ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil kastoria.teikoz.gr/elearn Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θηκόγραμμα Το θηκόγραμμα είναι ένα γράφημα με το οποίο μπορούμε να παρουσιάσουμε τα κυριότερα χαρακτηριστικά της κατανομής του δείγματος. Μας βοηθάει να έχουμε μια εποπτική εικόνα της κατανομής της μεταβλητής και να εντοπίζουμε τυχόν παράτυπα σημεία. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΤΡΑ 2 1
Τρόπος Κατασκευής 1) Υπολογίζουμε: ιάμεσο, Q 1, Q 3 και Q 3 -Q 1. 2) Κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με βάσεις τα Q 1 και Q 3. Χαράσσουμε στο παραλληλόγραμμο τη διάμεσο. 3) Υπολογίζουμε τις αποστάσεις: Q 1-1,5( 1,5(Q 3 -Q 1 ) και Q 3 + 1,5(Q 3 -Q 1 ). 4) Ονομάζουμε αριστερό παρακείμενο σημείο (adjacent point) ) την παρατήρηση που είναι η αμέσως μεγαλύτερη της τιμής Q 1-1,5( 1,5(Q 3 -Q 1 ) και δεξιό παρακείμενο σημείο την παρατήρηση που είναι η αμέσως μικρότερη της τιμής Q 3 +1,5(Q 3 -Q 1 ). Χαράσσουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα από τα μέσα των βάσεων μέχρι τα παρακείμενα σημεία. 5) Οι τιμές που βρίσκονται έξω από τα όρια των παρακείμενων σημείων είναι πιθανά παράτυπα σημεία. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΤΡΑ 3 Θηκόγραμμα Αριστερό Παρακείμενο Σημείο Q 1 δ xx : Τιμές μεταβλητής Q 3 εξιό Παρακείμενο Σημείο Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΤΡΑ 4 2
ΜΕΤΡΑ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Ο τύπος της κατανομής συχνοτήτων, μπορεί να περιγραφεί ελέγχοντας κατά πόσο είναι συμμετρική ή ασύμμετρη και στην περίπτωση που δεν είναι συμμετρική ελέγχοντας το μεγαλύτερο μέρος της κατανομής εάν είναι προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά. Για τον παραπάνω έλεγχο χρησιμοποιούνται δύο μέτρα: Συντελεστής λοξότητας Συντελεστής κύρτωσης Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΤΡΑ 5 Συντελεστής λοξότητας Έστω x 1, x 2,,, x ν οι τιμές μιας μεταβλητής Χ. Ο συντελεστής λοξότητας ισούται με α 3 = v i = 1 (x i v s - x ) 3 3 Αν η κατανομή είναι συμμετρική τότε α 3 =0. Συντελεστής λοξότητας θετικός (αρνητικός) σημαίνει ότι οι περισσότερες τιμές της μεταβλητής βρίσκονται δεξιά (αριστερά) της επικρατούσας τιμής. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΤΡΑ 6 3
α 3 > 0 α 3 < 0 Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΤΡΑ 7 Συντελεστής κύρτωσης Έστω x 1, x 2,,, x ν οι τιμές μιας μεταβλητής Χ. Ο συντελεστής κύρτωσης ισούται με α 4 = v i= 1 (x i v s - x) 4 4 Όταν ο συντελεστής κύρτωσης έχει τιμή μικρότερη του 3 η κατανομή λέγεται πλατύκυρτη ενώ όταν ο συντελεστής κύρτωσης έχει τιμή μεγαλύτερη του 3 η κατανομή λέγεται λεπτόκυρτη. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΤΡΑ 8 4
