Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6 y 4 1 5y 3 4 6 (3) Να λυθούν τα συστήματα : 3ψ 5 + ψ 3 1 ψ 1 ψ 1 (4) Δίνεται το σύστημα: Να δείξετε ότι: D μ 3 μ 3 μ 5ψ 5 μ ψ 5, μ., D 5 μ 3, D 5 μ 3 ψ. Να λυθεί και να διερευνηθεί για τις διάφορες τιμές του λ. λ y λ (5) i) Να λυθεί το σύστημα: λy λ ii) Αν, y είναι η μοναδική λύση του συστήματος να λυθεί (ως προς λ) η o εξίσωση 0 y 0 3. o Σελίδα 1 από 10

(6) Na βρείτε τους λ,μ, ώστε τα συστήματα : λy Σ 1 : και 3y 1 να είναι συγχρόνως αδύνατα. λ y 0 λ 1 μy (7) Nα λυθούν τα συστήματα : 3y 7ω 1 y 3ω 3 y ω y z 6 y 3z 14 4y 5z 5 i 3 y z 11 y z 4 5 y z 15 (8) Να επιλυθούν τα συστήματα : y 5 y 19 y 6 y 13 (9) Να λυθεί το σύστημα : y 3 y 3y 1 Σελίδα από 10

Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ο Μ Ε Τ Ρ Ι Α (1) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: i) ημ 0π 17π 83π iii) συν( 1590 ) iii) εφ iv) σφ. 3 3 4 () Να σημειώσετε με Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) τις παρακάτω ισότητες στο τρίγωνο ΑΒΓ i) συν(β+γ) = ημα ii) συν Α Β ημ Γ iii) συν(α+β) = -συνγ iv) συν Β Γ συν Α (3) Να απλοποιήσετε την παράσταση: π συν συν π ε π Α 3π συν π ημ π σ. (4) Να δείξετε ότι: 5π 7π 4π ημ συν ε 4 6 3 4π 5π 7π ημ ε σ 4 3 4 6. (5) Να απλοποιήσετε την παράσταση: 3π 3π 7π συν ημ 7π συν ε Α = 9π π ημ 4π σ συν ε π. (6) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου. i) h() συνχ ii) f() ημ3 iii) f() 1 3συν iv) g() 1 3ημ (7) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ ημ 1 0 ii) iii) ημ 3ημ 0 iv) 7ημ 5 συν συν ω συνω 1 0 Σελίδα 3 από 10

(8) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ συν 1 ημ ii) (1 ημ) ημ 1 (9) Δίνεται η συνάρτηση f 5π συν. Να βρεθεί για ποιες τι- 6 παρουσιάζει μέγιστο ελάχιστο. μές του 0,π (11) Να βρείτε για ποιες τιμές του (0, π) παρουσιάζει μέγιστο και για π ποιες ελάχιστο η συνάρτηση f() 3 συν(). 3 (10) Οι ετήσιες πωλήσεις ενός προϊόντος (σε χιλιάδες κομμάτια ) δίνονται πt από τον τύπο f(t) 15 συν() όπου t ο χρόνος σε έτη και 3 Να βρεθεί το έτος πού θα έχουμε το μέγιστο αριθμό πωλήσεων και πόσες θα είναι αυτές. Να βρεθεί το έτος πού οι πωλήσεις φτάνουν τις 16.000 κομμάτια. 1 (1) Αν το π/3 είναι λύση της εξίσωσης: ημ ασυν να βρεθεί ο α 4 και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση για την τιμή του α που βρήκατε. (13) (***) Να λυθούν οι εξισώσεις: π εφ 1, στο διάστημα (0,π) 3 ε χ 3 0 στο διάστημα (4π, 6π) i ημχ 1 στο διάστημα π,3π (14) Να βρείτε την τιμή της παράστασης 13π 19π ε σ Α= 6 3 33π 3ημ 5συν5π 4 συν ημ συνημ 0 με συν ημ (15) Δίνεται η εξίσωση Να δείξετε ότι : α) η εξίσωση έχει δυο ρίζες 1 πραγματικές β) 1 1 Σελίδα 4 από 10

