Σηµειωσεις : Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων Θ. Κεχαγιας Μαρτης 2009
Περιεχόµενα 1 Επιφανειες 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Αλυτα Προβληµατα.............................. 4 2 Οριο, Συνεχεια, Παραγωγιση 10 2.1 Θεωρια.................................... 10 2.2 Αλυτα Προβληµατα.............................. 13 3 Πεπλεγµενη και Αλυσωτη Παραγωγιση 17 3.1 Θεωρια.................................... 17 3.2 Αλυτα Προβληµατα.............................. 20 4 Συστηµατα Συντεταγµενων 23 4.1 Θεωρια.................................... 23 4.2 Αλυτα Προβληµατα.............................. 27 5 Σειρες T aylor και Ακροτατα Συναρτησεων 29 5.1 Θεωρια.................................... 29 5.2 Αλυτα Προβληµατα.............................. 32 6 ιπλα Ολοκληρωµατα 36 6.1 Θεωρια.................................... 36 6.2 Αλυτα Προβληµατα.............................. 39 7 Τριπλα Ολοκληρωµατα 43 7.1 Θεωρια.................................... 43 7.2 Αλυτα Προβληµατα.............................. 46 8 Καµπυλες και ιανυσµατικες Συναρτησεις 49 8.1 Θεωρια.................................... 49 8.2 Αλυτα Προβληµατα.............................. 52 9 Επικαµπυλια Ολοκληρωµατα 54 9.1 Θεωρια.................................... 54 9.2 Αλυτα Προβληµατα.............................. 59 i
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ii 10 Βαθµωτα και ανυσµατικα Πεδια 63 10.1Θεωρια.................................... 63 10.2Αλυτα Προβληµατα.............................. 65 11 Επιφανειες σε Παραµετρικη Αναπαρασταση 68 11.1Θεωρια.................................... 68 11.2Αλυτα Προβληµατα.............................. 71 12 Επιφανειακα Ολοκληρωµατα 74 12.1Θεωρια.................................... 74 12.2Αλυτα Προβληµατα.............................. 79
Προλογος Το παρον τευχος περιεχει µια συνοψη του λογισµου συναρτησεων πολλων µεταβλητων και διανυσµατικων συναρτησεων, για χρηση των ϕοιτητων της Πολυτεχνικης Σχολης του ΑΠΘ. Το τευχος προοριζεται να χρησιµοποιηθει σε συνδυασµο µε ενα πιο εκτενες διδακτικο ϐιβλιο. Ασχολουµαστε κυριως µε συναρτησεις ορισµενες στους χωρους R 2 (επιπεδο) και R 3 (χωρος). Οι γενικευσεις για χωρους R N µε N > 3 συνηθως παραλειπονται σε πολλες περιπτωσεις ειναι ουτως η αλλως προφανεις. Στο παρον τευχος ασχολουµαστε µε συναρτησεις δυο η περισσοτερων µεταβλητων, π.χ. φ (x, y), φ (x, y, z), φ (x 1, x 2,..., x N ) κτλ. Η εµφαση δινεται στις συναρτησεις δυο και τριων µεταβλητων. Επισης εξεταζουµε διανυσµατικες συναρτησεις, π.χ. F (t) = ix (t) + jy (t) + kz (t) (διαν. συναρτηση µιας ανεξαρτητης µεταβλητης), F (x, y, z) = ip (x, y, z) + jq (x, y, z) + kr (x, y, z) (διαν. συναρτηση τριων ανεξαρτητων µεταβλητων) κτλ. Υπενθυµιζουµε στον αναγνωστη µερικους ϐασικους συµβολισµους της αλγεβρας των διανυσµατων. 1. Τα διανυσµατα συµβολιζονται µε εντονα γραµµατα : u =ai+bj+ck η και u = (a, b,c). 2. Τα i, j, k ειναι τα µοναδιαια διανυσµατα κατα τις κατευθυνσεις των αξονων x, y, z αντιστοιχα. 3. Παντοτε ο ορος διανυσµα σηµαινει ελευθερο διανυσµα, δηλ. u = (a, b,c) σηµαινει το διανυσµα µε συνιστωσες a, b, c αλλα χωρις να προσδιοριζεται το αρχικο και το τελικο σηµειο του διανυσµατος. Ετσι, π.χ., το διανυσµα M 1 M 2 µε αρχη το σηµειο M 1 (0, 0, 0) και τελος το M 2 (1, 2, 3) ειναι ισοδυναµο µε το διανυσµα N 1 N 2 µε αρχη το N 1 (1, 1, 1) και τελος το N 2 (2, 1, 4) και τα δυο ειναι το ιδιο ακριβως διανυσµα, το u = (1, 1, 1). 4. Το εσωτερικο γινοµενο των u =ai + bj + ck, v =di + ej + fk ειναι u v = (ai + bj + ck) (di + ej + fk) = ad + be + cf. 5. Το εξωτερικο γινοµενο των u =ai + bj + ck, v =di + ej + fk ειναι u v= (ai + bj + ck) (di + ej + fk) i j k = a b c = (bf ce) i + (dc af) j + (ae db) k. d e f iii
iv 6. Το µετρο του u =ai + bj + ck ειναι u = a 2 + b 2 + c 2. 7. Γενικοτερα, ενα N-διαστατο διανυσµα ειναι µια N-αδα αριθµων : a = (a 1, a 2,...,a N ). Το συνολο των N-διαστατων διανυσµατων ειναι εφοδιασµενο µε τις παρξεις προσ- ϑεσης (διανυσµατων) και πολλαπλασιασµου (αριθµου επι διανυσµα). 8. Το µετρο N-διαστατου διανυσµατος a = (a 1, a 2,...,a N ) ειναι a = a 2 1 +... + a 2 N και το εσωτερικο γινοµενο των a και b ειναι a b = N n=1 a nb n. Χρησιµοποιουµε τον ορο χωριο στον R 2 για να δηλωσουµε ενα συνολο σηµειων. Π.χ. ενα χωριο ειναι το = { (x, y) : x 2 + y 2 1 } δηλ. ο δισκος µε κεντρο το (0, 0) και ακτινα 1. Παροµοια ο ορος χωριο στον R 3 δηλωνει ενα συνολο σηµειων. Π.χ. ενα χωριο ειναι το = { (x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 1 } δηλ. η µπαλα µε κεντρο το (0, 0, 0) και ακτινα 1. Συµβουλευω τον αναγνωστη να λυσει οσο µπορει περισσοτερες απο τις αλυτες ασκησεις του παροντος τευχους. Η ϑεωρια παρουσιαζεται εντελως συνοπτικα, µε µονο σκοπο την υποστηριξη της διαδικασιας επιλυσης. Για τους περισσοτερους απο εµας ο µονος τροπος εκµαθησης των µαθηµατικων ειναι µεσω της επιλυσης ασκησεων. Καλη δουλεια λοιπον! Θανασης Κεχαγιας Θεσσαλονικη, Μαρτης 2009
Κεφάλαιο 1 Επιφανειες 1.1 Θεωρια 1.1.1. Εστω τρια σηµεια M 1, M 2, M 3 που δεν ανηκουν σε µια ευθεια και εχουν συντεταγµενες (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ), (x 3, y 3, z 3 ) και αντιστοιχα διανυσµατα r 1, r 2, r 3. Το επιπεδο E που καθοριζεται απο τα σηµεια M 1, M 2, M 3 οριζεται να ειναι το συνολο των διανυσµατων r / σηµειων (x, y, z) που ικανοποιουν την διανυσµατικη εξισωση r (u, v) = r 1 + u (r 2 r 1 ) + v (r 3 r 1 ) οπου u, v R. (1.1) 1.1.2. Η (1.1) ειναι ισοδυναµη µε την εξισωση x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 = 0. (1.2) x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 ηλ. ενα σηµειο M (x, y, z) ικανοποιει την (1.2) ανν ανηκει στο επιπεδο E που οριζουν τα σηµεια (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ), (x 3, y 3, z 3 ). 1.1.3. Επισης η (1.1) ειναι ισοδυναµη µε την παραµετρικη εξισωση x (u, v) = x 1 + u (x 2 x 1 ) + v (x 3 x 1 ), (1.3) y (u, v) = y 1 + u (y 2 y 1 ) + v (y 3 y 1 ), z (u, v) = z 1 + u (z 2 z 1 ) + v (z 3 z 1 ). 1.1.4. Τελος, καθε επιπεδο E στον τριδιαστατο χωρο µπορει να περιγραφει απο µια εξισωση της µορφης x + By + z + = 0 (1.4) οπου, B,, πραγµατικοι αριθµοι. Επισης, σε καθε εξισωση της µορφης (1.4) αντιστοιχει ενα επιπεδο. Η εξισωση της µορφης (1.4) λεγεται κανονικη εξισωση του επιπεδου. 1.1.5. Η εξισωση επιπεδου που διερχεται απο δυο σηµεια (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ) και ειναι παραλληλο στο διανυσµα p = (a, b, c) ειναι x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 = 0. (1.5) a b c 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 2 Η διανυσµατικη εξισωση του ιδιου επιπεδου ειναι r (u, v) = r 1 + u (r 2 r 1 ) + v p. 1.1.6. Η εξισωση επιπεδου που διερχεται απο σηµειο (x 1, y 1, z 1 ) και ειναι παραλληλο στα (µη συγγραµικα) διανυσµατα p = (a, b, c), q = (d, e, f) ειναι x x 1 y y 1 z z 1 a b c = 0. (1.6) d e f Η διανυσµατικη εξισωση του ιδιου επιπεδου ειναι r (u, v) = r 1 + u p + v q. 1.1.7. Ενα διανυσµα p = (a, b, c) ειναι καθετο στο επιπεδο x + By + z + = 0 ανν a = b B = c. (1.7) 1.1.8. Εχουµε δει οτι καθε εξισωση της µορφης x+by+z+ = 0 οριζει ενα επιπεδο. Με αντιστοιχο τροπο, ορριζουµε µια επιφανεια να ειναι το συνολο των σηµειων (x, y, z) τα οποια ικανοποιουν µια εξισωση F (x, y, z) = c (1.8) (οπου c µια σταθερα). Η (1.8) λεγεται πεπλεγµενη αναπαρασταση της επιφανειας. 