Príklady na precvičovanie Fourierove rady

Transcript

1 Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru a + (a n cos nx + b n sin nx), () kde a, a n a b n, n N, sú reálne konštanty a nazývajú sa koeficientami radu (). Kľúčovým rysom trigonometrických radov je pozorovanie, že systém ich tvoriacich funkcií S = {, cos x, sin x, cos x, sin x,..., cos nx, sin nx,... } má nasledujúce vlastnosti. Každá funkcia systému S je periodická s periódou a pre každú dvojicu funkcií φ(x), ψ(x) S platí =, φ ψ, φ(x) ψ(x) dx (), φ = ψ. Vlastnosť () sa zvyčajne označuje ako ortogonalita systému funkcií S (v tomto prípade hovoríme, že funkcie systému S sú vzájomne ortogonálne). Nech f(x) je reálna funkcia definovaná a integrovateľná na intervale [,. Trigonometrický rad () s koeficientami a n := b n := f(x) cos nx dx, n N, (3) f(x) sin nx dx, n N, (4) sa potom nazýva Fourierov rad funkcie f(x) vzhľadom na ortogonálny systém S. Čísla a n, b n v (3) a (4) sa označujú ako Fourierove koeficienty funkcie f(x) vzhľadom na systém S. Ak funkcia f(x) je párna, potom b n = pre každé n N (samy si premyslite :)) a rad () sa označuje ako kosínusový. V prípade nepárnej funkcie f(x) platí a n = pre každé n N (i toto si samy premyslite :)) a rad () sa označuje ako sínusový. Častokrát sa stáva, že zadaná funkcia f(x) je definovaná a integrovateľná iba na intervale [,, prípadne (,. V tomto prípade sa zvyčajne konštruuje jej tzv. párne, resp.

2 nepárne rozšírenie na celý interval [,. Pod pojmom párne rozšírenie funkcie f(x) rozumieme novú funkciu f(x) definovanú f(x), x [,, f(x) = f( x), x [, ). Podobne, nepárne rozšírenie funkcie f(x) bude predstavovať nová funkcia f(x) daná predpisom f(x), x (,, f(x) =, x =, f( x), x [, ). Všimnime si, že funkcie f(x) a f(x) sú definované na celom intervale [,, pričom f(x) je párna a f(x) je nepárna (samy sa presvedčte :)). Konvergencia Fourierovho radu Dirichletova veta Ak trigonometrický rad () konverguje na intervale [,, potom nutne konverguje na celom R. Vyplýva to z faktu, že sínus a kosínus sú periodické funkcie svojho argumentu s periódou (samy si to dobre premyslite :)). Daný súčet je potom tiež periodickou funkciou (premennej x) a je definovaný na celom R. Je prirodzené očakávať, že Fourierov rad funkcie f(x), t.j., rad () s koeficientami v (3) a (4), bude mať na intervale [, za súčet práve funkciu f(x). Ukazuje sa však, že nie každá funkcia f(x) integrovateľná na [, má takúto peknú vlastnosť. Postačujúcu podmienku, ktorú treba v tomto prípade naložiť na funkciu f(x), udáva slávna Dirichletova veta. Prv, ako ju vyslovíme, zavedieme dva pomocné pojmy. Funkcia f(x) sa nazýva po častiach spojitá na intervale [a, b, ak má na tomto intervale iba konečne veľa bodov nespojitosti, pričom sa jedná iba o skoky (teda v každom bode x [a, b má funkcia f(x) obidve vlastné jednostranné limity). Funkcia f(x) sa nazýva po častiach monotónna na intervale [a, b, ak na tomto intervale existuje iba konečne veľa bodov, v ktorých sa mení monotónnosť funkcie f(x).

