2.1 Pružná tyč namáhaná ťahom a tlakom, Hookov zákon

Transcript

1 . Ťah a tak. Pružná tyč namáhaná ťahom a takom, Hookov zákon Nech na tyč konštantného priečneho prierezu pochy S pôsobí v osi sia F (obr..). Vyšetríme napätie v ľubovoľnom priereze komom k osi metódou myseného rezu rovinou ρ. Vnútorná sia je normáová a patí pre ňu N F. Z obr.. je zrejmé, že v tomto priereze vzniká normáové napätie, ktorého veľkosť určíme z rovnice : N F.S F teda : (.) S S O tomto napätí budeme predpokadať, že má rovnakú hodnotu v každom bode priečneho prierezu po ceej dĺžke prúta. Zväčšovanie napätia v dôsedku vastnej tiaže nebudeme zatiaľ uvažovať. Obr.. Pôsobením vonkajšej siy F sa prút natiahne o dĺžku. Pokusy, ktoré prvý krát vykona Róbert Hooke (678), vedú k záveru, že predĺženie prúta je ineárnou funkciou siy F, pokiaľ sia neprekročí určitú medzu. Predĺženie prúta je ďaej priamo úmerné jeho dĺžke a nepriamo úmerné poche prierezu S. Patí teda: F (.) E S

2 kde E - je koeficient úmernosti, ktorý je pre určitý materiá a tepotu konštantou (závisosť E na tepote môžeme pre bežné tepotné rozdiey zanedbať). Konštanta E sa nazýva Youngov modu resp. modu pružnosti v ťahu. Vzťah (.) sa označuje ako Hookov zákon. Ak zavedieme pomerné predĺženie ε / podľa (.6) a napätie F / S podľa (.) môžeme Hookov zákon (.) prepísať do dôežitého vzťahu: ε E (.) Z toho vzťahu je zrejmé, aký fyzikány význam má Youngov modu. Je to napätie, ktoré by v prúte vzniko pri pomernom predĺžení ε (t.j. ), ak by sme prijai patnosť Hookovho zákona bez obmedzenia. V skutočnosti sa však väčšina materiáov poruší aj pri ďaeko menších napätiach. Preto definujeme Youngov modu ako pomer napätia a pomerného predĺženia prúta konštantného prierezu (E / ε ). Je zrejmé, že má rozmer napätia, t.j.: Pa N.m -, resp. MPa 6 N.m -. Zo vzťahu (.) vidíme, že predĺženie bude tým menšie, čím bude väčší súčin E.S. Preto sa tento súčin nazýva tuhosť v ťahu. Súčasne s predĺžením prúta sa zmenšujú jeho priečne rozmery. Napr. šírka prúta b sa podľa obr.. zmenší na b - b. Pomerné zúženie priečnych rozmerov η b / b je priamo úmerné pomernému predĺženiu prúta ε. Teda: b η µ ε µ (.) b E Konštanta úmernosti µ sa nazýva Poissonovo číso. Udáva v akom pomere je pomerné priečne zúženie k pomernému predĺženiu pri ťahu. V tabuľke. sú uvedené stredné hodnoty Youngovho moduu E, moduu pružnosti v šmyku G a Poissonovho čísa µ niektorých materiáov pri normánej tepote. Rozmedzie hodnôt, ktoré môže nadobúdať Poissonovo číso µ, určíme z úvahy o zmene objemu ťahaného prúta. Dĺžka deformovaného prúta je : + ( + ε ) Zvoľme pre jednoduchosť priečny prierez obdĺžnikový o rozmeroch a, b (obr..). a a a ( η) a ( µ ε ) Po deformácii budú mať rozmery veľkosť : b b b η b µ ε ( ) ( ) Pôvodný objem prúta: V a b sa zmení na hodnotu: V a ( µ ε ) b ( µ ε ) ( + ε ) V ( + ε ) ( µ ε ) Pretože pomerné predĺženie je v medziach patnosti Hookovho zákona veľmi maá veičina, môžeme jej druhú a tretiu mocninu zanedbať oproti jednotke. Potom: V [ + ε ( µ )] V V V V V V Pomerná zmena objemu je: Θ ε ( µ ) (.5)