1.1.9. Π.χ. µια σφαιρα ειναι το συνολο των σηµειων τα οποια απεχουν σταθερη αποσταση R απο ενα δοθεν σηµειο (x 0, y 0, z 0 ). Αυτη η ιδιοτητα περιγραφεται απο την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (x 0, y 0, z 0 ) και ακτινα R, η οποια ειναι (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2 (δηλ. σε αυτη την περιπτωση F (x, y, z) = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2, c = R 2 ). 1.1.10. Στο παρον κεφαλαιο ϑα ασχοληθουµε µε τις δευτεροβαθµιες επιφανειες, δηλ. αυτες για τις οποιες οι F (x, y, z) εχει την µορφη x 2 + B y 2 + z 2 + xy + E yz + F zx + G x + H y + J z + K = 0 δηλ. ειναι πολυωνυµο το πολυ δευτερου ϐαθµου ως προς τις µεταβλητες x, y, z. 1.1.11. Καθε δευτεροβαθµια επιφανεια, µε καταλληλη µετατοπιση της αρχης των αξονων και αντιµεταθεση των µεταβλητων x, y, z µπορει να αναχθει σε µια απο τις εξης δυο ϐασικες µορφες x 2 + By 2 + z 2 =, (1.9) x 2 + By 2 + z = 0. (1.10)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 3 1.1.12. Αν η επιφανεια ειναι της µορφης (1.9) µπορει να αναχθει περαιτερω σε µια απο τις παρακατω µορφες Επιφανεια x Ελλειψοειδες a 2 + y2 b 2 + z2 = 1 c 2 x Μονοχωνο Υπερβολοειδες a 2 + y2 b 2 z2 = 1 c 2 z ιχωνο Υπερβολοειδες y2 a 2 b 2 x2 = 1 c 2 x Κωνος a 2 + z2 b 2 = y2 c 2 x Ελλειπτικος Κυλινδρος a 2 + y2 = 1 b 2 x Υπερβολικος Κυλινδρος y2 = 1 a 2 b 2 µε καταλληλη επιλογη των a, b, c (εξαρτωµενη απο τις τιµες των, B,, ). 1.1.13. Αν η επιφανεια ειναι της µορφης (1.10) µπορει να αναχθει σε µια απο τις παρακατω µορφες Ελλειπτικο Παραβολοειδες z = x2 a 2 + y2 b 2 Υπερβολικο Παραβολοειδες z = x2 a 2 y2 b 2 x Ελλειπτικος Κυλινδρος + y2 = 1 a 2 b 2 µε καταλληλη επιλογη των a, b (εξαρτωµενη απο τις τιµες των, B, ).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 4 1.2 Αλυτα Προβληµατα 1.2.1. Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. x + y + z 1 = 0. 1.2.2. Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (1, 2, 3), (3, 1, 1), (1, 1, 1). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 4y 2x 2z = 0. 1.2.3. Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (1, 1, 1), ( 2, 2, 2), (1, 1, 2). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 9y 3x + 6z = 0. 1.2.4. Να ϐρεθει η εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (2, 4, 8), ( 3, 1, 5), (6, 2, 7). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 42z 17y 15x 238 = 0. 1.2.5. Σχεδιαστε τα επιπεδα και ϐρειτε το σηµειο τοµης αυτων. Απ. x = 2 3, y = 4 7, z = 11 21. x + 2y + z 1 = 0 4x + 2y + z + 1 = 0 x + y + 4z 2 = 0 1.2.6. Σχεδιαστε τα επιπεδα και ϐρειτε το σηµειο τοµης αυτων. Απ. x = 1, y = 2, z = 3 2. x + 2y + 2z 2 = 0 3x + 2y + 4z 1 = 0 x + 2y + 4z + 1 = 0 1.2.7. Σχεδιαστε τα επιπεδα και ϐρειτε το σηµειο τοµης αυτων. Απ. Τα επιπεδα δεν τεµνονται. x + 2y + 2z 2 = 0 3x + 2y + 4z 1 = 0 4x + 4y + 6z 5 = 0 1.2.8. ειξτε οτι το επιπεδο 2x 2y + z + 1 = 0 ειναι καθετο στο διανυσµα (2, 2, 1). 1.2.9. ειξτε οτι το επιπεδο x+y+3z+10 = 0 ειναι καθετο στο διανυσµα (1, 1, 3).Υπαρχει αλλο διανυσµα καθετο στο ιδιο επιπεδο ; 1.2.10. ειξτε οτι το επιπεδο x + y + z 3 = 0 ειναι παραλληλο στο διανυσµα (1, 1, 2). Σχεδιαστε το επιπεδο.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 5 1.2.11. ειξτε οτι το επιπεδο x + y + z 3 = 0 ειναι παραλληλο στο διανυσµα (2, 1, 3). Σχεδιαστε το επιπεδο. 1.2.12. ειξτε οτι το επιπεδο 2x y+z+1 = 0 ειναι παραλληλο στο διανυσµα (2, 1, 5).Βρειτε ενα αλλο διανυσµα παραλληλο στο ιδιο επιπεδο. 1.2.13. Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (4, 2, 1) και ειναι καθετο στο διανυσµα p = (7, 2, 3). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 7x + 2y 3z 21 = 0. 1.2.14. Να ϐρεθει η εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (3, 2, 4) και ειναι καθετο στο διανυσµα p = (2, 2, 3). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 2x + 2y 3z + 10 = 0. 1.2.15. Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (2, 3, 5) και ειναι καθετο στο διανυσµα (4, 6, 0). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 2x + 4y 13 = 0. 1.2.16. Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (3, 5, 2) και ειναι καθετο στο διανυσµα (4, 6, 1). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 4x 6y + z 40 = 0. 1.2.17. Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (2, 3, 6) και ειναι παραλληλο στο επιπεδο 2x 5y + 7 = 0. Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 2x 5y 19 = 0. 1.2.18. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο ( 2, 3, 1) και ακτινα 4. Απ. (x + 2) 2 + (y 3) 2 + (z 1) 2 = 16. 1.2.19. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (1, 0, 4) και ακτινα 1. Απ. (x 1) 2 + y 2 + (z 4) 2 = 1. 1.2.20. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (1, 1, 1) και διερχοµενης απο το σηµειο (1, 1, 2). Απ. (x 1) 2 + (y 1) 2 + (z 1) 2 = 1. 1.2.21. Βρειτε το κεντρο και την ακτινα της σφαιρας x 2 +6x+y 2 4y +z 2 10z 11 = 0. Απ. ( 3, 2, 5) και 7. 1.2.22. Βρειτε το κεντρο και την ακτινα της σφαιρας x 2 + 2x + y 2 + 8y + z 2 6z + 22 = 0. Απ. ( 1, 4, 3) και 2. 1.2.23. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο το (3, 6, 4) και εφαπτοµενης στο επιπεδο 2x 2y z 10 = 0. Απ. (x 3) 2 + (y 6) 2 + (z + 4) 2 = 16. 1.2.24. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας που µια διαµετρος της εχει ακρα τα σηµεια (3, 5, 6) και (5, 7, 1). Απ. (x 3) 2 + (y 6) 2 + (z + 4) 2 = 16.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 6 1.2.25. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας που διερχεται απο τα σηµεια (7, 9, 1), ( 2, 3, 2), (1, 5, 5) και ( 6, 2, 5). Απ. x 2 + y 2 + z 2 + 8x 14y + 18z 79 = 0. 1.2.26. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας που διερχεται απο τα σηµεια (1, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2), (2, 1, 1) Απ. x 2 + y 2 + z 2 3x 3y 3z + 6 = 0. 1.2.27. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας που διερχεται απο τα σηµεια (2, 1, 3), (3, 2, 1), ( 4, 1, 1), (1, 1, 3). Απ. 51x 2 + 51y 2 + 51z 2 + 45x + 37y 33z 742 = 0. 1.2.28. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας που διερχεται απο τα σηµεια (2, 5, 8), (8, 2, 5), (5, 8, 2) και ( 2, 8, 5). Απ. x 2 + y 2 + z 2 = 93. 1.2.29. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο ( 4, 2, 3) και εφαπτοµενης στο επιπεδο 2x y 2z + 7 = 0. Απ. x 2 + y 2 + z 2 + 8x 4y 6z + 20. 1.2.30. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (2, 3, 4) και εφαπτοµενης στην σ- ϕαιρα (x 2) 2 + (y 3) 2 + (z 5) 2 = 6. Απ. (x 2) 2 + (y 3) 2 + (z + 4) 2 = 9 ± 6. 1.2.31. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας S εφαπτοµενης στις σφαιρες S 1 : (x 5) 2 + (y + 2) 2 + (z 6) 2 = 16, S 2 : (x 5) 2 + (y + 2) 2 + (z + 4) 2 = 9, αν ειναι γνωστο οτι το κεντρο της S ϐρισκεται επι του ευθυγραµµου τµηµατος που οριζουν τα κεντρα των S 1 και S 2. Απ. Υπαρχουν τεσσερις λυσεις : (x 5) 2 + (y + 2) 2 + (z 4.5) 2 = R 2 οπου R 2 {2.25, 72.25, 30.25, 20.25}. 1.2.32. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (6, 3, 4) και εφαπτοµενης στον αξονα των x. Απ. x 2 + y 2 + z 2 12x 6y + 8z + 36 = 0. 1.2.33. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο ( 4, 2, 3) και εφαπτοµενης στο επιπεδο yz. Απ. x 2 + y 2 + z 2 + 8x + 4y 6z + 13 = 0. 1.2.34. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (2, 3, 2) και εφαπτοµενης στο επιπεδο 6x 3 + 2z 8 = 0. Απ. 49x 2 + 49y 2 + 49z 2 196x + 294y 196z + 544 = 0. 1.2.35. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (1, 2, 4) και εφαπτοµενης στο επιπεδο 3x 2y + 4z 7 = 0. Απ. 29x 2 + 29y 2 + 29z 2 58x 118y 232z + 545 = 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 7 1.2.36. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (0, 0, 0) και εφαπτοµενης στο επιπεδο 9x 2y + 6z + 11 = 0. Απ. x 2 + y 2 + z 2 = 1. 1.2.37. Τα σηµεια (7, 2, 4) και (9, 8, 6) ϐρισκονται στην επιφανεια µιας σφαιρας S και ανηκουν σε µια ευθεια που περναει απο το κεντρο της S. Βρειτε την εξισωση της S. Απ. (x 8) 2 + (y + 5) 2 + (z 5) 2 = 11. 1.2.38. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας που εφαπτεται στα επιπεδα x 2z 8 = 0, 2x z + 5 = 0 και εχει κεντρο επι της ευθειας x = 2, y = 0. Απ. υο σφαιρες : x 2 +y 2 +z 2 +4x+6z+49/5 = 0 και x 2 +y 2 +z 2 +4x+22z+481/5 = 0. 1.2.39. Βρειτε την εξισωση της σφαιρας που διερχεται απο τα σηµεια (1, 3, 4), (1, 5, 2), (1, 3, 0) και εχει το κεντρο στο επιπεδο x + y + z = 0. Απ. x 2 + y 2 + z 2 2x + 6y 4z + 10 = 0. 1.2.40. Εφαπτεται η ευθεια που οριζουν τα σηµεια (11, 6, 5) και ( 16, 3, 8) στην σφαιρα x 2 + y 2 + z 2 = 49; Απ. Ναι, στο σηµειο (2, 3, 6) 1.2.41. Να ϐρεθει η εξισωση της σφαιρας που διερχεται απο το (8, 15, 10) και τεµνει το επιπεδο xy σε κυκλο κεντρου 0 και ακτινας 7. Απ. x 2 + y 2 + (z 17) 2 = 338. 1.2.42. Σχεδιαστε και αναγνωριστε την επιφανεια Απ. Ειναι ελλειψοειδες. 1.2.43. Σχεδιαστε την επιφανεια και δειξτε οτι ειναι ενα ελλειψοειδες. 1.2.44. Σχεδιαστε την επιφανεια και δειξτε οτι ειναι ενα ελλειψοειδες. x 2 16 + y2 9 + z2 4 = 1 2x 2 + 3y 2 + z 2 8x + 6y 4z 3 = 0 2x 2 + 3y 2 + z 2 8x + 6y 4z 3 = 0 1.2.45. Να ϐρεθει η εξισωση του επιπεδου το οποιο ειναι παραλληλο στο 2x 3y +5z = 0 και εφαπτεται στο ελλειψοειδες x 2 + y2 4 + z2 9 = 1. Απ. υο λυσεις : 2x 3y + 5z ± 265 = 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 8 1.2.46. Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 y 2 + 2y + z 2 6z + 7 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενα µονοχωνο υπερβολοειδες. 1.2.47. Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 2x y 2 + 2y + z 2 1 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενα µονοχωνο υπερβολοειδες. 1.2.48. Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 + y 2 8y z 2 + 6z + 6 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενα µονοχωνο υπερβολοειδες. 1.2.49. Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 y 2 + 2y z 2 + 6z 11 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενα διχωνο υπερβολοειδες. 1.2.50. Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 y 2 + 2y + z 2 6z + 7 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενα διχωνο υπερβολοειδες. 1.2.51. Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 y 2 + 2y z 2 + 6z 10 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενας κωνος. 1.2.52. Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 + y 2 2y z 2 + 6z 8 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενας κωνος. 1.2.53. Σχεδιαστε την επιφανεια y 2 2y + z 2 6z + 6 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενας ελλειπτικος κυλινδρος. 1.2.54. Σχεδιαστε την επιφανεια y 2 + 2y + z 2 6z + 12 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενας υπερβολικος κυλινδρος. 1.2.55. Σχεδιαστε την επιφανεια y 2 2y + z 2 6z x + 10 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενα ελλειπτικο παραβολοειδες. 1.2.56. Σχεδιαστε την επιφανεια y 2 + 2y + z 2 6z + x + 8 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενα υπερβολικο παραβολοειδες. 1.2.57. Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 + 8x z 2 2z + y 17 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενα ελλειπτικο παραβολοειδες. 1.2.58. Βρειτε την εξισωση του παραβολοειδους µε κορυφη το (0, 0, 0), αξονα αυτο τον z, και διερχοµενο απο τα σηµεια (3, 0, 1) και (3, 2, 2). Απ. z = x2 9 + y2 4. 1.2.59. Βρειτε την εξισωση του παραβολοειδους µε κορυφη στο (0, 0, 0), κυριο αξονα τον Oz και διερχοµενο απο τα (2, 0, 3) και (1, 2, 3). Απ. 12x 2 + 9y 2 16z = 0. 1.2.60. Βρειτε την εξισωση του παραβολοειδους µε κορυφη στο (0, 0, 0), κυριο αξονα τον Oz και διερχοµενο απο τα (1, 0, 1) και (0, 2, 1). Απ. 4x 2 + y 2 = 4z. 1.2.61. Βρειτε την εξισωση του παραβολοειδους µε κορυφη στο (0, 0, 0), κυριο αξονα τον Ox και διερχοµενο απο τα (1, 2, 2) και (2, 6, 8). Απ. z 2 2y 2 + 4x = 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 9 1.2.62. Σχεδιαστε την επιφανεια x 2 +2x+y 2 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενας παραβολικος κυλινδρος 1.2.63. Σχεδιαστε την επιφανεια z 2 +6z+x 7 = 0 και δειξτε οτι ειναι ενας παραβολικος κυλινδρος.
Κεφάλαιο 2 Οριο, Συνεχεια, Παραγωγιση 2.1 Θεωρια 2.1.1. Εστω οτι µας δινεται µια συναρτηση δυο µεταβλητων φ (x, y). Λεµε οτι το ο- ϱιο της φ (x, y), οταν το σηµειο (x, y) τεινει στο (x 0, y 0 ), ειναι το φ o " (και γραφουµε \lim (x,y) (x0,y 0 ) φ (x, y) = φ 0 " ) ανν ε > 0 δ > 0 : 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ φ (x, y) φ 0 < ε. (2.1) 2.1.2. Το νοηµα της (2.1) ειναι το εξης : µπορουµε να εξασφαλισουµε οτι η διαφορα της µεταβλητης ποσοτητας φ (x, y) και τη σταθερης ποσοτητας φ 0 δεν ϑα ειναι µεγαλυτερη (κατ απολυτη τιµη) απο ε, αρκει να χρησιµοποιησουµε σηµεια (x, y) τα οποια δεν δεν εχουν αποσταση απο την (x 0, y 0 ) µεγαλυτερη απο δ για καθε ε > 0 υπαρχει δ > 0 που εξασφαλιζει αυτη την απαιτηση. 2.1.3. Προσοχη : µπορει να ισχυει οτι lim φ (x, y) lim (x,y) (x 0,y 0 ) x, x 0 και µαλιστα υπαρχουν παραδειγµατα οπου ( ) lim φ (x, y) lim y y 0 lim x, x 0 y, y 0 ( ) lim φ (x, y) y y 0 ( ) lim φ (x, y). x, x 0 2.1.4. Λεµε οτι η φ (x, y) ειναι συνεχης στο σηµειο (x 0, y 0 ) αν ισχυει lim φ (x, y) = φ (x 0, y 0 ). (x,y) (x 0,y 0 ) 2.1.5. Αντιστοιχα πραγµατα ισχυουν και για συναρτησεις τριων η περισσοτερων µεταβλητων. Π.χ. lim (x,y,z) (x0,y 0,z 0 ) φ (x, y, z) = φ 0 ανν ε > 0 δ > 0 : 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 < δ φ (x, y, z) φ 0 < ε και λεµε οτι η φ (x, y, z) ειναι συνεχης στο σηµειο (x 0, y 0, z 0 ) ανν lim φ (x, y, z) = φ (x 0, y 0, z 0 ). (x,y,z) (x 0,y 0,z 0 ) 10
