Zákadné vzťahy v PaP:. Pozdĺžna deformácia: - bsoúne predĺženie: - Reaívne predženie: [m] x.[00 %] [-]. Priečna deformácia: - bsoúne zúženie / rozšírenie: resp.. [m] y y. - Reaívne zúženie / rozšírenie: x. y z [%] [-] m E. Teponá dĺžková rozťažnosť: - bsoúne predĺženie:.. [m] a poom = + [m] aebo priamo pre dĺžku po prevorení vpyvom epoy.(. ) [m] - Reaívne predženie:. [-] Ďašie vzťahy:, C, [C],. E.. E. [Pa]. 4. Hookeov zákon: - Pre ťah / ak:. E. E [Pa] - Pre šmyk:.g [Pa] z z. Podmienky bezpečnosi: max, resp. max, K kde: aebo k k P, resp. k K, aebo k P.
Čisý ťah / ak:. Bez uvažovania vasnej iaže - Vnúorná (normáová) sia: [] ix - ormáové napäie: - bsoúne prevorenie: - Pomerné prevorenie: [Pa]. [m] E. [-] E.. S uvažovaním vasnej iaže: - Vnúorná (normáová) sia: (. g.. ) [] G ix - ormáové napäie:. g.. [Pa], kde.g [/m ] - bsoúne prevorenie: - Pomerné prevorenie:.. g... [m] G E. E E. E. [-] E. E Odporúčam: hp://www.fce.vubr.cz/stm/kaderova.j/frvs/frvs.hm
a Previerku iež pozrieť príkady z: hp://www.prikady.eu/cs/yzika/deformace-pevnychaek.aej - veľa prakických príkadov (napr. aj epená rozťažnosť, Hookeov zákon a pod).. Zisie, či sa prerhne žeezný drô s priemerom mm, pokiaľ je napínaný siou k. (Medza pevnosi maeriáu je σp=4 MPa) Riešenie: d = mm, r = mm = 0 - m, = 0, σp = 4MPa Preože σn > σp, žeezný drô sa prerhne.. Vypočíaje reaívne predĺženie ana pôvodnej dĺžky 0 m, ak sa pri deformácii predĺžio o 40 mm. Riešenie: 0 = 0 m, Δ = 40 mm = 0,04 m Reaívne predĺženie ana je ε = 0,4%.. ko sa zmení normáové napäie v drôe, pokiaľ sa ťahová sia pôsobiaca na drô zväčší 4 krá a priemer drôu iba krá? Riešenie: ormáové napäie sa v drôe nezmení.
4. ký musí byť poomer medeného drôu, aby sa pôsobením siy 00 neprerho. Riešenie: =00, P meď=.0 8 Pa, r =? Poomer medeného drôu musí byť rovný aebo väčší ako 0,89 mm.. kú najväčšiu dĺžku môže mať žeezný drô zavesený vo verikánej poohe, aby sa vpyvom vasnej iaže neprerho? Riešenie: g = 9,8 m.s -, ρ (e) = 7800 kg.m - = 7,8.0 kg.m -, σp (e) = 4.0 6 Pa Dĺžka drôu môže byť maximáne 404 m. 6. Drô s pôvodnou dĺžkou 4, m a priemerom, mm sa pôsobením siy 0, k predĺži o, mm. Urče modu pružnosi v ťahu E.j. urče z akého maeriáu asi je? Riešenie: 0 = 4, m, r = 0,.0 - m, = 0,.0, Δ =,.0 - m, E =? Modu pružnosi v ťahu je E = 67 GPa,.j. pribižne pre hiník paí E () = 67 GPa.
