PROGRAMA PENTRU OLIMPIADA DE MATEMATICĂ, VALABILĂ PENTRU CLASA A V-A, ÎN ANUL ȘCOLAR

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "PROGRAMA PENTRU OLIMPIADA DE MATEMATICĂ, VALABILĂ PENTRU CLASA A V-A, ÎN ANUL ȘCOLAR"

Transcript

1 PROGRAMA PENTRU OLIMPIADA DE MATEMATICĂ, VALABILĂ PENTRU CLASA A V-A, ÎN ANUL ȘCOLAR PENTRU CLASELE VI XII, RĂMÂN VALABILE PROGRAMELE INTRATE ÎN VIGOARE ÎNCEPÂND CU ANUL ȘCOLAR Programa olimpiadei de matematică petru clasa a V-a î aul şcolar Î programa de olimpiadă sut icluse, î mod implicit, coţiuturile programelor şcolare petru disciplia matematică di clasele aterioare. Î programa prevăzută petru etapa aţioală sut icluse î mod implicit, coţiuturile programelor de olimpiadă de la etapele aterioare. Numere aturale. Operaţii cu umere aturale. Factorul comu. Teorema împărţirii cu rest. Reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Ultima cifră. Pătrate perfecte. Cuburi perfecte. Metode aritmetice de rezolvare a problemelor Metoda reducerii la uitate. Metoda comparaţiei. Metoda figurativă. Metoda mersului ivers. Metoda falsei ipotezei. Divizibilitatea umerelor aturale Divizor; multiplu; divizori comui; multipli comui. Criterii de divizibilitate cu: 2, 5, 2, 5, 10, 3 şi 9; umere prime; umere compuse. Scrierea umerelor aturale ca produs de factori primi Fracţii ordiare. Fracţii zecimale (coţiutul programei şcolare) Elemete de geometrie şi uităţi de măsură (coţiutul programei şcolare) Note 1. La toate etapele olimpiadei de matematică (locală, judeţeaă, aţioală), autorul problemelor di cocurs va utiliza coţiutul prezetei programe petru olimpiadă. 2. Temele propuse vor cupride atât coţiuturile obligatorii petru toţi elevii, cât şi coţiuturile suplimetare. 3. Folosirea corectă de către elevi, î redactarea soluţiei, a uor teoreme (fără demostraţie coduce la acordarea puctajului maxim prevăzut î baremele de corectare. 4. Cuoştiţele suplimetare faţă de programa şcolară, pot fi folosite î rezolvarea problemelor de olimpiadă.

2 INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IALOMIŢA Programa olimpiadei de matematică petru clasele VI - VIII î aul şcolar Petru fiecare clasă, î programa de olimpiadă sut icluse, î mod implicit, coţiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare. Petru fiecare clasă, î programa prevăzută petru etapa aţioală sut icluse î mod implicit, coţiuturile programelor de olimpiadă de la etapele aterioare. Cuoştiţele suplimetare faţă de programa şcolară, marcate cu text îcliat î prezeta programă, pot fi folosite î rezolvarea problemelor de olimpiadă. Clasa a Vl-a ALGEBRĂ 1. Numere aturale Proprietăţile divizibilităţii î ℕ. Criteriile de divizibilitate cu: 2; 5; 10; 2; 5; 3; 9; 7; 11; 13. Numere prime. Numere compuse. Teorema fudametală a aritmeticii. C.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. Numere prime ître ele. [a,b] (a,b) = a b ; a b c şi (a,b) = 1 a c; Dacă (a,b) = d x,y ϵ ℕ astfel îcât (x,y) = 1 şi a = dx,b =dy; Dacă [a,b] = m x,y ϵ ℕ astfel îcât (x,y) = 1 şi m = ax,m=by. 2. Numere raţioale pozitive Operaţii cu umere raţioale pozitive. Media aritmetică poderată a uor umere raţioale pozitive Ecuaţii î mulţimea umerelor raţioale pozitive. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor/ iecuaţiilor 3. Rapoarte şi proporţii Rapoarte. Proporţii. Procete. Mărimi direct proporţioale. Mărimi ivers proporţioale. Şir de rapoarte egale. Proporţioalitate directă. Proporţioalitate iversă. 4. Rapoarte şi proporţii Elemete de orgaizare a datelor; reprezetarea datelor pri grafice; probabilităţi. 5. Numere îtregi Operaţii î ℤ. Modulul uui umăr îtreg. Puterea uui umăr îtreg cu expoet umăr atural. Reguli de calcul cu puteri. Ecuaţii şi iecuaţii î ℤ. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor/iecuaţiilor Divizibilitatea î ℤ. Proprietăţi ale divizibilităţii î ℤ. GEOMETRIE 1. Puct. Dreaptă. Semidreaptă. Segmet. 2. Ughi

3 Teorema directă şi teorema reciprocă a ughiurilor opuse la vârf 3. Cogrueţa triughiurilor şi cazul L.U.U. 4. Perpedicularitate Drepte perpediculare, oblice. Distaţa de la u puct la o dreaptă. Bisectoarea uui ughi; proprietatea bisectoarei; cocureţa bisectoarelor ughiurilor uui triughi Mediatoarea uui segmet; proprietatea mediatoarei; cocureţa mediatoarelor laturilor uui triughi Îălţimea î triughi, cocureţa îălţimilor Criteriile de cogrueţă ale triughiurilor dreptughice: IC, IU, CC, CU 5. Paralelism Teorema directă şi teorema reciprocă a liiei mijlocii a uui triughi 6. Proprietăţi ale triughiurilor Teorema: Îtr-u triughi dreptughic, lugimea catetei care se opue ughiului de 30 este jumătate di lugimea ipoteuzei. Teorema reciprocă. Teorema: Îtr-u triughi dreptughic, lugimea mediaei corespuzătoare ipoteuzei este jumătate di lugimea ipoteuzei. Teorema reciprocă. Iegalităţi geometrice: Iegalitatea triughiului. Îtr-u triughi, la latura mai mare se opue ughiul mai mare, şi reciproc. Teorema perpedicularelor şi a oblicelor. ALGEBRĂ Clasa a VlI-a 1. Mulţimea umerelor raţioale 2. Mulţimea umerelor reale Modulul uui umăr real. Proprietăţile modulului. Partea îtreagă şi partea fracţioară a uui umăr real Reguli de calcul cu radicali. Raţioalizarea umitorilor. Formula radicalilor dubli şi următoarele rezultate: a) Dacă a, b ϵ Q * şi p.q ϵ Q * astfel îcât p a + q bϵ Q, atuci - a ϵq şi b ϵq. b) Dacă a ϵ Q * şi x ϵ R Q, atuci a+x ϵ R Q şi a x ϵ R Q. 3. Calcul algebric şi următoarele rezultate: a) a -b = (a-b)(a -1 +a -2 b+... +ab -2 +b -1 ), ude a,b ϵ R şi ϵn; b) a +b = (a+b)(a -1 +a -2 b+... +ab -2 +b -1 ), ude a,b ϵ R şi ϵn, impar; c) (a + b) = Ma+b,ude a,bϵz şi ϵ N*

4 d) (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac + bd) 2 + (ad - bc) 2 (idetitatea lui Lagrage)

5 4. Ecuaţii şi iecuaţii Iegalităţi. Sume. Probleme de maxim si de miim a) a 2 + b 2 2ab ; a 2 +b 2 +c 2 ab+bc + ca, petru orice a.b.c. ϵr ; b) a b + b a 2 petru orice a, b > 0 c) 1 a1 + 1 a a1 i = 1, şi N* a 1 a 2 a a 1+a 2 + +a a 1 2 +a a 2, a i > 0, (iegalitatea mediilor); d) (a a a 2 ) (b b b 2 ) (a 1 b 1 + a 2 b a b ) 2, a i, b i R, i = 1, şi N* (iegalitatea Cauchy - Buiakovski - Schwarz). 5. Elemete de orgaizare a datelor GEOMETRIE 1. Patrulatere 2. Asemăarea triughiurilor Teorema lui Thales. Teorema reciprocă a teoremei lui Thales. Teorema paralelelor echidistate. Teorema paralelelor eechidistate. Liia mijlocie î triughi; proprietăţi. Cetrul de greutate al uui triughi; proprietăţi. Liia mijlocie î trapez; proprietăţi. Teorema fudametală a asemăării. Criterii de asemăare a triughiurilor. Teorema bisectoarei (iterioare, exterioare) şi teorema reciprocă. 3. Probleme de coliiaritate. Probleme de cocureţă Teorema lui Meelaos; teorema reciprocă. Teorema lui Ceva; teorema reciprocă. 4. Relaţii metrice

