ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai208/lai208html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 208 Ασκηση Να γράψετε αναλυτικά τον 6 6 πίνακα (a ij ) όπου a ij = min{i, j} + i j Ασκηση 2 ίνονται οι πίνακες 0 2, B = 2 2 0 2 2, C = 2 0 3 Να εκτελεστούν, όπου είναι δυνατόν, οι ακόλουθοι πολλαπλασιασµοί πινάκων : A B, B A, A C, C A, B C Ασκηση 3 Αν x, y είναι πραγµατικοί αριθµοί και cos x sin x sin x cos x cos y sin y και B = sin y cos y να δειχθεί ότι οι πίνακες A και B είναι αντιστρέψιµοι, να ϐρεθούν οι πίνακες A και B, και να δειχθεί ότι : AB = BA Ασκηση 4 Εστω οι πίνακες 0 0 0 0 και B = 0 0 Να προσδιοριστεί 3 3 πίνακας X, ο οποίος να ικανοποιεί την εξίσωση : A + 3X = 2(X B) Ασκηση 5 Για κάθε m, n N και για κάθε i =, 2,, m, j =, 2,, n, ϑεωρούµε τους πίνακες : {, αν k = i & l = j E ij M m n (K), όπου (E ij ) kl = 0, διαφορετικά Με άλλα λόγια ο πίνακας E ij είναι ο m n πίνακας ο οποίος έχει κάθε στοιχείο του ίσο µε 0 εκτός από το στοιχείο του στη ϑέση (i, j) το οποίο είναι ίσο µε
2 () Να δειχθεί ότι για κάθε m n πίνακα (a ij ) ισχύει ότι : n a ij E ij i,j= (2) Για κάθε πίνακα A M m n (K) να προσδιοριστούν οι πίνακες A E ij, όπου E ij M n r (K) E ij A, όπου E ij M s m (K) Ασκηση 6 Να εξετασθεί αν ισχύει η ακόλουθη σχέση στο σύνολο M n (K) των n n πινάκων µε στοιχεία από ένα σώµα K: (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 Ασκηση 7 Θεωρούµε τους πίνακες Να υπολογιστεί ο πίνακας A 208 B 2 0 ( και B = 0) Ασκηση 8 Να υπολογιστεί η n-οστή δύναµη A n του πίνακα 0 0 0 0 Υπενθυµίζουµε ότι το ίχνος Tr(A) ένός τετραγωνικού πίνακα (a ij ) M n (K) ορίζεται να είναι το άθροισµα των διαγωνίων στοιχείων του : n Tr(A) = Από τη Θεωρία γνωρίζουµε ότι : i= Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B), και Tr(λA) = λtr(a) Υπενθυµίζουµε επίσης ότι ο ανάστροφος t A ενός πίνακα A M m n (K) ορίζεται να είναι ο πίνακας t A M n m (K), όπου : Από τη Θεωρία γνωρίζουµε ότι : t (A + B) = t A + t B a ii ( t A) ij = (A) ji και t (λa) = λ t A Τέλος, υπενθυµίζουµε ότι ένας τετραγωνικός πίνακας A M n (K) καλείται συµµετρικός αν και µόνον αν t A, δηλαδή ισχύει ότι : a ij = a ji, i, j n Ασκηση 9 Εστω A, B M n (K) δύο n n πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K Να δειχθεί ότι : Tr(A B) = Tr(B A) Ως εφαρµογή να δειχθεί ότι για κάθε αντιστρέψιµο n n πίνακα P και κάθε n n πίνακα A ισχύει ότι : Tr(P A P ) = Tr(A) Ασκηση 0 Να εξετασθεί αν για τυχόντες τετραγωνικούς πίνακες (a ij ), B = (b ij ) M n (K), ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις : Tr(A B) = Tr(A)Tr(B) και Tr( t A) = Tr(A)
