Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής

Επάληψη Τελευτίς Στιγμής kanellopoulos@otmailcom 5/4/

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις Ορισμοί εοιώ & Θεωρήμτ χωρίς πόδειξη Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί i κι γ δi είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός ισούτι με μηδέ ; Δύο μιγδικοί ριθμοί i γ δi γ κι δ i κι γ δi είι ίσοι κι μόο γ κι δ Δηλδή ισχύει: Επομέως επειδή i έχουμε : i κι Πως ορίζοτι οι πράξεις στους μιγδικούς ; Γι τη πρόσθεση τω Γι τη φίρεση τω i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δ i i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δ i Γι το πολ/σμό δυο μιγδικώ έχουμε: i γ δi γ δ δ γ i Γι το πηλίκο i γ δi έχουμε: i γ δi γ δ γ δ i γ δ γ δ 3 Πως ορίζετι η δύμη μιγδικού ; Ορίζουμε: z z z z z κι γεικά z z z γι κάθε κέριο με Α z ορίζουμε z z γι κάθε θετικό κέριο z 3 Ισχύει : i i i i i i i i Γεικά : i i 4 ρυ i 4 ρ υ i i i 4 ρ υ ρ i υ i υ i - i λ λ λ λ υ υ υ υ 3 4 Πως ερμηεύοτι γεωμετρικά η πρόσθεση κι η φίρεση μιγδικώ ; Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ i κι γ δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτιώ τους Η διυσμτική κτί της διφοράς τω μιγδικώ i κι γ δi είι η διφορά τω διυσμτικώ κτιώ τους 5 Σι οομάζετι συζυγής του + i ; Eίι ο ριθμός i που συμολίζετι με i 6 Ποιές είι οι ιδιότητες τω συζυγώ ; z z Re z z z Im z i 3 z z z z 4 z z z z Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις z 5 z z z z 6 z 7 N λύσετε τη εξίσωση z z v v 7 z z z +z+γ = με γ Ra κι Δ < Δξγδόκζηε όπωο ζηελ ληίζηηρε πεξίπηωζε ζη R θη ηε κεηζρεκηίδπκε κε ηε κέζδ ζπκπιήξωζεο Γ ηεηξγώλωλ ζηε κξθή: z 4 όππ Γ 4γ ε δηθξίλπζ ηεο εμίζωζεο Γ Γ i Γ Δπεηδή 4 4 ι Γ ε εμίζωζε γξάθεηη: Άξ η ιύζεηο ηεο είλη: z i z Γ i Γ η πίεο είλη ζπδπγείο κηγδηθί ξηζκί 8 Ποιές είι οι ρίζες εός τριωύμου Δ< ; Ποιές σχέσεις τις συδέου ; Οι λύσεις είι : z i Γ κι ισχύει : z z κι γ z z 9 Πως ορίζετι το μέτρο μιγδικού ; Έστω M η εικό του μιγδικού z=+i στο μιγδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του z τη πόστση του Μ πό τη ρχή O δηλδή z OM Ποιες είι οι ιδιότητες του μέτρου ; z z z z z z 3 z z z 4 z z z z z 5 z z z z z z τριγωική ισότητ 6 M M z δηλδή : z το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ είι ίσο με τη πόστση τω εικόω τους Σι πριστάου γεωμετρικά οι εξισώσεις : z z ρ ρ κι z z z ; z Η εξίσωση z z ρ ρ πριστάει το κύκλο με κέτρο το σημείο K z κι κτί ρ εώ η εξίσωση z z z z τη μεσοκάθετο του τμήμτος με άκρ τ A z κι B z Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις 3 Τ Ν Α Ρ Σ Η Ε Ι Σι οομάζουμε πργμτική συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι τί τιμή της στο є A; Έστω Α έ υποσύολο του R Οομάζουμε πργμτική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί με τη οποί κάθε στοιχείο A τιστοιχίζετι σε έ μόο πργμτικό ριθμό Το οομάζετι τιμή της στο κι συμολίζετι με 3 Σι οομάζουμε σύολο τιμώ μις συάρτησης : A R ; Το σύολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της σε όλ τ A λέγετι σύολο τιμώ της κι συμολίζετι με A Είι δηλδή: A { γι κάποιο A} 4 Σι οομάζουμε γρφική πράστση μις συάρτησης : A R ; Έστω συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι O έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο Το σύολο τω σημείω M γι τ οποί ισχύει δηλδή το σύολο τω σημείω M A