11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο δυνατό σφάλμα στον υπολογισμό του u όταν, ln 3, /. 40. Ο τύπος του Wilson Ο τύπος του Wilson λέει ότι η οικονομικότερη ποσότητα Q μονάδων κάποιου προϊόντος (π.χ. ραδιοφώνων, παπουτσιών, κ.λπ.) που μπορεί να παραγγείλει ένα κατάστημα δίνεται από τον τύπο Q KM / h, όπου K είναι το κόστος παραγγελίας, M είναι η ποσότητα που πωλείται ανά εβδομάδα, και h είναι το εβδομαδιαίο κόστος διατήρησης ανά μονάδα (κόστος ενοικίασης αποθηκευτικού χώρου, ηλεκτρικού ρεύματος, φύλαξης του χώρου, κ.ο.κ.). Σε ποια από τις μεταβλητές K, M, και h είναι περισσότερο ευαίσθητο το Q κοντά στο σημείο (K 0, M 0, h 0 ) (, 0, 0,05); Aιτιολογήστε την απάντησή σας. 41. Η γραμμικοποίηση της f(, ) είναι η προσέγγιση εφαπτόμενου επιπέδου Δείξτε ότι το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο P 0 ( 0, 0, f( 0, 0 )) της επιφάνειας f(, ) που ορίζει η διαφορίσιμη συνάρτηση f, είναι το επίπεδο f ( 0, 0 )( 0 ) f ( 0, 0 )( 0 ) ( f( 0, 0 )) 0 δηλαδή το f( 0, 0 ) f ( 0, 0 )( 0 ) f ( 0, 0 )( 0 ). Συνεπώς, το εφαπτόμενο επίπεδο στο P 0 είναι το γράφημα της γραμμικοποίησης της f στο P 0 (Σχήμα 11.43). ( 0, 0, f( 0, 0 ) = L(, ) ( 0, 0 ) = f(, ) ΣΧΗΜΑ 11.43 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(, ) και της γραμμικοποίησής της στο σημείο ( 0, 0 ). Το επίπεδο που ορίζεται από την L εφάπτεται στην επιφάνεια στο σημείο ακριβώς πάνω από το ( 0, 0 ). Αυτό αποτελεί μια γεωμετρική εξήγηση του γιατί οι τιμές της L κείνται κοντά στις τιμές της f στην άμεση γειτονιά του ( 0, 0 ). (Άσκηση 41) 11.7 Aκρότατα και σαγματικά σημεία Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές Κριτήρια παραγώγων για τοπικά ακρότατα Oλικά (απόλυτα) μέγιστα και ελάχιστα σε κλειστές φραγμένες περιοχές Περιορισμοί στο κριτήριο της πρώτης παραγώγου και σύνοψη Η εύρεση των μέγιστων και ελάχιστων τιμών μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών, καθώς και των σημείων όπου αυτές προκύπτουν, είναι μια σημαντική εφαρμογή του διαφορικού λογισμού πολλών μεταβλητών. Για παράδειγμα, πόση είναι η μέγιστη θερμοκρασία σε μια θερμαινόμενη μεταλλική πλάκα, και σε ποιο σημείο προκύπτει; Σε ποιο σημείο πάνω από το επίπεδο αποκτά το μέγιστο ύψος της μια επιφάνεια; Όπως θα δούμε στην ενότητα αυτή, τέτοιου είδους ερωτήματα βρίσκουν απάντηση με την εξέταση των μερικών παραγώγων κάποιας κατάλληλης συνάρτησης. Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές Όπως μας έδειξε η μελέτη συναρτήσεων μίας μεταβλητής, οι διαφορίσιμες συναρτήσεις ήταν πολύ χρήσιμες στη μαθηματική περιγραφή προβλημάτων βελτιστοποίησης. Επειδή οι συναρτήσεις αυτές είναι συνεχείς, είμασταν σε θέση να γνωρίζουμε ότι σε κλειστά διαστήματα θα έπαιρναν τόσο την ελάχιστη όσο και τη μέγιστη τιμή τους. Επειδή είναι διαφορίσιμες, γνωρίζαμε ακόμη ότι θα έπαιρναν τις τιμές αυτές μονάχα σε συνοριακά σημεία ή σε εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού όπου μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος. Μερικές φορές, συναντήσαμε συναρτήσεις που δεν ήταν διαφορίσιμες σε ένα
