CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"

Transcript

1 aprilie 0 Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecţia mediului Clasa a IX-a BAREM. Cosiderăm mulțimea A = / i ;00, j ;00 i j. a) Stabiliți dacă 88 și sut sau u elemete ale mulțimii A ; 0 0; + a + a a a < ; b) Arătați că petru orice a ( ) și orice N, ( )( ) c) Arătați că suma elemetelor mulțimii A este mai mică decât. a) = A și A... p ;... + a + a + + a a = a + <... p b) a ( ) ( )( ) c) i j i j i, j= 0 i= 0 j= = = < =... p. Fie ABCD u paralelogram și M u puct î plaul acestuia. Cosiderăm N simetricul lui M față de A, P simetricul lui N față de B și Q simetricul lui P față de C. a) Arătați că NB = MA + AB, PC = MA AB + AD și QD = MA AD ; b) Arătați că D este mijlocul segmetului [ QM ] ; c) Demostrați că dacă MNPQ este paralelogram atuci MA BD și MA = BD. a) NB = NA + AB = MA + AB... p PC = PB + BC = BN + AD = MA AB + AD... p QD = QC + CD = CP + BA = MA AD... p b) DM = DA + AM = AD MA DM = QD D este mijlocul segmetului [ QM ]... p c) MNPQ paralelogram MN = QP... p MA = DB MA DB și MA = DB... p

2 aprilie 0. Victor-Viorel are moede de 50 bai, 5 bacote de 5 lei și bacote de 0 lei. El vrea să-și cumpere o mige de baschet care costă 50 lei. a) Dovediți că poate plăti migea cu baii pe care-i are și fără să primească rest; b) Determiați î câte moduri poate plăti migea fără să primească rest. a) Coform cu euțul ,, 5, + y + z = y z,... p deci + 0y + 0z = 00,, y 5, z... p 0 și avâd { 0; 0}... p = 0 y =, z =... p = 0 y = 5, z = sau y = z =... p b) Deci sut posibile trei moduri de plată: ( ; ; ) {( 0; ; ), ( 0; 5; ), ( 0; ; ) } y z... p. O fabrică î care se produc roboți de bucătărie are capacitate maimă de producție de 00 bucăți pe zi. Costul total (eprimat î euro) petru producerea itr-o zi a roboți de bucătărie este dat de formula c( ) = iar prețul de vâzare petru fiecare robot este de 0 5 euro. a) Aflați costul total petru producerea îtr-o zi a 0 de roboți de bucătărie; b) Determiați câți roboți de bucătărie se pot produce îtr-o zi cu 65 de euro; c) Determiați câți roboți de bucătărie ar trebui produși îtr-o zi petru ca profitul total să fie maim. Aflați valoarea profitului maim care se poate obție itr-o zi. c 0 = 65 (euro)... p a) ( ) b) c( ) = p = 80 (roboți)... p c) profitul obțiut î urma vâzării a roboți este p ( ) = = p p are puct de maim = 0... p și ( ) deci profitul maim este p ( 0) = 55 (euro)... p

3 aprilie 0. Fie fucția f : Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecţia mediului R R, f ( ) = +. a) Arătați că f este strict crescătoare; Clasa a X-a BAREM b) Rezolvați ecuația + 6 = 0 ; + 6 < + 6. c) Rezolvați iecuația ( ) a) f : f = + este sumă de fucții strict crescătoare... p R R ( ) b) di a) f -ijectivă f ( ) = 6 are soluție uică =... p c) ( 6)( ) + < 0... p ( 0; )... p ± i 7. Fie z u umăr comple ereal, z, i =, și a) Arătați că z z + 0 ; + b) Demostrați că și = z + ; z c) Arătați că este umăr real dacă și umai dacă z =. z = z + z + z +. a) ± i 7 ± i 7 z z + = 0 z, =, cotrazice z, deci z z p b) = z = 0, cotrazice z R... p + z + Verifică = = z +... p z z c) z = a + b i, z = + ( a b i) = a + b i + a = R R... p a + b ( a b i) z = a + b i, z + = a + b i + R z a + b b a + b = 0... p sau b = 0, cotradicție cu z R, sau a + b = z =... p Observație: Cum z z = z, rezolvarea c) poate folosi și proprietățile cojugatului:

