Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές
Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί εμφανίζονται σα συντελεστές στο ανάπτυγμα δυνάμεων διωνυμικών εκφράσεων όπως η (α+b) n
Διώνυμο Ανάπτυγμα διωνύμου Αλγεβρική παράσταση με 2 όρους λέγεται διώνυμο 1+x x+y s+t Υψώνοντας το διώνυμο σε κάποια ακέραια δύναμη n λαμβάνω πολυώνυμο βαθμού n (1+x) n (x+y) n (s+t) n Κάνοντας τις πράξεις (δηλ., αναπτύσσοντας) λαμβάνω άθροισμα που λέγεται ανάπτυγμα διωνύμου
Ανάπτυγμα διωνύμου (1+x) 2 =(1+x)*(1+x)= 1+x+x+x 2 =1+2x+x 2 =1x 0 +2x 1 +1x 2 Για να σχηματίσω δυνάμεις του x, διαλέγω παρενθέσεις 1x 0 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x 0 ; Με 1 τρόπο: διαλέγοντας καμία παρένθεση Διαλέγω 0 από 2 παρενθέσεις με C(2,0) τρόπους 2x 1 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x 1 ; Με 2 τρόπους: διαλέγοντας τη μπλε παρένθεση ήτηνπράσινη παρένθεση Διαλέγω 1 από 2 παρενθέσεις με C(2,1) τρόπους 1x 2 : Με πόσους τρόπους μπορώ να παρενθέσεις για να σχηματίσω το x 2 ; Με 1 τρόπο: διαλέγοντας και τη μπλε παρένθεση και την πράσινη παρένθεση Διαλέγω 2 από 2 παρενθέσεις με C(2,2) τρόπους (C(2,2) = C(2,0))
Ανάπτυγμα διωνύμου (1+x) 3 = (1+x)*(1+x)*(1+x)= (1+2x+x 2 )*(1+x)= 1+x+2x+2x 2 +x 2 +x 3 = 1+3x+3x 2 +x 3 = 1x 0 +3x 1 +3x 2 +1x 3 Γιανασχηματίσωδυνάμειςτουx, διαλέγω παρενθέσεις 1x 0 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x 0 ; Με 1 τρόπο: διαλέγοντας καμία παρένθεση Διαλέγω 0 από 3 παρενθέσεις με C(3,0) τρόπους 3x 1 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x 1 ; Με 3 τρόπους: διαλέγοντας τη μπλε παρένθεση ήτηνπράσινη παρένθεση ήτηνκαφέ παρένθεση Διαλέγω 1 από 3 παρενθέσεις με C(3,1) τρόπους 3x 2 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x 2 ; Με 3 τρόπους: διαλέγοντας τη μπλε και την πράσινη παρένθεση ή διαλέγοντας τη μπλε και την καφέ παρένθεση ή διαλέγοντας την πράσινη και την καφέ παρένθεση Διαλέγω 2 από 3 παρενθέσεις με C(3,2) τρόπους (C(3,2) = C(3,1)) 1x 3 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x 3 ; Με 1 τρόπο: διαλέγοντας και τη μπλε παρένθεση και την πράσινη παρένθεση και την καφέ παρένθεση Διαλέγω 3 από 3 παρενθέσεις με C(3,3) τρόπους (C(3,3) = C(3,0))
Ανάπτυγμα διωνύμου
Ανάπτυγμα διωνύμου
Διωνυμικοί συντελεστές: παραδείγματα Ποιος είναι ο συντελεστής του x 3 στο ανάπτυγμα του (1+x) 4 ; C(4,3)=4!/3!*1!=4 Ποιος είναι ο συντελεστής του x 4 στο ανάπτυγμα του (1+x) 4 ; C(4,4)=1 Ποιος είναι ο συντελεστής του x 2 στο ανάπτυγμα του (1+x) 4 ; C(4,2)=4!/2!*2!=6 Κάνοντας τις πράξεις: (1+x) 4 =1+4x+6x 2 +4x 3 +x 4
Διωνυμικοί συντελεστές: παραδείγματα Ποιος είναι ο συντελεστής του x 3 στο ανάπτυγμα του (1+x) 6 ; C(6,3)=6!/3!*3!=20 Ποιος είναι ο συντελεστής του x 4 στο ανάπτυγμα του (1+x) 6 ; C(6,4)=6!/4!*2!=15 Ποιος είναι ο συντελεστής του x 2 στο ανάπτυγμα του (1+x) 6 ; C(6,2)=C(6,4)=15 Ποιος είναι ο συντελεστής του x 5 στο ανάπτυγμα του (1+x) 6 ; C(6,5)=C(6,1)=6 Κάνοντας τις πράξεις: (1+x) 6 =1+6x+15x 2 +20x 3 +15x 4 +6x 5 +x 6