3 Tabuľka. Materiá E (MPa) G (MPa) µ Oceľ,. 5 8,., Sivá iatina,5. 5,.,5 Meď,8. 5,.,5 Bronz,8. 5,.,5 Mosadz 9,8.,6.,5 Hiník a jeho ziatiny 6,86.,65., Horčíkové ziatiny,.,7., Zinok 8,.,.,7 Oovo,67. 5,88.,5 Sko 5,88.,5., Poystyrén,.,7., Bakeit,9.,96.,5 Ceuoid,9.,7.,5 Poyetyén (maej hustoty) 5 85,,8 Organické sko (pei),. 8,5 Guma až 8,7 až,5,9 Drevo (v smere vákien),. 5,. - Drevo (naprieč vákien), Tehové murivo, Betón,8. 8,., Ak je tyč namáhaná ťahom, nemôže sa jej objem zmenšiť. Teda Θ musí byť kadné. Z toho pynie, že µ musí mať hodnotu menšiu ako / aebo v krajnom prípade µ /. Veľkosť Poissonovho čísa závisí na materiái a eží v medziach < µ,5. U technicky bežných materiáov sa jeho hodnota pohybuje v medziach,5 až,5. Pre krehké materiáy je menší ako pre húževnaté. Popri Youngovom modue E a Poissonovom číse µ sa uvádza v tabuľke ešte tretia materiáová konštanta - modu pružnosti v šmyku G. Túto konštantu budeme definovať pri namáhaní na šmyk. Výsedky, ktoré sme odvodii pre namáhanie prúta ťahom, patia všeobecne aj pre namáhanie takom. Pri tomto spôsobe namáhania však pristupujú aj otázky stabiity a preto je možné výsedky odvodené pre ťah apikovať en pre reatívne krátke prúty. Na rozdie od ťahu majú veičiny pri taku opačné znamienka, teda <, ε < (záporné pomerné predĺženie skrátenie), η < (záporné pomerné zúženie rozšírenie), V/V o < (objem sa zmenšuje). Reatívne štíhe prúty sa musia kontroovať na vzper.

4 Príkad. Oceľová tyč kruhového prierezu o priemere d mm a dĺžke,5 m je ťahaná siou F 6. N. Vypočítajte napätie, predĺženie, zmenšenie priemeru tyče a pomernú zmenu objemu. Riešenie: Napätie (.): F F,6 8 N m, N m MPa 6 S π d π Pomerné predĺženie (.): ε 9, 7,97% 5 E, Absoútne predĺženie (.6): ε 9, 7,5m,6 mm Zmenšenie priemeru (.): d η d µ ε d, 9, 7 mm,9 mm Pomerná zmena objemu (.5): Θ ε ( µ ),97 (, )%,9 %. Deformačná práca a potenciána energia napätosti pri namáhaní ťahom Riešme otázku deformácie prúta v ťahu z hľadiska zákona zachovania energie. Zaťažujúca vonkajšia sia F vykonáva deformačnú prácu A. Táto práca sa všeobecne mení na potenciánu energiu U a kinetickú energiu K podľa rovnice : A U + K (.6) Druhý čen zahŕňa jednak kinetickú energiu makroskopických častíc prúta, jednak zmenu kinetickej energie moekú, teda zmenu tepeného stavu prúta. Zmena tepeného stavu je zvášť významná pri pastickom pretvorení. Pri pružných deformáciách, ktoré budeme uvažovať je nepodstatná. Ak bude zaťaženie prúta narastať pomay, rýchosť častíc prúta bude maá a môžeme poožiť K. Takéto zaťaženie sa nazýva statické a patí : A U (.7) Teda práca vonkajších sí sa ceá premení na potenciánu energiu deformácie, ktorú budeme nazývať potenciána energia napätosti aebo stručne energia napätosti. Obr..

5 Vypočítajme veľkosť deformačnej práce (obr..). K natiahnutiu prúta o je podľa (.) potrebná sia: E S F (.8) Všeobecne k natiahnutiu o je to sia: E S F (.9) Táto sia vykoná pri natiahnutí o eementárnu dĺžku d prácu : E S da F d d Ceková deformačná práca pri natiahnutí o je: E S E S E S F A d F E S (.) Prácu sme vyjadrii použitím siy (.8) a cekového predĺženia (.). Z obr.. je zrejmé, že práca (.) je úmerná poche trojuhoníka BC. Ak zavedieme do vzťahu (.) pomerné predĺženie ε a napätie podľa (.), môžeme pre potenciánu energiu napätosti napísať: ε E U A S S (.) E Pretože:.SV je objem prúta, môžeme jednoducho vypočítať mernú energiu napätosti u, t.j. energiu akumuovanú v jednotke objemu prúta pri jeho deformácii: U ε E ε u (.) V E Zo znaosti potenciánej energie napätosti môžeme naopak odvodiť veľkosť vonkajšej siy. Zo vzťahu (.) je zrejmé, že potenciána energia pri natiahnutí konca prúta o je: U E. S. Deriváciou podľa :. du d (.) E. S. F (.) Príkad. Vypočítajte deformačnú prácu a mernú energiu napätosti ťahovo zaťaženého prúta z predchádzajúceho príkadu. Riešenie: Merná energia napätosti (.) v jednotkách sústavy SI: u E, 6 ( ) J m 9,9 J m 5

