ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Με την ολοκλήρωση αυτής της ενότητας, θα είστε σε θέση: Να αναπτύξετε και να κατανοήσετε τους τρόπους ανάλυσης ενός αναλογικού σήματος σε σήματα απλής συχνότητας με χρήση της σειράς Fourier. Να μάθετε περισσότερα για το μετασχηματισμό Fourier. 4

Περιεχόμενα ενότητας 1. Ανάλυση Fourier 2. Η Σειρά Fourier 3. Ο Μετασχηματισμός Fourier 4. Ασκήσεις λυμένες 5. Ασκήσεις για Λύση 5

Joseph Fourier Η φήμη του Fourier στηρίζεται κυρίως στις μελέτες του στα Μαθηματικά και τη Μαθηματική Φυσική. Με την εργασία του «Αναλυτική θεωρία της Θερμότητας» διατύπωσε την ιδέα να χρησιμοποιηθούν τριγωνομετρικές σειρές, τις οποίες μεταγενέστεροι μαθηματικοί ανέπτυξαν στη μαθηματική μέθοδο που ονομάζεται σήμερα «Σειρές Fourier». Γεννήθηκε: 21 March 1768 in Auxerre, Bourgogne, France Πέθανε: 16 May 1830 in Paris, France 6

Ανάλυση Fourier Η Ανάλυση Fourier εφαρμόζεται σε ένα ευρύτατο φάσμα θεμάτων της Πληροφορικής όπως: στην ανάλυση ανελικτικών φίλτρων, την ποσοτική περιγραφή της δειγματοληψίας σημάτων συνεχούς χρόνου, την ανάλυση και σύνθεση συστημάτων επεξεργασίας σημάτων και εικόνων κλπ. Στο πεδίο της Ανάλυσης Fourier εντάσσεται και η Θεωρία των κυματιδίων (wavelets), η οποία αναπτύσσεται ραγδαία τα τελευταία χρόνια, σε μια παραπέρα προσπάθεια αντιμετώπισης προβλημάτων ανακατασκευής σημάτων, αναγνώρισης φωνής, φίλτρων Θορύβων, συμπίεσης εικόνας κλπ. 7

Ανάλυση με μετασχηματισμό Fourier Το σήμα αναλύεται μέσω ημιτονοειδών συναρτήσεων διαφορετικών συχνοτήτων μετασχηματίζεται από χρονικά μεταβαλλόμενο σε μεταβαλλόμενο με τη συχνότητα ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ Όταν η πληροφορία των σημάτων στο πεδίο συχνοτήτων είναι μεγάλης σημασίας ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑ Η χρονική πληροφορία χάνεται: Αν το σήμα περιέχει μη στάσιμα / δυναμικά / μεταβατικά χαρακτηριστικά (μετατόπιση, τάση, απότομη αλλαγή, αρχή και τέλος γεγονότος), η ανάλυση Fourier δεν μπορεί να τα εντοπίσει. 8

Μετασχηματισμοί Fourier Οι τελείες δείχνουν τις τιμές των δειγμάτων από τις οποίες αποτελείται το σήμα (πρόκειται για ψηφιοποίηση ήχου). Οι σχετικές τιμές των πλατών (συντελεστές Fourier) δείχνουν ποιες συχνότητες συνεισφέρουν περισσότερο στη διαμόρφωση του σήματος. 9

Waves: 5 ΜΕΡΟΣ Α - Σειρές Fourier 10

Σειρές Fourier (1) Οι σειρές Fourier αφορούν περιοδικά σήματα διακριτού χρόνου. Το επιχείρημα της θεωρίας Fourier είναι ότι τα περισσότερα περιοδικά σήματα μπορούν να αναπτυχθούν σε μία σειρά άπειρων όρων ημιτονοειδών σημάτων της μορφής: x( t) m c m e jm t 0 m Οι συχνότητες (mf0) είναι γνωστές ως αρμονικές και αποτελούν πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητα f0. c m e 2 m j t 11

Σειρές Fourier (2) H προηγούμενη δυνατότητα ανάπτυξης δεν ισχύει για όλα τα περιοδικά σήματα. Σήματα που δεν είναι ολοκληρώσιμα κατά απόλυτη τιμή και/ή δεν περιέχουν περιορισμένο αριθμό ασυνεχειών ή μεγίστων και ελαχίστων σε μια περίοδο δεν μπορούν κατά ανάγκη να αναπτυχθούν σε σειρές Fourier. Οι συναρτήσεις e j 2πm t συχνά αναφέρονται και ως T συναρτήσεις βάσης της αντίστοιχης σειράς Fourier. 12

