A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.

Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων μανικών πρωτοβάθμιων παραγόντων στο [ x] Αντίστοιχα των παραπάνω για το ελάχιστο πολυώνυμο γραμμικής απεικόνισης Θεώρημα (Ταυτόχρονη διαγωνοποίηση) Έστω, Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα 1 1 o Υπάρχει αντιστρέψιμος P τέτοιος ώστε οι P P και P P είναι διαγώνιοι o Οι Α,Β είναι διαγωνίσιμοι και ισχύει Συνιστώμενες ασκήσεις: 1-8, 11-1, 1-19, 1-6, 1-7, 41 1 1 (1) Έστω 1 1 1 a Βρείτε το ελάχιστο πολυώνυμο του b Εξετάστε αν ο είναι διαγωνίσιμος c Δείξτε ότι ο είναι αντιστρέψιμος και βρείτε ( x) [ x] βαθμού το πολύ 1 με d ρείτε ( x) [ x] βαθμού το πολύ 1 με 4 ( ) (1) Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των 1 0 1 0 0 0, 0 1 0 0 0 0 και εξετάστε αν οι, είναι όμοιοι (1) Έστω vˆ ( v1, v, v ) μια διατεταγμένη βάση του και :, ( xv yv zv ) ( x y) v ( y z) v ( x y z) v 1 1 Βρείτε το ελάχιστο πολυώνυμο της και εξετάστε αν υπάρχει διατεταγμένη βάση û του ( : uˆ, uˆ ), όπου Α είναι ο πίνακας της προηγούμενης άσκησης 4 (1) Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση : [ x] [ x], ( ( x)) ( x) ( x) a Βρείτε το ελάχιστο πολυώνυμο της και εξετάστε αν η είναι διαγωνίσιμη b Βρείτε τη διάσταση κάθε ιδιόχωρου της 1 ( ) τέτοια ώστε (1) Έστω τέτοιος ώστε ( I )( 4 I )( 7 I ) 0 Εξετάστε αν ο είναι a διαγωνίσιμος, b αντιστρέψιμος 6 () Να καθοριστούν όλοι οι τέτοιοι ώστε 0 και Tr 6 7 (1) Να βρεθεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και το ελάχιστο πολυώνυμο του 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 7 Εξετάστε αν ο είναι διαγωνίσιμος t 8 () Έστω 1 Βρείτε το ελάχιστο πολυώνυμο της γραμμικής απεικόνισης :, ( ), και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη

Ασκήσεις 64 9 () Αν : V V είναι μια γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε, τότε κάθε στοιχείο v V γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως v v1 v0 v1, όπου v ker( 1 V ), 1,0,1 10 (1) Δείξτε ότι ( x) ( x) για κάθε t 11 () Έστω και W ο υπόχωρος του diw deg ( x) που παράγεται από τα στοιχεία 1 (1) Έστω,, C και D 0 C a Δείξτε ότι αν ο D είναι διαγωνίσιμος, τότε οι και C είναι διαγωνίσμοι b Ισχύει το αντίστροφο του a; 1 () Βρείτε το ελάχιστο πολυώνυμο του 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 () Δείξτε τα εξής a Αν deg ( x) deg ( x), τότε ( x) ( 1) ( x) b Έχουμε ( x) x 1 και ( x) ( x 1), όπου 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0, 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 (1) Έστω 1 0 0 0 a 1 0 0 44 b d 0 c e Αποδείξτε ότι ο Α είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν a 0 16 (1) Έστω 1 k 1 0 1 1 0 0 1 a Βρείτε τις τιμές του k ώστε deg ( x) 1 b Για την τιμή του k που βρήκατε πριν, υπολογίστε τον με χρήση του ( x ) I,,, Δείξτε ότι c () Δείξτε ότι ο δεν είναι διαγωνίσιμος για κάθε θετικό ακέραιο 181 181 17 (1) Να βρεθούν οι τιμές του c τέτοιες ώστε το πολυώνυμο ( x) ( x x c) να μηδενίζεται από τον πίνακα 1 0 0 1 1 6 0