6 Objem prúta: Deformačná práca: 6 π d π V,5 m A U u V 9,9,8,8 J 7, J m. Eperimentáne skúmanie materiáu v ťahu a taku Mechanické vastnosti materiáov je možné spoľahivo určiť en eperimentáne. Zákadnou statickou skúškou materiáov je skúška ťahom. Tyč sa napína v trhacom stroji rastúcou siou až dôjde k jej pretrhnutiu. Meria sa pritom veľkosť siy a odpovedajúce predĺženie. Skúška musí prebiehať za presne stanovených podmienok. Skúšobné tyče sú normaizované a majú väčšinou kruhový prierez (obr..). Obr.. Pracovná premeriavaná dĺžka tyče je kratšia ako vacová časť. Tyč sa upevňuje v upínacích havách trhacieho stroja tak, aby sa neohýbaa. Závisosť zaťažujúcej siy F na predĺžení, resp. závisosť napätia na pomernom predĺžení ε sa nazýva pracovný diagram. Tento názov je odvodený od toho, že pocha vymedzená krivkou f(ε), osou ε a priamkou ε konšt. je rovná práci potrebnej k deformácii ε tyče jednotkového objemu. Na obr.. je príkad pracovného diagramu pre húževnatý a krehký materiá. Napätie v pracovnom diagrame je definované ako podie zaťažujúcej siy a pochy pôvodného (nedeformovaného) prierezu. Jedná sa teda o dohovorené napätie. Skutočné napätie je väčšie, pretože pocha prierezu sa deformáciou zmenšuje. Obr.. 6

7 Na pracovnom diagrame si vyznačíme dôežité body a napätia, ktoré im odpovedajú: R U - napätie na medzi úmernosti (medza úmernosti): Pre R U je závisosť f(ε) pribižne ineárna a preto je v tejto obasti spnený Hookov zákon ε.e. Je zrejmé, že smernica priamky OU (tg α) je rovná moduu pružnosti E. R,5 - napätie na medzi pružnosti (medza pružnosti): Ak prekročí napätie túto hranicu vznikajú trvaé deformácie. Podľa normy definujeme medzu pružnosti ako napätie, pri ktorom trvaé pomerné predĺženie je,5 %. R e - napätie na medzi skzu v ťahu (medza skzu): Pri tomto napätí sa čiastočne zrúti štrukturána väzba v kryštaickej mriežke, ktorá doposiaľ bránia väčším deformáciám. Pri tomto napätí teda vznikajú väčšie deformácie, ktoré súčiastku znehodnocujú. R m - napätie na medzi pevnosti v ťahu (pevnosť v ťahu): Ak sa zväčší napätie nad medzu skzu, začne sa materiá znova spevňovať. Pri prekročení napätia R m dôjde k trvaému porušeniu materiáu. To nastane v bode X pri menšom dohovorenom napätí. Skutočné napätie je v dôsedku značného zúženia prierezu väčšie. Ocee s väčším obsahom uhíka majú väčšiu pevnosť. Ich pracovný diagram sa vyznačuje tým, že má menej výraznú medzu skzu. Medza skzu sa potom definuje ako napätie, pri ktorom vzniká pomerné pastické predĺženie, %. Táto dohovorená medza skzu sa označuje tiež ako R p,. V tabuľke. sú uvedené mechanické vastnosti niektorých druhov konštrukčných oceí. Tabuľka. Označenie materiáu Najmenšia medza skzu R e [MPa] Pevnosť v ťahu R m [MPa] ( ) 8 až až 7 ( 7) až 7 až až 9 5 až 6 6 až 6 až až 8 5 (pružinová) 98 5 až 5 Pri statickej skúške na tak sa používa skúšobné teeso tvaru kocky aebo nízkeho vaca. Pritom sa musí zaťažujúca sia rovnomerne rozožiť na oboch koncoch skúšobného teesa. Ak sa stáča skúšobné teeso z húževnatého materiáu, správa sa materiá do medze úmernosti aebo medze skzu rovnako ako pri ťahu. Preto sú hodnoty medze úmernosti aj skzu (u oceí) a hodnoty moduov pružnosti húževnatých materiáov pri taku aj ťahu pribižne rovnaké. Pri prekročení medze skzu nadobúda skúšobné teeso z húževnatého materiáu tvar súdka. Dôežitá je taková skúška krehkých materiáov (iatina, betón, kameň), u ktorých sa mechanické vastnosti v taku výrazne odišujú od vastností v ťahu. Majú podstatne väčšiu pevnosť v taku ako v ťahu. Na medzi pevnosti nastáva rozdrvenie skúšobného teesa. Mechanické vastnosti niektorých krehkých konštrukčných materiáov sú uvedené v tabuľke.. U iatiny je tu navyše uvedená ešte pevnosť pri skúške na ohyb. 7