4 aprilie 0 Dacă z = z = z z + z = z + z + = z + z z + z + z + z + z + z + = R, deoarece = = =. z + z z + z z + z Reciproc, dacă R z R z + = m R z m z + = 0 z z = z z z =. Îtr-u pla se duc drepte disticte astfel îcât oricare două u sut paralele și oricare trei u sut cocurete. Se otează cu a umărul de regiui î care este împărțit plaul de cele drepte. a) Determiați ; b) Demostrați că a a =, oricare ar fi ; ( + ) c) Arătați că a = +, oricare ar fi. a) Determiă a =, a = 7, a =... p a petru { ;;} b) Demostrează, a a, observâd că atuci câd avem a N regiui, corespuzătoare la N drepte orietate diferit fiecare două, va eista o dreaptă care coție, î uul di cele două semiplae îchise determiate de ea, toate itersecțiile di d j a celor = +, ( ) N drepte și atuci î acel semipla avem a regiui iar î celălalt semipla eact regiui di totalul de a regiui, deci a a =... p ( + ) c) Calculează a = +... p i< j. Se cosideră umerele,,,... așezate ca î figura alăturată pe o schemă de joc de tip darts, ude vom spue că umărul se află pe cercul C, umerele și se află pe cercul C, umerele, 5, 6 și 7 se află pe cercul C, etc. a) Determiați pe al câtelea cerc se află umărul 0; b) Arătați că suma S a umerelor de pe cercul C, N *, este = ; dată de formula S ( ) c) Dacă o săgeată imerește ître două cercuri cosecutive, defiim scorul ei ca fiid difereța ditre suma umerelor de pe cercul mare și de patru ori suma umerelor de pe cercul mic. Să se determie ître care cercuri a imerit o s geat care a îregistrat a) Notâd C, C, C,... cercurile di figură, se observă că petru orice pe cercul umăr este și ultimul este ( ) C primul... p

5 aprilie 0 Cum 0 = = 0 este pe cercul C... p = p b) S ( ) ( )... ( ) ( ) ( + ) S = = ( ) c) Dacă săgeata imerește ître cercurile C și C + scorul este ( ) ( ) = + = = + =... p s S S 7 și cum 8 = = S9 S8 săgeata a imerit ître cercurile C 8 și C 9... p

6 aprilie 0 Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecţia mediului Clasa a XI-a BAREM. Fie u umăr atural fiat și fucția f :[ ; ] \{ 0} R, f ( ) a) Calculați lim f ( ) și lim f ( ) 0 b) Arătați că lim f ( ) = ; c) Determiați petru care valori N eistă limita f ( ) a) f0 ( ) ( ) 0 0 ; lim =. lim = lim + + = 0... p lim f = lim + + = lim + = p = lim = ( ) ( ) ( ) b) + lim f ( ) = lim lim = = ( + + )( + )... p =... = lim = 0 ( + + )( + ) + + c) lim 0 = + dacă N este par și u eistă dacă este impar... p Petru și impar, u eistă lim f ( )... p Î cocluzie, eistă f ( ) lim 0 0 petru = și petru N umăr par... p

7 aprilie 0. Cosiderăm matricele a) Arătați că A = 8I ; A =, E = 0 b) Dacă B M ( R ) îcât B E = E B și B E E B c) Fie N astfel îcât petru orice matrice ( ) Arătați că este multiplu de. a) Arată b) A a b B = c d, E 0 0 = și I =. 0 =, arătați că eistă a R îcât B = a I ; X M R are loc A X X A =. = 8I... p, B E = E B c = 0, a = d... p B E = E B b = 0, a = d... p =... p B a I A E = E A, A E = E A A = a I... p și coform cu a), = k... p c) Observație: π π cos si A = π π si cos π π cos si deci A = π π si cos Totodată, dacă A X X A și cosiderâd M ( α ) k A ( ) cosα siα = siα cosα = I k =, ( ) ( ) X M R atuci A = a I, a R, etc. M ( α ) M ( β ) M ( α β ) = +,. Petru festivitatea de premiere a uui cocurs de matematică s-au cumpărat di trei magazie A, B și C, cărți, caiete și piuri. Di magaziul A s-au cumpărat cărți, y caiete și z piuri, plătidu-se 99 lei, di magaziul B s-au cumpărat ( ) plătidu-se 75 lei iar di magaziul C s-au cumpărat ( ) + cărți, ( y ) caiete și ( ) cărți, ( y + ) caiete și ( ) z + piuri, z piuri, plătidu-se 9 lei. Știid că î magaziul A o carte costă 0 lei, u caiet costă leu iar u pi costă lei, î magaziul B o carte costă 5 lei, u caiet costă lei iar u pi costă lei, respectiv î magaziul C o carte costă lei, u caiet costă leu iar u pi costă lei, se cere:

8 aprilie y + z = 99 a) Arătați că 5 + y + z = 68 ; + y + z = 7 b) Determiați ragul matricei sistemului; c) Aflați î câte moduri se pot face cumpărăturile. a) Justifică ecuațiile sistemului... p b) rag A =... p c) Familia de soluții ale sistemului este ( ; y; z) ( α;α 5;6 α ) =, α R... p și cum, y, z N și, y, z... p se obție α { ;5;6;7}, deci sut moduri posibile de a face cumpărăturile... p s t = 0t 0 e, ude t. O particulă se deplasează pe o traiectorie după legea de mișcare ( ) 5 reprezită mometul deplasării, măsurat î secude și s( t ) reprezită pozitia particulei pe traiectorie la mometul t, măsurată î metri și raportată la o origie O și u ses ales ca pozitiv la deplasările pe acea traiectorie. Se cere: a) Aflați distața față de origie a particulei la mometul t = 0 ; b) Arătați că eistă u momet t 0 al deplasării î care particula ajuge î origiea O ; s( t ) s ( 0) c) Calculați viteza v ( 0) a particulei la mometul t = 0, ude v( 0) = lim ; t 0 t s 0 = 0... p a) ( ) deci la mometul t = 0 particula este la distața de 0 m de origie... p t 5 b) Cum s :[ 0; ) R, s( t) = 0t 0 e este cotiuă pe domeiul ei și s( ) s( ) eistă t0 ( 0; ) î care ( 0 ) 0 c) ( 0 ) ( 0 ) deci v( ) t 0 < 0,... p s t =... p t0 5 v t = s ' t = e... p 0 = 8 m / s... p