Συνθήκες Dirichlet (1) 1. Το σήμα πρέπει να έχει έναν πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών σε κάθε περίοδο. 2. Το σήμα πρέπει να έχει έναν πεπερασμένο αριθμό μεγίστων και ελαχίστων μέσα σε κάθε περίοδο. 3. το σήμα πρέπει να είναι απόλυτα ολοκληρώσιμο σε μια περίοδο 13

Συνθήκες Dirichlet (2) 14

Περιοδικά Σήματα (1) Ένα σήμα x(t) είναι περιοδικό με περίοδο Τ0>0 εαν x(t+τ0)=x(t) για κάθε t Ένα σήμα x(t) είναι άρτιο εαν x(-t)= x(t) για κάθε t Ένα σήμα x(t) είναι περιττό εαν x(-t)=-x(t) για κάθε t Μαθηματική έκφραση ημιτονικού σήματος: x(t)=aσυν(2πf0t+θ) 15

Περιοδικά Σήματα (2) 16

Περιοδικά Σήματα (3) 17

Περιοδικά Σήματα (4) 18

Φάσματα του ημιτονικού σήματος x(t)=aσυν(2πf0t+θ) Φάσμα πλάτους Φάσμα φάσης Πλάτος Φάση A θ 0 f 0 f 0 f 0 f 19

Φάσματα του σήματος x(t)=a1συν(2πf1t+θ1)+α2συν(2πf2t+θ2) Φάσμα πλάτους Φάσμα φάσης (με θ1>0 και θ2<0) Φάση Πλάτος θ 1 A 1 A2 0 f 1 f 2 f 0 f 1 f 2 f θ 2 20

Frequency Spectra Παράδειγμα: g(t) = sin(2pi f t) + (1/3)sin(2pi (3f) t) 21

Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων (1) f (θ) Περιοδική συνάρτηση με 2π περίοδο Η συνάρτηση αναπαρίσταται από μία τριγωνομετρική σειρά: 0 f a a cos n bnsin n (1) n n 1 n 1 22

Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων (2) 23

Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων (3) 0 0 2 sin sin 2 sin 3 24

Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων (4) Για τον υπολογισμό των συντελεστών α n και b n θα θυμηθούμε μερικά χρήσιμα ολοκληρώματα. 25

Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων (5) 26

Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων (6) 27

Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων (7) 28

Υπολογισμός του α 0 (1) Ολοκληρώνουμε και τα 2 μέρη της (1) από -π έως π. 29

Υπολογισμός του α 0 (2) 30

Υπολογισμός του α 0 (3) 31

Υπολογισμός α n (1) Πολλαπλασιάζουμε την (1) με cosmθ και ολοκληρώνουμε τα 2 μέρη από π έως π. 32

Υπολογισμός α n (2) 33

Υπολογισμός α n (3) 34

Υπολογισμός α n (4) 35

Υπολογισμός b n (1) Πολλαπλασιάζουμε την (1) με sinmθ και ολοκληρώνουμε τα 2 μέρη από π έως π. 36

Υπολογισμός b n (2) 37

Υπολογισμός b n (3) 38

Υπολογισμός b n (4) 39

Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων (8) 40

Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων (9) 41

Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων (10) 42

Παράδειγμα #1 Να βρεθεί η σειρά Fourier της παρακάτω περιοδικής συνάρτησης. 43

Λύση του παραδείγματος (1) 44

Λύση του παραδείγματος (2) 45

Λύση του παραδείγματος (3) 46

Λύση του παραδείγματος (4) 47

Λύση του παραδείγματος (5) Επομένως η ζητούμενη σειρά Fourier είναι: 48

Λύση του παραδείγματος (6) Σχεδίαση με 4 όρους 49

Λύση του παραδείγματος (7) Σχεδίαση με 6 όρους 50

Λύση του παραδείγματος (8) Σχεδίαση με 8 όρους 51

Λύση του παραδείγματος (9) Σχεδίαση με 12 όρους 52

Κόκκινη καμπύλη με 12 όρους Μπλε καμπύλη με 4 όρους (1) 53

Κόκκινη καμπύλη με 12 όρους Μπλε καμπύλη με 4 όρους (2) 54

Κόκκινη καμπύλη με 20 όρους Μπλε καμπύλη με 4 όρους 55

Φαινόμενο Gibbs (1899) Όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε στις προσεγγίσεις που κάναμε με όλες τις μορφές σειράς Fourier, υπάρχει μια ταλάντωση του σήματος στα σημεία ασυνέχειας αυτού. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται φαινόμενο Gibbs. Όταν ο αριθμός Ν των συχνοτήτων που προσεγγίζουμε το σήμα γίνει άπειρο, τότε το φαινόμενο Gibbs παύει να υφίσταται, δηλαδή η προσέγγιση μας είναι τέλεια. To πλάτος των ταλαντώσεων είναι ανεξάρτητο του πλήθους των συχνοτήτων που συνεισφέρουν στην προσέγγιση του σήματος. Willard Gibbs 56