8 Materiá Pevnosť v ťahu R m t [MPa] Pevnosť v taku R m d [MPa] Tabuľka. Pevnosť v ohybe R m o [MPa] Sivá iatina 5 8 Sivá iatina 95 Betón, až,5 5 až 5, až,5 Teha, až 7, až, až Žua až 6 - Poznámka: Pre rozíšenie ťahu a taku sa ťahové napätie označuje t a pevnosť v ťahu R mt a takové napätie sa označuje d a pevnosť v taku R md Príkad. Pri ťahovej skúške oceľovej tyče o menovitom priemere d o mm a dĺžke o mm boo pri zaťažení F 5,55. N namerané predĺženie,7mm a priečne zúženie d,9. - mm. Tieto hodnoty sú pod medzou pružnosti materiáu. Určite Youngov modu a Poissonovo číso ocee. Riešenie: Napätie (.) a pomerné predĺženie (.6) je: Youngov modu z (.): F 5,55 Pa 6 π d π,7 ε 8,6. E 77MPa 77 5 MPa,8 MPa ε 8,6 η d,9 Poissonovo číso z (.): µ, 9 ε ε d 8,6. Vpyv fyzikánych a geometrických faktorov na mechanické vastnosti materiáov Zákadný pracovný diagram materiáu bo získaný za určitých aboratórnych podmienok. Pri zmene podmienok sa menia vastnosti materiáu. a) Vpyv tepoty. S rastúcou tepotou T Youngov modu E, medza skzu R e a pevnosť R m všeobecne kesajú (obr..5). b) Vpyv rýchosti zaťažovania. Zákadný pracovný diagram (obr..6-krivka a) bo získaný pri maej rýchosti zaťažovania (rýchosť deformácie dε / dt boa rádovo - m.s - ). So vzrastajúcou rýchosťou zaťažovania sa medza skzu zvyšuje, postupne mizne a mení sa ceý diagram v pastickej obasti (obr..6-krivka b). c) Vpyv doby zaťažovania. Po zaťažení siou F dôjde k deformácii ε, ktorá sa s narastajúcou dobou zaťažovania t zvyšuje aj keď je zaťaženie konštantné (obr..7). Tento jav je zvášť výrazný pri vyšších tepotách a nazýva sa tečenie materiáu. 8

9 d) Vpyv veľkosti skúšobnej tyče. So zväčšovaním priemeru d skúšobnej tyče kesá medza skzu R e (obr..8). Eperimentáne boo napr. zistené, že pri zväčšení priemeru z mm na 5mm kesa medza skzu až o 5 %. Obr..5 Obr..6 Obr..7 Obr..8 e) Vpyv náhej zmeny prierezu. Na strojných súčiastkach sa často vyskytujú náhe zmeny prierezu tzv. vruby (zápichy, osadenie, závity, otvory). Aj keď vruby zasahujú en maú časť rozmeru tyče, podstatne ovpyvňujú priebeh napätí po priereze (obr..9). Pôsobenie vrubov je zvášť nepriaznivé u súčiastok z krehkých materiáov. V mieste koncentrácie napätí vzniká trhina, ktorá sa šíri po priereze až do úpného porušenia tyče. Vruby pôsobia zvášť nepriaznivo pri dynamickom zaťažení ebo vytvárajú zárodky tzv. únavového omu. Obr..9 Z týchto dôvodov sa musí konštruktér vyvarovať vrubom na mechanicky eponovaných miestach. Prechody musí dostatočne zaobiť. Podrobnejšie zásady sú prebrané v predmete Časti strojov, kde budú uvedené aj kvantitatívne faktory zachytávajúce vpyv koncentrácie napätia v jednotivých prípadoch. 9