9 aprilie 0. Fie N, Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecţia mediului Clasa a XII-a BAREM f = X X +. și poliomul ( ) a) Arătați că g = X ; b) Determiați rădăciile poliomului f î cazurile = și = ; c) Petru, dacă,,..., C sut rădăciile poliomului f, arătați: = 0 (i) și f u are toate rădăciile reale. (ii) 0 f ' = 0... p a) f ( ) =, ( ) b) = c) f se divide cu ( ) f = X X + = =... p = f = X X + = =, =... p = k = k k =... p k i, j= i j i< j = 0, = 0... p k = k i, j= i j i< j f ( 0) 0și dacă,,..., R * > 0, cotradicție, deci u pot fi toate rădăciile k = k reale...p. Fie f :[ 0;] R itegrabilă și mooto crescătoare. a) Arătați că f ( ) + y f ( y) f ( y) + y f ( ), oricare ar fi, [ 0;] y ; b) Itegrâd iegalitatea de mai sus î raport cu, arătați că: ( ) ( ) ( ) f d + y f y f y + y f ( ) d, oricare ar fi y [ 0;] ; 0 0 f d f d ; c) Demostrați că ( ) ( ) 0 0. d) Arătați că e d ( e ) 0

10 aprilie 0 a) f mooto crescătoare ( f ( ) f ( y) )( y) 0, etc.... p b) Calcul direct... p c) Calcul direct... p d) ( ) f = e și aplică c), etc.... p. Î familia Popescu domește regula armoiei perfecte, aceasta î sesul că, î timpul oricărei discuții purtată spre a îtrepride ceva, se știe diaite cie are ideea cea mai buă. Astfel, fiul, Flori (F), știe că î orice discuție (chiar și cu el îsuși!) cea mai buă idee este cea care vie de la iterlocutorul său. Păriții, tatăl (T) și mama (M) câd discută ître ei costată că cea mai buă idee este cea sugerată de Flori iar câd discută fiecare cu sie îsuși costată că cea mai buă idee este cea sugerată de celălalt părite. Familia Popescu = T; M ; F, cu legea de compoziție a) Compueți tabla de operații a mulțimii { } y = z (di discuția lui cu y cea mai buă idee este cea sugerată de z ); b) Arătați că mulțimea Familia Popescu { T; M ; F} comutativ, izomorf cu grupul ( ) = cu operația se structurează ca grup Z ;+ al claselor de resturi modulo. a) Tabla operației... p b) Justifică F elemet eutru... p Justifică proprietatea de comutativitate... p Justifică proprietatea de asociativitate... p Justifică proprietatea de simetrizabilitate... p Determiă izomorfismul...p. O piesă a uui agreaj este de formă plată leticulară, cu dimesiuile AC = cm și BD = cm iar ABC, respectiv ADC sut arce de parabolă de ecuații y =, respectiv y =, cu, ele fiid reprezetate grafic î figura alăturată. Piesa este realizată î serie, î mod [ ;] automat, de către o compoetă A a uui utilaj, pri decupare di folii dreptughiulare de material plastic cu dimesiuile de 80cm și 60cm, astfel îcât fiecare două piese vecie să aibă comu doar uul di puctele de tipul A, B, C, D di figură și la decupare să se obțiă cea mai mică pierdere de material. Totodată, î mometul î care resturile de material rămas pri decupare cumulează masa uei folii, ele sut preluate automat de o compoetă B a utilajului, y compoetă care are rolul de a tura foliile de material plastic ecesare decupării și a le trasmite B(0;) compoetei A. Se cere: A(-;0) C(;0) a) Determiați umărul de piese decupate di fiecare folie de compoeta A a utilajului. O b) Dacă o piesă câtărește 0 grame, calculați masa pierderii de material î situația î care utilajul este D(0;-) reglat să se oprească automat după cosumarea a 0 folii.

11 aprilie 0 a) Lugimea piesei fiid AC = cm și lățimea BD = cm umărul maim de piese care se pot decupa ditr-o folie este 0 0 = 600 piese... p b) Cum d = = p 6 îseamă că aria ocupată de o piesă este cm...p 6 8 Deci la fiecare piesă pierderea de material pri decupare este de 8 = cm și astfel la fiecare folie pierderea de material reprezită / di suprafața foliei... p Astfel, la primele folii, a patra este realizată pri reciclarea materialului, la fel î cotiuare la fiecare următoarele folii și cum restul împărțirii 0 : este r =, îseamă că pierderea de material reprezită doar di suprafața uei folii, aceasta îsemâd chiar masa a 600 de piese, ceea ce îseamă că pierderea de material este doar de 6 kg... p