3 Pre jednoduchosť označme symbolmi f(x +) a f(x ) limitu sprava a limitu zľava funkcie f(x) v bode x. Dirichlet (ako prvý korektne :)) dokázal, že ak funkcia f(x) je po častiach spojitá a po častiach monotónna na intervale [,, potom jej príslušný Fourierov rad () s koeficientami v (3) a (4) bodovo konverguje na intervale [, k funkcii f (x) definovanej takto f (x) = [f(x ) + f(x+), x (, ), [f( ) + f( +), x =, resp. x =. Funkcia f (x), ako súčet Fourierovho radu, je zrejme periodická a definovaná na celej reálnej osi (pozri komentár vyššie :)). Predĺženie f (x) na interval (, ) sa zvykne označovať ako -periodické rozšírenie funkcie f(x). Všimnime si, že v každom bode x (, ), v ktorom je f(x) spojitá, platí f (x ) = f(x ) (samy si premyslite :)). Uvedené Dirichletove podmienky zaručujú bodovú, nie však rovnomernú konvergenciu Fourierovho radu funkcie f(x) na intervale [,. Ak však je funkcia f(x) spojitá na [, s f( ) = f() a jej prvá derivácia f (x) je po častiach spojitá na [,, potom daný Fourierov rad () s koeficientami (3) a (4) konverguje na intervale [, rovnomerne k súčtu f(x). Besselova nerovnosť a Parsevalova rovnosť Nech f(x) je funkcia integrovateľná na intervale [,. Jej Fourierove koeficienty v (3) a (4) vždy spĺňajú tzv. Besselovu nerovnosť a + ( a n + bn) [f(x) dx. Posledná nerovnosť obzvlášť znamená, že nekonečný číselný rad (a n + b n) konverguje, a teda lim a n = = lim b n (samy si premyslite :)). Ak naviac n n funkcia f(x) spĺňa podmienky Dirichletovej vety (pozri komentár vyššie :)), t.j., Fourierov rad funkcie f(x) konverguje, potom uvedená Besselova nerovnosť prechádza v tzv. Parsevalovu rovnosť a + ( a n + bn) = [f(x) dx. 3

4 Riešené príklady Príklad Nájdime Fourierov rad funkcie f(x) = x na intervale [,. Riešenie: Funkcia f(x) je iste spojitá na [,, a teda i integrovateľná na tomto intervale. Pomocou (3) a (4) vypočítame jej Fourierove koeficienty, konkrétne a = x dx, a n = x cos nx dx, b n = kde n N. Nechávame na čitateľa, aby ukázal, že a = 3, a n = ( ) n 4 n, b n =, pre každé n N x sin nx dx, (premyslite si, že rovnosť b n =, n N, ihneď vyplýva zo skutočnosti, že f(x) je párna funkcia; jedná sa o kosínusový rad :)). Hľadaný Fourierov rad funkcie f(x) má teda tvar 3 + ( ) n 4 cos nx n pre každé x [,. A keďže funkcia f(x) je spojitá na [, a f( ) = f(), podľa Dirichletovej vety platí pozoruhodná identita x = 3 + ( ) n 4 cos nx n pre každé x [,. Jednou z významných aplikácií Fourierových radov je určovanie súčtov niektorých nekonečných číselných radov. Tak napríklad voľbou x = v poslednej rovnosti dostávame = 3 + ( ) n 4 cos n. n Nakoľko cos n = ( ) n pre každé n N (samy overte ;)), máme = 3 + ( ) n 4 n ( )n = n.

5 Z poslednej identity potom získame hodnotu súčtu (konvergentného) radu, konkrétne n n = :) 6 (samy overte :)). Podobne, voľbou x = v odvodenom Fourierovom rozvoji funkcie f(x) dostaneme vzorec pre súčet alternujúceho radu ( ) n. n Nechávame na čitateľa, aby preveril, že platí identita ( ) n n = :). No a do tretice, aplikáciou Parsevalovej rovnosti pre získaný Fourierov rad funkcie f(x) máme ( ) 3 + [ ( ) n 4 = n x 4 dx. Vykonaním naznačených výpočtov a jednoduchých úprav dostaneme (samy overte :)) n = n 4 = 4 9 :). Príklad Stanovme Fourierov rozvoj funkcie f(x) = e x na intervale [,. Riešenie: Postupujeme podobne ako v predchádzajúcom príklade. V tomto prípade však funkcia f(x) nie je ani párna, ani nepárna, preto musíme poctivo vypočítať všetky jej Fourierove koeficienty v (3) a (4) :-/. Okrem toho, namiesto intervalu [, teraz pracujeme na intervale [,, opäť sa však jedná o 5

6 interval dĺžky. Vzorce (3) a (4) budú preto fungovať analogicky, avšak s tým rozdielom, že integrovať budeme cez interval [,. Konkrétne, máme a n = b n = e x cos nx dx, n N, e x sin nx dx, n N. Samy overte (napríklad pomocou vhodnej integrácie per-partes :)), že pre čísla a n, b n platí a n = e b n = e n +, n N, n n +, n N. Hľadaný Fourierov rad funkcie f(x) má teda pre každé x [, tvar e + [ e n + cos nx e n sin nx. n + Funkcia f(x) je spojitá na intervale [, a f() = a f() = e. Podľa Dirichletovej vety potom pre každé x (, ) platí rovnosť e x = e + [ e n + cos nx e n n sin nx. + Na druhej strane, pre hodnoty x =, resp. x = dostávame identitu + e }{{ } f()+f() = e + e n +. Z poslednej rovnosti vypadne po drobnej úprave elegantný vzorec pre súčet konvergentného číselného radu n +, konkrétne n + = e + e 6 :).