10 .5 Dovoené napätie a miera bezpečnosti Ako sme spomenui v predchádzajúcej kapitoe, na aboratórne zistené mechanické vastnosti materiáov má vpyv ceý rad fyzikánych, konštrukčných a prevádzkových faktorov. Pri vastnom pevnostnom výpočte k tomu pristupuje aj určitá ideaizácia výpočtu. To vnáša do výpočtu určitú chybu. Z týchto dôvodov je nutné navrhovať rozmery súčiastok tak, aby skutočné napätie boo menšie aebo v krajnom prípade rovné dovoenému napätiu D. Pevnostná podmienka, ktorú musí spĺňať normáové napätie v súčiastkach namáhaných na ťah má tvar: Dt (.5) kde: Dt - je dovoené napätie pre namáhanie ťahom. U materiáov, ktoré majú výraznú medzu skzu R e sa dovoené napätie stanovuje ako zomok medze skzu: R e Dt (.6) k kde: k > je miera bezpečnosti. U materiáov, ktoré nemajú medzu skzu sa dovoené napätie stanovuje z medze pevnosti R m : R m Dt (.7) k kde: k > k je miera bezpečnosti pri výpočte z medze pevnosti. Pri namáhaní takom, keď <, označíme dovoené napätie Dd <. Potom budú mať pevnostná podmienka (.5) a výrazy (.6) a (.7) tvar: R e tak R Dd Dd m tak Dd k k Veľkosť miery bezpečnosti pre bežné výpočty je uvedená v tabuľke.: Materiá Tabuľka. Miera bezpečnosti Oceľ k,5 Oceľ kaená k,5 Sivá iatina k 5 Hiník iaty k 8 Drevo k 6 Betón k 8 Pri voľbe rozhodujú súčasne otázky spoľahivosti a ekonomiky. Obe hľadiská pôsobia proti sebe. Správne posúdenie miery bezpečnosti si vyžaduje podrobnú znaosť prevádzkových, materiáových a radu ďaších v jednotivých prípadoch odišných faktorov. Uvedené hodnoty patia pre statické zaťaženie. Pri dynamickom zaťažení sa ich veľkosť znižuje.

11 Príkad. Reťaz, ktorou sa majú zdvíhať bremená do hmotnosti m 5 kg, má byť vyrobená z ocee 7. Navrhnite potrebný priemer čánku d. Obmedzte sa pritom en na ťahové siy vo vetvách čánku (obr..). Mieru bezpečnosti vote k. R e MPa. Obr.. Riešenie: F m g 5 9,8 V každej vetve čánku pôsobí sia: F N, N Uprostred čánku vznikne v každej vetve normáové napätie, pre ktoré musí patiť: F π d R td k e potom : Oceľ 7 má minimánu zaručenú medzu skzu R e MPa. Potom: d Minimány priemer čánku je,5 mm., 6 π d,5 F k π R e,5mm Príkad.5 Navrhnite priemer tyčí prútovej sústavy podľa obr... Zadané hodnoty sú: F. N, m, α, materiá 7. Riešenie: Z podmienok statickej rovnováhy určíme veľkosť sí N, N : Riešením dostaneme: F F y N sinα N sinα N cosα + N cosα N N F cosα Obr..

12 Pevnostná podmienka: N F S π d cosα Dt R k e Potom: d k F π R cosα e Pre daný materiá (R e MPa), voľbu k a dané hodnoty dostávame: Voíme prúty priemeru mm. d π 8 m 8,6.6 Výpočet prútov konštantného prierezu na ťah a tak a) Zaťaženie osameými siami Ak bude prút zaťažený niekoľkými osameými siami v osi (obr..), bude napätie v úsekoch medzi osameými siami konštantné. V k-tom úseku od čea prúta bude napätie: k k F i (.8) S i Predĺženie prúta vo vzdiaenosti od čea prúta sa vypočíta superpozíciou predĺžení vypočítaných pre jednotivé úseky prúta: [ F + F ( ) Fk ( k ) ] (.9) E S m Obr.. Cekové predĺženie dostaneme, ak nahradíme dĺžkou prúta. Pre návrh pochy S priečneho prierezu prúta je rozhodujúci úsek, na ktorom je maimáne napätie.

13 Pri dosadzovaní do vzťahov (.8) a (.9) je nutné brať ohľad na orientáciu sí. Napr. v konkrétnom prípade podľa obr.. sa dosadí veľkosť siy F so záporným znamienkom. Príkad.6 Prút konštantného priečneho prierezu podľa obr.. je zaťažený osovými siami F 8N, F - 5N, F k F 6N. Dĺžky majú veľkosť,m, k- m, 5m. Vypočítajte priemer prúta, ak má byť vyrobený z materiáu 7. Mieru bezpečnosti zvoíme k. Ďaej vypočítajte cekové predĺženie prúta. Riešenie: Maimáne napätie je v treťom úseku. Musí patiť: Vzhľadom k (.8) patí: Potom : π d S k d,98 Voíme prút priemeru: d 5 mm Cekové predĺženie prúta: π d E π 5 6, F + F + F k Dt R e k F ( F + F + ) ( F + F + F ) ( ) m d 6 π Re π m [ F + F ( ) + F ( )] [ 8 5 5,8 + 6 ] m, m b) Zaťaženie objemovými siami Nech na prút s konštantným priečnym prierezom pochy S pôsobia objemové siy, ktoré sú spôsobené zrýchením a, rovnobežným s osou prúta. Na eement prúta o dĺžke d (obr..) potom pôsobí eementárna objemová sia o veľkosti: df a dm a ρ S d kde: ρ - je hustota materiáu. Ceková sia pôsobiaca v reze je potom: Napätie: F ρ S a d F ρ a d (.) S Vypočítame ďaej predĺženie úseku prúta dĺžky. Pre predĺženie eementu d podľa Hookovho zákona patí: ρ d d a d d E E R e

