ιαµόρφωση Προβλήµατος

Γραµµικός Προγραµµατισµός ιαµόρφωση Προβλήµατος Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα

Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Γενικά Στοιχεία Γραµµικού Προγραµµατισµού 2. Μαθηµατική ιατύπωση 3. Ενδεικτικά Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων 4. Συµπεράσµατα 2

Γενικά Στοιχεία ΟΓραµµικός Προγραµµατισµός... Επιλύει, υπό ορισµένες προϋποθέσεις, το πρόβληµα κατανοµής πεπερασµένων πόρων κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο (allocation problem) Επιλέγει την στάθµη κάθε δραστηριότητας κατά τρόπο ώστε να επιτυγχάνεται η βελτιστοποίηση του αποτελέσµατος Επιχειρεί να πετύχει έναν σαφώς διατυπωµένο στόχο, οοποίος εκφράζεται µε τη βελτιστοποίηση της λεγόµενης «αντικειµενικής συνάρτησης» 3

Γενικά Στοιχεία Οι περιορισµοί... Υφίστανται τόσο στους διατιθέµενους πόρους/ αγαθά, όσο και στις απαιτούµενες στάθµες των δραστηριοτήτων εν προκαθορίζουν πλήρως ένα τρόπο ενέργειας αλλά αφήνουν περιθώρια για περισσότερες από µία εναλλακτικές δυνατότητες δράσης (λύσεις) ιακρίνονται σε: Τεχνολογικούς (που επιβάλλονται από τις δραστηριότητες) Θεσµικούς (διοικητικής και οργανωτικής φύσεως) 4

Γενικά Στοιχεία Σε Ένα Πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού... Όλες οι µεταβλητές είναι συνεχείς (εποµένως, µπορούν να λάβουν κλασµατικές τιµές) Ηαντικειµενική συνάρτηση είναι µοναδική (εκφράζοντας προβλήµατα µεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης) Ηαντικειµενική συνάρτηση και οι περιορισµοί µεταβάλλονται γραµµικά 5

Γενικά Στοιχεία ΟΓραµµικός Προγραµµατισµός Είναι Χρήσιµος ιότι... Πολλά πρακτικά προβλήµατα µπορούν να µορφοποιηθούν σε προβλήµατα γραµµικού προγραµµατισµού Υφίσταται αλγόριθµος (Simplex) ο οποίος επιτρέπει την επίλυση προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού αρκετά εύκολα 6

Γενικά Στοιχεία Περιοχές Εφαρµογής Γραµµικού Προγραµµατισµού Μίξη υλικών Προγραµµατισµός παραγωγής ιαχείριση διύλισης πετρελαίου ιανοµή Χρηµατοοικονοµικός προγραµµατισµός Προγραµµατισµός ανθρώπινου δυναµικού Προγραµµατισµός καλλιέργειας Πολιτική Αγορών & Πωλήσεων 7 και πολλές άλλες...

Γενικά Στοιχεία Ιστορική Ανασκόπηση (1/2) Αρχική εφαρµογή πραγµατοποιήθηκε στο οικονοµικό πεδίο (βέλτιστη κατανοµή συντελεστών κατανοµής) Το 1939-1940 εµφανίστηκαν προεργασίες του ΓΠ (Neumann, Leontief) Στη διάρκεια του πολέµου εφαρµόστηκε σε προβλήµατα βέλτιστης κατανοµήςπόρωνστηναεροπορίατωνηπα(wood) Ο G. Dantzig διαµόρφωσε το γενικό πρόβληµα ΓΠ και ανέπτυξε την µέθοδο Simplex (1947) Πιο πριν προβλήµατα τύπου ΓΠ είχαν διαµορφωθεί και επιλυθεί από τους Hitchcock (1941), Koopmans (1947) (πρόβληµα µεταφοράς), Stigler (1945) (πρόβληµα βέλτιστης δίαιτας, αλλά όχι ΓΠ) 8

