Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat 2009

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat 2009"

Transcript

1 Grup Fie G-evidã şi *: GxG G, (x,y) x*y, œx,y0g. Axiomele grupului: G1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,z G (asociativitatea); G2. e G astfel îcât x*e = e*x = x, x G (e elemet eutru); G3. x G x G astfel îcât x *x = x*x = e (x simetricul lui x); dacã G4. x*y = y*x, x,y G grupul este comutativ (sau abelia). Exemple 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) grupuri comutative; 2. (R, ) grupul resturilor modulo, comutativ; 3. (M (Z),+) grupul matricilor pãtrate de ordi cu elemete di Z; 4. (K, o) grupul lui Klei (al simetriilor fańã de sistemul de coordoate), comutativ; 5. (σ, o) grupul simetric de grad (al permutãrilor de elemete) u este comutativ; DefiiŃia 1. Fie (G,*) grup, H G, H este subgrup dacã x,y H x*y H şi x H x H (x este simetricul lui x î raport cu operańia *); Fie grupurile (G 1, ), (G 2, ): DefiiŃia 2. f:g 1 G 2 se umeşte morfism de grupuri dacã f(x y)=f(x) f(y), x,y G 1. DefiiŃia 3. f:g 1 G 2 se umeşte izomorfism de grupuri dacã f este bijectivã şi f(x y)=f(x) f(y), x,y G 1. DefiiŃia 4. f:g 1 G 2 se umeşte automorfism (edomorfism) al grupului G 1, dacã f este u izomorfism (morfism). 1

2 Caz geeral Fie pe R operańia xby=axy-abx-aby+b(ab+1), x,y0r. Se cere: 1. Să se arate că, x,y0r xby=a(x-b)(y-b)+b; 2. Să se arate că f :R R, f(t)=a(t-b), este fucńie bijectivă care verifică totodată f(xby)=f(x)af(y), x,y0r; 3. Î cazul alegerii a > 0 cosiderâd H = (b;+ 4), respectiv î cazul alegerii a< 0 cosiderâd H =(-4 ;b), să se arate că, x,y0h, are loc xby0h; 4. Î cazul alegerii a > 0 cosiderâd H = (b;+ 4), respectiv î cazul alegerii a< 0 cosiderâd H =(-4 ;b), să se arate că f :H R + *, f(t)=a(t-b), este izomorfism de la (H;B) la (R + * ; A) ; 5. Să se arate că, x,y0r, are loc x B y = y B x ; 6. Să se arate că x,y0q\ Z îcât xby0z; 7. Să se arate că x,y0r\ Q îcât xby0z; 8. Să se arate că x,y,z0r, are loc ( x B y ) B z = x B ( y B z ) ; 9. Să se arate că e0r îcât, x 0R, verifică x B e = e B x = x ; 10. Să se arate că, x 0R\{ b }, x'0r\{ b } îcât xb x'= x'bx= 1 a + b; 11. Î cazul alegerii a > 0, cosiderâd H = (b;+ 4), respectiv î cazul alegerii a<0, cosiderâd H=(-4 ;b), să se determie ce fel de structură este (H, B ); Să se rezolve ecuańia x + b x = a A B + C, x0(0,+4), ude A="a"-b-c, a B="a"-b+c, C=ac 2 +b, c0z; 13. Să se arate că θ0r îcât x0r verifică x B θ = θ B x = θ; 14. Să se determie valoarea expresiei E=(-"a")B(-"a"+1) B... B (-2) B (-1) B 0 B 1 B 2 B... B ("a"-1) B ("a"); 15. Să se arate că, x,y,z0r, xbybz=a 2 (x-b)(y-b)(z-b)+b; 16. Să se rezolve î R ecuańia ("a"x 2 -x+b)b(x 2 -"a"x+b)=b; 17. Să se rezolve î R ecuańia (b- b +d x )B(log d x)b(b-1+c x a )=b, d0n, d 2; Să se arate că... ( ) de ori A A A = a A b + b, 0N, A fiid u umăr real liber ales, spre exemplu A = a ; 19. Să se determie cel mai mic umăr 0N* cu proprietatea (b+1)b(b+2)b(b+3)b...b "a"; 20. Să se rezolve î R ecuańia xbxbxbxbx=a 4 AA 5 +b, A fiid u umăr real liber ales, spre exemplu A = a. Rezolvare 1. Se verifică imediat, pri calcul direct: xby=a(x-b)(y-b)+b=a(xy-bx-by+b2 )+b=axy-abx-aby+b(ab+1) 2. Justificarea bijectivităńii fucńiei f :R R, f(t)=a(t-b), este imediată, ca fucńie de gradul îtâi. Coform cu xby=a(x-b)(y-b)+b xby-b=a(x-b)(y-b) Aa a(xby-b)=a(x-b)aa(y-b) 2