904 Κεφάλαιο 11. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και οι παράγωγοί τους ΣΧΗΜΑ 11.44 Η συνάρτηση (cos )(cos )e έχει μέγιστη τιμή 1 και ελάχιστη τιμή περίπου 0,067 στην τετράγωνη περιοχή 3p /, 3p /. ή σε περισσότερα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού, τα οποία και έπρεπε να εξετάσουμε χωριστά για την ύπαρξη ακροτάτων. Είδαμε επίσης ότι η συνθήκη f (c) 0 δεν σήμαινε πάντα την ύπαρξη ακροτάτου. Σε τέτοια σημεία c, η γραφική παράσταση ενδέχεται να έχει σημείο καμπής αντί για τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο. Δηλαδή η καμπύλη ενδέχεται να ανέρχεται καθώς πλησιάζει το c από τα αριστερά, να οριζοντιώνεται στο c, και κατόπιν πάλι να ανέρχεται καθώς αφήνει το c. Ή ακόμη μπορεί να κατέρχεται καθώς πλησιάζει το c, να οριζοντιώνεται στο c, και να συνεχίζει την κάθοδό της απομακρυνόμενη. Με άλλα λόγια, η καμπύλη μπορεί να τέμνει την εφαπτομένη της στο c. Οι συναρτήσεις δύο μεταβλητών παρουσιάζουν παρόμοια συμπεριφορά. Όπως είδαμε στην Ενότητα 11., οι συνεχείς συναρτήσεις δύο μεταβλητών παίρνουν μέγιστες και ελάχιστες τιμές σε κλειστά, φραγμένα πεδία ορισμού (δείτε τα Σχήματα 11.44 και 11.45). Μπορούμε να αποκλείσουμε μερικά πιθανά σημεία ύπαρξης ακροτάτου, αν διερευνήσουμε τις πρώτες παραγώγους των συναρτήσεων αυτών. Μια συνάρτηση δύο μεταβλητών μπορεί να εμφανίζει ακρότατα μονάχα σε συνοριακά σημεία του πεδίου ορισμού της ή σε εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού όπου και οι δύο πρώτες μερικές παράγωγοι μηδενίζονται ή όπου μία τουλάχιστον εκ των παραγώγων αυτών δεν υπάρχει. Για μία ακόμη φορά, ο μηδενισμός των παραγώγων σε ένα εσωτερικό σημείο (a, b) δεν συνεπάγεται αναγκαστικά την ύπαρξη ακροτάτου. Η επιφάνεια που αποτελεί τη γραφική παράσταση της συνάρτησης μπορεί να έχει το σχήμα σαμαριού πάνω από το (a, b) και να τέμνει το εκεί εφαπτόμενο επίπεδο. ΣΧΗΜΑ 11.45 Η «σκεποειδής» επιφάνεια Κριτήρια παραγώγων για τοπικά ακρότατα Για να βρούμε τα τοπικά ακρότατα συνάρτησης μίας μεταβλητής, ερευνούμε για σημεία όπου η γραφική παράσταση έχει οριζόντια εφαπτομένη. Στη συνέχεια εξετάζουμε αν καθένα από τα σημεία αυτά είναι σημείο τοπικού μεγίστου, τοπικού ελαχίστου, ή σημείο καμπής. Αν τώρα η συνάρτησή μας f(, ) έχει δύο μεταβλητές, ερευνούμε για σημεία όπου η επιφάνεια f(, ) έχει οριζόντιο εφαπτόμενο επίπεδο. Κατόπιν εξετάζουμε αν στα σημεία αυτά η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο, τοπικό ελάχιστο, ή σαγματική συμπεριφορά (παρακάτω θα πούμε περισσότερα για τα σαγματικά σημεία). 