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ, ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 11 2.1.6. Οριζουµε τις µερικες παραγωγους της φ (x, y) ως προς τις x, y ως εξης φ x = lim φ y = lim x 0 y 0 φ (x + x, y, z) φ (x, y, z) x φ (x, y + y, z) φ (x, y, z).. y 2.1.7. Χρησιµοποιουµε και τον συµβολισµο φ x (x, y) = φ x, φ y (x, y) = φ y. 2.1.8. Οριζουµε τις µερικες παραγωγους ανωτερης ταξης µε αντιστοιχο τροπο. Π.χ. φ xx = 2 φ x = ( ) φ, φ 2 yx = 2 φ x x y x = ( ) φ x y φ yy = 2 φ y = ( ) φ, φ 2 xy = 2 φ y y x y = ( ) φ. y x 2.1.9. Αντιστοιχα πραγµατα ισχυουν και για συναρτησεις τριων η περισσοτερων µεταβλητων. Π.χ. η φ (x, y, z) εχει µερικες παραγωγους πρωτης ταξης φ x, φ y, φ z η φ (x 1, x 2,..., x N ) εχει τις φ φ x 1,..., κτλ. x N 2.1.10. Επισης ϑα χρησιµοποιησουµε τον συµβολισµο των διαφορικων τελεστων. Ετσι, x φ = φ x, y φ = φ y, xx = xφ 2 = φ xx, x y φ = φ xy κτλ. 2.1.11. Το διαφορικο της φ (x, y) ειναι dφ = φ φ dx + x y dy. 2.1.12. Μπορουµε να συνδυασουµε ολες τις µερικες παραγωγους της φ (x, y) σε µια διανυσµατικη παραγωγο. Η κλιση της φ (x, y), συµβολιζεται gradφ και οριζεται ως εξησ: gradφ = i φ x + j φ x. 2.1.13. Αντιστοιχα, µπορουµε να συνδυασουµε ολες τις µερικες παραγωγους της φ (x, y, z) σε µια διανυσµατικη παραγωγο, την κλιση της φ (x, y, z), που συµβολιζεται gradφ και οριζεται ως εξης : gradφ = i φ x + j φ x + k φ x. 2.1.14. Ο τελεστης αναδελτα συµβολιζεται µε και οριζεται ως εξησ: = i x + +j για συναρτησεις δυο µεταβλητων και x = i x + j x + k για συναρτησεις τριων µεταβλητων x 2.1.15. Τοτε η κλιση της φ µπορει να γραφτει gradφ = φ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ, ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 12 2.1.16. Η κλιση εχει ιδιοτητες παροµοιες µε αυτες της συνηθους παραγωγου. Π.χ. ισχυει οτι (φψ) = ( φ) ψ + φ ( ψ). 2.1.17. Μια ειδικη και σηµαντικη µορφη παραγωγου δευτερης ταξης της φ ειναι η Λαπλασιανη: 2 φ = 2 φ x + 2 φ 2 y + 2 φ 2 z. 2 2.1.18. Γεωµετρικα, η φ δινει τον ϱυθµο µεταβολης της φ (x, y, z) οταν το διανυσµα x (x, y, z) µεταβαλλεται κατα την κατευθυνση x. φ x = lim r 0 Αντιστοιχα πραγµατα ισχυουν για τις φ φ (x+ x, y, z) φ (x, y, z). x, φ y z. 2.1.19. Αν τωρα τα x, y, z µεταβαλλονται ταυτοχρονως κατα την κατευθυνση του διανυσ- µατος v = ia + jb + kc, τοτε ο ϱυθµος µεταβολης της φ (x, y, z), δηλ.η παραγωγος της φ (x, y, z) κατα την κατευθυνση v ειναι dφ dv = lim s 0 και δινεται απο την σχεση φ (x + a s, y + b s, z + c s) φ (x, y, z) s dφ dv = φ v v. (2.2) 2.1.20. Η κατευθυνση κατα την οποια µεγιστοποιειται η dφ φ ειναι η φ και οταν v = dv τοτε εχουµε dφ dv = φ. 2.1.21. Εστω οτι οριζεται µια επιφανεια στην πεπλεγµενη µορφη φ (x, y, z) = 0. Τοτε ενα καθετο διανυσµα στην επιφανεια, στο σηµειο (x 0, y o, z 0 ), ειναι το φ (x,y,z)=(x0,y o,z 0 ). Η καθετη ευθεια στην επιφανεια, στο σηµειο (x 0, y o, z 0 ), εχει εξισωση x x 0 φ x (x 0, y 0, z 0 ) = y y 0 φ y (x 0, y 0, z 0 ) = z z 0 φ z (x 0, y 0, z 0 ). φ Το δε εφαπτοµενο επιπεδο στην επιφανεια, στο σηµειο (x 0, y o, z 0 ), εχει εξισωση φ x (x 0, y 0, z 0 ) (x x 0 ) + φ y (x 0, y 0, z 0 ) (y y 0 ) + φ z (x 0, y 0, z 0 ) (z z 0 ) = 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ, ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 13 2.2 Αλυτα Προβληµατα 2.2.1. Να υπολογιστει το οριο lim (x,y) (0,0) x 2 x+y Απ. 0. 2.2.2. Να υπολογιστει το οριο lim (x,y) (0,0) x x+y Απ. εν υπαρχει. x 2.2.3. Να υπολογιστει το οριο lim 2 +y 2 (x,y) (0,0) x 2 +y 2 +1 1 Απ. 2. x 2.2.4. Να υπολογιστει το οριο lim 2 y 2 +1 1 (x,y) (0,0) x 2 +y 2 Απ. 0. 2.2.5. Να υπολογιστει το οριο lim (x,y) (0,0) sin(x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 Απ. 1. 2.2.6. Να υπολογιστει το οριο lim (x,y) (0,0) sin(x 3 +y 3 ) x 2 +y 2 Απ. 0. 2.2.7. Να υπολογιστει το οριο lim (x,y) (0,0) x+y x y Απ. εν υπαρχει. 2.2.8. ινεται η συναρτηση φ (x, y) = sin(x+y) x+y αυτη συνεχης στο (0, 0); Απ. Ναι. 2.2.9. ινεται η συναρτηση φ (x, y) = x2 y 2 αυτη συνεχης στο (0, 0); Απ. Ναι. x 2 +y 2 2.2.10. ινεται η συναρτηση φ (x, y) = xy x 2 +y 2 αυτη συνεχης στο (0, 0); Απ. Οχι. 2.2.11. ινεται η συναρτηση φ (x, y) = x4 y 4 x 4 +y 4 αυτη συνεχης στο (0, 0); Απ. Οχι. για (x, y) (0, 0) και φ (0, 0) = 1. Ειναι για (x, y) (0, 0) και φ (0, 0) = 0. Ειναι για (x, y) (0, 0) και φ (0, 0) = 1. Ειναι για (x, y) (0, 0) και φ (0, 0) = 1. Ειναι 2.2.12. Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ xx, φ yy, φ xy της φ (x, y) = x 2 + 2xy + y 3 + 4x. Απ. 2x + 2y + 4, 3y 2 + 2x, 2, 6y, 2. 2.2.13. Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ xx, φ yy, φ xy της φ (x, y) = x 2 sin (x + y). Απ. 2x sin (x + y) + x 2 cos (x + y), x 2 cos (x + y), 2 sin (x + y) + 4x cos (x + y) x 2 sin (x + y), x 2 sin (x + y), 2x cos (x + y) x 2 sin (x + y). 2.2.14. Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ xx, φ yy, φ xy της φ (x, y) = x+y xy 1. Απ. x 2 sin (x + y)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ, ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 14 2.2.15. Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ xx, φ yy, φ xy της φ (x, y) = x 2 sin (x + y). Απ. 1 (y 2 + 1), 1 (x 2 y + 1), 2 (y 2 x + 1), 2 (x 2 + 1), 2(x+y). (xy 1) 2 (xy 1) 2 (xy 1) 3 (xy 1) 3 (xy 1) 3 2.2.16. Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ z, φ yy, φ xy της φ (x, y, z) = x 3 yz + y 2 z 3 + cos (xyz). Απ. yz (sin xyz 3x 2 ), x 3 z + 2yz 3 xz sin xyz, x 3 y + 3y 2 z 2 xy sin xyz. 2.2.17. Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ z, φ yy, φ xy της φ (x, y, z) = ze sin(x+y). Απ. z (cos (x + y)) e sin(x+y), z (cos (x + y)) e sin(x+y), e sin(x+y). 2.2.18. Υπολογιστε το διαφορικο της φ (x, y) = x 2 sin (x + y). Απ. dφ = (2x sin (x + y) + x 2 cos (x + y)) dx + x 2 cos (x + y) dy. 2.2.19. Υπολογιστε το το διαφορικο της φ (x, y) = x 3 y + x 2 y 2. Απ. dφ = (3x 2 y + 2xy 2 ) dx + (x 3 + 2yx 2 ) dy. 2.2.20. Υπολογιστε το το διαφορικο της φ (x, y, z) = x + y + z Απ. dφ = dx + dy + dz. 2.2.21. Υπολογιστε το το διαφορικο της φ (x, y, z) = x 2 y 3 z 4 Απ. dφ = 2xy 3 z 4 dx + 3x 2 y 2 z 4 dy + 4x 2 y 3 z 3 dz. 2.2.22. Υπολογιστε το το διαφορικο της φ (x, y, z) = cos (x + y 2 + z 3 ) Απ. dφ = sin (y 2 + z 3 + x) dx 2y sin (y 2 + z 3 + x) dy 3z 2 sin (y 2 + z 3 + x) dz. 2.2.23. Να υπολογιστει το φ και το dφ στο (x, y) = (x 0, y 0 ) για φ (x, y) = x 2 y 2, (x 0, y 0 ) = (1, 1), x = 0.1, y = 0.1 Απ. φ = 0.464, dφ = 0.4. 2.2.24. Να υπολογιστει το φ και το dφ στο (x, y) = (x 0, y 0 ) για φ (x, y) = sin (x 2 + y 2 ), (x 0, y 0 ) = (0, 0), x = 0.1, y = 0.1 Απ. φ = 0.01 999 9, dφ = 0.399 92. 2.2.25. Να ϐρεθει η κλιση φ και να υπολογιστει η τιµη της στο σηµειο (x, y, z) = (1, 1, 1) για φ (x, y, z) = x 2 y 3 z Απ. i2xy 3 z + j3x 2 y 2 z + kx 2 y 3 και i2 + j3 + k. 2.2.26. Να ϐρεθει η κλιση φ και να υπολογιστει η τιµη της στο σηµειο (x, y, z) = (1, 1, 1) για φ (x, y, z) = yz sin x + ) ( x ln z y ) ( ) Απ. i (yz cos x + 1y ln z + j z sin x x ln z + k y sin x + x και i cos 1 + j sin 1 + y 2 yz k (sin 1 + 1). 