Motivácia pojmu derivácia

Transcript

1 Derivácia funkcie

2 Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

3 Fyzika - mechanika Priemerná rýchlosť pri pohybe rovnomernom priamočiarom je v = s/t, s dráha t čas Dráha ale môže byť funkciou času (mení sa s časom). Potom priemerná rýchlosť bude: v = s( t ) s( t) t t = s t

4 Geometria Je daná funkcia y = f() a na nej dva rôzne body [,f( )], [,f( )]. Priamka, ktorá prechádza týmito dvoma bodmi sa nazýva sečnica grafu funkcie a má rovnicu: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f f f f f f f f y + = + =

5 Geometria - pokračovanie Smernica tejto priamky sečnice je k = f

6 Motivácia pojmu derivácia Vo všetkých uvedených prípadoch nás bude zaujímať situácia, keď sa veličina v menovateli bude zmenšovať, to jest bude sa skracovať časový úsek v príklade z fyziky alebo sa bude skracovať vzdialenosť medzi dvoma bodmi pri rovnici sečnice...

7 Pojem derivácie Napríklad pre rovnicu sečnice. Keď sa dva body budú k sebe približovať a teda ich vzdialenosť sa bude limitne blížiť k nule, sečnica sa zmení na dotyčnicu ku grafu tejto funkcie v bode. Hodnota jej smernice bude teda k = lim 0 f

8 Pojem derivácie Geometrický význam derivácie

9 Definícia derivácie Nech je daná funkcia f a bod D(f). Deriváciou funkcie f v bode nazveme limitu ' f ( + h) f ( ) f ( ) = lim h 0 h Derivácia nemusí eistovať v každom bode definičného oboru. Ak derivácia eistuje, hovoríme, že funkcia má deriváciu (je diferencovateľná) v bode Iné označenia: dy d df d,, D ( f ), ( f d d )

10 Neeistuje derivácia Príklad funkcií, ktoré nemjú deriváciu.5 y = y= nemá deriváciu v bode nemá deriváciu v bode 0

11 Derivácia ako funkcia Ak eistuje derivácia funkcie f pre každé M D(f), potom zobrazenie f ' : M ' také, že f () voláme derivácie funkcie (je to opäť funkcia). Funkcia je diferencovateľná na uzavretom intervale ak má deriváciu v každom vnútornom bode intervalu a v koncových bodoch eistujú príslušné jednostranné limity pre deriváciu. R

12 Vlastnosti diferencovateľných funkcií Veta: Ak funkcia f má deriváciu v bode =c, potom je v tomto bode spojitá. Poznámka: Opačná veta neplatí. Príklad: funkcia y = je spojitá na celom R, ale nemá deriváciu v bode 0

13 Derivácie elementárnych funkcií Konštantná funkcia y = c y = 0 Polynomické funkcie y = n y = n n- (platí aj pre ľubovoľné reálne číslo n) Eponenciálne funkcie y = e y = e y = a y = a ln a Logaritmické funkcie y = ln y = / y = log a y = /(lna) Goniometrické funkcie y = sin y = cos y = cos y = -sin y = tg y = /cos y = cotg y = - /sin

14 Derivácie elementárnych funkcií Cyklometrické funkcie y = arcsin y=arccos y = arctg y = arccotg y y ' y y ' ' ' = = = + = +

15 Pravidlá pre derivovanie Veta: Nech funkcie f a g sú diferencovateľné. Potom platí: (c f) = c f, kde c je ľubovoľné reálne číslo (f+g) = f +g (f-g) = f -g (f g) = f g + g f (f/g) = (f g g f)/g (f g) () = f (g()) g ()

16 Derivácie výšších rádov Nech funkcia f je opäť diferencovateľná funkcia. Potom jej deriváciu voláme druhá derivácia funkcie f a označujeme f. Podobne sa definujú aj derivácie vyšších rádov. Označenie: f,f, f iv,...

17 Ďalšie príklady Fyzika: Zrýchlenie je derivácia rýchlosti: dv a = = dt d s dt

18 Ďalšie príklady Ekonómia: marginálna hodnota Nákladová funkcia C(): sú náklady firmy na výrobu výrobkov. Potom C ( + h) C( ) udáva priemerný nárast nákladov na výrobok Marginálna hodnota nákladovej funkcie je C (). Ekonomické vysvetlenie: ak firma zvýši produkciu o výrobok, to jest ΔC= C(+)-C() ~C (), teda marginálna hodnota odhaduje výrobné náklady na jeden výrobok pri danom počte výrobkov h

19 Ďalšie príklady Príjmová funkcia R() udáva množstvo financií, ktoré sa získajú predajom výrobkov. Marginálny príjem R () odhaduje nárast príjmu, ktorý sa dosiahne jednotkovým zvýšením hodnoty predaných výrobkov na súčasnej hladine predávaných výrobkov

20 Derivácia inverznej funkcie Nech je funkcia f monotónna na intervale (a,b) a pre každé (a, b) eistuje f () 0. Potom platí ( f ) ' ( ) = f ' ( f ( ))