Διωνυμικοί συντελεστές: παραδείγματα Ποιος είναι ο συντελεστής του x 2 y στο ανάπτυγμα του (x+y) 3 ; Μπορώ να σχηματίσω το x 2 με όσους τρόπους μπορώ να διαλέξω 2 από τις 3 παρενθέσεις του (x+y) 3 C(3,2)=C(3,1)=3 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ μπορώ να θέσω την ερώτηση για το y Μπορώ να σχηματίσω το y μεόσουςτρόπουςμπορώνα διαλέξω 1 από τις 3 παρενθέσεις του (x+y) 3 C(3,1)=3 Κάνοντας τις πράξεις: (x+y) 6 =x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3
Διωνυμικοί συντελεστές: παραδείγματα Ποιος είναι ο συντελεστής του x 3 στο ανάπτυγμα του (x+y) 3 ; Μπορώ να σχηματίσω το x 3 με όσους τρόπους μπορώ να διαλέξω 3 από τις 3 παρενθέσεις του (x+y) 3 C(3,3)=1 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ μπορώ να θέσω την ερώτηση για το y Μπορώ να σχηματίσω το y 0 με όσους τρόπους μπορώ να διαλέξω 0 από τις 3 παρενθέσεις του (x+y) 3 C(3,0)=1 Κάνοντας τις πράξεις: (x+y) 6 =x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3
Διωνυμικοί συντελεστές: παραδείγματα Ποιο είναι το ανάπτυγμα του (x+y) 4 ; Οσυντελεστήςτουόρουx 0 y 4 είναι C(4,0)=1 Οσυντελεστήςτουόρουx 1 y 3 είναι C(4,1)=4 Οσυντελεστήςτουόρουx 2 y 2 είναι C(4,2)=4!/2!*2!=6 Οσυντελεστήςτουόρουx 3 y 1 είναι C(4,3)=C(4,1)=4 Οσυντελεστήςτουόρουx 4 y 0 είναι C(4,4)=C(4,0)=1 Άρα: (x+y) 4 = C(4,0)*x 0 y 4 + C(4,1)*x 1 y 3 + C(4,2)*x 2 y 2 + C(4,3)*x 3 y 1 + C(4,4)*x 4 y 0 = 1*x 0 y 4 + 4*x 1 y 3 + 6*x 2 y 2 + 4*x 3 y 1 + 1*x 4 y 0 = y 4 + 4xy 3 + 6x 2 y 2 + 4x 3 y+ x 4
Διωνυμικοί συντελεστές: παραδείγματα Ποιος είναι ο συντελεστής του x 12 y 13 στο ανάπτυγμα του (x+y) 25 ; Μπορώ να σχηματίσω το x 12 με όσους τρόπους μπορώ να διαλέξω 12 από τις 25 παρενθέσεις του (x+y) 25 C(25,12)=25!/12!*13!=5.200.300 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ μπορώ να θέσω την ερώτηση για το y Μπορώ να σχηματίσω το y 13 με όσους τρόπους μπορώ να διαλέξω 13 από τις 25 παρενθέσεις του (x+y) 3 C(25,13)=C(25,12)
Διωνυμικοί συντελεστές: παραδείγματα Ποιος είναι ο συντελεστής του x 12 y 13 στο ανάπτυγμα του (2x 3y) 25 ; Πρέπει να φτιάξω το ανάπτυγμα στη μορφή που γνωρίζω Οπότε το x στον τύπο είναι πλέον το 2x και το y στον τύπο είναι το 3y Για να ασχοληθώ με το συντελεστή του x 12 θέτω στον τύπο k=12 Ο όρος του αθροίσματος είναι: C(25,12)(2x) 12 ( 3y) 25 12 = C(25,12)2 12 3 13 x 12 y 13 Επομένως, ο συντελεστής του όρου x 12 y 13 στο ανάπτυγμα του (2x 3y) 25 είναι: C(25,12)2 12 3 13
Διωνυμικοί συντελεστές: παραδείγματα Πρέπει να φτιάξω το ανάπτυγμα στη μορφή που γνωρίζω Μπορώ να γράψω το ανάπτυγμα ως: (x 3 +1) 12 *x 12 Ψάχνω το σταθερό όρο του αναπτύγματος δηλ., το συντελεστή του x 0 Για να προκύψει από το ανάπτυγμα (x 3 +1) 12 *x 12 το x 0 πρέπει από τον παράγοντα (x 3 +1) 12 να ασχοληθώ με το x 12 και να προσδιορίσω το συντελεστή του Οπότε το x στον τύπο είναι πλέον το x 3 και το y στον τύπο είναι το 1 Για να ασχοληθώ με το συντελεστή του x 12 θέτω στον τύπο k=4 Ο όρος του αθροίσματος είναι: C(12,4)(x 3 ) 4 1 12 4 = C(12,4) x 12 Επομένως, ο συντελεστής του όρου x 0 =x 12* x 12 στο ανάπτυγμα του (x 2 +1/x) 12 είναι: C(12,4)=12!/4!*8!=12*11*10*9/4*3*2*1=45*11=495
Διωνυμικοί συντελεστές: παραδείγματα
Διωνυμικοί συντελεστές: παραδείγματα