Π Ο Λ Υ Ω Ν Υ Μ Α (1) Δίνεται το πολυώνυμο Ρ 3. Να βρείτε τα πολυώνυμα: α) Ρ( 1) β) Ρ( ) γ) () Να βρεθεί πολυώνυμο Ρ ώστε: 3 Ρ() 3 Ρ 3, R 5 (3) Έστω το πολυώνυμο 3 Ρ 3 1 3 Α. Να βρεθεί ο σταθερός όρος του Ρ Β. Να βρεθεί το άθροισμα των συντελεστών του Ρ (4) Αν το πολυώνυμο 3 Ρ ημ α 3 ημα 1 ημα 1 4 είναι ου βαθμού, να βρεθεί το α 0,π. 3 (5) Αν το f α β 4 διαιρείται με το - και το υπόλοιπο της διαίρεσης f : 1 είναι 8 να βρεθούν οι α, β. 3 (6) Αν το P κ λ 6 έχει ρίζα το 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης P : 1 είναι 8 να βρεθούν οι κ, λ. 4 3 (7) Δίνεται το Ρ 7 κ 1 λ 1, κ, λ R. Βρείτε τα κ, λ ώστε το Ρ να έχει παράγοντες τους +1, -3. (8) Με τη βοήθεια του Σχήματος Horner να βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : 3 5 6 : 5 4 6 3 : χ 1 i) ii) iii) ( 4-4 3 + - ) : ( + ) iv) ( 3-7 + 14-8) : ( - 4) 3 (9) Αφού διαπιστωθεί ότι το - είναι ρίζα του P 8 στη συνέχεια να γραφεί το P ως γινόμενο δυο μη σταθερών πολυωνύμων. (10) Δίνεται το πολυώνυμο Ρ() = 3 +α 3 + β Αν τα πολυώνυμα 1 και + είναι παράγοντες του Ρ(), να βρείτε τα α και β Σελίδα 5 από 10

(11) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β, ώστε το πολυώνυμο P = 3 +α 3β+4 να διαιρείται ακριβώς με το πολυώνυμο 3 και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης P : 3+. (1) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β, ώστε το πολυώνυμο P α β 6 να διαιρείται ακριβώς με το πολυώνυμο 3 5 6. Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης P : 5+6. (13) Να βρείτε τα α, β ώστε το Q να διαιρεί το: 3 P α α β 1 3 α β P κ λ 1 5 3 (14) Να προσδιοριστούν οι κ, λ R ώστε το να έχει παράγοντα το. (15) Προσδιορίσετε τα α, β ώστε το πολυώνυμο 3 P α β 5α να έχει παράγοντα το Q 1. (16) Να προσδιοριστούν οι λ, μ R για τους οποίους το 4 3 P λ μ έχει παράγοντα το: (17) Να δείξετε ότι το 4 3 P() 5χ 6χ 1 3 (18) Δίνεται το 1. διαιρείται με το 1 P α 3 β 10 με παράγοντα το. Να βρεθούν οι α,β R. (19) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το 1 3 παράγοντας του πολυωνύμου Ρ χ α α β -1 να είναι (0) Να λυθούν οι εξισώσεις: 3 4 10 1 0 i 4 3 3 17 7 9 0 iv. v. 4 3 6 5 38 5 6 0 3 8 36 0 3 11 1 9 0 (1) Να λυθούν οι ανισώσεις : ( 1)( 3 )( 1) 0 ( 3)( 5 7)( 5 4) 0 Σελίδα 6 από 10