Γενικά Στοιχεία Ιστορική Ανασκόπηση (2/2) ιαδεδοµένα πεδία εφαρµογής ιστορικά: ιυλιστήρια πετρελαίου (προβλήµατα µίξεως) Εύρεση πετρελαίου, παραγωγή & µεταφορά Βιοµηχανία χάλυβα και αλουµινίου (εύρεση κραµάτων µε επιθυµητές ιδιότητες, βέλτιστο πρόγραµµα λειτουργίας ελάστρων κατεργασίας, βέλτιστο πρόγραµµα λειτουργίας καµίνου, ελάχιστο παρασκευής µη επιθυµητών υποπροϊόντων, µέγιστο χρησιµοποίησης φτηνών Α Υλών, βέλτιστο αγοράς - αποθήκευσης - διάθεσης προϊόντων) Βιοµηχανίες επίπλων, τροφίµων, ενδυµάτων, µηχανουργεία, χυτήρια, εργοστάσια παραγωγής τµηµάτων & εξαρτηµάτων µηχανών 9

Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Αντί Ορισµού... Μια εικόνα ισοδυναµεί µε χίλιες λέξεις ή Παλιά Κινέζικη Παροιµία Ένα παράδειγµα ισοδυναµεί µε 100 σελίδες θεωρίας... Παράφραση παλιάς Κινέζικης Παροιµίας 10

Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Το Πρόβληµα 2 Ορυχείων Εταιρεία διαθέτει 2 ορυχεία που παράγουν ορυκτό το οποίο µετά από επεξεργασία καταλήγει σε τρία διαφορετικά προϊόντα διαφορετικής ποιότητας. Ηεταιρείαέχειυπογράψεισύµβαση µε πελάτη που εγγυάται την παράδοση 12 τόνων Προϊόντος Α, 8 τόνων προϊόντος Β και 24 τόνων προϊόντος Γ. Ορυχείο Ηµερήσιο Κόστος ( 000 GRD) Παραγωγή (Τόνοι / Ηµέρα) Προϊόν Α Προϊόν Β Προϊόν Γ Χ 180 6 3 4 Υ 160 1 1 6 Πόσες ηµέρες την εβδοµάδαθαπρέπειναλειτουργείτοορυχείο ώστε να µπορεί να καλύψει το συµβόλαιο του πελάτη; 11 FEO

1ος Τρόπος Επίλυσης του Προβλήµατος: Μαντεύοντας! Εργασία µίας ηµέρας στο Χ και µίας ηµέρας στο Υ 7 τόνοι Προϊόντος Α που δεν είναι αρκετοί να καλύψουν τη ζήτηση των 12 τόνων. Πρόκειται για µια αδύνατη λύση. Εργασία τεσσάρων ηµερών στο Χ και τριών ηµερών στο Υ Αυτή είναι µία αποδεκτή λύση αφού ικανοποιεί τους υφιστάµενους περιορισµούς. Παρόλα αυτά είναι µία µη αποδοτική(ακριβή) λύση. Θα µπορούσαµε να συνεχίζαµε να µαντεύουµε αναζητώντας καλύτερη λύση, αλλά ακόµα και αν βρίσκαµε τηβέλτιστηδυνατή δε θα ήµασταν σε θέση να το γνωρίζουµε! Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων 12

Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων 2ος Τρόπος Επίλυσης του Προβλήµατος: Χρησιµοποιώντας µια µαθηµατική προσέγγιση Θα πρέπει αρχικά να αναγνωρίσουµε τα παρακάτω στοιχεία: Μεταβλητές Περιορισµούς Στόχο Μεταβλητές Περιορισµοί Στόχος Αναγνωρίζοντας τα παραπάνω στοιχεία ουσιαστικά κάνουµε αυτό που ονοµάζεται µαθηµατική διατύπωση του προβλήµατος (mathematical formulation of the problem) 13

Μεταβλητές Προβλήµατος Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Μεταβλητές Μεταβλητές Περιορισµοί Περιορισµοί Στόχος Στόχος Οι µεταβλητές απεικονίζουν τις αποφάσεις που πρέπει να ληφθούν Εκφράζουν τους αγνώστους x = Αριθµός ηµερών ανά εβδοµάδα όπου λειτουργεί το Ορυχείο Χ y = Αριθµός ηµερών ανά εβδοµάδα όπου λειτουργεί το Ορυχείο Υ 14