λέγετι γρφική πράστση της κι συμολίζετι με C 5 Πότε δυο συρτήσεις λέγοτι ίσες ; Δύο συρτήσεις κι g λέγοτι ίσες ότ έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε g A ισχύει 6 Πως ορίζοτι οι πράξεις μετξύ συρτήσεω ; Ορίζουμε ως άθροισμ διφορά γιόμεο κι πηλίκο τίστοιχ δύο συρτήσεω g τις συρτήσεις με τύπους : g g g g g g g g Το πεδίο ορισμού τω g g κι g είι η τομή A B τω πεδίω ορισμού Α κι Β τω συρτήσεω κι g τιστοίχως εώ το πεδίο ορισμού της B με g } g είι το σύολο 7 Σι οομάζουμε σύθεση της με τη g πως συμολίζετι κι ποιο το πεδίο ορισμού της ; { A κι Α g είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α Β τιστοίχως τότε οομάζουμε σύθεση της με τη g κι τη συμολίζουμε με go τη συάρτηση με τύπο: go=g Τ πεδί ξηζκύ ηεο go πηειείηη πό όι η ζηηρεί ηπ πεδίπ ξηζκύ ηεο γη η πί η λήθεη ζη πεδί ξηζκύ ηεο g Γειδή είλη η ζύλι A ={ A B} Δίλη θλεξό όηη ε go ξίδεηη λ A δειδή λ A B 8 Πότε μι συάρτηση λέγετι γησίως ύξουσ κι πότε γησίως φθίουσ ; Μι συάρτηση λέγετι : γησίως ύξουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της ότ γι οποιδήποτε ισχύει: Γ με Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις 4 γησίως φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της ότ γι οποιδήποτε ισχύει: Γ με 9 Πότε μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο κι πότε ελάχιστο ; Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο το ότ γι κάθε A A ολικό ελάχιστο το ότ γι κάθε A Σι είι τ ολικά κρόττ μις συάρτησης ; Το ολικό μέγιστο κι το ολικό ελάχιστο μις συάρτησης εφόσο υπάρχου λέγοτι ολικά κρόττ της Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση = + με είι συάρτηση - Α υποθέσουμε ότι = τότε έχουμε διδοχικά: += + => = => = Πότε μι συάρτηση λέγετι ; Μι συάρτηση : A R λέγετι συάρτηση ότ γι οποιδήποτε συεπγωγή: τότε A ισχύει η 3 Πώς ορίζετι η τίστροφη μις - συάρτησης; Έστω μι συάρτηση : A R Tότε γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ A της υπάρχει μοδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι το οποίο ισχύει Επομέως ορίζετι μι συάρτηση g : A Rμε τη οποί κάθε A τιστοιχίζετι στο μοδικό A γι το οποίο ισχύει H g λέγετι τίστροφη συάρτηση της κι συμολίζετι με Επομέως έχουμε Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις 5 Ο Ρ Ι Α 4 Ποιες είι οι άμεσες συέπειες του ορισμού του ορίου ; 5 Πως συδέετι το όριο με τ πλευρικά όρι ; Α μι συάρτηση είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής τότε ισχύει η ισοδυμί: 6 Ποιες ισότητες ισχύου στ όρι ; όριο κι διάτξη Α τότε εώ τότε κοτά στο Α οι συρτήσεις g έχου όριο στο κι ισχύει g κοτά στο τότε g 7 Ποιες είι οι ιδιότητες τω ορίω το τείει στο ; Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι g στο τότε: g g κ κ γι κάθε κ R 3 g g 4 εφόσο g g g 5 6 k k ότ κοτά στο 7 [ ] N * 8 Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεμολής Έστω οι συρτήσεις g Α g κοτά στο κι τότε g 9 Ποι είι τ σικά τριγωομετρικά όρι ; εκ ζπλ 3 Πως υπολογίζουμε το όριο σύθετης συάρτησης ; Γι υπολογίσουμε το g εξής: της σύθετης συάρτησης g στο σημείο τότε εργζόμστε ως Θέτουμε u g κι υπολογίζουμε το u g κι το u ότι g u κοτά στο τότε το ζητούμεο όριο είι ίσο με g u uu uu υπάρχου Αποδεικύετι δηλδή ισχύει: 3 Ποιες είι οι ιδιότητες τω ορίω το τείει στο ; Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις 6 Α Α τότε εώ τότε κοτά στο τότε