Téma 6: Úvod do náuky o PaP Príkad 6.: Z akého maeriáu je yč, na korú pôsobí osameá sia (obr.6.). Zadané: dĺžka yče = m; napäie v yči = 4 MPa, absoúne predĺženie yče = 0, mm. Pomerné predĺženie yče: Podľa Hookeovho zákona Obr. 6. pre maeriá. charakerisiku E paí 0, mm 0,.0.0 mm. E 4( MPa) 0,.0. E ( MPa) Pôsobením siy sa yč s dĺžkou = m predĺžia o = 0, mm a jej deformáciou vzniko v yči napäie s veľkosťou 4 MPa. 6 6 4.0 ( Pa) 4.0 ( Pa) E 0, ( mm) 0,.0 0 ( mm) E,.0 Pa,.0 MPa Z abuľky hodnô pre E zisíme, že uvedená yč je pravdepodobne z ocee aebo niku. 9 0.0 ( ) Pa Príkad 6.: Určie pomerné (y) a absoúne (dy) priečne zúženie oceľovej yče (obr.6.a) zaťaženej dvojicou sí, korá vyvoaa v yči napäie. Zadané: = 40 MPa, = m. Obr. 6.a Teoreické východiská: pre maý eemen (Obr.6.b), mysene vybraný z yče, paia zv. rovnice easiciy pre pomerné priečne zúženie v smere osí y a z v vare dy dy m me E x y y resp. dz dz m me E x z z, kde m je zv. Poissonova konšana [-], resp. je Poissonovo číso ( = /m) v [-]. Obr. 6.b. V ľubovoľnom priečnom reze (komom na smer pôsobenia ťahovej siy, vyvoávajúcej v prúe normáové napäie x ) vznikne priečne zúženie v smere osi y: x. y z m m. E E
Po dosadení hodnô maeriáových konšán pre oceľ (E=,.0 MPa, m=0/, =0,) pre hodnou pomerného zúženia (v smere osí y a z) dosaneme: me. 40 y,7.0 z 0..,.0. Pre určenie hodnoy absoúneho zúženia dy, (resp. dz) v prípade eemenárneho úseku dy (dz podľa Obr.6.b) poom paí: dy dy 0 o dy. dy,7.0. dy,7.0. y,7.0. dy y Poom konkréne, napr. pre zvoený var prierezu - obdĺžnikový prierez yče (a=0 mm, b=0 mm) bude paiť: a y a y. a,7.0.0 - Δa = -,4.0 mm a b y y - b resp. b. b,7.0.0 Δb = -,8.0 mm. ké bude absoúne predĺženie yče s prierezom (a x b) o dĺžke = m?.. 40.000 MPa. E mm 0,9mm E,.0 MPa 4. Pre hodnou pomerného (reaívneho) predĺženia prúa paí 0,9 40 x,9.0 príp.,90.0 000 E,.0 4 4 x Príkad 6.: O koľko sa predĺži hiníková yč dĺžky = m (obr. 6.) pri zmene epoy =0 C. ké napäie vznikne v saicky neurčio uoženej yči zadanou zmenou epoy? a) b) Obr. 6. + Zmena epoy Δ môže byť uvažovaná buď ako: - ohrev: Δ+ = -0 = (0 C 0 C) =0 C aebo - ochadenie : Δ- = - 0 = (0 C 0 C) = -0 C. Súčinieľ eponej dĺžkovej rozťažnosi pre hiník je,.0 C - (Tab.6.).. Tyč dĺžky sa kadnou zmenou epoy Δ+ predĺži o prírasok (obr.6.b):..,.0 ( ).0 ( )..0 ( ) C C mm 0,4 mm