Περιορισµοί Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Μεταβλητές Μεταβλητές Περιορισµοί Περιορισµοί Στόχος Στόχος ιευκολύνει η αρχική έκφραση των περιορισµών µε λόγιακαιη µετέπειτα µετάφρασή τους σε µαθηµατικές σχέσεις Περιορισµοί παραγωγής µεταλλεύµατος: Ισοστάθµισητουόγκουπαραγωγήςπροϊόντων µετοναπαιτούµενο από τον πελάτη όγκο προϊόντων Προϊόν Α: 6x + 1y >= 12 Προϊόν Β: 3x + 1y >= 8 Προϊόν Γ: 4x + 6y >= 24 15

Στόχος ή Αντικειµενική Συνάρτηση Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Μεταβλητές Μεταβλητές Περιορισµοί Περιορισµοί Στόχος Στόχος Ο στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους παραγωγής για το εργοστάσιο Η µαθηµατική έκφραση του στόχου ονοµάζεται αντικειµενική συνάρτηση Ηαντικειµενική συνάρτηση του συγκεκριµένου προβλήµατος είναι η ακόλουθη: Min {180 x +160 y} 16

Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Ολοκληρωµένη Μαθηµατική ιατύπωση Προβλήµατος Min {180 x +160 y} υποκείµενο στους παρακάτω περιορισµούς: 6x + y >= 12 3x + y >= 8 4x + 6y >= 24 x <= 5 y <= 5 x, y >=0 17

Ένα Πρόβληµα Μηχανουργείου Μηχανουργείο διαθέτει 3 µηχανές και παράγει 4 προϊόντα. Κάθε προϊόν πρέπει να υποστεί κάποια κατεργασία σε κάθε µηχανή. Η παραγωγή είναι συνεχής και οαπαιτούµενος χρόνος ρύθµισης των µηχανών αµελητέος. Ο ακόλουθος πίνακας περιλαµβάνει τις ώρες επεξεργασίας και το κέρδος από την πώληση µιας µονάδας από κάθε είδος προϊόντος. Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Είδος Μηχανής Προϊόντα Ολικός ιαθέσιµος Χρόνος ανά Εβδοµάδα 1 2 3 4 Α 1.5 1 2.4 1 2,000 Β 1 5 1 3.5 8,000 Γ 1.5 3 3.5 1 5,000 Μοναδ. Κέρδος 524 730 834 418 Ποιος είναι ο αριθµός µονάδων που θα πρέπει να κατασκευασθούν από κάθε προϊόν σε µία εβδοµάδα, ώστε το κέρδος από την πώληση να είναι το µέγιστο δυνατό ; 18

Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων ιαµόρφωση Προβλήµατος Μηχανουργείου Οι χρησιµοποιούµενες µεταβλητές είναι οι εξής: x i = οαριθµός των µονάδων που πρέπει να κατασκευασθούν από κάθε προϊόν ανά εβδοµάδα x i >= 0, γιατί δεν παράγουµε αρνητικές ποσότητες προϊόντων 1.5 x 1 + x 2 + 2.4 x 3 + x 4 <= 2,000, βάσει των διαθέσιµων ωρών της Μηχανής Α x 1 + 5 x 2 + x 3 + 3.5 x 4 <= 8,000, βάσει των διαθέσιµων ωρών της Μηχανής Β 1.5 x 1 + 3 x 2 + 3.5 x 3 + x 4 <= 5,000, βάσει των διαθέσιµων ωρών της Μηχ. Γ 19

Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Αντικειµενική Συνάρτηση max {524 x 1 + 730 x 2 + 834 x 3 + 418 x 4 } Ολικό Κέρδος από την Πώληση των Προϊόντων 20