14 kde: - je napätie vyvoané objemovými siami pôsobiacimi na úseku dĺžky. Integráciou pre predĺženie úseku dĺžky dostaneme: ρ d d a E d E (.) Cekové predĺženie prúta dostaneme ak nahradíme vo vzťahu (.). Obr.. Obr.. Predchádzajúci postup má praktický význam pri výpočte prútov (resp. drôtov, án) zaťažených vastnou tiažou a ďaej pre výpočet rotujúcich tyčí. Tieto zváštne prípady si preberieme na nasedujúcich príkadoch. Príkad.7 Riešte zvise zavesenú tyč dĺžky s konštantným priečnym prierezom S. Vypočítajte napätie v reze a najväčšie napätie v dôsedku pôsobenia vastnej tiaže prúta. Nakoniec určte prísušné predĺženie. Riešenie: Ide o zváštny prípad riešený v predchádzajúcom odstavci. Riešenie dostaneme, ak poožíme vo vzťahoch (.) a (.) a g konšt. Patí teda: g g d g ma ρ ρ ρ S E G E g E g d d E g ρ ρ ρ kde: g S g m G ρ je vastná tiaž prúta. Príkad.8 Riešte prút podľa obr.. rotujúci konštantnou uhovou rýchosťou ω. Vypočítajte priebeh napätí a predĺžení pozdĺž osi prúta.

15 Riešenie: Ide o prípad, ktorý bo všeobecne popísaný vzťahmi (.) a (.). V danom prípade je zrýchenie odstredivé a má veľkosť: a ω Potom: Cekové predĺženie: ( ) ρ ω ( ) d ρ ω ρ ω ρ ω d E E ρ ω E 6 (.).7 Jednoduché rotačne symetrické úohy vedúce na ťah a) Tenký prstenec Na čistý ťah vedie pevnostné riešenie tenkého prstenca (obruče, potrubie s vnútorným pretakom, taková nádoba). Po nasadení prstenca na hriadeľ naisovaním (za tepa aebo za studena) vznikne na styčnej poche medzi prstencom a hriadeľom tak p za súčasného zväčšenia priemeru prstenca. Vzniká teda trvaé pružné zväčšenie obvodu prstenca - prstenec je namáhaný na ťah. V dôsedku taku na styčnej poche vzniká trecia sia, ktorá bráni pohybu prstenca v aiánom smere. Obr..5 Uvažujme teda prstenec podľa obr..5. Keďže patí predpokad h << r, môžeme uvažovať, že napätie v radiánom reze je rozožené rovnomerne ako pri čistom ťahu. Z prstenca vyberieme radiánymi rezmi eement. V dôsedku vnútorného pretaku p bude na vnútornú pochu eementu pôsobiť radiána sia: df p ds p b r dα Zo zožkového obrazca sí (obr..5) dostaneme podmienku rovnováhy: df N dα kde: N - je vnútorná obvodová sia, pre ktorú patí: N p b r 5

16 Obvodové napätie pôsobiace na priečnom reze pochy S o b.h má potom veľkosť: N N r p (.) S b h h Ak označíme r zväčšenie poomeru prstenca, dostaneme z Hookovho zákona vzťah pre pomerné predĺženie: π( r + r) π r r p r ε r (.) π r r E E h Zo vzťahu (.) môžeme vypočítať, aký musí byť rozdie medzi poomerom hriadeľa a vnútorným poomerom prstenca (tzv. presah), aby na styčnej poche vzniko po naisovaní prstenca na hriadeľ tak p: p r r (.5) E h Príkad.9 Navrhnite krúžok, ktorý po naisovaní na hriadeľ poomeru r 5mm má zachytiť aiánu siu F a N. Krúžok má byť vyrobený z ocee 5. Súčiniteľ trenia f,. R m 65 MPa, k, b 6 mm Riešenie: Aiánu siu zachytí trecia sia na styčnej poche medzi krúžkom a hriadeľom: S p f π r b p f F a Odtiaľ: Fa p π r b f Potom môžeme zo vzťahu (.) vypočítať obvodové napätie, pričom D : Fa Rm t D π b h f k Ak zvoíme šírku prstenca b 6 mm a pre daný materiá R m 65 MPa, k, môžeme vypočítať hrúbku prstenca: Fa k h,5 m 6 π b f R π 6, 65 Voíme h mm. Potom vznikne napätie: T π b h f π 6 m t Potrebný minimány presah určíme zo vzťahu (.5): r 5 77 rmin, mm 5 E, Pa, 77MPa 6