2.2.27. Να ϐρεθει η κλιση φ και να υπολογιστει η τιµη της στο σηµειο (x, y, z) = (1, 1, 1) για φ (x, y, z) = 1. x 2 +y 2 +z 2 2y 2x 2z Απ. i j k και i 2 j 2 k 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 9 9 9.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ, ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 15 2.2.28. Να ϐρεθει η κλιση φ και να υπολογιστει η τιµη της στο σηµειο (x, y, z) = (1, 1, 1) για φ (x, y, z) = ln (x 2 + y 2 + z 2 ) 2x 2y 2z Απ. i + j + k και i 2 + j 2 + k 2 x 2 +y 2 +z 2 x 2 +y 2 +z 2 x 2 +y 2 +z 2 9 9 9 ). 2.2.29. ινεται η φ (x, y, z) = x 2 + xyz 3 + 2y 2 z. Να υπολογιστει η 2 φ. Απ. 2 + 4z + 6xyz. 2.2.30. ινεται η φ (x, y, z) = sin (x 2 + y 2 + z 2 ). Να υπολογιστει η 2 φ. Απ. 6 cos (x 2 + y 2 + z 2 ) 4 (sin (x 2 + y 2 + z 2 )) x 2 4 (sin (x 2 + y 2 + z 2 )) y 2 4 (sin (x 2 + y 2 + z 2 )) z 2 ). 2.2.31. Να ϐρεθει η παραγωγος της φ (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 κατα την κατευθυνση 2i + j k στο σηµειο ( 1, 3, 2). Απ. 1 3 6. 2.2.32. Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της z = x 3 3x 2 y + 3xy 2 στο σηµειο (3, 1) και κατα την κατευθυνση προς το σηµειο (6, 5). Απ. 0. 2.2.33. Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της z = tan 1 (xy) στο σηµειο (1, 1) και κατα την κατευθυνση i + j. Απ. 2 2. 2.2.34. Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της z = x 2 y 2 xy 3 3y 1 στο σηµειο (2, 1) και κατα την κατευθυνση που οδηγει στο (0, 0). Απ. 5. 2.2.35. Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της z = ln (e x + e y ) στο σηµειο (0, 0) και κατα την κατευθυνση του διανυσµατος που σχηµατιζει γωνια φ µε τον αξονα των x. Απ. cos φ+sin φ 2. 2.2.36. Να ϐρεθει η παραγωγος της u (x, y, z) = xyz κατα την κατευθυνση i j k στο σηµειο ( 1, 3, 2). Απ. 11 3 3. 2.2.37. Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της u = xy 2 + z 3 xyz στο σηµειο (1, 1, 2) και κατα την κατευθυνση που σχηµατιζει µε τους αξονες γωνιες π/3, π/4, π/3. Απ. 5. 2.2.38. Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της u = xyz στο σηµειο (5, 1, 2) και κατα την κατευθυνση προς το σηµειο (9, 4, 14). Απ. 98 13. 2.2.39. Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της u = x 2 y 2 z 2 στο σηµειο (1, 1, 3) και κατα την κατευθυνση προς το σηµειο (0, 1, 1). Απ. 22. 2.2.40. Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της u = 1 = 1 σε τυχον r x 2 +y 2 +z2 σηµειο και κατα την κατευθυνση u. Απ. 1 r 2.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ, ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 16 2.2.41. Να υπολογιστει το εφαπτοµενο επιπεδο στην επιφανεια z = x 2 + 2y 2 στο σηµειο (1, 1, 3). Απ. 2x + 4y z = 3. 2.2.42. Να υπολογιστει το εφαπτοµενο επιπεδο στην επιφανεια xy = z 2 στο σηµειο (x 0, y 0, z 0 ). Απ. xy 0 + yx 0 = 2zz 0. 2.2.43. Να υπολογιστει το εφαπτοµενο επιπεδο στην επιφανεια xyz = a 3 στο σηµειο (x 0, y 0, z 0 ),. Απ. xy 0 z 0 + yx 0 z 0 + zx 0 z 0 = 3a 3. 2.2.44. Να υπολογιστει το εφαπτοµενο επιπεδο στην επιφανεια z2 c 2 σηµειο (1, 1, 2). Απ. zz 0 xx c 2 0 + yy 0 = 1. a 2 b 2 ( ) x 2.2.45. Να δειχτει οτι αν F, z = 0, τοτε x z + y z = y y x y z. x2 a 2 2.2.46. Να δειχτει οτι αν F (x + y z, x 2 + y 2 ) = 0, τοτε x z y z = x x y y. ( ) 2.2.47. Να δειχτει οτι 2 1 = 0. 2.2.48. Να δειχτει οτι 2 ( r ) 1 r 2 = 2 r 4. 2.2.49. Να δειχτει οτι 2 (φψ) = ψ 2 φ + 2 φ ψ + φ 2 ψ. 2.2.50. Αν c ειναι σταθερο διανυσµα, να δειχτει οτι (c r) = c. 2.2.51. ινονται παραγωγισιµες συναρτησεις P (x, y), Q (x, y). Να δειχτει οτι ( φ : P (x, y) dx + Q (x, y) dy = dφ) P y = Q x + y2 b 2 = 1 στο 2.2.52. ινονται παραγωγισιµες συναρτησεις P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z). Να δειχτει οτι P = Q y x Q ( φ : P (x, y, z) dx + Q (x, y, z) dy + R (x, y, z) dz = dφ) = R. z y R = P z z
Κεφάλαιο 3 Πεπλεγµενη και Αλυσωτη Παραγωγιση 3.1 Θεωρια 3.1.1. ινεται συναρτηση φ (x, y) και υποθετουµε οτι οι x, y ειναι συναρτησεις µιας αλλης µεταβλητης t: x (t), y (t). Τοτε και η φ ειναι συναρτηση της t: φ (x (t), y (t)). Η παραγωγος της φ ως προς t λεγεται ολικη παραγωγος και ειναι dφ dt = φ dx x dt + φ dy y dt η και ( dφ dt = φ i dx ) dt + jdy. dt 3.1.2. Παροµοια, για συναρτησεις φ (x, y, z) και x (t), y (t), z (t) εχουµε dφ dt = φ dx x dt + φ dy y dt + φ dz z dt ( dφ dt = φ i dx ) dt + jdy dt + kdz. dt (3.1) 3.1.3. Παροµοια, εστω οτι δινονται συναρτησεις P (x, y),q (x, y) και υποθετουµε οτι οι x, y ειναι συναρτησεις αλλων µεταβλητων u, v: x (u, v), y (u, v). Τοτε P u = P x x u + P y y u, P v = P x x v + P y y v, Q u = Q x x u + Q y y u, (3.2) Q v = Q x x v + Q y y v (3.3) 3.1.4. Η παραπανω σχεσεις µπορουν να γραφτουν και µε συµβολισµο πινακων. ] [ ] P P ] ] [ ] P P ] x y x y =, =. [ P u Q u Q x Q y [ x u y u [ P v Q v Q x Q y [ x v y v 17
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΚΑΙ ΑΛΥΣΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 18 3.1.5. Αντιστοιχα πραγµατα ισχυουν για συναρτησεις P (x, y, z),q (x, y, z),r (x, y, z) και x (u, v, w), y (u, v, w). Τοτε P u Q u R u P v Q v R v P w Q w R w = = = P x Q x R x P x Q x R x P x Q x R x P y Q y R y P y Q y R y P y Q y R y 3.1.6. Εστω οτι P (u, v) και Q (u, v) εχουν µερικες παραγωγους πρωτης ταξης. Οριζουµε την Ιακωβιανη οριζουσα (P, Q) P P (u, v) = x y Q Q = P u P v Q u Q v = P uq v P v Q u. x y 3.1.7. Εστω οτι P (u, v, w), Q (u, v, w) και R (u, v, w) εχουν µερικες παραγωγους πρωτης ταξης. Οριζουµε την Ιακωβιανη οριζουσα (P, Q, R) (u, v, w) = P u P v P w Q u Q v Q w R u R v R w. 3.1.8. Μια ή περισσοτερες συναρτησεις µπορουν να οριστουν εµµεσα. Π.χ. η P z Q z R z P z Q z R z P z Q z R z φ (x, y, z) = 0 οριζει την z ως συναρτηση των x και y. Τοτε µπορουµε να υπολογισουµε τις z x και z y z x = φ x φ z, z x = φ y. φ z 3.1.9. Παροµοια, µπορει να µας δινονται δυο εξισωσεις της µορφης P (x, y, u, v) = 0, Q (x, y, u, v) = 0. (3.4) Κατω απο καταλληλες συνθηκες (παραγωγισιµοτητας και συνεχειας), η (3.4) προσδιοριζει τις συναρτησεις u (x, y), v (x, y) (ή, αντιστροφα, τις x (u, v), y (u, v)). Τοτε µπορουµε να υπολογισουµε τις µερικες παραγωγους u x, u x, u x, u, χωρις να χρειαστει να λυσουµε τις x εξισωσεις (3.4), ως εξησ: x u y u z u x v y v z v x w y w z w,,. u x = (P,Q) (x,v) (P,Q) (u,v), u y = (P,Q) (y,v) (P,Q) (u,v), v x = (P,Q) (u,x) (P,Q) (u,v), v y = (P,Q) (u,y) (P,Q) (u,v).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΚΑΙ ΑΛΥΣΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 19 3.1.10. Αντιστοιχα πραγµατα ισχυουν αν µας δοθουν τρεις εξισωσεις P (x, y, u, v, w) = 0, Q (x, y, u, v, w) = 0, R (x, y, u, v, w) = 0. Τοτε, κατω απο καταλληλες συνθηκες, εχουµε u x = (P,Q,R) (x,v,w) (P,Q,R) (u,v,w), v x = και µε αντιστιχο τροπο υπολογιζονται οι u, v y y (P,Q,R) (u,x,w) (P,Q,R) (u,v,w),,... κτλ. w x = (P,Q,R) (u,v,x) (P,Q,R) (u,v,w)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΚΑΙ ΑΛΥΣΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 20 3.2 Αλυτα Προβληµατα 3.2.1. Να υπολογιστει η ολικη παραγωγος της φ (x, y) = x 2 + y 2 ως προς t, οταν x (t) = t και y (t) = t2 t 2 +1. Απ. 2t (t4 +2t 2 +2). (t 2 +1) 2 3.2.2. Να υπολογιστει η για τις παρακατω περιπτωσεις f (x, y) = u 2 + v 2, u = sin t, v = t cos t. Απ. 0. 