Ασκήσεις 6 18 (1) Έστω : γραμμική απεικόνιση με ( x) x( x 1) Βρείτε όλα τα a, b, c με 181 a b c 1 0 19 (1) Έστω a 0 a 0 1 0 0 a 1 Για καθεμιά από τις ακόλουθες περιπτώσεις βρείτε όλες τις τιμές του a (αν υπάρχουν) τέτοιες ώστε να αληθεύει η αναγραφόμενη ιδιότητα 1 a Υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P με ο P P άνω τριγωνικό 1 b Υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P με P P είναι διαγώνιο c Ο πίνακας Α μηδενίζει το πολυώνυμο ( x1)( x)( x 010) 0 () Έστω τέτοιος ώστε 1 (1) Έστω, με I, I, I 0, I 0 a Να δειχθεί ότι οι Α, Β έχουν το ίδιο ελάχιστο πολυώνυμο b Αληθεύει ότι έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο; c Εξετάστε αν οι, είναι τριγωνίσιμοι () Έστω () Έστω για κάποιο θετικό ακέραιο και Tr Αποδείξτε ότι I I με I 4I ή I i, i 1,,, με i 9i 0I 0 Δείξτε ότι δύο από τους i 9 0 0 Δείξτε ότι ισχύει ακριβώς μία από τις παρακάτω περιπτώσεις ή όμοιος με τον diag (4, 4,) ή όμοιος με τον diag (4,, ) είναι όμοιοι 4 () Έστω, g : V V δυο γραμμικές απεικονίσεις τέτοιες ώστε ( ( x), ( x)) 1 a Δείξτε ότι η γραμμική απεικόνιση g ( ) : V V είναι ισομορφισμός b Δείξτε ότι αν ker {0 V }, τότε ker g {0 V } () Έστω 0 0 0 a0 1 0 0 a 1 0 1 0 a 0 0 1 a 1 1 Στην άσκηση 17, είδαμε ότι ( x ) ( 1) ( x a x 1 a 0) Δείξτε ότι ( x) ( 1) ( x) 6 () Έστω και ( x) [ x] Ο ( ) είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν ( ( x), ( x)) 1 7 () Έστω ένας αντιστρέψιμος, τριγωνίσιμος πίνακας τέτοιος ώστε ( x) ( x) Δείξτε ότι ( I ) 0 8 () a Έστω, τέτοιοι ώστε ( x) ( x) Δείξτε ότι οι, είναι όμοιοι b Έστω 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 C, D 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Δείξτε ότι ( x) ( x) και ( x) ( x), αλλά οι πίνακες C, D δεν είναι όμοιοι C D C D 9 () Έστω Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση R :, R ( ) Δείξτε τα εξής g

