιες σχεδιαστικές προδιαγραφές. Το σύστημα υλοποιείται είτε από ένα συνδυασμό διάφορων στοιχείων, ή και από ένα υπολογιστή. Η πρώτη προσέγγιση εμπλέκει τεχνικές σύνθεσης δικτύου. Η δεύτερη προσέγγιση βασίζεται στο θεώρημα ψηφιακής προσομοίωσης. Στην παράγραφο **** θα επανεξετάσουμε αυτό το θεώρημα και θα συζητήσουμε διάφορες μεθόδους για να προσεγγίσουμε το διακριτό σύστημα H(z), με ένα σύστημα το οποίο μπορεί να υλοποιηθεί μ' ένα πεπερασμένο αριθμό στοιχείων καθυστέρησης. -3