ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ Ακαδ. Έτος 2011-2012 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80 v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 2271035457

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Δ. Φακίνου, Ουρές Αναμονής, 2 η έκδ./2008, Εκδόσεις ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 45392, ISBN: 978-960-266-206-9. 2. Τ.Ι. Δάρας, Π.Θ. Σύψας, Στοχαστικές Ανελίξεις: Θεωρία και Εφαρμογές, 1 η εκδ./2003, Εκδόσεις ZHTH, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 11281, ISBN: 960-431-868-3. 1. G. Bolch, S. M. Ross, Introduction to Probability Models, Academic Press, (10th ed.), 2009. 2. S. Greiner, H. de Meer, K.S. Trivedi, QueueingNetworks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications, Wiley-Interscience; (2nd ed.), 2006. 3. TrivediK. S., Probability and Statistics with Reliability, Queuing, and Computer Science Applications (2nd ed.), John Wiley & Sons, 2001. 4. U. NarayanBhat, An Introduction to QueueingTheory: Modeling and Analysis in Applications (Statistics for Industry and Technology), Birkhäuser Boston(1st ed.), 2008

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΓΕΝΙΚΑ, δεν θέλουμε να είμαστε σε κατάσταση αναμονής Μείωση του χρόνου αναμονής συνήθως απαιτεί επιπλέον επενδύσεις Για να συμπεράνουμε αν όντως αξίζει να επενδύσει κάποιος για να μειώει τον χρόνο αναμονής, πρέπει να εξεταστεί το κατα πόσο μια επένδυση επηρεάζει τον χρόνο αναμονής Για να γίνει αυτό είναι αναγκάια η δημιουργία μοντέλων και τεχνικών για την ανάλυση του προβλήματος

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Ουρές ή Γραμμές Αναμονής: Φαινόμενο που δημιουργείται όταν η τρέχουσα ζήτηση για μία εξυπηρέτηση είναι μεγαλύτερη από την τρέχουσα ικανότητα εξυπηρέτησης του συστήματος Αντικειμενικός σκοπός του προβλήματος της ουράς: Να βρεθεί μια οικονομική ισορροπία μεταξύ του κόστους εξυπηρέτησης και του κόστους αναμονής στην ουρά

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Θεωρία ουρών: Δίνει την πληροφόρηση που χρειάζεται για μια τέτοια απόφαση με το να προσδιορίζει τα διάφορα χαρακτηριστικά του συστήματος Παρέχει ένα μεγάλο αριθμό μαθηματικών προτύπων για τηνπεριγραφή των καταστάσεων των γραμμών αναμονής

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Ως ΟΥΡΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ορίζεται κάθε σύστημα οποίο παρέχει εξυπηρέτηση κάποιου είδους σε πελάτες που προσέρχονται σε αυτό Το σύστημα αποτελείται από τον χώρο εξυπηρέτησης και συνήθως από έναν χώρο αναμονής όπου περιμένουν οι πελάτες που δεν μπορούν να εξυπηρετηθούν αμέσως Οι χρόνοι άφιξης των πελατών καθώς και οι χρόνοι εξυπηρέτησης τους σε ένα τέτοιο σύστημα είναι τυχαίοι, πράγμα που σημαίνει ότι ο αριθμός των πελατών στο σύστημα ανά πάσα στιγμή (μήκος της ουράς) αυξομειώνεται ως συνάρτηση του χρόνου κατά τυχαίο τρόπο, είναι δηλαδή μια στοχαστική διαδικασία

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Πληθυσμός Πελατών μέγεθος: ο συνολικός αριθμός πελατών 1. άπειρος: ο ρυθμός αφίξεων δεν επηρεάζεται από τον αριθμό των πελατών στο σύστημα 2. περιορισμένος: ο ρυθμός αφίξεων επηρεάζεται από τον αριθμό των πελατών στο σύστημα χρόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων συμπεριφορά πελατών: π.χ. μη προσχώρηση πελατών στο σύστημα επειδή η ουρά είναι μεγάλη Ουρά μέγιστος επιτρεπτός αριθμός πελατών 1. άπειρο μήκος 2. περιορισμένο μήκος Πειθαρχία Ουράς προτεραιότητα με την οποία επιλέγονται οι πελάτες στην ουρά: π.χ. εξυπηρέτηση σύμφωνα με τη σειρά άφιξης (FIFO), κατά τυχαίο τρόπο, σύμφωνα με συγκεκριμένη προτεραιότητα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Μηχανισμός Εξυπηρέτησης ένα ή περισσότερα συστήματα εξυπηρέτησης: ο πελάτης μπορεί να πρέπει να εξυπηρετηθεί σε μια ακολουθία συστημάτων εξυπηρέτησης κάθε σύστημα εξυπηρέτησης έχει μία ή περισσότερες παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης χρόνος εξυπηρέτησης για κάθε θέση: ΣΥΣΤΗΜΑ ΟΥΡΑΣ ΠΕΛΑΤΕΣ Ουρά Π Π Π Π Π ΠΠ Π Ε Ε Ε Σύστημα Εξυπηρέτησησς Π Π Π