1 ( ) Oρισμοί Τοπικό μέγιστο και τοπικό ελάχιστο Έστω f(, ) ορισμένη σε περιοχή R που περιέχει το σημείο όπως φαίνεται από το σημείο (10, (a, b). Στην περίπτωση αυτή 15, 0). Η συνάρτηση που την 1. Η f(a, b) είναι τοπική μέγιστη τιμή της f αν f(a, b) f(, ) ορίζει έχει μέγιστη τιμή 0 και για όλα τα σημεία (, ) του πεδίου ορισμού που ανήκουν σε ελάχιστη τιμή a στην τετράγωνη περιοχή a, a. έναν ανοιχτό δίσκο με κέντρο το (a, b). Η f(a, b) είναι τοπική ελάχιστη τιμή της f αν f(a, b) f(, ) για όλα τα σημεία (, ) του πεδίου ορισμού που ανήκουν σε έναν ανοιχτό δίσκο με κέντρο το (a, b). CD-ROM Δικτυότοπος Bιογραφικά στοιχεία Siméon-Denis Poisson (1781-1840) Τα τοπικά μέγιστα αντιστοιχούν στις κορυφές των «βουνών» της επιφάνειας f(, ), ενώ τα τοπικά ελάχιστα αντιστοιχούν στα χαμηλότερα σημεία των «κοιλάδων» (Σχήμα 11.46). Στα σημεία αυτά, τα εφαπτόμενα επίπεδα, όταν υπάρχουν, είναι οριζόντια. Τα τοπικά ακρότατα καλούνται και σχετικά ακρότατα.
11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 905 Tοπικά μέγιστα (δεν υπάρχει μεγαλύτερη τιμή της f στη γειτονιά των σημείων) Eπιφάνεια f(, ) Tοπικό ελάχιστο (δεν υπάρχει μικρότερη τιμή της f στη γειτονιά του σημείου) ΣΧΗΜΑ 11.46 Μιλώντας με ορολογία τοπίου, κάθε κορυφή βουνού είναι ένα τοπικό μέγιστο, ενώ το χαμηλότερο σημείο κάθε κοιλάδας είναι ένα τοπικό ελάχιστο. Όπως ισχύει για τις συναρτήσεις μίας μεταβλητής, έτσι και εδώ το «κλειδί» για τον εντοπισμό τοπικών ακροτάτων είναι ένα κριτήριο πρώτης παραγώγου. Θεώρημα 10 Κριτήριο πρώτης παραγώγου για τοπικά ακρότατα Αν η f(, ) εμφανίζει τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο σε κάποιο εσωτερικό σημείο (a, b) του πεδίου ορισμού της όπου υπάρχουν οι πρώτες μερικές της παράγωγοι, τότε f (a, b) 0 και f (a, b) 0. Απόδειξη Έστω ότι η f έχει τοπικό μέγιστο σε ένα εσωτερικό σημείο (a, b) του πεδίου ορισμού της. Tότε 1. Το a είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της καμπύλης f(, b) που αποτελεί τομή του επιπέδου b με την επιφάνεια f(, ) (Σχήμα 11.47).. Η συνάρτηση f(, b) είναι διαφορίσιμη συνάρτηση του στο a (η παράγωγος είναι f (a, b)). 3. Η συνάρτηση f(, b) έχει τοπικό μέγιστο στο a. 4. Η τιμή της παραγώγου της f(, b) στο a είναι συνεπώς μηδέν (Θεώρημα, Ενότητα 3.1). Εφόσον η παράγωγος είναι f (a, b), συμπεραίνουμε ότι f (a, b) 0. Επιχειρηματολογώντας κατά παρόμοιο τρόπο για τη συνάρτηση f(a, ) βρίσκουμε ότι f (a, b) 0. a f(, b) 0 b (a, b, 0) f 0 f(, ) f 0 f(a, ) Τα παραπάνω ολοκληρώνουν την απόδειξη του θεωρήματος για τοπικά μέγιστα. Η απόδειξη για τοπικά ελάχιστα αφήνεται ως άσκηση (αριθ. 36). ΣΧΗΜΑ 11.47 Για a, b, προκύπτει τοπικό μέγιστο της f.