Μαθηµατική ιατύπωση Προβλήµατος Μαθηµατικό Μοντέλο Γενικού Προβλήµατος ΓΠ Μεγιστοποίηση του z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c r x r a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1r x r (<=, =, >=) b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2r x r (<=, =, >=) b 2... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mr x r (<=, =, >=) b m x j >= 0 (j =1, 2,, r) a ij, b i, c j (δοσµένες σταθερές µε i = 1, 2,, m και j =1, 2,, r) 21

Συνοπτική Παρουσίαση Μοντέλου ΓΠ max ή min z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c r x r Μαθηµατική ιατύπωση Προβλήµατος a i1 x 1 + a i2 x 2 +... + a ir x r (<=, =, >=) b i (i=1, 2,, m) x j >= 0 (j =1, 2,, r) ή max ή min z = Σ c j x j j=1 r a i1 x 1 + a i2 x 2 +... + a ir x r (<=, =, >=) b i (i=1, 2,, m) x j >= 0 (j =1, 2,, r) 22

Μαθηµατική ιατύπωση Προβλήµατος Ορολογία... Όταν µία µεταβλητής αποφάσεως επιτρέπεται να λάβει αρνητικές τιµές, τότε εκφράζεται ως διαφορά δύο θετικών µεταβλητών Ηγραµµική συνάρτηση z που θέλουµε ναµεγιστοποιήσουµε ονοµάζεται αντικειµενική συνάρτηση Οι γραµµικές σχέσεις ονοµάζονται συνθήκες ή περιορισµοί Οι µεταβλητές xj ονοµάζονται µεταβλητές αποφάσεως 23

Μαθηµατική ιατύπωση Προβλήµατος Φυσική Ερµηνεία Μεγεθών... xj είναι η ποσότητα προϊόντος που πρέπει να παραχθεί στη µονάδα του χρόνου cj είναι η αύξηση του εκλεγµένου µέτρου αποδοτικότητας και ονοµάζεται µοναδιαίο κόστος ή µοναδιαία αξία της δραστηριότητας j αij είναι η ποσότητα του µέσου i που που καταναλώνεται για κάθε µονάδα της δραστηριότητας j και ονοµάζεται τεχνολογικός συντελεστής bj είναι η ποσότητα του µέσου i που µπορεί να διατεθεί για τις r δραστηριότητες m είναι ο αριθµός των διαθέσιµων µέσων 24

Πρόβληµα Product Mix Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Βιοµηχανική επιχείρηση αποφασίζει τη διακοπή της παραγωγής ενός από τα προϊόντα της. Ηαποδεσµευµένη παραγωγική ικανότητα των µηχανών σκοπεύεται να χρησιµοποιηθεί για την παραγωγή ενός ή περισσοτέρων νέων προϊόντων, τα 1, 2 και 3. Ηδιαθέσιµη παραγωγικότητα των µηχανών και ο αριθµός των απαιτούµενων µηχανοωρών για κάθε µονάδα των προϊόντων φαίνεται στους πίνακες. Η δυνατότητα των πωλήσεων για τα προϊόντα 1 & 2 ξεπερνά τις ποσότητες που µπορούν να παραχθούν, ενώ για το προϊόν 3 είναι 20 µονάδες ανά εβδοµάδα. Το κέρδος ανά µονάδα προϊόντος προβλέπεται να είναι 20, 6 και 8 δρχ για τα προϊόντα 1, 2 και 3. Τύπος Μηχανής Παραγωγική ικανότητα (ώρες / εβδοµάδα) Τύπος Μηχανής Προϊόντα 1 2 3 Φρέζα 200 Τόρνος 100 Τριβείο 50 Φρέζα 8 2 3 Τόρνος 4 3 - Τριβείο 2-1 Ζητείται να καταστρωθεί µοντέλο ΓΠ για τον προσδιορισµό της ποσότητας κάθε προϊόντος που πρέπει να παράγει η επιχείρηση για να µεγιστοποιήσει τα κέρδη της 25