Ασκήσεις 66 a Αν ( x) [ x], τότε ( R )( ) ( ) για κάθε, και b ( x) ( x) R Αληθεύει ότι ( x) ( x) ; R 0 (1) Έστω, Ξέρουμε ότι ( x) ( x) (βλ άσκηση 7) Αληθεύει ότι ( x) ( x) ; (Βλ άσκηση 40 για τη σχέση των δύο ελαχίστων πολυωνύμων) 1 () Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές Σε κάθε περίπτωση δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα 44 a Υπάρχει με ( x ) ( x 1)( x 1) και ( x) ( x1) ( x 1) b Έστω τέτοιος ώστε I 0 Τότε ο είναι διαγωνίσιμος * 0 * c Υπάρχει με ( x) ( x 1)( x ) και όμοιο με πίνακα της μορφής * * ; * 0 * (1) Αν : V V είναι διαγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση και U είναι -αναλλοίωτος υπόχωρος του V, τότε ο περιορισμός της στο U είναι διαγωνίσιμη () Έστω με det 0 Δείξτε ότι υπάρχει μη μηδενικός με 0 4 () Έστω, τέτοιοι ώστε και Δείξτε τα εξής a Ο είναι διαγωνίσιμος και rank Tr( ) b Οι, είναι όμοιοι αν και μόνο αν rank rank () Έστω, με 0 Δείξτε τα εξής: a Αν Tr( ) Tr( ), τότε οι, είναι όμοιοι b Αν, τότε ο ( ) είναι διαγωνίσιμος για κάθε ( x) [ x] 1 0 44 6 (1) Έστω με ( x ) x ( x 1)( x ) Δείξτε ότι αν X Y 0, όπου 1 X 1 και Y, τότε 0 1 0 0 66 4 7 () Έστω, με ( x) ( x 1)( x ) και ( x ) ( x ) ( x 4) Δείξτε ότι αν V(1) V () και V () V (4), τότε 181 180 8 () Έστω, τέτοιοι ώστε, I Τότε ο I είναι διαγωνίσιμος και αντιστρέψιμος 9 () Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν υπάρχουν ai και Pi με a P a P P P PP P P για κάθε i, j 1 1 k k, i i, i j j i 40 () Έστω, Δείξτε ότι ( x) ( x), ή ( x) x( x), ή ( x) x ( x) 41 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές Σε κάθε περίπτωση δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα Έστω a 0 για κάποιο θετικό ακέραιο 0 b αντιστρέψιμος (0) 0 c Αν 4, τότε ο είναι διαγωνίσιμος 0 d Αν, 0 Τότε ( x) ( x) e Αν ο είναι αντιστρέψιμος, τότε ( x) ( x) για κάθε

Ασκήσεις 67 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις 1 Λύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι (μετά από λίγες πράξεις) x 1 ( x) det 1 x 1 ( x 1) ( x ) 1 x Ξέρουμε ότι το ελάχιστο πολυώνυμο διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και έχει τις ίδιες ρίζες με αυτό (βλ Πόρισμα 14 και Θεώρημα 16) Άρα ( x) ( x 1)( x ) ή ( x) ( x 1) ( x ) Ελέγχουμε αν ο ( I)( I) είναι ίσος με 0 Έχουμε 1 1 1 0 0 0 ( )( ) 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 Συνεπώς ( x) ( x 1)( x ), που είναι γινόμενο διακεκριμένων πρωτοβαθμίων μονικών παραγόντων Άρα ο πίνακας είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα Ο είναι αντιστρέψιμος αφού (0) 0 Από ( x) ( x 1)( x ) x 6x παίρνουμε 1 1 1 1 0 6 I I ( 6 ) ( 6 I) Ένα ζητούμενο ( x) είναι το ( x) ( x 6 I) 4 4 Με Ευκλείδεια διαίρεση βρίσουμε x ( x 6x 1) ( x) 16x 1 και επομένως 16 1 I Ένα ζητούμενο ( x) είναι το ( x) 16x 1 I Υπόδειξη: Εργαζόμενοι όπως στην προηγούμενη άσκηση βρίσκουμε ( x) ( x) ( x ), ( x) ( x ), ( x) ( x ) Οι, δεν είναι όμοιοι, γιατί όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο ελάχιστο πολυώνυμο (Πρόταση 18) 1 0 Απάντηση: Έχουμε ( : ˆ, ˆ v v) 0 1 και ( x) ( : vˆ, vˆ )( x) ( x ) Δεν υπάρχει πίνακας με τη 1 1 1 δοσμένη ιδιότητα καθώς ( x) ( x) ( x) ( x) 4 Απάντηση: Θεωρώντας τη διατεταγμένη βάση (1, x, x ), εύκολα βρίσκουμε ότι ο αντίστοιχος πίνακας της είναι ο 1 0 0 0 0 Έχουμε ( x) ( x ), η δεν είναι διαγωνίσιμη και υπάρχει μοναδικός ιδιόχωρος και η ζητούμενη διάσταση είναι di V ( ) 1 Έστω ( x) ( x )( x 4)( x 7) [ x] Έχουμε ( ) 0 και άρα ( x) ( x )

Ασκήσεις 68 a Από την τελευταία σχέση και το γεγονός ότι το ( x ) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων διακεκριμένων μονικών παραγόντων στο [ x], έπεται ότι το ( x ) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων διακεκριμένων μονικών παραγόντων στο [ x] Άρα ο είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα 1 b 1 ος τρόπος Από ( x) ( x ) και το Θεώρημα 16 έπεται ότι αν είναι μια ιδιοτιμή του, τότε, 4, 7 Άρα το 0 δεν είναι ιδιοτιμή του και επομένως ο είναι αντιστρέψιμος ος τρόπος Υπόδειξη Ο μηδενίζει ένα πολυώνυμο που έχει μη μηδενικό σταθερό όρο Άρα είναι αντιστρέψιμος, βλ άσκηση 111a (Σημείωση Αυτός ο τρόπος δεν χρησιμοποιεί ιδιοτιμές ή ελάχιστο πολυώνυμο αλλά μόνο τον ορισμό αντιστρέψιμου πίνακα) 6 Επειδή, έχουμε ( x) x( x 1)( x ) Επειδή το x( x 1)( x ) είναι 0 ( I)( I) γινόμενο διακεκριμένων πρωτοβάθμιων μονικών παραγόντων στο [ x], το ίδιο ισχύει και για το ( x ) και επομένως ο Α είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα Επίσης, κάθε ιδιοτιμή του είναι ένας από τους αριθμούς 0,1, Το άθροισμα των ιδιοτιμών του είναι 6 Επειδή ο είναι, συμπεραίνουμε ότι οι ιδιοτιμές είναι,, Συνεπώς ο είναι όμοιος με τον I Άρα I 7 Παρατηρούμε ότι 0 C, 0 D 4 όπου, C, D (7) 0 Έχουμε ( x) ( x ) Άρα Από ( x) ( x )( x 7) C ( x) ( x 7) D C D ( x ) ( x ) συμπεραίνουμε ότι ( x) x ( x) ( x ) ( x) ( x) ( x) ( x) ( x ) ( x 7) σύμφωνα με την Πρόταση 114 γιατί το ελάχιστο πολυώνυμο διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο Επειδή I 0, έχουμε ( ) ( ) x x Από ( x C ) ( x )( x 7) έπεται άμεσα ότι C ( x) ( x )( x 7) Έχουμε D ( x) x 7 Σύμφωνα με το Πόρισμα 110 ( x) ( ( x), ( x), ( x)) ( x ) ( x 7) C D Ο Α δεν είναι διαγωνίσιμος αφού το ( x) διαιρείται με το ( x ) (Πόρισμα ) 8 Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι Θεώρημα 1 1 Απάντηση: x x ( ) 1 Είναι διαγωνίσιμη σύμφωνα με το 9 Υπόδειξη: Χρησιμοποιώντας το ελάχιστο πολυώνυμο, δείξτε ότι η είναι διαγωνίσιμη t t 10 Υπόδειξη: Αν ( x) [ x], τότε ( ) ( ) και άρα ( ) 0 ( t ) 0 k 1 11 Υπόδειξη: Δείξτε ότι τα στοιχεία I,,,,, όπου k deg ( x), είναι μια βάση του W ( ) * 1 a Λύση: Αν ( x) [ x], τότε ( D) 0 ( C) Για ( x) D ( x) παίρνουμε