7 Podobne, voľbou x = v získanom Fourierovom rozvoji funkcie f(x) máme identitu (zrejme platí cos n = ( ) n a sin n = pre každé n N ;)) e = e + e n + ( )n. Po úpravách získame vzťah pre hodnotu súčtu alternujúceho číselného radu ( ) n n +, konkrétne ( ) n n + = e e :) (samy overte všetky odvodené identity ;)). Príklad 3 Zostrojme kosínusový rozvoj funkcie f(x) = x na intervale [,. Riešenie: Na to, aby sme zostrojili hľadaný Fourierov rad, potrebujeme predĺžiť funkciu f(x) i na interval [, ). A keďže máme nájsť kosínusový rozvoj funkcie f(x), potrebujeme stanoviť párne rozšírenie f(x), t.j., x, x [,, f(x) = x, x [, ) (samy si to dobre premyslite :)). Hľadáme teda Fourierov rad pre funkciu f(x) na intervale [,. Vďaka tomu, že f(x) je párna funkcia (nakreslite jej graf :)), bude sa jednať o rad tvaru a + a n cos nx, x [,. Zo vzorca v(3) a z definície funkcie f(x) pre Fourierove koeficienty a n postupne dostávame a = f(x) dx = [ ( x) dx + x dx 7

8 = [ x dx + x dx = [ x dx + x dx = x dx = (v druhom riadku výpočtu sme v prvom integrále vykonali substitúciu x x, samy si to premyslite ;)). Podobne, pre indexy n N máme a n = = f(x) cos nx dx = [ [ x cos nx dx + ( x) cos nx dx + x cos nx dx = x cos nx dx x cos nx dx (opäť sme využili trik so substitúciou x x :)). Aplikujúc metódu perpartes na posledný integrál, dostaneme a n = ( )n n, n N (samy overte :)). Hľadaný Fourierov rad funkcie f(x) má teda tvar + ( )n cos nx, x [,. n Nakoľko funkcia f(x) je spojitá na [, a f( ) = = Dirichletovej vety platí identita f(), podľa f(x) = + Obzvlášť, pre každé x [, máme rovnosť ( )n cos nx pre každé x [,. n x = f(x) = f(x) = + ( )n cos nx. n Toto je požadovaný kosínusový rozvoj funkcie f(x) na intervale [,. Poslednú identitu možno využitím poznatku, n párne, ( ) n =, n nepárne, 8

9 (samy si dobre premyslite :)) zapísať v tvare x = 4 k= k= cos(k )x, x [,. (k ) (i toto si samy veľmi dobre premyslite ;)). Špeciálne, voľbou x = posledná rovnosť dáva identitu = 4 = (k ) (k ) = :). 8 k= Príklad 4 Rozviňme funkciu f(x) = x do sínusového rozvoja na intervale [,. Riešenie: Postupujeme úplne analogicky ako v predchádzajúcom príklade. Teraz hľadáme nepárne rozšírenie funkcie f(x) na celý interval [,, t.j., funkcia f(x) bude mať tvar f(x) = x pre každé x [, (samy si premyslite :)). Jej odpovedajúci Fourierov rad bude potom obsahovať len členy so sínusmi b n sin nx, x [,. Nechávame na čitateľa, aby ukázal, že pre Fourierove koeficienty b n platí b n = x sin nx dx = ( ) n n, n N. Hľadaný Fourierov rad funkcie f(x) bude mať teda tvar ( ) n n sin nx, x [,. Keďže funkcia f(x) je spojitá na intervale [,, z Dirichletovej vety vyplýva rovnosť x = ( ) n sin nx n pre každé x (, ). 9

10 Toto je zároveň i hľadaný sínusový rozvoj funkcie f(x) na intervale [,. Konkrétnou voľbou x = získame z poslednej rovnice identitu = ( ) n n sin n. Nakoľko platí sin n pre n = k, = ( ) k pre n = k, k N (samy si dobre premyslite :)), posledná identita nadobudne tvar = ( ) k k ( )k = k= k= ( ) k k k= (i toto si samy dobre premyslite ;)). ( ) k k = 4 :)