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Μερικές βασικές ποσότητες που μας ενδιαφέρουν στα συστήματα ουρών είναι: Ο μέσος αριθμός πελατών στον σύστημα Ο μέσος αριθμός πελατών που περιμένουν στην ουρά Ο μέσος χρόνος που μένει ένας πελάτης στο σύστημα Ο μέσος χρόνος που ένας πελάτης περιμένει στην ουρά Ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης Ο μέσος αριθμός πελατών που εξυπηρετούνται μια δεδομένη χρονική στιγμή t

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΥΡΑ ΠΕΛΑΤΕΣ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΤΕΣ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗ Τηλεφωνικό δίκτυο Κλήσεις Τηλ. Γραμμές Συνδιάλεξη Συνεργείο αυτοκινήτων Αυτοκίνητα Μηχανικοί Επισκευή Αεροδρόμιο Αεροπλάνα Διάδρομοι Προσγείωση Νοσοκομείο Ασθενείς Κλίνες Θεραπεία Τράπεζα Άτομα Ταμίες Χρηματική συναλλαγή

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Εμπορικά συστήματα εξυπηρέτησης: π.χ. ταμείο σε μία τράπεζα ή ένασουπερμάρκετ, επισκευή οικιακών συσκευών, αυτόματοι πωλητές, κτλ. Μεταφορικά συστήματα εξυπηρέτησης: διόδια, φωτεινοί σηματοδότεςτροχαίας, αποβάθρες σε λιμάνια, διάδρομος προσγείωσης / απογείωσης σε αεροδρόμιο, ταξί, πυροσβεστικά οχήματα, ασανσέρ, κτλ. Εμποροβιομηχανικά συστήματα εσωτερικής εξυπηρέτησης: συστήματα διακίνησης υλικών, συστήματα συντήρησης, σταθμοί επιθεώρησης, συστήματα ηλεκτρονικών υπολογιστών, κτλ. Κοινωνικά συστήματα εξυπηρέτησης: δικαστικό σύστημα, νομοθετικόσύστημα, συστήματα υγείας (π.χ. εξωτερικά ιατρεία, νοσοκομειακά αυτοκίνητα, ακτινολογικά μηχανήματα, κρεβάτια νοσοκομείου), κοινωνικές εξυπηρετήσεις (π.χ. εξασφάλιση στέγης), κτλ.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Παράδειγμα Έστω δύο πόλεις οι οποίες συνδέονται με ένα σύνολο από s τηλεφωνικά κυκλώματα. Έστω επίσης ότι οι κλήσεις που καταφτάνουν στα τηλεφωνικά κέντρα προς εξυπηρέτηση και δεν βρίσκουν ελέυθερο κύκλωμα χάνονται. Ερώτημα: Τί ποσοστό κλήσεων δεν πμορεί να βρεί ελέυθερο κύκλωμα και άρα χάνεται; Συμβολισμοί Παραδοχές Το σύστημα λέμε ότι βρίσκςται αστην κατάσταση Ε j όταν ο αριθμός των πελατών (κλήσεων) στο σύστημα είναι j P j τοποσοστόεπίτουσυνολικόυχρόνουπουτοσύστημαβρίσκεταιστηνκατάσασηε j λ ο ρυθμός αφίξεων(μέσος αριθμός αφίξεων ανά μονάδα χρόνου) τ μέσος χρόνος διάρκειας μιας κλήσης ΑΡΧΗ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑΣ-ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Ποιές είναι οι συνθήκες κάτω από τις οποίες τα παραπάνω αποτελέσματα είναι έγκυρα; Τί παραδοχές έχουν γίνει για τις διαδικασίες αφίξεων και εξυπηρέτησης; Είναι σωστά τα αποτελέσματα για κάθε διαδικασία αφίξεων Μπορεί να επαληθευτεί ο ισχυρισμός ότι οι ρυθμοί μετάβασης είναι ανάλογοι με τους χρόνους παραμονής στην κάθε κατάσταση Τι σχέση μπορεί να έχουν το ποσοστό του χρόνου που j κλήσεις είναι σε εξέλιξη (P j ) με το ποσοστό Π j των κλήσεων που καταφτάνουν στο σύστημα και βρίσκουν j κλήσεις σε εξέλιξη;