ZÁVER: Tyč sa pri zmene epoy: o +0 C predĺži o 0,4mm, resp. zníženie epoy (ochadenie) o 0 C by naopak vyvoao skráenie yče o 0,4mm Poznámka: Vypočíané predĺženie je voči pôvodnej dĺžke yče veľmi maé. Moho by sa zdať, že akáo zmena rozmeru nemá prakický význam, ae aj akáo pomerne maá zmena dĺžky yče môže vyvoať veľkú zmenu napäia v osaných prvkoch konšrukcie, korej je súčasťou napr. oázky namáhania na vzperný ak. Pomerné predĺženie yče vpyvom zmeny epoy 4..,.0.0,.0 resp. aj 0, 4,.0 000. k je yč uožená saicky neurčio (napr. medzi dvomi senami) napäie, vznikajúce v yči vpyvom zmeny epoy, možno určiť pomocou Hookeovho zákona 0, 4 ( mm) E E 6, MPa.0 ( mm)...0,7.0 ( MPa) resp.. E.. E,.0 ( C ).0 ( C).0, 7.0 ( MPa) 6, MPa. 4 Príkad 6.4: Z akého maeriáu je yč = m (obr. 6.4), korá sa pri zvýšení epoy z C na C predĺži o = 0,6 mm? ká by musea byť zmena epoy, aby sa yč skráia o 0,9 mm?. Určíme eponú zmenu,.j. rozdie medzi epoami: Δ = - 0 = = 0 C (ohrev) Vypočíame hodnou súčinieľa eponej dĺžkovej rozťažnosi pre zadanú yč :.. 0, 6 0,6 α =,.0 C. 0..0 0.0 0,0.0 - - mm Cmm. a v abuľke pre určené nájdeme maeriá: =,.0 - C - Oceľ.. Zmena epoy : Obr. 6.4 0,9 0,9.. Δ = - C.,.0.000 0,06 C. C mm C mm
Téma 7 : amáhanie čisým ťahom aebo akom apr. hp://www.kme.zcu.cz/kme/pp/ah-ak/geogebra-ah-ak.php aebo super je aj hp://www.fce.vubr.cz/stm/kaderova.j/frvs/frvs.hm Príkad 7.: Oceľová yč pôvodnej dĺžky =0,8 m kruhového prierezu s priemerom d=0 mm je zaťažená cenricky ťahovou siou =0 k. a) Urče jej absoúne a reaívne predĺženie. b) Urče veľkosť a charaker vznikajúceho napäia. Riešenie: = = 0 000. 0000.800 a) 0, 4 mm, E..(0) 0000. 4 0, 4 4.0 0, 000* 00% 0, 0% 800 0000 0000 6,66MPa d 0.00 mm.. 4 4 b) Príkad 7.: Oceľové iaho dĺžky =,8 m, prierezu = 00 mm sa po zaťažení osovou ťahovou siou predĺžio o = 0,9 mm. a) vypočíaje siu, korou je iaho namáhané ťahom, b) urče veľkosť v ňom vznikajúceho ťahového napäia. Riešenie: 0,9 0, 000, 800. E 0, 000.0000 0 MPa,. 0.00 00 ae aj inak. E.. 0,9.0000.00 00,k E. 800 00 0 MPa 00 Príkad 7.: Rúra s vonkajším priemerom D=40 mm, hrúbkou seny =4 mm je namáhaná saickou ťahovou siou =60 k. Vykonaje konrou napäia a porovnaje ho s napäím dovoeným, ak maeriá rúry je oceľ 7 (=40 MPa). Riešenie: = = 60 k 60000,6 MPa,.( D d ).(40 ) 4 4 40 MPa (,6 MPa 40 MPa)
Príkad 7.4: Vypočíaje ťahové napäie v nebezpečnom priereze yče s ovorom, zaťaženej saickou ťahovou siou =40 k. Zadané: b=60 mm, =0 mm, priemer ovoru d=0 mm. 0 Riešenie: = 40000 80 MPa b. d. 60.0 0.0 d b Príkad 7.: Vypočíaje pochu priečneho prierezu prúa (=dimenzovanie) zaťaženého ťahovou siou (obr.a) ak, aby mao výsedné predĺženie prúa dĺžku. Zadané: = 90 k; = 0,7 m; = mm, E =,.0 MPa. x Riešenie: Obr.a Obr.b Podmienka rovnováhy sí: n i 0 0 ix ==90k Hľadaná pocha priečneho rezu prúa: získame napr. zo vzťahu pre pomerné predĺženie yče pri namáhaní ťahom - vo všeobecnom vare (aj s uvažovaním vpyvu od vasnej iaže pozor však na smer pozdĺžnej osi prúa). Všeobecne má var. g.... G, E.. E E.. E kde čen ( ) predsavuje účinok siy na predĺženie yče a čen ( G ) vpyv vasnej iaže. V omo prípade však vpyv od vasnej iaže zanedbáme (inak by nešo o prípad namáhania čisým ťahom, ae o kombinované namáhanie ťah ohyb).. 90.0 ( ).0,7.0 ( mm) ( mm) E.,.0 ( MPa). ( mm ). 90.0 ( ).0,7.0 ( mm) =.0 = 0 mm E.,.0 ( mm. ).( mm)
