Η στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 5 Απριλίου 26 1/5 Ν:9 ο Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σ. Σύμβουλο Μαθηματικών Τα Μαθηματικά των Αραίων Ελλήνων Η σολή της Ιωνίας - Αναφορά στο έργο του Θαλή Γενικά Συνείζοντας την αναφορά μας στη σολή της Ιωνίας και στον πρώτο Έλληνα μαθηματικό και φιλόσοφο, το Θαλή, θα αναφερθούμε πιο αναλυτικά σε μερικά επιτεύγματα, απόψεις και ιδέες που αποδίδονται σ αυτόν και τη σολή του, τα οποία είναι γνωστά κυρίως από την παράδοση καθώς και από ιστορικούς που έζησαν πολύ αργότερα από την εποή του. Ως γνωστό η Μίλητος στις αρές του 6ου π.χ. αιώνα υπήρξε ένα από τα πλέον ανθηρά εμπορικά κέντρα στα παράλια της Μικράς Ασίας, και ήταν ο τόπος όπου συντελέστηκαν οι καρποφόρες επαφές μεταξύ Ανατολής και Δύσης. Στο «μεταθανάτιο»» διάλογό του με τίτλο Επινομίς, ο Πλάτων περιγράφει τη σέση Ελλήνων με τους αραίους ανατολικούς πολιτισμούς με τον εξής εντυπωσιακό τρόπο: «οτιδήποτε παραλάμβαναν οι Έλληνες από τους ξένους, το μετατρέπουν τελικώς σε κάτι καλύτερο» (987e). Εξάλλου δεν είναι τυαίο ότι οι Ίωνες ήταν οι πρώτοι λαμπαδηφόροι του ελληνικού πολιτισμού. Επί πολλά ρόνια υπήρξαν υπήκοοι των βασιλέων της Λυδίας και της Περσίας. Έτσι επηρεάστηκαν από τον ανατολικό πολιτισμό. Το ίδιο συμβαίνει και με τη σέση των Ιώνων με τον Αιγυπτιακό πολιτισμό. Ο Θαλής και ο Πυθαγόρας, ο Δημόκριτος και ο Εύδοξος αναφέρεται ότι ταξίδεψαν όλοι στην Αίγυπτο και στη Βαβυλώνα. Ο Θαλής υπήρξε πνεύμα καθολικό και φιλοσοφικό. Διαδραμάτιζε ενεργό ρόλο στην έντονη πολιτικοοικονομική ζωή στην Ιωνία της εποής του. Αναφέρεται ότι απέκτησε μεγάλη περιουσία από το εμπόριο του λαδιού και ότι διάνοιξε νέα κοίτη σε ένα ποταμό για να διευκολύνει τη διάβαση του στρατού του Κροίσου(Ηρόδοτος Ι,75). Συμβούλευε, ωστόσο, τους συμπολίτες του να μην συμμαήσουν με τον Κροίσο αργότερα μάλιστα επιείρησε να ιδρύσει μια συνομοσπονδία των ιωνικών πόλεων με πρωτεύουσα την πόλη Τέω(Ηρόδοτος Ι, 17). Η πρόβλεψη της έκλειψης του Ηλίου το 585 π.χ. Το 612 π.χ. οι Μήδοι κατέστρεψαν τη Νινευή. Όταν επιείρησαν να προωθηθούν μακρύτερα προς τη δύση, ο Αλυάτης βασιλιάς της Λυδίας έσπευσε να τους συναντήσει με ίωνες στρατιώτες. Η μάη στον ποταμό Άλυν διακόπηκε απότομα εξαιτίας της έκλειψης ηλίου το 585 π.χ., που είε προβλέψει ο Θαλής ο Μιλήσιος. «Την ημέραν εξαπίνης νύκτα γενέσθαι», γράφει ο Ηρόδοτος(Ιστορίαι Α 74,2). Οι στρατιώτες τρόμαξαν από το γεγονός αυτό και ήταν απρόθυμοι να συνείσουν τη μάη και έτσι, οι αντιμαόμενες δυνάμεις, στις οποίες περιλαμβάνονταν η Κιλικία και η Βαβυλώνα, συνήψαν συνθήκη. Από την εποή αυτή και μετά υπήρε ισορροπία ανάμεσα στις τρεις μεγάλες αυτοκρατορίες, τη Λυδία, τη