3.2.3. Να υπολογιστει η ολικη παραγωγος της φ (x, y) = cos (x + y + z) ως προς t, οταν x (t) = t, y (t) = cos t και z (t) = e t. Απ. (sin (t + cos t + e t )) (e t sin t + 1). 3.2.4. Να υπολογιστει η ολικη παραγωγος της φ (x, y) = sin (x + y 3 + z) ως προς t, οταν x (t) = t, y (t) = cos t και z (t) = t2 Απ. cos 1 t 2 +1. t 2 +1 (t3 +t 2 cos 3 t+t 2 +t+cos 3 t) ( 3 sin t 2t + 3 sin 3t + 3 (t 2 +1) 2 4 4 2 t2 sin t + 3 4 t4 sin t + 3 2 t2 sin 3t + 3 4 t4 sin 3t 2 3.2.5. Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει x2 Απ. z x = c2 x a 2 z, z y = c2 y b 2 z. a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1. 3.2.6. Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει x 2 2y 2 + z 2 4x + 2z 5 = 0. Απ. z x = 2 x z+1, z y = 2y. z+1 3.2.7. Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει z 3 + 3xyz = a 3. Απ. z x = yz, z xy+z 2 y = xz. xy+z 2 3.2.8. Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει x 2 + y 2 + z 2 6x = 0. Απ. z x = 3 x z, z y = y z. 3.2.9. Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει z 2 = xy. Απ. z x = y z, z y = x z. 3.2.10. Να υπολογιστουν φ u,φ v οταν φ (x, y) = sin (x 2 + y 3 ), x (u, v) = u + v, y (u, v) = u v. Απ. φ u = (cos (u 3 3u 2 v + u 2 + 3uv 2 + 2uv v 3 + v 2 )) (3u 2 6uv + 2u + 3v 2 + 2v), φ v = (cos (u 3 3u 2 v + u 2 + 3uv 2 + 2uv v 3 + v 2 )) ( 3u 2 + 6uv + 2u 3v 2 + 2v). 3.2.11. Να υπολογιστουν φ u,φ v οταν φ (x, y) = sin (x + y), x (u, v) = u 2 + v 2, y (u, v) = uv. Απ. φ u = (cos (u 2 + uv + v 2 )) (2u + v), φ v = (cos (u 2 + uv + v 2 )) (u + 2v). 3.2.12. Να υπολογιστουν φ u,φ v οταν φ (x, y, z) = sin (x + y + z), x (u, v) = u 2 + v 2, y (u, v) = u, z (u, v) = 1 Απ. φ u = cos 1 φ v = cos 1 u+v. u+v(u 3 +u 2 v+u 2 +uv 2 +uv+v 3 +1) u+v(u 3 +u 2 v+u 2 +uv 2 +uv+v 3 +1) (u+v) 2 (2u 3 + 4u 2 v + u 2 + 2uv 2 + 2uv + v 2 1), (u+v) 2 (2u 2 v + 4uv 2 + 2v 3 1).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΚΑΙ ΑΛΥΣΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 21 3.2.13. Να υπολογιστουν φ u,φ v, φ w οταν φ (x, y, z) = e x+y+z, x (u, v, w) = w 2, y (u, v, w) = u + v, z (u, v, w) = u v. Απ. w e w2 +u+v+u v = φ u = 2e w2 +2u, φ v = 0, 2we w2 +2u. 3.2.14. Να υπολογιστουν φ u,φ v, φ w οταν φ (x, y, z) = sin (x + y + z), x (u, v, w) = w sin u cos v, y (u, v, w) = w sin u sin v, z (u, v, w) = w cos u. Απ. φ u = (cos (w cos u + w cos v sin u + w sin u sin v)) (w cos u cos v w sin u + w cos u sin v), φ v = w (cos (w cos u + w cos v sin u + w sin u sin v) sin u) (cos v sin v), φ w = (cos (w cos u + w cos v sin u + w sin u sin v)) (cos u sin v + sin u cos v + cos u). 3.2.15. Να υπολογιστουν οι u x,, v x,, u y,, v y για τις παρακατω περιπτωσεις. u 2 +v 2 = x+y και u v = x cos y 2v cos y+1 2u cos y 1 2vx sin y 1 2ux sin y+1 Απ. u x =, v 2u+2v x =, u 2u+2v y =, v 2u+2v y =. 2u+2v 3.2.16. Να υπολογιστει η Ιακωβιανη (u,v) (x,y) οταν u = x2 + y 2, v = 2xy. Απ. 4x 2 4y 2. 3.2.17. Να υπολογιστει η Ιακωβιανη (x,y) (u,v) Απ. (x,y) = cos v u sin v (u,v) sin v u cos v και την (u,v) (x,y) = u, (u,v) (x,y) = 1 u. αν x = u cos v, y = u sin v. 3.2.18. Να υπολογιστει η Ιακωβιανη (u,v) (x,y) αν u = 3x2 xy, v = 2xy 2 + y 3. Απ. 24x 2 y + 16xy 2 3y 3. 3.2.19. Να υπολογιστει η Ιακωβιανη (u,v) x+y αν u = (x,y) 1 xy, v = tan 1 x + tan 1 y. y (x + y) 1 x (x + y) 1 (xy 1) Απ. 2 xy 1 (xy 1) 2 xy 1 1 = 0. 1 x 2 +1 y 2 +1 3.2.20. Να υπολογιστει η Ιακωβιανη (x,y,z) (u,v,w) αν x = u v+w, y = u2 v 2 w 2, z = u 3 +v Απ. 6wu 2 + 2u + 6u 2 v + 2w 3.2.21. Να υπολογιστει η Ιακωβιανη (x,y,z) αν x = u cos v sin w, y = u sin v sin w, z = (u,v,w) u cos w Απ. u 2 sin w. 3.2.22. Να υπολογιστει η Ιακωβιανη (u,v,w) (x,y,z) αν u = x2 y, v = zx, w = x + y + z Απ. 2x 2 y zx 2 + x 3. 3.2.23. ειξτε οτι η συναρτηση z = arctan x y ικανοποιει z u+z v = u v οταν x = u+v, y = u 2 +v 2 u v. 3.2.24. ειξτε οτι η συναρτηση φ ( y x) ικανοποιει xzx + yz y = 0. 3.2.25. ειξτε οτι η συναρτηση φ (x 2 + y 2 ) ικανοποιει yφ x xφ y = 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΚΑΙ ΑΛΥΣΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 22 3.2.26. ειξτε οτι η συναρτηση z = y φ(x 2 y 2 ) ικανοποιει 1 x φ x + 1 y φ y = 0. 3.2.27. ειξτε οτι η συναρτηση x k φ ( z x, y x) ικανοποιει xφx + yφ y + zφ z = kφ. 3.2.28. ειξτε οτι αν z = yφ (x 2 y 2 ) τοτε 1 x z x + 1 y z y = z y 2. 3.2.29. ειξτε οτι αν z = xφ (x + y) + yψ (ξ + y) τοτε z xx 2z xy z yy = 0. 3.2.30. ειξτε οτι αν x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, τοτε u xx + u yy = 1 ρ 2 u ρρ + u φφ.
Κεφάλαιο 4 Συστηµατα Συντεταγµενων 4.1 Θεωρια 4.1.1. Στο Κεφαλαιο 1 προσδιορισαµε την ϑεση ενος σηµειου στον χωρο χρησιµοποιωντας τις Καρτεσιανες συντεταγµενες (x, y, z). Σε πολλες εφαρµογες (π.χ. στον υπολογισµο ολοκληρωµατων) ειναι πιο ϐολικο να χρησιµοποιησουµε αλλα συστηµατα συντεταγµενων. Π.χ. στο λογισµο συναρτησεων µιας µεταβλητης εχουµε χρησιµοποιησει τις πολικες συντεταγµενες. Στο παρον κεφαλαιο ϑα εξετασουµε διαφορα συστηµατα συντεταγµενων. 4.1.2. Πολικες Συντεταγµενες. Εστω ενα σηµειο M στον R 2 µε Καρτεσιανες συντεταγµενες (x, y). Το M µπορει να προσδιοριστει και µε τις πολικες συντεταγµενες (ρ, θ) (δες Σχ.5.1). Ισχυουν οι σχεσεις και reate PF files without this message by purchasing novapf printer (http://www.novapdf.com) Σχηµα 5.1 x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z = 0 ρ = x 2 + y 2, θ = tan 1 y x, z = 0. Το στοιχειωδες εµβαδον µετασχηµατιζεται σε πολικο συστηµα συντεταγµενων ως εξης (x, y) d = dxdy = (ρ, θ) dρdθ = cos θ ρ sin θ sin θ ρ cos θ dρdθ = ρdρdθ. 23
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 24 4.1.3. Κυλινδρικες Συντεταγµενες. Εστω ενα σηµειο M στον R 3 µε Καρτεσιανες συντεταγµενες (x, y, z). Το M µπορει να προσδιοριστει και µε τις κυλινδρικες συντεταγµενες (ρ, θ, z) (δες Σχ.5.2). Ισχυουν οι σχεσεις και reate PF files without this message by purchasing novapf printer (http://www.novapdf.com) Σχηµα 5.2 x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z = z ρ = x 2 + y 2, θ = tan 1 y x, z = z. Ο στοιχειωδης ογκος µετασχηµατιζεται σε κυλινδρικο συστηµα συντεταγµενων ως εξης (x, y, z) dv = dxdydz = (ρ, θ, z) dρdθ = cos θ ρ sin θ 0 sin θ ρ cos θ 0 dρdθdz = ρdρdθdz. 0 0 1 4.1.4. Σφαιρικες Συντεταγµενες. Εστω ενα σηµειο M στον R 3 µε Καρτεσιανες συντεταγµενες (x, y, z). Το M µπορει να προσδιοριστει και µε τις σφαιρικες συντεταγµενες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 25 (r, θ, φ) (δες Σχ.5.3). reate PF files without this message by purchasing novapf printer (http://www.novapdf.com) Σχηµα 5.3 Ισχυουν οι σχεσεις και x = r cos θ sin φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos φ r = x 2 + y 2 + z 2, φ = tan 1 y x, θ = cos 1 z r. Ο στοιχειωδης ογκος µετασχηµατιζεται σε κυλινδρικο συστηµα συντεταγµενων ως εξης (x, y, z) dv = dxdydz = (r, θ, φ) drdθdφ = cos θ sin φ sin θ sin φ cos φ r sin θ sin φ r cos θ sin φ 0 r cos θ cos φ r sin θ cos φ r sin φ drdθdφ = r2 sin φdrdθdφ. 