Príkad 7.: Priama oceľová yč s priemerom d=0 mm je udržiavaná v saickej rovnováhe siami =000, =000, =000 a 4=? Zisie veľkosť vnúorných sí v mysených rezoch,,, urče napäia v ýcho prierezoch a vyráaje cekové predĺženie yče. rez rez rez 00 00 00 4. r. 78,mm 0 4 4 4000 4 rez : rez : rez : 000 000 000 000 000 78, 000 78,,74MPa,48MPa Predĺženie ceej yče: 000 000 000 4000 4000 78, 0,96MPa... 000.00 000.00 4000.00 0,09 E. E. E.,.0.78,,.0.78,,.0.78, mm Príkad 7.6: Vykonaje konrou skruky M x 60, maeriá ISO 404 -.6 (RM=800 MPa), korá je namáhaná osovou saickou ťahovou siou =000, pre mieru bezpečnosi určenú koeficienom k =. RP 480 ; RP 0,6. RM 0,6.800 480 MPa ; 40MPa k Z abuiek zisíme, že pre M x 60 paí: sredný priemer záviu d=,0 mm, maý priemer záviu d=,0 mm. Pre pochu prierezu skruky dosaneme: d d,0 0,77.. 96,mm 4 4 000,MPa.,MPa 40 MPa - skruka vyhovuje 96,
Príkad 7.7: Vypočíaje hodnoy vnúorných sí, napäí, premiesnenia bodov, B, C a absoúne predĺženie u cenricky zaťaženého odsupňovaného prúa (obr.7.a). Zakresie priebehy, a po ceej dĺžke prúa. Zadané: = 6 k; = 9 k; = 4 k; = 00 mm ; = 00 mm ; = 0, m; modu pružnosi v ťahu pre oceľ je E =.0 MPa. D C B Riešenie:. Väzbové reakcie: x = + = 6 9 + 4 = k. Vnúorné siy: n i Časť I (-B) = rez m: i 0 0 = 6000, n i i Časť II (B-C) = rez m: 0 0 = - -000, n i i Časť III (C-D) = rez m : 00 = - + 000.. ormáové napäia v jednoivých úsekoch: 6000( ) Časť I (-B): 60MPa, 00( mm ) 000 Časť II (B-C): -0MPa, 00 000 Časť III (C-D): MPa. 00 4. Posunuia jednoivých bodov, B, C, D u(d)= 0 ( ) ( ) 0..0.00. 000.00 uc ud 0,0 mm E ub. 000.00-0,06 mm ( ) uc ( ) 0, 0 0, 0 0, 07 E..0.00. 6000.00 uub 0,087 mm. ( ) ( ) 0,06 0,06 0, E..0.00 D. Hodnoa absoúneho predĺženia ceého prúa: D 0,087 mm
Priebehy osovej siy, normáového napäia a posunuia bodov, B, C, D.j. absoúneho predĺženia na odsupňovanom cenricky namáhanom prúe sú na obr.7.7 e,f,g. m m m D C B a) D III II I b) m c) m d) m e) f) u g) Obr.7.7
Príkad 7.8: Bremeno s iažou Q je zavesené pomocou dvoch prúov, (obr.7.8a). Maeriá prúov je rovnaký, jeho hodnoa dovoeného napäia je. avrhnie pochu prierezu prúov =B a =C ak, aby bezpečne preniesi zaťaženie Q. Zadané: Q=00 k, =0 MPa. a) b) Obr.7.8 Rovinný zväzok sí??? Od čoho závisí veľkosť porebnej pochy prierezu: maeriá (poznáme iba ) a napäosť v dôsedku zaťaženia (zaiaľ poznáme iba primárne zaťaženie sia Q).. Určenie napäí v prúoch: z podmienok rovnováhy, pre mysenými rezmi rozdeené prúy, určíme veľkosť osových sí B = a C = (obr.7.8b): n i 0.sin 0.sin 40 ix n iy 0 Q.cos0.cos40. i 0,8. Q, 8 k 0,7. Q 7, k Dôkaz: n.sin4. ix 0.sin 0.sin 4 0 sin 0 i n. 0 Q.cos 0.cos 4 0 i iy.sin4 Q.cos0.cos 4 0 sin 0 0,707 Q..0,866.0, 707 Q.(, 0, 707) 0 0, Q = 0,7.Q,9 0,7. Q.0, 707 = 0,77.Q 0, apäia v prúoch konšrukcie:,8 ; 7,