Περίγραμμα Μαθήματος Έννοιες από την Θεωρία Πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές Διακριτές& συνεχείς κατανομές Στοχαστικές Διαδικασίες Μαρκοβιανές Αλυσίδες και Διαδικασίες Θεωρία Ουρών Εισαγωγικά Μ/Μ/1 Μ/Μ/1/k M/M/c M/M/c/c ή M/M/c LossSystem M/M/ M/M/1/k/k M/M/c/k/k M/G/1 Ανοικτά& Κλειστά Δίκτυα Ουρών

Έννοιες από την Θεωρία Πιθανοτήτων Τυχαίο γεγονός Ορισμός Πιθανότητας Δεσμευμένη Πιθανότητα Ανεξαρτησία γεγονότων Θέωρημα Ολικής Πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Μέση τιμή και ροπές Διακριτές κατανομές Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Συνεχείς κατανομές

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ - ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Μια πραγματική τυχαία μεταβλητή στον πιθανοθεωρητικό χώρο (Ω, F, P) είναι μιασυνάρτησημεορισμόστοωκαιτιμέςστοιrέτσιώστεναισχύει { ω : X ( ω ) x } F Έστω Χ μία τ.μ. Εάν το σύνολο τιμών της Χ είναι το πολύ αριθμήσιμο (δηλαδή πεπερασμένο ή απείρως αριθμήσιμο) τότε η Χ λέγεται διακριτή τ.μ.

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ- ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΔΕΙΚΤΡΙΑ Τ.Μ. Για κάθε Α F ορίζουμε την δείκτρια τ.μ. που συμβολίζεται 1 A ή1 A 1, ω A ( ω) = 0, ω A Ιδιότητες Αναπαράσταση μιας τ.μ. με την βοήθεια μιας δείκτριας. Έστω μια τ.μ. Χ: Ω ΕcΙR. Για Ε ορίζεται το γεγονόςω: X ( ω) = x x { } γιατοοποίοσυμβολίζουμεμεp X (x)τηνπιθανότητα p X ( x) = Pr( X = x)

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ - ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Το σύνολο των αριθμών λέγεται κατανομή της τ.μ. Χ ( ( x), x E) p X έτσι ώστε p X ( x) = Pr( X= x) Ιδιότητες p X ( x) 0 x E p ( x X ) = 1 p X (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ - ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οι τ.μ. Χ και Υ λέγονται ανεξάρτητες εάν για οποιαδήποτε, ισχύει ΟΡΙΣΜΟΣ Pr( X = x, Y= y) = Pr( X= x)pr( Y= x 1 E 1 x2 E2 Η μέση τιμή μιας τ.μ. συμβολίζεται με ΕΧ ή Ε[Χ]. Αν η τ.μ είναι διακριτή με τιμέςστοεκαιμεκατανομή ημέσητιμήτηςείναι: Ιδιότητες ( p X ( x), x E) E[ X ] = x p ( x) X x E y)

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ - ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΡΟΠΕΣ 1. Ηk-οστήροπή( ) 2. Η k-οστή κεντρική ροπή k k µ = E[ X ] = x p ( x) k k Ν * x E k ( X E[ X ]) ] = ( X E[ X ]) m = E[ p ( x) k x E X k X 3. Διασπορά m R =σ ( E[ ]) 2 2 2 ( X ) = Var ( X ) = EX X ΠΡΟΤΑΣΗ ΕάνηΧείναιμιατ.μ.μετιμέςστοΙΝτότε E[ X ] = n 1 Pr( X n)

ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ BERNOULI X ~ B( p) Χαρακτηρίζει πειράματα με δυνατά αποτελέσματα {ΕΠΙΤΥΧΙΑ, ΑΠΟΤΥΧΙΑ} ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X ~ G ( p ) Διωνυμικά πειράματα στα οποία μας ενδιαφέρει ο αριθμός πειραμάτων μέχρι την πρώτη επιτυχία ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON X ~ P( λ) Πειράματα στα οποία μας ενδιαφέρει ο αριθμός γεγονότων μέσα σε ένα χρονικό διάστημα

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνεχής τ.μ.έστωχμίατ.μ.με πεδίοορισμού τον δειγματικόχώροω και πεδίο τιμών ένα πεπερασμένο ή άπειρο διάστημα της ευθείας τουιr(ήακόμακαιολόκληρητηνευθεία).εάν Pr( X = x) = 0, τότεη τ.μ.χείναισυνεχής. τιµη x της X Συνάρτηση ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνεχής τ.μ. Χ. Εάν υπάρχει μια μη αρνητική συνάρτηση f X (x)μεπεδίοορισμούτοπεδίοτιμώντηςχτέτοιαώστε Ιδιότητες Pr ( ) = X f X ( x) dx

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνεχής τ.μ. Χ. Εάν υπάρχει μια μη αρνητική συνάρτηση f X (x)μεπεδίοορισμούτοπεδίοτιμώντηςχτέτοιαώστε X Ιδιότητες F X x ( X x) = f ( y) dy, x IR ( x) = Pr X

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X ~ U[ a, b] ΤΥΠΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Z ~ N(0,1) ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X ~ N( µ, σ 2 ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X ~ E( λ) ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΓΑΜΜΑ X ~ Γ( a, β ) ΚΑΤΑΝΟΜΗ WEIBULL X ~ W ( β, n)

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΓΑΜΜΑ

ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ TCHEBICHEV Έστω Χ μια τ.μ. με πεπερασμένη μέση τιμή Ε[Χ] και διασπορά σ 2. Τότε για οποιοδήποτε θετικό αριθμό c, έχουμε Pr ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ MARKOV σ ( X ) c 2 ( X E[ X ] c ) 2 ΑνΧείναιμιαθετικήτ.μ.τότεγιακάθεα>0ισχύει E[ X ] Pr > a ( X a), a 0

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ 0 T 1 T 2 T 3 T n T k-1 T k Χρόνος µεταξύ δύο γεγονότων U k = T k T k-1 0 αριθµός γεγονότων : N(t) t

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Μια διαδικασία περιγράφεται επίσης από τον αριθμό των γεγονότων Ν(t) που συμβαίνουν σε ένα χρονικό διάστημα Ν(t): ο αριθμός των γεγονότων στο χρ. διάστημα [0,t] Ν((α,β])=Ν(β)-Ν(α) N(t ) = 1 { T n t } n 1 = n n +1 { N( t ) n} = { T t< T } Μέσος αριθμός γεγονότων πριν την στιγμή t: m( t ) = E [ N( t )] N( t ) = 1 K 1 n 1 { Tn t } = 1{ T t } + 1{ T t } + + 1 2 { Tn t }

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ { } Κάθε οικογένεια τ.μ. X( t ),t T ορισμένων στον ίδιο χώρο πιθανοτήτων (Ω,F, P) ονομάζεται στοχαστική διαδικασία ή στοχαστική ανέλιξη Χρόνος-Χώρος καταστάσεων 4 κατηγορίες διακριτή σ.δ. με διακριτό χώρο καταστάσεων διακριτή σ.δ. με συνεχή χώρο καταστάσεων συνεχής σ.δ. με διακριτό χώρο καταστάσεων συνεχής σ.δ. με συνεχή χώρο καταστάσεων

ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ POISSON Ο αριθμός των γεγονότων Ν(t)ακολουθεί την κατανομή Poissonαν οι χρόνοι U i ακολουθούν εκθετική κατανομή { N( t ) n } = { Tn > t } όπου T n+ 1 = T 0 + U 1 > n + 1 + U 2 + U 3 + K+ U n+ 1 Pr ( N( t ) n) = Pr( T > t) Pr( T t) = n +1 n > (απόδειξη)

ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ POISSON Poisson λ 1 Υπέρθεση Poisson (λ 1 + λ 2 ) Poisson λ 2 Poisson λp Διαχωρισμός Poisson λ Poisson λ(1-p) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ανεξάρτητες τ.μ. Χ, Υ Pr k λ λ 1 λ 1 λ2 2 ( X = k) = e, Pr( Y = k) = e, Pr( X + Y = n) =? k! k k!