17 Maimány prípustný presah je obmedzený pevnosťou materiáu. Ak zvoíme pre tento krajný prípad k,5, dostaneme: r Rm 5 65 rma, mm 5 k E,5, Z hodnôt r min, r ma určíme šírku toerančného poľa hriadeľa a otvoru krúžku. b) Rotujúci veniec zotrvačníka Anaogicky ako krúžok po naisovaní je namáhaný veniec rotujúceho zotrvačníka, ak si odmysíme rušivé pôsobenie ramien, ku ktorým je veniec prichytený. Obvodové napätie a zväčšenie poomeru venca vypočítame zo vzťahov (.) a (.5), ak dosadíme namiesto taku p veľkosť odstredivej siy pripadajúcej na jednotku obvodovej pochy venca: m. ω r π r b h ρ. ω r p h ρ ω r S π r b kde: ρ - je hustota materiáu, ω - uhová rýchosť: ω π n / n - otáčky za minútu. Význam ostatných veičín je rovnaký ako na obr..5. Potom po dosadení do (.) a (.5) dostaneme: ρ ω r ρ v (.6) ρ ρ r ω r v r (.7) E E kde: v ω. r je obvodová rýchosť venca. Ak porovnáme vzťahy (.) a (.7) vidíme, že zväčšenie poomeru rotujúceho venca vychádza trikrát väčšie ako predĺženie rotujúceho prizmatického ramena o dĺžke rovnej poomeru venca ( r). V dôsedku toho je deformácia venca spojeného s ramenami zožitejšia (časti obvodu medzi ramenami sa deformujú viac)..8 Jednoduché staticky neurčité prípady ťahu a taku Staticky neurčitá sústava je sústava, pri ktorej rovnice statickej rovnováhy nepostačujú k určeniu všetkých reakcií. Ináč povedané - rovníc je menej ako počet neznámych sí. K týmto rovniciam preto musíme pripojiť dopňujúce nezávisé rovnice, aby ich cekový počet bo rovný počtu neznámych. Dopňujúce rovnice dostaneme vyšetrením deformácie sústavy. K rovniciam statickej rovnováhy pripájame tzv. deformačné rovnice, vyjadrujúce deformačné podmienky sústavy. Ich zostavenie si ukážeme na konkrétnych prípadoch staticky neurčitých sústav. Uvažujme prizmatickú tyč uchytenú pevne na oboch koncoch a zaťaženú podľa obr..6 siou F. Siu F zachytia reakcie R, R na koncoch tyče. Pretože ide o tri siy pôsobiace na jednej vektorovej priamke, je možné napísať jednu rovnicu statickej rovnováhy: F + R (.8) R 7

18 Obr..6 Obr..7 Pretože táto rovnica obsahuje dve neznáme siy, nepostačuje k riešeniu úohy. Úoha je jeden krát staticky neurčitá. K vyšetreniu oboch reakcií je potrebné vyšetriť deformáciu tyče a zostaviť deformačné rovnice. Metódou myseného rezu (obr..7a,b) určíme, že v spodnej časti tyče pôsobí vnútorná sia N -R a v hornej časti tyče sia N F - R. Cekové predĺženie tyče je: N N R ( + ) F (.9) E S E S E S E S Pretože je tyč pevne votknutá, je cekové predĺženie tyče nuové: + Po dosadení z (.9) a po násobení E.S dostaneme: + F (.) ( ) R Toto je hľadaná deformačná rovnica, ktorá spou s rovnicou (.8) postačuje k určeniu reakcií: F F R R + + Riešenie staticky neurčitých sústav si ďaej ukážeme na prípade prútovej sústavy podľa obr..8a. Obr..8 8

19 Rovnice statickej rovnováhy majú v danom prípade tvar: F N sinα + N sinα (.) F y N cosα + N + N cosα F (.) M Momentovú podmienku nie je potrebné uvažovať, ebo všetky siy prechádzajú jedným bodom A. K dvom rovniciam (.) a (.) o troch neznámych musíme pripojiť ešte deformačnú rovnicu. Deformačnú rovnicu zostavíme na zákade podmienky, že po zaťažení siou F sa spoočný bod A dostane do poohy A. Budeme predpokadať, že deformácia sústavy je taká maá, že uho α sa prakticky nemení. Vzťah medzi deformáciami prútov nájdeme z deformačného trojuhoníka na obr..8c: cosα Ak dosadíme do tohoto vzťahu z Hookovho zákona: N N N E S E S cosα E S Dostaneme: N N cos α (.) Riešením rovníc (.) až (.) dostaneme : F F cos α N N N + cos α + cos α Záverom je potrebné poznamenať, že vôľa v kĺboch, výrobné nepresnosti v dĺžkach prútov a montážne nepresnosti môžu výrazne ovpyvniť skutočnú veľkosť sí staticky neurčitých sústav. V prútoch potom vznikajú napätia aj bez pôsobenia vonkajších sí. Na rozdie od toho u staticky určitých sústav nevyvoávajú montážne a výrobné nepresnosti žiadne napätia v sústave. Príkad. Sústava podľa obr..9a pozostávajúca z dokonao tuhého nosníka a dvoch pružných oceľových prútov dĺžky 5 mm s pochou priečneho prierezu S 5 mm je zaťažená siou F 5 N. Vypočítajte: a) Veľkosť sí a napätí v jednotivých prútoch. b) Ako sa zmenia siy a napätia v prútoch, ak v dôsedku výrobnej nepresnosti bude prút o δ,8mm kratší. Riešenie: a) Sústavu uvoľníme podľa obr..9b tak, že zavedieme reakcie N, N ako osové siy v prútoch a reakciu R v závesnom bode. Pretože reakcia R nás nezaujíma, napíšeme momentovú rovnicu statickej rovnováhy vzhľadom k bodu : a +.N a F a aebo: + N F (.) N N 9