906 Κεφάλαιο 11. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και οι παράγωγοί τους Αν αντικαταστήσουμε f (a, b) 0 και f (a, b) 0 στην εξίσωση f (a, b)( a) f (a, b)( b) ( f(a, b)) 0 του επιπέδου που εφάπτεται στην επιφάνεια f(, ) στο σημείο (a, b), η εξίσωση παίρνει τη μορφή δηλαδή 0 ( a) 0 ( b) f(a, b) 0 f(a, b). Έτσι, το Θεώρημα 10 μας λέει ότι αν υπάρχει εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας σε τοπικό ακρότατο, το επίπεδο αυτό θα είναι οριζόντιο. Όπως ισχύει και για τις συναρτήσεις μίας μεταβλητής, το Θεώρημα 10 μας λέει ότι τα μόνα σημεία όπου μια συνάρτηση f(, ) μπορεί ποτέ να εμφανίζει ακρότατα είναι 1. Εσωτερικά σημεία όπου f f 0. Εσωτερικά σημεία όπου μία τουλάχιστον των f και f δεν υπάρχει 3. Συνοριακά σημεία του πεδίου ορισμού της συναρτήσεως. Oρισμός Κρίσιμο σημείο Ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f(, ) όπου τόσο η f όσο και η f μηδενίζεται, ή όπου τουλάχιστον μία εκ των f και f δεν υπάρχει, καλείται κρίσιμο σημείο της f. ( ) ( ) Δηλαδή, τα μόνα σημεία όπου μια συνάρτηση f(, ) μπορεί να εμφανίζει ακρότατα είναι τα κρίσιμα και τα συνοριακά (ακραία) σημεία. Όπως συμβαίνει και για τις διαφορίσιμες συναρτήσεις μίας μεταβλητής, ένα κρίσιμο σημείο δεν είναι απαραίτητα σημείο τοπικού ακροτάτου. Μια διαφορίσιμη συνάρτηση μίας μεταβλητής μπορεί να διαθέτει ένα σημείο καμπής. Mια διαφορίσιμη συνάρτηση δύο μεταβλητών μπορεί να διαθέτει ένα σαγματικό σημείο. Oρισμός Σαγματικό σημείο Μια διαφορίσιμη συνάρτηση f(, ) έχει σαγματικό σημείο σε ένα κρίσιμο σημείο (a, b) αν σε κάθε ανοιχτό κυκλικό δίσκο με κέντρο το (a, b) υπάρχουν σημεία (, ) του πεδίου ορισμού όπου f(, ) f(a, b) και σημεία (, ) του πεδίου ορισμού όπου f(, ) f(a, b). Το σημείο (a, b, f(a, b)) πάνω στην επιφάνεια f(, ) καλείται σαγματικό σημείο (Σχήμα 11.48). 4 ΣΧΗΜΑ 11.48 Σαγματικά σημεία στην αρχή των αξόνων. Παράδειγμα 1 Εύρεση τοπικών ακροτάτων Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της f(, ). Λύση Πεδίο ορισμού της f είναι όλο το επίπεδο (άρα δεν υπάρχουν συνοριακά σημεία), ενώ οι μερικές παράγωγοι f και f υπάρχουν παντού. Συνεπώς, τοπικά ακρότατα μπορούν μονάχα να προκύψουν σε σημεία όπου f 0 και f 0.