εώ τότε Α ή τότε Α κι κοτά στο τότε εώ κοτά στο τότε Α ή τότε κι τότε k κι γεικά * κι γεικά εώ κι * δε υπάρχει στο μηδέ το όριο της Οριο θροίσμτος κι γιομέου * το όριο της είι: R R - - κι το όριο της g είι: - - - τότε το όριο της το όριο της είι: κι το όριο της g είι: τότε το όριο της g είι: g είι: - - ; ; > < > < + + - - + + - - + - + - + - + - - + ; ; + - - + κι - P κι P άρηιος περιηηός log log κι * 3 Πότε η λέγετι συεχής στο ; Εστω μι συάρτηση κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η είι συεχής στο ότ : 33 Πότε μι συάρτηση δε είι συεχής σε έ o του πεδίου ορισμού της; Mη ζπλάξηεζε δε είλη ζπλερήο ζε έλ ζεκεί o ηπ πεδίπ ξηζκύ ηεο όηλ: Γελ ππάξρεη η όξηό ηεο ζη o ή Υπάξρεη η όξηό ηεο ζη o ιιά είλη δηθξεηηθό πό ηελ ηηκή ηεο o ζη ζεκεί o 34 Πότε η λέγετι συεχής στο πεδίο ορισμού της ; Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις 7 Ότ η είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της Ειδικότερ : Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [ ] ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του κι επιπλέο : κι 35 Σι γωρίζετε γι τις πράξεις μετξύ συεχώ συρτήσεω; Α οι συρτήσεις κι g είι συεχείς στο τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις: g c όπου c R g έ διάστημ που περιέχει το g κι με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε Α η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση g είι συεχής στο τότε η σύθεσή τους go είι συεχής στο 36 Ν διτυπώσετε το θεώρημ Bolzano Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [ ] Α η είι συεχής στο [ ] κι επιπλέο ισχύει τότε υπάρχει έ τουλάχιστο τέτοιο ώστε Δηλδή υπάρχει μι τουλάχιστο ρίζ της εξίσωσης = στο 37 Πως σχετίζετι η συέχει με τ διστήμτ ; Η εικό Γ εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης είι διάστημ 38 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέγιστης - Ελάχιστης τιμής Α είι συεχής συάρτηση στο [ ] τότε η πίρει στο [ ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή υπάρχου є[ ] τέτοι ώστε m = κι M = ισχύει m M γι κάθε є[ ] 39 Ποιο είι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης ορισμέης σε διάστημ ; A μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ Α Β όπου Α κι B Α όμως η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ B A Αάλογ συμπεράσμτ έχουμε κι ότ μι συάρτηση είι συεχής κι γησίως μοότοη σε διστήμτ της μορφής [ ] [ κι ] Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις 8 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 4 Πως ορίζετι η εφπτομέη στο σημείο A της C ; Έστω μι συάρτηση κι A έ σημείο της C Α υπάρχει το ές πργμτικός ριθμός λєr τότε ορίζουμε ως εφπτομέη της κι είι C στο σημείο της Α τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ δηλδή ε: 4 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο χ κι τι οομάζουμε πράγωγο της στο χ ; Μι συάρτηση λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο του πεδίου ορισμού της υπάρχει το κι είι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της στο κι συμολίζετι με Δηλδή: 4 Tι οομάζεηι κλίζη ηης C ζηο A ή κλίζη ηης ζηο o ; H θιίζε o ηεο εθπηκέλεο ε ζη A ζ ηε ιέκε θη θιίζε ηεο C ζη Α ή θιίζε ηεο ζη o 43 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ; Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού έ σύολο Α Θ λέμε ότι: H είι πργωγίσιμη