Διωνυμικοί συντελεστές: παραδείγματα
Ιδιότητες διωνυμικών συντελεστών Τρόποι για να διαλέξω k από n αντικείμενα = Τρόποι για να διαλέξω n k από n αντικείμενα C(n,r): πλήθος τρόπων να επιλέξω τα r άτομα από τα n στα οποία θα δώσω καπέλα Μα αυτό είναι ίδιο με το να επιλέξω σε ποια n r άτομα από τα n δε θα δώσω καπέλο: C(n,n r)
Ιδιότητες διωνυμικών συντελεστών Ταυτότητα του Pascal Πλήθος υποσυνόλων μεγέθους k ενός συνόλου Τ με n+1 στοιχεία Πώς σχηματίζονται αυτά τα υποσύνολα; Διαλέγω αυθαίρετο στοιχείο α του T Τα υποσύνολα του Τ με k στοιχεία μπορεί: να περιέχουν το α: οπότε διαλέγω k-1 στοιχεία από n+1-1 διαθέσιμα (αφού ήδη γνωρίζω ότι το α είναι στοιχείο των υποσυνόλων αυτών, διαλέγω τα υπόλοιπα k-1 στοιχεία τους από τα n+1-1 στοιχεία που μένουν εκτός του α) να μην περιέχουν το α: οπότε διαλέγω k στοιχεία από n+1-1 διαθέσιμα (αφού ήδη γνωρίζω ότι το α ΔΕΝ είναι στοιχείο των υποσυνόλων αυτών, διαλέγω και τα k στοιχεία τους από n στοιχεία εκτός του α)
Ιδιότητες διωνυμικών συντελεστών Ταυτότητα του Pascal 6 6 + 4 5 7 = 5
Τρίγωνο του Pascal Αναδρομικός τύπος υπολογισμού διωνυμικών συντελεστών n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 8 28 56 70 56 28 1 9 36 84 126 126 84 1 1 8 1 36 9 1 n 1 n 1 n + = k 1 k k 1 αν 0 < k < n διαφορετικά
Τρίγωνο του Pascal: λειτουργία 0 1 2 3 4 6 6 7 + = 4 5 5 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 7 1 6 15 20 15 6 1 V 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Τρίγωνο του Pascal: λειτουργία Στο περίγραμμα μόνο 1 0 1 2 3 4 Τρόποι να επιλέξω 0,1,2 από αυτά 6 6 7 + = 4 5 5 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 7 1 6 15 20 15 6 1 V 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Ασκήσεις (1) Πόσοιόροιυπάρχουνστοανάπτυγμα(x+y) 100 ; Οι όροι προκύπτουν περιέχουν το x υψωμένο σε κάθε δυνατή δύναμη από 0 έως και 100 στο ανάπτυγμα υπάρχουν 101 όροι
Ασκήσεις (2) Ποιος είναι ο συντελεστής του x 9 στο ανάπτυγμα (2 x) 19 ; Φτιάχνω το ανάπτυγμα στη μορφή που ξέρω Οπότε όπου x στον τύπο θα έχω x και όπου y θα έχω 2 Για να βρω το συντελεστή του όρου που περιέχει το x 9, θέτω k=9 στον τύπο Ο ζητούμενος συντελεστής είναι: C(19,9)*( 1) 9 *2 10 = C(19,9)*2 10
Ασκήσεις (3) Ποιος είναι ο συντελεστής του x 101 y 99 στο ανάπτυγμα (3x 2y) 200 ; Φτιάχνω το ανάπτυγμα στη μορφή που ξέρω Οπότε όπου x στον τύπο θα έχω 3x και όπου y θα έχω 2y Για να βρω το συντελεστή του όρου που περιέχει το x 101, θέτω k=101 στον τύπο Ο ζητούμενος συντελεστής είναι: C(200,101)*3 101 *( 2) 99 = C(200,101)*3 101 *2 99
Ασκήσεις (4) 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
Ασκήσεις (5) C(9,0) C(9,1) C(9,2) C(9,3) C(9,4) C(9,5) (C(9,6) C(9,7) C(9,8) C(9,9) C(9,0) C(9,1) C(9,2) C(9,3) C(9,4) C(9,4) (C(9,3) C(9,2) C(9,1) C(9,0) 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Ασκήσεις (6)
Ασκήσεις (7) Διαλέγω πρώτα τα k στοιχεία από τα n και μετά ξεχωρίζω ένα από τα k Ξεχωρίζω ένα από τα n στοιχεία και μετά διαλέγω τα υπόλοιπα k-1 από τα υπόλοιπα n-1
Ασκήσεις (8) Κάνω πράξεις και υπολογίζω τις σχέσεις πριν και μετά το =
Ασκήσεις (9)