11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 907 ΣΧΗΜΑ 11.49 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(, ) είναι το παραβολοειδές. Η συνάρτηση έχει μόνο ένα κρίσιμο σημείο, στην αρχή των αξόνων. Πρόκειται για σημείο τοπικού ελαχίστου όπου η συνάρτηση παίρνει εκεί την τιμή 0. (Παράδειγμα 1) Έτσι, μόνο πιθανό σημείο ύπαρξης ακροτάτου είναι η αρχή, όπου η συνάρτηση f μηδενίζεται. Εφόσον η f δεν γίνεται ποτέ αρνητική, βλέπουμε ότι η αρχή όντως αποτελεί σημείο τοπικού ελαχίστου (Σχήμα 11.49). Παράδειγμα Εντοπισμός και ταυτοποίηση σαγματικού σημείου Βρείτε τα τοπικά ακρότατα (αν υπάρχουν) της f(, ). = ΣΧΗΜΑ 11.50 Η αρχή είναι σαγματικό σημείο της συνάρτησης f(, ). Δεν υπάρχουν τοπικά ακρότατα. (Παράδειγμα ) Λύση Πεδίο ορισμού της f είναι όλο το επίπεδο (συνεπώς δεν υπάρχουν συνοριακά σημεία), ενώ οι μερικές παράγωγοι f και f υπάρχουν παντού. Συνεπώς, τοπικά ακρότατα μπορούν να προκύψουν μονάχα στην αρχή (0, 0). Κατά μήκος του θετικού ημιάξονα η f παίρνει την τιμή f(, 0) 0Ø από την άλλη, κατά μήκος του θετικού ημιάξονα, η f παίρνει την τιμή f(0, ) 0. Συνεπώς, κάθε ανοιχτός κυκλικός δίσκος του επιπέδου με κέντρο το (0, 0) θα περιέχει σημεία όπου η συνάρτηση είναι θετική και σημεία όπου η συνάρτηση είναι αρνητική. Η συνάρτηση έχει λοιπόν σαγματικό σημείο στην αρχή (Σχήμα 11.50) αντί για τοπικό ακρότατο. Συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση δεν διαθέτει τοπικά ακρότατα. Tο γεγονός ότι f f 0 σε ένα εσωτερικό σημείο (a, b) του R δεν εγγυάται ότι η f θα έχει τοπικό ακρότατο εκεί. Αν ωστόσο η f και οι μερικές της παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης είναι συνεχείς στο R, τότε το ακόλουθο θεώρημα μπορεί να διαφωτίσει περισσότερο την κατάσταση. Η απόδειξη του θεωρήματος παρατίθεται στην Ενότητα 11.10. Θεώρημα 11 Κριτήριο δεύτερης παραγώγου για τοπικά ακρότατα Έστω ότι η f(, ) και οι μερικές της παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης είναι παντού συνεχείς σε έναν κυκλικό δίσκο με κέντρο το (a, b) και ότι f (a, b) f (a, b) 0. Tότε i. Η f έχει τοπικό μέγιστο στο (a, b) αν f 0 και f f 0 στο (a, b). ii. Η f έχει τοπικό ελάχιστο στο (a, b) αν f 0 και f f f 0 στο (a, b). iii. Η f έχει σαγματικό σημείο στο (a, b) αν f f f 0 στο (a, b). iv. Δεν μπορούμε να αποφανθούμε για τη φύση του σημείου (a, b) αν f f f 0 στο (a, b). Στην περίπτωση αυτή, θα πρέπει να βρούμε άλλον τρόπο μελέτης της συμπεριφοράς της f στο (a, b). f