στο Α ή πλά πργωγίσιμη ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A Η είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ του πεδίου ορισμού της ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο Η είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [ ] του πεδίου ορισμού της ότ είι πργωγίσιμη στο κι επιπλέο ισχύει R κι R 44 Σι οομάζετι πράγωγος μις συάρτησης με πεδίο ορισμού το Α ; Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι A τo σύολο τω σημείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιμη Ατιστοιχίζοτς κάθε A στο ορίζουμε τη συάρτηση : A R ωζηε : η οποί οομάζετι πράγωγος της 45 Σι οομάζουμε ρυθμό μετολής του = ως προς το ; Α δύο μετλητά μεγέθη συδέοτι με τη σχέση ότ είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο τότε οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το στο σημείο τη πράγωγο 46 Πως πργωγίζετι μι σύθετη συάρτηση ; Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις 9 Α η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι η είι πργωγίσιμη στο g τότε η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει g g g 47 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Rolle κι δώσετε τη γεωμετρική του ερμηεί Α μι συάρτηση είι συεχής στο κλειστό διάστημ [ ] πργωγίσιμη στο οικτό κι τότε υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε: ξ Το ΘR γεωμετρικά σημίει ότι υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε η εφπτομέη Μμμ της C στο M ξ ξ είι πράλληλη στο άξο τω Α Β O ξ ξ 48 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέσης Σιμής Διφορικού Λογισμού ΘΜΣ κι δώσετε τη γεωμετρική του ερμηεί Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [ ] κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ τότε υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε: ξ Γεωμετρικά το ΘΜΤ σημίει ότι υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε η εφπτομέη της Mμμ Β γρφικής πράστσης της στο σημείο M ξ ξ A είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ Ο a ξ ξ 49 Σι οομάζουμε τοπικό μέγιστο κι τι τοπικό ελάχιστο της ; Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό μέγιστο ότ υπάρχει δ τέτοιο ώστε : γι κάθε A δ δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου εώ το τοπικό μέγιστο της Μί συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο ότ υπάρχει δ τέτοιο ώστε : γι κάθε A δ δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου εώ το τοπικό ελάχιστο της 5 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Fermat Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό τότε: 5 Ποιες είι οι πιθές θέσεις τω τοπικώ κροτάτω μις συάρτησης ; Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ λέγοτι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ 5 Σι γωρίζετε γι τη πράγωγο συάρτησης στο σημείο που προυσιάζει κρόττο ; Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη σ υτό τότε: 53 Πως σχετίζετι το πρόσημο της με τ τοπικά κρόττ; Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ με εξίρεση ίσως έ σημείο του στο οποίο όμως η είι συεχής Α στο κι στο τότε το είι τοπ μέγιστο της Α στο κι στο τότε το είι τοπ ελάχιστο της A η διτηρεί πρόσημο στο τότε το δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο 54 Πότε μι συάρτηση οομάζετι κυρτή ή κοίλη σε έ διάστημ Δ ; Έστω μί συάρτηση