Kobatorcké detty Peter πtr Korcsok ØÖ Øº Tátopredáškapredvádzazákladékobatorckéetódydokazovaa V prvej čast je každá techka struče popísaá a dopleá jedoduchý rešeý príklado, druhú časť poskytuje čtateľov zberku cvčeí a aplkovae uvedeých spôsobov Úvod Počas tejto predášky s ukážee etradčé spôsoby, ako dokázať záe alebo aj ezáe rovost Pr to budee využívať hlave kobatorcké reprezetáce, ale občas s poôžee aj bežejší dokazovací etóda Ďalej s predvedee často používaé počítae dvoa spôsob a vyskúšae s ho aplkovať v rôzych prípadoch Na záver ebude chýbať vacero príkladov, kde s predvedeé techky dostatoče precvčíe Základé zalost Na začatok s prpoeňe ektoré defíce a jedoduchše rovost: Defíca Kobačé číslo ( k ôžee defovať dvoarovoceý spôsob:! (1algebrackypoocouvýrazu ( k k!( k!, (2 kobatorcky ako počet všetkých k-prvkových podoží -prvkovej ožy Tvrdee(Bocká veta Pre ľubovoľé a, b a N platí (a+b a + 0 a 1 b+ + 1 b a b Ãñ ÓÚ ÐÓÚ º kobačéčísla,kobatorckýdôkaz,počítaedvoaspôsob 15
KOMBINATORICKÉ IDENTITY Tvrdee Pre kobačé čísla plata asledujúce detty: + k ( 1, 0 +1, (, k k ( ( +1 +1 k Kobatorcké dôkazy V tejto čast s ukážee ekoľko trkov, ako s výraze uľahčť dokazovae daej detty: (1Metódabjekce:akáedvekoečéožy A, Baáedokázať,že ajú rovako veľa prvkov, ôžee ájsť bjekcu, ktorá jedozače prevede prvky ožy A do ožy B Príklad Dokážte: ( k k Rešee Chcee ájsť fukcu, ktorá každú k-prvkovú podožu jedozače zobrazí a ejakú( k-prvkovú podožu Toto spĺňa apríklad f(am \ Apre A M, A k (2 Metóda zozau je založeá a to, že s všetky prvky systeatcky zapíšee do určtého zozau, ktorý áslede vhode rozdelíe do skupí Spočítaí cez teto skupy dostaee požadovaý výsledok Príklad Dokážte: ( ( +1 ( (+1 k Rešee Ľavá straa predstavuje počet prvkov vo všetkých(k + 1-prvkových podožách( + 1-prvkovej ožy Vpravo s aopak vyjadríe, vkoľkýchtakýchpodožáchsaachádzajedezvoleýprvok M Sčítaí cez všetky prvky dostávae platosť zadaej rovost (3 Ďalšou používaou etódou je rozklad do tred, kde daú ožu rozdelíe do ekoľkých dsjuktých tred, ktorých veľkosť určíe jedoduchše Následe s využtí bjekce a pravdla súčtu určíe aj veľkosť pôvodej ožy 16
PETER πtr KORCSOK Príklad Dokážte: ( + k +1 Rešee Uvažujeožu M { 0, 1,, }aech S obsahuje všetky(-prvkovépodožy MZjave S ( +1 Keďalevybereedo S 1 tepodožy,ktoréobsahujúprvok 0,ado S 2 te,ktoréhoeosahujú,usíplatť S 1 + S 2 S Prtoaleeje zložtéukázať,že S 1 ( k a S2 ( Dosadeídopredchádzajúcej rovost dostávee výraz v zadaí (4 Pr zdolávaí detít ôžee využť aj etódu ápsov, kde sa sažíe poocou postupost píse popísať zadaé výrazy (5 Na záver s ešte spoeee aj etódu cest v štvorcovej set Nezáe výrazy s reprezetujee ako počty cest v štvorcovej set edz vrchol A a B Občas budee stavať určté prekážky alebo aopak kotrolé body, ktorý usíe vždy prejsť Počítae dvoa spôsob Jedu dôležtú dôkazovú etódu se s espoeul, aj keď se ju už využl Pr ej sa sažíe a jede výsledok prísť dvoa(alebo aj vacerý cesta, prčo edz výsledý vzorca usí ute platť rovosť Príklad Dokážte: 2 3 Rešee Algebracký dôkaz je poere jedoduchý: stačí dosadť a 1, b 2 do bockej vety My sa ale budee veovať tou kobatorckéu Maje -prvkovú ožu M, prčo ás zaujía počet usporadaých dvojíc (A, B,kde A B MPozvoleípevého áe ( ožostíprevýber B, áslede2 ožostípre ASčítaícezvšetkyprístupéhodoty dostávaeľavú strau rovost Pozresateraz,koľkoožostíáepreľubovoľýprvok M:buď A, alebo B \ A,alebo M \ BPretožeuesteajedotlvýchprvkovsa vzájoeeovplyvňujú,spoludostávae3 ožýchrozdeleí Túto etódu s teraz čo ajvac precvčíe 17
KOMBINATORICKÉ IDENTITY Príklady Príklad1 Dokážtepreľubovoľéprrodzeé k r : ( r r k ( k ( k r k Príklad 2 Dokážte poocou rozkladu do tred alebo cest v štvorcovej set: ( 2 ( 2 Príklad 3 Dokážte etódou bjekce alebo využtí ápsov: 0 + 1 ( ( +( 1 0 2 Príklad4 Dokážte: ( ( ( +1 + 1 + + + ( + +1 Príklad5 Dokážte: Príklad6 Dokážte: ( 2 ( 1 ( 12 2 Príklad 7 Dokážte pre ľubovoľé k < s využtí etódy cest v set: ( ( ( k+ + k 1 + k k 1 Príklad 8 Dokážte pre ľubovoľé : 1 ( 1 1 18 ( + 1
PETER πtr KORCSOK Príklad9 Vofrotepredkostojí +ľudí,prčo zchápäťkoruu a desaťkoruulístokstojíprese5korúaazačatkuvpokladesúžade peaze Poocou cest v štvorcovej set určte, koľký spôsob sa ôžu zoradť, aby kto eusel čakať a výdavok, ak ľudí s rovakou cou erozlšujee Príklad 10 Určte hodotu výrazu: ( ( ( ( 2 1 2 +2 2 + + 2 1 2 Príklad 11 S využtí etódy cest v štvorcovej set určte počet korektých uzátvorkovaí s pár zátvorek Lteratúra a zdroje V prvo rade sa chce poďakovať Jardov Hačlov, ktorého príspevok Kobatorcké detty sa stal predlohou tohto textu Príklady so čerpal aj z príspevkov Marta Tacera Počítáí dvěa způsoby a Zuzky Saferovej Dvojí počítáí [1] Kžca PraSatka: http://ksffcucz/lbrary/ [2] Jří Hera, Rada Kučera, Jaroír Šša: Metody řešeí ateatckých úloh II, Masarykova uverzta, Bro, 1997 [3] Jří Matoušek, Jaroslav Nešetřl: Kaptoly z dskrétí ateatky, Nakladatelství Karolu, Praha, 2009 19