20 Obr..9 Úoha je jeden krát staticky neurčitá. Musíme teda pripojiť jednu deformačnú rovnicu. Z obr..9b je zrejmé, že medzi deformáciami, patí vzťah.. Ak tu dosadíme z Hookovho zákona: N N E S E S Dostaneme rovnicu : N N (.5) Riešením rovníc (.) a (.5) dostaneme výsedok : 6 N F N F (.6) 5 5 Čísene : N N N 6N Prísušné napätia : N N 6MPa MPa (.7) S S b) Ak bude prút kratší o dĺžku δ (obr..9c), bude potrebné pri montáži prút stačiť o dĺžku a prút o dĺžku natiahnuť. Z obr..9c je zrejmé, že pre počiatočné deformácie musí patiť: δ + Kde: < je taková deformácia prúta prevedená do miesta prúta. Patí:. Potom: δ + (.8)

21 Pri týchto deformáciách vzniknú v prútoch, siy N, N. Ak pre tieto siy napíšeme momentovú rovnicu statickej rovnováhy: N a + N a Dostaneme: N N (.9) Z Hookovho zákona dostaneme: N N E S E S N E S Dosadením do (.8) vzhľadom k (.9) dostaneme: E S δ E S δ N N 5 5 (.) Aj keď nebude pôsobiť na sústavu vonkajšia sia, vznikne v prúte takové napätie: 5 N δ E,8, MPa 8MPa S 5. 5,5 a v prúte ťahové napätie: S N MPa Po pripojení vonkajšej siy F bude výsedné zaťaženie prútov dané superpozíciou sí (.6) a (.): E S δ N N + N F N E S δ N N + N F + 8N 5 5 Prísušné napätia: N MPa S (tak) N 6MPa S (ťah).9 Napätie spôsobené zmenou tepoty Zmenou tepoty sa menia rozmery súčiastok a konštrukcií. Ak zabránime možnosti voľných tepotných diatácií, vzniknú tepotné pnutia. Podstatu vzniku tepotných pnutí si ukážeme na jednoduchom príkade prúta upnutého medzi pevné steny podľa obr... Obr..

22 Nech je prút vožený medzi steny bez predpätia. Po ohriatí sa prút bude snažiť predĺžiť a bude rozpínať oporné pochy. Stena je však nehybná a bude pôsobiť na prút reakciami R, ktoré vyvoajú vnútorné pnutie v prúte. Veľkosť reakcie nie je možné určiť z podmienok statiky, ebo ide o úohu staticky neurčitú. Je preto potrebné zostaviť deformačnú rovnicu prúta. Počítame pritom s tým, že ceková dĺžka prúta sa nezmení. Ak by bo prút voľný, predĺži by sa v dôsedku nárastu tepoty z t na t o hodnotu: α t t t ( ) kde: α - je súčiniteľ tepenej rozťažnosti. Pôsobením reakcie R by sa prút skráti o hodnotu: R R E S Pretože cekové predĺženie prúta je nuové, patí : + t R Potom: R α E S ( ) Napätie: α E ( ) t t R t t S (.) Ak t > t vzniká namáhanie takové, ak je t < t je namáhanie ťahové. Zo vzťahu (.) jednoducho určíme, že u oceľového prúta (α,. -5 K - ) pri zmene tepoty o C sa zmení napätie o -α. E -,. -5.,. 5 MPa -,5 MPa. Príkad. Vypočítajte ako sa zmení napätie v prútoch sústavy podľa predchádzajúceho príkadu (obr..9), ak vzrastie tepota prúta oproti prútu o t 5 C. Riešenie: Riešenie môžeme previesť na riešenie predchádzajúceho príkadu (po b), ak uvážime, že pri náraste tepoty prúta, bude prút kratší o: δ α t t Potom: Čísene: F α E t S 5 F + α E t S 5 MPa 5MPa