Η στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 5 Απριλίου 26 2/5 Μηδία και τη Νέα Βαβυλωνιακή αυτοκρατορία που ιδρύθηκε από τους βασιλείς της Χαλδαίας. Το γεγονός ότι ο Θαλής πρόβλεψε την έκλειψη του ηλίου την εποή εκείνη αποδεικνύει ότι ήταν γνώστης της Βαβυλωνιακής αστρονομίας διότι σήμερα είναι γνωστό ότι αστρονόμοι από την Μεσοποταμία είαν προβλέψει με επιτυία περί το 7 π.χ. εκλείψεις του ηλίου καθώς και της σελήνης. «Είτε ο Ήλιος των Ελλήνων, είτε ο θεός Ρα των Αιγυπτίων, το φωτεινό αστέρι της μέρας δεν κάνει διακρίσεις, συμπεριφέρεται προς όλα τα αντικείμενα του κόσμου με τον ίδιο τρόπο. Είναι αυτό που, αργότερα στην Ελλάδα, ονομάστηκε δημοκρατία». (Από το βιβλίο του Denis Guetj, Το θεώρημα του Παπαγάλου, μετάφραση Τεύκρου Μιαηλίδη, σελ. 5) Το ύψος της μεγάλης πυραμίδας του Χέοπα Πάρα πολλά έουν γραφεί για τον τρόπο με τον οποίο ο Θαλής κατάφερε να υπολογίσει το ύψος της μεγάλης πυραμίδας του Χέοπα, η οποία είναι κτισμένη στην πεδιάδα της Γκίζας, δίπλα στις όθες του ποταμού Νείλου, κοντά στο σημερινό Κάϊρο της Αιγύπτου. Αξίζει να δούμε λοιπόν με ποιο τρόπο ο Θαλής, σύμφωνα με σημερινή άποψη των περισσοτέρων, μέτρησε το ύψος της πυραμίδας αυτής. Πρέπει, πρώτα απ όλα, να αναφέρουμε ότι ο προσανατολισμός της πυραμίδας είναι τέτοιος, ώστε οι Η μεγάλη πυραμίδα του Χέοπα τέσσερις παράπλευρες έδρες να δείνουν με ακρίβεια τα τέσσερα σημεία του ορίζοντα. Δηλαδή Ανατολή Δύση, και Βορρά Νότο. Αν σ αυτό προσθέσουμε και την πληροφορία ότι το γεωγραφικό πλάτος στο οποίο βρίσκεται η πυραμίδα αυτή είναι 3 ο βόρεια του Ισημερινού, τότε σύμφωνα με τις σημερινές γνώσεις της Αστρονομίας η σκιά ενός αντικειμένου έει κατά τη διάρκεια του έτους τη δική της συμπεριφορά. Έτσι λοιπόν στην περιοή αυτή δύο φορές το ρόνο συμβαίνει η σκιά ενός δέντρου για παράδειγμα να ισούται με το ύψος του και μάλιστα κατά τη στιγμή κατά την οποία ο ήλιος μεσουρανεί, δηλαδή το μεσημέρι. Οι μέρες αυτές για την περιοή που αναφερόμαστε είναι οι 2 Ιανουαρίου και η 21 Νοεμβρίου. Είναι οι ημερομηνίες κατά τις οποίες ο Θαλής σύμφωνα με την άποψη αυτή μέτρησε το ύψος της πυραμίδας. Προσθέτουμε ακόμα ότι από τη στιγμή του ειμερινού ηλιοστασίου(21 Δεκεμβρίου) μέρι και τη στιγμή του θερινού ηλιοστασίου(21 Ιουνίου) ο Ήλιος στη περιοή αυτή έει κλίση ως προς τον ορίζοντα, η οποία μεταβάλλεται από την τιμή των 36 ο 33 μέρι και την τιμή των 83 ο 27. Τα όρια αυτά ποικίλουν ανάλογα με το γεωγραφικό πλάτος του τόπου.( αυτό δεν θα μπορούσε να συμβεί για γεωγραφικά πλάτη μεγαλύτερα των 68 ο και μικρότερα των 21 ο στο βόρειο ημισφαίριο ή αντίστοια στο νότιο. (Τα όρια αυτά σύμφωνα με τη σφαιρική αστρονομία προκύπτουν από τον τύπο φ max,min = 9 o -φ ± 23 ο 27 όπου 23 ο 27
Η στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 5 Απριλίου 26 3/5 είναι η γωνία που σηματίζει η εκλειπτική με τον ουράνιο ισημερινό, η γνωστή ως λόξωση της εκλειπτικής στην οποία οφείλονται οι τέσσερις εποές του έτους.) Μια μέρα λοιπόν από αυτές τις δύο κατά τις οποίες, όπως αναφέραμε, ο ήλιος στο μεσουράνημά του σημάτιζε σκιά ίση με το ύψος του αντικειμένου που φώτιζε, ο Θαλής μέτρησε τη σκιά ΕΣ που έρινε ένας κατακόρυφος πάσσαλος ο ΘΣ.