Ασκήσεις 69 D ( ) * 0 D( ) D( C) 0 0 D ( C) ( x) ( x), ( x) ( x) D C D Επειδή ο D είναι διαγωνίσιμος, το ( x ) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων διακεκριμένων μονικών παραγόντων D στο [ x] και άρα το ίδιο ισχύει για καθένα από τα ( x ), ( x ) Άρα οι, C είναι διαγωνίσιμοι 1 1 b Απάντηση: Δεν ισχύει Ένα παράδειγμα είναι C (1), D 0 1 Ο D δεν είναι διαγωνίσιμος καθώς ( ) ( 1) D x x 1 Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι C και άρα ( x) x( x ) Δείξτε ότι ( x) x( x ) 14 1 aλύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι το ( x 1) ( x ) Από το Πόρισμα 14 και το Θεώρημα 16 έπεται ότι το ελάχιστο πολυώνυμο του είναι ένα από τα ( x 1)( x ), ( x 1) ( x ), ( x 1)( x ), ( x 1) ( x ) Από το Πόρισμα, ο Α διαγωνοποιείται αν και μόνο αν το ελάχιστο πολυώνυμο είναι το ( x 1)( x ) Είναι σαφές ότι το ελάχιστο πολυώνυμο είναι το ( x 1)( x ) αν και μόνο αν ( I )( I ) 0 Υπολογίζοντας βρίσκουμε 0 0 0 0 a 0 0 0 ( I)( I ) ad 0 0 0 ae b d 0 Επομένως ( I)( I ) 0 a 0 (και b, c, d, e τυχαία) b Απάντηση: a 0 (και b, c τυχαία) 16 Απάντηση: a Έχουμε 17 Το b Λύση: deg ( x) ( I) 0 k 0 ( ) ( 1) 1 0 x x x x I Στην περίπτωση αυτή x x ( ) ( 1) 1 k 1 1 I I 0 1 1 0 0 1 c Λύση: Οι ιδιοτιμές του είναι1,1,1 Αν ο είναι διαγωνίσιμος για κάποιο, τότε θα είναι όμοιος με τον I και άρα ίσος με αυτόν, I Δηλαδή ο μηδενίζει το πολυώνυμο x 1 Άρα ( x) x 1 Από το a έπεται ότι ( x 1) ( x) και επομένως ( x1) x 1 Πρόταση 110 προκύπτει ότι όλες οι ρίζες του x 1 στο είναι απλές 181 181 ( x ) ( x x c) μηδενίζεται από τον πίνακα αν και μόνο αν Αυτό είναι άτοπο καθώς εφαρμόζοντας την x x x x c ( ) ( ) 181 ( 181 ) Όπως στην άσκηση 1, βρίσκουμε ότι ( x) ( x1)( x ) Επειδή τα πολυώνυμα x1, x είναι σχετικά πρώτα, έχουμε σύμφωνα με την Πρόταση 19 181 181 181 ( x) ( x ) ( x x c) x1 x x c Από την Πρόταση 11 έχουμε 181 181 x1 x x c 1 c 0 c 4 18 Υπόδειξη:

Ασκήσεις 70 181 181 181 x x ax bx c a b c1 0 x( x 1) x ax bx c 181 ( x 1) x ax bx c c 0 c 0 181 x 1 x ax bx c 1 a b c 0 a 180, b 1819, c 0 180 x 1181x ax b 181 a b 0 Στην τρίτη ισοδυναμία χρησιμοποιήσαμε το κριτήριο πολλαπλής ρίζας με την παράγωγο 19 Έχουμε ( x ) det( xi ) ( x a )( x 1)( x 1) και οι ιδιοτιμές του Α είναι a,1, 1 a Επειδή για κάθε a το ( x ) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων στο [ x ], ο Α είναι τριγωνίσιμος για κάθε a (Θεώρημα 4) b Αν a 1, 1, τότε ο Α έχει τρεις διακεκριμένες ιδιοτιμές και άρα είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 Αν a 1, τότε di V (1) rank( I ) 0 0 1 rank 0 0 0 1 0 1 που είναι διάφορο της πολλαπλότητας (1) της ιδιοτιμής 1 του Α Συνεπώς για a 1, ο Α δεν είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα 10 Όμοια αποδεικνύεται ότι για a 1, di V ( 1) 1 ( 1) και άρα ο Α δεν είναι διαγωνίσιμος Από τα παραπάνω έπεται ότι, δεδομένου του a, υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P αν a 1, 1 τέτοιος ώστε ο P 1 P είναι διαγώνιος αν και μόνο c Αν ο Α μηδενίζει το ( x1)( x )( x 010), τότε ισχύει ( x) ( x 1)( x)( x 010) Επειδή το 1 είναι ιδιοτιμή του έχουμε x 1 ( x) σύμφωνα με το Θεώρημα 16, οπότε x 1 ( x1)( x)( x 010) που είναι άτοπο Άρα δεν υπάρχει a τέτοιο ώστε ο Α να μηδενίζει το ( x1)( x )( x 010) 0 Από την υπόθεση I συνάγουμε ότι Ο Α διαγωνοποιείται Πράγματι, το ελάχιστο πολυώνυμο ( x ) του Α διαιρεί το x 1 και επειδή το x 1 έχει διακεκριμένες ρίζες στο (όπως προκύπτει εφαρμόζοντας την Πρόταση 110), το ίδιο συμβαίνει για το ( x ) Άρα ο διαγωνοποιείται σύμφωνα με το Πόρισμα Κάθε ιδιοτιμή του Α ικανοποιεί τη σχέση 1 Έστω,, 1 (όχι αναγκαστικά διακεκριμένες) οι ιδιοτιμές του Α Ξέρουμε ότι Tr 1 (Πόρισμα 117) Από την τριγωνική ανισότητα για μέτρα μιγαδικών παίρνουμε Tr 1 1 1 1 1 Άρα η ανισότητα είναι ισότητα Συνεπώς οι μιγαδικοί αριθμοί,, 1 έχουν το ίδιο πρωτεύον όρισμα Κάθε i έχει μέτρο 1 αφού i 1 Άρα 1 Από τη σχέση Tr 1 παίρνουμε 1 1 Άρα η διαγώνια μορφή του Α είναι ο πίνακας I, οπότε PI P 1 για κάποιον αντιστρέψιμο P Επομένως I 1 a Ο Α μηδενίζει το x x x 1 ( x 1)( x 1) και άρα x x x Επειδή τα πολυώνυμα x 1 και x 1 είναι ανάγωγα στο [ x] x x x x 1, 1, ( 1)( 1) ( ) ( 1)( 1) παίρνουμε ότι το ( x ) είναι ένα από τα

Ασκήσεις 71 Από την υπόθεση I και το γεγονός ότι deg ( x) (ο πίνακας είναι ), παίρνουμε ( ) 1 x x Με ανάλογο τρόπο προκύπτει ότι ( ) 1 x x b Έχουμε ( x) ( x) (Πόρισμα 14), deg ( x) deg ( x) (από το a), και τα ( x), ( x) έχουν τον ίδιο μεγιστοβάθμιο συντελεστή Άρα ( x) ( x) c Δεν είναι τριγωνίσιμοι σύμφωνα με το Θεώρημα 4 γιατί το χαρακτηριστικό τους πολυώνυμο είναι το x 1 που δεν είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων πολυωνύμων στο [ x] Από τη σχέση 9 0 0 έπεται ότι x x x x x Άρα έχουμε τρεις I ( ) 9 0 ( 4)( ) περιπτώσεις 1) ( ) 4 4 x x I ) ( ) x x I ) ( x) ( x4)( x ) διαγωνίσιμος (βλ Πόρισμα 9 ή Πόρισμα ) Στην περίπτωση αυτή, οι ιδιοτιμές του είναι οι 4, 4, ή οι 4,, σύμφωνα με το Θεώρημα 16 Άρα στην περίπτωση αυτή, ο είναι όμοιος με τον diag (4, 4,) ή diag (4,, ) Οι τέσσερις πίνακες 4 I, I, diag (4, 4,), diag (4,, ) είναι ανά δύο μη όμοιοι (πχ έχουν διαφορετικά χαρακτηριστικά πολυώνυμα) και άρα ισχύει ακριβώς μια από τις ανωτέρω περιπτώσεις Απάντηση: Έπεται άμεσα από την προηγούμενη άσκηση καθώς έχουμε πίνακες και 4 κλάσεις ομοιότητας Άρα υπάρχουν δύο πίνακες που