908 Κεφάλαιο 11. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και οι παράγωγοί τους H έκφραση f f f καλείται διακρίνουσα ή Εσσιανή της f. Η απομνημόνευσή της είναι μάλλον ευκολότερη στη μορφή ορίζουσας, Tο Θεώρημα 11 λέει ότι αν η διακρίνουσα είναι θετική στο σημείο (a, b), τότε η επιφάνεια θα καμπυλώνεται κατά τον ίδιο τρόπο σε όλες τις κατευθύνσεις: προς τα κάτω αν f 0, οπότε θα υπάρχει τοπικό μέγιστο, και προς τα πάνω αν f 0, οπότε θα υπάρχει τοπικό ελάχιστο. Από την άλλη, αν η διακρίνουσα είναι αρνητική στο (a, b), τότε η επιφάνεια θα καμπυλώνεται προς τα πάνω σε μερικές κατευθύνσεις και προς τα κάτω σε άλλες, άρα θα έχουμε σαγματικό σημείο. Παράδειγμα 3 Εύρεση τοπικών ακροτάτων Βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f(, ) 4. Λύση Η συνάρτηση ορίζεται και είναι διαφορίσιμη για κάθε και και το πεδίο ορισμού της δεν έχει συνοριακά σημεία. Η συνάρτηση έχει συνεπώς ακρότατα μόνο σε σημεία όπου οι f και f μηδενίζονται ταυτόχρονα. Δηλαδή σε σημεία όπου δηλαδή f 0, f 0,. Συνεπώς, το (, ) είναι το μόνο σημείο όπου η f ενδέχεται να έχει ακρότατο. Για να δούμε τι τελικά συμβαίνει, υπολογίζουμε τις f, f, f 1. Η διακρίνουσα της f στο (a, b) (, ) είναι Το γεγονός ότι f f f f f f f. f f f ( )( ) (1) 4 1 3. f 0 και f f f 0 σημαίνει ότι η f εμφανίζει τοπικό μέγιστο στο (, ). Η τιμή της f στο σημείο αυτό είναι f(, ) 8. ΣΧΗΜΑ 11.51 Η επιφάνεια έχει ένα σαγματικό σημείο στην αρχή. (Παράδειγμα 4) Παράδειγμα 4 Αναζήτηση τοπικών ακροτάτων Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της f(, ). Λύση Εφόσον η f είναι διαφορίσιμη παντού (Σχήμα 11.51), θα εμφανίζει ακρότατα μόνο σε σημεία όπου f 0 και f 0. Με άλλα λόγια, η αρχή των αξόνων είναι το μόνο πιθανό σημείο ύπαρξης ακροτάτων της f. Για να δούμε τι όντως συμβαίνει εκεί, υπολογίζουμε τις παραγώγους f 0, f 0, f 1. Η διακρίνουσα, f f f 1, είναι αρνητική. Συνεπώς, η συνάρτηση έχει σαγματικό σημείο στο (0, 0). Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η f(, ) δεν έχει τοπικά ακρότατα.
11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 909 Ολικά (απόλυτα) μέγιστα και ελάχιστα σε κλειστές φραγμένες περιοχές Η διαδικασία διερεύνησης για ολικά (ή απόλυτα) ακρότατα συνεχούς συναρτήσεως f(, ) σε ένα κλειστό και φραγμένο χωρίο R μπορεί να παρουσιαστεί σε τρία βήματα. Βήμα 1: Καταγράφουμε τα εσωτερικά σημεία του R όπου η f ενδέχεται να έχει τοπικά μέγιστα και ελάχιστα και υπολογίζουμε την f στα σημεία αυτά. Πρόκειται για τα σημεία όπου f f 0 ή όπου τουλάχιστον μία εκ των f και f δεν υπάρχει (κρίσιμα σημεία της f ). Βήμα : Καταγράφουμε τα συνοριακά σημεία του R όπου η f έχει τοπικά μέγιστα και ελάχιστα και υπολογίζουμε την f στα σημεία αυτά. Σε λίγο θα δείξουμε πώς το κάνουμε αυτό. Βήμα 3: Από τα σημεία που καταγράψαμε, απομονώνουμε εκείνα που αντιστοιχούν στη μεγαλύτερη και στη μικρότερη τιμή της f. Στα σημεία αυτά η f εμφανίζει ολικά ακρότατα στο R. Εφόσον ένα ολικό ακρότατο είναι και τοπικό ακρότατο, το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να εντοπίσουμε