α 4 < 3 πλατύκυρτη κατανομή α 4 > 3 λεπτόκυρτη κατανομή Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΤΡΑ 9 Παρατήρηση: Αν η κατανομή μίας μεταβλητής έχει αρνητική ασυμμετρία (λοξότητα) τότε δειγματικός μέσος < διάμεσος < επικρατούσα τιμή αν είναι συμμετρική τότε δειγματικός μέσος = διάμεσος = επικρατούσα τιμή ενώ αν έχει θετική ασυμμετρία (λοξότητα) τότε επικρατούσα τιμή < διάμεσος < δειγματικός μέσος Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΤΡΑ 10 5
Θετική λοξότητα Αρνητική λοξότητα Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΤΡΑ 11 Ασκήσεις Άσκηση 1. Η μέτρηση του ύψους (σε πόδια) 20 δέντρων, έδωσε το παρακάτω δείγμα: δί 59,72,58,65,77,83,72,77,62,69 74,89,84,75,90,81,62,63,85,69 Να υπολογιστούν: α) ) τα μέτρα κεντρικής τάσης β) τα μέτρα διασποράς γ) να κατασκευαστεί το θηκόγραμμα Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΤΡΑ 12 6
Άσκηση 2. Πήραμε τυχαία 40 φοιτητές μιας σχολής και καταγράψαμε τα ύψη τους (σε cm): 170 180 178 165 170 168 175 175 173 162 Ύψος Φοιτητή 160 170 167 177 180 170 182 178 165 178 156 175 172 173 167 187 170 180 178 191 176 169 167 166 179 178 180 164 170 173 Αφού ομαδοποιήσετε τις παρατηρήσεις σε έξι κλάσεις ίσου πλάτους να υπολογίσετε: α) τα μέτρα κεντρικής τάσης β) τα μέτρα διασποράς γ) να εξεταστεί αν η κατανομή είναι συμμετρική Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΤΡΑ 13 Άσκηση 3: Σε 50 κουτιά με παστεριωμένο γάλα ορισμένης μάρκας μετρήσαμε τον ακριβή όγκο Χ του περιεχομένου (σε ml) και πήραμε τα ακόλουθα αποτελέσματα: 568 570 576 580 581 582 584 585 586 589 590 590 590 590 591 592 593 594 595 595 597 597 599 600 600 600 601 602 602 602 603 605 605 605 605 606 607 608 610 611 612 613 614 615 616 617 619 620 624 632 α) Να κατασκευαστεί πίνακας συχνοτήτων σε επτά κλάσεις ίσου πλάτους. β) Να υπολογιστεί η επικρατούσα τιμή, ηδιάμεσοςκαιτο 1 ο και 3 ο τεταρτημόριο. γ) Να κατασκευαστεί το θηκόγραμμα. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΤΡΑ 14 7
Άσκηση 4. ίνονται τα παρακάτω στοιχεία που αφορούν στον αριθμό των δωματίων των σπιτιών 30 οικογενειών. Αριθμός δωματίων 1 2 3 4 5 6 Οικογένειες 1 3 8 15 2 1 Να βρεθούν η μέση τιμή, η διάμεσος, η επικρατούσα τιμή, η διακύμανση και ο συντελεστής μεταβλητότητας. Η κατανομή είναι πλατύκυρτη ή λεπτόκυρτη; Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 5: Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι χρόνοι (σε sec) που απαιτήθηκαν για την εκτέλεση ενός προγράμματος σε 40 διαφορετικούς υπολογιστές. 24 72 102 136 148 36 76 105 36 76 108 138 148 36 79 112 42 87 115 141 153 43 87 120 51 90 120 144 159 53 90 120 64 94 120 144 169 64 100 130 α) Να κατασκευαστεί πίνακας συχνοτήτων (ν i, f i %, N i, F i %) σε πέντε κλάσεις ίσου πλάτους. β) Να υπολογιστεί η μέση τιμή, η τυπική απόκλιση, το 1 ο και 2 ο τεταρτημόριο του παραπάνω δείγματος. γ) Να υπολογιστεί ο συντελεστής κύρτωσης. Τι συμπεραίνετε για την κατανομή του δείγματος; ίνεται 40 4 8 ( x x) = 1.86*10 i= 1 i Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8