6 Teorema lui Pitagora geeralizată. Teorema cosiusului. Teorema siusurilor. Teorema mediaei: m a 2 = 2(b2 +c 2 ) a 2 4 Arii: A = p(p a)(p b)(p c); A = a b si C Apatrulater covex = d 1 d 2 si (d 1, d 2 ) 2 2 ; A = abc 4R ; 5. Cercul Patrulater iscriptibil. Patrulater circumscriptibil. Codiţii de iscriptibilitate, codiţii de circumscriptibilitate Dreapta lui Simso. Cercul lui Euler 6. Probleme elemetare de loc geometric ALGEBRĂ Clasa a VlII-a 1. Mulţimea umerelor reale Partea îtreagă şi partea fracţioară a uui umăr real. Ecuaţii. Modulul uui umăr real. Ecuaţii Itervale. Operaţii cu itervale. Iecuaţii Formulele de calcul prescurtat. Rapoarte de umere reale reprezetate pri litere. Operaţii 2. Fucţii 3. Ecuaţii, iecuaţii şi sisteme de ecuaţii GEOMETRIE 1. Pucte, drepte, plae. Paralelism

7 Teoreme de paralelism; teorema lui Meelaos î spaţiu; teorema reciprocă teoremei lui Meelaos; teorema lui Thales î spaţiu; axe de simetrie ale paralelipipedului dreptughic; axa de simetrie a piramidei patrulatere regulate; simetria faţă de u pla; secţiui axiale î corpurile care admit axe de simetrie 2. Proiecţii ortogoale pe u pla Perpediculara comuă a două drepte; reciprocele teoremelor celor trei perpediculare; pla mediator; pla bisector 3. Calcul de arii si volume (prisma, piramida, truchiul de piramidă) 4. Corpuri rotude 5. Probleme elemetare de loc geometric NOTE. 1. La toate etapele olimpiadei de matematică (locală, judeţeaă, aţioală), autorul problemelor di cocurs va utiliza coţiutul prezetei programe petru olimpiadă. 2. Temele propuse vor cupride atât coţiuturile obligatorii petru toţi elevii, cât şi coţiuturile suplimetare. 3. Folosirea corectă de către elevi, î redactarea soluţiei, a uor teoreme fudametale, fără demostraţie (de exemplu: teorema lui Steier, teorema lui Ptolemeu, teorema lui Fermat şi pricipiul iducţiei matematice etc.) coduce la acordarea puctajului maxim prevăzut î baremele de corectare.

Programa olimpiadei de matematică clasele V VIII An şcolar 2008 / 2009

Programa olimpiadei de matematică clasele V VIII An şcolar 2008 / 2009 R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR Programa

Διαβάστε περισσότερα

An şcolar 2007 / Clasa a V a - Etapa locală

An şcolar 2007 / Clasa a V a - Etapa locală MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI Programa olimpiadei de matematică clasele V VIII A şcolar 007 / 008 Petru fiecare clasă, î programa de olimpiadă sut icluse coţiuturile programelor de olimpiadă

Διαβάστε περισσότερα

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii... Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008 Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IV-a SUBIECTUL Aflaţi difereţa ditre umerele aturale [( 4 a : ) :1 5] 4 6 = 4 [( b 7 ): 5 8] 8 5 = 7 a şi b ştiid că ele verifică egalităţile: Gheorghe Loboţ Suma a două

Διαβάστε περισσότερα

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce

Διαβάστε περισσότερα

SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ

SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ CLASA a IV-a U gospodar are î curte găii și iepuri, î total 30 de capete și 84 de picioare. Săptămâal, petru hraa uei păsări sut folosite, î medie, 500 g de grăuțe, iar petru hraa uui iepure de 4 ori mai

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ]. Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

CERCUL. Prof. V Corcalciuc Scoala nr. 146 I.G. Duca Bucuresti ( Lectie facuta dupa manualul de clasa a 7-a Prof.Radu)

CERCUL. Prof. V Corcalciuc Scoala nr. 146 I.G. Duca Bucuresti ( Lectie facuta dupa manualul de clasa a 7-a Prof.Radu) ERUL Prof. V orcalciuc Scoala r. 46 I.G. Duca ucuresti ( Lectie facuta dupa maualul de clasa a 7-a Prof.Radu) Defiitie:ercul cu cetrul i si de raza r este multimea tuturor puctelor di pla situate la distata

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z : Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică (Cls. a V a, a VI a, a VII a) UNITĂȚI DE MĂSURĂ Lungime rie Volum Capacitate DE REȚINUT! Masă 1hm 1ha 1dam 1ar 1dm 1l 1q 1kg 1t 1kg 1v 1kg

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI 122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1