συεχής σ έ διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θ λέμε ότι: Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο Δ η είι γησίως ύξουσ στο εσωτερικό του Δ Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο Δ η είι γησίως φθίουσ στο εσωτερικό του Δ 55 Πως σχετίζετι η δεύτερη πράγωγος με τη κυρτότητ ; Εστω μι συάρτηση συεχής σ έ διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Α γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι κυρτή στο Δ Α γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι κοίλη στο Δ 56 Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ με εξίρεση ίσως έ σημείο του o Πότε το σημείο Αo o οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της ; Α η είι κυρτή στο κι κοίλη στο ή τιστρόφως κι η C έχει εφπτομέη στο σημείο A τότε το σημείο A οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της 57 Πως σχετίζετι η με το σημείο κμπής ; Α το A είι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι η είι δυο φορές πργωγίσιμη τότε Έστω μι συάρτηση oρισμέη σ έ διάστημ κι πρόσημο εκτέρωθε του κι ορίζετι εφπτομέη της τότε το A είι σημείο κμπής C στο A Α η λλάζει 58 Πότε η ευθεί = o λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γ π της ; Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις Α έ τουλάχιστο πό τ όρι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της είι ή τότε η ευθεί λέγετι 59 Πότε η ευθεί = l οομάζετι οριζότι σύμπτωτη της γ π της στο + τιστοίχως στο - ; Α τιστοίχως γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο τότε η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της 6 Πότε η ευθεί = + οομάζετι σύμπτωτη πλάγι της γ π της στο + τιστοίχως στο - ; Η ευθεί [ λ ] λ λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο κι στο [ λ ] 6 Α ευθεί =ι+ είι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο + τιστοίχως στο - ποιες σχέσεις μς δίου τ λ ; =ι + ληηζηίρωο =ι θη θη [-ι]= + [-ι]= 6 Ν διτυπώσετε τους κόες De l Hospital ; Α g άπειρο τότε: g g R { } κι υπάρχει το g πεπερσμέο ή Α g άπειρο τότε: g g R { } κι υπάρχει το g πεπερσμέο ή Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΣΑ 63 Έστω συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Σι οομάζουμε Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ ; Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ οομάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει F γι κάθε Γ 64 Σι οομάζουμε ορισμέο ολοκλήρωμ της στο [] ; Α η είι συεχής στο [] τότε ορίζουμε : d κι d Επίσης ορίζουμε : d d 65 Ποιες είι οι ιδιότητες του ορισμέου ολοκληρώμτος ; Έστω g συεχείς συρτήσεις στο [ ] κι λ μ R Τότε ισχύου λ d λ d [ g ] d d 3 [ μg ] d λ d μ λ g d g d 4 Α η είι συεχής σε διάστημ Δ κι τότε ισχύει : γ d d d 5 Έστω μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [ ] Α γι κάθε [ ] κι η συάρτηση δε είι πτού μηδέ στο διάστημ υτό τότε 66 Σι γωρίζετε γι τη συάρτηση F t dt ; d Α είι μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ Δ κι είι έ σημείο του Δ τότε η συάρτηση F t dt Γ είι μι πράγουσ της στο Δ Δηλδή ισχύει: t dt γι κάθε a Γ 67 Ποιος είι ο τύπος της ολοκλήρωσης κτά πράγοτες στ ορισμέ ολοκληρώμτ; g d [ g ] g d 68 Ποιος είι ο τύπος της ολοκλήρωσης με λλγή μετλητής στ ορισμέ ολοκληρώμτ; u Ισχύει : g g d u du όπου g είι συεχείς συρτήσεις u g du g d κι u u