. Prierezové pochy: neznáme bezpečné hodnoy prierezových pôch prúov je možné určiť z pevnosnej podmienky v vare dov, resp. dov,8,8,8.0 ( ) 0,8.0 ( ) 4mm 4, 4.0 m 6 dov 0( MPa) 0.0 (. m ) 7, 7, 7,.0 ( ) 0,07.0 ( ) 488mm 6 4 4,88.0 m 6 dov 0 ( MPa) 0.0 ( m. ). Príkad 7.9: Tiaho obdĺžnikového prierezu s pomerom srán h:b, vyrobené z ocee je zaťažené ťahovou siou. Určie bezpečné rozmery srán prierezu h, b. Zadané: =64 k, h:b=:4, oceľ 7 (s ohľadom na mieru bezpečnosi = MPa). b b = 4. h h = 64000 mm bh. 4 hh. 4h h,mm 4 4 b4. h 4., 4,mm Voené rozmery priečneho prierezu iaha budú: h x b = x 0 mm. Príkad 7.0: Určie minimány prípusný (bezpečný) priemer d prúa kruhového prierezu zaťaženého siami a podľa Obr.7.0. Zadané: = 8 k, =0 k, σ=0 MPa. I d a b c II L L Obr.7.0
Riešenie: meódou myseného rezu určíme veľkosť normáovej siy: - na časi (a,b=l) pôsobí normáová sia I = +, - na časi (b,c=l) pôsobí osová sia II =. - najväčšie normáové napäie je na úseku (a,b), preože u vzniká maximána normáová sia I = + a ide o prizmaický prú. Podmienka pevnosi: I max Veľkosť prierezovej pochy: I. d 4 d... Dosadením dosaneme 8000 0000 [ ] d... 66..0 [. mm ] d 0mm. Príkad 7.: Urče priebeh osovej siy, normáového napäia a premiesnenia prierezov,, na yči premenného prierezu, zaťaženej siou (obr.7.a). Účinok od vasnej iaže zanedbaje. Zadané: = 00 k; = 400 mm ; = m; E =,.0 MPa. =00k /=0MPa m m. E. m x x m a) b) c) d) =00k /.=MPa..E. Obr.7. Riešenie:. Meóda myseného rezu (Obr.7.e) a zo saických podmienok rovnováhy sí na mysene oddeenej časi prúa určíme veľkosť výsednice vnúorných sí (Obr.7.b). Paí x x Obr.7.e
n i n i 0 0 ix 0 0 ix = =00k Priebeh určených osových sí je znázornený na Obr.7.b.. Hodnoy normáových napäí určíme zo známeho vzťahu: = =00k 00.0 ( ) 00.0 ( ) MPa 0 MPa..400 ( mm ) 400 ( mm ),,, Priebeh normáových napäí je znázornený na Obr.7. c.. Vzájomné premiesnenia prierezov môžeme určiť nasedovne:. 00.0 ( ).0 ( mm) 00.0.0, =,9mm E.,.0 ( MPa. mm ).400 ( mm ),.0.400. 00.0 ( ).0 ( mm) 00.0.0, =0,9mm E.,.0 ( MPa. mm )..400 ( mm ),.0.800 Cekové predĺženie yče od pôsobiacej siy je podľa princípu superpozície vpyvov..,,, E. E. 00.0 ( ).0 ( mm) 00.0 ( ).0 ( mm),,9 + 0,9 =,78 mm,.0 ( MPa).400 ( mm ),.0 ( MPa)..400 ( mm ) aebo Δ = Δ,+ Δ,=,9 + 0,9 =,78 mm. Príkad 7.: avrhnie (dimenzuje) pochu švorcového prierezu sĺpa z borovicového dreva na zaťaženie ťahom ak, aby bezpečne preniesa osovú siu = 0 k. Zároveň urče, aký minimány priemer guľainy je možné použiť na výrobu akéhoo sĺpa.. Určenie pochy prierezu sĺpa: môžeme riešiť pomocou hodnoy dovoeného napäia riešením podmienky v vare. k paí musí paiť aj. V zadaní máme určený prierez sĺpa švorec. V abuľkách nájdeme pre borovicové drevo určenú hodnou dovoeného napäia σ = 7,0 MPa a poom paí (r) =a +a a a 0.0 ( ) 70.0 ( / m ) a = 0,0444( m ) 0,08 m =,08 cm cm 4 a.r a. Určenie minimáneho priemeru guľainy: a ar. r, 6 6 cm dmin =. r cm, 4 a. r
. Posúďe akou najväčšou siou je možné zaťažiť čisým (cenrickým) akom vyššie definovaný sĺp s pochou prierezu ( x ) = 484 cm? max 6 4. dov. 7,.0 ( m. ). 484.0 ( m ) 48. 0 = 48, k 4. Posúďe, či navrhovaný prierez sĺpa (484 cm ) bezpečne prenesie akové napäie pri zaťažení siou =0, M? σ = 0,.0 ( ) 0,484.0. 0 ( m ) 6 7 0, 7.0 Pa 4 7,MPa Podmienka únosnosi prierezu sĺpa v vare 7, MPa 7, MPa - nevyhovuje!!! Príkad 7.4: Určie pochu priečneho rezu prúa (obr.7.4a), zaťaženého vasnou iažou G a akovou siou ak, aby cekové predĺženie prúa boo nuové. Vypočíaje a zakresie priebeh napäia po ceej dĺžke prúa. Zadané: = 00 k; E =,.0 MPa; = m. a) b) c) x a m m x G b Obr.7.4 Riešenie:. Myseným rezom m-m prú rozdeíme (vo vzdiaenosi x od voľného konca yče).. apíšeme rovnicu rovnováhy podľa obr.4b v vare G 0. a G mg.. g. x.. x.. Po rozpísaní.. g. x. 0 z korej g.. x- = Dôkaz. Pre hľadanú pochu dosaneme = ρ.g.x - σ. Z podmienky rovnováhy sí však nedokážeme hľadanú pochu prierezu prúa určiť, nakoľko nie je zaiaľ známa hodnoa napäia, koré v prúe od jeho deformácie (ak) vzniká. Preo musíme využiť zv. deformačnú podmienku, vychádzajúcu z prevorenia yče.
. Predženie po ceej dĺžke prúa: g... = Dôkaz:. E E. Po zavedení podmienky nuového absoúneho predĺženia 0 podľa zadania dosaneme: g... 0 0. E E...00( ) =,7.0 m 0,006 m g.ρ. 9,8 ( ms. ).780( kgm. ).,0( m) - = Dôkaz: Pocha priečneho rezu prúa pri nuovom predĺžení je = 0,006 m = 600 mm.. Hodnoy napäia v krajných bodoch (a) a (b) prúa: 00 ax ( ) : σ a = g.. 9,8.780.,0 847 Pa, 0,006 00 bx ( 0): σ b = g..0-846 Pa. 0, 006 Zisený priebeh napäia po ceej dĺžke prúa je zobrazený na obr.4c. 4. Sia pôsobiaca na eeso od vpyvu vasnej iaže: G mg. (. V). g... g 780.0,006..9,8 00.. g.. x. 0 Dôkaz: g.. x.. g.. x. /: g.. x Dôkaz: g.. x dx. dx. dx /. E E 0 0 0 g.. x. g.. x. dx. dx a inegrovaním dosávame E. E E. 0 0 g..0. g... g.ρ...0 ;. E. E.. E. E. Δ =.E E.S 0 Dôkaz:... g /. E.. E E. g... E. g..... /.. E... g..... = = g.ρ. g.ρ. - Dôkaz :,.0 MPa =,.0.mm,.0,.0,.0.0,.0,.0.0,.0. m m (0 ) mm mm 6 6 MPa mm