ιαµόρφωση Προβλήµατος Product Mix Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Οι χρησιµοποιούµενες µεταβλητές είναι οι εξής: x i = οαριθµός των µονάδων που πρέπει να κατασκευασθούν από κάθε προϊόν ανά εβδοµάδα x i >= 0, γιατί δεν παράγουµε αρνητικές ποσότητες προϊόντων 8 x 1 +2 x 2 + 3 x 3 <= 200, διαθέσιµες εβδοµαδιαίεςώρεςστηφρέζα 4 x 1 + 3 x 2 <= 100, διαθέσιµες εβδοµαδιαίες ώρες στον τόρνο 2 x 1 + x 3 <= 50, διαθέσιµες εβδοµαδιαίεςώρεςστοτριβείο x 3 <= 20, περιορισµός πωλήσεων προϊόντων 26

Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Αντικειµενική Συνάρτηση max {20 x 1 + 6 x 2 + 8 x 3 } Ολικό Κέρδος από την Πώληση των Προϊόντων 27

Πρόβληµα ίαιτας Το γάλα,το κρέας και τα αυγά παρέχουν βιταµίνες A, C και D. Ο αριθµός των mg κάθε βιταµίνης που περιέχεται στη µονάδα της κάθε τροφής και το αντίστοιχο κόστος φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Ηελάχιστηαπαιτούµενη ηµερήσια κατανάλωση βιταµινών A, C και D είναι αντίστοιχα 1 mg, 50 mg και 10 mg Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Βιταµίνη Λίτρο Γάλακτος Κιλό Κρέατος 12αδα Αυγών Α 0.2 C 20 D 2 2 10 20 10 200 10 Κόστος 20 200 50 Ζητείται να καταστρωθεί µοντέλο ΓΠ για το παραπάνω πρόβληµα. 28

ιαµόρφωση Προβλήµατος ιαίτας Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Οι χρησιµοποιούµενες µεταβλητές είναι οι εξής: x Γ, x Κ, x Α = οαριθµός λίτρων γάλακτος, κιλών κρέατος και δωδεκάδων αυγών αντίστοιχα στο πρόγραµµα δίαιτας x Γ, x Κ, x Α >= 0, µη αρνητικότητα των µεταβλητών x Γ, x Κ, x Α 0.2 x Γ + 2 x Κ + 10 x Α >= 1, (Περιορισµός για βιταµίνη Α) 20 x Γ + 20 x Κ + 10 x Α >= 50, (Περιορισµός για βιταµίνη C) 2 x Γ + 200 x Κ + 10 x Α >= 10, (Περιορισµός για βιταµίνη D) 29

Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Αντικειµενική Συνάρτηση min {20 x Γ + 200 x Κ + 50 x Α } Ολικό Κόστος Τροφίµων 30

Πρόβληµα Μεταφοράς Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Τρία παραρτήµατα ενός εργοστασίου, τα Α, Β, Γ που παράγουν το ίδιο προϊόν, βρίσκονται σε 3 διαφορετικές περιοχές της χώρας, που απέχουν πολύ µεταξύ τους. Οι αγοραστές του προϊόντος βρίσκονται σε 5 διαφορετικές πόλεις. Τα παραρτήµατα παράγουν ποσότητες αντίστοιχα 150, 350 και 280 µονάδων του προϊόντος, ενώ οι αγοραστές έχουν παραγγείλει αντίστοιχα 100, 130, 160, 210 και 150 µονάδες. Το κόστος µεταφοράς του προϊόντος από τα παραρτήµατα Α, Β, Γ δίνεται στον παρακάτω πίνακα. Παράρτηµα Αγοραστές 1 2 3 4 5 Α 10 22 8 14 9.5 Β 12 16 26 20 19 Γ 18.5 21.5 15.5 11 17 Ζητείται να καταστρωθεί µοντέλο ΓΠ για το παραπάνω πρόβληµα. 31