3 Ασκηση Εστω A, B M n (K) δύο n n πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K Να δειχθεί ότι : t (A B) = t B ta Ασκηση 2 Θεωρούµε τους n πίνακες A, B M n (K) () Να δειχθεί ότι : t A B = t B A (2) Να δειχθεί µε ένα αντιπαράδειγµα ότι : A tb B ta (3) Να δειχθεί ότι : Tr(A tb) = t A B (4) Να δειχθεί ότι : t A 0 O (5) Να δειχθεί ότι : A t 0 O Ασκηση 3 () Αν A M n (K), να εξετασθεί αν ισχύει ότι : A t t A A (2) Αν A M n (K), να δειχθεί ότι : (αʹ) Οι πίνακες A ta και t A A είναι συµµετρικοί (ϐʹ) Tr( t A A) = Tr(A ta) (γʹ) Ο αριθµός Tr( t A A) είναι µη-αρνητικός και : Tr( t A A) = 0 O 3 Ασκηση 4 Αν, να δειχθεί ότι A 5 2 2A 8I 2 = 0 Επιπλέον να δειχθεί ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί ο πίνακας A Ασκηση 5 Εστω a b c d ένας 2 2 πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K Να δειχθεί ότι : Να συµπεράνετε ότι : και τότε : A 2 (a + d)a + (ad bc)i 2 = O ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος ad bc 0 A = A + (a + d)i 2 = ad bc ad bc ( d ) b c a Ασκηση 6 Εστω n N µε n 2 Ας είναι AT n (K) (αντιστοίχως KT n (K)) το σύνολο των άνω (αντιστοίχως κάτω) τριγωνικών n n πινάκων µε στοιχεία από το σώµα K Να δειχθεί ότι η τοµή AT n (K) KT n (K) των δύο αυτών συνόλων ισούται µε το σύνολο των διαγωνίων πινάκων Ο αριθµός a + d είναι το ίχνος Tr(A) του A, και ο αριθµός ad bc καλείται ορίζουσα του A και συµβολίζεται µε A ή Det(A)
4 Υπενθυµίζουµε ότι ένας πίνακας A καλείται ταυτοδύναµος αν A 2 = A Για παράδειγµα ο πίνακας 2 3 5 4 5 3 4 είναι ταυτοδύναµος Ασκηση 7 () Να δειχθεί ότι αν ο πίνακας A M n (K) είναι ταυτοδύναµος, τότε και ο πίνακας I n A είναι ταυτοδύναµος (2) Να ϐρεθούν όλοι οι ταυτοδύναµοι και αντιστρέψιµοι πίνακες (3) Υποθέτουµε ότι για τους πίνακες (κατάλληλων µεγεθών) A και B ισχύει ότι : AB = A και B B Να δειχθεί ότι οι πίνακες A και B είναι ταυτοδύναµοι Ασκηση 8 () Αν ο n n πίνακας P είναι ταυτοδύναµός, τότε να δειχθεί ότι : (2P I n ) 2 = I n (2) Αν για τον n n πίνακα A ισχύει ότι A 2 = I n, τότε να δειχθεί ότι ο πίνακας 2 (A + I n) είναι ταυτοδύναµος Ασκηση 9 ίνεται ο πίνακας 0 0 0 0 Να δείξετε ότι A 4 = I 3 και ακολούθως να δείξετε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος Στην συνέχεια να ϐρείτε τους πίνακες A και A 207 Ασκηση 20 Εστω 2 Βρείτε τον πίνακα A 0 n, n N Ασκηση 2 Για κάθε n, να ϐρείτε την n-οστή δύναµη του πίνακα 0 0 0 Ασκηση 22 Να δειχθεί ότι ο πίνακας 0 0 0 0 0 0 a b 0 c d 0 είναι αντιστρέψιµος και ακολούθως να ϐρεθεί ο αντίστροφός του A Ασκηση 23 Εστω A και B δύο n n πίνακες και υποθέτουµε ότι υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε οι πίνακες P AP και P BP είναι διαγώνιοι Να δειχθεί ότι : AB = BA Υπενθυµίζουµε ότι µια σχέση R επί ενός συνόλου S είναι ένα υποσύνολο R S S του καρτεσιανού γινοµένου S S Αν s, s 2 S, και (s, s 2 ) R ϑα γράφουµε : s R s 2, δηλαδή : s, s 2 S : s R s 2 (s, s 2 ) R Μια σχέση R επί του συνόλου S καλείται σχέση ισοδυναµίας αν ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες :
5 () s S: s R s (Ανακλαστική ιδιότητα) (2) s, s 2 S: s R s 2 = s 2 R s (Συµµετρική ιδιότητα) { (3) s, s 2, s 3 S: s R s 2 s 2 R s 3 = s R s 3 (Μεταβατική ιδιότητα) Αν R είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου S και δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχισης ϑα συµβολίζουµε την R µε και ϑα γράφουµε s s 2 αντί s R s 2 Ασκηση 24 ύο n n πίνακες A και B καλούνται όµοιοι αν υπάρχει αντιστρέψιµος n n πίνακας P έτσι ώστε P AP = B Να δειχθεί ότι ορίζοντας A, B M n (K) : A B οι πίνακες A και B είναι όµοιοι αποκτούµε µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο M n (K) όλων των n n πινάκων υπεράνω του σώµατος K Ασκηση 25 Για κάθε n, να ϐρεθεί η n-οστή δύναµη των πινάκων a b και λ 0 0 λ, 0 0 0 λ όπου a, b, λ R Ασκηση 26 Να δειχθεί ότι ο πίνακας 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί ο αντίστροφός του Ασκηση 27 Να δειχθεί ότι ο πίνακας 2 3 4 n n 0 2 3 n 2 n 0 0 2 n 3 n 2 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί ο αντίστροφός του
6 Ασκηση 28 Για κάθε x R, να δειχθεί ότι ο πίνακας x x 2 x 3 x n x n 0 x x 2 x n 2 x n 0 0 x x n 3 x n 2 0 0 0 0 x x 2 0 0 0 0 x 0 0 0 0 0 είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί ο αντίστροφός του Υπενθυµίζουµε ότι ένας πίνακας A καλείται µηδενοδύναµος αν υπάρχει ϑετικός ακέραιος k έτσι ώστε : A k = 0 Για παράδειγµα ο πίνακας 0 3 5 0 0 5 0 0 0 είναι µηδενοδύναµος Ασκηση 29 Εστω A και B δύο n n πίνακες τέτοιοι ώστε ο πίνακας I n (A B) 2 να είναι αντιστρέψιµος είξτε ότι ο πίνακας I n (B A) 2 είναι αντιστρέψιµος και ο αντίστροφός του είναι ( In (B A) 2) = In + B (I n (A B) 2) A B A Ασκηση 30 Εστω A ένας n n πίνακας για τον οποίο ισχύει ότι A 4 A 3 + A 2 A + I n = 0, Να δειχθεί ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A = A 4 Ασκηση 3 Εστω A, B M n (K) Να δειχθεί ότι : ο πίνακας I n + AB είναι αντιστρέψιµος ο πίνακας I n + BA είναι αντιστρέψιµος Ασκηση 32 Θεωρούµε τους n n πίνακες A και B, και υποθέτουµε ότι ο B είναι αντιστρέψιµος και ισχύει : A + B = A B Να δείξετε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και ισχύει ότι : A + B = I n Ασκηση 33 Εστω A, B δύο αντιστρέψιµοι n n πίνακες έτσι ώστε ο πίνακας A+B να είναι αντιστρέψιµος είξτε ότι ο πίνακας A + B είναι αντιστρέψιµος και ισχύει ότι : (A + B) = A (A + B ) B Ασκηση 34 Να ευρεθούν όλοι οι πίνακες που µετατίθενται µε τους πίνακες τής µορφής : 0 (), 0 (2) B = 0 0 0 0 0 0 0 Ασκηση 35 Να προσδιοριστούν όλοι οι 2 2 ταυτοδύναµοι πίνακες Ασκηση 36 Να προσδιοριστούν όλοι οι 2 2 πίνακες A που υψούµενοι στο τετράγωνο είναι ίσοι µε τον µηδενικό 2 2 πίνακα, δηλαδή όλοι οι 2 2 πίνακες A για τους οποίους ισχύει ότι A 2 = O