ανήκουν στην ίδια κλάση ομοιότητας 4 a Από το Θεώρημα 16 υπάρχουν a( x), b( x) [ x] τέτοια ώστε 1 ( x) a( x) ( x) b( x) Άρα 1 ( g) a( g) ( g) b( g) ( g) a( g) V g Από 1 ( g) a( g) έπεται ότι η γραμμική απεικόνιση ( g) : V V είναι επί Επειδή ο V είναι V πεπερασμένη διάστασης, η ( g) : V V είναι ισομορφισμός b Έστω ότι και ο ker και ο ker g είναι μη τετριμμένοι Τότε το 0 είναι ιδιοτιμή και της και της g Από το Θεώρημα 16 έπεται ότι το x διαιρεί και το ( x ) και το g ( x ), άτοπο αφού ( ( x), ( x)) 1 Υπόδειξη: Παρατηρήστε αρχικά ότι ότι τα στοιχεία g I E E, E E, E E,, E E Δείξτε ότι από αυτό έπεται 1 1 1 1 1 1 1 I,,,, x x συνέχεια δείξτε ότι ( ) ( 1) ( ) είναι γραμμικά ανεξάρτητα και επομένως deg ( x) deg ( x) Στη 6 1 ος τρόπος Έστω ότι ( ( x), ( x)) 1 Τότε από το Θεώρημα 16 έχουμε ( x) a( x) ( x) b( x) 1 για κάποια a( x), b( x) [ x] Άρα ( ) a( ) και ο ( ) είναι αντιστρέψιμος I Αντίστροφα, έστω ότι ο ( ) είναι αντιστρέψιμος Έστω p( x ) ένας κοινός παράγοντας των ( x), ( x) με deg p( x) 1 Τότε ( x) p( x) c( x), ( x) p( x) d( x) για κάποια c( x), d ( c) [ x] Από την πρώτη σχέση παίρνουμε ( ) p( ) c( ), οπότε det ( ) det p( ) det c( ) και άρα det p( ) 0, δηλαδή ο p( ) είναι αντιστρέψιμος Από τη δεύτερη g

Ασκήσεις 7 σχέση παίρνουμε 0 ( ) p( ) d( ) και επειδή ο p( ) είναι αντιστρέψιμος έχουμε d( ) 0 Άρα ( ) ( ) x d x και deg ( x) deg d( x), άτοπο αφού ( x) p( x) d( x) και deg p( x) 1 ος τρόπος Εδώ χρησιμοποιούμε το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας θεωρώντας ότι και ( x), ( x) [ x] Έχουμε ( ( x), ( x)) 1 τα ( x), ( x) δεν έχουν κοινή ρίζα στο κάθε ιδιοτιμή του δεν είναι ρίζα του ( x) το 0 δεν είναι ιδιοτιμή του ( ) αντιστρέψιμος Στην προ-τελευταία ισοδυναμία χρησιμοποιήσαμε το θεώρημα Φασματικής Απεικόνισης που λέει ότι κάθε ιδιοτιμή του ( ) είναι της μορφής ( ), ιδιοτιμή του 7 Υπόδειξη: Αν το είναι μια ιδιοτιμή του, τότε καθένα από τα n, n 1,,, είναι μια ιδιοτιμή του Επειδή, προκύπτει ότι 1,0,1 Συμπεράνετε ότι ( x ) ( 1) ( x 1) 8 Υπόδειξη: a Διακρίνετε περιπτώσεις αν το ελάχιστο πολυώνυμο έχει διακεκριμένες ρίζες ή πολλαπλή ρίζα Στην ειδική περίπτωση που ( x) ( x) ( x ), χρησιμοποιώντας τριγωνοποίηση έπεται ότι αρκεί να a b δειχτεί ότι οι, 0 0, είναι όμοιοι Δείξτε ότι οι πίνακες αυτοί είναι όμοιοι υπολογίζοντας έναν a b αντιστρέψιμο P με P P 0 0 b Όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο rank k k 9 Υπόδειξη: a Αποδείξτε ότι R ( ) για κάθε θετικό ακέραιο k b Αρκεί να δειχτεί ότι για κάθε ( x) [ x] ισχύει ( R ) 0 ( ) 0 Η ισοδυναμία αυτή έπεται από το a Γενικά δεν αληθεύει ότι ( x) ( x) καθώς έχουν βαθμούς αντίστοιχα v, v 