g u g γ 69 Πως ορίζετι το εμδό ΕΩ εός χωρίου που περικλείετι πό τις ευθείες χ= χ= κι τις γρφικές πρστάσεις τω κι g ; Ισχύει : E Ω g d Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις 3 Θεωρήμτ με ποδείξεις Α z i κι z γ δi είι δυο μιγδικοί ριθμοί τότε ποδείξετε ότι z z z z z z i γ δi γ δ i γ δ i i γ δi z z Α z z είι μιγδικοί ριθμοί τότε ποδείξετε ότι z z z z Πράγμτι έχουμε: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z κι επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει θ ισχύει κι η ισοδύμη ρχική 3 Ν ποδείξετε ότι : Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ i κι γ δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτιώ τους Αλ M θη Mγδ είλη η εηθόλεο ηωλ +i θη γ+δi ληηζηίρωο ζη κηγδηθό επίπεδ ηόηε η άζξηζκ +i+γ+δi=+γ++δi πξηζηάλεηη κε η ζεκεί M+γ+δ M γδ M+γ +δ Δπκέλωο OM=OM +OM M Ο 4 Ν ποδείξετε ότι : Η διυσμτική κτί της διφοράς τω μιγδικώ i κι γ δi είι η διφορά τω διυσμτικώ κτιώ τους Αλ M θη Mγδ είλη η εηθόλεο ηωλ +i θη γ+δi ληηζηίρωο ζη κηγδηθό επίπεδ ηόηε ε δηθξά +i-γ+δi=-γ+-δi Μ γδ 3 πξηζηάλεηη κε η ζεκεί N-γ-δ Δπκέλωο ON=OM-OM Ο Μ Νγδ Μ 3 γδ Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις 4 5 Ν ποδείξετε ότι +iγ +δi = γ -δ +δ +γi i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ δ γ i + i + - 6 Ν ποδείξετε ότι = + i + i + + i i γ δi γ δ γ δ i γ δ γ δ i γ δi γ δi γ δi γ δ γ δ γ δ 7 Δείξτε ότι γι κάθε πολυώυμο P με R P P Σύμφω με τις ιδιότητες τω ορίω έχουμε: P P P P 8 Δείξτε ότι : εφόσο Q Q Q P Έστω η ρητή συάρτηση όπου P Q πολυώυμ του κι R με Q Τότε Q P P P Q Q Q 9Ν ποδείξετε το θεώρημ εδιμέσω τιμώ Έστω μι συάρτηση η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [ ] Α: η είι συεχής στο [ ] κι δείξετε ότι γι κάθε ριθμό η μετξύ τω κι υπάρχει ές τουλάχιστο ώστε η Ας υποθέσουμε ότι Τότε θ ισχύει η Α θεωρήσουμε τη συάρτηση g η [ ] πρτηρούμε ότι: η g είι συεχής στο [ ] κι g g φού g η κι g η Επομέως σύμφω με το θεώρημ του Bolzano υπάρχει τέτοιο ώστε g η οπότε η Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις 5 Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος Ν ποδείξετε ότι μι συάρτηση είι πργωγίσιμη στο σημείο τότε είι κι συεχής σ υτό Γι έχουμε Οπότε ] [ φού η είι πργωγίσιμη στο Αρ δηλδή η είι συεχής στο Εστω η στθερή συάρτηση c c R Δείξτε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει δηλδή c = Πράγμτι είι έ σημείο του R τότε γι ισχύει: c c Επομέως δηλδή c Έστω η συάρτηση Δείξτε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει δηλδή = Πράγμτι είι έ σημείο του R τότε γι ισχύει: Επομέως δηλδή 3 Έστω η συάρτηση { } R Δείξτε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει δηλδή Πράγμτι είι έ σημείο του R τότε γι ισχύει: οπότε: δηλδή 4 Έστω Δείξτε ότι γι κάθε η είι πργωγίσιμη κι ισχύει Ακόμ ποδείξετε ότι κι συεχής στο δε είι πργωγίσιμη σ υτό Πράγμτι είι έ σημείο του τότε γι ισχύει:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις 6 δηλδή Οπότε Η ζπλάξηεζε πηή είλη ζπλερήο ζη ιιά δελ είλη πξγωγίζηκε ζ πηό θύ - = = =+ - 5 Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση εκ είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει ζπλ δηλδή εκ ζπλ Πράγμτι γι κάθε R κι ισχύει εκ εκ εκ ζπλ ζπλ εκ εκ ζπλ εκ εκ ζπλ Επειδή εκ ζπλ κι έχουμε : εκ ζπλ ζπλ Δηλδή εκ ζπλ 6 Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση ζπλ είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει εκ δηλδή ζπλ εκ Πράγμτι γι κάθε R κι ισχύει: ζπλ ζπλ ζπλ ζπλ εκ εκ ζπλ ζπλ ζπλ εκ εκ ζπλ εκ ζπλ εκ οπότε : ζπλ εκ εκ Αρ ζπλ εκ 7 Α οι συρτήσεις g είι πργωγίσιμες στο τότε ποδείξετε ότι η συάρτηση πργωγίσιμη στο κι ισχύει: g g g είι Γι ισχύει: g g g g g g Επειδή οι συρτήσεις g είι πργωγίσιμες στο έχουμε: g g g g g Δηλδή : g g 8 Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση δηλδή * είι πργωγίσιμη στο R* κι ισχύει Πράγμτι γι κάθε * R έχουμε: Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις 7 Είδμε όμως πιο πρι ότι κ κ κ γι κάθε φυσικό Επομέως N { } τότε : 9 Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση εθ είι πργωγίσιμη στο D R { ζπλ } κι ισχύει δηλδή : ζπλ εθ ζπλ εκ εκ ζπλ εκζπλ ζπλζπλ εκεκ ζπλ εκ εθ ζπλ ζπλ ζπλ ζπλ ζπλ Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση δηλδή είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει R Q Πράγμτι ln e κι θέσουμε u ln u u ln e e u e τότε έχουμε u e Επομέως Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση δηλδή : ln είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει ln Πράγμτι ln e κι θέσουμε u ln τότε έχουμε u e Επομέως u u ln e e u e ln ln Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση ln * R είι πρ/μη στο * R κι ισχύει ln Πράγμτι : τότε ln ln ln εώ τότε : ln οπότε θέσουμε ln κι u έχουμε lnu Επομέως ln u u κι άρ u ln 3 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε ποδείξετε ότι η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε Γ ισχύει Πράγμτι Α τότε προφώς Α τότε στο διάστημ [ ] η ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομέως υπάρχει ξ τέτοιο ώστε ξ Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει ξ οπότε λόγω της είι Α τότε ομοίως ποδεικύετι ότι Σε όλες λοιπό τις περιπτώσεις είι Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις 8 4 Έστω δυο συρτήσεις g ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α οι g είι συεχείς στο Δ κι g γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε ποδείξετε ότι υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε γι κάθε Η συάρτηση Γ ισχύει: g c g είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο Γ ισχύει g g Επομέως σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ η συάρτηση στθερά C τέτοι ώστε γι κάθε g είι στθερή στο Δ Άρ υπάρχει Γ ισχύει g c οπότε g c 5 Έστω μι συάρτηση η οποί είι συεχής σε έ διάστημ Δ N ποδείξετε ότι : Α σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι γ ύξουσ σε όλο το Δ Α σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι γ φθίουσ σε όλο το Δ Αποδεικύουμε το θεώρημ στη περίπτωση που είι Έστω Γ με Θ δείξουμε ότι Πράγμτι στο διάστημ [ ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως υπάρχει ξ τέτοιο ώστε ξ οπότε έχουμε ξ Επειδή ξ κι έχουμε οπότε Στη περίπτωση που είι εργζόμστε λόγως 6 N ποδείξετε το θεώρημ του Fermat Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη σ υτό τότε: Ας υποθέσουμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο υπάρχει δ τέτοιο ώστε δ δ Γ κι γι κάθε δ δ Επειδή επιπλέο η είι πργωγίσιμη στο ισχύει Επομέως δ τότε λόγω της θ είι οπότε θ έχουμε δ τότε λόγω της θ είι οπότε θ έχουμε Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη 3 Έτσι πό τις κι 3 