4.1.5. Τα προηγουµενα ηταν ειδικα παραδειγµατα. Στην γενικη περιπτωση εισαγουµε µεταβλητες u, v, w τετοιες ωστε να ισχυει x = f (u, v, w), y = g (u, v, w), z = h (u, v, w). Τοτε σε καθε σηµειο (x, y, z) αντιστοιχει το διανυσµα ϑεσης r µε αναπαρασταση r =xi + yj + zk = x (u, v, w) i + y (u, v, w) j+z (u, v, w) k και το διαφορικο διανυσµα ϑεσης ειναι Αν τωρα ορισουµε a = r u, dr = r r r du + dv + dw. (4.1) u v w b = r v, c = r w (4.2)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 26 ϑα εχουµε r u = am, r v = bn, οπου τα m, n, p ειναι µοναδιαια διανυσµατα : m = Απο τις (4.1) (4.4) παιρνουµε r u r u r w = cp, (4.3) r r, n = v r, p = w r. (4.4) v dr = amdu + bndv + vpdw και ϐλεπουµε οτι τα m, n, p παιζουν τον ϱολο των i, j, k στο νεο συστηµα συντεταγµενων. Επισης ο στοιχειωδης ογκος ειναι dv = dxdydz = w (x, y, z) (u, v, w) dudvdw.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 27 4.2 Αλυτα Προβληµατα 4.2.1. Ποιες ειναι οι κυλινδρικες και σφαιρικες συντεταγµενες του σηµειου µε ορθογωνιες συντεταγµενες (1, 0, 0); Απ. (1, 0, 0), (1, π/2, 0) 4.2.2. Ποιες ειναι οι κυλινδρικες και σφαιρικες συντεταγµενες του σηµειου µε ορθογωνιες συντεταγµενες ( (1, 1, ) 1); ( ) Απ. 2, π/4, 1, 3, arctan 2, π/4 4.2.3. Ποιες ειναι οι κυλινδρικες και σφαιρικες συντεταγµενες του σηµειου µε ορθογωνιες συντεταγµενες (1, 2, 3); ( ) ( 14, ) Απ. 5, arctan 2, 3, arctan 5 0, arctan 2 3 4.2.4. Ποιες ειναι οι κυλινδρικες και ορθογωνιες συντεταγµενες του σηµειου µε σφαιρικες συντεταγµενες (3, 0, π/3); Απ. (0, 0, 3), (0, 0, 3). 4.2.5. Ποιες ειναι οι κυλινδρικες και ορθογωνιες συντεταγµενες του σηµειου µε σφαιρικες συντεταγµενες ( (1, π/4, π/3); ) ( ) Απ. 2/2, π/3, 2/2, 2/4, 6/4, 2/2. 4.2.6. Ποιες ειναι οι σφαιρικες και ορθογωνιες συντεταγµενες του σηµειου µε κυλινδρικες συντεταγµενες ( (1, 0, 3); ) Απ. 10, arctan (1/3), 0, (1, 0, 3) 4.2.7. Ποιες ειναι οι σφαιρικες και ορθογωνιες συντεταγµενες του σηµειου µε κυλινδρικες συντεταγµενες ( (1, π/4, 1); ) ( ) Απ. 2/2, 2/2, 1, 2/2, π/4, π/4. 4.2.8. Βρειτε τον στοιχειωδη ογκο στο συστηµα συντεταγµενων x = u + v, y = u v, z = w. 1 1 0 Απ. dv = 1 1 0 dudvdw = 2dudvdw. 0 0 1 4.2.9. Βρειτε τον στοιχειωδη ογκο και τα µοναδιαια διανυσµατα m, n, p (ελεγξτε οτι ειναι ορθογωνια) στο συστηµα συντεταγµενων x = u cos v, y = u sin v, z = w. cos v u sin v 0 Απ. dv = sin v u cos v 0 dudvdw = ududvdw 0 0 1 4.2.10. Βρειτε τον στοιχειωδη ογκο στο συστηµα συντεταγµενων x = u2 v 2, y = uv, 2 z = w. u v 0 Απ. dv = v u 0 0 0 1 dudvdw = (u2 + v 2 ) dudvdw.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 28 4.2.11. Βρειτε τον στοιχειωδη ογκο και τα µοναδιαια διανυσµατα m, n, p (ελεγξτε οτι ειναι ορθογωνια) στο συστηµα συντεταγµενων x = uv cos(w), y = uv sin(w), z = u2 v 2. 2 Απ. dv = cos (w) v u cos (w) u sin (w) v sin (w) v u sin (w) u cos (w) v dudvdw u v 0 = ( u 3 v cos 2 w + u 3 v sin 2 w + uv 3 cos 2 w + uv 3 sin 2 w ) dudvdw. 4.2.12. Βρειτε τον στοιχειωδη ογκο στο συστηµα συντεταγµενων x = cosh u sin v cos w, y = sinh u sin v sin w, z = sinh u. sinh (u) sin (v) cos (w) cosh (u) cos (v) cos (w) cosh (u) sin (v) sin (w) Απ. dv = sinh (u) sin (v) sin (w) cosh (u) cos (v) sin (w) cosh (u) sin (v) cos (w) cosh (u) cos (v) sinh (u) sin (v) 0 dudvdw. u 4.2.13. Βρειτε τον στοιχειωδη ογκο στο συστηµα συντεταγµενων x =, y = u 2 +v 2 +w v w 2, z =. u 2 +v 2 +w 2 u 2 +v 2 +w 2 Απ. u 2 +v 2 +w 2 uv uw 2 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 dv = uv u 2 2 v 2 +w 2 vw 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 dudvdw uw vw u 2 2 2 +v 2 w 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 (u 2 +v 2 +w 2 ) 2 dudvdw = u 6 + 3u 4 v 2 + 3u 4 w 2 + 3u 2 v 4 + 6u 2 v 2 w 2 + 3u 2 w 4 + v 6 + 3v 4 w 2 + 3v 2 w 4 + w. 6 4.2.14. Βρειτε τον στοιχειωδη ογκο στο συστηµα συντεταγµενων x = uv sin w, z = u2 v 2. (u 2 +v 2 ) 2 (u 2 +v 2 ) 2 Απ. dv = cos(w)v (u 2 +v 2 ) 2 4 u2 cos(w)v (u 2 +v 2 ) 3 4 u cos(w)v2 (u 2 +v 2 ) 3 + u cos(w) (u 2 +v 2 ) 2 u sin(w)v (u 2 +v 2 ) 2 sin(w)v 4 u2 sin(w)v 4 u sin(w)v2 + u sin(w) u cos(w)v (u 2 +v 2 ) 2 (u 2 +v 2 ) 3 (u 2 +v 2 ) 3 (u 2 +v 2 ) 2 (u 2 +v 2 ) 2 2 u (u 2 +v 2 ) 2 4 (u2 v 2 )u (u 2 +v 2 ) 3 2 v (u 2 +v 2 ) 2 4 (u2 v 2 )v (u 2 +v 2 ) 3 0 uv cos w, y = (u 2 +v 2 ) 2 dudvdw.
Κεφάλαιο 5 Σειρες T aylor και Ακροτατα Συναρτησεων 5.1 Θεωρια 5.1.1. Οπως ακριβως µια συναρτηση µιας µεταβλητης µπορει να αναπτυχθει σε σειρα T aylor γυρω απο το σηµειο x 0, ετσι και µια συναρτηση δυο µεταβλητων µπορει να αναπτυχθει σε σειρα T aylor γυρω απο το σηµειο (x 0, y 0 ). Ο τυπος για την σειρα T aylor της φ (x, y) γυρω απο το (x 0, y 0 ) ειναι φ (x, y) = φ (x 0, y 0 ) + φ x (x 0, y 0 ) 1! + φ xx (x 0, y 0 ) 2! + φ xxx (x 0, y 0 ) 3! + 3φ xyy (x 0, y 0 ) 3! (x x 0 ) + φ y (x 0, y 0 ) 1! (x x 0 ) 2 + 2φ xy (x 0, y 0 ) 2! (x x 0 ) 3 + 3φ xxy (x 0, y 0 ) 3! (x x 0 ) (y y 0 ) 2 + φ yyy (x 0, y 0 ) 3! (y y 0 ) (5.1) (x x 0 ) (y y 0 ) + φ yy (x 0, y 0 ) (y y 0 ) 2 2! (x x 0 ) 2 (y y 0 ) (y y 0 ) 3 +... Η δοµη του αναπτυγµατος γινεται καλυτερα κατανοητη µε χρηση των διαφορικων τελεστων x, y (οπου x φ = φ x, y φ = φ y ). Τοτε οπου φ (x, y) = n=0 ((x x 0 ) x + (y y 0 ) y ) n φ n! k x l yφ = φ x...xy...y (x 0, y 0 ), δηλ. η µερικη παραγωγος της φ, ταξεως k ως προς x και l ως προς y, υπολογισµενη στο σηµειο (x, y) = (x 0, y 0 ). 29
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ T Y LOR ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 30 5.1.2. Για σειρα MacLaurin, δηλ. για x 0 = y 0 = 0 ο τυπος (5.1) γινεται φ (x, y) = φ (x 0, y 0 ) + φ x (x 0, y 0 ) 1! + φ xx (x 0, y 0 ) x 2 + 2φ xy (x 0, y 0 ) 2! 2! + φ xxx (x 0, y 0 ) x 3 + 3φ xxy (x 0, y 0 ) 3! 3! x + φ y (x 0, y 0 ) y 1! xy + φ yy (x 0, y 0 ) y 2 2! x 2 y + 3φ xyy (x 0, y 0 ) 3! xy 2 + φ yyy (x 0, y 0 ) y 3 +... 3! 5.1.3. Αντιστοιχα, για συναρτηση φ (x, y, z), η σειρα T aylor γυρω απο το (x 0, y 0, z 0 ) ειναι φ (x, y, z) = φ (x 0, y 0, z 0 ) + φ x (x 0, y 0, z 0 ) (x x 0 ) + φ x (x 0, y 0, z 0 ) 1! 1! + φ xx (x 0, y 0, z 0 ) (x x 0 ) 2 + φ yy (x 0, y 0, z 0 ) 2! 2! + 2φ xy (x 0, y 0, z 0 ) (x x 0 ) (y y 0 ) + 2φ yz (x 0, y 0, z 0 ) 2! 2! + 2φ zx (x 0, y 0, z 0 ) (z z 0 ) (x x 0 ) +... 2! (y y 0 ) + φ x (x 0, y 0, z 0 ) 1! (y y 0 ) 2 + φ zz (x 0, y 0, z 0 ) 2! (z z 0 ) (y y 0 ) (z z 0 ) + (y y 0 ) 2 5.1.4. Εστω παραγωγισιµη συναρτηση φ (x, y). Αυτη µπορει να παρουσιαζει ενα τοπικο µεγιστο η ελαχιστο στο σηµειο (x 0, y 0 ). Για να συµβαινει αυτο, αναγκαια συνθηκη ειναι φ x (x 0, y 0 ) = φ y (x 0, y 0 ) = 0. (5.2) Εφοσον ικανοποιειται η (5.2), λεµε οτι το (x 0, y 0 ) ειναι στασιµο σηµειο της φ (x, y). Τα στασιµα σηµεια ταξινοµουνται ως εξης. 1. Εχουµε τοπικο µεγιστο ανν φ xx (x 0, y 0 ) φ xy (x 0, y 0 ) φ yx (x 0, y 0 ) φ yy (x 0, y 0 ) > 0 και φ xx (x 0, y 0 ) < 0. 2. Εχουµε τοπικο ελαχιστο ανν φ xx (x 0, y 0 ) φ xy (x 0, y 0 ) φ yx (x 0, y 0 ) φ yy (x 0, y 0 ) > 0 και φ xx (x 0, y 0 ) > 0. 3. Εχουµε σαγµατικο σηµειο ανν φ xx (x 0, y 0 ) φ xy (x 0, y 0 ) φ yx (x 0, y 0 ) φ yy (x 0, y 0 ) < 0. 4. εν µπορουµε να ταξινοµησουµε το σηµειο (χρησιµοποιωντας µονο παραγωγους πρωτης και δευτερης ταξης) ανν φ xx (x 0, y 0 ) φ xy (x 0, y 0 ) φ yx (x 0, y 0 ) φ yy (x 0, y 0 ) = 0. 5.1.5. Παροµοια πραγµατα ισχυουν για συναρτηση τριων µεταβλητων φ (x, y, z) η και N µεταβλητων φ (x 1, x 2,..., x N ). Σε αυτη την περιπτωση τα κριτηρια για αναγκαια συν- ϑηκη µεγιστου η ελαχιστου ειναι αρκετα πολυπλοκα, αλλα η αναγκαια συνθηκη (για την υπαρξη στασιµου σηµειου µεγιστου, ελαχιστου η σαγµατικου) ειναι φ x (x 0, y 0, z 0 ) = φ y (x 0, y 0, z 0 ) = φ z (x 0, y 0, z 0 ) = 0