ιαµόρφωση Προβλήµατος Μεταφοράς Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Οι χρησιµοποιούµενες µεταβλητές είναι οι εξής: x ij = οι ποσότητες προϊόντος που θα πρέπει να µεταφερθούν από το παράρτηµα i στον αγοραστή j (i = A, B, Γ, j = 1, 2, 3, 4, 5) x ij >= 0, µη αρνητικότητα των µεταβλητών x ij x A1 + x A2 + x Α3 + x A4 + x Α5 <= 150 x B1 + x B2 + x B3 + x B4 + x B5 <= 350 x Γ1 + x Γ2 + x Γ3 + x Γ4 + x Γ5 <= 280 Παραγωγές Παραρτηµάτων Α, Β, Γ 32 Ζήτηση Αγοραστών 1, 2, 3, 4, 5 x A1 + x Β1 + x Γ1 = 100 x A2 + x Β2 + x Γ2 = 130 x A3 + x Β3 + x Γ3 = 160 x A4 + x Β4 + x Γ4 = 210 x A5 + x Β5 + x Γ5 = 150

Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Αντικειµενική Συνάρτηση min {10 x A1 + 22 x A2 + 8 x Α3 + 14 x A4 + 9.5 x Α5 + 12 x B1 + 16 x B2 + 26 x B3 + 20 x B4 + 19 x B5 + 18.5 x Γ1 + 21.5 x Γ2 + 15.5 x Γ3 + 11 x Γ4 + 17 x Γ5 } Ολικό Κόστος Μεταφοράς 33

Πρόβληµα Μίξεως(Blending Problem) ιυλιστήριο θέλει να παράγει 3 είδη βενζίνης (Α, Β, Γ) µε µίξη 4 πρώτων υλών από το πετρέλαιο. Η διαθεσιµότητα των πρώτων υλών και το κόστος τους δίνονται στον πίνακα αριστερά. Οι αναλογίες µεταξύ των πρώτων υλών για την παραγωγή των 3 ειδών βενζίνης θα πρέπει να βρίσκονται ανάµεσα σε ορισµένα όρια που δίνονται στον πίνακα δεξιά, µαζί µε τηντιµή πώλησης κάθε βενζίνης. Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Α Ύλη Μax διαθέσιµη ποσότητα Κόστος σε $ σε βαρέλια ανά ηµέρα ανά βαρέλι 1 3,000 3 2 2,000 6 3 4,000 4 4 1,000 5 Βενζίνη Αναλογίες Τιµή πωλήσεως σε $ ανά βαρέλι Α Όχι περισσότερο από 30% της 1 Όχι λιγότερο από 40% της 2 5.50 Όχι περισσότερο από 50% της 3 Β Όχι περισσότερο από 50% της 1 Όχι λιγότερο από 10% της 2 4.50 Γ Όχι περισσότερο από 70% της 1 3.50 Ζητείται να προσδιορισθεί το µίγµα των πρώτων υλών που θα αποφέρει το µεγαλύτερο δυνατό κέρδος (πωλήσεις µείον συνολικό κόστος πρώτων υλών). 34

ιαµόρφωση Προβλήµατος Μίξεως Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Οι χρησιµοποιούµενες µεταβλητές είναι οι εξής: x ij = οι συνολικοί αριθµοί βαρελιών Α Ύληςj που χρησιµοποιείται ανά ηµέρα για την παραγωγή βενζίνης τύπου i (i = A, B, Γ, j = 1, 2, 3, 4) x ij >= 0, µη αρνητικότητα των µεταβλητών x ij x A1 <=0.3 (x A1 + x A2 + x Α3 + x A4 ) x A1 + x Β1 + x Γ1 <= 3,000 x A2 >=0.4 (x A1 + x A2 + x Α3 + x A4 ) x A3 <=0.5 (x A1 + x A2 + x Α3 + x A4 ) x B1 <=0.5 (x B1 + x B2 + x B3 + x B4 ) x B2 >=0.1 (x B1 + x B2 + x B3 + x B4 ) x Γ1 <=0.7 (x Γ1 + x Γ2 + x Γ3 + x Γ4 ) Περιορισµοί Μίξεων ιαθεσιµότητα Α Υλών x A2 + x Β2 + x Γ2 <= 2,000 x A3 + x Β3 + x Γ3 <= 4,000 x A4 + x Β4 + x Γ4 <=1,000 35

Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Αντικειµενική Συνάρτηση max {5.5 (x A1 + x A2 + x A3 + x A4 ) + 4.5 (x B1 + x B2 + x B3 + x B4 ) + 3.5 (x Γ1 + x Γ2 + x Γ3 + x Γ4 ) - 3 (x Α1 + x Β1 + x Γ1 ) - 6 (x Α2 + x Β2 + x Γ2 ) - 4 (x Α3 + x Β3 + x Γ3 ) - 5 (x Α4 + x Β4 + x Γ4 )} max {2.5 x A1-0.5 x A2 + 1.5 x A3 + 0.5 x A4 + 1.5 x B1-1.5 x B2 + 0.5 x B3-0.5 x B4 + 0.5 x Γ1-2.5 x Γ2-0.5 x Γ3-1.5 x Γ4 } Ολικό Κέρδος Πωλήσεων 36

Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Παράδειγµα Χρηµατοοικονοµικού Προγραµµατισµού Μία τράπεζα παρέχει 4 είδη δανείων στους πελάτες της µε τα παρακάτω επιτόκια: Πρώτο δάνειο: 14% εύτερο δάνειο: 20% Βελτίωση οικίας: 20% Προσωπικό overdraft: 10% Η τράπεζα έχει τη δυνατότητα δανειοδότησης έως $ 250 εκ, καθώς και τους παρακάτω περιορισµούς: Ταπρώταδάνειαθαπρέπειναείναιτουλάχιστοντο55% τωνεκδοθέντωνδανείωνκαι τουλάχιστον το 25% όλων των παρεχοµένων υπηρεσιών (σε χρηµατικές αξίες) Τα δεύτερα δάνεια δεν πρέπει να υπερβαίνουν το 25% όλων των παρεχόµενων υπηρεσιών (σε χρηµατικές αξίες) Το µέσο επιτόκιο δεν πρέπει να υπερβαίνει το 15% 37

Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων ιαµόρφωση Χρηµατοοικονοµικού Προβλήµατος Οι χρησιµοποιούµενες µεταβλητές είναι οι εξής: x i = ποσό δανείου στην περιοχή i για σε $ εκ. (i =1 για πρώτα δάνεια, 2 για δεύτερα δάνεια, 3 για βελτίωση οικίας, 4 για προσωπικό overdraft) X i >= 0 X 1 + X 2 + X 3 + X 4 <= 250 X 1 >= 0.55 (X 1 +X 2 ) X 1 >= 0.25 (X 1 +X 2 +X 3 +X 4 ) X 2 <= 0.25 (X 1 +X 2 +X 3 +X 4 ) 0.14X 1 + 0.20X 2 + 0.20X 3 + 0.10X 4 <= 0.15 (X 1 +X 2 +X 3 +X 4 ) 38

Παραδείγµατα Μορφοποίησης Προβληµάτων Αντικειµενική Συνάρτηση max {0.14X 1 + 0.20X 2 + 0.20X 3 + 0.10X 4 } 39

Θέµατα για συζήτηση - Συµπεράσµατα Βασικά θέµατα για συζήτηση ΟΓραµµικός Προγραµµατισµός υπήρξε µία από τις πρώτες µεθόδους ΕΕ και η εµφάνιση & ανάπτυξή του συνέπεσε µε τηναπαρχή µιαςνέαςεποχήςστουςτοµείς της βελτιώσεως και οργανώσεως της λειτουργίας πολύπλοκων συστηµάτων. Οι Η/Υ συνέβαλαν σηµαντικά στην ραγδαία ανάπτυξη του ΓΠ. Όλαταπροβλήµατα ΓΠ καταλήγουν σε µία κοινή µαθηµατική µορφή που επιτρέπει την τυποποιηµένη επίλυσή του, µετά την επιτυχή ολοκλήρωση της µορφοποίησης των προβληµάτων αυτών. Ηδιαµόρφωση ενός προβλήµατος ΓΠ είναι το δυσκολότερο κοµµάτι του και προδιαγράφει όχι µόνο τη δυνατότητα επίλυσής του αλλά και την ταχύτητα στην οποία θα πραγµατοποιηθεί. 40

Θέµατα για συζήτηση - Συµπεράσµατα Ερωτήσεις... 41