Παράδειγμα #2 (1) 57

Παράδειγμα #2 (2) 58

Άρτιες συναρτήσεις 59

Περιττές συναρτήσεις 60

Σειρές Fourier Σειρά Fourier άρτιας συνάρτησης Σειρά Fourier περιττής συνάρτησης 61

Να βρεθεί η σειρά Fourier της παρακάτω περιοδικής συνάρτησης. Παράδειγμα 62

Λύση του παραδείγματος (1) 63

Λύση του παραδείγματος (2) 64

Λύση του παραδείγματος (3) 65

Λύση του παραδείγματος (4) 66

Πίνακας εύρεσης συντελεστών 67

Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων (11) 68

Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων (12) 69

Οι συντελεστές 70

Να βρεθεί η σειρά Fourier της παρακάτω περιοδικής συνάρτησης: Παράδειγμα #1 71

Λύση του παραδείγματος (1) 72

Λύση του παραδείγματος (2) 73

Λύση του παραδείγματος (3) 74

Λύση του παραδείγματος (4) Η σειρά Fourier είναι: 75

Παράδειγμα #2 (Square Wave) (1) 76

Παράδειγμα #2 (Square Wave) (2) 77

Παράδειγμα #2 (Square Wave) (3) 78

Εκθετική σειρά Fourier περιοδικής συνάρτησης περιόδου Τ (1) 79

Εκθετική σειρά Fourier περιοδικής συνάρτησης περιόδου Τ (2) Οι μιγαδικοί συντελεστές c n καλούνται συντελεστές Fourier ή φασματικές γραμμές τον f (t) και ορίζουν το φάσμα τον σήματος. Η σταθερά c 0 είναι η συνεχής ή η σταθερά συνιστώσα τον φάσματος. Κάθε c n αντιστοιχεί στην προβολή του σήματος f (t) πάνω στην n-οστή ορθογώνια συνιστώσα e jnω0t και. δηλώνει το φασματικό περιεχόμενο τον f (t) στη συχνότητα nω 0 και ονομάζεται n-οστή αρμονική συνιστώσα. Το ανάπτυγμα Fourier ισχύει μόνο στο διάστημα [t 0, t 0, + Τ], και το εύρος Τ καθορίζει τη βασική συχνότητα. 80

Να βρεθούν οι μιγαδικοί συντελεστές Fourier της παρακάτω περιοδικής συνάρτησης. Παράδειγμα 81

Λύση του παραδείγματος (1) Εύρεση του C o 82

Λύση του παραδείγματος (2) Υπολογισμός των C n 83

Λύση του παραδείγματος (3) Ισχύει ότι: sin(np/2) = 0 για n = ±2, ±4, > Cn = 0 sin(2p/2) = sin(p) = 0 sin(-4p/2) = sin(-2p) = 0 κλπ. Επίσης ισχύει: sin(np/2) = -1 for n = 3, 7, 11, sin(np/2) = 1 for n = 1, 5, 9, sin(3p/2) = -1 sin(-7p/2) = 1 κλπ. 84

Λύση του παραδείγματος (4) 85

Λύση του παραδείγματος (5) 86

Λύση του παραδείγματος (6) 87

Λύση του παραδείγματος (7) 88

Σειρά Fourier σε μορφή αθροίσματος συνημίτονων 89

Σειρές Fourier (1) 90

Σειρές Fourier (2) 91

Σειρές Fourier (3) 92

Σήματα και Fourier Series Triangular wave 93

Triangular wave (1) Waves: 5 Οι πρώτοι 3 όροι της σειράς: 94

Triangular wave (2) Waves: 5 Άθροισμα των 2 πρώτων όρων: 95

Triangular wave (3) Waves: 5 Άθροισμα των 3 πρώτων όρων: 96

Triangular wave (4) Waves: 5 Άθροισμα των 5 πρώτων όρων: 97

Triangular wave (5) Waves: 5 Άθροισμα των 10 πρώτων όρων: 98

Σήματα και Fourier Series Even square wave 99

Even square wave (1) Waves: 5 Οι πρώτοι 3 όροι της σειράς: 100

Even square wave (2) Waves: 5 Άθροισμα των 2 πρώτων όρων: 101

Even square wave (3) Waves: 5 Άθροισμα των 3 πρώτων όρων: 102

Even square wave (4) Waves: 5 Άθροισμα των 5 πρώτων όρων: 103

Φαινόμενο Gibbs Even square wave (5) Άθροισμα των 10 πρώτων όρων: 104

O Μετασχηματισμός Fourier (1) Waves: 5 105

O Μετασχηματισμός Fourier (2) Οι σειρές Fourier είναι ένα εργαλείο μετασχηματισμού χρήσιμο για περιοδικά σήματα. O μ/ς Fourier είναι χρήσιμος για όλα τα φυσικά υλοποιήσιμα σήματα (πεπερασμένης ενεργείας) και για μερικά μη υλοποιήσιμα σήματα όπως το ημιτονοειδές σήμα και η συνάρτηση δέλτα). O μ/ς Fourier δείχνει το φασματικό περιεχόμενο ενός σήματος. 106

O Μετασχηματισμός Fourier (3) Ο μετασχηματισμός Fourier σήματος w(t) είναι ο: Ο αντίστροφος μ/ς Fourier δίνεται από την σχέση: O μ/ς Fourier υπάρχει εάν το w(t) είναι σήμα ενέργειας 107

Άλλες μορφές του μ/ς Fourier H κυκλική συχνότητα ω =2 π f μετριέται σε radians/sec και dω=2 π df. Οι δυο μορφές είναι ισοδύναμες. 108

Παράδειγμα #1 Υπολογισμός Fourier Τετραγωνικού Παλμού 109

Λύση του παραδείγματος (1) 110

Λύση του παραδείγματος (2) Π(t/T) Τ sinc(πft) Η διάρκεια του παλμού είναι αντιστρόφως ανάλογη του εύρους φάσματος 111

Παράδειγμα #2: Μετ/σμός Fourier Εκθετικής συνάρτησης Εάν a<0 τότε το x(t) δεν έχει μ/ς Fourier επειδή: 112

Λύση του παραδείγματος (1) 113

Λύση του παραδείγματος (2) 114

Λύση του παραδείγματος (3) 115

Λύση του παραδείγματος (4) 116

Λύση του παραδείγματος (5) 117

Σημαντικές Ιδιότητες του μ/ς (1) Γραμμικότητα Χρονική καθυστέρηση: Aλλαγή κλίμακας: Μεγάλο α => στενότερο χρονικά σήμα => φαρδύτερο φάσμα Μικρό α => φαρδύτερο χρονικά σήμα => στενότερο φάσμα 118

Σημαντικές Ιδιότητες του μ/ς (2) Ολίσθηση συχνότητας: Ολίσθηση στο χρόνο: Θεώρημα του Parseval: H ενέργεια μπορεί να υπολογιστεί είτε στο πεδίο του χρόνου είτε στο πεδίο συχνοτήτων 119

Σημαντικές Ιδιότητες του μ/ς (3) Συνέλιξη: Ολοκλήρωση: Eαν x(t) > X(f) και y(t) = ->> tx(τ)dτ τότε Παραγώγιση: και 120

Πίνακες μ/ς Fourier 121

Παράδειγμα: Παλμός 122

Λύση του παραδείγματος (1) 123

Λύση του παραδείγματος (2) 124

Λύση του παραδείγματος (3) Magnitude Response 125

Λύση του παραδείγματος (4) Phase Response 126

Πίνακες ιδιοτήτων μ/ς Fourier (1) 127

Πίνακες ιδιοτήτων μ/ς Fourier (2) 128

Πίνακες ζευγών μ/ς Fourier 129

Σήματα και Fourier Transform (1) 130

Σήματα και Fourier Transform (2) 131

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ FOURIER TRANSFORM 132

Άσκηση #1 (1) 133

Άσκηση #1 (2) 134

Άσκηση #1 (3) 135

Άσκηση #1 (4) 136

Άσκηση #2 (1) 137

Άσκηση #2 (2) 138

Άσκηση #2 (3) 139

Άσκηση #2 (4) 140

Άσκηση #3 (1) 141

Άσκηση #3 (2) 142

Άσκηση #3 (3) 143

Άσκηση #3 (4) 144

Άσκηση #3 (5) 145

Άσκηση #3 (6) 146

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Μετασχηματισμός FOURIER 147

Άσκηση 1 148

Άσκηση 2 149

Άσκηση 3 150

Τέλος Ενότητας 151