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ T Y LOR ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 και αντιστοιχα. φ x1 = φ x2 =... = φ xn = 0 5.1.6. Εστω παραγωγισιµη συναρτηση φ (x, y, z). Για να ϐρουµε τοπικα µεγιστα η ε- λαχιστα της φ (x, y, z) υπο τον περιορισµο σχηµατιζουµε την ϐοηθητικη συναρτηση ψ (x, y, z) = 0 ω (x, y, z, λ) = φ (x, y, z) + λψ (x, y, z) και ϐρισκουµε τα µεγιστα / ελαχιστα αυτης χωρις περιορισµους. 5.1.7. Παροµοια, εστω παραγωγισιµη συναρτηση φ (x 1, x 2,..., x N ). Για να ϐρουµε τοπικα µεγιστα η ελαχιστα της φ (x, y, z) υπο τους περιορισµους σχηµατιζουµε την ϐοηθητικη συναρτηση ψ 1 (x 1, x 2,..., x N ) = 0,..., ψ M (x 1, x 2,..., x N ) = 0 ω (x 1, x 2,..., x N, λ 1,..., λ M ) = φ (x 1, x 2,..., x N ) + M λ m ψ m (x 1, x 2,..., x N ) m=1 και ϐρισκουµε τα µεγιστα / ελαχιστα αυτης χωρις περιορισµους.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ T Y LOR ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 32 5.2 Αλυτα Προβληµατα 5.2.1. Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = e x+y γυρω απο το σηµειο (0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 3ης ταξης. Απ. 1 + x + y + 1 2 x2 + xy + 1 2 y2 + 1 6 x3 + 1 2 x2 y + 1 2 xy2 + 1 6 y3 +... 5.2.2. Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = e x+y γυρω απο το σηµειο (1, 2). Βρειτε τους ορους µεχρι και 3ης ταξης. Απ. e 3 +e 3 x+e 3 y + e 3 2 x2 +e 3 xy + e 3 2 y2 + e 3 6 x3 + e 3 2 x2 y + e 3 2 xy2 + e 3 6 y3 +... 5.2.3. Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = sin (x 2 + y 2 ) γυρω απο το σηµειο (0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 6ης ταξης. Απ. 1 1 6 x6 1 2 x4 y 2 1 2 x2 y 4 1 6 y6 +... 5.2.4. Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = x 2 y sin (x 2 + y 2 ) γυρω απο το σηµειο (0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 9ης ταξης. Απ. x 2 y 1 6 x8 y 1 2 x6 y 3 1 2 x4 y 5 1 6 x2 y 7 +... 5.2.5. Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = 21x + 42y 6xy 12y 2 + 4y 3 109 γυρω απο το σηµειο (5, 1). Βρειτε ολους τους ορους. Απ. 15 (x 5) 6 (x 5) (y 1) + 4 (y 1) 3. 5.2.6. Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = 1 1+x 2 +y 2 γυρω απο το σηµειο (0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 8ης ταξης. Απ. 1 x 6 3x 4 y 2 + x 4 3x 2 y 4 + 2x 2 y 2 x 2 y 6 + y 4 y 2 +.... 5.2.7. Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = sin x sin y γυρω απο το σηµειο (π/4, π/4). Βρειτε τους ορους µεχρι και 2ης ταξης. Απ. 1+ 1 (x π/4)+ 1 (y π/4) 1 (x 2 2 2 4 π/4)2 1 (y 4 π/4)2 + 1 (x π/4) (y π/4)+ 2... 5.2.8. Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = e x sin y γυρω απο το σηµειο (0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 3ης ταξης. Απ. y + xy + 1 2 x2 y 1 6 y3 +... 5.2.9. Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = e x ln (1 + y) γυρω απο το σηµειο (0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 3ης ταξης. Απ. y 1 2 y2 + xy + 1 2 x2 y 1 2 xy2 + 1 3 y3 +... 5.2.10. Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = cos x γυρω απο το σηµειο 1+x 2 +y 2 ( 1, 2). Βρειτε τους ορους µεχρι και 8ης ταξης. Απ. 1 1 24 x10 1 8 x8 y 2 + 13 24 x8 1 8 x6 y 4 + 19 12 x6 y 2 37 24 x6 1 24 x4 y 6 + 37 24 x4 y 4 97 24 x4 y 2 + 37 24 x4 + 1 2 x2 y 6 7 2 x2 y 4 + 5 2 x2 y 2 3 2 x2 y 6 + y 4 y 2 +.... 5.2.11. Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = 1 1 x y+xy (0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 3ης ταξης. Απ. 1 + x + y + x 2 + xy + y 2 +.... γυρω απο το σηµειο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ T Y LOR ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 33 5.2.12. Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y) = ln (1 x) ln (1 y) γυρω απο το σηµειο (0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 5ης ταξης. Απ. xy + x2 y + xy2 + x2 y 2 + x2 y 3 + x3 y 2 +.... 2 2 4 6 6 5.2.13. Να υπολογιστει η σειρα T aylor (γυρω απο το (1, 1) ) της z (x, y) η οποια οριζεται εµµεσα απο τη σχεση z 3 + yz xy 2 x 3 = 0. Βρειτε τους ορους µεχρι και 2ης ταξης. Απ. 1 + (x 1) + 1 (y 1) 1 9 (x 1) (y 1) + (y 4 8 64 1)2 +.... 5.2.14. Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y, z) = sin (x + y + z) γυρω απο το σηµειο (0, 0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 3ης ταξης. Απ. x + y + z 1 6 x3 1 2 x2 y 1 2 x2 z 1 2 xy2 xyz 1 2 xz2 1 6 y3 1 2 y2 z 1 2 yz2 1 6 z3 +.... 5.2.15. Να υπολογιστει η σειρα T aylor της F (x, y, z) = 1 1+x+y+z (0, 0, 0). Βρειτε τους ορους µεχρι και 2ης ταξης. Απ. 1 x y z + x 2 + 2xy + 2xz + y 2 + 2yz + z 2 +.... γυρω απο το σηµειο 5.2.16. Να ϐρεθουν και να χαρακτηριστουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = 2xy x 2 2y 2 + 3x + 4 Απ. Υπαρχει µεγιστο στο (3, 3/2). 5.2.17. Να ϐρεθουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = 2x 3 + xy 2 + 5x 2 + y 2 Απ. Στασιµα σηµεια (0, 0), ( 5/3, 0), ( 1, 2), ( 1, 2). 5.2.18. Να ϐρεθουν και να χαρακτηριστουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = 8x 3 + y 3 12xy + 8 Απ. Μεγιστο (8) στο (1, 2) και ελαχιστο (0) στο (0, 0). 5.2.19. Να ϐρεθουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = xy (a x y) Απ. Στασιµα σηµεια (0, 0), (0, a), (a, 0), ( a 3, a 3). 5.2.20. Να ϐρεθουν και να χαρακτηριστουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = 2x 2 + y 2 2xy 4x + 3 Απ. Ελαχιστο ( 1) στο (2, 2). 5.2.21. Να ϐρεθουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = (2ax x 2 ) (2by y 2 ) Απ. Στασιµα σηµεια (0, 0), (0, 2b), (2a, 0), (a, b), (2a, 2b). 5.2.22. Να ϐρεθουν και να χαρακτηριστουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = x 4 4xy + 2y 2 5. Απ. Στασιµα σηµεια τα (0, 0), ( 1, 1), (1, 1). 5.2.23. Να ϐρεθουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = x 2 + xy + y 2 + a3 Απ. Ελαχιστο στο ( a/ 3 3, a/ 3 3 ). + a2 x y 5.2.24. Να ϐρεθουν και να χαρακτηριστουν τα στασιµα σηµεια της F (x, y) = 13x 2 + 16xy + 7y 2 + 10x + 2y 5 Απ. Ελαχιστο στο ( 1, 1).