3 este chiar cerińa, respectiv f(xby)=f(x)af(y). 3. Fie x0h (x-b) 0 şi y0h (y-b) 0 şi atuci (x-b)(y-b) 0, dar cum a este costată eulă şi de sem prestabilit, aparteeńa a(x-b)(y-b)+b=xby0h este justificată. 4. VariaŃia fucńiei f :R R, f(t)=a(t-b), studiată aterior, arată imediat că restricńia f :H R * + este bijectivă. Tot di datele aterioare, este evidet că H este parte stabilă a structurii (R;B) (item 3) şi că are loc proprietatea de morfism +(item 2), izomorfismul fiid astfel demostrat. 5. Comutativitatea este imediată 6. Luâd xby=a(x-b)(y-b)+b şi alegâd x-b= 2 3 şi y-b= 3, deoarece b0z, evidet x,y0q\z şi 2 xby=a+b0z. 7. Pe aceeaşi idee, alegâd x-b= 2-1 şi y-b= 2 +1, se va obńie x,y0r\q şi xby=a+b0z. Se observă că alegerea u este uică, admińâd chiar o ifiitate de posibilităńi. 8. Asociativitatea se demostrează pri calcul 1 9. Di xby=a(x-b)(y-b)+b şi xbe=x coduce la a(x-b)(e-b)+b=x di care se obńie e = + b a 10. Dubla egalitate xbx'=x'b x= 1 b a + se reduce de fapt la xb x'= 1 + b care se exprimă î forma a a(x-b)(x'-b)+b= 1 b a +, obńiâd 1 x' = b + care este î mod evidet di R\{b}, 2 a ( x b) justificâd afirmańia di item Structura (H;B) se dovedeşte grup comutativ, verificarea proprietăńilor fiid asigurată de cocluzii aterioare Cum e = + b, x + b x = a A B + C devie xbx=aaaab+c, adică a(xb) 2 +b=aa("a"-b-c) ("a"-b+c)+ac 2 +b. Observâd difereńa de pătrate, di a(x- a a b) 2 =aa[("a"-b) 2 -c 2 ]+ac 2 se obńie (x-b) 2 =("a"-b) 2 şi î fial x="a", î codińia alegerii evidete 2b-"a"<0<"a"-b. 13. Di xby=a(x-b)(y-b)+b se observă q=b cu proprietatea meńioată, xbθ=θbx=θ. 14. Cum θ=b se regăseşte pritre factorii ce compu expresia E, răspusul la este E=θ=b. 15. Se obńie pri calcul folosid xby=a(x-b)(y-b)+b. 16. EcuaŃia ("a"x 2 -x+b)b(x 2 -"a"x+b)=b devie ("a"x 2 -x)(x 2 -"a"x)=0 şi răspusul va fi 1 x 0;"a"; "a". 17. EcuaŃia devie (d x - b )(log d x-b )( C x "a" 1) =0, deci x { log ; b d b d ;0;"a"} Izomorfismul coduce imediat la... ( ) ( ) 1 A A... A = a A b + b de ori 1 2 x x x = a x b + b şi astfel idetitatea este evidetă. 19. (b+1)b(b+2)b(b + 3)B...B=a -b-1 A(-b)!+b şi astfel se determiă imediat răspusul. 20. xbxbxbxbx=a 4 A(x-b) 5 +b şi a 4 A(x-b) 5 +b =a 4 AA 5 +b soluńia x=a+b. k = 1 k 3

4 Probleme rezolvate 1. Pe mulńimea umerelor reale defiim operańia x y = xy + 4x + 4y +12. a) Să se verifice că x y = (x + 4)( y + 4) 4 petru orice x, y0r. b) Să se calculeze x ( 4), ude x este umăr real. c) Ştiid că operańia este asociativă, să se calculeze ( 2009) ( 2008) R. a) Se verifică pri calcul direct: (x + 4)( y + 4) 4 = xy+4x + 4y = xy + 4x + 4y +12= x y. b) x ( 4) = (x+4)( 4 + 4) 4= (x+4)a0 4 = 4, x0r. c) ( 2009) ( 2008) = =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 4 = 4 di puctul b) = Pe mulńimea umerelor reale defiim operańia x y = 2xy 6x 6y a) Să se arate că x y = 2(x 3)( y 3) + 3, petru orice x, y0r. b) Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia x x =11. c) Ştiid că operańia este asociativă, să se calculeze R. a) Pri calcul direct obńiem 2(x 3)( y 3) + 3 =2(xy 3x 3y +9)+3= 2xy 6x 6y+9+3=2xy 6x 6y+12= x y. b) x x =11 2(x 3)( x 3) + 3 =11 2(x 3) 2 =8 (x 3) 2 =4 x 3=±2. S={1, 5}. c) Calculăm x 3 = 2(x 3)( 3 3) + 3 = 2(x 3)A0 + 3=3, oricare ar fi x0r. Î termeii compuerii există 9 = 3 şi di calculul precedet rezultatul calculului este Pe mulńimea umerelor reale se cosideră legea de compozińie x y = xy 2(x + y) + 6. a) Să se arate că x y = (x 2)( y 2) + 2, oricare ar fi x, y0r. b) Să se demostreze că x 2 = 2, oricare ar fi x0r. c) Ştiid că legea de compozińie este asociativă, să se calculeze valoarea expresiei E = ( 2009) ( 2008) ( 1) R. a) Pri calcul direct (x 2)( y 2) + 2 = xy 2x 2y = xy 2x 2y + 2 = x y. b) x 2 = (x 2)( 2 2) + 2 = (x 2)A0 + 2 = 2, oricare ar fi x0r. c) E = ( 2009 ) ( 2008 ) ( 1 ) =2 coform = 2 = 2 puctului b). = 2 4

5 Se cosideră mulńimea G = {A x x0z}, ude matricea Ax = 0 1 0, x Z. x 0 1 a) Să se verifice că A x AA y = A x+y, ude x, y0z. b) Ştiid că mulńimea G împreuă cu operańia de îmulńire a matricelor formează o structură de grup, să se determie elemetul eutru al grupului c) Să se arate că fucńia f : Z G, f (x) = A x este morfism ître grupurile (Z,+) şi R. a) Ax Ay = = = Ax + y x 0 1 y 0 1 x + y 0 1 b) Elemet eutru este A e, e0z şi A e = A x x + e = x e = 0 şi Ae = = I c) O fucńie f : G 1 G 2 este morfism dacă f (x + y) = f (x) + f (y), x,y0g 1. Calculăm puctul a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x + y = A x + y = A x + A y = f x + f y, x,y0z şi f este izomorfism de la Z la G. 5. Pe mulńimea umerelor reale se cosideră legea de compozińie x y = (x 4)( y 4) + 4. a) Să se determie elemetul eutru al legii de compozińie. b) Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia x x x = x. c) Să se determie două umere a,b0q \ Z astfel îcât a b0n. R. a) Elemetul eutru: există e0r astfel îcât oricare ar fi x0r să avem: x e = e x = x. x e = (x 4)( e 4) + 4 (x 4)( e 4) + 4 = x (x 4)( e 4) = x 4 e 4 = 1 e = 5. b) x x x = (x 4) + 4 = (x 4) (x 4) = x (x 4) 3 (x 4) = 0 (x [(x 4) 2 1] = 0 x 1 = 0 şi (x 4) 2 1=0 (x 4) 2 = 1 x 4 = ± 1 x 2 = 3 şi x 3 = 5. m p c)a,b0q\z a =, b,cu m,, p, q, 0, p 0, 1, p 1, ( m, ) 1, ( p, q) 1 = q N = = m p m 4 p 4q şi calculăm a b = = + q. Cum a b0n atuci q m 4 p 4q N q / ( m 4) şi / ( p 4q). Luăm valori petru şi q, =3 şi q q =5, atuci 5 / (m 3) m = 17 şi 3 / (p 5) p = 23. ObŃiem a = şi b =, iar 3 5 5

6 a b = = + 4 = + 4 = 1+ 4 = 5 N. Obs. Se pot lua şi alte valori petru şi q. 6. Pe mulńimea umerelor reale se cosideră legea de compozińie x y = a) Să se demostreze că x ( x) = 1, oricare ar fi x real. b) Să se arate că legea de compozińie este asociativă. c) Să se calculeze ( 4) ( 3) x x = x + x = x x = = R. a) ( ) ( ) b) Asociativitatea: x (y z) = (x y) z, x,y,z0r., x0r. Calculăm ( ) ( ) x y 1 +. x y z x y z x y z x y z = + 1 = = şi ( ) ( ) = + 1 = = = x y z x y z x y z x y z = x + y + z 2 cei doi termei sut egali şi legea de compozińie este asociativă. c) ( 4) ( 3) = ( 4) ( 3) ( 2) ( 1) şi di puctul a) obńiem ( 4 ) 4 ( 3 ) 3 ( 2 ) 2 ( 1 ) 1 0 = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 = = 1 = 1 = 1 = = 3 = 3 ( ) ( ) ( ) = = = 7 0 = = 8 = Pe mulńimea umerelor reale se defieşte legea de compozińie x y = xy + 7(x + y) a) Să se calculeze 2 ( 2). b) Să se verifice că x y = (x + 7)( y + 7) 7, oricare ar fi x, y0r. c) Ştiid că legea de compozińie este asociativă, să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia x x x = x. R. a) 2 ( 2) ( 2) + 7(2 2) + 42 = = 38. b) (x + 7)( y + 7) 7 = xy +7y +7x = xy +7y +7x +42 = x y, x,y0r. c) Calculăm x x x = [(x + 7) 2-7] x = [(x + 7) 2 7+7](x + 7) 7=(x + 7) 3 7 şi ecuańia va fi: (x + 7) 3 7 = x (x + 7) 3 (x +7) = 0 (x +7)[ (x + 7) 2 1] = 0 (x +7) =0 şi (x + 7) 2 1= 0, x 1 = 7 şi (x + 7) 2 = 1 x + 7 =1 sau x + 7 = 1 x 2 = 6 şi x 3 = 8., 8. Se cosideră mulńimea M = [k;+ ) d R, k 0R şi operańia x y = xy k(x + y) + k 2 + k, oricare ar fi x, y0r. a) Să se determie k0r astfel îcât 2 3 = 2. b) Petru k = 2 să se rezolve î M ecuańia x x = 6. c) Să se demostreze că petru orice x, y0m, rezultă că x y0m. 6

7 R. a) 2 3 = 3 k(2 + 3) + k 2 + k = 6 5k + k 2 + k = k 2 4k + 6 k 2 4k + 6 = 2 k 2 4k + 4 = 0 (k 2) 2 = 0 k = 2. b) x y = xy 2(x + y) + 6 x 2 4x + 6 = 6 x 2 4x = 0 x(x 4) = 0 x 1 = 0 şi x 2 = 4. c) x k x k 0 x, y M y k y k 0 ( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) x k y k xy k x + y + k + k xy k x + y + k + k k x y M, x, y M. a 0 a M = A a = a R. a 0 a a) Să se verifice dacă A(b) = A(2ab), oricare ar fi umerele reale a şi b. 1 b) Să se arate că A este elemet eutru fańă de operańia de îmulńire a matricelor 2 pe M. c) Să se determie simetricul elemetului A(1)0M î raport cu operańia de îmulńire a matricelor pe mulńimea M. 9. Se cosideră mulńimea ( ) a 0 a b 0 b A a =, a şi A b =, b R şi calculăm A(b): a 0 a b 0 b a 0 a b 0 b ab + ab 0 ab + ab A( a) A( b) = = = a 0 a b 0 b ab ab 0 ab ab ab 0 2ab = = A( 2ab) 2ab 0 2ab R. a) ( ) R ( ) puctul a) b) Calculăm A( a) A = A 2 a = A( a) şi atuci A este elemet eutru c) A( 1) = şi elemetul simetric este iversa matricei A -1 (1) şi trebuie să avem A -1 1 (1) = A 2. Notăm A-1 (1) = A(e), e0r A(e) = e) = 7

8 1 A(2e) şi A(2e)= A 2, se obńie 1 1 2e = e =. ObŃiem A -1 1 (1) = A Pe mulńimea umerelor îtregi se defiesc legile de compozińie x y = x + y 3 şi x y = (x 3)( y 3) + 3. a) Să se rezolve î mulńimea umerelor îtregi ecuańia x x = x x. b) Să se determie umărul îtreg a care are proprietatea că x a=3, oricare ar fi umărul îtreg x. x ( y + 1) = 4 c) Să se rezolve sistemul de ecuańii, ude x, y0z. ( x y) 1= 5 R. a) x x = (x 3) 2 +3 şi x x = 2x 3, obńiem ecuańia: (x 3) 2 +3 = 2x 3 x 2 8x + 15 = 0 care are soluńiile x 1 = 3 şi x 2 = 5, umere îtregi. b) x a=3 (x 3)( a 3) + 3 = 3 (x 3)( a 3) = 0 petru a = 3 şi oricare ar fi x0z. c) x ( y + 1) = 4 x + y = 4 x + y = 6 ( x y) 1 = 5 ( x y 3)( 1 3) + 3 = 5 2x + 2y = 5 x + y = 6 x + y = 6 2x + 2y = 4 : 2 x + y = 2 / 2y = 4 y = 2, x = 4 şi soluńia este perechea (4;2). 11. Pe mulńimea umerelor reale se cosideră legea de compozińie x y=xy 5(x+y)+30. a) Să se demostreze că x y=(x 5)(y 5)+5, oricare ar fi x,y0r. b) Să se determie elemetul eutru al legii de compozińie. c) Ştiid că legea de compozińie este asociativă, să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia x x x=x. R. a) (x 5)(y 5)+5 = xy 5y 5x +25+5= xy 5(x+y) +30 = x y. b) e 0R este elemet eutru dacă x e = x, oricare ar fi x 0R. Atuci (x 5)(e 5)+5=x (x 5)(e 5) (x 5)=0 (x 5)(e 6) = 0 e = 60R. Acelaşi elemet eutru se obńie şi petru e x=x. c) x x x = ( x 5) x = ( x 5) ( x 5) + 5 = ( x 5) EcuaŃia va fi: ( x 5) = x ( x 5) 3 ( x 5) = 0 ( x 5) ( x 5) 2 1 = 0 x 5=0, x 1 = x 5 1= 0 x 5 = 1 x 5 = ± 1 x = 6, x = 4. SoluŃii {4,5,6}. şi ( ) ( ) Pe mulńimea umerelor reale se cosideră legea de compozińie 8

9 ( )( ) x y = x 2 y a) Să se rezolve ecuańia x x=x, ude x 0 R. b) Să se demostreze că legea de compozińie este asociativă. c) Să se determie elemetul eutru al legii de compozińie. R. a) ( )( ) ( ) 2 x x = x 2 x = x şi se obńie ecuańia: 2 2 ( x ) x ( x ) ( x ) ( x )( x ) = 2 2 = = 0 cu soluńiile x1 = 2 şi x2 = b) Asociativitatea: x (y z)=( x y) z, x,y,z0r. Calculăm fiecare terme: x ( y z) = x ( y 2 )( z 2 ) + 2 = ( x 2 ) ( y 2 )( z 2 ) ( x )( y )( z ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( x )( y )( z ) + 2 = ( x y) z = x 2 y z = x 2 y z = Cei doi termei sut egali şi legea de compozińie este asociativă. c) Elemetul eutru: e0r astfel îcât x0r să avem: x e = e x =x. Trebuie determiat e di egalitatea: x e = x, deoarece legea de compozińie este evidet comutativă. ( x )( e ) x ( x )( e ) ( x ) ( x 2 )( e 2 1) 0 e e = = 0 = = = + R este elemet eutru. 13. Pe mulńimea umerelor reale se defieşte legea de compozińie x y=x+y+m, ude m este umăr real. a) Să se arate că legea de compozińie " " este asociativă. b) Să se determie m astfel îcât e = 6 să fie elemetul eutru al legii " ". c) Să se determie m astfel îcât ( ) ( ) 3 2 m 3 = 3 2. R. a) asociativitatea: x (y z) = (x y) z, x,y,z 0 R. Calculăm fiecare terme: x (y z) = x (y+z+m) = x+(y+z+m)+m = x+y+z+2m şi (x y) z= (x+y+m) z = (x+y+m )+z +m = x+y+z+2m, cei doi termei sut egali şi asociativitatea este demostrată. b) Elemetul eutru: x e=e x=x, x 0 R. Legea de compozińie este evidet comutativă şi atuci ajuge x e =x x 6 +m=x m=6. 9

10 3 2 3 = m == ( m) ( ) ( ) m ( ) ( ) c) ( ) ( ) m 2 + m = m 2m 2 = m + 2m 2 + m = 4m 2 şi se obńie: 4m 2 = 3 2 4m = 4 2 şi m = Pe mulńimea umerelor reale, se cosideră legea de compozińie defiită pri x y=xy x y+2. a) Să se arate că legea este asociativă. b) Să se arate că, petru oricare x,y (1,+ ), rezultă că x y (1,+ ). c) Să se determie a R cu proprietatea că x a=a, oricare ar fi x R. R. a) asociativitatea: x (y z) = (x y) z, x,y,z 0 R. Calculăm fiecare terme: x (y z) = x (yz y z+2) = x(yz y z+2) x (yz y z+2)+2 = = xyz xy xz+2x x yz+y+z 2+2=xyz xy xz yz+x+y+z. şi (x y) z= (xy x y+2) z = (xy x y+2)z (xy x y+2) z +2= =xyz xz yz+2z xy+x+y 2 z+2= xyz xy xz yz+x+y+z, cei doi termei sut egali şi asociativitatea este demostrată. x > 1 x 1 > 0 b) x, y ( 1, + ) ( x 1)( y 1) > 0 y > 1 y 1 > 0 xy x y + 1 > xy x y + 2 > 1 x y (1, + ). c) ( ) x a = a xa x a + 2 = a xa 2a = x 2 a x 2 = x 2 a = Pe mulńimea R se cosideră legea de compozińie x y=2xy x y+1. a) Să se arate că x y=xy+(1 x)(1 y), oricare ar fi x,y R. b) Să se arate că legea de compozińie este asociativă. c) Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia x (1 x)=0. R. a) xy+(1 x)(1 y)=xy+1 x y+xy=2xy x y+1=x y, x,y R b) asociativitatea: x (y z) = (x y) z, x,y,z 0 R. Calculăm fiecare terme: x (y z) =x [2yz y z+1]=2x[2yz y z+1] x [2yz y z+1]+1= =4xyz 2xy 2xz+2x x 2yz+y+z 1+1=4xyz 2(xy+xz+yz)+x+y+z. şi (x y) z=[2xy x y+1] z=2[2xy x y+1]z [2xy x y+1] z+1= =4xyz 2xz 2yz+2z 2xy+x+y 1 z+1=4xyz 2(xz+yz+xy)+x+y+z, cei doi termei sut egali şi asociativitatea este demostrată. c) x (1 x)=0 x(1 x)(1 x)[1 (1 x)]=0 x 2 (1 x) 2 =0 x 1 =0 şi x 2 = Pe mulńimea umerelor reale se defieşte legea de compozińie x y= xy+2x+2y 2. a) Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia x 4=10. b) Să se determie a R astfel îcât x a=a x=a, oricare ar fi x R. 10

11 c) Ştiid că legea este asociativă, să se calculeze R. a) x 4=10 4x+2x+2 4 2=10 2x=4 x= 2. b) x a=a xa+2x+2a 2=a xa+a= 2x+2 a( x+1)=2( x+1) a=2 R. c) =... = 2 coform puctului = 2 = 2 precedet. Probleme propuse 17. Pe mulńimea Z se cosideră legile de compozińie x y=x+y+1, x y=ax+by 1, cu a,b Z şi fucńia f (x)=x+2, f :Z Z, a) Să se demostreze că x ( 1)=( 1) x=x, oricare ar fi x Z. b) Să se determie a,b Z petru care legea de compozińie este asociativă. c) Dacă a=b=1 să se arate că fucńia f este morfism ître grupurile (Z, ) şi (Z, ). 18. Se cosideră mulńimea G={a+b 2 a,b0z, a 2 2b 2 =1}. a) Să se verifice că G. b) Să se demostreze că xay0g, petru x, y0g. c) Să se arate că orice elemet di mulńimea G are ivers î G î raport cu îmulńirea umerelor reale. 19. Pe mulńimea umerelor reale se defieşte legea de compozińie xby= 2 x+y. a) Să se calculeze 2008 B( 2008). b) Să se rezolve î R ecuańia xbx 2 = 64. c) Să se demostreze că u există x,y,z0r petru care (xby)bz= 2 z. = Pe mulńimea R se defieşte legea de compozińie x y = 3 3 x + y. a) Să se calculeze x*0. b) Să se demostreze că legea * este asociativă. c) Ştiid că x 0 0Q şi x =x 0 *x 1, oricare ar fi 0N*, să se arate că x*0q. 21. Se cosideră mulńimea G=(2, ) şi operańia xby=xy 2(x+y)+6, x,y0g. a) Să se arate că xby=(x 2)(y 2)+2, x,y0g. b) Să se demostreze că x By0G, petru x,y0g. c) Să se afle elemetele simetrizabile ale mulńimii G î raport cu legea "B". 22. Se cosideră mulńimea G=(0, )\{1} şi operańia xby=x 3l y, x,y0g. a) Să se determie mulńimea soluńiilor reale ale ecuańiei xbe = 1, ude e este baza logaritmului atural. b) Să se demostreze că xby0g, petru x,y0g. 11

12 c) Să se arate că operańia B este asociativă pe mulńimea G. 23. Pe mulńimea umerelor reale se cosideră legea de compozińie x*y=2xy 6x 6y+21, petru orice x,y0r. a) Să se arate că x*y=2(x 3)(y 3)+3 petru orice x,y0r. b) Să se rezolve î R ecuańia 5x*5x=11. c) Să se determie elemetele simetrizabile î raport cu legea "*". 24. Fie mulńimea G={a+b 3 a,b0z, a 2 3b 2 =1}. a) Să se verifice dacă 0 şi 1 aparńi mulńimii G. b) Să se demostreze că petru orice x, y0g avem xay0g. c) Să se arate că dacă x0g, atuci 1 x 0G. 25. Pe R se cosideră legea de compozińie asociativă xby=x+y+1. a) Să se calculeze 2007B2008. b) Să se rezolve î R iecuańia xbx 2 3. c) Fie mulńimea A={0N * 2 şi elemetelor mulńimii A. C C C = + 6}. Să se determie umărul x + y 26. Se cosideră mulńimea G=( 1,1) şi legea de compozińie x * y =, 1 + xy x, y0g. a) Să se rezolve î G ecuańia x*x= 4 5. b) Să se verifice egalitatea x y = ( x + 1)( y + 1) ( x 1)( y 1) ( x + 1)( y + 1) + ( x 1)( y 1) c) Să se arate că petru oricare x, y0g rezultă că x*y0g., x, y0g. 27. Pe mulńimea umerelor reale defiim legea de compozińie xby=xy+3x+3y+6, x,y0r. a) Să se arate că xby=(x+3)(y+3) 3, x,y0r. b) Să se determie elemetul eutru, ştiid că legea de compozińie B este asociativă şi comutativă. 2 2 c) Să se determie 0N, 2 astfel îcâtc C = Pe mulńimea umerelor îtregi defiim legile de compozińie x*y=x+y 3 şi xby=xy 3(x+y)+12. a) Să se rezolve î Z ecuańia xbx=12. b) Să se arate că 1B(2*3)=(1B2)*(1B 3). ( x 3) y = 2 c) Să se rezolve î mulńimea Z Z sistemul. ( x y) 4 = Pe mulńimea umerelor îtregi se defieşte legea de compozińiexby=x+y

13 a) Să se arate că legea de compozińie B este asociativă. b) Să se rezolve ecuańia x x... x = 1. de 6 ori x c) Să se demostreze că (Z,B) este grup comutativ. 30. Pe mulńimea umerelor reale R se cosideră legea de compozińie xby=xy 2(x+y)+6. a) Să se verifice că xby=(x 2)(y 2)+2, x,y0r. b) Să se demostreze că xb2=2 oricare ar fi x0r. c) Ştiid că legea de compozińie B este asociativă, să se calculeze expresia E=( 2008)B( 2007)B B( 1)B0B1B2B B x + y 31. Pe mulńimea G=( 1,1) se cosideră legea de compozińie x * y =. 1 + xy 1 x Fie fucńia f:(-1,1) (0,4), f ( x) = 1 + x a) Să se calculeze b) Să se verifice că f(x*y)=f(x)*f(y), x,y0g. c) Să se demostreze că legea "*" este asociativă. 32. Pe mulńimea R se defieşte legea de compozińie xby=xy 10(x+y)+110. a) Să se verifice că xby=(x 10)(y 10)+10, oricare ar fi x,y0r. 1 1 b) Să se calculeze C20 C20 c) Să se rezolve ecuańia xb(x 1)=10, ude x0r = Z, ude matricea A x = 0 1 0,x0Z. x 0 1 a) Să se verifice că A x A A y = A x+y, ude x,y0z. b) Să se determie elemetul eutru di grupul (G,A). c) Să se demostreze că fucńia f :Z G, f (x)=a x este morfism de grupuri. 33. Se cosideră mulńimea G { Ax x } 34. Pe mulńimea umerelor reale R se cosideră legea de compozińie defiită astfel x*y=xy x y+2. a) Să se demostreze că x*y=(x 1)(y 1)+1, oricare ar fi x,y0r. b) Să se demostreze că legea * este asociativă c) Să se calculeze * *...* Se defieşte pe mulńimea umerelor reale legea de compozińie asociativă x*y=xy 6x 6y+42, petru orice x,y0r. a) Să se arate că x*y=(x 6)(y 6)+6, oricare ar fi x,y0r. b) Să se rezolve î R ecuańia x * x * x * x=x. c) Să se calculeze 1* 2 * 3 *... * Pe mulńimea umerelor reale se defieşte legea de compozińie 13

14 x*y=xy 2008 (x+y) , oricare ar fi x,y0r. a) Să se arate că x*y=(x 2008 )(y 2008 )+ 2008, oricare ar fi x,y0r. b) Să se determie elemetul eutru al legii de compozińie * pe mulńimea R. c) Ştiid că legea de compozińie * este asociativă, să se calculeze ( 2008 ) * ( 2007 ) *...* 0 *...* ( 2007 ) * ( 2008 ). 37. Pe Z se defieşte legea de compozińie asociativă x*y=3xy+7x+7y+14. a) Să se determie elemetul eutru al legii "*". b) Să se rezolve î R iecuańia x*x 7 3. c) Să se determie elemetele simetrizabile î raport cu legea *. 38. Pe R se defieşte legea de compozińie pri xby=3xy+3x+3y+2,oricare ar fi umerele reale x şi y. a) Să se verifice că xby=3(x+1)(y+1) 1, oricare ar fi x,y0r. b) Să se determie perechile (x,y)0r R petru care (x 2 5)B(y 2 10)= 1. c) Să se determie două umere a,b0q Z, astfel îcât abb0n. 39. Pe mulńimea Z se defiesc legile de compozińiex*y=x+y+2 şi respectiv xby=xy+2x+2y+2. a) Să se demostreze că xby=(x+2)(y+2) 2. b) Să se determie elemetele eutre ale fiecăreia ditre cele două legi de compozińie. 2 2 x y = 7 c) Să se rezolve sistemul. 2 2 x y = Pe mulńimea umerelor reale se cosideră legea de compozińie xby=2xy 8x 8y+36. a) Să se demostreze că xby=2(x 4)(y 4)+4, oricare ar fi x,y0r. b) Să se rezolve ecuańia xbx= 36. c) Ştiid că operańia B este asociativă să se calculeze Pe mulńimea umerelor reale se defieşte legea de compozińie pri x*y=3xy+3x+3y+2. a) Să se demostreze că x*y=3(x+1)(y+1) 1, oricare ar fi x,y0r. b) Să se determie perechile (x,y)0r R petru care (x 2 2)*(y 2 5)= 1. c) Ştiid că legea de compozińie este asociativă să se calculeze ( 2008)*( 2007)*...*( 1)*0*1*...*2007* Pe R defiim legile de compozińie xby=x+y+3 şi x*y=xy 3(x+y)+12. a) Să se verifice că x*y=(x 3)(y 3)+3, oricare ar fi x,y0r. b) Să se rezolve î R ecuańia (xb(x+1))+(x*(x+1))=11. x ( y 1) = 0 c) Să se rezolve sistemul de ecuańii, x,y0r. ( x + 1) y = x ( y + 1) 14

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

matricelor pătratice de ordinul 2, cu elemente numere reale; a11 a12 a13, mulńimea matricelor pătratice de ordinul 3, cu elemente

matricelor pătratice de ordinul 2, cu elemente numere reale; a11 a12 a13, mulńimea matricelor pătratice de ordinul 3, cu elemente LECłII DE SINTEZĂ î vederea pregătirii sesiuii iulie-august a eameului de BACALAUREAT - M petru cadidańii absolveńi ai liceelor di filiera tehologică, profil: servicii, resurse aturale şi protecńia mediului,

Διαβάστε περισσότερα

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ]. Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre

Διαβάστε περισσότερα

Algebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen.

Algebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen. Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1

Varianta 1 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008 Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p

Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a XII-a. Trunchi comun + curriculum diferenţiat

MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a XII-a. Trunchi comun + curriculum diferenţiat Marius Burtea Georgeta Burtea MATEMATICĂ Maual petru clasa a XII-a M Truchi comu + curriculum difereţiat Maualul a fost aprobat pri Ordiul miistrului Educaţiei, Cercetării şi Tieretului r. 6/ di 6.6.7

Διαβάστε περισσότερα

Inegalitati. I. Monotonia functiilor

Inegalitati. I. Monotonia functiilor Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z : Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs

Διαβάστε περισσότερα

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce

Διαβάστε περισσότερα

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017 Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =

Διαβάστε περισσότερα

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +

Διαβάστε περισσότερα

EXAMENE ŞI CONCURSURI

EXAMENE ŞI CONCURSURI 8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011 Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI 122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi

Διαβάστε περισσότερα

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA NAŢIONALĂ aprilie FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL Filiera tehologică: profilul

Διαβάστε περισσότερα

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn. 86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ

Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A

Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A 1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)

Διαβάστε περισσότερα

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul

Διαβάστε περισσότερα

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IV-a SUBIECTUL Aflaţi difereţa ditre umerele aturale [( 4 a : ) :1 5] 4 6 = 4 [( b 7 ): 5 8] 8 5 = 7 a şi b ştiid că ele verifică egalităţile: Gheorghe Loboţ Suma a două

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie

CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1 - rezolvari mate MT1

Varianta 1 - rezolvari mate MT1 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii. 5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior 4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

CULEGERE DE PROBLEME

CULEGERE DE PROBLEME Colecţia "LICEU CULEGERE DE PROBLEME petru eameul de admitere la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură Descrierea CIP a Bibliotecii

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri

Διαβάστε περισσότερα

sistemelor de algebrice liniarel

sistemelor de algebrice liniarel Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ

SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ CLASA a IV-a U gospodar are î curte găii și iepuri, î total 30 de capete și 84 de picioare. Săptămâal, petru hraa uei păsări sut folosite, î medie, 500 g de grăuțe, iar petru hraa uui iepure de 4 ori mai

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme

Διαβάστε περισσότερα

Analiza bivariata a datelor

Analiza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele

Διαβάστε περισσότερα

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV

CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV Prezetarea uor elemete de bază di teoria mulţimilor, teoria relaţiilor biare, fucţii, sisteme de umere ş. a. presupue cuoscute elemete de logică matematică la ivelul maualelor

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ M Manual pentru clasa a 1-a Cuprins ALGEBRÃ 1. Grupuri... 6 1.1. Legi de compoziþie... 6 1.. Proprietãþi ale legilor de compoziþie... 9 1.3. Grupuri... 1.4. Exemple

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei

Διαβάστε περισσότερα

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert

Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a V-a. Clasa a VI-a. Clasa a VII-a

Clasa a V-a. Clasa a VI-a. Clasa a VII-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ MATEMATICA, DE DRAG EDIŢIA I, 4-6006 Clasa a V-a a+ b Numerele a, b, c, d N verifică relaţia: b+ c + c+ d + d+ a + = 5 Calculaţi: a + b+ c+ d 7 (G M /006) Suma a două

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela

MATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =

Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n = Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI aprilie 0 Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecţia mediului Clasa a IX-a BAREM. Cosiderăm mulțimea A = / i ;00, j ;00 i j. a) Stabiliți dacă 88 și sut sau u elemete ale mulțimii

Διαβάστε περισσότερα

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII 7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate

Διαβάστε περισσότερα

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii. Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα