8. Ohyb priamych nosníkov

Transcript

1 8. Ohyb priamych nosníkov 8. Vonkajšie statické účinky na nosníku Nosník je dôežitý konštrukčný prvok, ktorý súži k achyteniu prevažne priečneho vonkajšieho aťaženia. á väčšinou tvar pretiahnutého dhého teesa, ktoré má najčastejšie konštantný priečny priere. Funkciu nosníka pre achytenie priečneho aťaženia pri rotácii pní hriadeľ. Nosník je namáhaný na ohyb, keď naň pôsobia priečne siy a momenty sí komo k jeho osi. Osové siy atiaľ anedbáme. V ďašom si avedieme orientáciu sí a momentov sí. Budeme používať pravotočivú sústavu súradníc a pridržíme sa historicky aužívaného pravida v teórii ohybu, že siy a nimi vyvoané deformácie nosníka (t.j. priehyb) budeme považovať a kadné v smere visom nado (táto dohoda má opodstatnenie v tom, že väčšina akčných sí sú siy tiažové). Tieto dôvody vedú k voľbe sústavy súradníc podľa obr.8.. Obr. 8. Osi, y,, predstavujú romerové osi nosníka, Y súradnicu priehybu vo visom smere. Kadnú orientáciu sí a momentov sí uvažujeme v súade s kadnou orientáciou súradnicových osí. Pretože budeme pojednávať o rovinnom ohybe vo visej rovine (y,), prichádajú do úvahy en vonkajšie siy v smere osi y a vonkajšie momenty otáčajúce okoo osi. Pre jednoduchosť nebudeme pripájať k onačeniu F a inde y a. Vonkajšie siy a momenty sí pôsobiace na nosník môžeme rodeiť do dvoch skupín:. Akčné (prvotné) siy. Sú to dané vonkajšie aťažujúce siy F a momenty sí, prenášané na nosník dotykom iných teies (napr. avesenie bremien, pôsobenie oubených koies, atď.) aebo pôsobením okoitého prostredia (tak pynu, vody, tiaž).. Reakčné (druhotné) siy (reakcie, väbové siy). Sú to siy R a momenty sí R, ktoré sa prejavujú ako účinky podpier nosníkov. Vonkajšie aťaženie ďaej deíme na (obr. 8.):. Osameé siy (bremená) F [N].. omenty sí (siové dvojice) v [Nm].. Spojité aťaženie (rovnomerné aebo nerovnomerné) q [Nm - ], t.j. sia pripadajúca na jednotku dĺžky nosníka (vastná tiaž, tak tekutiny, atď.). Akčné siy sú dopredu dané, reakcie sú ávisé na spôsobe uoženia nosníka a je potrebné ich vypočítať. Obr. 8. 8

2 Roonávame tri druhy uoženia nosníka:. Uoženie kĺbové posuvné (obr.8.), kde reakcie predstavujú jednu nenámu, ktorá je komá na smer posuvu.. Uoženie kĺbové pevné (obr.8.), kde reakcia je všeobecne šikmá k osi nosníka a predstavuje dve nenáme: R y a R.. Dokonao votknutý koniec (obr.8.5), kde reakcia uoženia predstavuje tri nenáme: šikmú reakčnú siu R s dvomi ožkami R y, R a reakčný moment R. Obr. 8. Obr. 8. Obr. 8.5 U staticky určitých nosníkov budeme vychádať pri určovaní reakcií podmienok statickej rovnováhy: F + R 0 y F + R v y + Vhľadom na to, že sú tieto rovnice tri, môžu byť u staticky určitých nosníkov iba tri nenáme reakcie. Preto eistujú en dva druhy staticky určitých nosníkov:. Nosník uožený na jednom konci kĺbovo pevne, na druhom kĺbovo posuvne (obr.8.6).. Nosník na jednom konci votknutý a na druhom konci voľný (obr.8.7). 0 R 0 (8.) Obr. 8.6 Obr. 8.7 Všetky ostatné uoženia nosníkov sú staticky neurčité. Jedná sa napr. o nosník uožený na viac ako dvoch podperách, nosník dvakrát pevne kĺbovo uožený aebo obojstranne votknutý. V takýchto prípadoch je počet nenámych reakcií väčší ako počet rovníc statickej rovnováhy. Príkad 8. Príkady výpočtu reakcií na nosníkoch (obr.8.8) použitím rovníc (8.). 85

3 a.) b.) c.) F + F R B R F a F R 0 F + q R R B A A R R R B B 0 F a 0 q Obr. 8.8 Potom: Potom: Potom: R R B A F a F R F F R A R R B + F a ( a ) + F ( a ) q R 8. Vnútorné statické účinky na nosníku a) Ohybový moment a posúvajúca sia Pôsobením vonkajších sí a momentov sí vnikajú vo vnútri nosníka vnútorné siy, ktoré (vyjadrené na jednotku pochy uvažovaného priereu) vyvoávajú napätia. Aby sme mohi vyšetrovať napätie v danom prieree, musíme ponať výsednú vnútornú siu a moment siy, ktorý v tomto prieree pôsobí. Uvažujme nosník podľa obr.8.9a aťažený siou F a v mieste podpier reakciami R A, R B. Pre vyšetrenie priebehu aťaženia podĺž nosníka použijeme metódu myseného reu. Predstavme si, že je nosník rodeený na dve časti (obr.8.9b). Re prevedieme ce bod C vo vdiaenosti (a ) od ľavej podpery A, ktorá je spojená s počiatkom súradnicového systému. Aby sa obnovia rovnováha ľavej časti nosníka, musíme vo vykonanom ree pripojiť visú siu T a moment siy. Sia T bráni vájomnému posunutiu uvoľnenej časti nosníka, moment bráni ich vájomnému natočeniu. Podobne to patí pre aistenie rovnováhy aj pravej časti uvoľneného nosníka. Ak prísušnú siu a moment onačíme T a, potom patí: T -T, -. Sia T sa naýva posúvajúca (šmyková, priečna) sia, nakoľko účinkom tejto siy sa prierey nosníka posúvajú a moment je ohybovým momentom, nakoľko sa nosník jeho účinkom ohýba. Určujú sa podmienok statickej rovnováhy odreanej časti nosníka. Všeobecne teda patí: T F p p (8.) kde: Σ F p je súčet všetkých sí (vrátane reakcií) pôsobiacich sprava od uvažovaného reu, Σ p je súčet momentov sí F p pôsobiacich sprava od uvažovaného reu. 86

4 Obr. 8.9 Kadná orientácia T a je rejmá obr.8.0 a 8.. Účinkom kadného ohybového momentu vniká kadný priehyb nosníka (t.j. smerom nado). Spodné vákna sa jeho účinkom predžujú ( > 0) a horné vákna sa skracujú ( < 0). Obr. 8.0 Obr. 8. V našom prípade (obr.8.9) teda patí pre bod C sprava: T Fp RB resp. ľava R CB R p B B ( ) T F R F R F A A ( a) Pre bod D sprava: T F R p p B R B + F ( ) F ( a ) resp. ľava T F R A R A 87

5 Pre cekové posúdenie aťaženia nosníka ostavujeme tv. priebeh posúvajúcich sí (obr.8.9c) a ohybových momentov (obr.8.9d). Tieto obrace súžia pre určenie miesta s maimánou hodnotou T a, ktorá je rohodujúca pri dimenovaní nosníkov. iesto kde pôsobí najväčší ohybový moment sa naýva nebepečný priere. V našom prípade (obr.8.9): a ma ( a) RA a RB ( a) F a b) Schweder Žuravského vety Zostrojovanie priebehov T a sa uľahčí, ak budeme ponať ávisosti medi intenitou spojitého aťaženia q, posúvajúcou siou T, a ohybovým momentom. Obr. 8. Uvažujme nosník všeobecne aťažený spojitým aťažením o intenite q po ceej dĺžke, ktorého vyberieme eement dĺžky d podľa obr.8.. Aby bo tento eement v rovnováhe, musí naň pôsobiť ľava posúvajúca sia T a ohybový moment, ktoré nahrádajú účinok odreanej ľavej časti nosníka a prava posúvajúca sia T+dT a moment +d, ktoré nahrádajú účinok odreanej pravej časti nosníka. Orientáciu sí a momentov voíme kadne v súade s obr.8.0. Siová podmienka rovnováhy eementu je: T + dt + q d T 0 (8.) omentová podmienka rovnováhy vhľadom k bodu 0 je: d + d + q d T d 0 (8.) Z rovnice (8.) vycháda: dt q (8.5) d Derivácia posúvajúcej siy podľa súradnice priereu je rovná ápornej hodnote intenity spojitého aťaženia v tom istom prieree. Z rovnice (8.) po anedbaní nekonečne maej veičiny. rádu q.(d) / dostaneme: d T (8.6) d Derivácia ohybového momentu podľa súradnice priereu je rovná posúvajúcej sie pôsobiacej v tom istom prieree. Zo vťahov (8.5) a (8.6) patí: d dt q d d (8.7) 88

6 Druhá derivácia ohybového momentu podľa súradnice priereu je rovná ápornej hodnote intenity spojitého aťaženia. Tieto vťahy sa naývajú Schweder Žuravského vety. Používajú sa pri ostrojovaní priebehov T a. Vychádajú geometrického výnamu prvej derivácie funkcie, t.j. že prvá derivácia udáva smernicu dotyčnice v danom bode krivky popísanej hadkou funkciou. Ak bude v nejakom intervae premennej intenita nuová (q 0), potom o vťahu (8.5) patí dt/d 0, teda posúvajúca sia je v tomto intervae konštantná. Zo vťahu (8.6) potom patí, že ohybový moment má v tomto intervae priamkový priebeh s nenuovou smernicou (obr.8.9). Ak je intenita spojitého aťaženia konštantná (q konšt.), má posúvajúca sia ineárny priebeh a ohybový moment kvadratický priebeh (druhá derivácia kvadratickej funkcie je konštanta v tomto prípade je táto konštanta podľa (8.7) rovná ápornej hodnote intenity). Zo vťahu (8.6) vidíme, že pre prípad, keď je priebeh ohybového momentu popísaný hadkou funkciou, nastáva etrém ohybového momentu v bode, v ktorom je posúvajúca sia nuová (podmienka pre etrém d/d 0). Ak priebeh ohybového momentu nie je popísaný hadkou funkciou (obr.8.9d), nastáva etrém ohybového momentu v bode, v ktorom posúvajúca sia mení namienko. Je to v pôsobisku najväčšej osameej siy, kde sa mení veľkosť posúvajúcej siy skokom o veľkosť osameej siy. V tomto bode sa čiara náorňujúca priebeh ohybového momentu omí tak, že smernica dotyčnice tu mení skokom veľkosť kadnej hodnoty na všeobecne inú ápornú hodnotu. Príkad 8. Vyšetrite priebeh posúvajúcej siy a ohybového momentu u nosníkov obraených na obr.8.. Vypočítame maimány ohybový moment a určíme poohu nebepečného priereu. Riešenie: Predpokadom riešenia je naosť reakcií. U nosníkov A, B, C sme reakcie vyšetrii v predchádajúcom príkade. Pre nosník D je rejmé, že R A R B R F. Priebeh T a vyšetríme podľa všeobecného postupu uvedeného v kapitoe 8.a. Nosník A: Posúvajúca sia pre 0 < a T F + F R B RA pre a < a T F RB pre a T RB RB F a F a pre a < a RB ( ) F ( a ) pre a RB ( ) ma RB ( a) F ( a a ) pre a a ( F a + F a ) F ( a a) Ohybový moment pre 0 < a ( ) ( ) ( ) R A 89

7 90 Obr. 8. Nosník B: Posúvajúca sia pre 0 F T Ohybový moment pre 0 ( ) F pre 0 F ma Nosník C: Posúvajúca sia pre 0 ( ) ( ) q q q q q R T + + Ohybový moment pre 0 ( ) ( ) ( ) q q R pre / 8 q ma

8 Nosník D: Posúvajúca sia pre 0 < a T F R R F pre a < (+a) T F R 0 pre (+a) (+a) T F F a + F a pre a < (+a) F a konšt. pre (+a) (+a) F ( + a ) pre a < (+a) F a Ohybový moment pre 0 < a ( ) F ma Nebepečný priere nosníka je v mieste maimáneho ohybového momentu (obr.8.). 8. Čistý ohyb Úvod Uvažujme najjednoduchší prípad namáhania na ohyb, tv. čistý rovinný ohyb. Budeme o ňom hovoriť vtedy, ak pôsobí na nosník aebo na jeho časť iba ohybový moment (t.j. posúvajúca sia T sa rovná nue) (obr.8.). Obr. 8. Zo vťahu (8.6) vidíme, že pre T0 je d/d 0, teda konšt. Nosník resp. jeho časť je teda namáhaný čistým ohybom v miestach, kde má ohybový moment konštantnú veľkosť. Podmienky pre vnik čistého ohybu môžu vniknúť pri rônom vonkajšom aťažení. Príkady čistého ohybu sú náornené na obr.8.. Ohyb je rovinný, ak je priehybová čiara, t.j. pretvorená strednica (os) nosníka rovinnou krivkou. Nutnou podmienkou pre vnik rovinného ohybu je, aby nosník bo aťažený rovinnou sústavou sí; nie je to však podmienka postačujúca. Aby vniko rovinný ohyb, musí rovina pôsobiacich sí spývať s rovinou súmernosti nosníka. Táto jednoduchá podmienka patí en u nosníkov, ktoré majú súmerné priečne prierey. Všeobecne patí : Rovinný ohyb vniká vtedy, ak pôsobí ohybový moment (ako vektor) v smere jednej havných centránych osí priečneho priereu nosníka. U súmerných priereov spýva havná centrána os s osou súmernosti priereu. 9

9 a) Výpočet normáových napätí pri čistom ohybe Uvažujme nosník namáhaný čistým ohybom (obr.8.5). yseným reom ho predeíme v mieste vo vdiaenosti od ľavej podpery. Odreaná ľavá časť nosníka je na obr.8.6. Pôsobením ohybového momentu sa niektoré podĺžne mysené vákna nosníka predžujú, iné skracujú. Tak vniká v prieree normáové napätie (,y), ktoré je všeobecne funkciou súradníc, y. Predpokadajme maé deformácie nosníka, pri ktorých môžeme anedbať priečnu kontrakciu v smere osí, y; preto môžeme písať 0, y 0. Pretože pri čistom ohybe neuvažujeme vpyv posúvajúcej siy T, patí pre šmykové napätie y y 0. Nosník namáhaný čistým ohybom je teda v stave priamkovej napätosti a napätie je havné. Obr. 8.5 Obr. 8.6 Na eementárnu časť pochy priereu ds pôsobí vnútorná sia. ds (obr.8.6). Pretože v prieree nepôsobí žiadna iná sia v smere osi, musí byť súčet všetkých vnútorných sí. ds v prieree rovný nue: ds 0 (8.8) ( S ) Cekový moment eementárnych sí. ds k osi prenášaný priereom musí byť rovný ohybovému momentu, ktorý má smer osi. Teda: y ds (8.9) ( S ) Cekový moment eementárnych sí. ds k osi y musí byť nuový, pretože v smere osi y nepôsobí žiadny iný moment (predpokadáme, že ide o rovinný ohyb). Teda: ds 0 (8.0) ( S ) Rovnice (8.8) až (8.0) vyjadrujú ako sa uskutočňuje prenos vnútorných sí jednej časti nosníka (prerušeného myseným reom) na druhú časť. Tieto rovnice je možné chápať ako podmienky statickej ekvivaencie vnútorných sí (napätí) v prieree so aťažením (ohybovým momentom), ktoré uvažovaný priere namáha. Tieto vťahy však nepostačujú pre nájdenie funkcie (,y) rodeenie napätí v prieree je teda staticky neurčité. Pre určenie napätia v prieree musíme vychádať roboru deformácie nosníka. Vyjdeme predpokadu, že priečne rey, ktoré boi rovinné pred deformáciou, ostávajú rovinnými aj po deformácii. Tento predpokad umožni J.Bernouimu (7) podať prvé riešenie ohybu. Oprávnenosť tohoto predpokadu boa dostatočne preukáaná tým, že výsedky teórie ohybu, ktoré neho pynú, súhasia s eperimentmi. 9

10 Dva pôvodne rovnobežné rey a (obr.8.5) vo vájomnej vdiaenosti d sa po deformácii nosníka natočia o uho dϕ (obr.8.7). Roviny preožené deformovanými (rovinnými) prieremi sa pretnú v priamke 0 ρ, ktorá je komá na nárysnú rovinu. Na tejto priamke ežia stredy poomerov krivosti deformovaných podĺžnych vákien eementu nosníka. Je rejmé, že spodné vákna eementu sa deformáciou predžujú a horné vákna skracujú. Obr. 8.7 Dĺžka vákna A A, o ktorého poohe atiaľ nič nevieme, sa nemení. Pochu, v ktorej ežia podĺžne vákna, ktorá deformáciou nemení svoju dĺžku, naveme neutránou pochou. Poomer krivosti vákna A A onačíme ρ. Pretože uvažujeme maé deformácie, môžeme pre jeho dĺžku napísať: A A ρ dϕ d Vákno B B, ktoré je vo vdiaenosti y od vákna A A mao pred deformáciou taktiež dĺžku d A A. Jeho dĺžka po deformácii je: B B ( ρ + y) dϕ Pomerné predĺženie vákna B B bude: BB A A ( ρ + y) dϕ ρ dϕ y ε (8.) A A ρ dϕ ρ Pretože v prípade čistého ohybu je nosník v stave priamkovej napätosti v smere osi, môžeme pre vyjadrenie napätia, ktoré vnikne v dôsedku deformácie (8.), použiť Hookov ákon v ákadnom tvare: y E ε E (8.) ρ Odtiaľ vidíme, že napätie je priamo úmerné súradnici y (t.j. vdiaenosti od neutránej pochy) a že neávisí na súradnici (obr.8.8), na rodie od pôvodného 9

11 všeobecného predpokadu (,y). Vo vťahu (8.) atiaľ ostáva neurčený poomer krivosti ρ. V ďašom určíme poohu neutránej pochy. Ak dosadíme vťah (8.) do (8.8), dostaneme podmienku: E E y ds S 0 (8.) ρ ( S ) kde: S je statický moment priereu k osi. ρ Ak vyjadríme statický moment ce súradnicu ťažiska priereu y T, teda S y T. S, môžeme podmienku (8.) prepísať do tvaru : E.S y T 0 (8.) ρ Pretože E.S 0, bude táto podmienka spnená pre y T 0. Obr. 8.8 Z toho vypýva, že ťažisko priereu musí ežať v počiatku súradnicovej osi y, od ktorej meriame poohu vákien, ktoré deformáciou menia svoju dĺžku (vákna, pre ktoré je y 0, svoju dĺžku nemenia). Neutrána pocha, v ktorej sa podĺžne vákna nepredžujú ani neskracujú, precháda ťažiskami priereov. Pretože spojnica ťažísk jednotivých priereov je strednica nosníka, precháda neutrána pocha strednicou nosníka. To však k jednonačnému určeniu neutránej pochy nestačí. Neutrána pocha pretína rovinu každého priečneho priereu v priamke, ktorá sa naýva neutrána os priereu (na obr.8.8 je to os ). Ak dosadíme vťah (8.) do (8.0), dostaneme podmienku : E E y ds D 0 (8.5) ρ ( S ) kde: D y je deviačný moment priereu k osiam, y. ρ y Pretože E 0, bude podmienka (8.5) spnená pre D y 0. Aby boa táto podmienka spnená, musia byť osi, y havnými osami uvažovaného priereu. Pretože osi, y v súade s podmienkou (8.) prechádajú ťažiskom, bude podmienka (8.5) spnená, ak osi, y budú 9

12 havnými centránymi osami uvažovaného priereu. V smere havnej centránej osi pôsobí ohybový moment. Havné centráne osi u súmerných priereov sú totožné s osami súmernosti. Neutránu pochu môžeme na ákade vykonaného roboru jednonačne určiť ako priamkovú pochu vytvorenú havnými centránymi osami jednotivých priereov, t.j. osami v ktorých smere pôsobí ohybový moment (viď. obr.8.8). Podmienka (8.5) je dôsedkom predpokadu rovinného ohybu. Naopak môžeme povedať, že podmienka (8.5) je nutnou podmienkou rovinného ohybu. V ďašom určíme krivosť deformovaného, pôvodne priameho nosníka. Krivosť definujeme ako prevrátenú hodnotu poomeru krivosti ρ, teda /ρ (t.j. krivosť priameho nosníka je nuová). Ak dosadíme do rovnice (8.9) a o vťahu (8.) dostaneme: E E y ds J (8.6) ρ ρ ( S ) kde: J je kvadratický moment uvažovaného priereu k osi. Podľa predchádajúceho odstavca je to havný centrány moment otrvačnosti k havnej osi, v ktorej smere pôsobí ohybový moment. Zo vťahu (8.6) pre krivosť patí: (8.7) ρ E J Krivosť nosníka je teda priamo úmerná ohybovému momentu a nepriamo úmerná súčinu E.J. Tento súčin sa naýva tuhosť v ohybe (čím je súčin E.J väčší, tým je krivosť deformovaného nosníka menšia). Keďže je pri čistom ohybe konšt., je podľa (8.7) priehybovou čiarou nosníka konštantného priečneho priereu (J konšt.) obúk kružnice o poomere ρ. Tera môžeme určiť veľkosť napätia. Ak dosadíme do vťahu (8.) a /ρ o vťahu (8.7), dostaneme: y (8.8) J aimána absoútna veľkosť napätia bude pre y y ma : y ma ma (8.9) J Tento vťah môžeme napísať: kde: (8.0) ma W ma J W y (8.) je veičina, ktorá ávisí en na tvare a veľkosti priereu a naýva sa priereový modu v ohybe k osi. Jej romer je (m ). Vo vťahu (8.) namená y ma vdiaenosť najvdiaenejšieho vákna od neutránej pochy. Všeobecne sa priereový modu v ohybe onačuje W o. 95

13 Priereový modu v ohybe k osi obdĺžnika: b h bh W h 6 (8.) Pre kruhový priere vycháda: π r Wk W Wo (8.) Pre medikruhový priere: J J p π r Wk W Wo.( β ) r r (8.) Hodnota β r 0 /r. U vacovaných (technických) profiov sú hodnoty priereového moduu v ohybe súčasne s hodnotami kvadratických momentov uvedené v tabuľkách. Predchádajúce riešenie sme apikovai a predpokadu priamkovej napätosti. Tento predpokad je spnený tým presnejšie, čím menšia je krivosť (t.j. väčší poomer krivosti) priehybovej čiary v porovnaní s romermi priečneho priereu. Čím sú romery priereu v porovnaní s poomerom krivosti väčšie, tým viac sa upatňuje vpyv priečnej kontrakcie na tvar a poohu podĺžnych vákien. b) Potenciána energia napätosti pri čistom ohybe Nosník je pri čistom ohybe v stave priamkovej napätosti (a predpokadu maých deformácií). Preto môžeme potenciánu energiu napätosti vypočítať použitím mernej potenciánej energie odvodenej pre priamkovú napätosť (ťah): u /.E. V našom prípade je, kde je dané vťahom (8.8). Potenciána energia eementu nosníka objemu dv. ds, kde je ceková dĺžka nosníka, je: du u dv ds y ds (8.5).E E J Pretože v prípade čistého ohybu je konšt., môžeme pre cekovú potenciánu energiu napísať: U u dv y ds E J (8.6) E J ( V ) ( S ) c) Pevnostný výpočet nosníka namáhaného čistým ohybom Pri namáhaní na ohyb vnikajú v nosníku napätia, ktorých veľkosť je podľa vťahu (8.8) ávisá na vdiaenosti od neutránej pochy. Na jednej strane neutránej pochy vnikajú ťahové a na strane druhej takové napätia. Najväčšie napätia podľa (8.9) vnikajú v bodoch, ktoré sú od neutránej pochy najvdiaenejšie. Tieto body sú rohodujúce pre dimenovanie nosníka. Pre tieto body musí byť spnená pevnostná podmienka: D (8.7) ma W kde: D je dovoené napätie a W priereový modu v ohybe k osi nosníka. Z pevnostnej podmienky (8.7) je potom možné vypočítať požadovaný priereový modu: W (8.8) D 96

14 Priereový modu ávisí na tvare a veľkosti priereu. U priereov súmerných podľa neutránej pochy (obdĺžnik, kruh), sú vdiaenosti krajných ťahaných (t) a stáčaných (d) vákien rovnaké (obr.8.9). Takýto priere má určitú hodnotu priereového moduu v ohybe k osi. Pre obdĺžnik má hodnotu (8.) a pre kruh (8.). Obr. 8.9 Obr. 8.0 U profiov nesúmerných podľa neutránej pochy (napr. T profi obr.8.0), dostaneme dva priereové moduy. Jeden pre stranu ťahaných vákien (t) a druhý pre stranu tačených vákien (d): J J W t W d (8.9) y y t d Pevnostnú podmienku v tvare (8.7) je možné použiť v najčastejšie sa vyskytujúcom prípade v strojárstve, keď má materiá rovnakú pevnosť (resp. medu sku) v ťahu aj v taku. Teda v prípade, keď sú dovoené napätia pre obidva druhy namáhania rovnaké Dt Dd D. U súmerného priereu je v tomto prípade jedno či robíme návrh nosníka na ákade kontroy ťahaných aebo stáčaných vákien. Priereový modu aj maimáne napätie majú rovnakú absoútnu veľkosť pre ťah aj tak. U nesúmerného priereu je pre návrh rohodujúci menší oboch priereových moduov (8.9). Ak má materiá nosníka rônu pevnosť v ťahu a taku (napr. iatina, betón), teda rône hodnoty dovoeného napätia v ťahu a taku, musíme namiesto jednej podmienky pevnosti (8.7) použiť podmienky dve. Sú to tieto podmienky: t ma Dt Wt (8.0) d ma Dd W d Podľa toho, čomu materiá epšie odoáva, či taku aebo ťahu, je potrebné navrhovať priere voľbou jeho tvaru a romerov tak, aby boi spnené obidve podmienky (8.0) a materiá bo dobre pevnostne využitý pre ťah aj tak. Príkad 8. Dvojnápravový pošinový voík na premiestňovanie súčiastok má nosnosť m000 kg. Hmotnosť pošiny je m 0 00 kg. Vykonajte pevnostný výpočet nápravy podľa obr.8.. V priereoch A, B je náprava pripevnená k pošine, na koncoch sú koesá K. Je dané 0 00 mm, 000 mm, D 75 Pa. 97

15 Je potrebné vypočítať: a.) Priečne romery nápravy v prípadoch:. Priečny priere je kruhový.. Priečny priere je štvorcový. b.) aimány priehyb nápravy v oboch prípadoch priečneho priereu. Obr. 8. Obr. 8. Riešenie: aimána sia F, ktorá pôsobí v miestach uchytenia nápravy a v miestach uoženia koies je: m + m F g 9,8 N 7850 N edi prieremi A, B bude pôsobiť ohybový moment: F ,00 Nm 785 Nm Tento ohybový moment je konštantný, posúvajúca sia medi A, B je nuová. V tomto úseku je teda náprava namáhaná čistým ohybom. a.) Z pevnostnej podmienky (8.7) pre požadovaný priereový modu v ohybe vycháda: W m,9 0 m D.) Poomer kruhového priereu nápravy určíme použitím vťahu (8.): r W π 0,9, 79 0 π Voíme tyč kruhového priereu d 6 mm..) Dĺžku strany a štvorcového priereu určíme použitím vťahu (8.) pre b h a: a 6 W 0 6,9m 0 Voíme tyč štvorcového priereu 0 0 mm. m m 98

16 b.) Priehybová čiara je obúk kružnice poomeru ρ, daného vťahom (8.7). aimány priehyb Y ma určíme obr.8., na ktorom je OA OB OD ρ, AC /, CD Y ma. Patí : AC OA OC, aebo: ρ ( ρ Yma ) ρ Yma Yma Ak uvážime, že deformácia Y ma je maá, môžeme Y ma v porovnaní ku.ρ.y ma anedbať. Potom pre maimány priehyb vhľadom na (8.7) vycháda: Yma 8 ρ 8 E J Pretože priereový modu W je v oboch prípadoch rovnaký (ak anedbáme diferenciáciu vniknutú v dôsedku aokrúhenia d), vypočítame osový moment otrvačnosti použitím výrau (8.5). Priehyb v jednotivých prípadoch je: Y Y ma ma 8 E J Y ma J J 8 E W r 8, 0 Y ma W r a W Y ma 785,9 0 6 r 5, 78 0 a,8 0 m 5, m 6, Priečny ohyb Pri jednoduchom ohybe preberanom v minuom čánku pôsobí na nosník en ohybový moment, ktorý vyvoáva v jeho priečnych priereoch iba normáové napätie. Pristúpme tera k ožitejšiemu avšak častejšie sa vyskytujúcemu prípadu rovinného ohybu - k tv. priečnemu rovinnému ohybu. O priečnom ohybe hovoríme vtedy, keď v priečnom prieree nosníka pôsobí nieen ohybový moment, ae aj posúvajúca sia. V tomto prípade vnikajú v priečnych priereoch nieen normáové napätia (vyvoané ohybovým momentom), ae aj šmykové napätia. Šmykové napätia vnikajú pôsobením posúvajúcej siy, ktorá eží v rovine priečneho reu. Šmykové napätia vyvoávajú uhové deformácie - skos - eementov nosníkov. Preto vniká vedľa ákadnej deformácie, ktorá je charakteristická pre jednoduchý ohyb (viď obr.8.) ešte druhá deformácia vyvoaná šmykovým napätím. Ako istíme ďaej, je šmykové napätie rodeené po výške priereu nerovnomerne. Podľa Hookovho ákona pre šmyk je rovnako nerovnomerne rodeený aj skos. Preto pri priečnom ohybe vniká (na rodie od jednoduchého ohybu) bortenie priečnych priereov - priečne prierey už nie sú pre deformáciu rovinné. Typický príkad priečneho ohybu konoového nosníka s vynačením deformačnej siete a mechanimu vniku bortením priečnych priereov je na obr. 8.. a) Výpočet normáových napätí pri priečnom ohybe Uvažujeme eement nosníka obmedený dvoma súmernými priečnymi remi (obr.8.). Nech medi oboma remi pôsobí konštantná posúvajúca sia T konšt. Potom pri ohybe bude akrivenie oboch pôvodne rovinných reov rovnaké. Uvažujme vákno A, B vo vdiaenosti y od neutránej pochy. Jeho dĺžka A B sa deformáciou mení na A B. Pretože akrivenie oboch krajných priereov je rovnaké, je A A B B a teda aj A B A B. Pre výpočet pomerného predĺženia vákna A, B je m m 99

17 teda ľahostajné, či uvažujeme akrivený (bortený) priečny priere, aebo ho nahradíme rovinným priereom tak, ako sme uvažovai pri jednoduchom ohybe. Táto úvaha vedie k tomu, že pre výpočet normáových napätí pri priečnom ohybe môžeme použiť výray (8.8) a (8.0) odvodené pre jednoduchý ohyb: ( ) y (8.) J ( ) (8.) ma W Obr. 8. Obr. 8. Na rodie od jednoduchého ohybu nie je u priečneho ohybu ohybový moment nikdy konštantný, pretože T 0 - je to dôsedok Žuravského vety (8.6). Ohybový moment je funkciou súradnice : (). Preto je normáové napätie nieen funkciou súradnice y, ae aj : ( y, ). Pre dimenovanie priečneho priereu je spravida rohodujúci priere, v ktorom je ohybový moment maimány. Je to tv. nebepečný priere. V niektorých váštnych prípadoch je nebepečný priere v mieste pôsobenia maimánej posúvajúcej siy (môže to byť napr. u nosníka profiu I, ako si ukážeme v príkade 8.5). Doterajšie úvahy sme vykonávai a predpokadu, že T konšt. Ak bude posúvajúca sia funkciou súradnice, nebude akrivenie súmerných priereov presne rovnaké. Preto sú výray (8.) a (8.) pre tento prípad iba pribižné. Dá sa ukáať, že chyba, ktorá použitím týchto výraov vniká je funkciou pomeru h/, kde h je výška priečneho priereu a dĺžka nosníka. Pretože je tento pomer u väčšiny praktických prípadov maý, budeme túto chybu anedbávať. b) Výpočet šmykových napätí (Žuravského vorec) Šmykové napätie v priečnom prieree je dané pôsobením posúvajúcej siy T. Vykonajme mysený re nosníka namáhaného priečnym ohybom vo vdiaenosti od ľavej podpory. Odreaná ľavá časť nosníka je na obr.8.5. V uvažovanom prieree pôsobí ohybový moment, ktorý vyvoáva normáové napätie a posúvajúca sa sia T, ktorá vyvoáva šmykové napätie y. 00

18 Normáové napätie už máme určené výraom (8.). Pre šmykové napätie y o ktorom predpokadáme, že má smer posúvajúcej sa siy T musí patiť: y ds T ( S ) (8.) kde: S - je pocha priečneho priereu. Rovnica (8.) pre určenie rodeenia šmykových napätí po prieree nestačí. Pre ďaší postup prijmime predpokad, že šmykové napätia, ktoré pôsobia na pôškach rovnako vdiaených od neutránej pochy sú rovnaké, aebo predpokad, že šmykové napätie nie je funkciou súradnice ( 0). Obr. 8.5 Obr. 8.6 Ďaej budeme predpokadať, že akrivenie priečneho priereu v dôsedku deformácie je anedbateľné. Zo aťaženého nosníka vyberieme o vdiaenosti y od neutránej pochy eement ako je nanačené na obr.8.5. Vybratý eement je vo väčšení náornený na obr.8.6. Ponámka: Pocha S je daná romermi b, h. Pocha S* je daná romermi b, (h/-y) Eement pochy ds a eement pochy ds* je možné vyjadriť rovnako: ds b. dy, (v hraniciach h/, h/) ds* b. dy, (v hraniciach h/, -y) Na stenách eementu pôsobí napätie ako je to náornené na obr.8.6. Podľa vety o družených šmykových napätiach pôsobí šmykové napätie i na pochách rovnobežných s neutránou pochou a patí: y y (8.) Pretože ohybový moment je funkciou súradnice sú funkciou tejto súradnice aj napätia. Všeobecne je: d (8.5) y y y d (8.6) y 0

19 K určeniu rodeenia šmykových napätí po prieree budeme vychádať podmienky rovnováhy eementu na obr.8.6 a o naosti rodeenia napätí ktoré je dané výraom (8.). Pre rovnováhu v smere osi patí: ds + b d ds b d 0 y y Po dosadení (8.) a (8.5, 8.6) dostaneme: a teda: d ds d y ds b + d y d d b d 0 (8.7) Pre deriváciu napätí výrau (8.) s prihiadnutím k Žuravského vete (8.6) postupne dostaneme: d y d y T. d J d J Potom nadobudne rovnica (8.7) tvar: T d y y ds. (8.8) J b Hľadané šmykové napätie y vo vdiaenosti y od neutránej pochy dostaneme integráciu rovnice (8.8). Pritom uvážime, že na okraji priereu (vo vdiaenosti y ± h/) je y 0, pretože povrch nosníka nie je aťažený šmykovými siami. Integráciu teda vykonáme od hranice určenej priamkou y konšt., kde pôsobí hľadané napätie y (viď obr.8.5) k okraju kde y 0 respektíve ce pochu S (táto pocha je na obr.8.5 šrafovaná dvojitým šrafovaním). Integráciou ľavej a pravej strany rovnice (8.8) teda dostaneme: O d y d y y y O y T J b ( S ) y ds T J S b Integrá v druhom riadku určuje statický moment pravých strán dostaneme: S pochy S k osi. Porovnaním T S y (8.9) J b Tento výra odvodi po prvýkrát (r.885) ruský vedec D.I. Žuravskij a naýva sa Žuravského vorec. Aj keď sme nanačii na obr.8.5 priere obdĺžnikového priereu, patí výra (8.9) pribižne aj pre priere s premennou šírkou. Potom v (8.9) je b šírka priereu v mieste hľadaného napätia y. U priereov s iným než obdĺžnikovým priereom však výra (8.9) udáva iba ožku šmykového napätia do osi y. Ukážeme si to neskoršie na príkade kruhového priereu. Výra (8.9) však pribižne patí aj pre prípad obdĺžnikového priereu. 0

20 Šmykové napätie (8.9) bude maimáne pre S : S ma T Sma y ma (8.0) J b Je rejmé, že toto maimum nastane pre y 0, pretože potom pocha S ahrnie poovicu pochy priereu S. Ak bude S 0, aebo S S potom je S 0 a y 0 ako sme predpokadai. Z toho vypýva, že šmykové napätie nadobúda maima v bodoch ežiacich na neutránej poche, na ktorej je nuové normáové napätie. Tera vyšetríme priebeh šmykových napätí pre niektoré dôežité prípady tvaru priečneho priereu. Obdĺžnikový priere Pre prípad obdĺžnika (obr.8.7) je: S h / y b h y b dy ( y ) J b h Potom (8.9) pynie: Obr. 8.7 y 6. T h ( y ) b h (8.) Šmykové napätie má teda v smere výšky priereu paraboický priebeh. aimáne napätie je pre y 0: T y ma y b h str. (8.) Toto napätie je teda o 50 % väčšie ako stredná hodnota šmykového napätia T/b.h. Na prípade obdĺžnika si overíme, či Žuravského vorec vyhovuje rovnici (8.). Ak dosadíme výra (8.) do (8.) a ak uvážime, že ds b. dy dostaneme: ( S h / 6. T h 6. T h y y y ds y dy h ( ) ) h / h h h T Rovnica (8.) je teda spnená. 0

21 Kruhový priere Obr. 8.8 Obr. 8.9 V prípade kruhového priereu (obr.8.8) je: b r y S J r r / / y ds y r y dy ( r y ) ( r y ) ( S ) y y r π Potom (8.9) dostaneme: a (pre y 0): T y ( r y ) (8.) π r T y (8.) ma π r aimána hodnota je teda o % väčšia než stredná hodnota šmykového napätia. Pretože na povrchu nosníka, resp. na obrysovej krivke priereu nepôsobia tangenciáne siy, musia mať skutočné šmykové napätia o, pôsobiace v bodoch obrysovej krivky, smer ich tangenty (viď obr.8.9). Napätie o naývame obrysové šmykové napätie. Aby toto napätie mao smer tangenty, musí k napätiu y pristúpiť napätie, ktoré mieri dovnútra priereu (komo na smer posúvajúcej sa siy T orientovanej v smere osi y). Z obr.8.9 je rejmé, že patí: o r r b y r y 0

22 Odtiaľ vhľadom k (8.) dostaneme: T π r o r y (8.5) Z tohoto výrau je rejmé, že maimána veľkosť obrysového napätia (pre y 0) je rovnaká ako maimána veľkosť napätia y daná výraom (8.). Pre body ežiace vo vnútri pochy priereu na priamke y konšt. napätie spojito ubúda až pre 0 je 0. Pritom všetky výsedné napätia ežia na priamkach ktoré sa pretínajú v bode A. Bod A je priesečníkom priamky, na ktorej eží obrysové napätie o s osou y. Zožené profiy Ak pôjde o priere, ktorý je možné nahradiť sústavou obdĺžníkov, môžeme priebeh šmykových napätí určiť tiež apikáciou Žuravského vorca (8.9). V miestach kde sa náhe mení šírka priereu, mení sa náhe aj veľkosť napätia. Z výrau (8.9) pynie, že v mieste v ktorom sa šírka n-krát menší, šmykové napätie sa n-krát väčší. Napríkad u profiu I náorneného na obr.8.0 pre priebeh šmykového napätia vycháda: T h y p. Pre príruby: ( y ) p ( ) 8 J h (8.6). Pre stojinu: T hs ys ( ) b h ( ) + b h ( 8 b J ) y s s s s h hs Obr. 8.0 Výnam romerových veičín je rejmý obr. 8.0, J je moment otrvačnosti ceého priereu k osi. aimáne napätie dostaneme pre y s 0: [ b h h ( b b )] T y ma s s (8.7) 8 b J s 05

23 Priebeh šmykového napätia y po výške priereu je náornený na obr.8.0. V mieste prechodu príruby v stojinu patia oba uvedené vťahy. Pretože sa tu mení šírka priereu skokom, mení sa skokom i šmykové napätie. Ak je tento prechod náhy (be aobenia), prejavuje sa naviac vrubový účinok ostrého prechodu miestnou koncentráciou napätia y, ktoré môže prekročiť hodnotu ma na neutránej poche. Z priebehu šmykových a normáových napätí na obr.8.0 je rejmé, že takmer ceú posúvajúcu siu prenáša stojina, ae ohybový moment prenášajú prevažne príruby. Profi I je veľmi vhodným profiom pre prenos ohybových namáhaní. c) Kontroa pevnosti nosníka použitím havných napätí Použitím výrau (8.) môžeme vypočítať normáové napätie a použitím výrau (8.9) šmykové napätie v ľubovoľnom bode priečneho priereu nosníka. Normáové napätie nadobúda najväčšie hodnoty v najvdiaenejšom bode od neutránej pochy, ae šmykové napätie v bodoch neutránej pochy. Pri pevnostných výpočtoch nosníka spravida vystačíme s návrhom priečneho priereu podľa najväčšieho prípustného normáové napätia a s kontroou priereu v miestach najväčšieho šmykového napätia. U nosníka materiáu s rovnakým dovoeným napätím D v ťahu a taku musí patiť: ma ma D, (8.8) W y ma T ma J S b ma D (8.9) Podmienka (8.8) sa vťahuje k eementom u horného a spodného okraja priečneho priereu, v ktorom pôsobí najväčší ohybový moment ma (obr.8.). Podmienka (8.9) sa vťahuje k eementom na neutránej poche v prieree, v ktorom pôsobí najväčšia posúvajúca sia T ma. Týmto bežným anaytickým spôsobom sa v skutočnosti kontrouje pevnosť nosníka en v troch bodoch vynačených na obr.8.. Pritom nie je istota, že v týchto bodoch je materiá v najbepečnejšom stave. Správnejšie, aj keď podstatne dĺhavejšie, je kontroa pevnosti nosníka použitím havných napätí. ateriá nosníka pri priečnom ohybe je v stave rovinnej napätosti, ebo vedľa normáové napätia daného výraom (8.) v ňom pôsobia šmykové napätia y y dané výraom (8.9). Obr

24 Havné napätia môžeme určiť anayticky aebo graficky použitím ohrovej kružnice. Anayticky ich určíme úpravou výraov kap.., v ktorých bude miesto vystupovať, namiesto y napätie y, ďaej y 0. Teda: + ( ) + y ( ) + y (8.50) Ak ponáme veľkosť havných napätí môžeme použitím niektorej teórií pevnosti (podľa materiáu nosníka) určiť porovnávacie napätie. Podľa prvej teórie pevnosti je porovnávacie napätie: + + y (8.5) Podľa druhej teórie pevnosti je porovnávacie napätie: µ + µ II µ + + y (8.5) Podľa tretej teórie pevnosti je porovnávacie napätie: III + (8.5) Podľa štvrtej teórie pevnosti je porovnávacie napätie: y IV + (8.5) y Najjednoduchšie je určiť porovnávacie napätie použitím tretej aebo štvrtej teórie. Štvrtá teória vyhovuje pre všetky bežné tvárne materiáy v strojárstve. Pre iatinu je najepšie vykonávať kontrou podľa prvej teórie repreentovanej výraom (8.5). Tento výpočet vykonáme v rônych bodoch nosníka. Bod, v ktorom je porovnávacie napätie najväčšie, je rohodujúci pre kontrou pevnosti nosníka. Najväčšie porovnávacie napätie musí byť menšie než dovoené napätie D. Kontrou pevnosti nosníka týmto spôsobom ukážeme na príkadoch. d) Smery havných napätí pri ohybe, iostatické krivky V predošom odstavci sme vyšetrovai veľkosť havných napätí pre ľubovoľný bod nosníka. Neaujímai sme sa však o ich smer. V niektorých prípadoch, ako u nosníkov o žeeobetónu je potrebná naosť i smeru havných napätí. Jednoduchá a náorná metóda určenia smeru havných napätí je metóda ohrovej kružnice popísaná v kap... Na obr.8. sú reaiované konštrukcie veľkosti a smeru havných napätí v piatich bodoch priereu pre prípad áporného ohybového momentu (<0) a kadnej posúvajúcej siy (T > 0). Tento prípad odpovedá konoovému nosníku obr.8.. Na pravej strane obr.8. sú nanačené smery havných napätí. V bodoch, ktoré sú najvdiaenejšie od neutránej pochy je y 0. V týchto bodoch sú smery havných napätí, buď rovnobežné s neutránou osou aebo sú na ňu komé. V bode na neutránej poche je 0 a smery havných napätí pretínajú neutránu os pod uhom 5 o (eement je tu namáhaný jednoduchým šmykom). 07

25 Obr. 8. Nanačeným postupom je možné ostrojiť dve sústavy ortogonánych kriviek, ktorých dotyčnice v ľubovoľnom bode nosníka budú mať smery havných napätí v tomto bode (budú sa teda pretínať v pravom uhe). Tieto krivky sa naývajú trajektórie havných napätí, aebo tiež iostatické krivky. Každým bodom nosníka je možné viesť iba dve iostatické krivky; jednu pre ťahové havné napätie ( > 0), druhú pre takové havné napätie ( < 0). Obr

26 Príkad iostatických kriviek pre konoový nosník aťažený osameou siou na konci je na obr.8.. Trajektórie ťahových havných napätí sú náornené pnou čiarou; trajektórie takových havných napätí čiarkovanou čiarou. V nosníku namáhaným jednoduchým ohybom sú trajektórie havných napätí vájomne sa nepretínajúce priamky, rovnobežné s neutránou osou ktorá ich oddeľuje. Neutrána os je trajektóriou nuového napätia. V žeeobetónových nosníkoch je nutné uožiť žeenú armatúru tak, aby ežaa pribižne v smere iostatických kriviek ťahového havného napätia a achytávaa tak ťahovú ožku aťaženia nosníka (betón môže prenášať en takové aťaženie). Príkad 8. Vykonajte kontrou pevnosti konoového nosníka použitím havných napätí. Nosník je na jednom konci dokonae votknutý a na druhom konci aťažený osameou siou F 00 N. Nosník má dĺžku 00 mm a obdĺžnikový priere o romeroch b mm, h 0 mm. Použitý materiá je oceľ 70. Kontrou vykonajte použitím tretej teórie. Pre tento úče náornite priebeh porovnávacieho napätia po výške priereu. Zhodnoťte, či je nutné v danom prípade vykonávať kontrou použitím havných napätí. Riešenie: Nebepečný priere je v mieste votknutia nosníka (viď. príkad 8., obr. 8. B), kde ma - F. a T F. Pretože je priere obdĺžníkový (J b.h /) je absoútna veľkosť normáových napätí v smere výšky priereu vhľadom k (8.) daná výraom: Obr. 8. kde: ξ h J y F 6 F y y ξ, b h b h je absoútna hodnota pomernej výškovej súradnice priereu. Pre y 0 je ξ 0, pre y ± h/ je ξ (obr.8.). Šmykové napätie dostaneme výrau (8.): y F b h 6 h ( y F ) ( ξ ) b h Aj keď máme vykonať kontrou podľa havných napätí nie je nutné havné napätie vyčísiť. Ak použijeme priamo výra pre porovnávacie napätie, v ktorom už sú havné napätia ahrnuté. V našom prípade je to výra (8.5), pretože máme vykonať kontrou podľa tretej teórie pevnosti. Postupnou úpravou tohoto výrau dostaneme: δ F III + y ξ + str ( ξ ) π ( χ ξ ) + ( ) ξ b h h 09

27 F kde: str je stredná hodnota šmykového napätia a χ je beromerný b h h koeficient udávajúci v akom pomere je dĺžka nosníka k poovičnej výške priereu. V danom prípade je: F 00 0 str Pa Pa, 6 b h 0 0 χ h str 00 5, 0 k ξ 0 5 ξ Pa ( 00 ξ ) Pa, y ( ξ ) 0 ( ξ ) Pa, str III str ( χ ξ ) + ( ξ ) 0 ( 5 ξ ) + ( ξ ) Pa Obr. 8.5 Grafické náornenie priebehu napätí, pre ceú výšku priereu je na y, obr.8.5. Pnou čiarou sú náornené tieto napätie pre adaný prípad χ 5. Z grafu je rejmé, že najväčšie výpočtové napätie ( ) 00 Pa je pre ξ ( y ± h / ) Nosník pevnostne vyhovuje, pretože: ( ) III ma ma III III ma ma D Keďže pre daný materiá je R e 00 Pa, vycháda miera bepečnosti k,0. Z grafov na obr.8.5 môžeme posúdiť, aký vpyv má dotykové napätie na veľkosť porovnávacieho napätia. So menšujúcim sa koeficientom χ sa vpyv šmykového napätia väčšuje. V prakticky imitnom prípade χ t.j. h' sú napätie y a III na obr. 8.5 R e k 0

28 náornené čiarkovane a predpokadu rovnakých napätí. Aby sa pri väčšenej výške priereu h' achovaa veľkosť napätí, je potrebné uvažovať o väčšej aťažujúcej sie: F' F. /h. Potom: F F str str, 50 str b h b h h Na veľkosť maima porovnávacieho napätia III šmykové napätie ani v tom prípade nemá vpyv. Na ákade vykonaného roboru môžeme urobiť áver, že nosníky s obdĺžnikovým priereom (h < ) nie je nutné pevnostne kontroovať použitím havných napätí, stačí kontroa resp. návrh podľa maimáneho normáového napätia. Tým sa podstatne jednoduší ich výpočet. Rovnaký ponatok patí i pre nosníky ktorých priere má v okoí neutránej pochy väčšiu šírku ako vo vdiaenejších bodoch a nemení pritom náhe šírku (napr. kruhový aebo medikruhový priere). Na rodie od toho nosníky s prieremi, ktoré sú v okoí neutránej pochy užšie a menia náhe šírku (napr. technické profiy I, T, U) sa doporučujú pevnostne kontroovať použitím havných napätí. I tu sa však výrane upatní vpyv šmykového napätia en u reatívne krátkych nosníkov (vhľadom k výške priereu). Predbežný pevnostný návrh nosníkov s týmito profimi vykonávame podľa maimáneho normáového napätia s väčšou mierou bepečnosti. Ukážeme si to na nasedujúcom príkade. Ak je > h stačí vykonať pevnostný návrh týchto profiov en podľa maimáneho normáového napätia, pretože vpyv šmykových napätí je už nepodstatný. Príkad 8.5 Navrhnite priečnik profiu I pre uchytenie kadkostroja. Kadkostroj hmotnosti m o 00 kg je určený pre dvíhanie bremien v tankových dieňach o hmotnosti do m 000 kg. Priečnik považujte a staticky určitý nosník dĺžky 00 mm podopretý na dvoch podperách (obr.8.6), kadkostroj je avesený uprostred. ateriá nosníka je oceľ 0 0 s medou sku R e 80 Pa. iera bepečnosti má byť minimáne k. Pre kontrou pevnosti použite IV teóriu pevnosti. Riešenie: aimána sia pôsobiaca na nosník je: F (m + m o ).g ( ). 9,8 N,.0 N Priebeh posúvajúcich sa sí a ohybového momentu podĺž nosníka je na obr aimána posúvajúca sia je: F T,57 0 N aimány ohybový moment: ma F, 0 0, Nm,5 0 Nm Obr. 8.6

29 Pretože ide o reatívne krátky nosník s profiom I bude nutná pevnostná kontroa použitím havných napätí (viď áver príkadu 8.). Najprv vykonáme predbežný pevnostný návrh veľkosti priereu podľa maimáneho normáového napätia. Pretože toto napätie pravdepodobne nebude najväčším porovnávacím napätím (veľkosť tohoto napätia bude načne ovpyvňovať dotykové napätia), budeme mieru bepečnosti predbežne voiť k',5. Dovoené napätie pre predbežný výpočet je: R 80 e D 7 Pa k,5 Pre priereový modu v ohybe musí podľa (8.8) patiť: 50,6 0 ma 6 W 6 D 7 0 m m,6 cm Zo strojníckych tabuiek má najbižšie vyšší priereový modu priere I 0: W, cm, J 7 cm Zjednodušený romerový náčrt tohoto priereu je na obr.8.7. Tera vykonáme kontrou pevnosti nosníka použitím havných napätí podľa štvrtej teórie pevnosti. Kontrou vykonáme v troch vynačených bodoch priereu. V bode O, kde je maimáne šmykové napätie; v bode A, kde je maimáne normáové napätie; v bode B na prechode stojíny v prírube, kde nadobúda veľké hodnoty šmykové aj normáové napätie (viď obr.8.7). Bod O V tomto bode je normáové napätie nuové a šmykové napätie nadobúda maimum daného výraom (8.7). V našom prípade (viď obr.8.7) je h 00 mm, h s 86, mm, b s,5 mm, b 50 mm. Obr. 8.7 Potom:, y ma [ , ( 50,5 ) 0 ] Pa 6 8,5 0, 70 Porovnávacie napätie podľa (8.5) vhľadom k 0 je: ( ) 70 Pa yma. IV 0,9 Pa

30 Bod A V tomto bode je šmykové napätie nuové a normáové napätie nadobúda maimum dané výraom (8.): ma 50 Pa 68 7, Pa ma 6 W, 0 Porovnávacie napätie (8.5) vhľadom k y 0 je: ( ) 68 7, Pa IV A ma Bod B Súradnica tohto bodu je y h s /. Normáové napätie určíme výrau (8.): ma hs 50 86, 0 ( ) Pa 59, Pa B 6 J, 70 Šmykové napätie sa mení v bode B skokom. Zo strany stojíny je jeho veľkosť daná výraom (8.6) pre y s h s /. Jeho úpravou s využitím výrau (8.7) dostaneme: 6 T hs 6, , 0 ( y ) y 0,9 0 Pa, Pa B ma 6 8 J 8, 7 0 Porovnávacie napätie pre tento bod je: ( ) ( ) + ( ) 59, +, Pa 8,6 Pa IV B B y B Ak porovnáme napätia pre body O, A, B vidíme, že najväčšie porovnávacie napätie je pre bod B a najmenšie je pre bod A, pre ktorý sme robii predbežný pevnostný výpočet. Skutočná miera bepečnosti je daná porovnávacím napätím v bode B: Re 80 Pa ksk, 8,6 Pa ( ) IV B Je väčšia než požadovaná minimána hodnota k. Predbežný pevnostný návrh priereu I 0 teda vyhovuje. Pretože rodiey napätí v uvažovaných výnačných bodoch nie sú veľké vidíme, že profi I aručuje veľmi dobré pevnostné využitie materiáu pri ohybe. Príkad 8.6 Navrhnite priere páky brdy smerového ústrojenstva tanku (obr.8.8). Páka má mať obdĺžnikový priere výšky h,0.b, kde b je šírka páky. Romery páky sú 0 mm, 8mm. V čapoch A, B je k páke pripojený pás. aimána sia ktorou pôsobí pás na čap A je F 900 N. Priere páky v mieste čapu A je na obr.8.9, čap má priemer d,60.b. Voľte materiá 500 (R e 60 Pa) a mieru bepečnosti k,5. Riešenie: Ak nebudeme uvažovať takové namáhanie úseku páky medi čapmi A, B môžeme jednodušiť schému páky ako je to nanačené na obr. 8.0.

31 Obr. 8.8 Obr. 8.9 Páka musí spĺňať podmienku statickej rovnováhy. Teda pre momenty k bodu B musí patiť: F + Z toho: ( ) 0 F F F + Pre reakciu patí: R F F F + Priebeh posúvajúcej siy a ohybového momentu je rejmý obr aimány ohybový moment je v prieree A: F ma R + Priere A, ktorý je naviac osabený otvorom pre čap (obr.8.9), je teda nebepečným priereom. Obr. 8.0 Aby sme mohi určiť priereový modu v ohybe pre priere A, musíme najprv použitím Steinerovej vety určiť moment otrvačnosti priereu k osi (obr.8.6): J b h + e b b h ( 0,8 b) + (, b) b 0,8 b,9 b

32 Potom priereový modu je: W J J,9 b h,6 b Ak anedbáme vpyv šmykových napätí vniknutých pôsobením posúvajúcej siy T R, (viď áver príkadu 8.) môžeme pevnostnú podmienku napísať v tvare: ma F Re ma D W,9 b + Z toho: ( ) k b k F,9 R ( + ) e,5 9000,0 0.08, ( 0,0 + 0,08 ) 6 m 0,96 0 m Voíme b 0 mm, potom h mm, d 6 mm. Výšku priereu h môžeme smerom k čapu (ineárne) menšovať až na určitú minimánu hodnotu danú uožením čapu. 8.5 Určenie ohybovej deformácie nosníka anaytickou metódou a) Priehyb a uho natočenia priereu nosníka Tera budeme vyšetrovať deformáciu priameho nosníka pri rovinnom ohybe, pri ktorom je ohybová čiara (t.j. pretvorená strednica nosníka) rovinná krivka. Deformáciu nosníka budeme vyšetrovať v súradnicovej sústave Y, Z. Ak budeme predpokadať maé deformácie, môžeme os Z stotožniť s osou nedeformovaného nosníka (obr.8.a) a písať Z. Pri deformácii nosníka sa ťažisko ľubovoného priereu so súradnicou posunie poohy C o do C. Posunutie ťažiska C o C ľubovoľného priereu v smere komom k osi nosníka sa naýva priehybom Y nosníka v tomto prieree. Ohybová čiara nosníka je teda krivka Yf(). Posunutie je kadné v smere kadnej orientácie osi Y (t.j. smerom doe). Obr. 8. 5

33 V dôsedku deformácie sa priečne prierey nosníka natáčajú. Uho ϕ o ktorý sa priere natočí vhľadom k svojej počiatočnej poohe sa naýva uho natočenia priereu. Uho ϕ je kadný, ak je natočenie priereu orientované proti pohybu hodinových ručičiek. Vťah medi uhom natočenia priereu a priehybom stanovíme roborom obr.8.. Je rejmé, že v bode D je uho natočenia o dϕ väčší než v bode C, ae priehyb o dy menší. Eement CD tvorí preponu eementárneho trojuhoníka CDD (obr.8.b). Pre dostatočne maé ϕ môžeme písať: toho: - dy ϕ. d dy ϕ (8.55) d t.j. uho natočenia priereu je rovný ápornej hodnote prvej derivácie priehybu Y podľa v tomto prieree. Zo vťahu (8.55) pynie že pre ϕ O má priehyb etrém. Úohou istenia deformácie nosníka je matematického hľadiska prevedená na riešenie rovnice Y f (). Znaosť najväčšieho priehybu je dôežitá pre posúdenie tuhosti nosníka (napríkad hriadeľa, osi). U oceľových nosníkov nesmie maimány priehyb prekročiť /000 až /50 ropätia. Znaosť uha natočenia v miestach uoženia nosníka, t.j. naosť uhov ϕ A, ϕ B je dôežitá pre konštrukciu uoženia (napr. u hriadeľa musia ožiská umožniť toto natočenie). b) Diferenciána rovnica priehybovej čiary Pre prípad jednoduchého ohybu ( konšt.) sme odvodii, že ohybová čiara má konštantnú krivosť danú výraom (8.7). Ak pôjde o priečny ohyb, nebude ohybový moment konštantný [ ()] a teda nebude konštantná ani krivosť. Ak anedbáme vpyv posúvajúcich sí na krivosť (vpyv posúvajúcich sí na priehyb nosníka s obdĺžnikovým priereom pre /h 0 je en %), môžeme krivosť ohybovej čiary pri priečnom ohybe písať v tvare: ( ) (8.56) ρ E J Tera je nutné ešte vyjadriť krivosť použitím geometrických veičín Y,. Pre dostatočne maé ϕ môžeme písať (viď obr.8.): d ρ d. ϕ Odtiaľ vhľadom k (8.55) postupne dostaneme: d d Y ϕ ρ d d (8.57) t.j. krivosť eementu nosníka je rovný ápornej hodnote druhej derivácie priehybu Y podľa v mieste eementu. Ak dosadíme vťah (8.57) do (8.56) dostaneme: EJ d Y ( ) (8.58) d 6

34 Toto je diferenciána rovnica priehybovej čiary. Je to diferenciána rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Deriváciou rovnice (8.58) podľa vhľadom k Žuravského vetám (8.5) a (8.6) dostaneme diferenciáne rovnice: d Y EJ T, (8.59) d d Y EJ q d (8.60) Tieto rovnice majú výnam pre vyšetrenie priečnych kmitov nosníka. Riešenie rovnice (8.58) vykonáme separáciou premenných pre prípad nosníka konštantného priečneho priereu (J konštant.). Prvý integrá je: dy d druhý integrá je: [ ( ) d C ] ϕ + (8.6) E J [ ( )d] { d + C C } Y + E J (8.6) kde C, C sú integračné konštanty. Keby sa jednao o nosník premenivého priereu [J J () konšt.], potom je nutné integrovať funkciu () / J (). Integračné konštanty C, C určíme okrajových podmienok. Vychádame napr. toho, že v mieste podpery je nuový priehyb, v mieste votknutej podpery je okrem toho nuový aj uho natočenia priereu. Nuový uho natočenia je aj v mieste maimáneho priehybu. Riešenie diferenciánej rovnice (8.58) si ukážeme na nasedujúcich príkadoch. Z výrau (8.6) je rejmé, že pre vyčísenie priehybu je nutné ponať hodnotu tuhosti v ohybe E.J tn., že pre riešenie priehybu je nutné nosník dopredu dimenovať. V niektorých prípadoch však nosník dimenujeme podmienky tuhosti nosníka adanej napr. maimánym prípustným priehybom, aebo maimánym uhom natočenia v mieste uoženia. V týchto prípadoch po návrhu priereu vykonávame jeho pevnostnú kontrou. Príkad 8.7 Odvoďte rovnicu ohybovej čiary nosníka na jednom konci votknutého a na druhom konci aťaženého siou F (obr.8.). Určte najväčší priehyb a najväčší uho natočenia priereu. Riešte najprv všeobecne pre tuhosť v ohybe E.J, potom čísene pre oceľový nosník profiu I, ak je dané F,5.0 N,,0 m, D 0 Pa. Obr. 8. 7

35 Riešenie: Ohybový moment (viď. príkad 8.) je - F. (-). Potom po dosadení do rovnice (8.58) dostaneme: d Y E J d F ( ) Túto rovnicu dvakrát integrujeme: dy E J F + C d (8.6) E J Y F + C + C 6 (8.6) Pre určenie integračných konštánt C, C musíme nájsť v nosníku prierey, v ktorých dopredu ponáme veľkosť priehybu a uhu natočenia. V prípade konoového nosníka je to jeden priere - priere v mieste votknutia, kde je nuový uho natočenia a nuový priehyb. Teda: dy ϕ 0, Y 0 pre 0 d Ak dosadíme tieto hodnoty do rovníc (8.6) a (8.6), dostaneme C 0, C 0. Uho natočenia priereu a priehyb je teda popísaný rovnicami: dy F ϕ ( ) (8.65) d E J ( ) F Y 6 E J (8.66) Najväčší uho natočenia (v áporných hodnotách) a najväčší priehyb je rejme na voľnom konci nosníka ( ): F ϕ ma (8.67) E J Y ma F (8.68) E J Z výraov (8.65) a (8.67) je rejmé, že uho natočenia je pre ceý nosník áporný (t.j. je orientovaný v smere pohybu hodinových ručičiek); priehyb je pri voenej orientácii osi Y kadný. Pre daný čísený príkad musíme najprv určiť veľkosť profiu. Pre priereový modu musí patiť: ma F,5 0,0 W m 7 cm D D Voíme priere I 6, ktorého W cm a J 570 cm 5,7.0-5 m 8