(Σήμα 1) Η σκιά του πασσάλου ήταν ίση με το ύψος του πασσάλου δηλαδή ΕΣ=ΘΣ. (Σήμα 1). Έτσι σκέφτηκε ότι και η σκιά της πυραμίδας έπρεπε να είναι ίση με το ύψος της πυραμίδας, δηλαδή ΟΚ=ΚΜ. Όμως επειδή η πυραμίδα δεν έει τόσο απλή μορφή όπως ένας πάσσαλος αλλά εδράζεται σε ένα τετράγωνο, το ΑΒΓΔ, με πλευρά ίση με 232 μέτρα, αφού μέτρησε τη σκιά ΜΛ, που έβλεπε, πρόσθεσε στη συνέεια Ο Νότος Γ Δ Ανατολή Κ Δύση Θ Α Λ Β Σ Ε Μ Βορράς Υψος=ΟΚ=ΚΛ+ΛΜ =ΒΔ/2+ΛΜ =116+31 =147μέτρα Σήμα 1 και το μισό του 232 (δηλαδή το μήκος ΚΛ το οποίο βρήκε από το μισό της πλευράς της βάσης ΒΔ). Έτσι κατέληξε στο να μετρήσει το ύψος της μεγάλης πυραμίδας το οποίο είναι περίπου 147 μέτρα. Σήμερα βέβαια η πυραμίδα αυτή έει ύψος 1 μέτρα λιγότερο, εξαιτίας της διάβρωσης των ανέμων και της άμμου. Τελικό σόλιο για το Θαλή. Ο Θαλής είναι από τους πρώτους διανοητές της Ιστορίας. Έθεσε ερωτήματα που για την εποή του ήταν πρωτόγνωρα. Για παράδειγμα: Τι είναι αυτό το οποίο σκέφτομαι; Ποια είναι η σέση ανάμεσα σε αυτό το οποίο σκέφτομαι και σ αυτό που πράγματι υπάρει; Υπάρουν πράγματα που μου διαφεύγουν; Από τι είναι φτιαγμένη η Φύση;
Η στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 5 Απριλίου 26 4/5 Τέτοιες ερωτήσεις δεν είαν ποτέ τεθεί προηγουμένως και είναι αυτές που συνείζουν με πιο δύσκολο τρόπο να απασολούν και τους σύγρονους διανοητές. Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις - ασκήσεις Λύσεις προηγουμένων προκλήσεων ασκήσεων 11. Έστω η συνάρτηση f : R R, παραγωγίσιμη στο R, με f(1)=3 και f(2)=5 και η οποία ικανοποιεί τη σέση: f '()=2+f(c) e dt (1) με c R μια σταθερή τιμή. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f. (Προτάθηκε από τον συνάδελφο Μπαζούκη Γεώργιο, Μαθηματικό Γυμνασίου Καπνοωρίου) Λύση: Προφανώς η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και συνεπώς έουμε: f ( ) (2) f ( ) e άρα: f ( ), R. Αυτό σημαίνει ότι η f είναι μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Από τη σέση (1) και από τις δοσμένες τιμές της συνάρτησης στο 1 και 2 έουμε: f '() = f(2)-f(1)+f(c) e dt (3) αν εφαρμόσουμε τώρα το θεώρημα της Μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού στο διάστημα [1,2] τότε η σέση (3) παίρνει τη μορφή: f '() = f (ξ)+f(c) e dt ή ακόμα με ξ ( f '() - f (ξ)=f(c) e dt 1,2 ) Υποθέτουμε τώρα ότι το f(c) είναι διάφορο του μηδενός και έστω ακόμα ότι: f(c) είναι θετικό, άρα τότε και το β μέλος της (4) θετικό, για θετικά. (5) Αν θεωρήσουμε στη συνέεια ένα τέτοιο ώστε 1 τότε λόγω της μονοτονίας της πρώτης παραγώγου θα είναι: f '() - f (ξ) (6) Από τη πρόταση (5) και από τη σέση (6) προκύπτει άτοπο. Άρα δεν μπορεί η υπόθεσή μας να ισύει, δηλαδή το f(c) δεν μπορεί να είναι θετικό. Όμοια δεν μπορεί να είναι αρνητικό. Άρα το f(c) =. Από τη σέση (1) τώρα έουμε ότι f ( ) 2 άρα f ( ) 2 c και από τις αρικές συνθήκες προκύπτει ότι c=1. Άρα η ζητούμενη συνάρτηση είναι η f ( ) 2 1 (4)
Η στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 5 Απριλίου 26 5/5 Για την άλλη φορά 14. Ένα κομπολόι έει 26 άντρες πάνω στις οποίες είναι γραμμένος και ένας αριθμός. Κάθε φορά που προσθέτω τους αριθμούς έξι διαδοικών αντρών βρίσκω τον ίδιο αριθμό που είναι ο 72. Αν κάποια άντρα έει τον αριθμό 3, να βρεθεί ο αριθμός που υπάρει στην τέταρτη θέση μετά απ τη άντρα αυτή.(παράπλευρο σήμα). 3Λ 3? Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. 2ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου 51 Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr