Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.

Transcript

1 Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií V (súčtové vzorce) sin (α + β) sin αcos β + cos αsin β sin (α β) sin αcos β cos αsin β cos (α + β) cos αcos β sin αsin β cos (α β) cos αcos β + sin αsin β tg (α + β) tg (α β) cotg (α + β) cotg (α β) Dôkaz prvého vzorca využije doteraz neprebraté pojmy a vety (vektory, lineárna kombinácia vektorov a skalárny súčin vektorov), ale v druhom ročníku neskoršie aj tieto pojmy vyjasníme Dô (4) dokážeme najprv štvrtý vzťah kosínus rozdielu daná je jednotková kružnica v súradnicovej sústave a jednotkový vektor v základnom umiestnení: vektor je určený orientovanou úsečkou OB tento vektor určí orientovaný uhol α koncový bod B leží na jednotkovej kružnici a preto má súradnice B (cos α; sin α) keďže vektor je v základom umiestnení, súradnice vektora sú totožné so súradnicami koncového bodu B vektor má súradnice (cos α; sin α) ďalej sú dané jednotkové vektory a v smere x-ovej a y-ovej osi potom vektor môžeme vyjadriť ako lineárnu kombináciu vektorov a cos α + sin α

2 teraz zoberme dva jednotkové vektory a, ktoré určia dva orientované uhly: α a β preto tými jednotkovými vektormi zvieraný uhol bude α β skalárny súčin vektorov môžeme vypočítať viacerými spôsobmi: 1 spôsob: súčin veľkostí vektorov vynásobíme kosínusovou hodnotou nimi zovretého uhla cos (α β) 11cos (α β) cos (α β) 2 spôsob: (zo súradníc vektorov) vynásobíme jednotlivé súradnice a sčítame ich (cos α; sin α)(cos β; sin β) cos αcos β + sin αsin β nakoľko ide o skalárny súčin tých istých vektorov, mali by sme dostať tú istú hodnotu môžeme písať rovnosť výsledkov cos (α β) cos αcos β + sin αsin β Dô (3, 1, 2) pokračujeme s tretím vzťahom kosínus súčtu jednoducho namiesto β dosadíme (-β), čiže + β potom využijeme párnosť a nepárnosť funkcií: sin (-x) -sin x cos (-x) cos x cos (α + β) cos (α (-β)) cos αcos (-β) + sin αsin (-β) cos αcos β + sin α(-sin β) cos αcos β sin αsin β dokážeme prvý vzťah sínus súčtu teraz využijeme vzťah pre doplnkové uhly: sin x cos (90 x) a cos x sin (90 x) sin (α + β) cos [90 (α + β)] cos (90 α β) cos [(90 α) β] podľa už dokázaného vzťahu cos (90 α)cos β + sin (90 α)sin β sin αcos β + cos αsin β dokážeme druhý vzťah sínus rozdielu do prvého vzťahu namiesto β dosadíme -β a využijeme párnosť a nepárnosť funkcií sin (α β) sin αcos (-β) + cos αsin (-β) sin αcos β + cos α(-sin β) sin αcos β cos αsin β Dô (5, 6) pokračujeme s piatym vzťahom tangens súčtu tangens vyjadríme pomocou sínusu a kosínusu potom využijeme vzťahy na súčet tg (α + β) každý člen v zlomku vydelíme s cos αcos β!!!!!!!!!!!! šiesty vzťah tangens rozdielu podobne postupujeme ako pri druhom a treťom nahradíme β s β a využijeme nepárnosť funkcie tg (-x) -tg x

3 tg (α β) tg [α + (-β)] Dô (7, 8) siedmy vzťah kotangens súčtu tu vydelíme členy so sin αsin β cotg (α + β)!!!!!!!!!!!! ôsmy vzťah kotangens rozdielu podobne postupujeme ako pri druhom a treťom nahradíme β s β a využijeme nepárnosť funkcie cotg (-x) -cotg x cotg (α β) cotg [α + (-β)] V (goniometrické funkcie dvojnásobného uhla) sin 2α 2sin αcos α cos 2α cos 2 α sin 2 α tg 2α cotg 2α Dô v súčtových vzorcoch nahradíme β s α sin 2α sin (α + α) sin αcos α + cos αsin α 2sin αcos α cos 2α cos (α + α) cos αcos α sin αsin α cos 2 α sin 2 α tg 2α tg (α + α) cotg 2α cotg (α + α) V (goniometrické funkcie polovičného uhla) sin ±$ cos ±$ tg ±$ %sin %$ %cos %$ %tg %$ %cotg %$ cotg ±$ P znamienko na pravej strane závisí od toho, že z ktorej štvrtiny je uhol Dô I (0 90 ) II ( ) III ( ) IV ( ) sin x + + cos x + + tg x + + cotg x + + využijeme kosínus dvojnásobného uhla pre uhol cos α cos 2 cos 2 cos2 sin2 cos α cos 2 sin2 /+ 2sin 2 cos α 2sin 2 cos2 + sin2 cos α využijeme základný vzťah medzi sínusom a kosínusom: sin 2 x + cos 2 x 1 2sin 2 1 cos α /:2

4 sin 2 / %sin %$ podobne začneme aj druhý dôkaz cos α cos 2 sin2 cos α + sin 2 + cos2 2cos2 cos α + 1 2cos 2 cos 2 $ %cos % /+ sin 2 + cos2 /:2 / dôkaz tretieho a štvrtého vzorca využije vzťah, že tangens aj kotangens môžeme vyjadriť ako podiel sínusu a kosínusu %tg % / %cotg % / / 0 $12 13 $ / 0 $13 12 $ V (súčet a rozdiel goniometrických funkcií) sin α + sin β 2sin cos sin α sin β 2cos sin cos α + cos β 2cos cos cos α cos β 2sin sin Dô $ 0 5$ 5 $ 5 $ prvý vzťah súčet sínusových hodnôt sčítajme prvé dva súčtové vzorce sin (α + β) sin αcos β + cos αsin β sin (α β) sin αcos β cos αsin β sin (α + β) + sin (α β) sin αcos β + cos αsin β + sin αcos β cos αsin β sin (α + β) + sin (α β) 2sin αcos β zaveďme substitúciu: x α + β y α β rovnica prejde do tvaru sin x + sin y 2sin αcos β vyjadrime zo sústavy uhly α a β sčítajme substitúcie x + y 2α /:2 89 α teraz odčítajme substitúcie x y 2β /:2 89 β dosaďme do rovnice sin x + sin y 2sin cos druhý vzťah rozdiel sínusových hodnôt odčítajme prvé dva súčtové vzorce druhú rovnicu sme vynásobili s -1 a takto sčítame rovnice sin (α + β) sin αcos β + cos αsin β

5 príklad: sin (α β) sin αcos β + cos αsin β sin (α + β) sin (α β) sin αcos β + cos αsin β sin αcos β + cos αsin β sin (α + β) sin (α β) 2cos αcos β substitúcia je rovnaká sin x sin y 2cos sin tretí vzťah súčet kosínusových hodnôt sčítajme tretí a štvrtý súčtový vzorec cos (α + β) cos αcos β sin αsin β cos (α β) cos αcos β + sin αsin β cos (α + β) + cos (α β) cos αcos β sin αsin β + cos αcos β + sin αsin β cos (α + β) + cos (α β) 2cos αcos β po substitúcií dostaneme cos x + cos y 2cos cos štvrtý vzťah rozdiel kosínusových hodnôt odčítajme od tretieho súčtového vzorca štvrtý štvrtú rovnicu násobíme s -1 a takto sčítame rovnice cos (α + β) cos αcos β sin αsin β cos (α β) cos αcos β sin αsin β cos (α + β) cos (α β) cos αcos β sin αsin β cos αcos β sin αsin β cos (α + β) cos (α β) -2sin αsin β po substitúcií dostaneme cos x cos y -2sin sin Vypočítajte sin 15 bez použitia kalkulačky použime súčtový vzorec 15 vyjadríme ako rozdiel dvoch uhlov z tabuľky buď ako 45 30, alebo ako sin 15 sin (45 30 ) sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 teraz z tabuľky dosadíme hodnoty : ; ak využijeme vlastnosti doplnkových uhlo, môžeme písať: sin 15 cos 75 ; Vypočítajte sin 15 bez použitia kalkulačky to nie je vtip, ale teraz využime goniometrické funkcie polovičného uhla sin 15 sin : $: 4? 42? $ : sin 15 cos : to znamená, že tie dve hodnoty sa rovnajú, hoci majú iný tvar dokážme to : 6 2 2@2 3 /() F2 3G Vypočítajte cos 15 bez použitia kalkulačky /4

6 počítame najprv znovu súčtovým vzorcom cos 15 cos (60 45 ) cos 60 cos 45 + sin 60 sin 45 teraz z tabuľky dosadíme hodnoty + : ; cos 15 sin 75 ; druhýkrát s polovičným uhlom rátame cos 15 cos : $: 4? 43? $ : cos 15 sin : Vypočítajte tg 15 bez použitia kalkulačky skúsme súčtovým vzorcom?? I :?? tg 15 tg (45 30 ) I : usmerníme zlomok : : : : : : F: :G : : : : : : : : J: tg 15 cotg J; :: ;?2???3?? : : : ; : ; : : : : : : : ;F :G ; 2 3 iný tvar dostaneme, ak umocníme a odmocníme hodnotu vlastne absolútnu hodnotu dostaneme, ale pre 15 -ový uhol hodnota je kladná tg 15 $F2 3G $ tg 15 cotg 4 3 Vypočítajte cotg 15 bez použitia kalkulačky súčtovým vzorcom cotg 15 cotg (45 30 ) usmerníme zlomok : : : F :G : : : : 1 : cotg 15 tg umocníme a odmocníme aj túto hodnotu I : : I : : : : : : : F :G 2+ 3 cotg 15 $F2+ 3G $ cotg 15 tg 3 Zjednodušte: sin (30 + x) + cos (30 x) sin (30 + x) + cos (30 x) sin 30 cos x + cos 30 sin x + cos 30 cos x + sin 30 sin x : cos x + : sin x + cos x + sin x cos xl + : M + sin xl : +M : (cos x + sin x) Zjednodušte: sin (x 45 )cos (x + 45 ) sin (x 45 )cos (x + 45 ) (sin xcos 45 cos xsin 45 )(cos xcos 45 sin xsin 45 ) Lsinx cosx MLcosx sinx M sinx cosxl M cosx+sinx -L M (sin x cos x) 2 - (sin2 x 2sin xcos x + cos 2 x) - (1 2sin xcos x) - (1 sin 2x)

7 Upravte výraz: cos 4x cos 4x cos 22x cos 2 2x sin 2 2x (cos 2 x sin 2 x) 2 (2sin xcos x) 2 cos 4 x 2cos 2 xsin 2 x + sin 4 x 4sin 2 xcos 2 x cos 4 x 6cos 2 xsin 2 x + sin 4 x cos 4 x 6cos 2 x(1 cos 2 x) + sin 4 x cos 4 x 6cos 2 x + 6cos 4 x + sin 4 x 7cos 4 x 6cos 2 x + (sin 2 x) 2 7cos 4 x 6cos 2 x + (1 cos 2 x) 2 7cos 4 x 6cos 2 x cos 2 x + cos 4 x 8cos 4 x 8cos 2 x + 1 Vypočítajte výraz bez použitia tabuliek: sin sin 75 sin sin 75 2sin I OI cos I OI 2sin 90 cos ; ; Vypočítajte výraz bez použitia tabuliek: cos 225 cos 75 Zjednodušte: cos 225 cos 75-2sin I OI sin I OI -2sin 150 sin 75-2sin 30 ; -2 ; Upravte zlomky: ; a, sinl P ; +xm+sinlp ; xm b, coslp ; +xm coslp ; xm c, sinl P +xm sinlp xm+coslp +xm coslp xm d, sin (10 + y)sin (10 y) + cos (10 + y)cos (10 y) a, QRQR QRQR c, PS?T L?T SMT L?T SMP?T PS Pomocou tg t a tg z vyjadrite výrazy: a, S S Určte bez pomoci tabuliek hodnoty: b, S S b, QRQR QRQR d, P9L?T 9ML9?T M9P 9PL T 9MLT 9ML9T M c, S S a, sin 165 b, cos ' c, tg 105 d, cotg 75 Zjednodušte výrazy pre prípustné hodnoty u, v, x, y, z, t: a, 8 8 d, 9 9 b, Q Q SS e, S S c, 8 88 f, Vypočítajte výrazy bez použitia tabuliek: a, sin 75 + sin 15 b, cos cos 75 c, sin 225 sin 75 d, cos 105 cos 315 Upravte daný výraz na logaritmovanie: a, O : Zjednodušte výrazy: a, QQ QQ b, OI I OI I b, RR RR c, ;I II II :I c, : : d, ;I :I d, I9:9 I9:9 Upravte bez použitia tabuliek: a, I I I I I I c, VV:V VV:V b, UU:U U U:U d, W:WIWOW W:W IW OW

8