Varianta 1 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p

Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A

Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A 1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Inegalitati. I. Monotonia functiilor

Inegalitati. I. Monotonia functiilor Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011 Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a V-a. Clasa a VI-a. Clasa a VII-a

Clasa a V-a. Clasa a VI-a. Clasa a VII-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ MATEMATICA, DE DRAG EDIŢIA I, 4-6006 Clasa a V-a a+ b Numerele a, b, c, d N verifică relaţia: b+ c + c+ d + d+ a + = 5 Calculaţi: a + b+ c+ d 7 (G M /006) Suma a două

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +

Διαβάστε περισσότερα

Nesecret MINISTERUL AFACERILOR INTERNE INSPECTORATUL GENERAL PENTRU SITUAŢII DE URGENŢĂ Anexa nr. 8 la Ordinul IG Nr din 1.05.

Nesecret MINISTERUL AFACERILOR INTERNE INSPECTORATUL GENERAL PENTRU SITUAŢII DE URGENŢĂ Anexa nr. 8 la Ordinul IG Nr din 1.05. MINISTERUL AFACERILOR INTERNE INSPECTORATUL GENERAL PENTRU SITUAŢII DE URGENŢĂ NESECRET Ex.r. Aexa r. 8 la Ordiul IG Nr. 10146 di 1.05.013 TEMATICA ŞI BIBLIOGRAFIA petru susţierea lucrării scrise la proba

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

TEMATICA pentru proba de Matematică-Fizică din cadrul concursului de admitere în Academia Tehnică Militară sesiunea iulie 2015 A.

TEMATICA pentru proba de Matematică-Fizică din cadrul concursului de admitere în Academia Tehnică Militară sesiunea iulie 2015 A. TEMATICA petru proba de Matematică-Fizică di cadrul cocursului de admitere î Academia Tehică Militară sesiuea iulie 2015 A. MATEMATICĂ Coţiuturile programei de Matematică a cocursului de admitere di iulie

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA NAŢIONALĂ aprilie FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL Filiera tehologică: profilul

Διαβάστε περισσότερα

sistemelor de algebrice liniarel

sistemelor de algebrice liniarel Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris

Διαβάστε περισσότερα

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017 Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.

Διαβάστε περισσότερα

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii: TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii. 5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45. Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă. clasa a VIII-a. mate 2000 excelenţă

EDITURA PARALELA 45. Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă. clasa a VIII-a. mate 2000 excelenţă Maranda Linţ Dorin Linţ Rozalia Marinescu Dan Ştefan Marinescu Mihai Monea Steluţa Monea Marian Stroe Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă clasa a VIII-a mate 000

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode

Διαβάστε περισσότερα

OperaŃii cu numere naturale

OperaŃii cu numere naturale MulŃime umereleor turle www.webmteifo.com Petru scrie u umr orecre trebuie s combim itre ele uele ditre cele 0 simboluri: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9.Aceste simboluri se umesc cifre. Ele sut de origie rb. Ν =

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I 1. Fie f : R R definită prin f(x) = x(1+e x ). a) Să se arate că f este indefinit derivabilă şi că f (n) (x) = a n e x +b n xe x, ( ) n 3, ( ) x R. Deduceţi că a n+1

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior 4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã

Διαβάστε περισσότερα

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri

Διαβάστε περισσότερα

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0 DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela

MATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii

Διαβάστε περισσότερα

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita

REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

COMPETENłE GENERALE VALORI ŞI ATITUDINI

COMPETENłE GENERALE VALORI ŞI ATITUDINI Şcoala cu clasele I - VIII Leiceşti - Argeş Responsabil Director, Matematică - Algebră clasa a VI - a ( ore pe săptămână) comisie metodică, L.S. Matematică - Geometrie clasa a VI - a ( ore pe săptămână)

Διαβάστε περισσότερα

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn. 86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că

Διαβάστε περισσότερα

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii. Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă

Διαβάστε περισσότερα

EXAMENE ŞI CONCURSURI

EXAMENE ŞI CONCURSURI 8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VI-a

Subiecte Clasa a VI-a Clasa a VI Lumina Math Intrebari (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICĂ MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ. CLASELE a V-a, a VI-a, a VII-a şi a VIII-a

MATEMATICĂ MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ. CLASELE a V-a, a VI-a, a VII-a şi a VIII-a MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ MATEMATICĂ CLASELE a V-a, a VI-a, a VII-a şi a VIII-a Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE Actuala programă

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

Διαβάστε περισσότερα