έχουμε Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις 9 7 Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ με εξίρεση ίσως έ σημείο του στο οποίο όμως η είι συεχής Ν ποδείξετε ότι : i Α στο κι στο τότε το είι τοπικό μέγιστο της ii Α στο κι στο τότε το είι τοπικό ελάχιστο της iii A η διτηρεί πρόσημο στο τότε το δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο i Eπεηδή γη θάζε θη ε είλη ζπλερήο ζη ε είλη γλεζίωο ύμπζ ζη ] Έηζη έρπκε γη θάζε ] Δπεηδή γη θάζε θη ε είλη ζπλερήο ζη ε είλη γλεζίωο θζίλπζ ζη [ Έηζη έρπκε: γη θάζε [ > < > < 35a O a O a Δπκέλωο ιόγω ηωλ θη ηζρύεη: γη θάζε ππ ζεκίλεη όηη η είλη κέγηζη ηεο ζη θη άξ ηπηθό κέγηζη πηήο ii Δξγδόκζηε λιόγωο 35 < > < > O a O a iii Έζηω όηη γη θάζε > > 35γ > > O a O a Δπεηδή ε είλη ζπλερήο ζη ζ είλη γλεζίωο ύμπζ ζε θάζε έλ πό η δηζηήκη ] θη [ Δπκέλωο γη ηζρύεη Άξ η δελ είλη ηπηθό θξόηη ηεο Θ δείμπκε ηώξ όηη ε είλη γλεζίωο ύμπζ ζη Πξάγκηη έζηω κε Αλ ] επεηδή ε είλη γλεζίωο ύμπζ ζη ] ζ ηζρύεη Αλ [ επεηδή ε είλη γλεζίωο ύμπζ ζη [ ζ ηζρύεη Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις Τέιο λ ηόηε όπωο είδκε Δπκέλωο ζε όιεο ηηο πεξηπηώζεηο ηζρύεη πόηε ε είλη γλεζίωο ύμπζ ζη Οκίωο λ γη θάζε 8 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Ν ποδείξετε ότι F είι μι πράγουσ της στο Δ τότε: όλες οι συρτήσεις της μορφής G F c cr είι πράγουσες της στο Δ κι κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρει τη μορφή c R G F c Κάθε συάρτηση της μορφής G F c όπου c R είι μι πράγουσ της στο Δ φού G F c F γι κάθε Γ Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της στο Δ Τότε γι κάθε Γ ισχύου F κι G οπότε G F γι κάθε Γ Άρ υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε G F c γι κάθε Γ 9 Α είι μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ Δ κι είι έ σημείο του Δ τότε η συάρτηση F t dt Γ είι μι πράγουσ της στο Δ Δηλδή ισχύει: t dt a γι κάθε Γ Εποπτικά το συμπέρσμ του πρπάω θεωρήμτος προκύπτει ως εξής: F F t dt Εμδό του χωρίου Ω γι μικρά Άρ γι μικρά είι F F F F οπότε F O F = 3 Έστω μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [ ] Α G είι μι πράγουσ της στο [ ] τότε ποδείξετε ότι t dt G G Η συάρτηση F t dt είι μι πράγουσ της στο [ ] Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της στο [ ] θ υπάρχει c R τέτοιο ώστε : G F c Από τη γι έχουμε G F c t dt c c οπότε c G Επομέως G F G οπότε γι έχουμε G F G t dt G κι άρ t dt G G 3 Έστω δυο συρτήσεις κι g συεχείς στο διάστημ [ ] με g γι κάθε [ ] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω ποδείξετε ότι γι το εμδό ΕΩ του Ω ισχύει E Ω g d g κι τις ευθείες κι = Ν Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις Γη δπ ζπλξηήζεηο θη g ζπλερείο ζη δηάζηεκ [ ] κε g γη θάζε [ ] θη Ω η ρωξί ππ πεξηθιείεηη πό ηηο γξθηθέο πξζηάζεηο ηωλ g θη ηηο επζείεο θη Σρ 8 = = 8 Ω =g =g Ω Ω O O O γ πξηεξύκε όηη d g d Δ Ω Δ Ω Δ Ω g d Δπκέλωο E Ω g d 3 Έστω δυο συρτήσεις κι g συεχείς στο διάστημ [ ] με g γι κάθε [ ] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω ποδείξετε ότι γι το εμδό ΕΩ του Ω ισχύει E Ω g d g κι τις ευθείες κι = Ν Πξάγκηη επεηδή η ζπλξηήζεηο g είλη ζπλερείο ζη [ ] ζ ππάξρεη ξηζκόο c R ηέηηο ώζηε c g c γη θάζε [ ] Δίλη θλεξό όηη η ρωξί Ω Σρ έρεη η ίδη εκδόλ κε η ρωξί Ω Σρ =+c Ω = Ω =g+c O O =g Δπκέλωο έρπκε: [ c g c] d Δ Ω Δ Ω g d Άξ E Ω g d Επιμέλει : Κελλόπουλος Χρήστος