από τον κατάλογο των σημείων που κάναμε στα βήματα 1 και, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f. 0 B(0, 9) (1, 1) 9 9, 9 0 0 A(9, 0) ΣΧΗΜΑ 11.5 Tο τριγωνικό αυτό χωρίο είναι το πεδίο ορισμού της συναρτήσεως του Παραδείγματος 5. Παράδειγμα 5 Εύρεση ολικών ακροτάτων Βρείτε το ολικό μέγιστο και το ολικό ελάχιστο της f(, ) στο τριγωνικό χωρίο του πρώτου τεταρτημορίου που περικλείεται από τις ευθείες 0, 0, 9. Λύση Εφόσον η f είναι διαφορίσιμη, τα μόνα υποψήφια σημεία είναι εκείνα στο εσωτερικό του τριγώνου (Σχήμα 11.5) όπου f f 0, καθώς και τα συνοριακά σημεία. Εσωτερικά σημεία Έχουμε f 0, f 0, οπότε προκύπτει ως υποψήφιο το σημείο (, ) (1, 1). Η τιμή της f εκεί είναι f(1, 1) 4. Συνοριακά σημεία Ερευνούμε μία προς μία τις πλευρές του τριγώνου: 1. Ευθύγραμμο τμήμα OA, 0. Η συνάρτηση f(, ) f(, 0) μπορεί τώρα να θεωρηθεί ως συνάρτηση του ορισμένη στο κλειστό διάστημα 0 9. Τα ακρότατα της συνάρτησης αυτής (όπως γνωρίζουμε από το Κεφάλαιο 3) μπορεί να προκύψουν στα συνοριακά σημεία 0 όπου f(0, 0) 9 όπου f(9, 0) 18 81 61 καθώς και στα εσωτερικά σημεία όπου f (, 0) 0. Το μόνο εσωτερικό σημείο όπου f (, 0) 0 είναι το 1, όπου f(, 0) f(1, 0) 3.. Ευθύγραμμο τμήμα OB, 0. Η συνάρτηση παίρνει τη μορφή
910 Κεφάλαιο 11. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και οι παράγωγοί τους f(, ) f(0, ). Λόγω της συμμετρίας της f στην εναλλαγή των και και λόγω της ανάλυσης που προηγήθηκε, γνωρίζουμε ότι υποψήφια σημεία ολικού ακροτάτου είναι τα σημεία όπου f(0, 0), f(0, 9) 61, f(0, 1) 3. 3. Εφόσον έχουμε ήδη ασχοληθεί με τα άκρα του τμήματος AB, το μόνο που μας μένει είναι να εξετάσουμε εσωτερικά σημεία του AB. Για 9, παίρνουμε f(, ) (9 ) (9 ) 61 18. Θέτοντας f (, 9 ) 18 4 0, παίρνουμε 18 4 9. Για την τιμή αυτή του, 9 9 9 και f(, ) f 9, 9 41. Περίληψη Παραθέτουμε όλες τις υποψήφιες τιμές ολικού ακροτάτου: 4,, 61, 3, (41/ ). Η μεγαλύτερη τιμή από αυτές είναι η 4, την οποία η f παίρνει στο σημείο (1, 1). H ελάχιστη τιμή είναι 61, την οποία η f παίρνει στα σημεία (0, 9) και (9, 0). Η επίλυση προβλημάτων ακροτάτων υπό συνθήκη απαιτεί συνήθως εφαρμογή της μεθόδου των πολλαπλασιαστών Lagrange, την οποία θα δούμε στην επόμενη ενότητα. Ωστόσο, μερικές φορές μπορούμε να λύσουμε τέτοια προβλήματα και πιο άμεσα, όπως στο παράδειγμα που ακολουθεί. Περιφέρεια = περίμετρος εγκάρσιας διατομής ΣΧΗΜΑ 11.53 Tο κουτί του Παραδείγματος 6. Παράδειγμα 6 Eύρεση όγκου υπό συνθήκη Μια ιδιωτική ταχυδρομική εταιρεία δέχεται μονάχα δέματα συσκευασμένα σε ορθογώνια κουτιά για τα οποία το άθροισμα του μήκους και της περιφέρειας (που ορίζεται ως η περίμετρος μιας εγκάρσιας διατομής) δεν υπερβαίνει τα 108 cm. Βρείτε τις διαστάσεις του κουτιού μέγιστου αποδεκτού όγκου. Λύση Έστω,, και το μήκος, το πλάτος, και το ύψος του ορθογώνιου κουτιού, αντίστοιχα. Η περιφέρεια ισούται με. Επιθυμούμε να μεγιστοποιήσουμε τον όγκο V του κουτιού (Σχήμα 11.53) ικανοποιώντας ταυτόχρονα τη σχέση 108 (που αντιστοιχεί στο κουτί μέγιστου όγκου που δέχεται η εταιρεία). Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε τον όγκο του κουτιού ως συνάρτηση δύο μεταβλητών. Θέτοντας τις πρώτες μερικές παραγώγους ίσες με το μηδέν, παίρνουμε τα κρίσιμα σημεία (0, 0), (0, 54), (54, 0), και (18, 18). Ο όγκος μηδενίζεται στα σημεία (0, 0), (0, 54), (54, 0), τα οποία συνεπώς δεν μας ενδιαφέρουν. Στο σημείο (18, 18), εφαρμόζουμε το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου (Θεώρημα 11): V 4, V 4, V 108 4 4. Έτσι, V(, ) (108 ) 108 V και V (, ) 108 4 (108 4 ) 0 V (, ) 108 4 (108 4) 0, 108
11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 911 Συνεπώς, και V V V 16 16(7 ). V (18, 18) 4(18) 0 [V V V ] (18,18) 16(18)(18) 16( 9) 0 πράγμα που σημαίνει ότι το σημείο (18, 18) αντιστοιχεί στον μέγιστο όγκο. Οι ζητούμενες διαστάσεις του κουτιού είναι λοιπόν 108 (18) (18) 36 cm, 18 cm, και 18 cm. Ο μέγιστος όγκος ισούται με V (36)(18)(18) 11.664 cm 3, δηλ. 0,011664 m 3. Περιορισμοί στο κριτήριο της πρώτης παραγώγου και σύνοψη Παρά τη μεγάλη χρησιμότητα του Θεωρήματος 10, δεν πρέπει να ξεχνάμε τους περιορισμούς στους οποίους υπόκειται η εφαρμογή του. Το θεώρημα δεν ισχύει για συνοριακά σημεία του πεδίου ορισμού της συναρτήσεως, όπου είναι πιθανό για μια συνάρτηση να έχει ακρότατα και ταυτόχρονα μη μηδενιζόμενες παραγώγους. Επίσης, δεν ισχύει για σημεία όπου είτε η f είτε η f δεν υπάρχει. Σύνοψη των κριτηρίων μεγίστων-ελαχίστων Τα ακρότατα της f(, ) μπορούν μονάχα να προκύψουν σε i. συνοριακά σημεία του πεδίου ορισμού της f ii. κρίσιμα σημεία (εσωτερικά σημεία όπου f f 0 ή σημεία όπου είτε η f είτε η f δεν υπάρχει). Αν οι μερικές παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξεως της f είναι παντού συνεχείς σε έναν κυκλικό δίσκο με κέντρο το σημείο (a, b) και f (a, b) f (a, b) 0, τότε ίσως μπορούμε να αποφανθούμε για το αν η τιμή f(a, b) αντιστοιχεί σε ακρότατο, βάσει του κριτηρίου της δεύτερης παραγώγου: i. f 0 και f f 0 στο (a, b) τοπικό μέγιστο ii. f 0 και f f iii. f f iv. f f f f f f 0 στο (a, b) τοπικό ελάχιστο 0 στο (a, b) σαγματικό σημείο 0 στο (a, b) αδύνατον να αποφανθούμε. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 11.7 Εύρεση τοπικών ακροτάτων Βρείτε τα τοπικά μέγιστα, τα τοπικά ελάχιστα, και τα σαγματικά σημεία των συναρτήσεων στις Aσκήσεις 1-0. 1. f(, ) 3 3 4. f(, ) 5 4 4 4 3. f(, ) 3 5 4. f(, ) 5 7 3 6 5. f(, ) 3 6 7 4 6. f(, ) 3 4 5 7. f(, ) 4 6 8. f(, ) 1 9. f(, ) 3 10. f(, ) 3 3 6 11. f(, ) 3 3 3 1. f(, ) 6 3 3 6 13. f(, ) 9 3 3 / 3 4