0 Απάντηση: Δεν αληθεύει Ένα αντιπαράδειγμα είναι 1 ( ) x x 0 0 0 0, 1 0 0 1 Έχουμε ( x) x και a Λάθος γιατί το ( x ) δεν διαιρεί το ( x ) (βλ Πόρισμα 14) b Σωστό Έχουμε ότι ( ) 1 x x x Αρκεί να δείξουμε ότι το x x 1 δεν έχει διπλή ρίζα στο, γιατί τότε θα συμβαίνει το ίδιο για το ( x ) και άρα ο θα είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα Έστω ότι το ( x) x x 1 έχει διπλή ρίζα στο, οπότε θα έχει κοινή ρίζα με την παράγωγό 4 4 του ( x) x σύμφωνα με την Πρόταση 110 Αν a 0, τότε a a, οπότε ( a) 0 a a 1 0 a a 1 0 a 1 4 4 Αλλά το a 1 4 δεν είναι ρίζα του ( x) x, άτοπο * 0 * c Λάθος καθώς το είναι ιδιοτιμή του * * αλλά όχι του * 0 * Υπόδειξη: Δείξτε ότι ( x) ( x ) U Υπόδειξη: Αν ( x) x ( x), τότε μια επιλογή είναι ( ) Δικαιολογείστε γιατί 0

Ασκήσεις 7 4 aυπόδειξη: Ο είναι όμοιος με διαγώνιο πίνακα της μορφής diag(0,,0,1,,1, 1,, 1), όπου a, b, c 0, a b c και rank b c Τότε ο είναι όμοιος με το Υπόδειξη: a Δείξτε ότι οι, είναι όμοιοι με πίνακες της μορφής a b c diag(0,,0,1,,1) a bc diag (,,,0,,0), a diag(,,,0,,0), αντίστοιχα, όπου Tr( ) a και Tr( ) b Τώρα αν Tr( ) Tr( ), έχουμε a b οπότε οι, είναι όμοιοι με τον ίδιο πίνακα diag (,,,0,,0) και άρα όμοιοι b Χρησιμοποιείστε το θεώρημα ταυτόχρονης διαγωνοποίησης για να δείξετε ότι ο είναι διαγωνίσιμος 6 Υπόδειξη: Θεωρώντας διαστάσεις ιδιόχωρων δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος Άρα ( x) x( x 1)( x ) (γιατί;) και επομένως ( I)( I) 0 6 1 7 Λύση: Έχουμε V (1) V () επειδή ο είναι διαγωνίσιμος Από αυτό και την υπόθεση 61 V(1) V (), V() V (4) προκύπτει ότι υπάρχει βάση { X1,, X 6} του, όπου κάθε X i είναι ιδιοδιάνυσμα και του και του Το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα ταυτόχρονης διαγωνοποίησης n 8 Yπόδειξη: Επειδή κάθε ρίζα στο του x 1 είναι απλή, οι, είναι διαγωνίσιμοι Επειδή ισχύει, είναι ταυτόχρονα διαγωνίσμοι Δείξτε ότι από αυτό έπεται ότι ο I είναι διαγωνίσιμος (Παρόμοιο επιχείρημα υπάρχει στη λύση της άσκησης b) Άρα κάθε ιδιοτιμή του I είναι της μορφής 181 180 1, όπου 1 Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρική μορφή μιγαδικών αριθμών, δείξτε ότι 1 0 9 Υπόδειξη: Έστω ότι ο Α είναι όμοιος με το diag( 1,, ) Παρατηρήστε ότι diag(,, ) E E, E E και E E 0 για κάθε i j, 1 1 11 όπου E diag(0,,1,,0) και το 1 βρίσκεται στη θέση ( i, i ) ii Για την άλλη κατεύθυνση, δείξτε ότι τα P i της εκφώνησης διαγωνοποιούνται ταυτόχρονα ii 40 Υπόδειξη: Δείξτε ότι ( ) ( ) για κάθε ( x) [ x] Για ( x) ( x) προκύπτει ότι ( x) x ( x ) και για ( x) ( x) προκύπτει ότι ( x) x ( x ) 41 Απάντηση: a Σ b Σ c Σ d Σ e Σ The Matrix https://wwwidbco/title/tt0109/ ii ii jj b