Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IV-a SUBIECTUL Aflaţi difereţa ditre umerele aturale [( 4 a : ) :1 5] 4 6 = 4 [( b 7 ): 5 8] 8 5 = 7 a şi b ştiid că ele verifică egalităţile: Gheorghe Loboţ Suma a două umere aturale este 5. Dacă pe primul umăr îl îmulţim cu, iar pe al doilea umăr îl împărţim la, obţiem umere egale. Care sut umerele? Eugeia Miro Î urmă cu 7 ai, suma vârstelor fraţilor Mariei era de 9 ai. Acum suma vârstelor fraţilor ei este de 7 ai. Câţi fraţi are Maria? Ioa Groza La cocursul de matematică Maria Ţariă, ediţia a 10-a, au participat 7 elevi, ditre care 58 au rezolvat prima problemă, 50 au rezolvat a doua problema, 16 au rezolvat a treia problemă şi 149 au rezolvat a patra problemă. Arătaţi că cel puţi patru elevi au rezolvat toate problemele. Vasile Şerdea
Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a V-a Determiaţi toate umerele aturale abcd cu proprietatea că ab ba = 6 şi dc cd =. SUBIECTUL umărul: A = 919999999994...999...9006 a) Calculaţi suma cifrelor umărului A. b) Care este cifra de pe locul 108? c) Determiaţi câte cifre de 9 coţie umărul A. Moica Fodor Ioa Groza, Cristia Pop Suma a trei umere aturale este 49. Împărţid primul umăr la al doilea obţiem câtul 4 şi restul 5, iar împărţid al doilea umăr la al treilea obţiem câtul 7 şi restul 4. Să se afle umerele. Gheorghe Loboţ, Lucia Iepure Se cosideră 10 umere aturale eule (u eapărat diferite) şi calculăm toate sumele posibile formate di câte 9 ditre aceste umere şi obţiem: 8, 84, 85,, 90, 91 (sumele care se repetă le scriem o sigură dată). Aflaţi cele 10 umere. Vasile Şerdea
Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a VI-a x, y, z trei umere îtregi pozitive cu proprietatea că primele două sut direct proporţioale cu şi, iar ultimele două sut ivers proporţioale cu 1 şi 5 1. Studiaţi dacă produsul lor este cub perfect, câd suma umerelor este 100. SUBIECTUL a) Moica Fodor, Acuţa Nechita 011 011 011 x = 1..., ; z = 1 10 10... 10. Scrieţi î ordie crescătoare umerele: y = 1... 1 9z ; ( 1) y ; ( 1) x. b) Să se arate că fracţia 5c 8 c 5 este ireductibilă, ( ) c N. Vasile Şerdea, Moica Fodor Pe o dreaptă d se cosideră puctele A, B, C, D (î această ordie), astfel îcât ( AB) ( CB) ( CD) E u puct esterior dreptei d, astfel îcât EAD AF) F ED şi ( DP) P AE. Să se arate că: ( ( ( )) ( ( )) a) E aparţie mediatoarei segmetului ( BC ); AF (DP) b) ( ) c) p APB p DFC d) p PBE p FCE.. p p EDA. Î triughiul EDAse costruiesc mediaele Se cosideră triughiul ABC dreptughic î A şi iălţimea AD, D ( BC). (BE bisectoarea ughiului. Dacă AD BE = T, TE = 6 cm şi DT = cm, calculaţi măsura ughiului C. B {} * * * Vasile Şerdea, Camelia Magdaş
Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a VII-a a, b, c a) Dacă sut umere reale pozitive, arătaţi că ( a 1)( b 1)( c 1) 8abc a 1 1 a 1 a 1... a 1 dacă b) Utilizâd evetual puctul a), demostraţi că: ( )( )( ) ( ) a1 a... a = 1. * * * SUBIECTUL Să se arate că 1 671 1 67... 1 011 =... 1 4 5 6 7 009 010 011 Î triughiul ABC se cosideră puctul D pe segmetul ( ) dreptele AB respectiv AC. BC. E şi F simetricele puctului a) Demostraţi că m( p EAF ) este costată oricare ar fi poziţia puctului D pe latura ( BC). Vasile Şerdea D faţă de b) Determiaţi poziţia puctului D pe segmetul ( BC ) astfel îcât perimetrul triughiului AEF să fie miim. c) Arătaţi că EF < AD. d) Care este poziţia puctului D pe ( BC ) astfel îcât AD EF? Ioa Groza, Lucia Iepure P, L, K Se cosideră puctul M î iteriorul triughiului echilateral ABC şi proiecţiile sale pe ( AB ), (BC), respectiv ( AC). Calculaţi aria triughiului ABC ştiid că AP = 8, BL =1 şi CK = 7. Vasile Şerdea, Gheorghe Loboţ
Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a VIII-a b R, a, x [ 0, a] şi y [ 0, b]. Demostraţi că are loc egalitatea: x y ( x y) 1( a b ) SUBIECTUL. a) Ştiid că x xy = 10 şi = y x y 198, calculaţi x y. b) Să se determie cifra di umărul x = 1, 1 care are proprietatea că Ştefaia Mustea, Moica Fodor ude ( x) ( ) d x x=,488, d otează distaţa de la x la cel apropiat umăr îtreg faţă de x. Vasile Şerdea, Dorel I. Duca Cubul ABCD A B C D are muchia de lugime a. Calculaţi: a) Distaţa de la puctul B la dreapta A D. b) Cosiusul ughiului format de plaele ( O AC) şi ( O AB) ude { } = A C B D c) Distaţa de la puctul A la plaul ( O BC). d) Aria secţiuii determiată î cub de plaul ( O BC). O. Moica Fodor, Ioa Groza O piramidă triughiulară VABC are aria bazei ABC egală cu 16. Feţele laterale VAB, VAC, VBC au respectiv ariile 10, 10, 1 şi fac acelaşi ughi cu plaul bazei. Să se calculeze volumul piramidei VABC. Vasile Şerdea, Cristia Pop
Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IX-a 1 u umăr atural. a) Arătaţi că restul împărţirii lui 4 1 4 5 la 5 este 1. b) Arătaţi că dacă umărul atural m 1 are proprietatea că restul împărţirii lui restul împărţirii lui m la 5 1 este 1. SUBIECTUL 5 m la ABC u triughi oarecare. Bisectoarele exterioare ale ughiurilor A, B respectiv două câte două î puctele ' dreapta CA, C şi C sut separate de dreapta AB ). Notăm cu R A, R B respectiv C triughiurilor A BC, B CA respectiv C AB. Să se demostreze R A 5 este 1, atuci Dorel I. Duca C se itersectează A, B respectiv C ( A şi A sut separate de dreapta BC, B şi B sut separate de R R = R B C ( R r), R razele cercurilor circumscrise ude R este raza cercului circumscris triughiului ABC iar r este raza cercului îscris î triughiul ABC. a, b, c, x, y, z umere reale strict pozitive. Să se arate că ( x)( b y)( c z) 4 0 Daiel Văcăreţu a 1 1 1 ax by cz. Dumitru Săvulescu, Lucia Tuţescu, G.M. r. 6/010 f : R R, f ( x) = ax bx c, ude, b, c R, a 0. f ( ), f ( 1) 0, ( 1) < 1 Răspudeţi la următoarele îtrebări: f. a Fucţia satisface codiţiile a) Puctul de extrem al fucţiei f este de maxim sau de miim? Justificaţi. b) Dacă x 0 este puct de extrem al fucţiei, atuci x 0 < 0 sau x > 0 0? Justificaţi. c) Graficul fucţiei f poate trece pri puctul P (, 4)? Justificaţi. Dorel I. Duca
Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a X-a Rezolvaţi î mulţimea umerelor reale ecuaţia [ x] x [ x] 011 = 01 011, 011 ude pri [ x] se îţelege partea îtreagă a umărului real x. SUBIECTUL Gheorghe Loboţ z 1, z umere complexe ce satisfac relaţiile 5 5 z z, z z şi z 1 1 Să se arate că z z. 1 1 z. 1 Aurel Doboşa, G.M. r. 4/010 α, β 0 şi a, b 1umere reale. Să se arate că a oricare ar fi x R. b e ( α β ) l a l b, α si x β cos x α cos x β si x Ilie Diacou, r. 4/010 Se dă f : N * R, periodicitatea fucţiei f. [ f ( ) ( 1) ] =, ude [ ] x este partea îtreagă a umărului real x. Studiaţi Moica Fodor
Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a XI-a Să se calculeze limita şirului ( x ) 1, defiit pri x cos 1 cos cos =..., 1 1. Liviu Tivadar SUBIECTUL fucţia poliomială x) = ( a ( x 1) 1) ( a ( x 1) 1 )...( a ( x 1) 1) ude a ( 0,1), 1 i. i Q, x R, ( 1 Determiaţi umerele a a,..., 1, a astfel îcât expresia k = 1 k b k kbk k = 1 b k să aibă valoarea maximă, ude este coeficietul lui di dezvoltarea poliomului Q. x k Octavia Agratii a a Se cosideră matricea A * =. Să se calculeze A, N. 1 0 Gheorghe Loboţ f : D R defiită pri π x f ( x) = cos x l( 1 x) x, oricare ar fi x D, ude D R este mulţimea maximă de f a 0, o b : V R astfel îcât defiiţie a fucţiei. Determiaţi cel mai mare umăr atural cu proprietatea că există u umăr real veciătate V a lui 0 şi o fucţie ( x) f ( x) = 1 ax x b, x V, şi limb( x) = 0. x 0 Dorel I. Duca
Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a XII-a Dorel I. Duca Maria Cocoaeş, G.M. 10/010 Maria Adroache, Io Savu Eugeia Duca, Dorel I. Duca