( 4 3)( 5) 0 i iv. v. 5 3 1 4 3 0 1 3 1 0 () Να λυθούν οι ανισώσεις : 3 - - + > 0 4 3 i 3 4 3 0 v. 3 4-3 - 9 + 9-0 v 4 3 4 4 3 0 iv. 3 + 3 5-9 (1 ) 4 3 (3) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της 3 πολυωνυμικής συνάρτησης f 3 3 με τον άξονα. (4) Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης f βρίσκεται κάτω 3 από τον άξονα χ χ. 4 3 (5) Δίνεται το P 16 1. Για ποιες τιμές των α,β R ; Στη συνέχεια να βρείτε τα ση- το P έχει παράγοντα το μεία τομής της γραφικής παράστασης του P με τον. 3 (6) Δίνεται το πολυώνυμο P 4 4α 5 9, αr. Η διαίρεση Ρ : -1 δίνει υπόλοιπο -7 α) Να βρεθεί η τιμή του α β) Για την τιμή του α που βρήκατε να λυθεί η ανίσωση Ρ 7 0 (7) Να λυθούν οι ανισώσεις: 3 + - 4 α) < 1 β) - + 1-4 - 1-1 (8) Να λυθούν οι εξισώσεις: α) + 5 + 10 = 8 β) - = + 1 γ) - 8 = + δ) + + 3 = 16 ε) + - 5 = 13 - στ) 9Να λυθούν οι εξισώσεις: α) συν 4-5συν 3 + 5συν - = 0 β) ημ 3 + 5ημ + 5ημ + = 0 γ) 4 3 ημ 3ημ 3συν 3ημ 4 0 Σελίδα 7 από 10

Ε Κ Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η (1) Να λύσετε τις ανισώσεις 4 6 8 0 1 i e e e e iv. 1 3 0 1 4 3 7 3 5 3 5 1 () Έστω η συνάρτηση f() 1 α α. Να βρείτε το α ώστε η f να ορίζεται σε όλο το R β. Να βρείτε το α ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα γ. Για α = 1 3 (3) Να βρείτε το R να λύσετε την εξίσωση: f() f( 1) 3 ώστε να ισχύει: 1 1 1 4 (4) Να λύσετε τα συστήματα i) 1 y3 9 3 56 1 ii) y 4 8 y 8 iii) 1 y 4 1 y1 3 3 9 iv) y 3 5 4 y 9 3 5 6. (5) Βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων α) f() e 1 e β) f e e e 1 γ) f() e 1 e Σελίδα 8 από 10

Λ Ο Γ Α Ρ Ι Θ Μ Ι Κ Η Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η (1) Να λυθούν οι εξισώσεις (log10 log 5) log(4 1) log( 3) log 3 log178 log 81 ln 1 ln ln 3 i iv. log(1 ) log 5 log 6 () Να λυθούν οι εξισώσεις 1 α) 5 3 5 3 β) 1 3 4 13 3 (3) Να λυθούν οι εξισώσεις: 3 ln 6 ln 11 ln 6 0 i log 6 log v. log 1 1 100( 1) v iv. 3 (log ) log 0 log 10 ln ln (4) Να λυθούν οι εξισώσεις : ln ln 5 log 5log 1 log log i 3 4 5 log log 3 (5) Αφού αποδείξετε ότι 3 στην συνέχεια να λύσετε την εξίσωση: 3 54 log log 3. (6) Να λύσετε την εξίσωση: log log 5 5 5. (7) Να λυθούν τα συστήματα: log log y 7 log log y 5 log log ψ 3 log log ψ 5 (8) Να λυθούν οι ανισώσεις log 1 log 3 (α) (β) log 1 log 5 log 3 3 (γ) log 6 (δ) ln ln 3 0 (ε) 5 ln 6 ln 1 0 Σελίδα 9 από 10

(9) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f() 1 ln( 1) (10) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f() ln 1 (11) Δίνεται η συνάρτηση: f() log(4 8) log log 7. (α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (β) Να λυθεί η εξίσωση: f() = 0. Σελίδα 10 από 10